Formelsammlung - Institut für Mechanik

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Institut für Mechanik
Formeln
zur
Technischen Mechanik
Seite
Inhalt:
Statik starrer Körper
Festigkeitslehre
Kinematik und Kinetik
Ausgabe 2010
1
9
25
Statik starrer Körper
Darstellung von Kräften und Momenten:
• der Vektorcharakter von Kräften und Momenten wird durch einen Pfeil über dem
r
r
Formelzeichen gekennzeichnet (z.B. F bzw. M )
r
• Beträge von Vektoren werden durch Normaldruck dargestellt (z.B. F ≡ F )
Zentrales ebenes Kraftsystem
Äquivalenz
I
I
• Zerlegung einer Kraft in zwei beliebige Richtungen I und II
r r r
Kräfteparallelogramm: F = FI + FII
FI
II
F
II
FII
• Zerlegung einer Kraft in zwei senkrechte Komponenten (Komponentendarstellung)
r
r
r
e x , e y , e z – Einheitsvektoren,
r
r
r
e x = 1, e y = 1, ez = 1
r
r
r
Fi = Fix e x + Fiy e y
Fix = Fi cos αi
y
Fiy
αi
ey
Fix
Fiy = Fi sin αi
ex
• Zusammensetzung von Kräften
Resultierende Kraft:
n r
r
r
r
FR = ∑ Fi = FRx e x + FRy e y
i =1
n
FRx = ∑ Fix ,
i =1
n
FRy = ∑ Fiy
i =1
2
2
FRx
+ FRy
Betrag der Resultierenden:
FR =
Richtung der Resultierenden:
tan α R =
FRy
FRx
Gleichgewicht
Gleichgewichtsbedingung:
in Komponentenschreibweise:
n r
r
FR = ∑ Fi = 0
i =1
n
FRx = ∑ Fix = 0 ,
i =1
symbolisch:
:
1
Fi
n
FRy = ∑ Fiy = 0
i =1
:
x
Allgemeines ebenes Kraftsystem
Moment einer Kraft bezüglich des Punktes O:
r
r r
Momentenvektor: M Oi = ri × Fi
r
r
r
e x e y ez
r
v
M Oi = x i y i 0 = M Oiz e z
Fix Fiy 0
iM
O
ri
O
ai
z, ez
M Oi = M Oiz = a i Fi
oder
Fiy
yi
Ai
ri
ey
O
MOiz
M Oi = M Oiz = x i Fiy − yi Fix
Betrag:
y
Fi
αi
Fix
x
xi
ex
ai
Drehsinn:
y
Sonderfall: Moment eines Kräftepaares
M i = (bi + a i )Fi − b i Fi = a i Fi
Fi
Fi
Mi=MOiz
O
(→ unabhängig vom Bezugspunkt)
z b
i
x
ai
Äquivalenz
• Parallelverschiebung einer Kraft, Versetzungsmoment
Fi
Fi
Fi
Ai
Ai
≡
≡
O
O
Fi
Fi
Ai
O
ai
MOi=Mi=aiFi (Versetzungsmoment)
• Zusammensetzung von Kräften und Momenten:
y
Mk
ri
O
ai
x
y
y
Fi
MOR
αR
O
x
O
n r
r
FR = ∑ Fi
Resultierende Kraft
FR
FR
aR
(vgl. zentrales ebenes Kraftsystem)
i =1
n r
m r
n
r
r r m r
M OR = ∑ M Oi + ∑ M k = ∑ ri × Fi + ∑ M k
Resultierendes Moment
bzw.
Lage der resultierenden Kraft
i =1
n
k =1
m
i =1
n
k =1
m
i =1
k =1
i =1
k =1
M OR = ∑ M Oi + ∑ M k = ∑ a i ⋅ Fi + ∑ M k
a R ⋅ FR = M OR
2
(Voraussetzung: FR≠0)
αR
x
Gleichgewicht
r
n
m r
n r
r
M OR = ∑ M Oi + ∑ M k = 0
r
Gleichgewichtsbedingungen: FR = ∑ Fi = 0 ,
i =1
n
i =1
k =1
n
n
m
i =1
i =1
k =1
in Komponentenschreibweise: FRx = ∑ Fix = 0 , FRy = ∑ Fiy = 0 , M OR = ∑ M Oi + ∑ M k = 0
i =1
symbolisch:
:
:
O
:
Zentrales räumliches Kraftsystem
Äquivalenz
n r
r
r
r
r
FR = ∑ Fi = FRx e x + FRy e y + FRz e z
z
i =1
n
Fiz
ez
Fix
ex ey
Fi
y
Fiy
n
FRx = ∑ Fix ,
FRy = ∑ Fiy ,
i =1
i =1
n
FRz = ∑ Fiz
i =1
2
2
2
FR = FRx
+ FRy
+ FRz
x
Gleichgewicht
Gleichgewichtsbedingungen:
n r
r
FR = ∑ Fi = 0
i =1
n
in Komponentenschreibweise:
FRx = ∑ Fix = 0 ,
i =1
symbolisch:
n
FRy = ∑ Fiy = 0 ,
i =1
x:
n
FRz = ∑ Fiz = 0
i =1
y:
z:
Allgemeines räumliches Kraftsystem
z
Moment einer Kraft bezüglich des Punktes O
r
r r
M Oi = ri × Fi
r
r
r
ex e y ez
r
M Oi = x i yi z i
r
M Oi
O
Fix
Fiy Fiz
r
r
v
= M Oix e x + M Oiy e y + M Oiz e z
M Oix = yi Fiz − z i Fiy ,
xi
Fiz
A
ri i
Fi
zi yi
Fix
x
M Oiy = z i Fix − x i Fiz ,
3
M Oiz = x i Fiy − yi Fix
Fiy
y
Gleichgewicht
n r
r
FR = ∑ Fi = 0 ,
Gleichgewichtsbedingungen:
n r
r
M OR = ∑ M Oi = 0
i =1
i =1
in Komponentenschreibweise:
n
n
FRx = ∑ Fix = 0 ,
i =1
FRz = ∑ Fiz = 0
i =1
n
M ORx = ∑ M Oix = 0 ,
i =1
symbolisch:
n
FRy = ∑ Fiy = 0 ,
i =1
n
M ORy = ∑ M Oiy = 0 ,
i =1
n
M ORz = ∑ M Oiz = 0
i =1
x:
y:
z:
Ox:
Oy:
Oz:
Schwerpunkt
Körper im homogenen Schwerefeld
Schwerpunkt = Massenmittelpunkt:
xS =
∫ x dm ,
m
yS =
∫ y dm ,
m
zS =
∫ z dm ,
m
m = ∫ dm
∫ z dV ,
V = ∫ dV
Sonderfall: Dichte ρ = konst. (Volumenmittelpunkt)
∫ x dV ,
yS =
∫ y dV ,
xS =
∫ x dA ,
yS =
∫ y dA ,
xS =
∫ x dl ,
xS =
V
V
zS =
V
Ebene Flächen
A
A = ∫ dA
A
Ebene Linien
l
yS =
∫ y dl ,
l
l = ∫ dl
Zusammengesetzte Flächen
Voraussetzung: Für die Teilflächen Ai sind die Schwerpunktskoordinaten xSi , ySi bekannt.
