Theoretische Physik I Klassische Theoretische Physik

Theoretische Physik I
Klassische Theoretische Physik
P. Ring
Fakultat fur Physik
Technische Universitat Munchen
D-85748 Garching, Germany
Winter-Semester 1997/98
20. Februar 1998
Literatur zur Mechanik
T. Fliebach, Mechanik, B.I.-Verlag, Mannheim 1991
F. Scheck: Mechanik, Springer Verlag, Heidelberg 1988
L.D. Landau - E.M. Lifschitz: Lehrbuch der Theoretischen Physik I, Mechanik, Akademieverlag,
Berlin 1967
H. Goldstein: Klassische Mechanik, Akademiegesellschaft, Frankfurt 1963
V.I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer Verlag, New York 1978
E. Klingbeil: Vektor- und Tensorrechnung fur Ingenieure, Hochschultaschenbucher, Bibliographisches Institut, Mannheim
1
Einleitung zur Mechanik
\Die Mechanik ist die Wissenschaft von der Bewegung. Als ihre Aufgabe bezeichnen wir, die
in der Natur vorkommenden Bewegungen vollstandig und auf die einfachste Weise zu beschreiben."
Mit diesen Worten beginnt Gustav Robert Kirchho (1824-1887) seine Vorlesung uber Mechanik.
Diese Denition ist bis heute gultig. Allerdings ist sie so weit, da sie u ber den Sto der vorliegenden
Vorlesung hinausgeht und auch Prozesse des Mikrokosmos einschliet, die durch die Quantenmechanik
beschrieben werden.
Tatsachlich ist die klassische Mechanik auch nur ein Grenzfall dieser weitergehenden Theorie, und
man stellt sich daher die Frage, warum man die Reihe der Kursvorlesungen uber Theoretische Physik
nicht mit dieser Theorie beginnt. Abgesehen davon, da es gelegentlich Versuche gab und immer
wieder gibt, so vorzugehen, existieren doch eine Reihe von wesentlichen Grunden dazu, dies nicht zu
tun, namlich historische, padagogische, praktische und schlielich auch prinzipielle.
Herkommlicherweise umschliet die klassische Mechanik die Bewegung von einzelnen und endlich
vielen Massenpunkten, sowie die des starren Korpers, also, wie wir sehen werden, Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden. Der Begri klassisch grenzt dabei ab zur Quantenmechanik. Er schliet
jedoch die spezielle Relativitatstheorie ein. Ausgeklammert werden gewohnlich auch die Statistische
Mechanik, die es mit sehr vielen Freiheitsgraden zu tun hat, und die Kontinuumsmechanik.
Isaak Newton (1643-1727) hat in seinem Buch \Philosophia naturalis principia mathematica" die
erste systematische geschlossene Theorie der Mechanik aufgestellt (1689). Auf sie geht die heutige
Lehre der Mechanik im wesentlichen zuruck. Gewi existieren Vorganger und auch nach ihm gab es
noch bedeutende Entwicklungen, doch bis zu Einstein wurde an den Prinzipien der Newtow'schen
Mechanik nicht mehr geruhrt.
Wegbereiter der Newton'schen Mechanik sind Galileo Galilei (1584-1642) und Johannes Kepler
(1572-1630), die ihrerseits auf den Schultern von Nikolaus Kopernikus (1473-1543) stehen. Sie sind
reine Mechaniker, indem sie nicht versuchen, die Ursache der Krafte zu ergrunden, sondern sich damit
begnugen, ihre Wirkung zu beschreiben.
Nach Newton lassen sich drei Stufen der Entwicklung erkennen: Auf der ersten, die bis in die
Mitte des neunzehnten Jahrhunderts reicht, sind vor allem Mathematiker am Werk, die den Inhalt der
Newton'schen Mechanik ganz zur Entfaltung brachten: Daniel Bernoulli (1700-1782), Leonhard Euler
(1707-1783), Jean le Rond D'Alembert (1717-1783), Joseph Louis Lagrange (1736-1813), Sir William
Rowan Hamilton (1805-1865) und Karl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851).
In der zweiten wendet man sich mehr den Grundlagen zu, insbesondere dem Begri der Kraft:
G.R. Kirchho, Heinrich Hertz (1857-1894) und Ernst Mach (1836-1916).
In eine ganz neue Richtung, d.h. eine Erweiterung der Newton'schen Mechanik weist die dritte
Stufe, die Relativitatstheorie von Albert Einstein (1879-1955). Sie erweiterte die Begrie von Raum
und Zeit, die der Newton'schen Mechanik zugrunde liegen.
2
Kapitel 1
Newtonsche Mechanik
Die Newton'sche Mechanik geht von folgenden Axiomen aus:
A) Der Raum ist dreidimensional euklidisch, die Zeit ist eindimensional und ausgerichtet. Raum und
Zeit sind absolut.
B) Unter den moglichen Koordinatensystemen gibt es ausgezeichnete Systeme, sogenannte Inertialsysteme mit folgenden Eigenschaften:
Alle Naturgesetze sind die gleichen in allen Inertialsystemen
Alle Systeme, die sich gleichformig gegen ein Inertialsystem bewegen, sind selbst Inertialsysteme
C) In Inertialsystemen gilt das Grundgesetz von Newton: Anfangsorte und Anfangsgeschwindigkeiten
bestimmen die Bewegung eindeutig und fur alle Zeiten.
Diese Axiome gehen auf experimentelle Beobachtungen zuruck und sind insofern durch die experimentelle Genauigkeit in ihrer Gultigkeit beschrankt. Die Annahme der Absolutheit von Raum und
Zeit ist in Grunde nicht durch Experimente belegt und wurde spater von Einstein aufgegeben.
Im Folgenden sollen diese Axiome nun genauer erlautert werden.
1.1 Raum und Zeit
Die grundlegenden Berie der Mechanik sind Raum und Zeit. Newton betrachtete sie als nicht weiter
zuruckfuhrbare, absolute, von der Erfahrung unabhangige, unserem Erkenntnisvermogen von vornherein einsichtige (`evidente') Anschauungskategorien. Er schreibt:
\Der absolute Raum bleibt vermoge seiner Natur und ohne Beziehung auf einen aueren
Gegenstand stets gleich und unbeweglich."
\Die absolute, wahre und mathematische Zeit veriet an sich und vermoge ihrer Natur
gleichformig und ohne Beziehung auf irgend einen aueren Gegenstand. Sie wird mit dem
Namen Dauer belegt."
3
Abbildung 1.1: Normiertes orthogonales Dreibein als Basissystem im R3 .
Der Raumbegri Newtons umschliet also die folgenden Aussagen:
1. Der Raum ist dreidimensional. Er hat Hohe, Breite und Tiefe.
2. Der Raum ist unbegrenzt in jeder der drei Richtungen und erstreckt sich ins Unendliche.
3. Die materiellen Korper fullen gewisse Gebiete des Raumes aus.
4. Der Raum ist euklidisch, d.h. wenn wir drei Korper A, B und C haben, dann gilt fur ihre
Abstande a, b und c: c2 = a2 + b2 2ab cos .
5. Die Korper konnen sich im Raum bewegen. Dabei macht es Sinn, von einem Zustand der Ruhe,
bzw. der Bewegung des Korpers gegenuber dem absoluten Raum zu sprechen.
Den absoluten Raum erlauterte Newton durch seinen beruhmten Eimerversuch. Er wei allerdings auch, da der Zustand der Ruhe gegenuber dem der gleichformigen geradlinigen Bewegung mit
konstanter Geschwindigkeit nicht zu unterscheiden ist (Galilei'sches Relativitatsprinzip).
Der Newton'sche Zeitbegri beinhaltet insbesondere:
1. Das Dahinstromen der Zeit ist unabhangig von allen physikalischen Veranderungen.
2. Jedem Ereignis kommt eine wohlbestimmte absolute Zeit zu.
3. Gleichzeitige Ereignisse sind also fur alle Beobachter (seien sie ruhend oder bewegt) gleichzeitig.
Albert Einstein hat im Jahre 1905 mit seiner speziellen Relativitatstheorie diese Annahmen uber
die Stuktur von Raum und Zeit einer kritischen Analyse unterworfen und gefunden, da sie im Widerspruch zu gewissen Experimenten stehen. Er hat sie deshalb abgeandert und die relativistische
Mechanik eingefuhrt.
Der Raum lat sich also in der Newton'schen Mechanik durch ein Euklidisches Koordinatensystem
beschreiben. Es ist durch die Angabe eines Ursprungs und dreier orthogonaler Einheitsvektoren ex,
ey , ez (bzw. e1 , e2, e3) und einer Langeneinheit (Mevorschrift) gegeben. Ein raumlicher Vektor ist
4
Abbildung 1.2: Die Trajektorie eines Massenpunktes im dreidimensionalen Ortsraum und im vierdimensionalen
Ereignisraum.
durch die Angabe des Zahlentripel (x1 ; x2 ; x3 ), der Koordinaten in Bezug auf die Basisvektoren (e1 ,
e2, e3) gegeben. Die Zeit ist durch die Angabe eines Zeitursprungs und eine Zeiteinheit festgelegt.
Als Ereignis bezeichnet man einen Punkt in der vierdimensionalen Welt von Raum und Zeit, der
durch die Koordinaten (r,t) festgelegt ist.
1.2 Der Massenpunkt
Wir nennen einen Gegenstand oder ein Teilchen einen Massenpunkt, wenn wir seinen Bewegungsablauf
vollstandig durch drei von der Zeit abhangige Raumkoordinaten r(t) = (x(t); y(t); z (t)) beschreiben
konnen.
r(t) stellt also eine Kurve im dreidimensionalen Raum dar, die durch den Parameter t charakterisiert ist. Man nennt diese Kurve eine Trajektorie. Im vierdimensionalen Ereignisraum konnen wir eine
entsprechende Trajektorie (eine Weltlinie) (x( ); y( ); z ( ); t( )) denieren. Dabei ist ein Bahnparameter, der dem Ablauf der Zeit charakterisiert, z.B die Eigenzeit, wie sie auf einer mit dem Korper
mitgefuhrten Uhr angegeben ist. t ist die vom ruhenden Beobachter aus gemessene Zeit, so wie r
der vom ruhenden Beobachter aus gemessene Ortsvektor ist. Ein linearer Zusammenhang = t + besagt dann, da die Zeit gleichformig ablauft und unabhanigig vom Beobachter ablauft.
Der Begri des Massenpunktes ist eine Idealisierung und es hangt von der Fragestellung ab, ob
wir einen Gegenstand in ausreichender Naherung als Massenpunkt ansehen konnen. So ist unsere Erde
bezuglich ihrer Bewegung um die Sonne als Massenpunkt idealisierbar, bezuglich der Rotation um die
eigene Achse aber nicht.
Beispiele fur derartige Bahnkurven:
die geradlinig gleichformige Bewegung:
r(t) = r0 + v0t;
(1.1)
r(t) = (R cos(!t + '0 ); R sin(!t + '0 ); 0)
(1.2)
die kreisformige Bewegung
5
die Wurfparabel
r(t) = (x0 + vxt; 0; z0 + vz t 12 gt2 )
(1.3)
Man kann die Bahnkurven auch in anderen Koordinaten ausdrucken, z.B. bei der gleichformigen
Bewegung in Kugelkoordinaten:
r(t) = R;
(t) = 90 ;
'(t) = !t + '0 :
(1.4)
In manchen Fallen ist die Bewegung nicht im ganzen dreidimensionalen Raum R3 moglich, wie
z.B. die Bewegung auf der Oberache einer Kugel. Die Gesamtheit aller moglichen Ortsvektoren
bildet im allgemeinen eine Mannigfaltigkeit und die Bewegungstrajektorie ist eine Kurve auf dieser
Mannigfaltigkeit.
Der Geschwindigkeitsvektor
dy dz v = ddtr = dx
dt ; dt ; dt = r_ ;
(1.5)
ist der Tangentialvektor an die Bahnkurve und liegt daher im Tangentialraum an die Mannigfaltigkeit
der Ortsvektoren an der Stelle r. Bei der Bewegung auf der Oberache einer Kugel ist dieser Tangentialraum ein R2 . Die Mannigfaltigkeit selbst ist zweidimensional, kann aber nicht mehr durch kartesische
Koordinaten charakterisiert werden. Man mu dann verallgemeinerte Koordinaten einfuhren. Wir werden darauf in einzelnen im nachsten Kapitel zuruckkommen.
1.3 Das Bewegungsgesetz
In der Mechanik interessiert es uns nun, die Bewegung eines Massenpunktes r(t) (oder mehrerer
Massenpunkte) vorherzuberechenen. Dazu genugt es zu einem festen Zeitpunkt t0 alle Ableitungen
der Funktionen r(t) zu kennen; denn dann ist
2 d
r
r(t) = r(t0 ) + (t t0) dt + 21 (t t0)2 ddt2r + : : :
(1.6)
t=t
t=t
Im allgemeinen kennen wir naturlich nicht beliebig hohe Ableitungen von r(t). Wir konnen jedoch ein
Bewegungsgesetz ableiten, falls wir die ersten n 1 Ableitungen kennen und die n-te Ableitung durch
die ersten n 1 Ableitungen ausdrucken konnen.
dnr = f (r; dr ; : : : ; d(n 1) r ; t)
(1.7)
dtn
dt
dt(n 1)
Nach dem Axiom (C) folgt nun, da in der klassischen Mechanik n = 2 ist, d.h. insbesondere, da
die Bewegung des Massenpunktes bekannt ist, falls man zu einem Zeitpunkt t0 den Ort r und die
0
0
Geschwindigkeit v festlegt. Dann mu eine Zusammenhang der folgenden Form existieren
r = a(r; r_ ; t)
es ist ublich Ableitungen nach der Zeit durch Punkte auszudrucken
6
(1.8)
Im allgemeinen zieht man einen konstanten Parameter m heraus und schreibt
mr = F(r; r_ ; t)
(1.9)
Der zeitlich konstante skalare Parameter m heit die trage Masse des Massenpunktes. Die Vektorgroe F bezeichnet man als Kraft. Damit zerlegt man die die Bewegungsgleichung charakterisierende
Funktion f in einen Anteil, der nur mit dem Massenpunkt zu tun hat und einen Teil, der von auen
an dem Massenpunkt wirkt.
Bei einem einzigen Massenpunkt ist diese Aufteilung an sich nicht besonders sinnvoll. Die Einfuhrung dieser skalaren Groe kann man aber durch die Beobachtung rechtfertigen, da bei einer
Vergroerung eines Korpers um den Faktor q in der Bewegungsgleichung die Masse m im allgemeinen
mit q zu multiplizieren ist. Dies gilt zum Beispiel bei Federkraften. Es ist sicherlich nicht richtig bei
Kraften die selbst von der `Groe' des Korpers abhangen, wie es z.B. bei der Schwerkraft der Fall ist.
Auf diese Weise sind Krafte und Massen rein empirisch und induktiv eingefuhrt. Dies entspricht
genau der Mechanik als Theorie der Bewegung.
Eine andere Moglichkeit ware es zu denieren:
Kraft ist, was eine Feder dehnen kann,
Masse ist eine Groe, die im Gravitationsfeld eine Kraft erfahrt (schwere Masse) und trage Masse
ist gleich schwere Masse.
Es gibt Ausnahmen von dieser Regel (z.B. Strahlungsdampfung), wo die dritte zeitliche Ableitung
in der Bewegungsgleichung steht (n = 3). Diese waren freilich Newton noch nicht bekannt.
1.4 Die Newton'schen Gesetze
Newton formulierte seine Bewegungsgesetze in axiomatischer Form. Zunachst die lex prima:
\Jeder Korper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichformig geradlinigen
Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Krafte gezwungen wird, seinen Bewegungszustand zu andern."
`Korper' ist dabei Massenpunkt. Mathematisch heit dies, da ohne Krafte die `Bewegungsgroe'
mv = p konstant ist.
Das eigentliche Bewegungsgesetz ist in der lex secunda enthalten:
\Die A nderung der Bewegungsgroe ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional
und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt."
Mathmatisch formuliert heit dies:
und bei konstanter Masse folgt daraus
dp = F;
dt
(1.10)
mv_ = F
(1.11)
7
Abbildung 1.3: Die eindimensionale Feder im Ruhezustand und im ausgedehnten Zustand.
Dies gilt nicht bei zeitabhangigen Massen, wie zum Beispiel bei Raketenproblemen, in der Relativitatstheorie, oder in rotierenden Systemen.
Die lex tertia ermoglicht den U bergang von der Mechanik des einzelnen Massenpunktes zu der
zusammengesetzter Systeme:
Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich; oder, die Wirkungen zweier Korper aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung
Dieses Gesetz liegt der gesamten Statik von Baukonstruktionen zugrunde. Es gilt nicht bei magnetischen Kraften.
Schlielich hat Newton in ein viertes Gesetz in einem Corollarium formuliert
Jede Kraft bewirkt an dem Korper die ihr zukommende Bewegungsanderung unabhangig
davon ob auch andere Krafte gleichzeitig wirken.
Mathematisch gesprochen ist dies aquivalent mit der Vektoraddition der Krafte oder dem Superpositionsprinzip.
Im Folgenden betrachten wir nun einige Beispiele fur Krafte:
die eindimensionale Feder (Hook'sches Gesetz):
F = C (x x0 ):
(1.12)
Dabei ist C die Federkonstante und x0 die Ruhelage der Feder.
die dreidimensionale harmonische Kraft:
F = C r;
die Gravitationskraft im Feld einer Masse M am Koordinatenursprung
F = G mM r :
(1.13)
(1.14)
r2 r
Dabei ist M die Masse der Sonne, G = 6:67259 0:00085 10 11 m3 kg 1 s 2 die Gravitationskonstante und m die schwere Masse des betreenden Korpers. Auf Grund der Beobachtung
wissen wir, da im allgemeinen die schwere und die trage Masse einander gleich sind.
8
Die Gravitationskraft in der Nahe der Erdoberache:
F = mg;
g = (0; 0; g);
(1.15)
wobei g = GM=R2 die Erdbeschleunigung und M und R die Erdmasse und der Erdradius sind.
Reibungskrafte: Haftreibung und Gleitreibung (im allgemeinen abhangig von der Geschwindigkeit v).
Zwangskrafte
Die Bewegungsgleichung
mr = F(r; r_ ; t)
(1.16)
ist eine Dierentialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit. Die Losung ist als festgelegt durch Angabe
von Anfangsort r0 und Anfangsgeschwindigkeit v0 . Als Beispiel betrachten wir die Bewegungsgleichung
eines Massenpunkts im Schwerefeld und berechnen die Wurfparabel.
mr = mg
(1.17)
Dies ist eine gewohnliche Dierential-Gleichung zweiter Ordnung in der Zeit fur einen dreidimensionalen Vektor r. Zu ihrer Integration benotigt man deshalb zwei vektorielle Konstanten, z.B. den
Anfangsort r0 = r(t = 0) und die Anfangsgeschwindigkeit v0 = v(t = 0). Die Integration dieser
Dierentialgleichung ist besonders einfach. Man erhalt durch sukzessives Integrieren:
r_ = gt + v0
r = 12 gt2 + v0 t + r0
(1.18)
(1.19)
Oft ist es zweckmaig, den Phasenraum einzufuhren. er besteht aus den sechsdimensionalen Vektoren
!
p
x = r
(1.20)
Im Phasenraum haben wir dann eine Bewegungsgleichung erster Ordnung in der Zeit
x_ =
p_
r_
!
=
F(r; p=m; t)
p=m
!
= F (x; t):
(1.21)
Die Trajektorie im Phasenraum ist deshalb bereits durch den Anfangspunkt x0 = (p0 ; r0 ) festgelegt
und durch jeden Punkt im Phasenraum geht nur eine Trajektorie.
1.5 Inertialsysteme
Bisher haben wir uns auf ein System mit festem Ursprung bezogen. Die Aussage, da sich ein Korper
ohne Einwirkung auerer Krafte geradlinig und gleichformig bewegt, gilt aber nicht mehr, wenn wir
9
Abbildung 1.4: Transformation in bei gleichformig bewegtes Bezugsystem.
in ein beliebig bewegtes System gehen, z.B. ein rotierendes System. Dann ist die Bewegung auch ohne
auere Krafte nicht mehr geradlinig und gleichformig.
Es gibt jedoch Ausnahmen: Es gibt bewegte Koordinatensysteme, in denen sich Korper ohne
Einwirkung auerer Krafte weiterhin geradlinig gleichformig bewegen. Solche Systeme nennen wir
Inertialsysteme
Es gilt nun folgender Satz: Falls K ein Inertialsystem ist, dann ist auch jedes mit konstanter
Geschwindigkeit w gegenuber K bewegtes System K0 ein Inertialsystem. Es gilt namlich folgender
Zusammenhang zwischen den Koordinaten r0 im bewegten System und den Koordinaten r im ruhenden
System: (Galilei-Transformation):
r0 = r w t
(1.22)
Die Zeit ist nach Newton absolut, d.h. t0 = t, und somit erhalten wir fur die zweiten Ableitungen
folgenden Zusammenhang:
r0 = r
(1.23)
Falls ein Korper im System K sich geradlinig und gleichformig bewegt (r = 0), dann tut er es also
auch im bewegten System K0 (r0 = 0).
1.6 Der Drehimpuls
Neben dem Impuls p eines Teilchens kann man den Drehimpuls
l = r p;
(1.24)
denieren und neben der Kraft ein Drehmoment
M = r F = r dtd p
(1.25)
d l = d (r p) = v p + r p_ = M
dt
dt
(1.26)
Beides sind axiale Vektoren (auch Pseudo-Vektoren genannt), da sie bei Raumspiegelung (r ! r) ihr
Vorzeichen nicht andern (l ! l), wie man es von einem Vektor erwarten sollte. Fur den Drehimpuls
gilt folgende Bewegungsgleichung:
10
Abbildung 1.5: Die Arbeit ist proportional zur Projektion der Kraft auf den Weg
Es besteht also eine enge Analogie zwischen Impuls und Drehimpuls, sowie Kraft und Drehmoment.
1.7 Arbeit und Energie
1.7.1 Der Begri der Arbeit
Wir beschranken uns wieder auf einen Massenpunkt. Die physikalische Arbeit W ist deniert als
Skalarprodukt aus `Kraft mal Weg'
W =Fs
(1.27)
oder innitesimal
dW = F ds
(1.28)
d.h. insbesondere, da nur eine Verschiebung s in Richtung der Kraft Arbeit leistet. Verschiebungen
senkrecht zur Kraft leisten keine Arbeit.
Aus dem Superpositonsprinzip folgt bei mehreren Kraften F1 und F2 .
dW = dW1 + dW2 = F1 ds + F2 ds
(1.29)
Andererseits gilt, wenn man zwei Verschiebungen hintereinander ausfuhrt
dW = F ds1 + F ds2
(1.30)
Wenn man also einen Massenpunkt in einem Kraftfeld F(r) von einem Punkte 1 zu einem Punkt 2
bewegt, so leistet das Systemy langs der Kurve r(t) die Arbeit z
Z2
W (1; 2) = F(r) dr:
1
(1.31)
Bei Umlauf um eine geschlossene Kurve C erhalten wir also
I
W = F dr
C
(1.32)
Die vom System geleistete Arbeit wird positiv gezahlt
Das Linienintegral langs einer Kurve in der Parameterdarstellune r(s) lat sich als eindimensionales Integral auswerten mit Hilfe der Relation: dr = r0 ds, wo r0 = dr=ds
y
z
11
Abbildung 1.6: Falls die Arbeit W auf geschlossenen Wegen verschwindet, ist das Kraftfeld konservativ
1.7.2 Das Potential und konservative Kraftfelder
Ein konservatives Kraftfeld ist dadurch deniert, da die Arbeit langs beliebiger geschlossener Kurven
verschwindet:
I
F(r) dr = 0:
(1.33)
In diesem Fall hangt die Arbeit W (1; 2) nicht von dem Weg ab, auf dem man vom Punkt 1 zum Punkt
2 gelangt:
Z
Z
Z
I
Z
=
+
=
+ :
(1.34)
C1
C1 C2
C2
C2
Bei festem Punkt 2 ist also W (1; 2) = W (r1 ; 2) eine Funktion, die nur von r1 abhangt. Falls
F(r) weit auen verschwindet, legt man oft den Punkt 2 nach 1 und erhalt dann das Potential des
konservativen Kraftfelds F(r):
V (r) =
Z1
r
F(r0) dr0
(1.35)
V (r) ist also die vom System geleistete Arbeit, wenn man den Massenpunkt vom Punkte r nach 1
bewegt. Anstelle von unendlich kann man auch einen anderen Referenzpunkt wahlen. Das so denierte
Potential andert sich dadurch um eine additive Konstante.
Als Beispiel betrachten wir das Kraftfeld F(r) = C r. Wie wir unten sehen werden, ist dieses
Kraftfeld konservativ. Das dazugehorige Potential ist gegeben durch
V (r ) =
Zr
0
F(r0) dr0 + const: = C
Zr
0
rdr + const = C2 r2 + const:
(1.36)
Die Arbeit W (1; 2), die das System bei der Bewegung von Punkt 1 nach Punkt 2 leistet, ist durch
die Dierenz der Potentiale gegeben:
W (1; 2) = V (r1 )
V (r2 )
(1.37)
Falls V (r) bekannt ist, kann man daraus das Kraftfeld bestimmen. Dazu wahlen wir dr so klein,
da F zwischen r und r + dr konstant ist. Dann gilt einerseits nach Taylor
@V
@V
V (r + dr) V (r) = @V
@x dx + @y dy + @z dz = rV dr
12
(1.38)
und andererseits
Z
r+dr
V (r + dr) V (r) =
r
F(r0) dr0 = F dr
(1.39)
Da dr beliebig ist, ergibt sich das Kraftfeld F(r) als negativer Gradient des Potentials
Insbesondere folgt daraus
F = gradV = rV
(1.40)
rotF = 0
(1.41)
fur ein konservatives Kraftfeld F(r). Umgekehrt ist ein Kraftfeld, dessen Rotation verschwindet, konservativ; denn nach den Satz von Stokes gilt dann
I
C
Z
F dr = rotF dA = 0
S
(1.42)
wobei C eine beliebige geschlossene Kurve und S ein Oberachenstuck ist, das von C berandet wird.
Als Beispiel betrachten wir die harmonische Kraft F = C r. Sie lat sich aus dem dreidimensionalen Oscillator Potential
V (r) = 21 Cr2
(1.43)
ableiten. Ein weiteres Beispiel ist die Gravitation einer Masse m im Feld der Masse M am Punkte
r = 0 mit dem Potential
(1.44)
V (r) = G mM
r
und dem zugehorigen Kraftfeld
r
F(r) = G mM
2
r r
(1.45)
F(r = r0) = gradV (r = r0) = 0
(1.46)
Ein System ist an einem Punkt r0 im Gleichgewicht, wenn an diesem Punkt die Kraft verschwindet.
Bei einem konservativen System heit dies
d.h. r0 ist ein stationarer Punkt in der Potentialache V (r).
1.7.3 Die kinetische Energie
Ein Teilchen, das sich in einem aueren Kraftfeld frei bewegt, wird beschleunigt. Die Arbeit, die an
ihm vom Feld zwischen den Punkten 1 und 2 geleistet wird ist
Z
(1.47)
F dr = mv_ dr = mv_ vdt = m2 dtd v2 dt = m2 (v22 v12 ) = T2 T1
1
1
1
1
wobei T = m2 v2 die kinetische Energie ist. Die geleistete Arbeit ist also gleich der A nderung der
Z2
Z2
Z2
2
kinetischen Energie. Im konservativen System ist also
T2 T1 = V1 V2
13
(1.48)
Abbildung 1.7: Stabile, labile, und metastabile Gleichgewichtspunkte in der Energieache.
Das heit die Energie
E = T + V:
(1.49)
ist bei konservativen Systemen erhalten. Man nennt sie eine Erhaltungsgroe. Dies bedeuted allerdings
nicht, da bei geschwindigkeitsabhangigen Kraften keine Energieerhaltung existiert (z.B. Magnetfeld).
1.7.4 Die Leistung
Bewegt man einen Massenpunkt in einem aueren Kraftfeld F(r) so ist die Leistung die dieses Feld
erbringt, deniert als die in der Zeiteinheit geleistete Arbeit
dW = F ds = v F
dt
dt
(1.50)
Man erhalt also die Leistung als skalares Produkt von Geschwindigkeit und Kraft.
1.8 Mehrteilchen-Systeme
1.8.1 Die Bewegungsgleichungen
Eine Anzahl von N Massenpunkten, die miteinander in Wechselwirkung stehen, nennt man ein mechanisches System von N Teilchen. Es wird beschrieben durch die N Trajektorien r1 (t); : : : ; rN (t) im
dreidimensionalen Raum oder durch eine einzige Trajektorie (r1 ; : : : ; rN )(t) in einem 3N -dimensionalen
Raum. Man nennt das System abgeschlossen, wenn man in ausreichender Naherung den Einu aller
anderen Objekte in der Welt auf das betrachtete mechanische System auer acht lassen darf.
Wir wollen wieder von dem Axiom ausgehen:
\Jedes mechanische System ist in seinem Bewegungsablauf eindeutig bestimmt, wenn die
Koordinaten und Geschwindigkeiten aller Teilchen zu einem Zeitpunkt bekannt sind."
Diesem Axiom liegt die Erfahrungstatsache zugrunde, da gleichartige mechanische Systeme denselben Bewegungsablauf zeigen, wenn die Anfangskoordinaten und die Anfangsgeschwindigkeiten u bereinstimmen. Alle hoheren Zeitableitungen sind dann durch die Angabe der Koordinaten und Geschwindigkeiten vollig festgelegt. In anderen Worten: Die Bewegungsgleichungen der Mechanik sind
14
Abbildung 1.8: Zentrale Zweiteilchenkraft zwischen den Punkten i und k.Fik ist die vom Massenpunkt k auf
den Massenpunkt i ausgeubte Kraft.
Beschleunigungsgesetze:
ri = ai (r1 : : : rN ; r_ 1 : : : r_ N ; t)
fur
i = 1 : : : N:
(1.51)
Mit Hilfe der Geschwindigkeiten vi = r_ i und der Impulse pi = mi vi lat sich diese Tatsache auch in
folgender Weise formulieren:
\Die zeitliche A nderung des Impulses eines Teilchens ist gleich der auf dieses Teilchen
wirkenden Kraft"
(1.52)
p_ i = dtd mivi = Fi(r1 : : : rN ; r_ 1 : : : r_ N ; t):
Dadurch sind die Massen mi und die Krafte Fi rein empirisch zu bestimmen. Sie sind hier rein induktiv
eingefurt. Insbesondere wird dadurch keinerlei Aussage u ber die Natur der Krafte gemacht.
Je nach der Art es betrachteten Systems haben wir verschiedene Krafte zu unterscheiden:

Auere
Krafte Ki (ri ) (z.B. aueres Gravitationsfeld) wirken nur auf die einzelnen Teilchen und
bewirken eine unabhangige Bewegung dieser einzelnen Teilchen.
Innere Krafte wirken zwischen den Teilchen. Sie fuhren zu Kopplungen.
Reibungskrafte
Zwangskrafte
Bei den inneren Kraften unterscheidet man Zweiteilchenkrafte, Dreiteilchenkrafte, u.s.f. Zweiteilchenkraften hangen nur von den Koordinaten (und eventuell von den Geschwindigkeiten) der beiden
Teilchen ab und werden nicht beeinut von der Lage oder der Geschwindigkeit eines dritten Teilchens. Sehr oft hat man es mit zentralen geschwindigkeits-unabhangigen Zweiteilchenkraften zu tun.
Dann ist Fik die vom Teilchen k auf das Teilchen i ausgeubte Kraft:
Fik (ri; rk ) = Fik (rik ) rrik ;
ik
15
mit
rik = ri rk :
(1.53)
wie z.B. der Coulombkraft zwischen zwei Ladungen e1 und e2 :
Fik = er12e2 rrik :
ik ik
(1.54)
Zu diesen Kraften gibt es dann nur vom Abstand abhangige Potentiale, deniert als
Zr
0
Vik (r) = Fik (r0)dr0 ;
r
fur die gilt
(1.55)
Fik = riVik (r) mit r = jri rk j
(1.56)
und
rk = @x@ k ; @y@ k ; @z@k :
(1.57)
Wenn wir uns auf auere Krafte Ki und innere Zweiteilchenkrafte Fik beschranken haben die Bewegungsgleichungen fur das N -Teilchensystem folgende Gestalt:
m1r1 = F1 = K1 +
F12 + : : : + F1N
m2r2 = F2 = K2 + F21 +
: : : + F2N
:::
mN rN = FN = KN + FN 1 + FN 2 + : : : + FNN 1
(1.58)
Diese Gleichungen haben eine Reihe von allgemeinen Eigenschaften.
1.8.2 Der Schwerpunktssatz
Der Schwerpunkt des N -Teilchensystems ist deniert als
N
X
R= 1 mr;
wobei die Gesamtmasse M gegeben ist durch
M i=1
M=
Der Gesamtimpuls P hat die Form
P=
mit der zeitlichen Ableitung
X
i
pi =
N
X
i
(1.59)
mi
(1.60)
mivi = M R_
(1.61)
i=1
X
i i
d P = X p_ = X K + X F :
i
i
ik
dt
i
i
i6=k
(1.62)
Wegen des dritten Newton'schen Axioms verschwindet der letzte Term und wir erhalten als Bewegungsgleichung fur den Schwerpunkt
d P = M R = K
(1.63)
dt
Der Schwerpunkt R verhalt sich wie ein Massenpunkt der Gesamtmasse M , der unter der Wirkung
der Resultierenden der aueren Krafte steht
16
Abbildung 1.9: Koordinaten r bezogen auf den Ursprung und Koordinaten r bezogen auf den Schwerpunkt
0
R des Systems.
1.8.3 Der Drehimpulssatz
Aus der Summe der Einzeldrehimpulse li der Massenpunkte erhalten wir den Gesamtdrehimpuls
L=
Fur ihn gilt die folgende Bewegungsgleichung
N
X
i=1
li
(1.64)
0
1
d L = X d (r p ) = X r @K + X F A
i
i
i
i
ik
dt
i dt
i
k6=i
=
X
i
X
ri Ki + (ri rk ) Fik
(1.65)
k<i
Der letzte Term verschwindet fur zentrale Krafte (Fik jj (rk ri )). Der Rest zeigt uns, da die zeitliche
A nderung des Drehimpulses gerade durch das Gesamtdrehmoment M gegeben ist:
d L = M = XM
i
dt
i
(1.66)
ri = R + r0i
(1.67)
Die zeitliche A nderung des Gesamtdrehimpulses ist gleich dem Drehmoment aller aueren Krafte.
Alle Drehimpulse bezogen sich bisher auf den Ursprung. Man kann jedoch auch Koordinaten r0i
einfuhren, die sich auf den Schwerpunkt beziehen:
Zu ihnen gehoren die Geschwindigkeiten
vi0 = V + vi0 :
(1.68)
Dabei ist V = R_ die Schwerpunktsgeschwindigkeit und vi0 = r_ 0i . Fur den Gesamtdrehimpuls erhalten
wir dann
X
ri pi = (R + r0i) (V + vi0 )mi
i
i
X
X0
d X m r0
= R M V + ri mi vi0 + mi r0i V + R dt
i i
L =
X
i
i
17
i
(1.69)
(1.70)
P
Da sich die Koordinaten r0i auf den Schwerpunkt beziehen verschwindet i mi r0i und wir erhalten
L = R P + Lint;
(1.71)
wobei der innere Drehimpuls Lint deniert ist als
Lint =
X
i
r0i p0i
(1.72)
Der Gesamtdrehimpuls setzt sich also zusammen aus dem Drehimpuls des im Schwerpunkt konzentrierten Systems (Bahndrehimpuls) und dem Drehimpuls der Bewegung um das Massezentrum (innerer
Drehimpuls). Wir schlieen daraus, da der Gesamtdrehimpuls L vom Koordinatenursprung abhangt.
Falls der Schwerpunkt R festgehalten wird, verschwindet der erste Term.
1.8.4 Der Energiesatz
Fur zentrale Zweiteilchenkrafte konnen wir die Bewegungsgleichung des i-ten Teilchens schreiben als
miri =
ri X Vik + Ki
(1.73)
k6=i
multipliziert man diese Gleichung skalar mit r_ i , so erhalt man nach Summation u ber i:
X
X
X
X
mi r_ i ri = 12 dtd mi r_ 2i =
r_ i riVik + r_ i Ki
i
ik;i6=k
Xi
X i
=
(_ri ri + r_ k rk )Vik + r_ i Ki
i
i<k
d X V + X r_ K
dt i<k ik i i i
=
oder
1
0
X
X
d @ 1 m v2 + 1
A = X vi Ki
V
ik
i
i
dt
2
2
i
ik;i6=k
i
(1.74)
(1.75)
(1.76)
(1.77)
Wir denieren als innere Energie des Systems als die Summe aller kinetischen Energien der Massenpunkte
X
T = 21 mi vi2
(1.78)
i
und potentiellen Wechselwirkungsenergien der Zweiteilchenkrafte
V=
X
i<k
Vik
(1.79)
Gl. (1.77) lat sich dann folgendermaen ausdrucken:
d (T + V ) = X v K
i i
dt
i
(1.80)
Die zeitliche A nderung der gesamten inneren Energie ist gleich der Leistung der aueren Krafte
18
1.8.5 Abgeschlossene Systeme
In einem abgeschlossenen System verschwinden alle aueren Krafte. In diesem Falle ergeben sich
folgende Erhaltungsgroen:
Impuls Aus dem Schwerpunktssatz folgt die Erhaltung des Gesamt-Impulserhaltung:
d P = 0:
dt
(1.81)
Der Schwerpunkt bewegt sich mit gleichformiger Geschwindigkeit
R = 1 Pt + R :
M
0
(1.82)
Drehimpuls Aus dem Drehimpulssatz folgt die Erhaltung des Gesamt-Drehimpulses:
mit
d
dt L = 0:
(1.83)
L = R P + Lint
(1.84)
Energie Aus dem Energiesatz folgt die Erhaltung der Gesamt-Energie E = T + V (die innere Energie
ist jetzt identisch mit der Gesamtenergie, da keine aueren Felder existieren):
d E = 0:
dt
(1.85)
Die Groen fR0 ; P; L; E g bilden die zehn klassischen Erhaltungsgroen eines abgeschlossenen
Systems.
1.8.6 Kontinuierliche Systeme
Im Prinzip ist die Zahl der Massenpunkte N nicht begrenzt. Bei einer sehr groen Anzahl von Punkten wird man zu einer kontinuierlichen Beschreibung ubergehen. Dies fuhrt dann zur Mechanik der
Kontinua, die in dieser Vorlesung nicht behandelt werden soll. Dennoch brauchen wir auch hier fur
manche Probleme kontinuierliche Massenverteilungen, z.B. beim starren Korper. Es soll daher kurz
geschildert werden, wie man in einfachen Fallen den U bergang von einer diskreten Massenverteilung
zu einer kontinuierlichen Massenverteilung durchfuhren kann.
Die kontinuierliche Massenverteilung wird dabei in einzelne innitesimale Volumenelemente dV =
dxdydz aufgeteilt. Die Langenausdehnung eines solchen Elements sei klein gegenuber der Langenskala
auf der sich raumliche A nderungen, die wir beschreiben wollen, abspielen, d.h. die Dichte im Element
dV ist konstant. Sie sei aber dennoch gro gegen atomare Abstande, soda wir die atomare Struktur
der Materie vernachlassigen konnen.
Die Massendichte (r) am Punkte r ist dann deniert durch das Verhaltnis der Masse dM des
Volumenelements dV an der Stelle r zur Groe dieses Elements.
dM = (r)dV
19
(1.86)
Summationen u ber alle Massenpunkte werden dann ersetzt durch Integrale
X
i
Z
Z
Z
mi : : : ! dM : : : ! (r) : : : dV = (r) : : : d3 r
(1.87)
Die Gesamtmasse einer kontinuierlichen Massenverteilung die durch die Massendichte (r) gegeben
ist, erhalten als
Z
X
M = mi = (r)d3 r
(1.88)
i
Fur den Schwerpunkt ergibt sich in analoger Weise
R r(r)d3 r
R = R (r)d3 r
Den Gesamtimpuls erhalten wir als
Z
P = (r)v(r)d3 r
wobei v(r) das Geschwindigkeitsfeld am Orte r ist.
