WS16/17
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E RGEBNISSE T ECHNISCHE M ECHANIK III-IV Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern WS 16/17, 25.02.2017 1. Aufgabe: (TM3) a g y a ϕ x S m S v0 1111111 0000000 0000000 1111111 P A 1111 0000 0000 1111 Die abgebildete homogene starre Scheibe (Kantenlänge a, Masse m) trifft mit der Geschwindigkeit v0 ohne Rotation im Punkt P auf ein gelenkiges Lager A und klinkt dort im Moment des Auftreffens ein. a) Geben Sie die Massenträgheitsmomente Θ(S) und Θ(A) der Scheibe bezüglich der Punkte S (Schwerpunkt) und A an. b) Ermitteln Sie die Geschwindigkeitskomponenten v̄x und v̄y des Schwerpunktes S sowie die Winkelgeschwindigkeit ω̄ der Scheibe unmittelbar nach dem Einklinken/Stoß. c) Berechnen Sie den Verlust an kinetischer Energie beim Aufprall. d) Ab welcher Anfangsgeschwindigkeit v0∗ kippt die Scheibe wie in der rechten Skizze angedeutet über das Lager? Gegeben: a, m, g, v0 Kurzlösung: a) 1 Θ(S) = ma2 6 Θ (A) =Θ (S) a +m √ 2 2 2 = ma2 3 b) ω̄ = − 3v0 4a , 3 v̄x = v0 , 8 c) ∆Ekin = − 5 mv02 16 d) v0∗ = r 8 √ ag( 2 − 1) 3 3 v̄y = v0 8 2. Aufgabe: (TM3) 11 00 00 11 00 11 00 11 10 00 11 1010 00 11 00 11 1010 00 11 00 11 001010 11 00 11 1010 00 11 000000000 111111111 00 11 000000000 111111111 111111111 000000000 11111111 00000000 111111111 000000000 C l β ω y r α B R x z A O Das abgebildete System besteht aus einer Walze (Radius R) und einer Stange (Länge l), die im Punkt B mit der Walze gelenkig verbunden ist. Die Walze rollt mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω über die Ebene. Der Abstand von B zum Mittelpunkt A der Walze beträgt r. Die Stange wird durch die Walze bewegt, wobei der Endpunkt C der Stange stets die Wand berührt. Ermitteln Sie unter Beachtung des gegebenen Koordinatensystems für die skizzierte Lage des Systems a) den Vektor ~rOB und die Geschwindigkeit ~vB von Punkt B , b) den Vektor ~rAB sowie die Beschleunigungen ~aA und ~aB der Punkte A und B , c) den Vektor ~rBC , die Geschwindigkeit ~vC des Punktes C und die Winkelgeschwindigkeit ω ~ S der Stange. Gegeben: α, β , ω , R, r, l Kurzlösung: a) r cos α ~rOB = R + r sin α 0 −ω (R + r sin α) ω r cos α ~vB = 0 b) r cos α ~rAB = r sin α 0 ~aA = 0 −ω 2 r cos α ~aB = −ω 2 r sin α 0 c) l sin β ~rBC = l cos β 0 0 0 ω ~S = R+r sin α − l cos β ω 0 v~C = (r cos α − (R + r sin α) tan β) ω 0 3. Aufgabe: (TM3) x6 3m, Θ3 g Θ2 Seil ϕ6 2r r ϕ4 r 2m ϕ2 x3 r M m, Θ1 ϕ1 x5 m, Θ1 x2 α x1 Auf einer rauhen schiefen Ebene (Neigungswinkel α) rollen zwei gleiche homogene Walzen (Radius r , Masse m, Massenträgheitsmoment Θ1 ). Auf den beiden Walzen liegt ein langes rauhes Brett (Masse 2m), auf welchem eine weitere homogene Walze (Masse 3m, Massenträgheitsmoment Θ3 , Radius 2r) rollt. Eine der Walzen ist wie abgebildet durch ein Seil mit einem Klotz (Masse M ) verbunden und wird dadurch die schiefe Ebene hinaufgezogen, wobei