Über eine Erweiterung des Rückwärtseinschneidens

Paper-ID: VGI 191127
Über eine Erweiterung des Rückwärtseinschneidens
Adolf Klingatsch 1
1
Graz
Österreichische Zeitschrift für Vermessungswesen 9 (7), S. 212–220
1911
BibTEX:
@ARTICLE{Klingatsch_VGI_191127,
Title = {{\"U}ber eine Erweiterung des R{\"u}ckw{\"a}rtseinschneidens},
Author = {Klingatsch, Adolf},
Journal = {{\"O}sterreichische Zeitschrift f{\"u}r Vermessungswesen},
Pages = {212--220},
Number = {7},
Year = {1911},
Volume = {9}
}
...}. .
· 1
212
wir tpit -,x u�d J' die rechtwinkeligen, sphärischen Koordinatert
.:Y on a und. ferner mit l 'und TJ die rechtwinkeligen, ebenen Koordinaten der
Z:entralproJ e�tion a; �g. i_st a.' ao' glei ch 11, · gleich dein Abstande a/ von der
.
.
�ez,eichn
. en,
- Meridianeber.te.
X tg--;::
:· o, a,'
-;:-
·
Aus d,em. Dr.eiecke o.
-C
"
sich: rJ =r= o9 a,/
as' aa'
·
-
ergibt
--
«
«
17 =
�
r
.
x
�-.
cos 1·
1'.
=
y
·:
1·
c:: -
cos
y
trr­
b
r
r
X'
tg­
„
Über
� "'eifle Er·weiterung: des Rilckwärtseinschneidens.
·voa Professor
" -
A. KUngatseh- in
I..
Graz.
Die di:ei Punkte P1 P, P� (Fig. l) sind durch ihre Koordi"na te n gegebefü
. ·Es sind drei andere P u nk te P1 p, P• im Koordinatensystem der. Punkte P1 -f._ J�j
unter der Bedingung zu berechnen, daß das Dreieck P1 /l1 Pa an de rwe i tig bestimrn.t
ist und die drei Winkel Wi w� wa gegeben sind.
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�
Ft'g.
J,
Diese Aufgabe, welche bei
Anschlußmessungen eines in
Koordinatensystem berechneten Dreiecks· oder Po lygo nn etz es,
p1 P, p, drei beliebige Punkte be deut en ,
einem anderen
in welchem also
an ein Dreiecksnetz P, P1 P3
auf.
•
•
•
Zeit schrift für Vermessungswesen (Stuttgart) berei'ts durch
Las k a, Lösch n er un d Pulle r Lösungen gefunden.
L{L s k a ' ) führte als Unbekannte die drei En tfe rn ungen P, t, P, 11 J>1 t, ein,
wodurch sich drei diese Abstände als Unbekannte enthaltende quadratische
Gleichungen e r g aben , für deren· Auflösung ein Näherungsverfahren auf Grund­
lage von genäherten Werten der Unbekannten, die einer Zeichnung zu ent­
nehmen sind, angegeben· wurde.
Lös c h n er!) entwickelte die G lei chung· für die Berechnung des Orien­
tierungswinkels 180 � � � j,. Da das Po]ygon /'1 j, P1 t1 t, p1 bestimmt ist, so
lass en sich aus jenem Winkel nati.irlich alle ü b rigen Abstände,
also auch die
Unbekannten nach La. s k a's Lösung bestimmen.
Pu 11 e P) berechnete'= vorerst die Koordinaten von t1 und t, im Koordinaten­
system. der Punkte /� !� �1, w odur c h sich dan n auch jene der Punkte p1
j2 Pa . . .
finden lassen.
Jede Lösung nun, welche die Seiten des Dreieckes t t t benützt
• 1 hat den
2 a
1
Nachteil, daß dieselbe dann ungen au wird odpr aber v ersagt, wenn einer der
Winkel jenes D re i e c ks sehr spitz ist, ein Fal l , de,r eben vorkommen kann
.
