Zusammenfassung - frank

Mathematik
Klasse 13
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Zusammenfassung
Grundbegriffe
Machen Sie sich mit folgenden Begrifflichkeiten vertraut:
Zufallsexperiment, Ergebnisraum, Ereignis, Wahrscheinlichkeit, unmögliches Ereignis, sicheres Ereignis, Elementarereignis, Mächtigkeit, Gegenereignis
Mit Hilfe dieser Begrifflichkeiten kann man nun verschiedene Ereignisse kombinieren.
Anschaulich kann man dies mit Hilfe der Mengendiagramme (Venn-Diagramme) darstellen.
A
B
A
∩
B
∪
A
B
∩
Hieran kann man sich auch die Regeln von de Morgan klar machen:
A
∩
∪ =
∪
∩ =
Beispiel:
Die Klassenkameraden Dominik und Leon warten jeden Morgen auf dem Schulweg am
Herzogendenkmal aufeinander. Sollte einer von ihnen nicht pünktlich kommen, geht der
andere alleine zur Schule.
Mit den Ereignissen D:“Dominik ist pünktlich“ und L:“Leon ist pünktlich“ kann man
folgende Ereignisse erhalten:
∩
1. Leon und Dominik sind pünktlich
2. Mindestens einer ist pünktlich
∪
3. Leon pünktlich oder Dominik unpünktlich
∪
4. Höchstens einer ist pünktlich
∪ Absolute / Relative Häufigkeiten
Ein Zufallsexperiment werde n-mal wiederholt. Tritt das Ereignis E genau k-mal ein, so heißt
an(E)=k absolute Häufigkeit des Ereignisses E
୩
hn(E)=୬ relative Häufigkeit des Ereignisses E
Beispiel:
Dominik und Leon haben sich notiert, wann der andere jeweils zu spät kam. An 200 Tagen kam Dominik 15-mal zu spät, während Leon 123-mal zu spät kam.
ଵହ
ଵଶଷ
Daraus ergeben sich folgende Werte: a200(L)=123, a200(D)=15, h200(D)=ଶ଴଴, h200(L)=ଶ଴଴.
Für die relativen Häufigkeiten gilt:
1.
2.
3.
4.
0 ≤ ℎ௡ () ≤ 1
ℎ௡ Ω = 1
ℎ௡ ∅ = 0
ℎ௡ E = ℎ௡ eଵ + ℎ௡ eଶ + ⋯ + ℎ௡ e୩ Mathematik
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Bedingte Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit
Bei nahezu allen Zufallsexperimenten kann man beobachten, dass sich die relativen Häufigkeiten bei einer großen Anzahl von Versuchsdurchführungen weitgehend stabilisieren (empirisches Gesetz der großen Zahlen). Die Zahl, der die relative Häufigkeit eines Ereignisses
bei einer großen Zahl von Versuchen entspricht, nennt man Wahrscheinlichkeit.
Für die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses E gilt:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
0 ≤ Pe୧ für 1 ≤ i ≤ m
PΩ = Peଵ + Peଶ + ⋯ + Pe୫ = 1
P∅ = 0
PE = Peଵ + Peଶ + ⋯ + Pe୩ = 1
PE + PE
PEଵ ∪ Eଶ = Eଵ + PEଶ − PEଵ ∩ Eଶ Laplace-Wahrscheinlichkeit
Besonders einfach ist es, wenn bei einem Zufallsexperiment die Elementarereignisse alle
gleichwahrscheinlich sind. In diesem Fall spricht man von einem Laplace-Experiment. Die
Wahrscheinlichkeit kann man dann sehr leicht bestimmen:
Bei einem Laplace-Experiment sei Ω = eଵ , eଶ , … , e୫ der Ergebnisraum und
E = eଵ , … , e୩ ein beliebiges Ereignis. Dann gilt:
|E| k
Anzahl der günstigen Ergebnisse
PE =
=
=
|Ω| m
Anzahl der möglichen Ergebnisse
Beispiel:
Dominik und Leon beginnen aus Langeweile ein Würfelspiel, wenn sie jeweils warten.
Dominik wirft ein („Siedlerhäuschen“). Da es sich nicht um ein Laplace-Experiment handelt, muss er sehr häufig Würfeln und die relative Häufigkeit beobachten.
Leon wirft einen idealen Würfel und weiß sofort:
ଵ
Die Wahrscheinlichkeit für eine 6 ist P(„eine 6 fällt“) = ଺.
Mehrstufige Zufallsversuche
Ein Zufallsexperiment kann mehrfach wiederholt werden. Dies wird am anschaulichsten an
einem Baumdiagramm dargestellt.
1.Stufe
2.Stufe
3.Stufe
Um die Wahrscheinlichkeit eines mehrstufigen
Zufallsversuchs zu erhalten, muss man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten multiplizieren
(Pfadmutiplikationsregel)
Beispiel:
Zufallsexperiment: dreimaliges Würfeln eines
Würfels.
