Modul 54 - logistisch-gebremst - WKO Online

Podcast-Text: WIFI Berufsreifeprüfung / Mathematik/
Modul 60 – Beispiel: Wahrscheinlichkeit II
Aufgabe:
Stanzteile werden auf 3 Maschinen hergestellt. M 1 erzeugt 20 %, M 2 30 % und M 3 den
Rest der Gesamtproduktion. M 1 produziert 1 %, M 2 4 % und M 3 5 % Ausschuss.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Teil Ausschuss
ist? Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde er dann von M 2 erzeugt?
b) Welche Stückzahl muss M 2 erzeugen, um mit mehr als 95 % Wahrscheinlichkeit
mindestens ein Ausschussstück zu produzieren?
c) In einem Behälter liegen 10 Stanzteile von M 1 und 8 von M 2 . Wie wahrscheinlich
ist es, dass mit einmaligem Hineingreifen genau 3 Stanzteile von M 1
herausgenommen werden?
a)
Bei dieser Wahrscheinlichkeitsaufgabe ist jede Frage eine andere
Wahrscheinlichkeitsform.
Bei Frage a)
handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Ein Ausschuss kann von der
Maschine M 1 , M 2 oder M 3 sein. Daher sind diese Ausschusswahrscheinlichkeiten zu
addieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Ausschuss von M 1 ist, bedeutet, dass mit M 1
erzeugt wurde und zugleich Ausschuss ist. Und-Verknüpfungen sind immer
Multiplikationen. Somit gilt für Ausschuss von M 1 : 0,2 mal 0,1. Genau so gehen Sie auch
für M 2 und M 3 vor und addieren all diese Werte. Somit ist der erste Teil der Frage a)
gelöst. Teil 2 errechnen Sie sich aus Wahrscheinlichkeit für Ausschussproduktion von M 2
durch die Lösung der 1. Frage aus a), der Wahrscheinlichkeit für den Gesamtausschuss.
zu b)
Hier haben Sie mit der Binomialverteilungsformel zu rechnen, wobei die
Wahrscheinlichkeit gegeben ist und n gesucht ist. Bei der Formulierung mit "mindestens
ein Ausschussstück" verwenden wir fast immer die Gegenwahrscheinlichkeit. Somit gilt:
P(x ≥ 1) = 1 – P(x = 0)
Setzen Sie in diese Formel ein, so erhalten Sie "n über 0" was 1 ist und p hoch 0, was
auch 1 ist. Somit bleibt nur noch q hoch n ist 0,95. Das ist nun eine
Exponentialgleichung, die Sie durch Logarithmieren lösen. Beachten Sie, dass es einen
Lösungsbereich gibt, da die Angabe lautete: mehr als 95 % Wahrscheinlichkeit. Damit die
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Wahrscheinlichkeit höher wird, muss man öfters ziehen. Somit ist die berechnete Lösung
die untere Schranke, die immer auf eine natürliche Zahl aufgerundet wird.
zu c)
Hier werden die Stanzteile aus einem Behälter herausgenommen, ohne sie wieder
zurückzulegen. Man könnte die drei Stanzteile auch nacheinander herausnehmen. Mit
jedem Herausnehmen ändert sich die Einzelwahrscheinlichkeit für die verbliebenen
Stanzteile. Anfänglich hatten Sie eine Einzelwahrscheinlichkeit von 10 zu 18, nach dem
1. Ziehen ist sie nur noch 9 zu 17. Da Sie immer nur gleiche Stanzteile ziehen sollen, ist
die Vertauschung 1.
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist meistens sehr kurz und kann oft intuitiv gelöst
werden. Dafür benötigt man ein gutes Vorstellungsvermögen.
Viel Spaß beim Mathematisieren!
Lösung:
a) P(Ausschuss) = 3,9 % ; P(Ausschuss|M 2 ) = 30,8 %
b) n ≥ 74 Stück
c) P(x = 3) = 14,7 %
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