Leseprobe - Christiani

141
Physik
I Einführung
Die Physik ist ein Teilgebiet der Naturwissenschaften
und beschäftigt sich mit der leblosen Umwelt. In der
Physik wird versucht, die Gesetzmäßigkeiten der
unbelebten Materie durch Beobachtungen und Messungen zu erfassen und in einer mathematischen
Gleichung darzustellen. Ist diese bekannt, so kann
man die physikalischen Gesetze für technische Zwecke ausnutzen. Die Physik wird in folgende Gebiete
unterteilt: Mechanik, Thermodynamik (Wärmelehre),
Elektrizität und Magnetismus, Wellenlehre, Akustik,
Optik, Atom- und Kernphysik, Festkörperphysik,
Relativitätstheorie.
1 Physikalische Größen
Eine physikalische Größe kennzeichnet Eigenschaften, Zustände oder Größen von messbaren Objekten.
Sie ist das Produkt einer Maßzahl und einer Einheit.
schreibung noch eine Richtung angegeben werden.
Zum Beispiel ist es nicht ausreichend zu sagen, ein
Auto habe eine Strecke von 100 km zurückgelegt,
wenn nicht auch die Richtung der Bewegung mit
angegeben wurde.
Solche gerichteten Größen werden Vektoren genannt.
Zur vollständigen Angabe gehört ein Betrag (Maßzahl, Einheit) und eine Richtung.
Beispiele für Vektoren: Kraft, Geschwindigkeit,
elektrische und magnetische Feldstärke. Wenn die
Vektoreigenschaft einer Größe hervorgehoben werden soll, so wird dies entweder
durch einen Pfeil über

