Elementare Stochastik (Wiederholung) Stationsarbeit
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Elementare Stochastik (Wiederholung) Stationsarbeit , (Klassenstufe 13 – Leistungskurs, Rehder) Auffrischung ausgewählter stochastischer Themen: Im Unterricht haben Sie sich bereits ca. drei Monate die wesentlichen Grundlagen der elementaren Stochastik angeeignet. U.a. Laplaceraum, bedingte Wahrscheinlichkeit, Bernoulliformel, Satz von Bayes, zentraler Grenzwertsatz sind Ihnen längst keine Fremdwörter mehr. Im Sinne der Überschrift sollen Sie in dieser Stationsarbeit die wesentlichen Themenbereiche wiederholen. Als Handwerkzeug ist es empfehlenswert, dass Sie Ihr Skript aus dem zweiten Semester und Ihr Schulbuch verwenden. Die Bearbeitung einiger Aufgaben bringt viel ungeahnte und farbfreudige Impressionen mit ins Spiel. Zuvor bearbeitete Übungsaufgaben sollen Sie beim Lösen dieser Stationsaufgaben unterstützen. Im Anschluss an diese Stationsarbeit werden Sie sich mit den statistischen Testverfahren weiterführend auseinandersetzen. Stationsarbeitslaufzettel Bitte bearbeiten Sie möglichst viele der folgenden Stationsthemen. In der Rubrik „Schwierigkeitsgrad“ ist den Stationsthemen der entsprechende Schwierigkeitsgrad zugeordnet. L steht hierbei für einfache Stationsthemen, M verkörpert mittelmäßigen Schwierigkeitsgrad, und S bedeutet, dass es sich um ein anspruchsvolleres Stationsthema handelt. Insofern Sie ein Projektthema abgeschlossen haben, müssen Sie alle Teillösungen und Lösungswege unverzüglich ihrem Fachlehrer vorlegen. Dieser wird dann Ihre Bearbeitungsfortschritte in der folgenden Tabelle protokollieren. Die Stationsarbeit ist in einer 3-er Gruppe zu bearbeiten. Name: __________________________________ Vorname: _________________________________ Klasse: _________________ Name: __________________________________ Vorname: _________________________________ Klasse: _________________ Name: __________________________________ Vorname: _________________________________ Klasse: _________________ Anzahl der Stationsthema: Schwierigkeitsgrad: Aufgaben weniger Form ausreichend- als 10 % mangelhaft befriedigend gut perfekt richtig. (2) (3) (4) (5) (1) Kombinatorik S 13 ___ Zufallsexperimente M 8 ___ Zufallsvariablen S 10 ___ Binomialverteilung L 5 ( ) 1 ___ Bedingte Wahrscheinlichkeiten S 10 ___ Normalverteilung, ZGS S 8 ___ Test L, M, S ∈ℕ Belohnung -- 0 1523 − 1 Erreichte Punktzahl: _______ -- -- -- Note: _____ -- -- -- Die Bearbeitungszeit für diese Stationsarbeit beginnt am 04. Januar 2016 und endet am 15. Januar 2016. Sie haben also insgesamt 10 Schulstunden zur Bearbeitung der 6 Stationen. Ihre Bearbeitungsfortschritte werden abschließend mit einer kumulierten Note beurteilt. Die resultierende Note wird als wesentliche mündliche Teilmitarbeitsnote für den Januarabschnitt verwendet. Aufgrund von (krankheitsbedingten) Fehlzeiten und aufgrund von Unterrichtsausfall sind einzelne Stationsthemen zuhause nach- /vorzuarbeiten. Hierzu bieten wir jeden Dienstag in der 8. Stunde die Möglichkeit an, im Klassenraum _____ beaufsichtigt an den Stationen weiterzuarbeiten. Die Bearbeitungsfrist endet am 15. Januar 2016 um 12:00 Uhr. Es werden nur alle bis zu diesem Zeitpunkt protokollierten Bearbeitungsfortschritte zum Ermitteln der Note verwendet. Die Stationsarbeitsnote basiert auf Quantität, Qualität (ungenügend | mangelhaft | ausreichend – befriedigend | gut | perfekt) Ihrer Bearbeitungen, sowie der Form bzw. der Formulierungen Ihrer Aufschriebe (1 (sehr gut), 2, 3, 4, 5, 6 (ungenügend)). Alle