Physik Praktikum I: WS 2005/06

Protokoll zum Physik Praktikum I: WS 2005/06
8. GV: Interferenz und Beugung
Protokollanten
Jörg Mönnich
-
Anton Friesen -
Betreuer
Maik Stuke
Versuchstag
Dienstag, 31.01.2006
Interferenz und Beugung
1
Einleitung
Im Allgemeinen wird die Wellenausbreitung des Lichtes mit Hilfe des Huygenschen
Prinzips beschrieben, wonach jeder Punkt auf einer sich vorwärts bewegenden
Wellenfront selbst eine Quelle für sich ausbreitende Wellen darstellt. Treffen
Lichtwellen auf ein Hindernis, so kann es zur Ausbreitung der Wellen in verschiedene
Richtungen kommen; man spricht von Beugung (s. Abb. 1).
Abb. 1: Entstehung elementarer Wellen am Einfach- und Mehrfachspalt
Jede Welle breitet sich mit einer für sie charakteristischen Amplitude aus. Treffen
Wellen aufeinander, so kommt es zur Interferenz (Überlagerung). Hierbei kann man
positive (konstruktive) und negative (destruktive) Interferenz unterscheiden. Positive
Überlagerung führt zu einer Verstärkung der Amplitude, negative Überlagerung zur
Auslöschung. Addieren sich ihre momentanen Amplituden liegt eine Superposition
vor.
n ⋅ 2π
Æ maximale Verstärkung,
n∈`
(2n − 1) ⋅ π
Æ maximale Abschwächung
Hierbei ist darauf zu achten, dass die Wellen die gleiche Frequenz haben müssen.
Daher ist es notwendig monochromatisches Licht (Licht einer Farbe bzw. einer
Wellenlänge) für das Interferenzexperiment zu verwenden, da Licht verschiedener
Wellenlängen nicht mit einander interferieren könnte. Wird dies berücksichtigt, liegt
eine feste Phasenbeziehung (Kohärenz) vor. Der Phasenunterschied ∆ - oder auch
Gangunterschied genannt - ist dabei wie folgt definiert:
Interferenz und Beugung
2
Für eine maximale Verstärkung gilt:
∆ = n⋅λ
(1.1)
∆ = (2n − 1) ⋅ λ / 2
(1.2)
Für die maximale Abschwächung gilt:
Mit Hilfe dieser Formel lässt sich bei bekannter Wellenlänge λ die Position der
Minima und Maxima ermitteln.
Im Folgenden wird nun genauer auf das Phänomen der Beugung eingegangen.
Unter Beugung versteht man im allgemeinen Sinne eine Erscheinung, durch die sich
Wellen infolge von Reflexion oder Brechung nicht geradlinig ausbreiten, sondern in
bestimmter Weise abgelenkt werden.
Abb. 1: Geometrie des Beugungsexperimentes1
Bei einem Interferenzexperiment erfolgt die Ablenkung dann, wenn der Durchmesser
der Öffnung (Spaltbreite), durch die der Lichtstrahl geschickt wird, in der
Größenordnung der Wellenlänge liegt, also nicht mehr als wenige Mikrometer
beträgt. Dann ist das Bild auf dem Schirm nicht etwa eine Scheibe vom gleichen
Durchmesser wie die Öffnung (wie bei großen Öffnungen tatsächlich der Fall),
sondern besteht aus mehreren konzentrischen Ringen. Von dem Mittelpunkt des
1
Quelle: http://htc.physik.hu-berlin.de/~mitdank/dist/scripten/fraunhoferbeugung-Dateien/image028.jpg
Interferenz und Beugung
3
Bildes aus erscheinen zur linken und rechten Seite hin abwechselnd helle und dunkle
Streifen (Interferenzstreifen). Auf diese Weise besteht eine Abhängigkeit zwischen
der Größe (und auch Anzahl) der Spaltöffnung(en) und dem dadurch bedingten
Interferenzmuster (s. Abb. 3). Die folgende Grafik beschreibt die Beugung an einem
breiten und an einem schmalen Spalt:
Abb. 3: Beugung einer Lichtwelle an einem breiten und schmalen Spalt2
Bei der Frauenhoferschen Beugung an einem Einfachspalt mit der Breite s betrachtet
man das Interferenzbild in so großem Abstand, dass man sich näherungsweise
vorstellen kann, dass das Beugungsbild durch die Überlagerung paralleler
„Lichtbündel“ entsteht.