dem Größenzeichen F oder durch Fettdruck F des
Zeichens kenntlich gemacht. Für die mathematische
Behandlung von Gleichungen mit Vektoren wird die
Vektorrechnung benötigt.
Größe = Maßzahl ⋅ Einheit
2 SI – System
Um Größen und ihre Einheiten deutlich zu unterscheiden, werden für sie unterschiedliche Symbole
verwendet.
Die Einheiten der physikalischen Größen sind seit
1960 im „Système International d'Unités“, kurz
SI-System, festgelegt und in der Bundesrepublik
Deutschland gesetzlich vorgeschrieben. Das System
besteht aus Basisgrößen und abgeleiteten Größen.
Die Basisgrößen sind in der folgenden Tabelle angegeben.
Spannung = 100 ◊ 1 Volt ; U = 100 ◊ 1 V ; U = 100 V
In Gleichungen werden immer physikalische Größen
miteinander verbunden, das heißt, dass sowohl die
Maßzahlen, aber auch die Einheiten auf beiden Seiten
der Gleichung miteinander übereinstimmen müssen.
1.1 Skalare
Viele Größen sind neben ihrer Einheit allein durch
ihre Maßzahlen eindeutig bestimmt, dazu gehören
z.B. Temperatur, Masse, Energie, Leistung, Widerstand. Solche Größen werden skalare Größen oder
Skalare genannt.
Definitionen der Basisgrößen
1 Sekunde ist das 9 192 631 770 fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden
Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von
Atomen des Nuklids 133Cs entsprechenden Strahlung.
(1967)
1.2 Vektoren
1 Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während der Dauer von 1/299 792 458 Sekunden
durchläuft. (1983)
Bei anderen Größen reichen diese Angaben alleine
nicht aus, sondern es muss zur vollständigen Be-
1 Kilogramm ist die Masse des internationalen Kilogrammprototyps. (1889)
Tabelle I-1 Basisgrößen und Basiseinheiten
Gebiet
Basisgröße
Formelzeichen
Basiseinheit
Einheitenzeichen
Mechanik
Zeit
Länge
Masse
Stromstärke
Temperatur
Lichtstärke
Stoffmenge
t
l
m
I
T
IL
n
Sekunde
Meter
Kilogramm
Ampere
Kelvin
Candela
Mol
s
m
kg
A
K
cd
mol
Elektrotechnik
Thermodynamik
Optik
Chemie
W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik,
DOI 10.1007/978-3-8348-2071-6_2, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2013
142
1 Ampere ist die Stärke eines zeitlich unveränderlichen Stroms, der, durch zwei im Vakuum parallel im
Abstand von 1 Meter voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachlässigbar kleinem kreisförmigen Querschnitt fließend,
zwischen diesen Leitern je 1 Meter Leiterlänge die
Kraft 2 ⋅ 10–7 Newton hervorruft. (1948)
1 Kelvin ist der 273.16te Teil der thermodynamischen
Temperatur des Tripelpunktes des Wassers. (1967)
1 Candela ist die Lichtstärke in einer bestimmten
Richtung, einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 THz aussendet und
1 W
deren Strahlstärke in dieser Richtung
beträgt.
683 s r
1 Mol ist die Stoffmenge eines Systems bestimmter
Zusammensetzung, das aus ebenso vielen Teilchen
besteht, wie Atome in (12/1000) kg des Nuklids 12C
enthalten sind. (1971)
Abgeleitete Größen: Aus den Basisgrößen lassen sich
die SI-Einheiten aller anderen Größen ableiten. Eine
Physik
Zusammenfassung der wichtigsten Größen finden Sie
im Abschnitt VIII.
Durch Vorsätze können dezimale Vielfache oder
Teile der Maßeinheiten gebildet und damit umständlicher zu benutzende Zehnerpotenzen vermieden
werden. In Tabelle I.2 sind die Vorsilben und Kurzzeichen für die Vorsätze zusammengestellt. Doppelvorsätze, wie z.B. nmm sind nicht zulässig.
Tabelle I-2 Vorsätze für dezimale Vielfache
Wert
18
10
1015
1012
109
106
103
102
101
Vorsatz Zeichen Wert
Exa
Peta
Tera
Giga
Mega
Kilo
Hekto
Deka
E
P
T
G
M
k
h
da
–1
10
10–2
10–3
10–6
10–9
10–12
10–15
10–18
Vorsatz Zeichen
Dezi
Zenti
Milli
Mikro
Nano
Piko
Femto
Atto
d
c
m
m
n
p
f
a
II Mechanik
1 Kinematik des Massenpunktes
Die Kinematik beschreibt die Bewegung von Körpern
im Raum. Ein Punkt im Raum wird durch seine
Ortskoordinaten festgelegt. Diese ändern sich während der Bewegung des Körpers mit der Zeit. Bei
größeren Systemen können einzelne Teile des Systems völlig unterschiedliche Bewegungen durchführen, so bewegt sich bei einem fahrenden Auto ein
Punkt auf der Karosserie anders als ein Punkt auf
dem Reifen. Da sich aber jeder Körper aus einzelnen
Massenpunkten zusammensetzt, ist die Beschreibung
der Bewegung eines einzelnen Massenpunktes von
grundlegender Bedeutung.
1.1 Eindimensionale Bewegungen
Eine Bewegung wird dann eindimensional genannt,
wenn sie nur auf einer vorgeschriebenen Bahn erfolgen kann, wie es z.B. bei Schienenfahrzeugen oder
auch Werkzeugschlitten der Fall ist. Zu ihrer Beschreibung ist dann neben der Zeitabhängigkeit nur
eine Ortskoordinate ausreichend.
1.1.1 Geschwindigkeit
Eine wichtige Grundgröße der Kinematik ist die
Geschwindigkeit. Sie gibt an, welcher Weg Δs in der
Zeit Δt zurückgelegt wird. Die Geschwindigkeit ist
ein Vektor, denn der Endzustand einer Bewegung
hängt von der Richtung der Geschwindigkeit ab.
v=
Δs
Δt
v Δs Δt
ms m s
(II.1)
Δs = s2 - s1 , Differenz der Ortskoordinaten.
Δt = t2 - t1 , Differenz der entsprechenden Zeiten.
Ist der Betrag der Geschwindigkeit überall gleich, so
spricht man von einer gleichförmigen Bewegung. Die
Geschwindigkeit ist dann unabhängig von der Größe
des Zeitabschnittes. Ändert sich dagegen die Geschwindigkeit während der Beobachtungszeit (Beispiel: anfahrendes Auto), so kann man die Momentangeschwindigkeit oder Augenblicksgeschwindigkeit
nur bestimmen, wenn der Zeitabschnitt Δt, in dem der
zurückgelegte Weg Δs gemessen wird, beliebig klein
gemacht wird, im Grenzfall gegen 0. Ist dies nicht
möglich, erhält man die Durchschnittsgeschwindigkeit oder auch mittlere Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit, mit der sich ein Körper geradlinig
bewegt, nennt man auch Translationsgeschwindigkeit.
Eine Masse m befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 an
einem Ort mit der Ortskoordinate s0 . Sie hat eine
konstante Geschwindigkeit v0 . Der nach Ablauf einer
Zeit t zurückgelegte Weg s errechnet sich nach:
s = s0 + v0 ◊ t
(II.2)
mit s0 und v0 als Anfangswerte der Ortskoordinate
und der Geschwindigkeit.
II Mechanik
143
s
a=
s = s0 + v0t
(II.3)
∆t = t 2 − t 1 , Differenz der entsprechenden Zeiten.
v
t
Ist die Beschleunigung konstant, so liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor. Hat ein Körper