Lösungswege sind sauber und effizient gemäß unserer Unterrichtskonventionen zu protokollieren. Falls keine Bearbeitungsfortschritte vom Fachlehrer protokolliert werden, wird diese Stationsarbeit mit 0 Punkten bewertet. Für Unklarheiten und Fragen können Sie sich an Ihren Fachlehrer wenden. Alle Stationen müssen in einer von uns randomisiert ermittelten Gruppe bearbeitet werden. Einzelabgaben oder Gruppenabweichungen können nicht berücksichtigt werden. Es müssen aber trotzdem alle Resultate von jedem Schüler bzw. von jeder Schülerin erklärt werden können, ansonsten können die entsprechenden Abschnitte (Plagiatsverdacht) mit 0 Punkten bewertet werden. Gegebenenfalls müssen einzelne Aufgabenteil. von randomisiert ermittelten Schülern (mündlich) präsentiert werden. Sperrklauseln: (1) Die ermittelte Note für diese Stationsarbeit kann nicht mehr als 4 Punkte besser als die Testnote sein. (Nachträgliche Herabstufungen sind möglich.) Der Test wird am 18. Januar 2016 geschrieben und kann am Freitag, den 22. Januar 2016 in der 10. Stunde einmalig im Krankheitsfall wiederholt werden. Diese Option kann auch zur Notenverbesserung genutzt werden. (2) Falls Sie ≥ 2 Mal (krankheitsbedingt) fehlen, kann ergänzend zur Stationsarbeit eine mündliche Feststellungsprüfung verordnet werden. Letzere Note zählt dann. Bewertung – Gewichtungsübersicht: (L – 1, M – 1,5, S 2), ( (1) – 0,25, (2) – 0,5, (3) – 1, (4) – 1,5 , (5) – 2), maximal erreichbare Punktzahl: 21 (Anwendung der üblichen Bewertungsmaßstäben für schriftliche Leistungen). Gesamtnote: Kombinatorik Übungsaufgaben: 1) a) Wie viele dreistellige Zahlen mit lauter verschiedenen Ziffern gibt es? b) Wie viele dreistellige Zahlen gibt es, in denen genau 2 gleiche Ziffern vorkommen? c) Wie viele fünfstellige Zahlen gibt es, bei denen sich gerade und ungerade Ziffern abwechseln? Wie viel Prozent aller fünfstelligen Zahlen sind das? Hinweis: 0 ist hierbei eine gerade Zahl. 2) Beim deutschen Zahlenlotto werden 6 aus 49 Zahlen gezogen. Wie viele Tipps gibt es, die (a) Genau 3 (b) genau 4 (c) genau 5 richtige Zahlen haben? Wie viel Prozent aller Gesamttipps sind das jeweils? 3) Transaktionsnummern bei Banken sind in der Regel sechsstellig und bestehen aus Großbuchstaben (26er Alphabet) und Ziffern (0 bis 9). Wie viele Transaktionsnummern gibt es, wenn solch eine Nummer mindestens einen Buchstaben und eine Ziffer enthalten soll? 4) Wie viele verschiedene „Wörter“ kann man aus den Buchstaben des Wortes TOPOLOGIE bilden, wenn jeweils alle Buchstaben verwendet werden sollen? 5) Svenja will auf dem Wochenmarkt 8 Stück Obst kaufen von den Sorten Apfel, Birne und Banane. Wie viele Einkaufsmöglichkeiten hat Svenja? 6) 14 Personen werden anonym nach ihrem Geburtsmonat befragt. Wie viele Befragungsergebnisse sind möglich? Wie viele Befragungsergebnisse gibt es bei 100 bzw. 300 Personen? 7) Die Zahl 9 soll in genau 3 positive Summanden zerlegt werden. Wie viele Zerlegungen sind möglich, (a) ohne Berücksichtigung der Reihenfolge der Summanden? (b) bei Berücksichtigung der Reihenfolge der Summanden? 8) Bei einer Variante des Pokerspiels mit 52 Karten (2, 3, 4, 5, … , 10, B, D, K, A in den Farben Karo, Herz, Pik und Kreuz) bekommen die Spieler 5 Karten auf die Hand. Gewinnen kann man u. a. mit „Paaren“ (z.B.: zweimal 3), „Dreiern“ (z.B.: dreimal 3), „Full House“ und „Straights“ (siehe unten). a) Wie viele Blattmöglichkeiten gibt es für einen Spieler? b) Wie viele Möglichkeiten für „genau ein Paar“ gibt es? c) Wie viele Möglichkeiten für ein „Full House“ (Dreier + Paar) gibt es? d) Wie viele Möglichkeiten gibt es für „Straight“ (5 Karten in direkter Folge, nicht über das Ass hinaus)? e) Wie viele Möglichkeiten gibt es für „Straight Flush“ (5 Karten gleicher Farbe direkter Folge)? Berechnen Sie bei (b) – (e) jeweils die Prozentanteile an den Gesamtmöglichkeiten. 