Leitprogramm Vektorgeometrie

Leitprogramm Vektorgeometrie
Torsten Linnemann
Kantonsschule Solothurn
e-mail:[email protected]
homepage: http://home.tiscalinet.ch/tolinnemann
1. Juli 2006
Dank: Ich danke der Klasse 4aL des Schuljahres 2004/5 für das erste engagierte Durcharbeiten dieses Leitprogrammes und viele wichtige Hinweise.
Marcel Fischer danke ich für einige Graphiken.
Die Idee, die gesamte Vektorgeometrie entlang einer Aufgabe zu einem Spat aufzubauen,
stammt von Rolf Rosbigalle, Lübeck. „DIE Aufgabe“ stammt von ihm (mit einigen Erweiterungen von mir). Dafür möchte ich mich herzlich bedanken. Mein spezieller Dank gehört
Felix Steiner für die Lösungen von „DIE Aufgabe“.
Inhaltsverzeichnis
1 Vektoralgebra
5
1.1
Das Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2
Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.1
Verschiebungen und Pfeile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.2
Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.3
Die Länge eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2.4
Taschenrechner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2 Produkte
15
2.1
Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2
Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3 Geraden
21
3.1
Koordinatenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.2
Parameterform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.3
Die Gerade im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.4
Schnittwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.5
Normalenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4 Ebenen
4.1
4.2
29
Schnittprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.1.1
Gerade und Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.1.2
Schnitt zweier Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Abstandsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.2.1
Punkt und Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.2.2
Gerade und Gerade
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.2.3
Punkt und Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3
4
INHALTSVERZEICHNIS
Einführung
Die Analytische Geometrie oder Vektorgeometrie ist ein relativ neues Gebiet der Mathematik: es stammt aus dem 19. Jahrhundert. Zum Vergleich: Dinge wie der Satz des Pythagoras
sind schon im alten Babylon bekannt gewesen, die systematische Grundlegung der Geometrie mit all ihren Konstruktionen fand in der Zeit der Griechen ihre Blüte. Die Trigonometrie
ist genau wie die Algebra in Arabien um die Jahrtausendwende (die vorletzte) entstanden.
In der analytischen Geometrie wird die Geometrie noch mehr der Algebra zugänglich gemacht. Die Methoden dazu kennt ihr schon: Vektoren lassen sich in Koordinaten darstellen
und so rechnerisch addieren und strecken. Winkel lassen sich mit den trigonometrischen
Funktionen berechnen.
Du wirst in den weiteren Kapiteln lernen, mit Ebenen, Geraden, Kreisen und Kugeln mit
rechnerischen Methoden umzugehen. Natürlich kommt auch die ebene und räumliche Anschauung nicht zu kurz.
In die Analytische Geometrie sollst du dich mit Hilfe eines Leitprogramms einarbeiten. An
vielen Stellen ist die Anschauung wichtig. Arbeite deshalb mit Deiner NachbarIn eng zusammen, so dass ihr miteinander die Zusammenhänge erschliessen könnt. Grössere Gruppen sollten sich aber nicht bilden.
Wenn mal etwas nicht gleich verstanden wird, solltest du, erstens noch einmal nachdenken,
zweitens deine NachbarIn fragen und drittens dich an die Lehrkraft wenden.
Zur Lernkontrolle sind Tests in das Leitprogramm eingebaut. Wenn du so weit gekommen
bist, wende dich bitte an die Lehrkraft, das gibt dann ein Aufgabenblatt (Kapiteltest), das
du ohne Hilfe lösen sollst. Die Lösung zum Blatt wird abgegeben und von der Lehrkraft
korrigiert. Sollte sie noch Fehler ernthalten, so teilt die Lehrkraft mit, was zu tun ist.
Ein Grossteil der Aufgaben wird sich auf eine grosse Aufgabe mit vielen Unteraufgaben
beziehen: DIE Aufgabe.
Es dreht sich in der Aufgabe um einen Spat, also einen von sechs Parallelogrammen berandeten Körper. Mit Hilfe dieser Aufgabe lassen sich praktisch alle Aufgaben der Vektorgeometrie erledigen. Ausführliche Lösungen zu dieser Aufgabe finden sich am Schluss des
Leitprogramms.
H
Vektorgeometrie – DIE Aufgabe
Ein Spat ist ein Körper, dessen Oberfläche aus sechs Parallelogrammen entsteht. Alle Kanten sind darstellbar durch die drei
−
−→ −−→
−→
Vektoren AB, BC und AE. An diesem Spat lassen sich beispielhaft fast alle der Probleme zeigen, deren Lösungen Du
in der Vektorgeometrie kennenlernen wirst. Im Skript wird
immer wieder auf diese Aufgabe als [DA] Bezug genommen.
A
Dieser Spat wird Dich also die nächsten Wochen begleiten.
Oft können in einer Aufgabe mehr als vier Dinge berechnet
werden. Dann brauchen jeweils nicht alle Möglichkeiten berechnet werden.
E
G
F
D
C
B
Kapitel 1
Vektoralgebra
Einführung
In den ersten beiden Kapiteln der analytischen Geometrie werden die Grundlagen der Vektorrechnung gelegt. Vektoren lassen sich addieren und subtrahieren. Sie können mit Zahlen
multipliziert werden: Daraus entsteht die Vektoralgebra. Dann lernt ihr zwei wichtige Methoden kennen, Vektoren miteinander zu verknüpfen: Skalarprodukt und Vektorprodukt.
Diese beiden erlauben es, festzustellen, ob Vektoren senkrecht zueinander sind, Winkel zwischen Vektoren zu berechnen und schliesslich zu zwei Vektoren im Raum einen dritten zu
produzieren, der senkrecht auf den ersten beiden steht. Das alles werden wir brauchen, um
Geraden und Ebenen in den folgenden beiden Kapiteln erfolgreich beschreiben zu können.
Das werdet ihr nach den ersten beiden Kapiteln können:
• Vektoren zeichnerisch und in Koordinaten addieren und strecken. Dies ist die Grundlage der Vektoralgebra
• Ihr könnt Vektoren aus der Koordinatendarstellung heraus zeichnen und feststellen,
ob sie parallel sind.
• die Längen von Vektoren in Ebene und Raum aus den Koordinaten bestimmen.
• den Winkel zwischen zwei Vektoren mit dem Skalarprodukt bestimmen.
• mit dem Skalarprodukt bestimmen, ob Vektoren senkrecht zueinander sind.
• zu zwei Vektoren einen dritten berechnen, der senkrecht auf den beiden steht. Dazu
ist das Vektorprodukt da.
• Erklären, warum die Ebene zweidimensional und der Raum dreidimensional ist. Dazu
dienen die Basisvektoren
Das wird sich dann alles im nächsten Kapitel auf Geraden anwenden lassen: Mit Hilfe von
Koordinaten und Vektoren lassen sich diese algebraisch beschreiben und auch Schnittpunkte zu ermitteln. Das Skalarprodukt dient dann dazu, Winkel festzustellen und auch dazu,
zwei Schreibweisen von Geraden miteinander zu verbinden: die (neu zu lernende Schreibweise mit Vektoren) und die Geradengleichungen y = mx + q.
5
KAPITEL 1. VEKTORALGEBRA
6
Im Kapitel, das darauf folgt, wird dieses Programm auf Ebenen angewendet. Hier kommt
dann auch das Vektorprodukt zum Zuge. Ausserdem wird auch die gegenseitige Lage von
Geraden und Ebenen betrachtet.
1.1 Das Koordinatensystem
Um die Position eines Flugzeuges anzugeben werden drei Angaben benötigt: Die Position
in Ost-West-Richtung, die Position in Nord-Süd-Richtung und die Höhe.
Dies ist allgemein so, wenn eine Position im Raume beschrieben werden soll.
Genau wie beim ebenen Koordinatensystem wählen wir uns einen Punkt O(0|0|0) als Ursprung des Koordinatensystems. Jeder Punkt hat dann drei Koordinaten. Ein Punkt lässt
sich kennzeichnen als P (x|y|z). Dabei ist die z-Koordinate die Höhe. die z-Achse wird also
nach oben gezeichnet, die y-Achse verläuft horizontal und die x-Achse müsste jetzt nach
vorne aus dem Blatt herausschauen. Wir stellen uns nun vor, wir würden schräg von oben
auf den Koordinatenursprung schauen. Dann können wir die x-Achse als schräg nach unten
laufend zeichnen:
z
z
1
1
1
x
1
y
1
y
1
x
Im zweiten Bild ist zu sehen, wie typischerweise die Einheiten gewählt werden: zwei Häuschen auf y− und z−Achse und ein „diagonales“ Häuschen auf der x-Achse. Wird von schräg
oben geschaut, so erscheint die x−Achse ja auch verkürzt – dem wird also Rechnung getragen.
Aufgabe 1.1 Trage die Punkte ins rechte Koordinatensystem oben ein.P (0|2|3), Q(3|2|1) ,
R(3| − 2| − 1) und S(5|3|2)
z
Durch den Verzicht auf eine „Dimension“ sind die Punkte nicht mehr eindeutig eintragbar. Darum wird oft zur
Einzeichnung eines Punktes ein ganzer Quader gezeichnet.
Dies macht den Punkt eindeutig und dient auch der Vorstellung. Hier ist der Punkt Q(3|2|1) eingetragen.
1
1
x
Q
1
y
1.2. VEKTOREN
7
Aufgabe 1.2 Zeichne die Punkte S und R mit den dazugehörigen Quadern in eigene Koordinatensysteme im Heft.
Aufgabe 1.3 Stelle mit drei je 10cm langen Stöckchen ein eigenes dreidimensionales Koordinatensystem her. Dabei sind 2cm eine Einheit. Zeige Deiner NachbarIn die Punkte P , S
und R.
Dieses Koordinatensystem werden wir im Weiteren häufig brauchen. Bringt es bitte jeweils
zum Unterricht mit. Im Folgenden nenne ich es Modell
Bemerkung: Die xy-Ebene ist die Ebene, in der die z-Koordinate Null ist. Es ist also die
Zeichenebene. Analog ist die xz-Ebene die vertikale Ebene, die aus der Zeichnung herausschaut und die yz-Ebene ist die Zeichenblattebene.
Aufgabe 1.4 Der Punkt P (5|2|1) wird gespiegelt
a)
d)
an der xy-Ebene
an der z-Achse
b)
e)
an der xz-Ebene
an der y-Achse
c)
f)
am Ursprung
am Punkt (3|3|3)
Welche Koordinaten hat der gespiegelte Punkt P ′ ?
Aufgabe 1.5 Welche besondere Lage haben diese Punkte?
a)
P (x|0|0)
b)
Q(0|y|z)
c)
R(0|y|4)
d)
S(0|a|a)
Nun solltet ihr das dreidimensionale, räumliche Koordinatensystem kennen. Im Folgenden
werden wir sowohl Probleme im Raume als auch in der Ebene behandeln. Die Herangehensweisen sind jeweils die gleichen, nur dass im Raume eine dritte Koordinate vorkommt.
Das gibt Rechenaufwand, meistens aber keine zusätzlichen konzeptionellen Schwierigkeiten. Aus dem Zusammenhang wird jeweils hervorgehen, ob es sich um den Raum oder die
Ebene handelt.
1.2 Vektoren
1.2.1
Verschiebungen und Pfeile
In der Geometrie habt ihr verschiedene „Kongruenzabbildungen“ kennen gelernt. Es sind
dies zum Beispiel Geradenspiegelungen, Drehungen und Verschiebungen. Für die Vektorgeometrie besonders wichtig sind die Verschiebungen. (Drehungen lassen sich mit Hilfe von
Geometrie und Vektoren dann auch beschreiben – das erfolgt aber nicht in diesem Leitprogramm.)
Bei einer Verschiebung werden alle Punkte der Ebene um eine gewisse Länge in eine gewisse Richtung verschoben. Punkt und Bildpunkt lassen sich mit einem Pfeil verbinden. Die
Menge dieser gleich langen und gleich gerichteten Pfeile beschreibt also die Verschiebung.
Eigentlich reicht aber ein Pfeil aus, um die Verschiebung zu beschreiben. Der Ansatzpunkt
des Pfeils ist dann einfach verschieden für jeden zu verschiebenden Punkt. Das führt zu
folgender Definition:
KAPITEL 1. VEKTORALGEBRA
8
Definition 1.1 Ein Vektor fasst alle gleich langen Pfeile gleicher Richtung zusammen.
Ein gezeichneter Pfeil repräsentiert diesen Vektor.
Beispiel 1.1
~a ~a ~a ~a ~a 2
Alle oben gezeichneten Pfeile repräsentieren den gleichen Vektor. Wird im Folgenden ein
Buchstabe mit einem Pfeil gekennzeichnet, so handelt es sich um einen Vektor, Beispiel ~a.
Ein Vektor ist also eine ganze Pfeilklasse. Wir kennzeichnen
einen Vektor durch drei unter