zum Zeitpunkt t = 0 die Anfangsgeschwindigkeit v0
und befindet er sich am Ort s0 , so ändern sich seine
Geschwindigkeit v und die Ortskoordinate s mit der
Zeit entsprechend der folgenden Gleichungen:
t
v = v 0 + at
v = v0
v0
∆s = v0 ∆t
∆t
Bild II-1 s(t) und v(t)-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung
 Beispiel: Ein Auto fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit
von 50 km/h. Um 9 Uhr ist es 30 km von seinem Startpunkt entfernt.
a) Welche Zeit braucht es für einen Weg von 20 km?
b) Wo befindet es sich um 11 Uhr?
Lösung:
20 km
∆s
∆s
a) v =
⇒ ∆t =
=
= 0,4 h = 24 min
∆t
v
50 km h −1
b) s = 30 km + 2 h ⋅ 50
km
= 130 km
h
Wenn sich die Geschwindigkeit im Lauf der Zeit
ändert, liegt eine beschleunigte Bewegung vor. Die
Beschleunigung a ist der Quotient aus der Änderung
der Geschwindigkeit ∆v in der Zeit ∆t. Wie bei der
Geschwindigkeit sind auch hier Momentanbeschleunigung und Durchschnittsbeschleunigung zu unterscheiden.
s
s = s0 + v0t + 1/2at 2
s0
t
v
v = v0 + at
v
(II.4)
s = s0 + v0 t +
1 2
at
2
(II.5)
Ist a = 0, so liegt eine gleichförmige Bewegung vor.
Mit diesen Gleichungen können auch verzögerte
Bewegungen berechnet werden; a ist dann negativ
einzusetzen, der Körper wird langsamer und somit
abgebremst.
 Beispiel: Ein Eisenbahnzug, der sich 20 km von seinem Start-
bahnhof befindet, fährt 30 min lang mit konstanter Geschwindigkeit v0 = 60 km/h. Dann wird er mit einer Beschleunigung
a = – 0,222 m/s2 abgebremst. Wie lang ist sein Bremsweg, und
wie weit ist er dann von seinem Startbahnhof entfernt?
Lösung: Um die Bremszeit zu berechnen, wird in (II.4) die Endgeschwindigkeit v = 0 eingesetzt:
1.1.2 Beschleunigung
∆s = v∆t
t
a
∆v ∆t
m/s s
∆v = v 2 − v 1 , Differenz der Geschwindigkeiten.
s0
v0
a
m/s2
∆v
∆t
∆t
a = const.
Bremszeit (v = 0):
tB = −
v0
a
=
60 000 m
3600 s ⋅ 0,222 m s −2
= 75 s
Entfernung von Bahnhof zu Beginn des Bremsvorganges nach
(II.2):
km
s 0 = 20 km + 60
⋅ 0,5 h = 50 km
h
Entfernung von Bahnhof zu Ende des Bremsvorganges nach
(II.5):
60 km ⋅ 75 s 0,222 m ⋅ 75 2 s 2
s = 50 km +
−
3600 s
2s 2
s = 50,626 km
Trägt man in einer Grafik den zurückgelegten Weg
als Funktion der Zeit auf, so erhält man das s(t)Diagramm. Bei Auftragung der momentanen Geschwindigkeit als Funktion der Zeit das v(t)-Diagramm. Im s(t)-Diagramm ist die Momentangeschwindigkeit anschaulich als Steigung der WegZeit-Kurve abzulesen, während der in einer Zeit ∆t
zurückgelegte Weg ∆s aus dem v(t)-Diagramm als
Fläche unter der Kurve bestimmt werden kann.
(∆s = v ◊ ∆t ).
1.1.3 Freier Fall
∆v = a∆t
t
∆t
Bild II-2 s(t)-, v(t)- und a(t)-Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung
Ein Beispiel für eine Bewegung unter dem Einfluss
einer konstanten Beschleunigung ist die Bewegung an
der Erdoberfläche allein unter dem Einfluss der Erdanziehungskraft, d.h. ohne Luftreibung und andere
Kräfte. Die Erdbeschleunigung hat für alle Körper
144
Physik
den mittleren Wert von g = 9,81 m/s2. Startet ein
Körper aus der Ruhe, so gelten die Gleichungen (II.4)
und (II.5) mit v0 = 0 und a = - g. Die Höhe h wird
von der Erdoberfläche aus in positiver Richtung nach
oben gemessen und entspricht der Anfangskoordinate
s0 . Die Fallzeit bestimmt sich aus der Bedingung
s (t F ) = 0 .
kehrpunkt die momentane Geschwindigkeit v = 0 und
am Ende des Fluges die Höhe h = 0 sein muss. Aus
diesen Bedingungen folgen aus den Gleichungen
(II.4) und (II.5) die nachfolgenden Formeln. Bei
negativen Werten der Geschwindigkeit ist die Bewegung abwärts gerichtet.
momentane Geschwindigkeit v ( t ) = v 0 − g t
(II.11)
Fallzeit:
1
momentane Höhe h ( t ) = s 0 + v 0 t − g t 2
2
(II.12)
1
0 = h − g t F2
2
tF =
(II.6)
2h
g
(II.7)
Die Fallgeschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt t berechnet sich nach
vF (t ) = g ⋅t
(II.8)
daraus folgt für die Aufprallgeschwindigkeit oder
Endgeschwindigkeit ve, die ja nach der Fallzeit tF
erreicht ist:
ve = g ⋅ t F
ve = g ⋅
(II.9)
2h
= 2h g
g
(II.10)
 Beispiel: Ein Körper fällt von einem Turm der Höhe h = 20 m im
v 02
2g
(II.16)
 Beispiel: Von einem 10 m hohen Turm wird ein Stein mit einer
Anfangsgeschwindigkeit von 20 m/s senkrecht nach oben geworfen. Wie groß sind die maximale Höhe und die gesamte Flugzeit?
Lösung:
tf =
( 20
m s)
2
2 ⋅ 9,81 m s −2
20 m s +
( 20
= 30,39 m
m s ) + 2 ⋅ 10 m ⋅ 9,81 m s −2
2
9,81 m s −2
= 4,528 s
2 ⋅ 20 m
9,81 m s 2
40 m
9,81 m s
2
= 2,02 s
m
b) v e = 2 h g = 2 ⋅ 20 m ⋅ 9,81 2
s
m
v e = 19, 8
s
1.1.4 Senkrechter Wurf
Beim Wurf nach oben ist v0 positiv, beim Wurf nach
unten negativ einzusetzen. Hierbei kann ebenfalls
eine Anfangshöhe s0 = h angenommen werden. Die
maximale Steighöhe und die Steigzeit beim Wurf
nach oben folgen aus der Bedingung, dass am Umh
h = hs
h = s0
h=0
(II.15)
Die Formeln (II.11) – (II.15) gelten auch für den
senkrechten Fall nach unten, während die Formel
(II.16) hier dann keinen Sinn ergibt.
Lösung:
tF =
hs = s 0 +
maximale Höhe ( t = t s )
(II.13)
(II.14)
v
ts = 0
g
Steigzeit ( v ( t ) = 0 )
h s = 10 m +
2h
=
g
v 0 + v 02 + 2 s 0 g
g
Endgeschwindigkeit v e = − v 02 + 2 s 0 g
freien Fall.
a) Wann kommt er unten an?
b) Wie groß ist dann seine Geschwindigkeit?
a) t F =
tF =
Flugzeit ( h ( t ) = 0 )
Bild II-3
Senkrechter Wurf
1.2 Zusammengesetzte Bewegungen
Im Gegensatz zu eindimensionalen Bewegungen sind
hier bei allen vektoriellen Größen zwei Angaben
notwendig. Als Richtungen sollen x- und y-Richtung
festgelegt sein, die entsprechenden Größen werden
durch die Indizes x und y unterschieden.
Führt ein Körper gleichzeitig Bewegungen in x- und
y-Richtung aus, sogenannte zusammengesetzte Bewegungen, so überlagern sich diese Bewegungen unabhängig voneinander und der Endzustand ist derselbe,
als wenn die einzelnen Bewegungen nacheinander
ausgeführt worden wären.
Als Beispiel soll eine Bewegung in einem strömenden Fluss der Breite b betrachtet werden. Der Fluss
fließt in x-Richtung mit einer Geschwindigkeit vF.
Der Geschwindigkeitsvektor kann dann in eine Komponente parallel zum Ufer und eine senkrecht zum
Ufer aufgeteilt werden, dies sollen die x- und y-Richtung sein. Eine Schreibweise hierfür ist die Komponentenschreibweise vektorieller Größen:

(II.17)
v = (vx , vy )
und somit

v F = ( v Fx , 0 ) .
II Mechanik
145
In dem Wasser bewegt sich ein Boot mit einer Eigen
geschwindigkeit vB relativ zum Wasser. Ist das
Wasser in Ruhe, so ist dies auch die Geschwindigkeit

relativ zum Grund v G .

v B = ( 0 , v By )
vB
vG
y
a
x
vF
Es gilt also, dass sich die einzelnen Komponenten
unabhängig addieren.
Hieraus lassen sich die folgenden Größen berechnen:
Zeit zum Überqueren t =
b
v By
(II.19)
Weg in x-Richtung s Gx = v Fx ⋅ t
(II.20)
Weg in y-Richtung s Gy = v By ⋅ t
(II.21)
Gesamter Weg s G =
Geschwindigkeit v G =
2
2
s Gx
+ s Gy
2
2
v Fx
+ v By
⎛ v By ⎞
Richtung a = arctan ⎜
⎟
⎝ v Fx ⎠
(II.23)
(II.24)
Strömungsgeschwindigkeit von 2 m/s. Senkrecht zum Ufer startet
ein Boot mit einer Eigengeschwindigkeit von 10 m/s. Wie lange
braucht das Boot für die Überquerung, und wie groß ist die seitliche Abdrift d?
Lösung:
500 m
= 50 s
10 m s
d=2
a
vx
m
⋅ 50 s = 100 m
s
v0 y = v0 ◊ sin α
(II.26)
vx (t ) = v0 ◊ cos α = const
(II.27)
vy (t ) = v0 ◊ sin α - g t
(II.28)
1
y(t ) = h0 + v0 ◊ sin α - g t 2
2
x (t ) = v0 ◊ t ◊ cos α
Flugzeit t F = v 0 ⋅ sin a +
Flughöhe h max
(II.29)
(II.30)
( v 0 ⋅ sin a ) 2 + 2 g h0 (II.31)
g
v 02 ⋅ sin 2 a
= h0 +
2g
(II.32)
Flugweite x w = v 0 ⋅ t F ⋅ cosa
(II.33)
Wenn in den Gleichungen (II.29) bis (II.32) der Wert
für h0 auf 0 gesetzt wird, so ergeben sich die Gleichungen für den Fall eines Schiefen Wurfes mit Anfangshöhe 0.
2 v ⋅ sina
Flugzeit t F = 0
(II.34)
g
Flughöhe h max =
Flugweite
v 02 ⋅ sin 2 a
2g
x w = v 0 ⋅ t F ⋅ cos a =
xw =
1.2.1 Schiefer Wurf
Ein weiteres Beispiel für eine zusammengesetzte Bewegung ist die Bewegung eines Steines, der unter
einem bestimmten Winkel α mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 geworfen wird (schiefer Wurf). In
diesem Fall handelt es sich um die Überlagerung
einer gleichmäßigen Bewegung in x-Richtung mit
einer gleichförmig beschleunigten Bewegung (freier
Fall) in y-Richtung. Die Flugbahn unter dem Einfluss
x
einer konstanten Kraft (Erdanziehung) ist in diesem
Fall eine Parabel (Wurfparabel).
Es soll auch zugelassen werden, dass der Stein in
einer Höhe h0 abgeworfen wird. Aus den Bedingungen, dass am Ende der Bewegung der Wert für y = 0
sein muss und am höchsten Punkt der Wert für vy = 0
sein muss, folgen die Gleichungen für den Schiefen
Wurf aus einer Anfangshöhe h0 und mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 :
v0 x = v0 ◊ cos α
(II.25)
(II.22)
 Beispiel: In einem Fluss der Breite 500 m fließt Wasser mit einer
Abdrift
h0
vy
v
xw

In einem strömenden Fluss ist nun v B unterschied
lich von v G .
Die Geschwindigkeit des Bootes kann nun entweder
relativ zum Grund oder relativ zum Wasser angegeben werden. Der Zusammenhang ist:



(II.18)
v G = v B + v F = ( v Fx , v By )
t=
h
hmax
Bild II-5
Schiefer Wurf
b
Bild II-4 Geschwindigkeiten im Fluss
Zeit
y
(II.35)
2 ⋅ v 02 ⋅ sin a ⋅ cos a
g
v 02 ⋅ sin 2 a
g
(II.36)
 Beispiel: Ein Stein wird unter einem Winkel von 30° mit einer
Anfangsgeschwindigkeit von 20 m s–1 geworfen. Wie weit fliegt
er, und wann trifft er auf den Boden?
Lösung:
(20 m s-1 )2 ◊ sin 60∞
Flugweite xw =
= 35,31 m
9,81 m s -2
Flugzeit
tF =
2 ◊ 20 m s -1 ◊ sin 30∞
= 2,04 s
9,81 m s-2
146
Physik
1.3 Kreisbewegung
1.3.3 Kreisfrequenz
Bei einer Kreisbewegung bewegt sich eine punktförmige Masse auf einer Kreisbahn mit dem Radius r.
Wenn in gleichen Zeiten Δt gleiche Strecken Δs auf
dem Umfang zurückgelegt werden, so überstreicht
auch die Verbindungslinie zum Zentrum des Kreises
in gleichen Zeiten Δt gleiche Winkel Δj.
Oft werden die Drehzahl n oder auch die Frequenz f
einer kreisförmigen Bewegung angegeben. Im Gegensatz zur Frequenz f wird die Größe w auch Kreisfrequenz genannt.
vu
w = 2π f
2π n
w=
60
f
n
ω
(II.42)
1/s Hz 1/min
1.3.4 Winkelbeschleunigung
r
∆f ∆s
Bild II-6
Kreisbewegung
1.3.1 Bahngeschwindigkeit
Unter Bahngeschwindigkeit oder auch Umfangsgeschwindigkeit versteht man die Geschwindigkeit,
mit der sich eine Masse m auf dem Umfang eines
Kreises mit dem Radius r bewegt. Wenn sich die
Masse in der Zeit Δt um die Strecke Δs weiterbewegt
hat, wird von der Verbindungslinie zwischen der
Masse und dem Zentrum des Kreises der Winkel Δj
überstrichen. Zwischen den Größen r, Δs und Δj gilt
die Gleichung:
Δj =
Δs
r
j s r
rad m m
Δs = r ⋅ Δj
(II.37)
Werden in gleichen Zeiten ungleiche Wegstrecken
auf dem Umfang zurückgelegt, ändert sich also
die Umfangsgeschwindigkeit, muss der Körper eine
Tangentialbeschleunigung erfahren. Jetzt werden in
gleichen Zeiten ungleiche Winkel überstrichen, daher
ändert sich die Winkelgeschwindigkeit ebenfalls. In
diesem Fall liegt eine Winkelbeschleunigung vor.
Analog zur linearen Beschleunigung wird die Winkelbeschleunigung definiert:
α Δω Δt
Δw
(II.43)
a=
1/s2 1/s s
Δt
In diesem Fall gelten analoge Gleichungen zu (II.4)
und (II.5).
w = w 0 + at
(II.44)
1
j = j0 + w0 t + a t 2
(II.45)
2
Hierbei sind w0 und j0 die Anfangswerte zur Zeit
t = 0 der Winkelgeschwindigkeit und des Winkels.
(II.38)
 Beispiel: Ein Elektromotor läuft mit einer Drehzahl n = 600 min–1.
Δj
Δs
Umfangsgeschwindigkeit v u =
=r
Δt
Δt
(II.39)
Nach dem Abschalten wird er mit konstanter Winkelbeschleunigung a abgebremst, bis er nach 50 Umdrehungen zum Stillstand
kommt.
oder Bahngeschwindigkeit vu = rω
(II.40)
a) Wie groß ist die Winkelbeschleunigung?
b) Wie lange ist die Bremszeit tB?
Lösung:
a) Anfangswerte:
Δj
mit der Abkürzung w =
.
Δt
j0 = 0,
Die Größe w wird Winkelgeschwindigkeit genannt.
w0 = 2 π
n −1
s = 62 , 83 s −1
60
50 Umdrehungen ergeben:
j = 50 ⋅ 2 π = 314 ,16 rad
1.3.2 Winkelgeschwindigkeit
aus (II.44) folgt:
Die Winkelgeschwindigkeit w ist durch
w=
Δj
Δt
ω Δϕ Δt
1/s rad s
a=−
(II.41)
definiert, wobei Dj der in der Zeiteinheit Dt überstrichene Winkel ist.
Bei einer Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w (gleichförmige Kreisbewegung) ist
die Umfangsgeschwindigkeit vom Betrag her konstant, allerdings ändert sie laufend die Richtung.
w0
.
tB
Winkelbeschleunigung:
62,83 s
= -6,28 s -2
α =10 s
b) In (II.45) eingesetzt:
ϕ = ω0 t B -
ω0 t B2
2 tB
1
= ω0 t B
2
Bremszeit:
2ϕ 2 ⋅ 314,16 rad
tB =
=
= 10 s
62, 83 s −1
ω0
II Mechanik
147
2 Dynamik
Die Einheit der Kraft im SI-System ist 1
In der Kinematik wird die Bewegung von Massen
durch geeignete Formeln beschrieben, ohne dass nach
der Ursache für eine Bewegung oder eine Änderung
eines Bewegungszustandes gefragt wird. In der Dynamik werden diese Ursachen untersucht.
2.1 Newtonsche Axiome
I. Newton (1643 bis 1727) hat drei grundlegende
Axiome formuliert, die das Verhalten von Körpern
unter dem Einfluss äußerer Kräfte und das Zusammenspiel von Kräften untereinander beschreiben.
Diese Newtonschen Axiome sind die Grundlagen der
klassischen Mechanik und werden in der Tabelle II-1
aufgeführt:
kg m
,
s2
hierfür wird die Abkürzung 1 N (1 Newton) verwendet.
kg m
(II.49)
1N =1 2
s
An der Erdoberfläche wirkt auf alle Körper die Gewichtskraft oder Schwerkraft
FG = m ⋅ g
(II.50)
mit der Erdbeschleunigung g
m
g = 9, 81 2
(II.51)
s
Eine nicht mehr zulässige Einheit der Kraft ist 1 kp
(1 Kilopond). Dies ist die Gewichtskraft auf die
Masse von 1 kg. Somit gilt:
Tabelle II-1 Newtonsche Axiome
Newtonsche Axiome
Formulierung
1. Axiom:
Trägheitsgesetz
Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder der
gleichförmig geradlinigen Bewegung, solange er nicht
durch äußere Kräfte gezwungen wird, diesen Zustand
zu ändern.
2. Axiom
Aktionsgesetz
Die zeitliche Änderung der Bewegungsgröße (Impuls)


p = mv ist gleich der resultierenden Kraft F.
 Δp
F=
Δt
3. Axiom
Wechselwirkungsgesetz
actio = reactio
Wirkt ein Körper 1 auf einen Körper 2 mit der
Kraft F12, so wirkt der Körper 2 auf den Körper 1 mit
einer gleich großen, entgegengesetzten Kraft F21.