9) Nach wie vielen Wochen ist beim deutschen Lotto (6 aus 49) auf jeden Fall eine Zahl zweimal aufgetreten? Begründen Sie Ihre Behauptung. 10) Nach wie vielen Wochen ist beim italienischen Lotto (6 aus 90) auf jeden Fall eine Zahl zweimal aufgetreten? Begründen Sie Ihre Behauptung. (anspruchsvollere Aufgaben, notwendig für ≥ 13 𝑃) 11) Beweisen Sie: Unter 6 natürlichen Zahlen gibt es immer 2 zahlen, deren Differenz durch 5 teilbar ist. 12) Wie viele natürliche Zahlen von 100 bis 1000 sind durch keine der Zahlen 3, 5 und 7 teilbar? 13) Auf einem Fest treffen sich 20 Personen. Beweisen Sie: Dann gibt es zwei Personen, die die gleiche Anzahl von Bekannten unter den Festgästen haben. Zufallsexperimente Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht Vorgänge, deren Ausgang jeweils vom Zufall abhängt und demzufolge nicht mit Sicherheit vorhersagbar ist. Derartige Vorgänge werden (im Gegensatz zu deterministischen Vorgängen) als Zufallsexperimente, zufällige Vorgänge oder auch als Vorgänge mit zufälligem Ergebnis bezeichnet. Übungsaufgaben: 1) Berechnen Sie für das Laplace – Experiment „Werfen eines Würfels“ die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse und ihrer Gegenereignisse. A : „Ungerade Augenzahl“ , B : „Keine Drei, keine Fünf“ , C : „Keine Zwei, keine Eins“ 2) Schreiben Sie für das Zufallsexperiment „Zweimaliges Werfen eines fairen Würfels“ die folgenden Ereignisse als Menge von Paaren und berechnen Sie ihre Wahrscheinlichkeit. A : Im ersten Wurf fällt eine Fünf B : Weder Eins, noch Vier fällt. C : Das Produkt der beiden Augenzahlen ist 12. D : Das Produkt der beiden Augenzahlen ist 17. E : Das Produkt der beiden Augenzahlen ist höchstens 7. 3) Berechnen Sie für die Ereignisse 𝐴, 𝐵 und E aus Aufgabe 2 die Wahrscheinlichkeiten aller Gegenereignisse, aller Durchschnitte und aller Vereinigungen. 4) Ein faires deutsches Skatspiel hat 32 Karten, je vier Karten (in den roten „Farben“ Karo, Herz und den schwarzen „Farben“ Pik, Kreuz) der Werte 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, Ass. Jeder der Spieler erhält 10 Karten, zwei Karten kommen verdeckt in den „Skat“, den der Alleinspieler aufnehmen kann. a) Aus einem fairen verdeckten deutschen Skatspiel wird eine Karte gezogen. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass dies (a) eine Dame, (b) ein Bild, (c) ein roter Zahlenwert ist? Hinweis: Ein Ass ist weder Bild noch Zahlenwert. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim fairen deutschen Skat i) zwei Buben liegen, ii) genau ein Bube liegt, iii) mindestens ein Bube liegt? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim fairen deutschen Skat im „Skat“ (a) zwei Buben, (b) ein Bild und eine Zahl, (c) zwei Zahlenwerte liegen? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler beim fairen deutschen Skat genau die folgende Anzahl an Buben erhält: (a) Zwei, (b) Zwei rote, (c) Vier, (d) Keinen. e) Beim fairen deutschen Skat sei A das Ereignis, dass mindestens ein Bube im „Skat“ liegt, und B das Ereignis, dass Spieler 1 genau zwei Buben hat. Berechnen Sie ℙ(𝐴 ∩ 𝐵), d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse A und B eintreten. 5) Eine faire Münze wird achtmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau vier Mal Zahl fällt? Begründen Sie Ihre Behauptung. 