Translation ⇔ Rotation

klassische Experimentalphysik I
Prof. Ronning 2011-2012
Kinematik: geometrische Beschreibung eines Körpers und seiner Bewegung
Dynamik: Ursachen der Bewegungen
Translation: Bewegung entlang Bahnkurve
Rotation: Drehung um eine Achse
Bewegungen werden immer relativ zu einem Beobachter beschrieben; dieser deniert Koordinatensystem und Ursprung.
Newton'sche Axiome:
1. Trägheitsprinzip
X
F~i = ~0
⇒
~a = ~v˙ = ~0
i
p
F~ = d~
dt
~1 = −F~2
3. Reaktionsprinzip F
m ·m
Anziehung von Massen: F1,2 = γ 1 2 2 ~
re
r
2. Aktionsprinzip
Anziehung von Ladungen:
Actio = Reactio
Gravitationskonstante:γ
2
F1,2 = k Q1r·Q
~re
2
Coulomb-Konstante:
3
m
= 6.67 · 10−11 kg·s
2
k=
1
4πε0
m
≈ 8.988 · 109 VAs
Keplersche Gesetze:
1. Planetenbahnen sind ellipsenförmig mit der Sonne in einem Brennpunkt (=Schwerpunkt)
2. Radiusvektor überstreicht in der gleichen Zeit die gleiche Fläche (A1
( TT12 )2 = ( aa12 )3 mit T
~ · ~v
Leistung: P = F
3.
= Umlaufzeit,
a=groÿer
= A2 )
Halbachse
Ep (r0 ) + Ekin (r0 ) = Ep (r1 ) + Ekin (r1 ) = konstant
P
mi~ri
m1 ·m2
;
reduzierte Masse(n=2): µ =
~rs = Pi
m1 +m2
m
i
i
Energiesatz der Mechanik:
Massenschwerpunkt:
(~
p01 )2
(~
p02 )2
(~
p1 )2
(~
p2 )2
Q = innere Energie
2m1 + 2m2 = 2m1 + 2m2 + Q
Solange keine Kräfte von auÿen in ein System einwirken, bleiben die Gesamtenergie und der Gesamtimpuls gleich.
Stöÿe - Energiesatz:
Massedichte eines Volumenelements:
ρi =
h
i
kg
m3 ;
V =
X
Z
∆vi ;
M=
ρdV .
V
i
Braucht man sechs Koordinaten
der Körper sechs
(3 Orts- und 3 Rotationskoordinaten)
Freiheitsgrade.
Für den Schwerpunkt homogener Körper (konstante Dichte):
Drehmoment:
~ s = (~ris × F~ )
D
zur Beschreibung der Bewegung eines Körpers, so hat
~rs =
1
V
Z
rdV .
V
~ der angreifenden Kraft.)
(mit ~ris dem Radiusvektor vom Schwerpunkt zum Kraftangrispunkt,
F
Z
~ = I~
L
ω;
2
r⊥
ρdV ; Rotationsenergie: Erot = 12 Iω 2
V
Steinersche Satz: das Trägheitsmoment eines starren Körpers bezüglich einer beliebigen Drehachse lässt sich als
Winkelgeschwindigkeit:
ω
~;
Drehimpuls:
Trägheitsmoment:
I=
Summe des Trägheitsmoments eines Massepunktes mit der Masse des Körpers am Schwerpunkt
und dem Trägheitsmoment bezüglich einer zur Drehachse parallenen Achse bestimmen:
IB = IA + a2 M (a der Abstand vom Schwerpunkt zur Drehachse,
Achse, um die sich der Körper dreht.)
