Das Leerscript Physik - Technische Hochschule Mittelhessen

Das Leerscript Physik
Prof. Dr. U. Hoeppe, FB MND, Technische Hochschule Mittelhessen
INHALT
1
Leerscript - Physik Vorbemerkungen
1.1
1.2
1.3
1.4
Allgemeines
Einheiten
Messungen
Mathematische Grundlagen/Schreibweisen
2
Mechanik
2.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
2.1.6
2.2
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.2.6
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.4
2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.4.4
2.4.5
2.5
2.5.1
2.5.2
2.6
2.6.1
2.6.2
2.6.3
2.6.4
2.6.5
2.7
2.7.1
2.7.2
Kinematik
Bezugssysteme, Koordinatensysteme
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Weg-Zeit-Diagramme
Überlagerte Bewegungen
Kreisbewegung
Kraft und Masse - Newtons Axiome
Trägheitsprinzip
Aktionsprinzip
Reaktionsprinzip
Gewichtskraft
Gravitationsgesetz
Reibungskräfte
Arbeit und Energie
Arbeit
Kinetische Energie
Potentielle Energie
Energieerhaltung
Impuls
Definition
Impulsänderung bzw. Impulsübertragung
Impulserhaltung
Elastischer Stoß
Inelastischer Stoß
Dynamik von Körpern
Dichte
Schwerpunkt
Drehmoment und Drehimpuls
Drehmoment
Drehimpuls
Trägheitsmomente
Satz von Steiner
Drehimpulserhaltung
Rotationsenergie
Reine Rotation
Rollbewegung
WiB Physik
Hoeppe, 2013
2
3.
Wärmelehre
3.1
3.3
3.4
3.5
3.6*
3.6.1
3.6.2
Wärme und Temperatur
Das ideale Gas
Wärmeleitung
Spezifische Wärme und Mischungstemperatur
Die Hauptsätze der Thermodynamik
Der erste Hauptsatz
Der zweite Hauptsatz
4.
Elektrizität und Magnetismus
4.1
4.2
4.3
4.3.1
4.3.2
4.3.3*
4.3.4*
4.3.5
4.4*
4.5
4.5.1
4.5.2
4.5.3
4.5.4
4.6
4.6.1
4.6.2
4.6.3*
4.6.4*
4.6.5*
4.7*
4.7.1
4.7.2
4.7.3
4.7.4
4.7.5
4.8*
4.8.1
4.8.2
4.8.3
4.9
4.9.1
4.9.2
4.9.3
4.9.4*
4.10*
4.11*
Elektrische Ladung
Coulombgesetz
Elektrisches Feld
Definition, Feldlinien
Elektrisches Potential
Feld als Gradient des Potentials
Gaußscher Satz des elektrischen Feldes
Kapazität
Elektrischer Dipol
Elektrischer Strom
Definition
Ohmsches Gesetz
Spezifischer Widerstand
Anmerkungen
Magnetismus
Magnetfelder stationärer Ströme: Amperesches Gesetz
Magnetische Induktion
Lorentzkraft
Hall Effekt
Magnetische Dipole
Materie im elektrischen Feld
Orientierungspolarisation
Ionische Polarisierbarkeit Ion: p = Ion 0 E
Elektronische Polarisierbarkeit : p =  0 E
Dispersion
Ferroelektrizität
Materie im magnetischen Feld
Paramagnetismus: m > 1
Diamagnetismus: m < 1
Ferromagnetismus: m >> 1
Elektromagnetische Induktion
Magnetischer Fluß
Induktionsgesetz von Faraday
Wechselstromgenerator
Selbstinduktion und Induktivität
Maxwellgleichungen
Stetigkeitsbedingungen
WiB Physik
Hoeppe, 2013
3
5
Schwingungen
5.1
5.2
5.2.1
5.2.2
5.2.3*
5.3
5.4
5.5*
5.6*
Einleitung
Freie ungedämpfte harmonische Schwingung
Federpendel
Fadenpendel
Physisches Pendel, Drehpendel
Freie gedämpfte Schwingung
Erzwungene gedämpfte Schwingung
Elektrischer Schwingkreis
Gekoppelte / überlagerte Schwingungen
6
Wellen
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.9.1
6.9.2
6.9.3
6.9.4*
6.10*
6.11*
Einleitung
Harmonische ebene Welle
Intensität einer Welle
Wellenausbreitung und Intensität
Überlagerung von Wellen - Dopplereffekt
Reflexion von Wellen
Stehende Wellen
Interferenz
Beugung
Beugung am Spalt
Beugung am Doppelspalt
Beugung am Gitter
Auflösungsvermögen optischer Geräte
Brechung
Dispersion
7*
Optik
7.1
7.1.1
7.1.2
7.1.3
7.1.4
7.2
7.2.1
7.2.2
Strahlenoptik
Fermat’sches Prinzip
Optische Linsen
Bildkonstruktion
Optische Geräte
Quantennatur des Lichts
Photoeffekt
Teilchen-Welle Dualismus; Materiewellen
8*
Aufbau der Materie
8.1
8.1.1
8.2
8.2.1
8.2.2
8.3
Atomphysik
Atommodelle
Kernphysik
Aufbau von Atomkernen
Radioaktiver Zerfall
Kernenergie und Massendefekt
WiB Physik
Hoeppe, 2013
4
1
V
Vorbeme
erkungen
n
1.1 A
Allgemeiines
Naturw
wissenscha
aften
N
Naturgese
etze = verallgeme
v
einerte Errfahrungst
tatsachen,,
nicht
n
zurüückführbarr auf grundlegenderre
Aussagen
A
/ „Gesetz
zmäßigkeit
ten“
Physik:: „Lehre vvon den un
nbelebten
n Körpern““
T
Themen:
 Struktu
ur (von Rau
um und Maaterie)
 Bewegung (zeitlic
che Abläuffe im Raum
m)
 Wechse
elwirkung (z.B.
(
Strah
hlung - Ma
aterie)
Begrifffe:
 Raum
m, Zeit
 Kraftt
 Energgie, Entropie
P
Prinzipien:
Method
den:
 Kausalittät (Zeitpf
feil)
 Erhaltungssätze
 Beob achtung
 Expeerimente
 Math
hematik
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
5
1.2 Einheiten
Physikalische Größe
G = {G} · [G]
{G} Zahlenwert von G
[G] Einheit von G
Art der Größe: Dimension, z.B. Länge, Zeit, Ladung, Geschwindigkeit
Willkürlich festgelegte Basisgrößen:
SI - Einheiten
Basisgröße
Länge
Masse
Zeit
el. Stromstärke
Temperatur
Lichtstärke
Abkürzungen für Dezimalfaktoren
Name
Meter
Kilogramm
Sekunde
Ampere
Kelvin
Candela
Zeichen
m
kg
s
A
K
cd
Abgeleitete Größen / Einheiten (Beispiele):
Kraft:
-2
1 Newton = 1 N = 1 kg m s
Arbeit / Energie:
1 Joule = 1 J = 1 N m = kg m2 s-2
Leistung:
1 Watt = 1 J s-1 = kg m2 s-3
Elektr. Spannung:
1 Volt = 1 W  A-1 = 1 J s-1 A-1
1018
1015
1012
109
106
103
102
Exa [E]
Peta [p]
Tera [T]
Giga [G]
Mega [M]
Kilo [k]
Hekto [h]
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
Dezi [d]
Centi [c]
Milli [m]
Mikro []
Nano [n]
Pico [p]
Femto[f]
Atto [a]
Definition von Basiseinheiten durch Vergleichsmaßstab:
Beispiel: Zeit
„Natürliche“ Einheiten:
- Jahr (Erdumlaufbahn)
- Tag (Erdrotation)
- Stunde, Sekunde (Uhren: Sonnenuhr, Stundengläser, Sanduhren, Pendel
Quarzuhr ± 10-10 , NH3-Molekülschwingung ~ 24 GHz, )
1967:
WiB Physik
Hoeppe, 2013
Eine Sekunde ist das 9 192 631 770-fache der Periodendauer der dem
Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus im Grundzustand
des 133Cs Atoms entsprechenden Strahlung.
( ± 10-13 )
6
Beispiel: Länge
„Natürliche“ Einheiten: Zoll, Fuß, Ellen, Tagesmärsche, ...
1799 - 1960: Urmeter in Paris durch Pt-Ir-Standard
(± 10-6)
1960:
Vielfaches der Wellenlänge einer bestimmten, scharfen
Spektrallinie von 86Kr
(± 10-8)
1974:
Ein Meter ist die Strecke, die das Licht im Vakuum in der Zeit
1/299792458 s zurücklegt.
Damit beträgt die Vakuumlichtgeschwindigkeit per Definition
c0 = 299792458 m/s .
Beispiel: Masse
1889:
Ein Kilogramm entspricht der Masse, welche dem Prototyp
aus Pt-Ir in Paris entspricht.
Der Vergleich zweier Massen ist mit einer (unkalibrierten) Waage möglich.
Stoffmenge Mol
1 Mol ist die Stoffmenge eines Systems, welches aus ebensoviel
Teilchen besteht, wie in 0,012 kg 12C enthalten sind.
Diese Zahl ist die Avogadrozahl NA = 6,02214 ·1023 mol-1 .
( Ein Mol Stoff wiegt das Atomgewicht in g)
Atomare Masseneinheit
Eine atomare Masseneinheit 1 u entspricht 1/12 der Masse eines 12C Atoms.
Mit der Def. des Mols folgt:
1u 
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Hoeppe, 2013
1
g

 1,6605  10  27 kg
N A mol
7
1.3 M
Messung
gen
D
Die Durch
hführung einer
e
Messsung bedeu
utet die
B
Bestimmun
ng einer physikalisc hen Größe
e durch
V
Vergleich mit einem
m geeignete
en Standa
ard.
B
Bsp.: Läng
genmessung
M
Meterstab
b
S
Schieblehre
M
Mikromete
erschraub
be
H
Hochwertige Messu
uhr/
iinduktiverr Messtastter





1 mm
0
0,1 mm
0
0,01 bis  0,002
0
0
0,002 bis  0,001 = 1 µm
0
0,0001 m = 0,1 µm
M
Messungen sind imm
mer fehlerrbehaftet ( Mikrokosmos, U
Unschärferrelation) :
D
Darstellun
ng von Me
essergebniissen
Beispiele:
B
 Angabe
e des Mess
sfehlers
(13,5
(
 1,3) mm
 Zahl de
er Nachkommastelle
en
nicht:
n
13,5
5146 mm  1,3246 mm
m
 Zehnerrpotenzen
(1,23
(
 0,14)·10-5 m = (12,3  1,4) µm
nicht:
n
0,00
0001 m  11,4·10-6 m
 Zahl de
er relevantten Stelle
en
( Vorsicht: Runden,
R
Fehler, Potenze
en... )
-4
12,34·10
1
= 0,00123
34
hier
h
vier Stellen
S
releevant
ng großer Entfernu
ungen:
Messun
a) Lauffzeitmessu
ungen
B
Bsp.: Gewiitter, Lauf
fzeitdiffe
erenz von Licht
L
und Schall
cLichht >> cSchall = x / t 
x
 = cSchall · t  330
0m/s · t
B
Bsp.: Rada
armessungen, Laufze
eitmessung von am Objekt
O
refflektierte
en R.-Impu
ulsen
Z
Zu beachte
en: Puls dur
rchläuft Ab
bstand d zw
weimal:
cRraadar = cLichtt = x / tt = 2·d / t
 
d = ½· cLicht · t
  ½· 2,9
998·108 m/s · t
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
8
b) Tria
angulation
S
Sinussatz aus Geom
metrie:
Winkelsummee in bel. Drreieck
a
b
c


sin  sin  siin 
      180
F
Für den Abstand a ergibt
e
sich
h:
a  sin  
c
s 
sin
 c
sin 
sin(1800     )
ffür  oderr  = 90° ergibt
e
sich
h vereinfacht:
a  c  tan
t 
B
Bsp.aus Astronomie
A
e: Messunng von Enttfernungen zu andeeren Sternen
k
kleine Win
nkel  gro
oße Basis nnötig:
A
Abstand Erde
E
- Son
nne = Astrronomisch
he Einheit: 1 AE = 149
9,6 ·106 km
m
((vgl. auch jährliche Parallaxe)
E
Entfernun
ng entspre
echend ein em Beobachtungswinkel von eeiner Boge
ensekunde::
p  tan p 
E
r 1AE

x
x

x
1AE
p
bzw
w. 1 pc 
1AE
1' '
P
Parallaxen
nsekunde = 1 parsec = 1 pc = 3,086 · 10166 m
D
Dagegen entspricht
e
t ein Lichtjjahr 1 La = 0,946 · 10
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
16
m
- 1 pc = 3,262 La
9
1.4 Mathematische Grundlagen/Schreibweisen:
Größen:
- Skalare
Bsp.:
- Vektoren
Bsp.:
- (Tensoren
Bsp.:
T

F

J
Temperatur, Zahl
Kraft, Zahlentripel
Trägheitstensor, Matrix)
Funktionen (einer Veränderlichen):
- Quadratische Gleichungen
x  px q  0 
2
x1, 2
p
 
2
2
 p
  q
2
- Differentiation (Tangentensteigung)
f ( x) df ( x) d


f ( x)
x 0 x
dx
dx
f ( x)  lim
;
dA(t ) d
 A(t )  A
dt
dt
- Integration (Fläche unter einer Kurve)
F ( x)  lim  y ( xi )  xi   y ( x) dx
x 0
i
d
f ( x)  f ( x)   f ( x) dx  f ( x)
dx
Spezielle Funktionen
- sin, cos, tan, ( Einheitskreis, s.u.)
- log, lg, ln, e, dB
lg( x)  log10 ( x)
f ( x)  10 x  x  lg( f ( x)) Bsp.: pH-Wert , dB, phon
ln( x)  log e ( x)
f ( x)  e x  x  ln( f ( x))
e = 2,71828...
WiB Physik
Hoeppe, 2013
1
 x dx  ln( x)  c
Bsp.: Zerfallsgesetz, Eindringtiefe, ...
10
Geome
etrie
- Winkel ( Einheittskreis, “D
DEG, RAD, GRAD“ )
- Raumwin
nkel ( Ein
nheitskuge
el)
R
Raumwinkeel:  
A Flächenssegment

r2
Radiuus 2
E
Einheit: Steeradiant sr
V
Vollwinkel:  
4 r 2
 4
r2
nen
Vektorroperation
 
- Skalarprrodukt Bsp.:
Arb
beit W  F  x  F  x  cos( )
- Vektorprrodukt Bs
sp.:
Dre
ehmoment: D  r  F
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013



  
D  r  F  sin 
11
2
M
Mechanik
2.1 K
Kinematiik
2.1.1
Bez
zugssystteme, Kooordinate
ensystem
me
O
Ortsvekto
or: beschreibt den O
Ort eines Punktes (T
Teilchens)) im Raum
bzw
w. 3-dim:
D
Der Ortsvvektor ist i.A. zeitab
bhängig, die Bahn de
es Ortsvekktors im Raum
R
b
bezeichne
et man als Bahnkurve
e.
D
Die Wahl des Bezug
gssystems ist belieb
big, solange
e die Systteme zuein
nander in Ruhe
R
o
oder relattiv zueinan
nder in gerradliniger gleichförm
miger Bew
wegung sind.
((Inertiallsysteme)
B
Beispiele:
Kartesisch
he Koordin
naten
Polarkoordinat
aten/Zylind
derkoordinaten
dF = dx dy
d
dF = r d
dV = dx dy
d dz
dV = r d dz
2.1.2
2
Gesschwindig
gkeit
D
Die Gesch
hwindigkeitt beschreiibt die zeiitliche Ver
ränderungg des Ortsvektors:
11-dim.:
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
3-dim.:
3
12
I
In Worten
n
Gesschwindigk
keit = W eg / Zeit
M
Messung von
v Geschw
windigkeitten:
e
entsprichtt der Orts
smessung e
eines Objektes zu zwei
z
verscchiedenen Zeiten,
b
bzw. Messsung der Zeiten
Z
an z
zwei versc
chiedenen durchlauffenen Orte
en.
A
Addition von
v Geschw
windigkeitten (nichtrrelativistis
sch):
S
Sind zwei Bezugssys
steme  u nd ’ zuein
nander mit
t der Gescchwindigke
eit v0 bew
wegt,
sso gilt
2.1.3
3
Besschleunig
gung
D
Die Beschleunigung beschreib
bt die zeittliche Verä
änderung d
der Gesch
hwindigkeitt
1-dim.:
3-dim.:
3
B
Bsp.: Erdb
beschleunigung:
E
Ein Körperr wird im freien
f
Fal l durch die
e Erdanzie
ehung, bei Vernachlä
ässigung von
v
-2
R
Reibung un
nd in Nähe
e der Erdooberfläche
e) konstan
nt mit g = 9
9,81 ms beschleun
nigt.
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
13
2.1.4
4 Weg-Z
Zeit-Dia
agramme
B
Bei bekann
nter Geschwindigke
eit bzw. Be
eschleunigu
ung ergibtt sich umgekehrt
jjeweils Orrt bzw. Ge
eschwindiggkeit aus Integratio
I
n:
v
dx
dt

x(t )   v (t )  dt
und
u
a
dv
dt

v (t )   a (t )  dt
a) Stilllstand (d.h
h. v = 0, a = 0)
 x(t) =
wegungen mit
m const. Geschwind
digkeit (d..h. v = v0 = const, a = 0)
b) Bew
 v(t) =
 x(t)=
c) Bewegungen mit
m const. Beschleunnigung (d.h
h. a = a0 = const)
c
 v(t) =
 x(t)=
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
14
2.1.5
5 Überla
agerte Bewegung
B
gen
 i.A. nich
htgeradlin
nige Beweggung, z.B.:
S
Schräger Wurf:
bei t = 0 gelte: x = 0, y = 0, v = v0
W
Wurfparabel y(x):
W
Wurfweite L:
F
Flugdauer T:
W
Wurfhöhe
e H:
M
Maximale Wurfweitte L():
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
15
2.1.6
6 Kreisb
bewegung
g
B
Betrachte
e Punkt, we
elcher sich
h mit der Bahngesch
hwindigkeiit v
a
auf einer Kreisbahn
n mit dem R
Radius r bewegt:
b
Bahnge
eschwindigkeit:
v=
Winkelgeschwind
digkeit (= K
Kreisfrequ
uenz):
=
falls nic
cht konstan
nt:
Winkelbeschleun
nigung:
=
F
Für v bzw. w = const. sin
nnvolle Defi nitionen:
P
Periodendauer T : Zeit
Z
für einnen ganzen Umlauf, d.h. für 2
2:
F
Frequenz f: Zahl de
er ganzen U
Umläufe pro
p Zeit:
3
3-dim: Wird die Kre
eisfrequennz als Vekttor darges
stellt, so b
beschreibtt die Richttung
d
des Vekto
ors die Dre
ehachse unnd Drehsin
nn der Kre
eisbeweguung:
H
Hier gilt:

v
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
16
Z
Zentripetalbeschleu
unigung
E
Eine Kreissbewegung
g ist immerr eine besschleunigte
e Bewegunng, da sich
((zumindesst) die Rich
htung des Geschwin
ndigkeitsve
ektors steetig ändertt.


