Für den mathematischen Arbeitsspeicher

Übung 1
Abgabe bis zum ………………………
1. Physikalischer Einstieg (10 P)
Bei einem Kettenkarussell auf dem Hamburger Sommerdom sind die Ketten am Dach des Karussells in
einem Abstand von 5m von der Drehachse befestigt. Der Schwerpunkt der Mitfahrer befindet
sich in der Ruhe vor dem Start 6m unterhalb dieser Befestigung. Bei gleichmäßiger Fahrt
werden die Sitze an Ihren Ketten nach außen ausgelenkt, so dass die Mitfahrer einen Kreis
mit größerem Radius beschreiben.
a) Zeichnen Sie ein Vektordiagramm (nicht maßstäblich) aller während der Fahrt auf einen
Mitfahrer wirkenden Kräfte. (Momentaufnahme mit zugehörigen Bezeichnungen). Welche
Beziehung muss zwischen diesen Vektoren bestehen?
b) Bei welcher Umlaufzeit sind die Ketten gegen die Vertikale um 40 Grad nach außen geneigt?
c) Wie groß ist bei dieser Drehzahl die Fliehkraft auf eine Mitfahrerin der Masse 70 kg?
d) Welche Kraft verspürt eine Mitfahrerin in ihrer Sitzfläche?
2. Räumliches kartesisches Koordinatensystem (10 P)
Das Fußballfeld der Eintracht aus Frankfurt ist 100 m lang und 60 m breit. Ein Fußballtor hat als
Innenmaße näherungsweise eine Breite von 7,3 m und eine Höhe von 2,4 m. Das Tor befindet sich
genau in der Mitte der kurzen Spielfeldbegrenzungen. In der folgenden Abbildung ist eine Spielfeldecke
im Koordinatenursprung. Eine Einheit des Koordinatensystems entspricht 1 m in der Realität.
a) Geben Sie die Koordinaten der mit 𝐴 bezeichneten oberen Innenecke des rechten Tores an.
b) Geben Sie den zu 𝐴 zugehörigen Ortsvektor an und bestimmen Sie seine Euklidische Norm (Länge).
c) Geben Sie Koordinaten von Punkt 𝐵 (siehe Graphik) an. Sind diese eindeutig bestimmt?
d) Wie kann man den Abstand von Punkt 𝐴 zu Punkt 𝐵 ermitteln?
3. Konstruktionen im räumlichen Koordinatensystem (10 P)
Gegeben sind die Punkte 𝐴(5|6|1), 𝐵(2|6|1), 𝐶(0|2|1), 𝐷(3|2|1) und 𝑆(2|4|5). Das Viereck 𝐴𝐵𝐶𝐷 ist
die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze 𝑆.
a) Zeichnen Sie die Pyramide in ein kartesisches räumliches Koordinatensystem (Schrägbild).
b) Entscheiden Sie begründet, ob die Pyramide 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 eine rechteckige Grundfläche besitzt.
c) Bestimmen Sie die Länge der Seitenkante 𝐴𝑆.
Für den mathematischen Arbeitsspeicher …
Auf die folgenden Fragen sollte man jederzeit eine richtige Antwort geben können. Zur Not, mit Hilfe eines
vorbereiteten Zettels:
1)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte in der Ebene?
2)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte im Raum?
3)
Was versteht man unter einem Anschauungsraum?
4)
Was unterscheidet ein ebenes kartesisches Koordinatensystem von einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem?
5)
Was versteht man unter einer Abzissen- bzw. Ordinatenachse?
6)
Erklären Sie, was es bedeutet, dass ein räumliches kartesisches Koordinatensystem ein „Rechtssystem“ bildet.
(Diese Liste wird fortlaufend ergänzt.)
Übung 2
Abgabe bis zum ………………………
4. Rechnen mit Vektoren (10 P)
3
1
1
Betrachten Sie die drei Vektoren 𝑎⃗ = ( 1 ) , 𝑏⃗⃗ = (0) , 𝑐⃗ = ( 2 ). Berechnen Sie wenn möglich:
−1
0
−3
𝑎) 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗;
𝑏) 5 ∙ 𝑎⃗;
2
𝑔) 𝑎⃗ + ( )
3
ℎ) √(𝑎⃗ + 4)
3
𝑐) 2 ∙ 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ − 3 ∙ 𝑐⃗;
𝑑) 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗;
1
𝑖) 𝑏⃗⃗ ∙ ( ) + 5
3
4
𝑗) 𝑐⃗ ∙ √‖( )‖
5 2
𝑒) 𝑎⃗ ∙ 𝑎⃗ ∙ 𝑎⃗;
𝑓) |𝑎⃗| + |𝑏⃗⃗|
5. Winkel, Kreuzprodukt, Orthogonalität (10 P)
Gegeben sin die folgenden beiden Vektoren im Anschauungsraum ℝ3 :
1
−2
𝑎⃗ = ( 2 ), 𝑏⃗⃗ = (−3)
−3
0
a) Berechnen Sie den Winkel zwischen 𝑎⃗ und 𝑏⃗⃗.
b) Berechnen Sie das Kreuzprodukt 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗.
c) Bestimmen Sie einen Vektor 𝑐⃗ ∈ ℝ3 , 𝑐⃗ ≠ ⃗0⃗, der orthogonal zu 𝑎⃗ ist (i.Z.: 𝑐⃗ ⊥ 𝑎⃗).
⃗⃗, der orthogonal zu beiden Vektoren 𝑎⃗ und 𝑏⃗⃗ ist?
d) Gibt es einen Vektor 𝑑⃗ ∈ ℝ3 , 𝑑⃗ ≠ 0
6. Dreieck (10 P)
Gegeben ist das Raumdreieck ABC mit 𝐴(4| − 2|2), 𝐵(0|2|2) und 𝐶(2| − 1|4). Stellen Sie die
Seitenkanten des Dreiecks als Spaltenvektoren dar. Berechnen Sie den Umfang und die Fläche des
Dreiecks.
(freiwilliger Zusatz) Spiegeln Sie das Dreieck ABC im Punkt 𝑃(4|4|3). Fertigen Sie ein Schrägbild des
Dreiecks ABC und des gespiegelten Dreiecks an.
Bonusaufgabe: (Beweistraining)
𝑥1
𝑥2
Das Vektorprodukt der Vektoren 𝑎⃗ = (𝑦1 ) und 𝑏⃗⃗ = (𝑦2 ) ist definiert durch
𝑧1
𝑧2
𝑦1 𝑧2 − 𝑧1 𝑦2
𝑥1
𝑥2
⃗⃗
𝑦
𝑦
𝑎⃗ × 𝑏 = ( 1 ) × ( 2 ) = ( 𝑧1 𝑥2 − 𝑥1 𝑧2 )
𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2
𝑧1
𝑧2
Verifizieren Sie die Gleichung 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = −𝑏⃗⃗ × 𝑎⃗.
Für den mathematischen Arbeitsspeicher …
Auf die folgenden Fragen sollte man jederzeit eine richtige Antwort geben können. Zur Not, mit Hilfe eines
vorbereiteten Zettels:
1)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte in der Ebene?
2)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte im Raum?
3)
Was versteht man unter einem Anschauungsraum?
4)
Was unterscheidet ein ebenes kartesisches Koordinatensystem von einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem?
5)
Was versteht man unter einer Abzissen- bzw. Ordinatenachse?
6)
Erklären Sie, was es bedeutet, dass ein räumliches kartesisches Koordinatensystem ein „Rechtssystem“ bildet.
7)
Was ist ein Vektor und wozu braucht man ihn?
8)
Was ist ein Punkt im Anschauungsraum ℝ3 ? Was ist der zugehörige Ortsvektor? Geben Sie jeweils ein frei gewähltes Beispiel an.
9)
1
Finden Sie einen Vektor im Anschauungsraum ℝ3 , der zu (2) parallel ist.
3
Neu:
10) Was ist die Euklidische Norm eines Vektors? Nennen Sie ein Synonym für den Begriff „Euklidische Norm“ im Anschauungsraum ℝ3 .
1
11) Berechnen Sie die Länge des Vektors (2).
3
12) Wie kann man zwei Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 addieren, subtrahieren, multiplizieren?
13) Wie ist das Skalarprodukt zweier Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
14) Wie ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
15) Was ist ein Nullvektor?
16) Wann nennt man zwei Vektoren im Anschauungsraum ℝ3 orthogonal?
17) Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
18) Geben Sie unter Benutzung des Vektorprodukts eine Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms bzw. eines Dreiecks an.
(Diese Liste wird fortlaufend ergänzt.)
Übung 3
Abgabe bis zum ………………………
7. Determinantenkriterium, lineare Unabhängigkeit, Dimension einer Basis (10 P)
a) Berechnen Sie jeweils die Determinante für die folgenden Matrizen.
3 1
0 2
−1
5
𝐴=(
), 𝐵 = (
), 𝐶 = (
)
5 −7
0 1
4 −20
b) Untersuchen Sie hiermit, ob die folgenden Teilmengen jeweils eine Basis des ℝ2 bilden.
3
1
−1
0
2
5
𝐸 = {( ) , ( )} ⊂ ℝ², 𝐹 = {( ) , (
)} ⊂ ℝ², 𝐺 = {( ) , ( )} ⊂ ℝ²,
5
−7
4
0
1
−20
1
3
−1
c) Beweisen Sie, dass die drei Vektoren (1) , (−1) , ( 3 ) linear abhängig sind und bestimmen Sie
2
1
3
1
0
0
die Dimension von {(0) , (2) , ( 0 )}.
0
0
−3
8. Basis und Linearkombination (10 P)
a) Für welche 𝑡 ∈ ℝ bildet die folgende Teilmenge eine Basis des des ℝ2 ?
𝑡
1
𝐷 = {( ) , ( )} ⊂ ℝ2
1
𝑡
1
−2
0
b) Stellen Sie den Vektor (2) als Linearkombination der Vektoren (−4) und ( 0 ) dar.
3
6
12
9. Schwerpunkt und Normalenvektor (10 P)
a) Gegeben ist das Raumdreieck ABC mit 𝐴(4| − 2|2), 𝐵(0|2|2) und 𝐶(2| − 1|4). Berechnen Sie den
Schwerpunkt von ABC.
2
4
b) Bestimmen Sie einen Normalenvektor zu (0) und (0). Ist Ihr Normalenvektor eindeutig
4
2
bestimmt?
Bonusaufgabe: (Beweistraining)
Beweisen Sie unter Verwendung von Vektoren die folgende Aussage.
Halbieren in einem Viereck ABCD die Diagonalen einander, dann ist ABCD ein Parallelogramm.
Für den mathematischen Arbeitsspeicher …
Auf die folgenden Fragen sollte man jederzeit eine richtige Antwort geben können. Zur Not, mit Hilfe eines
vorbereiteten Zettels:
1)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte in der Ebene?
2)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte im Raum?
3)
Was versteht man unter einem Anschauungsraum?
4)
Was unterscheidet ein ebenes kartesisches Koordinatensystem von einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem?
5)
Was versteht man unter einer Abzissen- bzw. Ordinatenachse?
6)
Erklären Sie, was es bedeutet, dass ein räumliches kartesisches Koordinatensystem ein „Rechtssystem“ bildet.
7)
Was ist ein Vektor und wozu braucht man ihn?
8)
Was ist ein Punkt im Anschauungsraum ℝ3 ? Was ist der zugehörige Ortsvektor? Geben Sie jeweils ein frei gewähltes Beispiel an.
9)
1
Finden Sie einen Vektor im Anschauungsraum ℝ3 , der zu (2) parallel ist.
3
10) Was ist die Euklidische Norm eines Vektors? Nennen Sie ein Synonym für den Begriff „Euklidische Norm“ im Anschauungsraum ℝ3 .
1
11) Berechnen Sie die Länge des Vektors (2).
3
12) Wie kann man zwei Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 addieren, subtrahieren, multiplizieren?
13) Wie ist das Skalarprodukt zweier Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
14) Wie ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
15) Was ist ein Nullvektor?
16) Wann nennt man zwei Vektoren im Anschauungsraum ℝ3 orthogonal?
17) Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
18) Geben Sie unter Benutzung des Vektorprodukts eine Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms bzw. eines Dreiecks an.
Neu:
19) Was versteht man unter einer Linearkombination einiger Vektoren im Anschauungsraum ℝ3 ?
20) Wann heißen 𝑘 Vektoren linear unabhängig?
21) Ist der Nullvektor zu jedem anderen Vektor linear abhängig?
22) Wie ist eine Basis des ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
1
−2
23) Ist {( ) , ( )} ein linear unabhängiges Erzeugendensystem des ℝ2 ?
2
1
24) Geben Sie eine Formel zur Berechnung der Determinante einer 2 × 2 Matrix an.
25) Wie kann man unter Verwendung von Determinanten zwei Vektoren im ℝ2 auf lineare Unabhängigkeit untersuchen?
1
−2
26) Ist {( ) , ( )} eine Basis des ℝ2 ?
3
1
(Diese Liste wird fortlaufend ergänzt.)
Übung 4
Abgabe bis zum ………………………
10. Lineare Gleichungssystem mit zwei Unbekannten lösen (10 P)
Lösen Sie wenn möglich das folgende lineare Gleichungssystem und deuten Sie die Lösungsmenge
anschließend geometrisch.
𝑦−𝑥 =1
4𝑦 = −2𝑥 + 8
11. Lineare Gleichungssystem mit drei Unbekannten lösen (10 P)
Lösen Sie wenn möglich das folgende lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit von 𝑏 ∈ ℝ und deuten
Sie die resultierenden Lösungsmengen anschließend geometrisch.
𝑏𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑦 + 𝑏𝑧 = 1
12. Textgleichung (10 P)
Für Kunden, die mehrere Hörspiele von den drei Fragezeichen kaufen, bietet ein Händler einen
Mengenrabatt an. Ein Kunde namens Sturridge kauft eine gewisse Anzahl (die wir mit 𝑛 bezeichnen
wollen) an Hörspielen zu einem Preis, den wir mit 𝑝 bezeichnen wollen. Der Kunde zahlt insgesamt 300
Euro für alle gekauften Hörspiele. Eine andere Kundin namens Ohm kauft beim selben Händler
insgesamt 10 Hörspiele weniger und zahlt pro Hörspiel 2 Euro mehr. Somit muss die Kundin Ohm
insgesamt 320 Euro bezahlen. Wie viele Hörspiele kauft der Kunde Sturridge und wie viel muss er pro
Hörspiel bezahlen?
Bonusaufgabe: (Beweistraining)
Beweisen Sie unter Verwendung von Vektoren, dass die Mittelpunkte der Seiten eines beliebigen
Vierecks die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden.
Für den mathematischen Arbeitsspeicher …
Auf die folgenden Fragen sollte man jederzeit eine richtige Antwort geben können. Zur Not, mit Hilfe eines
vorbereiteten Zettels:
1)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte in der Ebene?
2)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte im Raum?
3)
Was versteht man unter einem Anschauungsraum?
4)
Was unterscheidet ein ebenes kartesisches Koordinatensystem von einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem?
5)
Was versteht man unter einer Abzissen- bzw. Ordinatenachse?
6)
Erklären Sie, was es bedeutet, dass ein räumliches kartesisches Koordinatensystem ein „Rechtssystem“ bildet.
7)
Was ist ein Vektor und wozu braucht man ihn?
8)
Was ist ein Punkt im Anschauungsraum ℝ3 ? Was ist der zugehörige Ortsvektor? Geben Sie jeweils ein frei gewähltes Beispiel an.
9)
1
Finden Sie einen Vektor im Anschauungsraum ℝ3 , der zu (2) parallel ist.
3
10) Was ist die Euklidische Norm eines Vektors? Nennen Sie ein Synonym für den Begriff „Euklidische Norm“ im Anschauungsraum ℝ3 .
1
11) Berechnen Sie die Länge des Vektors (2).
3
12) Wie kann man zwei Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 addieren, subtrahieren, multiplizieren?
13) Wie ist das Skalarprodukt zweier Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
14) Wie ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
15) Was ist ein Nullvektor?
16) Wann nennt man zwei Vektoren im Anschauungsraum ℝ3 orthogonal?
17) Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
18) Geben Sie unter Benutzung des Vektorprodukts eine Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms bzw. eines Dreiecks an.
19) Was versteht man unter einer Linearkombination einiger Vektoren im Anschauungsraum ℝ3 ?
20) Wann heißen 𝑘 Vektoren linear unabhängig?
21) Ist der Nullvektor zu jedem anderen Vektor linear abhängig?
22) Wie ist eine Basis des ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
1
−2
23) Ist {( ) , ( )} ein linear unabhängiges Erzeugendensystem des ℝ2 ?