A
Drehachse im Schwerpunkt,
EGesamt = Ekin + Erot + Epot
Translation ⇔ Rotation
lineare Bewegung
Rotationsbewegung
x, ~r
Geschwindigkeit ~
v = ~r˙
Beschleunigung ~
a = ~v˙ = ~r¨
Masse m
~ = d~p
Kraft F
dt
lineare Impuls p
~ = m · ~v
1
2
Translationsenergie Ekin = mv
2
Drehwinkel
Ortskoordinate
1
ϕ
Winkelgeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
ω = ϕ̇
ω̇ = ϕ̈
I
~
~
Drehmoment D = ~
r × F~ = ddtL
~ =I ·ω
Drehimpuls L
~
1
2
Rotationsenergie Erot = Iω
2
Trägheitsmoment
B
zu
A
parallele
klassische Experimentalphysik I
Nutation:
Prof. Ronning 2011-2012
Bewegung der Rotationsachse ei-
nes Kreisels um die Achse des Drehimpulses.
Kreisel: Starrer Körper, der sich um eine freie
Achse dreht und dessen Achse in einem Punkt
unterstützt wird.
Symmetrische Kreisel: Ia = Ib 6= Ic (wobei a,
b, c
entsprechend drei Trägheitsachsen des Körpers sind).
Kräftefreier
Kreisel: ohne Schwerkraft und
~ aussen
andere Einüsse (D
Schwerer
Kreisel: mit Schwerkraft und Un-
terstützungspunkt
Nutationswinkel
Präzession:
Kräfte)
~ = const.).
= 0, L
~ =
D
6=
Schwerpunkt.
ω⊥ I⊥
ωk Ik ;
α: tan(α) =
~
dL
dt
~
dL
dt
Nutationsfrequenz:
~
=ω
~ präz. × L
ωpräz. =
r·mg
ωL
ω
~ = ω⊥~e⊥ +ωk~ek = ω
~ N +~
ωA =
1
eL
I⊥ L~
+ ωk
I⊥ −Ik
I⊥
~ek
(Richtungsänderung der Achse eines rotierenden Körpers durch äuÿere
Im allgemeinen hat man sowohl Nutation als auch Präzession.
Inertialsysteme: Bezugssysteme(S und S 0 ), in denen das Trägheitsprinzip gilt, d.h. ein Körper, auf den keine äuÿere
Kraft wirkt, ruht oder bewegt sich gleichförmig geradlinig relativ zu diesem Inertialsystem.
Bewegen sich dabei beide Koordinatensysteme mit konstanter Geschwindigkeit
0
~r = ~r − ~u · t
und die Transformation heiÿt
,
F~ 0 = F~
,
~u
gegeneinander, so gilt:
0
t =t
Galilei-Transformation (die Grundgesetze der Physik sind bei einer Galilei-Transformation
invariant.)
geradlinig beschleunigt, so muss der Beobachter im beschleuTrägheitskraft einführen; dies ist aber eine Scheinkraft.
Wird eines der Bezugssysteme relativ zum anderen
nigten System zur Beschreibung eine
Rotiert das Koordinatensystem
ω
~,
dann:
O0
um den Ursprung des Koordinatensystems
0
~v = ~v + (~
ω × ~r)
mit Coriolisbeschleunigung:
~aC = 2(~v 0 × ω
~)
O mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
0
~a = ~a + ~aC + ~aZF
und Zentrifugalbeschleunigung:
~aZF = ω
~ × (~r × ω
~ );
welche beide wiederum Komponenten von Schein- bzw. Trägheitskräften sind.
(Lichtgeschwindigkeit ist unabhängig von der Relativgeschwindigkeit zwischen Beobachter und Lichtquelle;
c0 = 299 792 458 m
s )
⇒
Für zwei sich gegeneinander (in x-Richtung) mit der Geschwindigkeit
für die Beobachtung von Objekten mit groÿer Geschwindigkeit (>
t − vx2
t0 = q c
2
1 − vc2
x − vt
x0 = q
2
1 − vc2
v
c
10 ) die
bewegende Systeme
O
und
Lorentz-Transformation:
y0 = y
O0
ergibt sich
z0 = z
Für jeden Beobachter ist die Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse an verschiedenen Raumpunkten abhängig vom verwendeten Bezugssystem (vx
6= vx0 ).
c · t Weltlinie
A
Minkowski-Diagramm:
Zeitachse wird mit
c
WeltlinieLicht
multipliziert, so dass beide Achsen die gleiche Dimension
haben.
