Mathematik - Educanet.ch
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Berufsmaturität GIBB
Mathematik
BMS GEW
Skript
Autoren: B. Jakob, A. Göldi, M. Saier
Inhaltsverzeichnis
Geometrie
Planimetrie 1............................................................................................... S. 1 – 8
Planimetrie 2............................................................................................... S. 9 – 16
Stereometrie................................................................................................ S. 17 – 40
Trigonometrie
Trigonometrie 1.......................................................................................... S. 41 – 54
Trigonometrie 2.......................................................................................... S. 55 – 66
Trigonometrie 3.......................................................................................... S. 67 – 90
Lineare Optimierung
Ungleichungssysteme und Lineare Optimierung................................... S. 91 – 112
Planimetrie 1
Arbeitsanleitung / Theorie
Grundlagen der Planimetrie
Es gilt wesentliche Grundlagen der Planimetrie zu repetieren. Dazu benutzen wir unsere FormelSammlung (Fundamentum Mathematik und Physik). Als Kürzel verwenden wir FS für FormelSammlung.
Der jeweilige Inhalt muss mit Hilfe der Aufgaben und der FS repetiert werden.
Im Folgenden sind nur die Titel (linke Spalte in der FS), welche bearbeitet werden, aufgeführt. Die
Zahlen in Klammern geben die Seiten in der FS an. Zusätzliche Bemerkungen sind kursiv gehalten.
1. Winkel (FS 17)
Nebenwinkel / Scheitelwinkel / Stufenwinkel / Wechselwinkel / Satz des Thales
2. Dreiecke (FS 18,19)
Sie wissen wie ein Dreieck bezeichnet wird.
Winkelsummen /
Besondere Punkte und Linien im Dreieck: Mittelsenkrechte / Umkreis / Winkelhalbierende /Inkreis /
Höhen / Seitenhalbierende (Schwerelinien) ⇒ beachte das Teilverhältnis 2:1
Flächeninhalt (FS 19)
Spezielle Dreiecke (FS 20): Rechtwinkliges Dreieck /
30° 30°
Gleichseitiges Dreieck (beachte die Formel für die Höhe h !!)
a
a
a 3
Kongruenzabbildungen /
h=
2
Kongruenzsätze ( SSS, SWS, WSW, SSW/SsW) (FS 19)
das Symbol ≅ bedeutet gleiche Form und gleiche Fläche
60°
a
2
60°
90°
a
2
3. Vierecke (FS 21,22)
Sie wissen wie Vierecke bezeichnet werden.
Winkelsumme /
Trapez / Drachenviereck / Parallelogramm / Rhombus (Raute) / Rechteck /
Quadrat (beachte die Diagonale d )
a
90°
a
d =a 2
45°
45°
4. Vielecke (FS 22)
Winkelsummen / Regelmässiges Vieleck
a
90°
a
5. Kreis und Kreisteile (FS 23)
Bezeichnungen am Kreis / Kreisumfang / Kreisinhalt (Kreisfläche) / Flächeninhalt des Kreissektors
6. Pythagoras (FS 20)
Wahrscheinlich hat Pythagoras (geb. um 565 v. Chr.; gest um 480 v. Chr.) seinen Satz, von dem man vermutet,
dass er zu seiner Zeit schon Allgemeingut der Hochkulturen war, von seinen weiten Reisen mitgebracht.
Pythagoras wurde im Altertum allerdings nicht in erster Linie als Mathematiker betrachtet, sonder als religiöser
Prophet, der Unsterblichkeit der Seele, die Seelenwanderung und die Wiederkehr aller Dinge in ewigem
Kreislauf lehrte. Seine Lehre hat unser abendländisches Denken, nachhaltig beeinflusst.
2
2
a +b =c
2
2
2
2
a =c –b
2
2
2
b =c –a
a
Beweis:
b
2
a
b2
c2
b
2
a
c
c
2
b
2
2
2ab+c = a +2ab+b
2
2
2
c = a +b
c
c
a
2
(a+b) = a +2ab+b (Alg.)
2
2
(a+b) = 2ab+c
(Figur)
2
a
b
7. Ähnlichkeit (FS 24)
das Symbol ∼ bedeutet gleiche Form
Strahlensätze / Zentrische Streckung
10.10.11
1
gibb bms gest / gew
Planimetrie 1
Aufgaben
1.Winkel
1.1. Berechnen Sie den Winkel ! zwischen den Kräften N und G
auf der schiefen Ebene, wenn ! = 58°
G
!
"
N
1.2. Ein Kugellager hat 12 Kugeln. Welchen Winkel schliessen die Mittellinien zweier aufeinanderfolgenden Kugeln ein? (Mittellinien = Linien durch je ein Zentrum der Kugeln und das
Zentrum des Kugellagers)
!
1.3. Um welchen Winkel ! muss der Meisselhalter
der Hobelmaschine verstellt werden?
75°
H
D
1.4. Das Quadrat ABCD ist gegeben. Ferner gilt
C
J
AK = BG = CH = DJ .
Beweisen Sie, dass das Viereck KGHJ
ebenfalls nur rechte Winkel hat.
G
A
B
K
B
1.5. Berechnen Sie jeweils die Winkel. (W! ist die Winkelhalbierende von !)
a)
!=
b)
!
"=
c)
A
59°
$
!=
"=
C
A
47°
B
!
B
C
AB//CD
C
56°
D
# A !DC" = "AD"
B
d) # =
$=
C
e) # =
W#
f) ABCD ist ein Parallelogramm
C
26°
!=
#=
!
!
A
A
62°
42°
B
A
!
D
"
68°
64°
W"
"
09.10.11
2
Bgibb bms gest / gew
C
Planimetrie 1
Aufgaben
2. Dreiecke
2.1. Konstruieren Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit:
a)
c = 7,1 cm
b = 5 cm
b)
a = 4,5 cm
! = 62°
c)
c = 6,7 cm
! = 39°
d)
a = 5 cm
! = 41°
2.2. Konstruieren Sie ein Dreieck mit:
a)
a = 5 cm
b = 6 cm
b)
c = 6 cm
! = 50°
c)
a = 7 cm
b = 4,5 cm
d)
e)
f)
g)
h)
i)
k)
a = 6 cm
c = 5 cm
b = 7 cm
c = 6 cm
hc = 4 cm
c = 5 cm
hc = 4 cm
! = 40°
! = 65°
! = 80°
sa = 4,8 cm
ha = 4,5 cm
ha = 3 cm
! = 75°
! = 45°
! = 40°
! = 20°
r = 4,6 cm (Umkreisradius)
ha = 4,8 cm (Höhe)
w = 7,5 cm (Winkelhakbierende)
sb = 5,1 cm (Schwerelinien / Seitenhalbierende)
! = 50°
hb =3 cm
! = 60°
!
2.3. Teile ein beliebiges Dreieck in drei flächengleiche Dreiecke.
2.4. Berechnen Sie den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit
a) der Seitenlänge a = 6,2 cm
b) dem Umkreisradius r = 5 m
c) dem Inkreisradius ! = 210 mm
2.5. Berechnen Sie den Flächeninhalt
a) eines Dreiecks mit a = 6,7 cm und h a = 4 cm
b) eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a = 6,4 m und b = 5,3 m
2.6. Berechnen Sie in einem Dreieck das gesuchte Stück:
2
a) A = 420 cm
a = 15 cm
b = 35 cm
b) a = 3,50 m
ha = 90 cm
hc = 1,26 m
gesucht: ha, hb
gesucht: c
3. Vierecke
3.1. Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Quadrates mit
a)
der Seitenlänge a = 19 cm
b)
der Diagonale d = 26,40 m
c)
dem Umfang U = 82 cm
d)
dem Umkreisradius r = 312 mm
e)
dem Inkreisradius ! = 15,1 cm
3.2. Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Rechtecks mit
a)
der Seitenlänge a = 125 m und der Diagonalen e = 168 m
b)
der Seitenlänge a = 15 cm und dem Umfang U = 47 cm
c)
der Seitenlänge a = 70 cm und dem Umkreisradius r = 37 cm
3.3. Ein Rechteck, bei dem die eine Seite doppelt so lang ist wie die andere, hat einen Flächeninhalt
2
von 15,68 dm . Wie lang sind die Seiten?
3.4. Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Parallelogramms mit
a)
der Seitenlänge a = 16,2 cm und der Höhe h a = 7 cm
b)
der Seitenlänge b = 5,6 m und der Höhe h b = 2,5 m
c)
den Seitenlängen a = 76 cm, b = 58 cm und dem Winkel
09.10.11
3
! = 30°
gibb bms gest / gew
Planimetrie 1
Aufgaben
3.5. Berechnen Sie in einem Parallelogramm das gesuchte Stück:
a)
a = 72 cm
b = 25 cm
ha =15 cm
gesucht: hb
b)
a = 14,4 m
ha = 3,5 m
hb = 2,25 m
gesucht: b
c)
a = 7,7 m
b = 15,4 m
hb = 3,3 m
gesucht: ha
3.6. Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Trapezes mit
a)
den parallelen Seitenlängen a = 27 cm, c= 13 cm und der Höhe h = 8,5 cm
b)
der mittleren Länge m = 92 cm und der Höhe h = 1,1m
3.7.Berechnen Sie den Flächeninhalt einer Raute mit
a)
den Diagonalen e = 21 cm und f = 16 cm
b)
der Seitenlänge a = 64 mm und dem Winkel
! = 60°
4. Vielecke
5. Kreis und Kreisteile
5.1. Von einem Kreissektor sind
a) gegeben: r = 5cm ; ! =60°
2
b) gegeben: A = 10m ; r = 4m
2
c) gegeben: A = 20cm ; ! = 72°
gesucht: A
gesucht: !
gesucht: r
5.2. Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Kreises aus dem Umfang u. (allgemein!)
5.3.Ein Quadrat, ein gleichseitiges Dreieck und ein Kreis haben den gleichen Umfang. Berechnen
Sie das Flächenverhältnis AQuadrat : A Dreieck : A Kreis. ( Sie können auch Zahlenwerte einsetzen.
Allerdings ist grundsätzlich eine allgemeine Berechnung gefragt.)
5.4. Jeder der drei Kreisringteile hat denselben
Flächeninhalt wie der innere Kreis.
Berechnen Sie die Breite des Kreisringes aus r.
A2
A2
x
r
A1
A2
5.5. Der In- und Umkreis eines regulären Sechsecks bilden einen Kreisring. Berechnen Sie dessen
Flächeninhalt aus der Seitenlänge a des Sechsecks.
5.6. Wie gross ist der Zentriwinkel eines Sektors, dessen Bogen 4mal so lang ist wie der Radius?
5.7. Der Inhalt der markierten Fläche soll durch r
ausgedrückt werden.
r
6. Pythagoras
Es ist sinnvoll vor der Arbeit zum Thema „Pythagoras“ folgende Grundlagen zu repetieren:
Binomische Formeln / Potenzgesetze / Wurzelgesetze
6.1. In einem rechtwinkligen Dreieck misst die Hypothenuse 20 cm. Die eine Kathete ist dreimal so
gross wie die andere. Berechnen Sie die kürzere Kathete.
09.10.11
4
gibb bms gest / gew
Planimetrie 1
Aufgaben
6.2. Berechnen Sie die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck, wenn die Länge der Seite
a)
a = 4 cm ist.
b)
a = 2,4 m ist
6.3. In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Winkeln 30° und 60° ist die kleinere Kathete gegeben.
Berechnen Sie die anderen Dreiecksseiten:
a)
kleinere Kathete = 5 cm
b)
allgemein (kleinere Kathete = a cm)
6.4. Berechnen Sie die Länge einer Seite eines Rechtecks, wenn die andere Seite 8,64 cm und die
Diagonale 9 cm lang sind.
6.5. Gegeben ist der Umfang u eines Quadrates. Berechnen Sie die Länge seiner Diagonalen:
a)
u = 8 cm
b)
u = 48 cm
6.6. Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Basis 42 cm länger ist als einer der
Schenkel, misst 222 cm. Berechnen Sie den Flächeninhalt.
6.7. Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Rechtecks mit
a)
den Seitenlängen a = 6,3 cm und b = 4,9 cm
b)
der Diagonalen e = 7,72 m und dem Umfang U = 21,04 m
(Gleichungssystem / quadratische Gleichung)
6.8. Berechnen Sie den Flächeninhalt einer Raute mit der Seitenlänge a = 58 cm und der
Diagonalen e = 80 cm
6.9. Berechnen Sie den Flächeninhalt
a) eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Kathete a = 75 cm und der Hypotenuse c = 1,25 m
b) eines gleichschenkligen Dreiecks mit dem Schenkel a = 1,06 m und der Basis c = 1,12 m
c) eines gleichschenkligen Dreiecks mit dem Schenkel a = 36,90 m und der Höhe h = 36 m
d) eines Geodreiecks (45°,90°,45°) mit der Hypotenuse c = 44 cm
6.10. Berechnen Sie die Länge einer Sehne im Kreis mit dem Radius r = 6 cm, wenn ihr Abstand
vom Kreismittelpunkt gleich h = 4 cm ist.
6.11. Gegeben sind ein Kreis mit dem Radius r = 7.3 cm und in ihm zwei parallele Sehnen der Länge
a = 9,6 cm und b = 11 cm. Berechnen Sie den Abstand x zwischen den beiden Sehnen.
(Zwei Lösungen)
6.12. Der Tangentenabschnitt von einem Punkt P an einen Kreis mit dem Radius r = 10 cm hat die
Länge t = 15 cm. Berechnen Sie den Abstand a von P zum Kreismittelpunkt.
6.13. Von einem Punkt P ausserhalb eines Kreises mit dem Radius r werden die Tangenten an den
Kreis konstruiert. Wie lange sind die Tangentenabschnitte t bis zu den Berührungspunkten,
wenn P den Abstand a von der Kreislinie hat? (Ohne einsetzen von Zahlen, also allgemein
lösen.)
6.14. Ein Rhombus ist durch die beiden Diagonalen e und f gegeben. Berechnen Sie die Seite a.
6.15. Gegeben sind a = BC und b = AC
Drücken Sie die Gesamtheit der
Flächeninhalte der beiden schraffierten
Figuren durch a und b aus
C
A
09.10.11
5
B
gibb bms gest / gew
Planimetrie 1
Aufgaben
6.16. Drücken Sie x durch a aus:
4a
x
2a
a
7. Ähnlichkeit
7.1. Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, sind die in der Skizze eingetragenen Messungen
ausgeführt worden. Berechnen Sie die Flussbreite x.
a)
b)
x
x
4m
20 m
13 m
3m
10 m
20 m
7.2. Berechne jeweils den fehlenden Streckenabschnitt:
a) a = 3 cm
b) a = 5 cm
c) c = 10 cm
d) a = 3 cm
e) a’ = 4 cm
f) a = 5 cm
g) a = 2 cm
09.10.11
c = 12 cm
e = 3 cm
e = 2 cm
b = 4 cm
b’ = 5 cm
b = 6 cm
c = 4 cm
e = 4 cm
3m
f = 6 cm
f = 8 cm
f = 14 cm
f = 10 cm
b’ = 10 cm
a’ = 8 cm
6
f=
c=
a=
e=
e=
a’ =
c’ =
c
b
a
e
f
a’
b’
c’
gibb bms gest / gew
Planimetrie 1
Aufgaben
Lösungen
1. Winkel
1.1.
! = 32°
1.2.
30°
1.3.
! = 15°
1.4.
%AKJ & %KBG & %GCH & %HDJ ' KG = GH = HJ = JK
(JHD + (CHG = 90° ' (GHJ = 90°
1.5.
a) !’ = 137°
d) # =58° $ = 32°
b) " = 31°
e) # = 10°
c) ! =112° " =34°
f) ! = 112° # = 26°
2.Dreiecke
2.1. Konstruktion
2.2. Konstruktion
2.3. z.B. eine Seite in 3 Teile unterteilen ' wir erhalten 3 Dreiecke mit gleicher Basis und gleicher
Höhe. Oder ....
2
2.4.
a) 16,64 cm
2
b) 32,48 m
2
c) 2291,59 mm
2
2.5.
a) 13,4 cm
2
b) 16,96 cm
2.6.
a) ha = 56 cm hb = 24 cm
b) c = 2,5 m
3.Vierecke
2
3.1.
a) 361 cm
2
b) 348,48 m
2
c) 420,25 cm
2
d) 1946,88 cm
2
e) 912,04 cm
2
3.2.
a) 14'030,65 m
2
b) 127,5 cm
2
c) 1680 cm
3.3.
a = 2,8 dm b = 5,6
2
3.4.
a) 113,4 cm
2
b) 14 m
2
c) 2204 cm
3.5.
a) 43,2 cm
b) 22,4 cm
c) 6,6 m
2
3.6.
a) 170 cm
2
b) 1,012m
2
3.7.
a) 168 cm
2
b) 35,472 cm
4.Vielecke
5.Kreis und Kreisteile
2
5.1.
a) A = 13,09 cm
b) ! = 71,62°
c) r = 5,64 cm
5.2.
U = 2!r ' r =
5.3.
A Quadrat = $ ! =
&U#
%4"
2
U2
U
' A=
4!
2!
U2
U U ! 3 1 U2 3
; A Dreieck = !
! =
16
3 3!2 2
36
2
U2
( U%
# "! =
4!
' 2! $
; A Kreis = &
'
1
3 1
'
:
:
16 36 4!
1 : 0,77 : 1,27
09.10.11
7
gibb bms gest / gew
Planimetrie 1
Aufgaben
Lösungen
5.4.
4r 2 ! = (r + x)2 ! ' x1 = r (x2 = -3r ist nicht in G enthalten)
a
5.5.
A = !(a2 "
5.6.
b=
5.7.
2
3a
3
1
) = !a2 (1 " ) = !a2
4
4
4
a 3
2
360° " 4r 720°
"r!
"r!
4r " 180°
720°
' 4r =
;!=
=
= 229,18° oder ) =
=
= 229,18°
180°
180°
r!
!
2r!
!
2
Halbkreis(mit r) – (Viertelkreis (mit R = 2 r) + r )
r 2!
"
2
'
( 2r )2 ! + r 2 = r 2
2r
2r
4
2r
6.Pythagoras
6.1.
6.2.
6.3.
x=
a)
b)
a)
40 = 6,32 cm
3,46 cm
2,078 m
s = 10 cm
h = 8,66 cm
6.10.
6.11.
b)
s = 2a
h=a 3
2,52 cm
a)
2,83 cm
b)
16,97 cm
2
1611,96 cm
2
a)
30,87 cm
2a + 2b = 21,04
b)
' aus erster Gl.' a = 10,52-b
a 2 + b 2 = (7,72)2
2
2
2
(10,52 – b) +b = (7,72)
2
2
110,670-21,04b+b +b = 59,5984
2
2b -21,04b+51,072 = 0
2
3360 cm
2
a)
3'750 cm
2
b)
0,504 m
2
c)
291,6 m
2
d)
484 cm
8,94 cm
a1 = h1 – h2 = 0,7 cm
a2 = h1 + h2 = 10,3 cm
6.12.
a=
r 2 + t 2 = 18,03 cm
6.13.
t=
a 2 + 2ar
6.14.
a=
e2 + f 2
2
6.15.
A=
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.16.
' quadr. Gl. ' A = 25,53 cm
1
ab
2
x = 8a = 2 2a
7. Ähnlichkeit
7.1.
a) x = 15 m
b) x = 18,5714 m
7.2.
a) 16
b) 10
c) 2,5
d)
e) 4, 4
f) 8, 3
09.10.11
einsetzen in zweite Gl.'
6
8
g) 16
gibb bms gest / gew
2
Planimetrie 2
Aufgaben
1. Dreiecke / Vielecke
1.1.
Berechnen Sie den Flächeninhalt und die Länge der Hypothenuse c eines gleichschenkligen,
rechtwinkligen Dreiecks, wenn die Kathete k gegeben ist. (D.h. drücken Sie den Flächeninhalt
und die Hypothenuse mit Hilfe der Variablen k aus.)
1.2.
Der Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks hat den Radius r. Berechnen Sie die Seitenlänge s
und den Flächeninhalt des Dreiecks allgemein.
1.3.
Von einem gleichschenkligen Trapez sind die Längen der parallelen Seiten a = 80cm und
c = 20cm sowie der Schenkel b = 50cm gegeben. Berechnen Sie die Höhe h, den Flächeninhalt
A sowie die Länge der Diagonalen d und die Winkel zwischen den Trapezseiten.
1.4.
Vom gleichschenkligen Dreieck ABC kennt man den Umkreisradius r und die Höhe h auf die
Basis AB. Berechnen Sie die Schenkellänge
BC
x
Berechnen Sie auch die Winkel des Dreiecks.
1.5. In einem Kartesischen Koordinatensystem sind zwei Punkte A( 43 / 85 ) und B( -15 / 8 )
gegeben. Berechnen Sie den Abstand zwischen A und B (Länge der Strecke = Hypothenuse im
Steigungsdreieck).
1.6.
Gegeben ist ein Rechteck mit
der Länge a = 10 cm und
der Breite b = 7 cm .
Berechnen Sie den Flächeninhalt
des schraffierten Quadrates.
b
a
1.7.
Von einem Dreieck sind gegeben:
Die Seite b und zwei Winkel.
Berechnen sie die Seite a ( = x).
b
30°
a ( = x)
45°
1.8.
Gegeben ist der Umkreisradius r
des gleichseitigen Dreiecks.
Berechnen Sie den Flächeninhalt
der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von r.
1.9.
Aus einer Kreisfläche mit Radius r wird das grösstmögliche Rechteck von 1/3 r Breite
ausgeschnitten. Berechnen Sie die Länge s des Rechtecks aus r.
1.10. Die Hypothenuse c eines rechtwinkligen Dreiecks sei gegeben. Berechnen Sie beide Katheten,
wenn die eine dreimal so lang ist wie die andere.
1.11. Im Rechteck ABCD mit AB
a und BC
2
a sind über AB und CD Halbkreise gezeichnet,
3
die sich in P und Q schneiden. Berechnen Sie PQ aus a.
19.06.12
9
gibb bms gest / gew
Planimetrie 2
Aufgaben
2. Kreis (Berührkreisaufgaben)
Berechnen Sie jeweils die Strecke x.
Lösungshilfen:
1. In den Hilfsskizzen mit Farbe Gegebenes von Gesuchtem unterschieden.
Gegebenes und Gesuchtes wird an möglichst verschiedenen Stellen eingezeichnet.
Dabei achten wir darauf, dass gegebene und gesuchte Strecken auf eine Gerade zu liegen
kommen, so dass wir sie addieren oder subtrahieren können. Bei Aufgaben mit Kreisen gelingt
uns das, wenn wir die Zentren der Kreise miteinander und mit Berührpunkten von zwei Kreisen
bzw. einem Kreis und einer Tangente verbinden. (Siehe dazu die kleinen Kreise bei Aufgabe
2.1.)
2. Lösungsansätze
A Wir suchen verschiedene rechtwinklige Dreiecke.
Wir bezeichnen/berechnen alle drei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks ohne den Satz des
Pythagoras zu gebrauchen. Dabei wenden wir auch Wissen an: z.B. die Diagonale im
Quadrat oder die Höhe im gleichseitigen Dreieck
Anschliessend verwenden wir den Satz des Pythagoras und erhalten eine Gleichung.
B Wir suchen verschiedene rechtwinklige Dreiecke.
Haben zwei rechtwinklige Dreiecke eine Seite gemeinsam, so können wir diese Seite auf
zwei verschiedene Arten bezeichnen/berechnen und erhalten so eine Gleichung.
x
x
x
10
2.1.
10
2.2.
a
2.3.
x
x
x
D
3a
a
2.4.
3a
a
2.6.
2.5.
x
2.7. Berechnen Sie den Radius x und
die schraffierte Fläche A für a = 10cm.
a
2.8. Die schraffierte Fläche soll durch r ausgedrückt werden.
(Koeffizienten auf drei Stellen nach dem Komma runden)
19.06.12
10
r
25°
gibb bms gest / gew
Planimetrie 2
Aufgaben
3. Körper
3.1. Gegeben ist ein Würfel mit Kantenlänge 2 cm. Berechnen Sie die Länge einer Körperdiagonalen d
Berechnen Sie den Steigungswinkel der Körperdiagonale zur Grundfläche.