20
(1.89)
(1.90)
Kapitel 2
Lagrange'sche Mechanik
2.1 Das D'Alembert'sche Prinzip
Von Jean le Rond D'Alembert (1717 - 1783) wurde in seiner `Traite de dynamique' (1758) eine zu den
Newton'schen Gesetzen aquivalente Formulierung der mechanischen Grundgesetze aufgestellt.
Er betrachtete neben den wirklichen Lagen der Teilchen eines Systems r1 ; : : : ; rN noch andere
dagegen innitesimal verschobene Lagen r1 + r1 ; : : : ; rN + rN . Die virtuellen Verruckungen haben
nichts mit dem Bewegungsablauf zu tun. Sie werden in Gedanken angenommen um etwas uber das
System zu erfahren, und zunachst vollkommen willkurlich. Aus dem Newton'schen Bewegungsgesetz
in Gl. (1.10) folgt
X
d
Fi dt pi ri = 0
(2.1)
i
fur beliebige virtuelle Verruckungen. Andererseits folgen aus Gl. (2.1) die Newton'schen Gleichungen (1.10), da die Verruckungen ri ja beliebig sind. Beide Formulierungen der Mechanik sind also
aquivalent.
Nennen wir nun die Groe
(2.2)
Fi = dtd pi
die Tragheitskraft des Teilchens i und
X
W =
i
Fi ri ;
(2.3)
die von den Kraften Fi bei den Verruckungen ri geleistete virtuelle Arbeit, dann gilt
W + W =
X
i
(Fi + Fi ) ri = 0;
(2.4)
und das D'Alembert'sche Prinzip lat sich folgendermaen formulieren:
\Die von der vektoriellen Summe von Kraften und Tragkeitskraften geleistete virtuelle
Arbeit verschwindet fur beliebige Verruckungen"
Diese Form der Grundgesetze der Mechanik ist oft zweckmaiger als die Newton'sche Formulierung, da man mit ihr Zwangskrafte leichter erfassen kann. Einen weiteren Vorteil konnen wir schon
21
Abbildung 2.1: Das Kugelpendel.
jetzt begreifen. Die D'Alembert'sche Gleichung (2.1) ist eine einzige skalare Gleichung, wahrend die
Newton'schen Formulierung auf N vektorielle Gleichungen beruht. Diese wird sich insbesondere bei
Koordinatentransformationen als ganz wesentlich herausstellen.
Das D'Alembert'sche Prinzip wird es uns in den folgenden Kapiteln erlauben, zur Lagrange'schen
Formulierung und weiter zur Hamilton'schen Formulierung der Mechanik uberzugehen, die uns einen
wesentlich tieferen Einblick in die dynamische und geometrische Struktur der Mechanik erlaubt. Diese
wird dann auch die Grundlage der Quantenmechanik darstellen.
2.2 Verallgemeinerte Koordinaten
Bisher hatten wir ein System von N Massenpunkten, d.h. ein System von f = 3N Freiheitsgraden
betrachtet. Alle Punkte im R3N waren ohne Einschrankungen als gultige Werte der Koordinaten
r1 : : : rN zugelassen. Die Newton'schen Gleichungen waren dann vektorielle Gleichungen, die sich am
einfachsten in kartesischen Koordinaten behandeln lassen. Oft sind aber andere Koordinaten (z.B.
Kugelkoordinaten) zweckmassiger.
Daruber hinaus haben wir in vielen praktischen Problemen Zwangsbedingungen, wie zum Beispiel
die Tatsache, da ein Pendel an einer Schnur konstanter Lange hangt, oder da ein Auto sich nicht
unter der Oberache der Fahrbahn bewegen kann.
Es gibt sehr viele Typen von Zwangsbedingungen. Viele von ihnen sind nicht durch stetige Funktionen zu beschreiben. Wir wollen uns hier im wesentlichen nur mit stetig dierenzierbaren Zwangsbedingungen befassen. In anderen Fallen gelingt es oft die Bewegung in glatte Stucke zu zerlegen.
Wir wollen in diesem Abschnitt daruber hinaus nur mit sogenannten holonomen Zwangsbedingungen befassen, d.h. solche, bei denen die Bewegung der Massenpunkte durch r Nebenbedingungen der
Art
R (r 1 : : : r N ; t ) = 0
fur = 1 : : : r
(2.5)
beschrankt ist. In diesen Fallen ndet die Bewegung auf einer f -dimensionalen Mannigfaltigkeit statt,
wobei f = 3N r. Wir haben f Freiheitsgrade. Im allgemeinen werden sie durch f nicht-kartesische
Koordinaten q1 : : : qf charakterisiert. Ein Beispiel ist das spharische Pendel, bei dem die Bewegung
22
des Massenpunktes auf der Oberache einer Kugel mit Radius l stattndet. Die holonome Zwangsbedingung lautet also
R(x; y; z) = x2 + y2 + z 2 l2 = 0
(2.6)
und die verallgemeinerten Koordinaten sind zum Beispiel die Winkelkoordinaten
q1 = ;
q2 = :
(2.7)
Sie ergeben die kartesischen Koordinaten
x = l sin cos ; y = l sin sin ; x = l cos :
(2.8)
Man kann zwar im Prinzip zur Behandlung solcher Probleme die Newton'schen Gleichungen heranziehen. Da es sich dabei um Vektorgleichungen handelt, ist dies jedoch oft recht kompliziert. Auerdem
treten bei Bewegungen mit Zwangsbedingungen Zwangskrafte auf, die sicherstellen, da die Nebenbedingungen erfullt sind. Diese Zwangskrafte sind oft nur schwer zu berechnen. Man mochte deshalb von
vornherein mit den f verallgemeinerten Koordinaten q1 : : : qf arbeiten. Eine Methode, die dies erlaubt
ist das Lagrange-Verfahren.
Wir fuhren also f generalisierte Koordinaten q1 : : : qf ein. f = 3N r ist dabei die Zahl der Freiheitsgrade. Sie ist gegenuber der Zahl der Freiheitgrade von N Massenpunkten im 3-dimensionalen
Raum um die die Zahl der Nebenbedingungen r reduziert. Zu jedem Satz von generalisierten Koordinaten q1 : : : qf konnen wir dann die Ortsvektoren der einzelnen Teilchen bestimmen. Im allgemeinen
kann dieser Zusammenhang auch von der Zeit abhangen:
ri = ri(q1 : : : qf ; t) = ri(q; t)
(2.9)
wobei wir im folgenden oft die f verallgemeinerten Koordinaten q1 : : : qf zu einem `Tupel' q zusammenfassen. Man bezeichnet eine derartige Transformation eine Punkt-Transformation, da Transformation
hier nur die Punkte festlegt. Die Geschwindigkeiten ergeben sich dann automatisch. Wir erhalten
vi = r_i =
X @ ri
j
@ ri @ ri
@ ri
@qj q_j + @t = @q q_ + @t
(2.10)
Die Geschwindigkeiten vi = vi (q; q;_ t) sind also Funktionen der verallgemeinerten Koordinaten q und
der verallgemeinerten Geschwindigkeiten q_ (und eventuell auch explizit von der Zeit t abhangig). Von
den verallgemeinerten Geschwindigkeiten q_ hangen sie nur linear ab und es gilt
@ r_i = @ ri :
(2.11)
@ q_j @qj
Damit lat sich die kinetische Energie in verallgemeinerten Koordinaten ausdrucken:
X
X
X1 2
m
v
=
a
(
q;
t
)
+
(2.12)
b
(
q;
t
)
q
_
+
mjj0 (q; t)q_j q_j 0
T =
j
j
i
i
j
i 2
jj 0
mit dem Massentensor
mjj0 (q; t) =
X @ ri @ ri
mi @q @q 0 ;
j
j
i
23
(2.13)
und den Koezienten
a(q; t) =
X @ ri @ ri
X @ ri @ ri
mi @t @t und bj (q; t) =
mi @q @t ;
j
i
i
(2.14)
die verschwinden falls die verallgemeinerten Koordinaten (2.9) nicht explizit von der Zeit abhangen.
Im einzelnen betrachten wir folgende Beispiele:
Polarkoordinaten:
x = r cos ';
y = r sin ';
x_ = r_ cos ' r'_ sin ';
y_ = r_ sin ' + r'_ cos ';
(2.15)
Die kinetische Energie lautet dann
Zylinderkoordinaten:
T = 21 m(x_ 2 + y_ 2) = m2 r_ 2 + r2 '_ 2
(2.16)
T = 21 m(x_ 2 + y_ 2 + z_ 2 ) = m2 r_ 2 + r2 '_ 2 + z_ 2
(2.17)
Kugelkoordinaten:
x = r sin cos ';
y = r sin sin ';
x_ = r_ sin cos ' + r_ cos cos ' r'_ sin sin ';
y_ = r_ sin sin ' + r_ cos sin ' + r'_ sin cos ';
Die kinetische Energie lautet dann
T = 12 m(x_ 2 + y_ 2 + z_ 2 ) = m2 r_ 2 + r2 _ 2 + (r sin )2 '_ 2 :
(2.18)
(2.19)
2.3 Lagrange'sche Gleichungen 2. Art
Um Bewegungsgleichungen abzuleiten, gehen wir vom D'Alembert'schen Prinzip aus und fuhren virtuelle Verruckungen in den verallgemeinerten Koordinaten qj aus. Die virtuellen Verruckungen ri
lassen sich dann in den verallgemeinerten Koordinaten ausdrucken als
ri =
X @ ri
j
@qj qj
(2.20)
Falls die Zahl der Freiheitsgrade eingeschrankt ist (f < 3N ) sind dieses virtuellen Verruckungen so
konstruiert, da sie automatisch die Zwangsbedingungen erfullen. Dabei tritt keine Zeitvariation auf,
da sich die virtuellen Verruckungen denitionsgema nur auf die Auslenkungen in den Koordinaten
beziehen. Die Zeit ist dabei nur ein Parameter.
Die virtuelle Arbeit ist also
W =
X
i
F i ri =
24
X
j
Qj qj
(2.21)
mit den generalisierten Kraften
Qj =
X
@ ri
Fi @q
j
i
(2.22)
Sie haben nicht notwendig die Dimension einer Kraft (Dyn oder Newton) und lassen sich fur konservative Krafte (Fi = ri V ) schreiben als
@V
Qj = @q
j
(2.23)
Etwas mehr Rechnung erfordert die Bestimmung der generalisierten Tragheitskrafte:
@ ri = X m r @ ri
Fi @q
i i
i ! @qj
i ( j
)
X d
@
r
d
@
r
i
i
=
mi r_ i dt @q
mi r_ i @q
j
j
i 8dt
19
0
!
=
2 ri
X< d
X
_
@
r
@
@
r
@
i
i
A
@
0 +
_
_
q
_
=
m
r
m
r
i
i
i
i
j
@ q_j
@t @qj ;
i : dt
j 0 @qj @qj 0
)
2i !
X( d
_
_
@
r
@
r
1
i
=
m r_ m
Qj =
X
i
=
=
dt
i i
i 2 @ q_
j
@qj
d @ 1 X m r_ 2 + @ 1 X m r_ 2
dt @ q_j 2 i i i @qj 2 i i i
d @ T+ @ T
dt @ q_j
@qj
(2.24)
Nach dem D'Alembert'schen Prinzip (2.1) erhalten wir also
d @T
dt @ q_j
@T = Q
j
@qj
(2.25)
Fur konservative geschwindigkeitsunabhangige Krafte konnen wir Gl. (2.23) auch schreiben
Qj = dtd @@Vq_
j
@V
@qj
(2.26)
Falls wir also die Lagrange-Funktion einfuhren, die von den generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten abhangt.
L(q; q;_ t) = T V
(2.27)
dann gelten fur diese Funktion die Lagrange-Gleichungen 2. Art:
d @L
dt @ q_j
Mit Hilfe der kanonischen Impulse
und den Kraften
@L = 0:
@qj
(2.28)
pj = @@L
q_j
(2.29)
@L
Fj = @q
j
(2.30)
25
lassen sie sich auch in der Form einer verallgemeinerten Newton'schen Gleichung darstellen:
dp = F
(2.31)
j
dt j
als Beispiel betrachten wir ein zentrales Potential V (r) in Kugelkoordinaten mit der Lagrangefunktion
V (r):
(2.32)
L (r; ; '; r;_ ;_ '_ ) = m r_2 + r2 _2 + (r sin )2'_ 2
2
und den kanonischen Impulsen:
pr = mr_ ;
p = mr2_
p' = m(r sin )2 '_
(2.33)
Falls die Lagrangefunktion von einer Koordinate qj nicht abhangt, verschwindet die zugehorige
verallgemeinerte Kraft Fj . Der entsprechende kanonische Impuls pj ist dann eine Konstante der
Bewegung. Man nennt eine solche Koordinate eine zyklische Koordinate.
Die Lagrange'sche Formulierung der Mechanik hat gegenuber der Newton'schen Formulierung
folgende entscheidenden Vorteile:
0
0
0
Die Lagrangefunktion ist eine skalare Groe und einfach zu bestimmen. Man braucht keine
komplizierten U berlegungen mit Vektoren mehr.
Die Gleichungen sind invariant gegenuber Koordinatentransformationen, was bei den Newton'schen Gleichungen nicht der Fall ist.
Zwangskrafte lassen sich in Fallen holomomer Zwangsbedingungen leicht eliminieren. Wie wir im
nachsten Abschnitt sehen werden, lassen sich auch spezielle Falle von nicht-holonomen Zwangsbedingungen behandeln (Lagrange-Gleichungen 1. Art)
Das Lagrange-Verfahren wird zu einem Routineverfahren.
In einzelnen mussen wir also in folgenden Schritten vorgehen:
1. Bestimme die in dem Problem auftretenden Freiheitsgrade und die zugehorigen verallgemeinerten
Koordinaten q.
2. Berechne die Lagrange-Funktion L(q; q;_ t), d.h. u blicherweise die kinetische Energie T und die
potentielle Energie V . Man erhalt dann L = T V .
3. Leite die Bewegungsgleichungen (eventuell unter Berucksichtigung der Zwangsbedingungen) ab
4. Lose die Bewegungsgleichungen mit geeigneten Rand- oder Anfangsbedingungen.
Als Beispiel betrachten ein ebenes Pendel: Ein Massenpunkt soll sich unter dem Einu der
Schwerkraft auf einem Kreis mit Radius l bewegen. Dieses System hat einen Freiheitsgrad. Es ist
zweckmaig als verallgemeinerte Koordinate den Winkel ' zu wahlen. Wir haben dann
x = l sin ';
y = l cos '
26
(2.34)
Fur die kinetische und die potentielle Energie erhalten wir
T = m2 l2 '_ 2 ;
V = mgy = mgl cos ':
(2.35)
Die Lagrangefunktion lautet also
L = T V = m2 l2 '_ 2 + mgl cos '
(2.36)
Wir erhalten die Bewegungsgleichung
d @L @L
2
dt @ '_ @' = ml ' + mgl sin ' = 0:
(2.37)
Bisher haben wir uns auf Potentiale beschrankt, die nicht von den Geschwindigkeiten abhangen.
Mit Hilfe des Lagrange'schen Formalismus lassen sich aber auch allgemeinere Probleme behandeln, wie
z.B. die Bewegung einer Ladung e im elektromagnetischen Feld: In diesem Fall ist die LagrangeFunktion gegeben durch
(2.38)
L(r; v; t) = 12 mv2 e(r; t) + ec A(r; t)v
wobei r der Ort der Ladung e ist und (r; t) und A(r; t) das skalare und das Vektor-Potential des
elektromagnetischen Feldes ist.
In diesem Falle haben wir den kanonischen Impuls
@L = mv + e A;
@v
c
(2.39)
d @L = mv_ + e A_ + (vr) A ;
dt @ v
c
(2.40)
@L = er + e r (Av) :
@r
c
(2.41)
dessen Zeitableitung gegeben ist durch
und
Die Bewegungsgleichung lautet dann
e_ e
d @L @L
dt @ v @ r = mv_ + er + c A c v (r A)
= mv_ e E + vc B = 0
mit den Feldern
E = grad 1c A_
Man kann also die Lorentz-Kraft
und
F = e E + vc B
B = rotA
aus einer Lagrangefunktion mit einem geschwindigkeits-abhangigen Potential ableiten.
27
(2.42)
(2.43)
(2.44)
2.4 Die Hamiltonschen Gleichungen
Die Hamilton'sche Theorie wurde von Sir Willioam Rowan Hamilton in den Dreiiger Jahren des 19.
Jahrhunderts entwickelt. Sie beschrankt sich auf die reibungsfreie Bewegung, also auf Systeme, die
durch eine Lagrangefunktion beschrieben werden konnen. Insofern behandelt sie keine neue Physik,
die wir nicht auch schon mit Hilfe des Lagrangeformalismus beschreiben konnten. Da wir uns heute
noch mit dieser Theorie befassen, hat folgende Grunde:
Sie gibt eine Formulierung der Grundgesetze der Mechanik, die ihre mathematische Struktur,
insbesondere ihre symplektischen Eigenschaften besonders deutlich aufzeigt.
Sie bildet die Grundlage zu einer Erweiterung der Theorie in Richtung Quantenmechanik und
ist daher fur das Verstandnis dieser Theorie von grundsatzlicher Bedeutung.
Die im Rahmen dieser Theorie gultigen Bewegungsgleichungen sind von erster Ordnung in der
Zeit und sind daher fur Losungen am Computer besser geeignet, als die Gleichungen zweiter
Ordnung der Newton'schen Theorie oder der Lagrange'schen Formulierung
2.4.1 Herleitung aus den Lagrange Gleichungen
Wir beschranken uns auf Probleme, die durch eine Lagrangefunktion L(q; q;_ t) beschreiben werden
konnen. Die Koordinaten q1 : : : qf sind dabei f unabhangige generalisierte Koordinaten fur f Freiheitsgrade.
In Gl. (2.29) haben wir bereits die kanonischen Impulse
pi = @@Lq_
i
(2.45)
eingefuhrt. Die Hamilton'sche Theorie benutzt nun nicht mehr die Variablen q und q_, die in der
Lagrange'schen Formulierung wesentlich waren, sondern die unabhangigen Variablen q und p. Man
lost dazu die Gleichungen (2.45) nach den Geschwindigkeiten q_ auf:
q_i = q_i (q; p; t):
(2.46)
Wenn man nun in allen Funktionen die Variablen q_ durch diese Ausdrucke ersetzt, erhalten wir Funktionen der Koordinaten q und der Impulse p. Die zentrale Rolle spielt dann nicht mehr die LagrangeFunktion L(q; q;_ t) sondern die Hamiltonfunktion
H (q; p; t) =
X
i
pi q_i(q; p; t)
L(q; q_(q; p; t); t) = pq_
L:
(2.47)
Diese Funktion hat also als 2f + 1 naturliche Variable die f Koordinaten p, die f Impulse q und die
Zeit t.
Mit Hilfe der Lagrange'schen Bewegungsgleichungen (2.28) lassen sich nun die Hamilton'schen
Bewegungsgleichungen fur die Funktionen q(t) und p(t) ableiten. Dazu dierenzieren wir zunachst die
28
Hamiltonfunktion (2.47) partiell nach q ab. Da die naturlichen Variablen dieser Funktion q und p sind,
mussen wir dabei p festhalten. Wir erhalten also
X @L @ q_j0
@L
@H = X p 0 @ q_j 0
(2.48)
j
@qj
@qj
@qj
j0
j 0 @ q_j 0 @qj
Wenn wir nun die Lagrange'schen Gleichungen (2.28) und die Denition fur die kanonischen Impulse
benutzen, folgt daraus:
@H = dpj
(2.49)
@q
dt
Des weiteren folgt
j
@H = q_ + X p 0 @ q_j0
j
j @p
@pj
j
j0
X @L @ q_j0
j0
@ q_j 0 @pj
(2.50)
Wenn wir wieder die Lagrange'schen Gleichungen (2.28) und die Denition fur die kanonischen Impulse
benutzen, folgt daraus:
dqj
@H
(2.51)
@p = dt
j
Zusammenfassend erhalten wir also die folgenden Hamilton'schen Bewegunggleichungen
q_j = @H
@pj ;
und
p_ j =
@H =
@t
@L
@t
@H :
@qj
(2.52)
(2.53)
Sie zeigt, da bei autonomen Systemen die Hamilton nicht explizit von der Zeit abhangt. In diesem
Fall ist H = H (q; p).
Die Hamilton'schen Bewegungsgleichungen (2.52) sind ein Satz von 2f Dierentialgleichungen der
1. Ordnung in der Zeit fur die 2f Variable p und q. Sie sind aquivalent zu den f Lagrangegleichungen
2. Art, die Dierentialgleichungen 2. Ordnung in der Zeit fur f Variable q sind.
Da es im allgemeien numerisch leichter ist Dierentialgleichungen 1. Ordnung zu losen, bevorzugt
man bei der Losung der mechanischen Gleichungen am Computer haug die Hamiltonsche Formulierung.
2.4.2 Die Legendre-Transformation
Der U bergang von der Lagrange-Funktion zur Hamilton-Funktion entspricht einer mathematischen
Operation, die man Legendre-Transformation nennt. Um dies besser zu verstehen betrachten wir eine
Funktion f (x) mit der Abeitung y = f 0 (x) und dem Dierential
df = y dx
(2.54)
Wir wollen annehmen, da ihre zweite Ableitung nicht verschwindet, soda sich y = f 0(x) invertieren
lat. In vielen Fallen mochten wir nun nicht die Abhangigkeit der Funktion f von x studieren, sondern
29
Abbildung 2.2: Geometrische Interpretation der Legendre-Transformation.
ihre Abhangigkeit von y. Dazu fuhren wir die Legendre-Transformierte ein, die deniert ist als eine
Funktion von y:
g(y) := (Lf )(y) = f xy = f (x(y)) x(y)y:
(2.55)
Sie besitzt das totale Dierential
dg = df
xdy
ydx =
xdy
(2.56)
Fur die erste und die zweite Ableitung dieser Funktion ergibt sich
dx y x =
g0 (y) = f 0 dx
dy dy
dx
1 =
g00 (y) = dy = dy=dx
x(y)
(2.57)
6 0
f 00(x) =
1
(2.58)
xy y( x) = f (x)
(2.59)
Die Operation der Legendre-Transformation ist eine Involution; denn wir erhalten bei bei Bildung der
Legendre-Transformation von g(y) wieder die ursprungliche Funktion f (x):
g(y(x))
dg = f (x)
y dy
Beispiele fur derartige Legendre-Transformationen sind aus der Thermodynamik wohlbekannt: Aus
der inneren Energie U (S; V ) mit den naturlichen Variablen Entropie S und Volumen V ergibt sich
durch Legendretransformation bezuglich der ersten Variablen die freie Enegie F (T; V ) = U TS mit
den naturlichen Variablen T und V .
Wenn wir L(q; q;_ t) bei festen Werten von q und t als eine Funktion von x = q_ betrachten, dann
erhalten wir die Hamilton-Funktion als das Negative der zugehorigen Legendre-Transformierten, die
dann von der Variablen y = p abhangt
(LL)(q; p; t) = L
qp
_ =
30
H (q; p; t)
(2.60)
Abbildung 2.3: Der Phasenu im Phasenraum.
Um die zu dieser Operation notwendigen Umkehrfunktionen bilden zu konnen, mussen wir naturlich
fordern, da die Funktionaldeterminante nicht verschwindet
2
det @ q@_ @Lq_ 0
j j
!
6= 0
(2.61)
Ein mechanisches System mit einer Hamilton-Funktion H (q; p; t) heit ein kanonisches System. In
Umkehrung zu obiger U berlegung nden wir, da jedes kanonische System mit nicht verschwindender
Krummungsdeterminante
2H !
@
(2.62)
det @p @p 0 6= 0
j
j
sich durch eine Lagrangefunktion L = pq_ H mit entsprechenden Lagrange-Gleichungen beschreiben
lat.
Beispiele sind der harmonische Oszillator
2
H = 2pm + m2 !2 q2
und
L = m2 q_2 m2 !2 q2
und die Punktladung im elekromagnetischen Feld
H = 21m (p ec A)2 + e und
_
L = m2 q_ 2 e + ec qA
(2.63)
(2.64)
2.4.3 Der Phasenraum
Die 2f -dimensionalen Tupel x = (q; p) bilden die Punkte im Phasenraum. Er stellt im allgemeinen
eine Mannigfaltigkeit dar. x ist dabei ein Phasenpunkt auf dieser Mannigfaltigkeit. Die Bewegungsgleichungen im Phasenraum sind von erster Ordnung in der Zeit
x_ = F (x; t):
(2.65)
Die Tangentialvektoren x_ stellen ein Vektorfeld im Phasenraum dar. Die Trajektorien x = x(t; t0 ; x0 )
mit den Anfangsbedingungen x(t0 ) = x0 sind Integralkurven dieses Vektorfelds F . Sie stellen bei
festem t eine Abbildung des Phasenraums auf sich dar (x0 ! x).
31
Bis auf wenige Ausnahmen, bei denen die Lipschitzbedingung nicht erfullt ist, geht durch jeden
Punkt des Phasenraums genau eine Trajektorie. Die Bewegung im Phasenraum entspricht also einer
Stromung.
Die Hamilton'schen Systeme sind besonders einfach. In diesem Fall ist der Flu F von einer
speziellen Form
! @H !
@H !
1
@p
@q
=
(2.66)
F =
@H
@H :
1
@q
d.h. in Kurzschreibweise
@p
x_ = F (x) = J@x H
mit der schiefsymmetrischen Matrix
(2.67)
!
0 1 :
1 0
J =
(2.68)
die auch symplektische Metrik genannt wird
Falls die Hamiltonfunktion nicht explizit von der Zeit abhangt, ist die Energie eine Konstante der
Bewegung (H (p; q) = E ). Jede Trajektorie verlauft also auf einer durch den Punkt x0 festgelegten
Hyperache im Phasenraum, der Energieache.
Als Beispiel betrachten wir den eindimensionalen harmonischen Oszillator mit der Hamiltonfunktion
H (q; p) = 21m p2 + m2 !2q2 = E
(2.69)
Die Energieachen sind Elipsen im zwei-dimensionalen Phasenraum mit den Halbachsen
p
p
a = 2mE und b = 2mE:
m!
(2.70)
Der zeitliche Ablauf ergibt sich aus den Bewegungsgleichungen
mit der Losung
p
=
q_ = @H
@p
m
p_ =
und
q = a cos(!t)
@H =
@q
m!2 q;
(2.71)
b sin(!t):
(2.72)
Die Phasenbahnen (Phasenportrats) sind also Ellipsen mit Achsen a und b, die im Uhrzeigersinne
durchlaufen werden.
Durch eine Skalentransformation
und
p
p =
z2 = p1m p
(2.73)
L = m2 l2 q_2 + mgl(cos q 1);
(2.74)
z1 = m!q;
erhalt man Kreise. Die Bewegung des eindimensionalen harmonischen Oszillators ist also topologisch
aquivalent zur Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit.
Als zweites Beispiel betrachten wir das mathematische Pendel mit der verallgemeinerten Koordinate q = ' und der Lagrange-Funktion
32
Abbildung 2.4: Phasenbewegung fur das mathematische Pendel.
dem Impuls p = ml2 q_ und der Hamilton-Funktion
2
p
H = 2ml
2 mgl(cos q 1);
(2.75)
Die Bewegungsgleichungen sind
q_ = mlp 2
und
p_ =
mg sin q
(2.76)
Fur kleine q entspricht dies dem harmonischen Oszillator fur groe q ergeben sich jedoch deutliche
Abweichungen. Insbesondere gibt es zwei Typen von Losungen, oszillatorische Losungen fur E < 2mgl
und rotatorische Losungen fur E > 2mgl. Die Trajektorie mit E = 2mgl ist eine Separatrix, die sich
nur fur unendliche Zeiten dem instabilen Gleichgewichtspunkt nahert. Eigentlich sollte man das ebene
Bild aufschneiden und langs der Vertikalen q = zu einer Zylinderache zusammenkleben. Die
Mannigfaltigkeit des Phasenraums bildet dann die Oberache eines Zylinders.
2.5 Eingeschrankte Bewegung
2.5.1 Zwangskrafte
Um den Begri der Zwangskraft zu erlautern, betrachten wir noch einmal das Beispiel ein Kugelpendel.
Ein Massenpunkt wir durch einen Faden der Lange l in seiner Bewegung an eine Kugelschale vom
Radius l um den Ursprung gefesselt:
x2 + y2 + z2 = l2
(2.77)
33
Dies wird dadurch bewirkt, da langs des Fadens eine Zwangskraft, die Fadenspannung, wirkt, die der
Radialkomponente aller anderen Krafte (in diesem Fall Tragkeitskrafte und Schwerkraft) das Gleichgewicht halt. Diese Zwangskrafte sind im allgemeinen sehr komplizierte Funktionen der Koordinaten und
Geschwindigkeiten, ihre Wirkung ist aber sehr einfach: Die moglichen Bewegungsformen werden durch
Zwangsbedingungen eingeschrankt. Das Konzept der virtuellen Verruckungen erweist sich nun als sehr
nutzlich. Um Bewegungen unter Zwangsbedingungen zu studieren lassen wir einfach nicht mehr alle
beliebigen virtuellen Verruckungen zu, sondern nur noch solche, die auch mit den Zwangsbedingungen vertraglich sind, d.h. die virtuellen Verruckungen mussen im allgemeinen r Zusatzbedingungen
erfullen.
N
X
Ri (r1 : : : rN ; t) ri = 0 fur = 1 : : : r
(2.78)
i=1
Nicht alle Zwangsbedingungen lassen sich so formulieren. Da die Verruckungen innitesimal sind,
konnen bei `glatten' Zwangsbedingungen aber nur lineare Terme in den r auftreten.
Im Falle des Kugelpendels ist N = 1 und r = 1. Die Zwangsbedingung lautet:
r r = 0:
(2.79)
Man unterscheidet im dabei:
rheonome Zwangsbedingungen, wenn die Funktionen Ri explizit von der Zeit abhangen und
skleronome Zwangsbedingungen, wenn dies nicht der Fall ist, und
holonome Zwangsbedingungen, wenn die Dierentialformen (2.78) integrabel ist, d.h. wenn es geeignete skalare Funktionen R (r1 : : : rN ; t) gibt, so da gilt
Ri = @@r R
i
(2.80)
nicht holonome Zwangsbedingungen, wenn dies nicht der Fall ist.
Holonome Zwangsbedingungen konnen wir dann ausdrucken durch die r Bedingungen:
R (r1 : : : rN ; t) = 0
fur
= 1:::r
(2.81)
Das Kugelpendel genugt zum Beispiel einer holonomen Zwangsbedingung mit der Funktion
R (r ) = r 2 l 2 = 0
(2.82)
Ein Beispiel fur eine nicht holonome Zwangsbedingung ist die (ohne Schlupf) auf einer Ebene
rollende Kreisscheibe. In diesem Falle haben wir 5 Freiheitsgrade
xA x-Koordinate des Auagepunktes A
yA y-Koordinate des Auagepunktes A
' Richtungswinkel zwischen Scheibenebene und x-Achse
Neigungswinkel der Scheibe
Rollwinkel der Scheibe
Es gibt aber Nebenbedingungen: Die Rollbedingung verlangt, da sich die Scheibe immer in Richtung der momentanen Scheibenebene bewegt. Dies gilt aber nur innitesimal. Der Winkel ' hangt von
der Zeit ab. Wir erhalten fur die Projektionen des abgerollten Weges auf die x- und y-Achse:
dxA = Rd cos ';
dyA = Rd sin ';
(2.83)
34
Abbildung 2.5: Die rollende Kreisscheibe.
was zu folgenden dierentiellen Nebenbedingungen fuhrt:
dxA + Rd cos ' = 0;
x_ A + R _ cos ' = 0;
dyA + Rd sin ' = 0;
y_ A + R _ sin ' = 0:
(2.84)
Sie sind nicht integrabel, da es vollig oen ist, wohin sich die Scheibe bewegt: ' als Funktion von
ist nicht bekannt.
Bei holonomen Zwangsbedingungen haben wir feste Relationen zwischen den einzelnen Koordinaten und konnen im Prinzip unser Problem auf f = 3N r Koordinaten reduzieren, die automatisch diesen Gleichungen genugen. Dann konnen wir das Lagrange-Verfahren in diesen generalisierten
Koordinaten benutzen. Dieses Verfahren ist freilich nicht anwendbar bei nicht-holonomen Zwangsbedingungen. Auerdem sind die Gleichungen (2.81) oft nicht analytisch auosbar. Wir studieren daher
im Folgenden ein allgemeineres Verfahren, da es uns daruber hinaus erlaubt, die Zwangskrafte zu
berechnen.
Am Beispiel des Kugelpendels sehen wir, da die Fadenspannung immer in Richtung des Fadenvektors steht, also immer senkrecht zur Kugelache, d.h. senkrecht zu allen Tangentenvektoren an
diese Flache, oder parallel zum Normalenvektor der durch die Bedingung R(r) = 0 gegebenen Flache
im R3 .
Dies gilt allgemein: Die mit den Zwangsbedingungen vertraglichen Verruckungen ri mussen senkrecht zu den Zwangskraften sein:
N
X
Zi ri = 0
(2.85)
i=1
d.h. die virtuelle Arbeit, die von den Zwangskraften geleistet wird, verschwindet, falls wir uns auf
solche virtuellen Veruckungen beschranken, die mit den Zwangsbedingungen vertraglich sind. Diese
Gleichung konnen wir nicht im allgemeinen beweisen. Sie stellt vielmehr eine plausible Denition der
Zwangskrafte dar. Man kann sie auch als eine Art Axiom auassen.
Wenn wir also die Krafte, die an dem System wirken, aufteilen in die `eingepragten' Krafte Fi
(z.B. Gravitation beim Beispiel des Kugelpendels), die Zwangskrafte Zi und die Tragheitskrafte Fi
dann gilt:
X
(Fi + Fi + Zi ) ri = 0
(2.86)
i
35
fur beliebige virtuelle Verrckungen, und
X
i
(Fi + Fi ) ri = 0
(2.87)
fur virtuelle Verruckungen, die mit den Zwangsbedingungen vertraglich sind, d.h. den Gleichungen
X
i
Ri ri = 0
= 1:::r
fur
(2.88)
genugen. In den letzten beiden Gleichungen (2.87) und (2.88) treten zwar die Zwangskrafte nicht auf,
aus ihnen folgen aber nicht mehr die Newton'schen Bewegungs-Gleichungen, da wir die Verruckungen
ri nicht mehr vollig frei wahlen konnen.
2.5.2 Die Lagrange'schen Gleichungen 1. Art
Von Joseph Louis Lagrange (1730-1812), dessen Buch `Mechanique analytique' (1788) den wichtigsten
Fortschritt in der Mechanik seit Newton bedeutet, wurde aber ein Verfahren entwickelt um auch
aus den beiden Gleichungen (2.87) und (2.88) brauchbare Bewegungsgleichungen abzuleiten, ohne die
Zwangskrafte explizit zu benutzen.
Nach Lagrange multiplizieren wir jede der r Gleichungen (2.88) mit einem zunachst willkurlichen Parameter , den man Lagrange-Parameter nennt, und subrahieren alle diese Terme von der
Gleichung (2.87):
0
1
X@ d
i
dt pi Fi
r
X
=1
Ri A ri = 0
(2.89)
Diese Gleichungen gelten zunachst nur fur virtuelle Verruckungen, die den Zwangsbedingungen
N
X
i=1
Ri (r1 : : : rN ; t) ri = 0
fur
= 1:::r
(2.90)
genugen, d.h. von den an sich 3N kartesischen Koordinaten x1 : : : zN durfen wir nur f = 3N r
wirklich frei wahlen. f heit daher die Zahl der Freiheitsgrade. Die restlichen sind durch die Zwangsbedingungen festgelegt.
Bei geeigneter Wahl der r Lagrange-Parameter konnen wir jedoch erreichen, da auch noch fur
die restlichen Komponenten des Satzes x1 : : : zN gelten, d.h. fur beliebige virtuelle Verrruckungen.
Dies entspricht genau dem Prinzip der Variation mit Nebenbedingungen das aus der Mathematik
bekannt ist.
Wir erhalten dann die Gleichungen
r
dp = F +X
Ri
i
dt i
=1
fur
i = 1:::N
(2.91)
Zu ihrer Losung mussen wir freilich die Parameter kennen. Bei holonomen Zwangsbedingungen
sind sie festgelegt durch die r Gleichungen
R (r1 : : : rN ; t) = 0:
36
(2.92)
Bei nicht-holonomen Zwangsbedingungen fordern wir, da ri (t + t) hervorgeht aus ri (t) durch eine Verruckung, die der Zwangsbedingung (2.78) genugt und erhalten aus ri = vi t den Satz von
Gleichungen
X
Ri vi = 0 fur = 1 : : : r
(2.93)
i
P
Die Groen Ri in Gl. (2.89) sind naturlich die Zwangskrafte
X
Zi = Ri :
(2.94)
Wir erhalten sie bei der Losung des Problems automatisch mitgeliefert.
Fur konservative Krafte ist
Fi = @V
@ ri
pi = mivi = @@Tr_ :
und
i
(2.95)
Wenn wir wieder die Lagrange-Funktion L = T V , die von den Koordinaten r1 : : : rn und den Geschwindigkeiten r_ 1 : : : r_ n abhangt einfuhren, lassen sich die Gleichungen (2.91) auch in folgender Form
schreiben: Dies sind die Lagrange'schen Gleichungen 1. Art Sie konnen auch bei holonomen Zwangsbedingungen von Nutzen sein, wenn wir die Zwangskrafte explizit berechnen wollen. Wir haben diese
Gleichungen in kartesischen Koordinaten abgeleitet. Sie lassen sich naturlich auch in verallgemeinerten
Koordinaten darstellen:
r
d @L @L = X
Rj = Zj
(2.96)
dt @ q_ @q
j
j
=1
Als Beispiel betrachten wir wieder das mathematische Pendel. Ein Massenpunkt soll sich unter
dem Einu der Schwerkraft auf einem Kreis bewegen. Die ebenen Koordinaten x und y sind also
nicht unabhangig, sondern sie sollen der holonomen Zwangsbedingung
R(x; y) = x2 + y2 l2 = 0
(2.97)
genugen.
Elminiation von Koordinaten: Wir konnen mit Hilfe der Zwangsbedingung die zwei abhangigen Koordinaten x und y durch eine freie Koordinate ' ersetzen:
x = l sin ';
y = l cos ';
(2.98)
und erhalten, wie oben diskutiert, die Bewegungsleichung
l' + g sin ' = 0:
(2.99)
mxx + (my mg)y = 0;
(2.100)
D'Alembert'schen Prinzip:
37
mit beschrankten virtuellen Verruckungen:
xx + yy = 0;
(2.101)
Der Losungsansatz (2.98) erfullt die Zwangsbedingung automatisch. Fur die zweiten Ableitungen
erhalten wir
x = l' cos ' l'_ 2 sin '
y = l' sin ' l'_ 2 cos '
x = l sin ';
y = l cos ';
und daraus
(ml2 ' + mgl sin ') ' = 0
(2.102)
(2.103)
was wiederum der Bewegungsgleichung des ebenen Pendels entspricht.
Methode nach Lagrange: hier haben wir unabhanigige Koordinaten x und y mit den Bewegungsgleichungen:
mx = x
my = mg + y
(2.104)
Der Parameter ist festgelegt durch die Nebenbedingungen
x2 + y 2 = l 2
(2.105)
Durch Transformation auf Polarkoordinaten erhalten wir schlielich die Bewegungsgleichung
ml' = mg sin '
und den Parameter
= m xx = m ' cot ' '_ 2 =
und die Zwangskraft
(2.106)
m gl cos ' m'_ 2
Z = r:
(2.107)
(2.108)
Sie wirkt in radialer Richtung mit der Radialkomponente
mg cos ' ml'_ 2
Z = l =
38
(2.109)
Kapitel 3
Einfache separable Probleme
In diesem Abschnitt wollen wir uns mit einigen Problemen befassen, die sich auf eine eindimensionale
Bewegungsgleichung zuruckfuhren lassen.