Längenkontraktion: Die bewegte Länge erscheint dem ruhenden Beobachter
kürzer, als wenn die selbe Länge relativ zu ihm ruhte.
2
◦
45
A
x
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Zeitdilatation: Bewegte Uhren laufen langsamer (∆t0 = γ · ∆t).
Da
vmax = c,
sind nur bestimmte Ereignisse ursächlich miteinander verknüpft.
Schwingung:
∆t =
y
1
d2 x
dt2
+ ω0 2 x = 0
mit Lösung: x(t) = a · cos(ω0 t + ϕ).
(a = Amplitude, ω0 = Eigenfrequenz,
2π
Schwingungsdauer)
ϕ = Phase, T = ω
0
harmonischer Oszillator
ϕ
ω0
.5
x
0
1π
-.5
2π
3π
4π
5π
-1
Eine
Überlagerung
harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz ergibt eine neue mit gleicher Frequenz, aber
anderer Amplitude und Phasenverschiebung.
Überlagerung zweier Schwingungen gleicher Amplitude, aber unterschiedlicher Frequenz ergibt:
x(t) = 2a cos
ω1 −ω2
t
2
cos
ω1 +ω2
t .
2
Fourier: Jede periodische Funktion kann in Sinus- und Kosinusfunktionen zerlegt werden.
Überlagern sich zwei Schwingungen
bei
ω1
ω2
∈Q
x = a cos(ω1 t + ϕ1 )
und
y = b cos(ω2 t + ϕ2 ) senkrecht zueinander,
−a ≤ x ≤ a, −b ≤ y ≤ b
Lissajous-Figuren; sonst Bahnkurven, welche das gesamte Rechteck
so entstehen
ausfüllen.
Gedämpfter Oszillator:
2
ẍ + 2γ ẋ +
h √
√ω20 x 2=i0 (z.B. in Flüssigkeit: Stoke'sche Reibungskraft FR = −6πηrẋ)
2
2
x(t) = e−γt c1 e γ −ω0 t + c2 e− γ −ω0 t ; wobei das Verhältnis von ωγ0 entscheidend ist:
Schwingfall (γ < ω0 ),
Kriechfall (γ > ω0 ),
aperiodischer Grenzfall (γ = ω0 ).
Bewegungsgleichung:
Erzwungene Schwingungen:
ẍ + 2γ ẋ + ω0 2 x = K cos(ωt)
ω
gedämpften Oszillators,
x(t) = A1 e−γt cos(ω1 t + ϕ1 ) + A2 cos(ωt + ϕ) (ω1 = ω0 2 − γ 2 Frequenz des
ω
Frequenz), mit maÿgeblich von dem Verhältnis
ω0 und γ bestimmten ϕ und A1,2 .
p
mit Lösung
anregende
mit Lösungen:
gekoppelte Schwingungen:
Die gekoppelte Schwingung zweier harmonischer Schwinger lässt sich durch Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen darstellen.
⇒
Normal- / Fundamentalschwingungen !
Normalschwingungen kann man anregen, indem man die gekoppelten Schwinger in Phase oder gegenphasig schwingen
lässt.
Wellen:
Sehr viele gekoppelte Schwinger führen zur Möglichkeit der Ausbreitung von Wellen. Diese sind sich selbst erhaltende
Störungen in einem Trägermedium und von der Kopplung der einzelnen Schwinger bestimmt:
der Periodizität der Welle gilt:
ergibt:
∂2
1 ∂2
−
∂x2
v 2 ∂t2
Ψ(x) = Ψ(x0 )
mit
x0 = x − vt;
woraus sich die
Ψ = f (x, t).