Wir geben im zweiten Abschnitt eine direkte Auflösung dieser Aufgabe,
wel che lediglich die unmittelbar ge g eb e nen Größen benützt und die Herleitung
der Entfernung Ps p-; sowie jene des auf das Koordinatensystem der drei ge­
gebenen Punkte P, P1 Pa bezogenen Richtungswinkels dieser Seite bezweckt.
Der Punkt p3 wird daher durch Polarkoordinaten bestimmt, mit welchen dann
auch die r e ch twinkel igen Koordinaten von ji p, und P1 ge fun d e n sind.
Wird in Fig. 1 w1 = w, = 180, m = n = 0, so hat man den Fall des ge­
wöhnlichen Riiekwärtseinschneidens; die Punkte des Polygons P1 jJ3 jJ2 t, lt }1 fal.len
dann mit dem in Fig. :2 mit P bezeichneten Punkt zus a mm en .
treten kann, hat
in
der
X
1) Z. f. Verm.
t) Z. f. Verm
3) Z. f. Verm,
1�00, Seite 565.
1901, Seite 485.
1902, Seite
456.
Fig.
2.
Wir �geben . vorerst für d i es en schon .. oft behandelten Spezialfall ein e von
den üblichen abwei ch ende Lösung ·und fragen zu diesem Zwecke uni. de11 Ort
.für die Spitze fa ·des Drei ec kes P1 Ps P�, wenn Pt auf der G erade n g1 und P2
auf g,• fortr ückt .
Werden Kt und g� zu Achsen eines s ch i efwinkel i gen Koordinatensystems
XP Y gewählt, so fol g t mit den aus Fig. 2 zu entnehmenden ß ez ei chn u n gen
,
1)
sin (a + ri) =
siu a '. sin (ß +r1) =
s in ß .
·
:
Wegen
'1'2 = r-1't
ist
Demnach wird aus
cos (a+ 11
v ) -
Da endlich
�
-
u nd ß = w.:._a
2)
ß+11s = (w+r)-{a+ Yt)
3)
3) und
(l
l)
alisin(w+r)
(a
sin
ß _L1 b sin a
cos
4)
[w + v])
'
5)
sin1 (
. a + rs) + cos' (a + /'1) = 1 .
,ist, so erhält man aus der Verbindung von 4) und 5) mit der ersten der G l ei­
'chungen l)
· a1b'sin=(·zc1+r)=(>2
· [a1sin2ß+b�si112a+2abs'inasinßcos(w+r)],. 6)
..
\'
welche Gleichung bereits die Lösung enthält , indem durch dieselbe der Abstand
f! =Pa P gefunden wird, während mit diesem die beiden Winkel r1 und r� aus
l) folgen. Da ferner
ist,
.
%
.
y .
sin ß = - s1n w
- srn w,
(>
(>
für den g esu chte n geometrischen Ort von r3
.
sm
. a=
sich
zentrische· Ellipse
a2 b1
so ergibt
·
sin' (w+r)
-.- .w
sm2
=
b�y2
+
a2 X2
+ 2abxy
cos
(w
In dem speziellen Falle eines gleichseitigen Dreieckes Pi
a;:::;;: b und y = 60° ist für w = 150° der Ort von P3 der mit
Kreis
·
.
7)
die mit
P kon-
r) .
8)
+
P, Pa,
also
mit
P konzentrische
H alb m e ss er
a.
Ist P P1 P, P5 ein Kreisviereck, so folgt auch bei dieser Behandlung die
Uübestimmtheit der Auflösung.
Wegen w + 1' = 180 wi r d in 6) die linke Seite gleich Null. Da ferner für
dieses Kreisviereck die Beziehung
vom
a
sin
(.'(
z;- sinß
,
·
besteht, so wird in 6) auch der l'aktor von (> gl ei ch Null. Je�em Werte von
Q ' ürde alsdann d iese Gleichung genügen. Da in dem in Rede stehenden Falle
das s:'harakteristische Binom gleic h Null wird, so degeneriert d�r Kegelschnitt
ats; ·pezialität der P a ra b el in die durch P gehende Gerade P P3 und fällt daher
mit der den Punkt P.a b e stim me nd e n Geraden zusammen.
