Grundlagen der Elektrotechnik (GET)

Grundlagen der Elektrotechnik (GET)
Schule: HTBLuVA St. Pölten
Abteilung / Zweig: Elektronik
Lehrperson: Prof. Dipl.-Ing. Georg Panny
Jahrgang: 2003 / 04
Klasse: 2AHEL
1 Anmerkung
Rechenbeispiele sind mit einem Strich auf der Seite gekennzeichnet.
2 Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
Anmerkung......................................................................................................................... 2
Inhaltsverzeichnis............................................................................................................... 2
Formeln 1. Klasse............................................................................................................... 4
Wiederholung ..................................................................................................................... 8
Leistungsanpassung.......................................................................................................... 11
Felder................................................................................................................................ 13
6.1
Induktionsgesetz....................................................................................................... 15
7
Ausgleichvorgänge........................................................................................................... 16
7.1
Besondere Eigenschaften von ex .............................................................................. 19
7.1.1
Anfangswert und Endwert................................................................................ 20
7.2
Schwingkreise .......................................................................................................... 30
8
Kapazitätsmessung ........................................................................................................... 31
9
Rückschlagspannung einer Spule..................................................................................... 36
10
DC Wandler (Inverter) ................................................................................................. 40
11
Rechteckverhalten von L und C ................................................................................... 43
12
Kondensatorwandler (Ladungspumpe) ........................................................................ 49
13
Wechselstromtechnik ................................................................................................... 51
13.1 Darstellung von Wechselgrößen .............................................................................. 51
13.2 Satz von Fourier ....................................................................................................... 51
13.3 Entstehung einer sinusförmigen Wechselgröße ....................................................... 52
13.4 Kennwerte von Wechselgrößen ............................................................................... 53
13.4.1
Linearer Mittelwert, Gleichanteil..................................................................... 53
13.4.2
Gleichrichtwert................................................................................................. 53
13.4.3
Effektivwert RMS (Root Mean Square)........................................................... 54
13.4.4
Formfaktor, Scheitelfaktor ............................................................................... 55
13.5 Überlagerund (Addition) von U, I, P........................................................................ 58
13.5.1
Gleiche Frequenzen.......................................................................................... 58
13.5.2
Unterschiedliche Frequenzen ........................................................................... 58
13.6 Zeigerdarstellung („Zeigerdiagramm“).................................................................... 59
13.6.1
Zusammenhang zwischen Zeigerdiagramm und Oszillogramm...................... 59
13.7 Addition und Subtraktion sinusförmiger Größen..................................................... 61
13.8 R, L, C im Wechselstromkreis ................................................................................. 62
13.8.1
Widerstand R.................................................................................................... 62
13.8.2
Induktivität L (ideal) ........................................................................................ 62
13.8.3
Kapazität C (ideal) ........................................................................................... 63
13.9 Komplexe Zahlen C ................................................................................................. 65
13.9.1
Rechenregeln.................................................................................................... 65
13.9.2
Geometrische Interpretation............................................................................. 66
13.9.3
Umrechnung zwischen den Darstellungsarten ................................................. 66
*
13.9.4
Konjungiert komplexe Zahl: Z ...................................................................... 67
13.9.5
Potenzieren und Wurzelziehen......................................................................... 68
13.10
R, L, C in symbolischer Schreibweise ................................................................. 69
HTL / GET
2AHEL
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13.10.1
R ................................................................................................................... 69
13.10.2
L ................................................................................................................... 69
13.10.3
C ................................................................................................................... 70
13.10.4
R, L Serienschaltung .................................................................................... 70
13.10.5
R, C Serienschaltung .................................................................................... 71
13.10.6
R, L, C Serienschaltung................................................................................ 72
13.10.7
R, L Parallelschaltung .................................................................................. 73
13.10.8
R, C Parallelschaltung .................................................................................. 73
13.10.9
R, L, C Parallelschaltung.............................................................................. 74
13.11
Widerstand – Leitwert.......................................................................................... 75
13.11.1
Gemischte Schaltungen ................................................................................ 80
13.12
Zeigerdiagramme ................................................................................................. 84
13.13
Leistungen im Wechselstromkreis ....................................................................... 85
13.13.1
R ................................................................................................................... 85
13.13.2
L ................................................................................................................... 86
13.13.3
C ................................................................................................................... 87
13.13.4
RL, RC ......................................................................................................... 87
HTL / GET
2AHEL
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3 Formeln 1. Klasse
Durchflutung Θ
Θ = N ⋅I
Durchflutung = Windungszahl ⋅ Stromstärke
Bei mehreren Stoffen:
(H1 ⋅ l1 + H 2 ⋅ l2 )
Θ = ∑ H ⋅l
Stromdurchflossener gerader Leiter
N ⋅ I = H ⋅l
Windungszahl ⋅ Stromstärke = Feldstärke⋅ Länge
H=
I
2π ⋅ r
Feldstärke =
Stromstärke
2π ⋅ Radius
Im Inneren des Leiters:
Hi =
I
⋅r
2π ⋅ r0
innere Feldstärke =
Stromstärke
⋅ Radius
2π ⋅ Radius des Leiters
Magnetfeld einer Zylinderspule
lange schlanke Spule
Θ = N ⋅ I = H ⋅l
N ⋅I
l
Durchflutung = Windungszahl ⋅ Stromstärke = Feldstärke ⋅ Länge
H=
kurze dicke Spule
H=
N ⋅I
D
HTL / GET
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Feldstärke =
Windungszahl ⋅ Stromstärke
Durchmesser
Magnetfeld einer Ringspule
Θ = N ⋅ I = H ⋅ D ⋅π
Durchflutung = Windungszahl ⋅ Stromstärke = Feldstärke ⋅ mittlerer Durchmesser ⋅ Pi
H=
N ⋅I
Dπ
Feldstärke =
Windungszahl ⋅ Stromstärke
mittlerer Durchmesser ⋅ Pi
Magnetischer Fluss Φ
Einheit:
Φ = Vs (Voltsekunde) = Wb (Weber)
Magnetische Flussdichte B
Einheit:
B=
T (Tesla)
( Vsm² )
Φ
A
magnetische Flussdichte =
magnetischer Fluss
Fläche
Permeabilität µ
Einheit:
μ=
Vs
Am
B
H
Permeabilität =
magnetische Flussdichte
Feldstärke
Permeabilität des leeren Raumes µ0
B = μ0 ⋅ H
magnetische Flussdichte = magnetische Feldkonstante ⋅ Feldstärke
μ0 = 4π ⋅10−7
Vs
Am
relative Permeabilität µr
μr = 1
HTL / GET
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Induktivität L
Vs
= H (Henry)
A
Einheit:
L=
Φ
I
Induktivität =
magnetischer Fluss
Stromstärke
Induktivität einer Spule
L = N2 ⋅
μ⋅A
l
Induktivität = Windungszahl 2 ⋅
Permeabilität ⋅ Querschnitt
Länge
Induktivität einer Luftspule
L = μ0 ⋅ N 2 ⋅
A
A
= 4π ⋅10 −7 ⋅ N 2 ⋅
l
l
Induktivität = Permeabilität des leeren Raumes ⋅ Windungszahl 2 ⋅
Querschnitt
Länge
Magnetischer Widerstand
Rm =
l
μ⋅A
Magnetischer Leitwert
AL =
1
Rm
Ohmsches Gesetz der Magnetik
Φ=
Um
Θ H ⋅l N ⋅ I
=
=
=
Rm Rm
Rm
Rm
elektrischer Widerstand
HTL / GET
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R=
U
I
Widerstand =
R = ρ⋅
Spannung
Stromstärke
l
A
Widerstand = spezifischer Widerstand ⋅
G=
Länge
Querschnittsfläche
1
R
Leitwert =
1
Widerstand
Wärmeabhängiger Widerstand
(
)
Rϑ = R20 1 + α (ϑ − 20°C ) + β (ϑ − 20°C ) + ...
2
Rθ…Widerstand bei θ Grad
R20…Widerstand bei 20 Grad
θ…Temperatur des Widerstands Rθ
α…linearer Temperaturkoeffizient
β…quadratischer Temperaturkoeffizient
ϑK = 20°C −
1
α
Rϑ
ϑ − ϑK
=
R20 20°C − ϑK
Rϑ1
Rϑ2
=
ϑ1 − ϑK
ϑ2 − ϑK
elektrische Stromstärke I
I=
Q
t
Stromstärke =
F=
Ladungsmenge
Zeit
μ0
l
⋅ I1 ⋅ I 2 ⋅
2π
a
F…Kraft
µ0…Permeabilität des leeren Raumes
I1, I2…Ströme
l…Leiterlänge
a…Leiterabstand
HTL / GET
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Kraft
2
F=
B0
⋅A
2μ0
Drehspulinstrument
F = B ⋅ I ⋅l ⋅ N
Elektromotor
F = B ⋅l ⋅ I
4 Wiederholung
Ohm’sches Gesetz
U = I ⋅R
Kirchhoff
Knotenregel
Maschenregel
Spannungsteilerregel
HTL / GET
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Die Spannungen verhalten sich wie die Widerstände, an denen sie abfallen, wenn diese
Widerstände vom gleichen Strom durchflossen sind.
U2 = U0 ⋅
R2
R2 + R1
Stromteilerregel
Die Ströme verhalten sich wie Kehrwerte der Widerstände (= Leitwerte), durch die sie
fließen, wenn die Widerstände an der gleichen Spannung liegen.
I1 = I 0 ⋅
R2
R2 + R1
Ersatzschaltbild
Voraussetzungen
• Klemmen definieren
• Ausschließlich lineare Bauelemente
U 0 = I 0 ⋅ Ri
HTL / GET
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HTL / GET
2AHEL
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Original und ESB müssen von den Klemmen aus betrachtet identisches Verhalten zeigen (das
heißt gleiche Werte für Klemmenspannung und Klemmenstrom für beliebige
Lastwiderstände). Insbesondere müssen Leerlaufspannung, Kurzschlussstrom und
Innenwiderstand übereinstimmen. (2 von 3)
Beachte:
Leerlaufspannung und Kurzschlussstrom werden grundsätzlich an den Klemmen gemessen!
Zur Bestimmung des Ri müssen immer alle Quellen auf Null gesetzt werden.
5 Leistungsanpassung
Leistung im Lastwiderstand:
P =U ⋅I =
U = U0 ⋅
U2
= I 2 ⋅ RL
RL
RL
RL + Ri
2
⎛
RL ⎞
RL2
2
⎜
⎟
⋅
U
⋅
U
0
0
RL + Ri ⎟⎠
U 2 ⎜⎝
RL2 + 2 RL Ri + Ri2
U 02 ⋅ RL
= 2
=
=
PL =
RL
RL
RL
RL + 2 RL Ri + Ri2
I=
U0
U 02 ⋅ RL
→ PL = I 2 ⋅ RL = 2
Ri + RL
RL + 2 RL Ri + Ri2
HTL / GET
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RL = 0 → PL = U 02 ⋅
0
= U 02 ⋅ 0 = 0W
0 + 2 ⋅ 0 ⋅ Ri + Ri2
RL = ∞ → PL = U 02 ⋅
2
∞
∞
1
= U 02 ⋅ 2 = U 02 ⋅ = 0W
2
∞ + 2 ⋅ ∞ ⋅ Ri + Ri
∞
∞
2
Der Verlauf von PL als Funktion von RL hat ein Maximum für RL = Ri, dieser Betriebsfall
heißt Leistungsanpassung.
RL = Ri
…Anpassung
Bei Anpassung liefert die Quelle die maximal entnehmbare Leistung an den RL, man nennt
diese Leistung Angebotene Leistung der Quelle, sie ist nur von U0 und Ri abhängig.
PANG =
U 02
4 Ri
Beachte:
Bei Realisierung als Spannungsquelle mit Ri (wie oben gezeichnet) tritt im Falle eines
U2
Quellenkurzschlusses im Ri eine Verlustleistung PV = 0 auf, das ist die vierfache
Ri
Angebotene Leistung!
HTL / GET
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Zur Erinnerung:
Spannungsquelle mit Ri und Stromquelle mit Ri
LL: PV = 0
KS: PV = max
LL: PV = max
KS: PV = 0
verhalten sich von den Klemmen aus betrachtet gleich. Im Bezug auf die innere
Verlustleistung jedoch gegensätzlich.
6 Felder
Ein Feld ist eine Eigenschaft des Raumes, die anhand der Feldwirkung messtechnisch
erfassbar ist. Die Feldeigenschaft ist in vielen Fällen eine Kraftwirkung:
Schwerefeld (Gravitationsfeld)
Kraft auf Masse
elektrisches Feld
Kraft auf Ladung
magnetisches Feld
Kraft auf Magnetpol
Die Feldstärke erhält man aus dem Quotienten von Kraft dividiert durch die physikalische
Eigenschaft des Dings, auf das die Kraft wirkt.
Kraft durch Masse
Kraft durch Ladung
Kraft durch Polstärke
F/m
F/Q
F/p
elektrisches Feld
E ,[ E ] = V
Feldstärke
m
As
Flussdichte
D, [ D ] =
m²
D =ε ⋅E
ε = εr ⋅ε0
„Permitivität“
„Dielektrizitätskonstante“
As
ε 0 = 8,854 ⋅10 −12
Vm
magnetisches Feld
H ,[ H ] = A
m
Vs
B, [ B ] =
(Tessla )
m²
B = µ⋅ H
µ = µr ⋅ µ0
„Permeabilität“
µ0 = 4π ⋅10 −7
Vs
Am
Zwischen den beiden Feldkonstanten und der Lichtgeschwindigkeit besteht der
1
Zusammenhang: c0 =
ε 0 ⋅ µ0
HTL / GET
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Diese Formel gilt auch bei vorhanden sein von Material:
c=
1
ε ⋅µ
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit in einem Material (εr, µr) ist um den Faktor
1
ε r ⋅ µr
kleiner als im Vakuum.
