Vorlesung-Wärmeleitung Bachelor
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Vorlesungsreihe Wahlpflichtfach Geothermie Grundlagen des Wärmetransportes Prof. Dr. Rolf Bracke FH Bochum GeothermieZentrum Lennershofstraße 140 44801 Bochum Übersicht • Wärme und Wärmekapazität • Einführung der Wärmeübertragung • Wärmeleitung • Konvektion • Wärmeübergang • Wärmetransportgleichungen • Einflussgrößen der Wärmeleitfähigkeit • Ermittlung der Wärmeleitfähigkeit • Labormessmethoden • Wärmebilanz der Erde 1. Wärme 1.1 Energietransport durch Wärme • • • Die Energie des Systems besteht aus verschiedenen Energieanteilen wie innere, kinetische und potentielle Energie (Zustandsgrößen) Die Energie des Systems kann verändert werden, indem die Prozessgrößen Wärme oder Arbeit zu- oder abgeführt wird. Im Unterschied zur Arbeit ist die Wärme stets mit einem Entropiestrom verbunden. Energie wird dann als Wärme bezeichnet, wenn die Grenzen eines Systems überschritten werden und wenn der Energietransport allein durch einen Temperaturunterschied zwischen System und Umgebung bewirkt wird. Q Q 1. Wärme 1.2.1 Definition der Wärme und des Wärmestroms • Die Wärme Q hat die Einheit J = Ws • Der Wärmestrom oder Wärmefluss dQ/dt ist eine Leistung mit Einheit W=J/s • Die Wärmestromdichte q ist der Wärmestrom pro Fläche mit Einheit W/m² • Um die Temperatur eines Körpers zu ändern, muss man ihm eine Wärmemenge zuführen oder entziehen. Q 1. Wärme 1.2.2 Definition der Wärme und des Wärmestroms • Bei Kontakt von zwei Körpern mit unterschiedlichen Temperaturen ändern beide Körper ihre Temperatur, indem eine bestimmte Wärmemenge vom wärmeren zum kälteren übergeht (Erhaltungssatz der Wärmemenge). Dieser Vorgang endet mit dem Erreichen des thermischen Gleichgewichts ( T = 0). Q • Abb. Abkühlung des Körpers K in kälterer Umgebung U (Volumen U>>K) Q 1. Wärme 1.3 Definition der Wärmekapazität • • Q Die Wärmemenge Q, die zugeführt werden muss, um einen Körper von t1 auf t2 zu erwärmen, ist proportional zur Temperaturdifferenz T= t2 - t1 und der Wärmekapazität des Körpers C. C [J/K] ist ein Maß für die Wärmespeicherfähigkeit eines Mediums. Q • C T Gl. 1-1 Bei homogenen Körpern wird die massenspezifische Wärmekapazität (spezifische Wärmekapazität) cm = C/M verwendet. • cm [J/(kg K)] ist zahlenmäßig gleich der Wärmemenge, die eine definierte Masseneinheit eines Körpers um 1 K erwärmt bzw. abkühlt. • In der Geothermie wird auch häufig die volumetrische spezifische Wärmekapazität cV [J/(m³K)] verwendet. 1. Wärme 1.4 Beispielrechnung Wärme und Wärmekapazität Beispiel: Welche Wärmemenge ist erforderlich um 1 L Wasser von 10°C auf 20°C zu erhitzen? Spezif. Wärmekapazität von Wasser: cW = 4,186 KJ/(kgK) (früher: 1 cal) Hinweis: Die alte Einheit der Wärmemenge, die Kalorie (cal), schließt an die Masseneinheit g und Wasser als Normalsubstanz an. Zufuhr von 1 cal erwärmt 1 g Wasser um 1° C. Q cW M W T 4,186 KJ /( Kg K ) 1kg 10 K 41,86 KJ Würde man anstelle dessen z.B. Sedimentgestein (Sandstein/Tonstein) von 10°C auf 20°C erhitzen, wäre nur 1/5 der o.g. Wärmemenge / Energie erforderlich. Das liegt an der deutlich geringeren Wärmekapazität des Gesteins Es gelten folgende Größenordnungen: 1,5 – 5 KJ/(kgK) für Fluide 0,1 – 1 KJ/(kgK) für Feststoffe 2. 