F12 = − F21
Das Aktionsgesetz lässt eine zeitliche Änderung
sowohl der Masse als auch der Geschwindigkeit zu.
In der allgemeinen Form gilt:

 Dp D ( m ⋅ v )
Dv  Dm
(II.46)
=
= m⋅
+v⋅
F=
Dt
Dt
Dt
Dt
Ist die Masse konstant, so ist Δm = 0, und es gilt mit

Δv 
= a:
Δt


(II.47)
F = m⋅a
Gleichung
1 kp = 9,81 N
Hängt eine Masse m an einer Feder, so wird die Feder
um eine Strecke x gedehnt und zwar solange, bis die
Rückstellkraft der Feder und die Gewichtskraft auf
die Masse m entgegengesetzt gleich groß sind. Die
Rückstellkraft der Feder wird durch die Federeigenschaften beeinflusst und in der Federkonstanten c
festgelegt. Da die Rückstellkraft entgegengesetzt zur
Auslenkung gerichtet ist, gilt
FRück = - cx
(II.53)
Dieses Gesetz wird auch als Newtonsches Grundgesetz bezeichnet, gilt in dieser Form aber nur für konstante Massen.
c=-
2.2 Kraft
2.2.1 Zerlegung und Zusammensetzung
von Kräften

Nach dem Newtonschen Grundgesetz ist die Kraft F
bei konstanter Masse proportional zur Beschleuni
gung a. Die Kraft ist eine vektorielle Größe. Kraft
und Beschleunigung haben dieselbe Richtung.


F = m⋅a
F
kg m/s2
m
a
kg m/s2
(II.48)
(II.52)
FRück
x
c
F x
N/m N m
(II.54)
Kräfte sind Vektoren und müssen somit vektoriell
addiert werden. Die grafische Lösung für die Addition zweier Kräfte und die sich daraus ergebende
resultierende Kraft erfolgt so, dass der Anfangspunkt
des zweiten Vektors in den Endpunkt des ersten
Vektors verschoben wird. Es entsteht ein Parallelogramm, das Kräfteparallelogramm.
148
Physik
eine Komponente senkrecht zur Unterlage, der Normalkraft FN, und eine Komponente parallel zur Unterlage, der Hangabtriebskraft FH, zerlegt werden.
y
F
F2
b
g
m
F1
Bild II-9
Schiefe Ebene
FH
a
x
FN
Bild II-7 Kräfteparallelogramm
Mit Hilfe der trigonometrischen Gleichungen lassen
sich die folgenden Beziehungen für die Addition von
Kräften ableiten:
x-Komponente
Fx = F1 cos a + F2 cos b
(II.55)
y-Komponente
Fy = F1 sin a + F2 sin b
(II.56)
daraus folgt für die Resultierende Kraft:
F=
Fx2 + Fy2
(II.57)
F=
F12 + F22 + 2 F1 F2 cos ( a − b )
(II.58)
Nach Umkehrung dieser Gleichungen lassen sich die
Teilkräfte aus der Resultierenden und den Winkeln
berechnen:
sin ( b − g )
F1 = F
sin ( b − a )
(II.59)
sin ( g − a )
(II.60)
sin ( b − a )

Oft ist es notwendig, eine Kraft F in zwei senkrecht
zueinanderstehende Komponenten zu zerlegen. In den
Gleichungen (II.59) und (II.60) ist dann a = 0° und
b = 90° zu setzen
F2 = F
a
FG
a
Die Beträge dieser Kräfte sind:
FH = mg sin α
(II.64)
FN = mg cos α
(II.65)
Die Hangabtriebskraft beschleunigt den Körper,
während die Normalkraft den Druck auf die Unterlage bewirkt. Durch die Normalkraft wird wegen der
immer vorhandenen Reibung eine der Hangabtriebskraft entgegengesetzte Reibungskraft FR verursacht.
FR = μ FN = μ mg
(II.66)
Die Größe μ wird als Reibungszahl bezeichnet und
hängt von der Beschaffenheit der Oberfläche der
beiden an der Reibung beteiligten Körper ab und von
der Art der Bewegung. Sie ist eine dimensionslose
Zahl. Bei der Bewegung eines Fahrzeuges ist die
Rollreibung zu berücksichtigen. Einige typische
Werte für die Reibungszahl sind in der folgenden
Tabelle zusammengestellt. Hierbei ist zwischen Haftreibung und Gleitreibung zu unterscheiden.
Tabelle II-2 Werte für die Reibungszahl m
y
F
F2
g
F1
x
Bild II-8 Zerlegung von Kräften
F1 = F cos g
(II.61)
F2 = F sing
(II.62)
Der Winkel der Resultierenden mit der Kraft F1
errechnet sich zu:
⎛F ⎞
g = arctan ⎜ 2 ⎟
⎝ F1 ⎠
(II.63)
2.2.2 Schiefe Ebene
Befindet sich ein Körper auf einer Schiefen Ebene, so
wirkt auf ihn die Schwerkraft in der in Bild II-9
angezeigten Richtung. Diese Schwerkraft kann in
Stoffpaar
Haftreibung
Gleitreibung
Stahl/Stahl
Stahl/Holz
Stahl/Eis
Holz/Holz
Gummi/Asphalt
Gummi/Beton
Gummi/Eis
0,15
0,5 – 0,6
0,027
0,65
0,9
0,65
0,2
0,12
0,2 – 0,5
0,014
0,2 – 0,4
0,85
0,5
0,15
 Beispiel: Ein Fahrzeug der Masse m = 1000 kg befindet sich auf
einer Schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel a = 10°. Die Reibungszahl sei m = 0.1. Wie groß ist die Beschleunigung des
Wagens?
Lösung:
Normalkraft:
FN = mg cos α = 1000 kg ◊ 9,81 m s2 ◊ 0,984 = 9660 N
Reibungskraft: FR = m FN = 0 ,1⋅ 9660 N = 966 N
Hangabtriebskraft:
FH = mg sin α = 1000 kg ◊ 9,81m s2 ◊ sin10 = 1703 N
Resultierende Kraft: F = FH − FR = 1703 N − 966 N = 737 N
2
Beschleunigung: a = F m = 737 N 1000 kg = 0,737 m s
II Mechanik
149
2.2.3 Kräfte bei Kreisbewegungen
Soll sich eine Masse m auf einer Kreisbahn mit konstanter Winkelgeschwindigkeit bewegen, so bleibt
zwar der Betrag der Umfangsgeschwindigkeit konstant, nicht aber die Richtung (siehe Bild II-10).
Die Masse m hat sich in der Zeit Δt vom Punkt P1
nach P2 bewegt. Dabei hat sich der Vektor der Ge

