Produktdifferenzierung

Varianten-, Standort- und Qualitätswettbewerb
drei Arten von Differenzierung eines Produkts werden behandelt:
I
unterschiedliche Varianten eines gleichartigen Produkts (Red
Bull oder Power Horse oder Shark, unterschiedliche Marken
von Mittelklasseautos)
I
unterschiedliche Standorte eines gleichen Produkts (verfügbar
im Geschäft in der Straße, oder einige Gehminuten weiter weg,
oder eine Fahrt mit einem Verkehrsmittel entfernt usw.)
I
unterschiedliche Qualitäten eines gleichartigen Produkts
(Mercedes oder Dacia, Wein, Medion- oder
Harman/Kardon-Stereoanlage)
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Horizontal und Vertikal
Varianten und Standorte können beide als horizontale
Produktdifferenzierung interpretiert werden: wie weit ist ein
Produkt vom Standort oder von den Vorlieben eines Konsumenten
entfernt, das ist für verschiedene Individuen unterschiedlich
hohe Qualität ist aber bei gleichem Preis immer besser als niedrige;
Produkte mit unterschiedlichen Qualitäten werden als vertikal
differenziert bezeichnet
im Modell herrscht also Einigkeit über die Qualitäten, aber die
Konsumenten haben unterschiedliche Vorlieben für den Kaufort
bzw. für die Variante (Geschmack, Farbe, Design, usw.)
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Horizontal und Vertikal Gleichzeitig
stilisiertes Beispiel für gleichzeitige horizontale und vertikale
Produktdifferenzierung: die Marken innerhalb einer Klasse sind
Geschmackssache, aber jeder findet eine höhere Klasse besser als
eine nierigere (bei gleichen Preisen)
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Straßendorf von Hotelling
einfache Darstellung der horizontalen P. als normierte Linie;
eindimensionaler Produktraum:
ein Konsument wird beschrieben durch seinen Standort h entlang
der Straße; der Standort stellt seine höchste Präferenz dar
hinsichtlich der Produkteigenschaft, wiederum mit zwei
Interpretationsmöglichkeiten:
I
I
geographisch: h wohnt in h
Produktraum (mit einer Eigenschaft, eindimensional): h will
am liebsten ein Getränk mit genau dieser Menge von Süßstoff
im Modell wird wieder die zwei-periodige Struktur auf die
Fragestellung(en) nach dem(/n) Resultat(en) verwendet: in der
ersten Stufe positionieren sich die Unternehmen, in der zweiten
wählen sie den Preis
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Angebotsseite
es gibt 2 Anbieter die durch die Standorte a1 , a2 beschrieben
werden
U1 liegt per Annahme links von U2:
0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ 1
Anbieter sind homogen wenn a1 = a2 , daher normalerweise a1 < a2
Kosten homogen: c1 = c2 = c
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Nachfrageseite
Konsumentenstandort ist h, daher ist die Distanz zu den
angebotenen Gütern
|h − a1 | zu a1 ,
|a2 − h| zu a2
die Weg-/Transportkosten bzw. der Nutzeneinbußen durch
Entfernung im Produktraum seien quadratisch:
t(ai − h)2
t ist der Transportkostensatz“ oder der
”
Heterogenitätsparameter“, also eine Bewertung: wie stark fällt die
”
Distanz ins Gewicht?