6) Was ist wahrscheinlicher? Mit einem fairen Würfel in 5 Würfen mindestens eine 6 zu werfen oder mit zwei fairen Würfeln in 32 Würfen mindestens einmal (6, 6) zu werfen. 7) Berechnen Sie für das Laplaceexperiment „Lottoziehung 6 aus 49“ die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: A : Genau 3 Richtige. B : Genau 3 Richtige mit Zusatzzahl. C : Genau drei Richtige ohne Zusatzzahl. 8) (anspruchsvollere Aufgabe, notwendig für ≥ 13 𝑃) Angenommen, die Wahrscheinlichkeit an einem bestimmten Tag im Jahr Geburtstag zu haben, ist für alle 365 Tage des Jahres dieselbe. Svenja befindet sich in einem Raum mit weiteren 29 Personen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine dieser Personen am selben Tag wie Svenja Geburtstag hat? Ab wie vielen Personen beträgt die Wahrscheinlichkeit mindestens 50 Prozent? Tipp: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Übungsaufgaben: 1) Drei Kästen K1 , K2 , K3 enthalten gut durchmischt schwarze und weiße Kugeln. K1enthält 2 schwarze und 4 weiße, K2 enthält 3 schwarze und 5 weiße, und K3 enthält1 schwarze und 3 weiße Kugeln. (a) Aus Kasten K 3 wird dreimal mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel weiß, die zweite schwarz, und die dritte wieder weiß ist? 1 (b) Nun wird zunächst einer der Kästen zufällig ausgewählt (jeder mit Wahrscheinlichkeit 3), aus dem dann einmal gezogen wird. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liefert das eine weiße Kugel? (c) Wenn eine Ziehung wie in (b) eine weiße Kugel liefert, mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde dann im ersten Schritt Kasten K2 gewählt? 2) Ein faires deutsches Skatspiel hat 32 Karten, je vier Karten (in den roten „Farben“ Karo, Herz und den schwarzen „Farben“ Pik, Kreuz) der Werte 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, Ass. Jeder der Spieler erhält 10 Karten, zwei Karten kommen verdeckt in den „Skat“, den der Alleinspieler aufnehmen kann. Aus einem gut gemischten fairen deutschen Skatspiel wird verdeckt eine Karte gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Bild (Bube, Dame oder König), ein Pik bzw. ein Pik – Bild ist? Man erhält zusätzlich die Information, dass es ein Bild bzw. ein Pik ist. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Pik – Bild ist? 3) Ein Berliner Mietshaus wird von 50 Parteien bewohnt. 40 davon haben die lokale Tageszeitung abonniert, von diesen wiederum 30 Prozent auch eine Wochenzeitschrift. Von 10 Parteien, die nicht die Tageszeitung abonniert haben, haben 60 Prozent eine Wochenzeitschrift abonniert. Beim Betreten des Hauses trifft Svenja einen Bewohner, der seine Wochenzeitschrift aus dem Briefkasten holt. Bestimmen Sie mithilfe eines Ereignisbaumes, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Bewohner auch die Tageszeitung abonniert hat. 4) Beim fairen deutschen Skatspiel habe Spieler 1 genau 2 Buben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im „Skat“ mindestens ein weiterer Bube liegt? 5) Das Werk Jenchip produziert elektronische Bauelemente mit den drei Maschinen 𝑀1 , 𝑀2 , 𝑀3 und nur mit diesen. 𝑀1 hat an dieser Gesamtproduktion einen Anteil von 35 Prozent, 𝑀2 von 42 %. Die Ausschussquoten betragen 10 % bei 𝑀1 , 25 % vei 𝑀2 und 20 Prozent bei 𝑀3 . Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein von Jenchip produziertes Teil ein Ausschussteil ist! 6) In einer Population seinen von 1000 Individuen genau 100 mit dem Genotyp AA und 400 mit dem Genotyp Aa. a) Als wie groß ist die Wahrscheinlichkeit anzusehen, dass ein willkürlich aus dieser Population ausgewähltes Individuum ein a – Allel besitzt? b) Als wie groß ist die Wahrscheinlichkeit anzusehen, dass ein willkürlich aus dieser Population ausgewähltes Individuum ein a – Allel besitzt, wenn bekannt ist, dass es ein A – Allel aufweist? 