Berechnen Sie den Winkel
zwischen Körperdiagonale und Seitenkante.
3.2. Gegeben ist ein Würfel mit der Körperdiagonale 10 cm. Berechnen Sie die Länge einer
Würfelseite.
3.3. Berechnen Sie die Länge der Körperdiagonalen eines Quaders und deren Steigungswinkel,
wenn die Länge seiner Seiten mit a = 4 cm, b = 3 cm und c = 8 cm gegeben sind.
3.4. Von einem Quader kennt man die Körperdiagonale d und die Kanten a und b. Stellen Sie die
Formel auf zur Berechnung der Kante c aus den gegebenen Variablen (Strecken).
3.5. Berechnen Sie die Körperhöhe h eines regulären Tetraeders mit der Kantenlänge s = 10 cm.
Berechnen Sie weiter den Winkel welchen zwei Seiten einschliessen und den Steigungswinkel
einer Seitenkante zur Grundfläche.
3.6. Berechnen Sie die Kantenlänge s eines Tetraeders mit der Körperhöhe h = 10 cm.
3.7. Berechnen Sie die Körperhöhe h einer quadratischen
Pyramide (Grundfläche ist ein Quadrat).
gegeben: Grundkante a = 5 m; Seitenkante s = 6 m.
Weiter berechnen Sie den Steigungswinkel der
Seitenkante zur Grundfläche und den Steigungswinkel
der Seitenfläche zur Grundfläche.
s
s
a
s
h
a
s
a
a
4. Vermessungen
Tiefenwinkel: Winkel von der Horizontalen nach unten
Höhenwinkel: Winkel von der Horizontalen nach oben
S
4.1. Eine Bergspitze S erscheint von einem
Punkt A aus unter einem Höhenwinkel von
A
B
= 18°. Berechnen Sie BS für AB = 350m.
4.2. Aus 10m Höhe sieht man den Fuss eines
Turmes unter einem Tiefenwinkel von 12°,
die Spitze des Turmes unter einem Höhenwinkel
von 25°. Wie hoch ist der Turm?
h
25°
10 m
12°
4.3. Von einem Turm mit einer Höhe von 43m erblickt man zwei hintereinanderliegende Punkte A und
B unter den Tiefenwinkeln von 12° und 28°. Berechnen Sie AB .
4.4. Ein Luftbalon wird von zwei Personen, die 3,8 km voneinander entfernt sind, gleichzeitig
beobachtet . Die eine erblickt den Balon senkrecht über sich, die andere unter einem Höhenwinkel
von 36°. In welcher Höhe h fliegt der Ballon?
19.06.12
11
gibb bms gest / gew
Planimetrie 2
Aufgaben
Lösungen
1. Dreiecke / Vielecke
1.1.
c= k 2; A=
1.2.
h=
k2
2
s 3
3
; h= r
2
2
s 3
3
= r
2
2
s 3 = 3r
3r
s=
s= r 3
3
s
2
3 3 2
sh
s2 3
r
=
=
A=
4
2
4
1.3.
h=
A=
1.4.
a
c
d
h = 2000cm 2
2
40 2 = 64,03cm
D=
50 2
cos
30
=
50
r2
h r
x=
h2
y2 =
arcsin
2
=
r2
h2
h2
h
x
20
30
a = 80
= 180° - = 126,87
2hr
h2
2rh
h
arcsin
;
r2 =
2hr
h2 =
2hr
b = 50
h
30
30
= arccos
= 53,13
50
y=
s
2
c = 20
30 2 = 40cm
50 2
r
s
M
h
r
s
2rh h
2rh
arcsin
2rh
2rh
2r
arcsin
x
1.5.
1.6.
2
43 15
a
x=
85
b
2
8
2
= 96,40
x2 =
2
b
30°
2
= 4,5cm
2
2
b
2
2
3
r
2
; s=
1.9.
1.10.
19.06.12
c2
2
r
x2
r
6
2
0,649 r
3r
3
3
3x
2
s= 2 r
c2
2
10 x 2
a
r
2h
2
45°
r
1 1
3 3 2
A = sh
=
r
2 2
2 3 4
s
2
b
y
3,5
tan 45
45°
r 3 3
3 3
= r2
1. Weg: A = r
8
4 2
2. Weg: h =
y
x
(oder: mit TRIGO)
oder: mit TRIGO
1.8.
2 )
2
b
x
b
2
1.7.
a
180
(1.4.
3 3 2
r
8
r
6
c
2
r
2
s
0,649 r
35 2
2
r
36
10 x
12
s
35
2r
36
x
r
3
2
c
10
r 35
3
0,316c ;
r
s
1.972 r
3x
3 0,316
0,949c
gibb bms gest / gew
r
6
Planimetrie 2
Aufgaben
Lösungen
1.11.
2
x2
a
2
x
5a
6
2
a
3
a2
4
x2
a2
9
9a 2
x2
A
Kreis (Berührkreisaufgaben)
2.1.
die Diagonale im Quadrat ist
x = 20
x 2
2.2.
2.3.
2
2
2
2
a
2
x
2
a
2
2
a
2
2
x
2
a
D
4
2
D2
4
2.5.
a
3a 2
4
2.6.
2.7.
D
2
3Dx
4
2
x
2
2
x
2
2
x
2
a
2
2
(a + x) = (2a – x) + (2a)
7
x
a
6ax = 7a2
6
x2 + 52 = (10 – x)2
x
5
A=
tan
x=
D2
4
a2
4
ax
x2
4
2
2
2
2
h
2,5
10
5
x
2
a
x2
4
a
2
a
x2
4
D2
16
Dx
4
2
2
x
2
D
2
x
2
D
4
D
4
x
2
x
2
a
a2
4
x2
4
x
2
x
a
a + 2ax + x = 4a – 4ax + x +4a
2
a
a+x
2a
3a-a-x
3a
3,75
5
36,87
360
25 = 100 – 20x
x
36,87
3,75 2
2
10.09cm 2
13
x
2
a
2
3,75cm
arctan
= 10
ax
2
a
2
x2 + 25 = 100 – 20x + x2
75
20
2,5
x
2
x
2
10
2,5
x
2
x
2
a
3
Dx
2
x2
4
x
2
2
x
2
x
2
D
3
x
a2
a2
4
3
a
4
2
x
D2
16
2
3Dx
x
2
2a2 = 6ax
D
4
D2
ax
20x = 75
19.06.12
x
2
x2
4
ax
2
B
10
2
und
h = (2,5 + 0,5x) – 2,5
h = (10 - 0,5x) - 5
(10 – 0,5x)2 –52 = (2,5 + 0,5x)2 – 2,52
100 – 10x + 0,25x2 – 25 = 6,25 + 2,5x + 0,25x2 – 6.25
75 – 10x = 2,5x
75 = 12,5x
6 = x
x = 6cm
4a2 – 4ax = 2a2 + 2ax
2.4.
2
2
a
3
x
x
x
2
= 10
2
2
20
x
8,28cm
2 1
x
2
2
1 x = 20
2
Q
a
2
1
a
3
2.
C
P
5a
3
PQ
a
D
4a 2
36
5
a
10-x
5
gibb bms gest / gew
3a
Planimetrie 2
Aufgaben
Lösungen
2.8.
25°
x
sin25° =
r
y
sin65° =
r
x = r sin25° = 0,4226 r
65°
65°
y = r sin65° = 0,9063 r
= r2
A=
130
360
x y = r2
r
13
36
y
25°
0,3830 r 2 = (1,1345 – 0,3830 )r2
r
x
A = 0,7514 r 2
3.
3.1.
2 cm
Körper
2
d = s 3 = 2 3 = 3,46 cm ; tan
2 2
2
tan
3.2.
s 3 = 10
3.3.
dS
4
d
3.5.
h
8
2
10
2
3
und d
a2
s
2
3
42
82
b2
c2
42
d2
cos
2
3.6.
h
s
82
a2
b2
32
9,43 cm
3
42
18,542
82
3.7.
d
2
2
5
2
cos
tan
19.06.12
3
h
3,54 cm
5 2
2 6
4,848
2,5
2
10
h
8 cm
dS
4 cm
c2
d2
a2
b2
c2
c
d2
a2
b2
D
3
arccos
3
3
d
3 cm
10 cm
3
3
s
d
2 cm
2 cm
60
10 3
3 10
35,264
2 2
8,16 cm
3
2 2
54,736
arctan
2
10
2
5,78 cm
3
tan
3.4.
arctan 2
s
arctan
2 2
1
10 cm
h
C
A
10 cm
B
10 cm
3
12,25 cm
2
6
54,736
D
2
5 2
2
A
10 3 2
2
3
h
10 3
3
2
5 2
53.896
12
4,848
arctan
62.719
2,5
36 12,5
4,848 m
6
arccos
14
6
6
h
5
d
2
5 2
2
5
6
5
5
gibb bms gest / gew
Planimetrie 2
Aufgaben
Lösungen
4.
Vermessung
4.1.
tan
4.2.
4.3.
AB
350
10
x
y
tan 25
x
h = 10 + y
43
x
43
y
tan 12
AB
19.06.12
BS
tan 12
tan 28
4.4.
BS
tan 36
x
y
h
3,8
BS = 350 tan18°
10
tan 12
x
y
x tan 25
h
y
43
tan 12
43
tan 28
114 m
47,046 m
10 tan 25
tan 12
32 m
x
BS
y
21,938 m
10 m
x
202,299 m
80,871m
x
25°
12°
12° 28°
43 m
43 m
121,428 m
h
3,8 tan 36
2,761km
15
x
y
gibb bms gest / gew
Planimetrie 2
19.06.12
Aufgaben
16
gibb bms gest / gew
Körper (Berechnungen)
Theorie / Arbeitsanleitung
Körper (Berechnungen) / Repetition
Es gilt wesentliche Grundlagen der Stereometrie zu repetieren. Dazu benutzen wir unsere FormelSammlung (Fundamentum Mathematik und Physik). Die Formeln finden Sie in der Formelsammlung
auf den Seiten 30 - 32. Sie benötigen auch Kenntnisse zur Berechnung von Flächen. Informationen
zu diesem Thema finden Sie ebenfalls in der Formelsammlung auf den Seiten 20, 21, 23.
Als Kürzel für die Formelsammlung verwenden wir FS für Formel-Sammlung.
Lernziele:
• Sie kennen die wichtigsten Körper: Das heisst, Sie können die Körper skizzieren und
wissen, wo Sie die Formeln zur Berechnung finden.
• Sie beherrschen den rechnerischen und algebraischen Umgang mit den KörperFormeln: Das heisst, Sie können bei gegebenen Zahlenwerten Berechnungen durchführen.
Sie können die Formeln algebraisch umformen.
Lösungshilfen:
• Eine Skizze ist unerlässlich. Skizzieren Sie mit Bleistift. Format: ca. 5cm X 5cm.
Verwenden Sie zur Darstellung der Körper eine Parallelprojektion (Isometrie, Dimetrie ...).
• Legen Sie einen Schnitt durch den Körper und zeichnen sie diese Schnittebene heraus.
So können viele Aufgaben auf die zweite Dimension reduziert werden.
• Anwenden von Formeln: Aus den Skizzen (Figuren) lesen Sie die Bedeutung der Variablen
ab. Z.B M: Mantelfläche oder S: Oberfläche etc.
ACHTUNG: Oft sind unterschiedliche Variablen gebräuchlich! (z.B. für Flächen: A, F, S)
Zu den Aufgaben:
• Kernstoff: Diese Aufgaben müssen Sie lösen und routinemässig beherrschen.
• Übungsstoff: Falls Sie beim Lösen des Kernstoffs Schwierigkeiten haben, finden Sie hier
zusätzliche Aufgaben mit gleichem Schwierigkeitsgrad.
• Zusatzstoff: Sie sind unterfordert und wollen schwierigere, weiterführende Aufgaben lösen.
• Die unterstrichenen Aufgaben werden mit der Klasse besprochen.
Thema / Lektionen
Pyramide /
Gerade Körper /
Spitze Körper
( 2L.)
Kernstoff
( zu repetierende Inhalte /Fertigkeiten )
1
saubere Zeichnung
Schnitt
Formelsammlung (FS)
2
Übungsstoff
15, 16,17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
Terme (in Abhängigkeit von... )
2
s2
&s#
Algebra: $ ! =
etc.
4
%2"
Prozentrechnung
3
Pythagoras
(FS 20)
&s#
Algebra: h = s − $ !
%2"
2
2
2
Wurzelgesetze
(FS 16)
4, 5, 6
7
Dichte ρ :
kg
dm3
Masse m: kg
Volumen V: dm 3
Formel: m = ρ ⋅ V
(FS 88, 101)
8, 9, 10
11
„einbeschriebener“ Körper
12, 13, 14
09.10.11
17
gibb bms gest.
Körper (Berechnungen)
Thema / Lektionen
Zylinder /
Kegel /
(abgeschnittene)
spitze Körper
(Körperstümpfe)
(2,25L.)
Theorie / Arbeitsanleitung
Kernstoff
( zu repetierende Inhalte /Fertigkeiten )
Übungsstoff
24
25
Bezeichnungen am Kegel
26
Terme (in Abhängigkeit von...)
3
3
27, 28, 29, 30 (1Liter = 1dm = 1000cm )
31
Strahlensätze (FS24)
32, 33, 34, 35
Kugel
(2,5L.)
36
Terme, Formeln (FS 30, 31)
37,38
39
Gleichung aufstellen
Prozentrechnung
40
Kubikwurzel
Taschenrechner
41
geeigneter Schnitt
Umgang mit
Formeln
(2,5L)
50
09.10.11
Gleichungslehre
Aequivalenzgesetze
Umstellen von Formeln
18
42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49
Weitere selbst gewählte Beispiele
aus der Formelsammlung
gibb bms gest.
Körper (Berechnungen)
1. a)
b)
Aufgaben/Lösungen
Zeichnen Sie zu jeder Pyramide einen Schnitt
und beschriften Sie diesen (Seitenlänge, Höhe).
Ordnen Sie die Pyramiden nach der Steilheit ihrer
Seitenflächen. Das heisst Sie berechnen die
jeweilige Steigung in der Mitte der Seitenflächen.
(Siehe dazu FS 14 oben)
Runden Sie auf drei Stellen nach dem Komma.
Bei den folgenden Pyramiden liegen die Spitzen senkrecht
über dem Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche.
Ort
Erbauer
Bauzeit
Medum
Dahschur
Gizeh
Gizeh
Huni/Snofru
Snofru
Cheops
Mykerinos
um 2583-2575 v.Chr.
Um 2575-2551
um 2551-2528
um 2490-2471
2.
09.10.11
Seitenlänge des
Grundquadrates
146,7 m
220 m
230,4 m
108,5 m
Höhe
93 m
99 m
146,6 m
66,5 m
Die Seitenlänge des Würfels ist s. Geben Sie in allen Situationen (a-i) das
Pyramidenvolumen als Bruchteil des Würfelvolumens an.
(Beachten Sie: Alle Pyramidenecken sind Würfelecken oder Mittelpunkte von Würfelkanten
bzw. Würfelflächen.)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
19
gibb bms gest.
Körper (Berechnungen)
3.
Aufgaben/Lösungen
Skizzieren Sie ein Tetraeder. (Eine dreiseitige Pyramide,
deren Kanten alle gleich lang sind, heisst Tetraeder.)
a)
b)
c)
4.
a
a
Geben Sie an, wie man die Höhe der Seitenfläche hs
aus der Kantenlänge a berechnet.
Geben Sie an, wie man die Körperhöhe hk
aus der Kantenlänge a berechnet.
Geben Sie an, wie man das Volumen aus
der Kantenlänge a berechnet.
hs
hk
a
a
a
In diesem Würfel sind die räumlichen Diagonalen
eingezeichnet. Sie bestimmen Pyramiden, deren
Spitzen im Würfelzentrum liegen.
a)
b)
5.
In wie viele Pyramiden zerfällt dadurch
der Würfel?
Vergleichen Sie Grundfläche, Höhe und
Rauminhalt einer Pyramide mit den
Entsprechenden Grössen beim Würfel.
Aus einem Quader werden Pyramiden ausgeschnitten. Die rechteckige Grundfläche der
Pyramide ist eine Fläche des Quaders, die Spitze der Pyramide ist eine Ecke des Quaders.
Berechnen Sie das Volumen der Pyramiden.
a)
b)
c
c
b
a
6.
b
a
Gegeben ist eine geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche.
a)
b)
Wie lauten die Formeln für den Mantel M
und die Oberfläche S.
Körperhöhe
s [cm]
hk [cm]
6
12
10
18
4
Dreieckshöhe Kante
hs [cm]
k [cm]
Mantel
[ ]
M cm
2
k
Oberfläche
[ ]
S cm
hs
2
s
Volumen
[ ]
V cm 3
10
260
864
240
09.10.11
hk
s
Berechnen Sie die fehlenden Grössen:
Grundkante
k
k
1`568`000
20
gibb bms gest.
Körper (Berechnungen)
7.
Gegeben:
Gesucht:
Aufgaben/Lösungen
3
Profileisen (Baustahl); ϕ =7,8 kg/dm ; (Einheit: mm)
Masse in kg
14
140
14
120
230
8.
Gegeben:
Gesucht:
3
Führungsplatte (Gusseisen); ϕ =7,3 kg/dm ; (Einheit: mm)
Masse in kg
130
85
125
20
35
9.
Ein Schwimmbassin ist 15.5m lang, 8.4m breit und 3m hoch mit Wasser gefüllt. Wie viele
3
Liter Wasser fasst es? Wie viele m sind dies?
10.
Aus einem Block von 80mm x 80mm x 1500mm wird ein Flachstahl von 15mm x 30mm
gewalzt. Wie lang wird der Flachstahl?
11.
Einer geraden quadratischen Pyramide (a = 21cm, h = 73cm)ist ein Kreiskegel
einbeschrieben. Wie gross ist der Oberflächeninhalt S des Kegels?
12.
Aus 1mm starkem Zinkblech (ρ = 7.1 kg/dm ) soll eine rechteckige Pyramide (Grundfläche =
65mm x 110mm, Höhe = 300mm) hergestellt werden. Welche Masse wird die Pyramide
haben?
13.
Die Pyramide des Cheob hat einen Rauminhalt von rund 2'899'200 m . Wie hoch ist sie,
wenn die Kante der quadratischen Grundfläche a = 240m lang ist? Wie gross ist ihr
Mantelflächeninhalt?
14.
Berechnen Sie den Oberflächeninhalt
und den Rauminhalt eines
Oktaeders (a = 14cm)
(Ein Oktaeder wird von acht
gleichseitigen Dreiecken begrenzt.)
3
3
a
a
a
a
a
a
09.10.11
21
a
a
gibb bms gest.
Körper (Berechnungen)
15.
Aufgaben/Lösungen
Berechnen Sie das Volumen:
a)
Pyramide mit rechteckiger Grundfläche
a = 30cm, b = 20cm, h = 20cm
h
b
a
b)
h
Pyramide mit rechtwinkligem Dreieck als Grundfläche
a = 15cm, b = 12cm, h = 20cm
b
a
c)
Pyramide mit regelmässigem Dreieck als
Grundfläche
a = 30cm, h = 24cm
h
a
d)
a
Pyramide mit regelmässigem Sechseck als
Grundfläche
a = 15cm, h = 30cm
h
a
16.
a)
b)
Berechnen Sie die Oberfläche einer geraden
quadratischen Pyramide und einer
quadratischen Pyramide, deren Spitze
senkrecht über einer Ecke der Grundfläche
steht.
Vergleichen Sie die Oberflächen.
Vergleichen Sie die Volumen.
h
s
s = h = 10cm
Gegeben:
Gesucht:
s
3
Lochscheibe (Stahl); ϕ =7,8 kg/dm ; (Einheit: mm)
Masse in kg
100
17.
h
300
70
09.10.11
22
gibb bms gest.
a
Körper (Berechnungen)
3
Stahlbolzen mit quadratischem Kopf ; ϕ =7,8 kg/dm ; (Einheit: mm)
Masse in kg
20
30
Gegeben:
Gesucht:
40
18.
Aufgaben/Lösungen
65
90
105
19.
Aus einer Blechtafel (1m x 1.5m) werden33 Scheiben (Durchmesser 200mm)
ausgeschnitten.
a)
Wie viel Prozent beträgt der Abfall (Verschnitt)?
3
b)
Welche Masse haben die Scheiben, wenn das Blech 1.4mm dick ist (ρ = 7.85 kg/dm )
20.
Der Mantelflächeninhalt eines geraden Kreiskegels, dessen Achsenschnitt ein gleichseitiges
2
Dreieck ist, beträgt 103.5dm . Wie gross ist der Rauminhalt des Kegels?
21.
Einem geraden Kreiskegels (d = 0 25cm, h = 16cm) ist eine quadratische Pyramide
einbeschrieben. Berechnen Sie den Oberflächeninhalt der Pyramide.
22.
Ein Oktaeder (a = 12cm) wird an beiden Spitzen gleichmässig abgestumpft. Die Eckkanten
sind nachher nur noch halb so lang.
a)
Wie gross sind Rauminhalt und Oberflächeninhalt des abgestumpften Körpers?
b)
Wie gross ist der Rauminhalt der abgeschnittenen Stücke?
23.
In einen Würfel (k = 12cm) ist ein
Tetraeder so eingeschrieben, dass
dessen Kanten die Flächendiagonalen
des Würfels sind.
Wie gross sind Rauminhalt V und
Oberflächeninhalt S des Tetraeders?
(Ein Tetraeder wird von vier
gleichseitigen Dreiecken begrenzt.)
k
k
k
24.
09.10.11
a)
Stellen Sie sich eine Tüte her:
Welche Form muss ein Stück
Papier haben, damit daraus
eine Tüte hergestellt werden
kann?
b)
Schneiden Sie drei Kreissektoren
aus mit folgenden Massen:
Kreisradius je 9cm; Winkel im
Zentrum 120°, 240°, 330°.
Fertigen Sie daraus drei Tüten an.
Welche hat nach Ihrer Meinung das
Grösste Volumen?
23
gibb bms gest.
Körper (Berechnungen)
25.
Aufgaben/Lösungen
Die Abwicklung eines Kreiskegels besteht aus einem Kreissektor (= Mantel) und einem
Kreis (= Grundfläche):
s = Mantellinie; b = Bogen; u = Umfang der Grundfl.; r = Radius der Grundfl.; h k = Körperhöhe
α = 135°
s = 8cm
b
u
26.
s = 8cm
hk
r
r
a)
Von den vier Grössen r, b, s, und u sind zwei gleich. Nennen Sie das Paar.
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Berechnen
Berechnen
Berechnen
Berechnen
Berechnen
Berechnen
h)
Die Mantelfläche entspricht dem Flächeninhalt des Kreissektors. Der Flächeninhalt
b⋅s
des Kreissektors berechnet sich mit der Formel
. (Vergleichen Sie auch FS 23).
2
Diese Formel gleicht der Berechnungsformel eines Dreiecks. Erklären Sie den
Zusammenhang.
Sie
Sie
Sie
Sie
Sie
Sie
den Radius r der Kegelgrundfläche.
die Mantelfläche M des Kegels.
die Grundfläche G des Kegels.
die Oberfläche S des Kegels.
die Körperhöhe h K des Kegels.
das Volumen des Kegels.
Ein Zylinder hat einen Grundkreisradius r und eine Höhe h. Ihm werden Pyramiden
einbeschrieben, deren Grundfläche regelmässige Vierecke sind.
h
r
a)
b)
c)
d)
09.10.11
Berechnen Sie je das Volumen des Zylinders.
Wie viel Prozent des Zylindervolumens macht das Volumen der Pyramide mit
quadratischer Grundfläche aus?
Wie viel Prozent ergibt es bei der Pyramide mit sechseckiger Grundfläche?
