Übung 2

Übung 2
Stochastik – Klausurvorbereitung 16/17
Serie A:
1) Auf wie viele Arten kann man die Buchstaben des Wortes SVENJA anordnen?
2) Wie viele Ausgänge sind beim fünfmaligen Wurf eines Würfels möglich?
3) Die Zahl 9 soll in genau 3 positive Summanden zerlegt werden. Wie viele Zerlegungen sind möglich,
(a) ohne Berücksichtigung der Reihenfolge der Summanden?
(b) bei Berücksichtigung der Reihenfolge der Summanden?
4) Bei einer Variante des Pokerspiels mit 52 Karten (2, 3, 4, 5, … , 10, B, D, K, A in den Farben Karo,
Herz, Pik und Kreuz) bekommen die Spieler 5 Karten auf die Hand. Gewinnen kann man u. a. mit
„Paaren“ (z.B.: zweimal 3), „Dreiern“ (z.B.: dreimal 3), „Full House“ und „Straights“.
a) Wie viele Blattmöglichkeiten gibt es für einen Spieler?
b) Wie viele Möglichkeiten für „genau ein Paar“ gibt es?
c) Wie viele Möglichkeiten für ein „Full House“ (Dreier + Paar) gibt es?
d) Wie viele Möglichkeiten gibt es für „Straight“ (5
(5 Karten in direkter Folge, nicht über das Ass
hinaus)?
e) Wie viele Möglichkeiten gibt es für „Straight Flush“ (5 Karten gleicher Farbe in direkter Folge)?
Berechnen Sie bei (b) – (e) jeweils Eintrittswahrscheinlichkeiten für die aufgeführten Ereignisse.
5) Nach wie vielen Wochen ist beim deutschen Lotto (6 aus 49) auf jeden Fall eine Zahl zweimal
aufgetreten? Begründen Sie Ihre Behauptung.
6) Beweisen Sie: Unter 6 natürlichen Zahlen gibt es immer 2 Zahlen, deren Differenz durch 5 teilbar ist.
7) Wie viele natürliche
iche Zahlen von 100 bis 1000 sind durch keine der Zahlen 3, 5 und 7 teilbar?
8) Auf einem Fest treffen sich 20 Personen. Beweisen Sie: Dann gibt es zwei Personen, die die gleiche
Anzahl von Bekannten unter den Festgästen haben.
9) Auf einem Bauernhof werden Eier
Eier in Paletten zu 36 Stück verpackt. Wie viel Hühner dürfen höchstens
auf dem Hof ein, damit auf einer Palette immer mindestens 7 Eier vom selben Huhn sind?
10) In der Büchersammlung von Matthias gibt es 2900 verschiedene Mathebücher. Angenommen, jedes
Buch ist
st genau einmal vorhanden. Wie viele Möglichkeiten gibt es dann, alle Bücher auf 3 bzw.
∈
Übungsgruppenmitglieder zu verteilen?
11) Auf wie viele Arten kann man 8 Geschenke auf 3 Personen verteilen, wenn keine leer ausgehen soll?
12) Eine Ameise steht auf dem Nullpunkt des Gitters ² und bewegt sich einen Gitterpunkt mit jedem
Schritt entweder nach rechts oder nach oben mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Es gibt einen
elektrischen Zaun zwischen den Punkten 0, 14 und 23, 14 ,sowie
sowie zwischen
zwische den Punkten 25, 0
und 25, 12 , wenn die Ameise auf einen Zaun trifft, stirbt sie. Wie wahrscheinlich ist es, dass die
Ameise überlebt und die Freiheit erreicht?
13) Wie viele verschiedene „Wörter“ kann man aus den Buchstaben des Wortes TOPOLOGIE bilden,
wenn jeweils alle Buchstaben verwendet werden sollen?
14) Patienten, die an einer bestimmten Krankheit leiden, werden durch das Medikament
mit der
Wahrscheinlichkeit 0,70geheilt, ohne dass sich Nebenwirkungen zeigen. Mit der
Wahrscheinlichkeit 0,15 wirkt das Medikament heilend und verursacht Nebenwirkungen. Die
Einnahme eines Medikaments verursacht mit der Wahrscheinlichkeit 0,05 Nebenwirkungen, ohne
gleichzeitig heilend zu wirken. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Patient, bei dem sich
Nebenwirkungen zeigen, nicht geheilt? Geben Sie zwei unterschiedliche Lösungswege an.