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Anmerkungen
quadratische Funktion der Kosten bzgl. der Distanz bedeutet, dass
eine zusätzliche Entfernungseinheit“ (Kilometer, Produktraum)
”
mehr kostet, je weiter man von h entfernt ist
das macht laut PW weniger Sinn wenn es um Transportkosten geht
(aber vielleicht zunehmende Grenz-Opportunitätskosten der Zeit?);
zunehmende Nutzeneinbußen wegen schlechterer Übereinstimmung
von Vorliebe und Produkteigenschaft aber vorstellbar
wenn a1 = a2 oder t = 0 dann sind die Produkte vollständig
homogen (d.h. Bertrand-Wettbewerb ist als Spezialfall abgebildet)
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Verteilung der Konsumenten
als einfache Anwendung seien die Konsumenten gleichverteilt über
das Dorf, mit normierter Bevölkerungsgröße von 1:
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Beispielverteilungen bei Zwei Produkteigenschaften
am Beispiel eines zweidimensionalen Produktraums könnten die
Vorlieben verschiedene Verteilungen haben:
die Gleichverteilung entspricht also diffusen Präferenzen“
”
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Nachfrageseite
fortgesetzt
jeder Konsument kauft genau eine Einheit des differenzierten
Gutes, entweder Gut 1 oder Gut 2; er entscheidet darüber auf
Basis seines effektiven Preises“, also Preis plus Transportkosten,
”
und nimmt Gut 1 wenn dessen e. P. niedriger (oder gleich) ist:
p1 + t(a1 − h)2 ≤ p2 + t(a2 − h)2
h kauft also bei U1 wenn (Auflösen der vorherigen Zeile)
h≤
a2 + a1
p2 − p1
+
= h∗
2
2t(a2 − a1 )
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Nachfrageseite
fortgesetzt 2
der Konsument h∗ ist der indifferente Konsument; für ihn haben
beide Güter den gleichen effektiven Preis; Nachfrage und h∗
grapisch:
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Nachfragefunktionen
Markennachfragefunktion“ für U1:
”
x1 (p1 , p2 , a1 , a2 ) = h∗ = |{z}
ā +
=
a2 +a1
2
1
2t∆a
| {z }
·(p2 − p1 )
(∆a=a2 −a1 )
U2 bekommt den Rest der auf 1 normierten Gesamtnachfrage:
1 = x1 + x2 ⇔
x2 (p1 , p2 , a1 , a2 ) = 1 − x1 (p1 , p2 , a1 , a2 )
= 1 − h∗
= (1 − ā) −
1
(p2 − p1 )
2t∆a
zur Erinnerung: die Marktnachfrage ist konstant,
x1 (p1 , p2 , a1 , a2 ) + x2 (p1 , p2 , a1 , a2 ) = 1, hängt also weder von den
Preisen noch von den Standorten ab
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Interpretation
natürlicher Kundenstamm“: U1 hat ā Kunden wenn die Preise
”
gleich sind; setzt sich zusammen aus Nachfrage aus dem
Hinterland“ und den Konsumenten die näher bei U1 sind als bei
”
U2
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Lösung der Zweiten Stufe
Suche nach dem Schnittpunkt der Reaktionsfunktionen bzgl. der
Preise; Reaktionsfunktionen kommen aus FOC der
Gewinnfunktionen:
p2 − p1
Π1 = (p1 − c)x1 = (p1 − c) ā +
2t∆a
p1 − p2
Π2 = (p2 − c)x2 = (p2 − c) 1 − ā +
2t∆a
die ersten Ableitungen liefern
p2 + c + 2tā∆a
p1
2
p1 + c + 2t(1 − ā)∆a
p2R (p1 ) = arg max Π2 =
p2
2
R. sind positiv geneigt: bei einer Erhöhung des Konkurrenzpreises
von einer kleinen Einheit wird der eigene Preis um eine halbe
Geldeinheit erhöht, ∂p1 /∂p2 = 1/2
p1R (p2 ) = arg max Π1 =
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Zweite Stufe bei Randpositionierung
wenn sich die Unternehmen an den Rändern positionieren, also
a1 = 0 und a2 = 1, dann werden die R. zu (∆a = 1, ā = 1/2)
