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Betragskleinste Bézoutkoeffizienten
Bézoutkoeffizienten sind Koeffizienten, die bei Linearkombinationen größter gemeinsamer
Teiler durch vorgegebene ganze Zahlen auftreten. Sind z.B. a,b zwei positive ganze Zahlen mit
größtem gemeinsamen Teiler g, so lässt sich g ganzzahlig linear aus a und b kombinieren. Es
gilt
g=
a+
b
mit ganzen Zahlen
n
en ézo t oe izienten. Die Darstell ngen sin ni ht ein e tig
bestimmt enn mit
- b n
- a gilt g
a+ B b r alle on n ll ers hie enen
Zahlen . Geht eine Darstell ng es gr ten gemeinsamen eilers je o h a s em
li is hen lgorithm s her or so sin ie ezo t oe izienten als betrags leinste Zahlen ein e tig bestimmt n
r sie gilt alls a>b>0 ann
| | b
g
n | | a
g .
Wenn b Teiler von a ist, so ist b auch größter gemeinsamer Teiler von a und b und die Linearkombination b= 0 a + 1 b hat Koeffizienten, die offensichtlich nicht mehr verkleinert werden können und die die Ungleichungen |0| b/2 und |1| a er llen eil b min estens
n a min estens ist a>b>0 . Dieser tri iale all soll im olgen en a sges hlossen sein.
Um die Eindeutigkeit unter den einschränkenden Bedingungen einzusehen, kann man sich
auf den Spezialfall g=1, dann ist a oder b ungerade, beschränken und klarmachen, dass
|m±n|=d für ganze Zahlen m und n, die absolut kleiner als d sin ni ht gelten kann, wenn d
eine ungerade natürliche Zahl ist.
Die Existenz der Koeffizienten geht aus dem Euklidischen Algorithmus hervor:
Der Euklidische Algorithmus wird zumeist nicht in der ursprünglichen Form der gegenseitigen „Wechselwegnahme“ wiedergegeben, sondern in Form sukzessiver Divisionen durch
Reste mit dem Ergebnis des größten gemeinsamen Teilers, wenn sich keine Reste mehr bilden lassen:
Bezeichnet etwa rest(a,b) den nichtnegativen Rest bei ganzzahliger Division von a durch b,
a>b>1,
so
bildet
man
zuerst
rest(a,b),
danach
rest(b,rest(a,b)),
dann
rest(rest(a,b),rest(b,rest(a,b))) usw., solange wie noch von null verschiedene Reste vorhanden sind. Die Reste werden sukzessive kleiner und man gelangt nach endlich vielen Restbildungen zu einem Rest der Form rest(f,g)=0. Dann ist g nicht nur Teiler von f, sondern auch
größter gemeinsamer Teiler der Ausgangszahlen a und b.
Für a=153 und b=45 z.B. entsteht so rest(153,45)=18, rest(45,18)=9, rest(18,9)=0, also 9 als
größter gemeinsamer Teiler, in Übereinstimmung mit dem Ergebnis aus den Faktorzerlegungen a=3² 17 und b=3² 5.
Es soll kurz die Korrektheit des Vorgehens nachgewiesen werden. Wenn bei ganzzahliger
Division einer positiven Zahl A durch eine kleinere ganze positive Zahl B, die A nicht teilt, ein
Rest R entsteht, so gilt die Gleichung
A= floor(A/B) B + R und 0<R<B,
2
wenn die Restefestlegung auf nichtnegative Reste festgelegt wurde (floor(x) ist die größte
ganze Zahl z, die kleiner oder gleich x ist, für die also x – 1< z x gilt). Gehen wir also von
zwei positiven Zahlen a>b aus und nehmen wir an, dass b kein Teiler von a ist, so existieren positive Zahlen q1 und r1, sodass a= q1 b + r1 und 0<r1<b gilt. Zwar ist r1 kleiner als b,
aber r1 kann Teiler von b sein. Dann ist r1 schon größter gemeinsamer Teiler, denn ein weiterer Teiler müsste r1 teilen, was offensichtlich nicht möglich ist. Ist r1 kein Teiler von b, so
entsteht ein positiver Rest r2 und eine Gleichung
b = q2 r1 + r2 mit q2= floor(b/r1) und 0<r2 <r1.
Es können weitere Reste ri , natürliche Zahlen qi und Gleichungen der Art
ri-2 = qi ri-1 + ri mit 0< ri < ri-1 und qi = floor(ri-2/ri-1)
entstehen. Nach endlich vielen Restbildungen muss es einen Index E geben, für den erstmalig
rest(rE-1,rE) = 0 ist. Dann ist rE Teiler von rE-1. Es ist leicht einzusehen, dass ein gemeinsamer
Teiler t von a und b für alle i=0..E ein Teiler der Reste ri ist. Umgekehrt ist ein Teiler t von rE
auch Teiler von rE-1, damit Teiler von rE-2 , schließlich Teiler von r1. Dann ist t Teiler von b,
damit auch Teiler von a. Also ist t=rE größter gemeinsamer Teiler von a und b. Der Algorithmus liefert also nach endlich vielen Anwendungen durch Abbruch bei rest(f,g)=0 mit g den
größten gemeinsamen Teiler.
Aus dem Algorithmus geht jedoch nicht unmittelbar eine Linearkombination des größten
gemeinsamen Teilers hervor. Sind nicht alle Reste ri gespeichert worden, ist eine Linearkombination nicht zu erhalten.
Eine Erweiterung des Verfahrens ist nun dadurch vorgenommen worden, dass nicht nur die
Divisionsreste, sondern auch Operationen mit Linearkombinationen ausgeführt und gespeichert werden. Dabei werden die aus der Linearen Algebra bekannten Zeilenvervielfachungen
und Zeilensubtraktionen mit Zahlentripeln übernommen. Wir gehen von zwei positiven Zahlen a>b>1 aus. Der „Erweiterte Euklidische Algorithmus“ startet mit den trivialen Kombinationen
1 a + 0 b = a und 0 a + 1 b = b.
Abkürzend soll dafür (1,0,a) und (0,1,b) geschrieben werden. Im ersten Schritt wird
q=floor(a/b) gebildet und ein weiteres Tripel
(1,0,a) - q (0,1,b) = (1,-q,a-q b)
erzeugt. Ist a- q b = 0, so ist offensichtlich b = ggT(a,b) und b= 0 a + 1 b eine triviale Linearkombination mit den Bézoutkoeffizienten 0 und 1. Ist dieser triviale Fall nicht eingetreten,
wird der nächste Schritt mit den Tripeln (0,1,b) und (1,-q, a-q b) durchgeführt. In der letzten
Komponente der weiteren Tripel stehen offensichtlich jeweils die üblichen Euklidischen Reste. Das Verfahren endet, wenn erstmalig die letzte Komponente null erzeugt werden kann.
Das Verfahren soll mit a=31 und b=18 gezeigt werden, wobei Relationen der Koeffizienten
durch Determinanten entstehen:
3
1.) Aus (1,0,31 ) und (0,1,18) erhält man eine Determinante aus den Koeffizienten, das
0
sind jeweils die ersten beiden Komponenten der Tripel:
.
0
Mit floor(31/18)=1 entsteht ein weiteres Tripel durch Subtraktion :
(1,0,31) floor(31/18) (0,1,18) = (1,-1,13). Offensichtlich ist 13=rest(31,18), wie beim
einfachen Algorithmus, es ist aber durch (1,-1,13) eine weitere Linearkombination
entstanden: 1 31 + (-1) 18 = 13.
2.) Die Determinante aus den ersten beiden Komponenten der Tripel (0,1,18) und
0
(1,-1,13) wird
. Mit floor(18/13)=1 entsteht ein weiteres Tripel
durch Subtraktion : (0,1,18) floor(18/13) (1,-1,13) = (-1,2,5). Es ist 5= rest(18,13)
und dieser Rest hat die Linearkombination (-1) 31 + 2 18 =5 .
3.) Die Determinante aus den ersten beiden Komponenten der
Tripel (1,-1,13)
und (-1,2,5) wird
. Mit floor(13/5)=2 wird ein weiteres Tripel durch
Subtraktion gebildet : (1,-1,13)- floor(13/5) (-1,2,5) = (3,-5,3). Es ist 3= rest(13,5)
und dieser Rest hat die Linearkombination 3 31 + (-5) 18=3.
4.) Die Ausgangstripel sind (-1,2, 5) und (3,-5,3). Da nur die üblichen Vervielfachungen
und Additionen mit den Tripeln vorgenommen werden, ändert die Determinante nur
das Vorzeichen, da die Tripel vertauscht werden, also ist
. Mit
3
5
floor(5/3)=1 entsteht ein weiteres Tripel: (-1,2,5) floor(5/3) (3,-5, 3) = (-4,7,2). Es
ist 2= rest(5, 3) und dieser Rest hat die Linearkombination (-4) 31 + 7 18=2 .
