Mathematische Methoden I (WS 10/11)

Mathematische Methoden I (WS 10/11)
Übung XIII (Abgabe: 24.01.11)
1. Auswahl (2 Punkte)
Zeigen Sie, dass für die Zahl Nk der Möglichkeiten bei Auswahl von k Elementen
aus einer Menge von n Elementen folgendes gilt (siehe Vorlesung):
(a) mit Zurücklegen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge:
n+k−1
Nk =
k
(b) ohne Zurücklegen, mit Berücksichtigung der Reihenfolge:
Nk =
n!
(n − k)!
2. Modifiziertes Lotto (2∗ Punkte)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Ziehen von 5 Kugeln aus einer Urne
mit 35 Kugeln genau die Zahlen 1, 10, 27, 33, 34 (in beliebiger Reihenfolge) zu
ziehen?
3. Permutationen (1∗ Punkte)
Wieviele Permutationen der Buchstaben {a, b, c, d, d} gibt es?
4. Festplatten (3∗ Punkte)
Von 500 Festplatten sind 10 defekt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist unter 10
zufällig ausgewählten Festplatten genau eine defekt? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist von 100 zufällig ausgewählten Festplatten mindestens eine fehlerhaft?
5. Verteilungen (4 Punkte)
Berechnen Sie den Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung der folgenden Verteilungen:
(a) Poisson-Verteilung:
pλ (X = k) =
(b) Normalverteilung (Gauß-Verteilung):
λk −λ
e
k!
mit k = 0, 1, 2, . . . ,
1
2
)
.
p(x) = √2πσ
exp − 12 ( x−µ
σ
6. Erdbeertorte (3 + 2∗ Punkte)
Ein Gast möchte in einem Restaurant den Nachtisch wählen, der mit der größten
Wahrscheinlichkeit bezüglich der Qualität am besten ist. Es gibt zur Auswahl:
1. Himbeertorte, die mit der Wahrscheinlichkeit 100% die Güte 4 (ausreichend)
hat,
2. Erdbeertorte, die mit der Wahrscheinlichkeit 51% die Güte 6 (ungenügend)
und mit 49 % die Güte 2 (gut) besitzt und
3. Schokopudding, der mit der Wahrscheinlichkeit 22% die Güte 1 (sehr gut), mit
22% die Güte 3 (befriedigend) und mit 56% die Güte 5 (mangelhaft) hat.
(a) Nehmen wir an, es gibt nur Himbeertorte und Erdbeertorte zur Auswahl.
Welchen Nachtisch muss der Gast wählen, damit er mit größter Wahrscheinlichkeit den besseren der beiden Nachtische bekommt? Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er den besseren gewählt?
(b) Nun kommt der Schokopudding hinzu. Welchen Nachtisch wählt der Gast
nun, um mit größter Wahrscheinlichkeit den besten der drei zu erhalten?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er den besten Nachtisch gewählt?
(c)∗ Analog zu (a), mit Erdbeertorte und Schokopudding.
(d)∗ Analog zu (a), mit Himbeertorte und Schokopudding.
7. Glücksspirale (4 Punkte)
Bei der ersten Ziehung in der Glücksspirale 1971 wurde nichts dem Zufall überlassen. Um die 7-stellige Glücksnummer zu erhalten, wurden je 7 Kugeln mit den
zehn Ziffern 0 bis 9 in eine Trommel gegeben. Die Gewinnzahl setzte sich aus
7 nacheinander daraus gezogenen Kugeln zusammen (in der Reihenfolge ihrer
Ziehung; ohne Zurücklegen der Kugeln).
Es wurde behauptet, dass bei diesem Verfahren alle möglichen 7-stelligen Zahlen
mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen würden.
Heutzutage gibt es 7 Trommeln mit je 10 Kugeln mit Ziffern von 0 bis 9, und
aus jeder Trommel wird eine Kugel gezogen, um die 7-stellige Glücksnummer zu
erhalten.
Welche Gewinnzahlen waren in der ersten Ziehung die wahrscheinlichsten und
welche die unwahrscheinlichsten, und wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es
jeweils, diese wahrscheinlichste/unwahrscheinlichste Gewinnzahl zu ziehen? Ist
im aktuellen Verfahren jede 7-stellige Zahl gleich wahrscheinlich?
8. Würfel (5∗ Punkte)
Betrachten Sie das folgende Würfelspiel. Wenn man vier mal würfelt und keine
6 erhält, hat man gewonnen, anderenfalls verloren. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen?
Im 17. Jahrhundert war dies ein beliebtes Glücksspiel. Damals wurde vom französischen Hobbygelehrten und Provinzadeligen Chevalier de Méré eine scheinbar
logische Abwandlung des Spiels vorgeschlagen, die angeblich die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit ergeben sollte: es werden zwei Würfel verwendet und falls man
bei 24 Würfen keinen Sechserpasch würfelt, hat man gewonnen. Die Argumente
schienen einfach: wenn man mit dem ersten Würfel eine sechs gewürfelt hat, ist
die Wahrscheinlichkeit einen Sechserpasch zu würfeln ein sechstel. D.h. um die
gleiche Wahrscheinlichkeit wie im anderen Spiel zu bekommen, muss man einfach
sechs mal so häufig würfeln. Wie groß ist aber tatsächlich die Wahrscheinlichkeit,
bei diesem Spiel zu gewinnen, und welcher Fehler wurde in der Argumentation
gemacht? Welche Folgen hatte diese Abwandlung für die Spieler?