Die Entstehung des 1. Hauptmaximums kann gedanklich nachvollzogen werden:
Teilt man das Lichtbündel in zwei Hälften, so findet man für jede aus der unteren
Hälfte ausgehende Elementarwelle eine Elementarwelle in der oberen Hälfte, die den
Gangunterschied λ/2 aufweist und somit zu destruktiven Interferenz führt. Dies gilt
immer dann, wenn der Gangunterschied ein Vielfaches von λ ist.
Gangunterschied von ∆ = 3
λ
2
Bei einem
liegt das 1. Nebenmaximum vor. Mit wachsendem
Beugungswinkel nimmt die Intensität des Lichtes ab. Allgemein gilt für das n-te
Maximum bzw. das n-te Minimum:
sin α max,n = (2n + 1)
2
λ/2
Quelle: http://www.physik.fu-berlin.de/~brewer/IMAGES/efspalt.jpg
s
(1.3)
Interferenz und Beugung
sin α min,n =
n⋅λ
λ/2
= 2n
s
s
4
(1.4)
Für kleine Winkel (α < 1) gilt näherungsweise sin α ≈ tan α . Daraus erhält man die
vereinfachte Beziehung für das n-te Minimum:
λ=
sb
nL
(1.5)
L ist hierbei der Abstand zum Schirm und b der Abstand zur optischen Achse.
Zur Beugung am Mehrfachspalt bzw. Gitter werden ähnliche Überlegungen
angestellt. Fällt paralleles Licht mit der Wellenlänge λ auf ein Strichgitter, welches
aus N Einzelspalten der Breite s im Abstand a voneinander besteht, so lässt sich
für das gebeugte Licht folgende Intensitätsverteilung finden:
I (α ) = I 0 (
wobei ξ =
sπ sin α
λ
und η =
aπ sin α
λ
sin Nη sin ξ 2
) ,
⋅
sin η
ξ
(1.6)
sind. Bei einem Strichgitter findet man das
Beugungsmaximum der n-ten Ordnung unter dem Winkel
sin α n =
nλ
a
(1.7)
Normalerweise wird bei den Strichgittern nicht mehr der Abstand a angegeben
sondern die Anzahl der Striche pro mm. Je höher die Anzahl der Striche, desto
genauer lässt sich die Wellenlänge des eingestrahlten Lichts trennen und
bestimmen.
Vorbereitung
V.1 – Ein Interferenzmuster am Spalt wird nur ab einer bestimmten Spaltgröße
erfolgreich sein. Bei einem zu großem Spalt wird es zu keiner sichtbaren Interferenz
der Lichtstrahlen kommen.
Interferenz und Beugung
V.2 –
5
Taschenlampen und Kerzen sind für Beobachtung von Interferenz-
Erscheinungen nicht geeignet, da sie kein monochormatiches, kohärentes Licht
ausstrahlen.
V.3 – Um zu zeigen, dass die allgemeine Beziehung 1.6 auch für den Fall 1.4 gültig
ist, setzen wir das daraus abgeleitete
Beziehung I (α ) = I 0 (
Das abgeleitete
α min,n = sin −1 (
α min,n
einfach in die allgemeine
sπ sin α
aπ sin α
sin Nη sin ξ 2
und η =
.
⋅
) ein, wobei ξ =
λ
λ
sin η
ξ
α min,n
müsste demnach I( α min,n ) = 0 sein.
nλ
)
s
sin Nη
I (α min,n ) = I 0 (
⋅
sin η
sin(
sπ sin α min,n
ξ
λ
)
sin Nη
)2 = I 0 (
⋅
sin η
sin(
sπ nλ
)
λ s )2
ξ
nλ
sπ nλ
) = 0, ist auch I (α min, n ) = 0. Damit ist bewiesen, dass sin α min, n =
s
λs
auch in der allgemeinen Beziehung enthalten ist.
Da sin(
Durchführung
In diesem Teil werden die durchgeführten Schritte nur beschrieben. Die genauen
Methoden zur Versuchsdurchführung können dem Skript (S. 27 - 31) entnommen
werden.
1. – Kontrolle des Versuchsaufbau und Bestimmung des Abstands L
Der Laser wurde justiert und das verschiebbare Photoelement auf die optische
Achse abgestimmt.
L=1m
2. – Vergleich der Interferenzmuster für die Spaltbreiten 0,1 mm und 0,2 mm
Die Abstände der Intensitätsmaxima für die Spaltbreite 0,2 mm sind kleiner als die
Abstände der Maxima für die kleine Spaltbreite von 0,1 mm. Es ist somit qualitativ
Interferenz und Beugung
6
festzustellen, dass eine kleinere Spaltbreite größere Abstände zwischen den
Intensitätsmaxima zur Folge hat.