3
5
. Mit
5.) Ausgangstripel sind (3,-5, 3) und (-4,7,2). Die Determinante wird
4 7
floor(3/2)=1 entsteht ein weiteres Tripel: (3,-5, 3) floor(3/2) (-4,7,2) = (7,-12,1). Es
ist 1= rest(3, 2) und dieser Rest hat die Linearkombination
7 31 + (-12) 18=1. Für die Koeffizienten gilt 7<18/2 und |-12|< 31/2.
4
7
6.) Ausgangstripel sind (-4,7, 2) und (7,-12,1). Die Determinante wird
.
7
Mit floor(2/1)=2 entsteht: (-4,7, 2) floor(2/1) (7,-12,1)= (-18,31,0). Kleinstes gemeinsames Vielfaches ist 18 31= 558, größter gemeinsamer Teiler ist 1, d.h. 31 und
18 sind teilerfremd.
Bevor wir auf die Einzelheiten des Erweiterten Euklidischen Algorithmus eingehen, wollen
wir allein aufgrund der Reste die Linearkombination gewinnen, um zu zeigen, dass durch die
„Erweiterungen“ keine besonderen Bézoutkoeffizienten entstehen. Zu der Aufeinanderfolge
der Reste 13,5,3,2,1,0 gehören 6 Restgleichungen :
13= 1 31 + (- 1) 18,
5 =1 18+ (-1) 13 ,
3= 1 13+ (-2) 5,
2 = 1 5 + (-1) 3 ,
1 = 1 3+ (-1) 2 ,
0 = 2+ (- 2) .
Wir erhalten 5 = 18 –(31-18) = 2 18 – 31, daraus 3 = (31-18) – 2(2 18- 31) = 3 3 - 5
eiter
2 18 – 31)- (3 3 - 5
-4 3
7
n s hlie li h ie orher
4
3 3 -5
–
-4 3
7
7 31 + (-12) 18.
Schrittweise entstehen beim Erweiterten Algorithmus außer den monoton gegen 0 fallenden
Resten 13,5,3,2,1,0 die ersten Komponenten der ersten Tripel 1,0,1,-1,3,-4 sowie die ersten
Komponenten der zweiten Tripel 1,-1,2,-5,7,-12. Man bemerkt ab dem zweiten Schritt einen
Vorzeichenwechsel der Reihenglieder und ein monotones Wachsen ihrer absoluten Werte.
Man bemerkt weiterhin, dass die Determinanten, gebildet aus den ersten beiden Tripelkomponenten, entweder den Wert +1 oder -1 annehmen. Wir wollen diesen Sachverhalt allgemein klarmachen. Vorbereitend stellen wir fest:
Ist g größter gemeinsamer Teiler von a>b>0, so ist a/g > b/g und a/g und b/g sind
teilerfremd. Der Euklidische Algorithmus berechnet Bézoutkoeffizienten A und B, sodass 1 = A a/g + B b/g. Die Koeffizienten ändern sich nicht, wenn der Algorithmus mit
a und b ausgeführt wird, denn durch g= A a + B b und |A| b/(2g) b/2 und
|B| a/(2g) a sin ie oe izienten s hon ein e tig estgelegt. at rli h n ert
si h a h ni ht ie nzahl er a sz hren en hritte. s ist mathematis h glei hg ltig ob er lgorithm s mit a g n b g o er mit a n b a sge hrt ir . Von er
s hr ng her ist es ni ht glei hg ltig eil er gr te gemeinsame eiler ni ht beannt ist. m ie nglei h ngen r ie oe zienten na hz eisen gen gt es aber
eiler rem heit z is hen a n b n b> anz nehmen.
Der Erweiterte Euklidische Algorithmus startet mit den Tripeln (1,0,a) und (0,1,b) und
schrittweise wird aus zwei Tripeln ein weiteres Tripel generiert, dass dem nächsten Schritt
als zweites Tripel zur Verfügung steht. Wir führen folgende Bezeichnungen ein:
die ersten Tripel beim i-ten Schritt werden durch (ai,bi,ci), die zweiten Tripel durch (ei,fi,gi)
bezeichnet. Es sei E die letzte Schrittzahl. Der Schrittzahlindex i variiert zwischen 1 und E,
sodass a1=1,b1=0,c1=a und e1=0,f1=1,g1=b ist. Im letzten, E-ten Schritt ist gE= 1, wenn a und
b>1 teilerfremd sind, denn die dritte Komponente des „weiteren“ Tripels wird dann 0.
Im i-ten Schritt wird der i-te ganzzahlige Quotient qi = floor(ci/ gi) und der i-te Rest ri, also
ri = rest(ci,gi), gebildet. Unter der Annahme der Teilerfremdheit von a und b>1 ist 0<r1<b,
daher E größer als 1. Ist ri noch nicht 1, erhöht sich die erforderliche Schrittzahl i und zu bilden sind
ei+1= ai - qi ei
bi- qi i n
i
ri.
gi
Die
sgangstri el
r en
hritt i
sin
ann (ei,fi,gi) und (ei+1,fi+1,gi+1), sodass
ai+1= ei
n
bi
i
gi.
i
Angenommen, es ist E=2. Dann ist a2=0, b2=1,c2=b, e2=1, f2=-q1, g2=r1=1. Die Determinanten
werden
=
0
0
= 1 und
=
0
= -1.
5
Das z eite ri el (e2,f2,g2) beinhaltet schon die Linearkombination 1 a + (-q1) b= 1. Die Bézoutkoeffizienten sind 1 und (-q1). Da b>1 vorausgesetzt war, ist die erste Ungleichung
1 b/2 erfüllt, Gleichheit ist möglich für b=2 (a=5, b=2, 1 a+(-2) b =1). Der Absolutwert des
zweiten Koeffizienten kann nicht größer als a/2 sein, denn q1 b wäre größer als a, da b größer
als 1 ist, man erhält einen Widerspruch. Es ist | -q1| a/2. Eine Gleichheit kann nicht eintreten, denn (a/2) b +1 ist mindestens so groß wie a+1. Wir erwähnen noch die Ungleichungen
|a2| |e2|, |b2| |f2|.
Angenommen, es ist E=3. Dann ist r2=1 und
a3= e
b3
g
3
- q1,
r1 sowie
e3= - q2
3
g3 r
q q
.
n
.
Die Determinante ir
Das z eite ri el (e3,f3,g3) beinhaltet die Linearkombination
(- q2 a + (
q q ) b= 1
und geht aus a=q1 b+r1 und b= q2 r1+ 1 hervor. Da (b/2) r1 mindestens so groß wie b ist, ist
min estens so gro
b-1 kleiner als (b/2) r1 und dadurch ist q2 kleiner als b/2. Weil q q r
gr er als ist ist
q q leiner als a
a q q r q r .
ie q q n q r
Damit sin bei e oe izienten nglei h ngen be iesen. Wir er hnen no h ie bei en nglei h ngen |a3| |e3| |b3| | 3|.
Wir nehmen jetzt an, dass E größer als 3 ist.
Für alle i 3 ist o ensi htli h i ri- n gi ri- enn ie letzten ri el
hen a ss hlie li h a s estbil ngen n
r i 3 ist 3 r n g3 r . D
n
as z
entsteht er i-te est ri rest i gi also ist ri rest ri- riri- n gi
ri.
i
-ten hritt ei i ri . Da r h ist i
Wenn eine inear ombination on a n b i entis h ist mit einem est
b m ssen ie oe izienten on a n b on n ll ers hie en sein n
zei hen haben. r alle i 3 gilt aher
ai bi <0 n ei
ensi htli h ist a3>0 n e3<0.
i
in ein a her n
hrittzahlen i>3 n
on esten a s a n
nters hie li he Vor-
<0.
a i>0 n ei<0
r alle ngera en
om onenten entster h en i-ten hritt
eite ri el r en
tionss hl ss garantiert
6
ai<0 n ei>0
r alle ngera en hrittzahlen i>3.
s en berleg ngen z
3 gehen a h ie nglei h ngen
|a3|
|e3| n |b3| | 3|
her or enn gr er als 3 ist. r i>3 ann sogar ie Glei hheit a sges hlossen er en
enn r h ie e hseln en Vorzei hen n ie on n ll ers hie enen oe izienten ist
|ei|
| ai- |
qi- | ei- | > |ei- |
|ai| n | i|
| bi- |
qi- |
i-
|>|
i-
| |bi| .