Wie viel Prozent (bzw. welcher Bruchteil) des Zylindervolumens wird auch bei beliebig
hoher Eckenzahl nicht überschritten.
24
gibb bms gest.
Körper (Berechnungen)
27.
Aufgaben/Lösungen
Gegeben ist ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck mit den Katheten a.
a)
b)
Wird dieses rechtwinklig-gleichschenklige
Dreieck um eine Kathete rotiert, so entsteht
ein Kegel. Berechnen Sie sein Volumen.
a
a
a
Drehen wir das rechtwinklig-gleichschenklige
Dreieck um seine Hypotenuse, so erzeugen wir
einen Doppelkegel. Wie gross ist sein Volumen?
a
28.
Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite s = 6cm
a)
Berechnen Sie das Volumen des Kegels, der erzeugt wird, wenn das Dreieck um eine
Höhe rotiert. (Eine Skizze ist sinnvoll.)
c)
Berechnen Sie das Volumen des Doppelkegels, der erzeugt wird, wenn das Dreieck
um eine Seite rotiert. (Eine Skizze ist sinnvoll.)
29.
Wir lassen ein rechtwinkliges Dreieck mit der Kantenlänge 7.5cm und 10cm um jede der drei
Seiten rotieren.
a)
Beschreiben Sie die entstehenden Körper.
b)
Berechnen Sie die Volumen.
30.
Ein Eimer (gerader Kreiskegelstumpf) mit d = 21cm, D = 32cm und h = 34cm wird mit
Wasser gefüllt. Wie viele Liter Wasser fasst er?
31.
Der Stamm einer Tanne hat die Form eines Kegelstumpfes: d = 9cm, D = 21cm,
h = 17.75m
3
a)
Wie viele Festmeter (m ) Holz enthält der Stamm.?
3
b)
Welche Masse hat das Holz (ρ = 0.75 kg/dm ) ?
32.
V = Volumen, A = Grundfläche, r = Grundkreisradius, h = Höhe
Wie hoch sind die folgenden Kegel? (Rechnen Sie im Kopf.)
3
2
3
a)
V = 3m
A = 4m
d)
V = 3m
r = 1m
3
2
3
b)
V = 6m
A = 4m
e)
V = 6m
r = 1m
3
2
3
c)
V = 3m
A = 8m
f)
V = 3m
r = 2m
Wie viel misst der Grundkreisradius bei folgenden Kegeln? (Benutzen Sie dabei für π den
Näherungswert 3.)
3
3
g)
V = 3m
h= 2m
i)
V = 3m
h= 4m
3
3
h)
V = 6m
h= 2m
k)
V = 6m
h= 4m
33.
34.
Berechnen Sie den Mantel und die Oberfläche der Kegel:
a)
r = 4cm
h = 8cm
c)
r = 2cm
b)
r = 4cm
h = 4cm
d)
r = 2cm
Berechnen Sie das Volumen V, den Mantel M und
die Oberfläche O der Kegelstumpfe:
a)
R = 8cm
r = 6cm
h = 5cm
b)
R = 8cm
r = 4cm
h = 5cm
c)
R = 12cm
r = 8cm
h = 5cm
Zur Berechnung der Höhe des Ergänzungskegels
verwenden Sie einen Strahlensatz (FS 24).
h = 8cm
h = 4cm
s
H
Ergänzungskegel
S
r
h
R
09.10.11
25
gibb bms gest.
Körper (Berechnungen)
3
70
118
Konusbuchse (Gusseisen); ϕ =7,3 kg/dm ; (Angabe der Einheiten in mm)
Masse in kg
50
Gegeben:
Gesucht:
102
35.
Aufgaben/Lösungen
90
180
36.
Wir vergleichen den Rauminhalt eines Zylinders, eines Kreiskegels und einer Halbkugel.
Sie kennen die Berechnungsformeln aller drei Körper (FS 30,31).
a)
Geben sie die Formeln für VZylinder ,V Kegel und V Halbkugel in diesem speziellen Fall an.
b)
Vergleichen Sie die Volumen der drei Körper.
r
r
r
r
r
r
Schnitte
37.
Von diesem Zylinder wird ein Kegel weggenommen.
Geben Sie das Volumen des Restkörpers an.
r
r
38.
Gegeben sind ein Zylinder, ein Kegel und eine Kugel.
2r
r
a)
b)
c)
09.10.11
2r
r
r
Schreiben Sie für alle drei Körper eine Volumenformel auf mit r als einziger Variablen.
Wie viele Kugeln haben zusammen das gleiche Volumen wie zwei Zylinder?
Wie viele Kegel haben zusammen das gleiche Volumen wie zwei Zylinder?
26
gibb bms gest.
Körper (Berechnungen)
Aufgaben/Lösungen
3
39.
Wie viele Schrotkörner (d = 1.5mm) kann man aus 2kg Blei (ρ = 11.4 kg/dm ) herstellen,
wenn 15% Schmelzverluste verloren gehen.
40.
Eine Kugel aus Holz (ρ = 0.75 kg/dm ) wiegt 2kg.
a) Wie lang ist ihr Durchmesser, und
b) wie gross ist der Oberflächeninhalt der Kugel?
41.
Einer Kugel ist ein Würfel (a = 20cm) einbeschrieben. Welchen Rauminhalt hat die Kugel?
42.
Gegeben ist eine Kugel mit dem Radius r.
a)
Berechnen Sie ihr Volumen
b)
Berechnen Sie das Volumen einer Kugel mit dem doppelten Radius.
c)
Berechnen Sie das Volumen einer Kugel mit dem halben Radius.
d)
Berechnen Sie den Radius einer Kugel mit dem 27fachen des unter a) berechneten
Volumens.
1
e)
Bestimmen Sie den Radius einer Kugel mit
des unter a) berechneten Volumens.
64
43.
Einem Würfel ist ein Oktaeder einbeschrieben.
Geben Sie das Volumen des Oktaeders als Bruchteil
des Würfelvolumens an.
Gegeben ist die Würfelkante k.
44.
Einem Würfel ist ein Tetraeder einbeschrieben.
Geben Sie das Volumen des Tetraeders als Bruchteil
des Würfelvolumens an.
Gegeben ist die Würfelkante k.
45.
Eine halbe Holkugel hat einen Aussendurchmesser von 25cm und eine Wandstärke von
5mm. Wie viele Liter Wasser fasst sie?
46.
Drei gleichgrosse Bleikugeln mit dem Durchmesser d = 26mm werden zu einer einzigen
Kugel zusammengeschmolzen.
a) Berechnen Sie den Durchmesser der neuen Kugel.
b) Geben Sie die Oberfläche der grossen Kugel in % der Gesamtoberfläche der drei kleinen
Kugeln an.
47.
Einem Würfel mit der Kantenlänge K = 10cm ist
eine Kugel einbeschrieben, dieser Kugel ist wiederum
ein Würfel einbeschrieben und diesem Würfel
wiederum eine Kugel.
a) Berechnen Sie die Volumen der vier Körper.
b) Geben Sie das Volumen des kleinen Würfels
in % des Volumens des grossen Würfel an.
c) Geben Sie das Volumen der kleinen Kugel
in % des Volumens der grossen Kugel an.
3
K
K = 10cm
09.10.11
27
gibb bms gest.
Körper (Berechnungen)
48.
Aufgaben/Lösungen
Wir untersuchen das Volumen einer Halbkugel:
Wir vergleichen eine Halbkugel mit einem Körper, bestehend aus einem Zylinder in welchen
ein Kegel eingelassen wurde.
r
r
r
Wir legen einen ebenen Schnitt durch beide Körper in beliebiger Höhe x:
r2
x
x
x
r
45°
A2
x
r
r2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
49.
Aufsicht auf die
Schnittebene
A1
Geben Sie den Flächeninhalt A1 an (Kreisring).
Geben Sie den Flächeninhalt A2 an (Kreisfläche).
(r2 finden Sie mit dem Satz von Pythagoras.)
Vergleichen Sie die Terme von A 1 und A 2 miteinander.
Wenn Sie Ihre Aussage aus c) mit dem Cavalieri-Prinzip (FS 31) vergleichen, was
stellen Sie fest?
Leiten Sie nun die Formel für die Halbkugel her, indem Sie das Volumen des
Kreiskegels vom Volumen des Zylinders subtrahieren.
Durch Verdoppelung erhalten Sie die Volumenformel der Kugel. Vergleichen Sie mit
der Formel in der FS.
Um die Kugeloberfläche S zu berechnen, bringen
wir sie in eine Beziehung zum Kugelvolumen.
Wir denken uns die Kugel zerlegt in “pyramidenartige“
Teile, deren Anzahl wir unbegrenzt wachsen lassen.
a)
b)
09.10.11
Schnittebene
Welcher Zusammenhang besteht zwischen:
1
1
V Pyramide = A ⋅ h und
V Kugel = S ⋅ r
3
3
M
Setzen Sie die rechten Seiten der folgenden
Formeln einander gleich und lösen Sie nach S auf.
3 3
1
V = S ⋅ r und V = πr
4
3
28
gibb bms gest.
Körper (Berechnungen)
50.
09.10.11
Aufgaben/Lösungen
In der mathematischen Auseinandersetzung mit Körperberechnungen spielen auch Formeln
eine Rolle. Dabei ist es immer wieder notwendig, dass wir sie nach einer bestimmten
Variablen auflösen müssen.
Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach den verschiedenen Variablen auf. (Sonderfälle
werden nicht diskutiert.)
a)
s = vt
Kinematik (FS.81)
b)
1
A = gh
2
Dreiecksberechnung (FS.20)
c)
A=
d)
Z =K ⋅
e)
K1 = K 0 + K 0 ⋅
f)
b=
g)
Suchen Sie selber zwei, drei Formeln aus der Formelsammlung heraus und lösen Sie
diese nach einer anderen Variablen auf.
a+c
⋅h
2
Trapetzberechnung (FS.21)
p
100
2πR
⋅α
360 °
Zinsrechnung (FS.10)
p
100
Kreis und Kreisteile (FS.23)
29
gibb bms gest.
Körper (Berechnungen)
Aufgaben/Lösungen
Lösungen
1.
Reihenfolge der Steilheit von ägyptischen Pyramiden
Wir zeichnen den Körper und legen einen geeigneten Schnitt.
Jetzt suchen wir einen Term, der die Steilheit ausdrückt.
hk
(Der Winkel zwischen der Fallgeraden und der Grundfläche
a
wäre ein geeignetes Mass. Ohne Kenntnisse der Trigonometrie
ist es uns aber noch nicht möglich, diesen Winkel zu berechnen.)
hk
.
Wir begnügen uns mit der Verhältniszahl s h, a
a
a
2
Länge a
Ort
Höhe hk
hk
Steilheit s h, a
m
m
a
2
Medum
93
146.7
1.268
Dahschur
99
220
0.900
Gyzeh 1
146.6
230.4
1.273
Gyzeh 2
66.5
108.5
1.226
Pyramiden nach Steilheit geordnet:
3.
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
a) hs
b) h
2
c) V
3
a
2
a
3
a
3
a
19.06.12
2
1
G hk
3
a2
3 2
a
9
V
1
3
a
9a 2
3 2
a
4
3a 2
6 2
a
9
9
6
a
3
1
3
G
½ s2
¼ s2
1/8 s2
½ s2
½ s2
½ s2
½ s2
½ s2
½ s2
h
s
s
s
s
s
s
½ s
½ s
½ s
V
1/6 s3
1/12 s3
1/24 s3
1/6 s3
1/6 s3
1/6 s3
1/12 s3
1/12 s3
1/12 s3
h
3
4
6
a
9
2 3 3
a
3
h
6
a
3
3 2 3
a
3 3 4
2 3
a
12
a
hk
hs
a
NO
a
b
c
d
e
f
g
h
i
(siehe auch FS)
2
a
a
Gyzeh 1 > Medum > Gyzeh 2 > Dahschur
2.
a)
a
hk
a
2
3
30
3
a
2
3
a
3
gibb bms gest.
Körper (Berechnungen)
Aufgaben/Lösungen
Lösungen
4.
a) Es entstehen 6 Pyramiden
a) GPyramide = GWürfel
hPyramide = 1/2 kWürfel
VPyramide = 1/6 VWürfel (ergibt sich aus a))
5.
a) V
b)
V
1
ab c
3
1
ac b
3
a)
b)
b
a
6.
c
c
a
b
a)
k
h
2
2
b)
hk
s
s
s
h
k
hs
s
hs
Abwicklung:
hs
s
s
1
2
hs
s s
Die gesuchten Terme für Mantel M und Oberfläche S enthalten die Dreieckshöhe hs .
s hs
Mantel M (s; hs ) 4
2 s hs
Oberfläche S(s; hs ) 2 s hs s 2
2
.
Der Term zur Berechnung des Volumens V enthält die Körperhöhe hk.
1 2
s hk
Volumen V (s, hk )
3
Die Körperhöhe hk und die Dreieckshöhe hs sind Seiten im rechtwinkligen Dreieck. Es
gilt folgender Zusammenhang (Pythagoras):
hs 2
hs
hk 2
hk 2
s
2
s
2
2
oder
hk 2
hs 2
s
2
h
hs 2
s
2
2
2
2
Aus den Angaben in der Tabelle lässt sich entweder die Körperhöhe h k oder die
Dreieckshöhe hs einfach berechnen. Die jeweils noch nicht berechnete Höhe erhalten
wir durch Einsetzen der Zahlenwerte in die oben angegebenen Formeln.
1 2
1.568
s 2.4
s 1 .4 m
Beispiel: Geg: V 1.568 m 3 ; h 2.4 m
3
Die Berechnung der Kantenlänge k erfolgt mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks (Pyth).
Zahlenwerte einsetzen!
Grundkante Körperhöhe
hk cm
s cm
Dreieckshöhe Kante
hs cm
k cm
M cm
6
12
10
18
140
5
10
13
15
250
5.83
11.66
13.93
17.49
259.62
60
240
260
540
70`000
19.06.12
4
8
12
12
240
31
Mantel
Oberfläche
2
S cm
2
96
384
360
864
89`600
Volumen
V cm 3
48
384
400
1296
1`568`000
gibb bms gest.
Körper (Berechnungen)
Aufgaben/Lösungen
Lösungen
zu 6. Repetition Masseinheiten.
Längen:
m
1
dm
10
cm
100
mm
1000
Flächen:
m2
1
dm2
100
cm2
10`000
mm2
1`000`000
Volumina:
m3
1
dm3
1`000
cm3
1`000`000
mm3
1`000`000`000
Hohlmass
7.
Die Dichte
1dm3 = 1 Liter
Volumenmass:
m
und
V
V
kg
m
V
eines Materials ist eine Materialkonstante.
dm 3
.
m
126 14
Zur Berechnung der Masse eines Körpers benötigen wir
also sein Volumen und seine Dichte.
V 120 14 126 14 230 792120mm 3 0,79212 dm 3
m 7,8 0,79212 6,179 kg
8.
V
125 35
85 15 130 403'000mm 3
230
120 14
0,403dm 3
m 7,3 0,403 2,942kg
130
125 35 85 15
9.
V 8,4 15,5 3 390,6m 3
10.
VBlock
11.
VFlachstahl
390600 dm 3
390600 Liter
80 80 1500 15 30 x
x
21333mm
Der Mantel eines Kegels ist ein Sektor (FS S. 23).
b
s
73
r = 10.5
21
s
21
s
73
10.5 2
S G M 10.5 2
oder
S r(r
19.06.12
s)
Mantel
Abwicklung
73.75cm
M
2r
s
2
2432.81 2779.17cm 2
10.5 (10.5
rs
s
10.5 73.75 2432.81cm 2
73.7511) 2779.17cm 2
32
gibb bms gest.
Körper (Berechnungen)
Aufgaben/Lösungen
Lösungen
12.
siehe Aufgabe 7)
Dichte
55 2
s1
300 2
305mm
32.5 2
s2
300 2
301.755mm
65 305
110 301.76
2
60168 .08mm 2
2
2
mit 1mm Blechdicke:
V 60168 .08mm 3 0.060168 dm 3
m 7.1 0.060168 0.427kg
S 65 110
13.
2
V 2'899'200m 3
s
120 2
73 s1
s2
110
65
1
h 151m
3
240 192.88
M 4
92580m 2
2
2'899'200 240 240 h
1512
192.876m
s
240
240
14.
hk
a
3
14
a
a
a
V
a)
14 14 3
2 2
A
2
hk
a
hs
a
15.
14
hs
14
2
2
2
9.899cm
2
a
a
V 2
2
2
1
30 20 20 4000cm 3
3
1 15 12
20 600cm 3
3
2
b)
V
c)
V
1
3
d)
V
1
6
3
3
30 2 24
4
20
20
30
20
12
15
3117cm 3
3
15 2 30 5845cm 3
4
24
30
30
15
16.
1293 .53cm 3
hk
a
a
678.96cm 2
1 2
14 9.899
3
a
a
hs
14 2 3
4
S 8
30
15
10
10
V1
s1
10
5
10
a)
s
10 2
S 2 10 2
b)
19.06.12
10
s1
10
52
2
S1 10 2
11.18
10 10
2
2
10 10 2
2
V2
10
4
10
2
10
10 11.18
2
10
323.61cm 2
341.42cm 2
V1 = V2 , da G1 = G2 und h1 = h2
33
gibb bms gest.
Aufgaben/Lösungen
Körper (Berechnungen)
Lösungen
17.
18.
Rechnen Sie alle Einheiten in dm umrechnen.
= (1.52
0.7 – 0.52
m = (Vgrosse Scheibe – VLoch)
Rechnen Sie alle Einheiten in dm umrechnen.
= (0.42 0.15 + 0.152
m = (Vg + Vm + Vk)
0.7) 7.8 = 34.31 kg
0.25 + 0.12
0.65) 7.8 = o.484 kg
19.
Rechnen Sie alle Einheiten in m umrechnen.
FBlechtafel = 1 1.5 = 1.5 m2
FScheiben = 33 0.12
= 1.0367 m2
FAbfall = 1.5 – 1.0367 = 0.4633
0.4633 100
30.885%
a)
Abfall in % =
1. 5
b)
Einheiten in dm umrechnen
m = FScheiben 0.014 7.85 = 103.67 0.014 7.85 =
20.
M =
M
=
2
hK =
s 3
= r 3
2
a=
1
3
d
2
hs2 = h2 +
r2 =
M
2
1
3
25
3
4.059 3
3
= 121.26 dm3
= 17.678 cm / h =16 cm; d = 25 cm
2
a
2
r
r
r3 3 =
2
= 162 +
17.678
2
2
17678
2
16 2
h=
2
h = 18.279 cm
ah s
4 17.678 18.279
= 17.6782 +
= 958.76 cm2
S = a2 + 4
2
2
1
1 2
1
Gh =
ah =
17.6782 16 = 1666.6 cm3)
(VPyramide =
3
3
3
h
a
a)
c)
3
V = 713 cm
S = 446 cm2
V = 102 cm3
d
a
2
a
19.06.12
34
a
2
a
2
a
2
a
2
hs
a
a
22.
s = 2r
hK
103.5
= 4.059 dm
2
r 2h K =
=
r2
r 2r = 2
r =
V=
21.
rs =
a
2
a
2
a
2
a
a
gibb bms gest.
a
Aufgaben/Lösungen
Körper (Berechnungen)
Lösungen
23.
V 12 3
4
12 3
2 3
576cm 3
12 2
12
6 6
12 2
S 4
24.
a)
b)
12 2 6 6
2
b=u
b)
b u 2s
c)
M s2
d)
G r
2
e)
S M
f)
hk
h)
26.
27.
12 2
Durchmesser d cm Höhe h cm Volumen V cm2
6
8.49
80.02
12
6.71
253
16.5
3.6
256.6
2 8
360
8
r
u
2
16
135
3cm
360 2
r
28.3cm
G 103.7cm 2
s2
s = 8cm
hk
135
75.4cm 2
360
360
32
135
360
2
r2
82
32
b=u
7.42cm
135°
1
3 2 7.42
3
V
G hk
69.896cm
3
3
Idee: Wir teilen den Kreissektor in immer kleiner werdende gleichschenklige
Dreiecke, welche ihre Basis auf dem Bogen haben und ihre Spitzen im Mittelpunkt.
r 2h
a)
VZylinder = Gh =
b)
Vquadratische Pyramide =
1
3
2 r
2
h
1
2 2
2r 2 h
r h
3
3
1
3 r
6 r
h
3
2 2
a)
VSechseck-Pyramide =
b)
VPyramide mit vielen Ecken =
a)
VKegel =
b)
12
Kreissektor
a)
g)
h
12
498.8cm 2
Umfang u cm
120° 18.85
240° 37.70
330° 51.84
25.
12 2
12 2
12 2 3
h
2
21.22%
2 r
3 2
r h
2
1 2
r h
3
27.57%
r
33.3 %
r
a
1 2
1 3
a a
a
3
3
VDoppelkegel = 2
1
3
a 2
2
r
r
r
3 r
2
a
2
a 2
2
2 a2 2
a 2
3 4 2
2
6
a3
a
2
2
19.06.12
2
2
35
gibb bms gest.
Aufgaben/Lösungen
Körper (Berechnungen)
Lösungen
28.
a)
VKegel
1 s
=
3 2
2
s 3
2
s2 s 3
3 4 2
3 3
s
24
s
s
3
2
s
s
b)
29.
VDoppelkegel = 2
a)
31.
32.
33.
2
2 s2 3
s
3 4 2
s
2
4
s3
s
3
s
2
h 2
2
r1
r2
r1 r2
(FS 30): r1 = 10.5cm r2 = 16cm
3
34
(10.5 2 16 2 10.5 16 ) 19021 .82cm 3 19.02dm 3
V=
3
V=
19.02 Liter
h 2
2
r1
r2
r1 r2
(FS 30): r1 = 0.045m r2 = 0.105m
3
17.75
V=
(0.045 2 0.105 2 0.045 0.105 ) 0.33m 3 330dm 3
3
V=
h
3V
A
r
3V
h
M
u s
2
s
r2
S r2
19.06.12
s 3
2
Bei der Rotation um die Katheten entstehen Kegel. Bei der Rotation um die
Hypotenuse entsteht ein Doppelkegel.
10
1
V1 = 10 2 7.5 785.4cm 3
3
6
8
1
7.5
V2 = 7.5 2 10 589cm 3
3
4.5
12.5
1 2
1 2
3
4 .5
6
8 471.2cm
V3 = 6
3
3
b)
30.
1
3
s
s
2
b)
h
9
m
2
h 6m
f)
h
3
m
4
g)
r 1.22m r
h)
r 1.73m
a)
s
80 cm
M 112.4 cm 2
S 163 cm
h2
b)
s
32 cm
M 71.1cm 2
S 121cm
M
c)
s
68 cm
M 51.8 cm 2
S 64.4 cm
2
d)
s
20 cm
M 28.1cm 2
S 40.7 cm
2
V
h
a)
h
e)
9
m
4
m 330 0.75 247.5kg
36
9
m
8
c)
h
i)
r 0.87m
d)
h 3m
k)
r 1.22m
2
2
h
s
r
u
gibb bms gest.
Aufgaben/Lösungen
Körper (Berechnungen)
Lösungen
Um das Volumen zu Berechnen können Sie die Formel aus der Formelsammlung (FS 30)
verwenden oder mit der hier aufgeführten Formel rechnen:
R2 H r 2 x
V
R2 H r 2 x
x
s
3
3
3
S
Ergänzungskege
l
H
U S u s 2R S 2r s
M
R S r s
r
2
2
2
2
2
2
2
2
h
O R
r
M
(R
r ) M
R
b)
x
c)
8
1
3
180 59 2
VZylinder mit d
70
VZylinder mit d
a)
O
82
6 2 15
6 s
62
25
VK
VZylinder
3
8 2 10
M
8 S
O
82
42
O
12 2
x
2
VZ:70
r3
90
90
5
x
4
8
82
6
15 2
62
4x
20 8 x
x 5
10 2
82
4
52
42
x 5
12
82
x
8
8 2 10
12
8x
40 12x
1591.74 cm 3
15 2
12 2
8
10 2
82
1046.03cm 2
1046.03 1699.48cm 2
1'713'613 mm 3
176'715 mm
90
3
180
1'190'537 mm 3 1,191dm3
VKegel
402.32cm 2
x 10
346'361mm
VZ:50
845.9cm 2
586.431cm 3
8
8 s
59 51 512
x 15
402.32 653.65cm 2
12 2 15
12 S
20 2
8
4 s
M
30 8 x
774.926 cm 3
42 5
Strahlensatz:
3
6x
845.9 1160.06cm 2
Strahlensatz:
35 2
50
VKonusbuchse
36.