1
einandergeschriebene Komponenten. Der Vektor ~a =  5  bedeutet dann:
−3
Gehe einen Schritt1 nach vorne, 5 Schritte nach rechts und 3 Schritte nach unten.
Aufgabe 1.6 Zeige Deiner NachbarIn jeweils zwei Repräsentanten der folgenden Vektoren
im Modell. Beachte: der Ansatzpunkt der Pfeile ist frei wählbar.






1
−2
3
a)  5  b)  0  c)  −2 
−3
5
3
Aufgabe 1.7 Zeichne jeweils zwei Repräsentanten der ersten beiden Vektoren aus der obigen Aufgabe in ein Koordinatensystem ein.
Oft werden wir zwei Punkte verbinden müssen. Der Vektor, der die Verschiebung vom einen
zum anderen Punkt realisiert, bekommt eine besondere Bezeichnung.
Definition 1.2 Gegeben sind zwei Punkte A und B. Der Vektor der die Verschiebung von A nach
−−
→
B bedeutet, heisst AB. Er wird repräsentiert durch einen Pfeil von A nach B.
Aufgabe 1.8 Gegeben sind die Punkte A(−1|5|4), B(4|0| − 4) und C(−5|3| − 1). Zeige mit
−
−
→ −−→
−→
Deiner NachbarIn die Vektoren AB, BC und AC. Veranschauliche Dir, dass der folgende
Satz gilt:


b1 − a1
−
−→
Satz 1.1 Der Verbindungsvektor der Punkte A(a1 |a2 |a3 ) und B(b1 |b2 |b3 ) ist AB =  b2 − a2 .
b3 − a3
1
eigentlich: eine Einheit
1.2. VEKTOREN
9


a
−→  1 
a2
Definition 1.3 Der Vektor OA =
heisst Ortsvektor zum Punkt A. Er hat einen Repräa3
sentanten, der vom Ursprung nach A zeigt.
−−
→
−−
→
Beachte, dass AB und BA entgegengesetzte Vorzeichen haben. Wir sind versucht zu schrei−−
→
−−
→
ben AB = −BA. Mit Vektoren lässt sich anscheinend rechnen. Ein weiteres Beispiel:
−
−
→
−−→
Aufgabe 1.9 Berechne für die Punkte aus Aufgabe 1.8 die Koordinaten von ~a = AB, ~b = BC
−→
und ~c = AC. Bestätige den auf die Definition folgenden Satz.
Definition 1.4 Wir definieren ~a + ~b durch die Addition der Koordinaten.
−−
→ −−→ −→
Satz 1.2 Es gilt AB + BC = AC
Mit Vektoren lässt sich rechnen. Schön. Wir brauchen Rechenregeln.
1.2.2 Rechenregeln

 

1
2



2
Betrachte die Vektoren
und
4  im Koordinatensystem. Sie zeigen in die gleiche
0
0
Richtung, wobei der eine doppelt so lang wie der andere ist.




a1
ra1
Definition 1.5 Das Produkt des Vektors ~a =  a2  mit r ∈ R lautet r~a =  ra2 . Der
a3
ra3
Vektor r~a ist r Mal so lang wie ~a und zeigt für r > 0 in die gleiche Richtung wie ~a und für r < 0 in
die entgegengesetzte Richtung.
1
~
a
~ −a
)
1
~
2a
r ~
−2a
r
)
1
~
r 3a
r ~
r −3a
r
)
KAPITEL 1. VEKTORALGEBRA
10
Definition 1.6 Der Kehrvektor von ~a ist gleich lang wie ~a, schaut aber in die entgegengesetzte
Richtung. Wir bezeichnen ihn mit -~a.
−−
→
−−
→
Beispiel 1.2 BA ist der Kehrvektor zu AB.
2
~a
1
~ −a
)