Aufgrund
eindimensionale Wellengleichung
Ψ = 0.
(d'Alembert, 1747: Physikalische Wellen aller Art können als lineare partielle Dierentialgleichung zweiter Ordnung deniert
werden.)
Ψ(x, t) = A sin(k(x − vt) + ε) = A sin(kx − ωt + ε)
harmonische Wellen:
(räumliche Periode)
(zeitliche Periode)
Wellenlänge
Frequenz
Ausbreitungsgeschwindigkeit
Wellenzahl
Winkelgeschwindigkeit
Schwingungsdauer
In diesem Fall ergibt sich:
vP h =
λ
ν
v
k
ω
τ
ω
k
Anfangsphase
ε
= τ1
Phase (-nwinkel)
ϕ
= kx − ωt
∂ϕ
=ν·λ
∂x
∂t |x
Phasengeschwindigkeit
v
=
|
=
= 2π
ϕ
P
h
∂t
∂ϕ
λ
∂x |t
= 2πν
= λv
= νλ (Dispersionsrelation ! ⇔ Phasengeschwindigkeit abhängig von der Wellenlänge).
3
klassische Experimentalphysik I
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1
∆z ∼ ∆ω
⇒
dvP h
= vP h − λ
dλ
Überlagern sich Wellen nur im Intervall
Gruppengeschwindigkeit:
dω
dk
vG =
Wellengruppe oder Wellenpaket.
(ohne Dispersion:
dvP h
= 0 → vG = vP h ).
dλ
a) ebene Wellen: einzige 3D-Wellen, die sich fortpanzen, ohne ihr Prol zu ändern.
Punkte gleicher Phase bilden eine Ebene, die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung ist.
~k · ~r = konst.
b) Kugelwellen: Punktförmiger Erreger
Ψ(r, t) =
A
r
Phasenächen = Kugelächen
sin(ωt − kr)
⊥~r
1
r ab
Amplitude nimmt mit
c) Wasserwellen: an Oberäche Mischung aus Longitudinal- und Transversalwellen (⇒ Oberächenspannung
und Schwerkraft).
v2 =
fλ
2π
+
2πσ
ρλ
2πh
λ
tanh
σ =Oberächenspannung
ρ=Flüssigkeitsdichte
h= Flüssigkeitshöhe
tiefes Wasser (h λ ⇒ tanh
2πh
≈ 1 ⇒ v 2 = f2πλ + 2πσ
λ
ρλ ):
zweite Summand vernachlässigbar)
λ > 10cm (⇒
λ < 10cm (⇒ 1. Summand vernachlässigbar)
2πh
√
≈ λ ⇒ v 2 = gh):
seichtes Wasser (h λ ⇒ tanh 2πh
λ
am Strand: v wird kleiner, A gröÿer ⇒ Brechen der Wellen.
Schwerewellen:
Rippelwellen:
d) Solitäre Wellen: Dispersion und nicht-lineare Eekte gleichen sich aus.
Karteweg-de-Vries-Gleichung:
⇒ Ψ = Ψ0 sech2
q
3Ψ0
4h3 (x
∂Ψ
∂t+
v0 1 +
− At)
3Φ
2 h
∂h
∂x
3
+ 61 v0 h ∂∂xΨ3 = 0
mit
A = v0 1 +
1 Ψ0
2 h .
Superpositionsprinzip: Auch die Summe zweier Lösungen der Wellengleichung ist Lösung der Wellengleichung (Interferenz!).
Kohärenz: feste Phasenbeziehung zwischen zwei interferierenden Wellenzügen (räumlich, zeitlich).
Kohärenzlänge: Länge eines ungestörten Wellenzuges zweischen zwei Phasensprüngen.