8 S
V
12
VKonus
M
V
x
35.
8 2 20
4
8
5
3
x
6
50
V
5
8
6
8
5
x
Strahlensatz:
118
5
a)
70
x
102
34.
1 3
r
3
VKugel
1 4 3
r
2 3
m 1,191 7,3
8.69 kg
2 3
r
3
a) Das Halbkugelvolumen liegt genau zwischen den beiden anderen Volumen.
37.
19.06.12
VZylinder
r3
; VKegel
1 3
r
3
VRe stkörper
37
VZ
VK
r3
1 3
r
3
2 3
r
3
gibb bms gest.
Aufgaben/Lösungen
Körper (Berechnungen)
Lösungen
38.
39.
VZylinder
b)
2 2 r3
x
4 3
r
3
x
c)
2 2 r3
x
2 3
r
3
x
VBlei
41.
43.
4 r3
4 3
r
3
4 r3
2 3
r
3
4
0.75 3 1.767 mm 3
3
a)
VKugel
b)
S 4
m
0.86 2 9.298 dm 2
3
3 Kugelvolumen entsprechen 2 Zylindervolumen.
6
6 Kegelvolumen entsprechen 2 Zylindervolumen.
3
3
a
2
a)
Vr
4 3
r
3
b)
V 2r
c)
V
d)
27 V r
27
e)
1
Vr
64
1 4 3
r
64 3
VWürfel
VOktaeder
3
2
4
2r
3
r
2
VBlei
4 3
r
3
2.6
4
3
r
3
VBlei
15%
VSchrotkorn
3 2.6
4
84386 Schrotkörn er
0.86 dm
d 1.72 dm
a3
3 a
RKugel
3
a
2
21765 .59 cm3 21.77 dm3
VKugel
32 3
r
3
3
3
r
2
VBlei 85
149122 .807 mm 3
100
15%
930 cm3
Raumdiagon ale Würfel
4
3
4 3
r
3
; VKugel
Anzahl Schrotkörn er
2
2.6 dm3
0.75
Durchmesse rKugel
VKugel
42.
2 3
r
3
; VKegel
2
0.1754 dm3 175438 .596 mm 3
11.4
VSchrotkorn
40.
2 r3
a)
4
3
4 3
r
3
r3
8
6
r3
4
3r
3
4
27r 3
3
4
3
r3
64
4
3
r
4
3
V 3r
oder
R 3r
r
4
oder
R
3
V
k3
1
r
4
Schnittfläche durch die Mittelebene
V2 Pyramide
2
1 k 2
3 2
2
k
2
2 k2 2 k
3 4 2
k
1 3
k
6
k
k 2
2
k
1
des Würfelvolumens.
k
6
Durch Überlegungen kommen wir zum selben Ziel: Die Doppelpyramide fassen wir als eine
1
des Würfelvolumens), zudem ist die Grundfläche der Doppelpyramide
Pyramide auf (
3
1 1 1
des Würfelvolumens).
halb so gross wie die Grundfläche des Würfels (
2 3 6
Das Oktaedervolumen ist
19.06.12
38
gibb bms gest.
Aufgaben/Lösungen
Körper (Berechnungen)
Lösungen
44.
k3
VWürfel
k 2
k 6 1
2 2
k
2
12
2 2
k
GTetraeder
k 2
hTetraeder
2
k 3
3
VTetraeder
1
1 k2 3 2 k 3
G h
3
3
2
3
oder: VTetraeder
45.
V
46.
a)
1 4
2 3
2.45
2
k
2
k 2 3
2
3
2
k 2
2
k 3
3
1 3
k
3
k 2
k3
4
k2 3 1
k 3
2
3
1
3
k3
4
k3
2
1
3
1 3
k
3
2.5 dm
0.05 dm
3
3.85 Liter
3 VKugel klein
VKugel gross
4
3
13 3
3 4
2 2
4 VPyramide
VKugel gross
4
b)
VWürfel
2
6
D
2
D3
SKugel gross
4
3
13 3 4
4
D3
3 8
6
18.75 2
4417 .86 100
6371.16
D
3
6 4 13 3
37.5 mm
R 18.75 mm
4417.86 mm 2
13 2
3 4
13 3
D3
D3 6 4 13 3
4
3 SKugel klein
3
3
6371.16 mm 2
69.3%
47.
k
b)
c)
19.06.12
K
K = 10cm
K
K = 10cm
R = 5cm
VWürfel gross 10
VKugel gross
K
k
k
K
a)
r
2R
R
K
4
3
3
1000 cm
5
3
3
k
10
3
cm
; VWürfel klein
523.60 cm
3
; VKugel klein
10
r
10
3
4
3
2 3
3
cm
192.45cm3
10
2 3
3
100.77 cm3
192.45 100
19.25 %
1000
100.77 100
19.25 %
523.60
39
gibb bms gest.
Aufgaben/Lösungen
Körper (Berechnungen)
Lösungen
48.
a)
2
x2
2
2
2
Die beiden Flächen sind unabhängig von x
immer gleich gross.
Auch die beiden sehr unterschiedlich
geformten Volumen sind gleich gross.
1 2
VHalbkugel VZylinder VKreiskegel r 2 r
r
3
r2
r
x
2 3
r
3
da r2
r
x
r2
2
c)
x
r
45°
x
r
r2
2 3
r
3
A1
4 3
r
3
VKugel
a)
Zählen wir die Grundflächen der verschiedenen
Pyramiden zusammen, erhalten wir einen
Näherungswert für die Kugeloberfläche. (Je kleiner
wir zudem die einzelnen Grundflächen der Pyramiden
werden lassen, umso näher kommen wir der
Kugeloberfläche.)
A=S
Dabei entspricht die Höhe der Pyramiden h
dem Kugelradius r.
1
4 3
Sr
r
Sr 4 r 3
S 4 r2
3
3
2
x
x
r
A2
f)
b)
19.06.12
2
r2
A2
e)
50.
x2
b)
d)
49.
A1 r 2
M
In der mathematischen Auseinandersetzung mit Körperberechnungen spielen auch Formeln
eine Rolle. Dabei ist es immer wieder notwendig, dass wir sie nach einer bestimmten
Variablen auflösen müssen.
Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach den verschiedenen Variablen auf. (Sonderfälle
werden nicht diskutiert.)
v
s
t
t
s
v
1
gh
2
g
2A
h
h
2A
g
A
a c
h
2
a
2A
h
c
c
2A
h
d)
Z
K
K
100 Z
p
p
100 Z
K
e)
K1 K 0 K 0
p
100 K 1 K 0
K0
f)
b
R
b 360
2
g)
Suchen Sie selber zwei, drei Formeln aus der Formelsammlung heraus und lösen Sie
diese nach einer anderen Variablen auf.
a)
s = vt
b)
A
c)
p
100
2 R
360
p
100
K0
K1
p
1
100
b 360
2 R
40
a
h
2A
a c
gibb bms gest.
Trigonometrie 1
Theorie / Arbeitsanleitung
2.0. Vorbemerkung zur Goniometrie und Trigonometrie
Mit Lehrsätzen und Formeln der PLANIMETRIE lassen sich Strecken aus Strecken sowie Winkel aus Winkeln
berechnen. Die Satzgruppe von Pythagoras stellt Beziehungen zwischen Strecken im recht-winkligen Dreieck
her; die Kreiswinkelsätze stellen Beziehungen her zwischen Peripheriewinkeln, Zentriwinkeln und
Sehnentangentenwinkeln im Kreis. Das Problem der Berechnung von Strecken aus Winkeln und
umgekehrt bleibt in der Planimetrie jedoch ungelöst: diese Lücke wird durch die Goniometrie und die
Trigonometrie geschlossen.
Die Goniometrie ist die Lehre von den Winkelfunktionen. Sie stellt Beziehungen zwischen Winkeln und
Strecken her (griech. gonia = der Winkel). Die Trigonometrie ist die Lehre von der Dreiecksberechnung mit
Hilfe der Goniometrie. (griech. trigon = das Dreieck).
2.1. Die trigonometrischen Funktionen spitzer Winkel
2.1.1. Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
In ähnlichen Dreiecken sind alle entsprechenden Winkel gleich. Ausserdem ist das Verhältnis
entsprechender Seiten gleich. So ist in den unten gezeichneten, ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken das
Seitenverhältnis zum Beispiel a : c = a’: c’ = a’’: c’’ = konstant.
Daher können wir dem Winkel das Seitenverhältnis a : c = a’ : c’ = a’’ : c’’ eindeutig zuordnen
(d.h. unabhängig von der Grösse des rechtwinkligen Dreiecks kann einem bestimmten Winkel stets ein
bestimmtes Seitenverhältnis a : c zugeordnet werden und umgekehrt.).
b''
b'
a''
b'
a'
a
c
c'
c''
Statt das Verhältnis a : c könnten wir auch ein anders Verhältnis, z. B. b : c dem Winkel eindeutig
zuordnen. Geht man alle Möglichkeiten durch, so findet man 6 Seitenverhältnisse, die je dem Winkel
eindeutig zugeordnet werden können. Es sind jedoch nur drei solche Verhältnisse als trigonometrische
Funktionen gebräuchlich und auf dem Rechner zu finden.
Definitionen:
Bezeichnungen:
GK: Gegenkathete
Def. 1:
SINUS:
Def. 2:
COSINUS
Def. 3:
TANGENS
AK: Ankathete
GK
HYP
AK
cos =
HYP
GK
tan =
AK
sin =
(Häufig treffen wir noch den COTANGENS an cot
Bemerkungen:
Zwei Schreibweisen sind gebräuchlich:
weiter gilt:
20.06.12
HYP: Hypothenuse
tan
sin
=
sin
cos
tan
AK
1
=
GK tan
= tg
= sin ( )
41
und
und
a
(falls
c
b
(falls
c
a
(falls
b
90 )
90 )
90 )
1
tan
/ Rechner cot
)
cot = ctg
sin2 = (sin )2
gibb bms gest. / gew.
Theorie / Arbeitsanleitung
Trigonometrie 1
Am rechtwinkligen Dreieck sind sofort folgende Beziehungen zwischen Sinus und Cosinus ersichtlich:
C
b
A
a
B
c
sin
cos
cos
sin
oder sin
oder cos
cos 90
sin 90
Ebenso geht aus dem rechtwinkligen Dreieck die (vorläufige) Beschränkung der Definitionsmenge D auf
spitze Winkel hervor: Ein der Hypothenuse anliegender Winkel (z.B. ) kann alle Werte zwischen 0° und
90° annehmen - es gilt also 0°
90°. Bereits an dieser Stelle erweitern wir die Definitionsmenge um die
beiden Argumente 0° und 90°. Die weitere Ausdehnung des Definitionsbereichs auf beliebige Winkel stellt
kein Problem dar und wird in Kapitel 2 behandelt .
2.1.2. Trigonometrie und Funktionsbegriff
Die drei Seitenverhältnisse sind je eindeutige Zuordnungen zum Winkel .
Die trigonometrischen Funktionen (oder Winkelfunktionen) sin , cos und tan besitzen je die
Definitionsmenge D, die alle Winkel 0° < < 90° umfasst. Die Wertemenge W besteht je aus allen
zugeordneten Seitenverhältnissen.
Definitionsmenge D
Wertemenge W
tan ; sin ; cos
Winkel
mit 0°
90°
arctan oder tan
Seitenverhältnisse:
a a b
; ; ;
b c c
1
arcsin oder sin
1
arccos oder cos
1
Die Pfeilrichtung
ordnet dem Winkel ein Seitenverhältnis zu.
Diese Funktionen heissen: „tangens “; „sinus “; „cosinus “
Die Pfeilrichtung
ordnet dem Seitenverhältnis den Winkel
zu.
a
a
b
Diese Umkehrfunktionen heissen: „arcustangens “; „arcussinus “; „arcuscosinus “
b
c
c
Lernziele
Definitionen der trigonometrischen Funktionen auswendig können und anwenden.
Mit Hilfe des TR die Werte der trigonometrischen Funktionen und Umkehrfunktionen berechnen.
Winkel und Seiten von rechtwinkligen Dreiecken berechnen.
20.06.12
42
gibb bms gest. / gew.
Theorie / Arbeitsanleitung
Trigonometrie 1
Lösungshilfen
Rundungsregeln:
Bei Streckenverhältnissen (z. B. tan
=
a
) runden wir auf 4 Kommastellen, bei Winkeln (z. B.
b
) runden
wir auf 1 Kommastelle.
Beispiel 1 (Nr. 2, 5, 8)
sin
0.25 ,
?
Wir brauchen die Umkehrfunktion:
arcsin 0.25 14.5
Beispiel 2 (Nr. 3, 6, 9, 11)
Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck ABC (
Gk a
H 10
Ak b
H 10
sin 32
cos 32
Beispiel 3 (Nr. 10):
tan
cos10 ,
tan
0.9848
90 ) mit c = 10 cm und
a 10 sin 32
5.3 cm
b
8.5 cm
10 cos 32
32 . a = ?, b = ?
?
arctan 0.9838
44.6
Beispiel 4 (Nr. 12):
Zeigen Sie, dass folgende Beziehung stimmt:
1 cos 2
sin .
Zu zeigen: L = R , wobei linke Seite L = 1 cos 2 ; rechte Seite R =sin .
Beweis: Wir setzen definitionsgemäss die Seitenverhältnisse ein und formen um:
Pythagoras
a
R=
c
L
1
b
c
2
1
b2
c
2
c2
b2
c
2
a2
c
a
c
2
Aufgaben, Nr. 1 - 12
Inhalt
Sinus
Cosinus
Tangens
vermischt
20.06.12
Kernstoff
1 2 3ac
4 5 6ac
789
10ace 11ace 12abc
Übungsstoff
3b
6b
Zusatzstoff
10 bdf 11bdf 12d
43
gibb bms gest. / gew.
Theorie / Arbeitsanleitung
Trigonometrie 1
2.1.3. Wichtige Funktionswerte der Winkelfunktionen
xEinige Funktionswerte lassen sich (mit Hilfe des Satzes von Pythagoras und der Definitionen)
berechnen. Wir betrachten dazu zwei spezielle rechtwinklige Dreiecke:
gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck
( Funktionswerte für 45° ablesen)
1
halbes gleichseitiges Dreieck
(Funktionswerte für 30° und 60° ablesen)
1
45°
45°
3
2
30°
Zur Vereinfachung werden die Längen der Katheten
mit 1 angenommen.
2
1
60°
Zur Vereinfachung wird die Dreiecksseitenlänge
des zugehörigen gleichseitigen Dreiecks mit 2, die
halbe Seitenlänge mit 1 angenommen.
Füllen Sie die Tabelle aus und kontrollieren Sie anschliessend mit der Formelsammlung:
Winkelf.
= 0°
sin
0
1
cos
1
0
tan
0
nicht def.
= 30°
= 45°
= 60°
= 90°
Lernziele
Wichtige Funktionswerte der Trigonometrischen Funktionen mit Hilfe des gleischenklig-rechtwinkligen
und des halben gleichseitigen Dreiecks herleiten.
Aufgaben, Nr. 13
Inhalt
Kernstoff
Funktionswerte 13abc
20.06.12
Übungsstoff
13df
44
Zusatzstoff
13e
gibb bms gest. / gew.
Theorie / Arbeitsanleitung
Trigonometrie 1
2.1.4. Definition der Trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis (0°
90°)
Wir können die Trigonometrischen Funktionen auch am Einheitskreis definieren. Wir zeichnen im Ursprung
des Koordinatensystems einen Kreis mit Radius = 1. Wir betrachten nun am Kreis einen veränderlichen
Mittelpunktswinkel , wobei der eine Schenkel immer auf der x-Achse liegt, der andere durch den auf der
Kreislinie wandernden Punkt beweglich ist und alle Werte zwischen 0° und 90° annimmt.
P
Definitionen des Sinus und Cosinus:
Wir entdecken am Einheitskreis das rechtwinklige
Dreieck OQP und verwenden die uns bekannten
Definitionen:
GK
HYP
sin
PQ
1
r=1
sin
PQ
O
AK
HYP
cos
OQ
1
cos Q
r=1
OQ
Definitionen des Tangens
Wir verlängern am Einheitskreis den Schenkel des
Winkels und zeichnen rechts eine senkrechte Tangente
an den Kreis, so dass das rechtwinklige Dreieck ORS
entsteht. Nun verwenden wir die uns bekannte Definition:
GK
AK
tan
RS
1
S
P
r=1
RS
tan
sin
O
cos
Q
r=1
R
Auf das Koordinatensystem bezogen entspricht also die x-Koordinate des Punktes P dem Cosinus
von , die y-Koordinate des Punktes P dem Sinus von : P ( cos / sin )
Am Einheitskreis sind auch leicht die Funktionswerte für 0° und 90° abzulesen, die schon in der
Tabelle „Wichtige Funktionswerte der Winkelfunktionen“ vorgekommen sind:
Winkelfunktion
sin
cos
tan
= 0°
0
1
0
= 90°
1
0
nicht definiert
Am Einheitskreis lassen sich auch zwei einfache Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen herleiten:
sin 2
20.06.12
cos 2
1
sin
cos
tan
45
gibb bms gest. / gew.
Theorie / Arbeitsanleitung
Trigonometrie 1
Lernziele
Sie kennen die Definitionen der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis, ebenso können Sie die
wichtigsten Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen herleiten.
Sie können am Einheitskreis die Werte von sin , cos und tan ablesen und einzeichnen.
Lösungshilfen
Beispiel (Nr. 14):
Wir illustrieren unsere Überlegungen an einem Kreis (Radius ca. r = 3 cm) und beschriften mit r = 1.
Im Zentrum zeichnen wir den Winkel mit Farbe ein. Die entsprechenden Streckenlängen sin , bzw.
cos , bzw. tan , markieren wir mit derselben Farbe wie den zugehörigen Winkel.
r=
1
tan
sin
cos
Aufgaben, Nr. 14 - 17
Inhalt
Einheitskreis
Kernstoff
14 15abdeghklno 16
Übungsstoff
15cfim
Zusatzstoff
17
2.1.5. Steigungen
Die Steigung (bzw. das Gefälle) wird als Quotient oder in Prozent angegeben:
Steigungsverhältnis:
Steigung:
h
d.h. Steigung als Quotient: m =
l
d.h. Steigung in Prozent: p = 100
Höhendifferenz h
h= l
h
%
l
Steigung m = 1 oder p = 100 %
= 45°
Horizontale Länge l
Der Quotient
h
entspricht aber auch der Definition des Tangens im rechtwinkligen Steigungsdreieck,
l
so dass folgende Beziehungen gelten:
= arctan
20.06.12
h
l
m = tan
46
,
p = 100 tan
gibb bms gest. / gew.
Theorie / Arbeitsanleitung
Trigonometrie 1
Lernziele
Sie können aus der Steigung in % den Steigungswinkel bestimmen und umgekehrt.
Sie können ausgehend von Geradengleichungen die Steigung in % und den Steigungswinkel
bestimmen.
Lösungshilfen
Beispiel:
Eine Bergbahn überwindet eine Höhendifferenz von 240 Metern. Die horizontale Länge beträgt 1250 m.
Zu berechnen ist die Steigung p im Prozent und der durchschnittliche Steigungswinkel der Fahrbahn.
p 100
240
1250
19.2%
arctan
240
1250
10.9
Aufgaben, Nr. 18 - 24
Inhalt
Steigung
Geradengleichung
Kernstoff
Übungsstoff
18 adefg 19 20abcdf 21 18 bch 20 egh
22 23
24abc
24d
Zusatzstoff
24ef
2.1.6. Vermischte Aufgaben aus der Geometrie
Lernziele
Sie können mit Hilfe der Trigonometrischen Funktionen geometrische Aufgaben lösen.
Aufgaben 3, Nr. 25 - 33
Inhalt
Dreieck, Rechteck
Kreis
Körper
Trapez
20.06.12
Kernstoff
25a 26b 27ac 28
29 30
31 32
1.3 (S.9)
Übungsstoff
25b 26a 27b
Zusatzstoff
33
47
gibb bms gest. / gew.
Trigonometrie 1
Aufgaben
Aufgaben zu 2.1.1. – 2.1.2.
1. Berechnen Sie mit dem Taschenrechner sin (auf 4 Stellen nach dem Komma runden):
a) sin 24°
b) sin 5.25°
c) sin 67°
d) sin 67.1666°
e) sin 0.1666°
f) sin 89.9997°
2. Berechnen Sie mit dem Taschenrechner (auf 1 Stelle nach dem Komma runden):
a) sin = 0.2974
b) sin = 0.9942
c) sin = 0.7716
d) sin
e) sin
= 0.5
0.5774
2
f) sin
3
3. Berechnen Sie die fehlenden Grössen folgender rechtwinkliger Dreiecke (
a) a = 32 cm
= 42.5°
b) c = 109 m
= 46°
c) a = 10.7 cm c = 12.2 cm
0.12345
90 ) mit dem Sinus:
4. Berechnen Sie mit dem Taschenrechner cos (auf 4 Stellen nach dem Komma runden):
a) cos 59°
b) cos 8.5042°
c) cos 80.5°
d) cos 30°
e) cos 0.00083333°
f) cos 89.9997°
(auf 1 Stelle nach dem Komma runden):
= 0.3333
c) cos = 0.989
5. Berechnen Sie mit dem Taschenrechner
a) cos = 0.5
b) cos
d) cos
= 0.0204
e) cos
= 0.9182
f) cos
4
6. Berechnen Sie die fehlenden Grössen folgender rechtwinkliger Dreiecke (
a) b = 17 dm
= 23.5°
b) c = 78 m = 42.5°
c) a = 8.1 cm
c = 11.7 cm
0.888 5
90 ) mit dem Cosinus:
7. Berechnen Sie mit dem Taschenrechner tan (auf 4 Stellen nach dem Komma runden):
a) tan 72.9°
b) tan 45°
c) tan 15.333°
d) tan 5°
e) tan 89.983333°
f) tan 0.00027777°
8. Berechnen Sie mit dem Taschenrechner
b) tan
a) tan = 0.7673
d) tan
e) tan
=1
(auf 1 Stelle nach dem Komma runden):
= 5.5
c) tan = 99.999
0.1212
2
f) tan
3
0.1974
9. Berechnen Sie die in Klammern angegebenen Grössen folgender rechtwinkliger Dreiecke (
mit dem Tangens:
a) a = 42 m
= 38.5° (Seite b)
b) a = 7.4 cm b = 11.7 cm (Winkel )
10. Bestimmen Sie mit dem Taschenrechner
a) sin = cos 70°
b) sin
d) cos = sin 89.38333°
e) sin
90 )
(auf 1 Stelle nach dem Komma runden):
= cos 24.1°
c) cos = sin 16°
= tan 44°
f) tan = cos 1°
11. Berechnen Sie die fehlenden Grössen folgender rechtwinkliger Dreiecke (
von Pythagoras zu verwenden:
a) a = 113 cm b = 50 cm
b) a = 20 cm
c = 30 cm
c) b = 103 m
c = 200 m
d) a = 90 m
= 32.5°
e) c = 300 m
= 7°
f) b = 73.2 m
= 16°
90 ), ohne den Satz
12. Zeigen Sie, dass für 0° < < 90° die folgenden Beziehungen stimmen, indem Sie die Definitionen
der Winkelfunktionen und falls nötig den Satz des Pythagoras verwenden.
