Aufgabenkatalog zur ¨Ubung Elektrotechnik 2

TNF
Aufgabenkatalog zur
Übung Elektrotechnik 2
SS 2013
Übungsleiter:
Christian Diskus
Martin Heinisch
Erwin Reichel
Institut für Mikroelektronik und Mikrosensorik
Altenbergerstr. 69, 4040 Linz, Internet: www.ime.jku.at
Inhaltsverzeichnis
Allgemeine Informationen
1
SI-System - Größen und Einheiten
3
0 Einführung
0.1 Skalarfeld, Vektorfeld
0.2 Skalarfeld, Vektorfeld
0.3 Gradient . . . . . . .
0.4 Divergenz . . . . . .
0.5 Rotation . . . . . . .
0.6 Operatoren . . . . .
0.7 SI: Volt . . . . . . .
0.8 SI: Ohm . . . . . . .
0.9 SI: Farad . . . . . .
0.10 SI: Henry . . . . . .
I .
II
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1 Elektrostatik
1.1 Coulombsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Superposition von elektrischen Feldern I . . . . . .
1.3 Superposition von elektrischen Feldern II . . . . . .
1.4 Superposition von elektrischen Feldern III [P] . . .
1.5 Kräftegleichgewicht im elektrischen Feld . . . . . .
1.6 Kraft auf eine Ladung . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Elektronenstrahlröhre . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Potential einer Punktladung . . . . . . . . . . . . .
1.9 Wegunabhängigkeit für Integral der Feldstärke . . .
1.10 Elektrisches Feld einer Punktladung (Maxwell) . .
1.11 Elektrisches Feld einer Leiterplatte . . . . . . . . .
1.12 Potential eines Hohlzylinders (Maxwell) . . . . . .
1.13 Kugelsymmetrie (Maxwell) . . . . . . . . . . . . .
1.14 Elektrostatisches Feld an Grenzflächen . . . . . .
1.15 Spiegelungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.16 Kapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.17 Plattenkondensator mit geschichtetem Medium . .
1.18 Aufgabe: Kapazitätsberechnung . . . . . . . . . .
1.19 Drehkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.20 Kugelkondensator mit geschichtetem Dielektrikum
i
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1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
1.26
1.27
1.28
1.29
Plattenkondensator mit inhomogenem
Nabla-Operator . . . . . . . . . . . .
Energieberechnung . . . . . . . . . .
Energieberechnung . . . . . . . . . .
Zylinderkondensator I [P] . . . . . . .
Zylinderkondensator II [P] . . . . . .
Kraftwirkung im elektrischen Feld . .
Kraft auf Grenzflächen . . . . . . . .
Zylinderkondensator als Waage [P] .
2 Strömungsfeld
2.1 Geschichtetes Medium I . . . . .
2.2 Geschichtetes Medium II . . . . .
2.3 Leitersegment I . . . . . . . . . .
2.4 Leitersegment II [P] . . . . . . .
2.5 Ableitbelag . . . . . . . . . . . .
2.6 Widerstandsberechnung I . . . .
2.7 Widerstandsberechnung II [P] . .
2.8 Aufgabe: Kugelerder . . . . . . .
2.9 Aufgabe: Halbkugelförmige Erder
2.10 Aufgabe: Verlustleistung . . . .
Dielektrikum [P]
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3 Magnetostatik
3.1 Lorentzkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Maxwellgleichungen für den elektro- und magnetostatischen Fall . . . . . . .
3.3 Unendlich ausgedehnter stromführender Draht . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Rechte–Hand–Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Kraft zwischen zwei parallelen Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Gesetz von Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Gesetz von Biot-Savart und Ampèresches Gesetz [P] . . . . . . . . . . . . .
3.8 Biot-Savart, Kraft auf einen Leiter [P] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Magnetische Felder an Grenzflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Magnetischer Fluss und (magnetische) Durchflutung . . . . . . . . . . . . .
3.11 Eisenkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12 Eisenkreis – Drehstromtransformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13 Spannungsinduktion I – Bewegte Leiter im (homogenen) Magnetfeld . . . .
3.14 Spannungsinduktion II – Spannungsinduktion in einer starren Leiterschleife
3.15 Induktion in einer bewegten Leiterschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.16 Eisenkern mit 3 Schenkeln und 2 Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.17 Spulen, Induktion, Koppelfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.18 Magnetische Energie und Induktivität eines Koaxialkabels . . . . . . . . . .
3.19 Railgun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
INHALTSVERZEICHNIS
3.20 Geschwindigkeits- bzw. Energiefilter mit gekreuztem elektrischen und
schen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.21 Ableitung der magnetischen Grenzflächenkraft . . . . . . . . . . . . .
3.22 Magnetkreis, Spannungsinduktion, Virtuelle Verschiebung [P] . . . . .
3.23 Gleichstrommaschine [P] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Schaltvorgänge
4.1 Übertragungsverhalten einer RC-Schaltung . . . . . . . . . .
4.2 Übertragungsverhalten einer RL-Schaltung [P] . . . . . . . .
4.3 RC-Netzwerk mit zugeschalteter Wechselspannungsquelle . .
4.4 RL-Netzwerk mit zugeschalteter Wechselspannungsquelle [P]
4.5 Analyse eines Serienschwingkreises . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Analyse eines Parallelschwingkreises . . . . . . . . . . . . .
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A Koordinatensysteme, Linien- & Oberflächenintregrale
A.1 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Linienintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.1 Bsp. für Linienintegrale in kartesischen Koordinaten . . .
A.2.2 Bsp. für Linienintegrale in Polarkoordinaten . . . . . . .
A.2.3 Bsp. für Linienintegrale in Zylinderkoordinaten . . . . .
A.2.4 Bsp. für Linienintegrale in Kugelkoordinaten . . . . . . .
A.3 Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.1 Bsp. für Oberflächenintegrale in kartesische Koordinaten
A.3.2 Bsp. für Oberflächenintegrale in Zylinderkoordinaten . .
A.3.3 Bsp. für Oberflächenintegrale in Kugelkoordinaten . . . .
A.4 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5 Übungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.1 Kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.2 Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.3 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.4 Rotationskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.5 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Elektrisches Potential
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Allgemeine Informationen
Unterlagen und sämtliche Informationen zur Übung
www.ime.jku.at → Teaching → Elektrotechnik II (VO, UE) → Begleitmaterial UE
Übungsmodus
• Anwesenheitspflicht
• Einstiegs-Quiz und Vorrechnen/ Besprechen der vorzubereitenden Übungsaufgaben
• 2 Übungstests:
– 90 min pro Test
– 3 Aufgaben pro Test
– 100 Punkte pro Test
– kein Taschenrechner
– keine Formelsammlung
• Einstiegs-Quizzes
– Fragen aus dem Fragenkatalog am Anfang jeder Übung. Die vorzubereitenden Fragen
sind der Institutswebsite zu entnehmen.
– 10 Quizzes à 2 Punkte (1 Frage)
– 2 Masterquizzes à 6 Punkte (3 Fragen)
– keine Unterlagen
• 3 Kriterien für positive Absolvierung der Übung
– mind. 100 Punkte in Summe bei den Übungstests
– mind. 16 Punkte in Summe bei den Quizzes
– mind. 70 % der Kreuzerl
– bei unzureichender Vorbereitung der Aufgaben, werden vom Übungsleiter alle Kreuzerl der Entsprechenden Übung gestrichen.
• Entschuldigtes Fehlen/ Nichtantritt bei Quizz
1
Allgemeine Informationen
2
– Informieren des Übungsleiters vor der Übung
– Krankheit (Ärztliche Bestätigung)
– Prüfungen
– ...
– Ein versäumtes Quizz kann bis zur (bzw. in) der nächsten Übung nachgeholt werden
– Die Kreuzerl werden aliquot entschuldigt
• Vorlesungsklausur:
– Anfang Juli
– Theorieteil und Rechenteil (analog zu Übungstests)
– Mündliche Abschlussprüfung nach bestandener schriftlicher Klausur
Repetitorium
In den wöchentlich stattfindenden Repetitorien (Wiederhol-/ Vorbereitungsstunden) werden die
vorzubereitenden Quizfragen und Rechenaufgaben besprochen sowie Fragen der Studierenden
diskutiert.
Termine
• Übungstests
– 1. Test: Fr., 10. Mai, 13.45-16.15, HS 10 und 16
– 2. Test: Fr., 5. Juli, 16.15-18.45, HS 1
• Semesterplan (Änderungen vorbehalten)
UE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Termin
05.03.
12.03.
19.03.
09.04.
16.04.
23.04.
30.04.
07.05.
28.05.
04.06.
11.06.
18.06.
25.06.
Aufgaben
0.1, 0.3, 0.4, 0.5, 1.1, 1.2, 1.5
1.8, 1.9, 1.10, 1.11
1.13, 1.14, 1.16
1.17, 1.20, 1.23, 1.24
1.26, 1.27, 1.28
2.1, 2.2, 2.3
2.5, 2.6, 2.8
3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6
3.7, 3.9, 3.10, 3.11
3.13, 3.14, 3.16, 3.17
3.18, 3.21, 3.23
4.1, 4.2, 4.3, 4.4
4.5, 4.6
Quizzes
ES: 3, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 20, 21
ES: 13, 14, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26
ES: 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 38, 39, 40
ES: 35, 36, 37, 45, 46, 47, 48
SF: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
SF: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14
Masterquiz 1
MS: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 14, 15, 16, 17, 18, 19
MS: 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29
MS: 32, 33, 35, 36, 37
SV: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Masterquiz 2
SI-System - Größen und Einheiten
Basiseinheiten:
Größe
Länge
Masse
Zeit
Stromstärke
Temperatur
Lichtstärke
Stoffmenge
Symbol
s
m
t
I
T
Iv
n
Einheit
[s] =
[m] =
[t]
=
[I] =
[T ] =
[Iv ] =
[n] =
Name
Meter
Kilogramm
Sekunde
Ampere
Kelvin
Candela
Mol
Symbol
F
E
P
Q
U
R
G
C
L
Φ
B
Einheit
[F ] = N = kgs2m
2
[E] = J = N m = kgsm
2
2
[P ] = W = Js = kgsm
3
[Q] = C = A s
2
[U ] = V = kgA m
s3
m2
[R] = Ω = V
= kg
A
A2 s 3
A
A2 s 3
[G] = S = V
= kg
m2
C
[C] = F = V
= AVs
[L] = H = Wb
= VAs
A
[Φ] = Wb = V s
= Akgs2
[B] = T = Wb
m2
m
kg
s
A
K
Cd
mol
Abgeleitete Einheiten:
Größe
Kraft
Energie
Leistung
El. Ladung
El. Spannung
El. Widerstand
El. Leitwert
El. Kapazität
Induktivität
Magn. Fluss
Magn. Flussdichte
Dielektrizitätskonst.