das dehnstarre und stets gespannte Seil über eine Umlenkrolle (Massenträgheitsmoment Θ2 , Radius r) geführt wird. Die Anordnung bewegt sich, wobei es an keiner Stelle zum Rutschen kommt. a) Zeichnen Sie geeignete Freikörperbilder der 6 Körper. b) Stellen Sie alle Gleichungen auf, die nötig sind um die Beschleunigung ẍ3 des Bretts in der skizzierten Lage in Abhängigkeit der gegebenen Größen zu ermitteln. Hinweis: Es genügt, die Gleichungen aufzustellen. Das entstehende Gleichungssystem soll nicht aufgelöst werden! Gegeben: m, M , Θ1 , Θ2 , Θ3 , r, α, g Kurzlösung: a) Freikörperbilder H5 N5 S1 N4 3mg S1 S2 H4 H2 H3 H5 N5 2mg mg N2 N3 Mg H1 mg N1 b) Kinematik: ẋ1 ẋ3 ẋ2 ẋ6 ẋ2 = ẋ2 = rϕ̇1 = rϕ̇2 = 2rϕ̇1 = ẋ5 = ẋ3 + 2rϕ̇6 = rϕ̇4 Kinetik: Körper 1: տ: mẍ1 = H1 − H2 − mg sin α : ϕ̈1 Θ1 = −(H1 + H2 )r Körper 2: տ: mẍ2 = H3 − H4 − mg sin α + S : ϕ̈2 Θ1 = −(H3 + H4 )r Körper 3: տ: 2mẍ3 = H2 + H4 − H5 − 2mg sin α Körper 4: : ϕ̈4 Θ2 = r(S2 − S1 ) Körper 5: տ: M ẍ5 = M g − S2 Körper 6: : ϕ̈6 Θ3 = −2rH5 տ: 3mẍ6 = H5 − 3mg sin α 4. Aufgabe: (TM4) 1 2 ρ, G, IT , Ip ϑ(x, t) MT MT + ∂MT dx ∂x dΘ dx x l Ein homogener Torsionsstab mit konstanter Querschnittsfläche (Länge l, Dichte ρ, Schubmodul G, Torsionsträgheitsmoment IT , polares Flächenträgheitsmoment Ip ) ist wie in Abbildung 1 dargestellt am linken Ende fest eingespannt und führt eine freie Torsionsschwingung aus. Dabei erfahren die Querschnitte eine Verdrehung ϑ(x, t) um die x-Achse. a) Nutzen Sie Abbildung 2 um die Wellengleichung für das dargestellte Torsionsstabelement in Abhängigkeit von ϑ(x, t) zu formulieren. Verwenden Sie hierzu das Massenträgheitsmoment ∂ϑ dΘ = ρIp dx und das Elastizitätsgesetz MT = GIT . Wie lautet die Wellenfortpflanzungsge∂x schwindigkeit c für die Drehschwingung im Torsionsstab? b) Formulieren Sie die Randbedingungen für den Torsionsstab in Abbildung 1. c) Die d’Alembertsche Lösung der eindimensionalen Wellengleichung lautet ϑ(x, t) = f1 (x − ct) + f2 (x + ct). π x ausgelenkt. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Torsionsstab um ϑ0 (x) = ϑA sin 2l Für die Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0 gilt ϑ̇0 (x) = 0. Berechnen Sie f1 und f2 zum Zeitpunkt t = 0. Gegeben: l, ρ, G, IT , Ip , ϑA Kurzlösung: a) c= s GIT ρIp b) ϑ(x = 0, t) = 0 ϑ′ (x = l, t) = 0 c) 1 π f1 (x, t = 0) = ϑA sin( x) 2 2l π 1 f2 (x, t = 0) = ϑA sin( x) 2 2l 5. Aufgabe: (TM4) g m ϕ m A R 4m m m Q c l + ∆l0 Ein um A drehbares Speichenrad besteht aus drei Speichen (homogene Stäbe der Länge R, Masse jeweils m), einer kreisförmigen, homogenen, dünnen Felge (Radius R, Masse 4m), sowie einer Punktmasse (Masse m), die am Ende einer Speiche angebracht ist. Im Punkt Q ist eine Feder (Steifigkeit c) befestigt, die stets vertikal ausgerichtet ist. Die natürliche Länge der Feder ist l. In der Gleichgewichtslage ϕ0 = 0 ist die Feder um eine positive Länge ∆l0 