Lösung KA 3 03/2016

12. Jgst.
3. Kursarbeit
Klasse: BGY LK 1
Datum: 14.03.2016
Fach: Mathematik (Leistungsfach)
Thema: Analytische Geometrie; Punkte im R3;
Geraden/Ebenen in Parameterform;
Winkel; Skalar- & Vektorprodukt
Aufgabe 1:
Name:
Punkte:
Note:
Geradengleichung
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a) Prüfen Sie, ob die Punkte A, B und C auf einer Geraden liegen:
A(0/1/2), B(-1/0/-1) und C(2/-1/0)
b) Geben Sie eine zur Geraden AB orthogonale Gerade an.
c) Geben Sie eine Gleichung der Geraden g durch P(2/-3/2) an, für die gilt:
(i)
g ist parallel zur x-Achse.
(ii)
g ist parallel zur xz-Koordinatenebene.
(iii)
g geht durch den Ursprung.
Aufgabe 2:
Dreiecksberechnung
Gegeben sei das Dreieck ABC mit A(5/0/-1), B(3/4/-5) und C(-1/6/-1).
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a) Stellen Sie die Gleichung der Seitengeraden des Dreiecks auf.
b) Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks.
c) Wie groß ist die Fläche des Dreiecks?
d) Ermitteln Sie den Schwerpunkt des Dreiecks.
e) Ergänzen Sie das Dreieck um den Punkt D derart, dass ein
Parallelogramm entsteht (3 Lösungen möglich).
f) Bilden Sie eine Parameterform der Ebenengleichung des Dreiecks.
g) Welche Eigenschaften müssen die Parameter der Ebenengleichung
besitzen, damit die Punkte innerhalb des Dreiecks liegen?
Aufgabe 3:
Geradenschar und Spurpunkte
In einem kartesischen Koordinatensystem ist die Menge der Punkte
P(-3k / 3+6k / 4+4k) mit
k 
gegeben.
a) Zeigen Sie, dass die Menge der Punkte P auf einer Geraden liegt.
b) Wo durchstößt die Gerade g die Koordinatenebenen?
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Aufgabe 4:
Pyramiden
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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte O(Ursprung),
A(6/8/0), B(-2/14/0), C(-8/6/0) und S(-1/7/10) Eckpunkte der Pyramide
OABCS, deren Grundfläche das Viereck OABC ist.
a) Zeigen Sie, dass das Viereck ein Quadrat ist.
b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide OABCS.
c) Wo liegt der Lotfußpunkt der Höhe durch den Punkt S?
d) Ermitteln Sie eine Ebene in Parameterform E, die durch die
Punkte B, C und Q(3/4/10) festgelegt ist.
e) Auf der Geraden
Strecken
OP
AS
und
gibt es genau einen Punkt P, so dass die
BP
senkrecht zu
AS
sind.
Bestimmen Sie die Koordinaten des gesuchten Punktes P.
Aufgabe 5:
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Lagebeziehungen von Geraden
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h – im Falle eines
Schnittpunktes bitte die Koordinaten angeben:
a)
b)
  1  2 
   
g : x   2   k 0
 0  1
   
  2
 
g:x k 2 
  3
 
 2  0 
   
h : x   3  t  1 
 4    1
   
und
und
0  4 
   
h : x   0   t   4
12   6 
   
c) Zeigen Sie, dass die Geraden nicht parallel sind;
Für welchen Wert von a schneiden sie sich?
 6    4
   
g :x  0 k 1 
  5  4 
   
und
d) Prüfen Sie, ob sich die Geraden schneiden:
1  5 
   
ha : x   a   t  3 
 1    6
   
Aufgabe 6:
Ebenengleichung
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a) Warum legen die Gerade g und der Punkt P keine Ebene fest?
 2  1 
   
g : x  0  k  2 
 0    3
   
P 0  4 6
und
b) Welche Lagebeziehungen können Ebenen und Geraden zueinander haben?
c) Bestimmen Sie die Parameterform der Ebenengleichung.
Aufgabe 7:
Skalar- & Vektorprodukt
a) Zeigen Sie, dass die Vektoren
1
 s
 
 
a   r  und b   0 
s
 1 
 
 
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stets
orthogonal zueinander stehen.
b) Prüfen Sie, ob es Werte für s gibt, so dass die beiden Vektoren

T
a

 1 s 3 und
T
b
  s  3s 2 
orthogonal zueinander stehen.
c) Bestimmen Sie einen Vektor, der orthogonal zu den beiden Vektoren
a
T
 1 s 3 und
b 
T
  s  3s 2  steht.
d) Begründen Sie, dass folgende Gleichung in der Regel nicht gilt:
 
a  bc

a  b  c