Loesung Aufgabe 1 - Chair of Financial Economics
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Aufgabenblatt 1: Gütermärkte mit unvollständiger Qualitätsinformation Prof. Dr. Isabel Schnabel, Florian Hett Informationsökonomik Johannes Gutenberg-Universität Mainz Wintersemester 2010/2011 Lösungen Die folgenden Lösungen sind als Lösungsskizze zu verstehen. Sollten sich Fehler eingeschlichen haben, so machen Sie uns bitte darauf aufmerksam. Eine Berufung auf diese Musterlösung ist nicht möglich. Lösung zu Aufgabe 1: Adverse Selektion bei Zweipunktverteilung (a) Qualitätsverteilung: Die durchschnittliche Qualität der im Markt vorhandenen Güter beträgt λ ql + (1 − λ) qh . Die Verteilungsfunktion lautet: F (q ′ ) = 0 für q ′ < ql F (q ′ ) = λ für ql ≤ q ′ < qh F (q ′ ) = 1 für q ′ ≥ qh Die durchschnittliche Qualität, für die gilt, dass q ≤ q ′ , beträgt: q̄ nicht definiert für q ′ < ql q̄ = ql für ql ≤ q ′ < qh q̄ = λ ql + (1 − λ) qh 1 für q ′ ≥ qh 2 Informationsökonomik – Aufgabenblatt 1 (b) Gleichgewicht bei vollständiger Qualitätsinformation: Bei dem Gut der hohen Qualität gibt es für jeden Preis p < qh eine Überschussnachfrage. Für jeden Preis p > qh ist die Nachfrage gleich Null, das Angebot aber positiv. Also muss der Gleichgewichtspreis p∗ (qh ) = qh betragen. Dasselbe gilt für das Gut der niedrigen Qualität, bei dem der Gleichgewichtspreis also p∗ (ql ) = ql betragen muss. Die im Gleichgewicht gehandelte Menge beträgt m, davon entfällt ein Anteil λ auf die niedrige und ein Anteil 1 − λ auf die hohe Qualität. Jeder Käufer erhält einen Nutzen von 0, unabhängig davon, ob er kauft oder nicht. Ein Verkäufer der niedrigen Qualität erhält einen Nutzen von (1 − α)ql , ein Verkäufer der hohen Qualität einen Nutzen von (1 − α)qh > (1 − α)ql . Der gesamte Wohlfahrtsgewinn aus dem Handel beträgt also: m · [λ (1 − α)ql + (1 − λ) (1 − α)qh ] = m(1 − α) · [λ ql + (1 − λ) qh ] Der Wohlfahrtsgewinn fällt in α; für α = 1 wird er Null. Außerdem hängt der Wohlfahrtsgewinn positiv von der im Markt vorhandenen Durchschnittsqualität ab; dementsprechend fällt der Wohlfahrtsgewinn in λ. (c) Gleichgewicht bei unvollständiger Qualitätsinformation: 1. Ein Verkäufer eines Gutes der Qualität q bietet an, sofern p ≥ α q. Das Gesamtangebot beträgt also: x(p) = 0 für p < α ql x(p) = λ m für p ∈ [α ql ; α qh ) x(p) = m für p ≥ α qh Die Durchschnittsqualität beträgt dann: q̄(p) nicht definiert für p < α ql q̄(p) = ql für p ∈ [α ql ; α qh ) q̄(p) = λ ql + (1 − λ) qh für p ≥ α qh Adverse Selektion liegt immer dann vor, wenn p < α qh . Informationsökonomik – Aufgabenblatt 1 3 2. Wäre der Preis kleiner als die erwartete Qualität, so gäbe es eine Überschussnachfrage; der Preis würde steigen. Wäre der Preis größer als die erwartete Qualität, so gäbe es ein Überschussangebot; der Preis würde fallen. Nur bei p = q e sind Angebot und Nachfrage ausgeglichen. 