p2 + c + 2t
2
p1 + c + 2t
p2R (p1 ) = arg max Π2 =
p2
2
die Abbildung zeigt diese R. und Gleichgewicht:
p1R (p2 ) = arg max Π1 =
p1
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Ergebnisse auf der Zweiten Stufe
durch Einsetzen erhält man die Lösungen (Superskript B wegen
Preissetzungssituation):
2
p1B = c + t(1 + ā)∆a
3
2
p2B = c + t(2 − ā)∆a
3
1
B
x1 = (1 + ā) ≥ 0
3
1
x2B = (2 − ā) ≥ 0
3
2
B
Π1 = t(1 + ā)2 ∆a ≥ 0
9
2
2
ΠB
2 = t(2 − ā) ∆a ≥ 0
9
also kollabieren Gewinne nicht zu Null wenn die Unternehmen
Abstand halten, ∆a > 0; damit gibt es einen Ausweg aus dem
Bertrand-Paradoxon für die Unternehmen; jetzt muss noch die
Position gut gewählt werden
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Positionswettbewerb auf der Ersten Stufe
ausgehend von den reduzierten Gewinnfunktionen der zweiten
Stufe sucht man die beste horizontale Positionierung:
2
(a1 , a2 ) = arg max t(1 + ā)2 ∆a
a1R (a2 ) = arg max ΠB
1
a1 9
a1
2
2
2 + a1 + a2
(a2 − a1 )
= arg max t
a1 9
2
1
= arg max t (2 + a1 + a2 )2 (a2 − a1 )
a1 18
die erste Ableitung für U1 nach der Positionsvariable a1 ist:
∂ΠB
t
1
= − (2 + a1 + a2 )(2 + 3a1 − a2 )
∂a1
18
das ist aber immer kleiner Null für die Modelldefinitionen wenn
auch t > 0; denn der einzige negative Teil, der das Vorzeichen
umdrehen könnte, ist −a2 , aber das kann nicht größer als eins
werden, und wird von der Zwei in der Klammer überwogen
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Veranschaulichung von ΠB1
die Graphik zeigt für einige Variablenwerte (a1 , a2 ) das Resultat
der vorherigen Folie:
für jedes a2 ist das Gewinnmaximum von U1 die Randlösung bei
a1 = 0
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Positionsgleichgewicht
daher (und wegen der analogen Situation für U2) sind die
Positionsreaktionsfunktionen:
a1R = 0
a2R = 1
das Gleichgewicht bei diesen dominanten Strategien ist also
(a1N , a2N ) = (0, 1)
restliche Lösungen:
p1B =c + t,
x1B = 12 ,
1
ΠB
1 = 2 t,
p2R =c + t
x2B = 21
1
ΠB
2 =2t
beide Unternehmen erzielen Gewinne, deren Höhe von den
Transportkosten t bestimmt wird
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Ringdorf-Modell
Angebotsseite des Ringdorf-Modells:
I
besteht aus einem Einheitskreis
I
entlang des Umfangs positionieren sich die Unternehmen in
(per Annahme) gleichem Abstand
I
das Ringdorf zerfällt also in n gleich lange Straßendörfer, an
deren Rändern jeweils ein Unternehmen liegt, mit n gleich der
Anzahl der Unternehmen
I
die Länge eines Teildorfes ist daher 1/n
I
die Distanz zwischen zwei Teildörfern beträgt ebenfalls
∆a = ak+1 − ak = 1/n
Markteintritt soll in diesem Modell endogen bestimmt werden
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Ringdorf mit 5 Unternehmen
die Graphik zeigt das Ringdorf am Beispiel von n = 5
Unternehmen:
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Ringdorf-Modell
fortgesetzt
Nachfrageseite:
I
lokale Rivalität“: Konsumenten wenden sich nur an die
”
Unternehmen am Rand ihrer Teildörfer (plausibel wenn die
Preisunterschiede nicht sehr hoch)
I
Konsumenten kaufen wieder zum niedrigsten effektiven Preis
(Transportkosten plus Produktpreis)
zwischen zwei Unternehmen fällt also die Entscheidung für ein Gut
wie im Hotelling-Straßendorf
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Nachfrage im Teildorf
