Aufgabenblatt 1: Gütermärkte mit unvollständiger Qualitätsinformation

Aufgabenblatt 1: Gütermärkte mit unvollständiger
Qualitätsinformation
Prof. Dr. Isabel Schnabel, Florian Hett
Informationsökonomik
Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Wintersemester 2010/2011
Die folgenden Aufgaben orientieren sich an den Aufgaben im Skript von
Helmut Bester.
Aufgabe 1: Adverse Selektion bei Zweipunktverteilung
Wir betrachten einen Markt mit (einer Masse von) m Verkäufern und n > m
Käufern. Jeder Verkäufer besitzt eine Einheit des betrachteten Gutes; jeder
Käufer ist an dem Kauf genau einer Einheit des Gutes interessiert. Alle
Käufer sind identisch und haben eine Zahlungsbereitschaft q für eine Einheit
eines Gutes der Qualität q. Der Reservationspreis eines Verkäufers, der ein
Gut der Qualität q besitzt, beträgt αq, wobei 0 < α < 1. Die Qualität q
unterliegt einer Zweipunktverteilung: ein Anteil 0 < λ < 1 der Verkäufer
besitzt ein Gut der Qualität ql > 0; die restlichen Verkäufer besitzen ein
Gut der Qualität qh > ql .
(a) Qualitätsverteilung: Wie groß ist die durchschnittliche Qualität der
im Markt vorhandenen Güter? Geben Sie die Verteilungsfunktion der Qualität an. Wie groß ist die durchschnittliche Qualität der im Markt vorhandenen Güter, für die gilt, dass q ≤ q ′ ?
(b) Gleichgewicht bei vollständiger Qualitätsinformation: Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis, die im Gleichgewicht gehandelte Menge
und den Wohlfahrtsgewinn aus dem Handel für den Fall, dass Käufer und
Verkäufer die Qualität des Gutes beobachten können.
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Informationsökonomik – Aufgabenblatt 1
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(c) Gleichgewicht bei unvollständiger Qualitätsinformation:
1. Bestimmen Sie das Gesamtangebot der Verkäufer sowie die durchschnittliche Qualität in Abhängigkeit vom Preis. In welchen Fällen
gibt es adverse Selektion?
2. Erklären Sie, warum der Preis im Gleichgewicht der erwarteten Qualität entsprechen muss.
3. Zeigen Sie, dass es ein Gleichgewicht ohne adverse Selektion gibt, und
geben Sie an, unter welcher Bedingung für α dieses Gleichgewicht eintritt. Berechnen Sie den Gleichgewichtspreis, die im Gleichgewicht gehandelte Menge und den Wohlfahrtsgewinn aus dem Handel. Wer gewinnt und wer verliert im Vergleich zur Situation mit vollständiger
Qualitätsinformation?
4. Zeigen Sie, dass es ein Gleichgewicht mit adverser Selektion gibt, in
dem nur die niedrige Qualität angeboten wird, und geben Sie an, unter welcher Bedingung für α dieses Gleichgewicht eintritt. Berechnen
Sie den Gleichgewichtspreis, die im Gleichgewicht gehandelte Menge
und den Wohlfahrtsgewinn aus dem Handel. Gibt es Parameterkonstellationen, in denen es ein Gleichgewicht mit und eines ohne adverse
Selektion gibt?
5. Die Verkäufer haben nun die Möglichkeit, sich bereit zu erklären, dem
Käufer des Gutes den Betrag qh − ql zu zahlen, wenn sich nach dem
Kauf herausstellt, dass das Gut nicht die versprochene Qualität qh hat.
Für welche Verkäufer lohnt es sich, eine solche Garantie zu vergeben?
Wie lautet nun der Gleichgewichtspreis?
Informationsökonomik – Aufgabenblatt 1
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Aufgabe 2: Adverse Selektion bei Gleichverteilung
Wir betrachten einen Markt mit (einer Masse von) 100 Verkäufern und
200 Käufern. Jeder Verkäufer besitzt eine Einheit des betrachteten Gutes;
jeder Käufer ist an dem Kauf genau einer Einheit des Gutes interessiert. Alle
Käufer sind identisch und haben eine Zahlungsbereitschaft q für eine Einheit
eines Gutes der Qualität q. Der Reservationspreis eines Verkäufers, der ein
Gut der Qualität q besitzt, beträgt αq, wobei 0 < α < 1. Die Qualität q ist
auf dem Intervall [0; 1] gleichverteilt.
(a) Qualitätsverteilung: Geben Sie die Dichte- und die Verteilungsfunktion der Qualitäten an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass q ≤ q ′ ? Wie
groß ist der Anteil der Verkäufer, für die gilt, dass q ≤ q ′ ? Wie groß ist die
durchschnittliche Qualität der im Markt vorhandenen Güter? Wie groß ist
die durchschnittliche Qualität der im Markt vorhandenen Güter, für die gilt,
dass q ≤ q ′ ?
(b) Gleichgewicht bei vollständiger Qualitätsinformation: Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis, die im Gleichgewicht gehandelte Menge
und den Wohlfahrtsgewinn aus dem Handel. Wie hängt der Wohlfahrtsgewinn von α ab?
(c) Gleichgewicht bei unvollständiger Qualitätsinformation:
1. Bestimmen Sie das Gesamtangebot der Verkäufer sowie die durchschnittliche Qualität in Abhängigkeit vom Preis. Wie hängen beide
von p und α ab? In welchen Fällen gibt es adverse Selektion?
2. Zeigen Sie, dass es ein Gleichgewicht ohne adverse Selektion gibt, wenn
α ≤ 21 . Berechnen Sie den Gleichgewichtspreis, die im Gleichgewicht
gehandelte Menge und den Wohlfahrtsgewinn aus dem Handel. Wer
gewinnt und wer verliert im Vergleich zur Situation mit vollständiger
Qualitätsinformation?
3. Bestimmen Sie nun die möglichen Gleichgewichte für den Fall, dass
adverse Selektion vorliegt. Zeigen Sie, dass der Markt vollkommen zusammenbricht, wenn α > 12 . Was passiert, wenn α → 1?
Informationsökonomik – Aufgabenblatt 1
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Aufgabe 3: Reputation
Wir betrachten einen Markt, in dem ein monopolistischer Anbieter in jeder
Periode t = 0, 1, ... entscheidet, ob er eine hohe oder eine niedrige Qualität
anbietet. Bei der hohen Qualität entstehen ihm Stückkosten von 5, bei der
niedrigen von 3. Er diskontiert zukünftige Gewinne mit dem Faktor δ < 1.
In jeder Periode befinden sich n > 0 Nachfrager im Markt, die maximal
eine Einheit des Gutes nachfragen. Ihre Zahlungsbereitschaft beträgt 10 für
die hohe und 5 für die niedrige Qualität. Die Nachfrager können die Qualitätsentscheidung des Anbieters in der aktuellen Periode nicht beobachten;
sie kennen jedoch die Qualitäten der Vorperioden.
1. Zeigen Sie, dass unter der Bedingung δ ≥ 0, 4 ein Gleichgewicht existiert, in dem der Monopolist in jeder Periode die hohe Qualität produziert.
2. Wie würde die Bedingung für δ lauten, wenn die Stückkosten zur Produktion der niedrigen Qualität nur 1 betragen würden? Erklären Sie
die Veränderung des kritischen δ.