Loesung Aufgaben 2 und 3 - Chair of Financial Economics

Aufgabenblatt 1: Gütermärkte mit unvollständiger
Qualitätsinformation
Prof. Dr. Isabel Schnabel, Florian Hett
Informationsökonomik
Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Wintersemester 2010/2011
Lösungen
Die folgenden Lösungen sind als Lösungsskizze zu verstehen. Sollten sich
Fehler eingeschlichen haben, so machen Sie uns bitte darauf aufmerksam.
Eine Berufung auf diese Musterlösung ist nicht möglich.
Lösung zu Aufgabe 2: Adverse Selektion bei Gleichverteilung
(a) Qualitätsverteilung:
Die Dichtefunktion lautet:
f (q) = 0 für q < 0
f (q) = 1 für
q ∈ [0; 1]
f (q) = 0 für q > 1
Die Verteilungsfunktion entspricht dem Integral der Dichtefunktion:
′
F (q ) =
=
Z
q′
f (q)dy
−∞
Z q′
dy
0
′
= [q]q0
= q′
1
Informationsökonomik – Aufgabenblatt 1
2
Dieser Ausdruck gilt, sofern q ′ ≤ 1; für q ′ > 1 ist die Verteilungsfunktion
gleich 1. Die Verteilungsfunktion entspricht gerade der Wahrscheinlichkeit,
dass q ≤ q ′ , und somit auch dem Anteil der Verkäufer, für die gilt, dass
q ≤ q′.
Die durchschnittliche Qualität der im Markt vorhandenen Güter beträgt 12 .
Die durchschnittliche Qualität der im Markt vorhandenen Güter, für die
gilt, dass q ≤ q ′ ≤ 1, beträgt 12 q ′ .
(b) Gleichgewicht bei vollständiger Qualitätsinformation: Für jeden Preis p < q gibt es eine Überschussnachfrage nach dem Gut der Qualität
q. Für jeden Preis p > q ist die Nachfrage gleich Null, das Angebot aber
positiv. Also muss der Gleichgewichtspreis p∗ = q betragen. Die im Gleichgewicht gehandelte Menge beträgt 100. Jeder Käufer erhält einen Nutzen
von 0, unabhängig davon, ob er kauft oder nicht. Jeder Verkäufer erhält
einen Nutzen von (1 − α)q. Der gesamte Wohlfahrtsgewinn aus dem Handel
beträgt also
100
Z
1
(1 − α)qf (q)dq
0
1
= 100 (1 − α)[ q 2 ]10
2
1
= 100 (1 − α) = 50 (1 − α).
2
Der Wohlfahrtsgewinn fällt in α; für α = 1 wird er Null.
(c) Gleichgewicht bei unvollständiger Qualitätsinformation:
1. Bei p < 0 ist das Gesamtangebot gleich Null und die durchschnittliche
Qualität ist nicht definiert. Bei p ≥ α ist das Gesamtangebot gleich m
und die durchschnittliche Qualität beträgt 12 . Für 0 ≤ p < α gilt, dass
alle Verkäufer anbieten, für die gilt: p ≥ αq. Die marginale Qualität
beträgt also αp . Das Gesamtangebot beträgt dann F ( αp ) · m = αp · m. Es
hängt positiv vom Preis und negativ von α ab. Die durchschnittliche
Qualität beträgt 21 · αp . Auch diese hängt positiv vom Preis und negativ
von α ab. Adverse Selektion liegt für alle p < α vor.
2. Im Gleichgewicht ohne adverse Selektion entspricht der Gleichgewichtspreis der durchschnittlich im Markt vorhandenen Qualität, d. h. p∗ =
1
2 . Damit auch der Verkäufer mit der höchsten Qualität sein Gut anbietet muss gelten: p ≥ α. Hieraus ergibt sich die folgende Beschränkung
Informationsökonomik – Aufgabenblatt 1
3
für α: α ≤ 12 . Die im Gleichgewicht gehandelte Menge beträgt m. Jeder Käufer erhält im Erwartungswert einen Nutzen von Null. Jeder
Verkäufer erhält einen Nutzen von p∗ − αq = 21 − αq. Der Wohlfahrtsgewinn aus dem Handel beträgt:
1
1
( − αq)f (q)dq
2
0
1
1
1
q − α q2
= 100
2
2
0
1 1
= 100 ( − α)
2 2
= 50 (1 − α).
100
Z
Die Wohlfahrt ist also genau so hoch wie im Fall vollständiger Qualitätsinformation. Die Käufer stellen sich aus Ex-ante-Sicht genau so
gut wie bei vollständiger Qualitätsinformation; ex post kann ihr Nutzen jedoch positiv oder negativ sein. Ein Verkäufer stellt sich schlechter, wenn gilt 12 − αq < (1 − α)q ⇔ q > 21 . Jeder Verkäufer mit
überdurchschnittlicher Qualität stellt sich schlechter, diejenigen mit
unterdurchschnittlicher Qualität stellen sich besser.