2.1.1 Wärmeübertragung - Einführung Einführung (Thermodynamik - Wärmeübertragung) Thermodynamik: • beschreibt Energieumwandlungs- und -transportvorgänge, Wärmeübertragung: • beschreibt Gesetzmäßigkeiten des Transportes von thermischer Energie und dessen Intensität • Triebkraft: Temperaturunterschied zwischen benachbarten Systemen • Richtung des Wärmetransportes: von der höheren zur niedrigeren Temperatur (2. Hauptsatz der Thermodynamik) • Einflussfaktoren: – Material- bzw. Stoffeigenschaften – Strömungsverhältnisse – geometrische Anordnungen 2. 2.1.2 Wärmeübertragung - Einführung Definition und Arten der Wärmeübertragung Definition der Wärmeübertragung Energietransport zwischen Festkörpern, Flüssigkeiten oder Gasen, der auf einem Temperaturausgleich räumlicher und zeitlicher Temperaturdifferenzen beruht, wobei die Wärme von Orten höherer Temperatur zu jenen mit niedriger Temperatur fließt. Arten der Wärmeübertragung • Wärmeleitung (Konduktion) • Konvektion • Wärmestrahlung 2. 2.2 Wärmeübertragung - Einführung Wärmeleitung Wärmeleitung = Molekular erfolgender Wärmetransport von Teilchen höherer zu Teilchen niedrigerer Energie unter Wirkung eines Temperaturgefälles einseitige Erwärmung führt zur verstärkten thermischen Bewegung der Teilchen (Austausch kinetischer Energie), die mittlere Lage einzelner Teilchen bleibt in Festkörpern i.d.R. unverändert (Gitterverband) aber kann in Fluiden und Gasen veränderlich sein. Bei nichtmetallischen Festkörpern hauptsächlich Transport durch Gitterschwingungen (Phononenleitung) Bei metallischen Festkörpern hauptsächlich Transport frei beweglicher Elektronen (Elektronenleitung) 2. 2.3.1 Einführung Wärmeübertragung Konvektion Konvektion = Wärmetransport in Fluiden und Gasen über makroskopische Strömungsvorgänge / Teilchenbewegung. Nicht die Wärmeenergie strömt sondern das das Medium (Flüssigkeit oder Gas), welches die Energie mit sich führt. 1. Freie Konvektion: Bewegung aufgrund der durch Temperaturunterschiede verursachten Dichteunterschieden (Auftrieb). Beispiel für freie Konvektion: Wenn man ein mit Flüssigkeit gefülltes Becherglas durch den Boden erwärmt, nimmt dort die Dichte der Flüssigkeit infolge des Temperaturanstieges ab. Infolge des Auftriebes steigt sie nach oben und durchmischt sich mit der darüber geschichteten Flüssigkeit; statt ihrer sinkt kältere Flüssigkeit zu Boden. Es tritt somit eine Zirkulation der Flüssigkeit ein. 2. 2.3.2 Einführung Wärmeübertragung Konvektion 2. Erzwungene Konvektion: durch Druckunterschiede aufgrund äußerer Einwirkung verursachte Strömung z.B. Gravitativ bedingte natürliche hydraulische Druckunterschiede: Grundwasserströmung in grundwasserführenden Formationen (Poren / Klüften) Kreislaufführung des Sondenfluids durch Pumpe in der Erdwärmesonde 2. 