Satz vom Hüllenfluss:
Durchflutungssatz:
D ⋅ A = ∑Q
N ⋅ I = ∑ H ⋅l
Fläche einer geschlossenen Hülle, welche die
Ladung Q enthält.
Ladungen sind Quellen und Senken (Anfang
und Ende) der Feldlinien D. Die E Feldlinien
haben ebenfalls Quellen und Senken, wobei
es an Grenzflächen von Materialien mit
unterschiedlichem εr zusätzliche Quellen
und Senken gibt. Auch hier gilt (wie beim
Magnetfeld), dass im „schwächeren“
Material die höhere Feldstärke auftritt.
Länge einer geschlossenen Feldlinie,
welche den Strom I umfasst.
„Die Feldlinien sind in sich geschlossen“.
Dieser Satz gilt für die Feldlinien der
Flussdichte B, er gilt nicht für die H
Feldlinien:
Sobald Materialien mit
unterschiedlichem µr aneinandergrenzen,
laufen die B Linien unverändert durch,
die Feldstärke H ändert sich an der
Grenzfläche sprunghaft um einen Faktor
µr1
µr .
Beim praktischen Rechnen geht man immer
in folgender Weise vor:
• Der Fluss Φ ist im gesamten
Magnetkreis der selbe.
• Aus den Flächen, die von Φ
durchflossen werden erklärt man die
jeweilige Flussdichte B. (Die Anzahl
der Feldlinien ist überall gleich groß,
die Dichte kann unterschiedlich sein.
• Aus den einzelnen B Werten erhält
man bei bekanntem µ die jeweiligen
H Werte. (An Grenzflächen gibt es
Quellen und Senken von H, H
Feldlinien sind nicht zwangsläufig in
sich geschlossen.)
• Die H Werte, multipliziert mit den
jeweiligen Weglängen l werden
summiert, man erhält die gesamte
benötigte Durchflutung Θ
(= Windungen N mal Strom I)
HTL / GET
2
z.B.: Eisen-Luft
µr in der Luft ist µr mal so groß wie im
Eisen.
H Fe =
B
µ0 ⋅ µr
HL =
B
µ0
Unangenehme Folgerung:
Enthält das Dielektrikum eines
Kondensators (ungewollt) kleine
Lufteinschlüsse, dann tritt dort eine
Feldstärkeüberhöhung ein (Faktor εr), es
kommt zu „Teilentladungen“, die auf
Dauer den Kondensator zerstören. (Beim
Magnetfeld gibt es solche Durchschläge
nicht!)
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6.1 Induktionsgesetz
In einem Leiter, der sich in einem veränderlichen Magnetfeld befindet, wird Spannung
induziert. Die induzierte Spannung ist proportional zur Höhe der Feldänderung und
umgekehrt proportional zur dafür benötigten Zeit.
u= N⋅
ΔΦ
Δt
Die induzierte Spannung wird mit der Windungszahl vervielfacht. Die Feldänderung
(Flussänderung) kann durch Bewegung der Anordnung und/oder Änderung der Feldstärke
selbst erfolgen.
Wichtig:
Auch in der Flederzeugenden Spule selbst wird Spannung induziert, wenn sich die
Stromstärke ändert („Selbstinduktion“). Als Maß für die Höhe der Selbstinduktion dient die
Induktivität L.
Definition von L:
Die Induktivität L ist der Proportionalitätsfaktor zwischen der Stromstärke I und dem mit der
Windungszahl N multiplizierten Fluss Φ.
N ⋅Φ = L⋅ I
N ⋅ Φ …verketteter Fluss
[ L] =
Vs
= Henry
A
Vergleiche:
Die Kapazität C ist der Proportionalitätsfaktor zwischen Spannung und gespeicherter Ladung
Q.
Q = C ⋅U
[C ] =
As
= Farrad
V
HTL / GET
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7 Ausgleichvorgänge
Ein Ausgleichsvorgang ist die Reaktion eines physikalischen Systems auf eine plötzliche
(„sprunghafte“) Änderung einer Systemgröße. Jeder Ausgleichsvorgang in der Physik läuft in
Form einer Exponentialfunktion ab. Grundsätzlich ist der Verlauf immer „erst steil, dann
⎛ −t ⎞
flach“. In der Formel wird das durch exp⎜ ⎟ ausgedrückt.
⎝τ ⎠
t…Zeitvariable, 0 ≤ t ≤ ∞, beliebige Werte, [t] = s
τ…Zeitkonstante, legt den Zeitmaßstab fest, in dem der Ausgleichsvorgang abläuft
(Konstante), [τ] = s
Beachte:
Die Exponentialfunktion kann nur von Größen gebildet werden, welche die Dimension 1
haben.
Das negative Vorzeichen sorgt dafür, dass wirklich ein Ausgleichsvorgang beschrieben wird
e
−
t
τ
+
t
und nicht ein Wachstumsvorgang e τ .
Wichtig:
Die Exponentialfunktion ist immer die Selbe, unabhängig davon, ob der Augleichsvorgang
„ansteigend“ oder „abfallend“ verläuft.
Jeder Ausgleichsvorgang ist vollständig (mit Formel) darstellbar, wenn folgende Werte
bekannt sind:
• Zeitkonstante τ
• Anfangswert AW
• Endwert EW
Anfangswert ist jener Wert der betrachteten Größe, der zum Zeitpunkt t = 0s auftritt. (Die
Formel muss für t = 0s den Anfangswert liefern.)
Der Endwert ist jener Wert der betrachteten Größe, auf den sie (immer flacher werdend)
zuläuft.
Exakt betrachtet wird der Endwert erst nach unendlich langer Zeit erreicht. (Die Formel muss
für t = ∞s den Endwert liefern.)
Für den praktischen Umgang mit der Exponentialfunktion muss man wissen:
exp(0) = 1
exp(1) = 2,7183 = e
1
exp(−1) =
)0,3678
exp(1)
exp(∞) = ∞
exp(−∞) =
HTL / GET
1
=0
∞
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Um den Anfangswert zu erhalten, setzt man in der Formel t = 0.
Um den Endwert zu erhalten, setzt man in der Formel t = ∞.
Nach diesen Regler lässt sich ganz leicht für beliebige Anfangs- und Endwerte die gesuchte
Formel ermitteln.
Geg.: Spannungsverlauf ux(t)
AW: Ux(t) = 5,5V
EW: Ux(∞) = -2V
Ges.: Formel, Bild ux(t)
Eine Asymptote ist eine Tangente an die Exponentialfunktion im Unendlichen.
⎛ t⎞
u x (t ) = −2V + 7,5V ⋅ exp⎜ − ⎟
⎝ τ⎠
allg. Formel:
⎛ t⎞
u x (t ) = EW + ( AW + EW ) ⋅ exp⎜ − ⎟
⎝ τ⎠
HTL / GET
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Zusatzfrage:
Zu welchem Zeitpunkt ist ux gleich Null Volt?
ux = 0
ux(t1) = 0
⎛ t ⎞
u x = −2V + 7,5V ⋅ exp⎜ − 1 ⎟ = 0V
⎝ τ⎠
⎛ t ⎞
− 2 + 7,5 ⋅ exp⎜ − 1 ⎟ = 0
⎝ τ⎠
⎛ t ⎞
7,5 ⋅ exp⎜ − 1 ⎟ = 2
⎝ τ⎠
2
⎛ t ⎞
exp⎜ − 1 ⎟ =
⎝ τ ⎠ 7,5
⎛ 2 ⎞
= ln⎜
⎟
τ
⎝ 7,5 ⎠
⎛ 2 ⎞
− t1 = τ ⋅ ln⎜
⎟
⎝ 7,5 ⎠
−
t1
⎛ 7,5 ⎞
t1 = τ ⋅ ln⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
t1 = τ ⋅ ln 3,75
ln
1
= − ln x
x
Beachte:
Vor der Anwendung der ln Funktion muss die Gleichung so umgeformt werden, dass die
Exponentialfunktion ex allein auf einer Seite steht.
Bsp.: AW = 0V
EW = 7V
τ = 130ms
Ges.: ux(t), ux(0,3s)
⎛ t
u x (t ) = 7V − 7V ⋅ exp⎜ −
⎝ τ
⎛
⎞
⎛ t
⎟ = 7V ⎜⎜1 − exp⎜ −
⎠
⎝ τ
⎝
⎞⎞
⎟ ⎟⎟
⎠⎠
⎛ 300 ⎞
u x (0,3s ) = u x (300ms) = 7V − 7V ⋅ exp⎜ −
⎟=
⎝ 130 ⎠
7V − 7V ⋅ exp(− 2,3076 ) = 7V − 7V ⋅ 0,0994
= 7V − 0,6958V = 6,3042V
HTL / GET
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7.1 Besondere Eigenschaften von ex
Bsp.:
⎛ t⎞
i (t ) = 100mA ⋅ exp⎜ − ⎟
⎝ τ⎠
i (0) = 100mA 100%
i (τ ) = 36,78mA 37%
i (2τ ) = 13,53mA
i (3τ ) = 4,97 mA 5%
i (4τ ) = 1,83mA
i (5τ ) = 0,67 mA < 1%
i (6τ ) = 0,25mA
i (7τ ) = 0,091mA 0,1%
Nach einer Zeitkonstante τ ist der Ausgleichsvorgang so weit abgelaufen, dass von der
ursprünglichen Distanz zum Endwert (100%) nur mehr 37% verbleiben. Innerhalb einer
Zeitkonstante τ werden 63% der Distanz zum Endwert durchlaufen. Diese Eigenschaft der eFunktion gilt nicht nur im Anfangswert, sondern in jedem beliebigen Punkt des Verlaufs. Bei
der Messung von τ mit Hilfe eines Oszilloskops wird meist 63% mit 5/8 = 62,5% angenähert.
HTL / GET
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Außerdem gilt:
In jedem beliebigen Punkt der e-Funktion liegt die Tangente so, dass sie den Endwert genau τ
später schneidet.
Achtung:
Entscheidend ist immer der Endwert und nicht die Lage der Zeitachse.
7.1.1 Anfangswert und Endwert
Der Anfangswert ist die betrachtete Größe zum Zeitpunkt t = 0.
Der Endwert ist die betrachtete Größe zum Zeitpunkt t = ∞.
t = 0 ist jener Zeitpunkt, in dem der Ausgleichsvorgang gestartet wird, zum Beispiel durch
betätigen eines Schalters. Denkbar ist auch eine sprunghafte Änderung eines Bauteilwertes,
oder der „Einstieg“ in einen früher gestarteten Ausgleichsvorgang. Auch diese Startzeitpunkte
können durch das Betätigen eines Schalters eindeutig festgelegt werden. t = ∞ ist jener
„Zeitpunkt“, in dem der Ausgleichsvorgang exakt mathematisch betrachtet beendet ist. Das
Erreichen des Endes ist daran erkennbar, dass alle betrachteten Größen jeweils ihr „Ziel“
erreicht haben (= Endwert), es gibt keine weiteren Änderungen. Strom und
Spannungsverläufe in Netzwerken laufen nach e-Funktionen ab, wenn zum Zeitpunkt t = 0 ein
Schaltvorgang stattfindet. Zeitkonstante τ, AW und EW können nach einfachen Regeln
berechnet werden
•
Zeitkonstante τ
Grundsätzlich gilt:
Kondensator
τ = R ⋅C
Spule
τ=
L
R
C…Kapazität des zeitbestimmenden Kondensators
L…Induktivität der zeitbestimmenden Spule
R…wirksamer Widerstand
Der wirksame Widerstand R ist der Innenwiderstand der gesamten Schaltung, vom
Kondensator aus bzw. von der Spule aus gesehen. (C bzw. L entfernen, Klemmen
setzen, Innenwiderstand bestimmen)
Wichtig:
Der wirksame Widerstand muss in jeder Schalterstellung bestimmt werden, die für t >
0, das heißt während des Ablaufs der e-Funktion gilt.
HTL / GET
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Beispiel:
Schalter geschlossen ab t = 0.
Ges.: τ
R = R1 // R2 // R3
τ = R ⋅C
Variante: τ (Schalter offen ab t = 0s)
R = R3
Beispiel:
Ges.: τ
R = R1 + R2
τ=
L
R
Variante (Schalter ab t = 0 zu):
R = R2
HTL / GET
2AHEL
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•
Endwert „EW“
Der Endwert ist daran erkennbar, dass sich keine Größe in der ganzen Schaltung
verändert: Alle Werte sind konstant.
C:
L:
Δu
Δt
Δi
u = L⋅
Δt
i =C⋅
bei EW
bei EW
Æ Durch C gibt es keinen Strom, an L fällt keine Spannung ab.
Æ Zur Berechnung des Endwertes ist jeder Kondensator durch eine Unterbrechung,
jede Spule durch eine Durchverbindung zu ersetzten.
Merkregel:
L und C so in der Schaltung betrachten, wie das Schaltsymbol andeutet.
Der Endwert wird dann mit den üblichen Methoden der Netzwerkrechnung bestimmt
(reines Widerstandsnetzwerk!).
