Schwerevektor, Normalschwerevektor und

Schwerevektor, Normalschwerevektor und Schwerestörungsvektor
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Ellipsoidnormale, Schwerevektor, Normalschwerevektor und Schwerestörungsvektor
1. Ellipsoidnormale
Bei der Festlegung der Position eines Punktes bezieht man sich auf ein Referenzellipsoid, welches sich
möglichst gut der Erdoberfläche anpaßt. Dieses Referenzellipsoid ist zunächst durch seine Halbachsen a
und b festgelegt und wird so positioniert, das seine drei Körperachsen mit den Basisvektoren des
globalen, terrestrischen Systems zusammenfallen. Jeder Punkt im Raum kann nun mit Hilfe der
) beschrieben werden. Dabei ergibt sich folgender
Flächennormalen (Ellipsoidnormale
Zusammenhang zwischen den ellipsoidischen Koordinaten
und den kartesischen Koordinaten in
Bezug auf das terrestrische System :
N: Querkrümmumgshalbmesser mit
2. Schwerevektor
Der Schwerevektor
ist der Gradient des Schwerepotentials W.
In jedem Punkt P kann durch astronomische und gravimetrische Messungen der Schwerevektor
bestimmt werden. Seine Richtung wird durch die astronomische Breite und die astronomische Länge
in einer orthonormalen Basis
dargestellt. Da zwischen den Systemen
und Achsparallelität
herrscht, werden die Komponenten von nach einer entsprechenden Verschiebung im globalen,
terrestrischen Systems angegeben.
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Der Betrag des Schwerevektors, die Schwere g, nimmt mit größer werdendem Abstand von der
Erdoberfläche ab. Die Richtung des Vektors zeigt also nach unten (Erdoberfläche). Aus diesem Grund
führt man seine Vektorkomponenten mit einem negativen Vorzeichen ein. Im lokalen, astronomischen
Zenitsystem zeigt somit in die entgegengesetzte Zenitrichtung
.
3. Lotabweichung
Alle geodätischen Messungen unterliegen dem Einfluß des Schwerefeldes. So beschreibt ein am
Meßinstrument installiertes Lot die Richtung des Schwerevektors . Da man sich aber bei Berechnungen
bezieht, muß die Messung mit Hilfe der
auf das Ellipsoid und damit auf die Ellipsoidnormale
Lotabweichung , dem Winkel zwischen Ellipsoidnormale und Schwerevektor, umgerechnet werden.
Zur Veranschaulichung der Lotabweichung legt man in den Punkt P eine Einheitskugel, auf welcher
sich die Zenitrichtung
der lokalen, astronomischen Basis und die Zenitrichtung
der lokalen
ellipsoidischen Basis als Durchstoßpunkte abbilden. Verwendet man für die Einheitskugel eine zur
globalen, terrestrischen Basis parallele Basis, stellt sich die Lotabweichung als sphärischer Abstand
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zwischen den Durchstoßpunkten dar. und
auf dem Meridian bzw. auf dem Kleinkreis
von an.
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sind dabei die sphärischen Abstände der Durchstoßpunkte
und geben die Nord-Süd - bzw. die Ost-West-Komponente
Das auf der Einheitskugel entstandene sphärische Dreieck bildet die Grundlage für die Berechnung der
Lotabweichungskomponenten. Nachdem in den Gleichungen für die sphärischen Dreiecksbeziehungen
Vereinfachungen wegen kleiner Winkel eingeführt werden, erhält man die Formeln:
, wodurch sich auch die Vorzeichenfestlegungen für
und
ergeben.
4. Normalschwerevektor
Zur mathematischen Beschreibung von W definiert man sich zunächst ein Schwerepotential U mit Bezug
auf ein Referenzellipsoid, welches in der Literatur als Normalpotential bezeichnet wird.Die Differenz des
tatsächlichen Erdschwerepotentials W und des Normalpotentials U ergibt das Störpotential T.
Der Gradient des Normalpotentials ist der Normalschwerevektors
.
Die Komponenten von sind ebenso wie die Komponenten von
Funktionen von Parametern des
Referenzellipsoides. Beide Vektoren liegen damit in der gleichen Meridianebene mit der ellipsoidischen
Länge und unterscheiden sich nur in ihrer Breite bzw.
.
Die Abweichung zwischen und
wird ebenfalls in Nord-Süd bzw. Ost -West-Komponenten
aufgeteilt. Der Winkel in Ost-West-Richtung ist in diesem Fall wiederum . In Nord-Süd-Richtung
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entsteht jedoch ein anderer Winkel, der als
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bezeichnet wird. Legt man wiederum die Einheitskugel in
den Punkt P, stellen sich die Winkel wie folgt dar:
Definiert man mittels des Normalschwerevektors ein lokales Koordinatensystem
Hauptrichtung in die entgegengesetzte Richtung von
, dessen
zeigt, lauten die Komponenten von
:
5. Schwerestörungsvektor
Der zum Störpotential T gehörende Gradient wird als Schwerestörungsvektor
bezeichnet.
Es ergibt sich aus der Formel: T = W-U für den Gradienten von T:
grad T = grad W - grad U.
Daraus folgt:
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Um die Komponenten von
berechnen zu können, müssen und im gleichen lokalen System
vorliegen. wird deshalb ins lokale, astronomische Zenitsystem transformiert. Das lokale
Normalschweresystem
ist genau wie die lokale, astronomische Basis
ein Linkssystem, so daß
für die Aufstellung der Rotationsmatrizen gilt:
!
Für die Basistransformation ergibt sich folgende Formel:
.
Da sich die Vektorkomponenten wie die Basis des Vektors transformieren, erhält man die Komponenten
auf die gleiche Art und Weise.
von im System
Nach Einführung der Vereinfachungen
mit
lauten die Formeln:
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Der Normalschwerevektor im lokalen, astronomischen Zenitsystem lautet dann:
Jetzt läßt sich die Differenz bilden:
Nach dem Ausklammern des Vorzeichens ergeben sich die Komponenten des Schwerestörungsvektors im
lokalen astronomischen System:
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