Belegaufgaben zur Vorlesung Parametrische Optimierung Teil 1
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Belegaufgaben zur Vorlesung Parametrische Optimierung Teil 1 1. Gegeben ist die Aufgabe z = 15.5x1 + dx2 → max x1 + x1 − x2 x2 x2 ≤ ≤ ≤ 15 m 10 xj ≥ 0 j = 1, 2 (für d und m konkrete Zahlen einsetzen, z.B. Geburtstag und Geburtsmonat). Bestimmen Sie mit Hilfe der Simplexmethode eine Optimallösung ! Führen Sie anschließend für die Parameter c2 und b2 eine Sensitivitätsanalyse durch, um herauszufinden, ob sie auf Abweichungen von 50% nach oben oder unten empfindlich reagieren ! 2. Die Strickstrumpf KG stellt Socken, Kniestrümpfe und Strumpfhosen aller Art her. Neu ins Programm aufgenommen werden demnächst zwei Arten von Baumwollstrumpfhosen, die auf einer zu diesem Zweck angeschafften Spezialmaschine mit einer Kapazität von 10200 Minuten pro Monat produziert werden soll. Modell ”Luxus” verbraucht davon pro Stück 12 Minuten, Modell ”Jedermann” lediglich 6 Minuten. Die zur Herstellung beider Strumpfhosen benötigte Baumwolle ist auf Röllchen zu je 100 g gewickelt, von denen pro Monat 3600 Stück zur Verfügung stehen. Diese Menge vermindert sich durch die Produktion von ”Luxus” um 4 Röllchen und durch ”Jedermann” um 3 Röllchen je Stück. Eine Verpackungsmaschine der Unternehmung kann für 2700 Minuten freigestellt werden und wird von einer Strumpfhose ”Jedermann” 3 Minuten in Anspruch genommen. Die Luxusausführung kommt dagegen mit 2/3 der Zeit aus. Da die variablen Kosten von ”Luxus” mit 8,- DM pro Strumpfhose doppelt so hoch sind wie von ”Jedermann”, möchte die Strickstrumpf KG das Modell ”Luxus” zu einem Preis von 18,-DM pro Stück und das Modell ”Jedermann” zu 10,- DM pro Stück anbieten und rechnet bei diesen Preisen mit Absatzhöchstmengen von 720 Stück für ”Luxus” bzw. 700 Stück für ”Jedermann” pro Monat. (a) Bestimmen Sie die Anzahl der Strumpfhosen, die von den Modellen ”Luxus” und ”Jedermann” unter der Zielsetzung Deckungsbeitragsmaximierung hergestellt werden sollten! (b) Untersuchen Sie anschließend, welche Koeffizienten des Kostenvektors und des Ressourcenvektors sensibel auf geringfügige Änderungen reagieren! 3. Eine Ölraffinerie stellt 4 Rohbenzinsorten her: Roh1, Roh2, Roh3 und Roh4. Zwei wichtige Kenngrößen für Benzin sind die ”Klopffestigkeit“ und die ”Flüchtigkeit“ (”Benzindruck“). Die täglichen Produktionsmengen (in Fässern; 1 Faß = 160 l) der vier Sorten und die Werte der zugehörigen Kennzahlen sind wie folgt: Roh1 Roh2 Roh3 Roh4 ”Klopffestigkeit“ 107 93 87 108 ”Flüchtigkeit“ prod. Menge [[Faß]] 5 3800 8 2800 4 4000 21 1300 Diese Benzine können entweder in dieser Form als (Roh-)Benzin zum Preis von 51 DM pro Faß verkauft werden oder vermischt als Flugbenzin F1 und F2 zu 65 DM bzw. 59 DM pro Faß. Die Qualitätsanforderungen an die beiden Flugbenzinsorten sind: ”Klopffestigkeit“ ”Flüchtigkeit“ F1 wenigstens 100 höchstens 7 F2 wenigstens 91 hochstens 7 Unterstellen Sie, daß die Klopffestigkeit und Flüchtigkeit der Gemische die gewichteten Mittel der Kennzahlen der Bestandteile sind. Gesucht ist ein Produktprogramm mit maximalen Einnahmen. a) Stellen Sie ein mathematisches Modell auf ! b) Bestimmen Sie eine Optimallösung mit Hilfe von Lindo ! c) Untersuchen Sie, welche Datenänderungen eine Verbesserung der Zielgröße nach sich ziehen ! 