Bemerkung: tan2 ist die Kurzschreibweise von (tan )2.
a) sin
c) cos
20.06.12
= cos (90° –
=
1 sin 2
)
b) sin2
+ cos2
d) 1 + tan2
=1
1
=
cos 2
48
b
a
c
bms gest / gew
Trigonometrie 1
Aufgaben
Aufgaben zu 2.1.3.
13. Berechnen Sie ohne Taschenrechner (mit Hilfe der 45° und 30° / 60° Dreiecke) kontrollieren Sie
anschliessend mit dem Rechner.
a) sin 30° + cos2 30°
b) cos2 45° + sin2 45°
c) tan 45° + cos 60°
d) sin4 60° – cos4 60°
e)
1 cos 30
1 cos 30
f) sin 30° + cos 45°
Aufgaben zu 2.1.4.
14. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Treffen Sie Ihre Entscheidung, ohne die
einzelnen Funktionen zu berechnen. Überlegen Sie mit Hilfe des Einheitskreises, indem Sie die
Streckenlängen am Einheitskreis einzeichnen:
a) sin 20° = sin 70°
b) cos 80° = cos 10°
c) cos 70° < cos 20°
d) sin 25° = cos 25°
e) sin 45° > cos 45°
f) sin 80° = cos 10°
15. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Treffen Sie Ihre Entscheidung, ohne die
einzelnen Funktionen zu berechnen. Überlegen Sie mit Hilfe des Einheitskreises.
a) sin 17° < sin 25°
b) sin 80° > sin 80.333°
c) sin 55° > sin 45°
d) cos 6° < cos 5°
e) cos 55° > cos 54°
f) cos 33° < cos 34°
g) tan 12° < tan 13°
h) tan 26° = tan 64°
i) tan 0.5° > 0
k) sin 0.001° < 0
l) cos 89.9° = 0
m) tan 50° > 1
n) sin 80° = 1
o) cos 0.2° < 1
16. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Treffen Sie Ihre Entscheidung, ohne die
einzelnen Funktionen zu berechnen. Überlegen Sie mit Hilfe des Einheitskreises.
a) cos 70° > sin 70°
b) sin 20° = cos 70°
c) cos 10° > sin 20°
e) sin 5° = tan 5°
f) cos 1° = tan 45°
17. Ein regelmässiges Vieleck hat einen Inkreis mir Radius r = 1m. (Vergleichen Sie mit Überlegungen am
Einheitskreis.)
a) Zeigen Sie, dass der Umfang eines regelmässigen Sechsecks 12 (tan 30°) cm beträgt.
b) Wie steht es mit den Umfängen anderer regelmässiger Vielecke (8 – eck, 12 – eck …)?
Stellen Sie Vermutungen auf und versuchen Sie diese zu beweisen.
Aufgaben zu 2.1.5.
18. Berechne zu jeder Steigung in % den zugehörigen Steigungswinkel :
a) 10%
b) 6%
c) 15%
d) 30%
e) 70%
f) 100%
g) 200%
h) 18.5%
19. Skizzieren Sie eine Steigung von 100 %.
20. Berechnen Sie zu jedem vorgegebenen Steigungswinkel
a) 5°
b) 10°
c) 20°
d) 40°
g) 4.3°
h) 6.38333°
die zugehörige Steigung in%.
e) 70°
f) 80°
21. Eine Strasse hat eine Steigung von 8%. Wie gross ist der Steigungswinkel?
22. Eine Treppe hat einen Auftritt von 26 cm bei einer Steigungshöhe von 17.5 cm. Berechnen Sie den
Steigungswinkel der Treppenwange.
23. Die betonierte Zufahrt zu einer Kellergarage fällt um 1.10 m. Wie lange wird die Bodenfahrbahn,
wenn der Neigungswinkel 8.5° beträgt?
24. Bestimmen Sie den Steigungswinkel
% der jeweiligen Geraden:
20.06.12
bezogen auf die Horizontale (x-Achse) und die Steigung in
49
bms gest / gew
Trigonometrie 1
a) y = 0.6x – 3
d) y = 5x + 4
Aufgaben
b) y = 1.8x + 4
e) 6x – 8y =–2
c) y = 3x – 7
f) –3x + 6y = 1
Aufgaben zu 2.1.6.
25. Berechnen Sie die Seitenlängen des Rechtecks, wenn folgende Teile gegeben sind:
a) Diagonale AC = e = 58cm
Winkel CAB = 1 = 37°
b) Diagonale AC = e = 74cm
Winkel AMB = = 108°
(M ist der Diagonalenschnittpunkt)
26. Ein Rechteck hat eine Länge von 9.5cm und eine Breite von 4.2cm.
a) Welchen Winkel schliessen die Seiten mit den Diagonalen ein?
b) Welche Winkel bilden die Diagonalen?
27. Berechnen Sie die fehlenden Grössen und den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks,
wenn gegeben sind:
a) Basis c = 34cm h = 19cm
b) Basis c = 28cm
Schenkel b = 20cm
= 56.5°
c) h = 5.2dm
28. Von einem schiefwinkligen Dreieck kennt man die Höhe ha = 45 mm und die Winkelmasse
= 68.17° und = 50.50°.
Gesucht sind die Seitenlängen des Dreiecks und sein Flächeninhalt.
29. An einen Kreis mit dem Radius r = 10cm ist von einem Punkt A ausserhalb des Kreises eine
Tangente gezogen. Der Punkt A ist vom Kreismittelpunkt M 18 cm entfernt.
Gesucht sind:
a) die Länge l des Tangentenstücks von A bis zum Berührungspunkt.
b) die Grösse des Winkels zwischen der Tangente und der Geraden AM.
30. In einem Kreis mit dem Radius r = 10 cm ist eine Sehne der Länge 14 cm eingetragen.
Berechnen Sie:
a) die Grösse des Mittelpunktswinkels
b) die Länge des zugehörigen Bogens
c) den Flächeninhalt des zugehörigen Kreisabschnitts
31. Die Höhe eines geraden Kreiskegels beträgt 10 cm. Das Mass des Basiswinkels (Winkel
zwischen der Mantellinie und seiner Grundflächenprojektion) ist 62°.
Berechnen Sie den Radius r des Grundkreises.
32. Berechnen Sie die Masse der Winkel, welche eine Körperdiagonale eines Würfels…
a) …mit einer Kante…
b) …mit einer anderen Körperdiagonale bildet.
33. Durch eine Grundkante eines Würfels mit der Kantenlänge 12 cm wird eine um 25° geneigte Ebene
gelegt, die den Würfel in zwei Teilkörper zerlegt.
Berechnen Sie die Volumina der beiden Teilkörper.
20.06.12
50
bms gest / gew
Trigonometrie 1
Aufgaben
Lösungen
Aufgaben zu 2.1.1. – 2.1.2.
1. a) 0.4067
d) 0.9216
b) 0.0915
e) 0.0029
c) 0.9205
f) 1 (aufgerundet !)
2. a) 17.3°
d) 30°
b) 83.8°
e) 70.5°
c) 50.5°
f) 21.3°
3. a) b = 34.92 cm
b) a = 75.72 cm
c) b = 5.9 cm
c = 47.37 cm
b = 78.41 cm
= 61.3°
4. a) 0.5150
d) 0.8660
b) 0.9890
e) 1 (aufgerundet !)
c) 0.1650
f) 0 (abgerundet !)
5. a) 60°
d) 88.8°
b) 70.5°
e) 23.3°
c) 8.5°
f) 109.3°
6. a) a = 7.39 dm
b) a = 57.51 m
c) = 43.8°
c = 18.54 dm
b = 52.7 m
= 46.2°
= 66.5°
= 47.5°
b = 8.45 cm
7. a) 3.2506
d) 0.0875
b) 1 (exakt)
e) 3437.6779
c) 0.2742
f) 0 (abgerundet !)
8. a) 37.5°
d) 45°
b) 79.7°
e) 13.8°
c) 89.4°
f) 33.5°
b)
e)
c) = 74°
f) = 45° (aufgerundet !)
= 47.5°
= 44°
= 28.7°
9. a) b = 52.8 m
b) = 32.3°
10. a)
d)
= 20°
= 0.6° (gerundet)
= 66.1°
= 41.8°
= 59°
c = 106.7 m
b = 36.56 m
c = 265.6 m
11. a) c = 123.6 cm
b) b = 22.36 cm
c) a = 171.4 m
d) b = 57.34 m
e) a = 297.8 m
f) a = 255.3 m
12. a) sin
= cos (90° –
b) sin2
+ cos2
c) cos
=
d) 1 + tan2
)
a
cos
c
a
c
=1
2
1 sin 2
b
c
1
1
cos 2
1
a
b
=
= 65.9°
= 74.9°
a
c
b
c
a
c
2
a
c
2
1
2
b
c
1
b
c
b2
a2
b2
20.06.12
= 23.9°
= 48.2°
= 31°
= 57.5°
= 83°
= 74°
a2
b2
c2
c2
c2
a2
2
2
c
c
1
2
a
b
2
c2
c2
b2
b2
b2
b2
c2
c2
b
c
c2
51
a2
1
a2
c
c
b
2
c2
1
c2
b
c
2
b2
c
2
b2
a2
c2
b2
b2
b2
1
b
c
b
c
bms gest / gew
Trigonometrie 1
Aufgaben
Lösungen
Aufgaben zu 2.1.3.
5
4
1
d)
2
1
2
3
2
2 1
f)
2
14. a) falsch
d) f
b) falsch
e) f
c) wahr
f) w
15. a) w
d) w
g) w
k) f
n) f
b) f
e) f
h) f
l) f
o) w
c) w
f) f
i) w
m) w
16. a) f
e) f
b) w
f) f
c) w
13. a)
b) 1
e)
c)
Aufgaben zu 2.1.4.
17. a) Die halbe Sechseckseite beträgt tan 30°
b) U8 = 16 · tan 22.5°, U12 = 24 · tan 15°. Allgemein: Un = 2n ·tan
360
2n
Aufgaben zu 2.1.5.
18. a) 5.7°
d) 16.7°
g) 63.4°
b) 3.4°
e) 35°
h) 10.5°
c) 8.5°
f) 45°
19. Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck (horizontale Länge = Höhe / Steigungswinkel = 45°)
20. a) 8.7%
d) 83.9%
g) 7.52%
b) 17.7%
e) 274.75%
h) 11.19%
c) 36.4%
f) 567.13%
21. 4.6°
22. 33.9°
23. 7.44 m
24. a) 31.0° / 60%
b) 61.0° / 180%
c) 71.6° / 300%
e) 36.9° / 75%
f) 26.6° / 50%
d) 78.7° / 500%
Aufgaben zu 2.1.6.
25. a) a = 46.3 cm
b) a = 59.9 cm
26. a) 1 = 23.9°
b) ° = 132.3°
b = 34.9 cm
b = 43.5 cm
= 66.2°
= 47.7°
2
27. a) = 48.2°
b) = 45.6°
c) b = 5.9 dm
= 83.6°
= 88.9°
c = 5.6 dm
b = 25.5 cm
h = 14.3 cm
A =14.5 dm2
A =323 cm2
A =200 cm2
28. a = 61.7 mm
b = 51.3 mm
c = 58.3 mm
A = 1388.25 mm2
20.06.12
52
bms gest / gew
Trigonometrie 1
Aufgaben
Lösungen
29. a) AT = 15.0 cm
30. a)
= 88.9°
b)
= 33.7°
c) A = 27.56 cm2
b) b = 15.5 cm
31. r = 5.32 cm
32. a)
= 54.7°
33. V1 = 403.2 cm3
20.06.12
b) = 70.5°
V2 = 1324.8 cm3
53
bms gest / gew
Trigonometrie 1
20.06.12
Aufgaben
54
bms gest / gew
Trigonometrie 2
Arbeitsanleitung / Theorie
2.2. Trigonometrie am schiefwinkligen Dreieck
Bisher haben wir die trigonometrischen Winkelfunktionen nur für Berechnungen am rechtwinkligen
Dreieck verwendet. Mit Hilfe des Sinus- und des Cosinussatzes lassen sich auch in Dreiecken mit
beliebigen Winkeln - in sogenannten schiefwinkligen(allgemeinen) Dreiecken - Strecken und Winkel
berechnen.
2.2.1. Sinussatz
Definition
a
sin
b
sin
c
sin
2r
Das Verhältnis „Seite : Sinus des gegenüberliegenden Winkels“ ist in einem gegebenen Dreieck
konstant und doppelt so gross wie der Radius r des Umkreises.
Beweis
(1) Wir zerlegen das schiefwinklige Dreieck ABC durch die Höhe hc in zwei rechtwinklige Teildreiecke.
Danach berechnen wir hc im linken(grauen) Teildreieck aus b und , im rechten(weissen) Teildreieck
aus a und . Durch Gleichsetzen erhalten wir dann einen Teil des Sinussatzes. Analog verfährt man mit
den beiden anderen Höhen des Dreiecks und erhält den vollständigen Satz.
C
sin
Graues Teildreieck:
sin
Weisses Teildreieck:
Gleichsetzen, umformen:
a sin
hc
b
hc
b sin
b
a
hc
hc
a
hc
a sin
A
a
sin
b sin
B
c
b
sin
(2) Wir zeigen nun noch, dass das Verhältnis „Seite : Sinus des gegenüberliegenden Winkels“
doppelt so gross ist wie der Umkreisradius r.
Im grauen Teildreieck gilt:
0.5a
r
r sin
C
0 .5 a
r
sin
2r sin
a
2r
b
sin
b
a
M
A
19.06.2012
55
c
B
gibb bms gest / gew
Trigonometrie 2
Arbeitsanleitung / Theorie
Anwendungen
Sind bei einem schiefwinkligen Dreieck alle Seiten und Winkel gesucht, verwenden wir entweder den
Sinus- oder den Cosinussatz. Den Sinussatz verwenden wir, wenn folgende Teile gegeben sind:
w ws
wsw
Zwei Winkel und die
eingeschlossene Seite
Ssw
Zwei Winkel und eine nicht
eingeschlossene Seite
Zwei Seiten und der Winkel,
der der grösseren Seite
gegenüberliegt *
* Wenn der Winkel nicht der grösseren Seite gegenüberliegt, kann der Sinussatz trotzdem angewendet
werden, es gibt aber zwei Lösungen.
Siehe Lösungshilfen
Lernziele
Sie kennen den Sinussatz auswendig und können ihn für die Berechnung an beliebigen
Dreiecken(inklusive Umkreisradius) anwenden.
Sie erkennen, wenn zwei Lösungen auftauchen und können die zweite Lösung mit Hilfe des
Einheitskreises bestimmen.
Lösungshilfen
Beispiel 1: Sinussatz, eine Lösung
Gegeben:
Gesucht:
1.
Dreieck ABC mit c = 14 m,
Seitenlängen von a und b
180
2. WSW
57.1
44.4
57.1 und
44.4
78.5 , Innenwinkelsumme Dreieck.
Sinussatz
a
sin
c
sin
a
c sin
sin
a
14 sin 57.1
sin 78.5
11.994 m 12 m
b
sin
c
sin
b
c sin
sin
b
14 sin 44.4
sin 78.5
9.996 m 10 m
Beispiel 2: Sinussatz, zwei Lösungen
Gegeben:
Gesucht:
Dreieck ABC mit b = 5 cm, c = 8 cm und
Winkel und
20
1. sSW
Sinussatz Der gegeben Winkel liegt der kleineren Seite gegenüber, also sind zwei
Lösungen zu erwarten, wie die Dreieckskonstruktion zeigt:
c = 8 cm und
20 abtragen:
A
19.06.2012
56
c
B
gibb bms gest / gew
Trigonometrie 2
Arbeitsanleitung / Theorie
b = 5cm mit Zirkel abtragen: Dreiecke ABC1 und ABC2 , zwei Lösungen.
C2
cm
5
=
2
b
C1
b
2
= 5 cm
1
1
A
B
c
2. Die spitzwinklige Lösung mit dem Sinussatz berechnen:
b
sin
c
b sin 1 c sin
sin 1
8 sin 20
arcsin
33.2
5
1
sin
c sin
b
1
1
arcsin
c sin
b
Bemerkung: der Rechner liefert uns immer nur die spitzwinklige Lösung.
3. Die zweite, stumpfwinklige Lösung finden wir mit dem Einheitskreis: die Definition am
Einheitskreis hat den Vorteil, dass sie für beliebige Winkel gilt !
2
180
sin(33.2°)
P
sin(146.8°)
P'
33
146.8
1
33
1
33
Allgemein:
Liefert der Rechner die erste spitzwinklige Lösung
2
180
y 2 180
1,
so finden wir die zweite Lösung
2
mit
y1 .
33.2
146.8
2. Die restlichen Winkel finden wir mit der Innenwinkelsumme:
1
180
19.06.2012
20
33.2
126.8 und
2
180
20
57
146.8
13.2
gibb bms gest / gew
Trigonometrie 2
Arbeitsanleitung / Theorie
Aufgaben Sinussatz
Kernstoff
Nr. 1acd 2
Übungsstoff
1be
Zusatzstoff
2.2.2 Cosinussatz
Definition
a 2 b 2 c 2 2bc cos
b 2 a 2 c 2 2ac cos
c 2 a 2 b 2 2ab cos
Beweis
Wir zerlegen das schiefwinklige Dreieck ABC durch die Höhe hc in zwei rechtwinklige Teildreiecke.
2
Graues Teildreieck:
(1) b
Weisses Teildreieck
(2) a
hc
2
2
hc
2
p2
(c
hc
2
b2
p2
C
p) 2
b
(1) in (2) einsetzen
(3) a
2
a2
a2
a
(3), umformen:
b 2 p 2 (c p ) 2
b 2 p 2 c 2 2cp
b 2 c 2 2c p
hc
p2
A
p
c-p
c
B
Im grauen Teildreieck gilt weiter:
(4) cos
p
b
p b cos , in (3) einsetzen
(5): a
2
b2
c2
2bc cos
Anwendungen
Sind bei einem schiefwinkligen Dreieck alle Seiten und Winkel gesucht, verwenden wir entweder den
Sinus- oder den Cosinussatz. Den Cosinussatz verwenden wir, wenn folgende Teile gegeben sind:
s ws
sss
Drei Seiten
Zwei Seiten und der
eingeschlossene Winkel
Lernziele
Sie kennen den Cosinussatz auswendig und können ihn für die Berechnung an beliebigen Dreiecken
anwenden.
19.06.2012
58
gibb bms gest / gew
Trigonometrie 2
Arbeitsanleitung / Theorie
Lösungshilfen
Beispiel 1: Cosinussatz (sws)
Gegeben:
Gesucht:
Dreieck ABC mit b = 10 m, c = 14 m
Seitenlänge a
a2
b 2 c 2 2bc cos
a
10 2 14 2
57.1
b 2 c 2 2bc cos
a
2 10 14 cos 57.1
11.996m 12 m
Beispiel 2: Cosinussatz (sss)
Gegeben:
Gesucht:
a2
b2
Dreieck ABC mit a = 12cm, b = 10 m, c = 14 m
Winkel
und
c 2 2bc cos
b2
c2 a2
2bc
c2
2ac cos
a2
c2 b2
2ac
arccos
b2
a2
arccos
2bc cos
ar cos
b2
c2
10 2 14 2 12 2
2 10 14
2ac cos
arccos
a2
a2
b2
cos
c2 a2
2bc
57.1
c2 b2
12 2 14 2 10 2
2 12 14
a2
cos
c2 b2
2ac
44.4
Beispiel 3:
Der Cosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras für schiefwinklige Dreiecke!
Wir setzen
90 in den Cosinussatz ein und erhalten den Satz von Pythagoras:
c2
a 2 b 2 2ab cos 90
c2
a 2 b 2 2ab 0
c2
a2
b2
Aufgaben Cosinussatz
Kernstoff
Nr. 3ab
Übungsstoff
3c
Zusatzstoff
18
2.2.3. Vermischte und angewandte Aufgaben
Sinus- oder Cosinussatz
Nun müssen Sie selber entschieden, welcher Satz jeweils zur Anwendung kommt. Am besten machen
Sie eine saubere Hilfskizze und schreiben auf, welche Teile (sss, sws, etc.) gegeben sind, bevor Sie
sich entscheiden.
Eine weitere Anwendung ist der Flächensatz für schiefwinklige Dreiecke.
19.06.2012
59
gibb bms gest / gew
Trigonometrie 2
Arbeitsanleitung / Theorie
Definition Flächensatz
A
bc sin
2
ac sin
2
ab sin
2
Die Fläche A des schiefwinkligen Dreiecks kann aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
berechnet werden.
Beweis
Graues Teildreieck: (1) sin
Fläche ganzes Dreieck: (2) A
Einsetzen (1) in (2): (3) A
C
hc
b
hc
b sin
b
c hc
a
2
hc
c b sin
2
A
B
c
Lernziele
Sie erkennen, wann der Sinus- oder der Cosinussatz angewendet werden muss und können beide
Sätze zum Berechnungen am schiefwinkligen Dreiecken anwenden.
Sie kennen den Flächensatz am schiefwinkligen Dreieck und können ihn anwenden.
Sie können angewandte Aufgaben, vor allem aus der Planimetrie, lösen.
Vermischte Aufgaben
Inhalt
Sinus- und Cosinussatz
Flächenprobleme
Vierecke
Angewandte Aufgaben
19.06.2012
Kernstoff
4bc
5a 7
8a 9b
10ad 11 12 13 14
Übungsstoff
4ad
5b 6
8b 9a
10bc
60
Zusatzstoff
15 16 17
gibb bms gest / gew
Trigonometrie 2
Aufgaben
2.2.1. Sinussatz
1.
Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel der folgenden Dreiecke:
a) a 23 cm
72.3
19.1
42
19.7
b) c 29 mm
c 95 mm
34.1
c) b 65 mm
25
d) a 70.5 m
b 30.2 m
e) b 6.42 km
c 8.91 km
35
2.
Berechnen Sie den Umfang des Umkreises des folgenden Dreiecks:
a 23 cm
19.1
2.2.2. Cosinussatz
3.
Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel der folgenden Dreiecke:
c 9.8 cm
81.4
a) b 5.8 cm
b 38 cm
c 55 cm
b) a 45 cm
b 1.8 m
102.9
c) a 1.4 m
2.2.3. Vermischte und angewandte Aufgaben
4.
Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel der folgenden Dreiecke:
w
64.1 cm
124.4
a) b 46.5 cm
b) b 68 cm
s b 47 cm
c 53 cm
119
c) c 2.3 m
w
3.2m
d) b
5.
5 . 2 cm
sa
7.1 cm
Berechnen Sie den Flächeninhalt der folgenden Dreiecke:
a) a 125m
c 138 m
b) a 45dm
b 50 dm
104.6
78.3
c
56dm
6.
Von einem Dreieck mit dem Flächeninhalt A = 12 cm2 sind die beiden Seiten a = 8.2 cm und
b = 5.5 cm gegeben. Berechnen Sie den Winkel des Dreiecks.
Überlegen Sie sich, ob mehrere Lösungen möglich sind.
7.
Von einem Dreieck mit dem Flächeninhalt A = 2.2 dm2 sind die Seite a = 4.5 dm und der Winkel
35 gegeben. Berechnen Sie die fehlenden Seiten des Dreiecks.
8.
Berechnen Sie die fehlenden Grössen des Parallelogramms ( e
a) a 23cm
e 26cm
38
b) a 12 cm
b 8 cm
e 15 cm
9.
Berechnen Sie die fehlenden Grössen des Trapezes:
a) a 9 cm
b 5 cm
38
b) a 13 cm
b 5 cm
c 9 cm
19.06.2012
61
AC ):
79
d
4 cm
bms gest / gew
Trigonometrie 2
Aufgaben
10. Berechnen Sie den Flächeninhalt A des Kreisabschnitts (Kreissegment):
a)
b)
c)
d)
11.
r
r
r
r
5.2 cm
12 cm
5 cm
8 cm
110
b 18 cm
s 7.2 cm
h 2 cm
Von einem regulären Tetraeder mit der Kante s wird gemäss Zeichnung die Spitze abgeschnitten.
bildet die Grundfläche ABC mit der Fläche ADE ?