2
1
24) Geben Sie eine Formel zur Berechnung der Determinante einer 2 × 2 Matrix an.
25) Wie kann man unter Verwendung von Determinanten zwei Vektoren im ℝ2 auf lineare Unabhängigkeit untersuchen?
1
−2
26) Ist {( ) , ( )} eine Basis des ℝ2 ?
3
1
27) Warum fliegt ein Flugzeug?
Neu:
28) Was ist ein lineares Gleichungssystem?
29) Nennen Sie fünf unterschiedliche Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme.
30) Lösen Sie (wenn möglich) das folgende lineare Gleichungssystem auf fünf unterschiedlichen Lösungswegen.
𝐼) 𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 10
(Diese Liste wird fortlaufend ergänzt.)
𝐼𝐼) 2𝑦 − 5𝑧 = −14
𝐼𝐼𝐼) 𝑦 + 3𝑧 = 4
Übung 5
Abgabe bis zum ………………………
13. Geradengleichung aufstellen (10 P)
Bestimmen Sie eine Gleichung für eine Gerade 𝑔 im Anschauungsraum ℝ³, die durch die Punkte
𝑃(2|1| − 3) und 𝑄(1|3|4) verläuft und entscheiden Sie anschließend begründet, ob der Punkt 𝑇(1|1|0)
auf Ihrer Geraden liegt.
14. Schnittpunkt und Schnittwinkel (10 P)
Eine Gerade 𝑔 ∶ 𝑥⃗ verläuft durch die Punkte 𝐴(0| − 3|3) und 𝐵(1|0|2). Die Gerade ℎ ∶ 𝑥⃗ ist gegeben
−1
−1
durch ℎ ∶ 𝑥⃗ = ( 6 ) + 𝑠 ( 3 ) , 𝑠 ∈ ℝ. Bestimmen Sie wenn möglich den Schnittpunkt und den
10
4
Schnittwinkel von 𝑔 und ℎ.
15. Noch einmal Dreiecke (10 P)
Die Geraden 𝑔, ℎ und 𝑘 schneiden sich in den Eckpunkten eines Dreiecks 𝐴𝐵𝐶. Bestimmen Sie die
Eckpunkte 𝐴, 𝐵 und 𝐶 und den Umfang und die Fläche des Dreiecks 𝐴𝐵𝐶. Ermitteln Sie außerdem die
Summe aller Innenwinkel des Dreiecks 𝐴𝐵𝐶 und den Schwerpunkt des Dreiecks 𝐴𝐵𝐶.
0
1
𝑔 ∶ 𝑥⃗ = (−3) + 𝑟 ( 3 )
3
−1
−1
−1
ℎ ∶ 𝑥⃗ = ( 6 ) + 𝑠 ( 3 )
10
4
3
1
𝑘 ∶ 𝑥⃗ = (6) + 𝑡 ( 1 ) , 𝑟, 𝑠, 𝑡 ∈ ℝ
0
−2
Bonusaufgabe: (Beweistraining)
Beweisen Sie, dass 2 Geraden im ℝ3 nicht genau 2 Schnittpunkte im ℝ3 besitzen können.
Für den mathematischen Arbeitsspeicher …
Auf die folgenden Fragen sollte man jederzeit eine richtige Antwort geben können. Zur Not, mit Hilfe eines
vorbereiteten Zettels:
1)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte in der Ebene?
2)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte im Raum?
3)
Was versteht man unter einem Anschauungsraum?
4)
Was unterscheidet ein ebenes kartesisches Koordinatensystem von einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem?
5)
Was versteht man unter einer Abzissen- bzw. Ordinatenachse?
6)
Erklären Sie, was es bedeutet, dass ein räumliches kartesisches Koordinatensystem ein „Rechtssystem“ bildet.
7)
Was ist ein Vektor und wozu braucht man ihn?
8)
Was ist ein Punkt im Anschauungsraum ℝ3 ? Was ist der zugehörige Ortsvektor? Geben Sie jeweils ein frei gewähltes Beispiel an.
9)
1
Finden Sie einen Vektor im Anschauungsraum ℝ3 , der zu (2) parallel ist.
3
10) Was ist die Euklidische Norm eines Vektors? Nennen Sie ein Synonym für den Begriff „Euklidische Norm“ im Anschauungsraum ℝ3 .
1
11) Berechnen Sie die Länge des Vektors (2).
3
12) Wie kann man zwei Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 addieren, subtrahieren, multiplizieren?
13) Wie ist das Skalarprodukt zweier Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
14) Wie ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
15) Was ist ein Nullvektor?
16) Wann nennt man zwei Vektoren im Anschauungsraum ℝ3 orthogonal?
17) Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
18) Geben Sie unter Benutzung des Vektorprodukts eine Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms bzw. eines Dreiecks an.
19) Was versteht man unter einer Linearkombination einiger Vektoren im Anschauungsraum ℝ3 ?
20) Wann heißen 𝑘 Vektoren linear unabhängig?
21) Ist der Nullvektor zu jedem anderen Vektor linear abhängig?
22) Wie ist eine Basis des ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
1
−2
23) Ist {( ) , ( )} ein linear unabhängiges Erzeugendensystem des ℝ2 ?
2
1
24) Geben Sie eine Formel zur Berechnung der Determinante einer 2 × 2 Matrix an.
25) Wie kann man unter Verwendung von Determinanten zwei Vektoren im ℝ2 auf lineare Unabhängigkeit untersuchen?
1
−2
26) Ist {( ) , ( )} eine Basis des ℝ2 ?
3
1
27) Warum fliegt ein Flugzeug?
28) Was ist ein lineares Gleichungssystem?
29) Nennen Sie fünf unterschiedliche Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme.
30) Lösen Sie (wenn möglich) das folgende lineare Gleichungssystem auf fünf unterschiedlichen Lösungswegen.
𝐼) 𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 10
𝐼𝐼) 2𝑦 − 5𝑧 = −14
𝐼𝐼𝐼) 𝑦 + 3𝑧 = 4
Neu:
31) Was ist eine Gerade im Anschauungsraum ℝ3 ? Wie lautet ihre allgemeine Parametergleichung?
32) Was ist der Stützvektor einer Geraden im Anschauungsraum ℝ3 ?
33) Was ist der Richtungsvektor einer Geraden im Anschauungsraum ℝ3 ?
34)
Wie bestimmt man eine Geradengleichung im Anschauungsraum ℝ3 , die durch genau zwei Punkte 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ3 verläuft?
35) Welche vier Lagebeziehungen zweier Geraden im Anschauungsraum ℝ3 sind möglich. Beschreiben Sie, wie man diese Lagebeziehungen
klassifizieren kann.
36) Bestimmen Sie den Abstand der beiden Punkte 𝐴(1|2|3), 𝐵(2|1|6) mit der Abstandsformel.
37) Wie berechnet man den Schnittwinkel zweier sich schneidender Geraden im Anschauungsraum ℝ3 ?
(Diese Liste wird fortlaufend ergänzt.)
Übung 6
Abgabe bis zum ………………………
16. Geraden, Punktprobe, Parallelität (10 P)
−1
3
a) Liegt der Punkt 𝐴(3|5| − 2) auf der Geraden 𝑔 ∶ 𝑥⃗ = ( 1 ) + 𝑟 (2) , 𝑟 ∈ ℝ? Beweisen Sie Ihre
2
1
Vermutung.
b) Eine Gerade ℎ ist durch die folgende Gleichung gegeben:
−4
6
ℎ ∶ 𝑥⃗ = ( 5 ) + 𝑠 (4) , 𝑠 ∈ ℝ
2
2
Zeigen Sie, dass ℎ zu 𝑔 parallel verläuft.
Hinweis: Da die beiden Stützvektoren unterschiedlich sind, reicht es nachzuweisen, dass die beiden Richtungsvektoren
linear abhängig sind (ein Vektor ist hierbei ein Vielfaches des anderen Vektors).
17. Geraden – das volle Programm (15 P)
Geben Sie zwei nicht identische Punkte 𝐴, 𝐵 im Anschauungsraum ℝ³ an.