3.1 Die eindimensionale Bewegung
Wir beschranken uns zunachst auf eine Variable q mit der Lagrange-Funktion:
L = 12 m(q) q_2 V (q)
Durch die Transformation = (t) mit der Eigenschaft:
d = p 1
dt
m (q(t))
oder
Zt dt0
= p 0
m(t )
t0
(3.1)
(3.2)
lat sich die Masse wegtransformieren:
2 dq 2
1 dq 2
L = 12 m(q) d
V
(
q
)
=
V (q):
(3.3)
dt
d
2 d
Wir beschranken uns daher im folgenden auf eine koordinatenunabhangige Masse und beginnen
mit der Lagrangefunktion:
(3.4)
L(q; q_) = m2 q_2 V (q):
Es gibt nun zwei Moglichkeiten die zugehorige Trajektorie q(t) zu berechnen:
1. mit Hilfe der Lagrange-Gleichung:
mq =
erhalten wir durch Multiplikation mit q_
was sich leicht integrieren lat:
mq_q =
d m q_2 =
dt 2
dV
dq
q_ dqd V
d V;
dt
m q_2 + V (q) = E = const:
2
39
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
2. mit Hilfe des Energiesatzes erhalten wir direkt
E = T + V = m2 q_2 + V (q)
Dies ist eine Dierentialgleichung erster Ordnung in der Zeit
r
dq = 2 (E V (q))
und liefert durch Integration
dt
m
m dq
2m (E V (q))
q
Z
0
t t0 = p m dq 0
2m (E V (q ))
q
dt = p
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
0
eine implizite Gleichung fur q(t). Damit ist das Problem bis auf eine Integration gelost. Die zwei
Integrationskonstanten sind E und q0 = q(t0 ).
Zur Losung sind folgende allgemeine Bemerkungen zu machen:
Die Bewegung kann nur in Gebieten stattnden, wo die kinetische Energie positiv ist
T = E
V > 0:
(3.13)
Die Punkte, an denen die kinetische Energie verschwindet, d.h.
T = E
V =0
(3.14)
heien Umkehrpunkte. Dort ist die Geschwindigkeit q_ = 0.
Man unterscheidet gebundene Bewegung falls q endlich ist fur alle Zeiten
und ungebundene Bewegung, falls q ! 1 lauft.
Im Phasenraum haben wir es bei der gebundenen Bewegung mit einer geschlossenen Trajektorie
zu tun. In der Nahe eines stabilen Gleichgewichtspunkts hat sie die Gestalt einer Ellipse. In der
Nahe eines labilen Gleichgewichtspunktes hat sie hyperbolischen Charakter (siehe Fig. 3.1).
Die eindimensionale gebundene Bewegung ist eine Schwingung zwischen zwei Umkehrpunkten
qmin und qmax . Die Zeit, die das System braucht, um vom Punkt qmin nach qmax zu gelangen, ist
gleich der Zeit, die es braucht um von qmax nach qmin zu gelangen. Also ist die Schwingungsperiode,
die von der Energie abhangt
q
T (E ) = 2m
Zmax
qmin
p2m(Edq V (q))
Als Beispiel betrachten wir ein harmonisches Potential
V (q) = 21 fq2:
40
(3.15)
(3.16)
Abbildung 3.1: Ein Teilchen mit Energie E im eindimensionalen Potential V (q) mit Trajektorien im Phasen-
raum
41
Abbildung 3.2: Transformation auf Schwerpunkts- und Relativ-Koordinaten.
p
Wir nehmen an, da sich das System zur Zeit t0 = 0 bei qmax = 2E=f bendet. Dann nden wir
r m Zq
r m q=qZmax dx
0
0
mdq
dq
q
q f 2 = f
p 2:
t(q) =
1 fq02 ) = 2E
0
1 x
2
m
(
E
1
q
qmax
1
2
qm in
2E
p
Wir fuhren die Oszillatorfrequenz ! = f=m ein und erhalten durch Integration
Zq
t(q) = !1 arccos(q=qmax )
Die Periode ist
p
T (E ) = 2m
qZmax
qmin
und
q(t) = qmax cos !t
r m 2
dq
q 1 2 = 2 f = !
E 2 fq
(3.17)
(3.18)
(3.19)
3.2 Das Zweikorperproblem im Zentralfeld
3.2.1 Schwerpunkts- und Relativ-Koordinaten
Wir betrachten ein Zweikorperproblem ohne auere Krafte, wo die beiden Teilchen u ber eine zentrale
Kraft wechselwirken. Wir gehen also von folgender Lagrangefunktion aus
L(r1 ; r2 ; v1 ; v2 ) = m21 v12 + m22 v22 V (jr1 r2 j)
und fuhren Schwerpunkts- und Relativ-Koordinaten ein (siehe Fig. 3.2):
m2 r2
r = r1 r2
R = m1mr1 ++ m
1
2
Die Umkehr-Transformation dazu lautet:
r1 = R + mM2 r = R + m r
1
m
1
r2 = R M r = R m r
2
(3.20)
(3.21)
(3.22)
(3.23)
mit der Gesamtmasse M und der reduzierten Masse M = m1 + m2 und = mm1+mm2 :
1
2
42
(3.24)
Fur die Geschwindigkeiten erhalten wir
v1 = V + m v
1
v2 = V m v
2
(3.25)
(3.26)
und damit ergibt sich fur die Lagrangefunktion ausgedruckt in Relativ- und Schwerpunktskoordinaten
L(R; r; V; v) = 21 M V2 + 21 v2 V (r)
(3.27)
und die zugehorigen Impulse
P = @@LV = M V = p1 + p2;
p = @L
@ v = v = m p1 m p2 ;
1
2
(3.28)
(3.29)
mit der Umkehrung
p1 = mM1 P + p;
p2 = mM2 P p;
(3.30)
(3.31)
Die Lagrangefunktion (3.27) hangt nicht vom Schwerpunkt R ab. Die Schwerpunktskoordinaten R
sind deshalb zyklisch und der Schwerpunktsimpuls P ist eine Konstante der Bewegung. Auerdem
zerfallt die Lagrangefunktion. Wir konnen die Schwerpunktsbewegung abseparieren.
R = 1 Pt + R :
(3.32)
M
0
Die Relativbewegung ist aquivalent zu der eines einzelnen Massenpunktes mit der Koordinate r und
der Masse im kugelsymmetrischen Potential V (r).
Der Drehimpuls L transformiert sich bei U bergang zu Schwerpunkts- und Relativ-Koordinaten in
folgender Weise:
L = r1 p1 + r2 p2 = R + m r m1 V + m v + R m r m2 V m v
1
1
2
2
= RP+rp
(3.33)
Der Gesamtdrehimpuls hat also einen inneren Anteil.
3.2.2 Bewegung im Zentralfeld
Man spricht von einem Zentralfeld, wenn V (r) nur vom Abstand r abhangt; denn dann ist die Kraft
parallel zu r
r = dV e :
(3.34)
F = gradV = dV
dr r
dr r
43
Abbildung 3.3: Der Flachensatz.
Dazu gilt auch die Umkehrung: Falls Fjjr darf V nur vom Abstand r abhangen. Das sieht man am
einfachsten, wenn man den Gradienten in Kugelkoordinaten darstellt:
1 @V e + 1 @V e :
e
+
(3.35)
rV = @V
r
@r
r @ r sin @' '
Die Bewegungsgleichung fur die Relativ-Koordinaten lautet dann
dp =
dt
rV
=
dV r :
dr r
(3.36)
Falls V (r) nur vom Abstand abhangt, ist nicht nur der Drehimpuls R P, sondern auch der innere
Drehimpuls l = r p eine Konstante der Bewegung.
dl = r_ p + r p_ =
dt
r rV (r) = 0:
(3.37)
Relativimpuls und Relativkoordinate stehen also senkrecht zu einem konstanten Vektor l, d.h. die
Bewegung lauft in einer Ebene ab. Wir konnen in dieser Ebene Polarkoordinaten einfuhren und haben
somit das Problem um einen Freiheitsgrad reduziert:
x = r cos ';
y = r sin ';
v2 = r_ 2 + r2'_ 2
(3.38)
Die Lagrangefunktion fur die Relativbewegung in Polarkoordinaten lautet also
L(r; '; r;_ '_ ) = 2 r_ 2 + r2 '_ 2 V (r)
(3.39)
' ist eine zyklische Koordinate. Die zugehorige Erhaltungsgroe ist der Drehimpuls bezuglich der
z-Achse, der Achse senkrecht zur Bewegungsebene (l hat Richtung und Lange).
2
(3.40)
l = p' = @L
@ '_ = r '_ = const
Diese Aussage entspricht dem Flachensatz (siehe Fig. 3.3):
dA = 12 r2 d'
dA = 1 r2'_ = l = const:
dt
2
2
44
(3.41)
(3.42)
Abbildung 3.4: Das Zentrifugalpotential.
Dadurch lat sich die Koordinate ' in der Bewegungsgleichung eliminieren (N.B. nicht in der Lagrangefunktion!). Die Bewegungsgleichung in r lautet:
r = r'_ 2
dV = l2
dr r3
dV = d V + l2
dr
dr
2r2
!
(3.43)
Damit haben wir eine eindimensionale Bewegungsgleichung mit dem eektiven Potential
2
l
Veff (r) = V (r) + 2r
2
(3.44)
Ihre Integration geschieht wie in Abschnitt (3.1):
r_ 2 + V (r) = E = const:
eff
2
(3.45)
Diese Gleichung hatten wir auch sofort aus dem Energiesatz herleiten konnen. Die weitere Integration
liefert
Zr
0
t t0 = q 2 dr
(3.46)
0
(E Veff (r ))
r
Dies ist eine implizite Gleichung fur die radiale Zeitabhangigkeit r(t). Die Integrationskonstanten der
Radialgleichung sind E und r0
Die '-Bewegung erhalt man aus der Gleichung
0
d' = l
dt
r2
d' = rl 2 dt = rl 2 q 2 dr
(E Veff )
Die Integration liefert
Zr
(3.47)
(3.48)
dr0
(3.49)
0
r r 2 (E Veff (r ))
Die Integrationskonstanten der '-Bewegung sind '0 und l. Gl. (3.49) ist eine Bahngleichung, die die
Zeit t nicht explizit enthalt.
' '0 = l
0
q
02
Dazu wollen wir noch folgende Bemerkungen machen:
45
Abbildung 3.5: Umkehrpunkte in der Radialbewegung.
Es gibt wieder Umkehrpunkte, und zwar in der Radialbewegung. Sie sind charakterisiert durch
Veff (r) = E . An diesen Punkten verschwindet die Radialgeschwindigkeit r_ = 0, nicht aber die
kinetische Energie T , da auch eine Winkelbewegung moglich ist.
Sobald der Drehimpuls l 6= 0 und r2V (r) ! 0 fur r ! 0, geht Veff (r) gegen unendich fur r ! 0,
d.h. das Teilchen kann den Ursprung nicht erreichen.
Eine gebundene Bewegung ndet zwischen den Umkehrpunkten rmin und rmax statt. Die Bewe-
gung in der Koordinate ' ist durch eine Rosettenbahn charakterisiert. Die Vollstandige Bahn ist
bekannt, falls man sie zwischen zwei Umkehrpunkten kennt. Die Winkeldierenz zwischen zwei
solchen Umkehrpunkten ist
' = 2l
rZmax
rmin
dr
q
2
r 2(E Veff )
:
(3.50)
Die Bahn ist geschlossen, falls ' ein rationaler Teil von 2 ist. Dies ist nur der Fall fur die das
Coulomb-Potential (V 1=r) und fur das Potential des harmonischen Oszillators (V r2 ) (der
Beweis dazu ist in dem Buch von Arnold gegeben). Die Umlaufszeit ist dann
T = 2
rZmax
rmin
q 2 dr
(E
Veff )
:
(3.51)
Der Phasenraum ist in diesem Fall vierdimensional. Da jedoch ' zyklisch und deshalb p konstant
ist kann man die Bewegung in einem dreidimensionalen Raum darstellen (siehe Fig. 3.7). Die Enegieache ist in diesem Raum ein Torus. Die Trajektorien der Rosettenbewegung verlaufen auf diesem
Torus. Sie sind im allgemeinen nicht geschlossen.
Auch bei hoherdimensionalen Problemen ist die separable gebundene Bewegung charakterisiert
durch entsprechende mehrdimensionale Tori.
46
Abbildung 3.6: Die radiale und die orbitale Bewegung beim zentralen Potential.
Abbildung 3.7: Die Rosettenbewegung verlauft im Phasenraum auf einem Torus.
47
3.3 Die Kepler'schen Gesetze
Wir wollen nun im Detail das Coulomb-Potential untersuchen. Hier ist das Potential
(3.52)
r
Fur > 0 ist es anziehend. Beim Planetenproblem ist = GMm. Das eektive Potential ist
l2 :
(3.53)
Veff (r) = 2r
2 r
Das Minimum r = p liegt bei
l2 + 0 = dVdreff = p
(3.54)
3 p2
r=p
V (r ) =
d.h bei
Der Wert des Potentials an dieser Stelle ist
l2
p = (3.55)
2
=
(3.56)
V0 = Veff (p) = 2
2l
2p
Sinnvolle Losungen gibt es nur fur E > V0 . Die Umkehrpunkte sind die Losungen der Gleichung
E Veff = 0 Wir erhalten mit s = 1=r:
l2 + = E V p2s2 + 2V ps = E V + V (ps 1)2
(3.57)
E Veff = E 2r
0
0
0
0
2 r
Wir fuhren nun die sog. Exzentrizitat
=
ein und nden
s
1 VE =
0
s
1 + 2E p:
(3.58)
ps 1 2!
E Veff = (E V0 ) 1
(3.59)
Die Nullstellen dieser Gleichung entsprechen den Umkehrpunkten:
p
rmin=max =
(3.60)
1
Fur V0 E < 0 existieren beide Umkehrpunkte rmin und rmax , fur E > 0 nur rmin .
Nach Einfuhrung dieser Groen gehen wir an die Integration der Bahngleichung und erhalten nach
Substitution s = 1=r fur die Azimut-Winkel
Zr
Z
0
' '0 = l 0 2 q dr
= p r
0
r r 2(E Veff (r ))
s
1
s
0
d.h.
0
ps 1 =
arcsin
(3.61)
ps0 1 2
ds0
s = 1r = 1 sin(p' '0 )
48
(3.62)
Abbildung 3.8: Die Bahnen im Graviationspotential sind Kegelschnitte.
Wir setzen '0 = 2 und wahlen das obere Vorzeichen; dann ist bei ' = 0 r = rmin und bei ' = r = rmax und wir erhalten die Bahngleichung
1 = 1 + cos '
(3.63)
r
p
Dies ist die Brennpunkt-Darstellung eines Kegelschnitte. ist dabei die Excentrizitat. Fur
E<0
E=0
E>0
ist
ist
ist
< 1 (Ellipsen)
= 1 (Parabeln)
> 1 (Hyperbeln)
Johannes Kepler hat erstmals erkannt, da die Planetenbahnen durch Ellipsen dargestellt werden
konnen:
1. Kepler'sches Gesetz: (Astronomia nova, 1609)
`Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht'.
Newton zeigte, da sich diese Bahnen aus einem Gravitationspotential V (r) = =r ergeben.
2. Kepler'sches Gesetz: Fur den zeitlichen Ablauf der Bewegung gilt:
`Der Fahrstrahl von der Sonne zum Planeten u berstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flachen.'
Dies ist eine Konsequenz aus der Drehimpulserhaltung bei Zentralpotentialen (Flachensatz).
3. Kepler'sches Gesetz: (Harmonia mundi, 1619)
49
`Der Quotient aus dem Quadrat der Umlaufszeiten und dem Kubus der groen Achsen ist
fur alle Planeten gleich.'
Um dieses dritte Kepler'sche Gesetz zu zeigen mussen wir die Periode fur einen Umlauf berechnen:
I
Z2
Z2
Z2
T = dt = '1_ d' = l r2(') d' = 2l dA = 2l Flache der Ellipse = 2l ab
0
0
0
a und b ist die groe und die kleine Halbachse der Ellipse:
b= p p 2
a = 1 p 2
1 Fur die Umlaufszeit gilt also
T = 2 oder
r
r p p2
=
2
=
2
l (1 2 )3=2
1 2
a
3
2
T 2 = (2)2 = (2)2 1 (2)2
a3
G M +m
GM
(3.64)
(3.65)
3
2
(3.66)
(3.67)
Im allgemeinen ist diese Naherung sehr gut (beim schwersten Planeten Jupiter ist m=M = 0:001).
Genaue astronomische Messungen zeigen eine Abhangigkeit vom m=M . Man kann also auf diese Weise
das Massenverhaltnis Planet/Sonne messen. Ansonsten geht aber nur das Produkt MG ein. Eine
getrennte Bestimmung von Sonnenmasse und Graviationskonstante ist aus astronomischen Daten nicht
moglich.
Schlielich wollen wir die Bahnen beider Korper, der Sonne und des Planeten im Schwerpunktsystem betrachten. In diesem System ist R = 0 und wir haben
r1(t) = m r(t);
1
r2(t) = m r(t):
2
(3.68)
(3.69)
In Fig. 3.9 sehen wir die Bahnen beider Korper fur die beiden Falle, wo m2 m1 und m2 = m1 .
3.4 Streuprobleme
Ein wichtiges Gebiet, das man mit der klassischen Mechanik untersuchen kann, ist die Streuung von
Teilchen an Zentralkraftfeldern. Im Detail braucht man dazu die Quantenmechanik. Trotzdem gibt
es viele klassische Aussagen, die in guter Naherung richtig bleiben. Die grundlegenden Verfahren zur
Beschreibung von Streuphanomenen lassen sich daher bereits in der Sprache der klassischen Physik
erlernen.
3.4.1 Der Wirkungsquerschnitt
Wir betrachten den Streuvorgang zunachst im Schwerpunktsystem. Dann ist er aquivalent zum Streuproblem eines einzelnen Teilchens mit der reduzierten Masse an einem festen Kraftzentrum, beschrieben durch das Potential V (r).
50
Abbildung 3.9: Bahnen der beiden Korper im Schwerpunktsystem fur die beiden Grenzfalle m2
m2 = m1 .
m
1
und
Im allgemeinen betrachtet man einen homogenen Teilchenstrahl (z.B. von Protonen), d.h. alle
Teilchen haben gleiche Masse und gleichen Impuls. Der einfallende Strahl ist daruber hinaus charakterisiert durch seine Intensitat (Zahl der pro Flacheneinheit und Zeiteinheit einfallenden Teilchen). Am
Kraftzentrum wird das Teilchen gestreut. Asymptotisch soll die Kraft hinreichend stark abnehmen,
da sich das Teilchen wieder einer Geraden nahert. Der Winkel zwischen Einfalls- und Auslaufrichtung
sei dabei = (; ').
Der dierentielle Wirkungsquerschnitt fur die Streuung in Richtung ist deniert als dd
. Dabei
ist
der pro Zeiteinheit in den Raumwinkel d
gestreuten Teilchen
(3.70)
d(
) = Zahl
Zahl der pro Zeiteinheit und Flacheneinheit einfallenden Teilchen
Er hat also die Dimension einer Flache. Im Nenner steht die Intensitat I des einfallenden Strahles.
Da V (r) nur vom Abstand r abhangt, ist d unabhangig vom Azimutwinkel '. Der Winkel heit
Streuwinkel und b, der assymptotische Abstand der einfallenden Teilchenbahn von der Streuachse,
heit Stoparameter.
Zwischen dem Stoparameter p und dem Streuwinkel besteht ein Zusammenhang = (b),
der im lokalen im allgemeinen eineindeutig ist und sich stuckweise umkehren lat b = b(). Dieser
Zusammenhang lat sich aus dem gemessenen Wirkungsquerschnitt ableiten und gibt uns Hinweise
auf die Natur des Streupotentials V (r).
Um den Zusammenhang zwischen b() und dem Wirkungsquerschnitt zu studieren, betrachten
wir alle Teilchen, die in einem Ring vom Radius b und der Dicke db um die Streuachse einfallen. Sie
werden in den Streuwinkel zwischen und + d gestreut, d.h. die Zahl der in den Raumwinkel
d
= 2 sin d
51
(3.71)
Abbildung 3.10: Der Streuvorgang an einem kugelsymmetrischen Potential.
gestreuten Teilchen ist I bdb d'. Wir erhalten also fur den Wirkungsquerschnitt
d = 2bdb I = 2bdb
I
oder
d = 2bdb = b() db d
2 sin d
sin d (3.72)
(3.73)
Wir mussen dabei vom Absolutbetrag ausgehen, da wir bisher nur Betrage betrachteten.
Der totale Wirkungquerschnitt ist gegeben durch das Intgral u ber den gesamten Raumwinkel:
tot =
I
Z d
I d
d = d
d
= 2 d
sin d
0
(3.74)
Der Stoparameter b hangt mit dem Drehimpuls zusammen. Fur groe Abstande haben wir
p
d.h.
l = bv1 = b 2E;
(3.75)
db = p 1 dl
d
2E d
(3.76)
d =
l dl() d
2E sin d (3.77)
= 2'0 :
(3.78)
Fur den Wirkungsquerschnitt erhalten wir also
Die Umkehrfunktion (l), die die Abhangigkeit des Streuwinkels vom Drehimpuls angibt, heit Deektionsfunktion. Bei gegebenem Potential V (r) und gegebenem Stoparameter b, d.h. gegebnem Drehimpuls l lat sich der Streuwinkel aus dem Winkel '0 am Umkehrpunkt r = rmin berechnen:
52
Nach Gl. (3.49) ist
'0 =
rZmin
Z1 b
dr
dr
lq
q
=
2
2
r 2(E Veff (r)) r r 1 b
1
min
r
2
2
und
= 2
Z1
rmin
q bdrb
r2 1
2
2
r
V
E
:
V
E
;
(3.79)
(3.80)
3.4.2 Streuung harter Kugeln
Bei der Steuung harter Kugeln mit Radius R=2 ist das Potential gegeben durch eine unendlich hohe
Stufe am Abstand rmin = R
(
0 for r > R
V (r ) = 1
(3.81)
for r R
und wir erhalten fur den Streuwinkel
= 2
Z1
R
qbdr
r2 1
Daraus ergibt sich
b2
r2
b
= 2 arcsin R :
(3.82)
b = R cos 2
(3.83)
d = R cos 2 R sin = R2 :
d
sin 2 2
4
(3.84)
und ein isotroper dierentieller Wirkungsquerschnitt
Durch Integration u ber den vollen Raumwinkel ergibt sich schlielich der totale Wirkungsquerschnitt
2
tot = 4 R4 = R2 ;
(3.85)
d.h. der totale Wirkungsquerschnitt ist gleich dem geometrischen Querschnitt der Wechselwirkungskugel.
3.4.3 Rutherford-Streuung
In diesem Falle betrachten wir das Coulomb-Potential
V (r) = r :
(3.86)
mit = e1 e2 . Zunachst mussen wir den Umkehrpunkt rmin bestimmen: In Analogie zu Gl. (3.60)
nden wir
2
1
0 = 1 r2b
(3.87)
Er
und deshalb
min
0
min
s
1
2
smin = r = b12 @ 2E + 4E 2 + b2 A
min
1
53
(3.88)
Der Streuwinkel ergibt sich aus dem Integral
2 s + smin
b
b
ds
2E = 2 q 2 2 ; = 2 arcsin q
1 b s Es
b2 + 2E 2 0
0
0
1
= 2 @arcsin 1 arcsin q 2E 2 A = 2 arcsin q 2E 2 ;
b2 + 2E
b2 + 2E
sZmin
which means
oder
(3.89)
sin 2 = q 2E 2 ;
b2 + 2E
(3.90)
b = 2E cot 2 :
(3.91)
Wir erhhalten also fur den dierentiellen Wirkungsquerschnitt im Coulombpotential
d = b db = 2 cot 2 1 = 2 1
(3.92)
d
sin d 2E sin sin2 2
4E sin4 2
Dies ist die Rutherford'sche Streuformel, die experimentelle Grundlage der modernen Atomphysik. Es
stellt sich heraus, da dieselbe Formel auch der quantenmechanischen Streutheorie abgeleitet werden
kann. Der totale Wirkungsquerschnitt divergiert. Das hat mit der langen Reichweite der Coulombkraft zu tun, ist jedoch fur praktische Falle ohne Bedeutung, da realistische Ladungen ja immmer
abgeschirmt sind.
Das Coulomb-Potential stellt einen besonders einfachen Fall dar, bei dem die Deektionsfunktion
(b) monoton fallt. Bei kompliziertere Potentialen kann es zu Maximas in der Deektionsfunktion
kommen und es konnen folgende Phanomene wie Orbiting und Regenbogenstreuung auftreten:
3.4.4 Transformation ins Laborsystem
Bisher haben wir nur in Relativkoordinaten gerechnet. Bei Experimenten ruht im allgemeinen eines
der Teilchen (Target) vor dem Sto im Laborsystem, d.h der Schwerpunkt bewegt sich. Man mu also
den in Relativkoordinaten berechneten Wirkungquerschnitt zuerst ins Laborsystem transformieren,
bevor man ihn mit experimentellen Wirkungsquerschnitten vergleichen kann.
Dazu betrachten wir zuerst den Zusammenhang zwischen dem Streuwinkel im Laborsystem und
dem Streuwinkel im Schwerpunktssystem .
Seinen
r1, v1 die Koordinaten und die Geschwindigkeit des Projektils im Laborsystem,
~r1 , v~ 1 die entsprechenden Grossen im Schwerpunktsystem, und
R, V die Koordinate und die Geschwindigkeit des Schwerpunkts.
Dann gilt
r1 = R + ~r1 = R + m r
1
~
v1 = V + v1 = V + m v
1
54
(3.93)
(3.94)
Abbildung 3.11: Transformation vom Schwerpunktssystem ins Laborsystem.
Da die Geschwindigkeit des Schwerpunkts V parallel zur Strahlrichtung verlauft, ist nach dem Streuprozess der Winkel zwischen v~ und V, sowie der Winkel zwischen v und V.
Es gilt
v~1 sin (3.95)
tan = V +
v~ cos 1
Bei elastischer Streuung gilt fur die Relativgeschwindigkeit
v1 = jr_ jt= 1 = jr_ jt=+1
(3.96)
v~1 = m v1
1
(3.97)
oder
V ergibt sich aus dem Impulssatz
d.h.
V = m v1
2
(3.98)
m1 v1 sin m2 v1 + m1 v1 cos = m sin
m + cos (3.99)
(m1 + m2 )V = m1 v1
und schlielich folgt die Relation
tan =
1
2
Dies ist eine implizite Darstellung der Funktion (), die jedem Winkel im Schwerpunktsystem den
entsprechenen Winkel im Laborsystem zuordnet.
Um nun eine Relation fur den Wirkungsquerschnitt abzuleiten haben wir zu berucksichtigen, da
die Zahl der in ein gegebenes Raumwinkelelement gestreuten Teilchen in beiden Systemen gleich sein
mu:
2I() sin d = 2I ~ () sin d
(3.100)
55
Der Wirkungsquerschnitt im Laborsystem ist also
sin d
~ () = () sin
d
(3.101)
Wir betrachten noch einige Spezialfalle:
m1 m2 : Dann ergibt sich und der Wirkungsquerschnitt ist in beiden Systemen etwa
gleich.
= tan =2 d.h. = =2 und
m1 = m2: Dann ist tan = cossin+1
~ () = 4 cos (2)
(3.102)
Bei gleichen Massen stehen die Impulse der beiden Teilchen nach einem elastischen Streuproze
im Laborsystem auf einander senkrecht. Bei gleichen Massen m1 = m2 = m ist namlich die
reduzierte Masse = m=2 und
v1 = V + 12 v und v2 = V 21 v
(3.103)
das heit
v1 v2 = V2 v2
(3.104)
verandert sich also nicht bei einem elastischen Sto. Vor dem Sto verschwindet v2 , also auch
v1 v2. Nach dem Sto mussen also beide Vektoren senkrecht auf einander stehen.
Falls man annimmt, da im Schwerpunktssystem alle -Werte moglich sind, gilt dies im Laborsystem nur fur m1 < m2 ; denn bei m1 > m2 gibt es einen maximalen Wert fur der sich aus der
Gleichung
d sin (3.105)
d m + cos = 0
1
m2
ergibt und den Wert sin max = m2 =m1 hat.
Schlielich berechnen wir noch die Energieubertragung. Aus dem Cosinussatz ergibt sich
v~12 = v12 + V 2 2V v1 cos (3.106)
oder
2 v2 = v2 + 2 v2 2 v v cos (3.107)
1 m2 1 m2 1 1
m21 1
2
Dies ist eine quadratische Gleichung fur v1 , die Geschwindigkeit des Projektils nach dem Sto. Bei
gleichen Massen m1 = m2 hat sie die Losung
v1 = v1 cos (3.108)
d.h. v1 wird minimal (maximaler Energieubertrag) bei = 2 oder = , also bei Ruckwartsstreuung.
56
3.5 Der Sto
Bei einem Sto handelt es sich um eine in einem sehr kurzen Zeitintervall wirkende Kraft. Es interessieren daher nicht die Details des Zeitverhaltens der Kraft in diesem Intervall, sondern nur die
Gesamtwirkung, die sich nach Ablauf des Zeitintervalls ergeben hat.
Wir betrachten zum Beispiel die eindimensionale Bewegung eines freien Teilchens der Masse m
unter dem Einu dieser Kraft.
p_ = F (t)
(3.109)
Vor dem Einwirken dieser Kraft (t ! 1) haben wir eine freie Bewegung (mit dem Impuls p1 ) und
nach dem Einwirken haben wir wieder eine freie Bewegung (mit dem Impuls p2 ). Zwischen p1 und p2
besteht folgender Zusammenhang:
1
p2 = p1 +
Man bezeichnet
S =
Z1
1
Z
1
F (t)dt
(3.110)
F (t)dt
(3.111)
als das Stointegral. Da F (t) nur in einem sehr kurzen Intervall in der Umgebung von t = 0 wirken soll,
kommt es uns nicht auf den genauen Zeitverlauf von F (t) und den sich daraus ergebenden Zeitverlauf
von p(t) an. Wir schreiben daher
F (t) = S (t)
(3.112)
(x) ist die Dirac'sche -Funktion. Sie ist deniert durch folgende Eigenschaften:
(x) = 0
und
Z1
1
fur
x 6= 0
(3.113)
(x)dx = 1
(3.114)
Eine solche Groe ist naturlich keine Funktion im strengen mathematischen Sinne. Man spricht daher
von einer `verallgemeinerten Funktion' oder `Distribution'. Sie lat sich denieren in zweierlei Weise:
durch Limesbildung:
(x) = alim
(x)
!0 a
(3.115)
wobei a (x) eine Menge von normalen Funktionen mit folgenden Eigenschaften ist:
lim (x) = 0
a!0 a
fur x 6= 0
und
Z1
1
a (x) = 1
(3.116)
Der Grenzwertproze ist dabei so durchzufuhren, da man zunachst bei endlichem Parameter a
die Integration durchfuhrt und erst anschlieend im Endresultat a gegen Null gehen lat.
57
als lineare Integraloperation I (x; x0 ), die jeder `normalen' Funktion f (x) eine normale Funktion g(x) in folgender Weise zuordnet.
f (x) =) g(x) =
Z1
1
I (x; x0 ) f (x0 )dx0 :
(3.117)
Die Dirac'sche -Funktion (x x0 ) entspricht dann der Identitat unter diesen Operationen
Z1
1
(x x0 )f (x0 )dx0 = f (x):
(3.118)
Wenn man die Menge x-Werte diskretisiert, stellt fx = f (x) einen Vektor dar und xx0 die
Einheitsmatrix in diesem Vektorraum.
Mit diesen 'verallgemeinerten' Funktionen kann man im allgemeinen wie mit normalen Funktionen
rechnen. Insbesondere kann man 0 (x), die Ableitung der -Funktion, denieren durch Anwendung auf
eine beliebige Funktion f (x)
Z1
1
0 (x x0 )f (x0 )dx0 =
f 0 (x):
Als Stammfunktion zu (x) ergibt sich die Heavyside'sche Stufenfunktion
(
fur x < 0 :
(x) = 10 f
ur x > 0
Es gibt eine Reihe von Regeln, die sich in einfacher Weise beweisen lassen, wie z.B.
( x)
x(x)
x0 (x)
(x)
(g(x))
=
=
=
=
=
(x)
0;
(x)
0 (x)
X 1
dg (x xi);
i dx xi
(3.119)
(3.120)
(3.121)
(3.122)
(3.123)
(3.124)
(3.125)
wobei i uber alle Nullstellen der Funktion g(x) lauft.
Die -Funktion lat sich auf auf mehrere Variable erweitern:
(r) = (x)(y)(z):
(3.126)
Vorsicht mu man jedoch walten lassen mit Produkten von Distributionen, die von derselben Variablen
abhangen. Sie sind im allgemeinen nicht deniert.
Mit Hilfe obiger Rechenregeln lat sich nun die Wirkung eines zur Zeit t = 0 wirkenden Stoes
auf ein fur t < 0 am Ort q = 0 ruhendes Teilchen berechnen:
mq = S(t);
mq_ = S((t)
q(t) =
fur t < 0;
St fur t > 0:
0
58
(3.127)
(3.128)
(3.129)
Kapitel 4
Schwingungs-Probleme
4.1 Der eindimensionale Oszillator
4.1.1 Der freie harmonische Oszillator
Ein System mit einem Freiheitsgrad und der Lagrangefunktion
L = 12 mx_ 2 21 fx2
(4.1)
nennt man einen linearen harmonischen Oszillator. Er spielt in der gesamten Physik eine grundlegende
Rolle. Die charakteristischen Parameter sind durch die Tragheit (m) und die rucktreibende Kraft (f )
gegeben. Ein Beispiel ist ein Massenpunkt unter dem Einu einer Feder:
V (x) = mgx + 12 f (x l0 )2
2
mg
1
+ const
= 2 f x l0 f
(4.2)
= 12 f (x x0 )2 + const = 21 fs2 + const:
Dabei ist x0 = l0 + mg=f die Ruhelage des Massenpunktes und s = x x0 die Auslenkung aus dieser
Ruhelage.
Die Bewegungsgleichung, die wir aus dieser Lagrangefunktion ableiten konnen, lautet
mx + fx = 0:
Abbildung 4.1: Der lineare harmonische Oszillator
59
x + !2 x = 0:
p
(4.3)
mit der Frequenz ! = f=m. Dies ist eine gewohnliche lineare homogene Dierentialgleichung 2.
Ordnung in der Variablen t. Aus der Theorie der linearen Dierentialgleichungen wissen wir, da
eine Gleichung 2. Ordnung genau zwei linear unabhangige spezielle Losungen besitzt, und da die
allgemeine Losung eine beliebige Linearkombination dieser beiden Fundamental-Losungen ist.
Zwei solche Losungen sind cos !t und sin !t. Die allgemeine Losung lautet also
x(t) = C1 cos !t + C2 sin !t:
(4.4)
Die beiden Konstanten sind entweder durch Anfangsbedingungen oder durch Rangbedingungen festgelegt. Falls wir die Anfangsbedingungen x(t = 0) = x0 und v(t = 0) = v0 fordern, nden wir C1 = x0
und C2 = v0 =!. Die spezielle Losung, die diese Bedingungen erfullt, lautet also
x(t) = x0 cos !t + v!0 sin !t:
Man kann dies auch anders ausdrucken:
(4.5)
x(t) = a cos(!t + ) = <e aei!t+ = <e Aei!t
mit
q 2 2 s 2 v02
a = C1 + C2 = x0 + !2 ;
C2 (4.6)
(4.7)
arctan C = arctan xv0! :
1
0
Dabei heit a die Amplitude, die Phase, ! die Frequenz und A = a exp(i) die komplexe Amplitude.
Solange man es mit linearen Dierentialgleichungen zu tun hat und nur Groen berechnet, die
linear in x(t) sind, lat man <e oft weg, und hat dann die allgemeine Losung
=
x(t) = aei!t+
(4.8)
d.h. man kann auch das Fundamentalsystem
ei!t
und
e
i!t
(4.9)
wahlen.
4.1.2 Erzwungene Schwingungen
Falls sich das System in einem zeitabhangigen aueren Potential V (x; t) bendet, so betrachten wir
kleine Auslenkungen x und erhalten in erster Ordnung
V (x; t) = V (0; t) + x @V
@x (0; t):
60
(4.10)
Der erste Term geht nicht in die Bewegungsgleichung ein und wir erhalten die Lagrangefunktion
L = 12 m x_ 2 12 fx2 + xF (t);
(4.11)
mit der zeitabhangigen Kraft F (t) = @V=@x(0; t).
Die Bewegungsgleichung lautet nun
mx + fx = F (t):
x + !2 x = m1 F (t):
(4.12)
Dies ist eine inhomogene lineare Dierentialgleichung. Die allgemeine Losung einer solchen Gleichung
ist die allgemeine Losung der zugehorigen homogenen Gleichung plus eine spezielle Losung der inhomogenen Gleichung. Die allgemeine Losung der homogenen Gleichung kennen wir aus dem letzten
Abschnitt.
Um die allgemeine Losung der inhomogenen Gleichung zu nden, wenden wir einen Trick an: Wir
denieren
(t) = x_ + i! x
_(t) = x + i! x_
(4.13)
Diese komplexe Groe erfullt die Dierentialgleichung 1. Ordnung
d
2 x = 1 F (t):
+
i!
x
=
x

+
!
(4.14)
dt
m
Wir haben also nun anstelle von einer Dierentialgleichung 2. Ordnung fur die reelle Groe x(t) eine
Dierentialgleichung 1. Ordnung fur die komplexe Groe (t). Falls wir diese gelost haben, erhalten
wir x(t) durch Bildung des Imaginarteils
(4.15)
x(t) = 1 =m (t):
_
i! =
dt i!
d
!
Die Losung ergibt sich durch Variation der Konstanten, d.h. wir wahlen den Ansatz
(t) = C (t) ei!t
und nden
_
Die Losung fur C (t) lautet also
(4.16)
i! = ei!t C_ + i!C i!C = m1 F (t):
C_ = m1 F (t)e
(4.17)
i!t ;
Zt
1
C = m F (t0 )e i!t0 dt0 + 0
0
mit der Anfangsbedingung 0 = v0 + i!x0 .
61
(4.18)
Daraus folgt die allgemeine Losung fur (t)
Zt
1
(t) = m ei!(t t0 )F (t0 ) dt0 + 0 ei!t
0
(4.19)
Die allgemeine Losung der inhomogenen Gleichung fur die Amplitude x(t) lautet also
Z1
1
x(t) = m! (t t0 ) sin !(t t0 ) F (t0 ) dt0 + C1 cos !t + C2 sin !t:
0
(4.20)
Diese Losung erfullt fur C1 = x0 und C2 = v0 =! die Anfangsbegingungen x(t = 0) = x0 und v(t =
0) = v0 .
Beispiele:
Sto zur Zeit t = t0 > 0:
F (t) = S(t t0 )
(4.21)
Durch Einsetzen und Integration erhalt man
S (t t ) sin !(t t )
x(t) = m!
0
0
(4.22)
Dabei sind die Anfangsbedingungen so gewahlt, da der Oszillator vor dem Sto in Ruhe liegt
(x(0) = v(0) = 0).
Periodische Kraft:
F (t) = F0 cos(
t)
Durch Einsetzen nden wir als Losung fur Z
F
0
(t) = m! ei!(t t0 ) cos(
t0) dt0 + 0 ei!t
0
t
Die Integration ergibt
(t) =
ei!t
F0 i! F
i!
0
0 m !2 2 + m !2 2 cos(
t) + i ! sin(
t)
(4.23)
(4.24)
(4.25)
Daraus erhalten wir durch Bildung des Imaginarteils
!t) + x cos !t + v0 sin !t:
(4.26)
x(t) = Fm0 cos(
!t2) cos(
0
2
!
Bei = !, also falls die auere Frequenz mit der Eigenfrequenz ! der Schwingung u bereinstimmt, liegt eine Resonanz vor, d.h. die Amplitude wird singular. In der Nahe der Resonanz sei
= ! + . Dort gilt dann
1 1 und 1 = (4.27)
!2 2
2!
!
!
und falls t 1
cos(
t) cos(!t) t sin(!t):
(4.28)
62
Abbildung 4.2: Der zeitliche Anstieg der Amplitude in der Nahe der Resonanz.