Welchen Zwischenwinkel
12. Die Entfernung der beiden Orte Pisa und Quinten kann wegen eines dazwischen liegenden Berges
nicht gemessen werden.
100 .
Gemessen werden können aber IPRI = 290 m, IRQI = 600m und
Berechnen Sie die Entfernung zwischen Pisa und Quinten.
13. Ein 2,6 m langer Stab ist um 70° gegen die Horizontale geneigt und wirft einen 4,8 m langen
Schatten. Berechnen Sie den Winkel der Sonnenstrahlen mit der Horizontalen (die Sonnenhöhe),
wenn die Sonnenstrahlen in die Ebene des Neigungswinkel einfallen.
19.06.2012
62
bms gest / gew
Trigonometrie 2
Aufgaben
14. Der Mittelpunkt des Ziffernblattes einer Turmuhr befindet sich in h = 60 m Höhe und erscheint von
42.16 . Der untere Rand des
einem bestimmten Punkt aus unter dem Erhebungswinkel von
41.16 :
h
0.5 x
Zifferblattes erscheint vom selben Punkt aus unter einem Erhebungswinkel von
e
Berechnen Sie den Durchmesser x des Ziffernblattes.
15. Zeigen Sie, dass für jedes Dreieck ABC mit
60 gilt:
a b
2
c2
ab
16. Gegeben ist das Rechteck ABCD, mit IABI = 210 cm, IADI = 99 cm.
Es gilt weiter: ICPI = IPQI = IDQI.
Beurteilen Sie, ob die Dreiecke ABP und ABQ rechtwinklig sind.
17. Gegeben sind vier gleiche Quadrate mit der Seite 40mm.
Beurteilen Sie, ob der Winkel x = 45° ist.
18. Setzen Sie im Cosinussatz zuerst
Sie die Ergebnisse.
19.06.2012
0 und dann
63
180 ein und vereinfachen Sie. Interpretieren
bms gest / gew
Trigonometrie 2
Aufgaben
Lösungen
2.2.1. Sinussatz
1.
Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel der folgenden Dreiecke:
a) b 66.96cm
c 70.27cm
88.6
b 11.10mm
b) a 22.04mm
118.3
123.3
22.56
c) a 141.6 mm
d) 1 80.6
c 1 68.83m
1 74.4
99
.
4
55
.
6
c
58.96m
2
2
2
e) 1 92.25
a1 11.18km
1 52.75
17.75
a 2 3.41km
2
2 127.25
2.
Berechnen Sie den Umfang des Umkreises des folgenden Dreiecks:
r 35.14 cm , U 220.8 cm
2.2.2. Cosinussatz
3.
Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel der folgenden Dreiecke:
a) a 10.62cm
32.70
65.90
b)
54.22
43.24
82.54
c) c 2.515 m
32.86
44.24
2.2.3. Vermischte und angewandte Aufgaben
4.
Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel der folgenden Dreiecke:
17.93
a) a 92.28cm
37.67
c 124.6 cm
b) a 62.62cm
71.50
47.66
60.84
c) a 6.9m
44 .1
16.9
b 5.5 cm
d) a 7.396cm
30.03
45.37
c 10.06 cm
5.
Berechnen Sie den Flächeninhalt der folgenden Dreiecke:
a) A
6.
7.
8.
9.
8445.80 m
zwei Lösungen
b
3.25 dm
2
b) A
1
1070 dm2
32.15
2
147.8
c 1.71 dm
Berechnen Sie die fehlenden Grössen des Parallelogramms:
f 20.21 cm
a) b 3.7 cm
b) f 13.82 cm
84.92
142
95.08
Berechnen Sie die fehlenden Grössen des Trapezes:
d 7.97 cm
101
a) c 1.77 cm
b)
77.36
51.32
128.68
142
102.64
10. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Kreisabschnitts (Kreissegment):
a) A
13cm 2
b) A
36cm 2
c) A
7.6cm 2
d) A
14.51 cm
11.
19.06.2012
2
29.49
64
bms gest / gew
Trigonometrie 2
Aufgaben
Lösungen
12. Die Entfernung beträgt 710.3 m
13. Der Winkel
der Sonnenstrahlen mit der Horizontalen beträgt 32
14. Der Durchmesser des Ziffernblattes beträgt 4.15 m
15. Cosinussatz mit 60 und Binomische Formeln verwenden.
16. Die Dreiecke sind nicht rechtwinklig. Die Winkel APB und AQB sind je 89.997125
17. Der Winkel x ist genau 45
18. Die in beiden Fällen liegen die drei Punkte auf einer Strecke liegen, können wir hier nicht mehr von
Dreiecken sprechen.
0 : c = Ia – bI
c ist die Differenz der Strecken a und b.
180 : c = a + b
c ist die Summe der Strecken a und b.
19.06.2012
65
bms gest / gew
Trigonometrie 2
19.06.2012
Aufgaben
66
bms gest / gew
Trigonometrie 3
3.
Arbeitsanleitung / Theorie
Die Funktionen sin, cos, tan für 0° <
< 360°
3.1. Einheitskreis
3.1.1. Einleitung
Wir zeichnen einen Kreis mit Radius 1 ins Zentrum des rechtwinkligen Koordinatensystems und lassen
nun einen Punkt P von der x-Achse aus auf der Kreislinie im Gegenuhrzeigersinn rotieren, so dass
der Zentriwinkel immer grösser wird.
y
y
y
P1
2
1
x
r=1
x
ist Null
P0
0
x
0
1
r=
r=
1
P2
ist spitzwinklig
ist stumpfwinklig
Nach einer vollen Umdrehung beträgt der Zentriwinkel 360°, was wieder der Ausgangslage entspricht.
3.1.2. Winkel des ersten Quadranten (0° <
< 90°)
Wir haben bereits in Trigonometrie 1 die Definiton der Winkelfunktionen am Einheitskreis kennengelernt:
P
tan
sin
O
cos
Auf das Koordinatensystem bezogen entspricht also die x - Koordinate des Punktes P dem Cosinus
von , die y-Koordinate des Punktes P dem Sinus von : P ( cos / sin )
Bemerkung:
Den Tangens liest man immer auf der rechten Kreistangente ab, diese Gerade wird deshalb auch
Tangensträger genannt.
19.06.2012
67
gibb bms gest / gew
Trigonometrie 3
Arbeitsanleitung / Theorie
3.1.3. Winkel aller Quadranten (0° <
< 360°)
Zeichnen Sie die Definitionen der Trigonometrischen Funktionen in den drei weiteren Quadranten
des Koordinatensystems ein (r = 1):
y
y
3. Quadrant
4. Quadrant
x
< 180°
x
90° <
y
180° <
< 270°
x
2. Quadrant
270° <
< 360°
Wir können nun mit Hilfe des Einheitskreises die Vorzeichen der Funktionswerte der
Trigonometrischen Funktionen in den verschiedenen Quadranten bestimmen:
sin
cos
tan
=
sin
cos
1. Quadrant
0° < < 90°
+
+
+
2. Quadrant
90° < < 180°.
+
-
3. Quadrant
180° < < 270°
+
4. Quadrant
270° < < 360°
+
-
Wir können nun mit Hilfe des Einheitskreises einige Funktionswerte der Trigonometrischen
Funtkionen in für folgende Winkel ohne Taschenrechner bestimmen:
sin
cos
tan
0°
0
1
0
90°
1
0
--
180°
0
-1
0
270°
-1
0
--
360°
0
1
0
Lernziele
Sie kennen die Definitionen der Trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan für beliebige Winkel.
Sie kennen die Beziehungen am Einheitskreis und können die Funktionswerte von 0°, 90°, 180°, 270°
ablesen, ebenso die Vorzeichen der Funktionswerte.
Aufgaben Aufgabenblätter
Kernstoff
1 2abc 3 4
19.06.2012
Übungsstoff
2d
Zusatzstoff
68
gibb bms gest / gew
Trigonometrie 3
Arbeitsanleitung / Theorie
3.2. Das Bogenmass
Wir haben bis jetzt die Winkelgrössen mir Altgrad (Degree) angegeben. Das Verhältnis zwischen
Bogenlänge und zugehörigem Radius eines Kreissektors ist ebenfalls als Winkelmass geeignet.
Definition:
b
„Einheit“ Radiant
r
r
b
Das Bogenmass ist eine Verhältniszahl und hat eigentlich keine Dimension, keine Einheit. Das
Verhältnis ist nur von der Grösse des Zentriwinkels abhängig. Deshalb lässt sich das Bogenmass auch
als Masszahl der Bogenlänge (arcus) am Einheitskreis auffassen.
Umrechungsformeln:
180
180
Gradmass
0°
Bogenmass
0
oder: 360
2
45°
60°
90°
4
3
2
180°
360°
2
57.3...°
1
Taschenrechner
Kontrollieren Sie immer zuerst, ob der TR auf DEG oder RAD (Modes) eingestellt ist. Die
Normaleinstellung ist DEG (Geometrie !).
Lernziele
Sie können Gradmass in Bogenmass und umgekehrt verwandeln
Sie können das Bogenmass am Einheitskreis und an Funktionsgraphen anwenden.
Aufgaben Aufgabenblätter
Kernstoff
5ace 6ace 7acegi 8ace
19.06.2012
Übungsstoff
5bdf 6bdf 7bdfhk 8bdf
69
Zusatzstoff
gibb bms gest / gew
Trigonometrie 3
Arbeitsanleitung / Theorie
3.3. Die Graphen der Winkelfunktionen http://www.ies.co.jp/math/java/trig/
Wir verwenden die aus der Funktionslehre üblichen Bezeichnungen, d.h. der Funktionswert, die
abhängige Variable bezeichnen wir mit y oder f(x), das Argument oder die unabhängige Variable mit x
(x steht also für den Winkel ( ), y für das Seitenverhältnis).
3.3.1. Sinusfunktion y = sin (x)
Die Zuordnung x
sin (x) für x R heisst Sinusfunktion. Wir betrachten den Graphen im Intervall
360
x 360 ; 2
x 2 :
Eigenschaften:
Funktionswerte
W
Achsensysmmetrie
x
Punktsymmetrie
Periodizität
(k 180 / 0) ; (k
k
2
/ 0) , k
sin( x
sin( x
{y
1
90
y
k 180
k 360 )
1}
, k
Z
Z
2 k
sin( x ) , Periodenlänge T = 360° = 2
)
3.3.2. Cosinusfunktion y = cos (x)
Die Zuordnung x
cos (x) für x R heisst Cosinusfunktion. Wir betrachten den Graphen im Intervall
360
x 360 ; 2
x 2 :
Eigenschaften:
Funktionswerte
W
Achsensysmmetrie
x
Punktsymmetrie
(90
Periodizität
cos( x
19.06.2012
{y
1
k 180
y
1}
k
, k
k 180 / 0) ;
k 360 )
Z
k
2
cos( x
/ 0) , k
2 k
70
)
Z
cos( x ) , Periodenlänge T = 360° = 2
gibb bms gest / gew
Trigonometrie 3
Arbeitsanleitung / Theorie
3.3.3. Tangensfunktion y = tan (x)
Die Zuordnung x
tan (x) für x
R \ {90
k 180 , k
Z} ; x
Tangensfunktion. Wir betrachten den Grafen im Intervall
Die Tangensfunktion
y
f ( x)
360
R\
x
2
k
360 ;
,k
2
Z , heisst
2 :
x
tan x
Bemerkung: die senkrechten Striche gehören nicht zum Grafen der Tangensfunktion. Sie stellen die
vertikalen Asymptoten dar.
Eigenschaften:
Funktionswerte
Achsensysmmetrie
Punktsymmetrie
W R
keine
(k 180 / 0) ; (k
Asymptoten
x
Periodizität
tan( x
/ 0) , k
2k 1 90 ; x
k 180 )
Z
2k
1
tan( x
k
2
, k
Z
tan( x ) , Periodenlänge T
180
2
3.3.4. Allgemeine Bemerkungen:
Negative Winkel
In der Mathematik werden die positiven Winkel im Gegenuhrzeigersinn, die negativen somit im
Uhrzeigersinn abgelesen. An der Ablesung der Werte am Einheitskreis ändert sich nichts.
Beispiele
sin (-45°) = sin (360° - 45°) = sin (315°) = 0.707….
cos (-210°) = cos (360° - 210°) = cos (150°) = - 0.866…
Periodizität, Winkel grösser als 360°
Die Trigonometrischen Funktionen sind periodisch, d.h. die Funktionswerte wiederholen sich immer
wieder (bei sin und cos nach 360°, bei tan nach 180°). Haben wir es bei Betrachtungen am
Einheitskreis oder an Funktionsgraphen mit Winkeln grösser als 360° zu tun, so subtrahieren wir
n 360 , so dass das Resultat zwischen 0° und 360° liegt.
Beispiele
cos (400°) = cos (400° - 360°) = cos (40°) = - 0.866…
sin (1000°) = sin (1000° - 2·360°) = sin (280°) = 0.766…
19.06.2012
71
gibb bms gest / gew
Trigonometrie 3
Arbeitsanleitung / Theorie
Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen
Auf Seite 28 der Formelsammlung (Kapitel 6.4.) finden sich viele Beziehungen zwischen den
Winkelfunktionen. Sie sollten in der Lage sein, die Beziehungen mit Hilfe des Einheitskreises oder der
Funktionsgraphen herzuleiten (Additionstheoreme werden nicht verlangt). Es schadet Ihrer
Gesundheit auch nicht, wenn sie die eine oder andere Beziehung auswendig können…
Lernziele
Sie können die Funktionsgraphen von sin, cos und tan zeichnen und kennen ihre wichtigsten
Eigenschaften.
Sie können die Funktionswerte – insbesondere die Vorzeichen – der Funktionswerte am Graphen
ablesen
Aufgaben Aufgabenblätter
Kernstoff
9 10 11a 12 13 14 15ac
Übungsstoff
11bc 15bd
Zusatzstoff
13
3.4. Abbildungen der Sinusfunktion y sin( x)
3.4.1. f(x) = a sin(x)
Der Einfluss von a:
a > 0:
Streckung mit Faktor a von der x-Achse aus in Richtung y-Achse
a < 0:
zusätzlich Spiegelung an der x-Achse
f ( x)
sin( x) ; g ( x)
19.06.2012
sin(3x) ; h( x)
sin(0.5 x) ; i ( x)
72
sin( x)
gibb bms gest / gew
Trigonometrie 3
Arbeitsanleitung / Theorie
3.4.2. f(x) = sin(b x)
Der Einfluss von b:
1
von der y-Achse aus in Richtung x-Achse
b
zusätzlich Spiegelung an der y-Achse
Streckung mit Faktor
b > 0:
b < 0:
f ( x)
sin( x) ; g ( x)
sin(3x) ; h( x)
sin(0.5 x) ; i ( x)
sin( x)
3.4.3. f(x) = sin(x – u)
Der Einfluss von u:
u > 0:
Verschiebung in Richtung der x-Achse nach rechts
u < 0:
Verschiebung in Richtung der x-Achse nach links
f ( x)
sin( x) ; g ( x)
19.06.2012
sin x 60 ; h( x)
sin x 30
73
gibb bms gest / gew
Trigonometrie 3
Arbeitsanleitung / Theorie
3.4.4. f(x) = sin(x) + v
Der Einfluss von v:
v > 0:
Verschiebung in Richtung der y-Achse nach oben
v < 0:
Verschiebung in Richtung der y-Achse nach unten
f ( x)
sin( x) ; g ( x)
sin x
1 ; h( x )
sin x
2
Wir fassen also zusammen:
Schieben und Strecken der Winkelfunktion y = f(x) = sin(x)
Die Winkelfunktion y a sin( b ( x
Winkelfunktion y sin( x ) hervor.
u) )
v geht durch Schiebung und Streckung (Spiegelung) aus der
Dabei bedeuten:
a:
Streckung von der x-Achse aus (Spiegelung) mit Faktor a
1
b:
Streckung von der y-Achse aus (Spiegelung) mit Faktor
b
u:
Verschiebung in Richtung der x-Achse um u Einheiten
v:
Verschiebung in Richtung der y-Achse um v Einheiten
19.06.2012
74
gibb bms gest / gew
Trigonometrie 3
Arbeitsanleitung / Theorie
3.5. Die allgemeine Sinusfunktion y a sin(b x c ) ,
(0
x
2 < oder 0
x
360°)
a:
Der Parameter a heisst Amplitude der Sinuskurve und gibt den maximalen Funktionswert
von f (x)an.
b:
Der Parameter b heisst Frequenz der Sinuskurve und gibt die Anzahl der vollständigen
Perioden in einem Intervall der Länge 360° = 2 an.
c:
Der Parameter c heisst Phasenverschiebung der Sinuskurve, wobei wegen
c
c
und u
y a sin(bx c ) a sin b x
wieder die bekannte Schreibweise
b
b
y
T:
a sin( b ( x
u) ) resultiert. Die Verschiebung in x-Richtung erfolgt also um den Faktor u
Periodenlänge, T
360
b
2
b
a sin(b( x
c
.
b
u))
Beispiele:
1.
Skizzieren Sie den Graphen von y
3 sin( 2x
4) 1 (Bogenmass)
Lösung:
Wir entwickeln den Graphen ausgehend von y 0
f0 ( x)
sin( x ) :
1 1
in x-Richtung: y 1 f1 ( x ) f 0 (2x ) sin(2x )
(1) Strecken mit Faktor
b 2
(2) Strecken mit Faktor 3 in y-Richtung: y 2 f 2 ( x ) 3 f1 ( x ) 3 sin(2x )
(3) Schieben um 2 Einheiten nach rechts: y 3 f 3 ( x ) f 2 ( x 2) 3 sin(2( x 2))
(4) Scheiben um 1 Einheit nach oben: y 4 f 4 ( x ) f 3 ( x ) 1 3 sin(2x 4) 1
3 sin( 2x
4)
(1)
4
3
2
g( x)
1
h( x)
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
1
2
3
x
19.06.2012
75
gibb bms gest / gew
Trigonometrie 3
Arbeitsanleitung / Theorie
(2)
4
3
2
h( x)
1
i( x)
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
1.5
2
2.5
3
3.5
4
1.5
2
2.5
3
3.5
4
1
2
3
x
(3)
4
3
2
i( x)
1
k( x)
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1
2
3
x
(4)
4
3
2
f ( x)
1
k( x)
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1
2
3
x
19.06.2012
76
gibb bms gest / gew
Trigonometrie 3
2.
Arbeitsanleitung / Theorie
Betrachten Sie die Winkelfunktion y
1
2
sin x
2
3
60
(Gradmass, Graph zur Illustration)
2
1.5
1
0.5
f ( x)
60
30
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
0.5
1
x
Berechnen Sie:
(1) den Schnittpunkt P mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt)
(2) die Periodenlänge T
(3) die kleinste positive Nullstelle N
(4) das erste Maximum H
(5) das erste Minimum T
Lösung:
(1) x
(2) T
(3) y
y
0
360
2
3
0
1
2
sin 0
2
3
0
1
2
sin x
2
3
2
x H 60
90
3
(5) Die Sinusfunktion
19.06.2012
0.433
540
(4) Die Sinusfunktion
2
xT
3
60
60
270
60
90
sin( x ) hat beim ersten Maximum H ein Argument von 90°:
H
( 225 ; 0.5)
sin( x ) hat beim ersten Minimum T ein Argument von270°:
T
( 495 ;
0.5)
77
gibb bms gest / gew
Trigonometrie 3
3.
Arbeitsanleitung / Theorie
Gegeben ist ein Graph der Sinusfunktion y
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.
a sin( b x
c)
v.
2
1
f ( x)
90
45
0
45
90
135
180
225
270
315
360
405
450
495
540
1
2
x
Lösung:
Wir erstellen ein Gleichungssystem, um b und c zu berechnen. a und v sind einfach zu bestimmen.
Grundprinzip: wir vergleichen Punkte des Graphen der gesuchten Funktion mit charakteristischen,
bekannten Punkten der Sinusfunktion y sin( x ) : Hoch- und Tiefpunkte, Nullstellen (wenn v = 0)
Die Gleichungen werden wie folgt gebildet:
Linke Seite: b Winkel beim Punkt + c der gesuchten Funktion.
Rechte Seite: Winkel der Sinusfunktion y sin( x ) beim entsprechenden Punkt in der gleichen Periode.
225
b
2
495
b
2
Dazu a
c
90
c
3
, d
2
oder
270
0
y
f ( x)
45 b
c
0
180 b
c
180
4
3
x
sin
3
2
b
4
, c
3
60
60
Lernziele
Sie kennen den Einfluss der Parameter a, b, c, d der Allgemeinen Sinusfunktion
Sie können die Graphen im Bogen- und Gradmass zeichnen
Sie können die Funktionsgleichungen aus dem Graphen ablesen
Aufgaben
Kernstoff
16 17 18 19 20 23 24 26 28
19.06.2012
Übungsstoff
22 25 27 29
Zusatzstoff
78
gibb bms gest / gew
Trigonometrie 3
Aufgaben
3.1. Einheitskreis
1.
Tragen Sie die unten gezeichneten Winkel im 2., respektive im 3. Quadranten vollständig ein, lesen
Sie die Winkel mit dem Geodreieck ab, bestimmen Sie am Einheitskreis die Sinus- Cosinus- und
Tangenswerte. Vergleichen Sie mit den Resultaten auf dem Taschenrechner.
(Einteilung Einheitskreis: 5 Häuschen = 1, Genauigkeit 0.2)
a) a
2.
23 cm
19.1
72.3
< 360°. Die erste Lösung finden Sie
Bestimmen Sie sämtliche Lösungen aus dem Intervall 0° <
mit dem Taschenrechner. Für die weiteren Lösungen verwenden Sie den Einheitskreis: zeichnen Sie
die Winkel und die Strecken mit der entsprechenden Länge beim Einheitskreis ein.
a) sin( )
b) cos( )
0. 7
y
y
x
19.06.2012
x
L
0. 4
L
79
bms gest / gew
Trigonometrie 3
c) tan( )
Aufgaben
5
9
d) cos( )
1.2
y
y
x
x
L
3.
L
Füllen Sie die folgende Tabelle aus (FS S.26, Einheitskreis)
0°
45°
60°
90°
120°
135°
180°
240°
270°
300°
315°
360°
sin(x)
cos(x)
tan(x)
4.
Bestimmen Sie die Funktionswerte (sin, cos, tan) der folgenden Winkel.
75
a)
310
b)
c)
1800
d)
999
3.2. Bogenmass
5.
Gegeben sind die Winkel im Gradmass. Verwandeln Sie in das Bogenmass.
278
c)
76
a)
35
b)
78.1
e)
100
f)
370
d)
6.
Gegeben sind die Winkel im Bogenmass. Verwandeln Sie in das Gradmass.
3
a)
rad
b)
rad
c)
10 rad
4
8
d)
7.
9
e)
rad
f)
1.23 rad
2 rad
Berechnen Sie mit Hilfe Ihres TR. Die Winkel sind im Bogenmass angegeben:
a) sin
e) sin
i) tan
19.06.2012
6
10
4
b) sin 1
c) sin
f) cos 2
g) cos 8
4
d) sin 3.14
h) cos 1.07
k) tan 10
80
bms gest / gew
Trigonometrie 3
8.
Aufgaben
Bestimmen Sie im Bogenmass 0 x 2 :
0.387
b) sin
0.0182
c) cos
a) sin
0.787
e) tan
10.05
f) tan
d) cos
0.498
0.814
3.3. Die Graphen der Winkelfunktionen
9.
Zeichnen Sie den Graphen der Trigonometrischen Funktionen mit dem Graphikrechner. Nehmen Sie
Ihren Grafikrechner (TI - 89). Stellen Sie ihn auf (DEG). Schalten Sie in den Funktionsmodus (y=).
Löschen Sie ev. vorhandene Funktionsgleichungen. Geben Sie die erste Funktion sin(x) ein.
