Vektorgeometrie - mathcourses.ch

Vektorgeometrie
Hinweis: Die Aufgaben sind in 3 Gruppen gegliedert
• (G): Grundlagen, Basiswissen → einfache Aufgaben
• (F): Fortgeschritten → mittelschwere Aufgaben
• (E): Experten → schwere Aufgaben
Vorzeigeaufgaben:
Block
Stunde
1
1
(G) Kantonschule Aarau, Maturaprüfung 2008, siehe Seite 3
2
(G) Gymnasium St. Antonius, Appenzell, Maturaprüfung 2011, siehe Seite 4
3
(G/F/E) Kantonschule Zofingen, Aargau, Maturaprüfung 2011, siehe Seite 5
4
(G/F/E) Kantonschule Zofingen, Aargau, Maturaprüfung 2011, siehe Seite 5
1
(E) Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2011, siehe Seite 6
2
(G/F/E) Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2009, siehe
2
Aufgabe
Seite 7
3
(F) Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2011, siehe Seite 8
4
(E) Kantonschule Aarau, Maturaprüfung 2008, siehe Seite 9
1
Empfohlene Bearbeitungsreihenfolge für eigenständiges Lösen:
Block
Stunde
1
1
(G) Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2013, siehe Seite 10
2
(F) Kantonsschule Romanshorn, Thurgau, Maturaprüfung 2011, siehe Seite 11
3
(F) Gymnasium Muttenz, Baselland, Maturaprüfung 2011, siehe Seite 12
4
(G/F/E) Gymnasium Muttenz, Basel, Maturaprüfung 2011, siehe Seite 13
1
(E) Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2012, siehe Seite 14
2
(E) Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2012, siehe Seite 14
2
Aufgabe
3
4
gebrauchte Formeln:
   
b1
a1




→
−
→
−
   
−
→
−
a | · | b | cos ϕ
a · b = a2  · b2  = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3 = |→
   
b3
a3

    
b1
a2 · b 3 − a3 · b 2
a1

    
→
−

    
→
−
Vektorprodukt: a × b = a2  × b2  = −a1 · b3 + a3 · b1 

    
a3
b3
a1 · b 2 − a2 · b 1
→
−
−
→
→
−
Abstand Punktes P mit −
r→
P von der Geraden g: r = rA + t · rg :
→
− →
−
Abstand Punktes P mit −
r→
P von der Ebene E: n · r − k = 0:
−
−
→
|→
rg × (−
r→
P − rA )|
d=
−
|→
rg |
d=
−
|→
n ·−
r→
P − k|
→
−
|n|
−
→
−
→
−
−
→
→
−
Abstand zweier windschiefer Geraden g: →
r =−
r→
A + t · rg und h: r = rB + t · rh :
d=
−
−
−
→
|(→
rg × →
rh ) · ( −
r→
B − rA )|
−
−
|→
rg × →
rh |
2
Vektorgeometrie
Kantonschule Aarau, Maturaprüfung 2008 Parallelogramm
[(G)]
Es sind die Punkte A(1/9/ − 1), B(5/8/10) und D(2/ − 2/0) gegeben.
a) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C so, dass ABCD ein Parallelogramm ist.
b) Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms.
c) Durch A wird eine Parallele zur Diagonalen DB gelegt. Wo durchstösst diese Parallele die xy-Ebene?
Lösung:
a) C(6/ − 3/11),
b) F ≈ 127.7
c) S(1, 3/10/0)
3
Vektorgeometrie
Gymnasium St. Antonius, Appenzell, Maturaprüfung 2011 Ebene, Gerade und Winkel
[(G)]
 

2
3
 
 
 
 

Gegeben sei die Gerade g: ~r = 
 1  + t ·  1  , der Punkt P (2/3/ − 4) sowie die Ebenen E: x + 2y − 2z = 13 und
 
 
−1
−1
F : x − y + z = 3.

a) Bestimmen Sie die Abstände der Ebene E vom Ursprung und vom Punkt P .
b) Legen Sie eine parallele Ebene zu E durch P .
 
 
 
1
1
−1
 
 
 
 
 
 
 

c) Wie heisst die Koordinatengleichung der Ebene H: ~r = 
3 + u · 0 + v ·  0 ?
 