3
6
−6
1
Beispiel 1.3 Für ~a =  −4  gilt −~a =  4  und ~a =  −2 .
2
2.5
5
−5

2 Definition 1.7 zwei Vektoren heissen kollinear, wenn es eine Zahl r 6= 0 gibt, so dass r~a = ~b.
Wir kommen nun zur Addition zweier Vektoren. Sie lässt sich veranschaulichen durch das
Hintereinanderausführen zweier Verschiebungen.
Vektoren werden also graphisch folgendermassen addiert:
~b ~a
~b -
~a
~a
~b
-
~a
1
~b ~b
~a+~b
~a
In Koordinaten bedeutet dies:




a1
b1
Satz 1.3 Gegeben sind die Vektoren ~a= a2  und ~b= b2 . Die Summe ~a+~b beträgt:
a3
b3


a1 + b1
~a + ~b =  a2 + b2 
a3 + b3
Aufgabe 1.10 [DA] (Jetzt geht es los mit DIE Aufgabe.) Gegeben sind die Punkte
A(0| − 9| − 4), B(6| − 4| − 5), C(5|1| − 4) und E(−4| − 8|3). Spanne mit Hilfe der Vektoren
→ −−→
−−
→ −
−→
−
→
→
a = AB, b = BC und −
c = AE einen Spat auf. (Def. Seite 4)
1.2. VEKTOREN
11
Bestimme die anderen vier Spatpunkte sowohl rechnerisch als auch zeichnerisch.
−−→
−−→
−→
Tipp: Der Vektor OD ergibt sich zum Beispiel, wenn der Vektor BC an den Vektor OA
−−→
−→ −−→
gehängt wird. Also OD = OA + BC. (Veranschauliche Dir das im Modell.) Erinnerung
−−→ −−→ −−→
BC = OC − OB
−−
→ −→ −−→
−−→
Aufgabe 1.11 [DA] Wie lauten die Vektoren AB, AG, BH und DG?
Aufgabe 1.12 [DA] Bestimme Mittelpunkte der Kanten und der Seitenflächen (die Schnittpunkte der Seitendiagonalen). (Hier kommt die anfangs erwähnte Regelung zum Tragen: Es
müssen insgesamt nur die Koordinaten von vier Punkten berechnet werden.)
Löse zuerst die Aufgabe und veranschauliche Dir durch Nachrechnen in Koordinaten den
folgenden Satz:
Satz 1.4 Gegeben sind die
 Punkte A(a
 1 |a2 |a3 ) und B(b1 |b2 |b3 ). Die Koordinaten des Mittelpunktes
a1 + b1
1
der Strecke AB sind ·  a2 + b2 
2
a3 + b3
Und noch einige „normale“ Aufgaben zur Vektoralgebra.
Aufgabe 1.13 Stelle die folgenden Vektorgleichungen nach ~a um.
a) 3~a − 2~b + ~c = 12 ~a + 4~b − 3~c
b) 12 (2~a + ~c) − 43 3~b − ~a = 41 4~b + ~c + ~a
c) 2 ~a − ~b − 3 2~b − 5~c = 12 (~a − 2~c)
Aufgabe 1.14 Auch
in Ordnung: Gegeben sind die
in der
Ebene
sind unsere
Rechenregeln
2
−2
−4
Vektoren ~a =
, ~b =
und ~c =
.
2
−6
−8
a) Bestimme zeichnerisch den Vektor d~ = 3~a + 2~b − ~c.
b) Bestimme rechnerisch den Vektor d~ = 3~a + 2~b − ~c.
Aufgabe 1.15 Prüfe, ob die Vektoren kollinear sind








4
−12
9
−2.25
a) ~a =  −1  und ~b =  3  b) ~a =  −4  und ~b =  1 
3
9
−6
1.5
Aufgabe 1.16 Bestimme p und q so, dass die Vektoren kollinear sind.



 



−3
p
x
−2
a) ~a =  1  und ~b =  −4  b) ~a =  7  und ~b =  q 
8
q
5
8
Aufgabe 1.17 Liegt der Punkt C auf der Geraden durch die Punkte A und B?
a) A(−2|5| − 4), B(10| − 1|0) und C(−8|8|6)
b) A(6| − 3|4), B(2|7| − 5) und C(−4|22| − 18)
Aufgabe 1.18 Gegeben sind die Punkte (2| − 3), (8|1) und (4|5). Finde einen vierten Punkt,
so dass die vier Punkte ein Parallelogramm geben. Zeichne die Lösung und finde die beiden
weiteren Lösungen der Aufgabe.
KAPITEL 1. VEKTORALGEBRA
12
1.2.3 Die Länge eines Vektors
Ein Vektor entspricht einer Verschiebung. Eine Verschiebung wird gekennzeichnet durch
Richtung und Länge. Wichtig ist also die Frage nach der Länge eines Vektors.


a1
Um die Länge des Vektors ~a =  a2  zu bestimmen wählen wir einen Pfeil, der im Ura3
sprung O ansetzt. Er deutet dann zu einem Punkt P . Wir brauchen also den Abstand des
Punktes P vom Koordinatenursprung. Dazu zeichnen wir wieder einen Quader (mit den
Seitenlängen a1 bis a3 .
Zu berechnen ist also die Länge D des Pfeils. Dazu berechnen wir zunächst für die Länge der Diagonalen d der
Grundfläche: d2 = a1 2 + a2 2 . Bei der Ecke rechts unten hinten ergibt sich wieder ein rechtwinkliges Dreieck mit den
Kathetenlängen d und a3 und der Hypotenuse D. Es ergibt
sich D 2 = d2 + a3 2 = a1 2 + a2 2 + a3 2 . Das Ziehen der Wurzel
gibt die Länge des Vektors.
P
a3
D
O
d
a1
a2
Definition 1.8 Die Länge des Vektors ~a wird mit |~a| oder auch einfach mit a bezeichnet.


a1
√
Satz 1.5 Für die Länge von ~a =  a2  gilt a = |~a| = a1 2 + a2 2 + a3 2 .
a3


b1 − a1
−
−→
Aufgabe 1.19 [DA] Bestimme die Längen der Kanten. Erinnerung:AB =  b2 − a2 .
b3 − a3


4
Beispiel 1.4 Finde einen Vektor, der parallel zu ~a =  3  ist und die Länge 4 hat:
0
√
Dazu berechnen wir zunächst die Länge von ~a, also a = 42 + 32 + 02 = 5. Wir multiplizieren also ~a mit 15 und erhalten einen Vektor der Länge 1, den wir dann mit 4 multiplizieren,
oder wir multiplizieren gleich mit 45 .

 
 



4
16/5
3.2
−3.2
4
4
~a = ·  3  =  12/5  =  2.4  Eine weitere Lösung ist übrigens  −2.4  .
5
5
0
0
0
0
2


12
Aufgabe 1.20 Wie lang ist der Vektor ~a =  3 ? Welche Komponenten hat ein Vektor
4
von gleicher Richtung und der Länge 6.5?
1.2. VEKTOREN
13


−6
Aufgabe 1.21 Wie lang ist der Vektor ~b =  3 ? Welche Komponenten hat ein Vektor
6
von entgegengesetzter Richtung und der Länge 31.5?
Aufgabe 1.22 Berechne den Umfang des Dreiecks ABC.
a)
A(2| − 3), B(8|1) und C(4|5)
b)
A(6| − 3|4), B(2|9| − 5) und C(−4|22| − 18)
Beispiel 1.5 Bestimme den Punkt auf der x-Achse, der von A(−2|1) und B(4|5) gleich weit
entfernt ist.
Eingezeichnet ist ein Punkt Q, der noch nicht unbedingt die
Bedingung erfüllt. Der Punkt
die Koordinaten P (x|0).
−→Q hat
p
Es gilt also zum Beispiel AP = (x + 2)2 + 12 . Gleichsetzen mit der anderen Entfernung ergibt:
p
p
(x + 2)2 + 12 =
(x − 4)2 + 52
y
B
A
(x + 2)2 + 12 = (x − 4)2 + 52
x2 + 4x + 5 = x2 − 8x + 41
12x = 36
Q
x
x = 3
Der gesuchte Punkt ist also P (3|0)
2
Aufgabe 1.23 Der Punkt P auf der y-Achse ist von A(7|0|4) und B(−3|1| − 7) gleich weit
entfernt.
Aufgabe 1.24 Der Punkt P auf der z-Achse ist von A(5|2| − 3) und B(−3|6|5) gleich weit
entfernt.
Aufgabe 1.25 Welcher Punkt auf der x-Achse ist von A(0| − 2|4) doppelt so weit entfernt
wie von B(6|2| − 6)?
1.2.4 Taschenrechner
Taschenrechner wie zum Beispiel der TI89 beherrschen die Vektorrechnung. Beispiel: Eingabe von [3;2;4] liefert den Vektor (bitte selber durchführen) . . ..
Vektorrechnungen können dann zum Beispiel erfolgen mit 4·[3;2;4]=. . .
oder [3;2;4]+[-2;0;3]=. . .
Oft ist es sinnvoll, Vektoren zu speichern, da sie oft wieder vorkommen und die Eingabe
recht mühsam ist. Das erfolgt wie immer mit der sto -Taste, also zum Beispiel „[3;2;4] sto aa“
und „[-2;0;3] sto bb“
und dann die Rechnung aa+bb
14
KAPITEL 1. VEKTORALGEBRA
−
−→ −−→
−→
Aufgabe 1.26 [DA] Speichere die Vektoren AB, BC und AE als daa, dab und dac ab. (das
hilft später sehr bei der Arbeit).
Im catalog des TI89 findet sich das Kommando norm . Die Norm ist ein anderes Wort für die
Länge. Es ergibt sich also für die Länge von [3;2;4] die Rechnung norm([3;2;4])=norm(aa)=. . .
Aufgabe 1.27 [DA] Berechne mit dem Taschenrechner die Längen der Kanten. (daa, dab
und dac).
Melde Dich bitte jetzt zum Kapiteltest an!
Kapitel 2
Produkte
2.1 Winkel – das Skalarprodukt
Nachdem die Länge von Vektoren nun behandelt ist, fehlt noch die Richtung. In diesem
Abschnitt wird gezeigt, wie der Winkel zwischen Vektoren bestimmt werden kann. (die
Richtung ergibt sich dann durch den Winkel zur x-,y- und z-Achse.)
Wir behandeln das Problem zunächst in der Ebene, im Raume kommt einfach eine weitere
Komponente hinzu.
b1
a1
~
. Dazu betrachund b =
Gefragt ist der Winkel zwischen ~a =
γ
b
a2
~a
2
~b
b1 − a1
~
. Für die Beträge gilt
ten wir den Verbindungsvektor ~c = b − ~a =
b2 − a2
~c
der Cosinussatz.
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
(b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 = a1 2 + a2 2 + b1 2 + b2 2 − 2ab cos γ
b1 2 − 2a1 b1 + a1 2 + b2 2 − 2a2 b2 + a2 2 = a1 2 + a2 2 + b1 2 + b2 2 − 2ab cos γ
−2a1 b1 − 2a2 b2 = −2ab cos γ
a1 b1 + a2 b2 = ab cos γ
Bei der Berechnung des Winkels aus dem Cosinus spielt die linke Seite eine wichtige Rolle.
Sie bekommt einen extra Namen. Zum Ausgleich erfolgt die Definition in drei Dimensionen.