•
Anfangswert „AW“
Wir müssen streng unterscheiden:
a)
Die Situation vor t = 0 (vor dem Betätigen des Schalters), genannt t = 0b)
Die Situation ganz knapp nach t = 0 (ganz knapp nach Betätigung des
Schalters), genannt t = 0+
Üblicherweise wird vorausgesetzt, dass die gegebene Schaltung schon seit sehr langer
zeit (unendlich) existiert.
Æ Die Verhältnisse vor dem Betätigen des Schalters (t = 0-) werden nach den selben
Regeln berechnet, die für den Endwert gelten. (Tatsächlich läuft nach der
Inbetriebnahme der Schaltung ein Ausgleichsvorgang ab, dessen Endwert für den
Zeitpunkt t = 0- maßgeblich ist.
Für den Zeitpunkt t = 0- muss in jedem Fall (auch wenn nur andere Größen gesucht
sind die Spannung an C bzw. der Strom durch L berechnet werden.
Begründung:
Die in den Bauelementen L bzw. C gespeicherte Energie kann sich zwischen t = 0- und
t = 0+ nicht verändern.
i2
2
u2
W =C⋅
C:
2
Æ Strom durch L bzw. Spannung an C kann sich zwischen t = 0- und t = 0+ nicht
verändern. …kann sich nicht sprunghaft ändern.
Achtung:
Spannung an L bzw. Strom durch C kann sich sehr wohl sprunghaft ändern.
L:
HTL / GET
W = L⋅
2AHEL
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Für die Berechnung der Verhältnisse im Zeitpunkt t = 0+ ersetzt man L durch eine
Stromquelle bzw. C durch eine Spannungsquelle.
von t = 0- auf t = 0+
von t = 0- auf t = 0+
deren Urstrom bzw. Urspannung jener Wert ist, der für t = 0- ermittelt wurde.
Beachte:
Die Tatsache, dass C einmal durch einen Leerlauf und ein anderes Mal durch eine
Spannungsquelle ersetzt wird, steht nicht in Widerspruch zur bekannten Regel, dass
Spannungsquellen z.B. zur Berechnung des Ri einer Schaltung durch Kurzschlüsse
ersetzt werden: Man kann sich auch bei der Berechnung des Endwertes jeden C durch
einen Spannungsquelle ersetzt denken, die genau so viel Urspannung hat, wie die
umgebende Spannung vorgibt, sodass kein Strom fließt.
Gleiches gilt für Spule, Kurzschluss, Stromquelle, Leerlauf.
Ges.: i1(t)…Formel, Bild
τ = R ⋅ C = 4,60 ⋅ 2,2 = 10,13ms
R = 1k 5 // 10k + 3k 3 = 4,604kΩ
AW: t = 0- (Schalter offen)
30
= 2,6mA
10 + 1,5
uc (0 − ) = 0V
i1 (0 − ) =
HTL / GET
2AHEL
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Grundsätzlich kann uc auch jeden beliebigen Wert annehmen bzw. seit unendlich langer Zeit
gespeichert haben. (Bei geöffnetem Schalter kann sich Q nicht verändern.) Üblicherweise
nimmt man jedoch 0V an, weil das der Praxis am besten entspricht. (Isolationswiderstand!)
t = 0+ (Schalter geschlossen)
30
= 7,54mA
1k 5 + 10k // 3k 3
uc (0 + ) = 0V = uc (0 − )
i1 (0 + ) =
EW: t = ∞
30
= 2,6mA
10 + 1,5
10
uc (∞) = 30 ⋅
= 26,08V
10 + 1,5
i1 (∞) =
Formel:
i1 (t ) = 2,61mAKt < 0s
t
⎛
⎞
i1 (t ) = 2,61mA + (4,93) exp⎜ −
⎟ Kt ≥ 0 s
⎝ 10,13ms ⎠
HTL / GET
2AHEL
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Ges.: US(t)
L
= 0,31µs
R
R = 120 + 5k 6 = 5k 72
τ=
AW: t = 0-
uS (0 − ) = 0V
iL ( 0 − ) =
24V
= 0,2 A = 200mA
120Ω
t = 0+
iL (0 + ) = iL (0 − ) = 200mA
U S = 5k 6 ⋅ 200mA = 1120V
EW t = ∞
5k 6
= 23,5V
5k 6 + 120
24
iL ( ∞ ) =
= 4,2mA
5,6 + 0,12
uS (∞) = 24 ⋅
⎛
t ⎞
⎟⎟
uS (t ) = 23,5V + (1120V − 23,5V ) ⋅ exp⎜⎜ −
⎝ 0,31µs ⎠
HTL / GET
2AHEL
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⎛
t ⎞
⎟⎟
uS (t ) = 23,5V + 1096,5V ⋅ exp⎜⎜ −
⎝ 0,31µs ⎠
⎛
t ⎞
⎟⎟
iL (t ) = 4,2mA + 195,8mA ⋅ exp⎜⎜ −
⎝ 0,31µs ⎠
Zusatzfrage:
Spannungsverlauf UL von t
uL = L ⋅
ΔiL
Δt
t = 0-
u L = 0V
t = 0+
HTL / GET
2AHEL
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u L = −1120V
t=∞
⎛
t ⎞
⎟⎟
u L (t ) = −1120V ⋅ exp⎜⎜ −
⎝ 0,31µs ⎠
Ges.: iL(t), uS(t)
L
1,8
=
= 15µs
R 0,120
R = 120Ω
τ=
AW t = 0-
24
= 4,19mA
5,6 + 0,12
5,6
= 23,5V
uS (0 − ) = 24 ⋅
5,6 + 0,12
iL ( 0 − ) =
t = 0+
iL (0 + ) = 4,19mA
uS (0 + ) = 0V
EW t = ∞
24
iL ( ∞ ) =
= 200mA
0,12
uS (∞) = 0V
HTL / GET
2AHEL
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Ges.: iL(t), uL(t), u100(t)
1) t = 0 … S2 zu
τ1 =
L
= 0,5ms
R1
R1 = 100 // 1k 5 = 93,75Ω
AW t = 0-
12V
= 120mA
0,1kΩ
u L (0 − ) = 0V
iL ( 0 − ) =
u100 (0 − ) = 12V
t = 0+
iL (0 + ) = iL (0 − ) = 120mA
u L (0 + ) = 0V
u100 (0 + ) = 12V
HTL / GET
2AHEL
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Das Schließen von S2 bleibt ohne unmittelbare Wirkung, weil er einen Widerstand zwischen 2
Punkte schaltet, die zu diesem Zeitpunkt auf gleichem Potential liegen.
EW t = ∞
Endwerte sind gleich den AW, weil tatsächlich kein Ausgleichsvorgang stattfindet.
2) t = 1ms
τ2 =
S1 auf
L
47
=
= 31,3µs
R2 1k 5
R2 = 1k 5
AW t = 1ms, tn = 0-
t n = t − 1ms
iL (0 − ) = 120mA
u L (0 − ) = 0V
u100 (0 − ) = 12V
t = 1ms, tn = 0+
iL (0 + ) = iL (0 − ) = 120mA
u L (0 + ) = −iL ⋅1k 5 = −120 ⋅1,5 = −180V
u100 (0 + ) = 0V
EW t = ∞, tn = ∞
iL (∞ ) = 0 A
u L (∞) = 0V
verbleibende Schaltung enthält keine Quelle Æ alles strebt gegen 0
u100 (∞) = 0V
⎛ t − 1ms ⎞
⎟⎟
iL = 120mA ⋅ exp⎜⎜ −
⎝ 31,3µs ⎠
⎛ t − 1ms ⎞
⎟⎟
u L = −180V ⋅ exp⎜⎜ −
⎝ 31,3µs ⎠
u100 =
12V für t < 1ms
0V für t > 1ms
HTL / GET
2AHEL
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Variante:
Ein Kondensator C zu 100Ω erzwingt einen exponentiellen Verlauf von U100 nach dem
Öffnen von S1. Die zugehörige Zeitkonstante 100Ω mal 10µF ist völlig unabhängig von dem
gleichzeitig mit 47mH/1500Ω ablaufenden LR-Ausgleichvorgang.
Begründung:
Nach dem Öffnen von S1 zerfällt die Schaltung praktisch in 2 von einander unabhängige
Teile, die nur an einem einzigen Punkt miteinander verbunden sind.
Achtung:
Wenn in dieser Schaltung S1 wieder geschlossen wird, beginnt ein Ablauf, für den
Differentialgleichungen aufgestellt und gelöst werden müssen! (für uns unlösbar)
Es entsteht ein Schwingkreis, bei dem die Energie immer wieder zwischen Spule und
Kondensator hin und her geschoben wird.
7.2 Schwingkreise
ΔuC
t
Δi
uL = L ⋅ L
t
1)
2)
3)
4)
iC = −C ⋅
HTL / GET
2AHEL
Energie von C nach L
Energie von L nach C
wie 1)
wie 2)
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Im Zeitabschnitt 1) wirkt C als Erzeuger, L als Verbraucher. Im Zeitabschnitt 2) fließt die
Energie wieder zurück nach C: L ist Erzeuger, C ist Verbraucher.
In den Zeitabschnitten 3) und 4) laufen die selben Vorgänge mit umgekehrtem Vorzeichen
von u und i ab, was jedoch auf die Energie keinen Einfluss hat.
L ⋅ iL2
WL =
2
C ⋅ uC2
WC =
2
Alle Abläufe geschehen so, dass durch die Energieentnahme der jeweiligen Erzeuger keinen
konstanten Wert von u bzw. i an den Verbraucher liefert, wodurch die Zeitfunktion nicht
linear werden.
Es entstehen Kosinus- bzw. Sinusfunktionen für u bzw. i (Mathematisch beweisbar).
Beachte:
Öffnet man den Schwingkreis zum Zeitpunkt eines Nulldurchganges des Stromes, dann ist die
gesamte Energie im Kondensator gespeichert und die Schwingung hört sofort auf.
Lässt man den Schwingkreis unverändert, dann dauert die Schwingung endlos an, wenn in der
ganzen Schaltung kein einziger Widerstand wirksam ist („keine Verluste“).
8 Kapazitätsmessung
Zur Bestimmung unbekannter (kleiner) Kapazitäten kann ein Ausgleichsvorgang verwendet
werden, der periodisch wiederholt und am Oszilloskop dargestellt wird. Die
Wiederholfrequenz sollte einerseits möglichst hoch sein, um ein flimmerfreies stehendes Bild
zu erhalten, andererseits dürfen die einzelnen Ausgleichsvorgänge nicht „ineinander laufen“,
das heißt τ muss ausreichend klein sein.
Als Quelle für einen solchen Ablauf wird ein Rechteckgenerator benötigt.
τ = R ⋅ C X = ( Ri + RV ) ⋅ C X
HTL / GET
2AHEL
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Durch Wahl von RV bestimmt man τ, durch Wahl der Frequenz des Rechtecksignals bestimmt
man T/2.
Diese beiden Wahlmöglichkeiten sind so zu verwenden, dass im entstehenden Bild der
Endwert deutlich sichtbar erreicht wird!
Zahlenwert:
C X = 100 pF
R = Ri + RV
R
1k
10k
100k
1M
10M
τ [s]
100ns
1µ
10µ
100µ
1m
HTL / GET
2AHEL
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Sehr hohe Werte von R sind nicht präzise realisierbar, außerdem ist eine rückwirkungsfreie
Messung schwierig. (Eingangswiderstand eines Oszilloskops mit/ohne Tastkopf beträgt
10MΩ/1MΩ)
Sehr niedrige Werte von R führen zu sehr schnellen Abläufen, deren Messung ebenfalls
schwierig ist. Außerdem treten dann die unvermeidlichen Induktivitäten sämtlicher Leitungen
des Messaufbaus störend in Erscheinung. („parasitäre“ Induktivitäten)
Vollständiges Schaltbild:
In dieser Schaltung gibt es 2 Zeitkonstanten τ C = R ⋅ C X und τ L =
LX
.
R
Die beiden zugehörigen Ausgleichsvorgänge laufen gleichzeitig ab, sie können getrennt von
einander betrachtet werden, wenn die beiden τ stark unterschiedlich sind. (Faktor 100 oder
mehr) Der schnelle Vorgang ist schon „beendet“, bevor der langsame Ablauf überhaupt in
„Bewegung“ kommt. Wenn R frei wählbar ist, gibt es immer die Möglichkeit auf stark
unterschiedliche τL, τC zu kommen. Für die gegebene Schaltung ist das normalerweise mit
möglichst großem R der Fall. τL wird dann so klein, dass Lx vernachlässigt werden kann, die
Schaltung vereinfacht sich auf R + C.
Bsp.: R = 100kΩ
CX = 25pF
LX = 150nH
Faustregel: Normaler Schaltdraht Ø 0,6 hat eine Induktivität von ca. 10nH/cm Drahtlänge.
L 150 ⋅10−9
=
= 1,5 ⋅10−12 = 1,5 ps
R
105
τ C = R ⋅ C = 100 ⋅103 ⋅ 25 ⋅10−12 = 2500 ⋅10−9 = 2,5µs
τL =
HTL / GET
2AHEL
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Bsp.: R = 1kΩ
CX = 25pF
LX = 150nH
τ L = 150 ps = 0,15ns
τ C = 25ns
Die beiden Ausgleichvorgänge können immer noch unabhängig voneinander berechnet
werden.