G
Gleichförm
mige Kreis
sbewegungg:   con
nst . und r  r  constt
 
 
a
aber r  r (t ) und v  v (t ) !



v ( t ) dv (t )

a
aus der De
efinition a  lim
folgt
t 0 t
dt


a  az 
A
Anmerkun
ngen:
D
Diese Besc
chleunigung muss vorh
handen sein, damit die Kreisbeweegung zusta
ande
k
kommt. Urssache ist le
etztlich dass Wirken einer
e
Zentralkraft, z.B
B. die feste
e
V
Verbindung
g in einem (rotierende
(
en) Körper, eine Schnu
ur oder diee Gravitatio
onskraft
iin dem wich
htigen Fall der Planet enbewegun
ng.
D
Die (für ein
nen mitbew
wegten Beo bachter au
ufgrund der
r Kreisbeweegung) der
Z
Zentralkra
aft scheinba
ar entgege
enwirkende Kraft nenn
nt man auch
h Fliehkraf
ft.
S
Sie ist der Zentripeta
alkraft m·aaz betragsm
mäßig gleich
h jedoch enntgegengesetzt
g
gerichtet.
I
In diesem Zusammenh
Z
hang sprich
ht man auch
h von „Sche
einkräften in beschleunigten
B
Bezugssyte
emen“. Ber
rühmt ist h ier auch die sog. Corioliskraft, w
welche für das
W
Wettergesschehen in unserer
u
Attmosphäre entscheide
end wichtigg ist.
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
17
2.2 Kraft und Masse - Newtons Axiome
Sir Isaac Newton (1643-1727) definierte den physikalischen Begriff “Kraft”
über die folgenden drei Axiome:
2.2.1
Trägheitsprinzip
Ein kräftefreier Körper verbleibt im Zustand der Ruhe
oder in gleichförmig geradliniger Bewegung:
Mehrere Kräfte addieren sich dabei vektoriell.
2.2.2
Aktionsprinzip
Die Beschleunigung eines Körpers ist proportional zur auf ihn (in Summe)
einwirkenden Kraft und umgekehrt proportional zu seiner Masse:
oder
Ft wird als sog. „Trägheitskraft“ eingeführt. Das negative Vorzeichen drückt aus,
dass die „Massenträgheit sich einer angreifenden Kraft widersetzt“.
Für jeden Körper gilt also
Schließt man in diese Formulierung die Trägheitskraft als weitere Kraft mit
ein, so ergibt sich als allgemeinste (und sehr praktische) Formulierung das
d’Alembertsche Prinzip:
2.2.3
Reaktionsprinzip
Übt ein Körper 1 eine Kraft F12 auf einen Körper 2 aus, so übt umgekehrt
der Körper 2 die Kraft F21 = - F12 auf den Körper 1 aus:
„ ... d.h. , wer etwas schiebt, muss sich irgendwo abstützen...“
(vgl. auch später: Impulserhaltung)
WiB Physik
Hoeppe, 2013
18
2.2.4
Gewichtskraft
Beobachtung: Auf der Erdoberfläche werden alle Körper beim Fallen
mit der gleichen Erdbeschleunigung g beschleunigt.
Nach Newton lässt das auf die Existenz einer Gewichtskraft schließen,
welche proportional zur Masse des Körpers ist:
Einheiten der Kraft / Gewichtskraft:
[ FG ] = N = kg·m ·s-2
“Newton”
( veraltet: 1 Kilopond = 1 kp= 1 kg·9,81 m·s-2 )
Einheiten der Masse / des Gewichts: [ m ] = kg
2.2.5
(Basiseinheit)
Gravitationsgesetz
Beobachtung: Alle Körper ziehen sich gegenseitig an. Die anziehenden Kraft ist
proportional zu den Massen der Körper und umgekehrt proportional zum Quadrat
ihres Abstandes r.
Für die Kraft zwischen zwei Massen m1 und m2 gilt:
Gravitationskonstante: G = 6,672 10-11 Nm2 kg-2
Bewegung von Himmelskörpern:
- Aufgrund der riesigen Entfernungen im Kosmos können die Himmelskörper
in sehr guter Näherung als Massenpunkte beschrieben werden.
- Planeten in stabilen Umlaufbahnen bewegen sich i.A. auf Ellipsen (Kepler!)
Spezialfall Kreisbahn (als Näherung):
Die Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft und bewirkt die (beschleunigte)
Kreisbewegung. Im mitbewegten Koordinatensystem erscheint der Körper
unbeschleunigt, es wirkt aber eine Scheinkraft, die sog. Fliehkraft, welche der
Zentripetalkraft betragsmäßig gleich ist, aber entgegengesetzt gerichtet ist.
Aus Gleichsetzen von Fg und Fz folgt:
WiB Physik
Hoeppe, 2013
19
B
Bsp: Berec
chnung der Sonnenm
masse aus der Umlau
ufzeit derr Erdumlau
ufbahn:
24
11
mE = 5,9742 ·10
0 kg, T = 1 Jahr , rES  1,506 ·10 m
E
Erdbeschlleunigung:
A
Aufgrund der Masse
e der Erde
e erfahren alle Körp
per an derr Erdoberf
fläche
-2
d
die gleiche
he Beschleu
unigung g  9,81 mss . Dies fo
olgt unmitttelbar aus
s der
P
Proportion
nalität derr Gravitat ionskraft zur Masse
e eines Köörpers („mt = ms“):
M
Mit mE = 5,9742
5
·10
024 kg, rE = 6371 km und G = 6,672·10-11 Nm2·kg-2
ffolgt für die
d Erdbes
schleuniguung g:
U
Unserer Errfahrung na
ach fallen aaber nicht alle Körper
r gleich sch
hnell, und praktisch alle
B
Bewegunge
en kommen irgendwannn zum Stillsstand. Wen
nn Newtonss Axiome un
nd das
G
Gravitation
nsgesetz sttimmen, dannn müssen also weiter
re Kräfte w
wirken!
2.2.6
6
Reiibungskrä
äfte
a
a) Coulom
mb-Reibung
g  Festk
körper
Haftreibung:
Gleitreib
bung:
Die Reibu
ungskraft FR wirkt einner angreif
fenden Kraft entgegeen,
die Norm
malkraft FN steht sennkrecht auf
f ihr.
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
20
N
Newtons Aktionspri
A
inzip erwe
eitert sich damit zu:
(Bsp.: sch
hiefe Ebene
e...)
Rollreibu
ung:
D
Die Ursach
hen der Rollreibung sinnd komplex
xer, wesent
tlichen Einffluss hat hier die
V
Verformung des Rade
es bzw. derr Auflage. Sie
S ist in je
edem Fall d
deutlich kleiner als
d
die Gleitreibung ( Gleitlager/
G
/Rollen- bzw
w. Kugellage
er).
b
b) viskose
e Reibung  viskose
e Flüssigke
eiten, ..
c
c) Newton
n-Reibung
g  Medie
en geringer Viskosität, Gase, ...
2.3
Arb
beit und Energie
e
2.3.1
Arb
beit
B
Bewegt eine Kraft F einen Köörper in ihr
hrer Richtu
ung, so leisstet sie die
d, muss
D
Da Betrag
g und Richttung der K
Kraft i.A. zeitlich
z
va
ariabel sind
m
man diesen Zusamm
menhang di fferentiell beschreiben:
E
Einheiten::
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
21
V
Vektorielle Schreib
bweise:
H
Häufig nüttzliche Grröße:
Leisstung =
E
Einheiten::
„„Wo bleibtt die geleisttete Arbeitt?“ 
2.3.2
2
Kin
netische Energie
„„Kinetisch
he Energie ist gespe
eicherte Be
eschleunig
gungsarbeiit“:
D
Durch die Kraft F werde
w
ein K
Körper be
eschleunigt
t, d.h.
D
Die Kraft F wirke die Zeit t, während der
d Körper
r die Streecke x durchläuft:
D
Die Beschleunigungs
sarbeit wi rd in Bewe
egungsene
ergie, Kinettische Ene
ergie
Ekin =
ü
überführtt.
E
Einheiten::
Bsp.: Eine
e Masse fallle in Folge der Schwe
erkraft einen Meter nnach unten.. Wie
schn
nell ist sie kurz vor de
em Aufpralll?
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
22
Anmerkung: Eine besondere Form der kinetischen Energie ist die vollkommen
ungeordnete kin. Energie von Atomen und Molekülen. Man bezeichnet sie als
„Wärme“. Diese Energieform entsteht z.B. durch Reibung und lässt sich aufgrund
der Unordnung nicht (oder nur teilweise) in andere Energieformen umwandeln.
2.3.3
Potentielle Energie
a) Lageenergie:
 „Potentielle Energie ist gespeicherte Hubarbeit“:
Epot = WHub =
Bsp.: Heben einer Masse von 1 kg um einen Meter:
b) Federenergie:
 „Potentielle Energie ist gespeicherte Arbeit beim Spannen einer Feder“:
Für eine Feder gelte das Hook’sche Gesetz, d.h. die Federkraft sei proportional zu
ihrer Auslenkung x. Mit einer Federkonstanten k gilt dann F = kx und für die
Arbeit bei derAuslenkung x0:
Epot,Feder = WFeder =
c) Sonstige potentielle Energien:
 Energie in Spiralfeder (Uhr), verdrilltem Draht, Gummi, ...
nicht mechanisch:
 Lageenergie eines elektrisch geladenen Teilchens in E-Feld,
z.B. auch Energie in geladenem Kondensator
 Lageenergie eines magnetischen Teilchens in H-Feld
 chemische Energie,
z.B. auch Energie in einer Batterie, 1 Liter Heizöl, ...
WiB Physik
Hoeppe, 2013
23
2.3.4
4
Ene
ergieerha
altung
W
Wie oben gezeigt, können
k
verrschiedene
e Energief
formen in A
Arbeit und
d damit
iineinanderr überführrt werden.. Erfahrun
ngsgemäß bleibt
b
abeer in einem
m abg
geschlosse
enen System die Suumme der Energien
E
stets
s
erhaalten!
I
In der Me
echanik gilt daher füür ein System ohne äußere Krräfte
( d.h. auch
h ohne Reibungskräffte):
E
Ein schöness Beispiel is
st eine Massse, welche
e an einer Feder
F
hin uund her sch
hwingt.
H
Hier wird ständig
s
potentielle in kinetische Energie (und umgekeehrt) umgew
wandelt:
aa) Feder spannen
s
.....
b) b
bis x = x0, dann losla
lassen .... c) Umw
wandlung inn Ekin
D
Das Prinzip
p der Energ
gieerhaltunng ist aller Erfahrung nach absol ut universe
ell und gilt
u
umfassend (nur) für alle
a Energie
eformen (so
ogar in Zus
sammenhanng der Mass
se Energie
2
Ä
Äquivalenz E=mc von Einstein). Die Formulierung dies
ses Naturggesetzes ist im Bereic
ch der
T
Thermodyn
namik als „11. Hauptsattz“ berühmtt geworden
n.
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
24
2.4
2.4.1
Imp
puls
Def
finition
E
Es zeigt sich, dass der
d Beweggungszusta
and eines Teilchens
T
eindeutig nur mit
G
Geschwind
digkeit und
d Masse b eschriebe
en ist (, z.B
B. ist damiit auch seiine kin.
E
Energie de
efiniert). Eine
E
sinnvvolle und wichtige
w
Gr
röße ist daaher der Impuls:
I
2
2.4.2
Imp
pulsände
erung bzw
w. Impulsübertragung
F
Formal sch
hreibt sich die zeitlliche Ände
erung des Impulses::
M
Meist ist die
d Masse
e konstant und es fo
olgt:
S
Sehr oft wirkt
w
eine Kraft nurr für sehr kurze Zeit. Bei eineem solchen (schnelle
en)
S
Stoßproze
ess ist derr zeitliche Verlauf der
d Krafte
einwirkungg schwer zu bestimm
men
b
bzw. zu be
eschreiben
n. Viel inte
eressanterr als die Details
D
dess Stoßes selbst sind seine
A
Auswirkun
ngen, d.h. die
d Impulssänderung p. Sie fo
olgt aus Inntegration
n:
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
25
2.4.3
3
Imp
pulserha
altung
O
Offensich
htlich ände
ert sich de
er Impuls eines Teilchens durrch Krafte
einwirkung
g,
u
umgekehrtt bleibt err für ein k
kräftefreies Teilche
en konstannt. Gleiche
es gilt für
d
den Gesam
mtimpuls p =  pi ein es System
ms von Teilchen, wass direkt au
us Newton
ns
R
Reaktionsprinzip folgt. Betracchte zwei Teilchen der Massee m1 und m2, anfängllich
b
beide in Ruhe (zuein
nander), zw
wischen de
enen eine Kraft F12 wirke:
T
Teilchen 1:
1
New
wton:
T
Teilchen 2:
2
d
d.h. Impulserhaltung
g
V
Verallgemeinerung auf
a belieb ig viele Te
eilchen:
D
Der Gesam
mtimpuls ein
nes System
ms ist also eine
e
Erhaltu
ungsgröße w
wie die Ene
ergie.
W
Wie auch schon
s
bei de
er Energiee
erhaltung ist „const“ nur abhänggig von der Wahl
d
des Koordinatensyste
ems, im sog . Schwerpu
unktsystem
m gilt z.B. „cconst = 0“.
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
26
2.4.4
4
Ela
astischerr Stoß
 Im mech
hanischen System
S
giltt Impuls- und Energieerhaltung
B
Bsp: Zentra
aler elastis
scher Stoß
D
Die Massen
n und die Geschwindiggkeiten vor dem Stoß seien bekaannt. Aus de
er
- Impulserh
haltung:
- Energieerrhaltung:
ffolgen die Geschwind
G
igkeiten naach dem Stoß:
( Betrachtte die Gre
enzfälle m1 >> m2 ; m1 << m2 un
nd m1 = m2 = m ! )
A
Anmerkung
gen:
- Bei dem ‚nichtzentr
ralen Stoß’ liegt der Geschwindig
G
gkeitsvektoor nicht au
uf der
V
Verbindung
gslinie der Schwerpunnkte beiderr Teilchen (Stoßpara
(
ameter).
E
Es müssen daher für beide Teilcchen minde
estens zwei Komponentten der
I
Impulsvekttoren betra
achtet wer den. Die Im
mpulserhalt
tung gilt veektoriell und damit
a
auch kompo
onentenweiise.
- Die Detaiils des Impulsübertraags, d.h. die
e Dauer und
d die Art deer Wechse
elwirkung,
ssind für die
e Dynamik irrelevant, soweit die
e Bezeichnu
ung ‚vor’ unnd ‚nach’ de
em Stoß ein
n
V
Verschwind
den der We
echselwirkuung implizie
ert.
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
27
2.4.5
5
Ine
elastisch
her Stoß
 Im mech
hanischen System
S
giltt nur die Im
mpulserhalt
tung.
B
Bsp: vollkom
mmen plasttischer Stooß
D
Die Massen
n und die Geschwindiggkeiten vor dem Stoß seien bekaannt. Aus de
er
- Impulserh
haltung:
ffolgt die Geschwindig
gkeit v nach
h dem Stoßß:
2.5 D
Dynamik
k von Körrpern
2.5.1
Dic
chte
B
Bei realen
n Körpern ist
i die Maasse nicht in einem Punkt
P
konzzentriert,
ssondern üb
ber das Vo
olumen de
es Körpers verteilt:
M
Man bezeiichnet als Dichte daas Verhälttnis Masse zu Volumeen:
J
Je nach Zusammens
Z
setzung unnd Struktu
ur der Mat
terie bzw.. des Körpers
iist die Dic
chte versc
chieden unnd/oder eine Funktio
on des Orttes.
D
Die Masse
e des Körp
pers berecchnet
ssich dann entsprech
hend:
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
28
E
Einheiten::
D
Dichtemesssung:
e
erfolgt lettztlich durch Bestim
mmung derr Masse un
nd des Vollumens. Diie Masseb
bestimmun
ng erfolgtt in jedem Fall einfa
ach und seh
hr genau d
durch Wäg
gung. Bei
F
Flüssigkeiten kann das
d Volume
en hinreichend gena
au z.B. mit geeichten
n
Kolben besstimmt we
erden, bei unregelmä
äßig gefor
rmten Festtkörpern hingegen
h
e
erfolgt die
e Volumen
nbestimmuung indirek
kt über das Archimeedische Prrinzip:
J
Jeder Körrper erfäh
hrt in eine r Flüssigkeit die Auftriebskraaft:
F
Für Körpe
er mit Dich
hten > 1 (g ilt für die meisten FK
F bzw. W
Werkstoffe
e) verwend
det
m
man Wassser mit derr sog. Hyd
drostatisch
hen Waage
e:
M
Mit Waage
e gemessene
e Gewichtsskraft: mg
M
Mit Waage
e gemessene
e scheinbarr verringerrte Gewicht
tskraft m’gg = ...
D
Dichte:
A
Anmerkun
ngen:
- Körper mit
m Dichte
en < 1 schw
wimmen in Wasser, d.h.
d ...
- Bei viele
en Werksto
offen, ist die Zusam
mmensetzu
ung und daamit die „ttheoretisc
che
Dichte“ bzw.
b
Röntg
gendichte eindeutig
g definiert
t, prozessb
bedingt va
ariiert abe
er die
gemessene Dichte z.B. durch
h die Porosität p :
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
29
2.5.2
2
Sch
hwerpunk
kt
a) S
Schwerpunkt S eine
es System
ms von Masssepunkten
n
B
Betrachte
e N versch
hiedene Maassepunktte der Mas
sse mi am O
Ort ri
bzw.
G
Gesamtma
asse:
Ortsvekto
O
r des Sch
hwerpunkte
es
B
Bsp.: Bei 2 Massenp
punkten, lie
egt der Sc
chwerpunk
kt auf derr Verbindungslinie
b
beider Ma
assen. Die Abstände
e der Masssenpunkte vom Masssenschwerrpunkt
vverhalten sich umge
ekehrt wie
e die Masssen:
b) S
Schwerpunkt bei ko
ontinuierliccher Massseverteilun
ng
A
Anmerkun
ngen:
- S muss nicht
n
innerrhalb einess Körpers liegen (z.B
B. Toroid))
- S muss nicht
n
konstant sein, auch für verformba
v
are Körperr oder bew
wegte
Massenpunkte ist S definierrt, auch we
enn rs = rs(t). ( Neewton?)
- Bei energetischen Betrachttungen von
n Systemen
n empfieh lt sich oftt
die Verw
wendung eines Schwe
erpunktsystems; so wird z.B. die Mitbewegung de
es
Atomkerrns, welche
er von eine
em Elektro
on umkreis
st wird, m
mit der Einführung
einer sog
g ‚reduzier
erten Massse’ energettisch korrekt berüc ksichtigt.
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
30
2.6 D
Drehmom
ment und
d Drehim
mpuls
D
Die Verteilung der Masse
M
eine
es Körperss auf ein endliches
e
V
Volumen bedingt,
b
d
dass neben der Rich
htung auch
h der Ort einer angr
reifenden Kraft fürr das
V
Verhalten des Körpe
ers entsch
heidend ist.
L
Liegt dieser Ort nic
cht vom Scchwerpunk
kt des Kör
rpers aus ggesehen in
n Richtung
g
d
der Kraft, so wird der
d Körperr in eine Drehung
D
ve
ersetzt:
2.6.1
Dre
ehmomen
nt
D
Definition
n:
Dre
ehmoment = Hebelarrm x Kraftt
b
bzw.
B
Beträge:
A
Anwendun
ng:
- Schraubenschlüssel + Rohr ((Drehmom
mentschlüs
ssel)
- Brechsta
ange, Hebel
- Balkenwa
aage
 „Der Eiinsatz eine
es längere
en Hebels spart
s
Kraf
ft“, aber aauch Energ
gie?
B
Betrachte
e Drehung um
ssehr kleinen Winkel d:
A
Aus dem Prinzip
P
derr virtuelle n Arbeit folgt
f
für das
d (stat.) Gleichgew
wicht:
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
31
A
Achtung:
O
Oft entsc
cheidend wichtig
w
ist der jeweiilige Urspr
rung des
Koordinate
ensystems
s, d.h. der Drehpunk
kt:
R
Rolle - ro
olle !
(nach linnks oder nach rechts ?)
?
K
Kippmoment = Dreh
hmoment, b
bei welche
em ein Kör
rper (um)k ippt
2.6.2
2
Dre
ehimpuls
D
Die Einwirrkung einer Kraft auuf einen Massepunkt
M
t führt zu einer
I
Impulsänd
derung, enttsprechennd führt ein Drehmo
oment an eeinem Körp
per
z
zu eine Än
nderung de
es Drehim
mpulses.  Definition:
a) D
Drehimpulls eines Massepunk
M
ktes:
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
32
Praktisch (und besonders sinnvoll) ist der Drehimpuls bei Kreis oder
Ellipsenbewegungen, also z.B. bei den Planetenbahnen.
Für eine Kreisbewegung gilt
L 
r  p
und damit:
d.h. für r und  = const gilt auch L = const und L = const.
b) Drehimpuls eines (starren) Körpers:
Betrachte Körper zunächst aus vielen Massepunkten mit gleicher Drehachse
und gleicher Winkelgeschwindigkeit  zusammengesetzt:
Für den Gesamtdrehimpuls gilt
Dreht sich der Körper, führt jeder Massepunkt i eine Kreisbewegung mit
vi =  · ri aus und damit gilt
Für einen starren Körper bietet sich (da konstant) die Einführung eines
‚Trägheitsmomentes’ J als Abkürzung an:
2.6.3
Trägheitsmomente
Betrachte die zeitliche Änderung des Drehimpulses
WiB Physik
Hoeppe, 2013
33
In Analogie zu
 