Permeabilitätskonst.
ε0
µ0
[ε0 ]
[µ0 ]
103
106
109
1012
1015
1018
1021
1024
Kilo
Mega
Giga
Tera
Peta
Exa
Zetta
Yotta
=
=
F
m
H
m
=
=
Name
Newton
Joule
Watt
Coulomb
Volt
Ohm
Siemens
Farad
Henry
Weber
Tesla
ε0 = 8.854 · 10−12 VAms
µ0 = 4π · 10−7 AVms
As
Vm
Vs
Am
Präfixe:
k
M
G
T
P
E
Z
Y
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
10−21
10−24
3
Milli
Mikro
Nano
Pico
Femto
Atto
Zepto
Yokto
m
µ
n
p
f
a
z
y
0 Einführung
Vektoranalysis
0.1 Skalarfeld, Vektorfeld I
Die Temperatur T in einem (quaderförmigen) Haus lässt sich beschreiben durch
T (r) = z + 23 +
x2
5
.
+5
Außerhalb des Hauses weht der Wind mit


2x3 y 3 z 2
W(r) =  3xy 2 z 2  .
x4 yz + 2
Handelt es sich bei den beschriebenen Funktionen um Skalarfelder? Vektorfelder? Argumentieren Sie.
0.2 Skalarfeld, Vektorfeld II
Berechnen Sie, sofern zulässig, rot (∇ × f ), grad (∇f ) und div (∇ · f ) der Felder aus Bsp. 0.1.
0.3 Gradient
Berechnen Sie die Gradientenfelder der Skalarfelder:
x2 y 2
+
10 20
a)
f1 (x, y) = 1 −
b)
1
f2 (r) = 2x4 z − xy 4 z 3 − 10
3
Was gibt der Gradient eines Skalarfeldes an?
0.4 Divergenz
Berechnen Sie die Divergenzen der Vektorfelder:
 
x

y
a) V1 (x, y) =
0
 
x
C
y
b) V2 (r) = 2
(x + y 2 + z 2 )(3/2)
z
4
0 Einführung
5
Was gibt die Divergenz eines Vektorfeldes an? Versuchen Sie beide Vektorfelder zu skizzieren.
0.5 Rotation
Berechnen Sie die Rotationen der Vektorfelder:


−y
a) V3 (r) =  x 
0


6xy + 3yz
b) V4 (r) =  3x2 + 3xz 
3xy
Was gibt die Rotation eines Vektorfeldes an? Versuchen Sie das Vektorfeld V3 zu skizzieren.
0.6 Operatoren
Es sei E der Vektor des stationären elektrischen Feldes und ϕ das zugehörige elektrische Potential. Welche der folgenden Ausdrücke sind gültig?
a) div grad ϕ b) grad div E c) div ϕ d) div div E e) rot rot E f) div rot E
Koordinatensysteme, Linien- & Oberflächenintregrale
Informationen zu krummlinigen Koordinatensystemen und zur Berechnung von Linien- und
Oberflächenintegralen finden Sie im Anhang A.
SI Einheiten
0.7 SI: Volt
Geben Sie die Einheit für die elektrische Spannung, Volt (V), in SI-Basiseinheiten an.
0.8 SI: Ohm
Geben Sie die Einheit für den elektrischen Widerstand, Ohm (Ω), in SI-Basiseinheiten an.
0.9 SI: Farad
Geben Sie die Einheit für die elektrische Kapazität, Farad (F), in SI-Basiseinheiten an.
0.10 SI: Henry
Geben Sie die Einheit für die Induktivität, Henry (H), in SI-Basiseinheiten an.
1 Elektrostatik
1.1 Coulombsches Gesetz
Für das elektrische Feld (im Vakuum) am Punkt ~r, das von einer Punktladung q am Ort ~r1
herrührt (siehe Abbildung) ergibt sich:
~ r) =
E(~
q1
~r − ~r1
~r − ~r1
= q1
2 ·
4πε0 |~r − ~r1 | |~r − ~r1 |
4πε0 |~r − ~r1 |3
P
E
q1
r
r1
0
a) Welche Variable bezeichnet den Aufpunkt“, welche den Laufpunkt (Quellpunkt)“?
”
”
b) Skizzieren Sie das elektrische Feld (Richtung, Feldstärke und Feldlinien) in der Umgebung
~ = −∇ϕ).
einer Punktladung und geben Sie das zugehörige Potential ϕ an (E
c) Welche Kraft wirkt auf eine zweite Punktladung q2 in diesem Feld?
1.2 Superposition von elektrischen Feldern I
In einem Raum befinden sich drei nicht auf einer Geraden liegende Punktladungen q1 < 0,
q2 < 0 und q3 > 0, mit Ortsvektoren x1 , x2 , x3 .
a) Skizzieren Sie das Feld an der Stelle der Ladung q3 , das von den Ladungen q1 und q2
verursacht wird.
b) Wie groß ist die Kraft auf Ladung q3 ? In welche Richtung zeigt sie? Zeichnen Sie die Kraft
in die Skizze aus Pkt. a) ein.
1.3 Superposition von elektrischen Feldern II
Gegeben sind drei Punktladungen im Raum (siehe Grafik). q1 und q2 sind mit einem (isolierenden) Stab an ihrer Position fixiert, q3 kann sich frei bewegen. Berechnen Sie die Kraft F welche
auf die Ladung q3 wirkt und zeichnen Sie ihre Richtung ein.
6
1 Elektrostatik
7
+
q1 = 3 μC
40 cm
30 cm
+
0
q3 = 5 μC
30 cm
+
q2 = 3 μC
1.4 Superposition von elektrischen Feldern III [P]
Ein Ring mit dem Radius r und vernachlässigbar kleinem Querschnitt trägt die gleichmäßig am
Umfang verteilte Ladung q1 . Im Abstand a von diesem Ring befindet sich eine Punktladung q2
(siehe Skizze). Die gesamte Anordnung soll sich im Vakuum befinden (ε = ε0 ). Welche Kraft F
üben beide Ladungen aufeinander aus?
Hinweis: Betrachten Sie zunächst ein kleines Leiterstück des Ringes und überlegen Sie sich
welche Komponente aufgrund der Symmetrie zur resultierenden Kraft beiträgt.
dq
q1
a
q2
r
1.5 Kräftegleichgewicht im elektrischen Feld
Die positive Ladung Q1 = Q0 befindet sich am Ort x = 0 und die positive Ladung Q2 = 4Q0
am Ort x = d. Eine dritte Ladung Q3 ist in der Verbindungslinie der beiden Ladungen Q1 und
Q2 so platziert, dass sich das Gesamtsystem im Kräftegleichgewicht befindet. Bestimmen Sie
den Ort x der Ladung Q3 , ihren Betrag und ihr Vorzeichen.
1.6 Kraft auf eine Ladung
Ein freies Elektron (Masse me = 9.11 · 10−31 kg) besitzt zum Zeitpunkt t0 die Geschwindigkeit
~ = 100 V/m beschleunigt. In welche Richtung
v = 0 und wird in einem elektrischen Feld E
bewegt sich das Elektron, welche Geschwindigkeit erreicht es nach einer Strecke von 1 cm und
wie lange braucht es dazu?
1 Elektrostatik
8
1.7 Elektronenstrahlröhre
Mit Hilfe der Spannung UB werden die Elektronen von der Glühkathode auf eine Geschwindigkeit v0 beschleunigt. Diese treten dann in das durch die Spannung UD erzeugte elektrische Feld
ein und werden abgelenkt.
Auf dem Leuchtschirm entsteht im Auftreffpunkt P des Elektronenstrahles ein heller Lichtpunkt, dessen Koordinaten in Abhängigkeit von UD berechnet werden sollen. Zur Vereinfachung
soll ein homogenes elektrisches Feld im Bereich der Platten angenommen werden. Streufelder
sind vernachlässigbar.
-
ng
igu
eun
chl
s
Be
ng
nku
le
Ab
hir
dsc
Bil
m
a) Stellen Sie im Bereich der Ablenkplatten die Bahnkoordinaten x(t) und y(t) in Abhängigkeit der Zeit t auf und stellen Sie eine Gleichung y(x) für die Elektronenbewegung
auf.
b) Berechnen Sie den Austrittswinkel des Elektronenstrahls.
c) Stellen Sie eine Gleichung y(x) für die Elektronenbewegung nach dem Passieren der Ablenkplatten auf und berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P .
1 Elektrostatik
9
1.8 Potential einer Punktladung
Berechnen Sie das Potential im Abstand r von der Punktladung Q1 sowie die potentielle Energie
einer Ladung Q im Abstand r von der Punktladung Q1 . Geben Sie mit diesen Ergebnissen die
Beziehungen für die Spannung und die Differenz der potentiellen Energie der Ladung Q zwischen
den Punkten A und B an.
1.9 Wegunabhängigkeit für Integral der Feldstärke
Beweisen Sie dass
I
~ d~s = 0
E
~ =
für das Feld einer Punktladung Q1 im Ursprung (E
Q1 ~
x
).
4πε0 |~
x|3
1.10 Elektrisches Feld einer Punktladung (Maxwell)
Berechnen Sie das elektrische Feld einer Punktladung im Abstand r unter Verwendung der
Maxwell-Gleichung für das statische E-Feld.
1.11 Elektrisches Feld einer Leiterplatte
Berechnen Sie das elektrische Feld einer unendlich dünnen, unendlich ausgedehnten Leiterplatte
mit Oberflächenladungsdichte σ. Verwenden Sie dieses Ergebnis um das elektrische Feld eines
Plattenkondensators zu bestimmen (2 Platten im Abstand d mit Ladungen +σ und −σ).
1.12 Potential eines Hohlzylinders (Maxwell)
Berechnen Sie E und ϕ für einen sehr langen Hohlzylinder mit dem Radius r0 und der Länge
l, der eine gleichmäßig auf den Zylindermantel verteilte Ladung Q trägt.
Hinweis: Der Einfluss der Zylinderstirnseiten sei vernachlässigbar.
1.13 Kugelsymmetrie (Maxwell)
Berechnen Sie E und ϕ bei kugelsymmetrischer Raumladungsverteilung
a) für ρ = ρ0 = konst. innerhalb der Kugel mit dem Radius rk und ρ = 0 außerhalb
b) für ρ = cr innerhalb der Kugel mit dem Radius rk und ρ = 0 außerhalb
c) für eine Hohlkugel mit dem Radius rk , die die Ladung Q trägt.
1 Elektrostatik
10
1.14 Elektrostatisches Feld an Grenzflächen
Wie verhalten sich D und E an der Grenzfläche zweier Dielektrika? Beschreiben und skizzieren
Sie das daraus resultierende Brechungsgesetz.