 
 
1
0
2
Beschreiben Sie die Lage von H.
d) Berechnen Sie die Schnittgerade s und den Schnittwinkel α von E und F .
e) Bestimmen Sie die Durchstosspunkte A und B der Geraden g mit den Ebenen E und F und berechnen Sie die
Länge der Strecke AB.
f) Wie gross ist der Einfallswinkel ϕ von g zur Ebene E ?
Lösung: a) dP = 1, dO = 13
 3
b) EP : x + 2y − 2z = 16 c) y = 3, ⊥ y-Achse
 
19
3
0


 
√
−
o
 
10 
d) s: →
r =
e) A(5/2/ − 2) , B(11/4/ − 4), d = 2 11
 3  + t · 1 α ≈ 54.7
 
 
0
1
4
f) ϕ0 ≈ 44.7o
Vektorgeometrie
Kantonschule Zofingen, Aargau, Maturaprüfung 2011 Gerade und Ebene
[(G): a) bis d) / (F): e) und f) / (E): g)]
Gegeben sind die Punkte P (6/4/3), Q(8/9/ − 1), A(6/ − 5/3) und die Gerade g durch die Punkte P und Q.
a) Zeigen Sie, dass der Punkt A nicht auf der Geraden g liegt.
b) Die Ebene E enthält den Punkt A und ist senkrecht zur Geraden g. Geben Sie die Koordinatengleichung von E
an.
c) Eine zweite Ebene F ist gegeben als F : x + 3y − 2z − 7 = 0. Bestimmen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen.
d) Bestimmen Sie den Winkel ϕ zwischen der Ebene F und der Geraden g.
e) Die Gerade g und die z-Achse sind windschief. Wie gross ist der kürzeste Abstand zwischen g und der z-Achse?
f) Gesucht sind die Koordinaten jenes Punktes C, der auf g liegt und von A den kürzesten Abstand hat. Wie gross
ist dieser Abstand?
g) Die Spitze S einer Pyramide mit der Grundfläche OAP (wobei O der Nullpunkt ist) liegt auf der Geraden g.
Bestimmen Sie die Koordinaten von S so, dass das Volumen der Pyramide 90 beträgt.
Lösung: a) A ∈
/g
e) d ==


 
−110
2


 
→
−

 
c) r = 
 39  + t · 0
 


1
0
b) E: 2x + 5y − 4z + 25 = 0
√22
29
f) C(4/ − 1/7) , d = 6
d) ϕ ≈ 84.89o
g) S1 (−2/14/ − 5) , S2 (−10/ − 6/11)
5
Vektorgeometrie
Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2011 Ebenen und Kugel
G
[(E)]
H
E
F
D
C
A
B
Von einem Quader
  kennt man die Eckpunkte A(3/2/1) und C(1/4/5). Der Punkt B liege auf der
 ABCDEFGH
1
1
 
 
 

Geraden g: ~r = 
2 + t ·  1 .
 
 
−2
9
a) Berechnen Sie die Koordinaten von B.
Verwenden Sie für die folgende Teilaufgabe nur den Punkt B mit der kleineren z-Koordinate. Falls Sie bei a)
den Punkt B nicht gefunden haben, verwenden Sie den falschen Punkt B ∗ (−2/1/1) .
b) Der Eckpunkt F liegt in der Ebene E: 4x + 8y + 5z − 38 = 0. Berechnen Sie seine Koordinaten.
Lösung:
14 11
a) B1 ( 11
3 / 3 / 3 ) und B2 (3/4/5) b) F (3/ −
18 86
11 / 11 )
6
[mit B2 gerechnet]
Vektorgeometrie
Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2009 Gerade und Ebene
[(G( (F) (E)]
Die Punkte A bis H sind die Ecken eines Quaders.
a) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene durch B, D und E.
b) Berechne den Neigungswinkel der Körperdiagonalen AG gegenüber .
c) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene φ durch E, die senkrecht auf ED steht. Welche spezielle Lage
hat φ?
d) Ein von B ausgehender Laserstrahl trifft nach einer ersten Reflexion an der Deckfläche EF GH und nach einer
zweiten an im Punkt H auf. Wie lang ist der Weg des Lichtes von B bis H?
Lösung:
a) :
x − y − 2z = 0
b) 35, 26o
c) 2x + z − 5 = 0, parallel zur y-Achse
7
d)
1
3
√
129
Vektorgeometrie
Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2011 Gerade und Ebene
[(F)]
Gegeben sind die drei Punkte A(9/5/ − 8) , B(1/9/0) und C(6/2/4).
a) Berechnen Sie den Dreieckswinkel α = ^BAC.
b) Zeigen Sie, dass der Punkt H(3/8/ − 2) Höhenfusspunkt der Höhe hc des Dreiecks ABC ist.
c) Geben Sie eine Parametergleichung sowie eine Koordinatengleichung der Ebene E = (ABC) an.
d) Spiegeln Sie den Punkt T (8/11/0) an der Ebene E.
e) Bestimmen Sie zwei Punkte P und Q in der Ebene E so, dass das Viereck ABP Q ein Quadrat ist.
Es muss für P und Q nur je eine Lösung angegeben werden.


