TECHNISCHE UNIVERSIT¨AT KAISERSLAUTERN Fachbereich

TECHNISCHE UNIVERSITÄT KAISERSLAUTERN
Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik
Lehrstuhl für Nachrichtentechnik
Prof. Dr.-Ing. Ralph Urbansky
4. Aufgabenblatt zur Vorlesung
NACHRICHTENTHEORIE
Stichworte:
Hilbert-Transformation, Wahrscheinlichkeitsrechnung, zufällige Signale
1. Aufgabe
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orthogonal sind.
Zeigen Sie, dass ein Signal s(t) und seine Hilbert-Transformierte sb(t) = s(t) ∗ πt
2. Aufgabe
Gegeben sind die Ereignisse A und B aus der Menge aller Ereignisse M mit den Wahrscheinlichkeiten P(A) = 3/8 und P(B) = 1/2. Die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreffen
der Ereignisse A und B sei P(A,B) = 1/4. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender
Ereignisse:
a) A tritt nicht ein.
b) Mindestens eines der beiden Ereignisse A oder B tritt ein.
c) Weder A noch B tritt ein.
d) Die Ereignisse A und B treten nicht gleichzeitig ein.
e) Nur B tritt ein.
3. Aufgabe
Von einer binären Nachrichtenquelle sei bekannt, daß das Ereignis ”Aussenden einer Null” mit
der Wahrscheinlichkeit p = 1/2 auftritt. Infolge von Störungen auf dem Übertragungsweg werden
nun 10% der gesendeten Nullen verfälscht und als Einsen empfangen; von den gesendeten Einsen
werden 70% verfälscht und als Nullen empfangen. Im folgenden gelten die Abkürzungen:
Ereignis S ←→ Senden eines Zeichens
Ereignis E ←→ Empfangen eines Zeichens
a) Berechnen Sie die Verbundwahrscheinlichkeiten P(S,E) = P(E,S)!
b) Berechnen Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(S|E)!
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine Null bzw. eine Eins empfangen wird?
d) Berechnen Sie die Bitfehlerwahrscheinlichkeit!
4. Aufgabe
Störung
Datenquelle
x ∈ { – 1, +1 }
Detektor
y
y ∈ { – 1, E, +1 }
r
Kanal
r
Bild 0.1
Betrachtet wird ein Nachrichtenübertragungssystem (Bild 0.1), das aus einer binären Quelle,
einem gestörten Übertragungskanal und einem Detektor besteht. Die Quelle erzeugt die Symbole x ∈ { – 1, +1 } , wobei eine ’+1’ mit der doppelten Wahrscheinlichkeit einer ’-1’ auftritt.
Aufeinanderfolgende Symbole sind statistisch unabhängig. Der Detektor besitzt zwei Entscheiderschwellen und liefert an seinem Ausgang die Werte y ∈ { – 1, E, +1 } , wobei ’E’ ausgegeben wird, wenn der Empfangswert zwischen den beiden Schwellen liegt. Dieser Wert wird
als unzuverlässig gekennzeichnet bzw. gelöscht (Auslöschung: „Erasure“), was bei einer nachfolgenden Verarbeitung der Daten ausgenutzt werden kann. Durch signalabhängiges Rauschen
wird eine gesendete ’+1’ stärker gestört als eine ’-1’, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine
gesendete ’+1’ zu einer Auslöschung (’E’) führt, doppelt so groß ist wie die Wahrscheinlichkeit, dass eine ’-1’ zu einer Auslöschung führt. Genauso ist die Verfälschung einer ’+1’ zu einer ’-1’ zweimal wahrscheinlicher als die Verfälschung einer gesendeten ’-1’ zu einer ’+1’.
Die Wahrscheinlichkeit einer Auslöschung beträgt 0,25. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine
empfangene ’+1’ von einer gesendeten ’+1’ stammt, ist 0,96.
a) Berechnen Sie die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Sendesymbole, P ( x = +1 ) , P ( x = – 1 )
b) Zeichnen Sie den Wahrscheinlichkeitsübergangsgraphen von der Quelle bis zum Kanalausgang und beschriften Sie ihn mit den entsprechenden berechneten Wahrscheinlichkeiten.
Bestimmen Sie auch die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Empfangssymbole.
(Hinweis: Stellen Sie ein Gleichungssystem für die gefragten Wahrscheinlichkeiten auf und
lösen Sie dieses.)
c) Berechnen Sie alle bedingten Wahrscheinlichkeiten P ( x y ) .
d) Berechnen Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit, wobei der Empfang von ’E’ nicht als Fehler zu
werten ist.
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