1.15 Spiegelungsprinzip
Eine negative Punktladung befindet sich im Vakuum in der Nähe eines ebenen massiven Leiters,
dessen Gesamtladung Null sei (siehe Bild). Das Feldbild soll interpretiert und berechnet werden.
Wie ist die Ladungsdichte an der Obfläche des massiven Leiters verteilt?
+
+ +++ +
-
+
+
+
+
+
+ +++ +
+
+
1.16 Kapazitäten
Berechnen Sie die Kapazitäten für die folgenden Fälle:
Anmerkung: Die folgenden Kondensatoren bestehen jeweils aus zwei Elektroden, die die Ladungen +Q und −Q tragen
a) Kugelkondensator
b) Zylinderkondensator
c) Plattenkondensator
d) Zwei Kugeln (Radien rK , Abstand a)
e) Zweidrahtleitung (Radien rD , Abstand a)
1.17 Plattenkondensator mit geschichtetem Medium
Zeichnen Sie die elektrische Flussdichte D und die elektrische Feldstärke E in einem geladenen
(Ladung Q) Plattenkondensator mit a) parallel und b) senkrecht geschichtetem Dielektrikum
(ε1 > ε2 ) schematisch in Feldliniendarstellung.
Der Kondensator hat die Plattenhöhe h = 10 cm, Plattenbreite b = 15 cm und Plattenabstand
d = 1 cm. Die dielektrischen Schichten ε1 = 4 · ε0 und ε2 = 2.7 · ε0 sind bei x = 6.25 mm bzw.
y = 5.3 cm getrennt.
Berechnen Sie E, D, die Spannung U und die Kapazität C für beide Anordnungen für eine
Gesamtladung Q = 18 nC.
1 Elektrostatik
11
1.18 Aufgabe: Kapazitätsberechnung
Berechnen Sie den Kapazitätsbelag (die Kapazität pro Leiterlänge)
a) eines Zylinderkondensators mit den Radien ri und ra des Innen- bzw. Außenleiters. Berechnen Sie außerdem den Verlauf der elektrischen Feldstärke und des Potentials.
b) einer Zweidrahtleitung (zwei parallele Drähte der Radien rD im Abstand a). Welche Näherung wird bei diesem Beispiel getroffen?
1.19 Drehkondensator
Gegeben ist der abgebildete Drehkondensator, welcher aus zwei parallelen halbrunden Leiterplatten (Radius R) mit Abstand d besteht. In Abhängigkeit des Drehwinkels kann die Kapazität verändert werden. Es soll eine homogene Feldverteilung zwischen den Platten angenommen
werden. Außerhalb dieser sei das Feld vernachlässigbar.
α
R
d
a) Bei welchem Winkel tritt die maximal erreichbare Kapazität auf, und wie groß ist sie?
Wie groß ist in diesem Fall (bei bekannter Spannung U ) die die Flächenladungsdichte auf
den Platten?
b) Berechnen Sie die Kapazität in Abhängigkeit des Drehwinkels α.
c) Berechnen Sie die Spannung U (α) in Abhängigkeit des Drehwinkels. Nehmen Sie an, dass
U (0) = U0 ist und die Gesamtladung beim Drehen konstant bleibt.
1.20 Kugelkondensator mit geschichtetem Dielektrikum
Die Abbildung zeigt den Querschnitt eines Kugelkondensators mit geschichtetem Dielektrikum.
Berechnen Sie die Verläufe der elektrischen Feldstärke, des Potentials in Abhängigkeit von r
sowie die Kapazität des Kugelkondensators.
1 Elektrostatik
12
-Q
+Q
εr2
εr1
0 r
1
r2
r3
r
1.21 Plattenkondensator mit inhomogenem Dielektrikum [P]
Ein Plattenkondensator enthalte ein inhomogenes Dielektrikum, dessen Dielektrizitätszahl sich
mit εr = 1 + y30 y entlang der y-Achse verändert. Weiters seien die Kondensatorplattenfläche A
sowie der Plattenabstand y0 gegeben, wobei sich die Ladung +Q auf der unteren Platte bei
y = 0 und die Ladung −Q auf der oberen Platte bei y = y0 befindet.
y
y0
-Q
A
0
+Q
a) Stellen Sie sich das Dielektrikum in erster Näherung als viele dünne übereinander gestapelte Schichten mit unterschiedlicher Dielektrizitätszahl vor. Welche allgemeinen Aussagen
können Sie über das elektrische Feld E und die dielektrische Verschiebung D treffen?
(Richtung, Stetigkeitsbedingungen, . . . )
b) Wie groß ist die Kapazität des Plattenkondensators?
c) Bestimmen Sie die Polarisation P(y) des Dielektrikums.
d) Welche Flächenladungsdichte σpol wird an den Oberflächen des Dielektrikums induziert?
e) Bestimmen Sie die Polarisationsladungsdichte ρpol (y) im Dielektrikum.
f) Integrieren Sie den Ausdruck für die Polarisationsladungsdichte aus e) über das gesamte
Dielektrikum und zeigen Sie, dass die gesamte induzierte Ladung unter Einschluss der
Oberflächenladungen aus d) gleich null ist
1 Elektrostatik
13
1.22 Nabla-Operator


∂/∂x
~ = ∂/∂y  die folgenden Ausdrücke.
Berechnen Sie mit Hilfe des Nabla-Operators ∇ = ∇
∂/∂z
 
x

~r bezeichnet dabei den Vektor ~r = y , während f eine skalare Funktion f = f (x, y, z)
z
darstellt.
a)
1
∇ |~r−~
r0 |
b)
∇ · ~r
c)
∇f
d)
)
∇ ϕ(f
f
1.23 Energieberechnung
Gegeben ist eine leitende Metallkugel mit dem Radius a, auf die die Gesamtladung Q aufgebracht ist.
a) Wie ist die Ladung verteilt? Geben Sie die Ladungsdichte an.
b) Geben Sie die elektrische Feldstärke innerhalb und außerhalb der Kugel an.
c) Überlegen Sie sich, warum die Anordnung als Kondensator beschrieben werden kann.
Wieviel Engergie ist in ihm gespeichert?
1.24 Energieberechnung
Gegeben ist eine Gesamtladung Q, welche im Vakuum innerhalb einer dielektrischen Kugel mit
ε1 und dem Radius a gleichmäßig verteilt ist.
a) Geben Sie die Raumladungsdichte innerhalb des kugelförmigen Bereiches an.
b) Geben Sie die elektrische Feldstärke innerhalb und außerhalb der Kugel an.
c) Wieviel Engergie ist in der Anordnung gespeichert?
1 Elektrostatik
14
1.25 Zylinderkondensator I [P]
Gegeben sei ein Zylinderkondensator der Länge l, in dem sich ein längsgeschichtetes Dielektrikum mit den beiden relativen Dielektrizitätskonstanten ε1 und ε2 befindet (ε1 > ε2 ). Der innere
und der äußere Mantel seien mit einer Spannungsquelle mit der Spannung U verbunden.
Hinweis: In den Rechnungen dürfen die Mäntel als unendlich leitfähig angenommen werden
und Randeffekte in der Nähe der Stirnseiten des Kondensators vernachlässigt werden.
U
α
ε1
ε2
ra
l
ri
a) Zeichnen Sie qualitativ den Verlauf des D-Feldes in eine Skizze des Querschnitts ein.
b) Berechnen Sie die Gesamtladung des Kondensators in Abhängigkeit der angelegten Spannung.
c) Berechnen Sie den Anteil der Gesamtladung Q1 /Q, der sich auf dem äußeren Mantel über
dem Dielektrikum 1 (ε1 ) ansammelt.
d) Berechnen Sie die im Kondensator gespeicherte Energie.
e) Welchen Radius ra müsste ein Zylinderkondensator ohne Dielektrikum (mit gleichem l,
ri ) besitzen, um bei gleicher Spannung U die gleiche elektrische Energie zu speichern?
1 Elektrostatik
15
1.26 Zylinderkondensator II [P]
Gegeben sei ein Kondensator der Länge l, in dem sich ein längsgeschichtetes Dielektrikum mit
den beiden relativen Dielektrizitätskonstanten ε1 und ε2 befindet. Die leitenden Flächen des
Kondensators seien mit der Gesamtladung +Q bzw −Q geladen.
III
I
-Q
+Q
IV
α1 ε 1
α2
ra
ε2
II
l
ri
a) Zeichnen Sie den Verlauf des elektrischen Feldes in obige Skizze ein (Vereinachung: ε1 ≈
ε2 ).
b) Berechnen Sie allgemein die am Kondensator anliegenden Spannung in Abhängigkeit von
Q und α1 .
c) Berechnen Sie die Oberflächenladungen QI , QII , QIII , QIV der Platten in Abhängigkeit von
α1 und Q.
d) Geben Sie die Gesamtkapazität des Kondensators an. Für welche Winkel α1 , α2 , wird sie
minimal?
e) Zeigen Sie, dass im Zylinderkondensator W = 1/2 QU gilt.
1.27 Kraftwirkung im elektrischen Feld
Wie groß ist die maximale Anziehungskraft je cm2 , welche zwischen den Platten eines Plattenkondensators auftritt, wenn die Durchschlagsfeldstärke mit 30 kV/cm und ein homogenes Feld
angenommen werden?
1 Elektrostatik
16
1.28 Kraft auf Grenzflächen
Gegeben sei der dargestellte Bandgenerator. Erzeugte Ladungen (durch mechanische Reibung)
werden auf ein bewegtes, isolierendes Band aufgesprüht (Funkenstrecke), sitzen dort fest (Isolator), und werden dann mechanisch ins Innere der Kugel gebracht. Von dort werden sie mit einer
Metallelektrode (Metallkamm) abgesaugt und auf die Oberfläche der Hohlkugel transportiert,
wo sie sich verteilen.
Die erzeugte Spannung wird abgegriffen und an einen Plattenkondensator angelegt, dessen
Elektroden teilweise in Trafoöl eintauchen. Durch ständiges Drehen an der Kurbel des Bandgenerators bewegt sich das Öl im Bereich zwischen den Platten auf und ab.
+
+
+
+
+
Sprühspitzen
+
ε > ε0
+
+
+
+
+
+
+
+
TrafoÖl
ε
+
ε0
hohle Metallkugel
+
+
+
+
Spannungsquelle:
Bandgenerator
Riemen aus isolierendem
Material
Kurbel
a) Warum ist das so?
b) Berechnen Sie die Steighöhe h in Abhängigkeit der am Kondensator auftretenden Spannung U .