xS =
1
1
x Si A i , yS = ∑ ySi A i , A = ∑ A i
∑
A i
A i
i
4
Streckenlasten
Ermittlung der Resultierenden
q(z)
FR
b
Größe der Resultierenden:
FR = ∫ q(z) dz
a
O
b
Lage der Resultierenden:
z
a
z
zR =
1
q(z) z dz
FR ∫a
zR
b
Beispiele
Rechtecklast
Dreiecklast
FR
FR
q0
q0
O
b
2
y
FR = q 0 b ,
O
z
b
zR =
z
2b
3
y
1
b
2
1
FR = q 0 b ,
2
5
b
zR =
2
b
3
Schnittgrößen
• eben
Mbx
x
Mbx Fqy
z
Fl
Fqy
y
a
Fl
positives
Schnittufer
Fl – Längskraft
Fqy – Querkraft
Mbx – Biegemoment
a-z
negatives
Schnittufer
• räumlich
Mby
z
x
y
Mbx
Mby
Mt Mt
Fl
Fl
Fqx Fqy
positives
Schnittufer
Mbx
Fl
Fqx, Fqy
Mt
Mbx, Mby
Fqx
Fqy
negatives
Schnittufer
Differentielle Beziehungen
Positive Streckenlasten haben die Richtung der positiven Achsen!
dFl
= −q z (z )
dz
dFqy
= −q y (z ),
dz
dM bx
= Fqy (z ),
dz
dFqx
dz
dM by
dz
= −q x (z )
= Fqx (z )
6
–
–
–
–
Längskraft
Querkräfte
Torsionsmoment
Biegemomente
Haftung und Gleitreibung
Haftung
FG=mg
F
F
m
FH
μ0
FN
Bedingung für Haftung:
|FH| ≤ FH max = μ0FN
für FN > 0
FH – Haftungskraft (Reaktionskraft; hier FH=F)
FN – resultierende Normalkraft an der
Kontaktfläche (Reaktionskraft; hier FN=FG)
μ0 – Haftungskoeffizient
Gleitreibung
Bewegungsrichtung
F
FG=mg
F
m
FR
μ
FN
Annahme: F > FR (Bewegung nach rechts!)
FR = μ FN (Coulombsches Gesetz) für FN > 0
FR – Gleitreibungskraft (eingeprägte Kraft;
entgegen der Bewegungsrichtung)
FN – resultierende Normalkraft an der
Kontaktfläche (Reaktionskraft; hier FN=FG)
μ – Gleitreibungskoeffizient (μ < μ0)
Seilhaftung
μ0
Bedingung:
α
FS1 e −μ 0 α ≤ FS2 ≤ FS1 eμ 0 α
FS2
FS1
α – Umschlingungswinkel
Seilreibung
μ
FS2 = FS1 eμ ϕ
ϕ
FS1
FS2
ϕ – Umschlingungswinkel, wobei Richtungssinn
von ϕ = Richtung der Seilbewegung ist.
7
8
Festigkeitslehre
Ebener Spannungszustand
y
σy
τyx
τxy
η
ση
τηξ
τξη
σx
x
σξ
ξ
ϕ
Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen:
τ xy = τ yx ,
τ ξη = τ ηξ
Spannungen im gedrehten Koordinatensystem:
(
) (
)
(
) (
)
1
1
σ x + σ y + σ x − σ y cos 2ϕ + τ xysin 2ϕ
2
2
1
1
σ η = σ x + σ y − σ x − σ y cos 2ϕ − τ xysin 2ϕ
2
2
1
τ ξη = − σ x − σ y sin 2ϕ + τ xy cos 2ϕ
2
σξ =
(
)
σ x + σ y = σξ + σ η
Invarianz der Summe der Normalspannungen:
Hauptnormalspannungen:
(
)
(
1
1
σ1 = σ x + σ y +
σx − σy
2
4
σ2 =
(
)
(
1
1
σx + σy −
σx − σy
2
4
)
2
σ2
+ τ 2xy
) 2 + τ 2xy
σ1 − σ x σ y − σ 2
=
,
τ xy
τ xy
σ2
ϕ 02 = ϕ 01 +
Für ϕ = ϕ01 gilt: σξ = σ1, ση = σ2, τξη = 0
Hauptschubspannungen:
1
τ max1,2 = τ ξη (ϕ01 ± π4 ) = m (σ1 − σ 2 )
2
9
σ1
σ1
Richtung der Hauptnormalspannungen:
tanϕ 01 =
y
π
2
ϕ01
x
Verschiebungen und Verzerrungen
Verschiebungen: u, v, w in den Koordinatenrichtungen x, y, z
Verzerrungen:
∂u
∂v
∂w
,
εy =
,
εz =
∂x
∂y
∂z
∂u ∂v
∂v ∂w
∂w ∂u
=
+
+
+
, γ yz =
, γ zx =
∂z ∂y
∂x ∂z
∂y ∂x
• Dehnungen:
εx =
• Gleitungen:
γ xy
Verallgemeinertes Hookesches Gesetz
(Beliebiger räumlicher Spannungszustand bei Berücksichtigung der Dehnung infolge einer
Temperaturänderung ΔT)
• Dehnungen:
• Gleitungen:
1
E
1
εy =
E
1
εz =
E
α
εx =
γ xy =
[σ x − ν(σ y + σ z )]+ α ΔT
[σ y − ν(σ z + σ x )]+ α ΔT
[σ z − ν(σ x + σ y )]+ α ΔT
− Wärmeausdehnungskoeffizient
τ xy
G
, γ yz =
τ yz
G
, γ zx =
τ zx
E
, G=
G
2(1 + ν )
Elastische Konstanten: E − Elastizitätsmodul
ν − Querkontraktionszahl
G − Gleitmodul
Gleichungen für die Normalspannungen infolge der Dehnungen:
σx =
⎤
E ⎡
ν
E
εx +
e⎥ −
α ΔT
⎢
1+ ν ⎣
1− 2 ν ⎦ 1− 2 ν
σy =
⎤
E ⎡
ν
E
εy +
e⎥ −
α ΔT
⎢
1+ ν ⎣
1− 2 ν ⎦ 1− 2 ν
σz =
⎤
ν
E
E ⎡
εz +
e⎥ −
α ΔT
⎢
1+ ν ⎣
1− 2 ν ⎦ 1− 2 ν
