Vorlesung-Wärmeleitung Bachelor

Vorlesungsreihe
Wahlpflichtfach Geothermie
Grundlagen des Wärmetransportes
Prof. Dr. Rolf Bracke
FH Bochum
GeothermieZentrum
Lennershofstraße 140
44801 Bochum
Übersicht
•
Wärme und Wärmekapazität
•
Einführung der Wärmeübertragung
•
Wärmeleitung
•
Konvektion
•
Wärmeübergang
•
Wärmetransportgleichungen
•
Einflussgrößen der Wärmeleitfähigkeit
•
Ermittlung der Wärmeleitfähigkeit
•
Labormessmethoden
•
Wärmebilanz der Erde
1.
Wärme
1.1
Energietransport durch Wärme
•
•
•
Die Energie des Systems besteht
aus verschiedenen
Energieanteilen wie innere,
kinetische und potentielle Energie
(Zustandsgrößen)
Die Energie des Systems kann
verändert werden, indem die
Prozessgrößen Wärme oder
Arbeit zu- oder abgeführt wird. Im
Unterschied zur Arbeit ist die
Wärme stets mit einem
Entropiestrom verbunden.
Energie wird dann als Wärme
bezeichnet, wenn die Grenzen
eines Systems überschritten
werden und wenn der
Energietransport allein durch
einen Temperaturunterschied
zwischen System und Umgebung
bewirkt wird.
Q
Q
1.
Wärme
1.2.1
Definition der Wärme und des Wärmestroms
•
Die Wärme Q hat die Einheit J = Ws
•
Der Wärmestrom oder Wärmefluss dQ/dt ist eine Leistung mit Einheit W=J/s
•
Die Wärmestromdichte q ist der Wärmestrom pro Fläche mit Einheit W/m²
•
Um die Temperatur eines Körpers zu ändern, muss man ihm eine
Wärmemenge zuführen oder entziehen.
Q
1.
Wärme
1.2.2
Definition der Wärme und des Wärmestroms
•
Bei Kontakt von zwei Körpern mit unterschiedlichen Temperaturen ändern beide
Körper ihre Temperatur, indem eine bestimmte Wärmemenge vom wärmeren
zum kälteren übergeht (Erhaltungssatz der Wärmemenge). Dieser Vorgang
endet mit dem Erreichen des thermischen Gleichgewichts ( T = 0).
Q
•
Abb. Abkühlung des Körpers K in kälterer Umgebung U (Volumen U>>K)
Q
1.
Wärme
1.3
Definition der Wärmekapazität
•
•
Q
Die Wärmemenge Q, die zugeführt werden muss, um einen Körper von t1 auf t2
zu erwärmen, ist proportional zur Temperaturdifferenz T= t2 - t1 und der
Wärmekapazität des Körpers C.
C [J/K] ist ein Maß für die Wärmespeicherfähigkeit eines Mediums.
Q
•
C
T
Gl. 1-1
Bei homogenen Körpern wird die massenspezifische Wärmekapazität
(spezifische Wärmekapazität) cm = C/M verwendet.
•
cm [J/(kg K)] ist zahlenmäßig gleich der Wärmemenge, die eine definierte
Masseneinheit eines Körpers um 1 K erwärmt bzw. abkühlt.
•
In der Geothermie wird auch häufig die volumetrische spezifische
Wärmekapazität cV [J/(m³K)] verwendet.
1.
Wärme
1.4
Beispielrechnung Wärme und Wärmekapazität
Beispiel: Welche Wärmemenge ist erforderlich um 1 L Wasser von 10°C auf
20°C zu erhitzen?
Spezif. Wärmekapazität von Wasser: cW = 4,186 KJ/(kgK) (früher: 1 cal)
Hinweis: Die alte Einheit der Wärmemenge, die Kalorie (cal), schließt an die Masseneinheit
g und Wasser als Normalsubstanz an. Zufuhr von 1 cal erwärmt 1 g Wasser um 1° C.
Q cW M W
T 4,186 KJ /( Kg K ) 1kg 10 K 41,86 KJ
Würde man anstelle dessen z.B. Sedimentgestein (Sandstein/Tonstein) von
10°C auf 20°C erhitzen, wäre nur 1/5 der o.g. Wärmemenge / Energie
erforderlich. Das liegt an der deutlich geringeren Wärmekapazität des Gesteins
Es gelten folgende Größenordnungen:
1,5 – 5 KJ/(kgK) für Fluide
0,1 – 1 KJ/(kgK) für Feststoffe
2.
2.1.1
Wärmeübertragung - Einführung
Einführung (Thermodynamik - Wärmeübertragung)
Thermodynamik:
• beschreibt Energieumwandlungs- und -transportvorgänge,
Wärmeübertragung:
• beschreibt Gesetzmäßigkeiten des Transportes von thermischer Energie und
dessen Intensität
• Triebkraft: Temperaturunterschied zwischen benachbarten Systemen
• Richtung des Wärmetransportes: von der höheren zur niedrigeren Temperatur
(2. Hauptsatz der Thermodynamik)
• Einflussfaktoren:
– Material- bzw. Stoffeigenschaften
– Strömungsverhältnisse
– geometrische Anordnungen
2.
2.1.2
Wärmeübertragung - Einführung
Definition und Arten der Wärmeübertragung
Definition der Wärmeübertragung
Energietransport zwischen Festkörpern, Flüssigkeiten oder Gasen, der auf
einem Temperaturausgleich räumlicher und zeitlicher Temperaturdifferenzen beruht, wobei die Wärme von Orten höherer Temperatur zu
jenen mit niedriger Temperatur fließt.
Arten der Wärmeübertragung
• Wärmeleitung (Konduktion)
• Konvektion
• Wärmestrahlung
2.
2.2
Wärmeübertragung - Einführung
Wärmeleitung
Wärmeleitung = Molekular erfolgender Wärmetransport von Teilchen höherer
zu Teilchen niedrigerer Energie unter Wirkung eines Temperaturgefälles
einseitige Erwärmung führt zur verstärkten thermischen Bewegung der
Teilchen (Austausch kinetischer
Energie),
die mittlere Lage einzelner Teilchen
bleibt in Festkörpern i.d.R. unverändert
(Gitterverband) aber kann in Fluiden
und Gasen veränderlich sein.
Bei nichtmetallischen Festkörpern
hauptsächlich Transport durch
Gitterschwingungen (Phononenleitung)
Bei metallischen Festkörpern
hauptsächlich Transport frei
beweglicher Elektronen
(Elektronenleitung)
2.
2.3.1
Einführung Wärmeübertragung
Konvektion
Konvektion = Wärmetransport in Fluiden und Gasen über
makroskopische Strömungsvorgänge / Teilchenbewegung.
Nicht die Wärmeenergie strömt sondern das das Medium (Flüssigkeit
oder Gas), welches die Energie mit sich führt.
1. Freie Konvektion: Bewegung aufgrund der durch Temperaturunterschiede
verursachten Dichteunterschieden (Auftrieb).
Beispiel für freie Konvektion: Wenn man ein mit Flüssigkeit gefülltes
Becherglas durch den Boden erwärmt, nimmt dort die Dichte der
Flüssigkeit infolge des Temperaturanstieges ab. Infolge des Auftriebes
steigt sie nach oben und durchmischt sich mit der darüber geschichteten
Flüssigkeit; statt ihrer sinkt kältere Flüssigkeit zu Boden. Es tritt somit
eine Zirkulation der Flüssigkeit ein.
2.
2.3.2
Einführung Wärmeübertragung
Konvektion
2. Erzwungene Konvektion: durch Druckunterschiede aufgrund äußerer
Einwirkung verursachte Strömung
z.B. Gravitativ bedingte natürliche hydraulische Druckunterschiede:
Grundwasserströmung in grundwasserführenden Formationen (Poren /
Klüften)
Kreislaufführung des Sondenfluids durch Pumpe in der Erdwärmesonde
2.
2.4
Wärmeübertragung - Einführung
Wärmestrahlung
Wärmestrahlung = Energietransport durch Aussendung oder Absorption
elektromagnetischer Wellen oder Photonen (ähnlich der Lichtstrahlung).
•
•
•
nicht an Materie gebunden (auch im Vakuum)
unterliegen Gesetzen für elektromagnetischen Wellen
bei mäßigen Temperaturen (< 500 C) vernachlässigbar.
2.
2.5
Wärmeübertragung - Einführung
Abhängigkeit vom Medium
Festkörper
•
Wärmeübertragung im wesentlichen durch Wärmeleitung aber auch durch
Strahlung bei ausreichend durchlässigen Stoffen
Flüssigkeiten und Gase
•
Wärmeübertragung durch alle 3 Übergangsarten möglich
Geothermie der oberen Erdkruste
•
•
•
Gesteinsmatrix (feste Phase): Konduktion ist in kompakten, ungeklüfteten
Gestein der vorherrschende thermische Transportmechanismus
Grundwasser in Poren/Klüften (flüssige Phase): Konduktion+Konvektion
Wärmestrahlung ist bei mäßigen Temperaturen (< 500 C) vernachlässigbar
und ist bei der Geothermie der oberen Erdkruste nicht weiter zu betrachten.