 
 
9
−2
1

 



−
→ −
−
→
 
 
 
−
Lösung: a) α = 45o b) −
AH · CH = 0
c) →
r =  5  + u ·  1  + v ·  1 , 2x + 2y + z − 20 = 0
 
 
 
−8
2
−4
P (5/1/8) [zweite Lösung P(-3/17/-8) und Q(5/13/-16)]
8
d)T 0 (0/3/ − 4) e) Q(13/ − 3/0) und
Vektorgeometrie
Kantonschule Aarau, Maturaprüfung 2008 Kugel, Gerade und Tangente
[(E)]
 
 
1
1
 
 


 

Gegeben sind die Kugel K: x2 + y 2 + z 2 + 10x − 10y + 2z + 15 = 0, die Geraden ga : ~r = 
8 + t · 0 mit a ∈ R,
 
 
0
a
sowie die Punkte A(1/8/8), B(3/6/4), C(7/5/5), D(7/6/4) und E(9/7/13).
a) Bestimmen Sie a so, dass die Geraden ga und BC einander schneiden. Geben Sie den Schnittpunkt S und den
Schnittwinkel α an.
b) Geben Sie eine Gleichung der Geraden s an, die sowohl CD als auch g8 senkrecht schneidet.
c) Eine Kugel K1 mit dem Mittelpunkt M1 auf g5 soll CD und g8 als Tangenten haben. Geben Sie Mittelpunkt
und Radius dieser Kugel an.
d) Die Kugel K wird von der Ebene F : 2x − y − 2z + 4 = 0 in einem Kreis k geschnitten. Berechnen Sie dessen
Mittelpunkt und Radius.
Lösung:
√
rk = 3 3
a) a = 2, S(−5/8/2), α ≈ 19.47o
 
 
7
0
 
 
 
 
−
b) →
r = 8 + t · −1
 
 
8
−1
9
c) M1 (7 +
3
2
√
2/8/5 oder M1 (7 −
3
2
√
2/8/5. r = 3
d) Mk (−3/4/ − 3),
Vektorgeometrie
Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2013 Gerade und Ebene
[(G)]
 
 
−3
2
 
 
 
 

Gegeben sind die vier Punkte: A(3|6|5), B(2|2|4), C(−1| − 2|5), P (3| − 2|7) und die Gerade h: ~r = 
−2 + t · 2.
 
 
1
1
a) Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene E, welche die Punkte A, B und C enthält.
Falls Sie die Gleichung von E unter Teilaufgabe a) nicht bestimmen konnten, lösen Sie die Teilaufgaben b) und
c) mit der Ebenengleichung F : 2x–y + 2z–14 = 0 anstelle von E.
b) Gesucht ist die Gleichung der zu E parallelen Ebene H, welche durch den Punkt P geht.
c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Durchstosspunktes D der Geraden h mit der Ebene E.
d) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P von der Geraden h.
e) Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und C. Zeigen Sie, dass die Geraden g und h windschief sind.
Lösung:
a) E: 2x − y + 2z − 10 = 0
b) H: 2x − y + 2z − 22 = 0
10
c) D(3/4/4)
d) d = 6
e) g ∩ h = {}
Vektorgeometrie
Kantonsschule Romanshorn, Thurgau, Maturaprüfung 2011) Kugel, Ebene und Gerade
[(F)]
Auf der Ebene E: 4x − 3z + 15 = 0 liegt eine Kugel K mit dem Mittelpunkt M (5|4|–5).
a) Zeigen Sie, dass der Radius der Kugel r = 10 beträgt.
b) Berechnen Sie irgend einen Punkt auf der Kugeloberfläche.
0
c) Die Kugel wird an der Ebene E gespiegelt. Berechnen Sie den Mittelpunkt M der gespiegelten Kugel.
 