Der Determinanten ert
n ert si h ni ht enn ie erste Zeile
er n ert ir
.h. aber es ist
r h
btra tion eines Viel a hen er z eiten Zeile
.
Die Determinanten n ern also s hritt eise le igli h as Vorzei hen ni ht en absol ten
Wert sie sin
r ngera e hrittzahlen i also
n
r gera e hrittzahlen - .
n r
rest r - r
0 o r h er bbr h es Verm letzten hritt i
gilt g r
ahrens be ingt ist. Das be e tet ni ht ass ie bli he ere hn ng es eiteren ri els
0 n beinhaltet ie entit ten
nm gli h ist. s entsteht a - r - e b - r a a -r
-
e
b r
-b
-
± .
n
Wenn a teiler rem z b> ist m ss b eiler on a - r - e
Wie orher s hon estgestellt gilt a h im letzten hritt
|a - r
-
e | |a | r
-
| e | > |e |
n |b -r
-
n a eiler on b - r
| |b | r
r ie eiler a n b ann aher mit on n ll ers hie enen Zahlen
a -r
-
e
b n
angesetzt er en. Dann m ss
gelten n
Dara s olgt
|a - r - e | b n |r
r
-
-b
-
-b |
sein.
| |>| |.
n
a
egen es Determinanten erts
-
-
a also a h
b> |e | |a | n a> | | |b |.
± sein.
7
n sin e n
als erste om onenten es ri els e
ir erhalten ie beha teten nglei h ngen
|e |
eil r
-
gr
b - |a |
r
-
b
n
| |
er als er en bbr h er rsa hen e
a - |b |
est r
ie ézo t oe izienten n
r
-
a
sein m ss.
Damit ist ie be iesen ass ie a s em
li is hen lgorithm s erhaltenen ézo t oe izienten ie betrags leinsten oe izienten z r Darstell ng es gr ten gemeinsamen eilers
z eier ers hie ener nat rli her Zahlen gr er als
n betragsm ig h hstens halb so
gro sin
ie ie om lement ren sgangszahlen.
ermat s Z ei-
a rate- atz
nter em Z ei- a rate- atz on ermat ir as roblem er ganzzahligen sbar eit
er Glei h ng
r rimzahlen
erstan en. Das roblem
r e on . ermat
0 5 gestellt n
.a. ollst n ig on . ler 707- 7 3 n
. .Ga ss 77755 gel st. Da z.Z. ie a
rimzahlen basieren en Vers hl ssel ngs er ahren i htig
sin
ommt a h em Z ei- a rate- atz eine e e t ng z . m olgen en e t ir a
berleg ngen
on Ga ss Disq isitiones
rithmeti ae
leis her
ei zig
0
. emmert .
llri h
lementare
Zahlentheorie
ir h ser
7
n
H. hei
. rommer Zahlentheorie lse ier 007 z r
gegri en n ein e eis r h
einen elementaren s ngsalgorithm s orgestellt.
lar ist ie s ng
r
n
r iejenigen rimzahlen
ie nmittelbare
olger on
a ratzahlen sin
ie z. .
5 7 37. lar ist a h ass ganzzahlige s
mo 4 meint
r ngera e rimzahlen h hstens ann in rage ommen enn
eiler on - gelesen ist ongr ent mo lo meint im a stab 4 ist enn
nnen e er bei e gera e no h bei e ngera e sein es m ss also
a hngen
4 ist
n
mo 4 gelten.
i ht alle rimzahlen
ie ongr ent mo lo 4 sin haben eine
a ratzahl z m Vorg nger z. . ni ht
3 es ist je o h a h 3 mme z eier
a ratzahlen 3
3 .
r olgrei h ar aher er mathematis he nsatz z m e eis es Z ei- a rate- atzes on
ongr enzglei h ngen er orm
- mo
a sz gehen. Dann ist z ar ni ht not en ig
i entis h mit
aber ein eiler on
. ieht man einmal on en te hnis hen
h ierig eiten bei er realen estimm ng sol her s ngen r 00-stellige rimzahlen
ab so bereiten leinere rimzahlen eine robleme. Die asis z r rmittl ng on liegt in
er Wilsons hen ongr enzrelation
r h ie alle Zahlen > als rimzahlen hara terisiert sin
8
-
- mo
.
Die elation ist o ensi htli h r
teilt
n
3 3 teilt
3 er llt. Die
elation ann ebenso o ensi htli h
r z sammengesetzte Zahlen > ni ht er llt sein
eil ie e hten eiler t einer sol hen Zahl z ar eiler on aber ni ht eiler on
sin .
Die Wilsons he elation ir z meist r h ie r erstr t r on
be iesen. n ire t hat Ga ss ie r erstr t r s hon gen tzt aber einen an eren Weg als en he te blihen z m e eis einges hlagen.
Ga ss betra htet r >3 ie enge Z erjenigen a toren on ie z is hen er ersten Zahl
n er letzten Zahl - liegen also he tige otation ie enge
Z
z
z
- .
Z besteht a s einer gera en nzahl -3 on lementen. eine ieser Zahlen ist ongr ent
z ± mo lo
enn ist gr er als z±
r alle z a s Z. e es z a s Z ist aher teiler rem
z
n na h em r eiterten
li is hen lgorithm s erh lt man z z n
ézo t oe izienten ie orher gera e ent i elt
a z b . Da r h gilt ie ongr enzbezieh ng
az
mo
a ist also ie ezi ro e on z. Das om teralgebras stem a le lie ert solhe Zahlen r h ie ein a he otation
z mo
. s ann a ni ht z sein sonst re
eiler on z - also on z
o er zas ist ni ht m gli h. Wenn a ositi ist ann a ni ht
sein sonst
re
eiler on z- . Da r en ézo t oe izienten a gilt |a|<
ann a h a
ni ht - sein. s m ss also a in Z liegen. Wenn a negati ist liegt a ni ht in Z aber
a ist
ositi
leiner als - n er llt eben alls ie ongr enzbezieh ng
a z
mo . Da
a
ie orher a h ni ht m gli h ist m ss
a in Z liegen. lso gibt es z je em z a s Z
eine a on ers hie ene Zahl a s Z so ass
ezi ro e on z ist. s ann eine z eite
sol he Zahl geben sonst re ein eiler on - z also eiler on - . Das ist ni ht m gli h a | - | leiner als ist. s gibt aher z je em z a s Z gena eine a on ers hie ene
ezi ro e a s Z n as ro
t ber alle lemente a s Z ist mo lo
aher . Damit
bleibt om ro
t mo lo n r
brig also ie beha tet.
st n n ein ngera e Zahl gr
n
r
er als
n
ariiert
on bis
-
so gilt
mo 4
eil ie nzahl er a toren on
e ist n mli h - –
gilt a r h
-
ie gr
.
er als n leiner als
sin geramo 4 n a h r
r alle rimzahlen
.
9
ine Zahl q sei als betrags leinste Zahl r h
q mo
estgelegt.
r
7 z. .
ist
40 3 0 n 403 0
3 mo 7 z erhalten r h 403 0 mo 7 mit en z.Z. blihen e henhil smitteln . s ist aber 3 ni ht betrags leinste Zahl eshalb
hlen
ir
q -4 n erhalten
r h
q
7 ie ges hte Zerleg ng.
r
3 z. . l st si h
7 0 q mo 3 r h q 5 ir erhalten aber
q
also ist z ar q betrags leinste
s ng er ongr enzglei h ng q aber ein rele anter mman er ge or erten Zerleg ng on
3.
m olgen en ir gezeigt ie r h sol he Zahlen q n
eitere elementare arithmetis he
erationen eine Z ei- a rate- s ng erhalten er en ann. ei also mit einem a tor
>
q .
s ann o ensi htli h ein eiler on q sein. lso be ommen ir
lgorithm s betrags leinste ézo t oe izienten
n
so ass >
q mit | | |q|
Da
gilt s hreibt si h as ro
ta s
q
aq
li is hen
.
n
q
n m ss aher eiler on
sein.
na h Di ision on eine Glei h ng r
s| |
s r
als
n | |
r h en
q
it a
q
>0 b
b q
n
>0 erhalten
ir
.
olgt a < . Wie a s er inearen lgebra be annt l sst si h er q a ratis he
atrizen ro
t s hreiben
q
.
Die Determinante er
- atri
ir na h Ga ss a h Determinante es q a ratis hen
s r s genannt n mit bezei hnet. m orliegen en all ist
a -b
Die
atri
ist ersi htli h ositi
e init
.