4. Bestimmen Sie für die lineare Optimierungsaufgabe z= n X cj xj → max j=1 n X xj ≤ b j=1 0 ≤ xj ≤ sj , j = 1, ..., n mit c1 > c2 > ... > cn > 0 0 < sj < b , j = 1, ..., n n X sj > b j=1 eine Optimallösung und untersuchen Sie anschließend die Empfindlichkeit der Koeffizienten cj , j=1,...,n , b und sj , j=1,...,n . Belegaufgaben zur Vorlesung Parametrische Optimierung Teil 2 5. Gegeben ist die lineare einparametrische Optimierungsaufgabe (P) mit dem reellwertigen Parameter u und eine Tabelle (OL). z = (1 − u)x1 − x2 → max x1 + x2 ≥ 2 x1 − x2 ≤ 3 (P) : x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 u [0; 1] [1; 2] (OL) : x01 x02 3 0 zmax 2 − 2u 0 2 a) Weshalb ist (P) für u < 0 unlösbar ? b) Die Tabelle (OL) soll für jeden Stabilitätsbereich von (P) eine Optimallösung und den zugehörigen Zielfunktionswert enthalten. Vervollständigen Sie diese Tabelle und skizzieren Sie anschließend die Optimalwertfunktion ! Hinweis: Nutzen Sie die graphische Darstellung als Hilfsmittel ! 6. Lösen Sie die lineare einparametrische Optimierungsaufgabe z = (2 + du)x1 − (3 + mu)x2 → max − x1 + x1 − x1 − x2 x2 2x2 ≤ ≤ ≤ 2 4 3 xj ≥ 0 j = 1, 2 u ∈ R1 Parameter (für d und m konkrete Zahlen einsetzen, z.B. Geburtstag und Geburtsmonat). mit Hilfe der Simplexmethode ! 7. Eine Unternehmung benötigt zur Herstellung einer ME des Produktes Wash bzw. Wush genau 2 ME bzw. 1 ME des Rohstoffes Gilb. Die Zeitbeanspruchungen und Absatzhöchstmengen der beiden Produkte sind aus der folgenden Tabelle zu entnehmen: Wash Wush Abteilung 1 5 2 Abteilung 2 4 3 Absatzhöchstmenge 1000 2000 Der Deckungsbeitrag von Wash bzw. Wush beträgt ohne Berücksichtigung der Kosten des Rohstoffes Gilb jeweils 50 GE. In Abteilung 1 stehen 7000 ZE und in Abteilung 2 genau 8000 ZE zur Verfügung. Ermitteln Sie die Nachfrage der Unternehmung nach dem Rohstoff Gilb für ein optimales Programm in Abhängigkeit vom variablen Preis p des Rohstoffs ! Stellen Sie die Nachfragefunktion und die Optimalwertfunktion graphisch dar ! 8. Untersuchen Sie für die folgende einparametrische Aufgabe, welche Seiten des zugehörigen zulässigen Bereichs für welche Parameter die Optimalmenge darstellen und skizzieren Sie die Optimalwertfunktion ! z = u2 x1 + (1 − u)x2 → max x1 + x1 x2 x2 ≤ ≤ ≤ 3 2 2 xj ≥ 0 u ∈ R1 Parameter j = 1, 2 Belegaufgaben zur Vorlesung Parametrische Optimierung Teil 3 9. Aus der ganzzahligen linearen Optimierungsaufgabe (G) z = cT x → max Ax = b x≥0 x ganzzahlig entsteht