1 Elektrostatik
17
1.29 Zylinderkondensator als Waage [P]
Gegeben sei ein Zylinderkondensator der Länge l. Der innere Zylinder habe den Radius ri , der
Mantel den Radius ra . Der Mantel trage die Ladung +Q, der inner Zylinder die Ladung −Q.
Beide Mantelflächen seien unendlich leitfähig.
In dem Zylinderkondensator befinde sich außerdem ein frei bewegliches zylinderförmiges Dielektrikum mit der Masse m, das den Raum zwischen innerem Zylinder und Mantel voll ausfülle
und ebenfalls die Länge l besitze.
Der innere und äußere Mantel des Kondensators werden an ein Voltmeter mit unendlich hohem
Eingangswiderstand angeschlossen.
-Q
x
l
+Q
εr
εr
ri
ra
3D-Darstellung
Querschnitt mit Bemaßung
a) Berechnen Sie die in dem Zylinder gespeicherte Energie in Abhängigkeit der Einschubtiefe
x.
b) Finden Sie eine Funktion U (m).
c) Wie schwer darf das Dielektrikum maximal sein, damit es bei gegebener Ladung Q nicht
aus dem Zylinderkondensator rutscht?
d) Welche Spannung misst man, wenn das Dielektrikum die maximale Masse hat?
e) Wie könnte man die Sensitivität (Spannungsänderung/Massenänderung) erhöhen bzw.
optimieren?
2 Strömungsfeld
2.1 Geschichtetes Medium I
Gegeben ist ein geschichteter Widerstand (Länge 2a) mit quadratischen Platten der Kantenlänge a, der vom Strom I durchflossen wird. Der Zwischenraum habe wie eingezeichnet die
Leitfähigkeiten σ1 und σ2 > σ1 . Streufelder sind vernachlässigbar.
I
σ1
0
I
σ2
a
x
2a
Berechnen und skizzieren Sie in Abhängigkeit des Stromes die Verläufe entlang der x-Achse von
E, J und ϕ mit ϕ(x = 2a) = 0, und berechnen Sie den Widerstand R.
2.2 Geschichtetes Medium II
Gegeben ist ein geschichteter Widerstand (Abstand d) mit quadratischen Platten der Kantenlänge a, an den eine Spannung U angelegt wird. Der Zwischenraum habe wie eingezeichnet die
Leitfähigkeiten σ1 und σ2 > σ1 . Streufelder sind vernachlässigbar.
y
a
σ1
I
I
σ2
0
d
x
Berechnen und skizzieren Sie in Abhängigkeit der angelegten Spannung U die Verläufe entlang
der x-Achse von E, J und ϕ mit ϕ(x = d) = 0, und berechnen Sie den Widerstand R.
18
2 Strömungsfeld
19
2.3 Leitersegment I
σ
I
∞
Elektrode 2
σ2
r
σ1
Elektrode 1
z
σ
∞
h
a2
a1
I
a0
U12
α
Im Bild ist ein Leitersegment mit dem Winkel α und der Höhe h dargestellt, welches konzentrisch
um die z-Achse eines Zylinderkoordinatensystems (r, φ, z) angeordnet ist. Es besitzt im Bereich
von a0 bis a1 die Leitfähigkeit σ1 und von a1 bis a2 die Leitfähigkeit σ2 . An die vordere und
hintere Mantelfläche sind ideal leitende Elektroden angebracht, über die ein Strom I geführt
wird.
a) Zeichnen Sie die Feldlinien für das Strömungsfeld.
b) Berechnen Sie die Vektoren der Stromdichte J und der elektrischen Feldstärke E für
a0 < r < a1 und a1 < r < a2 .
c) Ermitteln Sie in Abhängigkeit des Stromes I die Spannung U12 zwischen den Elektroden
und geben Sie anschließend den Widerstand der Anordnung an.
2 Strömungsfeld
20
2.4 Leitersegment II [P]
Gegeben ist die dargestellte Geometrie. Zwischen den als ideal leitfähig angenommenen Elektroden (dunkel schattiert) sei eine Spannung U > 0 angelegt. Weiters sind gegeben
• die geometrischen Abmessungen ra , rb , h und α
• die spezifischen Leitfähigkeiten σ1 und σ2 der beiden Medien
a) Obige Anordnung kann als Serienschaltung zweier Widerstände R1 und R2 gesehen werden, wobei ein in Längsrichtung von Strom durchflossener Widerstand der Länge l mit
konstanter Querschnittsfläche A definiert ist als Ri = σiliAi .
Berechnen Sie die Teilspannungen an den einzelnen Widerständen in Abhängigkeit der
Gesamtspannung U .
b) Berechnen Sie die Stromdichten J1 , J2 sowie die elektrischen Felder E1 , E2 für die jeweiligen Medien. Welche Abhängigkeit vom Radius r können Sie feststellen?
Hinweis: Ergebnisse aus a) dürfen verwendet werden, sind aber zur Lösung von b) nicht
zwingend notwendig.
c) Berechnen Sie das Potential ϕ, mit der Wahl ϕ(z = 3h) = 0 .
d) Berechnen Sie den Gesamtstrom I der durch obige Anordnung fließt.
e) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand R der obigen Anordnung.
f) Zeichnen Sie qualitativ die Stromdichte J(z), das elektrische Feld E(z) und das Potential
ϕ(z), jeweils in Abhängigkeit der z-Koordinate, unter der Annahme σ1 > σ2 .
2 Strömungsfeld
21
2.5 Ableitbelag
Berechnen Sie den Ableitbelag (den Leitwert pro Leiterlänge)
a) eines Koaxialleiters mit den Radien Ri und Ra .
b) einer Zweidrahtleitung (zwei parallele Drähte der Radien rD im Abstand a, a rD ).
2.6 Widerstandsberechnung I
Gegeben ist ein leitender Bügel, der die Form eines halbierten Hohlzylinders besitzt (Leitfähigkeit σ, Breite b, Innenradius ri , Außenradius ra ). An seinen quadratischen Kontaktflächen wird
ein Strom I eingespeist. Die Kontaktflächen sind ideal leitfähig und somit Äquipotentialflächen.
Überlegen Sie sich den Verlauf der Feldlinien und der Äquipotentialflächen. Berechnen Sie
außerdem den Verlauf der Stromdichte J und den Widerstand R.
σ
ra
ri
b
I
U
2 Strömungsfeld
22
2.7 Widerstandsberechnung II [P]
3D - Modell
Draufsicht
β
U
Querschnittsfläche
α
r1
r2
Für die folgende Aufgabe ist der oben dargestellte Ausschnitt eines Rotationskörpers gegeben.
Der Körper besteht aus einem homogenen Material mit spezifischer Leitfähigkeit σ. Zwischen
den als ideal leitfähig angenommenen Elektroden (grau schattiert) wird eine Spannung U > 0
angelegt. Weiters sind die geometrischen Parameter α, β, r1 und r2 gegeben.
a) Optional (wird nicht bewertet): Überlegen Sie sich welche Symmetrieeigenschaften Sie ausnützen können. Welches Koordinatensystem wählen Sie? Überlegen Sie sich welche Form
Sie sich von elektrischem Feld E und Strömungsfeld J erwarten. Welche r-Abhängigkeit
erwarten Sie? Welche ϕ-Abhängigkeit?
b) Berechnen Sie das elektrische Feld E in Abhängigkeit der angelegten Spannung U .
c) Geben Sie einen Ausdruck für das zwischen den Elektroden herrschende elektrische Potential φ in Abhängigkeit des Winkels ϕ an (genaue Herleitung!). Wählen Sie als Randbedingungen φ(0) = U , φ(β) = 0.
d) Berechnen Sie die Stromdichte J in Abhängigkeit der angelegten Spannung U .
e) Welche mathematischen Auswirkungen hat es auf E und J wenn die Elektrodenflächen
nicht wie angegeben bei r = r1 beginnen sondern bei r = 0? Wie erklären Sie sich dieses
Verhalten anschaulich?
f) Benutzen Sie den für J erhaltenen Ausdruck um den Gesamtstrom I zu berechnen welcher
durch den Rotationskörper fließt. Welchen Ausdruck für I erhalten Sie für den Fall r1 =
r2 ?
g) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand des Rotationskörpers.
2 Strömungsfeld
23
2.8 Aufgabe: Kugelerder
i
φ
φA
φA
φB
φB
σ
S
rA
rB
r
Im Bild ist das Prinzip und der Potentialverlauf eines metallischen Halbkugelerders mit dem
Radius rE = 2 m für einen Hochspannungsmast dargestellt. Bei einem Kurzschluss fließt ein
Strom von 100 A ins Erdreich, dessen Leitfähigkeit σ = 0.05 S/m sei.
a) Berechnen Sie die Verläufe der Feldstärke, der Stromdichte und des Potentials im Erdreich
und bestimmen Sie den Erdungswiderstand.
b) Wie groß ist die auf einen Menschen bei einer Schrittweite von ∆s = 1 m wirkende
Spannung, die sogenannte Schrittspannung zwischen den Füßen? Welchen Maximalwert
kann die Spannung annehmen?
c) Auf welchen Wert darf sich die Leitfähigkeit des Erdreichs ändern, damit die maximale
Schrittspannung 65 V nicht übersteigt?
2.9 Aufgabe: Halbkugelförmige Erder
-d
R
σ=0
0
σ>0
d
z
R
Gegeben sind zwei metallische Halbkugeln, die in einem Material mit Leitfähigkeit σ eingebettet
sind. Über den Halbkugeln sei σ = 0. Ein Strom I fließe in die linke Halbkugel hinein und aus
der rechten wieder heraus.
a) Zeichnen Sie die Feldlinien des Strömungsfeldes.
b) Geben Sie den Potentialverlauf entlang der z-Achse an und berechnen Sie daraus den
Widerstand der Anordnung.
2.10 Aufgabe: Verlustleistung
Berechnen Sie die Verlustleistungsdichte in einem Kupferdraht (spezifischer Widerstand ρ =
0.0175 Ωmm2 /m) bei einer Stromdichte von 10 A/mm2 .
3 Magnetostatik
3.1 Lorentzkraft
In einer Reihe von Experimenten mit elektrisch geladenen und (oder) magnetischen Körpern
beobachtete man die Wirkung von Kräften zwischen bzw. auf diese Körper. Um diese Kräfte
(mathematisch) beschreiben zu können wurden zunächst die Begriffe der elektrischen und magnetischen Felder eingeführt. Siehe auch: (klassische) Feldtheorie.