15) Der Defekt eines Kugelschreibers kann zwei Gründe haben: defekte Mechanik (1. Mangel) bzw.
defekte Mine (2. Mangel). Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kugelschreiber defekt ist beträgt
0,088. Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des 1. Mangels ist 0,05 und die für das Auftreten
beider Mängel gleichzeitig ist 0,002. Untersuchen Sie, ob die beiden Mängel unabhängig
voneinander auftreten.
16) Eine Urne A enthält 3 grüne und 5 rote Kugeln; eine zweite Urne B enthält 6 grüne und 4 rote
Kugeln. Es wird zunächst eine der Urnen ausgewählt (beide jeweils mit derselben
Wahrscheinlichkeit), dann eine Kugel aus dieser Urne gezogen.
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Kugel rot?
b)
Es wurde eine grüne Kugel gezogen, mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt sie aus Urne A?
17) Ein Würfel trägt auf einer Seitenfläche die Augenzahl 1, auf zwei Seitenflächen die Augenzahl 2
und auf drei Seitenflächen die Augenzahl 3. Bei einem Spiel zwischen Svenja und Rebekka wird
der Würfel zweimal gewürfelt.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der folgenden Ereignisse:
A: „Es werden zwei verschiedene Augenzahlen gewürfelt.“
B: „Die Augensumme ist ungerade.“
b) Untersuchen Sie die Ereignisse
und B auf stochastische Unabhängigkeit.
18) Zwei Firmen OHM und HINRICHS liefern Fahrzeugkatalysatoren. 20 Prozent der
Fahrzeugkatalysatoren sind von Firma OHM fehlerhaft, von Firma HINRICHS sind sogar 30
Prozent der Fahrzeugkatalysatoren fehlerhaft. aller fehlerhaften Bauteile sind von Firma
OHM. Wie viel Prozent der Bauteile werden demnach von der Firma OHM geliefert?
19) Drei Kästen K1, K2, K3 enthalten gut durchmischt schwarze und weiße Kugeln. K1enthält 2 schwarze
und 4 weiße, K2 enthält 3 schwarze und 5 weiße, und K3 enthält1 schwarze und 3 weiße Kugeln.
(a) Aus Kasten K 3 wird dreimal mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahr
scheinlichkeit, dass die erste Kugel weiß, die zweite schwarz, und die dritte wieder weiß ist?
(b) Nun wird zunächst einer der Kästen zufällig ausgewählt (jeder mit Wahrscheinlichkeit ), aus dem
dann einmal gezogen wird. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liefert das eine weiße Kugel?
(c) Wenn eine Ziehung wie in (b) eine weiße Kugel liefert, mit welcher Wahrscheinlichkeit
wurde dann im ersten Schritt Kasten K2 gewählt?
Serie B:
1) a) Aus organisatorischen Gründen soll bei einem Schachtunier die Anzahl der Spiele auf 150
beschränkt werden. Wie viele Personen können am Turnier teilnehmen, wenn jeder gegen jeden
genau einmal spielen soll?
b)
Kugeln sollen auf
Fächer verteilt werden, sodass in jedem Fach höchstens eine Kugel liegt.
Wie viele verschiedene solcher Verteilungen gibt es?
c)
Kugeln, die von 1 bis
durchnummeriert sind, sollen auf
Fächer verteilt werden. Wie viele
verschiedene solcher Verteilungen gibt es?
d) Es werden 4 Kugeln auf gut Glück auf 4 Fächer verteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass genau ein Fach leer bleibt?
2) Auf wie viele Arten kann man die Buchstaben A, A, A, B, B, C, C, D, E, F permutieren, so
dass nie zwei gleiche Buchstaben nebeneinander stehen?