Hinweis: Gerne können Sie sich bei der Bearbeitung am Beispiel im Skript orientieren. Hierbei dürfen Sie nicht dieselben
Punkte wie im Unterrichtsbeispiel wählen.
a) Bestimmen Sie eine Gleichung 𝑔 der Geraden, die durch die Punkte 𝐴 und 𝐵 verläuft.
b) Geben Sie eine Gleichung ℎ für eine Gerade im Raum an, die zu 𝑔 windschief ist.
c) Bestimmen Sie den Abstand von 𝐴 zu 𝐵.
d) Bestimmen Sie den Schnittwinkel der Stützvektoren von ℎ und 𝑔.
e) Bestimmen Sie alle Spurpunkte von ℎ und 𝑔.
f) Bestimmen Sie die Gleichung einer Geraden 𝑘, welche orthogonal zu 𝑔 verläuft und bestimmen Sie
anschließend den Schnittwinkel der Geraden 𝑔 und 𝑘.
18. Spurpunkte (5 P)
−1
3
Bestimmen Sie alle Spurpunkte der Geraden 𝑔 ∶ 𝑥⃗ = ( 1 ) + 𝑟 (2) , 𝑟 ∈ ℝ.
2
1
Bonusaufgabe: (Beweistraining)
Beweisen Sie die folgende Aussage unter Verwendung von Vektoren: Halbieren in einem Viereck
ABCD die Diagonalen einander, dann ist ABCD ein Parallelogramm.
Für den mathematischen Arbeitsspeicher …
Auf die folgenden Fragen sollte man jederzeit eine richtige Antwort geben können. Zur Not, mit Hilfe eines
vorbereiteten Zettels:
1)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte in der Ebene?
2)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte im Raum?
3)
Was versteht man unter einem Anschauungsraum?
4)
Was unterscheidet ein ebenes kartesisches Koordinatensystem von einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem?
5)
Was versteht man unter einer Abzissen- bzw. Ordinatenachse?
6)
Erklären Sie, was es bedeutet, dass ein räumliches kartesisches Koordinatensystem ein „Rechtssystem“ bildet.
7)
Was ist ein Vektor und wozu braucht man ihn?
8)
Was ist ein Punkt im Anschauungsraum ℝ3 ? Was ist der zugehörige Ortsvektor? Geben Sie jeweils ein frei gewähltes Beispiel an.
9)
1
Finden Sie einen Vektor im Anschauungsraum ℝ3 , der zu (2) parallel ist.
3
10) Was ist die Euklidische Norm eines Vektors? Nennen Sie ein Synonym für den Begriff „Euklidische Norm“ im Anschauungsraum ℝ3 .
1
11) Berechnen Sie die Länge des Vektors (2).
3
12) Wie kann man zwei Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 addieren, subtrahieren, multiplizieren?
13) Wie ist das Skalarprodukt zweier Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
14) Wie ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
15) Was ist ein Nullvektor?
16) Wann nennt man zwei Vektoren im Anschauungsraum ℝ3 orthogonal?
17) Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
18) Geben Sie unter Benutzung des Vektorprodukts eine Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms bzw. eines Dreiecks an.
19) Was versteht man unter einer Linearkombination einiger Vektoren im Anschauungsraum ℝ3 ?
20) Wann heißen 𝑘 Vektoren linear unabhängig?
21) Ist der Nullvektor zu jedem anderen Vektor linear abhängig?
22) Wie ist eine Basis des ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
1
−2
23) Ist {( ) , ( )} ein linear unabhängiges Erzeugendensystem des ℝ2 ?
2
1
24) Geben Sie eine Formel zur Berechnung der Determinante einer 2 × 2 Matrix an.
25) Wie kann man unter Verwendung von Determinanten zwei Vektoren im ℝ2 auf lineare Unabhängigkeit untersuchen?
1
−2
26) Ist {( ) , ( )} eine Basis des ℝ2 ?
3
1
27) Warum fliegt ein Flugzeug?
28) Was ist ein lineares Gleichungssystem?
29) Nennen Sie fünf unterschiedliche Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme.
30) Lösen Sie (wenn möglich) das folgende lineare Gleichungssystem auf fünf unterschiedlichen Lösungswegen.
𝐼) 𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 10
𝐼𝐼) 2𝑦 − 5𝑧 = −14
𝐼𝐼𝐼) 𝑦 + 3𝑧 = 4
31) Was ist eine Gerade im Anschauungsraum ℝ3 ? Wie lautet ihre allgemeine Parametergleichung?
32) Was ist der Stützvektor einer Geraden im Anschauungsraum ℝ3 ?
33) Was ist der Richtungsvektor einer Geraden im Anschauungsraum ℝ3 ?
34)
Wie bestimmt man eine Geradengleichung im Anschauungsraum ℝ3 , die durch genau zwei Punkte 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ3 verläuft?
35) Welche vier Lagebeziehungen zweier Geraden im Anschauungsraum ℝ3 sind möglich. Beschreiben Sie, wie man diese Lagebeziehungen
klassifizieren kann.
36) Bestimmen Sie den Abstand der beiden Punkte 𝐴(1|2|3), 𝐵(2|1|6) mit der Abstandsformel.
37) Wie berechnet man den Schnittwinkel zweier sich schneidender Geraden im Anschauungsraum ℝ3 ?
Neu:
38) Wann sind zwei Geraden im Anschauungsraum ℝ3 orthogonal?
39) Wann sind zwei Geraden im Anschauungsraum ℝ3 parallel?
40) Wann sind zwei Geraden im Anschauungsraum ℝ3 windschief?
41) Was versteht man unter Spurpunkte einer Geraden?
(Diese Liste wird fortlaufend ergänzt.)
Übung 7
Abgabe bis zum ………………………
19. Kollisionsproblem (15 P)
Im Tower werden von den Fluglotsen über Radar folgende Positionskoordinaten erhoben:
Flugzeug A: 12:34 Uhr (−30|80|100) und 12:35 Uhr (−10|50|110)
Flugzeug B: 12:34 Uhr (414|−238,2|85,2) und 12:35 Uhr (374|−225,2|97,2)
Müssen die Fluglotsen eingreifen? Belegen Sie Ihre Entscheidung ausführlich.
20. Geradenscharen und Gleichungssysteme (15 P)
Gegeben sind die Gleichungen zweier Geraden im ℝ3 .
1
1
𝑔 ∶ 𝑥⃗ = (1) + 𝑘 ( 𝑟 ) ;
1
𝑟²
1
1
ℎ ∶ 𝑥⃗ = (
) + 𝑝 (𝑟 2 ) ,
1
𝑟² − 3𝑟 + 3
𝑟
𝑘, 𝑝 ∈ ℝ
a) Untersuchen Sie, für welche 𝑟 ∈ ℝ die beiden Geraden parallel sind. Verifizieren Sie, ob echte
Parallelität vorliegt oder ob die Geraden identisch sind.
b) Untersuchen Sie, für welche 𝑟 ∈ ℝ die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben. Berechnen Sie
seine Koordinaten.
c) Geben Sie die Lage beiden Geraden zueinander an, wenn Sie für 𝑟 andere Werte wählen als unter
Teilaufgabe a) und Teilaufgabe b) gefunden.
Gegeben sei nun das Gleichungssystem
2𝑥 + (𝑘 + 1)𝑦 − 2𝑧 = 𝑘² − 3
6𝑥 + 3𝑦 + (𝑘 − 2)𝑧 = 2𝑘 − 5
𝑘𝑥
+
𝑧=
1
d) Geben Sie an, für welche 𝑘 ∈ ℝ das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.
e) Lösen Sie das Gleichungssystem für den Fall 𝑘 = 0. Geben Sie eine geometrische Interpretation der
Lösungsmenge an.
f) Lösen Sie das Gleichungssystem für den Fall 𝑘 = 2. Geben Sie eine geometrische Interpretation der
Lösungsmenge an.
g) Lösen Sie das Gleichungssystem für den Fall 𝑘 = −1. Als Lösungsmenge ergibt sich eine Gerade
im Anschauungsraum ℝ3 . Geben Sie die Gleichung dieser Geraden in vektorieller Form an.
Bonusaufgabe: (Beweistraining)
Beweisen Sie die folgende Aussage unter Verwendung von Vektoren: Im Trapez ist die Mittellinie
parallel zu den Grundseiten und halb so groß wie deren Summe.
Für den mathematischen Arbeitsspeicher …
Auf die folgenden Fragen sollte man jederzeit eine richtige Antwort geben können. Zur Not, mit Hilfe eines
vorbereiteten Zettels:
1)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte in der Ebene?
2)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte im Raum?
3)
Was versteht man unter einem Anschauungsraum?
4)
Was unterscheidet ein ebenes kartesisches Koordinatensystem von einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem?