7) Gegenstand von Rekonstruktionsberechnungen in einem Betrieb sei eine veraltete Maschine, die Massenartikel herstellt. Es wurde durch Kontrollen größerer Serien festgestellt, dass jeweils 5,0 % der auf ihr produzierten Erzeugnisse unbrauchbar sind. Von den brauchbaren Artikeln können aber nur 25 % als Qualitätserzeugnisse verkauft werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig herausgegriffener Artikel Qualitätsniveau aufweist? 8) Falls Sie am Sonntagmorgen das Radio bei einem zufällig gewählten Sender einstellen, erklingt mit 20 Prozent Wahrscheinlichkeit Orgelmusik, an den anderen Vormittagen nur mit 2 Prozent Wahrscheinlichkeit. Nun hatten Sie in den Frühlingsferien ein etwas unstrukturiertes Leben, die Tage der Woche waren alle gleichberechtigt. An irgendeinem Vormittag wachten Sie auf, und beim Radio – Einschalten – der Sender wurde zufällig gewählt – erklang Orgelmusik. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Sonntag? 9) Patienten, die an einer bestimmten Krankheit leiden, werden durch das Medikament 𝑀 mit der Wahrscheinlichkeit 0,70 geheilt, ohne dass sich Nebenwirkungen zeigen. Mit der Wahrscheinlichkeit 0,15 wirkt das Medikament heilend und verursacht Nebenwirkungen. Die Einnahme eines Medikaments verursacht mit der Wahrscheinlichkeit 0,05 Nebenwirkungen, ohne gleichzeitig heilend zu wirken. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Patient, bei dem sich Nebenwirkungen zeigen, nicht geheilt? Geben Sie zwei unterschiedliche Lösungswege an (Vierfeldertafel + Satz von Bayes; inverses Baumdiagramm) (anspruchsvollere Aufgabe, notwendig für ≥ 13 𝑃) 10) Seien 𝐴, 𝐵 stochastisch unabhängige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum, beweisen Sie, dass dann auch 𝐴 und 𝐵̅ (Gegenereignis von B) stochastisch unabhängig sind. Zufallsvariablen Übungsaufgaben: 1) In einer Lostrommel befinden sich 50 Lose à 50 Cent, 30 Lose à 1 Euro und 20 Lose à 2 Euro. Es wird ein Los gezogen. Die Zufallsvariable 𝑋 ordne jedem Ergebnis den Wert des Loses zu. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von 𝑋. 2) Beim fairen Zufallsexperiment „Werfen dreier Würfel“ ordne die Zufallsvariable 𝑋 jedem Ergebnis die Augensumme zu. Ist ℙ(𝑋 = 11) = ℙ(𝑋 = 12)? 3) Es wird mit zwei fairen Würfeln um Geld gewürfelt: Augensumme 2 und 12 gewinnt 7 Euro, Augensumme 3, 4, 10, 11 gewinnt 2 Euro, Augensumme 5, 6, 8, 9 verliert einen Euro und Augensumme 7 verliert 3 Euro. Ist es ein faires Spiel? Führen Sie hierzu eine Zufallsvariable 𝑋 ein und berechnen Sie den Erwartungswert von 𝑋. Wie muss man den Hauptgewinn ggf. erhöhen, damit das Spiel fair wird? 4) Beweisen Sie den folgenden Sachverhalt für den Erwartungswert einer unabhängigen Zufallsvariablen: Für voneinander stochastisch unabhängige endliche Zufallsgrößen X und Y gilt die Gleichung 𝔼(𝑋 · 𝑌) = 𝔼(𝑋) · 𝔼(𝑌). 5) Svenja, die gerade 18 Jahre alt geworden ist, entnimmt einer kurzen Zeitungsnotiz, dass das Lebensalter, welches eine 18-Jährige erreicht, eine Zufallsgröße mit dem Erwartungswert von 75 und einer Standardabweichung von 5 Jahren ist. Svenja möchte daraufhin die Wahrscheinlichkeit abschätzen, dass sie ein Alter a) von mehr als 70 und weniger als 80, b) von mehr als 65 und weniger als 85, c) von mehr als 60 und weniger als 90 Jahren erreicht. Berechnen Sie diese Abschätzungen mittels der TSCHEBYSCHEWschen Ungleichung. 