mit der Volumendehnung: e = ε x + ε y + ε z
10
Flächenträgheitsmomente
(Flächenmomente 2. Ordnung)
Axiale Flächenträgheitsmomente:
I xx =
∫y
2
dA , I yy =
(A)
∫x
2
Fläche A
y
r
y
y
dA
yS
(A)
Zentrifugalmoment (Deviationsmoment):
dA
x
S
0
xS
x
x
I xy = − ∫ x y dA
(A)
Polares Flächenträgheitsmoment:
Ip =
∫r
2
dA =
(A)
∫ (x
2
)
+ y 2 dA = I xx + I yy
(A)
Steinerscher Satz:
(Ursprung des Koordinatensystems x,y ist der Schwerpunkt S)
I xx = I xx + yS2 A , I yy = I yy + x S2 A , I xy = I xy − x S yS A
Trägheitsmomente für zusammengesetzte Flächen:
(n Teilflächen)
n
(
I xx = ∑ I x i x i +
i =1
n
yS2i
Ai
(
I yy = ∑ I yi yi + x S2i A i
i =1
n
(
)
)
I xy = ∑ I x i yi − x Si ySi A i
i =1
y
yi
ySi
Si
(
(
) (
) (
)
x
)
)
)
I ξξ = I xx + I yy + 12 I xx − I yy cos 2ϕ + I xy sin 2ϕ
I ηη = I xx + I yy − 12 I xx − I yy cos 2ϕ − I xy sin 2ϕ
I ξη = − 12 I xx − I yy sin 2ϕ + I xy cos 2ϕ
(
xi
S xSi
Flächenträgheitsmomente bezüglich eines gedrehten
Koordinatensystems:
2
1
2
1
2
Ai
11
η y
1
ϕ01
0
ξ
ϕ
x
Fläche A
Hauptträgheitsmomente:
(
)
(
) 2 + I2xy
(
)
(
) 2 + I2xy
I1 = I max =
1
1
I xx + I yy +
I xx − I yy
2
4
I 2 = I min =
1
1
I xx + I yy −
I xx − I yy
2
4
Richtung der Hauptträgheitsachsen:
tanϕ01 =
I1 − I xx I yy − I 2
=
,
I xy
I xy
Für ϕ = ϕ01 gilt:
ϕ 02 = ϕ 01 +
I ξξ = I1 ,
I ηη = I 2 ,
π
2
I ξη = 0
Trägheitsmomente einfacher Flächen:
Rechteck:
I xx =
y
b h3
h b3
, I yy =
, I xy = 0
12
12
S
h
x
b
Kreis:
y
I xx = I yy =
4
4
πd
πr
=
, I xy = 0
64
4
S
d
r
Kreisring:
I xx = I yy =
(
x
y
)
π
D 4 − d 4 , I xy = 0
64
SS
D d
x
Rechtwinkliges Dreieck:
y
I xx =
3
3
2 2
ab
ba
a b
, I yy =
, I xy =
36
36
72
b
b3
I xx =
12
x
S
a3
a
a b3
b a3
a 2b 2
, I yy =
, I xy = −
36
36
72
Zug und Druck
Fl (z)
A(z)
σ(z) =
Normalspannung:
Fl(z) - Längskraft
A(z) - Querschnittsfläche
Dehnung/Verschiebung:
ε( z) =
F (z)
dw (z) σ(z)
=
+ α ΔT = l
+ α ΔT
dz
E
E A(z)
⎞
⎛ F (z)
w (z) = ∫ ⎜⎜ l
+ αΔT ⎟⎟ dz + C
⎠
⎝ EA(z)
EA(z) - Dehnsteifigkeit
w(z) - Verschiebung in z-Richtung
Verlängerung eines Stabes der Länge l:
l
Δl = ∫ ε(z) dz
0
Sonderfall Fl = konst., A = konst., ε = konst., ΔT = 0:
Δl = εl =
Fl l
EA
Biegung
Die Koordinatenachsen x, y sind Hauptzentralachsen!
Normalspannungen bei gerader Biegung
Rand 2
S
z
x
Mbx
y
e2
≡ x
e1
z
y
Rand 1
σ(y, z ) =
S
M bx (z )
y
I xx
13
σb (y,z)
Randfaserspannungen:
M bx (z )
e1,
I xx
Rand 1:
σ R1 (z ) =
Rand2:
σ R2 (z ) = −
M bx (z )
e2 ,
I xx
σ R1 (z ) =
σ R2 (z ) =
M bx (z )
Wb1
, Wb1 =
I xx
e1
, Wb 2 =
I xx
e2
M bx (z )
Wb2
Wb1, Wb2 – (Biege-)Widerstandsmomente
Normalspannungen bei schiefer Biegung
σ(x, y, z ) =
M by (z )
M bx (z )
y+
x
I xx
I yy
S
x
z
y
Mbx
Mby
Spannungsnullinie:
I M by
y = − xx
x
I yy M bx
Randfaserspannungen bei kreisförmigem Querschnitt (Ixx = Iyy):
σR =
M bres
Wb
mit Wb =
I xx
R
Mbres
M bres = M 2bx + M 2by
Mbx
Mby
R
Spannungsnullinie
Verformung bei gerader Biegung
Differentialgleichung der Biegelinie 2. Ordnung:
E I xx v′′(z ) = − M bx (z )
EIxx - Biegesteifigkeit
Differentialgleichung der Biegelinie 4. Ordnung:
(E I xx v′′(z ))″ = q y (z ) ,
wegen Fqy =
dFqy
dM bx
, qy = −
dz
dz
14
Randbedingungen:
Lagerungsart
y, v
z
y, v
freier
Rand
y,v
y, v
Geometrische
Randbedingungen
Dynamische
Randbedingungen
v (z = 0) = 0
Mbx (z = 0) = 0
z
v (z = 0) = 0
v´(z = 0) = 0
z
y, v
Mbx (z = 0) = 0
Fqy (z = 0) = 0
z
v´(z = 0) = 0
z
Fqy (z = 0) = 0
Torsion
de Saint Venantsche Torsion:
Voraussetzungen:
- Beanspruchung nur durch Mt= konst., Querschnitt konst.