2.4 Wärmeübertragung - Einführung Wärmestrahlung Wärmestrahlung = Energietransport durch Aussendung oder Absorption elektromagnetischer Wellen oder Photonen (ähnlich der Lichtstrahlung). • • • nicht an Materie gebunden (auch im Vakuum) unterliegen Gesetzen für elektromagnetischen Wellen bei mäßigen Temperaturen (< 500 C) vernachlässigbar. 2. 2.5 Wärmeübertragung - Einführung Abhängigkeit vom Medium Festkörper • Wärmeübertragung im wesentlichen durch Wärmeleitung aber auch durch Strahlung bei ausreichend durchlässigen Stoffen Flüssigkeiten und Gase • Wärmeübertragung durch alle 3 Übergangsarten möglich Geothermie der oberen Erdkruste • • • Gesteinsmatrix (feste Phase): Konduktion ist in kompakten, ungeklüfteten Gestein der vorherrschende thermische Transportmechanismus Grundwasser in Poren/Klüften (flüssige Phase): Konduktion+Konvektion Wärmestrahlung ist bei mäßigen Temperaturen (< 500 C) vernachlässigbar und ist bei der Geothermie der oberen Erdkruste nicht weiter zu betrachten. 3. Wärmeübertragung 3.1 Wärmeleitung (Stationär - Instationär) Wärmeleitung: molekularer Wärmetransport in festen, flüssigen oder gasförmigen Medien unter Einfluß einer Temperaturdifferenz. Unterscheidung zwischen stationärer und instationärer Wärmeleitung Stationär zeitlich unveränderte Wärmeübertragung Instationär zeitlich veränderliche Wärmeübertragung 3. Wärmeübertragung 3.2 Wärmeleitung (Definition der stationären Wärmeleitung) Stationäre Wärmeleitung = zeitlich unveränderte Wärmeübertragung • • • Temperaturen und Wärmeströme bleiben an jeder Stelle des betrachteten Mediums konstant. Ein Wärmestrom kann stationär gehalten werden, wenn man an einem Ort Q höherer Temperatur T1 durch eine ,,Quelle" dauernd Wärme zuführt und an einem Ort tieferer Temperatur T2 in einer ,,Senke" die zuströmende Wärme abführt, so daß die Temperaturdifferenz T2 - T1 konstant bleibt Beispiel: Temperatur in einem Dampfkessel wird auf gleicher Innentemperatur gehalten und Temperatur der Außenluft ändert sich ebenfalls nicht. 3. 3.2.1 • Wärmeleitung Fouriergleichung der stationären Wärmeleitung Die Wärmeenergie Q, welche pro Zeit t durch die Querschnittsfläche A eines Körpers der Dicke dx und der Wärmeleitfähigkeit fließt ist proportional zur Temperaturdifferenz dT. Für die eindimensionale Wärmeleitung in Richtung des Wärmestroms in einem homogenen und isotropen Medium (d.h. konstante Wärmeleitfähigkeit und Dichte) gilt die 1. Fouriersche Gleichung für die stationäre Wärmeleitung: Q A dT t Gl. 3-1 dx Q Wärmemenge [ J ] t Zeit [ s ] dT T2 T1 [ K ] W ] mK A Querschnittsfläche [m²] Wärmeleitf ähigkeit [ dx Dicke [m] 3. Wärmeübertragung 3.2.2 Wärmeleitung (Fouriergleichung der stationären Wärmeleitung) Der Wärmestrom (Wärmefluß) ist gleich dem Quotienten aus Wärmemenge pro Zeit Q Q t A dT dx Gl. 3-2 Den flächenbezogenen Wärmestrom q bezeichnet man als Wärmestromdichte q Q A dT dx Gl. 3-3 Bei Betrachtung in jede Raumrichtung (3-Dl) erhält man die vektorielle Fourierglg. q( x, y, z ) gradT Gl. 3-4 Hierbei ist gradT die Ableitung der Temperatur nach den 3 Raumkoordinaten x, y, und z und der Tensor der Leitfähigkeit (9 Komponenten). 