Unter Verwendung der folgenden Größen in SI-Einheiten(!)
elektrische Ladung Q
[Q] = C = A s
Geschwindigkeit
[~v ] =
~v
~
Magn. Flussdichte B
m
s
El. Feldstärke
~
E
~ =T=
[B]
~ =
[E]
V
m
=
Vs
m2
kg m
A s3
kann die Kraft, die ein elektromagnetisches Feld auf eine elektrische Ladung ausübt wie folgt
beschrieben werden:
~
• Befindet sich eine Ladung Q (ruhend oder bewegt) im Einfluss eines elektrischen Feldes E,
wirkt auf sie eine Kraft F~ , die in Richtung dieses E-Feldes zeigt und gleich dem Produkt
der Ladung und dem E-Feld ist.
~ mit der Geschwindigkeit ~v bewegt(!),
• Wird eine Ladung Q in einem magnetischem Feld B
so wirkt auf sie eine Kraft, die sowohl normal auf das B-Feld als auch auf die Geschwin~ sin α. α ist der Winkel zwischen |~v | und |B|.
~
digkeit steht, wobei |F~ | = |Q| |~v | |B|
a) Geben Sie die allgemeine Definitionsgleichung der Lorentzkraft an.
b) Zeichnen Sie die Richtung der Kräfte auf die Ladung für folgende Fälle ein:
1. Ladung im elektrostatischem Feld
2. Ladung im magnetostatischem Feld
v
E
+
ruhend
E
+
bewegt
3. Ladung im elektro- und magnetostatischem Feld
E
B+
ruhend
E
v
B+
bewegt
24
B+
ruhend
B+ v
bewegt
3 Magnetostatik
25
3.2 Maxwellgleichungen für den elektro- und magnetostatischen Fall
Die Skizzen der Feldlinienbilder eines unendlich langen, stromdurchflossenen Leiters und einer Punkt– (bzw. Kugelladung) sollen Ihnen helfen die Maxwellgleichungen für den elektrostatischen und magnetostatischen Fall anzugeben. (Anm.: Elektrostatik: ruhende Ladungen.
Magnetostatik: mit konsanter Geschwindigkeit bewegte Ladungen d.h. konstanter Strom.)
a) Zeichen Sie die zwei erwähnten Feldlinienbilder (Beginnen Sie mit dem Feldlinienbild des
stromdurchflossenen Leiters)
b) Was sagt Ihnen die Form der Feldlinien? ⇒ 1. und 2. Maxwellgleichung in differentieller
Form.
c) Was können Sie aus den Feldlinienbildern über das Quellverhalten”beider Fälle aussagen?
”
⇒ 3. und 4. Maxwellgleichung in differentieller Form.
d) Geben Sie die Maxwellgleichungen für den elektro- und magnetostatischen Fall in differenzieller und in Integralform an.
3.3 Unendlich ausgedehnter stromführender Draht
Gegeben sei ein unendlich langer Leiter mit dem Radius r0 , der von dem Gleichstrom I durchflossen wird. Gesucht ist der radiale magnetische Feldstärkeverlauf innerhalb und außerhalb des
Leiters unter der Annahme, dass sich der Strom gleichmäßig über den Leiterquerschnitt verteilt.
Da es sich um einen stabförmigen Leiter handelt, werden zweckmäßig Zylinderkoordinaten
verwendet. Der Leiter sei entlang der z-Achse des Koordinatensystems positioniert, sodass der
Stromdichtevektor nur eine z-Komponente aufweist (siehe Bild).
z
P(r,φ,z)
z
φ
r
y
x
a) Überlegen Sie sich wie das Feld aus Symmetriegründen aussehen muss.
b) Berechnen Sie nun die magnetische Feldstärke mithilfe der Maxwellgleichungen in Integralform,
• Hi im Leiter
• Ha außerhalb des Leiters
und stellen Sie die Verläufe qualitativ grafisch dar.
3 Magnetostatik
26
c) Transformieren Sie nun Ihr Ergebnis für die magnetische Feldstärke von Zylinder- in
kartesische Koordinaten,
 
 
Hr
Hx
H(r, φ, z) = Hφ −→ H(x, y, z) = Hy 
Hz
Hz
und überprüfen Sie Ihre Ergebnisse durch Berechnung von div H und rot H.
3.4 Rechte–Hand–Regeln
In der Elektrotechnik verwenden wir zwei Rechte–Hand–Regeln“. Anm.: lt. Wikipedia auch:
”
Drei–Finger–Regel und Korkenzieherregel (Rechte–Faust–Regel).
• Wo finden diese Regeln Anwendung und was beschreiben Sie?
3.5 Kraft zwischen zwei parallelen Leitern
a) Wie groß ist die Kraft, die zwischen zwei unendlich dünnen parallelen Leitern im Abstand
d = 25 cm auftritt, die gegensinnig von einem Kurzschlussstrom I = 25 kA durchflossen
werden?
b) Wie groß muss der Strom I sein, der durch zwei parallele Leiter mit Abstand d = 1m
fließt, sodass sich diese mit einer Kraft von 2 · 10−7 N/m abstoßen? Müssen die Leiter
gleich- oder gegensinnig durchflossen werden?
3.6 Gesetz von Biot-Savart
Magnetisches Feld eines kreisförmigen Stromfadens mit dem Radius R: Beweisen Sie anhand
der Abbildungen folgende Aussagen:
a) H =
i
2R
b) H =
R2 i
2(R2 +z 2 )3/2
im Mittelpunkt des Kreisstromes;
auf der Achse des Kreisstromes.
ds
H
r
dφ
R
i
0
z
dH1
γ
dH2
γ
dH
z
3 Magnetostatik
27
3.7 Gesetz von Biot-Savart und Ampèresches Gesetz [P]
µ0 I
B=
4π
Z
ds0 × (r − r0 )
|r − r0 |3
a) Beschreiben Sie die im Gesetz von Biot-Savart vorkommenden Größen (rechts vom Integral).
b) Zeigen Sie, dass das Biot-Savartsche und das Ampèresche Gesetz für einen unendlich
langen Leiter die gleiche Lösung liefern.
H(r)
r
I
Hinweise:
Z
x
lim √
= ±1
x→±∞
a2 + x 2
dx
x
p
= √
a2 a2 + x 2
(a2 + x2 )3
c) Berechnen Sie die magnetische Flussdichte im Zentrum einer Rechteckspule mit den Seitenlängen a und b, die vom Strom I durchflossen wird (mit dem Biot-Savartschem Gesetz).
a
b
I
d) Betrachten Sie nun die einzelnen Teile der Rechteckspule als (unendlich) lange Leiter und
berechnen Sie so die magnetische Flussdichte im Zentrum der Rechteckspule (mit dem
Ampèreschen Gesetz).
e) Wie unterscheiden sich die Lösungen aus den Punkten c) und d) wenn a = b gilt? Welche
Lösung ist die richtigere“, warum?
”
3 Magnetostatik
28
3.8 Biot-Savart, Kraft auf einen Leiter [P]
(a)
(b)
(c)
L
L
L
B
B
R
y
P
R
x
L
y
I
R
L
x
R
I
L
I
Gegeben sei ein Stück einer Leiterschleife, wie in obiger Grafik (a) gezeigt, welches von einem
Strom I durchflossen wird. Das Leiterstück besteht aus 2 sehr langen, geraden Stücken mit
Längen L und einem viertelkreisförmigen Stück mit Radius R.
Hinweis: Der Rest der Leiterschleife, also die Zuleitungen zur zugehörigen Stromquelle, wurde
aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht eingezeichnet und kann für sämtliche Berechnungen in
diesem Beispiel vernachlässigt werden.
a) Berechnen Sie Richtung und Amplitude der durch den stromführenden Leiter hervorgerufenen magnetischen Flussdichte B im Punkt P = (0, 0, 0) (siehe Abb. (a)). Hinweis: Zur
Lösung dieser Aufgabe kann das Gesetz von Biot-Savart verwendet werden.
b) Welche Kraft wirkt auf ein Elektron (Ladung q = −1.6 × 10−19 C) das sich im Punkt P
in Ruhe befindet?
c) Der Leiter befinde sich nun in einem homogenen, konstanten Magnetfeld B = (0, 0, −B)
(siehe Abb. (b)). Welche Kraft F wirkt auf den Leiter? Geben Sie Amplitude und Richtung
an. Hinweis: Für diesen Teil der Aufgabe ist es möglicherweise von Vorteil kartesische
Koordinaten zu verwenden.
d) Gegeben sei nun der in Abb. (c) gezeigte Leiter. Das viertelkreisförmige Stück wurde
durch ein rechtwinkeliges ersetzt. Berechnen Sie für diese Anordnung die Kraft F welche
auf den Leiter wirkt. Was fällt Ihnen auf?
3.9 Magnetische Felder an Grenzflächen
a) Leiten Sie aus der ersten und der vierten Maxwellgleichung das Verhalten von H- und
B-Feld an der Grenzfläche zweier Medien mit verschiedenen Permeabilitäten her. Zeigen
Sie dabei:
• Die Tangentialkomponenten des H-Feldes bleiben konstant, d.h.: Ht1 = Ht2 .
• Die Normalkomponenten des B-Feldes bleiben konstant, d.h.: Bn1 = Bn2 .
3 Magnetostatik
29
b) Betrachten Sie zwei Medien mit sehr hoher und sehr niedriger (relativer) Permeabilität
(z.B. Eisen und Luft). Wie verlaufen B- und H- Feld in (unmittelbarer) Nähe der Grenzfläche
• im Eisen?
• in der Luft?
3.10 Magnetischer Fluss und (magnetische) Durchflutung
~ und der magnetische Fluss Φ zusammen?
a) Wie hängen die magnetische Flussdichte B
b) Geben Sie die Durchflutung einer Spule mit N Windungen an, durch die der Strom I
fließt.
~ =1
c) Ein Elektromagnet (N = 1000, I = 0.1 A) erzeugt eine magnetische Flussdichte B
T. Bestimmen Sie den magnetischen Fluss Φ, der auf einer Querschnittsfläche von A =
~ die Fläche senkrecht durchdringt.
100 cm2 erzeugt wird, wenn B
d) Berechnung des magnetischen Fluss in einem inhomogenen Magnetfeld: Berechnen Sie
den von einem langen, geraden mit dem Strom I durchflossenen Leiter in einer rechteckigen Drahtschleife erzeugten magnetischen Fluss unter der Voraussetzung, dass die
Drahtschleife in der gleichen Ebene wie der Leiter und parallel zu ihm liegt.
Lösungshinweis: Veranschaulichen Sie zunächst das Problem!
3.11 Eisenkreis
a) Berechnen Sie den magnetischen Fluss Φ für einen allgemeinen Eisenkreis mit Luftspalt
und leiten Sie daraus die Beziehungen für eine netzwerktheoretische Beschreibung her.