τL:
τL
τC
HTL / GET
2AHEL
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τC:
AW:
EW:
iX = 10mA
uX = -5V
iX = 0mA
uX = +5V
Beide Vorgänge in einem Bild dargestellt:
HTL / GET
2AHEL
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9 Rückschlagspannung einer Spule
Ges.: u(t), Maximalwert von u(t)
t = 0-
iL ( 0 − ) =
U0
R
iL2
2
Nach dem Öffnen des Schalters wird die Energie in den Kondensator umgeladen.
u2
→ WC = C
2
i2
u2
Die Umladung erfolgt verlustfrei: → WC = WL → L L = C
2
2
In der Spule ist eine gewisse Energie gespeichert: WL = L ⋅
umax =
L 2
L U0
L
⋅ iL = iL ⋅
=
⋅
C
C
R
C
L und C bilden einen Schwingkreis, für jeden Schwingkreis kann die Größe R0 =
L
C
berechnet werden: Kennwiderstand des Schwingkreises.
R0 =
L
…“Kennwiderstand“
C
Beachte:
R0 ist eine reine Rechengröße und kann daher nicht direkt gemessen werden!
Zahlenwerte:
L = 50mH
C = 1nF
iL (0− ) = 30mA
umax = 30mA ⋅
HTL / GET
50mH
50 ⋅10 −3
= 30 ⋅10 −3 ⋅
= 30mA ⋅ 7,07kΩ = 212V
1nF
10 −9
2AHEL
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Die Höhe der Rückschlagspannung kann durch den Einbau einer „Freilaufdiode“ parallel zur
Spule verhindert werden:
Rcu und L sind in Wirklichkeit nicht trennbar, weil Rcu der Widerstand des Drahtes, aus dem
die Spule besteht über die ganze Länge gleichmäßig verteilt ist: von außen zugänglich sind
nur die beiden Enden der Serienschaltung. Bei geschlossenem Schalter liegt (nach
12
U
= 30mA
ausreichend langer Zeit) u0 an Rcu: iL = 0 =
RCu 0,4
u0 liegt in Sperrrichtung an der Diode Æ kein Strom. Nach dem Öffnen des Schalters bleibt iL
zunächst gleich, ändert aber seinen Stromweg: iL fließt durch die Diode in Durchlassrichtung,
dabei fällt an der Diode eine Spannung von ca. 0,7V ab. Zur Berechnung des Stromverlaufs
iL(t) können wir uns die Diode als Spannungsquelle mit 0,7V vorstellen:
u L = −(12 + 0,7) = −12,7V
iL = 30mA
τ=
50mH 1 −3
L
=
= ⋅10 s = 125µs
400
8
RCu
Die Spannung an L springt auf -12,7V, IL
bleibt zunächst gleich, alle Werte nehmen
exponentiell gegen 0 ab. (Ausnahme: UD
bleibt 0,7V konstant, solange bis ID 0
geworden ist und verschwindet dann „in
unserer Modellvorstellung“ schlagartig.)
HTL / GET
2AHEL
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Variante:
Ein zusätzlicher Widerstand in Serie zur Diode bewirkt:
L
schnelleres Abschalten
1) τ 2 =
RCu + R2
2) Höhere Spannung uL bzw. auch mehr Spannung am offenen Schalter
Beispiel:
Ges.: uC(t), iL(t), uL(t)
Nach dem Öffnen des Schalters bilden L und C über die Diode einen Schwingkreis, in dem
der Strom nur in eine Richtung fließen kann. Es wird daher Energie von L nach C nur einmal
umgeladen, dann unterbricht die Diode den Kreis, die Energie fließt nicht wieder zurück nach
L, sondern wird (sehr langsam) von RC verbraucht. Der Umladevorgang von L nach C läuft
nach Sinus bzw. Kosinusfunktion ab, die nachfolgende Entladung von C über RC ist ein
normaler Ausgleichsvorgang mit τ = 1s. Die Umladung von L nach C erfolgt wesentlich
schneller, für diesen Vorgang kann RC zunächst einmal vernachlässigt werden.
AW: t = 0uC (0− ) = 0V
15V
= 50mA
0,3kΩ
u L (0− ) = 0V
iL =
t = 0+
uC (0 + ) = uC (0 − ) = 0V
iL (0+ ) = iL (0 − ) = 50mA
u L (0+ ) = −0,7V
Nach vollständiger Umladung der Energie von L nach C beträgt uC:
2
L ⋅ i2
C ⋅ umax
WL =
= WC =
2
2
2
2
(0,05) = 0,00025Ws = 0,25mWs
i
L ⋅ L = 0,2 ⋅
2
2
HTL / GET
2AHEL
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uCmax =
2WC
=
C
2 ⋅ 0,25 ⋅10−3
500 ⋅10−6
=
= −22,36V
10−6
10−6
ΔiL
Δt
Δu
iC = C ⋅ C
Δt
uL = L ⋅
ΔiL
…Stromänderungsgeschwindigkeit
Δt
ΔuC
…Spannungsänderungsgeschwindigkeit
Δt
Abschätzung der Umladezeit:
Variante 1)
Δi
uL = L ⋅ L
Δt
ΔiL = −50mA
u L = −11,2V ...mittlerer Wert
Δt =
L
0,2
⋅ ΔiL =
⋅ 50 = 0,89ms
11,2
Δu L
Variante 2)
Δu
iC = C ⋅ C
Δt
ΔuC = −22,4V
iC = −25mA...mittlerer Wert
Δt =
C
10 −6
⋅ ΔuC =
⋅ 22,4 = 0,89 ⋅10 −3 s = 0,89ms
iC
25 ⋅10 −3
Variante 1 und 2 sind gleichwertig, liefern aber beide nur einen Näherungswert für die
Umladezeit.
HTL / GET
2AHEL
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Die exakte Berechnung der Umladezeit ist aus der Eigenfrequenz (Resonanzfrequenz) des
Schwingkreises möglich.
f0 =
1
1
=
= 356 Hz
2π L ⋅ C 2π 0,2 ⋅10 −6
T0 =
1
= 2,8 ⋅10 −3 s = 2,8ms
f0
Der Umladevorgang läuft innerhalb von T0/4 ab, das sind 0m7ms.
Die Schaltung liefert also eine negative Spannung uC, wenn sie mit der positiven Spannung
U0 gespeist wird, sie ist also vom Prinzip her ein „DC-Wandler“. Üblicherweise sind solche
DC-Wandler etwas anders dimensioniert.
10 DC Wandler (Inverter)
L wird ohne Vorwiderstand an U0 geschaltet. Æ Der Schalter darf immer nur kurzzeitig
geschlossen werden, bis iL auf den gewünschten Wert angestiegen ist. Nach dem Öffnen des
Schalters wird die Energie von L nach C umgeladen, mit der Annahme eines sehr großen
Kondensators („∞“) ändert sich dabei UC nicht wesentlich. Æ sowohl beim Aufladen, als
auch beim Entladen liegt konstante Spannung an L. Æ Zeitverlauf von iL ist linear. Zwischen
der zugelieferten Energie (aus der Quelle) und der in RL verbrauchten Energie muss
Gleichgewicht herrschen, durch die Wahl der Einschaltdauer T1 kann die zugeführte
Energiemenge geregelt werden. Zur einfachen Berechnung nehmen wir an, dass in der
gesamten Schaltung keine Energie verloren geht. (Insbesondere auch nicht in der Diode)
HTL / GET
2AHEL
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Man erhält folgende Oszillogramme:
an RL abgegebene Leistung PL:
U2
25
PL = C =
= 0,25W
RL 100
Aus der Quelle entnommene
Leistung:
0,25
P0 = U 0 ⋅ i0 → i0 =
= 20,8mA
12
i0 …zeitl. Mittelwert von i0
HTL / GET
2AHEL
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Zusammenhang zwischen i0 und iˆ0 :
1
T
i0 ⋅ T = Iˆ ⋅ T1 ⋅ → Iˆ = 2i0 ⋅
2
T1
Spitzenstrom Iˆ , Einschaltdauer T1 und Periodendauer T sind bei gegebenen Spannungen U0
und UC und gegebener Induktivität L nicht frei wählbar: Entsprechend den
Spannungsverhältnissen an der Spule ergeben sich Anstiegs- und Abfallgeschwindigkeit des
Stromes. Mit Berücksichtigung eines „Sicherheitszuschlages “, der garantiert, dass iL an
Beginn einer jeden Periode sicher 0 ist, erhält man für eine bestimmte Einschaltbauer T1 die
minimale Periodendauer T.
Iˆ
U0
T −T T
T1
= 2 1 = 2 −1
=
ˆ
uC
T1
T1
I
L⋅
T2 − T1
L⋅
⎛U
⎞
⎛ 12 ⎞
→ T2 = T1 ⋅ ⎜⎜ 0 + 1⎟⎟ = T1 ⎜ + 1⎟ = 3,4 ⋅ T1
⎝5
⎠
⎝ uC
⎠
→ T = 4 ⋅ T1 (inkl. Sicherheitszeit )
Mit bekanntem Verhältnis T zu T1 kann Iˆ berechnet werden:
T
Iˆ = 2 ⋅ i0 ⋅ = 2 ⋅ 20,8 ⋅ 4 = 166,6mA
T1
Zuletzt kann also die notwendige Einschaltdauer T1 berechnet werden.
U0 = L ⋅
→ T1 =
f =
Iˆ
T1
L ⋅ Iˆ 50 ⋅ 0,166
=
= 0,69µs
U0
12
1
= 362kHz
T
Andere Wandlertypen:
Aufwärtswandler:
HTL / GET
UC > U0
2AHEL
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Abwärtswandler:
UC < U0
11 Rechteckverhalten von L und C
τ = R ⋅C
eingeschwungener Zustand!
Die Exponentialfunktion uC(t) muss bei t = 0 den Wert –UC haben, und bei f = T/2 den Wert
+UC. Aus diesem Zusammenhang zwischen UC, U0, T, τ kann UC berechnet werden.
HTL / GET
2AHEL
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0 < t < T/2
⎛ t⎞
uC (t ) = U 0 − (U 0 + U C ) ⋅ exp⎜ − ⎟
⎝ τ⎠
t = T/2
⎛T ⎞
uC ⎜ ⎟ = U C
⎝2⎠
⎛T ⎞
⎛ T /2⎞
uC ⎜ ⎟ = U 0 − (U 0 + U C ) ⋅ exp⎜ −
⎟ = UC
⎝2⎠
⎝ τ ⎠
⎛
⎛
⎛ T / 2 ⎞⎞
⎛ T / 2 ⎞⎞
U 0 ⎜⎜1 − exp⎜ −
⎟ ⎟⎟ = U C ⎜⎜1 + exp⎜ −
⎟ ⎟⎟
⎝ τ ⎠⎠
⎝ τ ⎠⎠
⎝
⎝
⎛
⎛ T / 2 ⎞⎞
U 0 ⎜⎜1 − exp⎜ −
⎟ ⎟⎟
⎝ τ ⎠⎠
⎝
UC =
⎛ T /2⎞
1 + exp⎜ −
⎟
⎝ τ ⎠
Plausibilitätskontrolle:
1 − exp(−∞)
= U0
1 + exp(− ∞ )
1 − exp(−0)
T << τ : U C = U 0 ⋅
=0
1 + exp(−0)
T >> τ : U C = U 0 ⋅
⎛ T /2⎞
1 − exp⎜ −
⎟
τ ⎠
⎝
UC = U0 ⋅
⎛ T /2⎞
1 + exp⎜ −
⎟
⎝ τ ⎠
z.B.: τ = T/2
UC = U0 ⋅
1 − exp(−1)
= U 0 ⋅ 0,46
1 + exp(−1)
Variante:
Dieselbe Schaltung, aber U0(t)
schaltet zwischen +U0 und 0V.
Man erhält das selbe Ergebnis wie
vorher, wenn man den mittleren
Spannungswert U0/2 zunächst
weglässt und erst ganz am Schluss
wieder hinzufügt.