a1
b1
Definition 2.1 Das Skalarprodukt der Vektoren ~a =  a2  und ~b =  b2  lautet
a3
b3
~a • ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 =
n
X
ak bk
k=1
Die Definition mit Summenzeichen gilt für jede Dimension n. Bei uns kommt n = 2 und
n = 3 in Frage.
15
KAPITEL 2. PRODUKTE
16
Bemerkung: Skalar bedeutet Zahl.
Damit haben wir:
Satz 2.1
~a • ~b = ab cos γ und
!
a • ~b
−1 ~
γ = cos
ab
(2.1)
(2.2)
Die Gleichung 2.1 bedeutet, dass wir zwei Beschreibungen für das Skalarprodukt haben,
einmal über die Summe a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 und zum anderen mit dem Winkel. Durch geschicktes Hin- und Herwechseln zwischen diesen Betrachtungsweisen werden sich viele
Probleme erschliessen.
Beachte, dass der Satz 2.1 sehr tiefliegend ist: in der Herleitung haben wir uns auf den (tiefliegenden) Cosinussatz bezogen für dessen Beweis wir den (zentralen) Satz von Pythagoras
benötigten. Der Satz ist nicht unmittelbar geometrisch einleuchtend, er muss also gelernt
werden und kann dann immer wieder eingesetzt werden.
Aufgabe 2.1 [DA] Bestimme die Winkel zwischen den Kanten.
−→
−→
Aufgabe 2.2 [DA] Bestimme die Winkel, die die Kanten mit den Diagonalen AG und AF
aufspannen.
Bemerkung: Auch das Skalarprodukt lässt sich mit dem TI89 berechnen. Der, im catalog zu
findende Befehl lautet, dotP, also zum Beispiel dotP(aa,bb).
Damit lässt sich auch schnell eine Funktion definieren, die aus zwei Vektoren den eingeschlossenen Winkel berechnet. Diese Funktion hat 6 Unbekannte, nämlich 2 Mal drei Komponenten.
Aufgabe 2.3 Definiere die Funktion vektwink folgendermassen:
cos−1 (dotP([a1;a2;a3],[b1;b2;b3])/(norm([a1;a2;a3])*norm([b1;b2;b3])))
Sto vektwink(a1,a2,a3,b1,b2,b3)
Überlege Dir, was die Funktion macht und wie die Vektoren einzugeben sind. Löse die letzten beiden Aufgaben auch mit der Funktion vektwink.
Das Eingeben dieser Formel scheint zunächst einmal sehr kompliziert, auf die Dauer erleichtert sie die Arbeit aber sehr.
Jetzt wird der Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Winkel benötigt.
Aufgabe 2.4 Berechne den Wert des Skalarprodukts ~a • ~b wenn gilt
√
a) a = 12, b = 7, ∠( ~a, ~b) = 60◦
b) a = 2, b = 12, ∠( ~a, ~b) = 45◦
√
c) a = 2, b = 4322, ∠( ~a, ~b) = 90◦
2.1. SKALARPRODUKT
17
Satz 2.2 Es gilt für zwei Vektoren, deren Länge nicht Null ist:
∠( ~a, ~b) = 90◦ ⇐⇒ ~a • ~b = 0
Mit dem Skalarprodukt lässt sich also prüfen, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander sind.
Beweis: cos 90◦ = 0.
2
Satz 2.3 Das Skalarprodukt hat Eigenschaften, die das Produkt reeller Zahlen auch hat:
1. ~a • ~b = ~b • ~a Kommutativgesetz
2. k(~a • ~b) = (k~a) • ~b = ~a • (k~b)
3. ~a • (~b + ~c) = ~a • ~b + ~a • ~c Distributivgesetz
4. ~a • ~a = a2
Beweis: Nachrechnen in Koordinaten. Wir führen dies nur für die letzte Eigenschaft durch:
~a • ~a = a21 + a22 + a23
Dies ist gerade das Quadrat des Betrags des Vektors.
2
Aufgabe 2.5 Berechne ∠( ~a, ~b), wenn gilt
a)
c)
~a • ~b = 10, a = 5, b = 4
~a • ~b = 0, a = 42, b = 345.67
b)
~a • ~b = 36, a = 12, b = 8
Aufgabe 2.6 Für welchen Zwischenwinkel von ~a und ~b gilt
a)
~a • ~b = ab
b)
~a • ~b = −ab
c)
~a • ~b = −0.5ab
Aufgabe 2.7 Berechne ∠( ~a, ~b), wenn gilt
a)
c)
a = 12 b, b 6= 0 und ~a • (~a − ~b) = 0
a = 3b 6= 0 und (~a − ~b) • (~a + 4~b) = 0
b)
d)
a = 6, b = 5 und ~a • (~a − 2~b) = 6
b = 2a und ~b • (3~a + ~b) = 0
Aufgabe 2.8 Berechne die Winkel des Dreiecks ABC
a)
A(2| − 3), B(8|1) und C(4|5)
b)
A(6| − 3|4), B(2|9| − 5) und C(−4|22| − 18)


 
1
1
Aufgabe 2.9 Bestimme z so, dass die Vektoren ~a =  0  und ~b =  0  einen Winkel
z
1
von 60 Grad einschliessen.
KAPITEL 2. PRODUKTE
18
2.2 Senkrechte – das Vektorprodukt
Das Skalarprodukt zeigt uns, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander sind. Oft werden wir
allerdings das Problem haben, dass wir zu gegebenen Vektoren einen dazu Senkrechten
Vektor finden müssen. In der Ebene lässt sich dieses Problem ganz einfach lösen.
Satz 2.4 Auf ~a =
a1
a2
steht ~n =
a2
−a1
senkrecht.
Beweis: Rechne in Koordinaten nach
2
Natürlich stehen auch alle Vielfachen von ~n auf ~a senkrecht.
Im Raume bilden wir für dieses Problem das Vektorprodukt.