·
·
·
Sind wie bei der vorliegen.den Aufgabe die allgemeinen Lagen der drei
Punkte P1 Pt P8 zu P aus den örtlichen Verhältnissen bekannt, . so kommt n ur
·ein Kegelschnitt i!l Betracht. Wä ren hin geg·en le digl ic h die Seiten des D rei ec kes
Pl P, P8 gegeben, so entsprechen einer Lage des Punktes Pi und P2 auf g·1
respektive /?2 zwei Dreiecke, also zwei P·un k te Pa, welche bez ü gl i ch P, P2 syni­
m etrisch liegen.
Die zweite L age dieses Dreieckes wäre dann di ejen ige ,
bei
welcher P8 { t ig. 2) dem Punkte P zugekehrt ist. Zählt man die Winkel /' ?'i.
y2
konsequent it1 dem Sinne: 9:: r = � P, P:1 �. 9:: ')'1 = <::J: P � !�, 9:: /'2 =
<): P, P, P, so wäre irt diesem Falle r der Auß�nwinkel des D reiec kes . Der Ort
für alle Lagen von Pa beste ht also im allgemeinen aus zwei mit P konz nt­
ris chen Kegelschnitten.
Mit dem Vorstehenden ist au ch eine geometrische Lösung für das T�iick­
wärtseinschneiden gegeben. Sind nämlich in dem zu bestimmenden P unkt P die
Winkel a· u n d ß g em essen ; so ist nach 8) die E ll ipse als Ort flir d e n Punkt
�, jenen nä mlich , den ma:n bei den Messungen »in die Mitte« nimmt, bestimmt.
Der chnitt der Geraden P P3 mit der Ellipse bestimmt die Lage von P3, wo­
du rch die Orientier u ng- des Dreieckes P1 P2 P3 gegenüber P gefunden ist.
In allen Fällen der Anwendung h ande l t es sich jedoch um die rechnun
gs­
mäßige Bestimmung der Koordinaten von P. Es sind daher w ie immer
vorerst
aus den geirebenen Koordinaten de r Punkte P P P die Größen a b y zu
'
)
1
2
3
_J . �·Die Gleichung 6)
berechm�n
gibt dann, '� i e erwähnt, unmittelba r di e Entfernung
- -- \
Pa P = Q. Die aus l) zu findenden Wi nk el y1 und r, mlissen der Bedingung
·
'J'='J'1
+
Ys
Berechnung von Q geprüft w ird und
anderseits die Wink el 7'1 und ri au ch eindeutig bestimmt sind.
Es kann somit der Richtungswinkel (P3 P) sowohl aus dem Richtungs­
winkel (Pa P,) als auch aus (f1 P2) abgeleitet werden, so daß sich damit un­
m i ttelb a r die K oordin ate n von P ergeben.
Für die Berechnung der Koordinaten x, y von P hat man als letzte Kon­
t ro ll e :
ge n ügen , wodurch ei11erseits die richtige
füh rung
ge fü hrt�
mit "den
in der Instruktion
di e
Wir benützen zu einem Zahlenbeispiel
zur Aus­
der trig. und polyg. Vermessung en etc. Wien 1896, Seite 110 vor­
B ere c h nung der Koordinaten ei1ies Punktes aus drei i n neren Richtungen
dort angegebenen Daten.1)
I n der
folgenden Zusammenstellung
k=
ges e tzt , sodaß
Va9 sin9 ß
wird.
-� ll1an
+ // sin2 a
Q=
+-2
ab
zur Abkürzung
ab
sil1
a
si�17fcöS.(7'V""f71)­
sin (w +y)
k-
Yerglcichc auch: 13 er c dick, ßeltrag
f. Verm. 1905, Seile 83.
fbd. 1910, Seile 337.
ist
zum
Pothenot'schen Problem.
Ry� avy·, Beitrag zum rechnerischen
Verfahren des
Österr. Zeitscl1r.
Rückwärtseinschneidcns
p
. ;�
{'t
18152•68
:.+1 : = - 11 l-044•47
P.
= -
- 1 .
{''
p
=- 20272·86
X.1 = - 111178·68
•
{'·
=
.t'1
18755·73
-
= - 1123 70·96
"
'ß = 11'4° ,6: 42°
cp = a + ß -� 239° 12' 35',
: a=l25° 5: 53'.'