.h. a>0 n
>0
n
er q a ratis he
s r
ann aher
r h rthogonalzerleg ng o er holes -Zerleg ng er atri als
mme z eier
a rate ges hrieben er en. ei e etho en sin hier je o h er olglos
eil r h iese Zerleg ngen irrationale erme entstehen. Deshalb er en en ir eine in
H. hei
. rommer angegebene rans ormation ie – en li h o t ange en et z einer
ganzzahligen a rats mme hrt Von linearen rans ormationen n a r h erm gli hten e
tionen ma ht a h Ga ss in en Disq isitiones rithmeti ae Gebra h . m ie
10
s hritt eisen s r
Ga ss einge hrte b
int
s erein a h ngen lei hter er olgen z
nnen er en en
rz ngen in orm on int eln. s soll also as
el a b
eine b
rz ng
r en
s r
a
b
b
a
ir
on
sein.
Wir bil en
loor
–b a
–
a
a
b
.
Damit errei hen ir
ab
enn
a
b
a
a
a
b
b
a
a
b
b
b
.
Wel her Vorteil ergibt si h Die in hr ng on beinhaltet
-½ - b a <
n
amit
a
also
½-b a
ir | | a
. Wenn a
n
sin
<a
b
a
ist m ss also
0 sein n
ann ir
ie ges hten Zerleg ngss mman en on .
st a> m ss mit einem ne en int el | | er leinert er en.
Die Determinante n ert bei bergang on
z
en Wert ni ht
-
a
ab
a
a
ab
b
a –b
.
Wenn
ositi ist olgt z n hst ara s m ss a h
ositi sein. erner ann nter
a>
ni ht
a
sein sonst
re
a - a 4 3a 4 also ist 0< <a
n man re ziert eiter mit er Verta s h ng
eil ann ie erste om onente ie er ositi n leiner als ie ritte ist. a h en li h ielen hritten errei ht man ass ie z eite
om onente n ll ir
ie letzten bei en om onenten hren z en ges hten a raten.
Wir
hren ie e hn ngen mit en rimzahlen
3 n
3
4
or.
Die q a ratis he ongr enzglei h ng
- mo
3 hrte ns z
5 also ist q 5. ei
q
also
. Der
li is he lgorithm s l st
5 r h
- n
3
- ist eben alls eine s ng aber >5
. Das erste int el ist amit
5-
enn
5
5 -
-
5- 0
3.
11
s ir
loor
–
-
5- -
-
3
-
3
ei
ent z
3
0
-
Damit ir
rithm s ir
it
q
loor
7
–
loor
73
7 - 3 07 .
5 73
5
-4 erh lt man as n hste
– - 7
–3
7 .
. D r h en r eiterten
li is hen lgo-3 07 n
5. Da r h ir
0
-3
ir
3
4 -3 07
3 n
0 3 340 loor
as ongr -
5 4 n
7 gel st mit
73 - 7 0 Damit ir
n
3.
4 . nter Z hil enahme on a le erh lt man as betrags leinste q
mo lo ist r h aller ings ni ht nmittelbar
q
it
-
int
el
0 - 7 73 -3 07 -
as n hste
int
el
4
3 0-
4 340 .
ara s
0 -
340 somit
4
4 .
340 .
Die Darstell ng nat rli her Zahlen r h eine mme a s z ei
a ratzahlen ist ni ht a
rimzahlen bes hr n t enn z. . gilt r ie z sammengesetzte Zahl n 5
. n ererseits gibt es a h ngera e i ht rimzahlen n ie si h ni ht als mmen z eier a ratzahlen arstellen lassen z. . ni ht n . Die er olglosen lle n
mit
o er
3 hren
ni ht a h z er olglosen llen r rimzahlen
ie ongr ent mo lo 4 sin
enn es ist
z. . 5 5
3
4 . rsa he a r ist ie ibona i- ormel on einigen toren a h als
Z ei- a rate- ormel bezei hnet
a
b
a -b
a
b
ie a s er om le en rithmeti
r h |a ib| | i |
| a -b
i a b | be annt ist.
r5
ann aher 5
-4
ges hrieben er en.
in
ie or ommen en Zahlen a b
ositi so
ann r ie ngera en rimzahlen
mo 4 ni ht a b sein also ist a h a -b on n ll ers hie en eshalb sin alle otenzen sol her rimzahlen
r h z ei
a ratzahlen arstellbar. at rli h nnen sol he
mmen a h mit
a ratzahlen m lti liziert er en n ergeben ne e mmen a s z ei
a raten. Wir stellen est
12
st eine a ratzahl n > ein ro
t essen rim a toren a ss hlie li h ongr ent
mo lo 4 sin so ist n
mme z eier a rate
eine teiler rem e mme alls
> .
Wir haben eingangs estgestellt ass r ngera e rimzahlen eine Darstell ng als
a rats mme
ni ht m gli h ist enn
3 mo 4 ist. W re eine q a ratis he ongr enzglei h ng
- mo
r sol he rimzahlen l sbar
r en ie orhin a sge hrten berleg ngen a h z einer mmen arstell ng r h a rate hren. Da as ni ht m gli h ist
ann a h
- mo
eine s ng haben. ls rster rg nz ngssatz ir in er mathematis hen iterat r ieser Z sammenhang bezei hnet
- mo
ist
r rimzahlen gena
ann l sbar
enn
o er
mo 4 ist.
Die ongr enzglei h ng
- mo
ann a h r i ht rimzahlen l sbar sein.
. . egen re 75 - 33 geht ie berleg ng z r
in m ehr ng es orhin Dargestellten a s einer mmen arstell ng n a b
r eine nat rli he Zahl n mit teiler rem en
mman en eine s ng er ongr enzglei h ng
- mo n herz leiten
Da a n b teiler rem sein sollen lassen si h ézo t oe izienten
a
b gilt. Da r h ir as ro
t
n
a
b
a –b
a
b
a
b
bere hnen so ass
- ab
a
b
.
Das besagt ass a -b
- mo n gilt. Da | | a | | b
n
<0 gilt ist
|a -b | n
.h. ie ositi e Zahl |a -b | bra ht mo lo n ni ht re ziert z
er en.
W re z. . ie Zerleg ng
3 4
340 be annt
nnte
gg -Darstell ng
340 na h egen re z
|
bere hnet er en in bereinstimm ng mit em obigen es ltat.
-
- mo
- 340
r h
|
ie
7
sol he
sbar eiten q a ratis her ongr enzglei h ngen nimmt ie im om teralgebras stem a le angebotene
n tion legen re ez g.
r rimzahlen ist legen re a ent e er
o er - je na h em ie ongr enz
a mo
l sbar o er ni ht l sbar
ist. ine allgemeine nts hei ngsm gli h eit r iese lle hat ler nter n en ng
einer ermat s hen elation genannt a h leiner atz on ermat angegeben
Wenn eine rimzahl n
ent mo lo sein.
eine ositi e Zahl leiner als
ist m ss ie otenz
-
ongr -
Die ssage ist o ensi htli h orre t r
. ei also < < . Da
ni ht teilen ann sin
ositi n leiner als . Die nzahl ieser este r ein geger
.. ie este rest
benes ann ni ht gr er als - sein eil es n r - ositi e este mo lo gibt.
m
n ist. Dann ist m-n
lso e istiert ein
onent m n ein leinerer n so ass mo lo
m-n
n
mo
a
ni ht teilen ann. Z je em ositi en
leiner als
leiner als
n
e
mo
ist. Diese Zahl ir r n ng on
gibt es also eine leinste Zahl <e< so ass
genannt n steht in a le r h or er
z r Ver g ng. s ann e ma imal - n
minimal sein. Wenn n n e ni ht ma imal ist m ss r h e teilbar sein sonst re
13
mo
r eine ositi e Zahl r rest - e
on ermat.
ie leiner als e ist. Das be eist ie elation
r
Dara nimmt ler ez g n gibt ein nts hei
s her ongr enzglei h ngen an
Wenn a ositi n leiner als eine rimzahl
enn a mo ist.
ngs riteri m
ist so ist
r ie
a mo
sbar eit q a rati-
gena
ann l sbar
Gibt es z einer ositi en Zahl a ie leiner als ist eine Zahl mit
a mo
so ann
ni ht 0 n a h ni ht ongr ent 0 mo lo sein. s ann angenommen er en ass osio ensi htli h ongr ent z
n
ti n leiner als ist. o lo ist a eshalb ongr ent z
a gr n er elation on ermat ange en et a
.