5)
Was versteht man unter einer Abzissen- bzw. Ordinatenachse?
6)
Erklären Sie, was es bedeutet, dass ein räumliches kartesisches Koordinatensystem ein „Rechtssystem“ bildet.
7)
Was ist ein Vektor und wozu braucht man ihn?
8)
Was ist ein Punkt im Anschauungsraum ℝ3 ? Was ist der zugehörige Ortsvektor? Geben Sie jeweils ein frei gewähltes Beispiel an.
9)
1
Finden Sie einen Vektor im Anschauungsraum ℝ3 , der zu (2) parallel ist.
3
10) Was ist die Euklidische Norm eines Vektors? Nennen Sie ein Synonym für den Begriff „Euklidische Norm“ im Anschauungsraum ℝ3 .
1
11) Berechnen Sie die Länge des Vektors (2).
3
12) Wie kann man zwei Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 addieren, subtrahieren, multiplizieren?
13) Wie ist das Skalarprodukt zweier Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
14) Wie ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
15) Was ist ein Nullvektor?
16) Wann nennt man zwei Vektoren im Anschauungsraum ℝ3 orthogonal?
17) Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
18) Geben Sie unter Benutzung des Vektorprodukts eine Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms bzw. eines Dreiecks an.
19) Was versteht man unter einer Linearkombination einiger Vektoren im Anschauungsraum ℝ3 ?
20) Wann heißen 𝑘 Vektoren linear unabhängig?
21) Ist der Nullvektor zu jedem anderen Vektor linear abhängig?
22) Wie ist eine Basis des ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
1
−2
23) Ist {( ) , ( )} ein linear unabhängiges Erzeugendensystem des ℝ2 ?
2
1
24) Geben Sie eine Formel zur Berechnung der Determinante einer 2 × 2 Matrix an.
25) Wie kann man unter Verwendung von Determinanten zwei Vektoren im ℝ2 auf lineare Unabhängigkeit untersuchen?
1
−2
26) Ist {( ) , ( )} eine Basis des ℝ2 ?
3
1
27) Warum fliegt ein Flugzeug?
28) Was ist ein lineares Gleichungssystem?
29) Nennen Sie fünf unterschiedliche Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme.
30) Lösen Sie (wenn möglich) das folgende lineare Gleichungssystem auf fünf unterschiedlichen Lösungswegen.
𝐼) 𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 10
𝐼𝐼) 2𝑦 − 5𝑧 = −14
𝐼𝐼𝐼) 𝑦 + 3𝑧 = 4
3
31) Was ist eine Gerade im Anschauungsraum ℝ ? Wie lautet ihre allgemeine Parametergleichung?
32) Was ist der Stützvektor einer Geraden im Anschauungsraum ℝ3 ?
33) Was ist der Richtungsvektor einer Geraden im Anschauungsraum ℝ3 ?
34)
Wie bestimmt man eine Geradengleichung im Anschauungsraum ℝ3 , die durch genau zwei Punkte 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ3 verläuft?
35) Welche vier Lagebeziehungen zweier Geraden im Anschauungsraum ℝ3 sind möglich. Beschreiben Sie, wie man diese Lagebeziehungen
klassifizieren kann.
36) Bestimmen Sie den Abstand der beiden Punkte 𝐴(1|2|3), 𝐵(2|1|6) mit der Abstandsformel.
37) Wie berechnet man den Schnittwinkel zweier sich schneidender Geraden im Anschauungsraum ℝ3 ?
38) Wann sind zwei Geraden im Anschauungsraum ℝ3 orthogonal?
39) Wann sind zwei Geraden im Anschauungsraum ℝ3 parallel?
40) Wann sind zwei Geraden im Anschauungsraum ℝ3 windschief?
41) Was versteht man unter Spurpunkte einer Geraden?
Neu:
42) Was ist eine Geradenschar?
(Diese Liste wird fortlaufend ergänzt.)
Übung 8
Abgabe bis zum ………………………
21. Abstandsberechnungen bei Geraden (10 P)
a) Zeigen Sie, dass die folgenden Geraden parallel sind und berechnen Sie deren Abstand.
1
1
𝑔 ∶ 𝑥⃗ = (1) + 𝑡 ( 2 ) ;
1
−2
−1
−2
ℎ ∶ 𝑥⃗ = ( 2 ) + 𝑟 (−4) ,
−3
4
𝑟, 𝑡 ∈ ℝ
b) Zeigen Sie, dass die folgenden Geraden windschief sind und berechnen Sie deren Abstand.
1
1
0
1
𝑔 ∶ 𝑥⃗ = (1) + 𝑡 ( 4 ) ; ℎ ∶ 𝑥⃗ = (0) + 𝑟 ( 0 ) ,
𝑟, 𝑡 ∈ ℝ
0
−3
0
−2
−2
3
c) Gegeben sei die Gerade 𝑔 ∶ 𝑥⃗ = ( 7 ) + 𝑡 (2) , 𝑡 ∈ ℝ und der Punkt 𝑃(−6|6| − 2).
2
1
Bestimmen Sie den Abstand von 𝑃 zu 𝑔.
22. Parametergleichung einer Ebene (10 P)
Bestimmen Sie eine Parametergleichung für eine Ebene, die durch die Punkte 𝑃(0|2|0), 𝑄(1|3|4) und
𝑅(2|5|3) verläuft. Liegt der Punkt 𝑇(1|2|4) auf dieser Ebene? Beweisen Sie Ihre Vermutung.
23. Parametergleichung einer Ebene (10 P)
Eine Ebene 𝐸 geht durch die Punkte 𝐴(0|3| − 1), 𝐵(4|1|1), 𝐶(1|0| − 2).
a) Bestimmen Sie eine vektorielle Parametergleichung der Ebene 𝐸.
b) Wandeln Sie Ihre Parametergleichung in eine Koordinatengleichung der Ebene 𝐸 um.
c) Wandeln Sie Ihre Koordinatengleichung in eine Achsenabschnittsform der Ebene 𝐸 um.
d) Wandeln Sie Ihre Parameterdarstellung in eine Normalform um.
e) Wandeln Sie Ihre Koordinatengleichung in eine Normalform um und überprüfen Sie, ob Ihre
resultierende Normalform zu der Normalform aus Aufgabenteil d) identisch ist.
f) Bestimmen Sie die Hesse’sche Normalform der Ebene 𝐸.
Für den mathematischen Arbeitsspeicher …
Auf die folgenden Fragen sollte man jederzeit eine richtige Antwort geben können. Zur Not, mit Hilfe eines
vorbereiteten Zettels:
1)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte in der Ebene?
2)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte im Raum?
3)
Was versteht man unter einem Anschauungsraum?
4)
Was unterscheidet ein ebenes kartesisches Koordinatensystem von einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem?
5)
Was versteht man unter einer Abzissen- bzw. Ordinatenachse?
6)
Erklären Sie, was es bedeutet, dass ein räumliches kartesisches Koordinatensystem ein „Rechtssystem“ bildet.
7)
Was ist ein Vektor und wozu braucht man ihn?
8)
Was ist ein Punkt im Anschauungsraum ℝ3 ? Was ist der zugehörige Ortsvektor? Geben Sie jeweils ein frei gewähltes Beispiel an.
9)
1
Finden Sie einen Vektor im Anschauungsraum ℝ3 , der zu (2) parallel ist.
3
10) Was ist die Euklidische Norm eines Vektors? Nennen Sie ein Synonym für den Begriff „Euklidische Norm“ im Anschauungsraum ℝ3 .
1
11) Berechnen Sie die Länge des Vektors (2).
3
12) Wie kann man zwei Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 addieren, subtrahieren, multiplizieren?
13) Wie ist das Skalarprodukt zweier Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
14) Wie ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
15) Was ist ein Nullvektor?
16) Wann nennt man zwei Vektoren im Anschauungsraum ℝ3 orthogonal?
17) Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
18) Geben Sie unter Benutzung des Vektorprodukts eine Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms bzw. eines Dreiecks an.
19) Was versteht man unter einer Linearkombination einiger Vektoren im Anschauungsraum ℝ3 ?
20) Wann heißen 𝑘 Vektoren linear unabhängig?
21) Ist der Nullvektor zu jedem anderen Vektor linear abhängig?
22) Wie ist eine Basis des ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
1
−2
23) Ist {( ) , ( )} ein linear unabhängiges Erzeugendensystem des ℝ2 ?
2
1
24) Geben Sie eine Formel zur Berechnung der Determinante einer 2 × 2 Matrix an.