a1
b1
Definition 2.2 Das Vektorprodukt von ~a =  a2  und ~b =  b2  lautet
a3
b3


a2 b3 − a3 b2
~a × ~b =  a3 b1 − a1 b3 
a1 b2 − a2 b1
Satz 2.5 Das Vektorprodukt hat die folgenden Eigenschaften
1. ~a × ~b steht senkrecht auf ~a und ~b.
2. ~a × ~b = −~b × ~a. (Das Kommutativgesetz gilt also nicht.)
3. ~a × ~b = ab sin ∠ ~a, ~b .
Beweis: Die ersten beiden Punkte erschliessen sich einfach durch Nachrechnen in Koordinaten (und beim ersten Verwendung des Skalarproduktes), der letzte Punkt ist etwas komplizierter und wird hier nicht bewiesen.
2.
Mit Hilfe des Vektorproduktes können wir also im Raume zu zwei gegebenen Vektoren
einen senkrechten finden und prüfen, ob zwei Vektoren parallel sind. (dann ist das Vektorprodukt Null wegen der zweiten Eigenschaft.)
Oft wird das Vektorprodukt auch Kreuzprodukt genannt. Mit dem Taschenrechner lässt sich
das Vektorprodukt komfortabel mit crossP bestimmen.
Aufgabe 2.10 [DA] Bestimme zu jeder Seitenfläche einen Vektor, der senkrecht auf der Seitenfläche steht.
Weiterhin gilt der folgende Satz (ohne Beweis)
2.2. VEKTORPRODUKT
Satz 2.6 Das Volumen eines Spats mit den Kanten ~a, ~b und ~c ist
~a × ~b • ~c
19
Die Betragsstriche sind nötig, das die Rechnung auch ein negatives Ergebnis geben kann.
Sollte dies passieren, wird das Minuszeichen einfach weggelassen.
Aufgabe 2.11 [DA] Bestimme das Volumen des Spats.
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20
KAPITEL 2. PRODUKTE
Kapitel 3
Geraden
Im letzten Kapitel habt ihr gelernt, wie sich Vektoren in der Geometrie anwenden lassen. Ihr
könnt Punkte errechnen und vor allem Längen und Winkel bestimmen.
In diesem Kapitel wird dieses Wissen auf Geraden angewendet. Bisher kennt ihr die Geradengleichung
y = mx + q.
Dabei legt m die Steigung der Geraden fest und q sagt aus, wo die Gerade die y − Achse
schneidet. Alle Punkte (x|y), die die Gleichung erfüllen, liegen auf der Geraden. Diese Form
der Gleichung heisst „Koordinatenform“.
Ihr werdet nun eine weitere Beschreibung kennenlernen: Gegeben wird ein (Stütz-)Punkt
und ein Vektor, der eine Richtung anzeigt. Auf der Geraden liegen dann alle Punkte, die vom
Stützpunkt aus in der angegebenen Richtung liegen. Diese Beschreibung hat den Vorteil,
dass sie auch im Raume anwendbar ist.
Die Angaben „ Punkt“ und „Richtung“ werden in einer Gleichung, der „Parameterform“
zusammengefasst. Diese Gleichung erlaubt es dann, Schnittpunkte von Geraden zu berechnen und Schnittwinkel zu bestimmen. Dieser Abschnitt ist der Kern des Kapitels „Geraden“.
Schliesslich wird noch auf den Zusammenhang zwischen Koordinatenform und Parameterform der Geradengleichung eingegangen. Dabei kommen Vektoren, die senkrecht auf der
Geraden stehen, ins Spiel.
3.1 Lineare Funktionen und Geraden – die Koordinatenform
Im Kapitel Lineare Funktionen in der Algebra habt ihr gelernt, dass die Graphen linearer
Funktionen Geraden sind. Hier ist weniger der Funktionsaspekt als vielmehr die Beschreibung der ganzen Geraden wichtig.
21
KAPITEL 3. GERADEN
22
Eine Gerade lässt sich darstellen in der Form y = mx + q.
Dabei ist m die Steigung und q der y-Achsenabschnitt, also
der Schnittpunkt mit der y-Achse.
Die Steigung errechnet sich mit einem Steigungsdreieck zu
y2 − y1
∆y
=
. Dabei sind (x1 |y1 ) und (x2 |y2 ) Punkm=
∆x
x2 − x1
te auf der Geraden. Wichtig ist, dass sich unabhängig von
der Wahl des Steigungsdreiecks die gleiche Steigung ergibt.
Der Steigungswinkel ist gegeben durch tan α = m. Verläuft
die Gerade von links oben nach rechts unten, so ist m negativ.
y
(x2 |y2 )
q
(x1 |y1 )
∆y
∆x
x
Beispiel 3.1 Die durch A(2|1) und B(4|5) verlaufende Gerade lautet y = 2x − 3.
2
Aufgabe 3.1 Bestimme die Geradengleichung. Die Gerade geht
a) durch A(−2|1) und B(5|3)
b) durch A(4|7) und hat die Steigung m = 3
c) durch A(5| − 2) und schneidet die y-Achse bei y = 4
d) durch A(8| − 5) und ist parallel zur x-Achse
e) durch A(−3|2) und B(−3|5)
Die Beschreibung der letzten Gerade gelingt nicht auf Anhieb. Die Steigung ist unendlich.
Es handelt sich nicht um eine Funktion. Es bietet sich zur Beschreibung eine Analogie zur
vorletzten Aufgabe an. Statt y = −5 erhalten wir x = −3.
Wir modifizieren nun etwas die Darstellung von Geraden, um auch Senkrechte beschreiben
zu können.
Definition 3.1 Die Darstellungen ax + by = c und ax + by − c = 0 heissen Koordinatenform
der Geradengleichung.
Beispiel 3.2 Aus der Funktionsgleichung y = 3x − 5 wird die Koordinatenform 3x − y − 5 =
0. Wahlweise können wir auch 3x − y = 5 schreiben.
2
Beispiel 3.3 Aus der Funktionsgleichung y = − 56 x + 4 wird die Koordinatenform − 56 x − y +
4 = 0. Durch Multiplikation mit -5 können wir sogar den Bruch wegbekommen: 6x + 5y −
20 = 0. Die Freunde der Zahl 42 könnten auch schreiben 42x + 35y − 140 = 0. Es gibt viele
Koordinatenformen.
3.2. PARAMETERFORM
23
2
Beispiel 3.4 y = −5 kann so bleiben oder auch als y + 5 = 0 geschrieben werden.
2
Beispiel 3.5 Eine Senkrechte kann nicht als Funktion aufgefasst werden, es gibt nur die
Koordinatenform, z. B. x + 3 = 0. Wir können jetzt also mehr als vorher.
2
Aufgabe 3.2 Sind die Geraden g : 3x − 4y + 5 = 0 und h : y = 34 x − 4 parallel?
Aufgabe 3.3 Liegen P (3|4) und Q(22|15) auf der Geraden, die durch A(−3|0) und die Steigung m = 32 bestimmt ist?
Aufgabe 3.4 Bestimme die Koordinatengleichung der Geraden, die durch P (4| − 5) geht
und parallel ist zur Geraden 5x − 2y + 4 = 0. (Tipp: Berechne die Steigung.)
3.2 Die Parameterform – Geraden und ihre Richtungsvekoren
Aufgabe 3.5 Gegeben ist die Gerade g : y = 21 x + 1.
a) Finde vier Punkte A, B, C und D, die auf der Geraden y = 21 x + 1 liegen. (Alle Punkte
(x|y), die die Gleichung erfüllen, liegen auf der Geraden.)
−−
→ −→ −−→ −−→ −−→
b) Bestimme AB, AC, AD, BC, BD.
c) Was fällt auf?
Auffallen sollte, dass alle Vektoren, die zwei Punkte der Geraden verbinden, kollinear sind.
Solche Vektoren, die ganz auf der Geraden verlaufen, nennen wir Richtungsvektoren der
Geraden.
Hier ist P ein Punkt auf der Geraden, ~u ein Richtungsvektor. Der
Vektor vom Koordinatenursprung
O nach P wird mit p~ bezeichnet.
Die 5 unteren Vektoren zeigen alle
auf Punkte auf der Geraden, sind
also Ortsvektoren zu Punkten auf
der Geraden. Alle diese Vektoren
sind von der Form p~ + t · ~u, wobei t
irgendeine reelle Zahl ist. (Sie kann
also auch 0 sein, dann ergibt sich p~)
p~ + 4~u
~u
p~ + 2~u
P
p~ + ~u
p~ − ~u
p~
O
Definition 3.2 Die Parameterform einer Geraden lautet g : ~x = p~ + t · ~u.
Dabei bezeichnet g die Gerade, ~x einen Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden, ~p den ausgewählten Stützpunkt und ~u einen Richtungsvektor.
Weiter ist t ∈ R ein Parameter. Durchläuft er die reellen Zahlen, so ergeben sich nach und nach alle
Ortsvektoren der Geraden.
KAPITEL 3. GERADEN
24
Beispiel 3.6 Punkte auf der Geraden g : ~x =
B(1|2), C(4|6), D(7|10)und E(8.5|12)
1
2
+t
3
4
sind zum Beispiel A(−2| − 2),
2
Aufgabe 3.6 Finde jeweils den Wert für t, der zu den Punkten A bis E führt.
Bemerkungen
1. Die Parameterform beschreibt auch Geraden im Raume. Die Koordinatenform beschreibt Geraden nur in der Ebene.
2. Sind p~ und ~
q Ortsvekoren zu Punkten auf der Geraden, so
ist ~u = p~ − ~
q ein Richtungsvektor.
~q
p~
~u
3. Es spielt keine Rolle, welcher Ortsvektor zur Geraden als Stützvektor genommen wird
oder wie lang der Richtungsvektor ist.
4. Eine Parametergleichung ist eine Vektorgleichung. Sie besteht aus mehreren Gleichungen

 
  
1
x1
3
 x1 = 3 + 1t
x2 = 4 + 2t
~x =  x2  =  4  + t  2  −→

6
x3 = 5 + 6t
5
x3

Aufgabe 3.7 Finde jeweils drei Punkte auf den Geraden und zeichne die beiden Geraden.
g : ~x =
3
1
+t
1
2
und h : ~x =
4
2
+t
2
−1
(Verschiedene Punkte ergeben sich durch verschiedene Wahl des Parameters.)
Aufgabe 3.8 Gib zwei Parameterdarstellungen der Geraden durch die beiden Punkte an.
A(1|2) und B(7| − 4)
Aufgabe 3.9 [DA] Bestimme die Gleichungen der Geraden, auf denen die Raumdiagonalen
liegen. (Zwei reichen.)
Aufgabe 3.10 [DA] Bestimme die Gleichungen der Geraden, auf denen die Seitendiagonalen liegen. (Zwei reichen).
Aufgabe 3.11 Liegen die Punkte auf den Geraden?
2
7
a) A(2|5) und g : ~x =
+t
. (Setze die Koordinaten von A in ~x ein. Das gibt
−1
3
zwei Gleichungen in einer Unbekannten. Haben beide Gleichungen die gleiche Lösung?)
3.3. DIE GERADE IM RAUM
25