- keine Behinderung der Querschnittsverwölbung
- Querschnittsform bleibt erhalten
Maximale Schubspannung:
τ max =
Mt
Wt
Mt - Torsionsmoment
Wt - Torsionswiderstandsmoment (s. unten)
Drillung/Verdrehwinkel:
ϑ=
dϕ M t
=
dz GI t
ϕ( z ) = ∫
ϑ
ϕ(z)
It
GIt
-
Mt
M
dz + c = t z + c
GI t
GI t
Drillung
Verdrehwinkel
Torsionsträgheitsmoment (Torsionsflächenmoment, s. unten)
Torsionssteifigkeit
Relativer Verdrehwinkel eines Torsionsstabes der Länge l:
Δϕ = ϕ(z = l) − ϕ(z = 0) =
15
Mtl
GI t
Torsionsträgheitsmomente und Torsionswiderstandsmomente
verschiedener Querschnittsformen:
Kreis- und Kreisringquerschnitt
(Mt = konst. nicht notwendig, Querschnitt bleibt eben)
πR 4 πd 4
It = Ip =
=
2
32
3
I p πR
πd 3
=
=
Wt =
R
2
16
It = Ip =
Wt =
Ip
D
2
(
π 4
D − d4
32
=
R
d
)
d
π D4 − d 4
16
D
D
(Ip – Polares Flächenträgheitsmoment)
Dünnwandige geschlossene Querschnitte
It =
4A 2m
ds
∫ δ(s)
Wt = 2 A m δ min
τ(s) =
Mt
2A m δ(s)
Am
(2. Bredtsche Formel)
δ(s)
s
(1. Bredtsche Formel)
Dünnwandige offene Querschnitte
(Dicke abschnittsweise konstant)
1
li δ3i
∑
3
I
Wt = t
δ max
It =
δi
li
16
Schubbeanspruchung durch Querkräfte
Vollquerschnitte
Fqy
Vertikale Schubspannung:
τ v (y, z) =
x
Fqy (z) S x (y)
S
y
I xx b(y)
y, η
b(y)
∫ η dA
Sx (y) =
Ay
(A y)
Rechteckquerschnitt (Breite b, Höhe h):
τ(y, z) = τ v (y, z) =
3⎡
⎛ y⎞
⎢1 − 4⎜ ⎟
2 ⎢⎣
⎝h⎠
Mittlere Schubspannung:
2⎤
⎥τ m
⎥⎦
τm =
Fq (z)
bh
Dünnwandige offene Profile (x,y-Hauptachsen):
τ(s, z) =
Fqy (z) S x (s)
s=0
I xx δ(s)
∫ η dA
mit Sx (s) =
Schubfluß:
S
x
(As)
s
δ(s)
t(s,z) = τ(s,z) δ(s) =
Fqy (z) S x (s)
I xx
y, η
AS
Schubmittelpunkt für ausgewählte Querschnitte:
b
b
a
e
S
a
x
x
e
e
S
T
T
r
β
β
T
y
y
3b 2
e=
a + 6b
M
e=
b(2a + 3b)
2a + 6b
e=
17
2r( sin β − β cos β)
β − sin β cos β
Zusammengesetzte Beanspruchungen
Gesamtnormalspannung:
σ=
M by
F1 M bx
y+
+
x
A I xx
I yy
x, y - Hauptzentralachsen
betragsgrößte Normalspannung bei Kreis- und Kreisringquerschnitten (vgl. auch Seite 14):
σ max =
F1
A
+
M bres
Wb
Vergleichsspannungen:
Hauptspannungshypothese
σ V1 = σ1
Hauptdehnungshypothese
σ V 2 = σ1 − ν(σ 2 + σ 3 )
Schubspannungshypothese
σ V3 = σ1 − σ 3
Gestaltänderungshypothese
σ V4 =
[
1
(σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2
2
]
Vergleichsspannungen für Stabtragwerke:
(nur eine Normalspannung und eine Schubspannung)
1⎡
σ + σ 2 + 4τ 2 ⎤
⎢
⎥⎦
⎣
2
1
= ⎡(1 − ν )σ + (1 + ν ) σ 2 + 4τ 2 ⎤
⎥⎦
2 ⎢⎣
σ V1 =
σ V2
σ V3 = σ 2 + 4τ 2
σ V4 = σ 2 + 3τ 2
Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungshypothese für den ebenen
Spannungszustand:
σ V 4 = σ 2x + σ 2y − σ x σ y + 3τ2xy
18
Rotationssymmetrische Spannungszustände
Dünnwandige Behälter unter Innendruck pi
(Rotationsschale, Membranspannungen)
r
P
ρ1 ϑ M2
M1
ρ2
pi
ϕ
Für beliebigen Punkt P:
- Krümmungsradius der Meridiankurve
ρ1
r = ρ2 sinϑ - Breitenkreisradius
h
- Wanddicke
ϕ
- Meridianwinkel
Radialspannung vernachlässigbar klein.
Allgemein
Meridianspannung
(Längsspannung)
Ringspannung
(Umfangsspannung)
piρ2
2h
σϑ =
σϕ =
Kreiszylinder
(ρ1→∞, ϑ≡π/2, ρ2≡r)
p π r pi r
σϑ ≡ σ z = i
=
2π r h 2h
piρ2
h
⎛
ρ ⎞
⎜⎜1 − 2 ⎟⎟
⎝ 2ρ1 ⎠
p 2r L p i r
σϕ = i
=
2h L
h
Dickwandige Rohre und rotierende Kreisscheiben konstanter Dicke
r - radiale Koordinate
E - Elastizitätsmodul
ρ - Dichte
ν - Querkontraktionszahl
ω = konst. - Winkelgeschwindigkeit
•
Längs- bzw. Axialspannung: σz = konst.
•
Radialspannung:
σ r (r ) = C1 +
•
Ringspannung:
σ ϕ (r ) = C1 −
•
Radialverschiebung:
u (r ) =
C2
r2
C2
r2
−
3+ν 2 2
ρω r
8
−
1 + 3ν 2 2
ρω r
8
⎤
C2 1 − ν2
r ⎡
ρω 2 r 2 − νσ z ⎥
⎢(1 − ν) C1 − (1 + ν) 2 −
E ⎣⎢
8
r
⎦⎥
19
Federsteifigkeiten und Einflußzahlen
Ersatzfedersteifigkeiten cers für Federsysteme
Parallelanordnung von Feder
c1
c2
F
Reihenanordnung von Federn
cers
c1
cers
F
F
F
1
c ers = c1 + c 2
c ers
=
Einflußzahlen
n
Durchbiegung:
vi = ∑ (αik Fk + γ ik M k )
k =1
n
Biegewinkel:
ϕi = ∑ (δik Fk + βik M k )
k =1
Symmetriegesetz der Einflußzahlen (Maxwell-Betti):
α ik = α ki
γ ik = δ ki
βik = β ki
20
1
1
+
c1 c 2
Formänderungsenergie und Satz von Castigliano
Formänderungsenergie
Feder unter Kraft- bzw. Momentenbelastung
F2
W=
2c
M2
bzw. W =
2c d
System aus Balken und Stäben
2 ⎫
2
⎧⎪ M 2
M 2by M 2t Fl2
Fqy
Fqx
1
⎪
bx
W=
+
+
+
+ κy
+ κx
⎨
⎬ dz
∫
2 (l) ⎪ EI xx EI yy GI t EA
GA
GA ⎪
⎩
⎭
(bereichsweise Integration über das gesamte System)
Formzahlen:
κy =
A
I 2xx
∫
(A)
2
⎛ Sx ( y ) ⎞
⎟⎟ dA , κx - analog
⎜⎜
⎝ b( y ) ⎠
κx = κy = 6/5
κx = κy = 10/9
für Rechteckquerschnitt:
für Kreisquerschnitt:
Satz von Castigliano
vi =
∂W
∂W
, ϕi =
∂Fi
∂M i
vi - Verschiebung des Kraftangriffspunktes einer äußeren Kraft Fi in Kraftrichtung
ϕi - Verdrehwinkel am Angriffspunkt eines äußeren Momentes Mi in Momentenrichtung
W - Formänderungsarbeit des gesamten Systems
Voraussetzungen:
Hookesches Gesetz, konstante Temperatur, kleine Verformungen
Beispiel für die allgemeine Ausführung der partiellen Ableitung:
W=
1 M 2b
dz,
2 (∫l ) EI
vi =
∂W
M ∂M b
= ∫ b
dz .
∂Fi ( l ) EI ∂Fi
In ebenen symmetrischen Tragwerken gilt im Symmetrieschnitt:
• bei symmetrischer Belastung:
Fq = 0
• bei antimetrischer Belastung:
Fl = 0, Mb = 0
• für beide Fälle gilt:
es verschwinden dort die Verformungen in Richtung der
nichtverschwindenden Schnittgrößen
21
Knickung gerader Stäbe
Elastische Knickung; die Eulerfälle
π 2 EI
Fk =
(Eulerformel)
lk2
Bedingung: λ ≥ λp (siehe unelastisches Knicken)
Knicklast (kritische Last):
1.
2.
3.
F
4.
F
F
l
l
l k = 2l
F
l
l
lk ≈ 0,699 l
lk = l
lk = ½ l
Unelastische Knickung
Kritische Spannung σk:
σk
σF
Fließgrenze
Tetmajergerade
Eulerhyperbel
λF
Fließen Knickung
im unelast.