HTL / GET
2AHEL
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⎛ T /2⎞
1 − exp⎜ −
⎟
U0
τ ⎠
⎝
ΔU =
⋅
⎛ T /2⎞
2
1 + exp⎜ −
⎟
⎝ τ ⎠
⎛
⎛
⎛ T /2⎞⎞
⎛ T /2⎞
⎛ T /2⎞⎞
⎜ 1 − exp⎜ −
⎜ 1 + exp⎜ −
⎟⎟
⎟ + 1 − exp⎜ −
⎟⎟
U0 ⎜
τ ⎠ ⎟ U0 ⎜
τ ⎠
τ ⎠⎟
⎝
⎝
⎝
=
U max =
1+
⎟
⎛ T /2⎞⎟ 2 ⎜
2 ⎜
⎛ T /2⎞
1 + exp⎜ −
⎟⎟
⎟
⎜ 1 + exp⎜ −
⎜
⎟
⎝ τ ⎠⎠
⎝ τ ⎠
⎝
⎝
⎠
U
1
2
= 0⋅
= U0 ⋅
2
⎛ T /2⎞
⎛ T /2⎞
1 + exp⎜ −
1 + exp⎜ −
⎟
⎟
⎝ τ ⎠
⎝ τ ⎠
⎛
⎛
⎛ T /2⎞⎞
⎛ T /2⎞
⎛ T /2⎞⎞
⎜ 1 − exp⎜ −
⎜ 1 + exp⎜ −
⎟⎟
⎟ − 1 + exp⎜ −
⎟⎟
U0 ⎜
τ ⎠ ⎟ U0 ⎜
τ ⎠
τ ⎠⎟
⎝
⎝
⎝
⋅ 1−
=
⋅
U min =
⎟
2 ⎜
⎛ T /2⎞⎟ 2 ⎜
⎛ T /2⎞
1 + exp⎜ −
⎟⎟
⎟
⎜ 1 + exp⎜ −
⎜
⎟
⎝ τ ⎠⎠
⎝ τ ⎠
⎝
⎝
⎠
⎛ T /2⎞
exp⎜ −
⎟
τ ⎠
⎝
= U0 ⋅
⎛ T /2⎞
1 + exp⎜ −
⎟
⎝ τ ⎠
Bsp.:
analog zu „RC“:
⎛ T /2⎞
1 − exp⎜ −
⎟
⎝ τ ⎠
UR = U0 ⋅
⎛ T /2⎞
1 + exp⎜ −
⎟
⎝ τ ⎠
HTL / GET
2AHEL
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⎛ t⎞
u R (t ) = U R ⋅ exp⎜ − ⎟
⎝ τ⎠
⎛ T /2⎞
⎛T ⎞
u R ⎜ ⎟ = U R ⋅ exp⎜ −
⎟
⎝ τ ⎠
⎝2⎠
u R (T / 2 ) − 2U 0 = −U R
⎛ T /2⎞
U R ⋅ exp⎜ −
⎟ = −U R + 2U 0 → U R =
⎝ τ ⎠
2U 0
1 + exp
−
T /2
τ
Kontrolle auf Plausibilität:
τ >> T/2
UR =
2U 0
= U0
1 + exp(−0)
Bei sehr großem τ sind UR(t) und U0(t) gleich. (Koppelkondensator)
τ << T/2
UR =
2U 0
= 2U 0
1 + exp(−∞)
HTL / GET
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Die Exponentialfunktion „erreicht“ jedes Mal vor dem Sprung den Wert 0. UR(t) besteht nur
aus schmalen Spitzen der Höhe 2U0 bzw. -2U0.
Beachte:
Das Eingangssignal hat einen Spitze-Spitze Wert der Größe 2 U0, das Ausgangssignal hat
einen Spitze-Spitze Wert von 4 U0.
Einschwingvorgang
Variante: Einschwingvorgang
0 ≤ t ≤T /2
⎛ t⎞
u R (t ) = U 0 ⋅ exp⎜ − ⎟
⎝ τ⎠
⎛ T /2⎞
u R (T / 2) = U 0 ⋅ exp⎜ −
⎟
⎝ τ ⎠
Annahme: Bei t = T/2 ist der eingeschwungene Zustand erreicht.
→ u R (T / 2) − 2U 0 = −U R
U0
⎛ T /2⎞
U 0 ⋅ exp⎜ −
⎟ − 2U 0 = −
⎛ T /2⎞
⎝ τ ⎠
1 + exp⎜ −
⎟
⎝ τ ⎠
Die exakte Berechnung des Einschwingvorgangs muss Schritt für Schritt erfolgen:
einzelne exp aneinandergereiht, wobei die Anfangswerte der Nachfolgenden exp aus den
Werten der vorangegangenen zum Zeitpunkt des Zustandswechsels berechnet werden muss.
HTL / GET
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Zusammenfassung:
Tiefpassfilter
Hochpassfilter
Solche Strukturen werden in der Nachrichtentechnik auch als „Filter“ bezeichnet.
Tiefpassfilter…tiefe Frequenzen werden durchgelassen
Hochpassfilter…hohe Frequenzen werden durchgelassen
Die Zeitkonstante τ bestimmt jeweils die „Grenzfrequenz“ f g =
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1
2π ⋅τ
Seite 48 / 87
12 Kondensatorwandler (Ladungspumpe)
nur aus Kondensatoren, Dioden und Schaltern aufgebaut (spulenlos), liefert ohne Regelung
etwa ein ganzzahliges Vielfaches der Eingangsspannung. Das Timing ist vollkommen
unkritisch, spulenlos (daher auch in der Praxis mit hohem Wirkungsgrad realisierbar).
Die Schalter 1 und 2 sind jeweils abwechselnd geschlossen
1 geschlossen…C wird auf U0 geladen
2 geschlossen…das rechte Ende von C geht auf 2 U0, der Ausgangskondensator wird auf
diesen Wert nachgeladen.
Besonderheiten:
Die Grundsätzliche Funktion ist unabhängig von den Zeitverhältnissen. (Phase 1 und 2
können beliebig lange dauern)
Funktion ist unabhängig von den Lastverhältnissen, die Schaltung ist Leerlauffest.
Für hohen Wirkungsgrad wichitg:
1) 1 und 2 dürfen niemals gleichzeitig geschlossen sein. (günstig: Kurze Pause
dazwischen)
2) Die Kondensatoren dürfen immer nur geringfügig nachgeladen werden, d.h. große C
und hohe Schaltfrequenzen.
Vergleiche dazu folgendes Beispiel:
C1 = C2
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u1 = U 0
vor Schalten: u2 = 0V
C ⋅ U 02
2
Q2 = 0 As W2 = 0
Q1 = C ⋅U 0 W1 =
C ⋅U 02
2
nach Schalten: u1 = u2 Q1 = Q2
Wges =
Ladung bleibt erhalten Æ Spannung wird halbiert
u1 = u2 =
U0
2
Q1 + Q2 = 2C ⋅
U0
= C ⋅U 0
2
2
Energie:
Wges
⎛U ⎞
2C ⋅ ⎜ 0 ⎟
2
⎝ 2 ⎠ = C ⋅ U0
=
2
4
50% im RX verbraten
50% der ursprünglich gespeicherten Energie gehen verloren!
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13 Wechselstromtechnik
13.1 Darstellung von Wechselgrößen
periodische Funktion:
Momentanwert:
Frequenz f = 1/T
Kreisfrequenz ω = 2πf
reiner Wechselstrom
zeitlicher Mittelwert i
i (t + T ) = i(t ), für alle t
Funktionswert zu einer beliebigen Zeit t
ist die Anzahl der Perioden pro Sekunde [f] = Hz
ω = 2π/T [ω] = s-1
Der lineare zeitliche Mittelwert über eine Periode ist 0.
Betrachtet man einen Zeitraum von einer Periode, dann gibt es
keinen bleibenden Ladungsträgertransport.
1
i = ⋅ ∑ i ⋅ Δt …Näherung, die umso genauer ist, je kleiner Δt
T T
gewählt wird. Den exakten Mittelwert erhält man für Δt Æ 0
1
„geht gegen 0“ aus der Summe wird ein Integral i = ∫ i ⋅ dt
TT
13.2 Satz von Fourier
Jede beliebige periodische Funktion kann aus Sinus- und Kosinusschwingungen
zusammengesetzt werden. Die Frequenzen all dieser Schwingungen sind grundsätzlich
ganzzahlige Vielfache der Frequenz der ursprünglichen Funktion.
Kehrwert der Periodendauer der ursprünglichen Funktion:
Grundfrequenz f0 (auch Grundwelle genannt)
2. harmonische
1. Oberwelle 2f0
3. harmonische
2. Oberwelle 3f0
…
(n+1). harmonische
n. Oberwelle (n+1)f0
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Wendet man den Satz von Fourier an, dann kann jede periodische Wechselgröße beherrscht
werden, wenn die Rechenmethode für sinusförmige Wechselgrößen bekannt ist. Æ ab sofort
betrachten wir nur noch sinusförmige Wechselgrößen!
13.3 Entstehung einer sinusförmigen Wechselgröße
Rotierender Zeiger, die Projektion des Endpunktes auf die y-Achse liefert die
Sinusschwingung, die Projektion auf die x-Achse liefert die Kosinusschwingung.
t
i (t ) = Iˆ ⋅ sin 2π
T
2π
ω=
T
i (t ) = Iˆ ⋅ sin ωt
Iˆ …Spitzenwert, Maximalwert, Scheitelwert, Amplitude
t
Achtung: Taschenrechner auf Radiant umstellen. (Wenn Grad: i (t ) = Iˆ ⋅ 360
T
Die Kosinusfunktion bietet einen gleichartigen Verlauf, der jedoch bei t = 0 mit dem positiven
Maximum beginnt. Aus diversen Gründen bevorzugt man in der Praxis die Darstellung mit
der Kosinusfunktion, spricht jedoch meist von „Sinusförmigem Verlauf“.
i (t ) = Iˆ ⋅ cos ωt
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13.4 Kennwerte von Wechselgrößen
13.4.1
i (t ) =
1
1
⋅ ∫ i (t ) ⋅ dt ≈ ⋅ ∑ i (t ) ⋅ Δt
T T
T T
13.4.2
i (t ) =
Linearer Mittelwert, Gleichanteil
Gleichrichtwert
1
1
i (t ) ⋅ dt = ⋅ ∑ i (t ) ⋅ Δt
∫
TT
T T
Beachte:
Ein Gleichrichtwert von 0 ist nur möglich, wenn die Wechselgröße
ununterbrochen (konstant) den Wert 0 hat!
Zu Vergleich: Ein linearer Mittelwert von 0 kennzeichnet „reinen Wechselstrom“.
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13.4.3
Effektivwert RMS (Root Mean Square)
RMS…Wurzel aus dem Mittelwert der Quadrate
Der Effektivwert eines Wechselstroms ist jener Wert, der in einem Widerstand R die gleiche
Wirkleistung (Wärmeentwicklung) verursacht wie ein Gleichstrom der selben Größe.
⎛U 2 ⎞
⎟⎟
P = I 2 ⋅ R K DC ⎜⎜
⎝ R ⎠
⎛U 2 ⎞
2
P = I eff ⋅ R K AC ⎜ eff ⎟
⎜ R ⎟
⎝
⎠
i (t ) = Iˆ ⋅ sin ωt
i 2 (t ) = Iˆ ⋅ sin 2 ωt
sin 2 x =
i 2 (t ) =
1
(1 − cos 2 x)
2
Iˆ 2
(1 − cos 2ωt )
2
Für die Momentanleistung gilt:
p(t ) = i 2 (t ) ⋅ R
Für einen konstanten Widerstand R entspricht der Verlauf p(t) dem Verlauf (i(t))² = i²(t).
1
p (t ) = Iˆ 2 ⋅ sin 2 ωt ⋅ R = Iˆ 2 ⋅ R ⋅ (1 − cos 2ωt )
2
Für die Wirkleistung (Wärmeentwicklung) ist der Mittelwert der Momentanleistung
Iˆ 2 ⋅ R
wesentlich P = p (t ) =
1 − cos 2ωt .
2
cos2ωt ist die einzige zeitabhängige Größe in dieser Formel Æ Es muss nur der Mittelwert
von cos2ωt gebildet werden (=0).
(
)
I2 ⋅R
P=
2
2
P = I eff ⋅ R
→ I eff =
Iˆ
2
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Achtung! Der Zusammenhang zwischen Effektivwert und Spitzenwert mit dem Faktor
gilt nur bei Sinusform. Für beliebige Kurvenform gilt:
1 2
I eff =
i (t ) ⋅ dt
T T∫
2
Beachte: Bei sehr niedrigen Frequenzen (0,1Hz) kann die Mittelwertbildung sehr lange
dauern.
13.4.4
Formfaktor, Scheitelfaktor
Scheitelwert
Scheitelfaktor =
Effektivwert
Effektivwert
Formfaktor =
Gleichrichtwert
FS =
FF =
Iˆ
I eff
I eff
i (t )
Beispiele:
13.4.4.1
Sinusform
Iˆ
2
2
i = Iˆ ⋅
I eff =
π
FS = 2
FF =
I eff
i
=
13.4.4.2
I eff =
Iˆ / 2
π
=
= 1,11
Iˆ ⋅ 2 / π 2 ⋅ 2
Dreiecksform
Iˆ
3
Iˆ
2
FS = 3
i =
FF =
2
= 1,15
3
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13.4.4.3
Rechteckform
I eff = Iˆ
i = Iˆ
FS = 1
FF = 1
13.4.4.4
Iˆ
2
I eff =
i =
Sinushalbwellen (Einweggleichrichter)
Iˆ
π
FS = 2
FF =
π
2
= 1,57
13.4.4.5
Phasenanschnitt „Zündwinkel 90°“
i = 0 … reiner AC
Iˆ
I eff =
2
ˆI
i =
π
FS = 2
FF =
π
2
= 1,57
13.4.4.6
Mischstrom
Effektivwerte werden „quadratisch addiert“
Beachte: Der Effektivwert eines Gleichstroms ist der
Gleichstrom selbst.