3.
Wärmeübertragung
3.1
Wärmeleitung (Stationär - Instationär)
Wärmeleitung: molekularer Wärmetransport in festen, flüssigen oder
gasförmigen Medien unter Einfluß einer Temperaturdifferenz.
Unterscheidung zwischen stationärer und instationärer Wärmeleitung
Stationär
zeitlich unveränderte Wärmeübertragung
Instationär
zeitlich veränderliche Wärmeübertragung
3.
Wärmeübertragung
3.2
Wärmeleitung (Definition der stationären Wärmeleitung)
Stationäre Wärmeleitung = zeitlich unveränderte Wärmeübertragung
•
•
•
Temperaturen und Wärmeströme bleiben an jeder Stelle des betrachteten
Mediums konstant.
Ein Wärmestrom kann stationär gehalten
werden, wenn man an einem Ort
Q
höherer Temperatur T1 durch eine ,,Quelle" dauernd Wärme zuführt und an
einem Ort tieferer Temperatur T2 in einer ,,Senke" die zuströmende Wärme
abführt, so daß die Temperaturdifferenz T2 - T1 konstant bleibt
Beispiel: Temperatur in einem Dampfkessel wird auf gleicher
Innentemperatur gehalten und Temperatur der Außenluft ändert sich
ebenfalls nicht.
3.
3.2.1
•
Wärmeleitung
Fouriergleichung der stationären Wärmeleitung
Die Wärmeenergie Q, welche pro Zeit t durch die Querschnittsfläche A eines
Körpers der Dicke dx und der Wärmeleitfähigkeit fließt ist proportional zur
Temperaturdifferenz dT.
Für die eindimensionale Wärmeleitung in Richtung des Wärmestroms in
einem homogenen und isotropen Medium (d.h. konstante Wärmeleitfähigkeit
und Dichte) gilt die 1. Fouriersche Gleichung für die stationäre Wärmeleitung:
Q
A
dT
t Gl. 3-1
dx
Q Wärmemenge [ J ]
t Zeit [ s ]
dT T2 T1 [ K ]
W
]
mK
A Querschnittsfläche [m²]
Wärmeleitf ähigkeit [
dx
Dicke [m]
3.
Wärmeübertragung
3.2.2
Wärmeleitung (Fouriergleichung der stationären Wärmeleitung)
Der Wärmestrom (Wärmefluß) ist gleich dem Quotienten aus Wärmemenge pro Zeit
Q
Q
t
A
dT
dx
Gl. 3-2
Den flächenbezogenen Wärmestrom q bezeichnet man als Wärmestromdichte
q

Q
A
dT
dx
Gl. 3-3
Bei Betrachtung in jede Raumrichtung (3-Dl) erhält man die vektorielle Fourierglg.
q( x, y, z )
gradT
Gl. 3-4
Hierbei ist gradT die Ableitung der Temperatur nach den 3 Raumkoordinaten
x, y, und z und der Tensor der Leitfähigkeit (9 Komponenten).
3.
Wärmeübertragung
3.2.3
Wärmeleitung (stationäre Wärmeleitung durch eine einschichtige Wand)
Eindimensionale Wärmeleitung durch ebene Wand (einschichtig)
• Die Wärmeleitung im stationären Betrieb erfolgt nur in Richtung des
Wärmestroms, die als z-Richtung definiert sein soll
q
z
•
T
z
Gl. 3-5
T
q
Gl. 3-6
Der Temperaturverlauf ist linear. Die Größe z/ stellt einen auf die
Längeneinheit beziehungsweise auf die Dicke bezogenen Wärmewiderstand
(spezifischer Wärmewiderstand) dar.
3.
Wärmeübertragung
3.2.4
Wärmeleitung (stationäre Wärmeleitung durch eine einschichtige Wand)
Beispiel 1: Oberflächenwärmefluß (Wärmestrom durch die obere Erdkruste)
Temperaturmessung:
T0 = 10° C an der Erdoberfläche
T1 = 40°C in 1000 m Tiefe
Konstante Wärmeleitfähigkeit des Gesteins bis 1.000 m:
q
dT
dx
W
2
mK
(40 10) K
1000m
= 2 W/(m K)
W
0,06 2
m
mW
60
m²
3.
Wärmeleitung
3.2.5
Wärmeleitung (stationäre Wärmeleitung durch eine einschichtige Wand)
Beispiel 2: stationäre Wärmeleitung durch eine Hauswand
•
Hauswand mit Dicke 50 cm und Fläche 4 m x 30 m = 120 m²
•
Temperatur an der Innenwand 19°C und an der Außenwand 5°C
•
Leitfähigkeit der Ziegelmauer
= 0,83 W/(mK) = 3.000 J/(mhK)
Welche Wärmemenge geht während 24 h durch die Wand verloren?
Q
dT
A
t
dx
Q
J
19 5K
3000
120 m² 24 h
mhK
0,5m
241.920kJ
67kWh
3.
Wärmeübertragung
3.2.6
Wärmeleitung (stationäre Wärmeleitung durch mehrschichtige Wand)
Eindimensionale Wärmeleitung durch ebene Wand (mehrschichtig)
• Ist die Wand aus mehreren Schichten unterschiedlicher Wärmeleitfähigkeit
aufgebaut, addieren sich die spezifischen Wärmeleitwiderstände zi/ i.
zi
i 1
T
q
i
T
q
zi
i 1
i
Gl. 3-7
Gl. 3-8
3.
3.2.7
Wärmeleitung
Wärmeleitfähigkeit
Definition der Wärmeleitfähigkeit :
•
Transportkoeffizient für den
Energietransport durch
Wärmeleitung in W/(mK)
Größenordnungen von :
• Metalle:
= 10 - 500 W/(mK)]
•
Gesteine und Minerale:
= 1 – 10 W/(mK)]
•
Flüssigkeiten:
= 0,1 - 1,0 W/(mK)]
mit Ausnahme Salz- und
Metallschmelzen.
•
Gase: = 0,01- 0,3 W/(mK)
mit Ausnahme Wasserstoff und
Helium.
3.
Wärmeübertragung
3.3.1
Wärmeleitung (Definiton der instationären Wärmeleitung)
Instationäre Wärmeleitung = zeitlich veränderliche Wärmeübertragung
•
Temperatur und Wärmestrom ändern sich im betrachteten Medium mit der Zeit
Modell
• Ein isoliert gedachter Körper sei an seinem einen Ende auf Temperatur T2
erhitzt. Das kühlere Ende habe Temperatur T1.
• Infolge der Wärmeleitung wird sich der Temperaturunterschied im Laufe der
Zeit ausgleichen und der ganze Körper eine einheitliche Temperatur
annehmen.
• Während dieses Temperaturausgleiches ist das Temperaturgefälle und der
Wärmestrom weder örtlich noch zeitlich konstant.
3.
Wärmeübertragung
3.3.2
Wärmeleitung (Gleichung der instationären Wärmeleitung)
Wenn aus einem Volumen mehr Wärme heraus- als hineinströmt, ändert sich
sein Wärmeinhalt Q. Die Differenz dq zwischen der im Volumenelement dV=dxdydz
ein- und ausfließenden Wärme nennt man Divergenz des Wärmeflusses:
Q
t
( qz
(q z
dqz )) A
qz
dzdxdy
z
dqz dxdy
qz
dV
z
Gl. 3-9
Betrachtet man die 3 kartesischen Koordinatenrichtungen ergibt sich:
Q
t
qx
(
x
qy
y
qz
)dV
z
divq dV
Gl. 3-10
3.
3.3.3.
Wärmeübertragung
Wärmeleitung (Gleichung der instationären Wärmeleitung)
Die im Volumenelement dV gespeicherte Wärme Q ist C dT = c M dT = c
mit c: spez. Wärmekapazität [J/(K kg)] und : Dichte [kg/m³]. Es gilt
Q 1
t dV
T
c
t
divq
dV dT
Gl. 3-11
Ersetzt man den Wärmefluss q durch - gradT (vgl. Gl 3-3) und nimmt als
homogen und isotrop an erhält man die Poisson-Gleichung, welche den
instationären Temperaturausgleich beschreibt:
T
t
1
c
divq
c
T
²T
(
c x²
²T
y²
²T
)
z²
Gl. 3-12
Hierbei stellt den Laplace-Operator (2-fache räumliche Ableitung im kartesischen
Koordinatensystem) und T/ t die Ableitung der Temperatur nach der Zeit dar.
3.