Schalten Sie um in die Fenstereinstellungen WINDOW. Hier geben Sie ein: xmin = - 360, xmax =
360, xscl = 45, ymin = - 1, ymax = 1, yscl = 0.5, xres = 1.
a) Zeichen Sie den Graphen von y = sin (x). Skizze, Feststellungen festhalten.
b) Zeichen Sie den Graphen von y = cos (x). Skizze, Feststellungen festhalten.
10. Schalten Sie um in die Fenstereinstellungen WINDOW. Hier geben Sie ein: xmin = - 360, xmax =
360, xscl = 45, ymin = - 4, ymax = 4, yscl = 1, xres = 1.
Zeichen Sie den Graphen von y = tan (x). Skizze, Feststellungen festhalten.
11. Zeichnen Sie mit Hilfe des Einheitskreises die Graphen der Trigonometrischen Funktionen. Ohne
Taschenrechner, einziges Hilfsmittel Geodreieck (Vorlagen auf mm-Papier beim Lehrer holen).
a) y = sin (x)
b) y = cos (x
c) y = tan (x)
12. Füllen Sie die Tabelle aus:
Definitionsmenge
Wertemenge
Periodenlänge
Nullstellen
sin (x)
cos (x)
tan(x)
< 360°, wenn (FS S. 26, Einheitskreis
13. Bestimmen Sie sämtliche Lösungen aus dem Intervall 0° <
oder Funktionsgraphen):
2
1
und cos( ) 0
b) cos( )
und tan( ) 0
a) sin( )
2
2
c) tan( )
3 und cos( )
0
14. Vereinfachen Sie mit Hilfe des Einheitskreises oder mit Hilfe der Funktionsgraphen:
)
b) sin(270
)
a) cos(90
15. Vereinfachen Sie folgende Terme (FS S. 28):
) sin(270
)
b) cos(180
a) sin(90
c)
tan(90
tan(90
19.06.2012
)
)
d)
81
sin(90
cos(180
) cos(360
)
)
)
bms gest / gew
Trigonometrie 3
Aufgaben
3.4. und 3.5. Abbildungen der Sinusfunktion, allgemeine Sinusfunktion
16. Skizzieren Sie die Graphen ins gleiche Koordinatensystem. Durch welche Abbildungen geht der
Graph jeweils aus der Kurve y = sin(x) hervor?
Wählen Sie die folgenden Einstellungen unter WINDOW: xmin = 0°, xmax = 540°, xscl =90°,
ymin = -3, ymax = 3, yscl = 1, xres = 1.
a) y
c) y
b) y
d) y
sin( x )
0.5 sin( x )
3 sin( x )
sin( x )
17. Skizzieren Sie die Graphen ins gleiche Koordinatensystem. Durch welche Abbildungen geht der
Graph jeweils aus der Kurve y = sin(x) hervor?
Wählen Sie die folgenden Einstellungen unter WINDOW: xmin = 0°, xmax = 540°, xscl =90°,
ymin = - 1, ymax = 1, yscl = 1, xres = 1.
a) y
c) y
b) y
d) y
sin( x )
sin(0.5 x )
sin(3 x )
sin( x )
18. Skizzieren Sie die Graphen ins gleiche Koordinatensystem. Durch welche Abbildungen geht der
Graph jeweils aus der Kurve y = sin(x) hervor?
Wählen Sie die folgenden Einstellungen unter WINDOW: xmin = 0°, xmax = 540°, xscl = 30°,
ymin = - 1, ymax = 1, yscl = 1, xres = 1.
a) y
sin( x )
c) y
sin x
b) y
sin x
60
30
19. Skizzieren Sie die Graphen ins gleiche Koordinatensystem. Durch welche Abbildungen geht der
Graph jeweils aus der Kurve y = sin(x) hervor?
Wählen Sie die folgenden Einstellungen unter WINDOW: xmin = 0, xmax = 540°, xscl = 60°,
ymin = -3, ymax = 2, yscl = 1, xres = 1.
a) y
c) y
b) y
sin( x )
sin x
sin( x ) 1
2
20. Skizzieren Sie den Graphen. Könnten Sie dies auch ohne TR? Überlegen Sie ich zuerst, wo und wie
die Kurve zu liegen kommt. Welche Abbildungen kommen vor, wenn Sie wiederum von
y = sin(x) ausgehen?
Wählen Sie die folgenden Einstellungen unter WINDOW: xmin = - 360°, xmax = 360° , xscl =45°,
ymin = - 3, ymax = 2, yscl = 1, xres = 1.
y
2 sin x 45
1
21. Skizzieren Sie den Graphen. Könnten Sie dies auch ohne TR? Überlegen Sie ich zuerst, wo und wie
die Kurve zu liegen kommt. Welche Abbildungen kommen vor, wenn Sie wiederum von
y = sin(x) ausgehen?
Wählen Sie die folgenden Einstellungen unter WINDOW: xmin = - 360°, xmax = 360° , xscl =45°,
ymin = - 1, ymax = 1, yscl = 1, xres = 1.
y
19.06.2012
sin 0.5 x
82
bms gest / gew
Trigonometrie 3
22.
23.
Aufgaben
Betrachten Sie die Winkelfunktion y
2 sin
1
x
3
1.
30
(1)
Geben Sie die Abbildungen an, die ausgehend von y sin( x ) durchgeführt werden
müssen, um den Graphen der gegebenen Funktion zu erhalten.
(2)
Berechnen Sie:
a) den Schnittpunkt P mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt)
b) die Periodenlänge T
c) die kleinste positive Nullstelle N
d) das erste Maximum H
e) das erste Minimum T
Betrachten Sie die Winkelfunktion y
sin
5
x
2
45
1
.
2
(1)
Geben Sie die Abbildungen an, die ausgehend von y sin( x ) durchgeführt werden
müssen, um den Graphen der gegebenen Funktion zu erhalten.
(2)
Berechnen Sie:
a) den Schnittpunkt P mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt)
b) die Periodenlänge T
c) die kleinste positive Nullstelle N
d) das erste Maximum H
e) das erste Minimum T
24. Gegeben ist sind Graphen der Sinusfunktion y
Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen.
a sin(bx
c)
v.
3
2
1
f ( x)
g( x)
90
60
30
0
30
60
90
120 150 180
210
240 270 300
330 360
390 420 450
480
510 540
1
2
3
x
19.06.2012
83
bms gest / gew
Trigonometrie 3
Aufgaben
25. Gegeben ist sind Graphen der Sinusfunktion y
Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen.
a sin(bx
v.
c)
3
2
1
f ( x)
g( x)
90
60
30
0
30
60
90
120 150 180
210
240 270 300
330 360
390 420 450
480
510 540
1
2
3
x
26. Gegeben ist sind Graphen der Sinusfunktion y
Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen.
a sin(bx
v.
c)
3
2
1
f ( x)
g( x)
90
45
0
45
90
135
180
225
270
315
360
405
450
495
540
1
2
3
x
27. Gegeben ist sind Graphen der Sinusfunktion y
Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen.
a sin(bx
c)
v.
3
2
1
f ( x)
g( x)
90
60
30
0
30
60
90
120 150 180
210
240 270 300
330 360
390 420 450
480
510 540
1
2
3
x
19.06.2012
84
bms gest / gew
Trigonometrie 3
Aufgaben
28. Gegeben ist sind Graphen der Sinusfunktion y
Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen.
a sin(bx
v.
c)
3
2
1
f ( x)
g( x)
90
60
30
0
30
60
90
120 150 180
210
240 270 300
330 360
390 420 450
480
510 540
1
2
3
x
29. Gegeben ist sind Graphen der Sinusfunktion y
Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen.
a sin(bx
c)
v.
3
2
1
f ( x)
g( x)
90
45
0
45
90
135
180
225
270
315
360
405
450
495
540
1
2
3
x
19.06.2012
85
bms gest / gew
Trigonometrie 3
Aufgaben
Lösungen
3.1. Einheitskreis
1.
Keine Lösungen, da Selbstkontrolle mit Taschenrechner.
2.
a)
44.4 und
135.6
b)
66.4 und
c)
50.2 und
230.2
d)
123.7 und
3.
236.3
Füllen Sie die folgende Tabbelle aus (FS S.26, Einheitskreis)
0°
45°
60°
sin(x)
0
2
2
cos(x)
1
2
2
3
2
1
2
tan(x)
0
1
3
4.
293.6
a)
b)
c)
d)
sin
0.766 , cos
sin
0.966 , cos
sin
0 , cos
1
0
120°
135°
3
2
1
2
2
2
--
3
0.643 , tan
0.259 , tan
1 , tan
0.088 , cos
sin
90°
2
2
-1
180°
240°
270°
3
2
1
2
0
-1
0
3
-1
0
--
300°
315°
3
2
1
2
2
2
360°
2
2
1
3
-1
0
0
1.192
3.732
0
0.156 , tan
6.313
3.2. Bogenmass
5.
a) arc
c) arc
e) arc
6.
a)
c)
e)
7.
a) 0.5
c) 0.757
e) 0.309
g) 0.146
i) 1
8.
a) arc
c) arc
e) arc
19.06.2012
0.61 rad
1.33 rad
1.75 rad
45
573
70.5
0.397 rad
2.092 rad
1.472 rad
b) arc
d) arc
f) arc
b)
d)
f)
4.85 rad
1.36 rad
6.46 rad
67.5
20
245.4
b) 0.841
d) 0.0016
f) 0.416
h) 0.480
k) 0.648
b) arc
d) arc
f) arc
86
0.0182 rad
0.665 rad
0.683 rad
bms gest / gew
Trigonometrie 3
Aufgaben
Lösungen
3.3 . Die Graphen der Winkelfunktionen
9.
10.
11.
12. Füllen Sie die Tabelle aus:
Definitionsmenge
Wertemenge
Periodenlänge
Nullstellen
sin (x)
D
R
W
y 1
y
1
360°
0° + k·180°
cos (x)
D
R
W
y 1 y
1
360°
90° + k·180°
180°
0° + k·180°
D
tan(x)
13. a)
c)
14. a)
150
240
sin
15. a) 2 cos
c) -1
19.06.2012
R\ xx
2k 1 90
W
R
b)
b)
315
cos
b) 0
d) -1
87
bms gest / gew
Trigonometrie 3
Aufgaben
Lösungen
3.4. Die allgemeine Sinusfunktion
16. Streckung von der x-Achse aus
„-“: Spiegelung an der x-Achse
17. Streckung von der y-Achse aus
„-“: Spiegelung an der y-Achse
18. Translation in x-Richtung
19. Translation in y-Richtung
20. Streckung mit Faktor 2(von x-Achse aus)
Translation um 45° nach rechts
Translation um 1 nach unten
21. Spiegelung an der x-Achse
Streckung mit Faktor 2 (von y-Achse aus)
19.06.2012
88
bms gest / gew
Trigonometrie 3
Aufgaben
Lösungen
22.
(1)
Streckung in x-Richtung mit Faktor 3
Streckung in y-Richtung mit Faktor 2
Translation nach links um 90 Einheiten
Translation nach oben um eine Einheit
(2)
a) P
(0; 2)
b) T
d) H
(180 ; 3)
e) T
360
1080
1
3
(720 ; 3)
c) N
(540 ; 0)
3
2
1
f ( x)
180
135
90
45
0
45
90
135
180
225
270
315
360
405
450
495
540
585
630
1
2
3
x
23.
2
5
Translation nach links um 18 Einheiten nach rechts
1
Translation nach oben um
Einheit nach unten
2
(1)
Streckung in x-Richtung mit Faktor
(2)
Berechnen Sie:
a) P
(0; 1.207 )
d) H
(54 ;
1
)
2
b) T
e) T
360
5
2
c) N
144
126 ;
3
2
225
270
(30 ; 0)
2
1
f ( x)
90
45
0
45
90
135
180
315
360
405
450
495
540
585
630
1
2
x
19.06.2012
89
bms gest / gew
Trigonometrie 3
Aufgaben
Lösungen
24. f ( x )
2 sin( x
90 ) 1 ; g( x )
25. f ( x )
2 sin( x
30 ) 1 ; g( x )
26. f ( x )
sin
27. f ( x )
3 sin
28. f ( x )
2 sin x
29. f ( x )
sin
19.06.2012
1
x
2
22.5
2
x
3
1
x
2
20
90
45
1
sin( 6 x )
2
3
1
sin x
4
2
1 ; g( x )
2 ; g( x )
3
2
45
3
sin 4 x
2
90
sin 4 x 120
2
2 ; g( x )
; g( x )
5
2
1
2
1
3
sin x
2
4
45
3
2
3
sin 4 x
2
90
1
2
90
bms gest / gew
Lineare Optimierung
Arbeitsanleitung / Theorie
Lineare Optimierung
1. Grafische Lösung einer linearen Ungleichung mit 2 Unbekannten
Eine lineare Ungleichung mit 2 Unbekannten hat unendlich viele Zahlenpaare als Lösungen.
So gehen wir vor, wenn wir die Lösungsmenge graphisch im Koordinatensystem wollen:
Zuerst zeichnen wir die Lösungsmenge, also die Gerade der dazugehörenden linearen Gleichung.
Anschliessend untersuchen wir, ob Punkte oberhalb oder unterhalb der Geraden die
Lösungsmenge der Ungleichung beschreiben.
Zum Schluss beurteilen wir, ob die Gerade zur Lösungsmenge gehört oder nicht.
Beispiel
Die Lösungsmenge der Ungleichung y
2x ist graphisch zu bestimmen.
1. Zeichnen der Geraden, die zu y = 2x gehört: mit y-Achsenabschnitt q und Steigung m
y
1
1
x
2. Zeichnen der Lösungsmenge der Ungleichung: „y grösser“ bedeutet, dass alle Punkte oberhalb der
Geraden zur Lösungsmenge gehören.
y
1
1
x
3. Das Zeichen „grösser gleich“, bedeutet, dass die Gerade zur Lösungsmenge gehört.
19.06.2012
91
gibb bms gest / gew
Lineare Optimierung
Arbeitsanleitung / Theorie
2. Grafische Lösung eines linearen Ungleichungssystems mit 2 Unbekannten
Wenn mehrere Ungleichungen zu einem Ungleichungssystem zusammengefasst werden, ist
grundsätzlich gleich vorzugehen wie in Kapitel 1.1.
Vorgehensweise:
Falls nötig und möglich: alle Ungleichungen nach y auflösen.
Zuerst zeichnen wir die Geraden der dazugehörenden linearen Gleichungen.
Als nächstes wird für jede Ungleichung die Punkte (> bedeutet oberhalb, < bedeutet unterhalb)
gesucht, die zur Lösungsmenge gehören und mit Pfeilen markiert.
Danach wird die Schnittmenge aller Bereiche gebildet und die gefundene Lösung schraffiert.
Nun wird abgeklärt, ob die Geraden (Ränder der Schnittmenge) zum Lösungsbereich gehören
oder nicht (bei und gehören sie dazu, sonst nicht).
Beispiel
Die Lösungsmenge des Ungleichungssystems ist graphisch zu bestimmen:
(1) y
(2) y
2x 3
x 2
1. Ungleichungen nach y auflösen:
(1) y
(2) y
2x
x
3
2
2. Zeichnen der Geraden: mit y-Achsenabschnitt q und Steigung m. Ungleichungen: „y kleiner“
bedeutet, dass alle Punkte unterhalb der Geraden zu den Lösungsmengen der einzelnen
Ungleichungen gehören. Mit Pfeilen Bereiche eintragen.
(1)
y
(2)
1
1
19.06.2012
92
x
gibb bms gest / gew
Lineare Optimierung
Arbeitsanleitung / Theorie
3. Schnittmenge schraffieren und abklären, welche Gerade zur Lösungsmenge gehört. Die Gerade (2)
gehört ebenfalls zur Lösungsmenge:
(1) y
(2)
1
1
x
3. Lineare Optimierung (Lineare Programme)
Lineare Optimierung – was ist das ? Dieser Anwendungsbereich der Mathematik wurde in den letzten 50
Jahren entwickelt, um Probleme der Wirtschaft zu lösen und Verfahren bei der Warenherstellung zu
beschleunigen. Solche Probleme sind z.B.:
Auf welche Weise kann die Kapazität von Maschinen zweckmässig eingesetzt werden, damit der
Gewinn möglichst gross wird ?
Wie müssen Transportmittel eingesetzt werden, damit die Umweltbelastung möglichst klein ist und
die Kosten für die Transporte möglichst gering ausfallen ?
Grundsätzliches Vorgehen beim Lösen
1. Festlegen der Variablen x und y
Beim Lesen von Textaufgaben ist immer die Bedeutung von x und y als erstes zu bestimmen und
schriftlich festzuhalten. (Es ist manchmal auch sinnvoll an Stelle von x und y andere Buchstaben zu
verwenden.)
2. Bestimmung des Ungleichungssystems
Nach dem Festlegen von x und y werden alle Ungleichungen erstellt. Das Nummerieren bzw.
Bezeichnen dieser Ungleichungen ist absolut notwendig: Übersicht! Wir lösen alle Ungleichungen
nach y auf (Achtung: bei Multiplikation oder Divisionen mit negativen Zahlen muss das Zeichen
gewechselt werden!).
3. Erstellen der Zielfunktion
Die Zielfunktion folgt direkt aus der Fragestellung der Aufgabe (was ist gesucht ?).
4. Graphische Darstellung der Lösungsmenge des Ungleichungssystems
Wir zeichnen die Geraden mit Hilfe des Steigungsdreieck und des y-Achsenabschnitt ins
Koordinatensystem ein (Geraden nummerieren !) und färben die Lösungsmenge an.
5. Zeichnen der Zielfunktion durch den Nullpunkt
Die Zielfunktion lösen wir nach y auf, damit wir die Steigung ablesen können und zeichnen sie
durch den Nullpunkt ein (den y-Achsenabschnitt kennen wir ja nicht, Z ignorieren).
19.06.2012
93
gibb bms gest / gew
Lineare Optimierung
Arbeitsanleitung / Theorie
6. Finden des optimalen Punktes durch Verschieben der Zielfunktion
Das Minimum findet sich beim ersten Punkt der Lösungsmenge des Ungleichungssystems, der
durch Verschieben der Zielfunktion erreicht wird.
Das Maximum findet sich beim letzten Punkt der Lösungsmenge des Ungleichungssystems, der
durch Verschieben der Zielfunktion erreicht wird.
Erklärung: da wir die Zielfunktion Z =... x +... y nach y aufgelöst haben, ist Z im y-Achsenabschnitt
enthalten. Das heisst: Z wird grösser, je weiter "oben" die y-Achse von der Zielfunktion
geschnitten wird.
7. Berechnen des optimalen Punktes
Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen, deren Schnittpunkt dem optimalen Punkt entspricht.
8. Berechnen des Wertes Z der Zielfunktion beim optimalen Punkt
Die gefundenen Koordinaten x, y in der ursprünglichen, nicht nach y aufgelösten Zielfunktion
einsetzen.
9. Korrekte Antwort in Worten
Beispiel 1: Maximum
Ein Betrieb stellt Drehmaschinen und Bohrmaschinen her. Es gelten folgende Produktionsbedingungen:
Die Werkstatt kann pro Tag für höchstens 9 Drehmaschinen oder 16 Bohrmaschinen Einzelteile
herstellen oder eine Kombination von beiden.
Die Montageabteilung für Drehmaschinen kann pro Tag höchstens 7 Maschinen zusammenbauen.
Die Montageabteilung für Bohrmaschinen kann pro Tag höchstens 10 Maschinen
zusammenbauen.
Der Gewinn beträgt 1300 Franken für eine Drehmaschine, respektive 1200 Franken für eine
Bohrmaschine.
Wie soll die Produktion gesteuert werden, damit der Gesamtgewinn möglichst gross wird ?
1. Festlegen der Variablen
x: Anzahl der herzustellenden Drehmaschinen
y: Anzahl der herzustellenden Bohrmaschinen
2. Ungleichungssystem aus den Produktionsbedingungen festlegen
Montageabteilung Drehmaschinen: pro Tag höchstens 7 Maschinen
x
y
Montageabteilung Bohrmaschinen: pro Tag höchstens 10 Maschinen
7
10
Die Werkstatt kann für 9 Drehmaschinen Einzelteile herstellen. Für eine Drehmaschine wird also
1
der
9
x
der Kapazität. Die Werkstatt kann für 16
9
1
Bohrmaschinen Einzelteile herstellen. Für eine Bohrmaschine wird also
der Kapazität beansprucht,
16
y
für y Bohrmaschinen also
der Kapazität.
16
y
x
1
Die beiden Teilkapazitäten ergeben zusammen höchstens die Gesamtkapazität 1:
9 16
Kapazität beansprucht, für x Drehmaschinen also
Die Anzahl der Maschinen kann nicht kleiner als Null sein:
x
0, y
0
3. Zielfunktion festlegen (folgt aus der Fragestellung der Aufgabe)
Der Gewinn Z für x Drehmaschinen und y Bohrmaschinen beträgt:
Z = 1300x + 1200y
19.06.2012
94
gibb bms gest / gew
Lineare Optimierung
Arbeitsanleitung / Theorie
4. Graphische Darstellung der Lösungsmenge des Ungleichungssystems
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
x
y
7
10
x
9
x
y
y
16
0
0
y
1
16
x 16
9
y
(3)
15
(1)
10
(2)
5
1
(5)
(4)
1
5
x
10
y
15
10
5
1
1
19.06.2012
5
10
x
95
gibb bms gest / gew
Lineare Optimierung
Arbeitsanleitung / Theorie
5. Einfügen der Zielfunktion
13
y
x
Z = 1300x + 1200y
12
Z
1200
Wir setzen Z = 0 und zeichnen die Zielfunktion y
13
x als Ursprungsgerade ein.
12
6. Bestimmen des optimalen Punktes
Da das Maximum gesucht ist, schieben wir die Zielfunktion so weit wie möglich nach oben, damit
der y-Achsenabschnitt und damit auch der Gewinn Z möglichst gross wird und gerade noch durch das
schraffierte Fünfeck geht!
So finden wir den optimalen Punkt. Da es sich um Stückzahlen handelt, muss der Punkt mit
ganzzahligen Koordinaten im schraffierten Vieleck gewählt werden, der möglichst nahe bei der
optimalen Ecke liegt.
y
15
Maximum in P ( 3 / 10)
10
5
1
1
10
5
x
Um einen maximalen Gewinn zu erzielen, müssen in unserem Betrieb täglich 3 Drehmaschinen und
10 Bohrmaschinen hergestellt werden.
7. Berechnen des maximalen Gewinns Z
Z 1300 3 1200 10 15900
Der maximale Gewinn beträgt CHF 15 900.– pro Tag
19.06.2012
96
gibb bms gest / gew
Lineare Optimierung
Arbeitsanleitung / Theorie
Beispiel 2 (Minimum)
Eine Industrieanlagenfabrik baut vollmechanisierte Hausmüllsortier- und Werkstoffrecyclingmaschinen.
Pro Jahr müssen wegen der hohen Entwicklungskosten mindestens drei Sortier- und zwei
Recyclingmaschinen gebaut werden. Für die Sortiermaschinen sind 5 Arbeitsschritte in Halle 1 und
anschliessend 5 Arbeitsschritte in Halle 2 erforderlich. Recyclinganlagen erfordern 3 Arbeitsschritte in
Halle 1 und 6 in Halle 2. Damit Vollbeschäftigung garantiert werden kann, müssen in Halle 1 mindestens
45, in Halle 2 mindestens 60 Arbeitsschritte durchgeführt werden können. Die Kosten für Material und
Lieferung belaufen sich bei den Sortiermaschinen auf CHF 120 000.– pro Stück, bei Recyclinganlagen
auf CHF 90 000.– pro Stück.
Wie muss produziert werden, damit die Kosten möglichst gering werden ?