I eff ges = I eff2 DC + I eff2 AC = 4 2 + (2 / 2 ) 2 = 16 + 2 = 4,24 A
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Beispiel zu den Kennwerten einer Wechselgröße
Ges.: i, i , I eff , FS , FF
T
T
T T⎤ 1
3
1
1⎡ T
⋅ ∑ i (t ) ⋅ Δt = ⎢1 ⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ − 2 ⋅ − ⎥ = ⋅ [1 + 2 + 3 − 2 − 1] = = 0,5mA
T T
T⎣ 6
6
6
6
6 6⎦ 6
1
1
i = ∑ i (t ) ⋅ Δt = [1 + 2 + 3 + 2 + 1] = 1,5mA
T T
6
i=
T
T
19
1
1 ⎡T
1
2 T
2 T⎤
i (t ) 2 ⋅ Δt = ⎢ + 4 + 9 + (− 2 ) + (− 1) ⎥ = [1 + 4 + 9 + 4 + 1] =
= 3,16& mA2
∑
T T
T ⎣6
6
6
6
6
6⎦ 6
= 3,16& mA2 = 1,78mA
I eff2 =
I eff
FS =
FF =
Iˆ
I eff
I eff
i
=
3
= 1,69
1,78
=
1,78
= 1,19
1,5
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13.5 Überlagerund (Addition) von U, I, P
13.5.1
Gleiche Frequenzen
Es gilt das Helmholtz’sche Überlagerungsprinzip: Die Momentanwerte von Spannungen und
Strömen werden addiert, bei sinusförmigen Verläufen ist das Ergebnis eine Sinusschwingung,
deren Amplitude und Phasenlage von den Amplituden und Phasen der Teilschwingungen
abhängt.
gleiche Amplitude, gleiche Phase Æ doppelte Amplitude
gleiche Amplitude, 180° Phasenverschiebung Æ Auslöschung
Für die Effektivwerte gelten die selben Zusammenhänge, wie für die Spitzenwerte.
Wichtig: Das Helmholzprinzip gilt nur in linearen Netzwerken für Spannungen und Ströme.
Es gilt nicht für Leistungen!
Bei nicht sinusförmigen Größen kann die resultierende Kurvenform kompliziert ausfallen,
entsprechend schwierig wird dann die Berechnung von Effektivwert, Gleichrichtwert, …
13.5.2
Unterschiedliche Frequenzen
Bei der Überlagerung von Spannungen und Strömen unterschiedlicher Frequenzen entstehen
Schwebungen. Im Takt der Schwebung schwankt auch die umgesetzte Leistung. Die mittlere
Leistung muss über eine ausreichend lange Zeit (eine Schwebeperiode) ermittelt werden.
Es gilt: Die mittlere Leistung (Wirkleistung) ist die Summe aller einzelnen Leistungen bei
den verschiedenen Frequenzen.
Bei Signalen unterschiedlicher Frequenzen werden die Leistungen addiert.
Daraus folgt unmittelbar, dass die Effektivwerte der zugehörigen Spannungen und Ströme
quadratisch addiert werden.
U eff = U eff2 1 + U eff2 2 + U eff2 3 L
I eff = I eff2 1 + I eff2 2 + I eff2 3 L
P = P1 + P2 + P3 L
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13.6 Zeigerdarstellung („Zeigerdiagramm“)
i (t ) = Iˆ ⋅ cos(ωt + ϕ )
Zur eindeutigen Beschreibung einer sinusförmigen Wechselgröße genügt die Angabe von
Amplitude =ˆ Zeigerlänge
Frequenz =ˆ
ω
2π
Phase =ˆ Lage des Zeigers zum Zeitpunkt t = 0
Diese Angaben sind am einfachsten mit einem Zeiger darstellbar, das Zeichnen der Sinusform
ist nicht notwendig. Wir denken uns den Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotierend,
gezeichnet wird eine Momentaufnahme zum Zeitpunkt t = 0. In der Praxis zeichnet man die
Zeigerlänge in Größe des Effektivwertes (einfacher!), das heißt alle Bilder sind um den Faktor
2 verkleinert.
13.6.1
Zusammenhang zwischen Zeigerdiagramm und
Oszillogramm
Den tatsächlichen Zeitverlauf einer sinusförmigen Wechselgröße erhält man durch die
Projektion des rotierenden Zeigers auf eine Koordinatenachse:
Projektion auf die x-Achse liefert die Kosinusfunktion
Projektion auf die y-Achse liefert die Sinusfunktion
i (t ) = Iˆ ⋅ cos(ωt + ϕ1 ) üblich
i (t ) = Iˆ ⋅ sin (ωt + ϕ ) selten
1
u (t ) = Uˆ ⋅ cos(ωt + ϕ1 )
Iˆ = I ⋅ 2
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Üblich ist die Projektion auf die x-Achse, d.h. die Darstellung mit Hilfe der cos-Funktion.
ϕ = ϕ 2 − ϕ1
…Phasenverschiebung zwischen U und I
Zu den Vorzeichen:
Die Nullphasenwinkel φ1 und φ2 zählen im
Gegenuhrzeigersinn positiv. Die
Phasenverschiebung zwischen den beiden
Zeigern wird eindeutig durch die Angabe der
Begriffe „voreilend“ und „nacheilend“
beschrieben.
In unserem Beispiel ist u um den Winkel ϕ = ϕ2 − ϕ1 voreilend, bzw. i ist um denselben
Winkel nacheilend.
Beachte:
Im Zeigerbild sind alle Phasenwinkel direkt ablesbar, im Oszillogramm ist eine Umrechnung
notwendig.
Die Zeigerdarstellung ist nur für sinusförmige Verläufe verwendbar, bei abweichender
Kurvenform muss mit dem Oszillogramm gearbeitet werden.
Ursprünglich ist das Zeigerdiagramm gedacht, um Schwingungen einer einzigen Frequenz
darzustellen. Das Bild bleibt dazu starr, wenn man die Rotation mit ω als Beobachter
mitmacht. Wenn nun eine Schwingung in der Frequenz abweicht, dann bewegt sich deren
Zeiger im Bild mit der Differenzfrequenz:
gegen den Urzeigersinn bei höherer Frequenz
im Urzeigersinn bei niedrigerer Frequenz
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13.7 Addition und Subtraktion sinusförmiger Größen
erfolgt prinzipiell durch Addition und Subtraktion
der Momentanwerte (Oszillogramm).
Mühsam, Amplituden- und Phasenlage können
nicht direkt ermittelt werden.
Zeigerdiagramm:
Der Zeiger der Summe ist die Vektorsumme der beiden Einzelzeiger.
Wesentlich leichter durchführbar, Amplitude und Phase
können direkt abgelesen werden. Rechnerisch erfolgt die
Addition durch Addition der Koordinatenpaare, die
Umrechnung zwischen xy einerseits und r, φ andererseits
erfolgt nach den bekannten Regeln.
Man kann auch die Zeitfunktion anschreiben und addieren und erhält aus den
„Additionstheoremen“ der Winkelfunktionen:
I Summe = I12 + I 22 + 2 I1I 2 cos(ϕ1 − ϕ 2 )
ϕ Summe = arctan
I1 sin ϕ1 + I 2 sin ϕ 2
I1 cos ϕ1 + I 2 cos ϕ 2
Diese Formeln erhält man auch, wenn auf die Dreiecke im Zeigerdiagramm der Kosinussatz
angewendet wird.
HTL / GET
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Seite 61 / 87
13.8 R, L, C im Wechselstromkreis
13.8.1
Widerstand R
Ohm’sches Gesetz:
u (t ) = i(t ) ⋅ R
Das Ohm’sche Gesetz gilt für die Momentanwerte, wegen R = konst. auch für die
Effektivwerte.
U eff = I eff ⋅ R
Dieser Zusammenhang ist zeitunabhängig und
Frequenzunabhängig. Es gibt keine Phasenverschiebung
zwischen U und I.
13.8.2
Induktivität L (ideal)
Induktionsgesetz:
u (t ) = L ⋅
di (t )
Δi (t )
≈ L⋅
dt
Δt
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Aus dem Induktionsgesetz ergibt sich, dass der Strom i(t) der Spannung u(t) um 90° nacheilt.
(Die Spannung u(t) dem Strom i(t) um 90° vorauseilt) Ebenso erhält man aus dem
Induktionsgesetz folgende Ergebnisse:
ist proportional zu L
Uˆ (U eff )
ist proportional zu Iˆ( I )
eff
ist proportional zur Frequenz, weil eine höhere Frequenz zu einer größeren
di
Stromänderungsgeschwindigkeit
führt.
dt
Die Differentialgleichung liefert eine Proportionalität zu ω = 2πf .
Insgesamt erhält man:
U eff = I eff ⋅ ωL
ωL = X L …induktiver Blindwiderstand
13.8.3
i (t ) = C ⋅
Kapazität C (ideal)
du (t )
Δu (t )
≈C⋅
dt
Δt
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Aus der Differentialgleichung erhält man wieder:
I eff = U eff ⋅ ωC
U eff = I eff ⋅
1
ωC
1
= X C …kapazitiver Blindwiderstand
ωC
Beachte: Aus den Formeln, die für R, L, C das Ohm’sche Gesetz darstellen, ist die jeweilige
Phasenverschiebung nicht erkennbar.
Merkregel: Eine Spule „wehrt“ sich gegen Stromänderungen, daher ist der Strom gegenüber
der Spannung nacheilend. Ein Kondensator „wehrt“ sich gegen Spannungsänderungen, daher
ist die Spannung gegenüber dem Strom nacheilend.
Eselsbrücke:
Kondensator
Strom
voreilend
Die Blindwiderstände XL und XC verhalten sich gegensätzlich:
X L = ωL ist proportional zu ω und L
1
ist verkehrt proportional zu ω und C
XC =
ωC
Man kann daher sagen:
Eine Induktivität L ist vom Typ „Widerstand“.
1
ist gleich Leitwert.
Eine Kapazität C ist vom Typ
R
Um die Zusammenhänge zwischen U und I vollständig zu machen, d.h. auch die jeweiligen
Phasenverschiebungen in der Formel darzustellen, verwendet man komplexe Zahlen C.
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13.9 Komplexe Zahlen C
•
Reelle Zahlen R
„Zahlengerade“
•
Komplexe Zahlen C
Gauss’sche Zahlenebene
Anschaulich betrachtet sind C Punkte in der Gauss’schen Zahlenebene. Üblich ist die
Darstellung als Zeiger vom Ursprung zum Punkt der Zahl. Zur eindeutigen Beschreibung
einer C benötigt man 2 R.
z.B.: kartesische Koordinaten: Realteil, Imaginärteil
Polarkoordinaten: Betrag (Radius), Phase (Winkel)
Jede C wird durch ein Paar von R eindeutig festgelegt.
Z = (3,4)
Z = 5| 53,13°
3…Re
4…Im
Zahlenpaardarstellung
5…Betrag
53,13°…Winkel
13.9.1
Rechenregeln
Z1 + Z 2 = (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 )...addieren
Z1 ⋅ Z 2 = (a1 ⋅ a2 − b1b2 , a1b2 + a2b1 )...multiplizi eren
− Z = (− a,−b)...subtrahieren
1 ⎛ a
−b ⎞
, 2
=⎜ 2
⎟...dividieren
2
Z ⎝ a + b a + b2 ⎠
ursprüngliche Definitionen für die 4 Grundrechenarten
HTL / GET
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Seite 65 / 87
Die Zahlenpaardarstellung ist extrem unpraktisch. Wesentlich handlicher ist die Darstellung
mit Hilfe der imaginären Einheit j.
Z = a + jb
Der Realteil und der mit j multiplizierte Imaginärteil werden addiert, wobei diese Addition
aber niemals ausgeführt werden kann. Dadurch bleiben die beiden Teile (wie gewünscht)
getrennt erhalten.
Vorteil:
Für die so entstandenen Ausdrücke gelten alle Rechenregeln der Algebra (z.B.: Klammern
auflösen, herausheben, Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz…) mit einer
einzigen Zusatzregel: j 2 = −1
Beachte: Grundsätzlich ist um a + jb immer eine Klammer zu denken / setzen, bevor weitere
Rechenschritte durchgeführt werden.
13.9.2
Geometrische Interpretation
Die Summe 2er C erhält man als Vektorsumme der beiden Zeiger.
Das Produkt 2er C ist jene C, deren Betrag als Produkt der beiden Beträge und deren Phase
als Summe der beiden Phasen entsteht.
13.9.3
Umrechnung zwischen den Darstellungsarten
Z = a + jb
Re{Z } = a
Im{Z } = b
HTL / GET
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Seite 66 / 87
Beachte: Realteil und Imaginärteil sind beide reelle Zahlen!
Z = Z = a2 + b2
ϕ Z = arctan
b
a
Beachte: Die arctan Funktion des Taschenrechners liefert immer den sogenannten
„Hauptwert“ des Winkels im Bereich -90° bis +90°. Æ C im 2. und 3. Quadranten werden
falsch umgerechnet. Es ist daher wichtig anhand einer kleinen Skizze die Lage der gegebenen
Zahl zu ermitteln und den Winkel, falls nötig, durch Addition oder Subtraktion von 180° zu
korrigieren.
Schneller und weniger fehleranfällig ist die Verwendung der in vielen Rechner realisierten
Koordinatenumwandlung
R Æ P bzw. P Æ R (x,y Æ r,φ)
Betriebsanleitung lesen!
In jedem Fall problemlos ist die Umrechnung in rechtwinklige Koordinaten (P Æ R).
Z = Z | ϕ Z = Z ⋅ e jϕ2 = Z cos ϕ + j sin ϕ = a + jb …Euler’sche Formel
Re{Z } = a = z cos ϕ
Im{Z } = b = z sin ϕ
13.9.4
Konjungiert komplexe Zahl: Z *
*
Z = a + jb → Z = a − jb
Z = Z | ϕ Z → Z = Z | −ϕ Z
*
*
Z ⋅ Z = a 2 + b2 = Z 2
(
)
(
)
1
*
Z +Z
2
1
*
Z − Z = 2b → Im{Z } = Z − Z *
2
Z + Z = 2a → Re{Z } =
*
1
=−j
j
exp( j 0°) = 1
exp( j 90°) = j
exp( j180°) = −1
exp( j 270°) = − j
HTL / GET
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Z1 = Z1| ϕ1
Z 2 = Z 2 | ϕ2
Z1 ⋅ Z 2 = Z1 ⋅ Z 2 | ϕ1 + ϕ 2
Æ
1 1
= ⋅ exp( − jϕ )
Z Z
Aus den Rechenregeln für die Multiplikation in Polardarstellung ergibt sich:
Multiplikation mit j bedeutet Drehung um +90°
Division durch j bedeutet Drehung um -90°
„reell machen des Nenners“ ist nur in Formeln mit allgemeinen Zahlen sinnvoll, wenn die
Werte bekannt sind („besondere Zahlen“), dann ist die Umwandlung in Polarform zur
Kehrwertbildung wesentlich praktischer.