Huygen'sche Prinzip:
Alle Punkte einer Welle können als Ausgangspunkt von Elementarwellen (= Kugelwellen) aufgefasst werden. Die Einhüllende dieser überlagerten Elementarwellen ergibt die fortlaufende Welle(-nfront). Ohne Begrenzung breiten sich
Wellen in isotropen Medien geradlinig aus.
α1
h1
Brechung:
α2
stehende Wellen:
h2
sin(α1 )
sin(α2 )
=
h1 vP h1
h2 vP h2 | Reexion: Einfallswinkel = Ausfallswinkel
Ψ(z, t) = 2A cos(ωt) cos(kz);
α1 = α2
ortsabhängige Amplitude, die sich zeitlich ändert
⇒
α1
α2
räumlich statio-
näres Schwingugsmuster, welches sich zeitlich ändert. Entsteht aus der geeigneten Überlagerung laufender Wellen.
Doppler-Eekt: relativ zum Empfänger bewegte Quelle ⇒ Änderung der Wellenlänge λ = λ0 − vQ T , also
h
ν = ν0 vPvhP−v
= ν0
Q
1
(Dopplerverschiebung).
v
1− v Q
Ph
1
(Für groÿe vQ : λ(α) =
ν0 (λP h − vQ cos(α)) und vP h
= vQ ⇒
Kopfwelle,
vP h < vQ ⇒
Mach'scher Kegel.)
Atome schwingen mit ihrer mittleren kinetischen Energie pro Freiheitsgrad um ihre Ruhelage. Die mittlere kinetische
Energie einzelner Atome:
Ekin = 12 kT ,
mit
T
Temperatur [Kelvin],
J = 8, 8 · 10−5 eV
k = 1, 38 · 10−23 K
K
4
Boltzmannkonstante.
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Feste Körper kann man elastisch oder plastisch verformen (Scherung,
Biegung, Drillung, Stauchung, Dehnung).
|
{z
}|
{z
}
Volumenänderung
N Formänderung
9 N
, wenn ∆L L, Elastizitätsmodul E
(
E
=
71
·
10
)
.
F = E · q · ∆L
Aluminium
m2 Mit der Zugspannung
L
m2
F
∆L
σ = q mit q der Querschnittsäche und ε = L ergibt sich: σ = E · ε.
2
2
Dabei tritt gleichzeitig eine Veränderung der Querdimension auf, so dass gilt: ∆V = (d + ∆d) (L + ∆L) − d L, was
∆V
σ
∆d L
sich mit µ = −
d ∆L (Poisson-Zahl) näherungsweise vereinfachen lässt zu: V = E (1 − 2µ).
Dehnung:
Scherung: für isotrope Körper gilt bei tangential angreifender Kraft: Schubspannung
oder Torsionsmodul,
α
= Winkel relativ zum Ausgangszustand,
A
~
~τ = F
A = G · α (G = Schub-, Scher= 1 + µ.
E
= Angrisäche) und
2G
Biegung: Neutrale Faser erfährt keine Längenänderung (z0
= 0); oberhalb benötigt man Zugspannung(σ ), unterhalb
E·∆L
Kompressionsdruck(p), welche beide ungefähr gleich groÿ sind (p ≈ −σ ≈ −
= −|z| Er ). Für das Drehmoment der
z
3
E·d ·b
L3
wirkenden Kraft gilt dabei: D =
12r ; und für die Durchbiegung dann: s = −4 E·d3 ·b F0 .
Hydrostatik:
Ideale Flüssigkeit: keine Reibungs- und Oberächeneekte; Moleküle sind frei verschiebbar (Schubmodul G=0). Daher
steht die Oberäche immer senkrecht zu einer auf sie wirkenden Kraft.