Fur die Anfangsbedingungen x0 = v0 = 0 verhalt sich also die Amplitude in der Nahe der
Resonanz wie
0 t sin !t
(4.29)
x(t) = 2Fm!
d.h. sie steigt linear an. Diese Naherung gilt naturlich nur solange als t 1.
4.1.3 Gedampfte Schwingungen
Bei Reibungskraften haben wir keine Lagrangefunktion. Wir mussen statt dessen von den Newton'schen Bewegungsgleichungen ausgehen:
p
mx =
fx
x_ + F (t):
(4.30)
x + 2 x_ + !02 x = m1 F (t):
(4.31)
Mit !0 = f=m und = =2m erhalten wir daraus
Zunachst losen wir die homogene Gleichung, d.h. wir untersuchen den Fall ohne auere Krafte:
Wir machen den Ansatz
x(t) = Aet
(4.32)
und nden damit eine Losung der Dierentialgleichung 2.Ordnung unter der folgenden Bedingung:
2 + 2 + !02 = 0;
d.h. wir nden zwei Fundamentallosungen mit
=
q
2 !02
Die allgemeine Losung der homogenen Gleichung lautet daher
x(t) = e
t
(4.33)
p
C1 e+ 2 !02 t + C2 e
Wir konnen also drei Falle unterscheiden:
63
(4.34)
p
2
!02 t
(4.35)
Abbildung 4.3: Die gedampfte Schwingung.
1. Schwingfall (!0 > ):
q
In diesem Falle ist ! = !02 2 eine reelle Frequenz und wir konnen die Auslenkung des
Oszillators in folgender Form schreiben
x(t) = a e
t
cos(!t + ):
(4.36)
Die Losung ist eine gedampfte Schwingung mit der Frequenz !, deren Amplitude exponentiell
abklingt. Die Anfangsbedingungen x(0) = x0 und x_ (0) = v0 werden erfullt durch
x0 = a cos ;
v0 = a( cos + ! sin ):
mit der Losung
tan =
v0 + x0 ;
!x0
und
(4.37)
p
a = x0 1 + tan2 :
(4.38)
2. Kriechfall: (!0 < ): Hier liegt eine nicht-periodische exponentiell gedampfte Losung vor:
x(t) = e
t
p
C1 e+
2
!02
+ C2 e
p
2
!02
(4.39)
Die Konstanten Ci werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt:
0
1
C1;2 = 21 @x0 qv0 + x02 A :
2 !0
(4.40)
9
8
q
q
<
v
+
x
0 sinh 2 !2 t =
x(t) = e t :x0 cosh 2 !02 t + q0
0 ;
2 !02
(4.41)
Die Losung lautet also
3. aperiodischer Grenzfall (!0 = ):
64
Abbildung 4.4: Der Kriechfall.
Abbildung 4.5: Der aperiodische Grenzfall.
Um diesen Grenzfall zu berechnen betrachten wir 2 = !02 + 2 im Grenzfall kleiner und
erhalten
1
t
x(t) = e
x cosh(t) + (v + x ) sinh(t)
0
0
= e t fx0 + (v0 + x0 )tg
0 (4.42)
Nachdem wir nun die homogene gedampfte Gleichung untersucht haben, konnen wir uns der
inhomogenen Gleichung, also dem Problem mit aueren Kraften zuwenden. Dabei wollen wir uns
der Einfachheit halber auf den Schwingfall beschranken, d.h. !2 = !02 2 > 0
Wir fuhren wieder die Groe (t) ein
= x_ + ( + i!)x
une erhalten
x + 2 x_ + !02 x =
oder
d
d
dt + ( i!)
(4.43)
1 F (t);
+
(
+
i!
)
x
=
dt
m
+
(
i!
)
= _ i(! + i ) = m1 F (t):
dt
d
65
(4.44)
(4.45)
Abbildung 4.6: Amplitude und Phase der gedampften erzwungenen Schwingung.
Die Losung in der Variablen fur die gedampfte erzwungene Schwingung ergibt sich also analog zu
der der undampften Schwingung. Wir haben nur ! durch ! + i zu ersetzen. So erhalten wir fur die
allgemeine Losung
Zt
1
i!t
t
(t) = e
+
ei(!+i )(t t0 ) F (t0) dt0 :
(4.46)
0
m0
Fur eine periodische auere Kraft F (t) = F0 cos(
t) nden wir in voller Analogie zum ungedampften
Fall
i!
F0
m !2 2 2 + 2i!
i!) cos(
t) sin(
t)
+ Fm0 ( +
2
! 2 2 + 2i!
(t) = e ( i!)t 0
(4.47)
Fur hinreichend groe Zeiten klingt er erste Term exponentiall ab. Hier handelt es sich dabei um ein
Einschaltphanomen. Der zweite Term oszilliert mit der Frequenz der aueren Storung und ist dann
wesentlich, wenn alle Einschaltphanomene abgeklungen sind. Wir erhalten dann fur die Amplitude
x(t) = =m (t)=!.
2
2
x(t) = Fm0 (!0 (
!2 ) cos
2
)2t ++422
2sin t = A cos(
t + )
(4.48)
0
mit der Amplitude
= Fm0 p 2 2 1 2 2
A(
) = Fm0 q 2 1
(4.49)
(
! + ) + 4 2 !2
(!0 2 )2 + 4 2 2
66
Abbildung 4.7: Einschaltvorgang beim gedampften Oszillator.
Diese Amplitude bleibt endlich, ist aber stark abhangig von der Frequenz der aueren Kraft. Sie hat
ein Maximum bei der Frequenz
max =
q
q
!2 2 =
!02 2 2
(4.50)
In einzelnen haben wir
F0 ;
A(
= 0) = m!
0
0 1;
A(
max ) = 2Fm!
Die Halbwertsbreite der Resonanz ist 2 .
A(
= 1) = 0;
(4.51)
Daneben tritt eine von abhangige Phasenverschiebung (
) der erzwungenen Schwingung gegenuber der auerer Kraft auf.
(4.52)
tan (
) = !22 2
0
Im einzelnen nimmt sie die folgenden Werte an
(
= 0) = 0;
(
max ) =
arctan max ;
(
= !0 ) =
;
2
(
= 1) =
; (4.53)
Als Beispiel berechnen wir schlielich einen Einschaltvorgang bei konstanter auerer Kraft:
In diesem Falle ist
F (t) = F0 (t)
(4.54)
Als Randbedingung verlangen wir = 0 fur t 0. Damit ergibt sich
Z
F
0
(t) = m e(i! )(t t0 ) dt0
0
t
67
= Fm0 1 i! 1 e t+i!t
Daraus erhalten wir die Amplitude
x(t) = ! 1 i =m (t)
F0 1 n e t sin !t + ! 1 e t cos !to
= m!
2 + !2 F
0
= m!2 1
cos !t + ! sin !t e t
0
(4.55)
(4.56)
4.2 Mehrdimensionale Schwingungen
4.2.1 Allgemeine Theorie
Wir betrachten ein mechanisches Problem, da durch die Lagrange-Funktion
f
X
1
ajj0 (q) q_j q_j0
L(q; q_) = 2
0
jj =1
V (q )
(4.57)
beschrieben wird, d.h. wir setzen eine geschwindigkeits-unabhangige Wechselwirkung und von der Zeit
unabhangige holonome Zwangsbedingungen voraus.
Daraus ergeben sich die Bewegungsgleichungen
!
X
X @aij
0
@a
1
@V :
jj
0
0
q
_
q
_
q
_
q
_
(4.58)
=
aij qj +
j
j
j
j
2 @qi
@qi
j
jj 0 @qj 0
Gleichgewicht liegt vor fur q_ = q = 0, d.h. bei q = q(0) mit
@V @qi q=q = 0:
Wir betrachten nun kleine Auslenkungen xi (t) aus diesem Gleichgewichtspunkt q(0) , so da
(0)
qi (t) = qi(0) + xi (t)
(4.59)
(4.60)
Wegen der Energieerhaltung mussen dann auch die Geschwindigkeiten x_ i klein sein und wir erhalten
durch Entwicklung bis zu Termen 2. Ordnung folgende Lagrange-Funktion
X
X
L = 12 mjj0 x_ j x_ j0 21 fjj0 xj xj 0
(4.61)
jj 0
jj 0
mit
mjj0 = ajj0 (q(0) )
und
2 V (0)
fjj0 = @q@ @q
(q ):
j j0
(4.62)
fij xj = 0:
(4.63)
Fernerhin haben wir eine Konstante V (q(0) ) vernachlassigt und berucksichtigt, da lineare Terme in
dieser Entwicklung wegen der Gleichgewichtsbedingung (4.59) verschwinden.
Die Bewegungsgleichungen, die sich aus dieser Lagrange-Funktion ergeben, lauten
X
j
mij xj +
X
j
68
In Matrixschreibweise lautet die Lagrangefunktion
L(x; x_ ) = 21 x_ T Mx_ 12 xT Fx
und die Bewegungsgleichung
Mx + Fx = 0:
wobei x ein Spaltenvektor mit den Komponenten xj ist
0 x1(t) 1
x(t) = B@ ... CA ;
xf (t)
M der Massen-Tensor
0 m11 : : : m1f 1
.. C
M = B
@ ...
. A;
und F der Krummungs-Tensor:
mf 1 : : : mff
0
F = B
@
f11 : : : f1f 1
.. C
. A:
..
.
ff 1 : : : fff
(4.64)
(4.65)
(4.66)
(4.67)
(4.68)
Die Bewegungsgleichungen sind ein System von linearen Dierentialgleichungen mit konstanten
Koezienten und 2. Ordnung in der Zeit. Es gibt ein System von 2f Fundamental-Losungen und die
allgemeine Losung ist eine Linearkombination dieser 2f Fundamental-Losungen.
Um diese Fundamental-Losungen bestimmen, machen wir den Ansatz
xj = aj ei!t ;
(4.69)
wobei aj eine komplexe Amplitude ist. In Matrixschreibweise lautet dieser Ansatz
x = a ei!t :
(4.70)
Wenn wir diesen Ansatz in die Bewegungsgleichungen einsetzen erhalten wir
Fa = ! 2 M a
(4.71)
Dies ist ein verallgemeinertes Eigenwertproblem, das man in Analogie zu einem normalen Eigenwertproblem losen kann durch eine verallgemeinerte Sakulargleichung:
f
11
ff 1
!2 m11 : : : f1f !2 m1f ..
.
!2 mf 1 : : : fff
= 0:
!2 mff ..
.
(4.72)
Ihre Losung ergibt f Eigenwerte !2 ( = 1 : : : f ) und zugehorige Eigenvektoren a . Sie bilden die
Fundamentalosungen und heien Normal-Schwingungen:
x (t) = a ei!t
genau genommen mu man naturlich den Realteil dieses Ausdrucks verwenden.
69
(4.73)
Wir konnen die allgemeine Losung der Bewegungsgleichung schreiben als Linearkombination der
Normalschwingungen:
x(t) =
f
X
=1
c1 a e+i! t + c2 a e
i! t :
(4.74)
Um zu zeigen, da es wirklich f reelle und positive Eigenwerte !2 zu dem verallgemeinerten
Eigenwertproblem (4.71) gibt machen wir eine Transformation von den Koordinaten x zu neuen Koordinaten y in denen die Lagrangefunktion entkoppelt. Fall der Massentensor M=m 1 ein Vielfaches
der Einheitsmatrix ist, ist dies besonders einfach. Dann mussen wir nur die symmetrische Matrix F
diagonalisieren. Falls dies nicht der Fall ist gehen wir in Schritten vor. Zunachst diagonalisieren wir
die symmetrische Matrix M.
0 m1
...
DT MD = m =: B
@
mf
1
CA :
(4.75)
mit der orthogonalen Matrix D. Da die kinetische Energie positiv denit ist, hat M nur positive
Eigenwerte und wir konnen die Wurzel aus dieser Matrix bilden
p
p
M = D m DT
(4.76)
Als Zwischenschritt konnen wir dann Variablen
p
x~ = M x
(4.77)
einfuhren, in denen die Lagrange-Funktion (4.64) die Form hat
L = 21 x~_ T x~_ 12 x~ T F~ x~
mit der symmetrischen Matrix
F~ = p1 F p1 :
M M
In einem zweiten Schritt diagonalisieren wir nun die Matrix F~
0 2
!1
B
...
T
2
B
~
T FT = ! := @
(4.78)
(4.79)
!2
f
1
CC :
A
(4.80)
Falls der Krummungs-Tensor F positiv denit ist, d.h. falls wir es mit einem wirklichen Minimum
in der f -dimensionalen Potentialache V (q) zu tun haben, ist auch F~ positiv denit und somit alle
Eigenwerte !2 positiv, d.h. alle Frequenzen ! reell. Die Diagonalisation der Matrix F~ liefert die
Transformationsmatrix T. Wenn wir schlielich die Normalkoordinaten
p
y = TT x~ = TT M x = A 1x
mit der Matrix
A = p1 T:
M
70
x = Ay
(4.81)
(4.82)
Abbildung 4.8: Gekoppelte lineare Oszillatoren.
einfuhren, dann entkoppelt die Lagrange-Funktion in diesen Koordinaten.
L = 12 y_ T y_ 12 yT 2 y
=
f
X
y_ 2 !2 y2
(4.83)
=1
Wir haben also durch die Transformation auf die Variablen y die Lagrange-Funktion entkoppelt. In
diesen Koordinaten haben wir ein System von entkoppelten Schwingungen. Diese Transformation ist
im wesentlichen eine Hauptachsentransformation der Krummungs-Matrix F.
4.2.2 Das Doppelpendel
Als Anwendung der U berlegungen des letzten Abschnitts betrachten wir nun zwei Massenpunkte
der Masse m, die sich auf einer Geraden bewegen und mittels einer Feder der Federkonstanten k
untereinander und mittels zweier Federn mit den Federkonstanten f am Rande verankert sind (siehe
Skizze). Die Auslenkungen aus der Ruhelage seien x1 und x2 . Falls die Kopplung an die Wande entfallt
(f = 0), handelt es sich dabei um das Modell fur ein zweiatomiges Molekul.
Die Lagrange-Funktion dieses Systems lautet
L = m2 x_ 21 + m2 x_ 22
f x2
f x2
2 1
2 2
k (x
2
2 1 x2 ) :
(4.84)
Es ergeben sich die Bewegungsgleichungen
mx1 + fx1 + k(x1 x2 ) = 0;
mx2 + fx2 k(x1 x2 ) = 0:
(4.85)
Die Normal-Schwingungen lassen sich als Eigen-Losungen des zweidimensionalen Eigenwertproblems
f +k
k
k f +k
!
a1
a2
!
= m!2
a1
a2
!
(4.86)
nden. Das charakteristische Polynom
(f + k m!2 )2
71
k2 = 0
(4.87)
Abbildung 4.9: Die lineare Kette.
hat die zwei Losungen
!1 =
Die zugehorigen Eigenvektoren sind
a1 =
s
f;
m
!
Die Normalschwingungen sind also
x1 =
ei! t
ei! t
1
!2 =
und
1 ;
1
!
1
s
und
und
f + 2k :
m
(4.88)
!
a2 =
1 :
1
x2 =
ei! t
ei! t
2
(4.89)
!
2
(4.90)
und als allgemeine reelle Losung ergibt sich
x1(t) = C1 cos(!1 t + 1 ) + C2 cos(!2t + 2 )
x2(t) = C1 cos(!1 t + 1 ) C2 cos(!2t + 2 )
(4.91)
4.2.3 Die lineare Kette
Wir betrachten nun N Massenpunkte gleicher Masse m die sich auf einer Geraden bewegen konnen
und untereinander durch gleichartige Federn mit der Federkonstante f verbunden sind. Die aueren
Massenpunkte 1 und N sind wieder an feste Punkte (Mauern) mit entsprechenden Federn verbunden.
Wir fuhren als Koordinaten q1 ; : : : qN die jeweiligen Auslenkungen aus der Ruhelage ein. Zusatzlich
denieren wir als q0 = 0 und qN +1 = 0 die Auslenkungen am Rande.
Mit diesen Denitionen erhalten wir die Lagrange-Funktion
N
X
L = m2 q_j2
j =1
und die Bewegunggleichungen
p
N
fX
(q
2
2 j =0 j +1 qj ) :
qj = !02 (qj +1 + qj 1 2qj )
(4.92)
(4.93)
mit !0 = f=m. Zur Losung dieser Gleichungen machen wir den folgenden Ansatz
i! t
qj() (t) = A sin j N
+1 e
72
mit = 1; : : : ; N
(4.94)
Dieser Ansatz erfullt die Randbedingungen q0 = qN +1 = 0. Wenn wir mit diesem Ansatz in die
Bewegungsgleichung eingehen erhalten wir
2
! sin j
N +1
Daraus ergeben sich die Frequenzen
= !02 2 2 cos N
+ 1 sin j N + 1 :
! = 2!0 sin 2(N+ 1)
(4.95)
(4.96)
 bergang zum
Wenn wir die Zahl der Massenpunkte N ! 1 gehen lassen, machen wir einen U
Kontinuum. Sei d = L=(N + 1) der Abstand der zweier Massenpunkte in der Ruhelage, dann haben
wir ein Modell fur ein elastisches Gummiband der Lange L. Ersetzen wir den Index j der die verschiedenen Massenpunkte charakterisiert durch die Ruhelage des entsprechenden Punktes x = jd, so gehen
die Auslenkungen qj (t) u ber in
qj (t) =) q(x; t):
(4.97)
Wir konnen dann die rechte Seite der Bewegungsgleichung ersetzen durch
und erhalten die Wellengleichung
@2q
(qj +1 + qj 1 2qj ) =) d2 @x
2
(4.98)
!
1 @ 2 q(x; t) = 0:
v2 @t2
(4.99)
@2
@x2
mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit
v = d!0
(4.100)
Sie lat sich durch den Elastizitatsmodul des Materials ausdrucken, der deniert ist durch die Kraft
F die benotigt wird, um ein Stuck der Lange ` des Materials um ` zu dehnen:
F = E `` :
(4.101)
Aus dem Hook'schen Gesetz ergibt sich also fur ein Stuck der Lange ` = d die Kraft F = f` und
E = fd. Damit erhalten wir fur die Ausbreitungsgeschwindigkeit
v = d!0 =
s
d2 f =
m
s
E;
(4.102)
wobei = m=d die Massendichte langs des Gummibandes ist.
Mit den Randbedingungen q(0; t) = q(L; t) = 0 hat sie als Losung stehende Wellen:
(
)
x ei!t
q (x; t) = A sin
mit den Eigenfrequenzen
L
= v d
!
d
! = 2!0 sin 0
L
L
L
73
(4.103)
(4.104)
Abbildung 4.10: Die Normal-Schwingungen der linearen Kette.
74
Kapitel 5
Der starre Korper
5.1 Die Kinematik des starren Korpers
5.1.1 Denition des starren Korpers
Ein System von N Massenpunkten = 1 : : : N , deren Relativabstande fest sind, nennen wir einen
starren Korper. Dabei kann die Zahl N auch gegen unendlich gehen. In diesem Fall betrachten wir ein
Kontinuum mit der Massenverteilung (r), die wir in kleine Volumenelemente mit dem Volumen dV
P
und der Masse dm = dV zerlegen. Summen uber die einzelnen Massenpunkte N=1 m : : : sind dann
R
durch das Integral dV (r) : : : zu ersetzen.
Es liegen also die Zwangsbedingungen
jr
r j = c
fur alle ; = 1 : : : N
(5.1)
vor. Dies sind N (N 1)=2 Bedingungen. Sie sind jedoch nicht alle unabhangig. Es genugt vielmehr
drei Punkte eines starren Korpers fest zulegen. Dann sind alle restlichen Punkte fest. Von den drei
Massenpunkten mit 9 Freiheitsgraden sind nur 6 unabhangig, da die drei Abstande festgelegt sind.
Der starre Korper hat also sechs Freiheitsgrade:
3 Freiheitsgrade der Translation: z.B. die Schwerpunktskoordinaten R,
3 Freiheitsgrade der Rotation: z.B. geeignete Orientierungs-Winkel (; ; ).
5.1.2 Bezugsysteme
Um die Bewegung des starren Korpers zu beschreiben benutzt man im allgemeinen drei Bezugsysteme
(jeweils festgelegt durch ein orthogonales Dreibein):
Das raumfeste System K (auch Laborsystem genannt) ist ein willkurlich festgelegtes Inertialsystem, das wir als ruhend annehmen. Das zugehorige orthogonale Dreibein sei ex ; ey ; ez , so da
der -te Massenpunkt festgelegt ist durch die drei raumfesten Koordinaten (x( ) ; y( ) ; z ( ) )
3
X
r = x() ex + y() ey + z() ez = x(k) ek :
k=1
75
(5.2)
Abbildung 5.1: Raumfestes und korperfestes Bezugsystem beim starren Korper.
Das korperfeste System K' (auch inneres System genannt) ist fest mit dem Korper verbunden
und bewegt sich mit ihm. Als Ursprung dieses Systems r0 wird oft der Schwerpunkt des Korpers
gewahlt. Bei Problemen, bei denen ein Punkt des Korpers wahrend der Bewegung festgehalten
wird, kann ist es jedoch zweckmaig sein, diesen Punkt als Ursprung des korperfesten Systems
zu wahlen. Im korperfesten System ist der -te Massenpunkt durch den Ortsvektor r0 charakterisiert, und es gilt
r = r0 + r0
(5.3)
Das orthogonale Dreibein, da das korperfeste System aufspannt, sei e01 ; e02 ; e03 , soda r0 durch
die korperfesten Koordinaten x01 ; x02 ; x03 dargestellt werden kann
r0 =
3 ( )
X
x0i e0i :
i=1
(5.4)
Oft ist es nutzlich ein drittes Koordinatnesystem K0 zu betrachten, dessen Ursprung mit dem
den korperfesten Systems zusammenfallt, und dessen Basisvektoren parallel zu den Vektoren ek
des raumfesten Systems sind. Die zugehorigen Koordinaten seien x~1 ; x~2 ; x~3 . Wir konnen also den
Ortsvektor r0 des -ten Massenpunkts auch schreiben als
r0 =
3 ( )
X
x~k ek :
k=1
(5.5)
In allen Fallen, wo der Ursprung des korperfesten Systems festgehalten wird, also zum Beispiel
im nachsten Abschnitt, wo wir nur die Rotationen betrachten, kann man dieses System K0 mit
dem raumfesten System K zusammenfallen lassen (~x(k ) = x(k ) )
Das korperfeste System bewegt sich mit dem Korper. Es ist also
x(k ) (t) zeitabhangig
x0i( ) zeitunabhangig
ek zeitunabhangig
e0i (t) zeitabhangig
76
Abbildung 5.2: Aktive und passive Transformationen.
5.1.3 Rotationen
Im folgenden betrachten wir Rotationen um einen festen Punkt, also z.B. den Schwerpunkt des starren
Korpers. Dann lassen sich Rotationen um diesen Punkt in zweifacher Weise darstellen:
als aktive Transformation: Es wird das Koordinatensystem festgehalten und Physik gedreht,
d.h. ein physikalischer Punkt P wird durch Drehung um den Ursprung in den Punkt P 0 u bergefuhrt. Im Falle einer ebenen Drehung wird also der Punkt P mit den Koordinaten r = (x1 ; x2 )
auf den Punkt P 0 mit den Koordinaten r0 = (x01 ; x02 ) abgebildet. Es gilt
x01 = r cos '0 = r cos(' + ) = cos x1 sin x2 ;
x02 = r sin '0 = r sin(' + ) = sin x1 + cos x2 ;
(5.6)
als passive Transformation: In diesem Fall bleibt der physikalische Punkt P fest und das
Basissystem K wird um den Winkel gedreht und in das Basissystem K' u bergefuhrt. Dabei
gehen die Koordinaten (x1 ; x2 ) des Punktes P im System K in die Koordinaten (x01 ; x02 ) im
System K' u ber. Es gilt
x01 = r cos '0 = r cos(' alpha) = cos x1 + sin x2 ;
x02 = r sin '0 = r sin(' alpha) = sin x1 + cos x2;
(5.7)
Im folgenden betrachten wir meist eine passive Transformation vom raumfesten Koordinatensystem in das korperfeste Koordinatensystem. Es wird durch eine orthogonale Transformation beschrieben:
3
X
e0i = Rik ek
(5.8)
k=1
(Ri1 ; Ri2 ; Ri3 ),
Bei festgehaltenem i sind die Vektoren
also die Zeilen der Matrix R, die raumfesten
0
Komponenten der korperfesten Basisvektoren ei . Dabei ist die Rotations-Matrix R eine reelle orthogonale Matrix: RT = R 1 mit Determinante +1. Ihre Matrixelemente sind die Richtungs-Kosinusse
77
der Winkel ik zwichen den Vektoren e0i und ek
Rik = e0i ek = cos(ik ):
(5.9)
Der bei der Transformation des Basissystems feste Punkt P mit dem festen Ortsvektor r lat sich
dann in zweifacher Weise darstellen:
r=
3
X
k=1
xk ek =
3
X
i=1
x0i e0i ;
(5.10)
und wir erhalten folgenden Zusammenhang zwischen den Koordinaten (x1 ; x2 ; x3 ) und (x01 ; x02 ; x03 )
x0i = r e0i =
3
X
k=1
Rik r ek =
3
X
k=1
Rik xk
(5.11)
Als Beispiel betrachten wir eine Drehung um die z -Achse um den Winkel . Nach Gl. (5.7) hat in
diesem Falle ist die Matrix R folgende Gestalt
0
1
cos sin 0
Rz () = B
@ sin cos 0 CA
0
0
1
(5.12)
Die Menge aller orthogonalen reellen dreidimensionalen Matrizen mit Determinante +1 bildet eine
Gruppe, die SO(3) genannt wird. Zu jeder dieser Matrizen gibt es genau einen Eigenvektor mit Eigenwert +1. Dies lat sich folgendermaen beweisen: Aus der Orthogonalitat von R ergibt sich, da alle
Eigenwerte auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene liegen mussen. Das charakteristische Polynom ist vom Grade 3 und hat daher mindestens einen reellen Eigenwert. Die Summe aller Eigenwerte,
die Spur der Matrix, ist reell. Neben dem einen reellen Eigenwert gibt es also noch zwei konjugiert
komplexe Eigenwerte. Das Produkt aller Eigenwerte, die Determinante der Matrix, ist +1. Dies lat
sich nur realisieren mit einem Eigenwert +1 und zwei weiteren konjugiert komplexen Eigenwerten auf
dem Einkeitskreis.
Der zu dem Eigenwert +1 gehorige Eigenvektor deniert die Drehachse. Jede orthogonale Transformation mit Determinante +1 lat sich also als ein Drehung um eine feste Achse mit dem Einheitsvektor
n und einen Drehwinkel darstellen (Euler'sches Theorem) und hangt damit von drei reellen Parametern ab, den Orientierungswinkeln dieser Achse und dem Winkel . In einem Koordinaten-System,
in dem diese Drehachse als z -Achse gewahlt wird, hat also R die Gestalt von Gl. (5.12).
Bei innitesimal kleinem Drehwinkel lat sich Rz auch darstellen als
mit der generierenden Matrix
Rz () = 1 + iJz
(5.13)
0
1
0 i 0
Jz = B
@ i 0 0 CA
(5.14)
0 0 0
78
Durch zyklische Vertauschung erhalten wir daraus die Generatoren der
y-Achse:
0
0
1
0 0 0
0 0
B
B
C
Jx = @ 0 0 i A und Jy = @ 0 0
0 i 0
i 0
oder allgemein
Jkl(i) = iikl fur i = (1; 2; 3) = (x; y; z);
Drehungen um die x- und
1
iC
0A
0
(5.15)
(5.16)
wobei ikl der total antisymmetrische Tensor dritter Stufe ist (das Levi-Civita-Symbol).
Die Generatoren Jx , Jy , Jz bilden eine Algebra mit den Vertauschung-Relationen
[Jx ; Jy ] = iJz
und zyklisch
(5.17)
Es ist die zur Gruppe SO(3) der orthogonalen Transformationen mit Determinante +1 gehorige Algebra. Es gibt nun verschiedene Darstellungen von endlichen Drehungen. Im folgenden wollen wir zwei
von ihnen untersuchen:
Darstellung durch den Drehvektor
Beliebige endliche Drehungen mit zugehoriger orthogonaler Drehmatrix R lassen sich darstellen als
R = eS
(5.18)
mit einer schiefsymmetrischen Matrix S = S T . Jede solche Matrix lat sich als Linearkombination
der Matrizen Jx , Jy und Jz schreiben:
0
0 z
B
S = @ z 0
y
x
1
y C
x A = ix Jx + iy Jy + iz Jz = iJ
0
(5.19)
Nach der Theorie der Lie-Gruppen, lassen sich also endliche Drehungen darstellen als
R() = eiJ:
(5.20)
Diese Transformation stellt eine Drehung um die Achse = (x ; y ; z ) = n dar. Es gilt namlich
10
0
0 z
B
S = @ z 0
y
1
y C B x C
x A @ y A = 0;
z
0
x
(5.21)
d.h. R() lat diese Achse unverandert. Der Absolutbetrag dieses Vektors = jj gibt den Drehwinkel
an. Das sieht man am einfachsten, wenn man zunachst die Vektor in die z -Richtung dreht und dann
die Exponentialfunktion nach Taylor entwickelt. Wir erhalten dann die in Gl. (5.12) beschriebene
Rotation um die z -Achse:
1
0
cos sin 0
(5.22)
R(0; 0; ) = eiJz = B
@ sin cos 0 CA
0
0 1
79
Die Rotationen in drei Dimensionen werden lassen sich also durch die Vektoren mit den drei
Parametern x , y und z charakterisieren.
Zwei nacheinander ausgefuhrte Rotationen R1 und R2 lassen sich durch die Produktmatrix
R = R2 R1
(5.23)
beschreiben. Im allgemeinen vertauschen diese Matrizen nicht. Das Resultat hangt von der Reihenfolge
der Drehungen ab. Die Gruppe SO(3) ist also nicht-kommutativ oder nicht-abelsch.
Zwei innitesimale Drehungen 1 und 2 vertauschen jedoch, da die Unterschiede von hoherer
Ordnung in sind:
(1 + i1 J)(1 + i2 J) = 1 + i(1 + 2 )J = (1 + i2 J)(1 + i1 J):
(5.24)
Das Resultat entspricht der innitesimalen Drehung um den Vektor = 1 + 2 . Die innitesimalen Drehvektoren bilden also einen Vektorraum. Fur die endlichen Drehungen gilt dies nicht
mehr.
Der Drehvektor = n ermoglicht noch eine weitere Darstellung der Rotation: Wenn wir einen
beliebigen Vektor r in seine Komponenten
rk = (nr) n und r? = r (nr) n
(5.25)
parallel und senkrecht zu n zerlegen, und berucksichtigen, da die Vektoren rk , r? und n r wechselseitig auf einander senkrecht stehen, sehen wir, da r bei der durch charakterisierten Drehung
ubergeht in
r =) r0 = (nr) n + cos (r (nr) n) + sin (n r)
(5.26)
5.1.4 Die Winkelgeschwindigkeit
Von groer Bedeutung sind im folgenden zeitabhangige Drehungen. Bei einem zeitlich bewegten korperfesten System hangen die Basisvektoren e0i (t) von der Zeit ab. Um nun eine Winkelgeschwindigkeit zu
denieren wollen wir den Satz dieser Basisvektoren zum Zeitpunkt t mit dem zum Zeitpunkt t + dt
vergleichen. In dem Spezialfall, da in diesem Zeitintervall die Richtung des Drehvektors n(t), der
die raumfesten in die korperfesten Achsen transformiert, konstant geblieben ist, haben wir es bei der
Bewegung mit einer Drehung um eine feste Achse zu tun. In diesem Fall denieren wir die Winkelgeschwindigkeit als
d
! = d
(5.27)
dt n = dt :
und es gilt dann
de0i = d e0i
e_ 0i = ! e0i
80
(5.28)
Im allgemeinen Fall einer dreidimensionalen Drehung ist aber die Richtung des Drehvektors n zeitabhangig.
Dann gilt Gl. (5.27) nicht mehr. Wir denieren dann die Winkelgeschwingigkeit direkt durch die zeitliche A nderung der Basis-Vektoren, d.h. durch Gl. (5.28) und erhalten durch Auosen nach !:
X
!(t) := 12 e0i e_ 0i:
(5.29)
i
Mit Hilfe der Darstellung der Drehung durch die zeitabhangige Rotationsmatrix R(t) lassen sich die
raumfesten Komponenten von ! mit Hilfe der antisymmetrischen Matrix RT R_ = R_ T R schreiben
als
0
1
0
!
!
3
3
2
X
X
!k = 21 kll0 (RT R_ )ll0 ; (RT R_ )kk0 =
(5.30)
lkk0 !l = B
@ !3 0 !1 CA
l
ll0 =1
!
! 0
2
1
und fur die entsprechenden Komponenten im korperfesten System gilt:
3
X
_ T )jj 0 :
ijj 0 (RR
!i0 = 12
jj 0=1
0
0 1
0
!
0
!
2
3
_ T )ii0 = X jii0 !j0 = B
(RR
@ !30 0 !10 CA
0
0
!2
j
!1
0
(5.31)
Bei der Ableitung dieser Gleichungen wurde die k-te Komponente eines Vektorprodukts a b durch
den Levita-Civita Tensor
8
>
< 1 falls (i; k; l) = (1; 2; 3)
ikl = ei (ek el ) = > 1 falls (i; k; l) = (2; 1; 3)
(5.32)
: 0 sonst
ausdruckt
(a b)k =
X
ll0
kll0 al bl0
(5.33)
und berucksichtigt, da dieser Tensor folgende Gleichungen erfullt:
3
X
ikl i0kl = 2ii0
(5.34)
ikl ik0l0 = kk0 ll0 kl0 lk0 := kl;k0l0
(5.35)
kl=1
3
X
i=1
Falls die Drehachse n zeitlich konstant ist, d.h. falls nur der Drehwinkel (t) von der Zeit abhangt,
gilt
R_ = dtd eiJ = dtd ei(t)nJ = R i_ nJ = R i ddt J:
(5.36)
In diesem Falle gilt also wegen Gl. (5.16)
! = ddt :
(5.37)
! = _ n + sin n_ + (1 cos ) n n_ :
(5.38)
Im allgemeinen, wenn auch der Richtungsvektor n zeitabhangig ist gilt dies nicht mehr. Ausgehend
von der Darstellung (5.26) lat sich nach langerer Rechnung jedoch zeigen, da dann gilt
81
Es ist klar, da nur bei innitesimalem oder bei verschwindendem n_ ! mit _ zusammenfallt.
Der Vektor ! erlaubt uns nun das zeitliche Verhalten eines beliebigen Vektors g(t) zu berechnen.
Er lat sich entweder im raumfesten oder im korperfesten System darstellen:
g=
X
k
gk ek =
X
i
gi0 e0i:
Fur die einzelnen Komponenten gk und gi0 gilt folgender Zusammenhang:
X 0
X
gk =
Rik gk :
Rik g oder g0 =
Bei zeitabhangigen Vektoren gilt:
i
i
i
k
(5.39)
(5.40)
d g := X g_ e ist die zeitliche A nderung von g betrachtet im raumfesten System;
k k
dt
k
d0 g := X g_ e0 ist die zeitliche A nderung von g betrachtet im korperfesten System:
i i
dt
i
Nach Gl. (5.40) gilt der Zusammenhang
also
3
3
3
3
0
dg = d X
0 e0 = X g_ 0 e0 + X g0 e_ 0 = d g + X g0 (! e0 )
g
i i
i i
i
i
dt
dt i=1 i i
dt
i=1
i=1
ik=1
(5.41)
d g = d0 g + ! g
dt
dt
(5.42)
5.1.5 Rotation um bewegten Ursprung
Wir kehren jetzt wieder zum allgemeinen Fall zuruck, in dem der Ursprung des korperfesten Systems
r0 zeitabhangig ist. Der -te Massenpunkt hat dann im raumfesten System die Koordinaten
und die Geschwindigkeit
r = r0 + r0
(5.43)
v = r_ = r_ 0 + ! r0 ;
(5.44)
r0 = ~r0 + a
(5.45)
r_ = r_ 0 + ! r0 = r_ 0 + ! a + ! ~r0
(5.46)
r_ = ~r_ 0 + !~ ~r0 :
(5.47)
denn dieser Massenpunkt bewegt sich ja mit dem korperpesten System d0 r0 =dt = 0.
Die Winkelgeschwindigkeit ! ist unabhangig von der Wahl des korperfesten Bezugsystems. Um dies
einzusehen wahlen wir ein neuen korperfestes Bezugsystem, charakterisiert durch die Basisvektoren e~0i
undM den Ursprung ~r0 , der um a = ~r0 r0 gegenuber dem alten verschoben ist. Dann gilt
Nun ist einerseits
und andererseits
Da dies fur beliebige Vektoren r gilt, folgt daraus
~r_ 0 = r_ 0 + ! a
82
und
!~ = !
(5.48)
Abbildung 5.3: Gleitungsfreies Rollen eines Zylinders in einer Zylinderache.
Die momentane Drehachse
Man kann zu jedem Zeitpunkt t einen Vektor a nden, so da in dem neuen System ~r_ 0 verschwindet.
Er genugt der Gleichung
! a = r_ 0
(5.49)
Naturlich ist a dadurch nicht eindeutig festgelegt, vielmehr erfullen alle Vektoren, die sich von a
um eine Vielfaches von ! unterscheiden auch diese Bedingung und daher eine Achse in Richtung
von ! bilden. Man nennt diese Achse die momentane Drehachse. Sie hat die Eigenschaft, da die
Geschwindigkeiten aller Punkte r senkrecht auf ! stehen und die Bewegung zu diesem Zeitpunkt
einer Drehung um diese Achse entspricht. Wenn also der Ursprung des korperfesten Systems auf der
momentanen Drehachse liegt, dann gilt
r_ = ! r0 ;
(5.50)
Es ist klar, da die momentane Drehachse nicht notwendig durch den Korper gehen mu und da sie
im allgemeinen zeitabhangig ist.
Rollbedingung
Wir betrachten das zweidimensionale Problem des gleitungsfreien Rollens eines Zylinders mit Radium
r auf einer im Raum feststehenden Zylinderache mit Radius R und der selben Achse e3 . Das raumfeste
Bezugsystem sei im Mittelpunkt des groen Zylinders und korperfeste System sei im Mittelpunkt des
83
kleinen Zylinders verankert und durch den Winkel charakterisiert (d.h. r0 = (R r)(cos '; sin ').
Dann gilt
e01 = e1 cos + e2 sin e02 = e1 sin + e2 cos (5.51)
Mit Hilfe von Gl. (5.29) erhalten wir fur die Winkelgeschwindigkeit
! = _ e3
(5.52)
Die Nebendingungen fur gleitungsfreies Rollen ergeben sich durch folgende U berlegungen:
Beim Abrollen eines Stucks der Bogenlange ds wandert der Auagepunkt im korperfesten System
um den Winkel d0 = ds=r. Da der Auagepunkt jeweils auf der die beiden Mittelpunkte verbindenen
Linie liegt, ergibt sich im gleichen Zeitraum eine Veranderung der Lage des Mittelpunkts des kleines
Zylinders um d' = ds=R und somit eine Drehung des korperfesten Systems um den Winkel
d = d0
ds = R r ds : = R r d':
d' = ds
r R
r R
r
(5.53)
Die momentane Drehachse geht durch den Auagepunkt; denn aus Gl. (5.49) ergibt sich, da der
Vektor a parallel zur Verbindungslinie der Mittelpunkte beider Zylinder ist und da der Abstand a
der momentanen Drehachse vom Mittelpunkt des kleinen Zylinders gegeben ist durch
oder
!a = (R r)';_
(5.54)
a = (R r) '__ = (R r) d'
d = r:
(5.55)
5.2 Die Bewegungsgleichungen
5.2.1 Die kinetische Energie des starren Korpers
Um die kinetische Energie des starren Korpers zu berechnen gehen wir vom raumfesten Bezugsystem
aus. In ihm gilt
X
(5.56)
T = 12 m r_ 2
Die Bewegung r_ (t) des Massenpunkts im raumfesten System setzt sich zusammen aus der Bewegung
des Bezugspunkts r_ 0 des korperfesten Systems und der Rotationsbewegung im korperfesten System:
r_ = r_ 0 + r_ 0 = r_ 0 + ! r0
Wenn wir dies in die kinetische Energie einsetzen erhalten wir
X
X T = 12 M r_ 20 + 21 m !2 r0 2 (! r0 )2 + r_ 0 ! m r0 :
84
(5.57)
(5.58)
Wenn wir nun den Ursprung des korperfesten Systems in den Schwerpunkt legen, d.h. falls r0 = R,
P
nden wir m r0 = 0. In diesem Falle verschwindet der letzte Term, der die inneren Koordinaten
r0 an die Koordinaten des Bezugspunkts r0 koppelt. Die kinetische Energie
T = Ttrans + Trot
(5.59)
Ttrans = 12 M R_ 2
(5.60)
zerfallt in einen Translationsanteil
und einen Rotationsanteil
3
X
Trot = 12 !iJik !k
ik=1
mit dem Tragheits-Tensor:
Jik =
X
X
m ik x(l )2
l
(5.61)
x( ) x( )
i
!
k
(5.62)
Im Falle einer kontinuierlichen Massenverteilung (x) erhalten wir daraus
Jik =
Z
d 3 x(x) ik x2
xi xk :
(5.63)
In verkurzter Matrix-Notation lat sich also die Rotationsenergie auch schreiben als
(5.64)
Trot = 21 ! J !