25) Wie kann man unter Verwendung von Determinanten zwei Vektoren im ℝ2 auf lineare Unabhängigkeit untersuchen?
1
−2
26) Ist {( ) , ( )} eine Basis des ℝ2 ?
3
1
27) Warum fliegt ein Flugzeug?
28) Was ist ein lineares Gleichungssystem?
29) Nennen Sie fünf unterschiedliche Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme.
30) Lösen Sie (wenn möglich) das folgende lineare Gleichungssystem auf fünf unterschiedlichen Lösungswegen.
𝐼) 𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 10
𝐼𝐼) 2𝑦 − 5𝑧 = −14
𝐼𝐼𝐼) 𝑦 + 3𝑧 = 4
3
31) Was ist eine Gerade im Anschauungsraum ℝ ? Wie lautet ihre allgemeine Parametergleichung?
32) Was ist der Stützvektor einer Geraden im Anschauungsraum ℝ3 ?
33) Was ist der Richtungsvektor einer Geraden im Anschauungsraum ℝ3 ?
34)
Wie bestimmt man eine Geradengleichung im Anschauungsraum ℝ3 , die durch genau zwei Punkte 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ3 verläuft?
35) Welche vier Lagebeziehungen zweier Geraden im Anschauungsraum ℝ3 sind möglich. Beschreiben Sie, wie man diese Lagebeziehungen
klassifizieren kann.
36) Bestimmen Sie den Abstand der beiden Punkte 𝐴(1|2|3), 𝐵(2|1|6) mit der Abstandsformel.
37) Wie berechnet man den Schnittwinkel zweier sich schneidender Geraden im Anschauungsraum ℝ3 ?
38) Wann sind zwei Geraden im Anschauungsraum ℝ3 orthogonal?
39) Wann sind zwei Geraden im Anschauungsraum ℝ3 parallel?
40) Wann sind zwei Geraden im Anschauungsraum ℝ3 windschief?
41) Was versteht man unter Spurpunkte einer Geraden?
42) Was ist eine Geradenschar?
Neu:
43) Was ist eine Ebene im Anschauungsraum ℝ3 ? Geben Sie eine vektorielle Parametergleichung einer Ebene an. Fertigen Sie hierzu eine Skizze an.
44) Was ist der Orts- Stützvektor einer Ebene im Anschauungsraum ℝ3 ? (Skizze!)
45) Was sind die beiden Richtungsvektoren einer Ebene im Anschauungsraum ℝ3 ? (Skizze!)
46) Wie bestimmt man die Gleichung einer Ebene im Ebene im Anschauungsraum ℝ3 , die durch drei Punkte 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ3 verläuft?
47) Was ist der Normalenvektor einer Ebene im Anschauungsraum ℝ3 ? Fertigen Sie eine Skizze an. Welche Bedeutung hat der Normalenvektor
einer Ebene?
48) Wie lautet die allgemeine Normalengleichung einer Ebene im Anschauungsraum ℝ3 ? Leiten Sie diese Gleichung unter Verwendung einer
Graphik selber her.
49) Wie wandelt man eine Parametergleichung einer Ebene in eine Normalengleichung um?
50) Wie wandelt man eine Normalengleichung einer Ebene in eine Parametergleichung um?
51) Was ist die Koordinatengleichung einer Ebene im Anschauungsraum ℝ3 ? Leiten Sie diese Gleichung unter Verwendung einer Graphik selber her.
52) Wie wandelt man eine Koordinatengleichung einer Ebene in eine Normalengleichung um?
53) Wie wandelt man eine Normalengleichung einer Ebene in eine Koordinatengleichung um?
54) Wie wandelt man eine Koordinatengleichung einer Ebene in eine Parametergleichung um?
55) Wie wandelt man eine Parametergleichung einer Ebene in eine Koordinatengleichung um?
(Diese Liste wird fortlaufend ergänzt.)
Übung 9
Abgabe bis zum ………………………
24. Lagebeziehungen, Schnittwinkel, Schnittgeraden, Abstandbestimmung (15 P)
Bearbeiten Sie die folgenden vier Teilaufgaben. Hierbei sind 𝑟, 𝑠 ∈ ℝ.
a) Die Gerade 𝑔 schneidet die Ebene 𝐸. Berechnen Sie den Schnittpunkt 𝑆 und den Schnittwinkel 𝛾.
0
1
𝑔 ∶ 𝑥⃗ = (2) + 𝑟 (1) ,
4
2
𝐸 ∶ −𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 6
b) Beweisen Sie, dass die beiden folgenden Ebenen 𝐸 und 𝐾 sich einander schneiden. Bestimmen Sie den
Schnittwinkel 𝛾 und eine Parameterdarstellung einer Schnittgeraden 𝑔 von 𝐸 und 𝐾.
0
−2
𝐸 ∶ [𝑥⃗ − (0)] ∙ ( 3 ) ,
0
6
2
4
0
𝐾 ∶ 𝑥⃗ = (0) + 𝑟 ( 0 ) + 𝑠 (−2)
1
−2
2
0
−2
c) Bestimmen Sie eine Gleichung 𝐻 einer Ebene, die zu 𝐸 ∶ [𝑥⃗ − (0)] ∙ ( 3 ) parallel ist.
0
6
d) Bestimmen Sie jeweils den Abstand des Punktes 𝑇(1|2| − 3) zu 𝐸 aus Aufgabenteil a) und
Aufgabenteil b) unter Verwendung der Hesse’schen Normalform.
25. Pyramide, Ebene und Abstandsbestimmung (15 P)
Im Anschauungsraum ℝ3 seien die folgenden vier Punkte gegeben:
𝐴(0|0|0), 𝐵(8|4|2), 𝐶(−2|6| − 4), 𝑆(1|7|3)
a) Welches Volumen hat die Pyramide mit der Grundfläche 𝐴𝐵𝐶 und der Spitze 𝑆?
b) Bestimmen Sie eine vektorielle Parameterdarstellung der Ebene 𝐸, welche die Punkte 𝐴, 𝐵 und 𝐶
enthält.
c) Bestimmen Sie anschließend eine Hesse’sche Normalform von 𝐸.
d) Eine weitere Ebene 𝐸 ′ ist orthogonal zur Ebene 𝐾 ∶ 2𝑥 − 4𝑧 = 6. Die Gleichung
1
−2
𝑔 ∶ 𝑥⃗ = ( 2 ) + 𝑟 (−2)
−1
1
stellt eine Schnittgerade von 𝐸 ′ und 𝐾 dar. Stellen Sie eine Normalengleichung von 𝐸 auf.
Für den mathematischen Arbeitsspeicher …
Auf die folgenden Fragen sollte man jederzeit eine richtige Antwort geben können. Zur Not, mit Hilfe eines
vorbereiteten Zettels:
1)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte in der Ebene?
2)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte im Raum?
3)
Was versteht man unter einem Anschauungsraum?
4)
Was unterscheidet ein ebenes kartesisches Koordinatensystem von einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem?
5)
Was versteht man unter einer Abzissen- bzw. Ordinatenachse?
6)
Erklären Sie, was es bedeutet, dass ein räumliches kartesisches Koordinatensystem ein „Rechtssystem“ bildet.
7)
Was ist ein Vektor und wozu braucht man ihn?
8)
Was ist ein Punkt im Anschauungsraum ℝ3 ? Was ist der zugehörige Ortsvektor? Geben Sie jeweils ein frei gewähltes Beispiel an.
9)
1
Finden Sie einen Vektor im Anschauungsraum ℝ3 , der zu (2) parallel ist.
3
10) Was ist die Euklidische Norm eines Vektors? Nennen Sie ein Synonym für den Begriff „Euklidische Norm“ im Anschauungsraum ℝ3 .
1
11) Berechnen Sie die Länge des Vektors (2).
3
12) Wie kann man zwei Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 addieren, subtrahieren, multiplizieren?
13) Wie ist das Skalarprodukt zweier Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
14) Wie ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
15) Was ist ein Nullvektor?
16) Wann nennt man zwei Vektoren im Anschauungsraum ℝ3 orthogonal?
17) Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
18) Geben Sie unter Benutzung des Vektorprodukts eine Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms bzw. eines Dreiecks an.
19) Was versteht man unter einer Linearkombination einiger Vektoren im Anschauungsraum ℝ3 ?
20) Wann heißen 𝑘 Vektoren linear unabhängig?