schwindigkeit von ν 1 nach ν 2 verändert, der Betrag
ist aber geblieben. Da sich die Richtung geändert hat,
gilt
ographischen Breite untersucht werden. Dabei wird
angenommen, dass die Erde eine homogene Kugel sei
mit dem Radius rE = 6378 km. Die Fallbeschleunigung ist die Resultierende aus Erdbeschleunigung
und Zentrifugalbeschleunigung. Am Pol ist der Abstand von der Drehachse = 0, somit tritt hier keine
Zentrifugalbeschleunigung auf, und für die Fallbeschleunigung gilt aF = g . Am Äquator ist die Zentrifugalbeschleunigung maximal, nämlich aZP = ω 2rE .
Da sich die Erde in 24 Stunden einmal um sich selbst
dreht, gilt am Äquator:
2
Ê
ˆ
2π
aZP = Á
◊ 6378 ◊ 103 m
Ë 24 ◊ 60 ◊ 60 s ˜¯
v2
v1
∆v
P
∆f 2
v1
v2
a ZP = 0 , 034
∆f
P1
m
.
s2
Fallbeschleunigung

 
a F = g + a ZP
und, da Zentrifugalbeschleunigung und Erdbeschleunigung entgegengesetzt wirken
Bild II-10 Zentripetal-Beschleunigung
 

Δv = v 2 − v 1
(II.67)
aF = (9,81 - 0,034 )
Die Geschwindigkeitsänderung lässt sich auch durch
die Winkeländerung ausdrücken:
Δv = v ⋅ Δj
(II.68)

Die Richtung von Δν ist zum Zentrum der Kreisbahn
gerichtet, die Geschwindigkeit hat sich daher in
Richtung auf das Zentrum geändert, somit muss auch
eine Beschleunigung in Richtung auf das Zentrum der
Kreisbahn erfolgen
a Zp =
(II.73)
Δv v ⋅ Δ j
=
= vw
Δt
Δt
m
m
= 9,776 2 .
s2
s
g
ar
r
rE
f
f
g
g
aZP
aZP
(II.69)
und mit (II.40)
a Zp = w 2 r
a Zp = w 2 r
(II.70)
α Zp
m/s
2
ω
1/s
2
r
m
(II.71)
Diese Beschleunigung ist die Zentripetalbeschleunigung.
Wegen des 2. Newtonschen Axioms wirkt daher eine
Kraft, die Zentripetalkraft
FZp = mw 2 r
(II.72)
Sie muss aufgewendet werden, um eine Masse m auf
einer Kreisbahn zu halten. Die entgegengesetzt gerichtete gleich große Kraft ist die Zentrifugalkraft.
Die dazugehörende Beschleunigung heißt Zentrifugalbeschleunigung. Diese Kraft tritt bei allen Rotationsbewegungen auf, dabei ist mit dem Radius r in
Gleichung (II.72) der Abstand von der Drehachse
gemeint. Als Beispiel soll die Abhängigkeit der Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche von der ge-
Bild II-11 Fallbeschleunigung und geographische
Breite
Für andere geographische Breiten muss entsprechend
Bild II-11 der Abstand von der Drehachse r und die
Komponente der Zentrifugalbeschleunigung ar in
Richtung auf den Erdmittelpunkt bestimmt werden,
denn nur diese Komponente wirkt der Erdbeschleunigung, die ja zum Erdmittelpunkt gerichtet ist, entgegen. Es gelten die folgenden Gleichungen:
r = r E ⋅ cos j
(II.74)
j
= w 2 ⋅ r = w 2 ⋅ rE ⋅ cos j
a ZP
(II.75)
ar =
(II.76)
j
a ZP
⋅ cos j
a r = w 2 ⋅ r E ⋅ cos 2 j
(II.77)
und damit
a F = g − w 2 ⋅ r E ⋅ cos 2 j
(II.78)
150
Physik
2.3 Impuls
Im 2. Newtonschen Axiom wird die zeitliche Änderung der Bewegungsgröße p gleich der resultierenden
Kraft gesetzt. Die Bewegungsgröße ist der Impuls.
Bei konstanter Kraft F gilt:
p m
v
N s kg m/s1


p = mv
 ∆p
 
F=
∆p = F ◊ ∆t
∆t
(II.79)
(II.80)
Die Kraft ist also gleich der zeitlichen Änderung des
Impulses. Die Größe
t2
Ú F dt = p
2
- p1 = ∆p
(II.81)
t1
wird als Kraftstoß bezeichnet. Ist die Kraft zeitlich
konstant, so vereinfacht sich Gleichung (II.81) zu