Dabei ist der linke Vektor ! als Zeilenvektor und der rechte Vektor ! ein Spaltenvektor.
Das Schwerpunktsystem ist dadurch ausgezeichnet, da hier die kinetische Energie in Translationsenergie und Rotationsenergie zerfallt. Das fuhrt zu einer Separation der Freiheitsgrade: Die Translation
enthalt nur die Schwerpunktskoordinaten, die Rotationsenergie nur die Orientierungswinkel.
5.2.2 Der Tragheitstensor
Die Groe Jik heit Tragheitstensor, da er die Tragheit des Systems gegenuber Rotationsbewegungen
beschreibt. Er ist ein Tensor, da er sich bei Transformationen des Koordinatensystems wie das Produkt
zweier Vektoren verhalt, was sich aus seiner Denition in Gl. (5.62) ergibt. Wir haben ihn zunachst
im Schwerpunktssystem mit raumfesten Achsen deniert. In diesem System sind die Koordinaten der
Massenpunkte r0 zeitabhangig. In diesem System ist J also eine zeitabhangige Groe. Wir konnen
ihn jedoch sofort ins korperfeste System transformieren, dann erhalten wir eine zeitunabhangige Form
des Tensors
!
X 0 ()2
X
(
)
(
)
0
0
xi xk :
Jik = m ik xl
(5.65)
l
Die folgenden U berlegungen beziehen sich also auf das korperfeste System und der Einfachheit halber
benutzen wir auch hier ungestrichene Koordinaten (x; y; z )
85
In Matrixform hat der Tragheitstensor die Gestalt
0P 2 2
P
P mxz 1
m
(Py + z ) P mxy
P myz CA
mP
(x2 + z 2 ) P
J = B
@ P myx
mzx
mzy
m(x2 + y2 )
(5.66)
Er hat die folgenden Eigenschaften:
er handelt sich um einen symmetrischen Tensor.
seine Eigenwerte sind reell.
er kann auf Hauptachsen transformiert werden, d.h. es gibt eine orthogonales Basissystem, die
Hauptachsen des Tensors, in dem er Diagonalgestalt hat:
0
1
J
0 0
1
J = B
@ 0 J2 0 CA
0 0 J2
(5.67)
die Eigenwerte des Tensors, d.h. die Diagonalelemente des Tensors im Hauptachsensystem heien
Haupttragheitsmomente Ji.
er ist positiv denit, d.h. Ji > 0.
die Haupttragheitsmomente genugen der Ungleichung
X
J1 + J2 = m(x2 + y2 + 2z2 ) J3
(5.68)
und zyklisch.
er ist additiv, d.h. die Tragheitstensor eines Korpers ist die Summe der Tragheitstensoren seiner
Teile, freilich bezogen auf den gleichen Punkt.
Oft ist es einfacher, den Tragheitstensor nicht in Bezug auf den Schwerpunkt zu berechnen. Sei
J der Tragheitstensor in Bezug auf einen Punkt R + a, der gegenuber dem Schwerpunkt um den
Vektor a verschoben ist, dann gilt der Steiner'sche Satz:
a
Jika = Jik + M (a2 ik aiak ):
als
(5.69)
Bezuglich einer beliebigen Achse kann man auch das Tragheitsmoment eines Korpers denieren
J =
Z
d 3 r(r)r?2
(5.70)
wobei r? der Abstand des Volumenelements d 3 r von der Achse ist. Die Diagonalelemente des Tragheitstensors sind oensichtlich die Tragheitsmomente bezuglich der drei Hauptachsen.
86
5.2.3 Der Drehimpuls des starren Korpers
Der Drehimpuls L des starren Korpers hangt von der Wahl des Urspungs ab. Im raumfesten System
gilt
X
(5.71)
L = m r r_ Wenn wir mit Hilfe von Gl. (5.57) ins Schwerpunktsystem transformieren und die Tatsache beruckP
sichtigen, da in diesem System gilt m r0 = 0, ergibt sich auch hier eine Separation der Variablen
in den Schwerpunktsdrehimpuls und den inneren Drehimpuls
X
L = M R R_ + m r0 (! r0 )
= R P + J!
(5.72)
wobei wir wieder die verkurzte Matrixnotation von Gl. (5.64) benutzt haben.
5.2.4 Die Lagrange-Funktion des starren Korpers
Die Lagrangefunktion des starren Korpers enthalt neben der oben abgeleiteten kinetischen Energie
(5.59) eine potentielle Energie. Wir wollen dazu annehmen, da sich die aueren Krafte K auf die
einzelnen Massenpunkte aus einem Potential ableiten lassen
@ V
@ r
K =
(5.73)
und da die inneren Krafte Zentralkrafte sind, die nur von Abstanden jr r j der einzelnen Massenpunkte abhangen und zwar so, da sie diese Abstande er einzelnen Massenpunkte konstant halten.
Dann lassen sie sich aus einem Potential ableiten, das nur von diesen Abstanden abhangt und daher
wegen der Nebenbedingung des starren Korpers konstant ist. Wir konnen es also in der Lagrangefunktion vernachlassigen.
Das auere Potential hangt im Prinzip von den Koordinaten den einzelnen Massenpunkte r ab.
Mit Hilfe der Transformation (5.3) lassen sie sich aber ausdrucken in den Koordinaten des Schwerpunkts R und den Orientierungswinkeln r = R + r0 (
):
(5.74)
Somit erhalten wir als Lagrangefunktion des starren Korpers
(5.75)
L = T V = 21 M R_ 2 + 12 ! J ! V (R; )
Sie hangt ab von den Schwerpunktskoordinaten R, den dazugehorigen Geschwindigkeiten R_ , den
Orientierungswinkeln und den entsprechenden Geschwindigkeiten. Die letzten beiden Groen treten
in den Komponenten der Winkelgeschwindigkeit ! und, falls wir nicht in korperfesten Koordinaten
arbeiten, auch im Tragheitstensor J auf.
87
5.2.5 Die Euler'schen Gleichungen
Ausgehend von der Lagrangefunktion (5.75) konnen wir nun die Bewegungsgleichungen des starren
Korpers ableiten. Bezuglich der Schwerpunktskoordinaten erhalten wir
M R =
@V
@R :
(5.76)
Der Schwerpunkt des starren Korpers bewegt sich also in dem aueren Potential wie eine Massenpunkt
mit der Gesamtmasse M . Dazu kommt die Bewegung der Orientierung des Korpers. Im Prinzip konnen
wir sie auch Lagrange-Gleichungen zweiter Art ableiten. Dies ist allerdings nur dann einfach, wenn
die Drehachse zeitlich konstant ist, im allgemeinen Fall wird diese Abeitung meist in Eulerwinkeln
durchgefuhrt, ist aber relativ kompliziert.
Wir schlagen deshalb einen einfacheren Weg ein und gehen von den Erhaltungssatzen aus. Im
Abschnitt 1.8.2 haben wir fur den Gesamtimpuls und in Abschnitt 1.8.3 fur den Gesamtdrehimpuls
folgende Bewegungsgleichungen abgeleitet:
d P = K;
dt
d L = M;
dt
(5.77)
K die Summe und M das Drehmoment der aueren Krafte ist. Diese Satze gelten freilich in dieser
Form vorlaug nur im raumfesten Koordinatensytem. In diesem System ist aber der TragheitsTensor von den Orientierungswinkeln abhangig. Wir benutzen daher Gleichung (5.42), die es erlaubt die
Zeitableitung eines beliebigen Vektors in das bewegte System zu transformieren, und erhalten
d L = d0 L + ! L = M:
dt
dt
(5.78)
Im Hauptachsensystem des Tragheitstensors lassen sich die korperfesten Komponenten des Drehimpulses darstellen als
L0i = Ji !i0 :
(5.79)
Damit ergeben sich die Euler'schen Gleichungen der Kreiseltheorie
J1!_ 10 + (J3 J2)!20 !30 = M10
J2!_ 20 + (J1 J3)!30 !10 = M20
J3!_ 30 + (J2 J1)!10 !20 = M30
88
(5.80)
Kapitel 6
Grundlagen der Elektrodynamik
Literatur zur Elektrodynamik
T. Fliebach: Elektrodynamik, Lehrbuch zur Theoretischen Physik II, Spektrum Akademischer
Verlag, Heidelberg 1997
J. D. Jackson: Klassische Elektrodynamik, De Gruyter Verlag
L.D. Landau - E.M. Lifschitz: Lehrbuch der Theoretischen Physik II, Klassische Feldtheorie,
Akademieverlag, Berlin 1967
R. Lenk: Theorie elektromagnetischer Felder, Studienbucherei VEB, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin
M. Abramowitz and I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications 1972
89
Einleitung
Die Elektrodynamik handelt von elektrischen Ladungen, die sich im Raum bewegen und von elektromagnetischen Feldern, die von diesen Ladungen erzeugt werden und auf diese Krafte ausuben.
Historisch gesehen war es bereits den alten Griechen (Thales von Milet, 625-547 v.Chr) bekannt, da
bestimmte Korper ihre Eigenschaften anderen, wenn man sie an anderen Korpern reibt (Reibungselektrizitat). Daruber hinaus kannte man seit langem Magnetnadel und Kompa (P. Peregrinus 1250).
Die eigentliche quantitative wissenschaftliche Untersuchung der elektromagnetischen Erscheinungen
begann jedoch erst in der zweiten Halfte des 18. Jahrhunderts. Innerhalb des folgenden Jahrhunderts
erfuhr sie eine sturmische Entwicklung und kam mit Maxwell zu einem kronenden Abschlu:
1766 Priestley: V=0 innerhalb einer Metallkugel und Vermutung von 1=r2
1769 J. Robinson: 1=r20:06
1772 Cavendish: 1=r20:02
1785 Coulomb: Bestimmung des 1=r2 -Gesetzes mit der Drehwaage
1792 A. Volta: j = v (Hypothese)
1813 Poisson: rE = 4
1820 H.C. Oersted: Kompa-Nadel bewegt sich bei Entladung einer Leidener Flasche
1820 A.M. Ampere: Krafte zwischen Stromen (eine Woche spater)
1820 J.Biot und F.Savart: Krafte zwischen Stromen (6 Wochen spater)
1831 M. Faraday: r E = 1c B_
1843 M. Faraday: rj + _ = 0
1864 J.C. Maxwell: Verschiebungstrom und Maxwell'sche Gleichungen
Diese Vorlesung unterscheidet sich von den anderen Kursvorlesungen darin, da hier eine der grundlegenden Wechselwirkungen ausfuhrlich behandelt wird. Es handelt sich um eine abgeschlossene Theorie
in deren Mittelpunkt ein Satz von Gleichungen steht, die sogenannten Maxwell'schen Gleichungen,
aus denen sich alle Erscheinungen ableiten lassen. Insofern ist der Inhalt dieser Vorlesung im Prinzip
sehr einfach. Es handelt sich nur um die Losung eines Satzes von Gleichungen, also eigentlich nur um
mathematische Techniken. Insofern ist die Elektrodynamik das Paradebeispiel einer schonen in sich geschlossenen Theorie. Sie wird im Rahmen der Vorlesungsreihe uber Theoretische Physik aus mehreren
Grunden behandelt. Zum ersten ist die Elektrodynamik grundlegend fur eine Fulle von Anwendungen,
zum zweiten stellt sie aber auch ein Beispiel fur eine klassische Feldtheorie dar. Insbesondere hat sie die
Struktur einer Eichtheorie. Man glaubt heute, da sich alle grundlegenden physikalischen Phanomene
90
im Rahmen von Eichtheorien verstehen lassen, allerdings oft nur in den entsprechenden quantisierten
Versionen.
Mikroskopisch gesehen geht man heutzutage vom Quantenbild aus, in dem sowohl Teilchen aus auch
Felder quantisiert sind. In dieser Beschreibung gibt es dann keine Felder, sondern nur Teilchen die untereinander wechselwirken. Diese Wechselwirkungen werden durch Austausch von Bosonen vermittelt.
Ladung ist dann eine Eigenschaft von Teilchen, die die Wahrscheinlichkeit mit, da die entsprechenden
Bosonen emittiert oder absorbiert werden. In der Elektrodynamik gibt es nur ein derartiges Boson, das
Photon und entsprechend nur eine Ladung, die allerdings mit zwei verschiedenen Vorzeichen auftreten
kann.
In der klassischen Physik hat man es mit Phanomenen zu tun, bei denen einzelne Photonen nicht
beobachtet werden. Man hat es dann immer mit vielen Photonen zu tun hat. Diese Vielzahl von
Photonen kann man mit Hilfe von Feldern beschreiben. Historisch und auch in der Entwicklung der
Theorie geht man umgekehrt vor. Man geht von der klassischen Beschreibung der Felder aus und
erhalt so eine klassische Feldtheorie, in unserem Fall die klassische Elektrodynamik. Diese Feldtheorie
wird dann quantisiert. Die so erhaltenen Quanten sind die Photonen und die volle quantisierte Theorie
heit Quantenelektrodynamik.
Im Rahmen dieser Vorlesung befassen wir uns nur mit der klassischen Theorie. Wie immer gibt es
zweierlei Methoden eine derartige Vorlesung aufzubauen, die induktive, in der man von den physikalischen Beobachtungen ausgeht und daraus die nach und nach die zugehorige theoretische Beschreibung
aufbaut, oder die deduktive, in der man von den fertigen Gleichungen ausgeht und daraus die einzelen
Phanomene ableitet. Ich mochte hier im wesentlichen die deduktive Methode einschlagen. Sie hat den
Vorteil, da sie von Anfang an einen einheitlichen U berblick uber das Gebiet gibt und erst daran
anschlieend auf die einzelnen oft verwirrenden Details eingeht.
91
6.1 Mathematische Beschreibung von Feldern
6.1.1 Felder
Feldgroen sind Funktionen, die an jedem Ort r und zu jeder Zeit t deniert sind: F (r; t). Die Gesamtheit aller Werte von F erfat den Begri Feld.
Felder konnen skalar sein, wie z. B. die Temperatur T(r,t). Dann ist an jedem Punkt r eine Funtion
T deniert, die nur von r abhangt, aber zusatzlich keine Richtung auszeichnet.
Felder konnen vektoriell sein, wie z.B. die Geschwindigkeit v(r; t). Dann ist an jedem Punkt eine
Richtung und ein Absolutbetrag deniert, d.h. drei Komponenten. Die drei Komponenten sind nicht
beliebig, sondern sie zeigen bei Drehungen des Koordinaten-Systems ein ganz spezielles Verhalten.
Dieser physikalische Begri des Vektors ist also eng mit Drehungen verknupft.
Betrachten wir zum Beispiel eine Drehung des Basissystems um die z-Achse um den Winkel (eine
passive Transformation)
v~x = cos vx + sin vy
v~y = sin vx + cos vy
v~z = vz
(6.1)
d.h. ein Vektor mit den Komponenten vi (i = x; y; z ) geht durch die Transformation uber in den
Vektor mit den Komponenten v~i :
X
Rik vk
(6.2)
v~i =
oder in Matrixschreibweise
mit
und mit der Erzeugenden
k
v~ = R() v = eiSz v
0
1
cos sin 0
R() = B
@ sin cos 0 CA
(6.4)
0
1
0 i 0
Sz = B
@ i 0 0 CA
(6.5)
0
0
0
0 0 0
Das Verhalten bei Spiegelungen (P: r ! r) unterscheidet zwischen
polaren Vektoren: P v =
(6.3)
v, wie z.B. r, p
axialen Vektoren: P a = a, wie z.B. l = r p.
Schlielich konnen Felder auch tensoriell sein, wie z.B. der Spannungstensor ik (r; t). Dann hat man
es mit 3 3 Funktionen zu tun, die sich bei Rotationen wie Produkte von Vektoren transformieren:
ik ) ~ik =
X
92
ll
0
Ril Rkl0 ll0
(6.6)
Abbildung 6.1: Rotation der Koordinatenachsen um die z -Achse um den Winkel (passive Transformation).
Soweit haben wir nur das Transformationsverhalten der einzelnen Komponenten untersucht und nicht
berucksichtigt, da Felder ja auch von den Koordinaten abhangen, die sich ja auch transformieren. Um
diese Abhangigkeit zu untersuchen betrachten wir zunacht ein skalares Feld f (r) (die Zeitabhangigkeit
spielt im folgenden keine Rolle). Da wir eine passive Transformation betrachten, bei der sich nur das
Basissystem und nicht die Physik andert, geht bei der Drehung die Funktion f in eine Funktion f~
uber so da gilt
f~(~r) = f (r):
(6.7)
Der Einfachheit halber betrachten wir nur eine Drehung im die z -Achse um den Winkel und eine
Funktion, die nur vom Azimuthwinkel ' abhangt. Dann gilt
f~('~) = f (') = f ('~ + ) = eiLz f (')
mit dem Operator
(6.8)
@
Lz = 1i (r r)z = 1i @'
(6.9)
Eine skalares Feld transformiert sich also bei einer Rotation mir dem Drehvektor in der folgenden
Weise:
f ! f~ = eiL f
(6.10)
Bei Vektorfeldern mussen wir zusatzlich die Transformation der Komponenten berucksichtigen.
v~ (~r) = eiS v(r) = eiS eiL v(~r);
d.h. Vektorfelder transformieren sich
v ! v~ = eiJ v
(6.11)
(6.12)
mit dem Operator des Gesamtdrehimpulses
J = L + S:
(6.13)
Diese Operatoren sind die Generatoren der Drehgruppe. Sie setzen sich zusammen aus dem Bahndrehimpuls L und dem Spin S. Skalare Felder tragen also nur Bahndrehimpuls, Vektorfelder tragen
zusatzlich den Spin 1.
93
6.1.2 Der Gradient
Wir nehmen an, da ein skalares Feld dierenzierbar ist und betrachten die A nderung des Feldes,
wenn wir von r nach r + dr gehen. Nach dem Satz von Taylor gilt:
f (r + dr) = f (r) + @f
dx + @f
dy + @f
dz
@x
@y
@z
@f @f @f = f (r) + @x ; @y ; @z dr = f (r) + @f
@ r dr:
Der Vektor
@f =
@r
rf
= gradf;
(6.14)
(6.15)
heit Gradient der Funktion f . Der Operator Nabla
@ @ @
r = @x ; @y ; @z
(6.16)
ist ein Tupel von drei Operatoren, die sich bei Drehung wie ein Vektor verhalten: Aus
x~i = Rik xk oder
folgt
Die A nderung des Feldes
xk = Rik x~i
(6.17)
@ = X @xk @ = X R @ :
ik @x
@ x~i
k
k
k @ x~i @xk
(6.18)
(6.19)
df = f (r + dr) f (r) = @f
@ r dr:
hangt von der Richtung dr ab, insbesondere ist df = 0, falls dr senkrecht zu gradf ist, d.h. der
Gradient steht senkrecht auf Flachen konstanten Feldes f (r) = const.
Wir wahlen eine bestimmte Richtung n und dr = nds. Dann ist
df
df = ds ds = n(rf ) ds
(6.20)
n
Die Groe
df = nrf
ds n
(6.21)
heit die Richtungsableitung in Richtung der Flachennormalen. Sie ist gegeben durch die Projektion
des Gradienten von f auf diese Normale.
Sei n1 , n2 , und n3 ein orthogonales Dreibei, dann ist
df
df
df
gradf = n1 ds + n2 ds + n3 ds n
n
n
(6.22)
@ = e @ + e @ + e @:
x @x
y @y
z @z
@r
(6.23)
1
Insbesondere gilt
2
94
3
Abbildung 6.2: Der Gradient als Normalenvektor zu den Aquipotentialachen
Der Operator r kann auch auf Vektorfelder angewandt werden
dv = v(r + dr) v(r)
= ex dvx + ey dvy + ez dvz
= ex (drr)vx + ey (drr)vy + ez (drr)vz
= (drr) v
(6.24)
Der Operator drr liefert also ganz allgemein die A nderung einer beliebigen Funktion (skalar, vektoriell, tensoriell).
Durch Integration erhalten wir endliche Dierenzen:
Zr
f (r2 ) f (r1 ) =
r1
2
df =
Zr
r1
2
drr f
(6.25)
Das Integral hangt dabei nicht vom Integrationsweg ab, da f eine eindeutig denierte Funktion ist.
I
I
df = (drr) f = 0;
I
I
dv = (drr) v = 0;
(6.26)
6.1.3 Quellen
Wir denieren fur einen beliebigen endlichen Raumbereich V mit der Oberache S die Quellstarke
eines Vektorfeldes v:
I
I
Quellstarke = vdA = vn dA:
(6.27)
S
Dabei ist die Oberache dA nach auen orientiert. Es gilt
I
S
denn
edA =
edA0
S
dA = 0
oder
95
e(dA dA0) = 0:
(6.28)
(6.29)
Abbildung 6.3: Volumen V mit Oberache S .
Ebenso lat sich fur einen beliebigen Vektor a zeigen
I
S (V )
(ra) dA = V a;
(6.30)
denn erstens verschwindet in dem Integral auf der linken Seite die Komponente senkrecht zu a, da
wegen dA0? = dA?
(6.31)
dA?(r0 a) + dA0? (ra) = dA?((r r0 )a) = 0
und zweitens gilt fur die Komponente parallel zu a
dAk (r0 a) + dA0k (ra) = dAk ((r r0 )a) = dV a
(6.32)
Bei Zerlegung des Gesamtvolumens in Teilvolumina verhalt sich die Quellstarke additiv. Es genugt
also innitesimal kleine Volumenelemente zu betrachten. In einem Volumen V in der Umgebung r0
konnen wir dann nach Taylor entwickeln:
v(r) = vjr=r + ((r r0)r) vjr=r
0
und
I
Die Divergenz
I
v(r)dA =
dA (rr) vjr=r = V
0
div v =
rv
(6.33)
0
rvjr=r
0
I
= 1V
vdA
(6.34)
(6.35)
S (V )
mit also die Quelldichte.
Die Summation uber die innitesimalen Teilvolumina ergibt den Gauss'schen Satz:
I
v(r)dA = lim
V !0
X
i
Vi div vjri =
Am allgemeinen sollte man sich folgende Formel merken
I
S (V )
dA : : : =
96
Z
V
dV r : : :
Z
V
divv dV:
(6.36)
(6.37)
Beispiele dafur sind
I
dAf (r) =
Z
dV gradf
(6.38)
V
I S(V )
Z
dA v(r) = dV rotv
S (V )
(6.39)
V
Daraus ergibt sich die Flachenintegraldarstellungen fur den Nabla-Operator:
1 I dA : : : ;
r : : : = lim
V !0 V
(6.40)
S (V )
die unabhangig ist von der Wahl des Koordintensystems.
6.1.4 Wirbel
Die Wirbelstarke eines Vektorfelds v(r) ist deniert durch ein Wegintegral langs einer geschlossenen
Kurve C , die sog. Zirkulation:
Wirbelstarke =
I
C
v(r)dr =
Sie mit die mittlere Tangentialgeschwindigkeit. Es gilt
I
I
C
vt ds:
(6.41)
dr = 0
(6.42)
voraus sich ergibt, da ein homogenes Feld v = const wirbelfrei ist.
Ferner gilt fur einen beliebigen konstanten Vektor a
I
C
mit dem Flachenvektor
denn
dr (ra) = A a
(6.43)
I
1
A = 2 r dr;
(6.44)
C
I
I
I
dr (ra) = 21 (dr (ra) + r(dr a)) + 12 (dr (ra) r(dr a))
1 I d(r(ra)) + 1 I (r dr) a = 0 + A a:
2
2
(6.45)
Jede Flache lat sich in innitesimale Maschen zerlegen. Die einzelnen Maschen sind naherungsweise
eben und es gilt
I
XI
v(r)dr =
v(r)dr:
(6.46)
C
i Ci
I
I
Fur die Masche in der Nahe von r0 gilt
I
dr ((r r0)r) vjr=r
= (A r)vj r = r0 : = A(r v):
v(r)dr =
dr vjr=r +
0
97
0
(6.47)
Abbildung 6.4: Aufteilung einer endliche Flache in innitesimale ebene Flachenstucke.
Die Wirbelstarke in der Masche ist proportional zu A. Daruber hinaus ist die Orientierung wesentlich. Sei die Rotation des Vektorfelds v deniert durch
rot v = r v:
Dann ist
(6.48)
1 I v(r)dr;
nrot v = lim
A!0 A
A = n A
(6.49)
Die Normalkomponente der Rotation ist die Wirbeldichte. Die Richtung der Rotation ist die Richtung,
in der die Wirbeldichte maximal ist.
Durch Integration erhalt man den Stoke'schen Satz:
I
C
v(r)dr = lim
A!0
X
i
Ai rot vi =
Z
A
rot vdA:
Die Wirbelstarke ist das Integral der Wirbeldichte.
Ebenso gilt
I
Z
dr : : : = dA r : : :
C (A)
wie zum Beispiel
I
C (A)
I
C (A)
dr f (r) =
dr v =
A
Z
A
Z
A
(6.50)
(6.51)
dA rf
(6.52)
(dA r) v
(6.53)
6.1.5 Partielle Integration
Seien F(r) und G(r) zwei Felder, die fur groe Abstande hinreichend stark verschwinden, so da die
Oberachenintegrale
I
dA F G = 0;
(6.54)
lim
R!1
verschwinden, d.h. F G ! 0 schneller als 1=R2 . Dabei ist * eine multiplikative Kopplung (Produkt
von Zahl mit Vektor, Skalarprodukt oder Vektorprodukt) und R ist der Radius einer groen Kugel.
98
Dann konnen wir den Gauss'schen Satz anwenden und ngen
Z
oder
Z
dV r F G = 0;
Z
!
dV F r G =
dV F r G
(6.55)
(6.56)
Die Volumenintegrale erstrecken sich dabei immer u ber den gesamten Raum.
Beispiele fur diese Regel sind die folgenden Gleichungen
Z
Z
Z
dV g grad f
Z
dV vgrad f
Z
dV v grad f
Z
dV (wr) v
Z
dV w rot v
Z
dV (w r) v
Z
dV r (v w# )
dV f grad g =
Z
dV f div v
Z
dV f rot v
Z
dV v div w
Z
dV v rot w
Z
dV v rot w
=
=
=
=
=
dV r (v# w) =
(6.57)
(6.58)
(6.59)
(6.60)
(6.61)
(6.62)
(6.63)
6.1.6 Green'sche Identitaten
Sein f (r) und g(r) zwei skalare Felder. Dann lassen sich mit Hilfe des Gauss'schen Satzes folgende
drei Green'sche Identitaten beweisen:
1. Green'sche Identitat:
Z
I
(f g + (rf rg)) dV =
f rgdA
(6.64)
2. Green'sche Identitat:
Z
V
3. Green'sche Identitat:
S (V )
V
(f g gf ) dV =
Z
V
I
S (V )
f dV =
I
S (V )
(f rg grf )dA
(6.65)
rfdA
(6.66)
Diese Identitaten lassen sich dadurch beweisen, da man den Gauss'schen Satz auf das Vektorfeld
f rg anwendet.
Mit Hilfe dieser Identitaten lassen sich zwei wichtige Punkte begrunden.
Die Gleichung
f (r) = 0
99
(6.67)
hat fur Funktionen f (r), die auf dem Rande eines Gebietes verschwinden, innerhalb dieses Gebietes nur die Losung f (r) = 0. Das gilt insbesondere, wenn diese Gleichung im ganzen Raum
gilt, und f (r) im Unendlichen hinreichend stark abfallt (starker als 1=R). Zum Beweis dieser
Aussage wahlt man in Gl. (6.64) f = g und berucksichtigt, da dann das Oberachenintegral
auf der rechten Seite verschwindet.
Es gilt die Relation
1r =
4(r):
(6.68)
Fur r 6= 0 beweist man diese Relation durch einfache Dierentiation. Das Verhalten am Ursprung
erhalt man durch Integration uber eine Kugel mit Radius R:
Z 1
1 R 4R2 R = 4
(6.69)
dV =
K (R)
R2 R
r
R
6.1.7 Zerlegungs-Satz fur Vektorfelder
Es stellt sich heraus, da bei der Charakterisierung von Vektorfeldern Divergenz und Rotation eine
wichtige Rolle spielen. Alle Felder, die im unendlichen hinreichend stark verschwinden, sind bereits
durch diese beiden Groen festgelegt.
Sei a(r) ein im ganzen Raum deniertes und im Unendlichen hinreichend stark abfallendes Vektorfeld,
dann kann man es zerlegen in ein Summe eines rotationsfreien (longitudinalen) und einen divergenzfreien (transversalen) Anteil:
a(r) = al (r) + at (r)
(6.70)
mit
rotal = 0;
divat = 0:
(6.71)
Der transversale Anteil ist dabei durch die Rotation von a und der longitudinale Anteil durch die
Divergenz von a festgelegt. Es gilt
al (r) = grad f (r);
at (r) = rot g(r);
mit den Funktionen
(6.72)
(6.73)
Z div0a(r0 )
1
(6.74)
f (r) = 4 d3 r0 jr r0 j ;
Z
0 a(r0 )
(6.75)
g(r) = 41 d3 r0 rot
jr r0 j
Die Namen longitudinal und transversal ergeben sich daraus, da wir die Fourier-Transformierte des
Vektors a(r)
Z
(6.76)
a~(k) = (21)3=2 d3 r a(r) e ikr;
100
zerlegen konnen
a~(k) = a~l (k) + a~t(k);
(6.77)
a~l (k) = k12 k (ka~)
(6.78)
k2
(6.79)
in einen Vektor
der parallel zum Wellenvektor k ist und einen Vektor
a~ (k) = 1 k (k a~)
t
der senkrecht zu k steht. Die Vektoren al (r) und at (r) ergeben sich durch Rucktransformation aus
den Vektoren a~l (k) und at (k).
Umgekehrt ist ein derartiges Vektorfeld a(r) bereits dann eindeutig festgelegt, wenn fur alle Raumpunkte seine
div a(r)
rot a(r)
Quellen
und Wirbel
bekannt sind. Der Beweis dieser Tatsachen ergibt sich mit Hilfe von Gl 6.67) und (6.68)
(a al at ) = a
r(ra) r (r a)
= 0:
(6.80)
Insgesamt konnen wir folgende Schlufolgerungen ziehen:
Ein wirbelfreies Feld ist ein Gradientenfeld:
rot a = 0
=)
a = grad f
(6.81)
=)
a = rot g
(6.82)
Ein quellenfreies Feld ist ein Rotationsfeld:
div a = 0
Im allgemeinen ist a eine U berlagerung aus einem Wirbel- und einem Gradientenfeld
a = grad f + rot g;
(6.83)
Das skalare Potential f (r) bestimmt sich aus den Quellen von a(r)
f (r) = div a(r):
(6.84)
Das Vektor-Potential g(r) bestimmt sich aus den Wirbeln von a(r)
g(r) =
101
rot a(r):
(6.85)
6.2 Ladungen und Stome
6.2.1 Elektrische Ladung
Wir gehen aus von den Prinzipien der elektrischen Ladung:
Es gibt eine Mengengroe, elektrische Ladung, genannt.
In jedem Volumen ist zu jedem Augenblick eine bestimmte Ladung, die positiv, null oder negativ
sein kann. (z.B. geriebener Hartgummi oder Glass)
A ndert sich die Ladung innerhalb eines Volumens um einen bestimmten Betrag, so andert sich
die Ladung auerhalb diese Volumens um den entgegengesetzten Betrag.
Zeitlich bewegte Ladungen heien Strome.
Die Denition der Ladungseinheit ergibt sich aus der experimentell beobachteten Tatsache, da sich
gleichnamige Ladungen abstossen und ungleichnamige Ladungen anziehen und zwar mit einer Kraft
die proportional zum inversen Abstandsquadrat ist (Coulomb-Gesetz):
F = qr1q22 rr :
(6.86)
Im cgs-System, das wir in dieser Vorlesung verwenden wollen, ist die Einheit der Ladung so gewahlt,
da der Vorfaktor 1 ist. Im cgs-System ist also die Ladungseinheit
1 LE = (gcm=s2 cm2 )1=2 = g cm s 1
1
2
3
2
(6.87)
U blicherweise benutzt man eine viel groere Einheit, das Coulomb:
1 C = 2:9972 109 LE
(6.88)
Da die Ladung eine Mengengroe ist, lat sich eine Ladungdichte (r; t) denieren durch die im
Volumen V enthaltene Ladung dQ:
(r; t) dV = dQ
d:h:
dQ :
= dV
(6.89)
Dieser Ausdruck ist allerdings nicht als ein Dierentialquotient zu verstehen. (r; t) nennt man auch
ein Feld, d.h. eine Groe, die an zu fester Zeit t an jedem Punkt des Raumes deniert ist. Da diese
Groe sich bei Rotationen des Koordinatensystems nicht andert, ist (r; t) ein skalares Feld.
Die Ladung innerhalb eines endlichen Volumens V ist dann gegeben durch
Q(t) =
Z
V
d3 r (r; t)
(6.90)
Eine Punktladung im Nullpunkt erhalt man als Grenzfall einer endlicher Ladung q in einem unendlich
kleinen Volumen dV . Die zugehorige Ladungsverteilung lat sich mit Hilfe der Dirac'schen -Funktion
darstellen
(r) = q (r):
(6.91)
102
Bei einer diskreten Ladungsverteilung mit den Ladungen qi and den Orten ri (t) nden wir
(r; t) =
X
i
qi (r ri (t))
(6.92)
6.2.2 Strome
Die durch eine beliebige Flache A in der Zeiteinheit tretende Ladung wird als Strom deniert:
I (t) = dQ
dt
(6.93)
I it kein Vektor, sondern ein mit Vorzeichen behafteter Skalar. Um das Vorzeichen von I > 0 zu
bestimmen mussen wir zunachst eine Richtung denieren, d.h. die eine Seite der Flache A als die
positive Seite und die andere als die negative Seite denieren. Wir nennen den Strom dann positiv,
wenn der Ladungstransport so vor sich geht, da positive Ladung von der negativen Seite auf die
positive Seite der Flache transportiert wird, oder falls negative Ladung von der positiven Seite auf die
negative Seite transportiert wird. In allen anderen Fallen ist der Strom I negativ. Die Dimension des
Stromes ist [Ladung=Zeit]. Die ubliche Einheit ist Ampere:
1 A = 1 C=s
(6.94)
Im Grunde ist I keine lokale Groe. Wir konnen aber eine lokale Groe denieren, die Stromdichte:
Dazu denieren wir den Richtungsvektor des Flachenelements dA als einen Vektor der Lange dA und
mit der Richtung parallel zur Flachennormalen des Flachenelements. Bei einem beliebigen Flachenelement mussen wir dabei wieder zuerst die positive Richtung festlegen. Bei geschlossenen Flachen wird
im allgemeinen die Flachennormale nach auen gerichtet.
Die Stromdichte j(r; t) ist dann ein Vektor, der am Ort r und zur Zeit t dadurch deniert ist, da
wir am Ort r ein beliebiges gerichtetes Flachenelement dA betrachten und den zur Zeit t durch dieses
Element tretenden Strom dI bestimmen:
dI (t) = j(r; t)dA
(6.95)
Wenn wir uns am Ort r und zur Zeit t Ladungstrager mit der Ladungsdichte (r; t) und der Geschwindigkeit v(r; t) vorstellen, dann ist
dI (t) = (r; t) v(r; t) dA cos = (r; t) v(r; t)dA
(6.96)
wobei der Winkel zwischen den Vektoren v und dA ist. Wir haben also
j(r; t) = (r; t) v(r; t)
(6.97)
j(r; t) ist eine lokale Groe die den Ladungstransport an der Stelle r zur Zeit t charakterisiert. Ferner
ist j ein Vektor. Die Stromdichte j(r; t) ist also ein Vektorfeld.
103
Bei diskreten Ladungsverteilungen gilt
j(r; t) =
X
i
qivi (r ri (t)):
(6.98)
Den Gesamtstrom durch eine endliche Flache erhalten wir als
I (t) =
Z
A
j(r; t)dA:
(6.99)
6.2.3 Die Kontinuitatsgleichung
Wir betrachten ein Volumen V mit einer geschlossenen Oberache deren Flachenelemente dA nach
auen gerichtet sind. Dann ist der aus dem Inneren nach auen tretende Strom einerseits gleich der
zeitlichen A nderung der Ladung in dem Volumen
I
jdA =
d Z dV (r; t) =
dt V
d Q(t) =
dt
Z
V
dV _(r; t)
(6.100)
und andererseits nach dem Gauss'schen Satz gleich dem Volumenintegral uber die Divergenz von j:
I
S
und wir nden
jdA =
Z
V
Z
V
dV div j(r; t)
dV (divj + _) = 0:
(6.101)
(6.102)
Da das Volumen V beliebig ist, gilt die lokale Relation
div j + _ = 0;
(6.103)
die Kontinuitats-Gleichung. Der physikalische Gehalt dieser Gleichung ist die Ladungserhaltung: Die
Ladung die im Inneren des Volumens abnimmt, mu durch die Oberache nach auen treten.
Eine einfache Folgerung dieser Kontinuitatsgleichung ist der Knotensatz der Elektrotechnik.
X
i
Ii = 0:
(6.104)
6.2.4 Spezielle Ladungs- und Stromverteilungen.
Oberachenladungen
Wir denken uns eine Dose von innitesimaler Hohe und der Basisache dA. Die Oberachenladung
(r; t) ist dann deniert durch die in dieser Dose enthaltete Ladung dQ
dQ(t) = (r; t) dA:
(6.105)
hat die Dimension [Ladung=Fla che]. Die zugehorige Ladungsverteilung (r; t) lat sich mit Hilfe
der Dirac'schen -Funktion darstellen.
104
Abbildung 6.5: Stromverteilung in einem dunnen Leiter.
Abbildung 6.6: Oberachenstrome.
Dunne Leitungen
In einem dunnen Draht iee ein stationarer Stom I . Bei einer Integration u ber ein Volumen, das den
gesamten Querschnitt des Drahts einschliet, gilt
Z
dV = ZdAdr
dV j(r) : : : = (drdA) j(r) : : : :
(6.106)
Falls der Draht sei so dunn ist, da
das Linienelement dr parallel zur Stromdichte j ist und
die Funktion : : : sich nicht wesentlich andert uber den Drahtquerschnitt,
folgt daraus
Z
dV j(r) : : : =
Z
Z
dr dAj(r) : : : = I
Z
dr : : : :
(6.107)
Falls das Volumen einen geschlossenen Leiter umschliet gilt also
Z
V
I
dV j(r) = I dr = 0:
(6.108)
Oberachenstrome
Oberachenstrome sind eine achenhafte Stromverteilung, wobei j keine Komponente senkrecht zur
Flache haben soll. Anstelle der Flachenelemente bei dreidimensionalen Stromverteilungen treten jetzt
105
Linienelemente dr. Die Oberachenstromdichte ist pro Lange des Linienelements deniert. Sei n die
Flachennormale und h die innitesimale Dicke der Flache. Dann ist das Flachenelement dA, durch
den der Strom tritt, senkrecht zur Flachennormale n und senkrecht zum Linienelement dr
dA = h n dr
(6.109)
und der durch dieses Flachenelement tretende Strom
dI = jdA = (hj) (n dr) := job (n dr):
(6.110)
Um einen endlichen Oberachenstrom zu erhalten mu also die Stromdichte j ! 1 und h ! 0 so da
das Produkt hjjj endlich ist.
job = hlim
hj
(6.111)
!