3) Zum „Lösen quadratischer Gleichungen“ beschreibt eine Lehrkraft genau sechs entsprechende
Problemsituationen, von denen genau drei auf eine leere Lösungsmenge führen. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit wird ein Schüler, der dies weiß, aber ansonsten blind rät, die drei
unlösbaren Probleme herausfinden? Bereichen Sie diese Wahrscheinlichkeit auf der
Grundlage möglichst verschiedenartiger geeigneter Ergebnismengen Ω.
4) a) Die Zeit die Sie benötigen, um eine stark befahrene Vorfahrtstraße mit Ihrem PKW
überqueren soll, durch eine gedächtnislose Wartezeit modelliert werden. Im Mittel warten Sie
2 Minuten. (i) Wie wahrscheinlich ist es, dass es heute länger als 3 Minuten dauert?
(ii) Wie groß ist die folgende bedingte Wahrscheinlichkeit
ℙ Esdauertlängerals3Minuten|)sdauertwenigerals5Minuten ?
b) Falls Sie am Sonntagmorgen das Radio bei einem zufällig gewählten Sender einstellen, erklingt
mit 20 Prozent Wahrscheinlichkeit Orgelmusik, an den anderen Vormittagen nur mit 2 Prozent
Wahrscheinlichkeit. Nun hatten Sie in den Frühlingsferien ein etwas unstrukturiertes Leben, die
Tage der Woche waren alle gleichberechtigt. An irgendeinem Vormittag wachten Sie auf, und
beim Radio – Einschalten – der Sender wurde zufällig gewählt – erklang Orgelmusik. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit ist Sonntag?
Serie C:
1) Die Übungsgruppenmitglieder führen eine mathematische Diskussion. Sophia Stochz will unbedingt
in Erfahrung bringen, wie viele Ergebnisse in den folgenden Situationen möglich sind. Helfen Sie
Sophia Stochz mit Ihren stochastischen Kenntnissen aus, indem Sie die folgende Frage beantworten:
wie viele Ergebnisse sind in den folgenden Situationen möglich? (Sophia Stochz reicht hierbei eine
plausible Begründung völlig aus.)
a) Gleichzeitiges Werfen von drei unterscheidbaren fairen Würfeln
b) Gleichzeitiges Werfen von fünf paarweise verschiedenfarbigen, ungezinkten Tetraedern
c) Erstellen eines fünfbuchstabigen „Wortes“ aus den 26 Buchstaben des Alphabets.
d) Bilden von vierstelligen natürlichen Zahlen nur aus den vier Ziffern 0, 1, 2 und 3
e) Bilden von vierstelligen natürlichen Zahlen nur aus den vier Ziffern 0, 1, 2 und 3, ohne dass
sich eine Ziffer wiederholt
f) Bilden von zweistelligen natürlichen Zahlen nur aus den fünf Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5
g) Bilden von zweistelligen natürlichen Zahlen nur aus den fünf Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5, ohne
dass sich eine Ziffer wiederholt
h) Bilden von neunstelligen natürlichen Zahlen nur aus den fünf Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5, die
genau viermal die Vier, genau dreimal die Drei und genau einmal die Eins enthalten.
i)
Bilden von elfstelligen natürlichen Zahlen nur aus den sechs Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 und 6 so,
dass die Ziffer 1 nur einmal und die restlichen jeweils genau zweimal enthalten sind, und
zwar so, dass die Eins unmittelbar zwischen den beiden dreien steht
j)
Bilden von fünfstelligen natürlichen Zahlen, in denen keine Ziffer mehrmals auftritt
k) Bilden von vierbuchstabigen „Wörtern“ aus allen Buchstaben von ZAHL
l)
Bilden von sechsbuchstabigen „Wörtern“ aus allen Buchstaben von ZIFFER
m) Platzieren von sieben Personen auf eine Stuhlreihe mit genau sieben Plätzen so, dass stets
genau zwei bestimmte Personen nebeneinander sitzen
n) Platzieren von sieben Personen an einem runden Tisch mit genau sieben Stühlen so, dass
stets genau zwei bestimmte Personen nebeneinander sitzen
o) Bilden von „Wort“ – Paaren aus paarweise verschiedenen Buchstaben so, dass das erste
„Wort“ alle Konsonanten und das zweite „Wort“ alle Vokale des Wortes
VEKTORSUBTRAKTION enthält.