Bereich
Schlankheitsgrad: λ =
lk
i
, Trägheitsradius: i =
Tetmajer (für λ F ≤ λ ≤ λ p ):
Fk π 2 E
= 2
A
λ
σk = a − b λ
Grenzschlankheitsgrad:
λp = π
Euler (für λ ≥ λ p ):
σk =
E
σp
22
λ
λP
I
A
Knickung
im elast.
Bereich
Elastisch-plastisches Materialverhalten
Elastisch-idealplastisches Materialverhalten
σ
σF
σ = Eε für ε ≤ ε F
σ = σF
ε
εF
für ε > ε F
Tragwerke aus Stäben
Elastische Grenzlast: Für mindestens einen Stab des Tragwerks wird σ = σF erreicht.
Traglast:
Für mindestens einen Stab des statisch bestimmten (Rest-) Tragwerks
wird σ = σF erreicht.
→ Übergang zu einer beweglichen Struktur (Mechanismus)
Balken mit Biegebeanspruchung
Elastisches Grenzmoment M bel :
An einer Stelle des Balkens wird eine Randspannung vom Betrag σ = σF erreicht.
Vollplastisches Moment M b pl :
An einer Stelle des Balkens erreicht die Spannung im gesamten Querschnitt den
Betrag σ = σF
→ Bildung eines plastischen Gelenks
Traglast:
Die Traglast wird erreicht, wenn in einem statisch bestimmten (Rest-) Tragwerk ein
plastisches Gelenk entsteht.
Beispiele:
h
x
b
1
M bel = σ F bh 2
x
6
1
M b pl = σ F bh 2
x
4
π
σFR 3
4
4
= σFR 3
3
M bel =
2R
M b pl
23
24
Kinematik und Kinetik
Kinematik des Punktes
Grundlegende Begriffe
Bahn eines beliebigen Punktes Q
Ortsvektor
Geschwindigkeitsvektor
Beschleunigungsvektor
r
r (t)
r
r d r r&
v=
≡r
dt
r
r
r dv d 2 r &r&
a=
=
≡r
dt dt 2
Kartesische Koordinaten x, y, z
r r r
Einheitsvektoren e x , e y , e z
Bahn
r
r
r
r
r ( t ) = x ( t ) e x + y( t ) e y + z ( t ) e z
r
r
r
r
v( t ) = v x ( t ) e x + v y ( t ) e y + v z ( t ) e z
ez
Q
r(t)
ey
v x = x& , v y = y& , v z = z&
ex
r
v = v = v 2x + v 2y + v 2z
r
r
r
r
a (t) = a x (t) e x + a y (t) e y + a z (t) e z
0 (fester Pol)
y(t)
a x = v& x = &x&, a y = v& y = &y&, a z = v& z = &z&
r
a = a = a 2x + a 2y + a 2z
Bahnkoordinaten (natürliche Koordinaten)
Bewegungsgesetz auf der vorgegebenen, i.a. räumlichen Bahn: s = s( t )
Hauptkrümmungsmittelpunkt M=M(s),
Hauptkrümmungsradius ρ = ρ(s),
r
r
Normaleneinheitsvektor e n , Tangenteneinheitsvektor e t
r r
M, ρ, e n , e t liegen in der Schmiegungsebene, die Bahnkurve i.a. nicht.
r
r
v( t ) = v t ( t ) e t
et
r
v t = s&, v = v = v t
r
r
r
a (t) = a n (t) e n + a t (t) e t
Bahn
v2
an =
, a t = v& t = &s&
ρ
r
a = a = a 2n + a 2t
M
en
Q
s
ρ
Schmiegungsebene
25
z(t)
x(t)
Zylinderkoordinaten r, ϕ, z
r r r
Einheitsvektoren e r , eϕ , e z
r
r
r
R ( t ) = r ( t ) er + z( t ) ez
r
R = r2 + z2
r
r
r
r
v( t ) = v r ( t ) e r + v ϕ ( t ) e ϕ + v z ( t ) e z
z(t)
ez
r(t)
v r = r&, v ϕ = r ϕ& , v z = z&
r
v = v = v 2r + v ϕ2 + v 2z
r
r
r
r
a (t) = a r (t) e r + a ϕ (t) e ϕ + a z (t) e z
eϕ
&& + 2r& ϕ& , a z = &z&
a r = &r& − r ϕ& 2 , a ϕ = r ϕ
r
a = a = a 2r + a ϕ2 + a 2z
Sonderfall:
Q
Bahn
ϕ(t)
er
0
(fester Pol)
feste
Bezugsgerade
ebene Polarkoordinaten r, ϕ
r r
R≡r
r r
R ≡ r ≡ r, z ≡ 0, v z ≡ 0, a z ≡ 0
Bewegung auf einer Kreisbahn mit dem Radius r
r
= Sonderfall für Bahnkoordinaten (ρ=r=konst.) bzw. ebene Polarkoordinaten ( r = r = konst.)
Bewegungskoordinate:
ϕ oder s = rϕ
Winkelgeschwindigkeit:
ω = ϕ&
Winkelbeschleunigung:
& =ϕ
&&
α=ω
r
r
r ( t ) = − re n
r r r
v = ωx r
r
v
v = v( t ) e t
Geschwindigkeitsbetrag:
r r r r r& r
a = ω x (ω x r ) + ω x r
r
r
r
a = a n (t) e n + a t (t) e t
et = eϕ
en
s
ϕ
ω
bzw.
r
r
r ( t ) = re r
bzw.
r
r
v = v ϕ (t) e ϕ
v ≡ v ϕ = s& = rϕ& = rω
bzw.
r
r
r
a = a r (t) e r + a ϕ (t) e ϕ
v2
a n = −a r =
= rϕ& 2 = rω 2
r
&& = rω
& = rα
&
a t = a ϕ = v = &s& = rϕ
Zentripetalbeschleunigung:
Tangentialbeschleunigung:
26
r
er
Relativbewegung
( )
r
Punkt Q bewege sich relativ zu einem translatorisch R(t) und
r
rotatorisch (ω( t ) ) bewegten starren Körper (Bezugssystem) K.
Relativbewegung
Führungsbewegung
Ortsvektor
r r
r = r (t)
r r
r r
R = R ( t ), ω = ω( t )
r r
r
r0 = R + r
Q
r0
r
ω
O (körperfest)
R
O0 (raumfest)
K
r
r r r
Absolute zeitliche Ableitung von r ( t ) bei körperfesten Einheitsvektoren e x , e y , e z wie folgt
darstellbar:
r
r
r&
r
r
r
d′ r v r d ′ r
= r&x e x + r&y e y + r&z ez
r (t) =
+ ω x r,
dt
dt
r r
r
v = v rel + v f
r
d′ r
r
v rel =
Relativgeschwindigkeit
dt
r& r r
r
Führungsgeschwindigkeit
vf = R + ω x r
Absolutgeschwindigkeit
r r
r
r
a = a rel + a f + a C
r
r
d ′ v rel d ′ 2 r
r
a rel =
= 2
Relativbeschleunigung
dt
dt
r
&r& r& r r
a = R + ωx r + a
Führungsbeschleunigung
Absolutbeschleunigung
f
Coriolisbeschleunigung
Z
Zentripetalbeschleunigung
r
r
r r
r d′ r
a C = 2ω x v rel = 2ω x
dt
r
r r r
a Z = ω x (ω x r )
Geschwindigkeits- und Beschleunigungsverteilung im starren Körper
r
d′ r r
=0
dt
r r& r r
v = R + ω x r (Eulerformel)
r &r& r& r r r r
a=R+ω
x r + ω x (ω x r )
27
Ebene Bewegung eines starren Körpers
Alle Körperpunkte bewegen sich auf zu einer raumfesten Bezugsebene parallelen Ebenen.