3. Wärmeübertragung 3.2.3 Wärmeleitung (stationäre Wärmeleitung durch eine einschichtige Wand) Eindimensionale Wärmeleitung durch ebene Wand (einschichtig) • Die Wärmeleitung im stationären Betrieb erfolgt nur in Richtung des Wärmestroms, die als z-Richtung definiert sein soll q z • T z Gl. 3-5 T q Gl. 3-6 Der Temperaturverlauf ist linear. Die Größe z/ stellt einen auf die Längeneinheit beziehungsweise auf die Dicke bezogenen Wärmewiderstand (spezifischer Wärmewiderstand) dar. 3. Wärmeübertragung 3.2.4 Wärmeleitung (stationäre Wärmeleitung durch eine einschichtige Wand) Beispiel 1: Oberflächenwärmefluß (Wärmestrom durch die obere Erdkruste) Temperaturmessung: T0 = 10° C an der Erdoberfläche T1 = 40°C in 1000 m Tiefe Konstante Wärmeleitfähigkeit des Gesteins bis 1.000 m: q dT dx W 2 mK (40 10) K 1000m = 2 W/(m K) W 0,06 2 m mW 60 m² 3. Wärmeleitung 3.2.5 Wärmeleitung (stationäre Wärmeleitung durch eine einschichtige Wand) Beispiel 2: stationäre Wärmeleitung durch eine Hauswand • Hauswand mit Dicke 50 cm und Fläche 4 m x 30 m = 120 m² • Temperatur an der Innenwand 19°C und an der Außenwand 5°C • Leitfähigkeit der Ziegelmauer = 0,83 W/(mK) = 3.000 J/(mhK) Welche Wärmemenge geht während 24 h durch die Wand verloren? Q dT A t dx Q J 19 5K 3000 120 m² 24 h mhK 0,5m 241.920kJ 67kWh 3. Wärmeübertragung 3.2.6 Wärmeleitung (stationäre Wärmeleitung durch mehrschichtige Wand) Eindimensionale Wärmeleitung durch ebene Wand (mehrschichtig) • Ist die Wand aus mehreren Schichten unterschiedlicher Wärmeleitfähigkeit aufgebaut, addieren sich die spezifischen Wärmeleitwiderstände zi/ i. zi i 1 T q i T q zi i 1 i Gl. 3-7 Gl. 3-8 3. 3.2.7 Wärmeleitung Wärmeleitfähigkeit Definition der Wärmeleitfähigkeit : • Transportkoeffizient für den Energietransport durch Wärmeleitung in W/(mK) Größenordnungen von : • Metalle: = 10 - 500 W/(mK)] • Gesteine und Minerale: = 1 – 10 W/(mK)] • Flüssigkeiten: = 0,1 - 1,0 W/(mK)] mit Ausnahme Salz- und Metallschmelzen. • Gase: = 0,01- 0,3 W/(mK) mit Ausnahme Wasserstoff und Helium. 3. Wärmeübertragung 3.3.1 Wärmeleitung (Definiton der instationären Wärmeleitung) Instationäre Wärmeleitung = zeitlich veränderliche Wärmeübertragung • Temperatur und Wärmestrom ändern sich im betrachteten Medium mit der Zeit Modell • Ein isoliert gedachter Körper sei an seinem einen Ende auf Temperatur T2 erhitzt. Das kühlere Ende habe Temperatur T1. • Infolge der Wärmeleitung wird sich der Temperaturunterschied im Laufe der Zeit ausgleichen und der ganze Körper eine einheitliche Temperatur annehmen. • Während dieses Temperaturausgleiches ist das Temperaturgefälle und der Wärmestrom weder örtlich noch zeitlich konstant. 