0
j !1
106
Abbildung 6.7: Magnetischer Flu durch die Oberache A.
6.3 Krafte und Felder
Experimentelle Beobachtungen zeigen, da es Gebiete im Raum gibt, in denen auf Ladungen eine
Kraft wirkt. Diese Kraft F heit Lorentz-Kraft. Sie ist proportional zur Groe der Probeladung q und
sie hangt linear von der Geschwindigkeit v ab, mit der sich q bewegt, und zwar so, da gilt
v
F = q E + c B :
(6.112)
Diese Gleichung stellt die Denition fur die Felder E(r; t) und B(r; t) dar. Der Faktor c ist die Licht-
geschwindigkeit im Vakuum. Die Einfuhrung dieses Faktors hangt vom zugrundegelegten Masystem
ab und stellt sicher, da im cgs-System die Felder E und B die gleiche Dimension haben, namlich
E; B Feld = [Kraft=Ladung] = [gcm=s2 ]=[g cm s 1 ] = [g cm s 1 ]
1
2
3
2
1
2
1
2
(6.113)
E heit das elektrische Feld und B heit die magnetische Fludichte oder magnetische Induktion.
Die Wahl dieser Namen hat historische Grunde. Fest steht jedenfalls, da die Felder E und B die
grundlegenden Grossen sind. Die Groen D und H, die dielektrische Verschiebung und dasMagnetfeld,
sind abgeleitete Groen, die nur in Materie auftreten. Eigenlich hatte man besser dem Feld B den
Namen Magnetfeld gegeben.
Wenn man eine Flache A betrachtet, dann ist der durch diese Flache tretende magnetische Flu m
und der elektrische Flu e deniert als
m =
Z
A
BdA
e =
Z
A
EdA
(6.114)
Da die Probleladung q ein Skalar ist, und da F ein Vektor ist handelt sich es beim elektrischen Feld
um ein Vektorfeld, d.h. an jedem Punkt des Raumes r haben wir einen Vektor E(r; t), der sich bei
Rotationen des Koordinatensystems verhalt wie ein Vektor.
Ebenso ist B ein Vektorfeld. Es gibt jedoch einen Unterschied zwischen diesen beiden Felder: bei
Spiegelungen (r ! r verhalt sich E wie F, d.h wie ein polarer Vektor (E ! E) und B wie ein
axialer Vektor (B ! B)
Bei kontinuierlichen Ladungs- und Strom-Verteilungen wirkt auf jedes Ladungselement dQ = dV die
Kraft f dV . f ist dabei die Kraftdichte und wir erhalten
f = E + 1 j B
(6.115)
c
107
Die Gesamtkraft auf das Volumen V ist dann
F=
und das gesamte Drehmoment ist
Z
d3 r (E + 1c j B)
V
Z
M=
V
(6.116)
d3 r(r f ):
(6.117)
Die Arbeit, die man aufwenden mu um die Ladung q vom Punkt 1 zum Punkt 2 zu fuhren ist
W (1; 2) =
Z2
1
Fdr =
Z2
1
Z2
1
q(E + c v B)dr = q Edr:
1
(6.118)
Die Spannung U (1; 2) zwischen den Punkten 1 und 2 ist deniert als die zu leistende Arbeit pro
Ladung, d.h.
U (1; 2) =
Z2
1
Edr
(6.119)
Die Dimension der Spannung ist Arbeit/Ladung. Die u bliche Einheit ist das Volt:
1V = 1[J=C ]
(6.120)
Wenn man also Ladungen in Feldern bewegt, wird Arbeit geleistet. Bei einer kontinierlichen zeitabhangigen Ladungsverteilung ist die im Volumenelement dV im Zeitintervall dt geleistete Arbeit gegeben
durch die Leistungs dV .
(6.121)
(r; t)dV = dQ E ddtr = vEdV
Die Leistungsdichte (r; t) ist also
(r; t) = jE
108
(6.122)
6.4 Maxwell's Gleichungen
Wir haben nun Ladungen und Strome deniert und gesehen, da auf diese Groen an bestimmten
Stellen des Raumes Krafte wirken. Dadurch haben wir die Felder E und B deniert. Die wesentliche
Aussage der Elektrodynamik ist nun die, da die Ladungen und Strome ihrerseits Felder erzeugen.
Dieser Zusammenhang wird durch die Maxwell'schen Gleichungen gegeben. Wir stellen diese Gleichungen an den Anfang aller unserer U berlegungen u ber die Elektrodynamik und zeigen anschlieend,
wie sie sich experimentell begrunden lassen.
Diese Gleichungen machen Aussagen uber div und rot von E und B. Dadurch legen sie diese Felder
bis auf Randbedingungen fest.
div E =
rot E =
div B =
rot B =
4
1 B_
c
0
4 j + 1 E_
c
c
(6.123)
(6.124)
(6.125)
(6.126)
Mit Hilfe der Integralsatze von Gauss und Stokes lassen sich diese Gleichungen auch integral schreiben:
I
EdA = 4Q
I
Edr = 1c _ m
I
BdA = 0
I
Bdr = 4c I + 1c _ e
(6.127)
(6.128)
(6.129)
(6.130)
Der letzte Term in Gl. (6.130), die zeitliche A nderung des elektrischen Flusses, ist proportional zum
sogenannten Verschiebungsstrom
Z
IV = 41 dtd EdA = 41 _ e:
(6.131)
Diese Gleichungen sind
partielle Dierentialgleichungen erster Ordnung in den Koordinaten und der Zeit
linear (Superpositionsprinzip)
gekoppelt. Nur bei stationaren Prozessen, d.h. dann wenn die Zeitableitungen verschwinden,
entkoppeln die beiden ersten von den beiden zweiten Gleichungen. In diesem Fall kann man
elektrische und magnetische Phanomene getrennt behandeln: Elektrostatik und Magnetostatik.
zwei der Gleichungen sind homogen, zwei inhomogen mit den Inhomogenitaten und j. Diese
Unsymmetrie hat ihre Ursache darin, da es weder magnetische Ladungen, noch magnetische
Strome gibt.
109
auf den ersten Blick scheinen diese Gleichungen uberbestimmt, da man 8 Gleichungen fur die 6
Unbekannten Ex ; Ey ; Ez und Bx; By ; Bz hat. Dies ist aber nicht der Fall, da jedes Vektorfeld
durch seine Divergenz und seine Rotation festgelegt sind (siehe Abschnitt 6.1.7).
Im einzelnen haben diese Gleichungen den folgenden physikalischen Inhalt:
6.4.1 Das Gauss'sche Gesetz
Die Ladungen sind die Quellen des elektrischen Feldes. Die Begrundung ergibt sich aus dem experimentellen Befund des Coulomb-Gesetzes:
F(r) = qr1q22 rr
(6.132)
Wenn wir eine dieser beiden Ladungen als Probeladung betrachten, erhalten wir das von der am
Ursprung bendlichen Ladung q erzeugte elektrische Feld
E(r) = rq rr
(6.133)
Bei einer diskreten Ladungsverteilung von einzelnen Ladungen qi an den Punkten ri ist das elektrische
Feld
Z
0
X
(6.134)
E(r) = jr qir j2 jrr rrij = d3 r0(r0 ) jrr rr0 j3
i
i
Mit Hilfe der Relation
i
grad 1r = r 1r =
konnen wir das Feld folgendermaen ausdrucken
E(r) =
r
Z
r
r3
0
d3 r0 jr(r r)0 j
(6.135)
(6.136)
Im nachsten Schritt berechen wir die Divergenz des Feldes und benutzen dabei die Relation (6.68)
(6.137)
1 = 4(r)
r
und nden die erste Maxwell-Gleichung:
Z
Z
d3 r0 jr(r r)0 j = 4 d3 r0 (r r0 ) (r0 ) = 4(r)
Die erste Maxwell-Gleichung ist also eine unmittelbare Folge des Coulomb-Gesetzes.
divE =
0
(6.138)
6.4.2 Das Induktionsgesetz
Ein zeitlich veranderliches Magnetfeld induziert ein elektrisches Wirbelfeld:
I
Z
1
d
Edr =
BdA
c dt
A
(6.139)
Dies ist genau die integrale Fassung der zweiten Maxwell-Gleichung. Bisher haben wir die bewegte
Leiterschleife in unsere U berlegungen nicht mit eingeschlossen.
110
Abbildung 6.8: Magnetfeld eines geradlinigen Leiters.
6.4.3 Quellenfreiheit des B-Feldes
Die dritte Maxwell-Gleichung besagt, da das Magnetfeld keine Quellen hat, d.h. es existieren keine magnetischen Ladungen, auch magnetische Monopole genannt. Tatsachlich spricht mathematisch
nichts dagegen auch magnetische Ladungen und Strome einzufuhren. Dirac hat dies im Jahre 1929
vorgeschlagen. Im Zusammenhang mit der Quantentheorie fuhrt dies zu interessanten Konsequenzen.
Experimentell wurden aber derartige Dirac'sche Monopole nie gefunden, obwohl intensiv nach ihnen
gesucht wurde.
6.4.4 Das Gesetz von Biot-Savart und Ampere
Zunachst betrachten wir einen stationaren Strom (d.h. E_ = 0). Experimentell nden wir dann, da
eine Stromverteilung j(r) folgendes Magnetfeld erzeugt:
Z
0
1
(6.140)
d3 r0 j(r0 ) r r
B(r) =
jr r0j3
c
Bei einer Stromverteilung in einem dunnen Leiter lat sich diese Gleichung umformen:
Z
0
I
B(r) = c dr0 jrr rr0j3
Fur einen geradlinig unendlich ausgedehnten Leiter langs der x-Achse erhalten wir:
Z1 sin((x0 )) I Z1
I
B (r) = c dx0 r2 + x02 = c dx0 (r2 + rx02 )3=2 = 2crI ;
1
1
(6.141)
(6.142)
wobei r der Abstand von der Achse ist.
Schlielich wollen wir zeigen, da das Biot-Savart'sche Gesetz mit der statischen Version der vierten
Maxwell-Gleichung aquivalent ist. Dazu formen wir zunachst Gl. (6.140) um
Z
Z
0
1
1
1
3
0
0
B(r) =
d r j(r ) r
= rot d3 r0 j(r )
(6.143)
c
jr r0j
c
jr r0j
B ist hat alo nur eine transversale Komponente. Die longitudinale Komponente verschwindet
divB = 0:
111
(6.144)
Abbildung 6.9: Der Verschiebungsstrom in einem Kondensator.
und dann daruber hinaus
Z
0) 1
j
(
r
3
0
rot B = c r r d r jr r0j
Z
0
= 1c (graddiv ) d3 r0 jrj(r r)0 j
Z
Z
0)
1
1
j
(
r
3
0
= c d r jr r0 j + c grad d3 r0 j(r0 )r jr 1 r0 j
Z
Z
= 4 d3 r0 j(r0 ) (r r0 ) 1 grad d3 r0 j(r0 )r0 1
c
c
Z
1
4
= c j(r) + c grad d3 r0 r0 j(r0 ) jr 1 r0 j
= 4c j(r)
jr r0j
(6.145)
denn der letzte Term verschwindet wegen der Kontinuitatsgleichung (divj = 0).
Die Umkehrung folgt aus der Tasache, da B durch rotB, divB und die Randbedingung (B ! 0 fur
r ! 1) festgelegt ist.
6.4.5 Der Verschiebungsstrom
Bei zeitabhangigen Feldern hat Maxwell die Stromstarke des Verschiebungsstroms eingefuhrt:
(6.146)
jV = 41 E_
Die Wirbel des magnetischen Feldes werden durch ein zeitlich veranderliches elektrisches Feld beeinut. jV wirkt wie eine Stromdichte. Der Name Verschiebungsstrom ist nur historisch. Es handelt sich
dabei um keinen Strom im eigentlichen Sinne, da man es nicht mit bewegten Ladungen zu tun hat.
Nur mit diesem Zusatzterm ist die Kontinuitatsgleichung erfullt:
0 = r(r B) = 4 divj + 1 divE_ = 4 (div j + _)
(6.147)
c
c
112
c
6.5 Potentiale und Wellengleichung
Es ist praktisch die Felder so darzustellen, da einzelne der Maxwell-Gleichungen identisch erfullt sind.
Dies wird zu einer Entkopplung der Gleichungen und zu einer Verringerung der Zahl der Variablen
fuhren.
Zum Beispiel fuhrt in der Elektrostatik die Gleichung
rot E = 0
(6.148)
dazu, da man E als ein Gradientenfeld darstellen kann (siehe Abschnitt 6.1.7):
E=
wobei
grad :
Zr
(r) =
r
bei festem Punkt r0 nicht vom Wege abhangt:
I
C (A)
0
Edr
Z
Edr = (rotE)dA = 0:
A
(6.149)
(6.150)
(6.151)
und man oft r0 ! 1 nach unendlich gehen lat.
Wahrend dies nur im Falle der Elektrostatik gilt wo B_ = 0, verschwindet die Divergenz von B immer.
B lat sich daher als Wirbeleld darstellen (siehe Abschnitt 6.1.7):
B = rotA
(6.152)
mit dem Vektorpotential A(r).
Wenn wir dies in das Induktionsgesetz rotE = 1c B_ einsetzen, nden wir
rot(E + 1 A_ ) = 0
c
(6.153)
E + 1c A_ lat sich also als Gradientenfeld darstellen und wir erhalten
E=
1@A
grad c @t
(6.154)
A ! A + grad ;
(6.156)
mit dem skalaren Potential (r).
Durch diese Wahl der elektromagnetischen Potentiale sind die homogenen Maxwell-Gleichungen identisch erfullt. Die elektromagnetischen Potentiale und A sind dabei nicht eindeutig bestimmt, vielmehr ergeben sich dieselben Felder E und B wenn man eine Eichtransformation durchfuhrt:
! 1 ;_
(6.155)
c
113
wobei (r; t) eine beliebige Funktion ist. Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen lauten:
r(r + 1 A_ ) = 4;
c
r (r A) + 1c (r_ + 1c A )
Mit Hilfe der Relation
r (r A)
=
= 4c j:
r(rA)
A
lat sich dies noch weiter umformen in
1  1 @ ( 1 _ + rA) = 4;
c @t c
1 A A + r( 1 _ + rA) = 4 j:
c2
c
c
c2
(6.157)
(6.158)
(6.159)
(6.160)
(6.161)
Diese Gleichungen sind immer noch gekoppelt. Wir konnen allerdings die Freiheit der Eichung benutzen
und die Potentiale A und so wahlen, da gilt
1 _ + rA = 0:
c
(6.162)
In dieser sog. Lorentz-Eichung entkoppeln die Gleichungen fur die Potentiale und wir erhalten die
Wellengleichungen:
1 @2 c2 @t2
1 @2 A
c2 @t2
= 4
A = 4 j
c
(6.163)
(6.164)
Mit Hilfe des D'Alembert-Operators (auch Quabla-Operator genannt)
@2
2 c12 @t
2
= @ @ (6.165)
lassen sie sich auch schreiben als
2 = 4;
2A = 4c j:
(6.166)
(6.167)
Noch ein Wort zur Eichung: Bei beliebigen Potentialen und A ist die Eichfunktion , die zur
Lorentz-Eichung fuhrt durch die Dierential-Gleichung
2 = 1c _ + rA
(6.168)
bestimmt. Sie ist dadurch naturlich noch nicht eindeutig festgelegt. Vielmehr gibt es mehrere Eichungen, die die Lorentz-Bedingung (6.162) erfullen. Wenn wir namlich (r; t) ersetzen durch
(r; t) =) (r; t) + '(r; t);
114
(6.169)
wobei die Funktion '(; t) eine Losung der freien Wellengleichung ist
2' = 0;
(6.170)
dann gilt fur die neue Eichfunktion + ' wieder die Lorentzbedingung (6.162).
Die Klasse von Lorentz-Eichungen wird sehr gerne gewahlt, da sie invariant ist gegenuber Lorentztransformationen.
Weitere Eichungen, die diese Invarianz nicht besitzen, sind
Coulomb-Eichung: rA = 0;
Temporale Eichung: A0 = 0;
Axiale Eichung: A3 = 0;
Fur die Coulomb-Eichung haben die Bewegungsgleichungen folgende Form:
= 4;
(6.171)
2A = 4c j 1c r_ ;
Fur das skalare Potential erhalten wir also als Losung eine instantanes Coulomb-Potential (ohne
Retardierung)
Z
0
(r; t) = d3 r0 jr(r ;rt0)j ;
(6.172)
Der Gradient der Zeitableitung dieses Potentials r_ ergibt mit Hilfe der Kontinuitatsgleichung (6.103)
den longitudinalen Anteil des Stromes (siehe Gl. (6.72)).
Z
j(r0 ; t) ;
1
(6.173)
jl = 4 r d3 r0 div
jr r0 j
In der Inhomogenitat der Gleichung fur A tritt also nur der transversale Anteil der Stromverteilung
auf.
Z
0
(6.174)
jt = 41 r r d3r0 jjr(r ; rt)0j ;
Man nennt die Coulomb-Eichung daher auch transversale Eichung oder Strahlungs-Eichung, da sie in
der Strahlungstheorie haug verwendet wird.
115
6.6 Erhaltungssatze
6.6.1 Ladung
Der Erhaltungsatz der Ladung bildete eine wesentliche Grundlage bei der Aufstellung der MaxwellGleichungen. Er ergibt sich daher aus ihnen.
1
c
_
(6.175)
div j = 4 divrotB c divE = 0 = ;_
6.6.2 Energie-Bilanz
Um die Energiebilanz zu ziehen, gehen wir von der an den Ladungen geleisteten Arbeit aus. Nach
Gl. (6.122) ist die zugehorige Leistungsdichte gegeben durch jE. Mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen
konnen wir umformen:
jE = 4c E(r B) 41 EE_
= 4c div (E B) + 4c BrotE 41 EE_
= divS 41 BB_ + EE_
(6.176)
= divS @u
@t
mit dem Poynting-Vektor
S = 4c (E B);
(6.177)
und der Dichte der elekro-magnetischen Feld-Energie
u = 81 E2 + B2 :
Insgesamt haben wir also die Bilanz-Gleichung
@u +
@t
rS
=
(6.178)
jE;
(6.179)
die besagt, da sich die elektromagnetische Feld-Energie in bestimmten Raumvolumen entweder durch
Strahlung durch die Oberache oder durch Ohmsch'e Warme, d.h. durch Leistung an den geladenen
Teilchen andern kann. Die Gesamtenergie E setzt sich aus Feldenergie
Z
Efeld = 81 (E2 + B2 ) d3 r
(6.180)
und mechanischer Energie
V
Z
dE
=
jEd3r
mech
dt
(6.181)
V
zusammen. Die zeitliche A nderung der Gesamtenergie ist gegeben durch den Energiestrom, der durch
die Oberache das Volumen verlat
dE = d (E + E ) =
dt
dt feld mech
116
Z
S (V )
dES:
(6.182)
Abbildung 6.10: Lage des Poynting-Vektors beim stromdurchossenen Draht.
Als Beispiel betrachten wir einen geraden stromdurchossenen Draht. Im Leiter herrscht das Feld E
und die Stromverteilung j. Sie erzeugt ein azimutales Magnetfeld, dessen Starke B vom Abstand r
von der Drahtachse abhangt.
2r B (r) = 4 I (r);
B (r) = 2 jr
(6.183)
c
c
Der Poynting-Vektor ist also radial nach innen in den Draht gerichtet
S = 4c (E B) = 12 Ej r:
(6.184)
6.6.3 Impuls-Bilanz
Wir gehen aus von der Dichte der Lorentz-Kraft in Gl. (6.115)
f = E + 1 j B
c
(6.185)
und ersetzen die darin auftretenden Dichten und Strome mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen:
f = 41 (div E) E + 41 rotB 1c E_ B
1 B (r B)
1 @ (E B) + 1 (E B_ ) + 1 E(rE)
= 4c
@t
4c
4
4
@
g
1
= @t
4 (E (r E) E(rE))
1
(6.186)
4 (B (r B) B(rB)) :
Der letzte Term verschwindet wegen der Divergenzfreiheit des Magnetfelds und die Impuls-Dichte g(r)
ist deniert als
1 (E B):
g = 4c
(6.187)
Die Auswertung des doppelten Kreuzprodukts liefert
1
1
@
g
2
f = @t 4 2 rE (Er)E E(rE)
1 1 rB2 (Br)B B(rB)
4 2
117
(6.188)
Die letzten Terme konnen wir als Divergenz des Impulsstromdichte-Tensors
1
1
2
2
Tik = 4 Ei Ek + Bi Bk 2 ik (E + B )
darstellen:
[div T]i =
X
k
(6.189)
@k Tki
1
= 4 (rE)Ei + (Er)Ei 21 @i E2
1
2
+ (rB)Bi + (Br)Bi 2 @i B
(6.190)
Insgesamt gilt also folgende Bilanz-Gleichung fur die Impulsverteilung:
@g
@t
Div T =
f
(6.191)
Dies bedeuted global, da in jedem Volumen eine Kraftebilanz herrscht. Die zeitliche A nderung des
Feldimpulses in dem Volumen plus der Impuls, der pro Zeiteinheit durch die Oberache tritt kompensieren gerade die mechanische Kraft F auf die Ladungen und Strome.
Im statischen Falle verschwindet g_ und es wirkt die Kraftdichte
f = DivT
Die Gesamtkraft ergibt sich durch Integration
F=
was in Komponentenschreibweise heit
Fi =
I
dAT;
IX
k
dAk Tki
Diese Kraft hat einen elektrischen und einen magnetischen Anteil
I
I
1
1
Fe = 4 (dAE)E 8 dA(E2 );
I
I
Fm = 41 (dAB)B 81 dA(B2 ):
(6.192)
(6.193)
(6.194)
(6.195)
(6.196)
Als Beispiel wollen wir die Kraft auf einen Leiter berechnen, der sich in einem elektrischen Feld
bendet. Da die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes auf der Leiteroberache verschwindet,
ist dA parallel zu E, d.h. (dA E)E = dA(E E) und durch Integration uber die Oberache des
Leiters ergibt sich die folgende Gesamtkraft
I
1
F = 8 dA(E2 )
(6.197)
Da sich der Druck auf der Leiteroberache als Kraft pro Flache ergibt, nden wir, da der Druck
gleich der Energiedichte des Feldes ist.
118
Kapitel 7
Elektrostatik
Im statischen Fall verschwinden in den Maxwell-Gleichungen die Zeitableitungen E_ und B_ . Dann
entkoppeln die vier Gleichungen und man kann elektrische und magnetische Probleme unabhangig
von einander untersuchen.
7.1 Poisson-Gleichung
Die Grundgleichungen der Elektrostatik lauten
div E = 4;
rot E = 0;
(7.1)
(7.2)
Wegen der Wirbelfreiheit lat sich das elektrische Feld E als ein Gradientenfeld darstellen:
E=
grad :
(7.3)
Durch Einsetzen in das Gau'sche Gesetz ergibt sich damit die Poisson-Gleichung fur das Potential
:
= 4
(7.4)
In Gebieten, in denen die Ladungsdichte verschwindet gilt die Laplace-Gleichung
= 0:
(7.5)
Die Poisson-Gleichung (7.4) ist die Grundgleichung der Elektrostatik, die unter vorgegebenen Randbedingungen zu losen ist.
Falls wir den gesammten R3 betrachten, und in ihm eine auf einen endlichen Raumbereich beschrankte
Ladungsverteilung (r) gegeben ist, konnen wir annehmen, da das Potential im Unendlichen verschwindet und als Green'sche Funktion der Laplace-Gleichung
G(r; r0 ) = (r r0 );
die folgende Funktion benutzen
1 1 :
4 jr r0 j
G(r; r0 ) =
119
(7.6)
(7.7)
Abbildung 7.1: Potential und Feld bei ebener Ladungsverteilung.
Daraus ergibt sich als Losung der Poisson-Gleichung mit den geforderten Randbegingung
Z
(r) = d3 r0 (r)
jr r0 j
(7.8)
Das zugehorige elektrische Feld ergibt sich dann durch Ableitung
r
E (r ) =
=
Z
0
d3 r0 (r0 ) jrr rr0j3
(7.9)
Als Beispiele betrachten wir
Felder mit ebener Symmetrie, bei denen die Ladungsverteilung nur von einer Koordinate
x abhangt: (r) = (x). Aus Symmetriegrunden konnen wir dann annehmen, da auch das
Potential nur von x abhangt. Die Poisson-Gleichung mit ihrer Losung lautet dann
00 (x) =
4(x)
(7.10)
Zx
0(x) = Ex (x) = 4 (x0 )dx0
(7.11)
x0
Bei der einer Oberachenladung (x) = (x) ergibt sich daraus
Ex (x) = 2;
(x) = 2x
fur x =
(
>0 :
<0
(7.12)
Felder mit zylindrischer Symmetrie. Bei Einfuhrung von Zylinderkoordinaten (z,r,') hat
der Nabla-Operator die Form
r
Die Divergenz eines Feldes
lautet somit
ra
@ + 1e @ + e @
= er @r
z @z
r ' @'
(7.13)
a(r) = ar er + a'e' + az ez
(7.14)
@ ra + 1 @ a + @ a ;
= 1r @r
r
r @' ' @z z
(7.15)
120
Abbildung 7.2: Potential und Feld bei zylindrischer Ladungsverteilung.
und der Laplace-Operator ist gegeben durch
@ r @ + 1 @2
= 1r @r
@r r2 @'2
@r@
L2z +
= 1r @r
@r
r2
@2
+ @z
2
@2
@z2
(7.16)
Bei zylindrischer Symmetrie hangen weder das Potential noch das Feld E von den Koordinaten
z und ' ab. Wir gehen sofort vom Gau'schen Gesetz aus
(7.17)
div E = 1 @ (rE (r)) = 4(r)
r
r @r
und erhalten fur das Feld
Z
Er (r) = 4r (r0 )r0 dr0
(7.18)
Z
@r (r) = 4r (r0 )r0dr0
(7.19)
r
0
und fur das Potential
r
0
Fur einen homogenen Zylinder vom Radius R mit konstanter Ladungsdichte ergibt sich daraus
innen : E (r) = 2r;
auen : E (r) = 2
(7.20)
r
(r) =
r
r2 + const
(r) =
r
2 ln r + const;
wobei die Linien-Ladungsdichte deniert ist durch
Z1
= 2 (r)rdr:
(7.21)
0
Felder mit Kugelsymmetrie. Wir fuhren Kugelkoordinaten (r; ; ') ein. Dann hat der NablaOperator die Form
r
@ + 1e @ + 1 e @ = e @
= er @r
r @r
r @ r sin ' @'
121
i
r 2 (r L )
(7.22)
Die Divergenz eines Feldes
lautet somit
a(r) = ar er + a e + a'e'
(7.23)
@ (r2 a ) + 1 @ (sin a ) + 1 @ a
= r12 @r
r
r sin @
r sin @' '
und der Laplace-Operator ist gegeben durch
2
2
= 1@ r L
ra
r @r2
r2
(7.24)
(7.25)
wobei L2 das Quadrat des Drehimpulsoperators (7.26) ist:
1
2
@
1
@
1 @2 :
=
r
r
(7.26)
sin
i
sin @
@
sin2 @'2
Bei spharischer Symmetrie hangen weder das Potential noch das Feld E von den Winkeln und ' ab. Wir gehen wieder sofort vom Gau'schen Gesetz aus
L2 =
Er (r) =
@ (r) = 4 Z (r0 )r02 dr0
@r
r2 0
r
Wenn wir noch die Gesamtladung
Z1
Q = 4 (r)r2dr
(7.27)
(7.28)
0
einfuhren, erhalten wir zum Beispiel fur eine homogen geladene Kugel mit Radius R und konstanter Ladungsdichte innen : Er (r) = 43 r = RQ3 r
auen : Er (r) = rQ2 ;
(7.29)
(r) = Qr + const
(7.30)
(r) = 23 r2 + const
!
1 3 r 2
Q
(7.31)
=
= Q
R2
R
r
Im allgemeinen ist
Er (r) = Qr(2r)
mit
Zr
Q(r) = 4 (r0)r02 dr0
0
(7.32)
7.2 Multipol-Entwicklung
In vielen Fallen benotigen wir die Felder nur in Gebieten des Raumes, die weit weg sind von den
zugehorigen Quellen. In diesem Falle hangen die Felder nur wenig von den Details der Ladungsverteilung ab, sie sind vielmehr durch wenige charakteristische Groen, den sogenannten Momenten der
Ladungsverteilung gegeben.
122
Abbildung 7.3: Potential und Feld bei kugelsymmetrischer Ladungsverteilung.
Abbildung 7.4: Multipol-Entwicklung des Potentials.
Wir gehen dabei von einer Ladungsverteilung (r) aus, die auf einen endlichen Raumbereich der
Ausdehnung a beschrankt sind, und betrachten das Potenital an einer Stelle r, die weit auerhalb
dieses Bereiches liegt. Der exakte Ausdruck fur das Potential an der Stelle r lautet
Z
0
(7.33)
(r) = d3 r0 (r ) :
jr r0j
Falls die Ausdehnung a der Ladungsverteilung sehr klein ist gegenuber dem Abstand r (a r), konnen
wir eine Taylor-Entwicklung nach den kleinen Parametern x0i =r durchfuhren und erhalten die
7.2.1 Multipolentwicklung in kartesischen Koordinaten
jr
1
r0 j =
1
r
= 1r +
X 0 @ 1 1X 0 0 @ @ 1
+ 2 xi xk @x @x r : : :
xi
i k
i @xi r
ik
X 0 xi 1 X 0 0 3xixk r2ik
i
xi r 3 + 2
ik
xi xk
r5
+ :::
Durch Einsetzen in Gl. (7.33) erhalten wir fur das Potential in der Fernzone (a r):
1 X Q 3xi xk r2 ik
(r) = Qr + pr
+
r3
2 ik ik
r5
mit den folgenden Momenten der Ladungsverteilung
Q =
Z
(r)d3 r;
Gesamtladung
123
(7.34)
(7.35)
(7.36)
(7.37)
p =
Qik =
Z
r(r)d3 r;
Z
1
xi xk 3 r2 ik (r)d3 r;
Der diagonale Zusatzterm gibt keinen Beitrag zu X
ik
ik (3xi xk r2ik ) =
Dipolmoment
(7.38)
Quadrupol Tensor
(7.39)
X 2 2
(3xi r ) = 0;
i
(7.40)
und ist so bestimmt, da der Quadrupol-Tensor bei einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung verschwindet:
Z
Z
1
3
(7.41)
xi xk (r)d r = ik 3 r2 (r)d3 r:
Diese Multipol-Entwicklung in kartesischen Koordinaten erweist sich bei hohen Multipolmomenten als
recht kompliziert. Es stellt sich als einfacher heraus die Multipolentwicklung in den fur das kugelsymmetrische Problem angemessenen Koordinaten durchzufuhren.
7.2.2 Multipol-Entwicklung in spharischen Koordinaten
Die Funktion
1
1
(7.42)
jr r0j = pr2 + r02 2rr0 cos()
hangt dann von den Abstanden r und r0 des Beobachtungspunktes r und des Ladungspunktes r0 und
von dem Zwischenwinkel = rr0 =rr0 ab. Wir benutzen die Relation
(
1 rl
1 = X
r< = min(r; r0 )
< P (cos )
(7.43)
mit
l
l
+1
0
r> = max(r; r0 )
jr r j l=0 r>
Pl (x) sind die nach dem Mathematiker Adrien Marie Legendre (1752-1833) benannten Polynome
P0 (x) = 1;
P1 (x) = x;
P2 (x) = 12 (3x2 1);
P3 (x) = 21 (5x3 3x);
:::
dl (x2 1)l
Pl (x) = 21l l! dx
l
(7.44)
(7.45)
(7.46)
(7.47)
(7.48)
Von groer Bedeutung ist das Additionstheorem
Xl
Ylm (') Ylm (0'0 ):
Pl (cos ) = 2l4+ 1
m= l
(7.49)
dm P (x)
Plm(x) = (1 x2) m dx
m l
(7.50)
mit den Kugelachen-Funktionen (spherical harmonics) Ylm , die von den Richtungswinkeln von r und
r0 abhangen. Sie sind festgelegt durch die assoziierten Legendre-Polynome
2
124
fur m 0 und Pl m (x) = ( )m ((ll+mm)!)! Plm (x):
s
s
)! P m (cos ) eim' :
Ylm(') = ( )m 2l4+ 1 ((ll + m
m)! l
(7.51)
Inbesondere gilt
Y00 = p1 ;
r43
i'
Y11 =
8 sin e ;
Y10 =
Y22 =
r3
r 415
rY11 =
cos ;
2
rY10 =
2i'
r2 Y22 =
sin e ;
r3215
cos sin e2i' ;
Y21 =
8
r 5
Y20 = 16 (3 cos2 1)
:::
Yl;
m
r3
r 3 8
(7.52)
(x + iy);
z;
r415
(7.54)
2
(x + iy) ;
r3215
r2Y21 =
z(x + iy)
8
r 5
2
r Y20 = 16 (2z2 x2 y2 )
= ( )m Ylm
(7.53)
(7.55)
(7.56)
(7.57)
(7.58)
(7.59)
Wenn wir die spharischen Koordinaten
r1 = p1 (x iy);
2
einfuhren, gilt
r0 = z
(7.60)
r3
(7.61)
4 rm
Man nennt Funktionen oder Operatoren, die sich bei Drehungen wie die Ylm verhalten, spharische
Tensoren der Stufe l.
Der Satz der Funktionen Ylm bildet einen vollstandigen orthonormierten Satz von Basisfunktionen im
Raum der von den Winkeln = (; ') abhangigen Funktionen, die auf der Kugeloberache deniert
sind. Es gelten die Orthogonalitatsrelationen
rY1m =
Z
d
Ylm (
)Yl0m0 (
) = ll0 mm0 ;
mit dem Volumenelement d
= sin dd', und die Vollstandigkeitsrelationen
(r r0 ) X Y (
)Y (
0) = (r r0 ):
r2
lm
lm
lm
(7.62)
(7.63)
Auerdem sind diese Funktionen Eigenfunktionen zu den hermiteschen Drehimpulsoperatoren L2 und
Lz :
L2 Ylm = l(l + 1) Ylm ;
Lz Ylm = m Ylm:
125
(7.64)
(7.65)
wobei
@:
Lz = 1i @'
(7.66)
Bezuglich der u brigen Komponenten des Drehimpulses Lx und Ly sind sie keine Eigenfunktionen. Sie
genugen jedoch bezuglich der Operatoren
@
@ ;
+ i cot @'
L+ = Lx + iLy = ei' @
@
@
i'
L = Lx iLy = e
@ + i cot @' :
(7.67)
(7.68)
den folgenden Auf- und Absteige-Relationen:
q
L+ Ylm = l(l + 1) m(m + 1) Yl;m+1 ;
q
L Ylm = l(l + 1) m(m 1) Yl;m 1 :
(7.69)
(7.70)
Wir benutzen nun die Darstellung (7.43) und erhalten fur groe Abstande r a folgende Entwicklung:
s
l
Ylm (') :
4 X
Q
lm
rl+1
l=0 2l + 1 m= l
mit den spharischen Multipolmomenten
s
Z
4
Qlm = 2l + 1 d3 r (r) rl Ylm(')
Die entsprechenden Multipol-Felder erhalten wir in spharischen Koordinaten
s
4 Q l + 1 Y (');
Er =
2l + 1 lm rl+2 lm
s
1 @ 4
E =
2l + 1 Qlm rl+2 @ Ylm (');
s
4 Q 1 i m Y (');
E' =
2l + 1 lm rl+2 sin lm
(r) =
1
X
(7.71)
(7.72)
(7.73)
(7.74)
(7.75)
(7.76)
7.2.3 Dipol-Felder
Ausgehend vom Dipol-Anteil des Potentials
erhalten wir das Dipol-Feld ED =
cos D = pr
r3 = p r2
r pr
r3
2
= 3(pr)rr5 r p + 43 p(r) / r13 :
(7.77)
(7.79)
Die -Funktion spielt in der Fernzone keine Rolle. Sie ergibt sich aus der Tatsache, da das Integral uber eine Kugel,
die die gesamte Ladungsverteilung (r) enthalt folgenden Wert annimmt:
Z
4 p:
3
(7.78)
d rE(r) =
3
r<R
126
Abbildung 7.5: Dipol-Feld fur p = pez .
Falls das Dipolmoment in z-Richtung ausgerichtet ist (p = pez ) ergibt sich
= rp2 cos (7.80)
und
Er = 2rp3 cos ;
E = rp3 sin ;
E' = 0:
(7.81)
(7.82)
(7.83)
Man kann sich nun die Frage stellen, wie eine Ladungsverteilung aussehen mu, da sich ein reines
Dipolfeld ergibt. Dazu benutzen wir die Poisson-Gleichung (7.4)
1 pr 1 = pr(r) = divP;
D = 41 pr
=
(7.84)
r3
4
r
mit der Dipoldichte
P(r) = p(r):
(7.85)
Wenn wir den Koordinaten-Ursprung um einen Vektor a verschieben (r ! r + a) andert sich auch das
Dipolmoment
Z
p ! p + a(r) d3 r = p + Qa:
(7.86)
Nur bei verschwindender Gesamtladung Q ist das Dipolmoment unabhangig vom Ursprung. Dies gilt
auch in abgewandelter Form fur die hoheren Multipolmomente: Wenn bei einer Ladungsverteilung
alle Multipolmomente der Ordnung < l verschwinden, ist das Multipolmoment der Ordnung l von der
Wahl des Koordinatenursprungs unabhangig.
Man kann einen reinen Dipol darstellen als Grenzfall zweier entgegengesetzter Ladungen q und q im
Abstand s = p=q:
s ) q(r + s ))
(
q
(
r
D = pr(r) = lim
(7.87)
s!
2
2
0
wo
q!1
Z s ) q(r + s ) d3 r = lim qs
r
q
(
r
p = lim
s!
s!
2
2
0
0
q!1
q!1
127
(7.88)
Abbildung 7.6: Elektrisches Feld einer homogen polarisierten Kugel.
Die Kraft, die auf einen idealen Dipol p an der Stelle r wirkt ist
Z
Z
d3 r0 D (r0 )E(r0 ) =
d3 r0 E(r0 )(pr0 )(r0 r)
Z
= d3 r0 (r0 r)(pr)E(r0 ) = (pr)E(r):
= r(pE) + (r E) p = r(pE):
FD =
(7.89)
Diese Kraft lat sich also aus einem Potential ableiten, dem Dipolpotential
VD =
pE
(7.90)
Dies gilt sicherlich fur konstantes Dipolmoment p. Falls es sich um ein induziertes Dipolmoment
handelt mit p = E erhalten wir
(7.91)
FD = 2 r(E2 );
d.h. der Dipol wir in die Richtung von wachsendem E2 gezogen.
Das Drehmoment, das auf einen Dipol p am Orte r wirkt, ist gegeben durch
MD =
Z
d3 r0 (r0)r0 E(r0 ):
(7.92)
Wenn wir E and der Stelle r entwickeln und nur den Term niederster Ordnung berucksichtigen, ergibt
sich
MD = p E(r):
(7.93)
7.2.4 Die homogen polarisierte Kugel
Als Beispiel betrachten wir eine homogen polarisierte Kugel. Wir erhalten sie im Grenzfall zweier
homogen aber entgegengesetzt geladener Kugeln mit gleichem Radium R und der Ladung Q, die um
den innitesimalen Vektor s gegeneinander verschoben sind. Das Dipolmoment ist dann deniert als
p = Qs:
Fur das Feld einer homogen geladenen Kugel haben wir
innen :
E = RQ3 r
auen :
128
(7.94)
E = rQ3 r:
(7.95)
Daraus ergibt sich fur das Feld einer homogenpolarisierten Kugel im Auenraum
r s r
E(r) = lim
Q
s!
jr sj3 r3
Q!1
s r = lim
Q
s!
r3 + r5 (rs)
0
0
Q!1
2
= 3(pr)rr5 r p
(7.96)
das Feld eines elektrischen Dipols mit der Dipolmoment p und im Innenraum
Q ((r s) r)
E(r) = lim
3
s!