O0 raumfester Bezugspunkt
O körperfester Bezugspunkt
Jede ebene Bewegung eines starren Körpers kann zerlegt werden in
• eine ebene Translation entsprechend der ebenen Bewegung des körperfesten
Bezugspunktes O und
• eine Rotation um die Achse senkrecht zur Bezugsebene durch O.
Geschwindigkeitskomponenten
y
y
yO
rϕ
Q
r
yO
Beschleunigungskomponenten
xO
Q
xO
2
rϕ
ϕ
yO
O
xO
O0
yO
rϕ
x
O0
ϕ
O
xO
x
Es gibt immer einen körperfesten Punkt P, den Momentanpol, dessen momentane
Absolutgeschwindigkeit verschwindet. Im Momentanpol schneiden sich die Normalen der
Geschwindigkeitsvektoren aller Punkte der Ebene. Die Bewegung kann momentan als
Rotation um eine Achse senkrecht zur Bewegungsebene durch P betrachtet werden.
Beispiel: gleitfrei abrollendes Rad
v Q = rQ ω
vQ
Q
rQ
P
28
Grundaufgaben der Kinematik
Im folgenden stehen s, v, a z.B. für:
v=
Es gilt:
ds
,
dt
x, vx, ax
s, v, at
ϕ, ω, α
a=
dv
dv
=v
dt
ds
Anfangsbedingungen: s( t = t 0 ) = s 0 , v( t = t 0 ) = v 0
Gegeben
Anleitung zur Ermittlung der übrigen
Funktionen
s = s(t)
v (t ) =
v = v (t )
s(t ) = s 0 + ∫ v(t ) dt
ds
dt
t
a (t ) =
dv
dt
a (t ) =
dv
dt
t0
a = a (t )
t
v(t ) = v 0 + ∫ a (t ) dt
t0
v = v(s )
t (s ) = t 0 +
s
ds
∫ v(s)
t
s(t ) = s 0 + ∫ v(t )dt
t0
a (s ) = v(s )
s0
a = a (s )
v (s ) =
2
v 02
s
+ 2 ∫ a (s ) d s
t (s ) = t 0 +
s0
a = a (v )
v
dv
t (v ) = t 0 + ∫
a(v)
v
dv(s )
ds
s
ds
∫ v(s)
s0
s (v ) = s 0 +
v
v0
0
29
v
∫ a(v) dv
Massenträgheitsmomente eines starren Körpers
(Axiales) Massenträgheitsmoment bei vorgegebener Bezugsachse
Bezugsachsen senkrecht zur Zeichenebene
∫r
durch Massenmittelpunkt S: J S =
2
dm
S
rS
(m)
durch beliebigen Punkt O:
JO =
∫r
2
dm
( m)
r
m
O
J O = JS + mrS2
Satz von Steiner:
dm
r
Trägheitsmatrix für ein kartesisches Koordinatensystem
JO
⎡J Oxx
⎢
= ⎢ J Oyx
⎢ J Ozx
⎣
J Oxy
J Oyy
J Ozy
J Oxz ⎤
⎥
J Oyz ⎥
J Ozz ⎥⎦
z
xS
(Axiale) Massenträgheitsmomente
J Oxx =
∫ (y
+ z 2 dm
∫ (z
2
+ x 2 dm
∫ (x
2
+ y 2 dm
(m)
J Oyy =
x
)
(m)
J Ozz =
x
)
2
)
(m)
Deviationsmomente (Zentrifugalmomente)
J Oxy = J Oyx = −
∫ xy dm
(m)
∫ yz dm
J Oyz = J Ozy = −
(m)
J Ozx = J Oxz = − ∫ zx dm
(m)
Satz von Steiner
J Oxx = JSxx + yS2 + zS2 m ,
J Oyy = JSyy
J Ozz = JSzz
(
+ (z
+ (x
2
S
2
S
)
+ x )m ,
+ y )m ,
m
dm
J Oxy = JSxy − x S ySm
2
S
J Oyz = JSyz − ySzSm
2
S
J Ozx = JSzx − zS x Sm
30
O
S
z
zS yS
y
y
Massenträgheitsmomente ausgewählter homogener Körper bezüglich
Schwerpunktachsen (
)
Quader
J=
(
1
1
md 2 = m b 2 + h 2
12
12
d
b
)
h
a
Hohlkugel
R
2 R 5 − r5
J= m 3 3
5 R −r
r
Kreisringzylinder, Längsachse
J=
(
1
m R2 + r2
2
)
R
S
Kreisringzylinder, Querachse
a
1 ⎛
1 ⎞
J = m ⎜R2 + r2 + a2 ⎟
4 ⎝
3 ⎠
Dünner Stab (Querschnittsabmessungen << a)
J=
r
S
a
1
m a2
12
Hauptträgheitsmomente und Hauptträgheitsachsen
Axiales Massenträgheitsmoment für eine Achse in Richtung eines beliebigen Einheitsvektors
r
e i mit dem Spaltenvektor seiner Komponenten e i = e ix e iy e iz T :
[
]
J i = e iT J e i
Eigenwertgleichung zur Bestimmung der Hauptträgheitsmomente Ji (i=1, 2, 3):
det (J − J i E ) = 0,
⎡1 0 0⎤
E = ⎢⎢0 1 0⎥⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦
r
Gleichungen zur Bestimmung der Einheitsvektoren e i auf den Hauptträgheitsachsen:
(J − J i E) e i = 0 ≡ [0
0 0] T ,
2
2
2
e ix
+ e iy
+ e iz
=1
31
Newtonsches (dynamisches) Grundgesetz
Für einen freien (d.h. keinen Zwangsbedingungen unterworfenen) Massenpunkt der Masse m
r
r
gilt zwischen der Beschleunigung a und der resultierenden Kraft F die Beziehung
r r
ma = F.
d’Alembertsches Prinzip
Zurückführen eines kinetischen Problems auf ein statisches Problem mittels Ergänzen der
eingeprägten Kräfte und Momente durch die Massenbeschleunigungskräfte und –momente in
negativer Beschleunigungs- und Winkelbeschleunigungsrichtung.
Beispiele
JS ϕ
y
Ebene Bewegung eines starren Körpers
Massenbeschleunigungskräfte:
m&x& S, m&y& S
yS
Massenbeschleunigungsmoment:
&&
J Sϕ
myS
Bewegung eines Massenpunktes auf einer Kreisbahn
Beschleunigungen:
Normal-(Zentripetal)Beschleunigung an
Tangentialbeschleunigung at
Massenbeschleunigungskräfte:
v2
(Zentrifugalkraft)
m a n = m r ϕ& 2 = m
r
&&
mat = mrϕ
32
ϕ
S
mxS
x
xS
O
at
r an
ϕ
m
man
m
mat
Arbeit, Leistung, Energie
Arbeit und Leistung
r
r
Kraft F
Arbeit
( 2)r
Moment M
r
W = ∫ Fd r
W=
r
∫ Mdϕ
(1)
(1)
Leistung
( 2) r
rr
P=Fv
r r
P=Mω
Potential (potentielle Energie)
r r
Konservative Kräfte (Potentialkräfte) F = F(x, y, z ) lassen sich aus einem Potential
U = U (x , y, z ) ableiten:
r
r
⎛r ∂ r ∂ r ∂ ⎞
⎟ U bzw.