 
0
1
 
 
 
 

d) Beurteilen Sie rechnerisch, ob die Gerade g: ~r = 
−2 + t ·  2  die Kugel schneidet oder berührt.
 
 
−2
7
0
e) Geben Sie die Gleichung K der gespiegelten Kugel.
f) Bestimmen Sie die fehlende y–Koordinate des Punkts P (13|y|–5), welcher auf der Kugeloberfläche K liegt.
g) Berechnen Sie eine Koordinatengleichung der Tangentialebene T im Punkt Q(–1|4|3) der Kugeloberfläche K.
Lösung:
a) b) c) d) e) f) g)
11
Vektorgeometrie
Gymnasium Muttenz, Baselland, Maturaprüfung 2011 Gerade und Ebene
[(F)]
 

3
0
 
 
 
 

Gegeben sind die Gerade g: ~r = 
−7 + t · 1 und die Ebene E durch die Punkte K(1/1/ − 1), L(2/0/3) und
 
 
1
−8
M (2/1/1).

a) Bestimmen sie k so, dass E: −2x + 2y + z + k = 0 eine Koordinatengleichung der Ebene E ist.
b) Berechnen Sie die Koordinaten des Durchstosspunktes F der Geraden g mit der Ebene E.
c) Der Punkt P (3/ − 7/ − 8) wird an der Ebene E gespiegelt. Berechnen Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes
0
P .
0
d) Zeigen Sie rechnerisch, dass das gleichschenklige Dreieck P F P beim Punkt F einen rechten Winkel hat.
0
e) Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes R so, dass das Viereck P F P R ein Quadrat ist.
0
f) Das Quadrat P F P R ist die Grundfläche einer geraden Pyramide mit der Spitze S(0/5/ − 1). Berechen sie das
Volumen dieser Pyramide.
Lösung:
a) b) c) d) e) f)
12
Vektorgeometrie
Gymnasium Muttenz, Basel, Maturaprüfung 2011 Gerade und Ebene
[(G): a) / (F): b) / (E): c)]
Gegeben ist der Würfel ABCDEF GH mit den Eckpunkten A(6/0/0), B(6/6/0), C(0/6/0), D(0/0/0) und H(0/0/6).
Der Punkt P liegt auf der Raumdiagonalen BH.
a) Berechnen Sie eine Parametergleichung der Raumdiagonalen BH.
b) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P so, dass das Dreieck ACP bei P rechtwinklig ist.
c) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P so, dass das Dreieck ACP den Flächeninhalt F = 9 ·
Lösung:
a) b) c)
13
√
2 hat.
Vektorgeometrie
Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2012) Gerade und Ebene
[(E)]
 
 
−9
2
 
 
 
 

Gegeben sind die Punkte A(3/ − 4/7), B(−5|8|3) und die Gerade g: ~r = 
 5  + t · −3.
 
 
1
2
a) Zeige, dass die Gerade durch A und B und die Gerade g parallel, aber nicht identisch sind.
b) Bestimme auf g die Punkte C und D, sodass ABCD ein gleichschenkliges Trapez ist mit AB = 2 · CD.
Die Pyramide ABCD hat das Volumen V = 12150. Die Grundfläche ABC ist ein gleichschenklig-rechtwinkliges
Dreieck mit der Ecke A(37/20/16) und der Ecke C(0/0/0), wo sich der rechte Winkel befindet. Die Ecke B liegt in
der Ebene z = 13.
a) Berechne die Koordinaten von B (es ist nur die Lösung mit ganzzahligen Koordinaten anzugeben).
Wer Aufgabe a) nicht lösen konnte, löse die Aufgabe b) mit B(32/80/26).
b) Das Lot von der Spitze D auf die Ebene ABC geht durch den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC. Berechne die
Koordinaten von D (die Angabe einer Lösung genügt).
Lösung:
a) b)
a) b)
14