F  p  m  v  m  a
beschreibt die Größe J offensichtlich das „Bestreben des Körpers, sich
einem angreifenden Drehmoment zu widersetzen“, und wird daher
Massenträgheitsmoment genannt.
Definition und Berechnung:

Wichtig:
J ist entsprechend Definition abhängig von r und damit von der Lage der
Drehachse. Wird , z.B. in einer Formelsammlung, eine Formel für das
Trägheitsmoment eines Körpers angegeben, so bezieht diese sich i.d.R. auf eine
Drehachse durch den Schwerpunkt des Körpers. Die Richtung der Drehachse liegt
dann (wenn nicht anders angegeben) in der Symmetrieachse des Körpers.
Bsp.:
Hantel aus zwei Punktmassen:
Stab:
Zylinder:
2
J Hantel
ml 
m
 2     l2
2 2
4
J Stab 
m 2
l
12
J Zylinder 
m 2
r
2
Hohlzylinder:
J Hohlzylind er 
Kugel:
J Kugel 
WiB Physik
Hoeppe, 2013

m 2
ra  ri 2
2

2 2
mr
5
34
2.6.4
4
Sattz von Steiner
S
D
Das Trägh
heitsmome
ent eines sstarren Kö
örpers ber
rechnet sicch i.d.R. am
a
lleichteste
en bzgl. ein
ner Drehaachse durc
ch seine Sc
chwerpunkkt.
F
Für eine beliebige
b
um
u die Strrecke S pa
arallel versschobene, andere
D
Drehachse
e gilt dann
n
Sa
atz von Ste
teiner
2.6.5
5
Dre
ehimpulserhaltunng
I
In Analogiie zur Imp
pulserhaltuung eine kräftefreie
k
en Körperss
g
gilt im Falle einer Drehbeweg
D
gung für eiinen mome
entenfreieen Körper:
Wirken auf
a einen Körper
K
keiine Drehm
momente,
so bleibtt sein Dreh
himpuls errhalten:
 Entspre
echend L = J bleib
bt für eine
e starren Körper auuch  kons
stant; ände
ert
sich jedoch J eine
es nicht sttarren Körrpers, so muss
m
sich  entspre
echend änd
dern!
(Drehsstuhl, Turne
er)
 Umgeke
ehrt entsp
pricht bzw
w. bewirkt eine Ände
erung des Drehimpu
ulses
(z.B. die
e Richtung
g) ein Dreh
hmoment:
(Fahrra
radfahren, Kreisel)
K
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
35
2.7
2.7.1
Rottationsen
nergie
Reiine Rotattion
D
Die kinetissche Energie eines rrotierende
en Körpers
s besteht aus der Summe
S
d
der kinetischen Ene
ergie seine
er Massepunkte:
F
Für einen starren Körper, erggibt sich mit
m der für
r alle Masssepunkten
n gleichen
W
Winkelgesschwindigk
keit  und
d dem konsstanten Tr
rägheitsmooment J,
u
und damit:
2
2.7.2
Rollbewegun
ng
I
Im Allgem
meinen tretten Rotatiion (um de
en Schwerpunkt) und
d Translation
((des Schw
werpunktes
s) eine Körrpers gleic
chzeitig au
uf. Dann ggilt für die
e
k
kinetische
e Energie:
O
Oft ,aber nicht zwin
ngend, ist Rotation und Trans
slation einees Körpers
s
((z.B. einess Rades) nicht unabh
hängig von
neinander. Speziell ggilt für ein
ne
R
Rollbeweg
gung die Ro
ollbedingunng
u
und damit für die ge
esamte kinnetische Energie
E
ein
nes rollend
den Körpers:
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
36
3. Wärmelehre
3.1 Wärme und Temperatur
A) Wärme Q
Wärme ist die (gespeicherte) kinetische Energie
der ungeordneten Bewegung der Atome und Moleküle
B) Temperatur T
Die Temperatur T ist ein Maß für die mittlere
kinetische Energie der ungeordneten Bewegung
der Atome und Moleküle
d.h.
Q = Ekin =
entscheidend:
 In Q ist nur Energie der ungeordneten Bewegung enthalten.
 Mittelwertbildung (d.h. Statistik) ist zwingend nötig, da eine
Einzelbeschreibung von ~1023 Teilchen prinzipiell unmöglich ist.
 Die Temperatur, bzw. die Temperaturdifferenz zwischen zwei
Körpern (Stoffen) ist entscheidend für die Richtung und Stärke eines
resultierenden Wärme-, d.h. Energiestroms! (vgl. Wärmeleitung)
Der Zusammenhang von Q und T ist materialspezifisch
C) Wärmekapazität C
experimentell
C ist also ein Maß für die Energiespeicherfähigkeit eines Körpers bzw.
einer Stoff- oder Materialmenge.
WiB Physik
Hoeppe, 2013
37
Ergebn
nis statistische The
eorie: Bolttzmann (18
844-1906)
ffür ein ein
natomiges (ideales) G
Gas
Q=
u
und allgem
mein für eiinen Körpe
er / Stoff:
Boltz
zmannkonsttante
kB = 1,380658
8·10-23 J·K-1
T = absolute T
Temperatu
ur in [K]
Q=
ff: Zahl derr Freiheitsg
grade:
Maxima
al möglich:
3 x Trannslation
3 x Rotaation
wingung ( x 2 )
3 x Schw
W
Weitere sehr
s
wichttige (der B
Beobachtung entspre
echende) F
Formulieru
ung
vvon Boltzm
mann ist der Gleichvverteilungsssatz:
Die
e kinetisch
he Energiee der ungeo
ordneten Bewegung
B
der
Atoome bzw. Moleküle
M
vverteilt sicch gleichm
mäßig auf aalle
Fre
eiheitsgrad
de im Systtem.
 d.h. die
e Temperatur (nichtt die ‚Wärm
me’) von zw
wei Körperrn in thermischen
Kontaktt, gleicht sich
s
an! Daas ist die Vorrausse
V
etzung (evttl. auch da
as Problem
m)
einer Temperatur
T
rmessung.
3.2 T
Tempera
aturmess
sung
D
Das Messp
prinzip bas
siert meisst auf dem
m Effekt der thermiischen Aus
sdehnung,
d
d.h. der mittlere
m
Ab
bstand derr Atome /Moleküle wird
w
mit zzunehmend
der Beweg
gung,
a
also mit de
er Temperratur, größßer.
a) B
Bimetallsttreifen
E
Entscheidend: Die thermische
t
e Ausdehn
nung ist ma
aterialspeezifisch!
L
Linearer thermische
t
er Ausdeh
hnungskoef
ffizient :
L=
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
38
B
Beispiele:
Aluminium
A
Kupfer
K
Stahl
S
Keramik
K
Diamant
D
‚Invar’
=
=
=
=
=
=
24 ·10-6 ·K-1 = 24 ppm ·K
K-1
16,8
8 ppm ·K-1
8 ~ 16 ppm ·K
K-1
~6 ppm ·K-1
1,3 ppm ·K-1
~ 0 ppm ·K-1
b) F
Flüssigkeitsthermom
meter:
hier:
h
Volumenau
V
usdehnungsskoeffizie
ent :
V =
B
Beispiele:
Quecks
silber
Wasserr
Ethano
ol
F
Für kleine
e  und  gilt der Zussammenha
ang:
D
Das folgt direkt
d
aus V ~ L3 unte
er
V
Vernachlässsigung höherer Potennzen von .
c) W
Widerstan
ndsthermo
ometer
D
Der elektrrische Wid
derstand e
eines Leiters ist T-a
abhängig.
W
Widerstan
ndsmessun
ng geeigne
eter Baute
eile (NTC, PTC) entsspricht T- Messung.
d) T
Thermoele
emente
I
Infolge un
nterschied
dlicher (T--abhängige
er) Elektro
onendiffussion in zwe
ei
vverschiede
enen Meta
allen, bilde
et sich ein
ne Messbare Thermoospannung
g aus.
e) P
Pyrometerr
A
Analyse de
er spektra
alen Verte
eilung der von einem
m heißen Köörpers (>10
000°C)
e
emittierte
en elektromagnetiscchen Strah
hlung. (vgl. ‚Farbtempperatur’ )
((Besonderrheit: kein direkter thermisch
her Kontak
kt, d.h. Beerührung nötig!)
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
39
f) Einheiten
Celsiusskala definiert über Schmelzpunkt (0°C) und Siedepunkt (100°C)
von Wasser bei Normdruck.
Kelvinskala (absolute Temperatur): 1 K ist definiert als 1/273,16 Teil der
Temperatur des Tripelpunktes von Wasser, damit gilt:
T [K] =
3.3 Das ideale Gas
Für ’hinreichend dünne’ Gase gilt entsprechend der Beobachtung
 Das Gesetz von Charles
 Das Gesetz von Boyle-Mariotte
 Das Gesetz von Avogadro
und zusammenfassend
 Das ideale Gasgesetz
Dabei ist n die Molzahl und Rm = NA· kB die (universelle) molare Gaskonstante
Rm = 8,31451 J·mol-1·K-1
Das ‚ideale Gasgesetz’ (korrekter: Die Zustandsgleichung des idealen Gases)
ist ein wichtiges Modellsystem in der Thermodynamik. Auch das Verhalten
realer Gase, z.B. N2 oder Luft, kann gut beschrieben werden, solange die
Temperatur des Gases deutlicher höher als die Siedetemperatur des Stoffes ist.
WiB Physik
Hoeppe, 2013
40
3.4 W
Wärmele
eitung
B
Beobachtu
ung:
 Sind zwei Körper in thermisschem Kon
ntakt, so gleichen
g
siich ihre
Tempera
aturen durrch einen Wärmestrrom an.

Die Gesschwindigk
keit des T
Temperaturausgleich
hs ist abhäängig von
- Tempe
eraturdiff
ferenz
und
- Güte des
d therm
mischen Koontakts (
 Fläche und
u Materrial)
Spezifisch
S
he Wärmelleitfähigkeit 
ist über folgenden Zussammenhan
ng definiert:
Wärmestr
W
omdichte q
 Für kleine x und
d T gilt
bzw. vektorie ll
I
In der Pra
axis ist oft der Wärrmestrom pro Zeit [Watt]
[
((z.B. Heizle
eistung, Küh
hlleistung, Verlustleisstung) am interessan
i
ntesten:
Bsp.:
Spe
ezifische Wärmeleit
W
tfähigkeit für
Kup
pfer
V2A
A-Stahl
Sty
yropor
Ruh
hende Luftt
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013




=
=
=
=
3
384 W ·m
m-1 ·K-1
15 W ·m-11 ·K-1
0
0,036 W ·m-1 ·K-1
0
0,026 W ·m-1 ·K-1
41
3.5 S
Spezifisc
che Wärrme und Mischun
ngstempe
eratur
S
Sei C die Wärmekap
W
pazität einnes Körperrs (einer Stoffmeng
S
ge)
d
dann wird
((oder c molar = C/n) als spezifissche Wärm
mekapazität (kurz: sspezifisch
he Wärme))
d
des Stoff
fes bzw. de
es Materiaals bezeichnet.
B
Betrachte
e zwei nach
h außen isoolierte Stoffmengen 1 und 2 m
mit anfäng
glich
u
unterschie
edlichen Temperatu
T
uren T1 und
d T2:
A
Aus der Energieerhaltung fol gt:
Q
 = Q1 + Q2 = 0

Q1 =

Q2 =
u
und schlie
eßlich für die
d Mischttemperatu
ur TM:

TM =
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
42
3.6* Die Hauptsätze der Thermodynamik
Unter einem System  versteht man in der Thermodynamik einen räumlich
(tatsächlich oder gedachten) abgegrenzten Bereich.
E
E
E
n
offenes ,
3.6.1
n
n
geschlossenes 
abgeschlossenes 
Der erste Hauptsatz
.. der Thermodynamik ist die allgemeinste Formulierung des Prinzips der
Energieerhaltung. Dabei wird zwischen zwei unterschiedlichen Möglichkeiten
des Energietransports über die Systemgrenze hinweg unterschieden:
Wärmetransport und Arbeit.
Innere Energie U
Als innere Energie bezeichnet man die Summe
aller in einem System enthaltener Energien.
Eine Änderung der inneren Energie U erfolgt nur über einen
- Wärmetransport Q und/oder über
- Arbeit W im mechanischen Sinne (,d.h. Prozesse die sich auf das bloße
Heben und Senken von Gewichten abbilden lassen).
Für ein geschlossenes System gilt daher:
U = Q + W
Diese Aussage wird oft schon als 1.HS bezeichnet, da sie die
Energieerhaltung aus Gründen der Eindeutigkeit impliziert. Deutlicher ist jedoch:
Für ein abgeschlossenes System gilt:
U = Q + W = 0
Andere Formulierung des 1.HS:
Es existiert kein Perpetuum Mobile 1. Art, d.h. keine
periodisch arbeitende Maschine, die mehr Energie abgibt
als ihr Betrieb benötigt.
WiB Physik
Hoeppe, 2013
43
D
Der Begrif
ff Wärme
e wurde be
ereits zuvo
or definiert, im Geggensatz hie
erzu
iist die Arb
beit defin
nitionsgem äß eine rein makroskopische uund damit wohld
definierte
e und geric
chtete (unnd nutzbare
e!) Größe.
E
Es gibt verrschiedene Arten Arb
beit zu verrrichten, am wichtigsteen ist die
V
Volumenarrbeit:
Betr
rachte z.B
B. Expansio
on
eine
es in einem
m Zylinder
eing
geschlosseenen Gases
s:

W , mit
D
Das  leisttet gegen die äußere
e Kraft F die Arbeit W  dW
 
dWVol  F  ds   F  ds   pA
A  ds   pdV
p
dWvol = - p·dV
B
Beispiel 1: Isotherm
me Expansiion eines id. Gases
2
W12   dW
d Vol
1
2
2
2
nRT
1
   pdV   
dV   nRT  dV 
V
V
1
1
1
V 
  nRT ln(V
V2 )  ln(V1 )    nRT lnn  2 
 V1 
W
Wegen V2 > V1 ist W
W negativv, das bede
eutet das System (h
hier das Gas)
lleistet Arbeit bzw. verliert innnere Enerrgie.
F
Für die umg
gesetzte (h
hier nachfl ießende) Wärmemeng
W
ge Q gilt
id
U  Q  W  0
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013

∆
∆
∙
44
B
Beispiel 2: Isochore
e Prozesse
e
2
2
1
1
W12   dWVol    pdV  0
Für die bei const. Volumen um
mgesetzte
Wärmem
menge Q gilt:
g

∆
∆
∆
B
Beispiel 3: Isobare Expansionn eines id. Gases
2
2
2
1
1
1
W12   dW
WVol    pddV   p  dV
d   p (V2  V1 )   pV
Spezzifische Wärme
W
bei konstantem
k
m Druck:
dU
U  dQ  dW
W

d  dU  dW  dU
dQ
U  pdV
dQ dU pdV
d
 cp


d
dT
dT
dT
ffür ein idea
ales Gas istt V = RT/p und damit::
dV
d

dT dT
 RT

 p
 R
 
 p
R
dQ
Q
 cV  p 
dT
T
p

c p  cV  R
F
Für die bei const. Dru
uck umgese
etzte Wärm
memenge Q
Q gilt daheer:

∆
∆
B
Beispiel 4: Adiabatische Expaansion eine
es id. Gase
es
dQ = 0 heißt: perfekte
e thermiscche Isolation
oder seh
hr schnelleer Prozess
s
dU = dQ + dW
W = 0 + dW
W = -pdV  dW = dU
d
M
Mit U = U(T
T), d.h. dU = n · cV · dT
T für id. Gass andererseits, folgt
u
und nach eiinigem Umr
rechnen:
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
pV   const
mit
m

cp
cv
(Adiabat
atenexponen
ent)
45
3.6.2
2
Derr zweite
e Hauptsa
atz
C
Carnotpro
ozess:
1  2:
iisotherme
e Expansion bei T = T 0
Q12  W12  nRT0 ln
W233  U 23  nc
n V T23  nc
n V (Tu  T0 )
V2
V1
3  4:
iisotherme
e Kompress
sion bei T = Tu
Q34  W344  nRTu ln
2  3:
adia
abatische E
Expansion
V4
V3
4  1:
adia
abatische K
Kompressiion
W41  U 41  nc
n V T41  nccV (T0  Tu )
W
Wirkungsg
grad = Verrhältnis zuugeführter Wärme zu
z erhalteener Arbeit  :
 :
Wges
g
Q12

T0  Tu
T0
  1 da Tu  0 !
D
Der Wirku
ungsgrad einer
e
reale
en Maschine ist  Carnot
!
C
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
46
 2. Hau
uptsatz de
er Thermoodynamik:
Es existiiert kein Perpetuum
P
m Mobile 2.. Art, d.h. keine Masschine,
die nichtts weiter tut,
t
als Wäärme in Arrbeit umzu
uwandeln.
E
Eine genaue
ere Analyse
e der Wärm
men führt zum Begrif
ff der „red
duzierten Wärme“
W
b
bzw. der „E
Entropie“. Eine
E
andere
e Formulierrung des 2. HS ist diee Aussage, dass die
E
Entropie in
n abgeschlossenen Sysstemen nurr zunehmen aber nie aabnehmen kann.
k
H
Hier zeigt sich die Be
esonderheitt der Energ
gieform ’W
Wärme’, d.h. die ungeor
rdnete Bew
wegung
d
der Molekü
üle lässt sic
ch nicht einnfach in geordnete Be
ewegung (A
Arbeit) umw
wandeln.
4.
E
Elektriziität und Magnet ismus
4.1 E
Elektrisc
che Ladu
ung
B
Beobachtu
ung:
-
e = 1,602181
1
· 10-19 C
W
Wirkungen
n:
-
4.2 C
Coulombg
gesetz
C
Charles A. de Coulom
mb (1736-11806)
 Kraft Fc zwischen zwei Punnktladunge
en q1 und q2:
vekttoriell:
Betrrag:
E
Elektrisch
he Feldkon
nstante
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
0 = 8,8
8542 ·10-122 C2·N-1·m--2
47
4.3 E
Elektrisc
ches Feld
d
4.3.1
Def
finition, Feldlinie
en
F
Feld E wirrd definierrt über die
e Kraftwirrkung des Feldes auuf eine
((bel.) posittive Einhe
eitsladung q:
F
Für eine Punktladun
P
g ergibt ssich mit de
em Coulombgesetz:
 D
Die Kraftw
wirkung de
es E-Felde
es auf eine
e pos. Prob
beladung vverläuft ta
angential
e
entlang de
er Feldlinie
en.
 D
Die Dichte
e der Feld
dlinien bes chreibt diie rel. Stä
ärke des (l okalen) E--Feldes
S
Superposiitionsprinz
zip:
Elektrom
magnetisc
che Felderr (bzw. derren Wirkun
ng)
überlaagern sich
h ohne gegeenseitige Störung.
S
A
Aus dem Superposit
S
tionsprinz ip und derr Symmetr
rie ergibt sich folge
ende
((homogene
e) Feldverrteilung in einem Platttenkonde
ensator:
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
48
4.3.2
2
Ele
ektrische
es Potenttial
D
Das elektrrisches Potential  e
entsprichtt der pote
entiellen E nergie ein
ner
p
positiven Einheitsla
E
dung im ellektrische
en Feld:
A
Als Elektrrische Spa
annung U b
bezeichnett man die Differenzz zweier Po
otentiale:
[U]=
U
U·q entsprricht also Energie: 11V · e = 1 eV
e = 1,602 ·10-19 C·V = 1,602 ·10-19 J
D
Der Zusam
mmenhang von E-Felld bzw. Kraft und de
em zugehöörigen Pote
ential
e
ergibt sich
h aus ‚Arb
beit = Krafft x Weg’ :
I
Integratio
on liefert:
((wobei üblicherweise  () = 0 ggesetzt wird)
B
Bsp.: Bew
wege Elekttron durch
h das gesamte homogene Feld eines
Platttenkondensators auuf die nega
ative Seite:
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
49
Die Potentialdifferenz = Spannung ist:
Wird entsprechend Konvention U für positiven Pol positiv gewählt,
ergibt sich für das E-Feld im Plattenkondensator:
Aus dW = Fds folgt alternativ mit dEpot = -qEdx = eEdx folgt nach
Integration für die potentielle Energie des Elektrons: Epot = eEd.
4.3.3*
Feld als Gradient des Potentials
Die skalare Größe des Potentials, die Spannung, ist leicht zu messen,
einzustellen oder vorzugeben. Oft ist das Potential für ein Problem
auch einfacher zu berechnen. Das entsprechende E-Feld erhält man
einfach durch Differentiation:
bisher:
jetzt:
 
d   E  dr

d
E      grad    
dr
Gradient bzw. Nabla-Operator :
 
grad      ,
 x
WiB Physik
Hoeppe, 2013

,
y
 

z 
50
4.3.4
4*
Gau
ußscher Satz de
es elektrrischen Feldes
F
Aus der ‚Zahll von Feldlinien’ die d
durch eine
e
gescchlossene Oberfläch
he dringenn, lässt sic
ch
auf die Ladun
ng innerhallb des entssprechend
den
Voluumens schließen:
Derr elektrische Fluß du
urch eine b
beliebig ge
eformte
gescchlossene Oberfläch
he entspriicht der darin
d
enth
haltenen gesamten
g
Ladung
L
Q.
 G
Gaußscherr Satz:
 