zum Beispiel für die Unternehmen 2 und 3 gilt:
p3 − p2
2t∆a
der natürliche Kundenstamm“ jedes der beiden Unternehmens ist
”
die Hälfte des Teildorfs, also ∆a = 21 n1
x2 (a2 , a3 , p2 , p3 ) = ā +
die preisbedingte Zuwanderung“ ist, bei ∆a = n1 , auch in
”
Analogie zum Straßendorf: p32t−p1 2 ; die Nachfrage für U2 auf diesem
Teildorfmarkt ist also
n
1
p3 − p2
+n
2n
2t
einen zweiten solchen Teildorfmarkt gibt es für U2 zwischen U1
und U2, auf dem die Nachfrage von U2, wiederum analog ist
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Nachfrage in Beiden Nachbarteildörfern
der zweite Teilmarkt auf der anderen Seite ist gegeben durch
p1 − p2
1
+n
2n
2t
die Summe auf den beiden Teildorfmärkten ergibt die
Gesamtnachfrage für U2:
x2 =
1
p1 + p3 − 2p2
+n
n
2t
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Spielstruktur
k Unternehmen entscheiden in Stufe Eins über Markteintritt,
0≤n≤k
Vereinfachung: Unternehmen platzieren sich immer in gleichen
Abständen, 1/n
in Stufe Zwei legen die n eingetretenen Unternehmen ihre Preise
fest
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Preiswettbewerb auf Stufe Zwei
Suche wiederum nach besten Antworten, um den Gewinn zu
maximieren, und dann den wechselseitig besten Antworten;
Gewinnfunktion zum Beispiel für U2; Zusatz: fixe
Markteintrittskosten CF werden eingeführt, also ist die
Gesamtkostenfunktion:
Ci (xi ) = CF + cxi
∀ i = 1, 2, . . . , k
daher ist die Gewinnfunktion von U2:
Π2 = (p2 − c)x2 − CF
1
p1 + p3 − 2p2
= (p2 − c)
+n
− CF
n
2t
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Reaktionsfunktion im Preiswettbewerb
Reaktionsfunktion aus FOC:
1
c
t
p2R = (p1 + p3 ) + + 2
4
2 2n
aufgrund der symmetrischen Situation für alle Firmen kann man
schließen
p1 = p2 = . . . = pn = p
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Lösungen der Zweiten Stufe
bei gleichen Preisen wird aus der Reaktionsfunktion
t
n2
die Marktanteile sind per Annahme gleich, und die weiteren
Lösungen sind
pB = c +
x1B = n1 ,
t
ΠB
i = n3 − CF ,
P B
Pi xi B =1t
i Πi = n2 − nCF
Preise, Mengen und Gewinne
sinken mit steigendem n, Gewinne
q
t
3
sind positiv wenn n < CF
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Markteintritt auf der Ersten Stufe
solange die Profite größer Null sind, werden Unternehmen in den
Markt (das Ringdorf) eintreten wollen; daher bestimmt sich die
maximale bzw. Gleichgewichtsmenge nmax an Marktteilnehmern
über Bedingung der Gewinngrenze der vorherigen Folie:
r
t
nmax = 3
CF
I
I
I
I
(Diskretheitsproblem wird vernachläßigt)
je größer die Transportkosten desto größer die Anzahl der
Unternehmen
je größer die Eintrittskosten desto kleiner die Anzahl der
Unternehmen (Gewinn muß Fixkosten decken)
gehen die Markteintrittskosten gegen null, dann geht die
Anzahl der Unternehmen gegen unendlich; die Unternehmen
können dann beliebig dicht liegen und machen immer noch
Gewinne
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Gleichgewichtspreis
Gleichgewichtspreis bei nmax :
pB = c +
=c+
I
I
I
I
I
t
2
nmax
t
t
CF
2
2
3
1
= c + CF3 t 3
Preis steigt in CF und t und strebt gegen c wenn sie fallen
Gesamtresultat ist ein gewinnloses Gleichgewicht
wegen Eintrittskosten liegt pB über c ohne dass die
Unternehmen Gewinne machen (Unternehmen haben
Marktmacht im Sinne des Lerner-Maßes, machen aber keine
Gewinne)
je höher CF , desto höher die Preise und weiter weg ist der