vorgespannt. a) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment ΘA des Speichenrades bezüglich des Punktes A. b) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Systems auf. c) In welchem Intervall muss der Wert von gewichtslage möglich ist? mg liegen, damit im Intervall 0 < ϕ < π eine GleichcR d) Linearisieren Sie die Bewegungsgleichung um die Gleichgewichtslage ϕ0 = 0. Wie groß muss ∆l0 mindestens sein, damit Schwingungen möglich sind? Wie hängt die Schwingungsdauer T von der Vorspannung ∆l0 ab? Hinweis: Die Aufgabenteile c) und d) können unabhängig voneinander bearbeitet werden. Gegeben: l, ∆l0 , R, m, c, g Kurzlösung: a) ΘA = 6mR2 b) ΘA ϕ̈ = mgR sin ϕ − c (∆l0 + (1 − cos ϕ)R) R sin ϕ c) ∆l0 mg ∆l0 < < +2 R cR R d) ∆l0 > mg c T =r 2π c∆l0 g − 6mR 6R 6. Aufgabe: (TM4) m2 x2 g H c1 c2 ϕ x3 NN R Θ m3 c3 Die abgebildete homogene Kreisscheibe besitzt das Massenträgheitsmoment Θ und ist in ihrem Schwerpunkt drehbar gelagert. Die drei Federn mit den Federsteifigkeiten c1 , c2 , c3 sind frei drehbar an der Scheibe angebracht. Die Querkraftgelenke an den Federn bewirken, dass die Feder mit der Steifigkeit c3 stets horizontal ausgerichtet ist, während die beiden anderen Federn (Steifigkeiten c1 und c2 ) stets vertikal ausgerichtet sind. a) Berechnen Sie die potentielle Energie Epot und die kinetische Energie Ekin des Systems in Abhängigkeit der Koordinaten ϕ, x2 , x3 und bezüglich des angegebenen Nullniveaus für große Winkel −π/2 < ϕ < π/2. b) Wie lautet dann die Lagrangefunktion? Hinweis: Die Gleichungen in den folgenden Aufgabenteilen c) und d) entsprechen nicht der Lösung aus den jeweils vorangegangenen Aufgabenteilen. c) Ermitteln Sie anhand der folgenden Lagrangefunktion 1 3 L = m x˙3 2 + x˙2 2 + 4R2 ϕ̇2 − mgR (1 − sin(ϕ)) − sin2 (ϕ)R2 c − sin(ϕ)Rc (x2 − x3 ) 2 2 1 − c x22 + x23 2 die Bewegungsgleichungen für ϕ, x2 , x3 . d) Durch den Bruch der Feder mit der Federsteifigkeit c3 entsteht ein System mit zwei Freiheitsgraden. Die Bewegungsgleichungen lauten dann √ 1 mR2 ϕ̈ + 2R2 cϕ + 2cRx2 − 2mgR = 0 , 2 √ 2mẍ2 + 2cRϕ + cx2 = 0 . Bringen Sie die Bewegungsgleichungen in Matrixform und berechnen Sie die Eigenfrequenzen. Gegeben: c1 , c2 , c3 , Θ, m2 , m3 , R, H , g , N N für c) und d) c, m Kurzlösung: a) Potentielle Energie Epot = m2 g (H + x2 ) + + 1 2 c2 (x2 + sin ϕ R) 2 1 1 2 c1 sin2 ϕ R2 + c3 (x3 − sin ϕ R) − m3 g R 2 2 Kinetische Energie Ekin = 1 Θϕ̇2 + m2 ẋ22 + m3 ẋ23 2 b) Lagrange-Funktion 1 Θϕ̇2 + m2 ẋ22 + m3 ẋ23 − m2 g (H + x2 ) 2 1 − c2 x22 + 2 x2 sin ϕ R + sin2 ϕ R2 1 2 1 − c3 x23 − 2 x3 sin ϕ R + sin2 ϕR2 + m3 g R 2 L= c) Bewegungsgleichung für ϕ 4 m R2 ϕ̈ − m g R cos ϕ + 3 R2 c sin ϕ cos ϕ + cos ϕ R c (x2 − x3 ) = 0 Bewegungsgleichung für x2 mẍ2 + sin ϕ R c + c x2 = 0 Bewegungsgleichung für x3 mẍ3 − sin ϕ R c + c x3 = 0 d) Bewegungsgleichungen in Matrixform 2 1/2 m R 0 0 2m 9c , 2m " 2 ϕ̈ 2R c + √ ẍ2 2cR Eigenfrequenzen ω12 = ω22 = 0 √ 2cR c # ϕ 2mgR = x2 0