  0 E  dA  Q
A
U
Unter Aussnutzung vorliegende
v
er Symme
etrien lassen sich miit Hilfe de
es Gaußsch
hen
S
Satzes Fe
eldverteilu
ungen bere
echnen:
B
Bsp.: Kuge
eloberfläch
he mit Punnktladung im Zentru
um:
 

E
 0  dA 
A
2

  
0
s  d d 
E  r 2 sin
0 0

 2 r  0 E  sin  d  2 r 2 0 E   cos   0  4 r 2 0 E  Q
2
 0
E
Eine Ladun
ng q im Ze
entrum derr betrachtteten Kuge
el 
E
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
q
4 0 r 2
d.h.
d das Cooulombgessetz folgt aus dem G
Gaußschem
m Satz!
51
Der Ga
außsche Sa
atz gilt für bel. Laduungsverte
eilungen, mit
m
R
Raumladun
ngsdichte:
F
Flächenlad
dungsdichtte:
g
gilt
 (r ) 

dQ
dV

dQ
dA
 (r ) 
oder deer
 


E

d
A


(
r
 0
 )dVV
A
V
L
Ladungen auf elektrrischen Le
eitern:
- Ladungen
n sammeln
n sich aufggrund der Coulombkr
räfte an d
der Oberfläche
- Bei (perf
fekten) Le
eitern sind
d alle Teile
e innerhalb
b des Leitters auf gleichem
Potentiall.
 mit U =  = 0 fo
olgt auch E = 0 inne
erhalb des Leiters.
 Aus dem
m gleichen
n Grund biildet die Oberfläche
O
e eine Äquuipotentiallfläche,
die Tang
gentialkom
mponente vverschwind
det, d.h.
E steht senkrechtt auf der O
Oberfläch
he.
A
Aus der Anwendung
A
g des Gaußsschen Sattzes auf eiin Flächennelement A
 mit derr
L
Ladung Q
Q und E=0
0 innerhalb
b des Leiters folgt:


  0 E  d A   0 E  A  Q
A
0E  
 Bsp.1: Ladung
L
auf
f Metallkuugel mit Ra
adius R
 Bsp.2: Ladung
L
auf
f bel. gefoormten Me
etallkörpern
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
52
4.3.5
Kapazität
Die Kapazität C ist ein Maß für die Fähigkeit eines Körpers bzw. Bauteils
Ladungen zu speichern:
[C]=
Bsp.: Plattenkondensator:
C=
 Bsp.: Kapazität eines Plattenkondensators mit d = 1 mm und A = 1 cm2 :
 Bsp.: Kapazität einer Kugel
 Bsp.: Kapazität eines Zylinderkondensators bzw. Koaxialkabels.
Gespeicherte Energie:
Betrachte Arbeit, die für Laden des Kondensators aufgebracht werden muss:
dW = U·dQ , wobei sich U (und damit E) während des Ladens ändert 

W=
Für die Energiedichte w = W/V des Elektrischen Feldes ergibt sich mit V = A·d
w=
WiB Physik
Hoeppe, 2013
53
4.4*
Ele
ektrische
er Dipol
Dipolm
momente en
ntstehen durch
d
zwe
ei getrenntte gleichgr
roße Ladunngen
((bzw. Ladu
ungsverteilungen) m
mit entgege
engesetztem Vorzeiichen:
Dipolmome
D
ent p :




 
p  q1r1  q 2 r2  q  ( r1  r2 ) :
 qd


p  qd
F
Feldverteilung des elektrisch
e
hen Dipols::
B
Beispiele
HC
Cl
C
CHN
H2O
B
Berechnun
ng Potential und Feld
dverteilun
ng:
P
Potential (r):




 ( r )  1 ( r )   2 ( r ) 
m
mit q2 = -q
q1 ergibt sich
s
für daas
q1
q2
1 

 
4 0  ( r  r1 ) 2
( r  r2 ) 2

P
Potential im
i Fernfeld, d.h. r >>> r1, r2, d :

 (r ) 
 
rp
4 0 r 3
1
D
Durch Dif
fferentiation ergibt sich das elektrisch
e
e Feld:
 

E (r )   grad  (rr ) 
   
1  rp r
p
3 3   3 
4 0  r
r r 
 Im Fernf
feld ist fürr Dipol
 ~ 1/r2
und
E ~ 1/r3
 ~ 1/r
und
E ~ 1/r2
Im Vergle
eich dazu ggilt für
 Punktladu
ung (Monoppol)
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
54

  ...


4.5
Elektrischer Strom
4.5.1
Definition
Strom = bewegte Ladung:
[I]=
Ladungsträger:
Elektrische Leiter:
4.5.2
Ohmsches Gesetz
Ursache für einen el. Strom ist eine Kraft auf die Ladungsträger, welche
proportional zur Potentialdifferenz, d.h. der Spannung ist:

Die Stärke des Stroms ist u.a. abhängig von Material und Leiterquerschnitt,
zusammenfassend dem Leitwert G:

Daraus folgt das Ohmsche Gesetz:
[G]=
bzw. mit Definition eines
elektrischen Widerstandes R = 1/G
[R]=
Ist G bzw. R konstant, insbesondere nicht von I bzw. U abhängig, spricht man
von einem Ohmschen Widerstand. ( Kennlinien)
Werner von Siemens (1816-1892),
WiB Physik
Hoeppe, 2013
Georg Simon Ohm (1789-1854)
55
4.5.3
3
Spe
ezifische
er Widerrstand
M
Mit der Eiinführung eines spez
zifischen Widerstandes  bzw
w. einer
sspezifisch
hen Leitfähigkeit  e
erhält man
n um die Geometrie
G
des Leiters
b
bereinigte
e materials
spezifisch
he Größen:
[]=
[]=
A
Achtung:  bzw.  sind i.A. ke
eine Konsta
anten, sondern insbeesondere
ttemperatu
urabhängig
g! ( NTC
C, PTC, Te
emperaturmessung )
4.5.4
4
Anm
merkunge
en
a
a) Elektrissche Scha
altungen
- Kirchh
hoffsche Regeln
R
(U,, I, R)
- Bauele
emente ( R,
R L, C ; Diioden Röhrren etc.)
b
b) Gleichsströme
- statio
onäre Zusttände
- nur U, R und I relevant
r
c
c) Wechse
elströme
- Energ
giespeicherrung in L uund C
- Wechselstromw
widerständ
de ( Imp
pedanzen Z(f)
Z )
- Schwiingkreise
- wellen
nartige Au
usbreitungg, Antennen, Abstrah
hlung von ee.m. Welle
en, ...
- Anwen
ndungen: Trafo,
T
Rad
dio, ...
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
56
4.6
Ma
agnetismu
us
4.6.1
Ma
agnetfeld
der statiionärer Ströme:
S
Ampere
esches Gesetz
G
((Stationärre) Ströme
e erzeuge
en (statische) Magne
etfelder H
H. Ein statisches
M
Magnetfeld H impliz
iziert daheer einen Sttrom I, errzeugt abeer keinen.
Die
D magn. Feldlinien beschreib
ben wie die
e
elektrisch
e
en qualitattiv Richtung und
Stärke
S
des
s H-Feldess (, im Geg
gensatz zu
um
E-Feld
E
abe
er keine Krraftwirkun
ng ! ).
S
Strom und
d Feld sind
d verknüpfft durch das
d
A
Amperesc
che Gesetz
z (Ampere
e-Maxwellssches Gese
etz, Durch
hflutungsg
gesetz):
 
H
  ds  I

[ H ] = A·m-1
bezeich
hnet dabe
ei ein belie
ebiges gesc
chlossenes
s Weginteegral, welc
ches
den Sttrom I eins
schließt.
B
Bsp.1: Ein gerader Leiter
L
vom
m Strom du
urchflosse
en erzeugtt (außerhalb des Leitters)
miges zylin dersymme
etrisches H-Feld
H
~ 11/r:
ein kreisförm
wäh
hle (entsprrechend de
er Symmettrie) Inte
egrationsw
weg s
H
entllang einer Feldlinie im Abstannd r um den Leiter: Hier
steh
ht H imme
er parallel zu ds ! ...
2
  2
 H  ds   H  rdd H  r  d H  r  2
0
0

H  H (r ) 
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
I
2  r
57
B
Bsp.2: Lan
nge Spule mit
m N Winndungen au
uf der Län
nge l
o
  l
 H  ds   H innen  ds   H außen  dss  H  l
0

N I
l

H
I N
l
A
Anmerkun
ng: Für bel. ‚Stromfääden’ bere
echnet sich das resuultierende
e
H
H-Feld oftt am beste
en mit dem
m Biot-Savvartschen Gesetz, w
welches als
s
S
Spezialfalll des Amp
pereschen Gesetzess für dünne
e Leiter giilt.
4.6.2
2
Ma
agnetisch
he Induk
ktion
A
Analog zurr elektrisc
chen Verscchiebungssdichte wir
rd für dass Vakuum


B  0  H
-2
[ B ] = V·s·m
V
= T Tesla
d
definiert, mit der magnetisch
m
hen Feldko
onstanten
( = 104 Gauss )
µ0 = 4··10-7 Vs ·A
A-1·m-1
D
Die Bedeuttung von B (und
(
D) wirrd bei der Behandlung
B
g der e.m. F
Felder in Materie deuttlich.
4.6.3
3*
Lorrentzkraft
E
Eine bewe
egte Ladun
ng erfährtt in einem Magnetfeld H ( bzw
w. B) eine Kraft
K

 
FL  q  v  B
FL steht senkrecht
s
auf v (und
d B), daherr wird nur die Richt ung nicht der Betra
ag
vvon v geän
ndert. Es wird
w
daherr auch kein
ne Arbeit geleistet..
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
58
B
Bsp.: Elekttron in homogenem Magnetfe
eld
Das Elektron wird durch die
Lore
entzkraft auf einer Ebene
senk
krecht zu B auf eine
e Kreisbah
hn
gezw
wungen. Duurch Gleic
chsetzen
von Fliehkraftt und Lore
entzkraft
folgt:

FL  e  v  B
!

m
v2
 FZ
r
B
Bahnradiuss
r

Umlauffreq
U
quenz = Zykklotronfreq
quenz
mv
eB
L 
v B e

r
m
A
Anwendun
ngen:
A
Ablenkmag
gnete in Elektronen
E
nröhren, magnetisch
m
e Linsen, Z
Zyklotron/Betatron
n,
M
Massenspe
ektromete
er, Hallsonnden, Dreh
hspulmessinstrumennt
4.6.4
4*
Hall Effektt
A
Aufgrund der Loren
ntzkraft w
werden Ele
ektronen auch
a
innerh
halb von Leitern
L
a
abgelenkt, wodurch sich eine sog. Hallsspannung aufbaut,
a
biis das E-Feld dieserr
S
Spannung die Lorenttzkraft koompensierrt:

UH  KH 
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
BI
 RH  I
d
KH = 1/nq Hallkonstantee (Materia
aleigenscha
aft)
RH = Hallwider
rstand (Baauteileigen
nschaft)
59
4.6.5
5*
Ma
agnetisch
he Dipole
e
D
Die Tatsac
che der Nichtexiste
N
enz magne
etischer Monopole
M
b
beschreib
bt der Gaußßscher Saatz für dass Magnetfeld:
 
 B  dA  0
A
Kleinste Einheit
E
ist daher ein Dipol, fürr einen Kre
eisstrom ggilt:
Magne
etisches Dipolmome
D
ent m

m  m  I  R2
((Entscheide
end ist die vo
on einem Strrom eingesc
chlossene Flä
äche, vgl. Duurchflutungs
sgesetz)
F
Für die Fe
eldverteilu
ung gilt äh nlich dem elektrisch
hen Dipol im Fernfe
eld
((ohne Herleitung):
  

 
 0  3 r  (m  r ) m 
B (r ) 
 3 ~

4 
r5
r 
1
r3
Das
D B-Feld
d gleicht d
dem elektrrischen
Dipolfeld
D
also
a
nur im
m Fernfeld
d.
Im
I Nahfeld macht ssich deutlich bemerk
kbar,
dass
d
die magnetisch
m
hen Feldlin
nien geschllossen
sein
s
müsse
en. (vgl. Duurchflutun
ngsgesetz))
M
Magnetfelder sind immer
i
abb
bildbar auf
f (kleine) Kreisström
K
me, z.B.:
a
a) permanente Kreis
sströme / magnetisc
che Mome
ente: (Para-- und Ferro
omagnetism
mus)
- Drehim
mpuls von Elektronen  Bahnmag
gnetismus
- Eigendrehimpuls von
v Elektroonen  Spiinmagnetism
mus
b
b) induzierte Kreiss
ströme/ m
magnetisch
he Moment
te: (Diamaggnetismus)
- Induzie
erte Kreiss
ströme Elek
ktronenhülle der Atom
me
- Wirbellströme in metallische
m
en Leitern
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
60
4.7*
Materie im elektrischen Feld
Wechselwirkung von E-Feld mit elektrischen Dipolen bewirkt
 Polarisation P ~ E = Ausrichtung (+ Erzeugung) elektrischer Dipole
 ’Verstärkung’ oder besser ’Unterstützung’ des E-Feldes
Elektrische Flußdichte = Verschiebungsdichte

 
D  0  E  P
bzw. mit Einführung der
relativen Dielektrizitätszahl r



D    E   0 r  E
Achtung: Die relative Dielektrizitätszahl r ist materialspezifisch aber
i.A. keine Konstante sondern insbesondere stark frequenzabhängig,
d.h. r = r().
Betrachtet man die Ausbreitung von e.m. Wellen in solcher Materie, spricht
man von “Dispersion“. Am bekanntesten ist das Phänomen in der Optik
(Regenbogenfarben) und wird dort mit einer frequenz- bzw. wellenlängenabhängigen
1
Brechzahl n() beschrieben. Dabei gilt n( ) 
für optische Materialien.
 r ( )
Polarisation P = Dipolmomente / Volumen
Ist die Zahl der vorhandenen Dipole vom E-Feld abhängig (induzierte Dipole), wird
statt der Dielektrizitätszahl oft die dielektrische Suszeptibilität el verwendet.
Diese beschreibt, wie stark ein E-Feld die jeweilige Materie polarisiert:

 N 

P   p  n  p   el   0  E
V

 r  1   el
da gilt

 




D   0 E  P   0 E   el   0 E  (1   el )   0 E   r  0 E
Mikroskopisch betrachtet, verwendet man anstatt der Suszeptibilität die Größe
der (lokalen, atomaren) Polarisierbarkeit  , def. über pi =   Ei,lok
Diese ist ähnlich el , bezieht sich jedoch auf Erzeugung eines einzelnen lokalen
Dipolmoments pi, da das entsprechende lokale E-Feld z.B. in einem Kristall stark
ortsabhängig ist. (Stichwort:  Lorentzfeld, Entelektrisierungsfeld)
WiB Physik
Hoeppe, 2013
61
4.7.1
Oriientierun
ngspolariisation
 Ausrich
htung perm
manenter Dipole im E-Feld
Dipol im
m homogen
nen elektrrischen Feld:


d    
 
M   ri  Fi  2    q   E  p  E
2 
D
Drehmome
ent auf Dipol:
  
M  p E
B
Betrachte
e Arbeit, welche
w
nöttig ist, um Dipol um 180° zu drrehen 
((potentielle) Energie eines Di pols im E--Feld
 
E pot   p  E
((mit Ep(90°°) := 0)
( Stichwortte: Wass
ser, LCD))
4.7.2
2
Ion
nische Po
olarisierb
barkeit Ion:
p = Ioon 0 E
 Verschieben der Ladungsve
erteilung innerhalb eines Ioneenkristalls
s
 Verformuung des Kristalls
 i.A. anisottrop
((Stichwortte: Piezoe
elektrische
er Effekt: Sensoren,
S
Lautsprech
L
her; Schw
wingquarze))
4.7.3
3
Ele
ektronische Polarrisierbarrkeit :
p =  0 E
 Versschieben der
d „Elektrronenwolk
ken“ gegen
n
den Atomkern
 trittt bei jeder
r Materie auf
 Noch wirksam
m bei sehr hohen Fre
equenzen
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
62
4.7.4
4
Disspersion
J
Jeder derr o.g. Effekte ist staark freque
enzabhäng
gig. Für diee
D
Dielektriz
zitätszahl r() ergib
bt sich schematisch
h folgendeer Verlauf::
M
Maxima de
er Frequenzabhängiigkeit der Dielektriz
zitätszahl sind verk
knüpft
m
mit Maxim
ma in der Absorption
A
n, d.h. mit einem Ma
aximum an WW im Resonanzfa
R
all.
4.7.5
5
Ferrroelektrrizität
I
In Analogiie zum (län
nger bekannnten) Ferrromagnet
tismus sprricht man im
i Falle
ssehr große
er Dielektrizitätszaahlen in Fo
olge von Se
elbstordnuungsmecha
anismen vo
on
F
Ferroelektrizität.
Beim Bariumtita
anat (BaTiiO3) z.B. werden
w
4+
die Ti Ionen alle in
n
durch die Coulomb-WW d
die gle
eiche (halb
bstabile) LLage innerrhalb einess
Gitterrplatzes geschoben.. Bei nichtt zu großen
n
Tempe
eraturen kommt
k
es dadurch zu
z einer
sponta
anen Polar
risation.
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
63
4.8*
Materie im magnetischen Feld
Wechselwirkung von H-Feld mit magnetischen Dipolen bewirkt
 Magnetisierung M ~ H = Ausrichtung (+ Erzeugung) magnetischer Dipole
 ’Verstärkung’ oder besser ’Unterstützung’ des H-Feldes
Magnetische Induktion



B  0 H  0 M
bzw. mit Einführung der
relativen Permeabilitätszahl r



B    H  0 r  H
Magnetisierung = magn. Dipolmomente / Volumen
Hier wird im Falle induzierte oder permanenter Dipole oft statt der
Permeabilitätszahl r oft die magnetische Suszeptibilität m verwendet.
Diese beschreibt, wie stark ein H-Feld die jeweilige Materie magnetisiert:

 N 

M   m  n  m  m  H 
r  1   m
V







B   0 H   0 M   0 H   0  m H  (1   m )   0 H   r  0 H
da gilt
In anisotropen Medien, z.B. in Materialien in einem äußeren statischen Magnetfeld,
wird die Wechselwirkung zwischen H und M deutlich komplexer und m muss als
Tensor dargestellt werden.
(Stichworte:  Magnetwerkstoffe, Ferrite, Permeabilitätstensor, Zirkulator)
4.8.1
Paramagnetismus: m > 1
 Ausrichtung permanenter aber voneinander unabhängiger magn. Dipole
 Atome, Moleküle mit ungepaarten Elektronen ( Spinmagnetismus)
4.8.2
Diamagnetismus: m < 1
 Induzierte magnetische Dipole = in „Elektronenwolken“ induzierte Kreisströme
 Bei allen Atome und Moleküle vorhanden
4.8.3
Ferromagnetismus: m >> 1
 Ausrichtung permanenter und miteinander gekoppelter magn. Dipole
 Spontane Magnetisierung für T < TC (Curietemperatur), oberhalb paramagnetisch
WiB Physik
Hoeppe, 2013
64
4.9 E
Elektrom
magnetisc
che Induuktion
4.9.1
Ma
agnetisch
her Fluß
D
Der magne
etische Fluß  entsppricht derr Zahl von magnetiscchen Feldlinien
d
durch eine
e Fläche A:
A
[]=
( Da die ma
agnetischen
n Feldlinienn geschlossen sind, ist
t der Fluß d
durch eine
geschlosse
enen Oberf
fläche imme
er null. vgl.  Gaußsch
her Satz füür H-Feld )
4.9.2
2
Ind
duktionsg
gesetz vvon Farad
day
D
Die zeitlic
che Änderung des m
magnetisch
hen Flusses
s durch ei ne
L
Leiterschlleife induz
ziert in die
eser eine Spannung..
D
Das Vorze
eichen derr Spannungg ist derarrt, dass de
er resultieerende Strrom
d
der errege
enden Flußßänderungg entgegen
nwirkt (Len
nzsche Reegel).
Dabei isst es vollkommen irrellevant, ob sich
s
das
Feld B oder
o
die (ge
erichtete) Fläche A mit
m der Zeitt
ändern (Produktregel).
V
Verallgemeinerung:
((Stichwortte:  Induk
ktionsschle
eife, Erdma
agnetfeld, Energiesatz
E
z, Wirbelsttrombremsse)
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
65
4.9.3
3
We
echselstrromgenerrator
D
Drehe Spu
ule mit N Windunge
W
n in konstantem mag
gnetischenn Feld hoh
her
F
Flußdichte
e. Die hohe
en Flußdic hten werd
den mit „m
magnetisch
h leitenden
n“
M
Materialie
en (Weiche
eisen mit  r >> 1) errreicht.
Drehen
D
de
er Spule beedeutet Änderung
Ä
d von
des
A und B eingeschlosssenen Win
nkels .
Drehung
D
mit
m konstannter Wink
kelgeschwind
g
igkeit   = t.
 Sinus bz
zw. cosinuusförmige Änderung
der
d zu B se
enkrecht sstehenden
n Fläche.
N Windung
gen  N-ffache Spannung
4.9.4
4*
Sellbstinduk
ktion und
d Indukttivität
 Wird der Strom durch eine
e Spule ze
eitlich verändert, soo entstehtt,
e
entsprech
hend dem Induktions
I
sgesetz, ein
e zeitlich
h veränderrtes H-Felld,
w
welches wiederum
w
eine
e
dem S
Strom entg
gegengese
etzte Spannnung indu
uziert
((Selbstiinduktion).
D
Dieser Eff
fekt ist je
e nach Auffbau der Spule
S
verschieden g roß und
lletztlich durch
d
das Verhältniss magn. Fluß  zu St
trom I besstimmt:
L
N 
I
heißt Ind
duktivitätt des Baute
eils/der A
Anordnung.
  L  I   U ind :
B
Bsp.: Für eine
e
lange Spule erggibt sich z.B.
z aus N  
B  H  
N
I
l

N
B     I
l
2
   N d ( B  A)   N  A  B
U ind   N  
dt
  N  A    N  I    A N  I
N 
l
l

L
0 A  N 2
l
Luftspu
ule
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
L
0 r A N 2
l
Spule
S
mit Kern
K
66
4.10*
Maxwellgleichungen
 Durchflutungsgesetz (Ampere-Maxwellsches Gesetz)
 
 H  ds  I
„Strom erzeugt Magnetfeld“
c



d

 H  ds  I  dt  D  dA
c
Ergänzung für zeitabhängige E bzw. D-Felder
A
 Induktionsgesetz
 
d  
c E  ds   dt A B  dA
„Flußänderung induziert Spannung“
 Gaußscher Satz für E-Feld
 
 D  dA   el  dV  q
A
„Ladung ist Quelle von E-Feld“
V
 Gaußscher Satz für H-Feld
 
 B  dA  0
„Es ex. kein magnetischer Monopol“
A
WiB Physik
Hoeppe, 2013
67
4.11*
*
Ste
etigkeits
sbedingunngen
A
Aus den Maxwellgle
M
eichungen uund geeign
net gewählten Integgrationswe
egen
b
bzw. Integ
grationsflächen, lasssen sich für
f die Gre
enzflächenn zwischen
n zwei
vverschiede
enen Medien allgemeingültige
e Stetigkeitsbedinguungen für statische
F
Felder herrleiten.
Für
F die Vektorkompoonenten des
elektrisch
e
en Feldes gilt

E||  steetig

D  sttetig
)*
* nur wenn
n keine Oberrflächenladu
ungen vorlieg
gen
und
u für da
as magneti sche Feld:

H ||  stetig
)***

B  stetig
**
* nur wenn keine Oberrflächenströ
öme vorliege
en
( z.B. bei Supraleiterr)
((Stichwort: Induktion im Luuftspalt eines Magn
neten)
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
68
5
S
Schwingu
ungen
5.1 E
Einleitun
ng
Bei einer periiodisch va riierenden
n Amplitud
de einer
physikalischen Größe sppricht man
n von einer
r Schwing ung.
M
Mechanik::
Periodische „Hin- und H
Herbewegu
ung“ aufgr
rund einerr von der
Ausslenkung ab
bhängigenn rückstellenden Kra
aft.
C
Charakterristische Größen:
G
F
Frequenz f: Vorgän
nge pro Se
ekunde [s-1 = Hz]
Kreisfrequ
uenz:  = 2f [ s-1 ]
P
Periodendauer: T = 1/f [ s ]
B
Beispiele:
F
Federpend
del
Fadenp
pendel
T
Torsionspe
endel
E
Elektr. Sc
chwingkre
eis
Schwin
ngquarz
F
Flöte
H
HF-Reson
natoren
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
Opptische Resonatore
en
B
Bauwerk
69
5.2
5.2.1
Fre
eie unged
dämpfte harmon
nische Sc
chwingunng
Fed
derpende
el
E
Eine Massse m hänge
e an einer Feder, we
elche dem Hookscheen Gesetz genügt:


Z
Zu jeder Zeit
Z
gilt FR   FT
bzw.
FT  FR  m  x  k  x  0

A
Allgemeine
e Schwing
gungsgleich
hung:
((Lineare DGL
D
2. Ord
dnung)
L
Lösen der DGL mit dem
d
Ansattz x(t) = A  cos(t)
fführt zu der
d Lösung
g x(t) = x0  cos(t). Gleiches gilt
g für deen Sinus 
A
Allgemeine
e Lösung:
A1 und A2 bzw. A un
nd  bestim
mmen sich
h aus den Anfangsbe
A
edingungen
n, z.B. aus
x
x(t=0) = x0 und x(tt=0) = 0 ffolgt A1 = 0 und A2 = x0 bzw.  = 0 und A = x0
u
und damit x(t) = x0  cos(t).
A
Alternativ komplexer Ansatz:
x(t) = et
 charaktteristische Gleichung
2 + k/m = 0
  =  i
, d.h. x(t)) = A1  eit + A2  e-it
mit  
k
m
A1 und A2 bestimmen
b
sich wiede
er aus den Anfangsbed
A
dingungen:
M
Mit x(t=0) = x0 und x(t=0)
x
= 0 folgt A1 + A2 = x0 und i( A1 - A 2) = 0, d.h
h.
x
x(t) = ½ x0( eit + e-itt ) = x0  coos(t)
m
mit Euler:
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
ei = cos
s()  i sin(()
70
5.2.2
2
Fad
denpende
el
E
Eine Massse m schwinge an einner Schnurr der Läng
ge l im Sch
hwerefeld der Erde:


Z
Zu jeder Zeit
Z
gilt FR   FT
wobei
und

S
Schwingun
ngsgleichung:
( Nicht lin
neare DGL 2. Ordnunng)
F
Für kleine
e Winkel  gilt sin   und die
e DGL läss
st sich lineearisieren zur
b
bekannten
n Schwingu
ungsgleich
hung:
F
Für kleine
e Auslenkungen erhaalten wir die
d allgeme
eine Lösungg:
u
und bei Lo
oslassen im
m Winkel  0 wie oben gezeichn
net (t) = 0  cos(
t)
5.2.3
3
Phy
ysisches Pendel, Drehpen
ndel
a) P
Physisches oder ph
hysikalisch
hes Pendel
B
et man alte
ernativ daas obige Fa
adenpende
el als Dreh
hbewegung
g um den
Betrachte
A
Aufhängep
punkt, erh
hält man eiine allgemeinere Darstellung, die auch für
f beliebige
F  p  m  a ve
iim Schwerrefeld pen
ndelnde Köörper gilt. Anstelle von
v
erwenden wir
jjetzt die Drehmome
D
ente entspprechend „Newton für
f Drehb
bewegunge
en“ ,
d
d.h. M  L  J    J   :
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
71
D
Die Schwe
erkraft wirkt entsprrechend der
d Masse m auf denn Schwerp
punkt des
Körpers un
nd erzeugt daher bz
zgl. des Drehpunkte
es (im Auf hängepunk
kt) ein



n  . Dieseer Winkelb
D
Drehmome
ent M  r  F  M  l  F  l  m  g  sin
beschleunigung
J    l  m  g  sin   0
w
wirkt das Trägheits
smoment e
entgegen, d.h.
d
u
und für kleine Wink
kel gilt näh
herungswe
eise
 
l m g
  0
J
.
D
Dies ist diie bekanntte Schwinggungsgleic
chung mit der
d Lösungg
 0, pphys 
l m g
.
J
F
Für einen Masse
M
punkt
kt ist das Trrägheitsmo
oment m·l²u
und es ergi bt sich als
G
Grenzfall die
d Lösung des
d mathem
matischen Pendels!
P
F
Für einen Körper
K
ist nach
n
dem S
Satz von Stteiner J = JS + m·l², d
d.h. für ein
nen pendeln
nden
K
Körper ist zusätzlich zur Beweggung des Sc
chwerpunkt
tes die Eigeendrehung des Körperrs um
sseinen Schwerpunkt zu
z berücksiichtigen.
b) D
Dreh- ode
er Torsion
nspendel
B
Bei einem Drehpend
del wird di e rückstellende Kra
aft FR , bzw
w. das rückstellende
e
D
Drehmome
ent MR durrch das soog. Direktiionsmomen
nt DM eineer Spiralfe
eder gegeb
ben.
D
Dabei wird
d das Dire
ektionsmom
ment DM liinear zur Auslenkun
A
ng  des Pe
endels
a
angenomm
men, d.h. es
s soll MR = DM·  ge
elten.
A
Analog zu oben ergibt sich auus der DGL
L
d
die Lösung
g
 0,Dreh 
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
DM
J
J    DM    0
als Eiigenfreque
enz
.
72
5.3
Fre
eie gedäm
mpfte S
Schwingun
ng
B
Betrachte
e Schwingu
ung, desse
en Bewegung linear mit
m der Geeschwindig
gkeit gedä
ämpft
w
wird. Die Stärke
S
de
er Dämpfunng sei mit der Konst
tanten c uund die Eig
genfrequen
nz der
uungedämpfften Schw
wingung miit 0 besch
hrieben:
D
Das Lösen
n der DGL mit dem A
Ansatz x(tt) = et führt unter Berücksic
chtigung des
V
Vorzeiche
enwechsel in der Wuurzel zu fo
olgenden Lösungen:
L
A
A) Schwac
che Dämpf
fung, d.h. ½ c < 0
mit
 Maxima
ale Amplitude der S
Schwingung
g fällt exp
ponentiell m
mit der Ze
eit ab.
B
B) Starke Dämpfung
g, d.h. ½ c > 0
mit
 Keine Schwingun
S
ng ! Amplittude fällt exponentie
e
ell mit derr Zeit ab.
C
C) Aperiod
discher Grrenzfall: ½ c = 0
 Keine Schwingun
S
ng ! Schnelllster Abfall der Am
mplitude.
Keine
e Dämpfung
Starke
S
Dämp
pfung
Schwache Dämpf
fung
Aperiodische
A
er Grenzfalll
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
73
5.4
Erz
zwungene
e gedämp
pfte Sch
hwingung
g
E
Ein schwin
ngungsfähiges Syste
em mit derr Eigenfre
equenz 0 der unged
dämpften
S
Schwingun
ng werde von
v einer ääußeren pe
eriodische
e Kraft mitt der Freq
quenz err
a
angeregt. Die Stärk
ke der (sch
hwachen) Dämpfung
g sei wiedeer mit der Konstante
en c
b
beschrieb
ben:
N
Nach dem
m Einschwin
ngvorgang schwingt das Syste
em mit  = err ,
iim Resonanzfall geg
genüber de
em Errege
er um /2 phasenver
p
rschoben:
D
Die Amplittude ist ab
bhängig voon der Stä
ärke der Anregung,
A
d
der Dämpfung und
d
der Differrenz der Frequenze
F
en 0 und err =  :
S
Sie ist am
m größten für
f den Faall der RES
SONANZ bei
I
In der Näh
he der Reso
onanz sind d
die Resonanzkurven näherungsw
weise symme
etrisch
2
2
2 2
2
u
und es gilt (0 -  )  40 (
0 -  ) .
D
Dargestelltt bzgl. der Energie, d..h. L() ~ x02(), spric
cht man vonn sog. Lore
entzlinien:
2
L( ) 
( 0   ) 2   2
I
Ihre Form bzw. ihre relative
r
St eilheit wird
d durch die
e sog. Halbw
wertslinien
nbreite

 = ½  = ¼ c beschrieben ( G
Güte, Verlu
ustwinkel, 3dB-Linienb
3
breite).
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
74
5.5*
Ele
ektrische
er Schwinngkreis
E
Entsprech
hend den Definitione
D
en der jew
weiligen Ba
auteile/Grrößen gilt für:
f
Induktivität L:
L
  L  I
UL  
mscher Widerstand R:
Ohm
UR  R  I
C
Kapazität C:
Q
UC
 UC 
Q
C
N
Nach der sog. Maschenregel ( Kirchhoffsche Ge
esetze) istt die Summ
me der
S
Spannungssabfälle in
n obiger Scchaltung = 0, d.h. es
s gilt
Q
U L  U R  U C  L  I  R  I   0
C
D
Die Schwingung wird
d letztlich
h von den Ladungen
L
Q im Stroomkreis au
usgeführt,,
m
mit der De
efinition des
d Strom
ms I = dQ/dt folgt also
  R  Q  1  Q  0
Q
L
L C
F
Für diese (jetzt bek
kannte) DG
GL erhält man als Lö
ösung einee zeitlich sinusförmi
s
ige
L
Ladungsve
erschiebun
ng und som
mit auch eiinen sinusf
förmigen V
Verlauf vo
on Strom und
u
S
Spannung mit einer Frequenz etwas untterhalb de
er Eigenfr equenz
0 
1
L C
.
F
Für einen (in der Pra
axis imme
er) gedämp
pften und getriebennen Schwin
ngkreis, errhält
m
man Reson
nanzkurven
n wie im voorigen Kap
pitel darge
estellt.
D
Dieses Resonanzverrhalten istt z.B. Grun
ndlage für Radiosend
der und -e
empfängerr.
(( Elektrisscher LC-S
Schwingkre is, Filter, Radio,
R
Marc
coni)
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
75
5
5.6*
Gekop
ppelte / überlage
erte Sch
hwingunge
en
I
Im Allgem
meinen tretten mehre
ere Schwin
ngungen eiines Systeems gleich
hzeitig auf
f.
S
Sind diese
e Schwingu
ungen unab
bhängig, oder
o
nur se
ehr schwaach gekopp
pelt, überla
agern
((addieren)) sich einfach die je
eweiligen Amplituden
A
n.
S
Sind die Schwingung
S
gen gekop pelt, erhä
ält man ein System vvon Differrentialg
gleichunge
en, welche
es sich löse
en (entkop
ppeln) lässt, falls diee DGLn linear sind.
E
Ein einfac
ches Beispiel besteh
ht aus zwei gleichen Federpenndeln, welc
che durch
e
eine dritte
e Feder de
er Federk
konstante D’ gekoppe
elt sind:
D
Das entsprechende System voon DGLn la
autet:
((i)
m1  x1  D  x1  D '( x1  x2 )  0
((ii)
m2  x2  D  x2  D '( x2  x1 )  0
F
Für den Fa
all gleiche
er Pendel, d
d.h. m1 = m2 und D1 = D2 ergibtt sich durch
A
Addition und
u Subtra
aktion derr Gleichung
gen (i) und
d (ii)
m  ( x1  x2 )  D  ( x1  x2 )  0
m  ( x1  x2 )  D  ( x1  x2 )  2 D'( x1  x2 )  0
D
Durch Einführung der verallg emeinerte
en Koordin
naten q1=x1 +x2 und q2=x1-x2
w
werden die DGLn en
ntkoppelt uund man erhält
q1 
D
 q1  0
m

1  0 
D
m
q2 
D  2 D'
 q2  0
m

2   ' 
D  2 D'
2 D'
 0  1 
m
m
m
mit der allgemeinen Lösung
q1 (t )  A1 cos(0t )  A2 sin(0t )  x1 (t )  x2 (t )
q2 (t )  B1 ccos( ' t )  B2 sin( ' t )  x1 (t )  x2 (t )
I
Im Folgen
nden wird der
d Fall x1 (t  0)  x 2 (t  0)  0 , d.h. A2 = B2 = 0 betrachtet
b
t:
WiB Phyysik
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76
a
a) Gleichsinnige Aus
slenkung a ls Startbe
edingung:
x1(0) = x0 ; x2(0) = x0

A = 2x0 ; B = 0 und damitt
x1(t) + x2(tt) = q1(t) = Acos(0 t) = 2x0co
os(0t)
x1(t) - x2(tt) = q2(t) = 0

x1(tt) = x2(t) = x0cos(0 t)
1.
1 Fundame
entalschwiingung mitt 0
b
b) Gegensinnige Aus
slenkung aals Startbe
edingung:
x1(0) = -x0 ; x2(0) = x0

A = 0 ; B = -2x0 und damiit
x1(t) + x2(tt) = q1(t) = 0
x1(t) - x2(tt) = q2(t) = -2x0coss(’t)

x1(tt) = -x2(t) = -x0cos(’t)
2.
2 Fundame
entalschw
wingung mitt ’
c
c) Nur ein
ne Masse auslenken:
a
x1(0) = x0 ; x2(0) = 0

A = x0 ; B = x0 und damitt
x1(t) + x2(tt) = q1(t) = x0cos(0 t)
x1(t) - x2(tt) = q2(t) = x0cos(’’t)

Auflösen
A
nach
n
x1 und
d x2 ergibtt 
x1(tt) = ½x0 (co
os(0t) + ccos(’t))
x2(tt) = ½x0 (co
os(0t) - ccos(’t))
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
77
B
Beide Masssen schwing
gen mit 0 und ’, info
olgedessen wird auch ständig Energie zisch
hen
iihnen ausge
etauscht. Allgemein
A
g ilt, dass je
ede Lösung sich als Übberlagerung
g der beide
en
F
Fundamenttalschwingu
ungen darsttellen lässt.
F
Für den Fa
all sehr sc
chwacher K
Kopplung, d.h. D’ << D,
D überlaggern sich die
d
S
Schwingun
ngen ähnlic
ich wie zweei unabhän
ngige Schw
wingungen verschied
dener
F
Frequenz. Hier gilt:
 '  0  1 
D' 
2D'

  0 1  
D
D

M
Mit Einfüh
hrung eine
er mittlere
en Frequen
nz
und de
er Differe
enzfrequen
nz
  12 (0   ' )  0
   '0
e
ergibt sich
h
x1 (t ) 
1
 ccos( 
2
1
2
 )t  cos( 
1
2

 )t   x0 cos( 12 t )  cos(( t )

x2 (t ) 
1
 ccos( 
2
1
2
 )t  cos( 
1
2

 )t   x0 sin( 21 t )  sin( t )