3. Wärmeübertragung 3.3.2 Wärmeleitung (Gleichung der instationären Wärmeleitung) Wenn aus einem Volumen mehr Wärme heraus- als hineinströmt, ändert sich sein Wärmeinhalt Q. Die Differenz dq zwischen der im Volumenelement dV=dxdydz ein- und ausfließenden Wärme nennt man Divergenz des Wärmeflusses: Q t ( qz (q z dqz )) A qz dzdxdy z dqz dxdy qz dV z Gl. 3-9 Betrachtet man die 3 kartesischen Koordinatenrichtungen ergibt sich: Q t qx ( x qy y qz )dV z divq dV Gl. 3-10 3. 3.3.3. Wärmeübertragung Wärmeleitung (Gleichung der instationären Wärmeleitung) Die im Volumenelement dV gespeicherte Wärme Q ist C dT = c M dT = c mit c: spez. Wärmekapazität [J/(K kg)] und : Dichte [kg/m³]. Es gilt Q 1 t dV T c t divq dV dT Gl. 3-11 Ersetzt man den Wärmefluss q durch - gradT (vgl. Gl 3-3) und nimmt als homogen und isotrop an erhält man die Poisson-Gleichung, welche den instationären Temperaturausgleich beschreibt: T t 1 c divq c T ²T ( c x² ²T y² ²T ) z² Gl. 3-12 Hierbei stellt den Laplace-Operator (2-fache räumliche Ableitung im kartesischen Koordinatensystem) und T/ t die Ableitung der Temperatur nach der Zeit dar. 3. 3.3.4 Wärmeübertragung Wärmeleitung (Definition der Temperaturleitfähigkeit) Der Ausdruck /( c) in der Dimension [m²/s] wird als Temperaturleitfähigkeit oder thermische Diffusivität • bezeichnet. ist die einzige Stoffgröße, die in die instationäre Wärmeleitungsgleichung eingeht. • bestimmt, wieviel Zeit zum Temperaturausgleich im Medium benötigt wird. • Metalle und Gase haben die größten Temperaturleitfähigkeiten, d.h. in einem ruhenden Gas gleichen sich die Temperaturunterschiede ebenso schnell aus wie in Metallen. • Flüssigkeiten und Nichteisenmetalle mit geringerer Temperaturzahl benötigen eine größere Zeit für den Temperaturausgleich. • Für die meisten Gesteine der Erdkruste liegt 0,5 - 2 x 10-6 m²/s. in der Größenordnung von 3. 3.3.5 Wärmeübertragung Wärmeleitung (Beispielswerte für die Temperaturleitfähigkeit) Beispiel: Sandstein mit Wärmeleitfähigkeit =2,3 W/(m K), Wärmekapazität c=1.640 J/(kgK) und Dichte = 1.500 kg/m³ c Tab. Thermische Parameter für ausgewählte Stoffe 2,3J m³ kgK1 smK 500 kg 1.640 J Q 1.dT dT Q A dT Q Q QAA dT t dxdxdx 1 10 6 m² / s 3. 3.3.6 Wärmeübertragung Wärmeleitung (Poissongleichung der instationären Wärmeleitung) Mit Verwendung der Temperaturleitfähigkeit Poisson-Gleichung: T t c T T lautet die dreidimensionale Gl. 3-13 Betrachtet man nur eine Dimension so vereinfacht sich Gl. 1-9 zu: 2 T t T z² Gl. 3-14 In Zylinderkoordinaten (r, , z) lautet die Poissongleichung: T t 2 T ( r² 1 T r r 1 r² 2 T ² 2 T ) z² Gl. 3-15 3. 3.3.7 Wärmeübertragung Wärmeleitung (Quellen oder Senken) Wird im Volumenelement dV pro Zeiteinheit Wärme nicht nur durchgeleitet oder gespeichert, sondern auch erzeugt oder verbraucht, so wird dieses durch einen Quell- bzw. Senkenterm der Stärke H [W/m³] berücksichtigt. Damit ergibt sich : T t • • 1 ( divq H ) c c T H c T H c Gl. 3-16 Wärmequelle: z.B. elektrische Heizdrähte oder Volumenelemente, wo exotherme chemische Reaktionen ablaufen Wärmesenke: z.B. Auftauendes Eis 3. 