6) Eine Urne enthält 4 rote und 3 weiße Kugeln. 2 Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. 𝑋 sei die Anzahl der roten Kugeln unter den gezogenen Kugeln. Stellen Sie eine Verteilung von 𝑋 auf und berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von 𝑋. 7) Beschreiben Sie ein nachspielbares Spiel, dessen Wahrscheinlichkeit für einen positiven Reingewinn zwar echt kleiner als 0,5 ist, aber trotzdem eine positive Reingewinnerwartung besitzt. 8) Welche endlichen Zufallsvariablen 𝑋 besitzen a) einen negativen Streuungswert , b) den Streuungswert null? 9) In einer Urne sind 155 weiße und 45 rote Kugeln. Sabrina zieht 100 mal mit Zurücklegen. In welchem Intervall liegen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 92% die Anzahl der weißen Kugeln? 10) Nach wie vielen Schüssen eines Biathleten kann die Trefferwahrscheinlichkeit des Sportlers mit einer Sicherheit von 80% auf 1% genau angegeben werden? Binomialverteilung 𝑛 𝑏(𝑛, 𝑝, 𝑘) = ( ) ∙ 𝑝𝑘 ∙ (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 𝑘 Übungsaufgaben: 1) Ein fairer Würfel wird mehrfach geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bis zum 5. Wurf mindestens eine 6 zu würfeln. a) bis zum 5. Wurf mindestens eine 6 zu werfen? b) im 5. Wurf die erste sechs zu werfen? c) in 5 Würfen genau eine Sechs zu werfen? 2) Ein fairer Würfel wird mehrfach geworfen. a) Wie oft muss man würfeln, bis die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 6 zu werfen, mindestens 0.8 ist? b) Für welche 𝑛 ist die Wahrscheinlichkeit, im 𝑛 – ten Wurf die erste Sechs zu werfen, mindestens 1 %. 3) Ein fairer Würfel wird mehrfach geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, a) in 50 Würfen genau 20 – Mal Drei oder Vier zu werfen? b) im 100. Wurf die 14. Sechs zu werfen? 4) Durchschnittlich 60 Prozent der 100 Angestellten einer Firma essen in der werkseigenen Kantine. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die folgende Anzahl von Personen in der Kantine isst: a) Genau 70, b) Höchstens 50, c) Mehr als 70 d) Weniger als 60 e) Höchstens 51 f) Mehr als 50, höchstens 70? 5) Von 105 Beschäftigten einer Firma kommen durchschnittlich 40 % mit dem eigenen Kraftfahrtzeug zur Arbeit. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit genügt ein Parkplatz mit 50 Plätzen? b) Wie viel Parkplätze müssen mindestens vorhanden sein, damit sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % ausreichen? Normalverteilung, ZGS Übungsaufgaben: 1) Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei 120 Würfen mit einer fairen Münze höchstens 56 – Mal Kopf kommt. Tipp: Näherungsformel von Laplace 2) 3 Prozent der elektrischen Bauteile entsprechen nicht der Norm. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in einer Charge von 500 Teilen genau 12 defekt? 3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 1000 Roulette Spielen genau 500 Mal die Kugel auf einem schwarzen Feld liegen bleibt? 4) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben genau 2 der 968 Schüler der Schule am 24. Dezember Geburtstag? (Jeder Tag sei als gleichwahrscheinlich angenommen) Ermitteln Sie den exakten Wert sowie die Näherungslösung mithilfe der Gauß’schen Glockenkurve. 5) Ein fairer Würfel wird 1400 – Mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fallen a) Höchstens 10 Prozent mehr Sechsen als die zu erwartende Anzahl. b) mindestens 6 Prozent weniger Sechsen als die zu erwartende Anzahl. 6) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 6000 maligem Würfelwerfen (fairer Würfel) höchstens 950 Mal die Augenzahl Sechs fällt? 7) Die Körpergröße X von erwachsenen männlichen Grizzlys ist eine normalverteilte Zufallsvariable. Aus empirischen Untersuchungen sind Mittelwert und Standardabweichung bekannt. 𝜇 = 245 𝑐𝑚 und 𝜎 = 10 𝑐𝑚. Für einen zoologischen Garten wird ein Jungtier gefangen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird seine Körpergröße maximal 230 cm erreichen. 8) Das Reiseunternehmen OHM chartert ein Flugzeug, das 200 Passagiere befördern kann. (1) An einem Flug nehmen 197 Personen teil. a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die verbleibenden Plätze anzuordnen? b) Das Flugzeug hat 40 Plätze in der ersten Klasse und 160 Plätze in der 2. Klasse. 38 Fluggäste belegen einen Platz in der ersten Klasse, die restlichen einen Platz in der 2. Klasse. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die freien Plätze anzuordnen? c) Auf fünf hintereinander liegenden Fensterplätzen sitzen Kinder. Wie oft können sie die Sitzordnung ändern, wenn sie nur untereinander die Plätze tauschen und sich keine Sitzordnung wiederholen darf? (2) Aus Erfahrung weiß OHM, dass ein gebuchter Platz nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,90 auch tatsächlich belegt wird. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 50 „auf gut Glück“ ausgewählten gebuchten Plätzen höchstens 46 belegt wurden? b) OHM will dazu übergehen, die Flüge um 10 Prozent zu überbuchen. Wie groß wäre dann – bei ansonsten gleichen Bedingungen – die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nicht alle Personen eines überbucht-ausgebuchten Fluges, die die Reise antreten wollen, mit diesem Flugzeug befördert werden können? (3) OHM hat die Vertragsbedingungen geändert und möchte deshalb in Erfahrung bringen, ob sich die bisherige Rücktrittswahrscheinlichkeit (d.h. die Wahrscheinlichkeit für die Nichtbelegung eines gebuchten Platzes) von 0,10 auf einen neuen Wert 𝑝 geändert hat. Dazu beabsichtigt OHM, die ersten 1500 Buchungen „neuer Art“ zu untersuchen. a) Schätzen Sie ab, um wie viel mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,99 die relative Häufigkeit ℎ1500 (𝐴) der Reiserücktritte höchstens von der Rücktrittswahr-scheinlichkeit ℙ(𝐴) = 𝑝 abweicht. Hinweis: Es gilt für alle reellen 𝑥 die Relation 𝑥 ∙ (1 − 𝑥) < 0,25. Verwenden Sie die Ungleichung von Markov – oder Tschebyscheff Ungleichung. b) Bestimmen Sie bei einer unveränderten Rücktrittswahrscheinlichkeit von 0,10 einen möglichst kleinen, zum bisherigen Erwartungswert für die Rücktritte symmetrischen Bereich B, in dem die Anzahl der Rücktritte bei 1500 Buchungen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,95 liegt! Welchen Schluss kann OHM daraus ziehen, wenn tatsächlich 123 Rücktritte gezählt werden? c) OHM will durch die Untersuchung einer entsprechenden Stichprobe vom Umfang 𝑛 mit 95 – prozentiger Sicherheit die Rücktrittswahrscheinlichkeit 𝑝 auf 𝜀 = 0,01 genau bestimmen. Bestimmen Sie hierfür ein möglichst kleines 𝑛!Hinweis: Es gilt für alle reellen 𝑥 die Relation 𝑥 ∙ (1 − 𝑥) < 0,25. d) Im Internetforum tauchte in der ersten Woche die folgende Frage auf: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem 4-seitigen fairen Würfel (die Seiten sind nummeriert mit den Zahlen 1, 2, 3, 4) mit 500 Würfen unter die addierte Würfelzahl 1200 zu kommen? Helfen Sie unter Verwendung des ZGS. (anspruchsvollerer Aufgabenteil, notwendig für ≥ 13 𝑃) e) Leiten Sie die Ungleichung von Tschebyscheff aus der Ungleichung von Markov her.