3.3.4
Wärmeübertragung
Wärmeleitung (Definition der Temperaturleitfähigkeit)
Der Ausdruck
/( c) in der Dimension [m²/s] wird als Temperaturleitfähigkeit oder
thermische Diffusivität
•
bezeichnet.
ist die einzige Stoffgröße, die in die instationäre Wärmeleitungsgleichung
eingeht.
•
bestimmt, wieviel Zeit zum Temperaturausgleich im Medium benötigt wird.
•
Metalle und Gase haben die größten Temperaturleitfähigkeiten, d.h. in einem
ruhenden Gas gleichen sich die Temperaturunterschiede ebenso schnell aus
wie in Metallen.
•
Flüssigkeiten und Nichteisenmetalle mit geringerer Temperaturzahl benötigen
eine größere Zeit für den Temperaturausgleich.
•
Für die meisten Gesteine der Erdkruste liegt
0,5 - 2 x 10-6 m²/s.
in der Größenordnung von
3.
3.3.5
Wärmeübertragung
Wärmeleitung (Beispielswerte für die Temperaturleitfähigkeit)
Beispiel:
Sandstein mit Wärmeleitfähigkeit =2,3 W/(m K),
Wärmekapazität c=1.640 J/(kgK) und Dichte = 1.500 kg/m³
c
Tab. Thermische
Parameter für
ausgewählte
Stoffe
2,3J m³ kgK1
smK
500
kg 1.640 J
Q 1.dT
dT
Q
A dT
Q Q QAA dT
t
dxdxdx
1 10 6 m² / s
3.
3.3.6
Wärmeübertragung
Wärmeleitung (Poissongleichung der instationären Wärmeleitung)
Mit Verwendung der Temperaturleitfähigkeit
Poisson-Gleichung:
T
t
c
T
T
lautet die dreidimensionale
Gl. 3-13
Betrachtet man nur eine Dimension so vereinfacht sich Gl. 1-9 zu:
2
T
t
T
z²
Gl. 3-14
In Zylinderkoordinaten (r, , z) lautet die Poissongleichung:
T
t
2
T
(
r²
1 T
r r
1
r²
2
T
²
2
T
)
z²
Gl. 3-15
3.
3.3.7
Wärmeübertragung
Wärmeleitung (Quellen oder Senken)
Wird im Volumenelement dV pro Zeiteinheit Wärme nicht nur durchgeleitet oder
gespeichert, sondern auch erzeugt oder verbraucht, so wird dieses durch einen
Quell- bzw. Senkenterm der Stärke H [W/m³] berücksichtigt. Damit ergibt sich :
T
t
•
•
1
( divq H )
c
c
T
H
c
T
H
c
Gl. 3-16
Wärmequelle: z.B. elektrische Heizdrähte oder Volumenelemente, wo
exotherme chemische Reaktionen ablaufen
Wärmesenke: z.B. Auftauendes Eis
3.
3.3.8
•
Wärmeübertragung
Wärmeleitung (Quellen oder Senken)
Bei stationären Verhältnissen und Vorhandensein eines Quellen- und
Senkenterm erhält man:
T
t
•
0
H
c
T
T
H
Gl. 3-17
In Abwesenheit von Wärmequellen und senken erhält man die LaplaceGleichung:
T
H
0
Gl. 3-18
3.
3.3.9
•
•
•
Wärmeübertragung
Wärmeleitung (Lösung der Wärmeleitungsgleichungen)
Für bestimmte Anfangsbedingungen existieren geschlossene Lösungen der instationären Wärmeleitungsgleichungen, die aus unendlichen Fourierreihen bestehen.
Abhängig von der Geometrie des Körper (z.B. Platte, Zylinder und Kugel) und den
Randbedingungen sind verschiedene Lösungswege erforderlich.
Unter Berücksichtigung der Kennzahlen Fourier- und Biotzahl lassen sich für die
meisten Fälle einfach auszuwertende Näherungslösungen angeben.
Abb. Temperaturverlauf bei Abkühlung einer planparallelen Platte bei instationärer Wärmeleitung
Die allgemeine Lösung des Temperaturverlaufes in Abhängigkeit von der Zeit t und des Abstandes
von der Plattenachse x kann in Form einer Fourriereihe dargestellt werden.
3.
3.3.10
Wärmeübertragung
Wärmeleitung (Lösung der Wärmeleitungsgleichungen)
4.
4.1
•
Konvektion
Darcy-Gleichung
Gleichung für den konvektiven (advektiven) Wärmetransport:
qad
•
c
D
T
Gl. 4-1
Als neue entscheidene Größe ist hier die Darcy-Geschwindigkeit vD [m/s] zu betrachten,
die Geschwindigkeit mit der eine Flüssigkeit durch ein poröses Medium fließt . Das
antreibende Moment für die Konvektion sind Druckunterschiede, die durch gravitativ
bedingte natürliche hydraulische Prozesse (Grundwasserströmung in Poren / Klüften)
verursacht werden sowie die freie Konvektion durch Dichteunterschiede
4.
4.2
•
Konvektion
Darcy-Gleichung
Mittels der Darcy-Gleichung wird die Massenströmung bei sublaminaren (langsam
strömenden) Vorgängen in porösen Medien beschrieben.
vD
( gradP
f
g gradz)
Gl. 4-2
Mit Permeabilität des Grundwasserleiters k [m²]; dynamischer Viskosität [Pa s]; Druck P [Pa], Dichte des
Fluids [kg/m³], Gravitationskonstante g = 9,807 m/s² und grad z der vertikale Richtungsvektor.
•
Die mittlere Abstandsgeschwindigkeit, die sich aus dem porösen Anteil des
Fluids von der Darcy-Geschwindigkeit berechnet ergibt sich zu:
u
•
mit
= Porosität
vD
Gl. 4-3
4.
4.3
Konvektion
Hydraulische Eingangsparameter für die Darcy-Gleichung
Tab. Hydraulische Parameter
•
In der Hydrologie hat es sich eingebürgert, einen speziellen hydraulischen
Druck zu definieren, der das Äquivalent einer Wasserhöhe mit der Dimension
[m] darstellt. Dieser setzt sich aus dem entsprechenden äusseren Druck und
der hydrostatischen Wasserhöhe zusammen:
hg
z
P
Gl. 4-4
g
4.
4.4
•
Konvektion
Vereinfachte Darcy-Gleichung
Mittels des Ausdruckes für den hydraulischen Druckes berechnet sich die
Darcy-Geschwindigkeit zu:
vD
•
f
g
f
gradz)
Gl. 4-5
Bei konstanter Dichte und durch die Definition einer hydraulischen Leitfähigkeit
einer Grundwasser-Formation kf = g k / in [m/s] berechnet sich die DarcyGeschwindigkeit stark vereinfacht:
vD
•
( gradhg
k f gradhg
Gl. 4-6
kf wird als in der Hydrogeologie auch als Durchlässigkeitsbeiwert bezeichnet.
4.
4.5
•
•
Konvektion
Lösung der Darcy-Gleichung
Für einfache Geometrien kann vD aus o.g. Gleichung bestimmt werden. Direkt aus
Temperaturprofilen wird sie mit Hilfe der Peclet-Analyse ermittelt. Dichteabhängige
Fälle und komplizierte Geometrien können i.d.R. nur numerisch gelöst werden.
Die lineare Abhängigkeit vom hydrostatischen Potentialgradienten grad hg gilt in
einem weiten Bereich. Abweichungen treten unter- und oberhalb von Grenzgradienten auf und gehen auf molekulare Wechselwirkungen (van der WaalsKräfte) zuwischen Fluid und Matrix bzw. Turbulenz zurück. Turbulenz tritt auf,
wenn die Reynoldszahl Re größer eins wird. Re ist definiert durch
Re
•
f
vD L
Gl. 4-7
Turbulenz tritt in geologische Formationen i.d.R. nicht auf. Ausnahmen bilden
Bohrlöcher bzw. Erdwärmesonden mit künstlich erzeugten Strömungen.
Beispiel:
1
• Re = 1, = 10-3 Pa s; = 1.000 kg/m³,
vf
10 -3 m/s 86,4m/d
L
• L (Korndurchmesser) = 10-3 m
4.
4.6
Konvektion
Konvektion im Erdmantel
Freie Konvektion im Erdmantel
• Im Erdmantel („Mantelkonvektion“): In den zähflüssigen Gesteinen des
Mantels entstehen aufgrund der Temperaturdifferenz über der Mächtigkeit
der „Flüssigkeit“ Auftriebskräfte, die zu Strömungsvorgängen führen. Diesen
entgehen wirken die Widerstandskräfte durch Zähigkeit der Flüssigkeit.
Konvektion bildet sich aus wenn T groß genug ist, um den zähen
Strömungswiderstand des Fluids zu überwinden.
•
Parameter zur Beschreibung der freien Konvektion ist die Raleigh-Zahl Ra,
– gibt das Verhältnis der Konvektionsantreibenen Auftriebskraft
zu den konvektionshindernden
Kräften (u.a. Reibung)
– stark abhängig von Viskosität
(Fließfähigkeit der Gesteine)
– falls Ra > Rakrit setzt
Mantelkonvektion ein
5.