J'J-)'1= 603·05, .f'1-.f'a=l326•49, Y1-Y3=-1Sl7•13; %1-.f'a=ll92··28 .
.
:
1:2·780353
'Y,-Y,
sin (P�.P1) 9·6i68S3
,
C?s.(P� P � ) 9·959Zö4'
�1-.:r•. 3·12 27 04
t:.g (P ' P 1 ). 9·657649
s'in
)
3 ·16 3500
a
rp =
26' St'11·
9'
760 17,
4„_
2390 12' 35''
+ r = 31 SQ
29' 3911
2. 0·301030
· :·;
·
Q
2 8 6431 3
sin a 9·912844.
sin
a
{a+r1)
b
· 9· 6 1 36 5 7
sin (ß + ß,)
+ r1 = 15S1 441 26"
Probe: r,
ß+
5' 53"
38' 43"
+ r.
(Pa P)=(Pa�)+
sin (P3
760 17' 4"
=
P)
Q = P, P
J
---�
6Y
Y• =
. .
. .
:
J)
176 8906
249 232 7
2994911
7256144
353°
.
=
481 8";
9·033266
. 2·86431·3
1·897579
78•99
�J' = ,) J3 7 s s �
.r.
„
,
...
.! = - 18834•72
1
2·824665
3· 285459
�· 539206
1596
ß = 114°
y, =
=
y,
O· J 04644
�
3· 163500
a = 125°
y, = 30°
'3•0763 79
2·864313
9·960352
sin ß
2·777157
·
6·860705
1 3·430353
k
6·294666
k 3•430353
a
9".790919
(P, P.)
6'476384
k2
3·285459
(}
9·895'564
x -x.
.
6·247704
6"396604
-:2 ab :Sin a sin ß. cos (w+ y)
3·163500
b
,tg
_ .
(a siµß)2
(b sin a)2
9•912844
a
y1--y813·J8i023
sin (Pa P2)
.cos(P3P,).
4711
,
(<P + y)'- 9 · 853 1 9 9
sin (<p + y) 9·84 5 70 7
cos
rp
.
3:285459
b
y.:;==
· ·
ß 9'··960352 .
sina
·
(P1P1)= 24°
(P3 Pz) = 308°
r.
3"
6' 42"
21...,
35'
45° 38'
(P, P) =(P., �) + 360 - y1 =
cos (P, P) 1
Q =p:;P:
/:::,.
h, X=
x,
=
.t"
-
X=.!-
9·997454
·2·86431,3
2'861 761
72 7 · 3 9
·
112 3 7 0 96
--111643•57
353°
�' 811
217
. II.
Die im vorhergehenden Abschnitte
R.ückwärtseitischneiden ließe sich im
einschneiden übertragen.
Wird in Fig.
systems
P1, wenn
1
der Punk t„
�'
angegebene Lösu11g für das einfache
Prinzip
auch
a l s Ursprung
für das erwe i te rte
R ückwärts-
,
eines schiffwinkeligen Achsen­
und la p, al s X, ta p, al s Y gewählt, so ist d e r Oft für
die Lage von
Pi und P, auf X respektive Y fo r tr ü c ke n , die durch 8) bestimmte
Ellipse, ,wobei der Wink el w durch den Winkel p, t, Pi u nd der Abstand �·durch
11 Pa zu ersehen wäre
Da, wie erwähnt, die Figu r Pi t, t1 t. p. P• jJ, bestim m t ist, so könn te auch
lekht die Gleichung der Gera.den Pn P1 aufgestellt werden, in deren Sch ni t t mit
d er Ellipse sich die Koordinaten von Pa ergeben. Da sich ebenso die Koordi­
n ate n von P bezüglich X Y ermitteln lassen, so wäre daqurch auch d[e Ent­
,
fernung .P• Pa gegeben. Diese Lösung hat aber denselben Nachteil, wie die in J
angeführten, da man Abschnittte wie: 11 ta und 11 ta berechnen be.ziehungsweise
m
Rechnung ziehen muß, die unter Umständen ungenau erhalten werden.