,
d
d.h. x1 und
d x2 führen um /2 pphasenverrschoben eine
e
Schwiingung mitt   0
a
aus, wobeii die Amplitude jewe
eils mit de
er langsam
meren Diffferenzfreq
quenz 
vvariiert. Man
M sprich
ht hier vonn einer SCHWEBUNG.
x1(t)
x2(t)
S
Schematisch
che Darstellu
ung des Schw
hwingungsverrlaufs für x1 und x2 im F
Fall kleiner Kopplung
K
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78
6
W
Wellen
6.1 E
Einleitun
ng
S
Sind viele einzelne schwingen
s
nde System
me miteina
ander gekooppelt, so kann durc
ch
d
die Kopplu
ung Energie mit endllicher Gesschwindigk
keit über E
Entfernung
gen >> als die
A
Amplitude
e der einze
elnen Schw
wingungen übertrage
en werdenn. Der Ortt der
sschwingen
nden Syste
eme bleibtt im Mitte
el unveränd
dert, ein T
Transport von Materrie
ffindet also
o nicht sta
att. Man sspricht hie
er von WELLEN.
M
Man unterrscheidet zwischen Longitudin
nalwellen, bei denenn die Ausbrreitungsrichtung
iin der Sch
hwingungsrrichtung liiegt, und Transversa
T
alwellen, b
bei denen die
d
A
Ausbreitu
ungsrichtung senkre cht zur Sc
chwingung
gsrichtung liegt.
T
Transversallwelle
Long
gitudinalwelle
le
6.2 H
Harmonische ebe
ene Wel le
B
Bei einer sinusförm
s
igen Ausb reitung im
m Raum bzw
w. in der Z
Zeit sprich
ht man
vvon einer harmonisc
chen Welle
e, von eine
er ebenen Welle bei einer Aus
sbreitung in
n
nur einer Richtung
R
(eindimens
(
sional).
N
Nach ‚rechts’ fortschreitend e Welle:
N
Nach ‚link
ks’ fortsch
hreitende W
Welle:
A Amplitu
ude
 Wellenlä
änge
k = 2/ Wellenzah
W
hl
f Frequenz der einz
zelnen Sch
hwingung und
u der Welle
 = 2f Kreisfrequ
K
enz der eiinzelnen Schwingung
S
g und der Welle
c Ausbreittungsgeschwindigke
eit/Phasen
ngeschwind
digkeit derr Welle
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
79
Beispiele für Phasengeschwindigkeiten:
Longitudinalwellen:
- Schallwelle in Gasen und Flüssigkeiten:
c
K

K: Kompressionsmodul, : Dichte
- Schallwelle in Festkörpern:
c
E

E: Elastizitätsmodul, : Dichte
Transversalwellen:
- Seilwelle
c

A
: Seilspannung, : Dichte, A: Seilquerschnitt
- Schallwelle in Festkörpern:
c
G

G: Scher- bzw. Schubmodul, : Dichte
- Elektromagnetische Wellen:
c
c0 
c0
c
1
1


 0
 
 0 r   0  r
n
 r  r
1
 0  0
in Materie
in Vakuum
0: Dielektrische Feldkonstante, r: Relative Dielektrizitätszahl
0: Magnetische Feldkonstante, r: Relative Permeabilitätszahl
n Brechzahl des Mediums (Optik)
komplexe Darstellung:
1-dim ebene Welle:
A( x, t )  A0  e i ( kxt )
3-dim ebene Welle in beliebiger Richtung k:


i ( k r t )
A(r , t )  A0  e
Wellengleichung:
Die obigen Darstellungen für A(x,t) sind Lösungen der Wellengleichung:
1-dim
A = A(x,t):
3-dim: A = A(x,y,z,t):
WiB Physik
Hoeppe, 2013
2
2 A
2  A

c
0
t 2
x 2
2
2 A
2 A 2 A 
2  A
 2


c

 x 2 y 2  z 2   0 bzw. A  c A  0
t 2


80
6.3 I
Intensitä
ät einer Welle
Die durch eine Wellle transpoortierte En
nergie pro Zeit und Fläche nennt man
d
die Intenssität einerr Welle. S ie entspricht also einer Leistuung pro Fläche.
Bsp.: Mec
chanische Welle (W
Wellenmasc
chine, Seilw
welle, schw
wingende Saite)
 kein Trransport v.. Materie, aber Tran
nsport v. Energie
E
in Ausbreitu
ungsrichtu
ung
D
Die Energie des Teilchens derr Masse m am Ort x0 zur Zeeit t0
mit
m
e
entsprichtt der kinettische Ene
ergie bei Nulldurchg
N
gang nach Zeit T/4:
D
Durch We
ellenbeweg
gung wird E
Energie mit Geschw
windigkeit c an Nachbarn
w
weitergeg
geben. Energiestrom
m ( = Leistu
ung ):
m
mit der En
nergiedich
hte w = E
E/V, F = Querschnit
Q
ttsfläche eeines Volumeneleme
ents
E
Energiestrrom/Fläch
he = Energgiestromdiichte = Leiistung/Flääche =: Inttensität
B
Bsp: mech
hanische Welle
W
von ooben

Z = c heißßt Wellenw
widerstand
d
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
81
AKUSTIK:
Angabe der Intensität über die Lautstärke L:
 I 
L : 10  lg   dB (Dezibel)
 I0 
Bezugsschallintensität I0 = 10-12 Watt/m2
( Hörschwelle bei 1 kHz)
oder bzgl. der Schalldruckamplitude p ~ I½ , bzw. I = p²/(c)
 p
L : 20  lg   dB (Dezibel)
 p0 
Bezugsschalldruck p0 = 2·10-5 Pa = 20 µPa
Wellenwiderstand:
Longitudinalwellen in FK + Flüssigkeiten:
E
c FK 
c fl . 

K


1
  *
Elastizitätsmodul E, Kompressionsmodul K, Kompressibilität *
ZH2O = H2O · cH2O  1,4·106 kg · m-2 · s-1
Longitudinalwellen in Gasen:
c
K


 p
  RT

 = Isentropenexponent; cLuft  332 m/s
( = Adiabatenexponent )
ZLUFT = Luft·cLuft  428 kg m-2s-1
OPTIK / E.M.-Wellen:
Vakuum:
I  wc 
Vakuumwellenwiderstand
Z 0 :
In Materie: Z   r  r  Z 0
WiB Physik
Hoeppe, 2013
1
1 0 2
 0 E 2  c :
E  Z0
2
2 0
0
 377 Ohm
0
Optik ,  r  1  Z  n  Z 0
82
6.4 W
Wellenau
usbreitun
ng und I
Intensitä
ät
A
A) Verteilung der In
ntensität im Raum
((Bsp.: E.M.-Welle im
m Vakuum)
E
Ebene We
elle:
I
Intensitätt bleibt errhalten.

K
Kugelwelle
e:

E
Energie bz
zw. Intens
sität verte
eilt sich au
uf Kugelob
berflächenn ~ 4r2 .
((gilt auch für „Halbkugeln“ wi e z.B. Glüh
hbirne)
B
B) Dämpfu
ung bei Au
usbreitungg in Medium
m
Sin
nd die verb
bundenen sschwingen
nden Komponenten ggedämpft,
so wird
w
auch die Welle
e längs ihre
er Ausbre
eitungsrich
htung gedä
ämpft,
d.h
h. Ihre Am
mplitude unnd ihre Inttensität nimmt ab.
D
Dämpfung = Energie
everlust prro Wegstrrecke dx: dI ( x)   I ( x)    dx
: materia
alspezifisc
cher Dämppfungspara
ameter (Ex
xtinktionssfaktor)
dI ( x)
  dx
I ( x)
Integration
I

 I ( x) 
   x
ln
l 
 I0 

Optik: Lambert-B
Beerschess Gesetz
o
oder wege
en I ~ A 2 gilt
g für die
e Amplitud
de: A( x)  A0  e
 12  x

L
Längsgedä
ämpfte ebene Welle
e:
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
83
6.5 Ü
Überlage
erung von Wellenn - Dopp
plereffek
kt
F
Für (linearre harmonische) We
ellen gilt das
d Superp
positionsprrinzip:
Treffe
en Wellen aufeinand
a
er, so add
dieren sich
h lokal Ihrre
A
Amplitude
en, die Aus
sbreitung beider Wellen bleib
bt unveränndert
D
Doppelref
ffekt:
A
A) Tatütatta:
Q
Quelle bew
wegt sich mit Gesch
hwindigkeit v auf im Medium rruhenden Beobachte
B
er zu.
 Wellenlänge wird
d um vT ve
erkürzt
Que
elle in Ruh
he:

Que
elle bewegt
gt:
bzw.

Ü
Überschalllknall ents
spricht „B
Bugwelle“ für
f v  c.
W
Winkel  des
d Mach’s
schen Keggels:
v=c:
v>c:
((vgl. auch Kiel- bzw. Bug
gwelle eines Schiffs beii Wasserwellen)
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
84
B) Tatatatü:
Beobachter bewegt sich mit Geschwindigkeit v auf im Medium ruhende Quelle zu.
 Wellenlänge bleibt erhalten, c erscheint um v vergrößert, (T entspr. verkleinert):
c'  c  v

f '
c'


cv


cv
cv
 v
 f
 f  1  
1
c f
c
 c
C) beide bewegt:
Beobachter bewegt sich relativ zum Medium mit Geschwindigkeit vB auf Quelle zu,
Quelle bewegt sich relativ zum Medium mit vQ auf Beobachter zu:

f ' f 
1
1
vB
c
vQ
c
D) Dopplereffekt bei Licht:
Licht (E.M.-Welle) breitet auch im Vakkuum aus, es existiert kein ‚Lichtäther’.
(vgl. hierzu Experiment von Michelson u. Morley.) Entscheidend für den Dopplereffekt
ist daher nur die Relativgeschwindigkeit (v  vQ - vB für v << c) von Quelle und
Beobachter.

f ' f 
v
c
v
1
c
1
Meist gilt v << c und damit:

f '  f  1 

v

c
Anwendung/Relevanz:
- Linienverbreiterung in Spektroskopie
- Verschiebung ganzer Spektren 
- Astronomie: Geschwindigkeitsmessungen und Entfernungsbestimmungen durch
Messung der ‚Rotverschiebung’ z = /.
(Stichworte: Dopplerverbreiterung, Fluchtgeschwindigkeit, Expandierendes
Universum, Hubble-Konstante, Quasare)
Anmerkung:
In allen Formeln zum Dopplereffekt wurde die Geschwindigkeit positiv für aufeinanderzu bewegte
Objekte betrachtet, entfernen sie sich voneinander ist lediglich v durch -v zu ersetzen.
WiB Physik
Hoeppe, 2013
85
6.6 R
Reflexion von Wellen
W
Trif
fft eine Welle
W
auf e
ein Medium
m mit ande
erem
Wellenwiders
stand Z2, w
wird sie te
eilweise re
eflektiert
A
Aus der Stetigkeit
S
der Ampliituden an der
d Grenz
zfläche ( A 0 + Ar = Atrr ) und der
E
Energieerhaltung ( I0 = Ir + Itr ) folgt die Amplitude
A
e der refleektierten Welle
W
Ar
u
und der trransmittie
erten Wellle Atr:
F
Für Z2 > Z0 wird Ar negativ,
d
die reflek
ktierte We
elle erfährrt einen Ph
hasensprung um .
F
Für die In
ntensitäten gilt:
Reflexiionsfaktor
r
Transm
missionsfak
ktor (Enerrgieerhaltung!)
D
Diese Gesetzmäßigk
keit gilt al lgemein fü
ür Transve
ersal- und Longitudinalwellen.
S
Speziell in
n der Optik gilt mit r = 1 Z = n·Z0 und damit
d
für d
den Überg
gang
vvon Mediu
um 1 nach 2:
2
 n  n2 
I

R  r   1
I 0  n1  n2 
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
2
86
6.7 S
Stehend
de Wellen
n
S
Stehende Wellen en
ntstehen d
durch (mehrfache) Überlager
Ü
rung von
W
Wellen mit ihren reflektierte
en Wellenz
zügen. Sie verhaltenn sich
w
wie eine Schwingung
S
g und könnnen auch als
a solche beschriebe
b
en werden
n:
W
Wellen sin
nd ‚laufend
de Schwinngungen’, stehende Wellen
W
sind
d Schwing
gungen.
S
Stehende Welle du
urch Refle
exion an dichteren
d
Medien:
D
Die reflek
ktierte We
elle erfährrt einen Phasenspru
ung um , aan der Gre
enzfläche
z
zwischen den Medien entsteh
ht ein ‚Schwingungs
sknoten’.
S
Stehende Welle du
urch Refle
exion an dünneren
d
Medien:
M
D
Die reflek
ktierte We
elle erfährrt keinen Phasenspr
rung, an deer Grenzflläche
z
zwischen den Medien entsteh
ht ein ‚Schwingungs
sbauch’.
B
Bei gegebe
ener Frequenz ist W
Wellenläng
ge mit c de
es Medium
ms festgele
egt.
E
Eine stehe
ende Welle
e ist mögl ich für:
Reso
onanzbediingung
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
87
u
umgekehrtt:
F
Für gegeb
benes L und
d c tritt R
Resonanz nur
n für bestimmte F
Frequenzen fi = c/i auf:
a
Grun
ndschwinggung
1. Oberschwinngung
O
ngung
2. Oberschwin
n-1. Oberschw
wingung
B
Bsp.: Schwingende Sa
aiten bei M usikinstrum
menten
S
Stehende Welle du
urch Refle
exion an dünnerem
d
bzw. dich
hterem Me
edium:
E
Eine stehe
ende Welle
e ist hier möglich fü
ür („links Knoten
K
- rrechts Bau
uch“):
L

1
n 1
1 1
2 1
 ,    ,    ,.... ,     (2n  1)
4
4
2 4
2 4
2 4
n 
4L

2n  1
fn 
c
n
 (2n  1)
c
4L
n  1, 2, 3, ...
n  1, 2, 3, . ..
B
Bsp: Mecha
anische Sch
hwingung e iner Stabantenne am Auto, Pfeiffe, Flöte
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
88
Mathematische Beschreibung bei Reflexion am dichteren Medium:
A(x,t) = Ahin + Arück = A0cos(kx-t) + A0cos(kx+t + )
cos(   )   cos( )

A(x,t) = Ahin + Arück = A0cos(kx-t) - A0cos(kx+t)
cos(   )  cos( ) cos( )  sin( ) sin( )

A(x,t) = Ahin + Arück = A0[ { cos(kx)cos(t) + sin(kx)sin(t) } { cos(kx)cos(t) - sin(kx)sin(t) } ] 
A(x,t) = 2A0 sin(kx)sin(t)
 in Raum und Zeit periodisch,
 aber nicht mehr fortschreitend !
 für kx = n immer Amplitude von 0: “Knoten“
 für kx = n + ½ maximale, mit sin(t) varierende Amplitude: “Bäuche“
 Orte der Knoten und Bäuche im Raum fest: „stehende Welle“
AKUSTIK:
Maximale Amplitude der (lokalen) Schwingungen entspricht Schallschnelle,
Orte mit maximaler „Schalldruckamplitude“ bzw. zeitlich max. Druckschwankung
sind um /4 verschoben! Bei stehenden Wellen werden dadurch Knoten und Bäuche
vertauscht !
OPTIK / E.M.-Wellen:
Anpassung, d.h. Minimierung von Reflexion, erreichbar durch
- /4 Schichten (Entspiegeln)
- /4 Trafo’s („Transformation von Wellenwiderständen auf Bezugsebene“)
Problem: Anpassung nur „schmalbandig“ möglich, d.h. nur für kleinen Bereich von
Wellenlängen bzw. Frequenzen.
WiB Physik
Hoeppe, 2013
89
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
90
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
91
6.8 I
Interferrenz
Als Interfere
enz bezeicchnet man die Überllagerung vvon
Wellen gleich
her Freque
enz und fe
ester Phasenbeziehuung.
((Stichwort: Kohären
nz)
Konstrukttive Interf
ferenz:
 Versstärkung
Ü
Überlagerrung bei gleicher Phaase
D
Destruktivve Interfe
erenz:
 Auslöschung
Ü
Überlagerrung bei Ph
hasenunte rschied vo
on ,
b
bzw. Gang
gunterschied von /2
2
R
Räumliche
e Interferenzmusterr ergeben sich bei Überlageru
Ü
ung
vvon kohäre
entem Licht unterscchiedliche
er Ausbreitungsrichttung:
 Interfe
erenz von Wasserwe
ellen
 Interfe
erometer (Michelso n, Fabry-P
Perot, Lase
er, ...)
 Genaueste
G
Messungen
M
von Weglä
ängen in der
r Größenord
dnung von 
 Planparrallele Sch
hichten, Enntspiegelung von Glä
äsern
 Vielfachreflexion
n bzw. Vie
elstrahlinte
erferenz, Fabry-Perrot Interf
ferometerr
 Beugung an Spaltt und Gitte
er
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
92
6.9 B
Beugung
U
Unter Beu
ugung vers
steht man die Ablenkung von Wellen,
W
d.h
h. die Änd
derung
iihrer Ausb
breitungsrrichtung sooweit sie nicht
n
durc
ch Brechunng bedingtt ist.
E
Erklärung: Huygens’’sches Prinnzip:
Jed
der Punkt einer
e
Wel lenfront isst Ausgangspunkt
eine
er neuen kugelförmi
k
igen Eleme
entarwelle
e
E
Ebene We
elle
6.9.1
Kante
Spalt
Beu
ugung am
m Spalt
V
Vereinfacchte Darsttellung:
B
Betrachte
e jeweils 2 Elementaarwellen, welche
w
Spa
alt in halbeem Spalta
abstand b/
/2 in
g
gleicher Richtung
R
ve
erlassen uund destru
uktiv interf
ferieren (  Minima
a).
M
Minima fürr:
mit n = 1,
1 2, 3, ..
D
Die Lage de
er Maxima lässt sich nnicht im ve
ereinfachte
en Bild erkllären, sie liegen
a
aber zwang
gsläufig zw
wischen den Minima:
M
Maxima für:
u nd  = 0
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
mit n = 1,
1 2, 3, ..
93
Intensitätsverteilung ergibt sich aus Integration über alle Teilstrahlen /
Elementarwellen des Spalts in einer Richtung:
I SPALT
 = 0,5 µm
 sin x 
 I0 

 x 
2
mit
x
 b
sin 

b = 0,1 µm
1
I Spalt (  )
0.5
0
1
0.5
0
0.5
1
0.5
1
0.5
1
0.5
1
sin(  )
 = 0,5 µm
b = 0,5 µm
1
I Spalt (  )
0.5
0
1
0.5
0
sin(  )
 = 0,5 µm
b = 1 µm
1
I Spalt (  )
0.5
0
1
0.5
0
sin(  )
 = 0,5 µm
b = 2 µm
1
I Spalt (  )
0.5
0
1
0.5
0
sin(  )
WiB Physik
Hoeppe, 2013
94
6.9.2
2
Beu
ugung am
m Doppellspalt
V
Vereinfacchte Darsttellung:
B
Betrachte
e Elementa
arwellen, w
welche Spa
alte im Ab
bstand d inn gleicher Richtung
vverlassen und konsttruktiv inte
erferieren
n ( Maxiima). Die S
Spalte seie
en zunächsst
ssehr klein gegen die
e Wellenläänge:
mit n = 0,
0 1, 2, 3, ...
M
Maxima für:
D
Die Lage de
er Minima ergibt
e
sich
h entsprech
hend für ein
nen Gangunnterschied von
e
einer halbe
en Wellenlä
änge:
  d  sin  
1 3 5
 ,  ,  , ...  Minima für:
2 2 2
sin   (2n  1) 

2d
mit
m n = 0, 1, 2,
2 3, ..
D
Die Intenssitätsvertteilung erggibt sich aus der pha
asengerecchten Summation be
eider
T
Teilstrahlen, d.h. de
er Elementtarwellen der Spalte
e in einer Richtung:
D
Doppelspa
alt-Interfe
erenzfunk
ktion:
I DS  IF  I 0 cos 2 ( y )
mit
y
 d
sin
s 