b ohl ie istenz einer s ng
on
a mo
a gr n on a mo
mit
elementaren etho en be iesen er en ann ist bisher ein Ver ahren z r ere hn ng
on
r h a in allen llen a
er Gr n lage elementarer arithmetis her
erationen
be annt. Wir en en ns en not en igen berleg ngen z m istenzbe eis z
r ositi e Zahlen
n
ie leiner als sin
ann
mo
n r gelten enn
o er
as beinhaltet
mo
ist enn ie eilbar eit on ±
r h
ist n r r
m gli h. Da a h
- a sges hlossen ist besteht ie enge
er q a ratis hen este
rest
gena a s
lementen.
o lo hat as ol nom - gena z ei llstellen
r z sammengesetzte o lzahlen m ss as ni ht gelten so hat as ol nom mo lo z. . ie 4 llstellen
3 5 7 also gilt a gr n on ermat r alle ositi en a leiner als ent e er
mo
o er a - mo . e es sol he a ist aher ent e er
llstelle
a ist ie ol nom ariable o er
. Da ie ol nome
es ol noms
enselben Gra haben ann ein ol nom mehr als llstellen besitzen. Die
ist eshalb gena
nzahl er lemente er enge
a 0<a<
| a ara s olgt
. Z je em a a s geh rt also gena ein mit rest
a
< mit rest
a.
n es gibt nat rli h gena z ei Zahlen 0<
ls eis iel sei er a h erhalt mit
re ziert a
.. n a5 a – a
3
4
-
a5
s ist
a
0
4 53
n
3
5
4
4
5
345
5
47
a ge hrt
.
5
3
3
also
7
5
-
ann ist
-
5. s
ir
mo
0
4
-
-
. Die orres on enz z is hen a n
zeigt
3 .
D r h en Z ei- a rate- atz sin
ir z einer q a ratis hen ongr enzglei h ng n
a r h z m rsten rg nz ngssatz ge hrt or en. s soll abs hlie en a h er Z eite
rg nz ngssatz be iesen n a r h eine s ezielle ongr enzbezieh ng r rimzahlen
14
hergeleitet er en. Der Z eite rg nz ngssatz gibt eine nts hei ng ber ie sbar eit
mo
n besagt ass n r r rimzahlen
er q a ratis hen ongr enzglei h ng
ie ongr ent o er 7 mo lo sin sol he Glei h ngen l sbar sin . s ir ie istenz
einer s ng garantiert aber ber ihre rmittl ng ni hts mitgeteilt.
gr n es riteri ms
mo lo
ongr ent o er - ist.
on ler haben ir le igli h z ents hei en ob
ist ann ein a tor es ro
t a s allen geraei z n hst
mo . Die Zahl
en ositi en Zahlen ie leiner als sin
4
-
.
-
Die ersten - 4 a toren on sin gena ie gera en Zahlen ie ni ht bertre en. Die ara olgen en a toren
ie z ar aber ni ht - bertre en sin molo
ongr ent z -| - | n | - | sin gena
ie ngera en Zahlen ie leiner als
sin . Da ihre nzahl n mli h - 4 gera e ist gilt
mo
.
ongr ent z
mo lo ist somit ie sbar eit on
mo .
Dara s olgt ass h r
7 mo
ir as ro
t a s en ositi en gera en Zahlen ie leiner als
hera s istrib iert. Die letzten
4 a toren sin
sin gebil et n er a tor mo lo
ongr ent z
en negati en ngera en Zahlen -| - | obei
| -|
gilt.
Da ihre nzahl
4 gera e ist ir ihr ro
t ositi . Die ersten -3 4 gera en a toren sin gr er als
n leiner als . Da r h gilt a h in iesem all
mo
.
z
mo lo
n amit ie sbar eit on
mo .
s olgt ie ongr enz on h in en no h brigen llen
3 5 mo
ann on en ro
ten
n en Zerleg na sgegangen
er en.
s ir ann
ongr ent z
gen
n a r h ist
mo
ni ht mehr l sbar. Damit ist a h er Z eite rrg nz ng z m ezi rozit tsgesetz e istenziell be iesen
g nz ngssatz
Die ongr enzglei h ng
mo ist gena
ongr ent z o er z 7 mo lo ist.
ann
r ngera e rimzahlen l sbar
enn
. Das zeigen ie lle
r eine beliebige rimzahl ist i. llg.
4 ein eiler on
5
n
7. Die it ation n ert si h enn
4 eben alls eine rimzahl ist
as zeigen ie lle
3 enn 3
7 ist ongr ent z
mo lo 3 n
7 enn 77 ist
mo lo 53. Wie er l rt
ongr ent z
mo lo
so ie
3 enn 3 3 ist ongr ent z
si h as D r h en rg nz ngssatz
ei eine beliebige rimzahl erart ass q
4 eben alls eine rimzahl ist. Da
ngera e
sein m ss ist q ongr ent z 5 mo lo . a h em Z eiten rg nz ngssatz ist aher ie
ongr ent z ongr enzglei h ng
mo q ni ht l sbar n na h ler aher qqn olgli h a h
mo lo q. Damit ist 4 - mo q eil 4
15
4
4 – q mo q
4 mo q.
mo q. Dara s
Da 4 teiler rem z q ist olgt a s er letzten ongr enzbezieh ng 4 4
mo q ge olgert er en n ist o ensi htli h
an r
ann
ngera e rimzahlen rele ant sin . llgemein ist aher be iesen
r alle rimzahlen
inige
s ngen on
r ie q
4 eben alls eine rimzahl ist gilt
mo q.
gaben mathematis her l m ia en
s sollen einige
s ngen on
gaben ie im ahmen internationaler mathematis her
l m ia en gestellt
r en argestellt er en. Die e a ten Vora ssetz ngen er eilnehmer sin mir ni ht be annt n eshalb er en ie olgen en berleg ngen n r nter str t rell minimalen mathematis hen enntnissen a sge hrt.
m ahre 003
r e olgen e
Z je er rimzahl
l sbar ist.
gabe gestellt
ist eine rimzahl q ges ht so ass n
mo q
r eine ganze Zahl n
s ng
r
ann
ni ht
n
ommen ir mit em Z eiten rg nz ngssatz z m Ziel enn
mo q ist gena
q- mo q gilt. ine sol he Zahl q ist z. . q 3 enn es ist
nl sbar alls
mo 3. ber a h ohne enntnis es rg nz ngssatzes ist lei ht einz sehen ass
ongr ent mo lo 3 sein ann eil ie q a ratis hen este le igli h 0 o er sin
r ie Viel a hen on 3 ann ni ht 0
mo 3 gelten.
ensi htli h sin
r rimzahlen
ie Zahlen - eiler on - . Die ges hte Zahl q ist nter en rim a toren qi on
Wie lei ht na hz
entit t
ollziehen ist besteht
-
q
n
- ist leiner als
- z in en. ei also
qe.
r nat rli he Zahlen m
ie gr
er als
sin
.
ie
16
Dara s ann ge olgert er en ass ein rimteiler on m- ni ht mehr rimteiler es otienten mmm- ist. Die rim a toren qi sin aher eine rim a toren on - . s nnen ni ht alle rim a toren qi ongr ent mo lo sein. s re sonst
ann aber ein
ongr ent z
r rest q<
mo q
a s
en berleg ngen
als . Dann m ss
m gli h .
-
mo
– sein. s gibt also einen rim a tor q on er ni ht
eiler on
mo lo
ist .h.
teilt ni ht q- .
it
loor qn 0<
gilt qr. Da q eiler on - aber ein eiler on - ist olgt
n
mo q ass ie r n ng on mo lo q glei h sein m ss na h
z m leinen atz on ermat ist aher
eiler on q- q ist also gr er
eiler on r sein. Wir setzen r
mit 0< <
ist teiler rem z
W re ie ongr enzglei h ng n
n qm sste r
aher nq-
mo q
r eine z q teiler rem e ganze Zahl n er llt
mo q sein.
Da qn
q-
mo q gilt olgte
mo q.
gr n
er eiler rem heit on
n
erhalten ir ie elation
n
teiler rem z q
a r h negati e
onenten sin erla bt a
a
a
b
n
mo q.
b
mo q r z q teilerDa q ein eiler on - ist entsteht ein Wi ers r h enn ir n
rem e ganze Zahlen n annehmen .
r ganze Zahlen n ie Viel a he on q sin ist n 0 mo q n ie ongr enzglei h ng
mo q ann a h ann ni ht bestehen.
n
on rete e hn ngen zeigen ass r rimzahlen
n q q leinste rimzahl gr er als
qin ongr ent z
mo lo q ist. in Gegenbeis iel ist mir ni ht bemit q
mo
annt.
m ahre 004
r e olgen e
in e alle rimzahlen
gabe gestellt
n q so ass 5 -
5q -
q
q ganzzahlig ist.
s ng
Die rimzahlen
n 5 ommen o ensi htli h e er r no h r q in rage. Wir nnen
ora ssetzen ass 5 n
so ohl z
als a h z q teiler rem sin . ehrere zenarien
sin orstellbar
17
a
b
teilt 5 n q teilt 5qn q teilen 5 teilt 5q- q n q teilt 5 -
Z a
a h ermat ist 5 gelten. Glei hes gilt
Z b
Wenn
3 gilt
q.
mo
aher 5
r q also q 3.
ir 5 -
33 3 n
5 mo
n analog
r q bleibt an
mo
also m ss
gli h eiten n r q 3 n q
3
3.