21) Ist der Nullvektor zu jedem anderen Vektor linear abhängig?
22) Wie ist eine Basis des ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
1
−2
23) Ist {( ) , ( )} ein linear unabhängiges Erzeugendensystem des ℝ2 ?
2
1
24) Geben Sie eine Formel zur Berechnung der Determinante einer 2 × 2 Matrix an.
25) Wie kann man unter Verwendung von Determinanten zwei Vektoren im ℝ2 auf lineare Unabhängigkeit untersuchen?
1
−2
26) Ist {( ) , ( )} eine Basis des ℝ2 ?
3
1
27) Warum fliegt ein Flugzeug?
28) Was ist ein lineares Gleichungssystem?
29) Nennen Sie fünf unterschiedliche Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme.
30) Lösen Sie (wenn möglich) das folgende lineare Gleichungssystem auf fünf unterschiedlichen Lösungswegen.
𝐼) 𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 10
𝐼𝐼) 2𝑦 − 5𝑧 = −14
𝐼𝐼𝐼) 𝑦 + 3𝑧 = 4
3
31) Was ist eine Gerade im Anschauungsraum ℝ ? Wie lautet ihre allgemeine Parametergleichung?
32) Was ist der Stützvektor einer Geraden im Anschauungsraum ℝ3 ?
33) Was ist der Richtungsvektor einer Geraden im Anschauungsraum ℝ3 ?
34)
Wie bestimmt man eine Geradengleichung im Anschauungsraum ℝ3 , die durch genau zwei Punkte 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ3 verläuft?
35) Welche vier Lagebeziehungen zweier Geraden im Anschauungsraum ℝ3 sind möglich. Beschreiben Sie, wie man diese Lagebeziehungen
klassifizieren kann.
36) Bestimmen Sie den Abstand der beiden Punkte 𝐴(1|2|3), 𝐵(2|1|6) mit der Abstandsformel.
37) Wie berechnet man den Schnittwinkel zweier sich schneidender Geraden im Anschauungsraum ℝ3 ?
38) Wann sind zwei Geraden im Anschauungsraum ℝ3 orthogonal?
39) Wann sind zwei Geraden im Anschauungsraum ℝ3 parallel?
40) Wann sind zwei Geraden im Anschauungsraum ℝ3 windschief?
41) Was versteht man unter Spurpunkte einer Geraden?
42) Was ist eine Geradenschar?
43) Was ist eine Ebene im Anschauungsraum ℝ3 ? Geben Sie eine vektorielle Parametergleichung einer Ebene an. Fertigen Sie hierzu eine Skizze an.
44) Was ist der Orts- Stützvektor einer Ebene im Anschauungsraum ℝ3 ? (Skizze!)
45) Was sind die beiden Richtungsvektoren einer Ebene im Anschauungsraum ℝ3 ? (Skizze!)
46) Wie bestimmt man die Gleichung einer Ebene im Ebene im Anschauungsraum ℝ3 , die durch drei Punkte 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ3 verläuft?
47) Was ist der Normalenvektor einer Ebene im Anschauungsraum ℝ3 ? Fertigen Sie eine Skizze an. Welche Bedeutung hat der Normalenvektor
einer Ebene?
48) Wie lautet die allgemeine Normalengleichung einer Ebene im Anschauungsraum ℝ3 ? Leiten Sie diese Gleichung unter Verwendung einer
Graphik selber her.
49) Wie wandelt man eine Parametergleichung einer Ebene in eine Normalengleichung um?
50) Wie wandelt man eine Normalengleichung einer Ebene in eine Parametergleichung um?
51) Was ist die Koordinatengleichung einer Ebene im Anschauungsraum ℝ3 ? Leiten Sie diese Gleichung unter Verwendung einer Graphik selber her.
52) Wie wandelt man eine Koordinatengleichung einer Ebene in eine Normalengleichung um?
53) Wie wandelt man eine Normalengleichung einer Ebene in eine Koordinatengleichung um?
54) Wie wandelt man eine Koordinatengleichung einer Ebene in eine Parametergleichung um?
55) Wie wandelt man eine Parametergleichung einer Ebene in eine Koordinatengleichung um?
Neu:
56) Welche Lagebeziehungen von Punkt und Ebene im Anschauungsraum ℝ3 sind möglich?
57) Welche Lagebeziehungen von Gerade und Ebene im Anschauungsraum ℝ3 sind möglich?
58) Wann heißt eine Gerade im Anschauungsraum ℝ3 parallel zu einer Ebene?
59) Wann heißt eine Gerade im Anschauungsraum ℝ3 orthogonal zu einer Ebene?
60) Welche Lagebeziehungen zweier Ebenen im Anschauungsraum ℝ3 sind möglich?
61) Wie berechnet man die Schnittgerade und den Schnittwinkel zweier sich schneidender Ebenen?
62) Was ist ein Ebenenbüschel im Anschauungsraum ℝ3 ?
63) Was ist ein Lotfußpunkt? Beschreiben Sie das Lotfußpunktverfahren zur Abstandsbestimmung.
64) Beschreiben Sie konträr die Vor- und Nachteile der Ebenenformen im Anschauungsraum ℝ3 .
65) Nennen Sie die Hesse’sche Normalform und leiten Sie diese geometrisch her.
66) Wie erhält man mit der Hesse’schen Normalform eine Abstandsformel (Punkt – Ebene)?
67) Wie berechnet man den Abstand zweier windschiefer Geraden?
68) Besitzt eine Gerade im ℝ2 eine Normalform? Besitzt eine Gerade im ℝ3 auch eine Normalform?
Übung 10 (Letzte Übung)
Abgabe bis zum ………………………
26. Anwendungsbezogene Kompaktaufgabe (30 P)
Die Amateurastronomen Myers und Smith besitzen in den Ebenen von Kansas ein quaderförmiges Haus
mit aufgesetztem Dach. Dies kann in einem räumlichen Koordinatensystem dargestellt werden mit Hilfe
der Eckpunkte des Fußbodens 𝐵𝑖 , der Eckpunkte des Fußbodens des Speichers 𝑆𝑖 und der Punkte 𝐷𝑖 , die
den Dachabschluss – ein horizontal liegendes Rechteck – bilden.
Diese Punkte haben die folgenden Koordinaten (1 𝐿𝐸 ≙ 1 m):
𝐵1 (0|0|0), 𝐵2 (10|0|0), 𝐵3 (10|12|0), 𝐵4 (0|12|0)
𝑆1 (0|0|10), 𝑆2 (10|0|10), 𝑆3 (10|12|10), 𝑆4 (0|12|10)
𝐷1 (2|3|12), 𝐷2 (6|3|12), 𝐷3 (6|9|12), 𝐷4 (2|9|12)
Die Strecken ̅̅̅̅̅̅
𝑆1 𝐷1 , ̅̅̅̅̅̅
𝑆2 𝐷2 , ̅̅̅̅̅̅
𝑆3 𝐷3 , und ̅̅̅̅̅̅
𝑆4 𝐷4 nennt man Grate.
a)
Zeichen Sie ein Schrägbild des Gebäudes samt Dach. (Längeneinheit 1 cm ≙ 1 m;
Verkürzungsfaktor in 𝑥1 − Richtung 0,5 ∙ √2 ; Winkel zwischen 𝑥1 − und 𝑥2 − Achse 135°)
b)
Ermitteln Sie das Flächenmaß für das Grunddreieck 𝐵2 𝐵3 𝐵4 .
c)
Berechnen Sie den Neigungswinkel des Grates ̅̅̅̅̅̅
𝑆2 𝐷2 gegen den Fußboden des Speichers.
d)
Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Dachfläche 𝑆2 𝑆3 𝐷3 𝐷2 und dem Fußboden des Speichers.
e)
Zeigen Sie, dass 𝑆2 𝑆3 𝐷3 𝐷2 ein Trapez ist und bestimmen Sie den Umfang von 𝑆2 𝑆3 𝐷3 𝐷2 .
f)
Ermitteln Sie das Flächenmaß der Dachfläche 𝑆2 𝑆3 𝐷3 𝐷2 .
Im Punkt 𝑀(9|5|10) wird ein 6 m langer Antennenmast, der das Dach durchstößt, senkrecht auf dem Fußboden
des Speichers montiert.
g)
Bestimmen Sie die Länge, mit der der Mast ins Freie ragt.
h)
Vom Mittelpunkt des Mastes aus ist eine Stütze senkrecht zur Dachfläche 𝑆2 𝑆3 𝐷3 𝐷2 angebracht.