5.1
Wärmeübergang
Defintion des Wärmeüberganges
•
Bisher wurde nur der Wärmetransport innerhalb eines definierten Körpers
(Feststoff oder Fluid) getrennt für die beiden relevanten Arten der
Wärmeübertragung, die Wärmeleitung und die Konvektion (Advektion),
beschrieben.
•
Es fehlt noch der Vorgang des Wärmeaustausches zwischen Körpern mit
unterschiedlicher Temperatur, der durch den Begriff "Wärmeübergang"
beschrieben wird.
•
Wärmeübergang: Grenzen zwei ruhende Körper mit unterschiedlichen
Temperaturen aneinander, so geht von dem wärmeren der beiden eine
Wärmeleistung in den kälteren über.
5.
5.2
•
Wärmeübergang
Wärmeübergang an Grenzflächen fest/fluid
Beim Wärmeübergang von einer festen Wand auf ein fluides Medium und umgekehrt bildet sich an der Wand ein laminar fließender Film (Prandtlsche Grenzschicht) aus, durch den die Wärme nur durch Leitung transportiert werden kann.
Die Wärmeleistung ist proportional zur Temperaturdifferenz von Wandtemperatur
und Temperatur im Kern des Fluids ΔT und zur Austauschfläche A. Der
Wärmeübergangskoeffizient [W/(m²K) ist der Proportionalitätsfaktor.
Q
q
•
A
Q
A
T
A (TWand TFluid )
(TWand TFluid )
Gl. 5-2
Der Wärmeübergangswiderstand 1/
(innerhalb der „Prandtlschen Grenzschicht“
der Dicke ) beherrscht den Gesamtwiderstand
bei der Wärmekonvektion.
Gl. 5-1
5.
5.3
•
•
•
•
Wärmeübergang
Parameter und Lösung des Wärmeübergangsproblems fest/fluid
Aufgrund meist komplexer hydrodynamischen Vorgänge an den Phasengrenzen oft keine exakten Angaben über die Schichtdicke möglich,
Wärmeübergangskoeffizient wird i.d.R. experimentell bestimmt,
In der Technik ist es üblich bzw. die daraus abgeleitete dimensionslose
Kennzahl Nu (Nusselt-Kennzahl) als Funktion der Reynolds- und PrandtlZahlen durch sogenannte Kriteriengleichungen darzustellen.
Reynoldszahl Re ist der Parameter des Strömungsproblems und ist
proportional zu Dichte, Strömungsgeschwindigkeit und Viskosität.
– Kleine Zahlen (Re
0): Trägheitskräfte << Druck- und Reibungskräfte.
– Mittlere Zahlen (Re = 10 - 104): im Bereich der Kritischen Re-Zahl:
• < Rekrit:: laminare Strömung
• > Rekrit : turbulente Strömung
•
– hohe Zahlen (>> Rekrit): vollausgebildete turbulente Strömung
Prandtl-Zahl beschreibt Ausbildung von Grenzschichten bei
Strömungsvorgängen und ist proportional zur Viskosität, der spez.
Wärmekapazität und der Wärmeleitfähigkeit.
6.
6.1
•
•
•
•
Wärmetransportportgleichungen
Feste und flüssige Phase
Aufstellung von Wärmetransportgleichungen zur Ermittlung der zeitlichen Änderung der Temperaturverteilung in dem zu betrachtenden Wärmetransportsystem:
Feste und fluide Phasen bilden hierbei prinzipiell ihr eigenes System. Mit Hilfe des
Wärmeübergangskoeffizienten kommunizieren diese beiden Systeme miteinander.
mit Übergang zwischen einzelnen Phasen
Wärmetransportsysteme im Bereich Oberflächennaher Geothermie wie z.B.
Gesteinsmatrix mit oder ohne gesättigte Poren- und Kluftsysteme,
Erdwärmesondensystem (Übergang Gesteinskörper, Rohr und Sondenfluid)
Wärmetransportgleichung für die feste Phase (s) :
cp
Ts
t
div(
T)
Konduktion
•
A(T f
Ts )
Hs
Gl. 6-1
Wärmeübergang Quellterm
Im Quellenterm H sind alle möglichen Wärmequellen wie z.B. viskose
Wärmedissipation im Fluid oder radioaktiver Zerfall in der Matrix enthalten.
6.
6.2
•
Wärmetransportportgleichungen
Feste und flüssige Phase
Wärmetransportgleichung für die flüssige Phase (f):
cp
Tf
t
div(
T)
Konduktion
•
cp v f
Advektion
Tf
A(Ts
Wärmeübergang
Tf )
H f Gl. 6-2
Quellterm
T: Temperatur [°C], ρ: Gesteinsdichte [kg/m³], cp: spez. Wärmekapazität bei konst. Druck
[J/( kg K)], cf: spez. Wärmekapazität der Flüssigkeit, vf: Darcy-Geschwindigkeit [m/s], λ:
Tensor der Wärmeleitfähigkeit [W/(m K)], H: Wärmeproduktionsrate des gesättigten
Mediums in W/m³ (wärmeproduzierende Substanzen der Porenflüssigkeit + radiogene
Produktion der Gesteine; bei oberflächennaher Geothermie H 0)
6.
6.3
•
Wärmetransportportgleichungen
Poröses Medium
Für den Wärmetransport in porösen Medien kann angenommen werden, dass
Tf = Ts gilt, d.h. der Wärmeübergangsterm kann vernachlässigt werden und beide
o.g. Gleichungen können in eine Wärmetransportgleichung für die Temperaturverteilung in einem gesättigten inkompressiblen porösen Medium zusammengefasst werden:
cp
T
t
div
( T)
Konduktion
cp V T Quellterm
H
Advektion f
Gl. 6-3
6.
6.4
•
Wärmetransportportgleichungen
Erdwärmesonde
Im Fall einer Erdwärmesonde wird die Wärmetransportgleichung aber
folgenderweise aussehen mit Indizes r (Rohr) und f (flüssige Phase):
cp
Tr
t
div(
r
Tr ) k A(T f
Konduktion
Wärmeübergang
Tr )
Hs
Gl. 6-4
Quellterm
•
In Erdwärmesonde kann der Wärmeübergangsterm nicht vernachlässigt werden,
denn Annahme, dass Temperatur des Sondenfluids und der Rohre (Innenrohr
und Aussenrohr) gleich sind, ist nicht mehr gültig.
•
Quellterm H: Wärmeproduktionsrate in den Gesteinen.
– Wenn die Porenflüssigkeit keine wärmeproduzierenden Substanzen enthält,
wird H durch die radiogene Wärmeproduktion der kristallinen Gesteine
bestimmt.
– Der Quellterm H ist für die oberflächennahe Geothermie („flache“
Erdwärmesondenanlagen) vernachlässigbar gering (H = 0).
6.
6.5
Wärmetransportportgleichungen
Lösung der Wärmetransportgleichungen
•
Als Ergebnis aus der Wärmetransportgleichungen (Differentialgleichungen) erhält
man die zeitliche Änderung der Temperaturverteilung in dem zu betrachtenden
Wärmetransportsystem (z. B. Gesteinsschicht, Porenwasserleiter, Kluftsystem,
Erdwärmesondensystem)
•
Lösung der Differentialgleichungen mit numerischen Lösungsverfahren
– Finite Elemente Methoden
– Finite Differenzen Methoden
•
Alternativ werden im Falle von Erdwärmesonden zur Berechnung der
Temperaturänderungen auch einfache Berechnungsansätze herangezogen
– Kelvinsche Linienquellentheorie,
– Zylinderquellenverfahren mit einfachen empirischen Formeln (Guernsey)
– G-Funktionen (Algorithmen auf Grundlage von Modellierungen und
Parameterstudien)
6.
6.6
Wärmetransportportgleichungen
Berechnung mit Kelvinschen Linienquellentheorie (Grundlagen)
Kelvinsche Linienquellentheorie:
• Ein Wärmeübertrager (z.B. Erdwärmesonde) wird als Linienquelle behandelt
• Temperaturänderung in der Umgebung eines Wärmeübertragers in Abhängigkeit von Wärmeleitfähigkeit, Entzugs-/Einspeiseleistung und Rohrabstand
• nur konduktiver Anteil
Q
2
T
T
•
Q
2
e
2
x
I( x )
d
Gl. 6-5
Gl. 6-6
Durch Integration erhält man:
wobei: x
r
2 a t
Gl. 6-7
Mit ΔT: Temperaturänderung nach der Zeit t [K], Q’: spezifische Entzugsleistung der
Sonde [W/m], λ: Wärmeleitfähigkeit [W/(m*K)], r: Abstand vom Sondenzentrum zum
Messpunkt [m], a Temperaturleitfähigkeit [m2/s], t: Zeit [s], I (x) Werte für I(x) sind in
Tabelle IV.1 [SIA, 1996] gegeben
6.