1. Festlegen der Variablen
x: Anzahl der herzustellenden Sortiermaschinen
y: Anzahl der herzustellenden Recyclingmaschinen
2. Ungleichungssystem aus den Produktionsbedingungen festlegen
Sortiermaschinen: pro Jahr mindestens 3 Maschinen
x 3
y 2
Recyclingmaschinen: pro Jahr mindestens 2 Maschinen
Halle 1: mindestens 45 Arbeitsschritte pro Jahr, damit Vollbeschäftigung
Halle 2: mindestens 60 Arbeitsschritte pro Jahr, damit Vollbeschäftigung
5x
3y
45
5x
6y
60
3. Zielfunktion festlegen (folgt aus der Fragestellung der Aufgabe)
Die Kosten Z für x Sortiermaschinen und y Recyclingmaschinen beträgt:
Z = 120 000x + 90 000y
4. Graphische Darstellung der Lösungsmenge des Ungleichungssystems
(1)
x
(2)
(3)
5x
3y
45
y
(4)
5x
6y
60
y
3
y
y
2
5
x 15
3
5
x 10
6
(1)
15
(3)
10
5
(2)
1
1
19.06.2012
5
10
x
(4)
97
gibb bms gest / gew
Lineare Optimierung
Arbeitsanleitung / Theorie
5. Einfügen der Zielfunktion
Z = 120 000x + 90 000y
y
4
x
3
Z
90000
Wir setzen Z = 0 und zeichnen die Zielfunktion y
4
x als Ursprungsgerade ein.
3
6. Bestimmen des optimalen Punktes
Da das Minimum gesucht ist, schieben wir die Zielfunktion so wenig weit wie möglich nach oben,
damit der y-Achsenabschnitt und damit auch die Kosten Z möglichst klein werden und gerade noch die
schraffierte Fläche berührt wird.
So finden wir den optimalen Punkt. Da es sich um Stückzahlen handelt, muss der Punkt ganzzahlige
Koordinaten haben.
y
(1)
15
(3)
10
Minimum in P ( 6 / 5)
5
(2)
1
(5)
(6)
1
5
10
x
(4)
Um minimale Kosten zu erhalten, müssen in unserem Betrieb jährlich 6 Sortiermaschinen und 5
Recyclingmaschinen hergestellt werden.
7. Berechnen der minimalen Kosten Z
Z 120000 6 90000 5 1170000
Die minimalen Kosten betragen pro Jahr CHF 1 170 000.–
19.06.2012
98
gibb bms gest / gew
Lineare Optimierung
Arbeitsanleitung / Theorie
Beispiel 3 (Transportproblem)
Ein Schifffahrtsunternehmen liefert Erz an die Verhüttungswerke V1 , V2 und V3 . Das Erz wird an zwei
Orten, G1 und G 2 gefördert und gelagert. Die Transportkosten, der Lagerbestand und der Bedarf sind
der Tabelle zu entnehmen. Wie ist der Transport durchzuführen, damit die Kosten möglichst gering sind?
Wie muss geliefert werden, damit die gesamten Transportkosten minimal werden ?
Lager
V1
Transportkosten in CHF je Tonne
V2
V3
Lagerbestand in t
G1
5.00
6.00
1.50
2000
G2
Bedarf in t
5.00
1200
4.00
1300
2.00
500
1000
3000
1. Festlegen der Variablen / Transportschema
Wir zeichnen das sogenannte Transportschema und legen fest:
x ist die Menge vom Lager G1 an Werk V1 und y ist die Menge vom Lager G1 an Kunde V2 .
Weiter werden die Restmengen festgelegt
von / nach
V1
V2
G1
x
y
G2
1200
1300
x
1200
Bedarf in t
V3
2000 x y
500 (2000 x y )
x y 1500
500
y
1300
Lagerbestand in
t
2000
1000
3000
2. Ungleichungssystem aus den Transportbedingungen festlegen
Aus der Nichtnegativität folgt:
(1) x 0
(1) x 0
(2) y 0
(2) y 0
(3) 2000 x y 0
(3) x y 2000
y
x 2000
(4) x 1200
(4) 1200 x 0
(5) y 1300
(5) 1300 y 0
(6) x y 1500 0
(6) x y 1500
y
x 1500
3. Zielfunktion festlegen (folgt aus der Fragestellung der Aufgabe)
Um die Transportkosten Z berechnen zu können, ergänzen wir unser Schema mit den Distanzangaben:
von / nach
G1
G2
Zielfunktion: Z min
Z min
19.06.2012
V1
V2
V3
5x
6y
1.5 (2000
5 (1200
x)
5 x + 6 y + 1.5 (2000
0 .5 x
4 (1300
x
y)
y ) + 5 (1200
2 (x
x
y)
y 1500 )
x ) + 4 (1300
y) + 2 (x
y 1500 )
2.5 y 11200
99
gibb bms gest / gew
Lineare Optimierung
Arbeitsanleitung / Theorie
4. Graphische Darstellung der Lösungsmenge des Ungleichungssystems
y
2000
(1)
(4)
(5)
1300
1000
800
600
400
(3)
200
(6)
(2)
400
800
1200
1600
2000
x
5. Einfügen der Zielfunktion
Z min
0 .5 x
2.5 y 11200
1
x ...
5
y
Wir setzen Z = 0 und zeichnen die Zielfunktion z 0
y
1
x als Ursprungsgerade ein.
5
6. Bestimmen des optimalen Punktes
Die Transportkosten Z sollen minimal werden. Wir suchen deshalb das Minimum von Z !
y
2000
1300
1000
800
600
400
„Minimum“ in
P(1200/300)
200
400
800
1200
1600
2000
x
Es ist also x = 1200 und y = 300. Wir setzen diese Werte ins Transportschema ein und erhalten:
von / nach
G1
V1
V2
V3
1200
300
500
G2
0
1000
0
19.06.2012
100
gibb bms gest / gew
Lineare Optimierung
Arbeitsanleitung / Theorie
7. Berechnen der minimalen Transportkosten Z
Z min 0.5 x 2.5 y 11200
Z min 0.5 1200 2.5 300 11200
12550
8. Antwort
Die minimalen Transportkosten betragen CHF 12550.–, wenn wie folgt transportiert wird:
Von
Von
Von
Von
G1 nach V1 : 1200 t
G1 nach V2 : 300 t
G1 nach V3 : 500 t
G 2 nach V2 : 1000 t
Aufgaben
Inhalt
Ungleichungssysteme
L.A. Maximum
L.A. Minimum
L.A. Transportprobleme
19.06.2012
Kernstoff
1 3 5 7 9 11 13 14 16
17 19 20
21 22 23
25 26
Übungsstoff
2 4 6 8 10 12 15
18
24
27
101
Zusatzstoff
gibb bms gest / gew
Lineare Optimierung
Aufgaben
1. und 2. Graphische Lösung von Ungleichungssystemen mit 2 Unbekannten
Bestimmen Sie die Lösungsmenge graphisch, indem Sie das Planungspolygon zeichnen ( G = Q ):
1.
y>2
2.
(1) y ≥ −5
(2) y ≤ x
3.
(1) y < 3
4.
(1)
6.
(1) y > −
(2) x < 7
5.
(1) y ≥ 2x − 5
1
x+2
2
1
(3) y ≥ − x − 4
3
(1) y + 6 ≥ 0
(2) x − 8 ≤ 0
(3) y <
8.
(4) y + 2x ≥ 0
(1) y ≥ −x − 6
(2) 5 y ≤ −3x − 12
(3) 3 y + 10 ≥ x
(4) y + 2 ≥ 2x
1
x−2
2
(1) 4 y ≥ −3 x + 16
(2) 2 y ≥ 5 x − 24
(3) 3 y + 7 x ≥ 6
(4) 4 y − x ≥ 10
(3) y ≤ x
9.
1
x+3
4
(2) y > − x + 4
(2) y ≤ −
7.
2
x+2
3
2
(2) y ≤ − x + 5
3
y>
10.
(1) 2 y ≤ x + 2
(2) y ≥ 3x − 14
(3) 8 y + 5 x ≤ −1
(4) y ≤ −2.25 x + 2.25
(5) y ≥ −0.25 x − 5
11.
03.07.13
Beschreiben Sie die markierte Punktmenge durch ein System von Ungleichungen.
102
bms gest / gew
Lineare Optimierung
Aufgaben
12.
Beschreiben Sie die markierte Punktmenge durch ein System von Ungleichungen.
13.
Beschreiben Sie die markierte Punktmenge durch ein System von Ungleichungen.
14.
Geben Sie die Relation(Beziehung) zwischen x und y mit einer Ungleichung an:
03.07.13
(a)
In einem Raum hängen mehr als 5 mal so viele Poster ( x) wie Bilder ( y) .
(b)
Weniger als ein Drittel aller Bilder ( x) sind Bilder ( y) von van Gogh.
(c)
Höchstens doppelt so viele Pferde ( x) wie Hühner ( y) .
(d)
Höchstens zwei Drittel so viele Schüler ( x) wie Schülerinnen ( y) .
(e)
In Bern werden mindestens so viele Tandems ( x) wie Einräder ( y) verkauft.
(f)
Es werden höchstens ein Drittel so viele Goldfische ( x) wie Vögel ( y) verkauft.
103
bms gest / gew
Lineare Optimierung
Aufgaben
Geben Sie die Relation(Beziehung) zwischen x und y mit einer Ungleichung an:
15.
(a)
Es werden mehr als 80 % weniger Kirsch ( x) als Whisky ( y) getrunken.
(b)
Es gibt höchstens hab so viel Arbeitsplätze ( x) wie Arbeitslose ( y) .
(c)
Es müssen mindestens dreimal so viel Weinflaschen ( x) wie Bierflaschen ( y)
produziert werden.
(d)
Dieses Jahr wird es mehr als 50 % mehr Schmetterlinge ( x) als Vögel ( y) geben.
(e)
Eine Maschine M1 ( x) produziert über 30 % mehr als die Maschine M 2 ( y) .
Geben Sie die Relation(Beziehung) zwischen x und y mit einer Ungleichung an:
16.
(a)
Höchstens 40 % mehr Leser lesen den Tagesanzeiger ( x) als die NZZ ( y) .
(b)
Es gibt höchstens einen Drittel mehr Briefe ( x) als Postkarten ( y) .
(c)
In diesem Garten blühen höchstens ein Viertel so viele Rosen ( x) wie Tulpen ( y) .
(d)
Die Hühner ( y) legen mehr als halb so viele Eier ( x) wie es Hühner hat.
(e)
Auf der Thunstrasse fahren höchstens fünfmal so viele Autos ( x) wie
Motorräder ( y) .
3. Lineare Optimierung (Lineare Programme)
Maximum
17. Ein Unternehmen der Maschinenindustrie will seine Produktion optimal planen. Je Tag können von
zwei Maschinenbauteilen zusammen höchstens 45 Stück produziert werden. Von Sorte A sollen
täglich mindestens 15 Stück, von der Sorte B höchstens 20 Stück produziert werden. Der Gewinn
für ein Maschinenbauteil der Sorte A beträgt CHF 80.–, für ein Teil der Sorte B CHF 120.–.
Bestimmen Sie die Produktionsbedingungen.
Zeichnen Sie da Planungspolygon.
Bestimmen Sie mit Hilfe der Zielfunktion das Maximum.
Wie muss produziert werden, damit der Gewinn maximal wird und wie gross ist der Gewinn?
18. Ein Früchtehändler muss seinen Vorrat an Äpfeln und Birnen aufstocken. Von den Äpfeln will er
höchstens 60 kg, von den Birnen mindestens 20 kg, von beiden Fruchtarten zusammen aber
höchstens 90 kg. Von den Birnen soll höchstens die gleiche Menge wie von den Äpfeln eingekauft
werden. Der Gewinn für 1 kg Äpfel beträgt
CHF 1.–, für 1 kg Birnen CHF 1.20.
Bestimmen Sie die Einkaufsbedingungen.
Zeichnen Sie da Planungspolygon.
Bestimmen Sie mit Hilfe der Zielfunktion das Maximum.
Wie muss eingekauft werden, damit der Gewinn maximal wird und wie gross ist der Gewinn?
03.07.13
104
bms gest / gew
Lineare Optimierung
Aufgaben
3
19. Ein Forschungsteam hat in seinen Reisebehältern etwa 21'600 cm Platz für Batterien, welche für
den betrieb von Sende- und Empfangsanlagen für den Nachrichtenverkehr und für andere Zwecke
benötigt werden. Der Expeditionsleitung werden zwei Sorten Batterien gleicher Stärke angeboten,
3
3
nämlich solche von 200 cm und 300 cm . Die Batterien kosten CHF 10.–, bzw. CHF 5.–, je Stück.
Mehr als CHF 500.– stehen für die Beschaffung der Batterien nicht zur Verfügung. Jede Batterie
der ersten Sorte liefert 18 Stunden lang, jede Batterie der zweiten Sorte 16 Stunden lang Energie.
Die Expeditionsleitung will möglichst lange mit Energie versorgt sein.
Bestimmen Sie die Einkaufsbedingungen.
Zeichnen Sie da Planungspolygon.
Bestimmen Sie mit Hilfe der Zielfunktion das Maximum.
Wie viele Batterien müssen von jeder Sorte gekauft werden, damit das Team möglichst lange über
Energie verfügt? Wie viele Stunden maximal wird das Team Energie haben?
20. Eine Uhrenfabrik produziert Armbanduhren mit Leder- und Edelstahlarmband. Von den Uhren mit
Edelstahlarmband sollen zwischen 200 und 400 Stück, mindestens aber 25 % mehr als von den
Uhren mit Lederarmband produziert werden.
Aufgrund der technischen Möglichkeiten können entweder höchstens 500 Uhren mit Lederarmband
oder höchstens 800 Uhren mit Edelstahlarmband oder eine beliebige Kombination von beiden
produziert werden.
Der Gewinn beträgt für eine Uhr mit Lederarmband CHF 18.–, für eine Uhr mit Edelstahlarmband
CHF 24.–.
Bestimmen Sie die Produktionsbedingungen.
Zeichnen Sie da Planungspolygon.
Bestimmen Sie mit Hilfe der Zielfunktion das Maximum.
Bei welchen Verkaufszahlen (= Produktionszahlen) entsteht der grösste Gewinn und wie gross ist
der Gewinn?
Minimum
21.
Zur Herstellung von Behältern aus Kunststoff kann ein Unternehmen die Maschinen A und B
einsetzen. Pro Tag mit 8 Arbeitsstunden sollen auf beiden Maschinen insgesamt mindestens 100
Behälter hergestellt werden. Maschine A produziert je Stunde maximal 8 Stück, Maschine B
maximal 12 Stück. Aus technischen Gründen sollen mit der Maschine B höchstens doppelt so viele
Behälter produziert werden wie mit der Maschine A.
Die Produktionskosten eines Behälters aus Kunststoff beträgt bei Maschine A CHF 15. –, bei
Maschine B CHF 12.50.
Bestimmen Sie die Produktionsbedingungen.
Zeichnen Sie da Planungspolygon.
Bestimmen Sie mit Hilfe der Zielfunktion das Minimum.
Wie muss produziert werden, damit die Kosten minimal werden und wie hoch sind die minimalen
Kosten?
22.
Eine Tankstelle hat für den Einkauf von bleifreiem und Super plus Benzin bestimmte Auflagen
erhalten.
vom bleifreien Benzin müssen mindestens 40 und maximal 60 Tonnen eingekauft werden.
Vom Super plus sollen mindestens 15 und maximal 30 Tonnen eingekauft werden.
Zusätzlich muss beachtet werden, dass die Menge bleifreies Benzin zu der Menge des Super plus
Benzins höchstens im Verhältnis 5:2 stehen darf.
Die Kosten je Tonne bleifreiem Benzin betragen CHF 1100.–, je Tonne Super plus CHF 1200.–.
Bestimmen Sie die Einkaufsbedingungen.
Zeichnen Sie da Planungspolygon.
Bestimmen Sie mit Hilfe der Zielfunktion das Minimum.
Bei welchen Mengen sind die Kosten am kleinsten und wie hoch sind sie?
03.07.13
105
bms gest / gew
Lineare Optimierung
23.
Aufgaben
Eine Pharmafirma will ein neues Aufbaupräparat auf den Markt bringen Die medizinische Abteilung
verlangt, dass eine Tablette eine Mindestmenge an Vitaminanteilen enthalten soll:
Mindestanteil in mg
14
30
27
30
Vitamin A
Vitamin B
Vitamin C
Vitamin D
Zur Herstellung stehen der Firma zwei Komponenten mit folgenden Spezifikationen (Anteil in mg
pro Gramm) zur Verfügung:
Vitamin A
Vitamin B
Vitamin C
Vitamin D
Komponente 1
2
2.4
1.5
1
Komponente 2
0.5
1.2
1.5
3
Die Komponente 1 ist in der Produktion 50% teurer als Komponente 2.
Bestimmen Sie die Produktionsbedingungen.
Zeichnen Sie da Planungspolygon.
Bestimmen Sie mit Hilfe der Zielfunktion das Minimum.
Bei welcher Zusammensetzung entstehen die minimalen Kosten?
24. Ein Lampengeschäft plant nach dem Umbau den Kauf der neuer Lampen. In Frage kommen unter
anderem zwei Designermodelle, eine Hänge- und eine Stehlampe.
Von beiden Lampentypen zusammen sollen nicht mehr als 200 Stück erstanden werden. Von den
Stehlampen sollen mindestens 40 % mehr als von den Hängelampen alleine eingekauft werden.
Von den Stehlampen sollen aber höchstens 3 mal so viele wie von den Hängelampen angeschafft
werden, mindestens aber 60 Stück.
Die Einkaufskosten für eine Hängelampe betragen CHF 50.– , für eine Stehlampe CHF 70.–.
Bestimmen Sie die Einkaufsbedingungen.
Zeichnen Sie da Planungspolygon.
Bestimmen Sie mit Hilfe der Zielfunktion das Minimum.
Bei welchen Stückzahlen sind die Kosten am kleinsten und wie hoch sind sie?
Transportaufgaben
25.
Ein Grosslieferant versorgt drei Bäckereien B 1, B 2, und B 3 mit Mehl. Das Mehl wird in zwei
Mühlen M 1 und M 2 hergestellt und gelagert. Die Transportkosten, der Lagerbestand und der
Bedarf der Händler sind der Tabelle zu entnehmen.
Mühle
M1
M2
Bedarf (Säcke)
Transportkosten in Fr. / Sack
B1
B2
B3
0.45
0.5
0.6
0.3
0.2
0.5
30
50
20
Lagerbestand (Säcke)
60
40
100
Wie müssen die Bäckereien beliefert werden, damit möglichst geringe Transportkosten anfallen?
Wie gross sind diese Transportkosten?
03.07.13
106
bms gest / gew
Lineare Optimierung
Aufgaben
26. Eine Autofirma soll die Grosshändler U, V und W mit Personenwagen beliefern. Die Firma hat zwei
Auslieferungslager A und B . Die Transportkosten, der Lagerbestand und der Bedarf, ebenso die
Transportkosten sind der Tabelle zu entnehmen.
Lager
A
B
Bedarf (PW)
Transportkosten in Fr. / PW
U
V
V
40
20
10
20
10
30
200
500
300
Lagerbestand (Anzahl PW)
600
400
1000
Wie müssen die Grosshändler beliefert werden, damit möglichst geringe Transportkosten anfallen?
Wie gross sind diese Transportkosten?
27. Eine Gesellschaft, die Heizöl verkauft, soll drei Grosshändler A, B und C beliefern. Die Gesellschaft
hat zwei Auslieferungslager W und Z. Die Transportkosten, der Lagerbestand und der Bedarf der
Grosshändler sind der Tabelle zu entnehmen.
Lager
W
Z
Bedarf in l
Transportkosten in Fr. / l
A
B
0.05
0.04
0.05
0.01
200 000
200 000
Lagerbestand in l
C
0.01
0.02
150 000
350 000
200 000
550 000
Wie müssen die Grosshändler beliefert werden, damit möglichst geringe Transportkosten anfallen?
Wie gross sind diese Transportkosten?
03.07.13
107
bms gest / gew
Lineare Optimierung
Aufgaben
Lösungen
1. und 2. Graphische Lösung von Ungleichungssystemen mit 2 Unbekannten
1.
2.
3.
4.
5.
6.
03.07.13
108
bms gest / gew
Lineare Optimierung
Aufgaben
Lösungen
7.
8.
9.
10.
11.
a)
y≥2
y≤3
b)
y≤4
y ≥ −1
x ≥ −2
y ≤ −x + 5
12.
a)
b)
x≥0
y≤3
y≤x
y ≥ x−2
03.07.13
109
y ≤ x+4
y ≥ x−4
y ≤ −x + 4
y ≤ −x − 4
bms gest / gew
Lineare Optimierung
Aufgaben
Lösungen
13.
a)
b)
x ≥ −3
x≤4
x ≥ −1
y ≥ −2
y≤3
y ≤ x+2
y ≥ −x − 1
y≤4
y ≤ 0.25 x + 3.75
y ≥ −x − 5
y ≥ x −3
14.
(a) x > 5 y oder y <
1
x
5
(b) x > 3 y oder y <
1
x
3
(c) x ≤ 2 y oder y ≥
1
x
2
(d)
oder y ≥
3
x
2
(e) x ≥ y oder y ≤ x
(f) x ≤
1
y oder y ≥ 3 x
3
15.
(a) x <
1
y oder y > 5 x
5
(c) x ≥ 3 y oder y ≤
(b) x ≤
1
x
3
(e) x >
10
13
y oder y <
x
10
13
(a) x ≤
7
5
y oder y ≥ x
5
7
1
y oder y ≥ 2x
2
(d)
oder
16.
(b) x ≤
(c) x ≤ 1 y oder y ≥ 4x
4
3
y oder y ≥ x
3
4
(d) x > 1 y oder y < 2 x
4
2
(e) x ≤ 5 y oder y ≥ 1 x
5
03.07.13
110
bms gest / gew
Lineare Optimierung
Aufgaben
Lösungen
3. Lineare Optimierung (Lineare Programme)
17.
Maximaler Gewinn mit: 25 Stück von Sorte A und 20 Stück von Sorte B produzieren.
Maximaler Gewinn: CHF 4400.–
18.
Maximaler Gewinn mit: Einkauf von 45 kg Äpfel und 45 kg Birnen
Maximaler Gewinn: CHF 99.–
19.
Maximale zur Verfügung stehende Energie mit: Kauf von 21 Stück der 200 cm2 Batterien und
58 Stück der 300 cm2 Batterien.
Maximal steht Energie für 1306 h oder für 54 d 10 h zur Verfügung.
20.
Maximaler Gewinn mit: 250 Uhren mit Lederarmband und 400 Uhren mit Edelstahlarmband
Maximaler Gewinn: CHF 14100.–
21.
Minimale Kosten mit : 34 Stück von Maschine A und 66 Stück von Maschine B.
Minimale Kosten mit : CHF 1335.–
22.
Minimale Kosten mit : Einkauf von 40 t bleifreiem Benzin und 16 t Super plus Benzin.
Minimale Kosten mit : CHF 63200.–
23.
Minimale Kosten mit : 7 g der Komponente 1 und 11 g der Komponente 2 verwenden.
24.
Minimale Kosten mit : Einkauf von 20 Hängelampen und 60 Stehlampen.
Minimale Kosten mit : CHF 5200.–
25.
Die minimalen Transportkosten betragen CHF 38.50, wenn wie folgt transportiert wird:
von M1 nach B1 : 30 Säcke / von M1 nach B2 : 10 Säcke / von M1 nach B3 : 20 Säcke /
von M2 nach B2 : 40 Säcke
26.
Die minimalen Transportkosten betragen CHF 15000. –, wenn wie folgt transportiert wird:
von A nach V: 300 Autos / von A nach W : 300 Autos / von B nach U: 200 Autos /
von B nach V: 200 Autos
26.
Die minimalen Transportkosten betragen CHF 13500. –, wenn wie folgt transportiert wird:
von W nach A: 200000 Liter / von W nach C : 150000 Liter / von Z nach B: 200000 Liter
03.07.13
111
bms gest / gew
Lineare Optimierung
03.07.13
Aufgaben
112
bms gest / gew