13.9.5
Potenzieren und Wurzelziehen
Potenzieren ist grundsätzlich auch in kathesischer Form möglich, aber oft sehr aufwändig.
In der Polardarstellung ist es wesentlich leichter.
Z = [Z ⋅ exp( jϕ Z )] = Z n ⋅ exp( j ⋅ n ⋅ ϕ Z )
n
n
Der Betrag wird potenziert, der Winkel mit der Hochzahl vervielfacht.
1
n
Z = Zn
Achtung: Wurzelziehen liefert zunächst nur den Hauptwert der Wurzel (Betragsmäßig
kleinster Winkel), die restlichen Wurzeln erhält man durch Addition von x ⋅ 360° zum
ursprünglichen Winkel (danach durch n dividieren), solange, bis man keine neuen Werte mehr
erhält.
n
⎛ ϕ ⎞
Z = n Z ⋅ exp⎜ j Z ⎟
⎝ n ⎠
n
Z ≥0
Die Wurzel aus dem Betrag ist immer der positive Wert, die Vielfalt der Wurzeln kommt nur
aus der Vielfalt der Winkel!
Viele Aufgabenstellungen der Elektrotechnik führen auf Gleichungen, die auf spezielle Weise
lösbar sind.
HTL / GET
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z.B.:
Im{Z } = 0
a + jb … Z wird reell, wenn Zähler und Nenner den gleichen Phasenwinkel haben.
c + jd
b
d
arctan = arctan
a
c
… leicht lösbar
b d
→ =
a c
Z=
z.B.:
Im{Z } = ± Re{Z } ↔ ϕ Z = ±45°
Z = a + jb → a = ±b
13.10 R, L, C in symbolischer Schreibweise
13.10.1
R
U = I ⋅R
Keine Phasenverschiebung zwischen U und I Æ R…reell
Man nennt einen ohmschen Widerstand R auch „reellen Widerstand“ oder „Wirkwiderstand“.
13.10.2
L
U = I ⋅ jωL
Der Faktor j sorgt für die Phasendrehung von 90°.
jωL = jX L = X L …induktiver Blindwiderstand (immer positiv
imaginär)
HTL / GET
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13.10.3
C
U =I⋅
1
j ωC
1
= jX C = X C …kapazitiver Blindwiderstand
jω C
XC = −
1
ωC
Immer negativ imaginär!
Beachte: Die imaginäre Einheit j ist immer unmittelbar und untrennbar mit ω verbunden.
13.10.4
R, L Serienschaltung
U,I :
Z:
UR = I ⋅ R
U L = I ⋅ jω L
U = U R + U L = I ⋅ R + I ⋅ jω L
= I ⋅ ( R + jω L ) = I ⋅ Z
Z = R + jω L
Z …IMPEDANZ (Scheinwiderstand)
Das Zeigerdiagramm für Spannungen und Ströme ist immer eine Momentaufnahme, das
ganze Bild rotiert mit ω gegen den Urzeigersinn, grundsätzlich kann es in jeder beliebigen
Position bezeichnet werden. (üblich: den Stromzeiger I mit 0° Phasenlage zeichnen) Die
Verhältnisse in der Schaltung können genauso gut mit einem Zeigerdiagramm der Z Ebene
beschrieben werden.
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Die Zeiger für R, jωL und Z haben dieselben Phasenlagen und Größen wie die
Spannungszeiger, dieses Bild ist aber von vorn herein ruhend (keine Momentaufnahme), seine
Lage ist eindeutig festgelegt. Der Widerstand R hat immer einen Winkel von 0°, jωL führt in
1
1
die obere Halbebene,
führt immer in die untere Halbebene.
=−j
jω C
ωC
13.10.5
R, C Serienschaltung
U,I :
Z:
UR = I ⋅ R
UC = I ⋅
1
jωC
⎛
1
1 ⎞
⎟ = I ⋅Z
= I ⋅ ⎜⎜ R +
j ωC
jωC ⎟⎠
⎝
1
⎛ 1 ⎞
Z = R+
= R + j⎜ −
⎟ = R + jX C = R + X C
j ωC
⎝ ωC ⎠
U = U R +UC = I ⋅ R + I ⋅
⎛ 1 ⎞
Z = Z = R2 + ⎜
⎟
⎝ ωC ⎠
2
⎛ − 1 / ωC ⎞
⎟
⎝ R ⎠
ϕ Z = arctan⎜
Beachte: R ist immer positiv Æ φZ ist immer zwischen -90° und +90° (Hauptwert des arctan)
HTL / GET
2AHEL
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13.10.6
R, L, C Serienschaltung
UR = I ⋅ R
U L = I ⋅ jωL
UC = I ⋅
1
jωC
⎛
1 ⎞
⎟ = I ⋅Z
U = U R + U L + U C = I ⋅ ⎜⎜ R + jωL +
jωC ⎟⎠
⎝
1
1 ⎞
⎛
Z = R + jω L +
= R + j ⎜ ωL −
⎟
jωC
ωC ⎠
⎝
kapazitiv
reell
induktiv
ω < ω0
Resonanz
ω = ω0
ω > ω0
ESB
Die Impedanz Z verhält sich je nach Frequenz, kapazitiv, reell oder induktiv. Jene Frequenz,
bei der Z reell wird, heißt Resonanzfrequenz f0. Die Resonanzfrequenz kann aus der
Bedingung Im{Z } = 0 berechnet werden:
1 ⎞
1
⎛
Z = R + j ⎜ ωL −
=0
⎟ → ω0 L −
ωC ⎠
ω0 C
⎝
ω02 LC − 1 = 0
1
LC
1
f0 =
2π LC
ω0 =
ω0 =
1
…Thompson-Formel
LC
HTL / GET
2AHEL
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Man nennt die Schaltung „Serienschwingkreis“. Sie verhält sich oberhalb der
Resonanzfrequenz induktiv, bei Resonanzfrequenz reell (wie ein ohmscher Widerstand),
unterhalb der Resonanzfrequenz kapazitiv. Der Serienschwingkreis kann daher bei gegebener
Frequenz durch eine einfachere RL- oder RC-Schaltung ersetzt werden.
Achtung:
Das jeweilige ESB, insbesondere die errechneten Bauteilwerte, gelten immer nur für eine
einzige Frequenz!
Man darf keinesfalls aus der Struktur eines ESB auf sein Frequenzverhalten schließen, ohne
die Frequenzabhängigkeit der Bauteilwerte zu berücksichtigen.
13.10.7
R, L Parallelschaltung
U
R
U
IL =
jω L
IR =
I = IR + IL =
⎛1
1 ⎞
1
U
U
⎟⎟ = U ⋅
+
= U ⎜⎜ +
R jωL
Z
⎝ R jωL ⎠
Z = R // jωL
1 1
1
= +
Z R jω L
13.10.8
R, C Parallelschaltung
IR =
U
R
IC =
U
= U ⋅ jω C
1 / j ωC
I = I R + IC =
Z = R //
1
U
⎛1
⎞
+ U ⋅ j ω C = U ⎜ + j ωC ⎟ = U ⋅
R
Z
⎝R
⎠
1
jω C
1 1
= + jωC
Z R
HTL / GET
2AHEL
Seite 73 / 87
13.10.9
R, L, C Parallelschaltung
U
R
U
IL =
jωL
I C = U ⋅ jωC
IR =
I = I R + I L + IC =
⎞
⎛1
1
1
U
U
+
+ U ⋅ jωC = U ⎜⎜ +
+ jωC ⎟⎟ = I ⋅
R j ωL
Z
⎠
⎝ R jωL
1 1
1
= +
+ jω C
Z R jω L
1
=
Z = R // jωL //
jω C 1
+
R
1
1 ⎞
⎛
j ⎜ ωC −
⎟
ωL ⎠
⎝
Auch hier ist wieder Resonanz möglich:
ω0 C −
1
= 0 → ω0 =
ω0 L
1
LC
Die beiden Ströme I L und I C sind in jedem Fall zueinander 180° phasenverschoben
(„Gegenphasig“). Falls sie gleiche Beträge haben, ergibt ihre Summe 0, also von außen fließt
kein Strom in die Parallelschaltung von L und C, obwohl im Inneren dieses Schwingkreises
hohe Ströme auftreten.
Beachte: Ein Schwingkreis ist nur deshalb schwingfähig, weil in den beiden Bauelementen
Energie in 2 verschiedenen Formen gespeichert und immer wieder von einer Form in die
Andere umgewandelt wird.
HTL / GET
2AHEL
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13.11 Widerstand – Leitwert
Auch in der komplexen Rechnung ist der Leitwert grundsätzlich der Kehrwert des
Widerstands.
Wir verwenden folgende Bezeichnungen:
Widerstand: Z = R + jX
Y = G + jB
Leitwert:
Z …IMPEDANZ (Scheinwiderstand)
R…RESISTANZ (Wirkwiderstand)
X…REAKTANZ (Blindwiderstand)
Y …ADMITTANZ (Scheinleitwert)
G…KONDUKTANZ (Wirkleitwert)
B…SUSZEPTANZ (Blindleitwert)
Bauteile:
jX L = jωL
( X L = ωL )
1 ⎞
⎛
⎟
⎜ XC =
− ωC ⎠
⎝
1
1 ⎞
⎛
jBL =
⎟
⎜ BL = −
jωL ⎝
ωL ⎠
jBC = jωC (BC = ωC )
jX C =
1
jωC
1
=G
R
1
Z = jωL Y =
jω C
1
Z=
Y = jω L
jωC
Z=R Y=
R − jωL
R
ωL
= 2
− j⋅ 2
= G + jB
2
2 2
2 2
R +ω L
R +ω L
R + ω 2 L2
R
G= 2
R + ω 2 L2
ωL
B=− 2
R + ω 2 L2
Y=
HTL / GET
2AHEL
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Diese Leitwerte können in ein Schaltbild eingezeichnet werden, in dem sie parallel
angeordnet sind:
1
− ωL
= jB = j 2
jωLP
R + ω 2 L2
„Parallel-ESB“
R 2 + ω 2 L2
1
ω 2L
L
= 2
→
=
P
ω 2 L2
LP R + ω 2 L2
1
R
R 2 + ω 2 L2
G=
=
→ RP =
RP R 2 + ω 2 L2
R
Achtung:
Die Bauteilwerte dieses Parallel-ESB sind beide von beiden ursprünglichen Werten R und L
abhängig.
Z = R+
Y=
1
jωC
1
1
jωC
jωC (1 − jωRC ) jωC + ω 2 RC 2
=
=
=
=
1 + jωRC
1 + ω 2 R 2C 2
1 + ω 2 R 2C 2
Z R+ 1
j ωC
ω 2 RC 2
ωC
+j
= G + jB
2 2 2
1+ ω R C
1 + ω 2 R 2C 2
ω 2 RC 2
G=
1 + ω 2 R 2C 2
ωC
B=
1 + ω 2 R 2C 2
=
„Parallel-ESB“
jωC P = jB = j ⋅
ωC
1 + ω 2 R 2C 2
C
1 + ω 2 R 2C 2
1
1 + ω 2 R 2C 2
ω 2 RC 2
G=
R
=
→
=
P
RP 1 + ω 2 R 2C 2
ω 2 RC 2
CP =
HTL / GET
2AHEL
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1
1 ⎞
⎛
= j ⎜ ωL −
⎟
j ωC
ωC ⎠
⎝
ωC
1
1
1
Y= =
= j
= j
1
1 ⎞
Z
1 − ω 2 LC
⎛
−
L
ω
j ⎜ ωL −
⎟
ωC
ωC ⎠
⎝
Z = jωL +
Z und Y sind rein imaginär und können daher für eine bestimmte Frequenz durch ein Bauteil
ersetzt werden. Dabei ist es gleichgültig, ob uns von diesem Bauteil Z oder Y interessiert!
Wie bei jedem Schwingkreis ist die Grenze zwischen induktivem und kapazitivem Verhalten
die Resonanzfrequenz f0.
ω0 =
1
LC
1 ⎞
⎛
Z = R + j ⎜ ωL −
⎟
ωC ⎠
⎝
Schaltungsvereinfachung bzw. Berechnung des Leitwertes bzw. Ermittlung des Parallel-ESB
erfolgt in 2 Schritten:
1) L und C durch ein Bauelement LE bzw. CE ersetzen.
2) R, LE bzw. CE in Parallel-ESB umwandeln.
Beachte:
Die Ersatzbauteile RP, LP oder CP haben komplizierte Frequenzgänge, als bei einfacher RLoder RC-Serienschaltung.
