Abbildungen - FB3

Definitionen und Ergänzungen zum Begriff der Abbildung
Definition
Eine Abbildung f : A → B besteht aus einer Menge A, dem Definitionsbereich, einer Menge
B, dem Bildbereich oder auch Wertebereich und einer Vorschrift, die jedem Element x ∈ A
ein eindeutig bestimmtes Element f ( x) ∈ B zuordnet.
Definition (injektiv, surjektiv, bijektiv)
Sei f : A → B eine Abbildung.
f heißt injektiv, wenn
∀x, y ∈ A : f ( x) = f ( y ) → x = y
Sind also bei einer injektiven Abbildung zwei Bilder gleich, dann auch die zugehörigen
Urbilder. Im Umkehrschluß bedeutet dies: Sind die Urbilder verschieden, so auch die Bilder.
∀y ∈ B ∃x ∈ A : y = f ( x) .
f heißt surjektiv, wenn
Bei einer surjektiven Abbildung kommt also jedes Element des Wertebereichs als Bild eines
Elementes des Definitionsbereichs vor.
f heißt bijektiv, wenn
f sowohl injektiv wie surjektiv ist.
Definition (Bildmenge, Urbildmenge)
Sei f : A → B eine Abbildung.
Ist U ⊂ A , so setzt man f (U ) := { f ( x)| x ∈ U } und nennt f(U) die Bildmenge von U. Die
Bildmenge von U ist eine Teilmenge des Wertebereichs. Offenbar ist f genau dann surjektiv,
wenn f ( A) = B .
Ist V ⊂ B , so setzt man f −1 (V ) := { x ∈ A | f ( x) ∈ V } und nennt f −1 (V ) die Urbildmenge von
V. Offenbar ist f −1 (V ) ∈ A .
Definition (Verknüpfung von Abbildungen)
Seien Abbildungen f : A → B und g : B → C gegeben. Durch die Abbildungsvorschrift
A → C
wird eine neue Abbildung definiert, die man mit g f bezeichnet. Man setzt
x → g ( f ( x))
also ( g f )( x) := g ( f ( x))
Definition (identische Abbildung)
A →A
Die Abbildung
nennt man die identische Abbildung auf A, „ id A “ und schreibt auch
x → x
id : A → A .
Definition (Umkehrabbildung)
Sei f : A → B bijektiv. Zu jedem y ∈ B existiert dann ein eindeutig bestimmtes x ∈ A mit
f ( x) = y . Umgekehrt wird durch die Zuordnung y → x eine (ebenfalls bijektive) Abbildung
B → A definiert, die man Umkehrabbildung von f nennt und mit f −1 bezeichnet.
Offenbar gilt f −1 f = id A , f f −1 = id B .
Bemerkung: Die Definition der Urbildmenge f −1 (V ) setzte nicht voraus, dass f bijektiv ist
und dass die Umkehrabbildung f −1 überhaupt existiert. Ist dagegen f bijektiv, so könnte man
mit der Schreibweise f −1 (V ) ja auch die Bildmenge von V unter der Umkehrabbildung
meinen. Glücklicherweise kommt das aber auf dasselbe heraus.
Abbildungen und Mengenalgebra
Sei f : A → B eine Abbildung, U ,U1 ,U 2 ⊂ A, V ,V1 ,V2 ⊂ B . Dann gilt:
f (U1 ∩ U 2 ) ⊂ f (U1 ) ∩ f (U 2 )
f −1 (V1 ∩ V2 ) = f (V1 ) ∩ f (V2 )
f (U1 ∪ U 2 ) = f (U1 ) ∪ f (U 2 )
f −1 (V1 ∪ V2 ) = f (V1 ) ∪ f (V2 )
f ( A − U ) ⊃ f ( A) − f (U )
f −1 ( B − V ) = f −1 ( B) − f −1 (V )
Die Formeln mit f −1 sind offenbar „schöner“.
Daß in zwei der Formeln i.a. keine Mengengleichheit gilt, überlege man sich anhand
konkreter Beispiele mit nicht-injektiven Abbildungen.
Dies ist alles nicht besonders tiefsinnig, aber bei vielen Überlegungen nützlich.
Mächtigkeit von Mengen
Zwei Mengen A,B heißen „gleichmächtig“, wenn es eine bijektive Abbildung f : A → B gibt.
A heißt „mächtiger“ als B wenn es eine surjektive Abbildung f : A → B gibt, aber keine
injektive. Ist A mächtiger als B , so kann man zeigen, daß dann eine injektive Abbildung
g : B → A existiert.
Eine Menge A heißt „endlich“, wenn es eine natürliche Zahl n gibt und eine bijektive
Abbildung n → A . In diesem Fall ist n eindeutig bestimmt und gerade die Elementezahl
der Menge A, man schreibt auch n = A . Eine Menge heißt unendlich, wenn sie nicht endlich
ist. Die Menge der natürlichen Zahlen ist in dem Sinne die kleinste unendliche Menge, als
man zeigen kann, daß jede andere unendliche Menge gleichmächtig oder mächtiger ist.
Interessanterweise sind die rationalen Zahlen gleichmächtig zur Menge der natürlichen
Zahlen, aber die reellen Zahlen sind mächtiger.
Die Potenzmenge ( A) , also die Menge der Teilmengen einer Menge A ist immer mächtiger
als A selbst. Für endliche Mengen scheint das klar, für unendliche weniger. Zum Beweis
nimmt man an, es gebe eine bijektive Abbildung f : A → ( A) und formt nun die Menge
R := { x ∈ A x ∉ f ( x)} . Offenbar ist R ⊂ A , damit R ∈ ( A) , und wegen der Surjektivität
von f muß es ein Element r ∈ A geben mit f (r ) = R . Wäre jetzt r ∈ R , so folgte auf Grund
der Definition von R daß r ∉ f (r ) , also r ∉ R . Wäre r ∉ R , also r ∉ f (r ) , so müßte auf
Grund der Definition von R aber gerade r ∈ R gelten1. Damit haben wir einen Widerspruch
zur Annahme, daß eine bijektive Abbildung f : A → ( A) existierte. ( A) muß also
mächtiger sein als A .
Zurück zu den natürlichen und reellen Zahlen: Man zeigt, daß die Menge der reellen Zahlen
mindestens gleichmächtig der Potenzmenge der natürlichen Zahlen sind, nach obigem
Argument also mächtiger als die Menge der natürlichen Zahlen sein muß. Die Beweisidee ist
die, daß man eine Teilmenge A der natürlichen Zahlen durch einen „Bitstring“,
b1b2b3 bn also eine Folge von Nullen und Einsen charakterisieren kann: man setzt
bn = 1 wenn n ∈ A und bn = 0 wenn n ∉ A . Andererseits kann man den Bitstring mit der
reellen Zahl 0, b1b2b3 bn
identifizieren (unendlicher Dezimalbruch). Damit hat man eine
injektive Abbildung von der Potenzmenge der natürlichen Zahlen in die Menge der reellen
Zahlen. Damit sind die reellen Zahlen mächtiger als die natürlichen.
1
Das Argument erinnert zu Recht an die Russelsche Antinomie. Es kommen aber nur „harmlose“
Mengenbildungen vor: das Argument ist legitim!