1
1
1
!
1
Fi'g.
3.
Wir geben daher eine andere Lösung, welche nach Fig. 3
den Koordinaten
von
Pi P,
�
abzuleitenden Größen
gebenen Bestimmungsstücke jJ1 .f• =
Winkel
w. w, w1
b enütz t .
111,
P• P1 = n,
a,
auß e
r
w,
sowie die
b, y lediglich
:}:::. P1 :Pi P,
=
den aus
die ge-
entweder direkt mellbrtr, oder aber dieselben sind als
auf indirektem Wege hergeleitet anzusehen. Im allgemeinsten Falle sind jene
Größen aus zwischen p, }• Pa eingeschalteten Polygonz ügen zu erhalten, soferne
Dabei sind
m, n, w
diese drei Punkte nicht durch
sind. Eine analoge Beme r kung
Koordinaten aus einer Polygonierung gegeben
gilt für die drei Winkel w, w, Ws . Auch diese
21'8
müssen unter Umständ,en e rst auf indirektem Wege hergeleitet werden,
die Sichten zwischen Pi p, /1 nicht frei wären:·
soferne
Aus der. in 1 vorgeführten Unt(Jrsuchung folgt,
.
stand p ==
P, p,
die
da�.
' : cler zu sU..chende Ab·
Lösun g einer Gl�ichung zweiten Grades erfördert.
. Mit den Bezei chnu ngen
Gleichungen:
S1 = 1IZ
der
Fig.
.sin zv.
.
Sill (w1 + cp,)
p
3 erhält· man vo rer;st
S1
'
folgen,den
si n r1
=-�
= a --:--��
sin
cos
. " 9)
(w�wa-cp1)
(w-w1-cp1) + a cos r1
sm w 1
srn y,
b
s� ='II.
Si= . sin(zv�- cpp)
sin (w. + rp,)
(J = s.·cos ('w.-cp,) + b cos r.
s1
=
die
10)
•
:
l I)
•
12)
.
Aus 10) folgt mit dem aus der 'zweiten der Gleichungen
Werte
· von s,
.
t ang 'P• =
wähtend aus 9)
tang cp1 =
wir d.
m
m
(w
- iu3) -. a sin' (w + r, - wa)
.
.
Wa) - a cos (1ei -1- y, - Wa) ,
(1.v - w1) - a sin r, sin w1
sin w, cos (w - w1) + a sin y1 cos w,
sjn
w1 ·sin
sin w1 - Q sin'(w + w, -- w3)
In anal oger
der Gleichung
12)
. 13)
·
Aus l 3) und 14) folgt daher:
m
n
p shi '(zo
Q cos
9) sich ergebenden
. 14)
·--
+ a sin Y• cos (w + w, -w1) +
+acosy1sin(w+w1-w3)=0 .
Weise wird mit Benützung der beiden
.
.
.
.
.
r,
kann man 16) auch die Form geben
.
15)
Gleichungen 11) ui1d
sin Ws-(! �i n(wd-wa) +bsiny�cos (w:a+w3)-t-bcosy,sin(w1twa) = 0
Wegen
.
•
.
16).
= r-1'1
11si11 'w1-(l sin(w1+2t1,)-bsin 7'1 cos(w,+w.+r)+b cos y.·sin(1c,+w,+r) =0. 17)
Wird aus 15) u n d
der Win k el 7'1 el iminiert,
17)
suchte zur Besti mmung von Q dienende Glei chung.
so erhält man die ge·
Diese Elimination kann so
vorg:eno m men werden, daß m an aus 15) u nd 1 7) sin y, und cos ri wie zwei von
einander unabhängige Unbekannte bestimmt, also durch Q und die bek;rnnten
Größen ausdrückt und sodann
die
Bedingung
be
. üützt
'Mit· den Abküriungen
W1
+ W1 = �'
W
+ W1-W3 = 6,
UJ
erhäl t ml,\n schli .e ßlieh zur Bestimmu ng v o n (l
+ W• + W, + 1' ---i,'Y/
die
Gleichung
.