3. Im Gleichgewicht ohne adverse Selektion entspricht die durchschnittlich gehandelte Qualität der durchschnittlich vorhandenen Qualität: q̄ = λ ql + (1 − λ) qh . Der Gleichgewichtspreis beträgt also p∗ = q̄ = λ ql + (1 − λ) qh . Weiterhin muss gelten, dass p∗ ≥ α qh , damit auch die Verkäufer hoher Qualität ihre Güter anbieten. Hieraus ergibt sich die folgende Bedingung für α: p ∗ ≥ α qh ⇔ λ ql + (1 − λ) qh ≥ α qh λ ql + (1 − λ) qh ⇔α≤ qh Im Gleichgewicht werden m Güter gehandelt. Jeder Käufer erhält im Erwartungswert einen Nutzen von 0. Ein Verkäufer der niedrigen Qualität erhält einen Nutzen von λ ql + (1 − λ) qh − α ql > (1 − α)ql . Ein Verkäufer der hohen Qualität erhält einen Nutzen von λ ql + (1 − λ) qh − α qh < (1 − α)qh . Der gesamte Wohlfahrtsgewinn aus dem Handel beträgt: m · [λ ql + (1 − λ) qh − λ α ql − (1 − λ) α qh ] =m · [λ ql + (1 − λ) qh − α(λ ql + (1 − λ) qh )] =m (1 − α) · [λ ql + (1 − λ) qh ] Die Wohlfahrt ist also genau so hoch wie oben; die Verteilung ändert sich jedoch. 4. Wir betrachten nun ein Gleichgewicht mit adverser Selektion, in dem nur die niedrige Qualität angeboten wird. Der Gleichgewichtspreis beträgt nun p∗ = ql . Da die hohe Qualität nicht angeboten wird, muss gelten: p∗ < α qh : 4 Informationsökonomik – Aufgabenblatt 1 p∗ < α qh ⇔ ql < α qh ql ⇔α> qh Damit die niedrige Qualität angeboten wird, muss gelten: p∗ ≥ α ql . Dies ist stets erfüllt, da α < 1. In diesem Gleichgewicht werden λ m Güter gehandelt. Die Verkäufer niedriger Qualität erzielen einen Nutzen von (1 − α) ql , die Verkäufer hoher Qualität einen Nutzen von 0. Der Wohlfahrtsgewinn beträgt also: m λ (1 − α) ql < m (1 − α) · [λ ql + (1 − λ) qh ] Der Wohlfahrtsverlust entsteht daraus, dass die Verkäufer hoher Qualität aus dem Markt ausscheiden. qh , dann gibt es multiple Gleichgewichte: Wenn qqhl < α ≤ λ ql +(1−λ) qh eines mit adverser Selektion und eines ohne adverse Selektion. Welches Gleichgewicht sich einstellt, hängt von den Erwartungen der Käufer ab. Beispiel: Sei ql = 1, qh = 3 und λ = 0, 5. In diesem Fall gilt: und λ ql +(1−λ) qh qh ql qh = 1 3 = 23 . Wir betrachten den Fall mit α = 21 . Nehmen wir zunächst an, dass die Konsumenten die niedrige Qualität erwarten, so dass q e = ql = p∗ = 1. In diesem Fall gilt, dass α ql = 1 3 ∗ 2 < p = 1 < α qh = 2 . Es bieten also tatsächlich nur die Anbieter mit niedriger Qualität an. Nehmen wir nun an, dass die Konsumenten erwarten, dass alle Verkäufer ihre Güter anbieten, so dass q e = λ ql + (1 − λ) qh = p∗ = 2. Jetzt gilt, dass p∗ > α qh = 32 > α ql = 21 . Es bieten also tatsächlich alle Anbieter ihre Güter an. Welches der beiden Gleichgewichte sich einstellt, hängt allein von den Erwartungen der Käufer ab. Beachten Sie, dass die Wohlfahrt im zweiten Gleichgewicht höher ist. 5. Ein Verkäufer der hohen Qualität kann sich besser stellen, weil er so die hohe Qualität seines Gutes kommunizieren kann. Da sein Gut tatsächlich die hohe Qualität besitzt, entstehen ihm aus dieser Garantie auch keine Kosten. Er kann das Gut nun zu einem Preis von qh verkaufen und erhält einen Nutzen von (1 − α)qh . Informationsökonomik – Aufgabenblatt 1 5 Ein Verkäufer der niedrigen Qualität kann durch das Angebot einer Garantie zwar den Kaufpreis auf qh erhöhen, gleichzeitig muss er aber mit Sicherheit eine Garantieleistung in Höhe von qh − ql zahlen. Er stellt sich also durch das Angebot einer Garantie nicht besser. Er kann genau so gut auf die Garantie verzichten; er erzielt dann einen Preis von ql . In jedem Fall beträgt sein Nutzen (1 − α)ql .