3. Adverse Selektion liegt immer dann vor, wenn gilt p < α (siehe c1). In
∗
diesem Fall beträgt der Gleichgewichtspreis p∗ = 12 · pα . Diese Gleichung
ist (für positive Preise) nur dann erfüllt, wenn α = 21 . Die möglichen
Gleichgewichtspreise lauten dann: p∗ ∈ [0; 12 ). Das Gesamtangebot be∗
∗
trägt F ( pα ) · m = pα · m = 2p∗ m < m.
Der Wohlfahrtsgewinn aus dem Handel beträgt:
2p∗
1
(p∗ − q)f (q)dq
2
0
∗
1 2 2p
∗
= 100 p q − q
4
0
100
Z
= 100 (2p∗2 − p∗2 ) = 100(p∗ )2 < 25 = 50 (1 − α)
Da der Preis kleiner ist als 21 , ist die Wohlfahrt geringer als bei vollständiger
Qualitätsinformation und als im Fall ohne adverse Selektion.
4
Informationsökonomik – Aufgabenblatt 1
∗
Ist α > 12 , so ist die Bedingung p∗ = 12 · pα nur für p∗ = 0 erfüllt.
∗
Die kritische Qualität pα ist also gleich Null, d. h., es bieten nur die
Verkäufer mit der niedrigsten Qualität an. Da wir ein Kontinuum von
Verkäufern haben, ist das Gesamtangebot x(p) = 0. Auch die Durchschnittsqualität ist gleich Null. Die Käufer sind beim gegebenen Preis
(0) indifferent zwischen Kaufen und Nichtkaufen (des Gutes der Qualität 0); sie fragen also alles nach, was angeboten wird (also nichts).
Es handelt sich also um ein Gleichgewicht. Man sieht also, dass für
α > 12 der Markt vollständig zusammenbricht. Der Wohlfahrtsgewinn
aus dem Handel ist gleich Null.
Für α → 1 geht der Wohlfahrtsgewinn aus dem Handel auch im Falle
vollständiger Information und im Fall ohne adverse Selektion gegen
Null. Aus Wohlfahrtssicht ist der Zusammenbruch des Marktes also
nicht so problematisch, da die Tauschgewinne klein (im Grenzfall gleich
Null) sind.
Informationsökonomik – Aufgabenblatt 1
5
Lösung zu Aufgabe 3: Reputation
1. Wir unterstellen, dass die Konsumenten so lange glauben, dass der
Monopolist die hohe Qualität produziert, bis der Monopolist diese Erwartung einmal enttäuscht. Von da an glauben die Konsumenten, dass
der Monopolist die niedrige Qualität anbietet.
Gegenwartswert des zukünftigen Gewinns pro verkaufter Einheit, wenn
der Monopolist in der betrachteten Periode und in der gesamten Zukunft die hohe Qualität anbietet:
∞
X
t
5
δ (10 − 5) =
1−δ
t=0
Gegenwartswert des zukünftigen Gewinns pro verkaufter Einheit, wenn
der Monopolist in der betrachteten Periode und in der gesamten Zukunft die niedrige Qualität anbietet:
∞
X
t
2δ
δ (5 − 3) = 7 +
(10 − 3) +
1−δ
t=1
Bedingung für ein Gleichgewicht, in dem der Monopolist in jeder Periode die hohe Qualität produziert:
2δ
5
≥7+
1−δ
1−δ
⇔ 5 ≥ 7 (1 − δ) + 2 δ
⇔ 5δ ≥ 2
2
⇔ δ ≥ = 0, 4
5
2. Gegenwartswert des zukünftigen Gewinns pro verkaufter Einheit, wenn
der Monopolist in der betrachteten Periode die hohe Qualität anbietet:
∞
X
t
5
δ (10 − 5) =
1−δ
t=0
Gegenwartswert des zukünftigen Gewinns pro verkaufter Einheit, wenn
der Monopolist in der betrachteten Periode die niedrige Qualität anbietet:
∞
X
t
4δ
δ (5 − 1) = 9 +
(10 − 1) +
1−δ
t=1
Informationsökonomik – Aufgabenblatt 1
6
Bedingung für ein Gleichgewicht, in dem der Monopolist in jeder Periode die hohe Qualität produziert:
5
4δ
≥9+
1−δ
1−δ
⇔ 5 ≥ 9 (1 − δ) + 4 δ
⇔ 5δ ≥ 4
4
⇔ δ ≥ = 0, 8
5
Durch die geringeren Stückkosten der niedrigen Qualität wird das Abweichen für den Monopolisten attraktiver (in allen Perioden ist der
Ertrag höher). Dennoch ist der Periodenertrag bei der hohen Qualität
noch immer höher als bei der niedrigen. δ muss hier noch höher sein als
vorher, um die Produktion hoher Qualität zu ermöglichen. Nur wenn
die Zukunft hinreichend wichtig ist, kann der entgangene Gewinn in
Höhe von 4 (5 statt 9 in der ersten Periode) ausgeglichen werden durch
zukünftig höhere Gewinne.