(Annahme: Das B-Feld ist im Eisen konzentriert.)
b) Vergleichen Sie die magnetischen Widerstände für Eisen und Luft. (Annahme: Gleiche
Flächen und Homogenität des Magnetfeldes.)
c) Berechnen Sie den magnetischen Widerstand (Reluktanz) für einen Hohlzylinder, der
vertikal von einem Magnetfeld durchflutet wird.
d) Berechnen Sie den magnetischen Widerstand (Reluktanz) für einen Hohlzylinder, der
radial von einem Magnetfeld durchflutet wird.
3 Magnetostatik
30
3.12 Eisenkreis – Drehstromtransformator
a) Für den magnetischen Kreis im nachfolgenden Bild (Drehstromtransformator) gilt:
Rm,1 = Rm,2 = 800 . 103 H−1
Rm,3 = 500 . 103 H−1
w1 = 700
i1 = i2 = 0.1 A
w2 = w3 = 500 i3 = 0.2 A
Ermitteln Sie die magnetischen Flüsse mit Hilfe der Netzwerkbeschreibung oder der Feldmethode.
3.13 Spannungsinduktion I – Bewegte Leiter im (homogenen) Magnetfeld
a) Spannungsinduktion in einem bewegten Leiter
Gegeben ist ein elektrisch leitfähiger Stab der Länge l, der sich mit der Geschwindigkeit
~ bewegt. Berechnen Sie die im Stab induzierte Spannung.
~v im homogenen Magnetfeld B
~
(Annahme: Rechter Winkel zwischen ~v und B)
b) Spannungsinduktion in einem rotierender Stab und in einer rotierenden Scheibe im Magnetfeld
3 Magnetostatik
31
Die nachstehende Abbildung zeigt Stromkreise mit einem rotierenden, metallischen Stab
(a) sowie mit einer rotierenden, metallischen, ’Barlowschen’ Scheibe (b) im ruhenden
Magnetfeld. Der Achsenradius ist vernachlässigbar und eine ständige Kontaktgabe der
rotierenden Teile wird garantiert.
Berechnen Sie die induzierten Spannungen in beiden Anordnungen in Abhägngigkeit von
der Winkelgeschwindigkeit ω.
3.14 Spannungsinduktion II – Spannungsinduktion in einer starren
Leiterschleife
a) Eine starre Leiterschleife befindet sich in einem (zeitlich) veränderlichen Magnetfeld. Wie
groß ist die induzierte Spannung in der Leiterschleife?
b) Wie groß ist die Spannung an einer Spule mit N Windungen, die sich in einem zeitlich
veränderlichen Magnetfeld befindet?
c) Gegeben ist ein unbelasteter Trafo bestehend aus zwei Spulen mit den Windungszahlen
N1 und N2 , die durch ein Eisen (µFe , lFe , AFe ) ideal gekoppelt sind. (Vernachlässigung der
Streuflüsse.) Berechnen Sie die Spannung in Abhängigkeit des Spulenstromes I1 , die in
Spule 2 (unbelastet) induziert wird.
3 Magnetostatik
32
3.15 Induktion in einer bewegten Leiterschleife
Die in der Abbildung gezeigte Drahtschleife wird mit konstanter Geschwindigkeit v nach rechts
bewegt. Ein konstanter Strom I fließt wie eingezeichnet durch den (als unendlich lang) angenommenen Draht.
I
a
R
v
b
1
2
a) Berechnen Sie den Betrag der induzierten Spannung in der Drahtschleife auf zwei verschiedene Arten:
(a) Verwenden Sie das Faraday’sche Induktionsgesetz (Maxwell II).
(b) Summieren Sie für alle Bereiche des Drahtes die jeweiligen Beiträge der Lorentzkraft,
welche aufgrund der Bewegung der Drahtschleife resultiert, zur induzierten Spannung
auf.
b) Bestimmen Sie die Richtung des induzierten Stromes in der Drahtschleife
(a) durch Verwendung der Lenzschen Regel.
(b) durch Betrachtung der magnetischen Kräfte auf die Ladungen in der Schleife.
c) Kontrollieren Sie anhand von Spezialfällen, ob Ihr Ergebnis aus 1 Sinn ergibt. Betrachten
Sie die Fälle:
• Die Drahtschleife bewegt sich nicht.
• Die Schleife ist sehr dünn, also a → 0.
• Die Schleife ist sehr weit vom stromführenden Draht entfernt.
3 Magnetostatik
33
3.16 Eisenkern mit 3 Schenkeln und 2 Spulen
Zu berechnen sind die Induktivitäten L1 und L2 sowie die Gegeninduktivität M für die gegebene
Anordnung.
3.17 Spulen, Induktion, Koppelfaktoren
a) Magnetisch verkoppelte Spulen.
Für zwei Spulen werden die Induktivitäten L1 = 10 mH und L2 = 20 mH sowie ein
Koppelfaktor k = 0.9 angegeben. Zu berechnen sind die induzierten Spannungen ui1 , ui2
für i1 = I1 + î sin ωt mit I1 = 10 A, î = 5A, ω = 2π · 50 Hz und i2 = 0 (leerlaufende
Spule).
b) Zwei koaxiale magnetisch verkoppelte Zylinderspulen.
Berechnen Sie für zwei Zylinderspulen in Luft mit den Radien r1 und r2 (r2 < r1 ), den
Längen l1 = l2 = l und den Windungszahlen w1 und w2 für den Fall, daß sich Spule 2
koaxial in Spule 1 befindet, die Induktivitäten L1 und L2 , die Koppelfaktoren k1 und k2
sowie die Gegeninduktivität M12 = M12 = M .
c) Reihenschaltung magnetisch verkoppelter Spulen - bifilare Wicklung:
Berechnen Sie für die abgebildeten Anordnungen die Ersatzschaltung für das i, u-Verhalten
und diskutieren Sie das Ergebnis.
3 Magnetostatik
34
3.18 Magnetische Energie und Induktivität eines Koaxialkabels
Berechnen Sie die magnetische Energie und Induktivität eines Koaxialkabels. Die inneren Induktivitäten der Leiter müssen nicht explizit berechnet werden.
Hinweis: Die magnetische Energie W setzt sich aus der des Innenleiters, des isolierenden Zwischenraumes und des Außenleiters zusammen.
3.19 Railgun
Das Konzept der Railgun besteht darin, Projektile mittels eines stromführenden Schlittens entlang zweier parallel laufenden Schienen zu beschleunigen. Neben militärischen Applikationen
wurde auch überlegt, Nutzlasten damit ins Weltall zu befördern/schießen, und somit teure Raketenstarts zu vermeiden. Im Folgenden wird ein vereinfachtes Modell einer Railgun diskutiert.
I
B
I
B
F
F
l
Ein leitender Stab mit Masse m und Länge l gleitet entlang zweier Schienen welche mit einer
Stromquelle I verbunden sind. Der Bereich zwischen den Schienen wird von einem konstanten
Magnetfeld B ausgefüllt. Zur Vereinfachung der Rechnung werden störende Einflüsse wie Reibung oder elektrischer Widerstand vernachlässigt, genauso wie das durch die stromführenden
Schienen erzeugte (zusätzliche) Magnetfeld.
a) Berechnen Sie die Kraft F welche auf den Stab wirkt.
b) Falls sich der Stab anfänglich in Ruhe befindet, welche Strecke s muss er nach Einschalten
des Stroms zurücklegen bis er eine Geschwindigkeit v erreicht?
c) Anwendung: Wie lange müssen die Schienen sein, um eine Last von m = 25 kg ins Weltall
zu schießen? Die Last muss die Fluchtgeschwindigkeit der Erde erreichen, v = 11.2 km/s.
Verwenden Sie die Werte B = 0.5 T, I = 1 · 106 A, und l = 50 cm.
3 Magnetostatik
35
3.20 Geschwindigkeits- bzw. Energiefilter mit gekreuztem elektrischen und magnetischen Feld
a) Überlegen Sie sich, wie man aus einem Strahl von positiven (negativen) Ladungsträgern
unterschiedlicher Geschwindigkeit und gleicher Masse die Ladungsträger einer vorgegebenen Geschwindigkeit mit Hilfe eines jeweils darauf senkrecht stehenden magnetischen und
elektrischen Feldes (jeweils homogen und zeitkonstant) herausfiltern kann.
B
v
-q
v = vsoll
E
b) Welchen Einfluss hat das Vorzeichen der Ladung der Ladungsträger in obiger Anordnung?
c) Wie ist die Spannung U am Ablenkkondensator (Plattenabstand d = 10 mm) für B =
0.1 T zu wählen, falls Protonen mit v = 0.1c herausgefiltert werden sollten?
3.21 Ableitung der magnetischen Grenzflächenkraft
Mit dem Energiesatz sowie einer virtuellen Verrückung des Ankers wie im Bild gezeigt ist die
Gleichung für die Kraft an der Grenzfläche zwischen Ferromagnetikum und Luft bei homogenem
Feld in der Fläche A abzuleiten.
3 Magnetostatik
36
3.22 Magnetkreis, Spannungsinduktion, Virtuelle Verschiebung [P]
Gegeben ist die in Abb. I und II dargestellte Anordnung, die zur Dickenmessung (nicht magnetisch leitfähiger Materialien) verwendet wird. Über die in der Spule 2 induzierten Spannung
kann auf die Dicke des zu vermessenden Objekts geschlossen werden.
Annahmen:
• I1 = 1 cos(ωt) wird konstant gehalten (gilt für Pkt. a bis c).
• Querschnitt des Eisens: A = konst.
• Die Länge des Eisens lF e kann (trotz der Verschiebung) als konstant angenommen werden.
• Der Strom in Spule 2 ist vernachlässigbar.
Beachten Sie: µF e ist endlich! (Kann nicht als unendlich angenommen werden.)
a) Zeichnen Sie das magnetische Ersatzschaltbild der Anordnung in Abb. I und berechnen
Sie die magnetische Flussdichte im “Luftspalt”.
b) Berechnen Sie zunächst die induzierten Spannungen U (lO ) (siehe Abb. I) sowie U (0) (siehe
Abb. II) und geben Sie anschließend U (lO ) = f (U (0), lF e , lO , µr,F e ) an.
c) Geben Sie die magnetischen Energien an, die im “Luftspalt” sowie im Eisen gespeichert
sind (Abb. I). Wo ist der Hauptanteil der magnetischen Energie gespeichert?
d) Berechnen Sie die Kraft mit der das Messobjekt eingeklemmt wird (Abb. I). Annahme:
Φ ist konstant.
3 Magnetostatik
37
3.23 Gleichstrommaschine [P]
N IS
μFe
μFe
Polschuh
rs
IR
Anker
rr
z
β
α
rL
φ
r
Stator
In der obigen Abbildung ist der prinzipielle Aufbau einer Gleichstrommaschine dargestellt.