+ ey
+ ez
F = −∇U = −⎜⎜ e x
∂y
∂z ⎟⎠
⎝ ∂x
∂U
∂U
∂U
,
Fz = −
Fx = −
,
Fy = −
∂x
∂y
∂z
Für sie ist die Arbeit vom Integrationsweg unabhängig:
( 2)
W = − ∫ dU = U1 − U 2
(1)
Beispiele:
Potential der Gewichtskraft FG
(homogenes Schwerefeld, g)
Potential der Federkraft FF
(Federsteifigkeit c)
c
y
x2
m
FG
FG = m g
U = m g y + C, C = konst.
x1
FF
FF
FF = c(x 2 − x 1 )
U=
33
1
1
c ( x 2 − x 1 ) 2 = c (x 1 − x 2 ) 2
2
2
Kinetische Energie eines Massenpunktes
T=
1 r2 1
m v = m v2 ,
2
2
r
v= v
Kinetische Energie eines starren Körpers
Allgemein:
Translationsenergie:
Rotationsenergie:
Für Hauptachsen x,y,z:
T = Ttr + Trot
1 r
1
Ttr = m v S2 = m v S2
2
2
r
vS :
Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes
1
Trot = ω T J Sω,
ω T = ω x ω y ωz
2
1
Trot = J Sxx ω 2x + J Syy ω 2y + J Szz ω 2z
2
[
(
]
)
Starrer Körper mit Festlager O:
1 T
ω J Oω
2
1
= J Oxx ω 2x + J Oyy ω 2y + J Ozz ω 2z
2
Es gilt auch:
T = Trot =
Für Hauptachsen x,y,z:
T = Trot
(
)
Starrer Körper bei ebener Bewegung
(z.B. Rotation um raumfeste Achse):
1
1
T = m v S2 + J S ω 2
2
2
1
J O ω2
2
(Bezugsachsen von JS bzw. JO senkrecht zur Bewegungsebene, nicht notwendig Hauptachsen)
T=
Bei starrem Körper mit Festlager O gilt auch:
Arbeitssatz
W (e) = ΔT = T2 − T1
(in dieser Form gültig für Systeme ohne zeitabhängige starre Bindungen)
W(e) – Gesamtarbeit aller eingeprägten Kräfte und Momente
Energiesatz
T1 + U1 + W* = T2 + U 2
W* - Gesamtarbeit aller eingeprägten nichtkonservativen Kräfte und Momente (Antrieb,
Reibung, Dämpfung, ...)
Energieerhaltungssatz
Für konservative Systeme gilt:
T1 + U1 = T2 + U 2
T + U = konst.,
34
d
(T + U ) = 0
dt
Lagrangesche Bewegungsgleichungen 2. Art
Vorschrift zur Herleitung der Bewegungsgleichungen für ein holonomes (nur integrable
Zwangsbedingungen) mechanisches System mit f Freiheitsgraden:
d ∂L
∂L
−
= Q *k ,
k = 1,..., f
dt ∂q& k ∂q k
mit
L = L(q1 ,..., q f , q& 1 ,..., q& f , t ) = T − U
L - Lagrangesche Funktion
qk - den Zwangsbedingungen genügende verallgemeinerte Koordinaten
Qk* - verallgemeinerte eingeprägte, nichtkonservative Kräfte
Ermittlung der Qk* aus der virtuellen Arbeit aller eingeprägten nichtkonservativen Kräfte
Fi(e)* und Momente Mj(e)* mittels Koeffizientenvergleich bei den δqk:
δW
(e)
= ∑ Fi
(i )
δ xi + ∑ M j
( e )*
( j)
f
δ ϕ j = ∑ Q*k δ q k
( e )*
k =1
δ - virtuelle differentielle Änderung (mit δt = 0 bei dt ≠ 0)
Impuls und Drehimpuls (Drall)
Impuls eines Massenpunktes der Masse m:
r
r
p = mv
Impuls eines beliebigen mechanischen Systems:
r
r
p = m vS
1. Schwerpunktsatz
r
v S - Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes
Drehimpuls eines Massenpunktes bezüglich eines raumfesten Punktes O:
r
r r
L O = r0 x p
m
r0
p
O
Für ein beliebiges System ist über die entsprechenden Drehimpulse aller Massenelemente zu
integrieren.
35
Drehimpuls eines starren Körpers bezüglich eines raumfesten Punktes O:
Allgemein:
r
r
r r
L O = rS0 x p + L S
ω
Drehimpuls bezüglich des Massenmittelpunktes S:
[
LS = LSx
LSy
Für Hauptachsen x,y,z:
LSz
]T = JS ω,
[
ω = ωx
p
S
ωy
ωz
]T
O
rS0
L Sx = J Sxx ω x , L Sy = J Syy ω y , L Sz = J Szz ω z
Starrer Körper mit Festlager O:
ω
LO = J O ω
O
Starrer Körper bei ebener Bewegung
(z.B. Rotation um raumfeste Achse):
Voraussetzung: Bezugsachsen senkrecht zur Bewegungsebene sind Hauptachsen!
LS = J S ω
Für starren Körper mit Festlager auch:
LO = J O ω
Impulssatz und Drehimpulssatz (Drallsatz)
Impulssatz für einen Massenpunkt
r
r r
dp r
= F bzw. ma = F
dt
(für freien Massenpunkt: Newtonsches Grundgesetz)
Impulssatz für ein beliebiges System
r
r
r
dp r
= Fa bzw. ma S = Fa 2. Schwerpunktsatz
dt
r
Fa - Resultierende aller äußeren Kräfte
36
Drehimpulssatz für ein beliebiges System
r
dL r
= Ma
dt
r
M a - Resultierendes Moment aller äußeren Kräfte
Drehimpulssatz für einen starren Körper
r
r
r
r
r
dL d' L r r r
d' L & r
=
+ ω x L = Ma ,
L = J ω,
= L x e x + L& y e y + L& z ez
dt
dt
dt
r
r
Bezugspunkt für L und M a einheitlich ein raumfester Punkt O oder der Massenmittelpunkt S.
Sind x,y,z Hauptachsen, so ergeben sich die
Eulerschen Gleichungen
(
)
(
)
& x − J yy − J zz ω y ω z = M ax
J xx ω
& y − (J zz − J xx ) ω z ω x = M ay
J yy ω
& z − J xx − J yy ω x ω y = M az
J zz ω
Starrer Körper bei ebener Bewegung
(z.B. Rotation um raumfeste Achse)
& = Ma
Jω
Bezugsachse für J und Ma einheitlich senkrecht zur Bewegungsebene durch raumfesten Punkt
O oder Massenmittelpunkt S, nicht notwendig Hauptachse.