3
5
b) A(−7| − 5|8) und g : ~x =  −1  + t  2 .
2
−3
 
 
2
1



c) A(1|0|2), g : ~x =
0
+ t 3 .
1
1
Aufgabe 3.12 Finde den Schnittpunkt der beiden Geraden.
g : ~x =
3
4
+t
1
2
und h : ~x =
4
6
+t
2
1
(Setze die Gleichungen gleich. Vorsicht, beim Schnittpunkt müssen die beiden Parameterwerte nicht gleich sein1 . Ersetze also in der zweiten Gleichung das t durch ein s. Es gibt
dann zwei Gleichungen in zwei Unbekannten.)
Aufgabe 3.13 Stellen die beiden Parametergleichungen die gleiche Gerade dar?
~x =
3
4
+t
1
2
und ~x =
4
6
+t
2
4
(Zeichne notfalls die Geraden, dann kennst Du das Ergebnis und kannst Dir überlegen, wie
es sich ohne Zeichnung überlegen lässt.)
Aufgabe 3.14 Stellen die beiden Parametergleichungen die gleiche Gerade dar?
~x =
3
4
+t
1
2
und ~x =
5
6
+t
2
4
3.3 Die Gerade im Raum
In der letzten Aufgabe haben wir gesehen, dass Geraden in der Ebene gleich oder parallel
sein können oder sich schneiden können. Im Raume kommt noch die Möglichkeit windschiefer Geraden hinzu.
Definition 3.3 Windschief heissen Geraden, wenn
Aufgabe 3.15 Zeige im Modell gleiche, parallele und schneidende Geraden und überlege
Dir, was der Begriff windschief bedeuten könnte. Fülle die Definition aus.
Aufgabe 3.16 Bestimme die gegenseitige Lage der folgenden Geraden. (Beachte: ersetze ein
t durch s, sonst lassen sich die Aufgaben im allgemeinen nicht lösen.)
1
Eine häufige Fehlerquelle in Klausuren
KAPITEL 3. GERADEN
26
a) g :
b) g :
c) g :
d) g :
e) g :



 



−2
−0.6
1
3
~x =  1  + t  −1  und h : ~x =  6  + t  5 .
3
0.2
2
−1

 

 
 
−2
4
3
0







und h : ~x =
−2
+ t 3 .
~x =
+t 2
0
1
3
5
1




 


7
0
5
0
~x =  −3  + t  6  und h : ~x =  2  + t  −3 .
0
−1
3
0.6






 
−3
−1
4
1
~x =  6  + t  2  und h : ~x =  0  + t  0 .
0
0
1
−3


 




−4
1
5
4
~x =  −5  + t  −4  und h : ~x =  7  + t  5 .
0
2
0
0
3.4 Schnittwinkel
Aus der Zeichnung geht hervor, dass sich der Schnittwinkel zweier Geraden aus dem Schnittwinkel der Richtungsvektoren ergibt. Dabei kommen zwei Winkel in Frage. Als Schnittwinkel nehmen wir den spitzen Winkel, in
der Zeichnung ist dies α, obwohl β der Winkel zwischen
den Richtungsvektoren ist. Es gilt α = 180◦ − β.
g
h
α
~u
β
~v
Satz 3.1 Der Winkel zwischen zwei Geraden mit Richtungsvektoren ~u und ~v ergibt sich aus der
Formel
~u • ~v
−1
γ = cos
. Von den beiden Kandidaten γ und 180◦ −γ ist der Winkel derjenige, der kleiner
uv
als 90◦ ist.
Diese Art, den Winkel festzustellen, gilt auch für windschiefe Geraden.
Aufgabe 3.17 Bestimme die Winkel zwischen den Geraden in Aufgabe 3.16
Aufgabe 3.18 [DA] Bestimme die Schnittwinkel der Seitendiagonalen.
3.5 Vergleich von Parameterform und Koordinatenform – Normalenvektoren
Da die Koordinatenform der Geradengleichung nur in der Ebene zu bilden ist, beschränken
wir uns hier auf die Ebene.
3.5. NORMALENVEKTOREN
27
Definition 3.4 Ein Normalenvektor ~n zum Vektor ~u ist ein Vektor, der auf ~u senkrecht steht. Ein
Normalenvektor zu einer Geraden ist zum Richtungsvektor senkrecht.
Bemerkung: Es gilt dann: ~n • ~u = 0.
Beispiel 3.7 Ein Normalenvektor zu g : ~x =
3
4
+t
1
2
ist ~n =
2
−1
2
Wir multiplizieren nun diese Gerade mit dem Normalenvektor. Allgemein gibt das die Gleichung ~n • ~x =
vvn (~p + t~u)
Die rechte Seite ergibt bei uns:
2
3
1
2
3
2
1
•
+t
=
•
+t·
•
= 6−4+t·0 = 2
−1
4
2
−1
4
−1
2
Da es sich um einen Normalenvektor handelt, gab das zweite Produkt Null, also fällt das t
weg.
Nun wird die linke Seite berechnet:
2
2
x
• ~x =
•
= 2x − y
−1
−1
y
Durch Gleichsetzen ergibt sich
2x − y = 2
also die Koordinatenform der Geradengleichung.
Satz 3.2 Durch Multiplikation mit einem Normalenvektor ergibt sich aus der Parameterform die
Koordinatenform.
a
In der Koordinatenform ax + by = c ist ~n =
ein Normalenvektor der Geraden.
b
Beispiel 3.8 Hätten wir im letzten Beispiel als Normalenvektor ~n2 =
so hätte sich die Parameterform −4x + 2y = −4 ergeben.
−4
2
genommen,
2
Aufgabe 3.19 Finde Koordinatenformen zu den Geraden aus Aufgabe 3.12, 3.13 und 3.14.
Aufgabe 3.20 Finde Parameterformen zu den Geraden
a)
2x+4y=7
b)
3x-4y=5
c)
3x-4=0
(Tipp: Aus dem letzten Satz kennen wir den Normalenvektor, der Richtungsvektor ist senkrecht dazu. Wir brauchen dann noch einen Punkt auf der Geraden, dazu reicht es,einen
Punkt (x|y) zu finden, der die Geradengleichung erfüllt.)
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28
KAPITEL 3. GERADEN
Kapitel 4
Ebenen
Eine Ebene ist etwas Zweidimensionales. Dies ist die Idee, die dazu führt, eine Parameterform einer Ebenengleichung mit zwei Richtungsvektoren zu definieren.
Definition 4.1 Die Parameterform einer Ebene lautet E : ~x = ~p + t · ~u + s~v .
Dabei bezeichnet E die Ebene, ~x einen Ortsvektor zu einem Punkt auf der Ebene, p~ den ausgewählten
Stützpunkt und ~u und ~v Richtungsvektoren.
Weiter sind s und t ∈ R Parameter. Durchlaufen sie die reellen Zahlen, so ergeben sich nach und
nach alle Ortsvektoren der Geraden.
E
~u
r~u + s~v
~v
p~
O
 

 
1
1
3
Beispiel 4.1 Betrachtet wird die Ebene E : ~x =  1  + t  1  + s  2 . Es werden
3
0
2
die Punkte auf der Ebene für verschiedene Parameterwerte ausgerechnet.

t
s
~x
-2
1
 
2
 1 
5
-1
2
 
4
 4 
8
0
3


6
 7 
11
1
-1


3
 0 
−1
2
-2


3
 −1 
4
2
29
KAPITEL 4. EBENEN
30
Aufgabe 4.1 Liegt der Punkt auf der Ebene? (Tipp: es gibt jeweils 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Löse.)
 
 

1
1
1
a) A(4|5|6) und E : ~x =  2  + t  1  + s  1 
2
1
1
 
 
 
1
1
2





b) A(1|5|3) und E : ~x =
2
+t 3
+s
0 
2
0
4

Um aus drei gegebenen Punkten eine Parameterform zu finden, müssen zwei verschiedene Verbindungsvektoren der Punkte gebildet werden. Das gibt ~u und~v. Ein Ortsvektor zu
einem beliebigen der drei Punkte wird dann der Stützvektor.
Aufgabe 4.2 [DA] Bestimme die Gleichungen der Ebenen, auf denen die Seitenflächen liegen. ( Es reicht bei diesem und den folgenden Teilen von [DA], wenn nur die Ebenen, die A
enthalten, betrachtet werden.)
Aufgabe 4.3 [DA] Bestimme die Gleichungen der Ebene durch A, in der zwei Raumdiagonale liegen.