6.7
Wärmetransportportgleichungen
Berechnung mit Kelvinschen Linienquellentheorie (Beispiel)
•
Aufgabenstellung: Temperaturabnahme im Erdreich im Abstand 1,2 m von der
EWS nach 20 Jahren Betriebszeit
•
Annahme: Betriebsstunden 1.800 h/a , Entzugsleistung Q=67 W/m,
= 2.370 kg/m³, = 2,2 W/(m K), cp= 2.222 KJ/(m³K),
•
Berechnung:
1. spezifische Entzugsleistung Q‘=Q x Betriebstunden / Gesamtstunden
= 67 W/m x 1800*20/8760*20= 13,77 W/m
2. Temperaturleitfähigkeit a= /( cp)=2,2/(2.370x2222) m²/s=0,991x10-6 m²/s
3. 20 Jahre = 630720000 s
4. Eingangswert x = 1,2 m x (0,991x10-6 m²/s x 630720000 s)-0,5 = 0,034
5. L(x) = 3,2184 (Tabelle SIA (1996))
6. ΔT = 13,77 / (2 x pi x 2,2) x 3,2184 K = 3,21 K
•
D.h. Nach 20 Jahren Betriebszeit der Erdwärmesonde bei o.g.
Randbedingungen nimmt die Temperatur im Erdreich um 3,21 K ab.
6.
6.7
•
•
•
Wärmetransportportgleichungen
Wärmeentzugsleistung
Aus den numerisch bzw. analytisch ermittelten Temperaturen kann man die
Entzugsleitung P einer Erdwärmesondenanlage bestimmen.
P ist direkt proportional zur Temperaturdifferenz T = TA – TI des
Wärmetauscherfluids am Sondeneingang und Sondenausgang.
P wird berechnet aus der o.g. Temperaturdifferenz T, der Pumprate WP, der
Fluiddichte und der volumenbezogenen Wärmekapazität des Kreislauffluids
P
•
•
f
c f WP (TA TI )
Gl. 6-8
Für die Entzugsleistungen sind nicht nur die petrophysikalischen Eigenschaften
des Untergrundes am Standort der Sonde von Bedeutung, sondern auch
sondenspezifische Parameter, wie
– Rohrdimensionierung,
– Pumprate des Kreislauffluids.
Mit Computerprogrammen, z.B. EWS und der EED (beruht auf numerisch
abgeleitete g-Funktionen) kann man berechnen, ob bei einem vorgegeben P, die
Temperaturänderung z.B. nach 30 Jahren noch tolerierbar sind.
7.
Einflussgrößen der Wärmeleitfähigkeit von Gesteinen
7.1
Allgemeiner Überblick
•
Konduktion die wichtigste Art der Wärmeübertragung in der Lithosphäre.
•
Beschreibende Stoffgröße ist die Wärmeleitfähigkeit
•
Erdkruste: nur Phononen-Wärmeleitfähigkeit (Gitterschwingungen) relevant,
•
Starke Variation der Wärmeleitfähigkeit innerhalb eines Gesteintyps aufgrund:
– Zusammensetzung und Kristallstruktur der einzelnen Mineralbestandteile,
– räumliche Orientierung (Anisotropie) der Mineralbestandteile, d.h. Leitfähigkeit kann für verschiedene Ausbreitungsrichtungen stark variieren.
– Dichte des Gesteins,
– Porosität,
– Porenraumfüllung,
– Temperatur und
– Druck
7.
7.2
Effektive Wärmeleitfähigkeit
Mineralbestandteile
•
Minerale besitzen sehr unterschiedliche Wärmeleitfähigkeiten.
•
Im Vergleich zu Tonmineralen (2,9 W/(m K)) besitzt Quarz (7,0 W/(m K))
eine sehr hohe Leitfähigkeit
•
Für aus mehreren Mineralien zusammengesetzt Gesteine kann die
Gesamtwärmeleitfähigkeit aus den Wärmeleitfähigkeiten der einzelnen
Mineralien durch arithmetische Mittelung berechnet werden.
•
Je höher der Anteil eines gut leitenden Minerals in einem Gestein vorhanden ist, desto höher ist auch die Wärmeleitfähigkeit des Gesteins.
7.
7.3
Effektive Wärmeleitfähigkeit
Anisotropie
Gesteine bestehen aus polykristallinen Mineralaggregaten. Die Wärmeleitfähigkeiten werden durch die Leitfähigkeiten der Mineralbestandteile sowie
deren räumlichen Orientierung bestimmt.
Die Richtungsabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit wird auch als geothermische Anisotropie bezeichnet.
•
Mikroanisotropie im Kleinbereich: räumliche Anordnung der Mineralkörner
•
Makroanisotropie größerer Gesteinseinheiten: Schichtung, Schieferung
sowie Klüftung des Gesteinskörpers
•
Zur Beschreibung der Wärmeleitfähigkeit eines anisotropen Minerals oder
Gesteins ist i.d.R. ausreichend jeweils die Wärmeleitfähigkeit parallel und
senkrecht zur optischen Achse bei Mineralen und parallel und senkrecht
zur Schichtung oder Schieferung bei Gesteinen anzugeben.
•
Der Anisotropiefaktor K beschreibt das Verhältnis zwischen paralleler und
senkrechter Wärmeleitfähigkeit (K = λII/ λt); typische Werte K: 1 - 2,5
7.
7.3.1
Effektive Wärmeleitfähigkeit
Beispiele für Anisotropie
• Tabelle: Wärmeleitfähigkeiten anisotroper Gesteine
Gesteinstyp
Dichte
Wärmeleitfähigkeit [W / (m K)]
Anisotropiefaktor
[g/cm 3 ]
Senkrecht zur
Schichtung
Parallel zur
Schichtung
T onschiefer
2,66
1,71
3,29
1,92
Gneis
2,72
2,65
3,73
1,41
Kalkstein
2,69
2,38
3,16
1,33
Quarzsandstein
2,64
4,77
4,94
1,04
Dolomit
n.a.
3,91
3,98
1,02
7.
7.4
Effektive Wärmeleitfähigkeit
Temperatur und Druck
•
Anstieg des Drucks und der Temperatur (ca. 0,03 K/m) in der Erdkruste mit
zunehmender Tiefe.
•
Bei größeren Drücken i.A. eine höhere Wärmeleitfähigkeit infolge
– Schließung der Poren und Mikrorisse
– besseren thermischen Kontaktes zwischen den einzelnen
Mineralpartikeln
•
Bei Zunahme der Temperatur grundsätzlich Abnahme der
Wärmeleitfähigkeit ( 1/T)
•
Für oberflächennahe Geothermie bei Tiefen bis 100 m ist Einfluss des
Druckes und Temperatur auf Wärmeleitfähigkeit aber vernachlässigbar
gering.
7.
Effektive Wärmeleitfähigkeit
7.5
Porosität und der Porenraumfüllung
Porenvolumen und die Porenraumfüllung (Luft, Wasser, Gase, etc.) können
die Wärmeleitfähigkeit von Gesteinen wesentlich beeinflussen, wobei die
Bedeutung der Porenraumfüllung mit dem Porenvolumen steigt.
• Mit Zunahme des Porenraums verringert sich i.d.R. die Wärmeleitfähigkeit
des Gesteins, da die Porenraumfüllung (Luft, Wasser, Gase etc.) im
Vergleich mit dem Gestein eine viel niedrigere Wärmeleitfähigkeit besitzt.
• Luft bzw. Gase haben im Vergleich mit Wasser eine viel niedrigere
Wärmeleitfähigkeit, d.h. wassergesättigte Gesteine haben i.A. eine höhere
Leitfähigkeit als ungesättigte Gesteine.
• Das Maximum der Kurve der Wärmeleitfähigkeit als Funktion der Sättigung
tritt auf, wenn alle Körner benetzt sind, der Porenraum jedoch noch nicht
völlig gesättigt ist. Dann sind die Widerstände für den Wärmeübergang
minimal und Wärme kann sich gut ausbreiten. Steigt die Sättigung weiter
überwiegt der Einfluss der schlecht leitenden Porenwassers.
• Die Wärmeleitfähigkeitsveränderungen vergrößern sich mit steigendem
Porenvolumen.
7.
7.5.1
Effektive Wärmeleitfähigkeit x
Porosität und der Porenraumfüllung (Modelle WALSH & DECKER))
•
WALSH & DECKER (1966) haben den minimalen und maximalen Einfluss des
Porenraumes und der Porenfüllung anhand von zwei Modellen untersucht.
•
Modell 1 (Minimaleinfluss):
Hohlräume in einer massiven
Gesteinsmatrix: Der Porenraumeinfluss ist bei gleicher Porosität
minimal. Wärmeleitung erfolgt über
die großen Berührungsflächen der
einzelnen Minerale.