3.3.8 • Wärmeübertragung Wärmeleitung (Quellen oder Senken) Bei stationären Verhältnissen und Vorhandensein eines Quellen- und Senkenterm erhält man: T t • 0 H c T T H Gl. 3-17 In Abwesenheit von Wärmequellen und senken erhält man die LaplaceGleichung: T H 0 Gl. 3-18 3. 3.3.9 • • • Wärmeübertragung Wärmeleitung (Lösung der Wärmeleitungsgleichungen) Für bestimmte Anfangsbedingungen existieren geschlossene Lösungen der instationären Wärmeleitungsgleichungen, die aus unendlichen Fourierreihen bestehen. Abhängig von der Geometrie des Körper (z.B. Platte, Zylinder und Kugel) und den Randbedingungen sind verschiedene Lösungswege erforderlich. Unter Berücksichtigung der Kennzahlen Fourier- und Biotzahl lassen sich für die meisten Fälle einfach auszuwertende Näherungslösungen angeben. Abb. Temperaturverlauf bei Abkühlung einer planparallelen Platte bei instationärer Wärmeleitung Die allgemeine Lösung des Temperaturverlaufes in Abhängigkeit von der Zeit t und des Abstandes von der Plattenachse x kann in Form einer Fourriereihe dargestellt werden. 3. 3.3.10 Wärmeübertragung Wärmeleitung (Lösung der Wärmeleitungsgleichungen) 4. 4.1 • Konvektion Darcy-Gleichung Gleichung für den konvektiven (advektiven) Wärmetransport: qad • c D T Gl. 4-1 Als neue entscheidene Größe ist hier die Darcy-Geschwindigkeit vD [m/s] zu betrachten, die Geschwindigkeit mit der eine Flüssigkeit durch ein poröses Medium fließt . Das antreibende Moment für die Konvektion sind Druckunterschiede, die durch gravitativ bedingte natürliche hydraulische Prozesse (Grundwasserströmung in Poren / Klüften) verursacht werden sowie die freie Konvektion durch Dichteunterschiede 4. 4.2 • Konvektion Darcy-Gleichung Mittels der Darcy-Gleichung wird die Massenströmung bei sublaminaren (langsam strömenden) Vorgängen in porösen Medien beschrieben. vD ( gradP f g gradz) Gl. 4-2 Mit Permeabilität des Grundwasserleiters k [m²]; dynamischer Viskosität [Pa s]; Druck P [Pa], Dichte des Fluids [kg/m³], Gravitationskonstante g = 9,807 m/s² und grad z der vertikale Richtungsvektor. • Die mittlere Abstandsgeschwindigkeit, die sich aus dem porösen Anteil des Fluids von der Darcy-Geschwindigkeit berechnet ergibt sich zu: u • mit = Porosität vD Gl. 4-3 4. 4.3 Konvektion Hydraulische Eingangsparameter für die Darcy-Gleichung Tab. Hydraulische Parameter • In der Hydrologie hat es sich eingebürgert, einen speziellen hydraulischen Druck zu definieren, der das Äquivalent einer Wasserhöhe mit der Dimension [m] darstellt. Dieser setzt sich aus dem entsprechenden äusseren Druck und der hydrostatischen Wasserhöhe zusammen: hg z P Gl. 4-4 g 4. 4.4 • Konvektion Vereinfachte Darcy-Gleichung Mittels des Ausdruckes für den hydraulischen Druckes berechnet sich die Darcy-Geschwindigkeit zu: vD • f g f gradz) Gl. 4-5 Bei konstanter Dichte und durch die Definition einer hydraulischen Leitfähigkeit einer Grundwasser-Formation kf = g k / in [m/s] berechnet sich die DarcyGeschwindigkeit stark vereinfacht: vD • ( gradhg k f gradhg Gl. 4-6 kf wird als in der Hydrogeologie auch als Durchlässigkeitsbeiwert bezeichnet. 