Q!1 R
= Rp3 = 43 Vp = 43 P
(7.97)
ein konstantes, dem Dipolmoment p entgegengerichtetes, Feld, das der Dipol-Dichte P = p=V pro0
portional ist.
7.2.5 Die Dipol-Schicht
Wir stellen uns zwei innitesimal benachbarte Oberachen vor. Die erste trage die Oberachenladung
(r), die zweite sei entgegengesetzt zur Richtung der Flachennormalen um den innitesimalen Vektor
d(r0 ) verschoben und trage die Oberachenladung (r0 )
Das Potential, das von der ersten Flache erzeugt wird ist
Z (r0 )
Z dQ0
=
dA0
(7.98)
(r) =
S
jr r0j
jr r0j
Das von der Dipolschicht erzeugte Potential ist dann
Z (r0 )
(r) =
S
(r0 )
0
jr r0j jr r0 d(r0 )j dA
Durch Taylorentwicklung nach der innitesimalen Groe d ergibt sich schlielich:
Z
(r) =
(r0 ) dr0 1 dA0
jr r0j
S
(7.99)
(7.100)
Wenn wir nun den Abstand der beiden Flachen gegen Null und zugleich die Oberachenladungsdichte
gegen Unendlich gehen lassen, so da Dipolschichtverteilungsstarke
D(r) = lim
(r)d(r)
d!
(7.101)
0
konstant bleibt, erhalten wir
!1
(r) =
Z
S
D(r0 )dA0 r0 jr 1 r0 j :
Eine einfache geometrische U berlegung zeigt uns, da
0
0
dA0 r0 jr 1 r0 j = dAjr (r r0 j3r ) =
129
(7.102)
d
0
(7.103)
gerade der Raumwinkel ist unter dem das Flachenelement dA0 vom Aufpunkt r aus erscheint.
Fur das Potential der Dipolschicht erhalten wir also
(r) =
Z
S
D(r0 )d
0 :
(7.104)
Bei konstanter Belegung D ist das Potential also dem Raumwinkel proportional, unter dem das entsprechende Flachenstuck von r aus erscheint.
Wenn wir uns mit dem Aufpunkt durch die Dipolschicht bewegen, erfahrt das Potential einen Sprung
um 4D.
7.2.6 Quadrupol-Momente
Quadrupolfelder konnen wir entweder in kartesischen Koordinaten oder in Kugelkoordinaten darstellen. In kartesischen Koordinaten (bzw. Kugelkoordinaten) haben wir y
2
X
Q(r) = 12 Qik 3xi xk r5 r ik =
ik
r 4 X
2
Q2m Y2mr(3)
5 m= 2
mit dem kartesischen Quadrupol-Tensor Qik oder dem spharischen Tensor 2. Stufe Q2m
(7.106)
r
Z
(7.107)
Q2m = 45 r2 Y2m (r)d3 r
Qik =
xixk 13 r2 ik (r)d3 r
Da er ein symmetrischer Tensor mit reellen Komponenten und verschwindender Spur ist, enthalt er 5
unabhangige Parameter. Wir konnen ihn durch eine Hauptachsentransformation auf Diagonalgestalt
bringen.
0
1
Q
0 0
x
Q = B
(7.108)
@ 0 Qy 0 CA
0 0 Qz
Dieser Transformation entsprechen 3 Parameter (z.B. 3 Eulerwinkel). Es bleiben dann zwei Parameter
ubrig, da nur zwei der drei Diagonalelemente unabhangig sind:
Z
(7.109)
Qx = 31 (2x2 y2 z 2 )(r)d3 r;
Z
(7.110)
Qy = 13 (2y2 z2 x2 )(r)d3 r;
Z
Qz = 13 (2z2 x2 y2 )(r)d3 r
(7.111)
Qx + Qy + Qz = 0:
(7.112)
Z
Als Beispiel betrachten wir die in Figure 7.7 gezeigte Ladungsverteilung und nden
Dieser Tensor ist eng verknupft, aber nicht identisch mit dem Tragheitstensor einer entsprechenden Massenverteilung.
Es gilt
Jik = Qik + 32 ik hr2 i:
(7.105)
y
130
Abbildung 7.7: Ladungsverteilung fur ein Quadrupolfeld.
Abbildung 7.8: Potential eines rotationssymmetrischen Quadrupolfeldes.
Qx = q3 (4a2 + 2b2 );
Qy = 3q ( 4b2 2a2 );
Qz = q3 ( 2a2 + 2b2 ):
(7.113)
Eine zur z-Achse rotationssymetrische Ladungsverteilung hat
Qx = Qy = 21 Qz 13 Q20
mit dem Quadrupol-Moment:
Z
1
20
(cos2 1)(r)r2 d3 r =
Q =
2
Das zugehorige Potential ist von der Form
r 4 Z
5
r2Y20 ()(r)d3 r
(7.114)
(7.115)
) = Q 3 cos2 1
Q (r) = Q20 P2 (cos(
20 2r3
r3
(7.116)
r3 = const P2(cos ) = const (3 cos2 1)
(7.117)
Die A quipotentialachen sind
131
Die zu einem idealen Quadrupolfeld gehorige Ladungsverteilung ergibt sich wieder aus der PoissonGleichung
2
X
Q = 41 Q = 81 Qik @x@@x 1r
i k
ik
2
X
(7.118)
= 21 Qik @x@@x (r) = 12 rQr(r)
i k
ik
Im elektrischen Feld E wirkt auf einen Quadrupol an der Stelle r die folgende Kraft
Z
Z
1
3
0
0
0
FQ = d r Q(r )E(r ) = 2 d3r0E(r0 ) r0 Qr0 (r0 r)
2
X
= 12 rQrE(r) = 12 Qik @x@@x E
i
ik
k
(7.119)
Wegen der Wirbelfreiheit von E (@k El = @l Ek ) lat sich diese Kraft auch als ein Gradienten-Feld
darstellen
FQ = rVQ
(7.120)
mit dem Quadrupol-Potential
VQ =
1 X Q @Ei
2 ik ik @xk
(7.121)
7.3 Elektrostatik mit Randbedingungen
Bisher haben wir angenommen, da die Ladungsverteilung (r) im ganzen Raum bekannt sei und
da sie fur groe Abstande hinreichend stark abfallt. Damit war die Losung der Poisson-Gleichung
eindeutig durch das Integral (7.8) gegeben. Wenn wir nun Leiter oder Isolatoren in das Feld bringen,
treten Inuenz- und Polarisationsladungen auf, deren Verteilung wir von vornherein nicht kennen. Das
erschwert die Losung des Problems sehr.
Wir kennen allerdings in vielen Fallen die Randbedingungen auf den Grenzachen. Wir losen daher das
Problem dadurch, da wir uns auf ein Volumen V beschranken, in dem sich die freien Ladungen benden, und nach einer Losung der Poisson-Gleichung in diesem Volumen suchen, das den entsprechenden
Randbedingungen genugt.
Da es sich bei der Poisson-Gleichung um eine inhomogene lineare Dierentialgleichung handelt, ist
ihre allgemeine Losung von der Form
Z (r0 )
(r) =
d3 r0 + F (r);
(7.122)
V
jr r0 j
wobei F (r) der entsprechenden homogenen Gleichung, d.h. der Laplace-Gleichung genugt. Sie enthalt
nur Beitrage von Ladungen auerhalb des Gebiets V .
Wir gehen aus vom zweiten Green'schen Theorem (6.65)
Z
V
(f g gf ) dV =
I
S (V )
132
(f rg grf )dA
(7.123)
und wenden es an fur f (r) = (r) und g(r) = 1=4jr r0 j. Dann erhalten wir
)
Z (r0 )
I ( r0(r0 )
1
1
3
0
0
0
(r) =
d r + 4
(r )r jr r0 j dA0
0
0
j
r
r
j
j
r
r
j
V
S (V )
(7.124)
Wenn wir weiterhin berucksichtigen, da die Ableitung von in Richtung der Flachennormalen ins
innere der Leiter gerade das negative der Ableitung der Flachennormalen nach auen, d.h. gerade der
Normalkomponente des E-Feldes ist, und im zweiten Teil die geometrische Identitat (7.103) benutzen,
ergibt sich
I
I (r0 )
Z (r0 )
3 r0 +
0 + 1
(r0 )d
0
(7.125)
d
dA
(r) =
jr r0j
jr r0j
4
V
S (V )
S (V )
Diese Gleichung erlaubt uns folgende Aussagen
Das Potential setzt sich zusammen aus dem von den Ladungen im Volumen V erzeugten
Potential und aus Beitragen, die von Ladungen auerhalb von V herruhren.
Die Wirkung der Ladungen auerhalb von V lassen sich durch Oberachenintegrale langs der
Berandung von V darstellen, und zwar einerseits durch das Potential von Oberachenladungen,
andererseits durch das einer Dipolschicht (siehe nachsten Abschnitt). Wenn wir die Werte von
und @n auf der Oberache kennen ist alles festgelegt.
Falls das Gebiet V ladungsfrei ist, ist das Feld im inneren vollstandig durch die Oberachen
festgelegt
Falls V der ganze Raum ist und die Felder nach auen hinreichend stark abfallen, erhalten wir
wieder das Poissonintegral.
Damit ist das Problem jedoch nicht gelost; denn durch die Randbedingungen und @n (CauchyRandbedingungen) ist das Problem u berbestimmt. Es gilt namlich folgender Eindeutigkeitssatz:
Zwei Losungen der Poisson-Gleichungen 1 und 2 , die entweder in ihren Werten auf den Leiteroberachen u bereinstimmen
1 (r) = 2 (r)
auf den Leiteroberachen
(7.126)
(Dirichlet'sche Randbedingungen), oder die in ihren Normalableitungen auf den Leiteroberachen u bereinstimmen
@n 1 (r) = @n2 (r) auf den Leiteroberachen
(7.127)
(Neumann'sche Randbedingungen), sind identisch. Man beweit diesen Satz am einfachsten mit der
dritten Green'schen Identitat (6.66) fur f=1 2 .
Z
V
(f f + (rf rf )) dV =
133
I
S (V )
f rfdA
(7.128)
Da f = 0 und entweder f oder @n f auf der Oberache verschwindet, ist
Z
V
jrf j2 dV = 0;
(7.129)
f mu also uberall in V konstant sein. Da Potentiale nur bis auf eine Konstante festgelegt sind, konnen
wir f auch Null wahlen. Damit ist der Eindeutigkeitssatz bewiesen.
Formal konnen wir eine Losung des Dirichlet-Problems mit Hilfe der Green'schen Funktion GD (r; r0 )
angeben, die deniert ist durch
GD (r; r0 ) = (r r0 )
GD (r; r0 ) = 0
fur r 2 V
fur r 2 S (V )
(7.130)
Falls wir diese Funktion kennen, ergibt sich fur eine beliebige Ladungsverteilung (r)
(r) =
4
Z
V
GD (r; r0 )(r0 )d3 r0 +
I
S (V )
(r0 )r0 GD (r; r0 )dA0 :
(7.131)
Wenn wir also auf der Oberache S (V ) kennen (Dirichlet'sche Randbedingung) konnen wir mit
Hilfe dieser Gleichung (r) an jedem Punkt r des Volumens berechnen.
Die Dirichlet'sche Green'schen Funktion ist symmetrisch:
GD (x; y) = GD (y; x)
(7.132)
Um dies zu beweisen benutzen wir wieder die II. Green'sche Identitat
GD (x; y) GD (y; x) =
=
Z
VI
d3 r (GD (r; y)GD (r; x) GD (r; x)GD (r; y))
S (V )
(7.133)
dA (G(r; x)rG(r; y) G(r; y)rG(r; x)) = 0:
Falls wir als Randbedingung nicht den Wert des Potentials auf der Randache kennen, sondern die
Richtungsableitung in Normalenrichtung @n , liegen Neumann'sche Randbedingungen vor, wo man
ahnlich vorgehen kann. Details ndet man in Lehrbuchern wie Jackson.
7.4 Theorie der Inuenz
Wir betrachten im folgenden ein System von n Leiteroberachen j ; j = 1 : : : n im Vakuum. Einer
dieser Leiter soll das gesamte Volumen umschlieen und gegebenenfalls nach Unendlich gehen.
Im statischen Falle, kann im Inneren eines Leiters kein E-Feld existieren. Wegen der Stetigkeit der
Tangential-Komponente von E, ist also auf der Leiteroberache das E-Feld parallel zur Flachennormale
gerichtet. Die Leiteroberache ist eine A quipotentialache ( = const). Die Groe der Normalkomponente des E-Feldes ist gegeben durch die Flachenladungsdichte auf der Oberache des Leiters, d.h.
durch die Flachendichte der Inuenz-Ladung. An der Oberache der Leiter gilt also
@ = E = 4 ;
(7.134)
(r) = const;
@n
134
n
infl
wobei die Richtungsableitung in Richtung der aueren Normale zu nehmen ist.
Da wir die genauer Verteilung der Inuenzladung nicht kennen, gehen wir so vor, da wir die Poissongleichung nur im Raum V auerhalb der Leiter mit geeigneten Randbedingungen auf den Leiteroberachen losen.
Wir betrachten nun eine Reihe von Grundaufgaben:
1. Samtliche Leiter seien geerdet (d.h. j = 0 fur alle j ) und im Punkte r0 bende sich eine
Einheitsladung ((r) = (r r0 )). Man berechne die Feldverteilung und bestimme die Ladungen
Qj auf den einzelnen Leitern.
2. Samtliche Leiter seien isoliert und ungeladen (Qj = 0). Im Punkte r0 bende sich eine Einheitsladung. Man berechne die Feldverteilung und die Potentiale j der einzelnen Leiter.
3. Die Raumladung verschwinde und samtliche Leiter auer dem Leiter i seien geerdet. Auf dem
Leiter i liege das Potential i = 1, (d.h. j = ij ). Man berechne die Feldverteilung und die
Gesamtladungen Qj auf den einzelnen Leitern.
4. Die Raumladung verschwinde und alle Leiter seien isoliert. Auf dem Leiter i sei die Ladung
Qi = 1. Auf allen ubrigen Leitern verschwinde die Gesamtladung (d.h. Qj = ij ). Man berechne
die Feldverteilung und die Potentiale j der einzelnen Leiter.
Die Losung der Aufgabe (1) ergibt sich mit Hilfe der Dirichlet'schen Green'sche Funktion GD (r; r0 )
und Gl. (7.131):
(r) = 4GD (r; r0 )
= 41 Et = 41 @n = @nGD (r; r0 )
I
Qj = (r0 )dA0
j
(7.135)
(7.136)
(7.137)
Zur Losung der Aufgabe (2) betrachten wir die Potentiale j der einzelnen Leiter als Unbekannte. Die
Losung ergibt sich dann mit Hilfe der Green'schen Funktion GD (r; r0 ) und Gleichung (7.131):
(r) =
4
Z
V
GD (r; r0 )(r0 )d3 r0 +
X I
j
j
j
r0GD(r; r0 )dA0
(7.138)
Damit lassen sich die Oberachenladungen und durch Integration die Gesamtladungen Qj auf den
einzelnen Leitern als Funkton der Zahlen j 0 berechnen. Die Bedingunen Qj = 0 liefern dann n
lineare Gleichungen zur bestimmung der Unbekannten j 0 .
Auch zur Losung der Aufgabe (3) benutzen wir Gl. (7.131) und nden
(r) =
I
i
dA0 r0GD (r; r0 )
(7.139)
und durch Ableitung erhalten wir die Verteilungen der Inuenz-Ladungen und anschlie-end durch
Integration die Gesamtladungen.
135
Abbildung 7.9: Methode der Spiegelladungen.
Zur Losung der Aufgabe (4) gehen wir analog zur Aufgabe (2) vor und benutzen die Potentiale j
zunachst als Unbekannte. Sie werden am Ende durch Inversion der linearen Geleichugen Qj = ij
ermittelt.
Unsere bisherigen U berlegungen waren recht formaler Natur. Wir haben insbesondere angenommen,
da wir die Green'sche Funktion GD (r; r0 ) berechnen konnten. Tatsachlich stellt sich heraus, da es
nur fur spezielle Falle analytische Losungen gibt. Im allgemeinen mu man numerische Methoden zur
Losung der Poisson-Gleichung unter den gegebenen Randbedingungen heranziehen.
Im Folgenden betrachten wir anhand von Beispielen eine Reihe von Spezialfallen, wo analytische
Losungen existieren.
7.4.1 Die Methode der Spiegelladungen
In manchen Fallen hoher Symmetrie gelingt es die komplizierte Ladungsverteilung der Imuenzladungen auf den Leiteroberachen durch einfache Ladungsverteilungen in den Leitern zu ersetzen, die im
Volumen V denselben Eekt hervorrufen. Im Inneren der Leiter beschreiben sie allerdings nicht die
richtige Physik.
Als Beispiel betrachten wir eine Punktladung am Punkt r0 im Abstand x0 > 0 vor einer unendlich
ausgedehnten ebenen Leiterache in der Ebene x = 0. Die Green'sche Funktion GD (r; r0 ) soll auf
dieser Ebene verschwinden. Wir nden sie durch Einfuhrung einer negativen Einheitsladung in dem
an der Leiterache gespiegelten Punkt ( x0 ; y0 ; z 0 ):
GD (r; r0 ) =
"
1 p
1
0
2
4 (x x ) + (y y0 )2 + (z z 0 )2
#
1
p(x + x0)2 + (y y0 )2 + (z z0 )2
(7.140)
Sie erfullt im physikalischen Bereich x > 0 die Poisson-Gleichung und verschwindet auf der Leiteroberache x = 0.
Wenn wir also diese Ebene erden ( = 0) und an den Punkt r0 die Ladung q bringen, erhalten wir
136
Abbildung 7.10: Spiegelladung and der Kugel.
Abbildung 7.11: Geerdete Metallkugel im homogenen Feld.
folgendes Potential
(r) = p
q
p(x + x )2 + (y q y )2 + (z z )2
0
0
0
(7.141)
(x x0 )2 + (y y0 )2 + (z z0 )2
Als nachstes Beispiel betrachten wir die Spiegelung an einer Kugel. Dazu gehen wir aus von einer einer
geerdeten Metallkugel mit Radius R im Ursprung und einer Punktladung q im Punkte r1 auerhalb
der Kugel
Als Spiegelladung bringen wir eine zweite Ladung der Groe qR=r1 im Abstand R2 =r1 innerhalb der
Kugel an und erhalten als Losung
(r) = jr q r j
1
q :
R
r1 jr Rr r1 j
2
2
1
(7.142)
Sie erfullt oensichtlich die Poisson-Gleichung auerhalb der Kugel und die Randbedingung = 0 auf
der Kugeloberache; denn es ist gilt fur r = R
2
2
(7.143)
(r r1 )2 = Rr12 (r Rr2 r1 ):
1
Diese Losung gibt uns die Moglichkeit eine geerdete Metallkugel im homogenen Feld zu untersuchen. Wir bringen dazu zwei entgegengesetze gleich groe Ladungen q und +q in den Punkten a
und a and und lassen schlielich a und q nach Unendlich gehen, so da
lim 2q = E = const
(7.144)
a!1
q!1
a2
0
137
Fur endliche Werte von a und q erhalten wir durch doppelte Spiegelung
q + R q
+
jr aj jr + aj a jr Ra aj
q
(r) =
2
2
R q :
a jr Ra aj
2
2
(7.145)
Im Grenzfall groer Werte von a ergibt sich daraus durch Taylerentwicklung
(r) =
=
q 2ar + R q 2ra R2
a3
a r3 a2
3
E0r + R rE3 0r :
(7.146)
Das Potential setzt sich also zusammen aus einem homogenen Feld und einem Dipolfeld mit derm
Dipolmoment R3 E0 .
7.5 Energie-Dichte und Kapazitatskoezienten
Zunachst betrachen wir den Gesamten Raum ohne Grenzachen, in dem die Ladungsverteilung (r)
bekannt ist. Dann ergibt sich aus dem Energiesatz die elektrostatische Feldenergie W als folgendes
Integral:
Z
Z
Z
W = 81 E2 d3 r = 81 jrj2 d3 r = 81 d3r
Z
Z
0
(7.147)
= 21 (r)(r)d3 r = 12 j(rr)(rr0 j) d3 r0 d3 r:
Als nachstes betrachten wir ein System von Leitern ohne Raumladung mit den vorgegebenen Potentialen Uj , wobei das Potential des Leiters im Unendlichen auf Null gesetzt sei. Dann erhalten wir wegen
der Linearitat der Poissongleichung innerhalb des Volumens V die Losung
(r) =
X
j
Uj j (r)
(7.148)
wobei j (r) die Losung der Grundaufgabe (3) darstellt, in der alle Leiter auer dem Leiter j geerdet
sind und dieser das Potential 1 besitzt.
Die zu diesem Problem gehorigen induzierten Gesamtladungen Qi erhalten wir dann durch Integration
uber die Inuenzladungen
I
I
I
Qi = (r)dA = 41 E(r)dA = 41 dAr(r) =
i
i
1
0
X
XB 1 I
=
@ 4 dArj (r)CA Uj = Cij Uj
i
j
j
i
mit den Maxwell'schen Kapazitatskoezienten
Cij =
1 I dAr (r)
j
4
i
138
(7.149)
(7.150)
Abbildung 7.12: Ersatzschaltbild mit Teilkapazitaten und Streukapazitaten.
Dabei handelt es sich um rein geometrische Groen, die angeben, wieviel die Spannungseinheit auf
dem Leiter j zur Gesamtladung auf dem Leiter i beitragt. Ihre Dimension ist [Ladung=Spannung]
Wir berechnen nun die elektrostatische Feld-Energie W im Volumen V :
Z
Z
W = 81 E2 d3 r = 81 rrd3 r
VZ
V
I
1
= 8 d3 r + 81
rdA
(7.151)
S (V )
V
Da wir keine Raumladung haben, ergibt sich durch Einsetzen von Gl. (7.148) und Gl. (7.149) und
bei Berucksichtigung der Tatsache, da sich die Richtung des Flachenvektors umdreht, wenn wir uber
die Oberache der einzelnen Leiter anstelle der Begrenzungsache des Volumes auerhalb der Leiter
integrieren.
1 X U I rdA = 1 X U Q = 1 X C U U
(7.152)
W =
i
i i
ij i j
8
2
2
i
i
i
ij
Die Feldenergie W lat sich also darstellen als quadratische Form in den Spannungen Ui . Da sie positiv
semi-denit ist, bilden die Kapazitatskoezienten eine positiv semi-denite symmetrische Matrix
2W
Cij = @U@ @U
i j
(7.153)
Meistens haben wir es mit den Spannungsdierenzen
Uij = Ui
Uj
(7.154)
zwischen den einzelnen Leitern zu tun. Dann konnen wir die Teilkapazitaten
C~ij =
denieren und erhalten
Qi =
X
j
Cij
(7.155)
Cij Ui + Cij (Uj Ui )
= Ci1 Ui +
139
X~
j 6=i
Cij Uij
(7.156)
Abbildung 7.13: Plattenkondensator.
Die Groen Ci1 heien Streukapazitaten. Sie beschreiben die Feldlinien, die nach unendlich streuen.
Als Beispiel betrachten wir einen Kondensator mit unendlich ausgedehnten Platten im Abstand d
(siehe Fig.(7.9)) Dabei handelt es sich um ein eindimensionales Problem. Die Poissongleichung = 0
hat im Inneren des Kondensators die Losung
(x) = a + b x:
(7.157)
Die Konstanten a und b ergeben sich aus den Werten des Potentials auf den Kondensatorplatten U1
und U2 in den Ebenen x = d=2.
(x) = U1 +2 U2 + U1 d U2 x
(7.158)
Die Oberachenladungsdichte auf den beiden Flachen sind
Q
@
1
1
1 = A = 4 @x = U14dU2 ;
(7.159)
x=d=2
@
Q
1
1
= U24dU1 :
2 = A = 4 @x (7.160)
x= d=2
Wir nden also die folgende Matrix der Kapazitatskoezienten
C11 C12
C21 C22
mit der Kapazitat
!
=
C 4Ad
140
C
C
C
C
!
(7.161)
(7.162)
Kapitel 8
Magnetostatik
8.1 Die Grundgleichungen der Magnetostatik
Die Grundgleichungen der Magnetostatik lauten
rotB = 4c j;
divB = 0:
(8.1)
(8.2)
mit dem Vektorpotential A(r), das deniert ist durch
B = rotA
Mit der Eichung divA = 0 ergibt sich dann folgende Grundgleichung der Magnetostatik
A = 4 j:
c
(8.3)
(8.4)
Es ist vollig analog zur Poisson-Gleichung in der Elektrostatik und kann auch entsprechend gelost
werden.
Der Einfachkeit halber betrachten wir zunachst nur Situationen ohne Randbedingungen im Endlichen
und nden in Analogie zu Gl. (7.8)
Z
0
1
A (r ) =
(8.5)
d3 r0 j(r ) :
c
Daraus ergibt sich das Magnetfeld
Z
B(r) = 1 d3 r0 j(r0) r 1
jr r0 j
1 Z d3 r0 j(r0 ) r r0 :
=
c
jr r0j c
jr r0 j3
Bei einem dunnen Leitern mit Strom I erhalten wir das Biot-Savart'sche Gesetz
Z
0
I
B(r) = c dr0 jrr rr0j3 :
(8.6)
(8.7)
Um die Kraft auszurechnen, die zwei geschlossene Leiterschleifen I1 und I2 auf einander ausuben,
berechnen wir die Kraft, die auf ein Leiterstuck dr1 des ersten Leiters im Magnetfeld B2 des zweiten
Leiters wirkt
(8.8)
dF1 = Ic1 (dr1 B2 ):
141
Abbildung 8.1: Das Magnetfeld einer geschlossenen Leiterschleife.
Die auf den gesamten Leiter I1 vom Leiter I2 bewirkte Kraft ist daher
I I dr1 (dr2 r12)
II
I
I
I
I
1
2
1
2
F12 = c2
=
(dr1 dr2 ) jrr12j)3 ;
jr j3
c2
12
denn der Term
12
I
dr2 (dr1 r) r1 = 0
12
(8.9)
(8.10)
verschwindet, da er ein vollstandiges Dierential enthalt.
Im Falle zweier unendlich langer paraleller Leiter im Abstand d ergibt sich daraus fur die Kraft pro
Langeneinheit der Leiter
(8.11)
F=L = 2cI21dI2 :
Diese Kraft ist anziehend bei gleichgerichteten und abstoend bei entgegengesetzt gerichteten Stomen.
Sie wird zur Denition der Einheit [Ampere] herangezogen.
8.2 Das skalare magnetische Potential.
Auerhalb der Leiter verschwindet rotB. Dort lat sich das Magnetfeld als Gradientenfeld mit einem
skalaren magnetischen Potential darstellen. Um das zu verstehen, beschranken wir uns auf eine
geschlossene, vom Strom I durchossene, Leiterschleife und erhalten fur das Magnetfeld
I
Z
0
0
B = Ic dr0 jrr rr0j3 = Ic (dA0 r0 ) jrr rr0 j3
Z
0
I
= c (dA0 r) jrr rr0 j3
Z
0
I Z dA0 1
= Ic r dA0 jrr rr0 j3
c
jr r0j
Z
0
0
= r + 4I
c dA (r r ):
(8.12)
Der letzte Term verschwindet, da wir die Oberache in der Leiterschleife stets so legen konnen, da
der Aufpunkt r nicht in ihr liegt und die -Funktion verschwindet.
Das skalare magnetische Potential hat also die Form
Z
Z 0
0
(r) = I dA0 r r = I dA cos = I (r);
(8.13)
c
jr r0j3
c
142
jr r0j2
c
Abbildung 8.2: Die unendlich lange homogene Spule.
Abbildung 8.3: Der Strom-Ring um eine Achse.
wobei (r) der Raumwinkel ist, unter dem die Leiterschleife vom Aufpunkte r aus erscheint. Das
Vorzeichen von ist dadurch festgelegt, da > 0, falls der Flacherand { von r aus gesehen { gegen
den Uhrzeigersinn durchlaufen wird.
Das Gebiet auerhalb der Leiterschleife ist nicht einfach zusammenhangend. Dementsprechend ist
(r) auch nicht global eindeutig festgelegt, sondern mehrdeutig. Beim Durchlaufen eines Pfades der
die Leiterschleife umschliet macht beim Druchtritt durch die Flache einen Sprung von 4I=c
8.2.1 Beispiel: Die lange homogene Spule.
Eine unendlich lange Spule mit n Windungen pro Langeneinheit wird vom Strom I durchossen.
Dann verschwindet das Feld im Auenraum und wir erhalten durch Integration langs des in Fig. 8.2
angegebenen Pfades
I
Z
Z
lB = Bdr = dA(r B) = 4 dAj = 4 Inl
(8.14)
c
Das homogene Magnetfeld im Inneren der Spule ist also
B = 4 In:
c
143
c
(8.15)
8.2.2 Beispiel: Der Stromring auf einer Achse.
Der Stromring mit dem Mittelpunkt im Ursprung liege in der (y; z )-Ebene und werde vom Strom I
im Uhrzeiger durchossen, falls man ihn in Richtung der positiven x-Achse betrachtet.
Fur einen Punkt auf der positiven x-Achse mit der Koordinate x ergibt sich dann fur den Raumwinkel
unter dem der Ring erscheint
(x) = 2rh = 2h = 2 r x = 2 1 x
(8.16)
r2
r
r
r
Entsprechend gilt fur einen Punkt auf der negativen x-Achse mit der Koordinate x < 0
(x) = 2h = 2 r + x = 2 1 x :
r
r
r
(x) macht also beim Durchgang durch die Ebene x = 0 einen Sprung um 4.
Fur das Magnetfeld auf der Achse erhalten wir
@p x
2I R2 :
Bx = Ic @@x
= 2I
=
c @x x2 + R2
c px2 + R2 3
(8.17)
(8.18)
8.3 Magnetische Multipole
A hnlich wie das elektrische Potential konnen wir auch das Vektorpotential (8.5) entwickeln
Z
0
1
A(r) =
d3 r0 j(r )
c Z jr r0j
Z
1
1
3
0
0
= cr d r j(r ) + cr3 d3 r0 (rr0 )j(r0 ) + : : : :
(8.19)
(8.20)
Der Monopolanteil verschwindet wegen der Kontinuitatsgleichung. Es gilt namlich fur die i.te Komponente
Z
Z
Z
3
3
d r ji (r) = d r (jr)xi =
d3 r xi(rj) = 0:
(8.21)
Um den Dipol-Anteil zu berechnen berucksichtigen wir zunachst folgende Identitat
Z
d3 r xk ji =
Z
Z
d3 r xk (jr)xi =
d3 r xi(jr)xk =
Z
d3 r xi jk :
(8.22)
Fur die i-te Komponente des Dipol-Anteils von A ergibt sich also
Z
Z
Ai = crxk3 d3 r0x0k ji = 2xcrk3 d3 r0(x0k ji x0i jk ):
(8.23)
oder in Vektorschreibweise
Z
Z
1
1
3
0
0
0
AD (r) = 2cr3 d r (rr )j (rj)r = 2cr3 d3 r0(r0 j) r:
Wenn wir das magnetische Moment
Z
1
m = 2c r j(r) d3 r
144
(8.24)
(8.25)
einfuhren, nden wir also fur das magnetische Dipolpotential
AD = mr3 r
(8.26)
Die Magnetisierung ist deniert als die magnetische Dipoldichte, d.h. das magnetische Moment pro
Volumeneinheit, dm = M(r)dV :
M (r) = 21c r j(r)
(8.27)
Bei einer Leiterschleife lat sich das magnetische Moment auch durch den Flachenvektor
I
I
1
m = c 2 r dr
(8.28)
ausdrucken. Es entspricht I=c mal dem Flachenvektor. Bei diskreten bewegten Ladungen qi gilt
X
X
m = 21c qiri vi = 21c mqi ri pi:
(8.29)
i
i i
Falls fur alle Teilchen die spezische Ladung qi =mi gleich e=m ist, folgt daraus
e
m = 2mc
X
i
e L
li = 2mc
(8.30)
Das magnetische Dipolfeld ergibt sich aus dem Potential durch Dierentiation BD = r AD = r (m rr3 )
= r (m r 1r )
2
= 3(mr)r r m + 8 m(r)
r5
3
Fur r 6= 0 lat sich also dieses Feld als Gradientenfeld darstellen
(8.32)
D = mr
(8.33)
r3
Das Magnetfeld hat also beim magnetischen Dipol dieselbe Abstands- und Winkelabhangigkeit wie
das elektrische Feld beim elektrischen Dipol.
Als nachstes wollen wir die Stromverteilung eines idealen Dipols bestimmen
jD = 4c A = 4c mr3 r = 4c m 1r = c(m r)(r):
(8.34)
Damit konnen wir die Kraft auf einen magnetischen Dipol an der Stelle r im Magnetfeld bestimmen:
Z
Z
F = 1 d3 r0j(r0) B(r0 ) = d3 r0B(r0 ) (m r0)(r0 r)
BD =
D
c
= (m r)B =
rD
mit
r(mB)
=
rVM :
(8.35)
Die -Funktion spielt in der Fernzone keine Rolle. Sie ergibt sich aus der Tatsache, da das Integral uber eine Kugel,
die die gesamte Stromverteilung j(r) enthalt folgenden Wert annimmt:
Z
8 m:
3
(8.31)
d rB(r) =
3
r<R
145
Diese Kraft lat sich aus dem Potential
mB
VM =
(8.36)
ableiten. Schlielich erhalten wir fur das Drehmoment, das auf einen magnetischen Dipol im Magnetfeld
wirkt
Z
MD = 1c r (j B)d3 r = m B
(8.37)
8.4 Die Energie des magnetischen Feldes
Im ersten Kapitel haben wir gesehen, da die magnetische Feldenergie gegeben ist durch
Z
1
Wm = 8 d3 rB2
Diese lat sich umformen und partiell integrieren
Z
Z
Wm = 81 d3 r B(r A) = 81 d3 r A(r B)
Z
Z
0
= 21c2 d3 r Aj = 21c2 jj(rr)j(rr0 j) d3 rd3 r0
(8.38)
(8.39)
Bei einem System von Leitern i , (i = 1; 2; : : :) mussen wir nur uber das Innere der Leiter integrieren
und erhalten
X
Wm = 12 Lik Ii Ik
(8.40)
ik
mit den Induktions-Koezienten
1 Z Z j(ri )j(rk ) d3 r d3 r
Lik = c2 I I
i k
i k
jri rk j
i
k
(8.41)
Bei dunnen Leitern kann man diesen Ausdruck durch Linienintegrale langs der Leiter ersetzen
I I dri drk
1
L =
(8.42)
ik
c2 jri rk j
i k
Die Groen Lii nennt man Selbstinduktions-Koezienten, die u brigen Koezienten der wechselseitigen
Induktion.
Bei einem System von dunnen Leitern konnen wir die megnetische Feldenergie auerhalb dieser Leiter
noch anders darstellen. Dazu drucken wir B durch das skalare magnetische Potential aus
Z
1
(8.43)
Wm = 8 d3 r(r)2 ;
V
wo V das Volumen auerhalb der Leiter ist. Mit Hilfe der ersten Green'schen Identitat (6.64) und der
Tatsache, da auerhalb der Leiter verschwindet, erhalten wir
Z
I
rdA:
(8.44)
Wm = 81 d3 r + 81
S (V )
V
146
Abbildung 8.4: Eine einfaches ebnes Netzwerk.
Wir zerlegen nun die Oberache S (V ) in Flachen Si , die von den einzelnen Leitern berandet werden.
Sie kommen dann jeweils doppelt vor, mit entgegengesetzter Flachennormale. Da das magnetische
Potential an solchen Flachen einen Sprung von 4I=c macht, ergibt sich
X iZ
1 XI ;
Wm = 81 4I
(8.45)
B
d
A
=
2c i i i
i c
Si
wobei
Z
i =
Si
BdA
(8.46)
der durch die i.te Leiterschleife tretende magnetische Flu ist.
Wenn wir die Ausdrucke (8.40) und (8.45) vergleichen, nden wir
i = c
X
k
Lik Ik ;
(8.47)
d.h. die Induktivitat Lik gibt an, in welcher Weise der Strom in der Leiterscheife k zum magnetischen
Flu in der Schleife i beitragt.
8.5 Quasistationare Probleme.
Bisher haben wir in den Maxwell-Gleichungen die Zeitableitungen B_ und E_ vernachlassigt. Tatsachliche gibt es viele Probleme (insbesondere bei nicht also groen Frequenzen), wo man zwar B_ im
Induktionsgesetz mitnehmen mu, aber den Verschiebungstrom E_ vernachlassigen kann. Man spricht
dann von quasistationaren Problemen.
Wir betrachten ein Netzwerk mit B Zweigen, L unabhangigen Maschen und N Knoten. Fur ebene
Netzwerke haben wir dann
B = L+N 1
(8.48)
Wir denieren zunachst in jedem Zweig b (b = 1 : : : B ) einen gerichteten Zweig-Strom ib und die
Spannung Ub zwischen seinen Endpunkten und in jeder geschlossenen Masche l (l = 1 : : : L) einen
Maschenstrom jl mit Umlaufrichtung.
Zur Bestimmung der Zweigstrome und der Maschenstrome haben wir einen Satz von Gleichungen
147
Zweigsatz:
Der Zweigstrom ib ist gleich der Summe der gerichteten Maschenstrome, der Maschen, die diesen
Zweig enthalten.
X
jl
(8.49)
ib =
l;b2l
I. Kirchho'sche Gleichung (Knotensatz):
Aus der Kontinuitatsgleichung (divj=0) ergibt sich bei jedem Knoten, da die Summe der gerichteten, in diesen Knoten einlaufenden, Zweigstrome verschwindet
X
b;b2n
ib = 0:
(8.50)
II. Kirchho'sche Gleichung (Maschensatz):
Aus dem Induktionsgesetz ergibt sich, da in jeder Masche die sich bei einem Umlauf ergebende
Spannung gleich ist dem Negativen der zeitlichen A nderung des durch diese Masche tretenden
magnetischen Flusses:
I
X
Ub = 1c _ l :
Edr =
(8.51)
l
b;b2l
Die Spannungen Ub konnen dabei auf folgende Ursachen zuruckzufuhren sein:
EingespragteSpannungen : U (e) ; Z
OhmscheWiderstande :
ib Rb = j dr;
(8.52)
(8.53)
Kondensatoren :
(8.54)
b
Der Maschensatz in der Masche l lautet somit:
Qb = 1 Z i (t0 )dt0 :
Cb
Cb b
t
X 1 Zt 0 0
di
b
Rb ib + Lbb0 dt +
Ue =
ib (t )dt :
(8.55)
e
bb0
b
b Cb
Dabei lauft die Summe des Induktions teils u ber alle Zweige b in der Mache l und u ber alle Zeige
b0 im gesamten Netzwerk
X
X
X
Da sich die Zweigstrome als Summe von Maschenstromen ergeben konnen wir allgemein formulieren
Ul(e) =
0
X@
l
0
mit dem Impedanz-Operator
1
t
Z
X
Rll0 jl0 + Lll0 dtd jl0 + C1 0 jl0 (t0 )dt0 A =
Zll0 jl0
ll
0
l
(8.56)
Z
Zll0 = Rll0 + Lll0 dtd : : : + C1 0 dt0 : : :
(8.57)
ll
Falls die zeitabhangigkeit harmonische ist / ei!t , d.h. im Fourierraum wird daraus ein komplexer
Widerstand:
t
1 :
Z (!) = R + i!L + i!C
148
(8.58)
Abbildung 8.5: Der Schwingkreis bestehend aus R, L, C, und U (e) .
Beispiel: Der Schwingkreis:
Fur einen einfachen Schwingkreis, bei dem eine eingepragte Spannungsquelle mit einem Ohm'schen
Widerstand R, einer Spule L und eine Kapazitat C in Serie geschaltet ist, ergibt sich
Z
d
1
L dt I + IR + C I (t0 )dt0 = U (e)
(8.59)
Wenn wir als Variable die Ladung Q am Kondensator benutzen, erhalten wir mit I = Q_ die Gleichung
t
eines gedampften harmonischen Oszillators mit auerer Kraft
LQ + RQ_ + 1 Q = U (e)
(8.60)
C
mit der Eigenfrequenz
! =
q
!o2 2
p
mit dem Dampfungsterm = R=2L und der undampften Eigenfrequenz !0 = 1= LC .