B
Bei Berück
ksichtigun
ng der end
dlichen Spa
altbreite ergibt
e
sich
h das Gesa
amtbeugun
ngsbild
a
aus der Üb
berlagerun
ng (Multipplikation) der
d Doppelspalt-Intterferenzf
funktion mit
m
d
der Beugu
ungsfunktion des Sp altes:
I DS  I Spalt  I DS  IF
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013

 sin x
 cos y 
 I0

 x
2
mit
x
 b
sin  ,

y
 d
sin 

95
Beugungsfunktion des Doppelspalts für  = 0,5 [µm]:
b = 0,1 ; d = 1
1.2
1
Spalt(  )
Doppelspalt(  )
Spalt(  ) . Doppelspalt(  )
0
0.5
0
1
0.5
0
0.5
sin(  )
1
1
1
b = 0,1 ; d = 3
1
Spalt(  )
Doppelspalt(  )
Spalt(  ) . Doppelspalt(  )
0.5
0
1
0.5
0
0.5
1
0.5
1
0.5
1
sin(  )
b = 1 ; d = 3
1
Spalt(  )
Doppelspalt(  )
Spalt(  ) . Doppelspalt(  )
0.5
0
1
0.5
0
sin(  )
b = 2 ; d = 10
1
Spalt(  )
Doppelspalt(  )
Spalt(  ) . Doppelspalt(  )
0.5
0
1
0.5
0
sin(  )
WiB Physik
Hoeppe, 2013
96
6.9.3
3
Beu
ugung am
m Gitter
V
Vereinfacchte Darsttellung:
B
Betrachte
e Elementa
arwellen, w
welche Spa
alte im Ab
bstand d inn gleicher Richtung
vverlassen und konsttruktiv inte
erferieren
n ( Maxiima). Die S
Spalte seie
en zunächsst
ssehr klein gegen die
e Wellenläänge. (Prinz
zipiell wie Doppelspaalt, jedoch
h durch diie
V
Vielstrahlinterferen
nz deutlic here Maxima.)
mit n = 0, 1, 2, 3,
3 ..
M
Maxima für:
D
Die Minima
a sind - zwis
schen weite
eren Nebenmaxima - zwischen d
den Maxima
a verteilt.
T
Typischerw
weise sind nur
n die Max
xima deutliich sichtbar und aufgrrund der Vielstrahliinterferenz
z an N Spa
alten sehr aausgeprägt.. Die Gesam
mtbeugungssfunktion ergibt
e
sich
w
wieder aus der Überla
agerung vo n Gitter- und
u Spaltbe
eugung:
I  I SPALT  I Gitteer
 sin x 
 I0 

 x 
2
 sin( N  y ) 

 
n( y ) 
 N  sin
2
 b
sin 

 d
y
sin 

x
S
Stichwortte:
 Disperssives Elem
ment, Gitte
erspektrom
meter, Spe
etrallinienn
 Raumgittter, Rönttgenbeugu ng, Gitterrkonstante
en, Struktturanalyse
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
97
Gitterbeugungsfunktionen für  = 0,5 µm und verschiedene Gitterparameter:
b = 1 µm
d = 5 µm
1
Spalt(  )
Gitter(  )
N=3
Spalt(  ) . Gitter(  )
0.5
0
1
0.5
0
0.5
1
0.5
1
0.5
1
0.5
1
sin(  )
b = 0,2 µm
d = 2 µm
1
Spalt(  )
Gitter(  )
N=3
Spalt(  ) . Gitter(  )
0.5
0
1
0.5
0
sin(  )
b = 0,2 µm
1
d = 2 µm
Spalt(  )
Gitter(  )
N=6
Spalt(  ) . Gitter(  )
0.5
0
1
0.5
0
sin(  )
b = 0,2 µm
1
Spalt(  )
d = 2 µm
N = 20
Gitter(  )
Spalt(  ) . Gitter(  )
0.5
0
1
0.5
0
sin(  )
WiB Physik
Hoeppe, 2013
98
6.9.4*
Auflösungsvermögen optischer Geräte
A) Mikroskop (Theorie nach Abbe)
Annahme:
Licht zweier nah beieinanderliegender Gegenstandspunkte
Abstand d   ist zwangsweise kohärent.
Man betrachtet daher diese Bildpunkte wie die beiden Spalte eines Doppelspaltes
Abbe:
2 Punkte sind auflösbar, falls mindestens das 1 Minimum des
Doppelspaltbeugungsbildes in das Objektiv des Mikroskops fällt,
d.h. dsin = 1 .
Für ein unendlich großes Objektiv wird max. Beugungswinkel 90° und damit
gilt als absolute Grenze (unabhängig von der Art des Mikroskops) dmin   .
B) Fernrohr
Annahme:
Licht zweier weit (voneinander) entfernter Gegenstandspunkte,
z.B. zweier Sterne, ist sicher inkohärent.
Die beugende Struktur ist hier die Apertur A des Fernrohres, welches zwei
unabhängige Beugungsscheibchen (vereinfacht: entsprechend Spalt) erzeugt.
Kleinster auflösbarer Winkelabstand min , unter welchem die zwei Objekte
(ohne Optik) erscheinen:
 min 

A
C) Spektrales Auflösungsvermögen
Betrifft Trennvermögen bzgl. den unterschiedlichen Wellenlängen eines Spektrums.
Rayleighkriterium:
Zwei „Farben“ sind gerade noch als getrennte Linien erkennbar, wenn
ihr Abstand größer ist als ihre spektrale Halbwertslinienbreite.
Bsp.: Das Auflösungsvermögen AV eines optischen Gitters ist AVG = n · N,
wobei n die verwendete Ordnung und N die Zahl der verwendeten bzw.
der beleuchtetet Spalte beschreibt.
WiB Physik
Hoeppe, 2013
99
6.10*
*
Bre
echung
F
Fällt eine Welle (nic
cht senkre
echt) auf ein
e Medium
m mit andeerem
W
Wellenwid
derstand (bzw. Brecchungsinde
ex), ändert
t sich ihree Ausbreittungsrichtung.
M
Man spricht hier von Brechunng.
A
A) Snelliusssches Brechungsge
esetz
B
Betrachte
e ebene Welle,
W
welch
he schräg auf die Grenzflächee zwischen zwei
M
Medien fä
ällt. (Die Grenzfläch
G
he sei eben
n für Bere
eiche   .))
D
Die Freque
enz der Welle
W
ände rt sich nic
cht. Aufgr
rund der veerschiede
enen
A
Ausbreitu
ungsgeschw
windigkeitten aber die Wellenlängen enttsprechend
d
f 
c

 const 
c1
1

c2
2
B
Betrachte
e zwei Teillstrahlen, welche miit dem Gan
nguntersch
hied 1 die
e Grenzflä
äche
iim Abstan
nd x erreic
chen. Nach
h dem Huy
ygensschen Prinzip üüberlagern
n sich die
T
Teilwellen
n mit dem Gangunter
G
rschied 2 im Medium 2 konsttruktiv zu einer neue
en
W
Wellenfro
ont, so das
ss gilt:
1
c f
sin  1

c
 x  1  1
 1
sin  2  2
2 c2  f c2
x
I
In der Op
ptik gilt mit
ci 
sin  1 1 c1 n 2



 n12
sin  2  2 c 2 n1
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
1
 i  i

1
 0 r i   0  r i

c0
 r i 0  r i

c0
ni
ni Brechungsindizes;; nij Brechzahl
100
B
B) Doppelb
brechung
B
Bei anisotropen Med
dien hängtt die Brechzahl von der Schw ingungsric
chtung
d
der Welle
e (Polarisattion) ab. (I
In der Opttik wird die Polarisaation durch die
S
Schwingun
ngsrichtun
ng des E-F
Feldes definiert.) Da
adurch we rden die Anteile
A
u
unterschie
edlicher Polarisationn (Teilstra
ahlen) i.A. unterschiiedlich geb
brochen.
M
Man spricht von Dop
ppelbrech ung.
((klass. Bsp..: Doppelbrechung vonn Licht an Kalkspat
K
od
der Quarz E
Einkristalle
en)
C
C) Totalre
eflexion (h
hier: Optik
k)
B
Betrachte
e das Snelliussche B
Brechungsg
gesetz für
r den Überrgang vom
m optisch
d
dichteren Medium ins optisch
h dünnere, also für n1 > n2: Dass Licht wirrd jetzt
„„vom Lot weg“
w
gebro
ochen. Wi rd der Ein
nfallswinke
el 1 größeer, so wird
d bei einem
m
W
Winkel 1 = grenz de
er Austritttswinkel 2 = 90° un
nd das Lich
ht kann nic
cht mehr in
i
d
das Mediu
um 2 überg
gehen. Es wird zwan
ngsläufig vollständigg (total) re
eflektiert.
E
Entsprech
hend Snellius gilt hie
er:
sin
s  grenz
sin 90
 sin  grenz 
n2
 n12
n1
((Anwendung: Refrakto
ometer / A
Abbe-Refra
aktometer, vgl. Übunggen)
A
Anmerkun
ng:
D
Der Grad der
d Reflexion ist auch
h von der Po
olarisation des Lichtees und den
e
entspreche
enden Eintr
rittswinkelnn abhängig (vgl. Doppe
elbrechungg). Dies ergibt sich
a
aus der Anwendung de
er Stetigke
eitsbedingu
ung (vgl. 4.6
6) für das eelektrische
e Feld an
d
der Grenzf
fläche, welc
che nur fürr die tangen
ntial zur Gr
renzflächee liegende
K
Komponentte gilt. Dahe
er ändern ssich die An
nteile der Polarisationnen für das
rreflektiertte Licht mitt dem Wink
kel; für ein
ne bestimmt
ten Winkell, den sog.
B
Brewsterwinkel Brewster = arctann(n2/n1), istt das reflek
ktierte Lich
ht sogar vo
ollständig
p
polarisiert..
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
101
6.11*
*
Disspersion
D
Die Brechung von Wellen
W
an G
Grenzfläch
hen ist nicht nur vonn der Polarrisation un
nd
d
dem Eintrittswinkell abhängig , sondern auch wese
entlich vonn der Welllenlänge bzw.
d
der Frequenz der Welle.
W
U
Ursache hierfür
h
ist die frequuenzabhängige Wech
hselwirkunng der We
elle mit der
M
Materie des Medium
ms, wodurcch die Pha
asengeschw
windigkeitt der Welle i.A. eine
e
F
Funktion der
d Freque
enz wird.
 keine (od
der lineare
e) Disperssion liegt vor,
v
wenn gilt
g
c  f  

k
 const
mit
m
dc
0
d
b
bzw. v g 
d
c
dk
d.h. c ist konsttant; z.B. Liicht/E.M. W
Welle in Vakuum
 normale Dispersion liegt vorr, wenn gilt
c  f  ( f ) 
 (k )
k
 consst ,
mit
m
dc
0
d
b
bzw. v g 
d
c
dk
d.h. die Ausbre
eitungsgesc
chwindigkeiit c wird mit der
Wel lenlänge grrößer; z.B. sichtbares
s
Licht in Materie
 anomale Dispersion liegt vorr, wenn gilt
c  f  ( f ) 
 (k )
k
 consst ,
mit
m
dc
0
d
b
bzw. v g 
d
c
dk
d.h. c wird mit der Wellen
nlänge kleinner;
z.B. fernes UV-Licht in Materie,
M
Mikkrowellen in Hohleiterr
A
Anwendung
g: Prismenspektralappparat, Regenbogen
A
Anmerkung
g: In der Na
achrichtenntechnik we
erden Signa
ale mit Hilffe verschie
edener
F
Frequenzen
n übertrage
en, breitenn sich diese
e in Folge einer Disperrsion unter
rschiedlich
h
sschnell aus, kann es zu einem Siggnalverlustt kommen. Der
D Schwerrpunkt eine
es Wellenpa
paketes,
w
welches auss verschied
denen Freqquenzen bessteht, breitet sich miit der sog.
G
Gruppengesschwindigkeit vg = d//dk aus.
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
102
7*
7.1
7.1.1
Opttik
Strrahlenopttik
Ferrmat’sches Prinz
zip
A
A) Optisch
he Weglän
nge
D
Durch die Einführun
ng der opttischen We
eglänge
=n·s
w
wird die geringere Phasenges
P
chwindigk
keit c’ in eiinem Mediium auf ein
n
sscheinbar vergrößerrte Wegläänge abgeb
bildet. n be
ezeichnet hier den Brechungssindex
iim Medium
m und s die
e jeweilige
e geometrische Weg
glänge.
B
B) Fermatt’sches Prinzip
Ein Lichtstrahl, der vonn Punkt A nach B gelangt, ver läuft auf dem
d
Weg mit der kürzestenn optischen Wegläng
ge, d.h.   Min.
B
Bsp:
O
Optische Weglänge in Medium
m 1:
O
Optische Weglänge in Medium
m 2:
2
2
2
1 = n1 · sAX
X ; sAX = a + x
2
2
2 = n2 · sXB
)2
X ; sXB = b + (c-x)
G
Gesamte Optische
O
Weglänge:
W
: (x) = ....  Min. , d.h.
d
daraus follgt
n1 
x
s AX
 n2 
cx
s XB
und
u mit sin
n 1 
!
d
 ( x)  0
dx
x
s AX
bzw.
sin  2 
cx
s XB
u
unmittelba
ar das Sn
nelliussche
e Brechung
gsgesetz: n1  sin  1  n2  sin  2
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
103
7.1.2
2
Opttische Linsen
L
Linsen die
enen der ge
ezielten L
Lichtbrech
hung durch
h gekrümm
mte Oberflächen.
D
Der Strah
hlengang berechnet
b
sich durch
h die lokale Anwend
dung des Snelliussch
S
hen
B
Brechungssgesetzes (vgl. „Linseen.exe“):
A
A) Linsenf
formen:
Biko
konvex, Plan
ankonvex, B
Bikonkav, Plankonkav
P
v, konvex--konkav
B
B) Haupte
ebenen:
Z
Zur Verein
nfachung der Besch
hreibung des Strahle
enganges eeiner Linse
w
werden so
og. Haupte
ebenen einggeführt. Die
D Brennw
weite f enttspricht dem
d
Absta
and
H
Haupteben
ne Fokus, an welche
em parallell einfallend
de Strahleen zusamm
menlaufen..
B
Bei Konkavvlinsen wirrd die Bre
ennweite negativ ang
gegeben, ssie entspricht dem
A
Abstand zum
z
virtue
ellen Fokuss ( virtue
elles Bild).
B
Bei dicken
n Linsen od
der Linsennsystemen sind i.A. zwei
z
Haupttebenen nötig,
n
um das
d
A
Abbildung
gsverhalten richtig z
zu beschre
eiben. Für asymmetrrische Linsen bzw.
L
Linsensystteme liege
en diese inn ungleiche
er Entfern
nung vom LLinsenmitttelpunkt.
((Stichwortt: „Dicke Lin
nse“)
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
104
C
C) Brechw
wert, Linse
enmacherfformel:
D
1
f
nennt man
m Brech
htwert (Brrechkraft)) einer Linsse.
Einheitt: Dioptrie
e, 1 dptr = 1 m-1
Für eine Sphärische Linse mit den Krümmungs
K
sradien r1 und r2 gilt
g näheruungsweise
die Linssenmacher
rformel:
D
1 1
1
 (n  1)    
f
 r1 r2 
D
D) Linsenf
fehler:
- Sphärisc
che Aberration
Sphärisc
che Linsen
n fokussie ren nur fü
ür große Krümmungssradien
bzw. ach
hsnahe Strrahlen hinnreichend gut.
g (vgl. „L
Linsen.exe““)
- Astigmattismus
uneinheiitliche Krü
ümmungsraadien in de
er zur opt. Achse seenkrechten Ebene
(zylindriische Verf
formung) fführen zu verschied
denen Brennnweiten bzw.
b
zu
einer ‚Brennlinie’ statt
s
eine
em Brennpu
unkt.
- Chromattische Abe
erration
Infolge der Dispe
ersion des Linsenmatterials hat
t die Linsee für Lichtt
verschie
edener We
ellenlänge verschied
dene Brenn
npunkte.
Abhilfe schaffen komplexe Linsensyssteme mit Linsen
aus versschiedenen
n Materiallien bzw. Brechzahle
B
en.
Hohlspie
egel zeigen diesen Feh
hler nicht. Daher werd
den insbesoondere bei Spektral-
apparate
en eher Hohlspiegel a ls Linsen ve
erwendet. Zudem
Z
zeiggen diese neben
n
der
fehlende
en Dispersion auch ke
eine Absorp
ption, d.h. das
d Licht (innsbesonder
re UV-Lich
ht)
wird nich
ht gedämpf
ft. Überhauupt werden
n häufig Spiegel stattt Linsen ver
rwendet, we
enn
die verfü
ügbaren In
ntensitätenn schwach sind:
s
Linsen
n mit Durch
hmessern größer als z.B.
einen Me
eter sind te
euer. schwe
er und dam
mit mechanisch instabiil.
In der Astronomie
A
findet mann daher ehe
er Spiegelt
teleskope.
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
105
7.1.3
3
Bild
dkonstru
uktion
A
A) Abbildu
ungsgesettz
D
Die Abbild
dung eines
s Gegenstaandspunktes (Pfeilsp
pitze) lässst sich mitt Hilfe derr
H
Haupteben
ne und zwei Strahle
en einfach konstruie
eren:
11. Der Parallelstrahl wird an H durch F’ gebroche
en.
2
2. Umgeke
ehrt wird der Fokussstrahl and
d der Haup
ptebene zuu einem Pa
arallelstra
ahl
hinter der
d Linse gebrochen
g
n.
(3
3. Häufig auch betrachtet: de
er Mittelp
punktsstra
ahl wird nic
icht gebrochen)
D
Durch bettrachten von
v tan (S
Strahlensä
ätze) folgt
t das Abb ildungsges
setz
B b

G g
u
und nach etwas
e
Umf
formung d
die Linsen--Abbildung
gsformel:
1 1 1
 
f b g
B
B) Linsenssysteme
D
Die Brechkraft (dirrekt) hinte
ereinanderrgeschalte
eter Linsenn addiert sich:
D  D1  D2

1
1
1


f
f1 f 2
((Bei Konkavvlinsen ist das
d negativve Vorzeich
hen von f zu beachtenn!)
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
106
O
Offen ble
eibt jedoch
h die Frag e der Bild
dkonstrukt
tion, da beei der zweiten Linse
d
der Fokusstrahl nicht mehr k
konstruiertt werden kann:
k
D
Da die Bre
echkraft der
d Linsenn sich add
diert (vgl. o.),
o sollte eeine Konsttruktion mit
m
d
der Brenn
nweite f möglich seinn, jedoch muss
m
hier auch der Abstand der
d beiden
n
E
Einzellinse
en berücks
sichtigt w erden!
C
C) Haupte
ebenen (Dicke Linsenn)
D
Durch Einführung vo
on zwei Haauptebene
en (für obiiges Linsennsystem ca.
c im
A
Abstand der
d beiden
n Linsen ann den Orte
en H1 und H2) und deer Gesamttbrennweitte f
k
konstruierrt sich die
e Abbildunng wie folg
gt:
11. Der Parallelstrahl wird an d
der zweite
en Haupteb
bene H’ duurch F’ geb
brochen.
2
2. Umgeke
ehrt wird der Fokussstrahl durrch F an H zu einem
m Parallelsttrahl.
A
Auch für dicke
d
Linsen müssenn für eine gute Besc
chreibung der Abbild
dung zwei
H
Haupteben
nen H und H’ und i.A
A. auch zwei Brennweiten f unnd f’ verwe
endet werd
den.
O
Obige Darrstellung is
st etwas vvereinfach
ht:
F
Für ein Lin
nsensystem
m aus zwe
ei verschie
edenen Linsen oder eeine asymm
metrische
e
d
dicke Linssen liegen die
d Haupte
ebenen H und H’ asy
ymmetriscch im Linse
enkörper oder
o
ssogar auße
erhalb von
n ihm. Die Brennweitten f und f’
f links bzw
w. rechts der Linse sind
jjedoch be
etragsmäßig gleich, ffalls die Liinse an Me
edien gleiccher Brech
hzahl gren
nzt.
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
107
7.1.4
4
Opttische Geräte
G
A
A) Sehwin
nkel
D
Der Sehwinkel für einen
e
ohne
e Hilfsmitttel betrac
chteten Geegenstand ist abhän
ngig
vvon der Grröße und der
d Entferrnung des Objektes. Für einenn (kleinen)) Gegensta
and
w
wird als Bezugsgrößße der Seh
hwinkel 0 definiert, der sich b
bei Betrac
chtung dess
G
Gegenstan
ndes aus der
d Bezugsssehweite (deutliche
e Sehweit e) von 25 cm ergibtt:
B
B) Vergrößßerung
D
Durch Einbringen eiines optiscchen Geräts in den Strahlenga
S
ang wird der
d Sehwin
nkel,
a
also der Winkel
W
unter dem daas Bild eine
es Gegenstandes ers
rscheint, vergrößert.
A
Als Vergrö
ößerung V bezeichne
et man dass Verhältn
nis der Wiinkel /0 .
V 