(Zylinder mit Flüssigkeit in Rotation:
z(r) =
ω2 2
2g r
Druck: p =
FG = m · g , FZ = m · ω 2 · r
und
+ z0
für die Höhe der Flüssigkeit abhängig von der Entfernung
F⊥
A
W =
F
A ds =
A
(F ) ds =
p dV ;
=
ω 2 ·r
g
=
dz
dr , woraus sich
zur Rotationsachse ergibt.)
und es gilt Energieerhaltung:
ist konstant (da Flüssigkeiten stark inkompressibel sind
Kompressibilität:
r
Fz
FG
P a = mN2 (skalareZ Gröÿe) ist eine
eines thermodynamischen Systems (wie Temperatur
Z Zustandsgröÿe
Z
und Volumen). Die Arbeit ist:
p1 = p2 ⇒ P
tan(α) =
κ
Pa
−1
κ=
:
− V1
∂V
∂p
T
und Kompressionsmodul
p1 dV1 = p2 dV2 ⇔
⇒ dV1 ≈ dV2 ).
K=
1
κ.
(κWasser
≈ 5 · 10−10 P1a )
p(z) = ρ · g · (H − z)
(nicht Form- oder Grundächenabhängig!)
FA = mF l · g
mit mF l der Masse der verdrängten Flüssigkeit.
= Fg − FA = (mk − mF l ) · ~g = (ρk − ρF l ) · V · ~g
(archimedisches Prinzip (∼ 250 v. Chr.))
Schweredruck / hydrostatischer Druck:
Auftriebskraft:
Auftrieb:
FG 0
Oberächenspannung:
σ
= spezischer Oberächenenergie
(Seifenblasen:
4π
3
∆V = ∆
ε=
∆W
∆A
J
.
m2
r3 = 4πr2 ∆r
und
σ=
∆W
∆A
=
p∆V
∆A
=
p4πr 2 ∆r
2·2·4πr∆r
=
pr
4
=⇒ p(r) =
4σ
.)
r
Grenzächen:
Grenzächenspannung
σik
εik ) ist die Energie,
1m2 zu vergröÿern.
(spezische Grenzächenenergie:
um die Grenzäche der Phase
i
gegenüber der Phase
k
um
die notwendig ist,
σ1,3
Für stabile Grenzächen gilt:
1. Flüssigkeit - Gas:
3 Gas
εik > 0
2. Flüssigkeit - Flüssigkeit:
3. Feststo - Flüssigkeit:
εik > 0
εik
1 Festkörper
σ1,2
Am Berührungspunkt der drei Phasen stellen sich alle Kräfte so ein, dass
P~
σ
−σ
F = 0. Also gilt: σ1,2 − σ1,3 + σ2,3 cos(ϕ) = 0 ⇐⇒ cos(ϕ) = 1,3σ2,3 1,2 ; wobei
deniert ist:
Ist
σ2,3
ϕ
beliebig
2 Flüssigkeit
|σ1,3 − σ1,2 | ≤ σ2,3 .
σ1,3 > σ1,2
⇒ cos(ϕ) > 0 ⇒ ϕ < 90◦
- konkav gekrümmte Oberäche
σ1,3 < σ1,2
(vgl. Zeichnung)
- energetisch günstiger, wenn Fest-Flüssig Grenzäche zunimmt gegenüber der Fest-Gas Grenzäche
◦
⇒ cos(ϕ) < 0 ⇒ ϕ > 90
stospezisch
- konvex gekrümmte Grenzäche
Kapillarität:
z }| {
2σ cos(ϕ) 1
Fgesamt = 2σπr cos(ϕ) = ρπr hg = FGravitation ⇔ h =
·
ρg
r
2
(Oberächenspannung: σ; Steighöhe: h; Erdbeschleunigung: g; Dichte: ρ; Kapillarradius: r; Flüssigkeitsspezischer Winkel der Tangente des Flüssigkeitsspiegels am Berührungspunkt zur Gefäÿwand: ϕ)
Gilt
σ1,3 > σ1,2 ,
so ist die resultierende Kraft nach oben gerichtet; gilt
5
σ1,3 < σ1,2 ,
so ist sie nach unten gerichtet.
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Gase
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:
; (T konstant!)
p ·V = konst.