•
•
•
J 8)
a�b2 sinin= [a�.11s�n'11:, + b'm' sin2·w1 +.2 abm Jt sin w1 sin w, cos ·17]
.--:- �· (! [a• n sin w� sin � + btm siu w, sin 6 +ab cos rJ { m.sin zt'1 sin t5 + n sin w, si n s }]
+ <>' [a' si n' 6 + b' sint E + 2 ab sind sin E cos n]
, . . 19)
l
-�
•
•
·
Die . beiden Wink e l y1
u nd r,
und dami t d i e Orientierupg
des
Stmh1es P11 p8
dopp el t e m Wege erhäl t m a n aus 1 5) u n d 1 6), nämlich
a Sill (w + W1 - W3 + y1 )
Q si n (w + W1
·zt13)
11t Sill W1
, ,
b si n (wi + ws + r2) = Q Sin (w1 + w,) ...:_ 11. siu �v2,
auf
=
-
-
20)
•
2t)
f
wo also aus der ersten Gl ei c h un g d er Win ke l y. u n d aus der zwei t e n d e r W i n k e l ,,2
folgt. Hi ezu d ie n t wieder die Kontrolle ')'1 + )'• = y, wo durch auch (! geprii ft wi r d .
D er R ichtungswinkel
i
l e tbar , so da ß sich aus
� Pa
i s t somi t w i eder aus P1 � und
Koordinaten von P8
den
Pa
aus
u nm i t te l b a r j e n e
P1
von
P�
ab­
er­
Ps p1 u n d Pa p2
ge fun d en werden, so s i n d dadurch auch die K o o r din ate n von Pi u n d p2 besti m m t.
Der Rechnungsgang s ch l ie ßt si ch, wie man sieht, jenem für d a s ei nfach e R iick­
wä r tse i n s ch n ei d e n an, nur werden ·n aturgemäß d i e Formeln z u � a rn m en gese tzter.
Wird · W1 = wg = 1 80, m = n = 0, so fal len die drei P u n k t e p1 p, }3 in den
einen Punkt /Ja zu s a m m e n , während die Ecken � P� des Drei e ckes /� � }�� au f
d e n beiden den Wi n kel w e i n sch l i eßen d e n Polygo n s e i t e n l i egen Man h a t d a n n
wi eder den Fall des e i n fachen R ückwärtsein sch n ei d e n s .
geben . Da aber aus d em Rich t u ngswinkel von Pa
Aus 1 9)
ergibt s i c h d a n n ,
o = 1 80 -f- w� ,
wir d ,
P
a u ch jene vo n
18)
+ (w - wa), iz = w -!- 1'
w ege n
da
c=
1 80
a1 b� si11 2 (w + y) = �� [a2 s i n 2 w, + b1 s i n 2 (w -
cos (w+y)]
W3) + 2 a b si n w� si n (w - w3 )
. . . . . . . . . . . . 22)
ein e G l ei c h u n g , welche mit 6) i d e n t is c h ist, wen n man der in Fig. 2 g·ewäh l ten
Beze i c h nung e n t spr e ch e n d
in 22) wi � ß,
d i e sen Bezeich n u n gen die Glei chungen 201
1 ) über.
Sind bei der oben
behan del ten
pß P, z u e i n an d er p aral l e l ,
so
w - wa = a
setzt.
. Ebenso ge hen mit
.
und 2 1 ) i n die bei d en G l ei c h u n ge n
Aufgabe
in
wird
z w ei
1 8) w egen
wäh re n d 1 9) au c h fü r diesen I• all ei n e Lösung gi b t .
f ü r 712 das se lbstvers tändliche R esultat
.
sm y2
Si n d j edoc h al l e d rei
W2 = ] 80
- W:1 ,
=
n
-b
Strahlen,
etwa
Ws + Wa =
Aus
21)
1 80,
erh ä l t
/h P�
o=
und
1 80,
m an dann
.
SIQ W8 .