Z
s ommen
n
5 tri ialer eise ni ht in rage n
3 hrt z en s hon be annten
llen q 3 n q 3. eien also
n q je eils on 3 5 ers hie en n sei <q
q
hrt a
en all a . Da >3 ist gibt es eine s ng < <
ent llt er ongr enzolgt. Wenn
eiler on 5q- q ist gilt 5q q
glei h ng 5
mo
ora s 5q q q mo
q
mo . Da gr er als
n leiner als ist m ss ie r n ng on
mo
also ir
q sein as ist bei q> > - aber ni ht m gli h enn ie r n ngen sin mo lo na h
ermat immer eiler on - . lso entstehen eine s ngen im all .
nsgesamt sin
ie
s ngs aare
q also 3 3
3 3
33 .
m ahre 00
r en .a. rei
gaben mit ansteigen em
beginnen mit er lei hten
gabe.
an bestimme alle aare
ganzer Zahlen
h ierig eitsgra gestellt. Wir
el he ie olgen e Glei h ng er llen
.
s ng
r 0 sin so ort ganzzahlige s ngs aare z erhalten 0 n 0
.
ist monoton a hsen
amit ist
r alle
- leiner
Die n tion
als
n gr er als also eine ganze a ratzahl.
r ir ie lin e eite er Glei h ng z ar
aber
ist ganzzahlig ni ht l sbar.
r
3 er en ie lin en eiten
37
37 n a r h e istieren eine ganzzahligen .
n rage ommt also erst ie er
4. Die lin e eite ir ann 5
n somit erhalten ir
eitere s ngs aare 4 - 3 n 4 3 .
Wir zeigen n n ass r alle >4 eine ganzzahligen
a ratzahlen entstehen. Wir nnen
ns a
ositi e s ngen bes hr n en ie gr er als 4 sin . Wir setzen a - a ist ann
gr er als 3 n betra hten anstelle er sgangsglei h ng ie Glei h ng
.
18
Die lin e eite ieser Glei h ng ist r ganzzahlige gr er als 4 min estens r h
teilbar
a r h ommt r eine ganzzahlige s ng a n r eine gera e Zahl in rage. Wir setzen
mit ngera em ositi em
n ganzzahligem gr
er als n ll. Z l sen ist ann
.
Wir nters hei en z ei lle r erstens > n z eitens
m ersten all ist a
er re hten eite er Glei h ng as ro
aher
so ass z l sen bleibt
.
t
-
ngera e n
.
Das ist q i alent z
.
Diese Glei h ng ann r
ni ht gel st er en. r > aber eben alls ni ht
er z eite a tor er lin en eite negati ir . s ommt also > ni ht in rage.
r
erhalten ir a
n
nters hen
4
mit >0
Wir setzen
l sen
eil ann
a
gr
er als
.
sein m ss
>0
ngera e n
ers hen z
.
Weil as ro
as sen on
t
-
ngera e ist erhalten
ir
n re
zieren as roblem a
.
n rage ommt ni ht
n
r >4 a h 3 ni ht. r gr er als 4 ist aber - gr er
. lso ann ie letzte Glei h ng in
n
ganzzahlig ni ht l sbar sein. Damit hrt
als
a h er z eite all r ni ht z ganzzahligen s ngen.
rgebnis
Das gestellte roblem hat n r ie s hon a ge hrten 4 s ngen 0 ±
n 4 ± 3 .
ine eitere
gabe ar ie olgen e
s sei
ein ol nom om Gra e n mit ganzzahligen oe izienten n n> . erner sei
eine ositi e ganze Zahl. Wir betra hten as ol nom
19
obei gena
tieren.
-mal a tritt.
an be eise ass h hstens n ganze Zahlen t mit
t
t e is-
s ng
Die ssage ist o ensi htli h r
orre t. Die ssage ist r om le e Zahlen t ebenso
o ensi htli h i. llg. ni ht mehr g ltig. Das zeigt as q a ratis he ol nom
. Dann
ist
4
n
hat rei
s ngen 0 - ±i .
ine s ng er gestellten
gabe m ss aher eine eson erheit ganzer Zahlen gegen ber
en om le en Zahlen a sn tzen ie eilbar eitsbezieh ng. D r h eilbar eitsbezieh ngen
entstehen lineare Glei h ngss steme mit ganzzahligen oe izienten eren s ngsmengen
ein imensional sin
o r h eine ne en s ngen gegen ber t t o er
t
t hinz ommen.
ezei hn ng
soll r h
as - a he insetzen on ol nomialen
ge ennzei hnet sein also 3
s r
.
en also
z z n a s
lar ist ass r om le e Zahlen z a s z z r alle ositi en
z z
r alle gera en
z z olgt. es hr n t man si h n r a ganzzahlige s nt t r ngera e sin
gen gilt a h ie m ehr ng ie ganzzahligen s ngen t on
t t r gera e sin
ieselben ie ie on t t n
ie ganzzahligen s ngen t on
ieselben ie ie on
t
t.
Wir be eisen z n hst ie G ltig eit er m ehr ng.
ensi htli h ist ie
gabe r ngera e
a r h gel st enn er Gra on ist ni ht
gr er als ie nzahl ganzzahliger
s ngen on t t r gera e sin je o h eitere
nters h ngen er or erli h.
m olgen en e t ist immer ein ol nom mit ganzzahligen oe izienten min estens z eiten Gra es. Wir stellen mehrere gr n legen e Hil sa ssagen Hi z sammen.
H
Wenn a b ganze Zahlen sin
n so ohl a on b als a h b on a geteilt ir gilt a
b .
Wenn a o er b n ll ist m ss o ensi htli h a n b n ll sein. ei also so ohl a als a h b on
n ll ers hie en ann gilt a
b n b
a also
amit in je em all a b .
Z einer ganzzahligen
llstelle a
H
Gra n- so ass gilt
-a
.
on
Wir er Di isionsalgorithm s a
ie s r
en et erh lt man ein ganzzahliges ol nom
gibt es ein ganzzahliges ol nom
om
e
n
-a mit er Variablen
eine ganze Zahl b n eine elation
ange-
20
-a
ziert si h.
b. st a
llstelle on
r ganze Zahlen a b
H3
n
m ss b 0 gelten n
ositi e ist a-b eiler on
er ol nomgra
a -
on
re-
b .
– b hat b z r llstelle n eshalb gilt na h H b
-b
Das ol nom b
mit einem ganzzahligen ol nom
om Gra nas r h en Di isionsalgorithm s
ol nome erhalten er en ann. Da r h ir
b
a
a - b
a-b
r
a
n
as be e tet eilbar eit on a - b
r h a-b.
s emselben Gr n ist ann
a - b ein eiler on
a b also ist a h a-b eiler on
a b s .
Die olgen en Glei h ngen nnen als ein a he atri glei h ng
0 mit einer n n- atri
n einem alten e tor bes hrieben er en. hat ri iagonalgestalt n en ang n- .
Die angbere hn ng ber ie
-Zerleg ng on ist ni ht roblematis h aber et as a n iger als ie in ire te angbere hn ng r h einen Wi ers r hsbe eis a gr n er
ein a hen Glei h ngen.
H4 st n> n
r alle
i n i
r
.
i n
i
reell
n
n
n-
i
i-
r
i
i n-
so gilt
r reelle Zahlen a b olgt o ensi htli h b< a s a<b enn b a
gilt a
b b-a .