HTL / GET
2AHEL
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umgekehrte Aufgabenstellung ( Z einer Parallelschaltung)
jω L + R
1
1
+
=
R jω L
jωRL
jωLR
jωLR (R − jωL )
1
=
Z= =
Y R + jω L
R 2 + ω 2 L2
Y=
Z=
ω 2 L2 R
ωLR 2
j
+
R 2 + ω 2 L2
R 2 + ω 2 L2
„Serien-ESB“
RS =
ω 2 L2 R
R 2 + ω 2 L2
LS =
LR 2
R 2 + ω 2 L2
1
1 + jωCR
+ j ωC =
R
R
R
R(1 − jωCR )
1
=
Z= =
Y 1 + jωCR 1 + ω 2C 2 R 2
Y=
Z=
R
ωCR 2
−
j
1 + ω 2C 2 R 2
1 + ω 2C 2 R 2
„Serien-ESB“
R
1 + ω 2C 2 R 2
1 + ω 2C 2 R 2
CS =
ω 2CR 2
RS =
HTL / GET
2AHEL
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1 ⎞
⎛
= j⎜ ωC −
⎟
jω L
ωL ⎠
⎝
ωL
1
1
1
Z= =
= j
= j
1
1 ⎞
Y
1 − ω 2 LC
⎛
−
C
ω
j ⎜ ωC −
⎟
ωL
ωL ⎠
⎝
Y = jωC +
1
Ein Parallelschwingkreis ist durch eine einzelne Reaktanz darstellbar, wobei die Frequenz
über L oder C entscheidet.
f0 =
1
2π LC
f < f0…Induktiv
f > f0…Kapazitiv
Y=
1
1
+
+ j ωC
R j ωL
Umwandlung in ein Serien-ESB wieder in 2 Schritten:
1) L, C in eine Reaktanz umwandeln
2) zusammen mit R ins Serien-ESB umwandeln
HTL / GET
2AHEL
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13.11.1
Gemischte Schaltungen
Ges.: Resonanzfrequenz fres, ωres
Resonanz
Im{Z } = 0
Im{Y } = 0
Z = (R + jωL ) //
Y=
1
jω C
(
R + j ωCR 2 + ω 3CL2 − ωL
R 2 + ω 2 L2
Im{Y } = 0
=
→
(
1
1 + jωC (R + jωL ) R − jωL + jωC R 2 + ω 2 L2
+ jω C =
=
R + jωL
R + jω L
R 2 + ω 2 L2
)
)
ωCR 2 − ωL + ω 3CL2
=0
R 2 + ω 2 L2
Ein Bruch wird 0, wenn der Zähler 0 ist und der Nenner ungleich 0 ist.
Ein Bruch wird 0, wenn der Nenner ∞ und der Zähler ungleich ∞ ist.
Ein Produkt wird 0, wenn mind. einer der Faktoren 0 ist.
ω 3CL2 + ωCR 2 − ωL = 0
ω (ω 2CL2 + CR 2 − L ) = 0
ω = 0 ist Lösung dieser Gleichung, praktisch wertlos, weil jede beliebige Schaltung bei ω = 0
rein reelle Werte für Z und Y liefert.
ω 2CL2 + CR 2 − L = 0
ω 2CL2 = L − CR 2
L − CR 2
R2
1
=
−
→ω =
ω =
CL2
LC L2
2
HTL / GET
1 ⎛R⎞
−⎜ ⎟
LC ⎝ L ⎠
2
2AHEL
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Diese Formel erlaubt die Berechnung der Resonanzfrequenz fres bzw. ωres wobei genauso
genommen ab der Gleichung Im{Y } = 0 überall anstelle von ω die Größe ωres geschrieben
werden müsste.
Das Ergebnis lautet daher:
1 ⎛R⎞
−⎜ ⎟
LC ⎝ L ⎠
ωres =
2
1
ist hier nicht die Resonanzfrequenz, hat aber dennoch große Bedeutung für diese
LC
Schaltung. Man nennt ω0 üblicherweise Kennfrequenz f0.
ω0 =
2
1
⎛R⎞
Mit ω =
erhält man ωres = ω02 − ⎜ ⎟ .
LC
⎝L⎠
Die Resonanzfrequenz dieses gedämpften Schwingkreises ist nicht identisch mit der
Kennfrequenz. Die Dämpfung durch den Widerstand R bewirkt eine Frequenzänderung, die
bei „sinnvoller Dimensionierung“ (schwache Dämpfung) relativ gering ausfällt. Bei stärkerer
Dämpfung wird die Resonanzfrequenz immer kleiner und erreicht schließlich den Wert 0.
2
0
ωres = 0 …Aperiodischer Grenzfall
Bei noch stärkerer Dämpfung (noch größerer R) wird ωres imaginär (negative Wurzel), das
heißt es gibt wieder nur ein exponentielles abklingen, keine Schwingung.
Beachte: Eine imaginäre Frequenz bzw. Kreisfrequenz liefert beim Einsetzen in exp( jωt )
⎛ t⎞
eine nicht periodische Funktion (abklingend) vom Typ exp⎜ − ⎟ .
⎝ τ⎠
Zusammenfassung:
ωres = ω0 =
1
LC
•
R = 0…ungedämpft
•
R<
L
⎛R⎞
…gedämpft, schwingfähig ωres = ω02 − ⎜ ⎟
C
⎝L⎠
•
R=
L
…aperiodischer Grenzfall ωres = 0
C
•
R>
L
…aperiodisches Kriechen ωres ...imaginär
C
2
1
= ω0 …Kennfrequenz
LC
L
= R0 …Kennwiderstand
C
Beachte: Bei anderen Schaltungsanordnungen kann ωres auch größer sein als ω0.
HTL / GET
2AHEL
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Bsp.:
f = 100Hz
φZ = -80° bis +80°
Ges.: R
Kennfrequenz:
1
1
ω0 =
=
= 103 s −1
−6
LC
0,1⋅10 ⋅10
f0 =
ω0 1000
=
= 159 Hz > 100 Hz → lösbar!
2π
2π
Y=
R − jωL
R
1
ωL ⎞
⎛
+ jω C = 2
+ jω C = 2
+ j ⎜ ωC − 2
⎟
2 2
2 2
R + jωL
R +ω L
R +ω L
R + ω 2 L2 ⎠
⎝
φZ = ?
Im{Z }
Re{Z }
tan ϕ Z =
ϕY = −ϕ Z
tan ϕY =
tan ϕY =
Im{Y }
Im{Z }
ωC −
ωL
2
2 2
R + ω 2 L2 = ωC (R + ω L ) − ωL
2
R
R + ω 2 L2
R ⋅ tan ϕY = ωCR 2 + ω 3CL2 − ωL
R
2
ωCR 2 − R ⋅ tan ϕY + ω 3CL2 − ωL = 0
tan ϕY
L
+ ω 2 L2 − = 0
R2 − R ⋅
ωC
C
2
R1, 2
tan ϕY
tan 80°
⎛ tan ϕY ⎞ ⎛ 2 2 L ⎞
=
± ⎜
±
⎟ − ⎜ω C − ⎟ =
−6
C⎠ 1
2ωC
2π4
103
⋅100
⋅10
⎝ 2ωC ⎠ ⎝
42
4⋅4
451, 3
⎛
⎞
(451,3)2 − ⎜⎜ 3947
,8 −43
10 4 ⎟
142
⎟
⎝
−6052 , 2
⎠
⎧909,56
=⎨
⎩ − 6,7
mit tan-80°:
⎧− 909,56
=⎨
⎩ 6,7
Æ 909,56Ω und 6,7Ω
HTL / GET
2AHEL
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R = 909,56Ω liefert φY = 80°, dass heißt φZ = -80°…kapazitiv
Für φY = 80°, das heißt φZ = +80° erhält man:
R = 6,7Ω liefert φY = -80°, dass heißt φZ = +80°…induktiv
Für die beiden Widerstandswerte ergeben sich folgende Resonanzfrequenzen:
⎛R⎞
⎝L⎠
2
ωres = ω02 − ⎜ ⎟
1
= 1000s −1
LC
R = 6,7Ω
ω0 =
2
ωres
1
⎛ 6,7 ⎞
= 1000 − ⎜
⎟ = 997,75s −1
⎝ 0,1 ⎠
2
f res1 =
ωres
= 158,79 Hz
2π
1
R = 909,56Ω
2
ωres
2
⎛ 909,56 ⎞
= 1000 − ⎜
⎟ = j 9040,5s −1
⎝ 0,1 ⎠
2
zu starke Dämpfung, nicht schwingfähig
Der aperiodische Grenzfall tritt ein für R =
ωres = 0
R = ω0 ⋅ L = 100Ω
Zusatzfrage: Für welchen Wert von R beträgt die Resonanzfrequenz 100Hz?
2
ωres
⎛R⎞
= ω − ⎜ ⎟ = 2π ⋅100 Hz
⎝L⎠
2
0
2
⎛R⎞
2
1000 − ⎜ ⎟ = (2π 100 )
⎝L⎠
R
2
= 1000 2 − (2π 100 )
L
2
R = L ⋅ 1000 2 − (2π 100)
2
R = 0,1 ⋅ 1000 2 − (2π 100 )
2
R = 77,80Ω
HTL / GET
2AHEL
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13.12 Zeigerdiagramme
erlauben die übersichtliche Darstellung der Verhältnisse in Wechselstromnetzwerken.
Oft kann man das Verhalten einer Schaltung abschätzen, ohne dass viele Rechengänge
notwendig sind.
Quantitative Zeigerdiagramme
sind exakt maßstäblich gezeichnet, ersetzen oft eine komplizierte Rechnung.
Qualitative Zeigerdiagramme
veranschaulichen die Verhältnisse in der Schaltung prinzipiell, sind nicht maßstäblich.
Bauteilwerte und/oder Frequenz müssen nicht bekannt sein. Man kann aus ihnen das
Verhalten einer Schaltung bei Variation verschiedener Parameter erkennen.
Reihenfolge beim Zeichnen eines Zeigerdiagramms
Grundsätzlich muss man „im Inneren“ der Schaltung beginnen, d.h. bei jenen Bauelementen,
Spannungen und Strömen, die am weitesten von den Klemmen entfernt sind.
Hilfe: Schreibt man die Impedanz oder Admittanz als Formel an, dann muss in der innersten
Klammer mit dem Aufbau des Zeigerdiagramms begonnen werden.
Bsp.:
Beachte:
Die willkürlich wählbaren Zeigerlängen sollte man so festlegen, dass „Sonderfälle“
vermieden werden: Keine rechten Winkel oder Parallelen, wo es nicht zwingend ist.
HTL / GET
2AHEL
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HÜ:
U = 220V ,50 Hz
20V = 1cm
0,5 A = 1cm
Ges.: Zeigerdiagramm
13.13 Leistungen im Wechselstromkreis
P = U ⋅ I …DC
p(t ) = u (t ) ⋅ i (t ) …Momentanleistung
p (t ) = P …Wirkleistung (verantwortlich für die Wärmeentwicklung)
Bei sinusförmigen Größen erhält man die Wirkleistung (= Mittelwert der Momentanleistung)
in Abhängigkeit von der Phasenverschiebung zwischen I und U .
13.13.1
R
U = I ⋅R
ϕ = 0°
u (t ) = Uˆ ⋅ cos ωt
i(t ) = Iˆ ⋅ cos ωt
p(t ) = u (t ) ⋅ i (t )
p (t ) = Uˆ ⋅ Iˆ ⋅ cos 2 ωt
1
(1 + cos 2 x )
2
1
p(t ) = Uˆ ⋅ Iˆ ⋅ (1 + cos 2ωt )
2
cos 2 x =
HTL / GET
2AHEL
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⎞
1⎛
1
23
P = p(t ) = Uˆ ⋅ Iˆ ⋅ ⎜⎜1 + cos
ωt ⎟⎟ = Uˆ ⋅ Iˆ ⋅ = U eff ⋅ I eff
1
2
2 ⎝ Mittelwert = 0 ⎠
2
P = U eff ⋅ I eff = U ⋅ I
ϕ = 0°
13.13.2
L
U = I ⋅ jω L
ϕ = +90°
u (t ) = Uˆ ⋅ cos ωt
i (t ) = Iˆ ⋅ sin ωt
p (t ) = u (t ) ⋅ i (t )
p (t ) = Uˆ ⋅ Iˆ ⋅ cos ωt ⋅ sin ωt
cos α ⋅ cos β =
1
(sin (α − β ) + sin (α + β ))
2
1
p (t ) = Uˆ ⋅ Iˆ ⋅ ⋅ sin 2ωt
2
1
P = p (t ) = Uˆ ⋅ Iˆ ⋅ ⋅ sin
23
ωt
12
2 Mittelwert
=0
Die Wirkleistung ist 0.
Obwohl Spannung anliegt und Strom fließt, gibt es keine Wirkleistung. Diese Art von
Leistung nennt man Blinleistung.
induktive Blindleistung:
Q = U eff ⋅ I eff = U ⋅ I = U ⋅ I
ϕ = 90°
HTL / GET
2AHEL
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13.13.3
C
U =I⋅
1
jωC
ϕ = 90°
Analoge Überlegungen liefern auch hier nur Blindleistung.
kapazitive Blindleistung
13.13.4
RL, RC
U = I ⋅Z
⎧ 90°
⎩− 90°
ϕ = var .⎨
Hier gibt es Wirkleistung und Blindleistung!
S = U ⋅ I …Scheinleistung
Zusammenhang zwischen den 3 Leistungen:
S = P + jQ
P = S ⋅ cos ϕ
Q = S ⋅ sin ϕ
übliche Einheiten:
[S] = VA
[P] = W
[Q] = var
HTL / GET
…Voltampere
…Watt
…Voltampere reaktiv
2AHEL
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