149
(8.61)
Kapitel 9
Strahlungs-Probleme
9.1 Das freie Strahlungsfeld
Ohne freie Ladungen und freie Strome haben die Maxwellgleichungen im Vakuum folgende Form
divE = 0;
rotE = 1c B_ ;
divB = 0;
rotB = + 1c E_ :
(9.1)
(9.2)
(9.3)
(9.4)
Durch Anwendung von r auf die 2. und 4. Gleichung ergeben sich freie Wellengleichungen fur die
Felder E und B:
E + 1 E = 2E = 0;
(9.5)
c2
B + c12 B = 2B = 0;
(9.6)
(9.7)
Um die Losungen dieser Gleichung zu diskutieren betrachten wir zunachst eindimensionale Probleme.
Die eindimensionale Wellengleichung lautet:
1 @2
c2 @t2
!
@ 2 f (x; t) = 0:
@x2
(9.8)
Dies ist eine partielle Dierentialgleichung. Ihre allgemeine Losung hangt nicht nur von einzelnen
Konstanten ab, sondern lat ganze Funktionen von einer Variablen oen. Wenn wir die eindimensionale
Wellengleichung in der Form
1 @
@ 1 @ + @ f (x; t) = 0:
(9.9)
c @t
@x
c @t
@x
schreiben, sehen wir, da jede Losung der Gleichung
1 @
@
c @t + @x f+(x; t) = 0;
150
(9.10)
Abbildung 9.1: Ausbreitung eindimensionaler Wellen.
aber auch jede Losung der Gleichung
1 @
c @t
@ f (x; t) = 0;
@x
(9.11)
die Wellengleichung erfullt. Die allgemeine Losung der eindimensionalen Wellengleichung ist also
f (x; t) = f+(x ct) + f (x + ct)
(9.12)
mit beliebigen Funktionen f+ (x) und f (x) von einer Variablen.
f+ (x ct) stellt eine Welle dar, die mit der Geschwingigkeit c nach rechts lauft; denn die Punkte mit
gleicher Amplitude genugen der Bewegungsgleichung x = ct. Analog stellt f (x + ct) eine Welle dar,
die nach links lauft (x = ct). Die Gestalt jeder dieser Wellen ist durch die Form von f+ oder f
gegeben. Sie ist zeitlich konstant.
Aus dieser eindimensionalen Welle konnen wir naturlich sofort Losungen der dreidimensionalen freien
Wellengleichung
!
1 @2
(9.13)
c2 @t2 f (r; t) = 0
konstruieren. Es sind ebene Wellen, bei denen die Ausbreitung in Richtung des Einheitsvektors k^
vonstatten geht.
f (r; t) = f0ei(kr !t)
(9.14)
mit der Nebenbedingung (Dispersions-Relation)
!(k) = ck;
(9.15)
die bei festem ! die Lange des Vektor k festlegt.
Die allgemeine Losung der homogenen Wellengleichung erhalten wir durch U berlagerung von Wellen mit verschiedenen Wellenvektoren k. Wir brauchen dann nicht mehr nach rechts und nach links
laufende Wellen gesondert betrachten.
Z d3 k
f (r; t) = (2)3 f (k) ei(kr !(k)t) :
f (k) ist dabei eine beliebige Funktion (die Fouriertransformierte) der Funktion f (r; 0).
151
(9.16)
Fur die freien elektromagnetischen Wellen erhalten wir also die allgemeine Losung
Z d3 k
i(kr !(k)t) ;
(2)3 E(k) e
Z d3 k
B(r; t) = (2)3 B(k) ei(kr !(k)t) :
E(r; t) =
(9.17)
(9.18)
(9.19)
Die Vektoren E(k) und B(k) sind jedoch nicht ganz beliebig. Die Maxwell-Gleichungen (9.4) verlangen
Ek
kE
Bk
kB
= 0;
= k B;
= 0;
= k E;
(9.20)
(9.21)
(9.22)
(9.23)
d.h. sowohl E(k) als auch B(k) mussen senkrecht zum Wellenvektor k stehen. Sie mussen aber auch
untereinander senkrecht stehen, und zwar so, da E, B und k ein orthogonales Dreibein bilden. Die
Langen der beiden Vektoren E und B sind im Vakuum gleich. Diese Aussage hangt allerdings vom
Masystem ab. In Masystemen, wo E und B nicht die gleiche Benennung haben, ist diese Aussage
naturlich sinnlos.
Fur den Poynting-Vektor erhalten wir
S = 4c E B
(9.24)
Da es sich hier nicht um eine lineare Funktion der Felder E und B handelt durfen wir jeweils nur den
Realteil bercksichtigen.
S = 4c 14 (E + E) (B + B )
(9.25)
Bei harmonischen Zeitverhalten E; B e i!t oszillieren EB und (EB) mit der Frequenz 2!. EB
und E B sind dagegen zeitunabhangig. Im zeitlichen Mittel verschwinden also die beiden ersten Terme
und wir erhalten
(9.26)
S = 4c 12 <e(E B ) = 8c E2 k^
152
9.2 Retardierte Potentiale
Bei vorgegebenen Ladungs- und Stromverteilungen (r; t) und j(r; t) konnen wir nicht mehr Wellegleichungen fur die Felder ableiten. Dann mussen wir zu den Potentialen und A ubergehen und
Lorentz-Eichung zugrunde legen. Dann erhalten wir die inhomogenen Wellengleichungen
(
(
)
1 @ 2 (r; t) =
c2 @t2
)
1 @ 2 A(r; t) =
c2 @t2
4(r; t);
(9.27)
4 j(r; t):
(9.28)
c
Die allgemeine Losung dieser Gleichungen ergibt sich aus der allgemeinen Losung der homogenen
Wellengleichungen, die wir im letzten Abschnitt besprochen haben, und einer speziellen Losung der
inhomogenen Gleichungen. Zur Bestimmung von speziellen Losungen der homogenen Gleichungen
gehen wir von der Green'sche Funktion der Wellengleichung aus, die deniert ist durch
(
)
1 @ 2 G(r; t; r0 ; t0 ) = (r r0 )(t t0 ):
c2 @t2
(9.29)
Die Losung dieser Gleichung hangt naturlich von den Randbedingungen ab, und zwar sowohl in der
Zeit, als im Ort. Wenn wir voraussetzen, da die Funktion im Unendlichen verschwinden soll, bleibt
nur noch eine Willkur im zeitlichen Verhalten ubrig. Wir erhalten zwei Losungen
1 (t t0 jr cr j ) ;
(9.30)
4
jr r0 j
wobei die Funktion mit dem oberen Vorzeichen die retardierte Green'sche Funktion und die mit den
untern Vorzeichen die avancierte Green'sche Funktion heit.
Bevor wir die physikalische Bedeutung dieser Funktionen eingehender diskutieren, wollen wir obigen
Gleichung (9.30) beweisen. Dazu berucksichtigen wir zunachst die Translationsinvarianz des Problems,
d.h.
G(r; t; r0 ; t0) = G(r r0; t t0; 0; 0):
(9.31)
0
G(r; t; r0 ; t0 ) =
Dann haben wir zu zeigen, da die Funktionen
1 (t rc ) ;
4 r
G(r; t) =
der Gleichung
(9.32)
!
1 @ 2 G(r; t) = (r)(t):
c2 @t2
(9.33)
Z d!
2 G(r; !)e
(9.34)
genugt.
Dazu machen wir zunachst eine Fouriertransformation in der Zeit, d.h. wir den Zeitblitz (t) durch
eine harmonische Funktion. und gehen dann in den Fourier-Raum u ber
G(r; t) =
153
i!t ;
Mit Hilfe der Darstellung
(t ) =
Z d!
2 e
i!t
(9.35)
ergibt sich dann, da G(r; !) bis auf ein Vorzeichen die Greens'sche Funktion der Helmholtz-Gleichung
ist:
+ k2 G(r; !) = (r);
(9.36)
wobei k = !=c die Wellenzahl ist. In vollkommener Analogie zur Gl. (6.68) lat sich zeigen, da die
im Unendlichen verschwindende Losung dieser Gleichung G(r; !) folgende Form hat:
1 eikr
(9.37)
4 r
Dabei ist das obere Vorzeichen fur die retardierte und das untere Vorzeichen fur die avancierte
Green'sche Funktion zu wahlen.
Wenn wir diese Greens'schen Funktionen der Helmholtzgleichung nun in Gl. (??) einsetzen, erhalten
wir
Z d!
Z d!
(t r )
r
1
1
ikr
i!t
= 4r 2 e i!(t c ) = 41 r c :
(9.38)
G (r; t) = 4r 2 e
Die physikalische Bedeutung der Green'schen Funktion ist die Losung der Wellengleichung bei einer formigen Quelle und zwar sowohl im raumlichen, als im zeitlichen. Es handelt sich also um die Losung
der Wellengleichung, die von einem Blitz zur Zeit t = 0 am Orte r = 0 ausgeht. Am Orte r beobachten
wir dann auch einen Blitz mit einer um 1=r abgeschwachten Amplitude, der um die Zeit r=c versetzt
ist. Dies ist gerade die Zeit, die Licht mit entlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit c benotigt um vom
Orte r = 0 zum Ort r zu gelangen. Es ist auch klar, da wir die avancierte Green'sche Funktion aus
physikalischen Grunden nicht zulassen konnen. Sie wurde die Kausalitat verletzen.
Mit Hilfe der retardierten Green'schen Funktion lassen sich die Potentiale nun folgendermaen darstellen
G (r; !) =
0 jr r 0 j r ;t
(r; t) = d3 r0 jr r0 j c ;
Z j r0; t jr cr0j 1
A(r; t) = c d3r0 jr r0 j
Z
(9.39)
(9.40)
Es bleibt schlielich noch zu zeigen, da diese Potentiale der Lorentz-Eichung genugen: Wir erhalten
Z
(9.41)
rA + 1 @ = 1 d3r0dt0 rG+(r; t; r; t0)j(r0; t0) + @ G+(r; t; r; t0 )(r0; t0) :
c
t
t
c
Da die Greensfunktion G+(r; t; r0 ; t0 ) nur von den Dierenzen r r0 une t t0 abhangt, kann man
unter dem Integral die Dierentialoperatoren r und @t durch r0 und @t0 ersetzen und partiell
integrieren. Dann ergibt sich mit Hilfe der Kontinuitatsgleichung
Z
(9.42)
rA + 1 @ = 1 d3r0dt0 G+(r; t; r; t0) r0j(r0; t0) + _(r0; t0) = 0:
c
t
c
154
9.3 Multipolentwicklung des Strahlungsfeldes
Ausgehend von Gl. (9.37) konnen wir fur groe Abstande von den Quellen wieder eine MultipolEntwicklung durchfuhren. Sie zeigt jedoch in Ihrere Abstandsabhangikeit ein durchaus verschiedenes
Verhalten von der statischen Multipolentwicklung.
9.3.1 Multipolfelder beliebiger Ordnung
Wir gehen dazu von folgender Entwicklung der Green'schen Funktion aus
1 X
l
1 eikjr r0j = X
gl (r; r0 )Ylm (
0 )Ylm (
):
4 jr r0 j
l=0 m= l
und benutzen folgende Darstellung der Dirac'schen -Funktion
1 X
l
0 X
Ylm (
0 )Ylm (
):
(r r0 ) = (r r2 r )
l=0 m= l
(9.43)
(9.44)
Durch Einsetzen in die Wellengleichung ergibt sich daraus folgende Dierentialgleichung fur die Radialfunktion gl (r; r0 )
(
Ihre Losung ist
mit
1 @2 r
r @r2
)
l(l + 1) + k2 g (r; r0 ) =
l
r2
1 (r r0)
r2
gl (r; r0 ) = ik h(1)
l (kr> ) jl (kr< )
r< = min(r; r0 )
und
r> = max(r; r0 ):
h(1)
l (kr) ist eine Hankelfunktion und jl (kr) ist eine spharische Besselfunktion.
(9.45)
(9.46)
(9.47)
Insgesamt erhalten wir also folgende Multipolentwicklung fur das Vektorpotential in der Zone (r > r0 ).
m
1
X
X
(
kr
)
Ylm (
)jlm (k)
A(r) = 4c ik h(1)
l
l= m
l=0
mir den Momenten
jlm (k) =
Z
d3 r0jl (kr0)Ylm (
0 )j(r; !):
(9.48)
(9.49)
In dieser Entwicklung stecken sowohl elektrische als magnetische Multipol-Anteile der Strahlung. Im
Grenzfall langer Wellen (kr0 1) gilt jl (rk) (kr)l =(2l + 1)!!. Dann ergeben sich die statischen
Multipolmomente.
Fur groe Abstande r gilt fur kr l
eikr :
(9.50)
(
kr
)
/
h(1)
l
r
Fur alle Multipolordnungen ist also die Radialabhangigkeit gegeben durch die einer Kugelwelle. Dies
unterscheidet die Multipolentwicklung fur die Strahlungsfelder von der fur statische Felder.
155
9.3.2 Multipolfelder niederer Ordnung
Um die Details der Multipolentwicklung von Strahlungfeldern besser zu verstehen betrachten wir
im folgenden die niederen Ordnungen explizit. Dabei gehen wir von dem exakten Ausdruck fur das
Vektorpotential aus
Z
ikjr r0j
1
e
3
0
A(r) = c d r jr r0j j(r0 )
(9.51)
Dabei soll die Stromverteilung j(r0 ) lokalisiert sein in einem Bereich von der raumlichen Ausdehnung
der Antenne, die durch die Lange d charakterisiert sei.
Im Gegensatz zur Multipolentwicklung von statischen Feldern haben wir jetzt zusatzlich den die
Wellenzahl k = !=c, die zur Wellenlange = 2=k umgekehrt proportional ist und von der Frequenz
abhangt.
Je nach den Werten fur die charakteristischen Langen d, k und r konnen nun folgende Falle unterscheiden
die Nahzone (d r ): Dies ist der Bereich, in dem wir den Exponenten kjr r0 j 1
vernachlassigen konnen. Dann ergibt sich die statische Multipolentwicklung. Nahe an der Quelle,
d.h. solange r kann man also die Retardierung vernachlassigen. Die Felder haben die Gestalt
von statischen Feldern, die sich zeitlich instantan mit den Stromen und Ladungen andern.
die Fernzone (d r, r ): Dies ist der Bereich, in dem einerseits kr nicht mehr klein gegen
1 ist, und andererseits r r0 ist, d.h. der Abstand von der Antenne groer als die Wellenlange
und zusatzlich viel groer als d, die charakteristische Dimension der Antenne.
In diesem Bereich entwickeln wir die Green'sche Funktion
1 eikjr r0j
(9.52)
4 jr r0 j
nach r0 =r. Im Gegensatz zur statischen Multipolentwicklung stellt sich nun heraus, da man bei
dieser Entwicklung im Nenner nur den Term 0. Ordnung berucksichtigen mu. Terme hoherer
Ordnung sind ihm gegenuber zu vernachlassigen. Wichtig ist die Entwicklung der Phase, die fur
groe Abstande stark oszilliert:
s
0 2 r r0
ikjr r0 j = ik r2 + r0 2 2r r0 = ikr 1 + rr
2r r
Bis zur ersten Ordnung in r0 =r ergibt sich
q
ikjr
r0 j
0
r
r
ikr 1 r r = ikr
ikr0
(9.53)
(9.54)
wobei k = kn = k rr ein Vektor ist, der in Richtung des Radiusvektors deutet und die Lange k
hat.
Ingesamt erhalten wir also in der Fernzone
eikjr r0j eikr e
jr r0 j
r
156
ikr0 ;
(9.55)
woraus sich fur das Potential folgender Ausdruck ergibt
ikr Z
ikr
ikr
e
1
A(r) = c r d3r0j(r0 )e ikr0 = 1c e r j(k) = a(; ') e r
(9.56)
Die Radialabhangigkeit ist also in der Fernzone die einer Kugelwelle. Dazu kommt eine Winkelverteilung a(; '), die im wesentlichen durch die Fouriertransformierte der Stromverteilung am
Punkte k = (k; ; ') gegeben ist.
In diesem Bereich hat die Anwendung des Nabla-Operators auf die Kugelwelle folgende Wirkung
ikr
rf (; ') e r
ikr
@e
= n f (; ') @r
1 r eikr
= n ik
f (; ')
= ik 1
r
r
1 f (; ') eikr :
ikr
r
(9.57)
Falls f nicht von den Winkeln abhangt, ist dies exakt, andernfalls gilt es nur bis auf Terme der
Ordnung O(1=r2 ) Er wirkt also in der Fernzone, wo wir hohere Terme in 1=r vernachlassigen
konnen, ebenso wie auf eine ebene Welle.
In der Fernzone gilt erhalten wir also die Felder
ikr
B = r A = ik A = ik(n a(; ')) e r :
(9.58)
Es steht senkrecht zum Wellenvektor k und zum Vektor a. Das elektrische Feld erhalten wir
dann aus den Maxwell'schen Gleichungen
ikr
(9.59)
E = ki r B = B n = ik(n (n a)) e r
Es steht senkrecht zu B und k. Die Felder E, B und k bilden also wieder ein orthogonales
Dreibein.
Die Ausgestrahlte Leistung ergibt sich aus dem Poynting-Vektor, der fur Felder mit harmonischer
Zeitabhangigkeit im Zeitmittel folgende Gestalt hat (siehe Gl. 9.26
S = 8c <e(E B )
2
= 8c jBj2 n = 8c kr2 jn aj2 n
(9.60)
Die dierentielle Strahlungsleistung in den Raumwinkel d
ist dann
dP (
) = r2nS = c k2 jn aj2
d
8
(9.61)
Langwellennaherung: Um die Berechnung der Fouriertransformierten zur Vereinfachung konnen
wir in dem Bereich, in dem kr0 1 den Exponenten im Fourierintegral entwickeln.
e
ikr0
= 1
ik r0
157
1 (k r0 )2 + : : :
2
(9.62)
Abbildung 9.2: Die Feldverteilung des strahlenden Dipolfeldes.
Diese Entwicklung fuhrt dann zu dem verschiedenen Multipolkomponenten der Strahlung. Es
tritt kein elektrischer Monopol auf, da die Gesamtladung zeitlich konstant ist. Die 1 in Gl. (9.62)
fuhrt zur elektrischen Dipolstrahlung (E1), der Term ikr0 ergibt die magnetische Dipolstrahlung
und die elektrische Quadrupolstrahlung.
Elektrische Dipol-Strahlung
Wir betrachten nun ein einzelnen Terme der Entwicklung (9.62). In nullter Ordnung ergibt sich
Z
1
d3 r0j(r0 ):
(9.63)
a =
E1
c
Im statischen Falle wurde dieses Integral verschwinden (siehe Gl. 8.21). Im zeitabhangigen Falle ist es
Z
Z
Z
a = 1 d3r0(j(r0 ) r0 )r0 = 1 d3 r0r0(r0 j(r0 )) = 1 d3 r0r0_(r0 )
E1
=
c
Z
!
i c d3 r0 r0(r0 ) =
c
ikp;
c
(9.64)
wobei p das elektrische Dipolmoment der Ladungsverteilung ist. Das magnetische Vektorpotential des
elektrischen Dipolfeldes hat also die Form
AE1 =
ikr
ik p e r
(9.65)
Das Magnetfeld B ergibt sich daraus durch Bildung der Rotation. In der Fernzone erhalten wir
ikr
B = ik(n A) = k2 (n p) e r :
(9.66)
und das Elektrische Feld ist
E = (n B) =
ikr
ikr
k2 (n (n p)) e r = k2 (p (n p)n) e r
(9.67)
Die Charakteristik einer Dipolantenne, d.h. die Leistung der in den Winkel d
auslaufenden Strahlung
ist hier
dP = c k4 jn pj2 = c k4 p2 sin2 (9.68)
d
8
8
158
wobei der Winkel zwischen dem Dipolmoment p und der Ausstrahlungsrichtung k ist. Die gesamte
in der Zeiteinheit ausgestrahlte Leistung ergibt sich durch Integration u ber den Raumwinkel
P =
Z
1 !4 p2 < sin2 >
d
dP
=
4
d
2 c3
4
Wir nden
(9.69)
Z
(9.70)
< sin2 > = 41 d
sin2 = 23 :
4
Wenn wir noch berucksichtigen, das sich das Dipolmoment p = qx darstellen lat durch eine Ladung q
und eine Auslenkung x, dann gilt bei harmonischer Zeitabhangigkeit fur die mittlere Beschleunigung
qb2 = 21 (!2 p)2 . Die gemittelte Strahlungsleistung lat sich dann schreiben als
2
P = 23 qc3 b2 ;
(9.71)
die sogenannte Larmor-Formel.
Magnetische Dipol-Strahlung
A hnlich wie im statischen Fall konnen wir den zweiten Term in der Entwicklung (9.62) in zwei Teile
zerlegen
1 Z d3 r(r k)j (k j)r
1 Z d3 rj(r)(k r) =
c
2c Z
+ 21c d3 r(r k)j + (k j)r
(9.72)
Der erste Teil lat sich durch das Magnetische Moment ausdrucken und wir erhalten daraus die
magnetische Dipolstrahlung mit dem Winkelanteil
Z
1
aM 1 = i 2c d3 r (r j(r)) k = ikm n
(9.73)
Das Vektorpotential ist nun
ikr
(9.74)
A = ik(n m) e r
und fur die Felder erhalten wir
B = ikn A =
E = Bn =
ikr
k2 (n (n m)) e r
ikr
k2 (n m) e r
(9.75)
(9.76)
Das Strahlungsfeld eine magnetischen Dipols ist also vollkomman analog zu dem eines elektrischen
Dipols. Man hat nur E ! B, B ! E und p ! m zu ersetzen. Insbesondere zeigt es die gleiche
Winkel- und Radialabhangigkeit der Intensitat.
159
Elektrische Quadrupol-Strahlung
Aus dem zweiten Teil von Gl. (9.72) erhalten wir die elektrische Quadrupol-Strahlung. Dazu fuhren
wir mit Hilfe einer partiellen Integratioln folgende Umformung durch
1 Z d3 r0 (r0 k)j(r0 ) + (k j(r0 ))r0 = Z d3 r0 r0 (kr0 )(r0 j(r0 ))
2c
Z
(9.77)
= i 2!c d3 r0 r0 (kr0 )(r0 )
Die i-te Komponente diese Vektors lat sich durch den Quadrupoltensor Qik darstellen und wir erhalten
fur das magnetische Potential
ikr Z
k2 e r 12 d3 r0 r0 (n r0 )(r0 ) =
A=
Daraus erhalten wir die Felder
B =
ik A =
E =
nB =
k2 eikr Qn
2 r
3 ikr
i k2 e r (n Qn))
k3 eikr (Qn (nQn)n)
2 r
(9.78)
(9.79)
(9.80)
und den Poynting-Vektor
2
6
S = 8c n kr2 jn aj2 = 8c n kr2 j(n Qnj2
160
(9.81)
Abbildung 9.3: Eine Ladung, die sich auf der Kurve s(t) bewegt. Das von ihr erzeugte Feld wird im Punkt r
beobachtet.
9.4 Beschleunigte Punktladungen
In diesem Abschnitt beschranken wir und auf Felder, die von einzelnen bewegeten Punktladungen
erzeugt werden. Zunachst betrachten wir eine Punktladung q, die sich im Laufe der Zeit auf einer fest
vorgegebenen Bahn r = s(t) bewegt.
9.4.1 Die Lienard-Wiechert'sche Potentiale
Die Ladungs- und Stromverteilung einer Ladung q, die sich auf der Kurve s(t) bewegt hat folgende
Form
(r0 ; t0 ) = q (r0 s(t0 ));
j(r0 ; t0 ) = q v(t0 )(r0 s(t0)):
(9.82)
(9.83)
wobei sich die Geschwindigkeit v aus der Zeitableitung von s ergibt:
v(t0 ) = s_ (t0 ):
(9.84)
r
G(r; t) = 41 (t r c )
(9.85)
Mit Hilfe der retardierten Greensfunktion
erhalten wir daraus am Orte r die retardierten Potentiale
0 jr r0j t t
c
0
0
(r; t) = q d3 r0 dt0
jr r0j (r s(t ));
Z
Z
r0 j
Z
Z t t 0 jr c
q
3
0
A(r; t) = c d r dt0 jr r0j s_ (t0)(r0 s(t0 )):
Die Integration uber d3 r0 lat sich in beiden Fallen sofort ausfuhren und wir erhalten:
0
jr s(t0 )j t
t
+
c
;
(r; t) = q dt0
0 )j
j
r
s
(
t
Z t0 t + jr sc(t0 )j q
A(r; t) = c dt0 jr s(t0 )j s_ (t0):
Z
161
(9.86)
(9.87)
(9.88)
(9.89)
Die -Funktion in der t0 -Integration stellt sicher, da der Zeitpunkt t0 = tr beitragt, an dem das
Argument der -Funktion verschwindet. Diese retardierte Zeit tr ist also festlegt durch
(9.90)
tr t + jr cs(tr )j = 0:
Die retardierte Zeit tr = tr (r; t) hangt also vom Beobachtungspunkt r und der Beoachtungszeit t ab
und die Funktion tr (r; t) ist durch die implizite Gleichung (9.90) festgelegt. Sie gibt die Zeit an, zu der
Wellen vom Bahnpunkt s(tr ) ausgesandt wurden, die den Beobachtungspunkt r zur Zeit t erreichen.
Im die Integration uber t0 auszufuhren haben wir also ein Integral vom Typ
Z1
1
u(t0 ) f (t0)dt0
(9.91)
zu berechnen. Wir fuhren dazu eine Variablentransformation durch
u = u(t0 )
mit
dt0 = 1 du
du
dt0
und erhalten
Z
u(t0 ) f (t0 )dt0 =
Z
(9.92)
(u)f t0 (u) du1 du
1
= du f (t0 )
0 dt
dt0 t0 =tr
(9.93)
wobei tr die Nullstelle von u(t0 ) ist (Falls mehrere solche Nullstellen existieren sollten, muten wir
uber sie summieren).
Um die Integrale (9.89) ausfuhren zu konnen mussen wir also die Ableitung der Funktion
nach t0 berechnen
0
u(t0 ) = t0 t + jr cs(t )j
r s(t0 ) s_ (t0) :
jr s(t0 )j c
du = 1
dt0
(9.94)
(9.95)
Um die Gleichungen zu vereinfachen benutzen wir im folgenden die Abkurzungen
R = r s(t0 );
n = R
R;
v = s_ (t0);
= v;
c
die alle Funktionen von r und t0 sind
du ;
= 1 n = dt
0
162
(9.96)
(9.97)
(9.98)
(9.99)
(9.100)
Die Integration der Gleichungen (9.89) ergibt damit sehr einfache Ausdrucke fur die Potentiale
q
1
q
= R ;
(9.101)
(r; t) = R 1 n 0 =tr
t
t
r
q ;
A(r; t) = Rq 1 n (9.102)
= R
t0 =tr
tr
Diese Ausdrucke wurden zuerst von Lienard (1998) und von Wiechert (1900) abgeleitet und tragen
seither ihren Namen.
9.4.2 Die elektromagnetischen Felder
Um die elektromagnetischen Felder E und B durch Dierentiation aus den Potentialen (9.102 abzuleiten gehen wir zunachst auf die Integrale (9.89) zuruck. Mit obigen Abkurzungen erhalten wir
Z
t + R(rc;t ) ) ;
(r; t) = q
(9.103)
R(r; t0 )
Z (t0 t + R(r;t0 ) )
(9.104)
A(r; t) = q dt0 R(r; t0 ) c (r; t0 ):
Auf diese Weise haben wir die implizit denierte Funktion tr (r; t) vermieden und konnen die notwen0
dt0 (t
0
digen Dierentiationen leichter durchfuhren. Insbesondere nden wir
r(r; t)
Z
R
R)
q
t
+
3
c
Z R
R
q dt0 R 0 (t0 t + c ):
=
dt0
(t0
R 0 (t0 t + R ) ;
cR2
c
@ A(r; t) =
@t
Die Ableitung der -Funktion ist
d (t0 t + R(t0 ) ) = (1 n)0 (t0 t + R ) = 0 (t0 t + R )
dt0
c
c
c
(9.105)
(9.106)
(9.107)
Damit folgt nach einer partiellen Integration folgender Ausdruck fur das elektrische Feld
R 1 d n Z
R
0
+
dt0
E(r; t) = q (t t + )
3
0
c R
c dt R
n
d
1
n
= q R2 + c dt0 R
t0 =tr
In analoger Weise erhalten wir das Magnetfeld B durch Bildung der Rotation
B(r; t) = r Z A
1 R
0
= q (n ) R2 t t + c
n 1 d n +
= q
R2
Durch Einsetzen von
1 dn =
c dt0
c dt0
R
R R s_ R2
Rc
163
(9.108)
1 0 t0 t + R dt0 :
cR
c
t0 =tr
1
s_
cR = R n (n ):
(9.109)
(9.110)
ergibt sich schlielich
1 n
d
d
n
1
E = q 2R2 + c dt0 R 2 R2 c dt0 R 0 ;
t =tr
B = q n 2R2 c1 dtd 0 R
:
t=tr
Daraus ergibt sich die Relation
B(r; t) = n E(r; t)
(9.111)
(9.112)
(9.113)
Im folgenden werden wir uns deshalb im wesentlichen auf das elektrische Feld beschranken.
n d
1
1
_
(9.114)
E = q 3R2 c dt0 (R)
c2 R 0 :
t =tr
Eine kleine Nebenrechnung zeigt
1 d (R) =
c dt0
R n_ (n (n )) n + (n )2
c
= 2 n Rc n _ = 2 1 + Rc n _ :
(9.115)
Damit erhalten wir schlielich die entgultige Form des elektrischen Feldes
n q
_
(9.116)
+ c 3 R (n ) 0
t =tr
t =tr
Der erste Term hangt nicht von der Beschleunigung _ ab und fallt wie 1=R2 ab. Er geht bei kleinen
Geschwindigkeiten ( = 0) in das statische Coulombfeld des Teilchens uber und fallt bei groen
n E = q 2 3 R 2 0
Abstanden starker ab als der zweite Term. Letzterer ist proportional zur Beschleunigung und fallt
wie 1=R ab. Er beinhaltet eine elektromagnetische Strahlung, die von dem beschleunigten Teilchen
ausgesendet wird. Ein gleichformig bewegtes Teilchen strahlt nicht.
9.4.3 Strahlung einer beschleunigten Ladung
Fur den Poyntingvektor erhalten wir, da wir es hier mit reellen Feldern zu tun haben
n
o
S = 4c E B = 4c nE2 E(n E)
(9.117)
Wenn wir Terme weglassen, die schneller als 1=R2 abfallen, d.h. wenn wir nur die Strahlung berucksichtigen, ergibt sich daraus
S = 4c E2n
2 _
2
n
((
n
)
)
= 4qc n
6 R2
t0 =tr
(9.118)
Der Poyntingvektor gibt die ausgestrahlte Energie pro Flacheneinheit und pro Zeiteinheit dt am Beobachtungsort an. Physikalisch wichtiger ist die vom Teilchen pro Zeiteinheit dt0 und Raumwinkeleinheit
abgestrahlte Energie. Dies Groe nennt man die dierentielle Strahlungsleistung
dP = R2 n S dt :
d
dt0
164
(9.119)
Abbildung 9.4: Winkelverteilung der Ausstrahlung einer geradlinig beschleunigten Ladung.
Mit Hilfe der Relation
ergibt sich
oder
0
t0 = t r sc(t )j
(9.120)
dt0 = dt + ndt0
(9.121)
2
dP = q2 n ((n ) _ )
(9.122)
d
4c
(1 n)5
Da sich diese Groe bereits auf die Zeit t0 bezieht, brauchen wir keine Retardierung mehr zu berucksichtigen.
Wir wollen noch zwei wichtige Spezialfalle untersuchen
geradlinige Bewegung: In diesem Falle ist _ parallel zu . Fur die dierentielle Strahlungsleistung ergibt sich dann
dP = q2 _ 2 sin2 ;
(9.123)
d
4c (1 cos )5
wobei der Winkel zwischen n und ist. Die ausgestrahlte Intensitat hat dann die in Fig. (9.3)
angegebene Winkelverteilung.
Der Winkel, unter dem die maximale Intensitat ausgestrahlt wird ist
q
1
2
cos max = 3 1 + 15 1 :
(9.124)
Fur groe Geschwindigkeiten ! 1 ndet also die Ausstrahlung im wesentlichen in Vorwartsrichtung statt.
Kreisbewegung: In diesem Falle steht die Beschleunigung _ senkrecht auf und wir erhalten
"
2
2
2 #
_2
sin cos ' ;
dP = q
1
3
2
d
4c (1 cos )
(1 cos )2
(9.125)
wobei der Polarwinkel von n bezogen auf die Richtung von und ' der Azimutwinkel bezogen
auf die Kreisebene ist.
165
Abbildung 9.5: Strahlung einer auf einem Kreis laufenden Ladung q.
Schlielich betrachten wir die totale abgestrahlte Leistung P . Wir erhalten sie aus der dierentiellen
Leistung im Ruhesystem des Teilchens = 0 durch Integration uber den gesamten Raumwinkel die
Larmor-Formel
Z
q2 _ 2 1 Z d
sin2 = 2 q2 b2
=
(9.126)
P = d
dP
d
c 4
3 c3
4
4
wobei b = c_ die momentane Beschleunigung ist. Die abgestahlte Leistung ist also proportional zum
Quadrat der Beschleunigung und zum Quadrat der Ladung.
Diese Formel gilt nur fur kleine Geschwindigkeiten, also im nicht-relativistischen Grenzfall. Um eine
entsprechende Verallgemeinerung fur relativistische Teilchen zu erhalten berucksichtigen wir die Tatsache, da die im Zeitintervall dt abgestrahlte Energie gleich dE = Pdt. Da sowohl E als auch t die
0.te Komponente eines Vierervektors sind, mu die Groe P ein Skalar sein. Wir mussen also einen
Skalar nden, der bei Transformation ins Ruhesystem des Teilchens in die Larmor-Formel u bergeht.
Dazu drucken wir P durch den Impuls p des Teilchens aus und nden.
2 dp dp 2
q
P = 3 m2 c3 dt dt ;
(9.127)
wobei m die Masse des Teilchens ist, und erhalten so die lorentzinvariante Verallgemeinerung
2 dp dp q
2
P = 3 m2 c3 d d :
(9.128)
Diesen Ausdruck konnen wir schlielich wieder durch die Geschwindigkeit und die Beschleunigung
ausdrucken und nden schlielich
2 (9.129)
P = 23 qc3 6 _ 2 ( _ )2 ;
die relativistische Form der Larmor-Formel
166
Inhaltsverzeichnis
1 Newtonsche Mechanik
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
Raum und Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Massenpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Bewegungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Newton'schen Gesetze . . . . . . . . . . . . . .
Inertialsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arbeit und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Der Begri der Arbeit . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Das Potential und konservative Kraftfelder
1.7.3 Die kinetische Energie . . . . . . . . . . . .
1.7.4 Die Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Mehrteilchen-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Die Bewegungsgleichungen . . . . . . . . .
1.8.2 Der Schwerpunktssatz . . . . . . . . . . . .
1.8.3 Der Drehimpulssatz . . . . . . . . . . . . .
1.8.4 Der Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.5 Abgeschlossene Systeme . . . . . . . . . . .
1.8.6 Kontinuierliche Systeme . . . . . . . . . . .
2 Lagrange'sche Mechanik
2.1
2.2
2.3
2.4
Das D'Alembert'sche Prinzip . . . . . . . . . . .
Verallgemeinerte Koordinaten . . . . . . . . . . .
Lagrange'sche Gleichungen 2. Art . . . . . . . . .
Die Hamiltonschen Gleichungen . . . . . . . . . .
2.4.1 Herleitung aus den Lagrange Gleichungen
2.4.2 Die Legendre-Transformation . . . . . . .
2.4.3 Der Phasenraum . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Eingeschrankte Bewegung . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Zwangskrafte . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
5
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9
10
11
11
12
13
14
14
14
16
17
18
19
19
21
21
22
24
28
28
29
31
33
33
2.5.2 Die Lagrange'schen Gleichungen 1. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Einfache separable Probleme
3.1 Die eindimensionale Bewegung . . . . . . . . .
3.2 Das Zweikorperproblem im Zentralfeld . . . . .
3.2.1 Schwerpunkts- und Relativ-Koordinaten
3.2.2 Bewegung im Zentralfeld . . . . . . . .
3.3 Die Kepler'schen Gesetze . . . . . . . . . . . .
3.4 Streuprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Der Wirkungsquerschnitt . . . . . . . .
3.4.2 Streuung harter Kugeln . . . . . . . . .
3.4.3 Rutherford-Streuung . . . . . . . . . . .
3.4.4 Transformation ins Laborsystem . . . .
3.5 Der Sto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Schwingungs-Probleme
4.1 Der eindimensionale Oszillator . . . . .
4.1.1 Der freie harmonische Oszillator
4.1.2 Erzwungene Schwingungen . . .
4.1.3 Gedampfte Schwingungen . . . .
4.2 Mehrdimensionale Schwingungen . . . .
4.2.1 Allgemeine Theorie . . . . . . . .
4.2.2 Das Doppelpendel . . . . . . . .
4.2.3 Die lineare Kette . . . . . . . . .
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5 Der starre Korper
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5.1 Die Kinematik des starren Korpers . . . . . . . . .
5.1.1 Denition des starren Korpers . . . . . . .
5.1.2 Bezugsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Rotationen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Die Winkelgeschwindigkeit . . . . . . . . .
5.1.5 Rotation um bewegten Ursprung . . . . . .
5.2 Die Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Die kinetische Energie des starren Korpers
5.2.2 Der Tragheitstensor . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Der Drehimpuls des starren Korpers . . . .
5.2.4 Die Lagrange-Funktion des starren Korpers
5.2.5 Die Euler'schen Gleichungen . . . . . . . .
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6 Grundlagen der Elektrodynamik
6.1 Mathematische Beschreibung von Feldern . . . . .
6.1.1 Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Der Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4 Wirbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . .
6.1.6 Green'sche Identitaten . . . . . . . . . . . .
6.1.7 Zerlegungs-Satz fur Vektorfelder . . . . . .
6.2 Ladungen und Stome . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Strome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Die Kontinuitatsgleichung . . . . . . . . . .
6.2.4 Spezielle Ladungs- und Stromverteilungen.
6.3 Krafte und Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Maxwell's Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Das Gauss'sche Gesetz . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Das Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . .
6.4.3 Quellenfreiheit des B-Feldes . . . . . . . . .
6.4.4 Das Gesetz von Biot-Savart und Ampere . .
6.4.5 Der Verschiebungsstrom . . . . . . . . . . .
6.5 Potentiale und Wellengleichung . . . . . . . . . . .
6.6 Erhaltungssatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1 Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2 Energie-Bilanz . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.3 Impuls-Bilanz . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Elektrostatik
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7.1 Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Multipol-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Multipolentwicklung in kartesischen Koordinaten .
7.2.2 Multipol-Entwicklung in spharischen Koordinaten
7.2.3 Dipol-Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Die homogen polarisierte Kugel . . . . . . . . . . .
7.2.5 Die Dipol-Schicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.6 Quadrupol-Momente . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Elektrostatik mit Randbedingungen . . . . . . . . . . . .
7.4 Theorie der Inuenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7.4.1 Die Methode der Spiegelladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.5 Energie-Dichte und Kapazitatskoezienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8 Magnetostatik
8.1 Die Grundgleichungen der Magnetostatik . . .
8.2 Das skalare magnetische Potential. . . . . . . .
8.2.1 Beispiel: Die lange homogene Spule. . .
8.2.2 Beispiel: Der Stromring auf einer Achse.
8.3 Magnetische Multipole . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Die Energie des magnetischen Feldes . . . . . .
8.5 Quasistationare Probleme. . . . . . . . . . . . .
9 Strahlungs-Probleme
9.1 Das freie Strahlungsfeld . . . . . . . . . . . . .
9.2 Retardierte Potentiale . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Multipolentwicklung des Strahlungsfeldes . . .
9.3.1 Multipolfelder beliebiger Ordnung . . .
9.3.2 Multipolfelder niederer Ordnung . . . .
9.4 Beschleunigte Punktladungen . . . . . . . . . .
9.4.1 Die Lienard-Wiechert'sche Potentiale . .
9.4.2 Die elektromagnetischen Felder . . . . .
9.4.3 Strahlung einer beschleunigten Ladung .
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