<
so olgte ara s
<
< 3 s . bis n- < n . r n
W re n n r ein <n
n man erhielte eiter < s hlie li h - <
alls < sonst n < .
olgte aber n<
n allen llen re r ein 0< <n n < < n ein Wi ers r h. nalog ist ein Wi ers r h
>
gelte. lso gilt r alle <i<n
.
z erhalten enn r ein
i
Die olgen e
H5
ssage ist zentral
r ie
s ng er gestellten
gabe.
r eine ganze Zahl m gebe es eine ositi e ganze Zahl g 3 mit
i m
i g ni ht a s g lementen bestehen.
ie enge
g
m
m. Dann ann
Wir hren einen Wi ers r hsbe eis n nehmen an hat gena g lemente ann gilt r
j m . Da
g m
m gelten soll
nnen ie Werte i m
r i>g
i j innerhalb ..g i m
a
ie Werte a s z r
ge hrt er en enn r i 0 mo g n i j mo g mit ositij m
g m
r ositi e ganze ist g m
em j leiner als g ist o ensi htli h i m
g m .
n
r 0 setzen ir 0 m
s soll z z inter retieren als Zeilenzahl eine ganze ositi e Zahl leiner als g
sein. Dann
ist a gr n on H3
m -
z-
n
z
m -
m
z
z
g-
m -
z
m
eiler on
z
m -
z
m
eiler on
z
g-
m
z-
g
m -
z g
m
z-
m -
z
m .
21
z m z
m - z m n
m teilen si h also e hselseitig a r h gilt na h H
z m z
z
m o er z- m - z m
m - z m . Da
ent e er z- m - z m
zz
m
m a sges hlossen ist enn zz
mo g enn g 3 bleibt n r
aber
zz
z
z
m m
m m n
ir erhalten r ie Zeile z ie Glei h ng
z-
z
m
z-
m
z
m .
i m
ie e ing ngen on H4 er llt
Damit sin
r i
Wi ers r h z r nnahme
g.
r ngera e
er gestellten
olgt a s H
gabe.
ie eingangs anges ro hene m ehr ng n
ei g ganz ngera e ositi m ganz n
H
Die
r
ir erhalten
g
m
m ann ist a h
r h
a
m
einen
r h ie
s ng
m.
i m
i g . Wenn
ssage ist tri ialer eise er llt r g . ei aher g 3 n
<g ist liegt eine Glei hheit
g ist erhalten ir einen Wi ers r h z H5. Wenn
s
m
m mit 0<r<s<g
or. Das h tte
r
g-s
m
s
g-s
m
m
n
r
-s s-r
m
m
s-r
m .
z r onseq enz. n ist ent e er s-r o er g- s-r ngera e ositi
n leiner als g. nterr alle ngera en Zahlen ie leiner als g as gilt z. . r g
sin
stellt man ass H
tion r g be iesen.
s hon be iesen ist so ist a h H sog. or n ngstheoretis he n
- .
r gera e Zahlen g ann H ni ht bernommen er en. Das zeigt as ol nom
4ganzzahlig l sbar r h 0 n - aber
ist ni ht
Hier ist
r ositi e gera e g sin
ganzzahlig l sbar. Die ganzzahligen s ngen
on g
. Das ist ie ssage
aber eine an eren als ie on
H7 Wenn g ganzzahlig
g m
m.
ositi
gera e
n
m ganzzahlig ist so olgt
m
m a s
g m
m r ein m
n
m m. ei
ie
H7 ist tri ial r g . ei r g> g 0 mo
m m gilt.
leinste ositi e ganze Zahl r ie
m m ein Wi ers r h z r nnahme
Wenn
ngera e ist olgt a gr n on H
m m.
Wenn gera e n leiner als g ist
nnen ir as roblem im ahmen einer or n ngstheoretis hen n
tion als gel st ansehen.
i m
m all
g hat ie enge
er l rt r h
i g gena g lemente es
r e
m m as i ers ri ht
ie orher gezeigt sonst eine Zahl
leiner als
g geben mit
er igens ha t on . Die istenz einer sol hen enge hin ie er m i ers ri ht er
m m.
ssage H5. Wir erhalten also a h r g einen Wi ers r h z r nnahme
22
Wir haben bisher gezeigt ass im alle einer elation z m m m
m m r alle ositi en ganzen Zahlen gilt. Damit gilt nat rli h
m
z
m
m m
gra
r ein ngera es z
.
r gera e z hingegen ann n r
m alle einer elation z m m m
m m m
gra
ges hlossen er en. Den a h eis on m
eine s ezielle eilerbezieh ng H n eine tri iale ssage H .
H
a
hren
s gibt ein ol nom W n-ten Gra es n>0 mit om le en oe izienten
tellen enselben Wert annimmt.
m m
ir r h
as an n
ngenommen er Wert ist
n as ol nom W hat en Gra n>0. Dann hat a h WGra n n mit en llstellen z .. zn n em h hsten oe izienten an s hreibt si h
W
-
-z
an
en
-zn .
Da es n
tellen aber n r n llstellen gibt m ss eine telle s on allen
llstellen z .. zn
s-zn on n ll ers hie en n es m ss
ers hie en sein. Dann ist a h as ro
t s-z
also W ein ol nom n-ten Gra es.
an 0 gelten amit ist W
H
in a b ganze Zahlen mit
a
a
b
b n
b
b so gilt a
a - b eiler on
a h H3 ist a-b eiler on a - b n
a - b . Da a- b eiler on a b
na h H a-b
a - b a – b ist gilt ie er m na h H a- b
on
on bei er Glei h ngen olgt
b
n na h Di ision
b
r h
b
a b
b
r h a
a
b
b
a
b
b .
a b a-b also gilt
a -b n
a - b eiler
a -b . D r h btra ti-
b
b
b
a b
a
b
a
b
b
b
a
b .
Wenn
t t n r ganzzahlige s ngen t hat ie a h s ngen on t t sin
t rli h ie nzahl sol her s ngen ni ht gr er als er Gra on
ie beha tet.
Wir nehmen an ass et a
llstelle es ol noms
en Gra n- . r je es t
as
t
t
t
eine ganzzahlige s ng on
n as otienten ol nom
t t ist gilt
s ng on
also
t -
-t also
t
ist na-
t ist. Dann ist
- hat
-
ie nzahl er on
ers hiea gr n on H . Da er Gra on n- ist ann egen H
t t ni ht gr er als n- sein. Damit ist ie gestellte
gabe ollenen s ngen t on
st n ig gel st.
23
n en l m ia en er en h ig
gaben a s em Gebiet er elementaren Zahlentheorie
aber a h
gaben a s em Gebiet er reellen nal sis gestellt. ine sol he ar z. . ie olgen e
an bestimme ie leinste reelle Zahl
nglei h ng gilt
|a b a -b
b
so ass
b-
a
r alle reellen Zahlen a b n
-a |
a
b
ie olgen e
.
s ng
Wir nters hen ie
n tion
ab
er l rt in
a b a -b
\ 000
b
r h
b-
a
-a
a
b
.
D r h gera e erm tationen er Variablen er n ern si h ie n tions erte o ensi htli h
ni ht n
r h ngera e erm tationen n ert si h le igli h as Vorzei hen.
l sst si h aher
r h as
rem m o er en bsol t ert es n im ms bestimmen
s
ab
|ab
a
b
0.
ensi htli h sin ie n tions erte l ngs r h en
ra en i entis h enn r alle Viel a hen
0 gilt
a b
ab
Die
n tions erte nnen aher s hon
on a
ie inheitss h re
also a
ergibt si h a s
ma
ab
|ab
a
alls a
ll
n t la en er
b
r h ie es hr n
ab | a b
b
| min
ab
n tierter Ge-
0.
ng es De initionsberei hs
erhalten er en n
|ab
a
b
|.
in Vorteil in er es hr n ng on a
ie ist nat rli h in er n li h eit er llstellen er artiellen bleit ngen z sehen. rotz er n li h eit soll ie nts hei ng ber ie
rt er tellen inim m a im m attel
egen er a
n igen ere hn ng er atri
a s en z eiten bleit ngen n ihren s ert ngen beim on reten insetzen er tellen
ni ht ber ie De initheit o er n e initheit er atri a s en z eiten artiellen bleit ngen on er olgen. Der nters h ngsberei h ir a einen rele anten erei h einges hr n t. m nnern ieses erei hs nimmt
as a im m n as inim m je eils n r an
einer telle bestimmt r h ie llstellen er artiellen bleit ngen an n a r h ann
ohne eitere nters h ngen ire t ermittelt er en.
Z n hst eine emer ng z m in est ert on
en an es erei hs erhalten l sst
er si h a s er es hr n
ng on
a
24
etzen ir eine om onente n ll z. .
0 n a os
ab
sin
os
sin 4 4. s ann also a
4a
er .
annehmen insbeson ere ist
ine emer ng z en
r b a o er a o er
llstellen on
b nimmt a b
aa
aba
abb
a a a b a -b
a b a -b
ab
b sin
erhalten ir
je en Wert a s em nter all
en Wert n ll an
a -a
b a b -a
b a b -a
a a a b a -b
a b a -b
m ie ri el a b a
er
r ie nnahme es
Glei hheit z eier ri el om onenten ni ht in rage.