 

0
1
Aufgabe 4.4 Der Punkt P (4| − 1| − 1) und die Gerade g : ~x =  −6  + t  5  liegen in
2
3
der Ebene. Bestimme die Parameterform.
Aufgabe 4.5 Die Punkte A(6|0|1) und B(−1|−2|2) liegen in der Ebene. Dazu ist die z-Achse
parallel zur Ebene. Bestimme die Parameterform.
4.1 Schnittprobleme
4.1.1 Schnitt von Gerade und Ebene
Eine Geradengleichung enthält einen Parameter, eine Ebenengleichung deren zwei. Wird
beides gleichgesetzt, so ergibt sich eine Vektorgleichung in drei Unbekannten1 Diese Vektorgleichung entspricht drei normalen Gleichungen.
Drei Gleichungen in drei Unbekannten, das lässt sich lösen.
Aufgabe 4.6 Bestimme den Schnittpunkt von Gerade und Ebene.



 


 
2
0
1
0
2
a) g : ~x =  11  + t  7  und E : ~x =  1  + t  0  + s  −1 
4
8
7
−3
−2

1
Hier werden die Parameter zu den Lösungsvariablen.
4.1. SCHNITTPROBLEME
31







 

1
3
−1
−1
1
b) g : ~x =  −2  + t  −4  und E : ~x =  −3  + t  1  + s  2 
−3
7
0
4
1




 
 
 
−3
7
1
1
3
c) g : ~x =  5  + t  8  und E : ~x =  1  + t  2  + s  4 
8
−2
0
1
0
Die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen sind die sogenannten Spurpunkte
Aufgabe 4.7 [DA] Bestimme die Spurpunkte der Ebenen aus Aufgabe 4.2 und 4.3 (Für eine
Parametergleichung musst Du Dir einen Stützpunkt und einen Richtungsvektor suchen.
Das ist für die Koordinatenachsen eigentlich einfach.)
Zeichne die Spurpunkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Das entstehende
Dreieck veranschaulicht die Lage der Ebene im Raum.
Aufgabe 4.8 [DA] Bestimme die Durchstosspunkte der Raumdiagonalen und Seitendiagonalen durch die Koordinatenebenen.
4.1.2 Schnitt zweier Ebenen
Werden zwei Ebenen geschnitten, so ergibt sich eine Gerade. (Veranschauliche Dir das mit
zwei Heften oder ähnlichem.)
Mit den vier Parametern haben wir beim Gleichsetzen zweier Parametergleichungen 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Beim Lösen bleibt ein Parameter übrig. Das wird der Parameter der Geradengleichung.
Beispiel 4.2 Wir schneiden die Ebenen

 


 


 

−1
1
−2
1
1
3











E : ~x =
5
+t 1
+s
1
und E : ~x =
3
+ t −2
+s
1 . Es
2
2
3
2
0
4
2
ergibt sich das Gleichungssystem
−1 + r − 2s = 1 + a + 3b
5 + r + s = 3 − 2a + b
2 + 2r + 3s = 2 + 4b
Wir lösen das System nach r, s und a auf mit dem TI89: solve(...,{r,s,a})
und erhalten r =
2
11b+2
5
und s =
−2(b+2)
15
und a =
−8(b+2)
.
15
in der zweiten Ebene benennen wir die Parameter in a und b um.
KAPITEL 4. EBENEN
32
Nun müssen wir uns erinnern, dass wir ja einen Parameter brauchten. Wir setzen für a in
die zweite Ebenengleichung ein3 .


 


1
3
1

 3  + −8(b + 2)  −2  + b  1  = 

15
0
4
2

37b
15
31b
15
−
+
1
15
77
15
4b + 2




Für diese Rechnung war der TI89 wieder hilfreich. Wir führen nun
zur besseren

 Übersicht
−1/15
37
b
lichkeit den Parameter t = 15
ein und erhalten die Gerade: g : ~x =  77/15  + t  31 
2
60
2
Aufgabe 4.9 Bestimme die Schnittgerade der Ebenen durch die folgenden Punkte:
E1 : A(1|2|3), B(2|4|0), C(1|2|4) und E2 : D(0| − 3|2), E(2|4|1), F (3|2|0).
Einfacher wird es, wenn Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen ermittelt werden müssen. Diese heissen Spurgeraden.
Aufgabe 4.10 [DA] Bestimme die Gleichungen der Schnittgeraden der Koordinatenebenen
mit der Grundebene (ABCD)
Aufgabe 4.11 [DA] Bestimme die Gleichung der Schnittgeraden der Seitenflächen.
4.2 Abstandsprobleme
4.2.1 Punkt und Ebene
Es soll der Abstand eines Punktes P von einer Ebene E berechnet werden. Dazu müssen
wir senkrecht vom Punkt zur Ebene laufen.
Um die Senkrechte zu finden, bilden wir das Vektorprodukt der Richtungsvektoren. Dies
gibt uns den Richtungsvektor einer Geraden durch P , senkrecht zu E.
Wir berechnen den Durchstosspunkt Q. Die Länge des Vektors QP ist unser gesuchter Punkt.
Schreibe zu den folgenden Aufgaben einen ausführlichen Lösungsweg mit Gedankengängen auf.
Aufgabe 4.12 [DA] Berechne den Abstand des Punktes F von der Grundebene ABC.
Aufgabe 4.13 [DA] Berechne den Abstand des Diagonalenschnittpunktes von ABCD zur
oberen Ebene EF G
Aufgabe 4.14 Die Punkte A(12|10|0), B(9|7|12) und C(−2|2|8) sind gegeben.
a) zeige, dass das Dreieck ABC rechtwinklig-gleichschenklig ist.
b) Berechne die Koordinaten von D so, dass ein Quadrat ABCD entsteht.
c) Welche Höhe hat die gerade quadratische Pyramide ABCDS mit dem Volumen V =
1944?
d) Berechne für diese Pyramide die Koordinaten der Spitze S (2 Lösungen).
3
Ebensogut hätten wir die erste wählen können, wäre aber mehr zu rechnen.
4.2. ABSTANDSPROBLEME
33
4.2.2 Gerade und Gerade
Aufgabe 4.15 Verstehe den folgenden Text, arbeite mit der Anschauung, mit Zeichnungen,
mit Diskussionen mit den NachbarInnen und allem.
Um den Abstand zweier windschiefer Geraden zu berechnen, müssen wir senkrecht von
einer Geraden zur anderen laufen. Dazu brauchen wir wieder den Normalenvektor der beiden Richtungsvektoren. ~n = ~u × ~v .
Gleichsetzen ergibt die Gleichung
p~ + r~u + s~n = ~
q + t~v
Diese lösen wir auf. Es ergibt sich eine Zahl für s. Die Länge von s~n ist unser gesuchter
Abstand.
Aufgabe 4.16 [DA] Berechne den Abstand der Geraden
a) a) (AB) und (EH).
b) b) (AB) und (F G).
c) c) (AB) und (BC).
d) d) (AB) und (EF ).
Aufgabe 4.17 [DA] Berechne den Abstand der Geraden AB von der x-Achse.
4.2.3 Punkt und Gerade
Aufgabe 4.18 [DA] Berechne den Abstand des Punktes B von der Geraden
a) (CE)
b) (F G).
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KAPITEL 4. EBENEN
34
Lösungen
A. 1.1:
A. 1.2:
A. 1.4: a) (5|2| − 1) b) (5| − 2|1) c) (−5| − 2| − 1) d) (−5| − 2|1) e) (−5|2| − 1) f) (1|4|5)
A. 1.5: a) auf der x-Achse b) in der y-z-Ebene c) Höhe 4 über y-Achse d) auf der Diagonalen
in der x − z−Ebene
A. 1.7:






5
−9
−4
A. 1.9: ~a =  −5 , ~b =  3 , ~c =  −2 
−8
3
−5
Abbildung 1: Spat aus Aufgabenteil «DA»
Siehe dazu Abbildung 1 auf Seite 34.
A(0| − 9| − 4)
B(6| − 4| − 5) C(5|1| − 4) E(−4| − 8|3)
A. 1.10:
D(−1| − 4| − 3) F (2| − 3|2)
G(1|2|3)
H(−5| − 3|4)
A. 1.11:


6
−−
→
AB =  5 
−1


1
−→ 
AG =
11 
7


−11
−−→ 
BH =
1 
9

2
−−→  
DG =
6
6

4.2. ABSTANDSPROBLEME
35
A. 1.12:
MAB = (3| − 6.5| − 4.5)
MBC = (5.5| − 4.5| − 1.5)
MAD = (−0.5| − 6.5| − 3.5)
MCG = (−3| − 1.5| − 0.5)
MF G = (1.5| − 0.5|2.5)
MCD = (2| − 1.5| − 3.5)
MAE = (−2| − 8.5| − 0.5)
MDH = (−3| − 3.5|0.5)
MBF = (4| − 3.5| − 1.5)
MEF = (−1| − 5.5|2.5)
MGH = (−2| − 0.5|3.5)
MAC = MBD = (2.5| − 4| − 4)
MAF = MBE = (1| − 6| − 1)
MBG = MCF = (3.5| − 1| − 1)
MCH = MDG = (0| − 1|0)
MAH = MDE = (−2.5| − 6|0)
MEG = MF H = (−1.5| − 3|3)
A. 1.13: a) 1.6(~b − ~c) b) 13/3~b − 1/3~c c) 16/3~b − 32/3~c
6
A. 1.14: d~ =
A. 1.15: nein ja A. 1.16: a) p = 12, q = −32 b) x = −5/4 q = 56/5
2
A. 1.17: nein nein A. 1.18: 3 Lösungen (10|9), (−2|1), (6| − 7)
A. 1.19:
√
62
√
|BC| = |AD| = |F G| = |EH| = 3 · 3
√
66
|AE| = |BF | = |CG| = |DH| =
|AB| = |CD| = |EF | = |HG| =