unter Vernachlässigung der Ganzzahligkeitsforderung die stetige Aufgabe (P). Für (P) wurde die Optimallösung x = x∗ mit Zielfunktionswert z ∗ gefunden, deren k-ter Variablenwert x∗k nicht ganzzahlig ist. Es sei d die größte ganze Zahl kleiner oder gleich x∗k , d.h. d = bx∗k c. Es werden Teilprobleme (Pt ), t=0,1,... , betrachtet, indem für (P) zusätzlich xk = t gilt. Zeigen Sie: Falls die Aufgaben (Pt ), t=0,1,... , Optimallösungen mit optimalen Zielfunktionswert zt besitzen, so gilt zt ≤ zt+1 ≤ z ∗ z ∗ ≥ zt ≥ zt+1 , , t = 0, ..., d − 1 t = d + 1, ... . 10. Lösen Sie die lineare einparametrische Optimierungsaufgabe z = mx1 + dx2 → x1 + 2x2 − x3 4x2 − x3 + x4 xj min = 4−v = 6 + 2v ≥ 0 j = 1, ..., 4 v reellwertiger Parameter (für d und m konkrete Zahlen einsetzen, z.B. Geburtstag und Geburtsmonat). mit Hilfe der Simplexmethode! 11. Beispiel des Konservenproduzenten aus der Vorlesung Der Konservenproduzent erhält die Möglichkeit, für einen Großabnehmer die Produktion von 3-kg-Dose aufzunehmen. Die Fertigung einer ME zu 100 3-kg-Dosen betrage ebenfalls eine Stunde. Bestimmen Sie den Mindestdeckungsbeitrag je ME in Abhängigkeit vom Auftragsvolumen des Großabnehmers, falls die gegebenen Kapazitäten nicht verändert werden können, um bei den Auftragsverhandlungen die entsprechenden Mindestpreise zu kennen, die es erlauben, einen nicht geringeren Gesamtdeckungsbeitrag als bisher zu erreichen ! 12. Bestimmen Sie für die lineare einparametrische Optimierungsaufgabe z= m X n X cij xij → min i=1 j=1 n X xij ≤ ai + fi v , i = 1, ..., m xij = bj + gj v , j = 1, ..., n j=1 m X i=1 xij ≥ 0 , i = 1, ..., m , j = 1, ..., n v reellwertiger P arameter unter den Voraussetzungen ai > 0 , i = 1, ..., m bj > 0 , j = 1, ..., n m X i=1 die Lösbarkeitsmenge Avo ! ai ≥ n X j=1 bj Belegaufgaben zur Vorlesung Parametrische Optimierung Teil 4 13. Bestimmen Sie die lokalen Stabilitätsbereiche für die lineare parametrische Optimierungsaufgabe z = ux1 + x2 → min x1 + x2 2x1 + x2 ≥ ≥ v 2 xj ≥ 0 j = 1, 2 u , v reellwertige Parameter mit Hilfe der graphischen Darstellung oder der Simplexmethode! 14. Berechnen Sie in Abhngigkeit von der positiven ganzen Zahl n die Lösungsfunktion für die lineare einparametrische Optimierungsaufgabe z= n X (j − t) xj → max j=1 0 ≤ xj ≤ t , j = 1, ..., n t reellwertiger P arameter und skizzieren Sie diese für n = 1,2,3 ! 15. Bestimmen Sie die Einteilungskegel für die folgende lineare mehrparametrische Optimierungsaufgabe: z = c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 → max x1 + x1 x2 + x3 x3 = ≤ ≤ ≤ xj ≥ 0 x2 95 19 52 62 j = 1, 2, 3 c1 , c2 , c3 reellwertige Parameter 16. Bestimme Sie die Einteilungskegel für die lineare mehrparametrische Optimierungsaufgabe n X z= xj → max j=1 n X (a − aj ) xj ≤ b1 j=1 n X aj xj ≤ b2 j=1 xj ≥ 0 , j = 1, ..., n bei bekannten Zahlen 0 < a1 < a2 < ... < an < a und den Parametern b1 und b2 !