37
Stoß
Gerader zentrischer Stoß
vor dem Stoß
m1
v1
nach dem Stoß
m1 c1
m 2 v2
Impulserhaltungssatz
m2
c2
Stoßzahl
c − c1
k= 2
v1 − v 2
m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 c1 + m 2 c 2
Allgemeine Lösung:
c1 = v1 −
m2
(1 + k ) (v1 − v 2 ) = m1v1 + m 2 v 2 − km 2 (v1 − v 2 )
m1 + m 2
m1 + m 2
c2 = v2 +
m1
(1 + k ) (v1 − v 2 ) = m1v1 + m 2 v 2 + km1 (v1 − v 2 )
m1 + m 2
m1 + m 2
Änderung der kinetischen Energie
ΔT = −
(
)
1 m1 m 2
1 − k 2 (v1 − v 2 )2
2 m1 + m 2
ΔT = Verlust an kinetischer Energie
Grenzfälle
(völlig) unelastischer Stoß =
plastischer Stoß
(völlig) elastischer Stoß
k=0
ΔT = ΔTmax
1 m1 m 2
(v 1 − v 2 ) 2
=−
2 m1 + m 2
38
k =1
ΔT = 0
Gerader exzentrischer Stoß
Beispiel: Stoß zwischen Kugel und frei drehbar aufgehängtem Stab
vor dem Stoß
nach dem Stoß
A
A
ω2 e
m1
S
γ2
a
v2
v1
c2
c1
m2 ,JA
Drehimpulserhaltungssatz
bezüglich A
Stoßzahl
m1c1a + J A γ 2 = m1 v1a + J A ω 2
k=
Zwangsbedingung:
c 2 − c1
v1 − v 2
v 2 = a ω2 , c 2 = a γ 2
Es gilt die allgemeine Lösung wie beim geraden zentrischen Stoß, wenn nur m2 durch die
J
reduzierte Masse des Stabes m 2 red = A2 ersetzt wird,
a
oder
c1 =
γ2 =
m1a 2 v1 + J A aω 2 − k J A (v1 − a ω 2 )
m 1a 2 + J A
m1a v1 + J A ω 2 + k m1a (v1 − a ω 2 )
m 1a 2 + J A
Stoßmittelpunkt
Lager A = Stoßmittelpunkt, wenn a so festgelegt wird, daß bei A während des Stoßes kein
Kraftimpuls übertragen wird:
a=
JA
.
m 2e
39
Lineare Schwingungen mit einem Freiheitsgrad
Freie ungedämpfte Schwingungen
Allgemeine Bewegungsgleichung:
&q& + ω 2 q = 0
q=q(t):
ω²:
verallgemeinerte Bewegungskoordinate
von Systemparametern abhängiger Ausdruck
Allgemeine Lösung für ω² > 0:
q ( t ) = C1 cos ωt + C 2 sin ωt = A sin (ωt + ϕ)
mit
C1 = A sin ϕ ,
C 2 = A cos ϕ
A 2 = C12 + C 22 ,
ϕ = arctan
C1
C
= arcsin 1
C2
A
Bestimmung von C1, C2 bzw. A, ϕ aus Anfangsbedingungen
ω:
ω
f=
:
2π
2π 1
T=
= :
ω f
ωt + ϕ:
ϕ:
Beispiel:
Eigenkreisfrequenz
Eigenfrequenz
Periodendauer (Schwingungsdauer)
Phase(nwinkel)
Nullphase(nwinkel)
Reibungsfreier horizontaler Feder-Masse-Schwinger
(q=0: Feder entspannt)
q
c
m&q& + cq = 0, ω =
m
μ=0
40
c
m
Freie viskos gedämpfte Schwingungen
Allgemeine Bewegungsgleichung
&q& + 2δq& + ω 02 q = 0
δ = Dω 0 , ω 02 : von Systemparametern abhängige Ausdrücke
Allgemeine Lösung für δ < ω0 (D < 1):
q ( t ) = e −δt (C1 cos ωt + C 2 sin ωt ) = e −δt A sin (ωt + ϕ)
mit
ω = ω02 − δ 2 = ω0 1 − D 2
Bestimmung von C1, C2 bzw. A, ϕ aus Anfangsbedingungen
ω0 :
ω:
δ:
D=
δ
:
ω0
Kennkreisfrequenz
Eigenkreisfrequenz
Abklingkonstante, [δ] = s-1
Dämpfungsgrad (dimensionslos)
Logarithmisches Dekrement
Λ = ln
q( t 0 )
q( t 0 )
1
,
= ln
q( t 0 + T) N q( t 0 + NT)
Λ = δT = 2π
Beispiel:
D
1 − D²
, D=
N = 1,2,...
T=
2π
ω
Λ
(2π)² + Λ2
Reibungsfreier horizontaler Feder-Dämpfer-Masse-Schwinger
(q = 0: Feder entspannt)
m&q& + bq& + cq = 0
q
c
b - Dämpfungskonstante
[b]=Ns m-1=kg s-1
ω0 =
c
m
, δ=
m
b
b
, D=
2m
2 cm
41
b
μ=0
Erzwungene viskos gedämpfte Schwingungen
Beispiel: Reibungsfreier horizontaler Feder-Dämpfer-Masse-Schwinger
Allgemeine Bewegungsgleichung:
m&q& + bq& + cq = F(Ω, t ), δ =
b
c
, ω 02 =
2m
m
Vollständige allgemeine Lösung:
q ( t ) = e −δt A sin (ωt + ϕ) + K sin (Ωt − ψ )
Eingeschwungene stationäre Lösung:
q ( t ) = K sin (Ωt − ψ )
F(Ωt):
Ω:
K:
ψ:
η= Ω :
ω0
harmonisch veränderliche Erregerkraft
Erregerkreisfrequenz
Amplitude der Ω-frequenten stationären Lösung
Nacheilwinkel
Abstimmung(sverhältnis)
Kraft- oder Federkrafterregung
q
F(Ω, t ) = F̂ sin Ωt ,
K=
c
F̂
V1
c
μ=0
b
F(Ω, t ) = c s ŝ sin Ωt ,
c1
cs
ŝ V1 ,
c
c = c1 + c s
K=
Nacheilwinkel:
q
s(t)=s sinΩt
m
V1 =
(1 − η )
cS
μ=0
b
Vergrößerungsfunktion:
FsinΩt
m
1
2 2
ψ = ψ1 = arctan
+ 4D 2 η 2
2Dη
1 − η2
42
,
0 ≤ ψ1 < π
Unwuchterregung
F(Ω, t ) = m1 ε Ω 2 sin Ωt ,
K=
q
c
m1
ε V2 , m = m 0 + m1
m
Ωt
ε
m0
b
Vergrößerungsfunktion:
Nacheilwinkel:
V2 =
m1
μ=0
η2
(1 − η )
2 2
ψ = ψ 2 = arctan
+ 4D 2 η 2
2Dη
1 − η2
,
0 ≤ ψ2 < π
Stützenerregung
q
F(Ω, t ) = c s + b s&,
s( t ) = ŝ sin Ωt
K = ŝ V3
s(t)
c
m
b
Vergrößerungsfunktion:
Nacheilwinkel:
V3 =
μ=0
1 + 4D 2 η 2
(1 − η )
2 2
ψ = ψ 3 = arctan
+ 4D 2 η 2
2Dη3
1 − η2 (1 − 4D 2 )
43
,
0 ≤ ψ3 < π