4. 4.5 • • Konvektion Lösung der Darcy-Gleichung Für einfache Geometrien kann vD aus o.g. Gleichung bestimmt werden. Direkt aus Temperaturprofilen wird sie mit Hilfe der Peclet-Analyse ermittelt. Dichteabhängige Fälle und komplizierte Geometrien können i.d.R. nur numerisch gelöst werden. Die lineare Abhängigkeit vom hydrostatischen Potentialgradienten grad hg gilt in einem weiten Bereich. Abweichungen treten unter- und oberhalb von Grenzgradienten auf und gehen auf molekulare Wechselwirkungen (van der WaalsKräfte) zuwischen Fluid und Matrix bzw. Turbulenz zurück. Turbulenz tritt auf, wenn die Reynoldszahl Re größer eins wird. Re ist definiert durch Re • f vD L Gl. 4-7 Turbulenz tritt in geologische Formationen i.d.R. nicht auf. Ausnahmen bilden Bohrlöcher bzw. Erdwärmesonden mit künstlich erzeugten Strömungen. Beispiel: 1 • Re = 1, = 10-3 Pa s; = 1.000 kg/m³, vf 10 -3 m/s 86,4m/d L • L (Korndurchmesser) = 10-3 m 4. 4.6 Konvektion Konvektion im Erdmantel Freie Konvektion im Erdmantel • Im Erdmantel („Mantelkonvektion“): In den zähflüssigen Gesteinen des Mantels entstehen aufgrund der Temperaturdifferenz über der Mächtigkeit der „Flüssigkeit“ Auftriebskräfte, die zu Strömungsvorgängen führen. Diesen entgehen wirken die Widerstandskräfte durch Zähigkeit der Flüssigkeit. Konvektion bildet sich aus wenn T groß genug ist, um den zähen Strömungswiderstand des Fluids zu überwinden. • Parameter zur Beschreibung der freien Konvektion ist die Raleigh-Zahl Ra, – gibt das Verhältnis der Konvektionsantreibenen Auftriebskraft zu den konvektionshindernden Kräften (u.a. Reibung) – stark abhängig von Viskosität (Fließfähigkeit der Gesteine) – falls Ra > Rakrit setzt Mantelkonvektion ein 5. 5.1 Wärmeübergang Defintion des Wärmeüberganges • Bisher wurde nur der Wärmetransport innerhalb eines definierten Körpers (Feststoff oder Fluid) getrennt für die beiden relevanten Arten der Wärmeübertragung, die Wärmeleitung und die Konvektion (Advektion), beschrieben. • Es fehlt noch der Vorgang des Wärmeaustausches zwischen Körpern mit unterschiedlicher Temperatur, der durch den Begriff "Wärmeübergang" beschrieben wird. • Wärmeübergang: Grenzen zwei ruhende Körper mit unterschiedlichen Temperaturen aneinander, so geht von dem wärmeren der beiden eine Wärmeleistung in den kälteren über. 5. 5.2 • Wärmeübergang Wärmeübergang an Grenzflächen fest/fluid Beim Wärmeübergang von einer festen Wand auf ein fluides Medium und umgekehrt bildet sich an der Wand ein laminar fließender Film (Prandtlsche Grenzschicht) aus, durch den die Wärme nur durch Leitung transportiert werden kann. Die Wärmeleistung ist proportional zur Temperaturdifferenz von Wandtemperatur und Temperatur im Kern des Fluids ΔT und zur Austauschfläche A. Der Wärmeübergangskoeffizient [W/(m²K) ist der Proportionalitätsfaktor. Q q • A Q A T A (TWand TFluid ) (TWand TFluid ) Gl. 5-2 Der Wärmeübergangswiderstand 1/ (innerhalb der „Prandtlschen Grenzschicht“ der Dicke ) beherrscht den Gesamtwiderstand bei der Wärmekonvektion. Gl. 5-1 5. 