Wahrscheinlichkeitsaufgaben Übung zur KA

LudwigWilhelmGymnasium
Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. Ein Aufnahmetest besteht aus 7 Fragen mit jeweils 3 Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine
richtig ist. X sei die Zufallsgröße, die die Anzahl der richtig beantworteten Fragen beschreibt.
a) Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung tabellarisch und graphisch dar. Achte darauf, dass die dargestellten Flächen mit ihrem Inhalt der Wahrscheinlichkeit entsprechen.
b) Berechne den Erwartungswert µ dieser Verteilung.
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein Kandidat den Test, wenn er auf gut Glück jeweils eine
Antwort ankreuzt? Der Test gilt als bestanden, wenn mindestens 4 Fragen richtig beantwortet sind.
2. Eine Maschine befüllt Flaschen. In 5% der Fälle wird die Normfüllmenge unterschritten. Ein Großkunde
führt eine Stichprobe durch, indem er 5000 Flaschen prüft.
a) Welche Anzahl von unterfüllten Flaschen wird bei einer solchen Stichprobe im Durchschnitt erwartet?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet der Kunde höchstens 250 unterfüllte Flaschen.
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet er 250 oder mehr unterfüllte Flaschen?
© Lippert Mittwoch, 16. November 2011
3. In einer Urne befinden sich 8 blaue und 4 rote Kugeln.
a) Es werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden
Ereignisse:
A: Es werden 2 gleichfarbige Kugeln gezogen.
B: Es wird höchstens eine blaue Kugel gezogen.
b) Es werden alle Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man zuerst
zuerst alle Kugeln einer Farbe und dann die Kugeln der anderen Farbe?
c) Es werden 10 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse:
C: Es werden genau 7 blaue Kugeln gezogen.
D: Es werden mindestens 8 blaue Kugeln gezogen.
d) Christian möchte mit der Urne Geld für eine Klassenreise einnehmen. Dazu plant er folgendes Spiel:
Für einen Einsatz von 2 $ werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen aus der Urne gezogen. Ist darunter
mindestens eine rote Kugel, wird der doppelte Einsatz ausgezahlt. Prüfe Christians Plan zur Aufbesserung der Klassenkasse.
e) Wenn 200 Leute jeweils einmal mitspielen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Christian einen
Verlust macht? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 50 $ einzunehmen? Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit mehr als 50 $ einzunehmen?
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LudwigWilhelmGymnasium
Lö
ng
a) n = 7; p =
su
1. Bernoulliexperiment
1
; X =k
3
1
2
3
4
5
6
7
P(X)
0,0585
0,205
0,307
0,256
0,128
0,0384
0,0064
0,0005
Z
-1,872
-1,069
-0,267
0,5347
1,3369
2,139
2,9411
3,7432
P(X)σ
0,0729
0,2556
0,3827
0,3192
0,1596
0,0479
0,008
0,0006
0
b) µ = np =
1
2
3
4
5
0,0005
0,05
0,0064
0,10
0,0384
0,15
0,0585
0,20
0,205
0,25
0,128
0,30
0,307
0,35
0,256
0
1 cm ≙ 0,05
X
6
7
1 cm ≙ 1
7
≈ 2,33
3
c) mindestens vier richtig: 4, 5, 6 oder 7 richtig.
1
P(k ≥ 4) =1− P(k ≤ 3) =1− F(7, ;3) ≈1−0,827 = 0,173
3
© Lippert Mittwoch, 16. November 2011
Man besteht den Test bei Unkenntnis der Antworten mit einer Wahrscheinlichkeit von 17,3%.
2. n = 5000; p = 0,05
a) µ = np = 250
Man kann mit 250 unterfüllten Flaschen rechnen.
b) P(k ≤ 250) ≈ 51,7%
c) P(k ≥ 250) =1−P(k ≤ 249) ≈ 50,91%
Anmerkung:
P(k = 250) ≈ 2,59% ist bei beiden Aufgaben Summand, deshalb ist die Summe >100%.
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Lö
su
3.
a)
ng
2 7 1 3 14 1
P(A) = P(„BB“)+ P(„RR“) = ⋅ + ⋅ = + ≈ 51,5%
3 11 3 11 33 11
14
P(B) =1− P(„BB“) =1− ≈ 57,6%
33
b)
P(b) = P(„BBBBBBBB
 RRRR
 “)+ P(„RRRR
 BBBBBBBB
 “)
8
4
4
8
8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
4⋅3⋅2⋅1 8
⋅1⋅1⋅1⋅1+
⋅1
12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5
12⋅11⋅10⋅9
40320
24
=
+
≈ 0,4%
19958400 11880
=
c) Treffer ist blaue Kugel (Es liegt eine Bernoullikette vor):
n =10; k = 7; p =
2
3
2
P(C) = B(10, ,7) ≈ 26,0%
3
n =10; k ≥ 8; p =
2
3
2
P(D) =1− F(10, ,7) ≈1−70,086 ≈ 29,9%
3
d) Mindestens eine rote Kugel bedeutet „NICHT zweimal blaue Kugel“
P(„mind. eine R“) =1− P(„BB“) ≈ 57,6% (siehe oben)
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 57,6% verliert er 2$. Er wird bei vielen Spielen also Verlust machen.
e)
n = 200; p = 0,576; k ≥101
P(k ≥101) =1− F(k ≤100) ≈1−1,8% = 98,2%
© Lippert Mittwoch, 16. November 2011
Er macht ziemlich sicher Verlust (98,2% wahrscheinlich).
Für 50$ Gewinn muss er 113 Spiele für sich verbuchen (226 $) bei 87 verlorenen Spielen (174 $ Verlust), ergibt 226 $ – 174 $ = 52 $
n = 200; p = 0,576; k ≤ 87
F(k ≤ 87) ≈ 0,0000416 ≈ 0%
Es ist unwahrscheinlich mindestens 50$ einzunehmen.
Mehr als 50$ einzunehmen ist damit auch unwahrscheinlich (0%).
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