•
Modell
2
(Maximaleinfluss):
Alle Körner werden allseitig von
Hohlräumen umgeben und stützen
sich nur an kleinen Berührungsflächen ab: Der Porenraumeinfluss ist
maximal.
•
Der tatsächliche Einfluss der
Porenraumverteilung liegt immer
zwischen beiden Modellen
Abb.: BREHM & KNOBLICH stellten die Wärmeleitfähigkeit eines
Sandes (6,0 W/(m K)) als Funktion der Porosität nach den
Modell-Formeln von WALSH & DECKER (1966) dar
7.
7.5.2
Effektive Wärmeleitfähigkeit x
Porosität und der Porenraumfüllung (Wassergehalt des Lockergesteins)
Insbesondere für Lockersedimente besteht ein großer Einfluss des Wassergehaltes auf die Wärmeleitfähigkeit.
Beispiel:
• körniges Lockergestein mit
einer Rohdichte von 1,8-1,9
g/cm³ (Sande und Kiese)
• Bei Zunahme des Wassergehaltes von 0 auf 9 % steigt
die Wärmeleitfähigkeit um
den Faktor 5.
Abb.: Abhängigkeit der Wärmeleitfähigkeiten von der Wassersättigung für
Lockersedimente nach SALOMONE (1987) (Umrechnung auf SIEinheiten nach SANNER (1992)).
7.
7.5.3
Effektive Wärmeleitfähigkeit
Porosität und der Porenraumfüllung (Gleichung nach KERSTEN)
Empirische Zusammenhänge zwischen Wärmeleitfähigkeit, Wassergehalt
sowie Trockendichte für Lockergesteine nach KERSTEN (1949):
•
Sand, ungefroren:
= 0,1442 · (0,7 · log (w) + 0,4) · 10 (0,6243 ·
•
Sand, gefroren:
= 0,01096 · 10(0,811 ·
•
Schluff und Ton, ungefroren:
= 0,1442 · (0,9 · log (w) - 0,2) · 10 (0,6243 ·
•
Schluff und Ton, gefroren:
= 0,001442 · 10 (1,373 ·
•
Hierbei stellt w den Wassergehalt in % dar.
•
Auch bei KERSTEN (1949) wird der große Einfluss des Wassergehaltes auf
die Wärmeleitfähigkeit der Lockergesteine deutlich.
)
)
+ 0,00461 · w · 10 (0,9115 ·
)+
)
)
0,01226 · w · 10 (0,4994 ·
)
8.
8.1.
Ermittlung der Leitfähigkeit
Literaturdaten / Algrorithmen / Messmethoden
•
Rückgriff auf umfangreiche Literaturdatenbanken
– Messdaten für viele Gesteinsarten und Minerale.
– Problem: Aufgrund wechselnder Mineralienzusammensetzungen können
Leitfähigkeiten innerhalb einer Gesteinsart stark variieren, d.h. die
tatsächliche Leitfähigkeit eines lokal angetroffenen Gesteins kann
deutlich vom Literatur-Mittelwert der Gesteinsart abweichen.
– Berechnung der Leitfähigkeit eines Gesteines über arithmetische
anteilige Mittelung der Leitfähigkeiten der Minerale
•
empirische ermittelte Algorithmen für bestimmte Materialien (z.B. bei
Lockergesteinen (siehe Kap. 7) Diagramm von SALOMONE (1987) und
Formeln von KERSTEN (1949); Voraussetzung ist Bestimmung der Dichte,
Wassergehalt, Kornmaterial (Korngröße) und Korndichte nach einheitlichen
Verfahren. Genauigkeit mit ± 25 % sehr gering)
Messmethoden
– Direktmessung im Bohrloch (z.B. Thermal Response Test),
– Labormessungen (siehe Kap. 9).
•
8.
8.2.
Ermittlung der Leitfähigkeit
Literaturstudien
Mate rial
Lite raturque lle
Dichte
[kg/m3]
Wärme kapa-z Wärme le itfäh
ität [MJ/(m³
ig-ke it [W/(m
K)]
K)]
VDI, 2000
2,6-3,2
2,3-2,6
1,3-2,3 (1,7)
Basalt
SANNER, 1992
2,86
2,52
1,7
Diorit
VDI, 2000
2,9-3,0
2,9
2,0-2,9 (2,6)
VDI, 2000
2,8-3,1
2,6
1,7-2,5 (1,9)
VDI, 2000
2,4-3,0
2,1-3,0
2,1-4,1 (3,4)
Granit
SANNER, 1992
2,59
2,12
3
Granit, trocke n
SIA, 1996
2,6
2,3-2,5
2,6-3,8
Granit, wasse rge sättigt
SIA, 1996
2,6
2,3-2,5
2,7-3,8
Pe ridotit
VDI, 2000
3
2,7
3,8-5,3 (4,0)
Rhyolit
VDI, 2000
ca. 2,6
2,1
3,1-3,4 (3,3)
Me tamorphe Ge ste ine :
Dichte
[kg/m3]
Wärme kapa-z Wärme le itfäh
ität [MJ/(m³
ig-ke it [W/(m
K)]
K)]
2,7-2,8
1,4-1,6
0,4-0,5 (0,4)
1,2-1,6
0,3-0,4
ca. 2,4
ca. 1,8
2,2-2,4
2,5-3,3
ca. 2,7
Kie
sättigt
Kie s,
s, wasse
sandigrge
(15
%
Wasse rge halt)
SIA, 1996
SUNDBERG, 1979
2,07
2,55
1,6
Moräne
VDI, 2000
n.a.
1,5-2,5
1,0-2,5 (2,0)
VDI, 2000
2,6-2,7
1,3-1,6
0,3-0,8 (0,4)
SIA, 1996
1,8
1,0-1,3
0,3-0,4
VDI, 2000
2,6-2,7
2,2-2,9
1,7-5,0 (2,4)
2,2-2,4
2,0-3,2
Sand, trocke n
Sand,
rge
sättigt
Dichtewasse
r Mitte
lsand
(5 %
Wasse
halt)
Dichte rge
r Mitte
lsand (22 %
SIA, 1996
SUNDBERG, 1979
1,8
1,72
1,3
Wasse rge halt)
SUNDBERG, 1979
1,93
2,68
1,6
1,0-2,3
SUNDBERG, 1979
SIA, 1996
2,3-2,5
2,4-3,3
Gne is, wasse rge sättigt
SIA, 1996
2,3-2,5
2,5-3,5
Marmor
VDI, 2000
2,5-2,8
2
1,3-3,1 (2,1)
Me taquarz it
VDI, 2000
ca. 2,7
2,1
ca. 5,8
VDI, 2000
ca. 2,6
2,2
1,5-3,1 (2,0)
NEISS, 1982
2,85
2,26
0,5
VDI, 2000
2,7
2,2-2,5
1,5-2,6
Kohle
Ge
schie be le hm (2 %
Wasse rge halt)
Tonschie fe r
SANNER, 1992
2,68
2,3
2,1 (2,1)
Silt, trocke n
Tonschie fe r, trocke n
SIA, 1996
2,3-2,5
1,4-2,5
Tonschie fe r, wasse rge sättigt
SIA, 1996
2,3-2,5
1,4-2,6
Gne is, trocke n
SIA, 1996
VDI, 2000
1,9-4,0 (2,9)
VDI, 2000
2,4-2,7
VDI, 2000
Kie s, trocke n
1,8-2,4
Gne is
Glimme rschie fe r
Lite raturque lle
Locke rge ste ine :
Magmatische Ge ste ine :
Gabbro
Mate rial
Schluff
Ton/Schluff, trocke n
0,38
Farouki, 1986
VDI, 2000
n.a.
1,5-1,6
0,4-1,0 (0,5)
SIA, 1996
1,2
0,3-0,6
0,2-0,3
VDI, 2000
n.a.
1,6-3,4
0,9-2,3 (1,7)
0,6-1,0
1,2-1,6
0,2-0,7 (0,4)
Ton/Schluff, wasse rge sättigt
SIA, 1996
Torf
VDI, 2000
KAPPELMEYER&HÄNEL,
1974
n.a.
0,5-3,8
SUNDBERG, 1979
1,96
1,76
0,9
SIA, 1996
0,6-1,0
0,2-0,3
Silt, wasse rge sättigt
SIA, 1996
2,1-2,4
1,4-2,5
Mutte rbode n (Erde )
KRIST , 1985
0,34-0,36
Q uartz
Pyrith
LANDOLT &BÖRNST EIN, 1982
7,69
Alkalife ldspat
LANDOLT &BÖRNST EIN, 1982 2,59
2,67
NEISS, 1982
1,84
2,3
1,96
2
2,12
3,6
Tonmine rale
LANDOLT &BÖRNST EIN, 1982 2,71
2,65
NEISS, 1982
2
1,8
k.A.
n.a.