-a
b -a
b -a
a im ms z
0
0
0.
in en ommt aher ie
s ist lei ht einz sehen ass ein ri el t a s rei reellen Zahlen r h eine gera e erm tation
er om onenten ent e er z einem ri el t mit a steigen en om onenten also
hrt in bei en
t < t < t 3 o er mit absteigen en om onenten also t > t > t 3
llen gilt t
t . hne ie Wertemenge on einz s hr n en
nnen ir ns aher
a
ie erei he a<b< o er a>b>
r ie rg menttri el a b
a ba b
onzentrieren. in ie om onenten in bei en llen a er em no h ositi so zeigt
a
-a
a -b
im ersten all
ass
-b a b -a
ass
-b a
gr
a -b
-b
a -b gr
a
er als
er als
ab
-b
-b
a ab
b -
>
a
-a
a b a -b
b
b -
a
-a
ist n im z eiten all
> a b a -b
b
b-
ist.
in a im m ann also in erei hen mit a ss hlie li h ositi en ri el om onenten ni ht
angenommen er en ann nat rli h a h ni ht in erei hen mit a ss hlie li h negati en
ri el om onenten eil
z
- - -z gilt.
gr n on
z
- - -z ist es a srei hen
erei he mit gena einer negati en
om onente a
tremstellen hin z nters hen. Die erei he mit gena einer negati en
om onente gehen r h gera e erm tationen a seinan er her or a r h er n ert
seinen Wert ni ht ir onzentrieren ns a
en erei h
ab
|ab 0 n
0.
Die Glei hheitszei hen nnen nbea htet bleiben eil z ei i entis he Werte z einer
llstelle on
hren n ein einziges Glei hheitszei hen z m in est ert
on
hrt. s
ann nat rli h in so ohl ositi e als a h negati e Werte annehmen a n b erta s hen <0 beibehalten .
Wir setzen ie bli h z r estimm ng er tremstellen on
ie artiellen bleit ngen
on n ll bea hten n r Z hlera s r
e s hlie en an geeigneten tellen ie lle a b
0
b a s n ma hen Gebra h on a b
.
25
a h artieller Di erentiation on na h a erhalten ir
3a b 3a
a4
b
b
a
a
b
b
3b
4a a b a
3b
4a
Da ir en all b s hon behan elt haben
Di ision r h -b ornehmen ir erhalten
a4 a
b
3b
D r h es hr n ng a
b
n erhalten
nnen
4a b
a
ab
a
b
b
b
–b5 b
b
b4 b
4ab
b
b
ir a4 b4
ersetzen
3a b
s r
s
5.
ir ihn hier nbea htet lassen n eine
b
ie inheitss h re
a b
b
r en Z hler es
4ab
b
4
4.
r h - a b- a
-
b .
Die artielle Di erentiation on na h b ergibt analog
b
btra tion er
s r
3b a 4b a 4b a
a
7ab
7b a
0 s hon behan elt
b
a
r e
a b
nnen
7b a 7a b
b a
b
ab a
a
a
ir erhalten
b
.
ab
a
b
–
a b
olgern ir
± 3
ab
llsetzen erhalten ir
ara s
s a b
b .
b .
a b
Gebra h ma hen. D r h
ab a
n
a .
ir en a tor abs alten n erhal-
a b
Da on l sst si h eiterhin er a tor b-a abs alten
enn ir on a b
a
e bringt
b
Da a h er all
ten
b a
26
also ± 3 –a –b n
ratis he Glei h ng r a
–
a
n analog
–ab
a b
± 3
a b –a – ab–b
a b
3
b
b 3
–
0
b
3
b
b 3
–
0.
aher eine q a -
r
s sin also a n
nehmen ist
llstellen ein n
erselben Glei h ng. Da
±
3
4
5
3
3
±
4
4
±
3
4
5
3
3
±
.
4
4
ir
r ab
in
a> an-
n
Z r estleg ng on a n
er en en ir ie artielle bleit ng on
le on
ist nter er e ing ng a b
ein a her r h Z
enn Z en Z hler er rationalen n tion bezei hnet
4
3
3
4
a h btrenn ng es a tors b-a
4a b
n
4ab
4
4
rsetz ng on a
4ab
ab
b
4
4
r h -
na h . ine llstel4 Z 0 z erhalten
4
4
.
erhalten ir
.
ei en olgen en s hr ngen er en en ir a s Gr n en besserer a h ollziehbar eit
anstelle on ± 3 ein a h n r 3 legen also eine Do el e tig eit er a rat rzel a s 3
z gr n e. s zeigt si h ass ie estleg ng er ri el a s er enge a h eine estleg ng
a ein Vorzei hen er a rat rzel be e tet. Die e hn ngen er en ni ht in allen inzelheiten orge hrt. Wir erhalten r as ro
t a a s en Glei h ngen so ort ie Glei hheit als ro
t er llstellen
3
Der in en
s r
en
ra n
.
a treten e a i an soll
5
3
4
3
4
.
r h
bezei hnet er en
27
Die
ab
it
mme 4a b
4
4ab
4ab a s en ersten rei
ersetzen ir r h 4ab a b –
b
n
a
a
b 3
4b
b 3
ir
4b
b
b 3
b
4b
b
r h
b
b
b 3
Wir s mmieren az a b
4b4
gen e
b
eran en on 4a b 4ab
4ab
a 4b 3 –
a b 3
b .
b 3 4 b
b
3 b
b
4b4
b
3 b
b
4b
3 b
.
n erhalten
b 3 4
b
4b
3
n iger als bisher ist er r ie Ge inn ng eines s r
4–
. ngere s ert ngen ergeben
s r
.
s in b er z ber
si hti-
3
n
3
Die Di erenz
4-
.
ir
3
3
a
r h
4
ie
s r
4
–
3
4
n
3
ition ieses
in b
s r
4ab a b-
-
sz r
-3
4 3
mme 4ab a b-
4-
ab
s ist also b eine er ositi en
3
3
ab
hrt z einem
3b - b -3b 3 4 7
bis hen
.
llstellen es ol noms in er Variablen
3 4 7
3
-
3
-
7 3
44
n
r b gilt b - b 3 -b
-7 3 44 . Das ist aber gera e er s r
r as ro
t
a b . Da ir erner a b
3
n ab a b
haben sin a b n
llstellen
esselben normierten ol noms enn –a
–b
–
3 7 3 44.
Wir ersetzen im ni htnormierten ol nom in
3 r h
n m lti lizieren mit so
entsteht ein ol nom mit ganzrationalen oe izienten
28
4
7.
D r h bergang gem
on z erhalten ir ie re zierte ol nom orm
mit en llstellen 0 ±3
amit r
4
7 ie llstellen ½ n
½±3
4.
Die bei en estleg ngsm gli h eiten r ie a rat rzel a s 3 hren bei estleg ng es
ositi en Werts somit z en llstellen 3
3 ±
4 r ie llstellen es ol noms
3 -3 3 4 7
n bei estleg ng es negati en Werts o ensi htli h z en
llstellen - 3
- 3
4. Die z eite
gli h eit ist r a b a s ni ht rele ant
eil b>0 n r r - 3
4 gelten n es z ei negati e om onenten geben
r e. r
b gibt es na h er ersten
gli h eit ie Wahl z is hen 3
n
3
4 ositi e
W rzel
ist estgelegt r h ie negati e Zahl 3
4. n je em all ist ie Wahl in
bereinstimm ng mit em ositi en
mmen ert a b
3 3
3 . nter er Vora ssetz ng aar eiser n on n ll ers hie ener om onenten gibt es also im nnern on
gena z ei tremstellen n z ar s n t obei s
3
4 3
3
4
n t
3
3
4 3
4 ist. Wie eingangs er hnt nters hei en si h s
n
t n r r h ie Vorzei hen so ass ie s ng
| s | | t | ist alls si h ieser
Wert ni ht leiner als er eist. Da er bsol t ert on z is hen 3
n 3
4
liegt m ss s ositi sein. it s a b erre hnet si h
4a
4b
4
4 a -b
4 b 4 -a
4ab
3
4b
-3
4 a -7
amit ist s
4
3 >0 n
t 3 . Dieser Wert ist gr er als
enn 3
ist o ensi htli h gr er als 3 . nimmt also im nnern on in s einen gr eren Wert als a
em an e a 0 o er b 0 o er 0 an. Da abges hlossen n bes hr n t
as a im m n as inim m annehmen. Da in beliebig o t i erenist m ss in
zierbar ist m ssen an sol hen tellen ie ersten artiellen bleit ngen na h en om onenten n ll er en. Da ir a er s n t eine an eren telle innerhalb ge n en haben ist
ie ges hte Zahl
3
Damit ist ie gestellte
gabe gel st.
.