3. – Auswahl einer Spaltbreite und Messung
der Lichtintensität in Abhäng igkeit des
Abstandes b zur optischen Achse
Wir haben uns in diesem Versuch für die Spaltbreite von 0,1 mm entschieden, da die
Abstände zwischen den Intensitätsmaxima größer und damit leichter zu vermessen
waren. Die Intensitäten wurden jeweils nur einseitig von der optischen Achse
vermessen, da das Interferenzbild symmetrisch ist.
Tab. 1: Maximale Lichtintensität I in Abhängigkeit vom Abstand b, Einzelspaltversuch
Lichtintensität I
Abstand b zur opt. Achse [in mm]
0,064
0
0,0045
9
0,001
15
0,0003
21
In Abb. 1
wurde die Intensitätsverteilung an der y-Achse gespiegelt, da das
erhaltene Interferenzbild wie oben bereits beschrieben symmetrisch ist.
Lichtintensität
0,1
0,05
0
-30
-20
-10
0
10
20
30
Abstand b [in mm]
Abb. 1: Lichtintensität I in Abhängigkeit vom Abstand b zur optischen Achse, Einzelspalt
Interferenz und Beugung
7
4. – Bestimmung der Wellenlänge des Lasers
Die Laserwellenlänge bestimmen wir aus der Lage des ersten Minimums. Aus
Tabelle 1 lässt sich entnehmen, dass das erste Minimum bei b = 6,5 mm liegt. Mit
folgender Gleichung lässt sich somit die Wellenlänge bestimmen (Für die
Fehlerrechnung wird s als fehlerfrei angenommen). Nach 1.5 errechnet sich für
L=1m
∆L = 0,005 m
b = 6,5 * 10-3 m
∆λ = (
s =1 * 10-4 m
n=1
∆b = 5 * 10-4 m
λ=
sb
≈ 650 nm
nL
s
sb
∆b) 2 + (− 2 ∆L) 2 ≈ 53, 25 nm
nL
nL
⇒ λ = 650 ± 53, 25 nm
Der gemessene Wert stimmt - unter Berücksichtigung des Fehlers - mit dem in der
Literatur angegebenen Wert3 von 632,8 nm überein.
5. – Vermessen des Interferenzbildes am Doppelspalt
Als Doppelspalt haben wir wieder eine Spaltbreite s von 0,1 mm genommen mit
einem Spaltabstand a von 0,3 mm.
Tab. 2: Maximale Lichtintensität I in Abhängigkeit vom Abstand b, Doppelspaltversuch
Lichtintensität I
Abstand b zur opt. Achse [in mm]
0,1128
0
0,028
2
0,07
4
0,0055
8
0,0024
10
0,002
14
Quelle: http://www.pb.izm.fhg.de
3
Interferenz und Beugung
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Die in Tabelle 2 aufgeführten Werte sind in Abb. 1 dargestellt.
Lichtintensität
0,15
0,1
0,05
0
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Abstand b [in mm]
Abb. 2: Lichtintensität I in Abhängigkeit vom Abstand b zur optischen Achse, Doppelspalt
Am Doppelspalt ergeben sich im Vergleich zum Einzelspalt drei fast gleich große
Maxima. Des Weiteren nimmt die Intensität der Maxima wie erwartet mit steigendem
Abstand b rapide ab.
7. – Untersuchung der verschiedenen Strichgitter
Für das erste Strichgitter mit 40 Strichen/cm, also s = 0,25 mm wurde ein
Interferenzmuster aufgenommen (im Folgenden wird a als fehlerfrei angenommen):
Tab. 3: Maximale Lichtintensität I in Abhängigkeit vom Abstand b, Strichgitter
Lichtintensität I
Abstand b zur opt. Achse [in mm]
0,3975
0
0,1602
2
0,0125
4,5
0,0183
7
0,0130
9,5
0,0075
12
Interferenz und Beugung
9
Die in Tabelle 3 aufgeführten Werte sind in Abb. 3 dargestellt.