• Der äußere Teil heißt Stator. Er trägt die Erregerwicklung (repräsentiert durch N IS ),
die zur Erzeugung des Magnetfeldes dient. (N IS berücksichtigt die obere und die untere
Wicklung).
• Der innere Teil heißt Anker. Er trägt die Ankerwicklung (repräsentiert durch IR ), die
dazu benötigt wird um ein Drehmoment in den Anker einzuprägen. Der Anker ist drehbar
gelagert.
• Länge der Maschine in axialer (z) Richtung: L
• µF e → ∞
a) Zeichnen Sie in die Abbildung unten den Verlauf der Feldlinien der magn. Flussdichte.
b) Berechnen Sie die Magnetische Flussdichte B(rL ) im Luftspalt.
c) Leiten Sie aus der Definition der Lorentzkraft die Kraft auf einen geraden, stromdurchflossenen Leiter her, der sich in einem homogenen Magnetfeld befindet.
d) Berechnen Sie das Moment auf den Anker, wenn sich die Ankerwicklung unter den Polschuhen befindet (d.h. β ≤ ϕ ≤ α + β)
e) Zeichnen Sie den Drehmomentenverlauf für eine ganze Umdrehung des Ankers.
μFe
μFe
4 Schaltvorgänge
Teilbereich 4.1: Systeme 1. Ordnung
4.1 Übertragungsverhalten einer RC-Schaltung
Ermitteln Sie die Ausgangsspannung Ua bei einer Sprungfunktion am Eingang.
R1
Ue
Ue
U0
R2
Ua
C
t
4.2 Übertragungsverhalten einer RL-Schaltung [P]
Berechnen Sie die Ausgangsspannung Ua bei einer Sprungfunktion am Eingang.
Hinweis: Lösen Sie zunächst die DGL für den Strom i und geben Sie dann den Ausdruck für
Ua an!
R1
Ue
R2
Ua
Ue
U0
L
t
4.3 RC-Netzwerk mit zugeschalteter Wechselspannungsquelle
Berechnen Sie für die Schaltung im Bild
a) die Kondensatorspannung uc (t) sowie
b) den Strom i(t)
für t ≥ 0, falls uc (−0) bekannt ist und die Spannungsquelle mit uq = û cos (ωt + ϕuq ) zum
Zeitpunkt t = 0 zugeschaltet wird!
38
4 Schaltvorgänge
39
S t=0
uR(t)
uq(t)
R
i(t)
uC(t)
C
4.4 RL-Netzwerk mit zugeschalteter Wechselspannungsquelle [P]
Gegeben sei eine Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes R mit einer Spule der Induktivität L, die zum Zeitpunkt tS = 0 an eine Wechselspannungsquelle uq (t) = U0 sin(ωt) geschaltet
wird. Gesucht ist der zeitliche Verlauf des Stromes i(t) für t ≥ 0. Skizzieren Sie die ermittelte
Lösung über mindestens 3 Perioden.
S t=0
uR(t)
uq(t)
R
i(t)
uL(t)
L
Teilbereich 4.2: Systeme 2. Ordnung
4.5 Analyse eines Serienschwingkreises
Gegeben ist folgender Serienschwingkreis:
t=0
Uq
R
L
C
a) Beschreiben Sie die Schaltung für t ≥ 0 durch zwei Differentialgleichungen 1. Ordnung
für die Zustandsgrößen uC und iL und geben Sie die Anfangsbedingungen an.
b) Stellen Sie die Differentialgleichung in Zustandsraumdarstellung ẋ = A · x + r dar.
4 Schaltvorgänge
40
c) Stellen sie jeweils die DGLs 2. Ordnung für uC und iL auf, und geben Sie jeweils die
Anfangswerte an!
d) Aufschalten eines Spannungssprunges: Lösen Sie die DGL für uC (t) für t ≥ 0, wobei
Uq (t) = U0 . Diskutieren Sie die Fälle
• Dämpfung (Kriechfall)
• Schwingfall
• Aperiodischer Grenzfall
und zeichnen Sie die Lösungen für geeignete Bauteilwerte mit einem Mathematikprogramm Ihrer Wahl.
e) Aufschalten einer Wechselspannung Uq (t) = U0 cos(ω t + ϕ0 ): Berechnen Sie die Kondensatorspannung uc (t) mithilfe eines Mathematikprogramms Ihrer Wahl für folgende
Bauteilwerte: U0 = 1 V R = 1 Ω, L = 10 mH, C = 100 µF für Winkelgeschwindigkeiten
ω = 200 . . . 2000 rad/s und stellen Sie die Ergebnisse jeweils graphisch für ein Zeitintervall
t = 0 . . . 0.2 s dar.
Hinweise:
• Nehmen Sie für das erste Einschwingen bei ω = 200 rad/s uC (t = 0) = 0,
iC (t = 0) = 0, sowie ϕ0 = 0 an.
• Nach 0.2 Sekunden schalten Sie sozusagen auf eine neue Frequenz. Um nun die neue
Lösung uC (t) berechnen zu können müssen Sie uC (t = 0.2 s) und iL (t = 0.2 s) als
neue Anfangsbedingungen kennen, wobei Sie zusätzlich noch die Phasenlage ϕ0 des
Anregesingals zum Zeitpunkt des Umschaltens wissen müssen.
f) Berechnen und plotten Sie den Amplituden- und Phasengang der eingeschwungenen Kondensatorspannung uC, e (t) = ÛC (ω) cos(ω t + ϕC (ω)) und diskutieren Sie den Zusammenhang mit der Lösung aus dem vorigen Unterpunkt.
4.6 Analyse eines Parallelschwingkreises
Gegeben ist folgender Parallelschwingkreis:
t=0
Ri
uq=U0
L
iL
R
iR
C
iC
u(t)
4 Schaltvorgänge
41
a) Beschreiben Sie die Schaltung für t ≥ 0 durch zwei Differentialgleichungen 1. Ordnung
für die Zustandsgrößen u und iL bzw. durch eine DGL 2. Ordnung für u, und geben Sie
jeweils die Anfangswerte an!
b) Interpretieren Sie die physikalische Bedeutung des Dämpfungsfaktors.
c) Welche Lösung würde sich für t → ∞ beim praktisch nicht realisierbaren Fall R → ∞
einstellen, und welche Aussage ist über die auftretenden Energien möglich!
A Koordinatensysteme, Linien- &
Oberflächenintregrale
A.1
Koordinatensysteme
Zylinderkoordinaten
Kugelkoordinaten
z
z
P(x,y,z) ≙ P(r,φ,z)
P(x,y,z) ≙ P(r,φ,ϑ)
z
r
r cos ϑ
ϑ
r sin φ
r cos φ
φ
r
r sin ϑ cos φ
y
x
φ
r sin ϑ sin φ
r sin ϑ
y
x
x = r cos φ
y = r sin φ
z=z
x = r sin ϑ cos φ
y = r sin ϑ sin φ
z = r cos ϑ
r ∈ [0, ∞) , φ ∈ [0, 2π) , z ∈ (-∞, ∞)
r ∈ [0, ∞) , φ ∈ [0, 2π), ϑ ∈ [0, π]
Bei den von uns verwendeten Koordinatensystemen (kartesische, Polar-, Zylinder- und KugelKoordinaten) handelt es sich um Orthonormalsysteme. Das heißt dass alle Einheitsvektoren ei
die Länge 1 besitzen, und normal zueinander stehen. Im speziellen gilt also ei · ei = 1, und für
i 6= j gilt ei · ej = 0
A.2
Linienintegrale
Wir müssen ein Linienintegral
Z
b
f (r) · ds
g=
a
in verschiedenen Koordinatensystemen lösen.
Normalerweise nutzen wir im Kurs ET2 immer Symmetrieeigenschaften aus und integrieren
entlang der entsprechenden Koordinatenachse, um uns das Leben nicht unnötig schwer zu machen.
A Koordinatensysteme, LinienA.2.1
& Oberflächenintregrale
Bsp. für Linienintegrale in kartesischen Koordinaten
43
Der Integrationsweg wird idealerweise so gewählt, dass das Vektorfeld f parallel zum Weg ist, also f kds, womit sich das Skalarprodukt zu einer Multiplikation vereinfacht, f (r) · ds ⇒ f (r) ds,
und wir es nur mehr mit skalaren Größen zu tun haben.
Ist diese Wahl des Integrationsweges nicht möglich, so muss das Skalarprodukt vektoriell ausmultipliziert werden. Insbesondere gilt für f ⊥ ds ⇒ f (r) · ds = 0 .
Generell gilt, dass sich durch Wahl des geeigneten Koordinatensystems der Rechenaufwand
meist stark minimieren lässt.
A.2.1
Bsp. für Linienintegrale in kartesischen Koordinaten
• z. B. f nur in y-Richtung: f (r) = f (r) · ey ⇒ wähle ds = ey · dy
Z y2
Z y2
f (r) ey · ey dy =
f (r) dy
⇒g=
| {z }
y1
y1
=1
A.2.2
Bsp. für Linienintegrale in Polarkoordinaten
• z. B. f nur in ϕ-Richtung: f (r) = f (r, ϕ) = f (r) · eϕ ⇒ wähle ds = eϕ · r dϕ , um von
Pkt. a nach Pkt. b zu gelangen.
y
b
r dφ
a
αb
αa
r
Z
x
αb
⇒g=
Z
αb
f (r) eϕ · eϕ r dϕ =
αa
f (r) r dϕ
αa
• z. B. f nur in r-Richtung: f (r) = f (r, ϕ) = f (r) · er
a nach Pkt. b zu gelangen.
⇒ wähle ds = er · dr , um von Pkt.
y
b
a
dr
φ
Ra
Rb
x
A Koordinatensysteme, Linien- & A.2.3
Oberflächenintregrale
Bsp. für Linienintegrale in Zylinderkoordinaten
44
Rechnung ist äquivalent zu jener in kartesischen Koordinaten
Z Rb
Z Rb
f (r) dr
f (r) er · er dr =
⇒g=
Ra
Ra
A.2.3
Bsp. für Linienintegrale in Zylinderkoordinaten
• f (r) = f (r) · eϕ ⇒ wie in Polarkoordinaten rechnen
• f (r) = f (r) · er
⇒ wie in Polarkoordinaten rechnen
• f (r) = f (r) · ez
⇒ wie in kartesischen Koordinaten
A.2.4
Bsp. für Linienintegrale in Kugelkoordinaten
• f (r) = f (r) · er
⇒ wie in kartesischen Koordinaten rechnen
• f (r) = f (r) · eϑ ⇒ wie in Polarkoordinaten rechnen
• f (r) = f (r) · eϕ ⇒ wie in Polarkoordinaten rechnen (Achtung auf Radius! Dieser ist für
die ϕ-Integration nur r sin ϑ)
A.3
Oberflächenintegrale
Wir müssen ein Oberflächenintegral
Z
f (r) · dA
g=
A
in verschiedenen Koordinatensystemen lösen.