E:“ drei Sechser werden geworfen“
= ∙ ∙ =
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Bedingte Wahrscheinlichkeit
Variation des Baums
Im oben dargestellten Fall kennt man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten an den Ästen und
die Anzahl der Stufen / Wiederholungen. Jetzt kann dies auch Variiert werden.
(1) Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten sind nicht bekannt.
Beispiel:
Dominik langweilt sich in seiner Wartezeit und wirft Steine auf eine Coladose. Dies hat
er inzwischen durch das häufige Warten perfektioniert. Wie hoch muss Dominiks Trefferwahrscheinlichkeit sein, damit er bei zwei Würfen mit einer Wahrscheinlichkeit von
40% mindestens einmal das Ziel trifft?
p
p
T
1-p
1-p
P(„Treffer“) =
=
Es gilt also:
T
T
p
T
1-p
T
1-P(„kein Treffer“)
1-(1-p)²
1-(1-p)²
=
0,4
p
=
√0,6 ≈ 0,225
also muss Dominik seine Trefferwahrscheinlichkeit auf mindestens 22,5% trainieren.
T
(2) Die Anzahl der Wiederholungen sind nicht bekannt.
Beispiel:
Dominik hat nun endlich sein Ehrgeiz gepackt. Er hat seine Trefferwahrscheinlichkeit auf
30% gefestigt. Als am nächsten Tag Leon wieder mal zu spät kommt, wirft er diesmal
wieder voller Langeweile auf die Dose.
Wie oft muss er mindestens werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% mindestens einmal die Dose zu treffen?
0,3
0,3
T
T
0,7
T
…
0,7
0,3
T
T
0,7
T
P(„Treffer“) =
1-P(„kein Treffer“)
=
1-0,7n
Es gilt also:
1 − 0,7௡
≥ 0,95
|−1
௡
−0,7
≥ −0,05
|: (−1)
0,7௡
≤ 0,05
|
∙ log (0,7) ≤ log (0,05) |: log0,7)
୪୭୥ሺ଴,଴ହሻ
≥ ୪୭୥ሺ଴,଻ሻ ≈ 8,34
≥9
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Wenn bei einem Zufallsversuch bereits ein Teilergebnis bekannt ist, kann sich die Situation
und somit die Wahrscheinlichkeit ändern. Es gilt in diesem Fall:
( ∩ )
‫= ۯ‬
()
Ganz natürlich fällt einem diese Betrachtungsweise beim Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen. Hierbei ändert sich die Wahrscheinlichkeit an den Ästen, je nachdem, was vorher für
ein Teilereignis eingetreten ist.
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Bedingte Wahrscheinlichkeit
Betrachtet man sich nun das Baumdiagramm etwas genauer, dann kann man die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen exakter beschreiben:
P(A)
)
P(
‫)( ۯ‬
B
( ∩ )
)
‫( ۯ‬
B
)
( ∩ ‫ۯ‬ഥ ()
B
∩ )
(
)
‫ۯ‬ഥ (
B
∩
)
(
A
A
Anhand der Pfadmultiplikationsregel kann man den Multiplikationssatz ablesen:
∩ = () ∙ ‫)( ۯ‬
Bei zweistufigen Zufallsversuchen kann man dies auch mit Hilfe der Vierfeldertafel ausdrücken:
Merkmal
Summe
∩ B)
P(A ∩ B) P(A
P(B)
∩B
) P(A
)
)
P(A ∩ B
P(B
)
1
P(A)
Summe
P(A
Jede Darstellungsform hat hierbei gewisse Vor- und Nachteile. Sie sind jedoch beide Visualisierungshilfen für mehrstufige Zufallsversuche.
Beispiel:
Die Klassenkameraden Dominik und Leon warten jeden Morgen auf dem Schulweg am
Herzogendenkmal aufeinander. Sollte einer von ihnen nicht pünktlich kommen, geht der
andere alleine zur Schule. Es ist bekannt, dass an den letzten 100 Tagen an zwei Tagen
beide unpünktlich waren, an 66 Tagen keiner und an 14 Tagen nur Leon
Mit den Ereignissen D:“Dominik ist pünktlich“ und L:“Leon ist pünktlich“ kann man
folgende Vierfeldertafel erhalten:
Merkmal
Summe
0,66
0,18
0,84
0,14
0,02
0,16
Summe
0,80
0,20
1
Unabhängige Ereignisse
Zwei Ereignisse A und B mit positiver Wahrscheinlichkeit werden als stochastisch unabhängig voneinander bezeichnet, wenn ۰ = () bzw. ‫)( = ۯ‬.
Somit gilt auch ∩ = () ∙ () bzw. ∪ = + − () ∙ ().
Satz von Bayes
Ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit gegeben, man such aber die andere, so kann man sie mit
dem Satz von Bayes bestimmen:
() ∙ ۰ ‫= ۯ‬
()