3,4
0,26
Mine ralie n
Se dime ntge ste ine :
VDI, 2000
2,6-2,7
2,1-2,4
2,5-4,0 (2,8)
Kalkste in
SANNER, 1992
2,55
2,17
2,2
Kalkste in, trocke n
SIA, 1996
2,5
2,2-2,4
2,8-3,3
Kalkste in, wasse rge sättigt
SIA, 1996
2,5
2,2-2,4
2,8-3,3
Me rge l
VDI, 2000
2,5-2,6
2,2-2,3
1,5-3,5 (2,1)
Me rge l, trocke n
SIA, 1996
1,0-1,5
1,5-1,8
Grauwacke
SANNER, 1992
Me rge l, wasse rge sättigt
SIA, 1996
2,0-2,5
2,3-2,9
Dolomit, trocke n
SIA, 1996
2,6-2,8
2,8-3,8
2,7-3,0
3,5-4,5
Plagioklas
C alcit
19,2
LANDOLT &BÖRNST EIN, 1982
VDI, 2000
ca. 2,7
2,1-2,2
3,6-6,6 (6,0)
Q uarz it
HORAI, BALDRIDGE 1972
2,65
1,88
7,6
Dolomit, wasse rge sättigt
SIA, 1996
Salz
VDI, 2000
KAPPELMEYER&HÄNEL,
1974
2,1-2,2
1,2
5,3-6,4 (5,4)
Ande re Mate rialie n
Be ntonit
VDI, 2000
n.a.
ca. 3,9
0,5-0,8 (0,6)
4,77-4,94
Be ton
VDI, 2000
ca. 2,0
ca. 1,8
0,9-2,0 (1,6)
Eis be i – 10 C
VDI, 2000
0,919
1,87
2,32
Kunststoff, PE
VDI, 2000
n.a.
n.a.
0,39
Luft trocke n
VDI, 2000
0,0012
0,0012
0,02
Stahl
VDI, 2000
7,8
3,12
60
Q uarz sandste in
Sandste in
Sandste in
LANDOLT &BÖRNST EIN, 1982 2,3
2,3
SIA, 1996
1,8-2,4
0,9-6,5 (2,47)
1,8-2,4
1,8-3,5
VDI, 2000
2,2-2,7
1,6-2,8
1,3-5,1 (2,3)
Sandste in
SANNER, 1992
2,65
2,17
3,2
Wasse r, 10 °C
VDI, 2000
0,999
4,15
0,59
Sandste in, trocke n
SIA, 1996
2,3
1,8-2,4
1,8-3,5
Wasse r, 40 °C
VDI, 1977
0,996
4,16
0,632
Sandste in, wasse rge sättigt
SIA, 1996
2,3
2,3-2,6
2,3-4,0
Mine ralwolle
SIA, 1996
0,03-0,15
0,1
0,04
Ste inkohle
VDI, 2000
n.a.
1,3-1,8
0,3-0,6 (0,3)
Silbe r
SIA, 1996
10,5
2,41
418
Ton-/Schluffste in
VDI, 2000
2,5-2,6
2,1-2,4
1,1-3,5 (2,2)
Kupfe r
SIA, 1996
8,94
3,42
319
8.
8.3
Ermittlung der Leitfähigkeit
Thermal Response Test
Thermal Response Test
•
In-Situ-Verfahren zur Bestimmung der
Wärmeleitfähigkeit am Standort der Sonde.
•
Ziel des Test: Optimierung der Auslegung einer
Erdwärmesondenanlage und Überprüfung der
Entzugsleistungen bei bestehenden Anlagen.
•
Entwicklung des Tests geht auf die theoretischen Grundlagen von mehreren Jahrzehnten
zurück (u.a. CHOUDARY, 1976; MOGENSEN,
1983; CLAESSON, 1985). Die praktische Umsetzung erfolgte Mitte der 90-iger Jahre, z.B. Untersuchung eines Erdwärmesonden- Wärmespeichers in Linköping / S (HELLSTRÖM, 1997).
•
In Deutschland seit Ende der 90er Jahre
u.a.durch SANNER eingeführt.
8.
8.3.1
Ermittlung der Leitfähigkeit
Thermal Response Test (Ausführung)
Durchführung der Messung in Probebohrung / bestehender Bohrung:
• Einbau einer Wärmetauschersonde
• An die Sonde wird eine definierte, meist konstante Heizleistung angelegt.
• Messung der Ein- und Austrittstemperaturen des Wärmeträgerfluids (Wasser) mit
kontinuierlicher Messdatenaufzeichnung.
• Ausreichende Versuchslaufzeit (48-72h) zur Vermeidung von Messfehler aufgrund
– Schwankungen von Einspeiseleistung,
– Temperaturschwankungen im Tagesverlauf,
– Störungen durch Wärmeentwicklung beim Abbinden des Verfüllmaterials,
– Konvektionströme die Daten verfälschen.
Auswertung des Thermal Response Test
• basieren auf der KELVIN schen Linienquellentheorie,
• Die Sonde wird wie eine Linienquelle behandelt.
• Aus dem zeitlichen Verlauf der Temperatur (Steigung) am Sondenausgang kann
die Wärmeleitfähigkeit λ des Untergrundes als auch der thermische Widerstand
zwischen Fluid und Bohrlochwand (Übergangswiderstand) ermittelt werden.
8.
8.3.2
Ermittlung der Leitfähigkeit
Thermal Response Test (Auswertung)
8.
8.3.3
•
Ermittlung der Leitfähigkeit
Thermal Response Test (Beispiel)
Beispiel eines Thermal Response Test
südlich Frankfurt/Main nach
REUß und SANNER (1999)
Abb. 8-2 Regressionsgerade der Fluid-Mitteltemperatur
(nach REUß und SANNER (1999) )
Q
4 H Steigung
4
4900W
99 m 1,411K
W
2,79
mK
8.
8.3.4
Ermittlung der Leitfähigkeit
Thermal Response Test (Vor- und Nachteile)
Vorteile des Thermal Response Tests
• Messung über die gesamte Bohrlochlänge,
• Einbeziehung der Bohrlochverfüllung, der der ungestörten
Untergrundverhältnisse einschließlich des eventuell vorhandenen
Grundwasserflusses.
• Betrachtung der Wechselwirkung zwischen mehreren Sonden möglich.
Nachteile des Thermal Response Tests
•
•
•
Kosten von ca. 4000 € für oberflächenahe Erdwärmesonden
Kelvin`sche Linienquellentheorie geht geht von einem konduktiven
r
Wärmetransport und einer kontinuierlichen Linienquelle aus. Der im Untergrund
x
evt. vorhandene konvektive Anteil und veränderliche Wärmequellen werden
2 a t
nicht berücksichtigt.
Keine Bestimmung der vertikalen Variation der Wärmeleitfähigkeit (für die
einzelnen Schichtglieder im Untergrund). Die Wärmeleitfähigkeit wird immer nur
für die Gesamtsonde bestimmt.
9.
9.1
•
Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter
Überblick über die thermophysikalischen Kennwerte
Wesentliche Voraussetzung für die numerische Lösung der Wärmetransportgleichungen zur Berechnung von Wärmeausbreitungsmodellen ist
die möglichst genaue Kenntnis der thermophysikalischen Kennwerte
– Wärmeleitfähigkeit ,
– der Dichte
– der spezifischen Wärmekapazität c,
– der Porosität φ und
– die aus dem Verhältnis
/ (c * ) berechnete Temperaturleitfähigkeit .
•
Die besten Ergebnisse liefern hier Labormessungen zur Bestimmung der
o.g. Kennwerte an Bohrkernen aus dem engeren Untersuchungsgebiet.
•
Nachfolgend werden die wichtigsten Labormessmethoden vorgestellt.
9.
9.2
Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter
Wärmeleitfähigkeit (Messmethoden im Labor)
Bestimmung der Wärmeleitfähigkeiten der Gesteine durch Laborversuche an
Bohrkernen mittels verschiedener Messmethoden:
•
Einsatz von punktförmigen oder flächenförmige Wärmequellen,
•
Kontaktmessungen: Wärmequellen werden direkt an die Probenoberfläche
angelegt.
•
Kontaktlose Messungen: Der Abstand der Quelle zu der Probe ist in die
Berechnung einzubeziehen.
•
stationäre Messungen: konstante Wärmequellen.
•
Instationäre Messungen: zeitliche Änderung der Wärmezufuhr.
•
Bei eindimensionaler Zuführung der Wärme sind Messungen in
verschiedenen Richtungen nötig, um die Anisotropie der Wärmeausbreitung
festzustellen.
9.
9.2.1
Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter
Thermal Conductivity Scanner
Thermal Conductivity Scanner beruht auf Prinzip nach Popov
• Messprinzip: „Scannen“ einer Probenoberfläche mit einer fokussierten
konstanten Wärmequelle und der Temperaturmessung mittels InfrarotThermosensoren. Als Referenz werden zwei Standards mit bekannter
Wärmeleitfähigkeit benutzt.