0
W
Wenn der Sehwinkel
S
sehr
s
klein iist gilt mit 0  tan 0 und   taan  auch V  B/G.
C
C) Lupe
E
Ein Lupe wird
w
betrie
eben mit g  f, wob
bei das Bild
d mit einem
m entspan
nnten Auge
e
b
betrachte
et wird, d.h
h. Starhle
en eines Bildpunktes fallen parrallel in da
as Auge. Man
M
e
erhält ein virtuelles
s (hier auffrechtes) Bild
B mit eiiner Vergrrößerung V von:
V 
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
G/g

G/ f


 0 G / s0 G / s 0

V LUPE 
s0
f
( in praxi V  10 )
108
D
D) Mikroskop
D
Das Mikro
oskop bestteht aus e inem Linse
ensystem mit
m mindesstens 2 Ko
onvexlinse
en.
D
Das vom Objektiv
O
erzeugte Z
Zwischenbild B wird mit dem O
Okular wie
e mit einerr
L
Lupe betrachtet:
- Lateralvergrößerung durch O
Objektiv:
- Vergröße
erung durc
ch Okular ~ Lupe:
 Gesamtver
G
rgrößerungg:
VMik 
B b b
 
G g
f
s
Vok  0  10
f ok
b s0
b

  10
f f ok
f
( z.B
B.: f  3mm
m; b  300m
mm  VMik  1000 ; Stä
ärke Vergrrößerungen
ma
achen aus wellenoptis
w
schen Gründ
den keinen Sinn, vgl. 4
4.9.4)
E
E) Fernroh
hr
H
Hier sog. astronomi
a
sches Ferrnrohr: Aufbau vergleichbar m
mit Mikros
skop, jedoc
ch
ssind hier die
d einfalle
enden Strrahlen praktisch par
rallel, d.h. g  . Da
as Zwische
enbild
e
erscheint daher direkt hinterr dem Brennpunkt des Objekttivs, womitt fobj und fok
p
praktisch zusammen
nfallen:
M
Mit tan  0   0 
B
B
und tan    
gilt:
f obj
f ok
VFern 
f obj
f ok
((s.a.: Keplersches - od
der Galileissches Fernrrohr)
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
109
7.2
Quantennattur des Lichts
N
Newtons Teilchenhy
T
ypothese d
des Lichtss ist ungee
eignet zur Beschreib
bung
d
der Ausbrreitung des Lichts. Z
Zur Erklärrung von z..B. Beugunng und Interferenz
m
muss das Wellenmod
W
dell verwe
endet werd
den.
E
Es zeigt sich jedoch
h, dass zurr Beschreibung von Wechselw
wirkungen des Lichtss
m
mit Materrie (Absorption und Emission) wieder ein Teilchenncharakter des Lich
hts
a
angenomm
men werden
n muss ( Lichtquan
nten, Phot
tonen)
7.2.1
Pho
otoeffek
kt
F
Fällt (mon
nochromatisches) Liccht auf eine (elektrisch leitennde) Katho
ode in eine
er
V
Vakuumröhre, so können durcch das Lich
ht Elektronen ausgeelöst werde
en. Die über die
A
Anode abf
fließenden
n Elektrone
en können als elektr
rischer Sttrom geme
essen werd
den:
D
Dieser Strom nimmtt mit der L
Lichtinten
nsität zu, kann
k
aber unabhäng
gig von derr
L
Lichtintennsität I du
urch Anleggen einer Gegenspan
G
nnung U0 zzum versiegen gebra
acht
w
werden! Man
M beobac
chtet, dasss die jewe
eilig anzule
egende Sppannung U0 eine linea
are
F
Funktion der
d Freque
enz f des eingestrah
hlten Lichts ist:
U 0  U 0 ( f )  const
c
 f  U
U  const  f grenz
A
Auch ohne
e Anlegen einer Geg enspannun
ng, also für U0 = 0 , wird erst ab f  fgreenz
e
ein Photosstrom beobachtet.  U ist wed
der von der Frequennz noch von
n der
I
Intensitätt des Lichtts abhäng ig sondern
n nur abhä
ängig von d
den verwen
ndeten
M
Materialie
en im Vers
suchsaufbaau.
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
110
Erklärung (Einstein, 1905):
Licht kann seine Energie nur in ‚Portionen’ abgeben, wobei eine
‚Energieportion’ E = hf ein Lichtquant bzw. ein Photon definiert.
h ist das sog. Planck’sche Wirkungsquantum: h = 6,626 10-34 Js
Interpretiert man Ue als Austrittsarbeit WA, welche geleistet werden
muss, um die Elektronen aus der Kathode zu lösen, ergibt sich:
U  e  U  e  U  e  W A  const  f  h  f  E PHOTON
Es fließt demnach nur ein Strom, wenn die Energie der eingestrahlten Photonen
größer ist als WA, und die ausgelösten Elektronen noch eine positive kinetische
Energie Ekin = hf - WA erhalten.
Anwendungen des Photoeffekts:
- Lichtintensitätsmessung
Photozelle wie oben abgebildet wird bei pos. angelegter Spannung U
in Sättigung betrieben. Der Photostrom ist dann proportional zur
Lichtintensität, d.h. zur Zahl einfallender Photonen (Bsp.: Geigerzähler)
- Sekundärelektronenvervielfacher
( Photomultiplier) Über die Erzeugung von Photonen durch einzelne schnelle
Elektronen, werden wiederum in einer Hochspannungsanordnung mittels des
Photoeffekts viele Elektronen ausgelöst und damit zu leicht messbaren
Stromstößen. (s.a. REM)
- Halbleiterbauteile wie z.B. Solarzelle ( innerer Photoeffekt )
Durch Absorption eines Photons wird ein Atom bzw. Molekül ionisiert. Das freie
Elektron verlässt aber das Material nicht, sondern bleibt als Ladungsträger
in dem Festkörper erhalten (Anhebung ins Leitungsband).
So wird die Leitfähigkeit bzw. der elektr. Widerstand des Halbleiters abhängig
von der Lichtintensität ( Photosensoren).
Werden bei geeigneter Kombination von Halbleitern die vom Licht erzeugten
Ladungen getrennt, kann die Lichtenergie in elektrischen Strom umgewandelt
werden.
WiB Physik
Hoeppe, 2013
111
7.2.2
2
Teiilchen-W
Welle Dua
alismus; Materie
ewellen
A
A) Elektro
onenstreue
experimennt von G.P.. Thomson (1892-197
75) 1927 :
T
Thomson beschoss
b
eine
e
Graph
hitfolie miit in einer Vakuumrööhre besch
hleunigten
n
E
Elektronen. Das beo
obachtete Interfere
enzbild am
m Schirm kkann nur durch
d
W
Welleneigenschafte
en der Elek
ktronen errklärt wer
rden.
b
bereits zuvvor:
B
B) De Brog
glie (1892-1987) We
ellenlänge
e von Teilchen 1924 :
T
Teilchen haben
h
ents
sprechend
d ihres Imp
pulses p (d
d.h. ihrer M
Masse und
d kinetisch
hen
E
Energie) eine
e
Wellenlänge
h
 deBroglie 
p
u
und breite
en sich wie
e Wellen aaus.
F
Für im E-F
Feld besch
hleunigte E
Elektronen
n gilt mit E kin 
e 

h

p
p2
1
me v 2 
U e:
2  me
2
h
2  me  U  e
S
Streuexpe
erimente wie
w das vo n Thomson lassen sich so erk lären. Es zeigt
z
sich
lletztlich, das ein Te
eilchen niccht durch eine
e
Welle
e allein sonndern durch ein
W
Wellenpak
ket beschrrieben werrden musss. Die Teilc
chengesch
hwindigkeitt entspricht
d
der Grupp
pengeschwindigkeit d
dieses We
ellenpaketes und niccht der (grrößeren)
P
Phasengesschwindigk
keit.
I
In Folge de
er Dispersion laufen d
diese Welle
enpakete „m
mit der Zeiit auseinand
der“, wodurrch der
O
Ort eines Teilchens
T
im
mmer unbe
estimmter wird.
w
Hier zeigen
z
sich
h
eorie
b
bereits die
e begrifflichen Schwie
erigkeiten der ‚Wellenmechanik’’ bzw. der Quantenth
Q
((Unschärrferelation, Messprozzess).
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
112
8*
8.1
8.1.1
Auf
fbau derr Materiie
Ato
omphysik
k
Ato
ommodelle
A
A) Spektrrallinien
L
Licht wird
d von Mate
erie / Atom
men i.A. niicht als ko
ontinuierlicches Spek
ktrum,
ssondern in
nsbesondere von Gassen als Lin
nienspektr
rum emittiiert.
B
Balmer (18
825-1898)) fand 188
85 empirisc
ch, dass das Liniensspektrum des
d
W
Wassersto
off darste
ellbar ist aals:
f 
1 
 1
 Rf  2  2 

n 
m
c
288·1015 Hz, Rydberrgfrequenz
z
Rf = 3,2
N
Neben den
n chemisch
hen Eigensschaften der
d Atome
e, musste ein gutes Modell
ffür den Au
ufbau eine
es Atoms aauch die Spektrallin
S
nien erklärren können
n.
B
B) Atomm
modell von J.J. Thoomson (185
56-1940) 1904:
Spektrrallinien ?
Streuversuch von
n Rutherf ord?
C
C) Streuvversuch vo
on Rutherfford (18711-1937) 19
911:
Besc
chuss eineer dünnen Goldfolie
mit Teilchen ((He2+-Kern
nen):
Die meisten T
Teilchen werden kaum
oder
r gar nichtt abgelenk
kt
W
Winkelverrteilung de
er Streusstrahlung war theorretisch nurr
e
erklärbar mit der Annahme
A
voon
„harten“ schweren
s
Kernen m it
D
Durchmesssern von ca.
c 10-15 m,,
a
also viel kleiner als Atom mit ca. 10-10 m!
m
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
113
D
D) Rutherrford / Bo
ohrsches (1885-196
62) Atomm
modell 191
16:
Fe 
1 e2 ! mev 2

 Fz
4 0 r 2
r
E pot  
1 e2
4 0 r
;
Ekin 
1
me v 2
2
 Gesamtenergie
Eges  Ekin  E poot  
1 e2
8 0 r
S
Strahlung
g?
F
Forderung
g Bohr: Sttabile Bah
hn nur für
!
Wirkung   pdq  n  h

rn 
bzw.

l  n
n 2 0 h 2
: n 2 r0
 mee 2
En  
n = 1, 2,, 3, ..
1 mee 4
1
:  2 E A
2
2
n 8 0 h
n
n
n: Energie
e / Hauptquantenzah
hl ( Energie
en bzgl. l en
ntartet)
D
Das Spekttrum des H-Atomss:
1
1 me e 4
1
En   2
  2 2,18010  10 18 J   2 13,6 eV
2
n 8 0 h
n
n
E
Emission / Absorptiion:
hf i , k   i , k  Ei , k  E i  E k  13,6 eV 
1
1
 2
2
i
k
ii, k = 1, 2, 3 ..

f i ,k 
E i ,k
h

13
1 ,6 eV 1
1
 2  2
h
i
k
D
Die Balmer Serie en
ntspricht Ü
Übergänge
en von
a
angeregte
en Zuständ
den mit n = 3, 4, 5, .. auf den
Z
Zustand n = 2. Später beobacchtet:
 n = 1: Ly
yman-Seriie (UV)
 n = 3: Pa
aschen-Se
erie (IR)
 n = 4: Bracket-Se
erie (IR)
 n = 5: Pf
fund-Serie
e (IR)
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
114
D
Definition
nsgemäß ist die Enerrgie eines freien Ele
ektrons poositiv, die eines
e
g
gebundene
en Elektro
ons negativv (Bindu
ungsenergie). Ein anggeregter Zustand
Z
e
entsprichtt einer höh
heren Ene
ergie (n > 1)) bzw. geringeren Biindungsene
ergie. Für die
I
Ionisation
n aus dem Grundzust
G
tand, also dem Über
rgang n = 1  n = , wird
w
folglich die
-18
E
Energie en
ntsprechend n = 1 alsso 13,6 eV
V = 2,18·10
0 J für d
das H-Atom
m benötigtt.
W
Was für die
d Emissio
on von Lich
ht gilt, giltt auch für
r die Absorrption: Die
es erklärtt u.a.
d
das ‚reverrse’ Absorptionsspek
ktrum dess Sonnenlic
chts hervoorgerufen durch
vvergleichssweise küh
hlere Gase
e in den äußeren Sch
hichten de r Sonne(n).
(( Fraunho
oferlinien)
E
E) Ergänz
zungen des
s Bohrsch
hen Modells durch Sommerfe
S
eld (1868-1951)
- Berücksiichtigung der
d Mitbe
ewegung de
es Kerns (reduziertte Masse des
d e-)
- Zulassen
n von Ellips
senbahnenn (vgl. Plan
neten) + re
elativistiscche Masse
e des e Aufheb
bung der l – Entartunng (d.h. Energien auch
h von l abhäängig)
 weitere
e Quanten
nzahl l = 0,, 1, .. n-1
 Erkläru
ung der Fe
einstrukturr,
z.B. gelbe „Na
atrium D-L
Linie“ bei ~ 590 nm  589,59
9 nm + 589
9,00 nm
A
Alle klassiischen Ato
ommodelle
e versagen
n bei größe
eren bzw. kkomplizierrteren Ato
omen,
n
neben den
n Spektrallinien könnnen u.a. die
e magnetis
schen Eigeenschafte
en nicht errklärt
w
werden.
F
F) Quante
enmechaniisches Atoommodell
D
Die Schrö
ödingergleiichung derr Quanten
ntheorie ‚liiefert’ fürr gebunden
ne
T
Teilchen (z.B.
(
e im Atom) imm
mer Lösungen/erlaubte Zustäände mit diskreten
E
Energien ( Quantiisierung). A
achteten Spektrallin
S
A
(u
und
Alle beoba
nien, von Atomen
a
auch Mole
ekülen) kön
nnen erkläärt werden
n. Die Besc
chreibung von Materie als We
ellen
fführt letz
ztlich nur zu
z Aufentthaltswahrrscheinlich
hkeiten im
m Raum ( Orbitale))
a
anstelle eines genau
u definiertten Ortes der betra
achteten E
Elektronen
n.
S
Sehr stark vereinfa
acht:
e als steh
hende Wellle im Pote
ential des Atomkern
ns. Es sind nur Welle
enlängen und
d
damit Zusstände erla
aubt, für d
die sich „k
konstruktive Interfeerenz“ erg
gibt, d.h. der
d
U
Umfang de
er Elektro
onenbahn m
muss ein ganzzahlige
g
es Vielfacches der Wellenläng
W
e sein:
WiB Phyysik
Hoeppe, 2013
115
Aus der relativistischen Theorie des Elektrons von Dirac (1902-1984) 1928 folgt
neben n und l eine weitere Quantenzahl s, welche den Spin = Eigendrehimpuls des
Elektrons beschreibt. Die Struktur des Periodensystems der Elemente spiegelt
sich in den Quantenzahlen n, l und s sowie der Ausrichtung der Drehimpulse im
Raum gekennzeichnet durch ml und ms wieder.
8.2
8.2.1
Kernphysik
Aufbau von Atomkernen
Atomhülle: Elektronen eAtomkern: Nukleonen:
- Protonen p+
- Neutronen n
me = 9,1095 10-31 kg
re  2,8 fm
mp = 1,6726 10-27 kg
mn = 1,6748 10-27 kg
rp  1,2 fm
rn  1,2 fm
Allgemeine Bezeichnung verschiedener Atomkerne, Nuklide:
A
Z
XN
Z
N
A
Protonenzahl = Ordnungszahl (= Elektronenzahl)
Neutronenzahl
= Z + N Nukleonenzahl = Massenzahl
Isotope = Nuklide eines chem. Elements
Bsp.: H  1H (Wasserstoff), 2H (Deuterium), 3H (Tritium)
Angabe der Massenzahl A mit Zeichen für chem. Element eindeutig.
Ausführlich:
1
1
H0
2
1
H1
3
1
H2
Massenzahl M (= Ar relative Atommasse) im Periodensystem der chem. Elemente ist
gewichteter Mittelwert entsprechend der natürlichen Häufigkeit. Bsp: Kohlenstoff:
M(C) = 98,90 %  M(12C) + 1,10%  M(13C) + 0,00%  M(14C) = 12,0107 [ u bzw. g/mol]
8.2.2
Radioaktiver Zerfall
Beobachtung: Atomkerne sind i.A. instabil, d.h. sie zerfallen
in andere Nuklide unter Abgabe von Strahlung
 Natürliche Radioaktivität:
 - Strahlung: He-Kerne 4He2+
 - Strahlung: Elektronen e - Strahlung: Photonen hoher Energie (MeV)
 Künstliche Radioaktivität:
Positronenstrahlung e+ , Protonenstrahlung p , Neutronenstrahlung n
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Hoeppe, 2013
116
A
A) Zerfallsgesetz
E
Ein (instab
biler) Kern
n zerfalle mit Wahrrscheinlich
hkeit , d.h
h. er habe eine mittlere
L
Lebensdau
uer  = 1/. Messbarr nur für große
g
Zahll N von Keernen 
A
Aktivität einer Stof
ffmenge/PProbe:
N (t )  N 0  e
 t
 N0  e
20
]


t
N [ 10
dN
N    N  dt
A:=
A N

Becquerrel : 1 Bq 
32
28
24
20
16
12
8
4
0
1 Ereigniss
s
T½ = 20
0
20
40
60
80
100
0
Zeit
N
Nach der Zeit t = T½ = ln2 isst die Hälf
fte der Ke
erne zerfaallen.
B
B) Zerfallsarten
 - Zerfa
all ( vorwie
egend bei schweren
n Kernen )
A
Z
K



A 4
Z 2
K   24He 2 
 - Zerfa
all ( Neutrron  Protton + Elekttron )
A
Z
K



K   e
A
Z 1
 - Zerfall ( eigenttlich Folge
ereaktion )
A
Z
K




K 
A
Z
B
Bsp.:
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117
8.3
Kernenergie und Massendefekt
Die freiwerdenden Energien beim Kernzerfall, Kernspaltung oder Kernfusion
entspricht freiwerdender Bindungsenergie. Diese sind bei Atomkernen so groß,
dass sie sich entsprechend E = mc² in einem messbaren Massendefekt äußern.
Bsp.: Sauerstoff ist (letztlich aus Wasserstoff) durch Kernfusionsreaktionen im
Inneren von Sternen entstanden. Die dabei freigewordene Energie ’fehlt’ dem
Sauerstoffkern, weshalb er leichter ’als erwartet’ ist:
16
O besteht aus
8 Protonen
8 Neutronen
8 Elektronen
Summe:
8 x mp =
8 x mn =
8 x me =
8 x 1,67262 10-27 kg
8 x 1,67482 10-27 kg
8 x 0,00091 10-27 kg
26,7868 10-27 kg
Die Masse von 16O ist jedoch 16,1313 u = 26,6395 10-27 kg, d.h. kleiner!
Entscheidend ist die Summe der Bindungsenergien bzw. Massendefekte aller
beteiligten Nukleonen. Betrachtet man den Massendefekt pro Nukleon, lässt sich
leicht ablesen durch welche Prozesse Energie frei werden kann:
Massendefekt / Nukleon [ MeV ]
0
-1
-2
-3
Kernfusion
-4
Energiegewinn durch Kernspaltung
-5
-6
-7
-8
-9
-10
0
50
100
150
200
250
Nukleonenzahl = Massenzahl A
In obiger (schematischer) Darstellung lässt sich auch zeigen:
- Die leichten Elemente bis ~ 56Fe entstehen unter Energiegewinn
durch Kernfusion in Sternen.
( Anwendung: Fusionsreaktor, Wasserstoffbombe )
- Die schwereren Elemente entstehen unter Energieverbrauch wahrscheinlich
hauptsächlich während Supernova-Explosionen. (Eine Fusion von sehr vielen Nukleonen
zu einem schweren Kern wäre denkbar, ist aber viel zu unwahrscheinlich.)
Umgekehrt wird durch Kernspaltung (in mittelschwere Nuklide) Energie frei.
( Anwendung: Atomkraftwerke, Atombombe )
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118