 
(II.82)
∆p = F ◊ ∆t = F (t2 - t1 )

Die Impulsänderung ∆p , die ja auch ein Vektor ist,
hat die Richtung der angreifenden resultierenden
Kraft.
Lösung:
Gesamtimpuls zu Beginn:
pg = (200 kg + 80 kg) ◊ 2 m/s = 560 Ns
Impulsänderung durch den Sprung:
∆ p = F ∆t = 300 N ⋅ 0,2 s = 60 Ns
Impuls des Bootes nach dem Sprung:
pB¢ = 200 kg ◊ 2 m/s - 60 Ns = 340 Ns
Geschwindigkeit des Bootes:
vB¢ = 340 Ns 200 kg = 1,7 m/s
Impuls des Mannes nach dem Sprung:
pM¢ = 80 kg ◊ 2 m/s + 60 Ns = 220 Ns
Geschwindigkeit des Mannes:
vM¢ = 220 Ns 80 kg = 2,75 m/s
Gesamtimpuls am Ende:
p g′ = ( 340 + 220 ) Ns = 560 Ns
Die positiven Vorzeichen bei beiden Geschwindigkeiten zeigen
an, dass sich sowohl der Mann wie auch das Boot weiter in der
ursprünglichen Fahrtrichtung des Bootes bewegen, der Gesamtimpuls hat sich nicht verändert. Da der Impuls ein Vektor ist,
muss die Impulserhaltung auch für jede Komponente gelten.
 Beispiel: Der Mann aus dem voranstehenden Beispiel vorher
springt nicht in Fahrtrichtung, sondern senkrecht zur Fahrtrichtung in positiver y-Richtung vom Boot. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Bootes und des Mannes direkt nach dem
Sprung?
Lösung: Die Geschwindigkeit des Bootes und des Mannes in
Fahrtrichtung bleiben unverändert.
∆py = Fy ◊ ∆t = 300 N ◊ 0,2 s = 60 Ns
 Beispiel: Eine konstante Kraft von 2 kN wirkt 10 s lang auf ein
ruhendes Fahrzeug der Masse m = 800 kg. Wie groß sind
a) der Kraftstoß,
b) der Impuls,
c) die Geschwindigkeit nach 10 s?
Lösung:
a) F ⋅ ∆t = 2000 N ⋅ 10 s = 20 000 Ns
b) ∆p = p2 - p1 = F ◊ ∆t p = 20 000 Ns
c) v =
∆p 20 000 Ns
m
km
=
= 25 = 90
m
800 kg
s
h
2.3.1 Impulserhaltungssatz
Wirkt nun auf ein System keine äußere resultierende
Kraft, so ist entsprechend (II.82) die Änderung des

Impulses ∆p = 0. Daraus folgt, dass in diesem Fall
der Impuls konstant sein muss. Dieses gilt für den
Gesamtimpuls des betrachteten Systems. Besteht das

System aus mehreren Massen mit Einzelimpulsen pi ,
so gilt der Impulserhaltungssatz für den Gesamtimpuls

 


(II.83)
pges = p1 + p2 + p3 + ... + pn = const .
Dabei können sich die Einzelimpulse durchaus ändern, wenn nur der Gesamtimpuls konstant bleibt.
Eine weitergehende Betrachtung wird im Kapitel
Stoßprozesse durchgeführt.
 Beispiel: Aus einem Boot der Masse 200 kg, welches sich in
ruhendem Wasser (äußere Kräfte = 0) mit einer Geschwindigkeit
von 2 m/s bewegt, springt in Fahrtrichtung ein 80 kg schwerer
Mann. Dabei stößt er sich 0,2 s lang mit einer Kraft von 300 N
ab.
Wie groß sind die Geschwindigkeiten des Bootes und des Mannes
direkt nach dem Sprung?
v By =
-60 Ns
m
= -0,3
200 kg
s
vM y =
60 Ns
m
= -0,75
80 kg
s
Das Boot bewegt sich also in entgegengesetzter Richtung zum
Mann.
2.4 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad
und Energie
2.4.1 Arbeit
Wirkt eine Kraft auf eine Masse m und verschiebt sie
dabei die Masse m um den Weg Ds, so hat die Kraft
den Zustand des Körpers verändert, es wurde Arbeit
verrichtet. Schließt die Kraft einen Winkel a mit der
Richtung von Ds ein, so gilt für die Teilarbeit DW auf
dieser Wegstrecke:
∆W = F ⋅ ∆ s ⋅ cos a
(II.84)
Es wirkt nur die Projektion der Kraft in Richtung des
Weges. Die für den gesamten Weg aufzubringende
Arbeit ist dann aus der Summe der Teilarbeiten zu
berechnen.
W = Â ∆W
(II.85)
Ist die Kraft während des gesamten Vorganges konstant und parallel zum Weg, so folgt aus Gleichung
(II.84) und (II.85) für die gesamte Arbeit
W F s
W = F⋅s
(II.86)
Nm N m
Die Einheit der Arbeit ist 1 Nm, dafür wird die Abkürzung 1 J (Joule) verwendet.