Q
Abb. 9-1 Vorbereitete
Probenkörper (schwarzer
Lack zur besseren
Absorption der Wärme)
Abb.9-2 Thermal Conductivity Scanner (Hersteller Fa. Lippmann and Rauen GbR)
(Institut für Angewandte Geophysik der RWTH Aachen)
9.
Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter
9.2.1.1 Thermal Conductivity Scanner (Messablauf)
Messablauf (Institut für Angewandte Geophysik der RWTH Aachen)
1. Vorbereitete Probe (max. ca. 0,5 m lang) wird zwischen zwei Standards mit
bekannter Wärmeleitfähigkeit auf Aluminiumträger gelegt.
2. Bewegliche Wärmequelle wird mit konstanter Strahlungsleistung und
Geschwindigkeit unterhalb der Probe durchgefahren.
3. Durch die abgegebene Licht- und Wärmestrahlung wird die Probe erwärmt.
4. Vor und hinter der Quelle befindet sich in definiertem Abstand InfrarotTemperatur-Sensoren (Wellenlänge 780 nm - 1mm), die die Temperaturen
vor und nach Erhitzung messen.
5. Der Temperaturverlauf entlang der Messstrecke (Probe + zwei Standards)
wird kontinuierlich aufgezeichnet.
6. Durch Auflegen der Proben in zwei verschiedenen Richtungen (horizontal
und vertikal) lässt sich der Anisotropiefaktor ableiten.
9.
Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter
9.2.1.2 Thermal Conductivity Scanner (Auswertung)
Auswertung
1. Aus der Differenz der vor und nach der Wärmequelle gemessenen
Temperatur wird die Wärmeleitfähigkeit bestimmt.
2. Der maximale Anstieg der Temperatur
definiert (Popov et al. 1999)
wird durch folgende Gleichung
Q = Wärmeenergie der Wärmequelle
Q
2 x
Gl. 9-1
x = Abstand Sonde Probe
3. Das Verhältnis der gesuchten Wärmeleitfähigkeiten der Probe p und der
bekannten Wärmeleitfähigkeiten der Standards s ist gleich dem Verhältnis
der gemessene Temperaturanstiege der Probe p und Standards s. Damit
kann p folgerndermaßen ermittelt werden.
s
p
s
p
Gl. 9-2
9.
Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter
9.2.1.3 Thermal Conductivity Scanner (Beispiel)
Beispiel: Messung von Buntsandsteinproben aus Südwestdeutschland
Parameter
Wärmeleitfähigkeit
[W/(m K)]
Wassersättigung
Richtung
Mittlerer
Buntsandstein
Trocken
Horizontal
4,335
Vertikal
3,971
Horizontal
5,284
Vertikal
4,965
Gesättigt
•
Literatur-Werte für Wärmeleitfähigkeit von Sandstein nach LANDOLT-BÖRNSTEIN (1982):
Mittel: 2,47 W/(m K) bei einer gesamten Bandbreite von 0,9 - 6,5 W/(m K)).
•
VDI-Richtlinie 4640 empfiehlt für Sandsteine einen Wert von 2,3 W / (mK)
•
Messwerte sind vergleichsweise hoch bedingt durch hohen Quarz-Anteil ( = 7 W/(m K).
•
Deutliche Differenz zwischen horizontalen und vertikalen Messungen, d.h. vergleichsweise
hoher Anisotropiekoeffizient für Sandstein von K 1,1.
Ursache: Horizontal gelagerter Schichtaufbau des Buntsandsteines. Parallel zum
Schichtaufbau bessere Wärmeleitung, während senkrecht dazu die makroskopisch kaum
erkennbaren Schichtgrenzen für die Wärmeleitung ein Hindernis darstellen.
Der Buntsandstein besitzt eine Porosität von ca. 10%, d.h. die Werte des saturierten
Zustandes erheblich höher, als die des trockenen Zustandes ( wasser > Luft)
•
•
9.
9.3
Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter
Messung der spezifischen Wärmekapazität mit Kalorimeter
Die Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität erfolgt mittels Kalorimeter.
Einsatz in der Geothermie: dynamisches Wärmestrom-Differenz-Kalorimeter
• Z.B. Typ C 80 der Fa. Setaram mit Zylindermesssystem nach Tian & Calvet
Ofen
Thermosäule
Probengefäß
Referenzgefäß
Abb. 9-3 Kalorimeter mit Controller, Leistungsteil, Rechner (Institut für Angewandte Geophysik, RWTH Aachen)
9.
9.3.1
Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter
Messung der spezifischen Wärmekapazität mit Kalorimeter (Messablauf)
Messablauf (Institut für Angewandte Geophysik der RWTH Aachen)
1. Vor Beginn der Messung erfolgt eine Referenzmessung mit
leeren Probenbehältern zur Bestimmung der Grundlinie des
Wärmestroms 0 (T). Die Messung erfolgt unter den gleichen
Randbedingungen (Anfangs- und Endtemperatur, Heizrate)
wie die spätere Messung der Proben.
2. Die Probe und eine Referenzprobe werden je in einem
zylindrischen Probenbehälter er untergebracht und in einen
Ofen gestellt.
3. Je eine Thermosäule zwischen Probe, Referenzprobe und
Ofen bedeckt die Zylinderoberflächen der Probengefäße
vollständig.
4. Der Ofen wird mit einer konstanten Heizrate aufgewärmt.
5. Es fließen Wärmeströme zwischen Ofen und Probe bzw.
Referenzprobe, die kontinuierlich aufgezeichnet werden.
6. Der Messung beginnt bei Raumtemperatur 30° C und endet
nach Bedarf bei bis zu 300°C.
Ofen
Thermosäule
Probengefäß
Referenzgefäß
9.
9.3.2
Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter
Messung der spezifischen Wärmekapazität mit Kalorimeter (Auswertung)
Auswertung
1. Die Differenz der aufgezeichneten Wärmeströme der Probe p und der
Referenzprobe r ist proportional zur spezifischen Wärmekapazität cp.
2. Unter Kenntnis des temperaturabhängigen Kalibrierfaktors des
Kalorimeters K 0 (T) aus der Referenzmessung, der Heizrate des Ofens
und der Masse des Probenmaterials mp ergibt sich für die spezifische
Wärmekapazität cp der Probe:
c p (T )
K
o
(T )(
p
r
) Gl. 9-3
mp
3. Man erhält eine cp(T) - Kurve für den gemessenen Temperaturbereich.
4. Sind im Anwendungsfall Temperaturen < 30° C (z.B. oberflächennahe
Geothermie) relevant, muss cp(T) - Kurve zu tieferen Temperaturen
extrapoliert werden.
9.
9.3.3
Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter
Messung der spezifischen Wärmekapazität mit Kalorimeter (Beispiel)
Beispiel (spez. Wärmekapazität von Sandstein in 300 m Tiefe)
•
•
Annahme: Temperatur in 300 m Tiefe bei 10 - 17° C
Da systembedingte Anfangstemperatur bei 30° C ist eine Extrapolation
der gemessenen cp(T)-Kurve
auf 0°
C erforderlich.
Spezifische Wärmekapazität
des Sandsteins
1200
Spezifische Wärmekapazität in J/(kgK)
1000
y = 1.7901x + 719.56
2
R = 0.9348
800
600
2
y = -0.01x + 3.6539x + 643.37
2
R = 0.9593
400
200
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
Temperatur in °C
Gemessene Werte
Linear
Polynom 2. Grades
Abb. 9-4 spez. Wärmekapazität eines Sandsteins (Institut für Angewandte Geophysik der RWTH Aachen)
9.
9.4
Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter
Dichtemessung
•
Zur Ermittlung der Dichte eines Gesteines
sein Volumen V [m³]m Labor bestimmt.
•
Die Masse m wird durch Wiegen der Proben im trockenen und wassergesättigten Zustand bestimmt.
•
Das Volumen wird nach Prinzip von Archimedes durch Eintauchen der
gesättigten Probe in Wasser (24° C) und Wiegen des verdrängten Wassers
bestimmt.
•
Die Kalibrierung dieses Verfahrens erfolgte mit einem Probenkörper mit
bekannter Dichte.
wird seine Masse m [kg] und
9.
9.4.1
•
Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter
Dichtemessung (Pyknometer)
Alternativ werden als Direktmessmethoden Gaspyknometer zur Reindichteund Feststoffpyknometer zur Rohdichtemessung eingesetzt
Abb. 9-5 Gas-Pyknometer
Abb. 9-6 Feststoff-Pyknometer
9.
9.5
•
Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter
Porosität
Die Porositäten φ einer Proben wird aus der Differenz des Gewichtes
zwischen dem trockenen mtr und wassergesättigten Zustand msat der Proben
und der Volumen der Probe VProbe errechnet:
Gl. 9-4
•
w(T) :
Dichte des Wassers in Abhängigkeit der Temperatur T.