2) Lennart Stochy macht sich schon seit längerer Zeit adäquate Gedanken über Stochastik. Dabei fällt
ihm auf, dass sich aus dem Wort STOCHASTIK durch Umstellen der Buchstaben neue „Wörter“
konstruieren lassen. Die Zuordnung der Buchstaben zu den entsprechenden Plätzen erfolge jeweils
„auf gut Glück“. Eine geeignete Ergebnismenge hierfür wäre also
+ ≔ - . ,. ,…,.
0
|. , . , … , .
∈ -1 , 2 , 3, 4, 5, , 1 , 2 , 6, 78und# . , . , … , .
Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a) beginnt ein solches „Wort“ mit T?
0
= 108
b) beginnt ein solches „Wort“ mit I?
c) beginnt und endet ein solches „Wort“ mit T?
d) stehen in einem solchen „Wort“ die beiden T nebeneinander?
3) Taimaz Stoch; hat sich ebenfalls seit längerer Zeit Gedanken über Stochastik gemacht. Er überlegte
sich folgende Situation: Von den 10 Buchstaben des Wortes STOCHASTIK werden „auf gut Glück“
genau drei nacheinander ausgewählt und in dieser Reihenfolge wieder zu einem „Wort“ von links nach
rechts gelegt. Wie lautet hierfür bloß eine geeignete Ergebnismenge? Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a) wird OST gelegt?
b) wird TAT gelegt?
c) beginnt das „Wort“ mit O und endet mit T?
d) enthält das „Wort“ nur Vokale?
e) beginnt das „Wort“ mit einem Konstanten?
f) beginnt und endet das „Wort“ mit gleichlautenden Buchstaben?
g) enthält das „Wort“ ein O?
h) enthält das „Wort“ ein T?
Wie viele „Wörter“ sind auf diese Weise legbar?
4) Michelle Stocha, Susi Stoch< und Vicky Stoch= sind sehr gute Freunde. Regelmäßig spielen sie
Skat nach ihrem Stochastikkurs. Skat ist ein französisches Blatt mit 32 Karten in 4 Farben. Jeder der
drei Damen erhält 10 Karten, die restlichen zwei Karten werden in den „Skat“ gelegt.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält Michelle Stocha genau drei Buben und zwei Asse?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegen im „Skat“ zwei Buben?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält Susi Stoch< alle vier Buben? Hat sie damit automatisch
gewonnen?
d) Vicky Stoch= hat sechs Karokarten und vier Karten anderer Farbe auf der Hand. Sie reizt am
höchsten und erhält den „Skat“. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Karten im
„Skat“ beides Karokarten sind.
e) Matthias Stoch> fallen so schnell keine weiteren Aufgaben für diese C Serie ein. Helfen Sie aus und
formulieren Sie zu den Ansätzen ℙ
=1−
∙
∙…∙
AB
und ℙ C =
D EDFED GE
H
D IE
jeweils eine adäquate
Aufgabe im Zusammenhang mit dem Ziehen von Skatkarten.
f) Auf dem vollständigen Skatspiel wird
Karte gezogen. Wie groß muss dabei
– mal „auf gut Glück“ und mit Zurücklegen genau eine
mindestens gewählt werden, um mit 99,9 %iger Sichherheit
mindestens einmal den Karo – Buben zu ziehen?
g) Wie viele Karten sind „auf gut Glück“ mit einem Griff zu ziehen, um mit 50 %iger Sicherheit
behaupten zu können, dass unter ihnen mindestens zwei Karten die gleiche Farbe haben?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Anhang: Übersicht der vier wesentlichen Abzählformeln:
mit Zurücklegen (d.h. mit
Wiederholung),
∈
0
ohne Zurücklegen (d.h. ohne
Wiederholung)
!
−
K
Geordnete Stichprobe
(Reihenfolge wird
− Tupel
berücksichtigt)
Ungeordnete
Stichprobe
D
+
−1
E=
+ −1 !
! −1 !
(Reihenfolge wird
nicht berücksichtigt)
− Kombinationen
≤
!
−Permutationen
D E=
!
!
−
!
−Mengen
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------