6
21
A. 1.20:  1.5  A. 1.21:  −10.5  A. 1.22: a) 21.11 b) 69.63
2
−21
A. 1.23: (0| − 3|0) A. 1.24: (0| − 0|2) A. 1.25: keine Lösung
A. 2.1:
−−
→ −−→
−−
→ −−→
BA · BC
∠(BA, BC) = ∠(ABC) = −
−→ −−→
|BA| · |BC|
∠(ABC) = 180◦ − ∠(BAD)
∠(ABC) = ∠(ADC) = ∠(EF G) = ∠(EHG) ≈ 116.1◦
∠(BAD) = ∠(BCD) = ∠(F EH) = ∠(F GH) ≈ 63.9◦
∠(EAB) = ∠(BF E) = ∠(HDC) = ∠(CGH) ≈ 113.982◦
∠(AEF ) = ∠(ABF ) = ∠(DCG) = ∠(DHG) ≈ 66.018◦
∠(CBF ) = ∠(CGF ) = ∠(DAE) = ∠(DHE) ≈ 67.727◦
∠(BF G) = ∠(BCG) = ∠(AEH) = ∠(ADH) ≈ 112.273◦
KAPITEL 4. EBENEN
36
A. 2.2:
∠(BF A) = ∠(EAF ) ≈ 55.613◦
∠(AF G) = ∠(DAF ) ≈ 112.273◦
∠(EAG) = ∠(CGA) ≈ 58.188◦
∠(BAG) = ∠(HGA) ≈ 58.369◦
∠(AF E) = ∠(F AB) ≈ 58.369◦
∠(GAD) = ∠(F GA) ≈ 26.138◦
A. 2.4: a) 42 b) 12 c) 0 A. 2.5: a) 60 b) 67,98 c) 90
A. 2.6: a) 0 b) 180 c) 120 A. 2.7: a) 60 b) 60 c) 123,75 d) 131,81
A. 2.8: a) 42.27 und 78.69 und 59, 04 b) 4.66 und 171.59 und 3.74 A. 2.9:
√
3−2
A. 2.10:


10
−
−→ −−→
~a ⊥ {EF GH, ABCD} = AB × AD =  −5 
35


34
−→ −→
~b ⊥ {ADHE, BCGF } = −
AD × AE =  3 
19


−36
−−
→ −−→
~c ⊥ {ABF E, DCGH} = BA × BF =  38 
−26
A. 2.11:
V = (~a × ~b) · ~c = 200
A. 3.1: a) y = 2/7x + 11/7 b) y = 3x − 5 c) −6/5x + 4 d) y = −5 e) x = −3
A. 3.2: ja A. 3.3: P ja, Q nein A. 3.4: 5x − 2y − 30 = 0
A. 3.5: c) alle kollinear
A. 3.6: a) −1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 2.5
A. 3.7: g: (3|1), (4|3), (5|5) h: (4|2), (6|1), (8|0)
1
6
7
−1
A. 3.8:
+t
und
+t
2
−6
−4
1
A. 3.9:



0
1



→ =
−9
d−
+t·
11
AG
−4
7



5
−9
−
→ =  1  + t ·  −9
d−
CE
−4
7







6
−→ =  −4  + t · 
d−
BH
−5



−4
−→ =  −8  + t · 
d−
DF
3

−11
1 
9

3
1 
5
4.2. ABSTANDSPROBLEME
37
A. 3.10:



8
−2



→ =
d−
1
+t·
5
AF
2
6

 
−8
6
−
→ =  8  + t ·  −2
d−
BG
0
8



−2
2
−→ =  8  + t ·  −9
d−
CH
0
10

 
−8
8
−→ =  1  + t ·  −2
d−
AH
2
8



8
−10
−
→ =  −1  + t ·  7
d−
EG
10
−2
 

8
−10



−
→
1
dAC =
+t·
7
2
−2
















6
−10
−
→ =  −4  + t ·  −4 
d−
BE
−5
8




−2
8
→ =  8  + t ·  −2 
d−
CF
0
8

 

−1
2
−→ =  −4  + t ·  6 
d−
DG
−3
6


 
8
0
−→ =  1  + t ·  −2 
d−
DE
2
8
 


6
−6
−→ =  6  + t ·  −7 
d−
FH
8
2
 


6
−6
−→ =  8  + t ·  −7 
d−
BD
0
2
A. 3.11: nein ja nein A. 3.12: (4|6)
A. 3.13: ja A. 3.14: nein
A. 3.15: sie sich nicht schneiden und nicht parallel sind
A. 3.16: a) gleich b) schneidend in (6|4|7) c) windschief d) schneidend in (0|0| − 3) e) windschief
A. 3.17: a) 0 b) 28.59 c) 1.85 d) 65.91 e) 90
A. 3.18:
−→ −−→
1 −→
MABCD = AC ∩ AD = A + AC
2
−→ −−→
AF · BE
α = ∠(EMABEF F ) = −→ −−→
|AF | · |BE|
−→ −−−→
AF · −BE
∠(EMABEF A) = −→ −−→ = 180◦ − α
|AF | · |BE|
∠(EMABEF F ) = ∠(AMABEF B = ∠(DMDCGH C) = ∠(HMDCGH G) ≈ 88.049◦
∠(EMABEF A) = ∠(F MABEF B = ∠(DMDCGH H) = ∠(HMDCGH D) ≈ 91.960◦
∠(AMABCD B) = ∠(DMABCD C = ∠(EMABCD F ) = ∠(HMABCD G) ≈ 115.468◦
∠(AMABCD D) = ∠(BMABCD C = ∠(F MABCD G) = ∠(EMABCD H) ≈ 64.532◦
∠(BMBCGF C) = ∠(F MBCGF G = ∠(AMBCGF D) = ∠(EMBCGF H) ≈ 63.473◦
∠(BMBCGF F ) = ∠(CMBCGF G = ∠(AMBCGF E) = ∠(DMBCGF H) ≈ 116.527◦
KAPITEL 4. EBENEN
38
A. 3.19: 3.12: g : 2x − y = 2, h : x − 2y = −8 3.13: 2x − y = 2 3.14: g : 2x − y = 2, h : 2x − y = 4
1.5
−2
3
4
4/3
0
A. 3.20: a)
+t
b)
+t
c)
+t
1
1
1
3
42
1
A. 4.1: ja nein






6
−6
−1
A. 4.2: EABCD : ~x =  −4  + t  −5  + s  5 
−5
1
1






−1
−4
0
EADHE : ~x =  −9  + t  1  + s  5 
1
7
−4






0
−4
6
EABF E : ~x =  −9  + t  1  + s  5 
−4
7
−1






0
1
−11
A. 4.3: EAGBH : ~x =  −9  + t  11  + s  1 
−4
7
9



 

0
4
1
A. 4.4: ~x =  −6  + t  5  + s  5 
3
2
−3



 

0
7
6
A. 4.5: ~x =  0  + t  0  + s  2 
1
11
−1
A. 4.6: a) (0|4| − 1) b) (1| − 2| − 3) c) kein Schnittpunkt
A. 4.8:
AF : (0| − 9| − 4), (3|0|5), (4/3| − 5|0)
AH : (0| − 9| − 4), (−7.5|0|8), (−2.5|6|0)
AF : (0| − 9| − 4), (4.5|0| − 4), kein Durchstosspunkt mit x − y-Ebene


 
−11
2
A. 4.9:  4  + t  −22 
1
7



 


 



−19/2
19/2
−19/2
−1/2
0
0
 + t  19 , 
 + t  0 ,  19  + t  1 
A. 4.10: 
0
0
0
0
0
1/7
0
1/7




 


 


−4
0
6
0
6
0
A. 4.11:  −9  + t  5 ,  −9  + t  5 ,  −9  + t  1 
7
−4
−1
−4
−1
−4
A. 4.12: 5.44 A. 4.13: 5.44
A. 4.14: a)90 b) D(1|5| − 4) c) h = 36 d) S1 (21| − 26|0), S2 (−11|38|8)
A. 4.16: a) 5.44 b) 5.44 c) 0 d) 7.42
A. 4.17: 5.69
A. 4.18: a) 4.8 b) 7.52