Oberflächenintegrale lassen sich meist deutlich vereinfachen, wenn das Vektorfeld f senkrecht
auf die gewählte Oberfläche steht, also parallel zum Oberflächenvektor ist, f kdA . Dadurch
vereinfacht sich das Skalarprodukt zu einer Multiplikation, f (r) · dA ⇒ f (r) dA, und wir
haben es nur mehr mit skalaren Größen zu tun.
Falls diese Vereinfachung nicht gilt, so muss das Skalarprodukt ausmultipliziert werden. Im
Speziellen gilt für f ⊥ dA ⇒ f (r) · dA = 0 .
Im folgenden sind einige Parametrisierungen von dA in verschiedenen Koordinatensystemen
aufgelistet.
A.3.1
Bsp. für Oberflächenintegrale in kartesische Koordinaten
• z. B. f nur in y-Richtung: f (r) = f (r) · ey
und Fläche in der x-z-Ebene, also dA = ey · dx dz
Z
Z z 2 Z x2
⇒g=
f (r) · dA =
f (r) ey · ey dx dz
A
z1
x1
A Koordinatensysteme, LinienA.3.2
& Bsp.
Oberflächenintregrale
für Oberflächenintegrale in Zylinderkoordinaten
A.3.2
45
Bsp. für Oberflächenintegrale in Zylinderkoordinaten
• z. B. f nur in z-Richtung: f (r) = f (r) · ez
und Fläche in der r-ϕ-Ebene, also dA = ez · dA
Für diesen Fall muss man etwas überlegen, um den Ausdruck für dA zu erhalten. Siehe
Grafik.
y
dA
dA=r dφ dr
r dφ
α2
dr
α1
Ra
z
Rb
x
Eine infinitesimale Ortsänderung in r-Richtung ist dr, multipliziert mit einer Änderung
in ϕ-Richtung, welche wir vorher bereits als r dϕ bestimmt haben, ergibt dA = r dϕ dr.
Somit erhalten wir
Z
Z Rb Z α2
g=
f (r) · dA =
f (r) ez · ez r dϕ dr
A
Ra
α1
• z. B. f nur in r-Richtung: f (r) = f (r) · er
und Fläche in der z-ϕ-Ebene, also dA = er · dA
Für diesen Fall kann man anhand der Grafik bestimmen, dass dA = r dϕ dz ist. Man
beachte, dass zwar mit r multipliziert, aber nicht nach dr integriert wird!
z
z2
dA=r dφ dz
A
dA || dr
z1
dz
r dφ
Z
Z
Z2
Z
α2
f (r) · dA =
g=
A
r
f (r) er · er r dϕ dz
Z1
α1
A Koordinatensysteme, Linien-A.3.3
& Oberflächenintregrale
Bsp. für Oberflächenintegrale in Kugelkoordinaten
46
• z. B. f nur in ϕ-Richtung: f (r) = f (r) · eϕ
und Fläche in der r-z-Ebene, also dA = eϕ · dA
Dieser Fall ist analog zu einer Integration in einem kartesischen Koordinatensystem, mit
dA = dr dz.
Z
Z
Z2
Z
R2
f (r) eϕ · eϕ dr dz
f (r) · dA =
g=
A
R1
Z1
z
z2
A
dA || dφ
z1
dz
dr
r
A.3.3
Bsp. für Oberflächenintegrale in Kugelkoordinaten
• Wir betrachten ein Vektorfeld in radialer Richtung, also f (r) = f (r) · er , integriert über
eine Kugeloberfläche, also dA = er · dA.
Der Oberflächenvektor dA lässt sich wie folgt berechnen:
A Koordinatensysteme, Linien-A.3.3
& Oberflächenintregrale
Bsp. für Oberflächenintegrale in Kugelkoordinaten
47
r sinϑ dφ
dA = r sinϑ dφ r dϑ
r sinϑ
r dϑ
ϑ
dϑ
– das Integrationselement in ϑ-Richtung lässt sich analog zu den Polarkoordinaten
bestimmen, als
r dϑ
– das Integrationselement in ϕ-Richtung ist ebenfalls ähnlich wie in Polarkoordinaten,
allerdings geht man hier nicht entlang einer Kreisscheibe mit Radius r, sondern mit
(projiziertem) Radius r sin ϑ (siehe Grafik oben). Man erhält also
r sin ϑ dϕ
– Multiplikation dieser beiden Terme liefert das Oberflächenelement
dA = r2 sin ϑ dϕ dϑ
– Somit erhält man für das Oberflächenintegral
Z
Z ϑ2 Z ϕ2
g=
f (r) · dA =
f (r) er · er r2 sin ϑ dϕ dϑ
A
ϑ1
ϕ1
A Koordinatensysteme, Linien- & Oberflächenintregrale
A.4
A.4. Anmerkungen
48
Anmerkungen
Bei Linienintegralen integriert man entlang einer Raumrichtung, z. B.
dx
oder
dy
oder
dr
oder
dϕ
oder
...
Bei Flächenintegralen integriert man entlang zweier Raumrichtungen, z. B.
dx dy
A.5
A.5.1
oder
dr dϕ
oder
dr dz
oder
dϕ dϑ
Übungsbeispiele
Kartesische Koordinaten
a) Berechnen Sie das Oberflächenintegral über die gegebene Rechtecksfläche, mit dem Vektorfeld f (r) = (x2 y − y 3 ) · ez .
b) Berechnen Sie die Fläche des dargestellten allgemeinen Dreiecks durch Integration. Verwenden Sie dafür f (r) = 1 · ez .
y
y
h
A
A
α
-L
A.5.2
z
L
z
x
r
x
Kreis
a) Berechnen Sie die Fläche des dargestellten Ringsegmentes durch Integration. Verwenden
Sie dafür f (r) = 1 · ez .
y
A
α
z
r1
r2
x
b) Überprüfen Sie ihre Lösung aus 1) indem Sie r1 → 0, r2 → R und α → 2π gehen lassen.
Was erhalten Sie?
A Koordinatensysteme, Linien- & Oberflächenintregrale
A.5.3
A.5.3 Zylinderkoordinaten
49
Zylinderkoordinaten
a) Berechnen Sie das Oberflächenintegral des Vektorfeldes f (r) = r2 z·er über die angegebene
Fläche A.
b) Berechnen Sie das Oberflächenintegral des Vektorfeldes f (r) = r2 z·eϕ über die angegebene
Fläche A.
z
20
A
dA
π /3
10
r
A.5.4
Rotationskörper
a) Berechnen Sie die Flächen A1−3 durch Integration (mit f (r) = 1).
A1
h
h
z
α
r
ra
z
rb
φ
α
φ
r
ra
h
A3
A2
z
rb
α
r
ra
rb
φ
b) Berechnen Sie das Volumen des gegebenen Körpers durch Integration.
A.5.5
Kugelkoordinaten
a) Berechnen Sie die Gesamtoberfläche einer Kugel durch Integration. Vergleichen Sie ihr
Ergebnis mit dem aus Formelsammlungen bekannten Ausdruck für die Kugeloberfläche.
Hinweis: Verwenden Sie f (r) = 1 · er , sowie r = R. Wählen Sie die korrekten Integrationsgrenzen und lösen Sie somit das Oberflächenintegral
Z ϑ2 Z ϕ2
A=
f (r) · er r2 sin ϑ dϕ dϑ
ϑ1
ϕ1
A Koordinatensysteme, Linien- & Oberflächenintregrale
A.6. Lösungen
50
b) Berechnen Sie das Gesamtvolumen einer Kugel durch Integration. Vergleichen Sie ihr Ergebnis mit dem aus Formelsammlungen bekannten Ausdruck für das Kugelvolumen.
Hinweis: Wählen Sie die korrekten Integrationsgrenzen und lösen Sie somit das Volumsintegral
Z Z Z
r2
ϕ2
ϑ2
r2 sin ϑ dr dϕ dϑ
V =
ϑ1
A.6
5.1 a)
r1
ϕ1
Lösungen
Rh RL
(x2 y − y 3 )dx dy = h2 L3 /3 − h4 L/2
b)
0 −L
5.2 a)
Rr2 Rα
1 ∗ r dϕ dr = α (r22 /2 − r12 /2)
Rr
x tan
R α
0
0
1 dy dx = r2 /2 tan α
b) → 2πR2 /2 = R2 π = Kreisfläche
r1 0
5.3 a)
R20 π/3
R
0
0
5.4 a) A1 =
2
r2 z er · er r dϕ dz = 103 π3 202 =
Rrb R
αr dϕ dr = α
ra 0
A3 =
Rh R
0 0
5.5 a) A =
R
0
π
αr dϕ dz R2π
0
r=ra
rb2
2
−
ra2 2
= αhr
r sin ϑ dϕ dϑ
r=ra
A2 =
r=R
Rrb Rh
b) eϕ ⊥ er ⇒
RR
. . . dϕ dz = 0
1 dz dr = h(rb − ra )
ra 0
= αhra
= 4R2 π
2
2π
105
3
V =
Rh Rrb R
αr dϕ dr dz = α
rb2 −ra2
2
r2 sin ϑ dr dϕ dϑ =
4R3 π
3
0 ra 0
b) V =
Rπ R2π RR
0 0 0
h
B Elektrisches Potential
Hilfestellung zum elektrischen Potential, um einige Fallstricke und mögliche Unklarheiten gleich
im Vorhinein aus dem Weg zu räumen (analog zu VO, p.29).
Uab = ϕ(a) − ϕ(b)
Z b
~
∇ϕ(x)
· d~s
=−
(B.1)
(B.2)
a
Z
b
~
E(x)
· d~s
=
(B.3)
a
⇔
Z
ϕ(b) = −
b
~
E(x)
· d~s + ϕ(a)
(B.4)
a
Gleichung (B.1) ist die Definition der elektrischen Spannung U zwischen den Punkten a und b.
~
Sie drückt eine Potentialdifferenz aus. Dies lässt sich mithilfe von E(x)
= −∇ϕ(x) umformen
zu Gleichung (B.3). Beachten Sie das Minus in der Definition des Gradienten!
Falls man nur an dem elektrischen Potential ϕ(b) an einem bestimmten Punkt interessiert ist,
so kann man Gleichung (B.3) umformen und erhält einen Ausdruck wie in (B.4). Das Potential
im Punkt a ist in diesem Fall meistens angegeben, beispielsweise falls a im Unendlichen liegt
könnte es als ϕ(a → ∞) = 0 definiert sein.
Das Potential im Punkt b ist also nur bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt.
51