Figurierte Zahlen und operative Bewe Figurierte Zahlen und

Figurierte Zahlen und operative Bewei
Beweise
[nach Müller, Steinbring, Wittmann 2004, S.35ff]
Eine für die Verwendung von „Plättchen“ besonders aufschlussreiche Phase in der Geschichte der Mathematik ist die
„Arithmetik der Spielsteine“, die zu Beginn des 5. Jahrhunderts v. Chr. den Beginn der „beweisenden“ Mathematik
markierte und als Wiege der Zahlentheorie bezeichnet werden kann.“
[Müller, Steinbring, Wittmann 2004, S.35]
Operieren mit „Plättchen“ → Entdecken von Regelmäßigkeiten / Mustern in den Operationen → sprachliche Erfassung
der Operationen → Operativer Beweis
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FR 6.1 Mathematik
OStR Uwe Peters
Didaktik II: Arithmetik und Algebra
Folie 1 von 13
Eine gute Handvoll Beispiele
Gerade Zahlen
Ungerade Zahlen
Die Summe zweier ungerader Zahlen ist eine gerade
Zahl
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Didaktik II: Arithmetik und Algebra
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Quadratzahlen
1
1+3
1+3+5
1+3+5+7
1+3+5+7 +9
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
=1
=4
=9
= 16
= 25
= 36
Dreieckszahlen
∆1=1 ∆2=1+2 ∆3=1+2+3 ∆4=1+2+3+4 ∆5=1+2+3+4+5
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Für alle n∈IN gilt: ∆n = ½ ⋅ n ⋅ (n+1)
n
n+1
Für alle n∈IN gilt: ∆n + ∆n+1 =(n+1)2
n+1
n+1
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2n+1
1
Für alle n∈IN gilt: 1+4+9+...+n = n ⋅ (n + 1) ⋅ ( 2n + 1)
6
2
½ n (n+1)
In diesem Beispiel erschließt sich die Allgemeingültigkeit des
Arguments nicht unmittelbar !
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Wir haben gesehen, welche verblüffenden Einsichten in
arithmetische Gesetzmäßigkeiten den figurierten Zahlen abzugewinnen sind. Was aber den figurierten Zahlen keineswegs abzulesen ist, das sind die Einsichten in die Gesetzmäßigkeiten der Erzeugungshandlungen ... Diese Handlungen sind vielmehr in jeder
gelegten Flächenzahl verschwunden. Einsicht ist hier also nicht
durch weitere erzeugende Legungen zu gewinnen, sondern nur
durch die Reflexion auf das erzeugende Legen mit diesen spezifischen Elementen selbst. Diese Reflexion auf das erzeugende Legen selber setzt nun aber voraus, daß die Erzeugungshandlungen
nicht jeweils in der gelegten Zahl als Produkt erlöschen, sondern
eine Daseinsweise haben, die den Legeakt überdauert. Diese
dauerhafte Daseinsweise können sie, ihrer Natur als Akte entsprechend, nur in einem Repräsentanten haben.
Wenn nun die Sprache der Reflexion auf das erzeugende Legen
die Erzeugungshandlungen dauerhaft und gegenständlich repräUniverität des Saarlandes WS 2009/2010
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sentiert, so erfüllt sie damit die Funktion eines spezifischen Erkenntnismittels. Die gesetzmäßigen Beziehungen zwischen den Erzeugungshandlungen und den spezifischen Elementen dieser Arithmetik können entdeckt und selbst sprachlich abgebildet werden, weil es der Erkenntnis möglich ist, sich auf diese Erzeugungshandlungen und ihren Zusammenhang als Gegenstand zu
beziehen, wenn die Handlungen in der Sprache gegenständlich
repräsentiert sind.
[Lefèvre, zitiert nach Müller, Steinbring, Wittmann 2004, S.38]
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Trapezzahlen
Die n-te Trapezzahl Tn entsteht als figurierte Zahl, indem man
auf die n-te Quadratzahl die (n-1)-te Dreieckszahl aufsetzt:
2
−n
n
1
3
2
Tn = n + (n − 1) ⋅ n =
2
2
T1=1 T2=5
T3=12
T4=22
Für alle n∈IN gilt: Tn lässt bei Division durch 3 denselben
Rest wie n.
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Ein operativer Beweis
mit den Seiten n und n−1, das sich durch eine
„Fastdiagonale“ wie bekannt zweimal in ∆n−1 zerlegen lässt. Da 3⋅∆n−1 durch 3 teilbar ist, lässt Tn insgesamt bei Division durch 3 denselben Rest wie n.
n
Trennt man von Tn links eine Säule der Höhe n
ab, so lässt sich der Rest dreimal in die Dreieckszahl ∆n−1 zerlegen, denn unter der aufgesetzten
(rot markierten) Dreieckszahl ∆n−1 liegt ein Rechteck
Der analoge formale Beweis
3 2 1
3 2 3
2 1
Tn = n + (n − 1) ⋅ n = n − n = n − n + n = 3 ⋅ ∆n−1 + n
2
2
2
2
2
Vergleichen Sie die beiden Beweise miteinander!
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[Michael Stifel, 1553]
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Zahlen geschickt addieren
[nach Müller, Steinbring, Wittmann 2004, S.55ff]
Ein Beispiel: Summengleiche Teilmengen einer Menge aufeinanaufeinanderfolgender Zahlen
Für welche natürlichen Zahlen n ist es möglich, die Menge Sn={1,2,3,...,n}
in zwei summengleiche Teilmengen zu zerlegen?
Das gleiche Problem in kindgerechter, „enaktiver“ Formulierung: Du sollst
versuchen, die Stäbe aus einer Treppe so umzulegen, dass zwei gleichlange
Stäbe entstehen. Du kannst dir aussuchen, mit welcher Treppe du beginnst.
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Eine mögliche Lösung des Problems
Problems
Eine Zerlegung ist nicht möglich, wenn die Summe der ersten n
1
natürlichen Zahlen, also n ⋅ (n + 1), ungerade ist.
2
Beweis der Summenformel mit figurierten Zahlen (s.o.) oder
durch „geschicktes Addieren“:
1
+
2
+
3
+ K + (n − 2) + (n − 1) +
n
n
+ (n − 1) + (n − 2) + K +
3
+
2
+
1
(n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + K + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1
1
Da entweder n oder (n+1) gerade ist, ist n ⋅ (n + 1) genau dann
2
gerade, wenn n oder (n+1) durch 4 teilbar ist. Wenn n bei Division durch 4 den Rest 1 oder 2 lässt, ist die Zerlegung also
nicht durchführbar.
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Die Zerlegung ist möglich, wenn n bei Division durch 4 den Rest
0 oder 3 lässt. Dies lässt sich wiederum durch „geschicktes Addieren“ beweisen:
1+2+3+4
1+2+3+4+5+6+7+8
Wenn n durch 4 teilbar ist, lässt sich immer eine gerade Anzahl
summengleicher Pärchen bilden.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11
Wenn n bei Division durch 4 den Rest 3 lässt, so lassen sich die
letzten (n−3) Zahlen wie im ersten Fall zusammenfassen; die
Zahlen 1, 2 und 3 lassen sich anschließend aufteilen.
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