' t ra h l e n zu .einander p aral l el, so h at m a n wegen
W1 = Ws
+
J 80 - 7.fl,
aus l 8) o' = c = J 80.
d a nn d i e Faktoren von Q und (!2 g-J eich Null, so daß der
übrig b.leibende Tei l dieser G l e i c h u n g einen W i d e rspru ch i n sich sc h l i eßt. D ie
.A u fgabe ist i n di es e m Fal l e , wi e auch ohne weiteres klar ist, überbest i mm t , da
z w e i Bestimmung·sstück e d es D re i e ck e s , etwa a und b gen üg·en , um d i e R i c h t u n g
d e r Dreieckssei t e n festzustellen. Es gibt eb e n d ann eine S c h a r z u einer kongru­
I n 1 9) wei·den
e n ter Dreiecke, d e r e n Ecken a u f den drei zu e i n a n d e r p aral lelen G e r a d e n liegen.
Bisher haben wir l e diglich im Si n n e d e s Rücb�1ärtseinschn eidens d i e in
p1 /1v.P3 ge m ess en e n Ri ch tu ngen nach .P1 l'2 P3 al s i n n e re H ich t uugen b e t ra ch t et .
Sind j e doch
p1 p1 jJs die durch
Ko o rdi n ate n gegebenen Punkte u n d w äre n 1'1 P, Fa
220
finde11 ; so g.ilt natürlich dieselbe Lösu n .g . Die. Aufgabe ste llt sich dann als eine
Erweiterung zum V o r w ä r t s e i n s c h n e i d e n dar, so fe rne dann eben von drei ge­
zu
gebenen Punkten durch je ein e äußere Ri ch tung drei neue Punkt� zu fi n den si nd.
Die Lösung setzt wieder ·voraus, daß das Dreieck
Das erwei terte Votwärtseinsch neiden
P1 P, P8
für si ch b esti mmt ist.
kann auch für die Gewinnung n euer
Stan dpu nkte ' bei M e ßti s ch au fn ah men i'n Ausna h m sfä l l en vo n Bedeutung werden,
nur daß cfann jede die E rmittlu ng der Lage des D reie ckes
'
Rechnung entfällt .
pi P2 Pa
betreffende
· ·
Sin d nämlich drei zugängl ich e Punkte />1 P 1 P8 a m Tisch gegeben, während
für die De tai l au fn ah m e
P1 P2 P8
als Au fstellungspunkte am Meßtisch bestimmt
werden soHen, so ist die Lösung dieser Aufgabe auch dan n noch m ö gli ch , wenn
von
}1 }1 /Js j e einer der kün ftigen Aufstellung�punkte sich tbar wäre.
Wi�d der Ti sch in p. p. p1 der Reihe n ach orientiert au fgestel l t , so �önnen
die Strahlen n ach den zu b estim menden Punkten gezogen werden. Werden dann
die auf direktem ode� i n direktem Wege herzulei tenden Seiten des Dreieckes P, P, P1
i n dem Maßstab e der · A u fnahme auf Pauspapier ü b e rtragen, so kann
m an
durch
Verschieben des letz.teren die Ecken dieses Dreieckes i n die drei am Tisch ge­
zogenen Strahlen e in passen .
zur Orientierung.
Für j ede Au fste l l u n g hat man
Da im Si nne der Instruktion für Me ß t i s ch au fn ah m e n ,
dann einen S trahl
Wien 1 907,
für die
in den geg eb en en Pun kten des N e t z es
sogenannte Detail triangulieruog ohnehi n
IV. Ordnung A ufstell ungen des Tisches vorgenommen werden m ü ss e n , so kann
für die G ewi nnung n eu er Standpu nkte j n unübersichtlichem Geb i e te di ese Lösung
herangezogen werden.
Graz, im No v em be r 1 9 1 0.
Studien zur Viertelsmethode der Geodäsie.
f
l.
Von Dr. Lothar
Schrutka
v.
Die als V i e r t e 1 s m e t h o d e
in
b ezei chnete
Absteckung eines K reisbogens i m Fel d e
Wien,
Näherun gsmeth o d e
für die
b e ruh t b ekanntlich auf der Tatsache,
daß die Pfeilhöhe für den halben Zentriwinkel u m so genauer gl ei ch dem V iertel
der Pfeilhöhe für den ganzen Zen triwinkel ist, je kleiner d ieser Zentriwinkel ist.