durchschnittliche Konsument vom bevorzugten Standort
je höher die Transportkosten/Nutzeneinbußen t, desto höher
die Preise und desto mehr Unternehmen
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Preis- und Qualitätswettbewerb
horizontale Präferenzen wie bisher
vertikale Präferenzen zeigen an, wie wichtig eine hohe Qualität für
einen Konsumenten ist
es entsteht ein Produktraum in diesen beiden
Differenzierungsebenen:
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Angebotsseite
Die Annahmen für die Angebotsseite:
I
horizontal positionieren sich die Unternehmen an den
Rändern, a1 = 0, a2 = 1
I
die Unternehmen entscheiden über die Qualität zwischen 0
und 1, q1 , q2 ∈ [0, 1]
I
U1 ist Qualitätsführer, ∆q = q1 − q2 ≥ 0 (Anmerkung: das
schränkt das Modell nicht ein, da der Rest symmetrisch ist)
I
die Stückkosten sind gleich, c1 = c2 = c (kein
Produktionskostenanstieg bei höherer Qualität, keine
F&E-Ausgaben für höhere Qualität)
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Nachfrageseite
Die Annahmen für die Nachfrageseite:
I h ∈ [0, 1] ist wieder die Varianten-/Standortvorliebe“ eines
”
Konsumenten; die Kosten der Abweichung seien jetzt linear,
dadurch ergeben sich wegen der beiden Randpositionierungen
von U1 und U2 Kosten von th oder t(1 − h)
I v ∈ [0, 1] beschreibt das Qualitätsbewußtsein“ eines
”
Konsumenten; ist v hoch, so gewichtet er die Qualität im
Verhältnis zum Preis hoch
I die Konsumenten sind wieder gleichverteilt im Produktraum,
jeder Konsument wird durch (h, v ) beschrieben
I jeder Konsument kauft genau eines der beiden Produkte
I in die Kaufentscheidung fließen Distanz und
Qualitätsunterschied, der mit dem Qualitätsbewußtsein
gewichtet wird, ein; Konsumentv ,h kauft bei U1 wenn
p1 + th − vq1 ≤ p2 + t(1 − h) − vq2
die Terme −vqi geben die zusätzliche Zahlungsbereitschaft für
Gut i an
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Nachfrage
für die Nachfrage verweisen PW auf eine Veröffentlichung im
Internet; die Nachfragefunktionen unterscheiden sich anhand von
zwei Fällen, ∆q ≤ 2t und ∆q ≥ 2t, und innerhalb der Fälle sind
nocheinmal drei Fallunterscheidungen nötig
U2 hat die Nachfrage 1 − x1 (∆p, ∆q); die Nachfragefunktionen für
U1 und U2 hängen ab von
I
den Transportkosten t
I
der Preisdifferenz
I
der Qualitätsdifferenz
wegen der Lösungsmethode der Rückwärtsinduktion werden die
optimalen Preise von Stufe 2 wieder zuerst bestimmt, dann die
optimale Qualität
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Preiswahl der Zweiten Stufe
für die Preise und Profite auf der zweiten Stufe bekommt man
auch wieder drei verschiedene Fälle; insgesamt zeigt sich:
I
B
Qualitätsführer hat höheren Gewinn: ΠB
1 (∆q) > Π2 (∆q) bei
∆q > 0
I
Gewinn des Qualitätsführers hängt positiv von der Qualität ab
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Qualitätswahl der Ersten Stufe
Qualitätsführer wählt größtmogliches q1 , da sein Gewinn darin
steigend ist:
q1N = 1
(wäre nicht ∆q > 0, sondern umgekehrt q2 > q1 , dann würde U2
die maximale Qualität wählen;) die Wahl von U2 hängt von den
Transportkosten t ab; sind sie klein, t ≤ 29 , dann ist es optimal, die
geringste Qualität anzubieten; sind sie groß, t ≥ 29 , dann bietet U2
ebenfalls die hohe Qualität an
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