Ermitteln Sie die Länge der Stütze, wenn sie auf dieser Dachfläche endet.
i)
Ermitteln Sie eine Gleichung für eine Gerade 𝑔, die durch 𝑀 verläuft und orthogonal
zur Dachfläche ist. Im Punkt 𝐾(8|6|10) wird ein weiterer 6 m langer Antennenmast, der das Dach
durchstößt und senkrecht auf dem Fußboden des Speichers montiert. Ermitteln Sie ebenfalls eine
Gleichung für eine Gerade ℎ, die durch 𝐾 verläuft und orthogonal zur Dachfläche ist. Zeigen Sie
anschließend, dass ℎ parallel zu 𝑔 verläuft und berechnen Sie den Abstand von 𝑔 zu ℎ. Bestimmen Sie
abschließend eine Gleichung für eine Gerade 𝑔𝑤 , die zu 𝑔 und ℎ nicht parallel ist und mit 𝑔 und ℎ keine
gemeinsamen Punkte besitzt.
Für den mathematischen Arbeitsspeicher …
Auf die folgenden Fragen sollte man jederzeit eine richtige Antwort geben können. Zur Not, mit Hilfe eines
vorbereiteten Zettels:
1)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte in der Ebene?
2)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte im Raum?
3)
Was versteht man unter einem Anschauungsraum?
4)
Was unterscheidet ein ebenes kartesisches Koordinatensystem von einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem?
5)
Was versteht man unter einer Abzissen- bzw. Ordinatenachse?
6)
Erklären Sie, was es bedeutet, dass ein räumliches kartesisches Koordinatensystem ein „Rechtssystem“ bildet.
7)
Was ist ein Vektor und wozu braucht man ihn?
8)
Was ist ein Punkt im Anschauungsraum ℝ3 ? Was ist der zugehörige Ortsvektor? Geben Sie jeweils ein frei gewähltes Beispiel an.
9)
1
Finden Sie einen Vektor im Anschauungsraum ℝ3 , der zu (2) parallel ist.
3
10) Was ist die Euklidische Norm eines Vektors? Nennen Sie ein Synonym für den Begriff „Euklidische Norm“ im Anschauungsraum ℝ3 .
1
11) Berechnen Sie die Länge des Vektors (2).
3
12) Wie kann man zwei Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 addieren, subtrahieren, multiplizieren?
13) Wie ist das Skalarprodukt zweier Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
14) Wie ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren im ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
15) Was ist ein Nullvektor?
16) Wann nennt man zwei Vektoren im Anschauungsraum ℝ3 orthogonal?
17) Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
18) Geben Sie unter Benutzung des Vektorprodukts eine Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms bzw. eines Dreiecks an.
19) Was versteht man unter einer Linearkombination einiger Vektoren im Anschauungsraum ℝ3 ?
20) Wann heißen 𝑘 Vektoren linear unabhängig?
21) Ist der Nullvektor zu jedem anderen Vektor linear abhängig?
22) Wie ist eine Basis des ℝ2 𝑏𝑧𝑤. ℝ3 definiert?
1
−2
23) Ist {( ) , ( )} ein linear unabhängiges Erzeugendensystem des ℝ2 ?
2
1
24) Geben Sie eine Formel zur Berechnung der Determinante einer 2 × 2 Matrix an.
25) Wie kann man unter Verwendung von Determinanten zwei Vektoren im ℝ2 auf lineare Unabhängigkeit untersuchen?
1
−2
26) Ist {( ) , ( )} eine Basis des ℝ2 ?
3
1
27) Warum fliegt ein Flugzeug?
28) Was ist ein lineares Gleichungssystem?
29) Nennen Sie fünf unterschiedliche Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme.
30) Lösen Sie (wenn möglich) das folgende lineare Gleichungssystem auf fünf unterschiedlichen Lösungswegen.
𝐼) 𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 10
𝐼𝐼) 2𝑦 − 5𝑧 = −14
𝐼𝐼𝐼) 𝑦 + 3𝑧 = 4
3
31) Was ist eine Gerade im Anschauungsraum ℝ ? Wie lautet ihre allgemeine Parametergleichung?
32) Was ist der Stützvektor einer Geraden im Anschauungsraum ℝ3 ?
33) Was ist der Richtungsvektor einer Geraden im Anschauungsraum ℝ3 ?
34)
Wie bestimmt man eine Geradengleichung im Anschauungsraum ℝ3 , die durch genau zwei Punkte 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ3 verläuft?
35) Welche vier Lagebeziehungen zweier Geraden im Anschauungsraum ℝ3 sind möglich. Beschreiben Sie, wie man diese Lagebeziehungen
klassifizieren kann.
36) Bestimmen Sie den Abstand der beiden Punkte 𝐴(1|2|3), 𝐵(2|1|6) mit der Abstandsformel.
37) Wie berechnet man den Schnittwinkel zweier sich schneidender Geraden im Anschauungsraum ℝ3 ?
38) Wann sind zwei Geraden im Anschauungsraum ℝ3 orthogonal?
39) Wann sind zwei Geraden im Anschauungsraum ℝ3 parallel?
40) Wann sind zwei Geraden im Anschauungsraum ℝ3 windschief?
41) Was versteht man unter Spurpunkte einer Geraden?
42) Was ist eine Geradenschar?
43) Was ist eine Ebene im Anschauungsraum ℝ3 ? Geben Sie eine vektorielle Parametergleichung einer Ebene an. Fertigen Sie hierzu eine Skizze an.
44) Was ist der Orts- Stützvektor einer Ebene im Anschauungsraum ℝ3 ? (Skizze!)
45) Was sind die beiden Richtungsvektoren einer Ebene im Anschauungsraum ℝ3 ? (Skizze!)
46) Wie bestimmt man die Gleichung einer Ebene im Ebene im Anschauungsraum ℝ3 , die durch drei Punkte 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ3 verläuft?
47) Was ist der Normalenvektor einer Ebene im Anschauungsraum ℝ3 ? Fertigen Sie eine Skizze an. Welche Bedeutung hat der Normalenvektor
einer Ebene?
48) Wie lautet die allgemeine Normalengleichung einer Ebene im Anschauungsraum ℝ3 ? Leiten Sie diese Gleichung unter Verwendung einer
Graphik selber her.
49) Wie wandelt man eine Parametergleichung einer Ebene in eine Normalengleichung um?
50) Wie wandelt man eine Normalengleichung einer Ebene in eine Parametergleichung um?
51) Was ist die Koordinatengleichung einer Ebene im Anschauungsraum ℝ3 ? Leiten Sie diese Gleichung unter Verwendung einer Graphik selber her.
52) Wie wandelt man eine Koordinatengleichung einer Ebene in eine Normalengleichung um?
53) Wie wandelt man eine Normalengleichung einer Ebene in eine Koordinatengleichung um?
54) Wie wandelt man eine Koordinatengleichung einer Ebene in eine Parametergleichung um?
55) Wie wandelt man eine Parametergleichung einer Ebene in eine Koordinatengleichung um?
56) Welche Lagebeziehungen von Punkt und Ebene im Anschauungsraum ℝ3 sind möglich?
57) Welche Lagebeziehungen von Gerade und Ebene im Anschauungsraum ℝ3 sind möglich?
58) Wann heißt eine Gerade im Anschauungsraum ℝ3 parallel zu einer Ebene?
59) Wann heißt eine Gerade im Anschauungsraum ℝ3 orthogonal zu einer Ebene?
60) Welche Lagebeziehungen zweier Ebenen im Anschauungsraum ℝ3 sind möglich?
61) Wie berechnet man die Schnittgerade und den Schnittwinkel zweier sich schneidender Ebenen?
62) Was ist ein Ebenenbüschel im Anschauungsraum ℝ3 ?
63) Was ist ein Lotfußpunkt? Beschreiben Sie das Lotfußpunktverfahren zur Abstandsbestimmung.
64) Beschreiben Sie konträr die Vor- und Nachteile der Ebenenformen im Anschauungsraum ℝ3 .
65) Nennen Sie die Hesse’sche Normalform und leiten Sie diese geometrisch her.
66) Wie erhält man mit der Hesse’schen Normalform eine Abstandsformel (Punkt – Ebene)?
67) Wie berechnet man den Abstand zweier windschiefer Geraden?
68) Besitzt eine Gerade im ℝ2 eine Normalform? Besitzt eine Gerade im ℝ3 auch eine Normalform?