Lichtintensität
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
Abstand b [in mm]
Abb. 3: Lichtintensität I in Abhängigkeit vom Abstand b zur optischen Achse, Strichgitter
Der Abstand zwischen den Maxima liegt somit bei b = 2,5 ± 0,5 mm. Zur Berechnung
von λ kann hier noch die Annahme tanα = sinα gemacht werden, da der Winkel α
noch recht klein ist. Somit folgt:
tan α =
s = 0,25 mm
b
L
sin α n =
L = 1000 mm
b = 2,5 mm
⇒
bs
=λ
Ln
∆L = 5 mm
∆b = 0,5 mm
λ=
∆λ = (
nλ
s
ba
≈ 625 nm
Ln
s
bs
∆b)2 + (− 2 ∆L)2 ≈ 0, 0125 nm
Ln
Ln
n=1
Interferenz und Beugung
10
Für die folgenden beiden Strichgitter mit 50 Strichen/mm (s = 0,02 mm) und 570
Strichen/mm (s = 0,00175 mm) ergaben sich (bei L = 1000 ± 5 mm) folgende
Abstände zu den ersten Maxima:
s50 = 0,02 mm
s570 = 0,00175 mm
b50 = 31 ± 1 mm
b570 = 415 ± 1 mm
Aufgrund der großen Abstände der Intensitätsmaxima kann die Annahme tanα = sinα
nicht mehr gelten. Dadurch berechnet sich die Wellenlänge λ und der Fehler ∆λ
folgendermaßen:
b
s sin(tan −1 )
s sin α
L
λ=
=
n
n
Für die jeweiligen Wellenlängen erhält man daraus:
λ50≈ 619,7 nm
λ570≈ 670,8 nm
Für den Fehler der Wellenlänge erhält man:
∆λ50 ≈ 23,07 nm
∆λ570≈ 4,24 nm
Tab. 4: Errechnete Wellenlänge des Lasers in Abhängigkeit der Strichanzahl des Strichgitters
Striche / mm Wellenlänge λ des Lasers in nm
40
625 ± 0,0125
50
619,7 ± 23, 07
570
670 ± 4,24
Interferenz und Beugung
11
In Tabelle 4 fällt in erster Linie auf, dass alle drei Ergebnisse in einem Bereich von
625 – 670 nm, in der Nähe der tatsächlichen Wellenlänge des Lasers von 632,8 nm
liegen. Der Mittelwert der drei ermittelten Wellenlängen von 638 nm kommt demnach
dem eigentlichen Wert sehr nahe. Dies zeigt, dass alle Messungen (so ungenau sie
auch waren) zumindest ein qualitativ annehmbares Ergebnis zulassen.
Betrachtet man die einzelnen Ergebnisse für sich, so stellt man fest, dass das
Strichgitter mit der kleinsten Strichzahl, ohne weitere Betrachtung des Fehlers, mit
625 nm das beste Ergebnis liefert. Unter Berücksichtigung des errechneten Fehlers
jedoch, liegt der Literaturwert nicht im Fehlerbereich. Hier liefert das 50er Strichgitter
als einziges ein passendes Fehlermaß.
Das „schlechteste“ Ergebnis liefert das Strichgitter mit 570 Strichen/mm. Hier liegt
der errechnete Wert mit 670 nm am weitesten von dem Literaturwert und auch das
Fehlermaß erscheint deutlich zu klein. Dies könnte eventuell daran liegen, dass
aufgrund des großen Abstandes zwischen den Maxima nur ein einziges Maximum
bestimmt werden konnte und ein Abgleich der Abstände der Maxima fehlt.
Die Auswertung der Ergebnisse lässt den Schluss zu, dass eine kleine Auflösung
des Gitters ein besseres Ergebnis liefert. Dabei wäre eher das Gegenteil zu erwarten
gewesen, nämlich dass eine größere Strichzahl des Strichgitters eine genauere
Bestimmung der Wellenlänge zur Folge hat. Eine Erklärung hierfür könnte darin
liegen, dass die Intensitätsmaxima bei größer werdender Strichzahl weiter
auseinander liegen und der Abstand der Maxima eigentlich genauer bestimmt
werden kann. Des Weiteren war anhand des Interferenzmusters, dass wir vermessen
haben auch zu erkennen, dass die Breite der Maxima relativ zum Abstand zwischen
den Maxima mit größerer Strichzahl zunimmt.
8. – Diskussion der Genauigkeit der verschiedenen Verfahren
Anhand der Werte der jeweiligen Berechnung fällt es schwer eine eindeutige
Aussage über die Genauigkeit der verschiedenen Verfahren zu machen, da alle vier
Bestimmungen nah an Literaturwert heranreichen. Es bleibt jedoch festzustellen,
dass die Bestimmung der Wellenlänge mit dem 50er Strichgitter am besten erfolgt
ist.
Mit
größer
werdender
Strichzahl
des
Strichgitters
scheint
die
Wellenlängenbestimmung mit dem Strichgitterversuch jedoch sehr viel genauer, als
Interferenz und Beugung
12
die Bestimmung mit dem Einzelspaltversuch. Dies wird durch einen Blick auf die
jeweiligen Fehlerbereiche deutlich.
Quellen
Udo Werner, Praktikumsskript, 2005
Tipler-Mosca, Physik, 2004
Gerthsen, Physik, 1995