∂V
1
=
;
(
T
konstant!)
∂p
p
T
ρ0 g !
−
h
p0
Höhenformel: p(h) = p0 e
; (T konstant;
Boyle-Mariottesches Gesetz:
Kompressibilität:
κ = − V1
ρ
ansonsten p0 (T )!)
0
Das Archimedische Prinzip gilt auch für Gase, nur dass der Druck exponentiell höhenabhängig ist, so dass sich ein Gleichgewicht
barometrische
einstellen wird (⇒ Ballonfahrt).
Hydrodynamik / Aerodynamik:
•
laminare Strömungen: - Reibungskraft
FR beschleunigenden Kräften.
- Stromfäden/-schichten bewegen sich nebeneinander, ohne sich zu durchmischen.
•
turbulente Strömungen: - Reibungskraft
FR beschleunigenden Kräften.
- Werden durch die Reibung der Randschichten einer Flüssigkeit (eines Gases) und
den begrenzenden Wänden verursacht.
Strömungen durch ein sich verengendes Rohr: Strömungsgeschwindigkeit steigt (gröÿere kinetische Energie), statischer Druck
nimmt ab (kleinere potentielle Energie).
p
|{z}
Bei Flüssigkeiten ergibt sich dann die Bernoulli-Gleichung:
+
statischer Druck
1 2
ρv = konst. := p0 .
|2 {z }
Staudruck
dv
Bewegung einer Platte durch eine Flüssigkeit: Ausbildung eines Geschwindigkeitsgradienten dx , so dass die Reibungskraft sich
dv
wie folgt ergibt: F = ηA| dx |. (Geschwindigkeit: v ; zu v parallele Grenzäche: A; zu A senkrechte Richtung: x; Viskosität (innere Reibung,
h
i
dynamische Zähigkeit): η
Ns
m2
= Pa · s
.)
V
laminare Strömung durch ein Rohr aufgrund einer Druckdierenz: Hagen-Poiseuille-Gesetz: t
dierenz auf L: (p1 − p2 ); Durchuss:
V
t
=
π(p1 − p2 ) 4
R . (Länge: L; Druck8ηL
; Radius: R; dabei bildet sich ein rotationsparaboloidisches Geschwindigkeitsprol aus.)
Wärmelehre
:
T [◦ C, ◦ K, ◦ F ], 0◦ C = 273.15◦ K =
1
E kin = f 2 kB T (Freiheitsgrade: f ; Boltzmann-Konstante: kB ; Temperatur: T ; mittlere kinetische Energie: Ekin .)
Gleichverteilungsgesetz: Energie verteilt sich durch Stöÿe gleichmäÿig auf alle Freiheitsgrade (nach entsprechender Zeit).
ideales Gas:
p · V = N kB T (Druck: p; Volumen: V ; Temperatur: T ; Boltzmann-Konstante:
kB ; Molekülanzahl: N .)
J ∆Q = ∆W = |{z}
C M ∆T
,C in mol·K .
Wärmemenge:
spezische Wärme / Wärmekapazität
Zustandsgröÿen:
⇔
1. Druck
(isobar
2. Volumen
(isochor
3. Temperatur
(isotherm
( 4.
Druck konstant)
⇔
Volumen konstant)
⇔
Temperatur konstant)
chemische Zusammensetzung der Moleküle)
Entropie (S ): quantitatives Maÿ für die Unordnung;
Enthalpie (H ):
H = U dV ;
erster Hauptsatz der Thermodynamik:
Dulong-Petit-Gesetz:
CV = 3NA kB ≈ 25 molJ·K .
∆Q = ∆U − ∆W (Temperaturdierenz: ∆Q; innere Energie: ∆U ; geleistete Arbeit: ∆W .)
zweiter Hauptsatz der Thermodynamik: Die Entropie eines abgeschlossenen Systems wird nie von alleine kleiner.
6
32◦ F