5.3 • • • • Wärmeübergang Parameter und Lösung des Wärmeübergangsproblems fest/fluid Aufgrund meist komplexer hydrodynamischen Vorgänge an den Phasengrenzen oft keine exakten Angaben über die Schichtdicke möglich, Wärmeübergangskoeffizient wird i.d.R. experimentell bestimmt, In der Technik ist es üblich bzw. die daraus abgeleitete dimensionslose Kennzahl Nu (Nusselt-Kennzahl) als Funktion der Reynolds- und PrandtlZahlen durch sogenannte Kriteriengleichungen darzustellen. Reynoldszahl Re ist der Parameter des Strömungsproblems und ist proportional zu Dichte, Strömungsgeschwindigkeit und Viskosität. – Kleine Zahlen (Re 0): Trägheitskräfte << Druck- und Reibungskräfte. – Mittlere Zahlen (Re = 10 - 104): im Bereich der Kritischen Re-Zahl: • < Rekrit:: laminare Strömung • > Rekrit : turbulente Strömung • – hohe Zahlen (>> Rekrit): vollausgebildete turbulente Strömung Prandtl-Zahl beschreibt Ausbildung von Grenzschichten bei Strömungsvorgängen und ist proportional zur Viskosität, der spez. Wärmekapazität und der Wärmeleitfähigkeit. 6. 6.1 • • • • Wärmetransportportgleichungen Feste und flüssige Phase Aufstellung von Wärmetransportgleichungen zur Ermittlung der zeitlichen Änderung der Temperaturverteilung in dem zu betrachtenden Wärmetransportsystem: Feste und fluide Phasen bilden hierbei prinzipiell ihr eigenes System. Mit Hilfe des Wärmeübergangskoeffizienten kommunizieren diese beiden Systeme miteinander. mit Übergang zwischen einzelnen Phasen Wärmetransportsysteme im Bereich Oberflächennaher Geothermie wie z.B. Gesteinsmatrix mit oder ohne gesättigte Poren- und Kluftsysteme, Erdwärmesondensystem (Übergang Gesteinskörper, Rohr und Sondenfluid) Wärmetransportgleichung für die feste Phase (s) : cp Ts t div( T) Konduktion • A(T f Ts ) Hs Gl. 6-1 Wärmeübergang Quellterm Im Quellenterm H sind alle möglichen Wärmequellen wie z.B. viskose Wärmedissipation im Fluid oder radioaktiver Zerfall in der Matrix enthalten. 6. 6.2 • Wärmetransportportgleichungen Feste und flüssige Phase Wärmetransportgleichung für die flüssige Phase (f): cp Tf t div( T) Konduktion • cp v f Advektion Tf A(Ts Wärmeübergang Tf ) H f Gl. 6-2 Quellterm T: Temperatur [°C], ρ: Gesteinsdichte [kg/m³], cp: spez. Wärmekapazität bei konst. Druck [J/( kg K)], cf: spez. Wärmekapazität der Flüssigkeit, vf: Darcy-Geschwindigkeit [m/s], λ: Tensor der Wärmeleitfähigkeit [W/(m K)], H: Wärmeproduktionsrate des gesättigten Mediums in W/m³ (wärmeproduzierende Substanzen der Porenflüssigkeit + radiogene Produktion der Gesteine; bei oberflächennaher Geothermie H 0) 6. 6.3 • Wärmetransportportgleichungen Poröses Medium Für den Wärmetransport in porösen Medien kann angenommen werden, dass Tf = Ts gilt, d.h. der Wärmeübergangsterm kann vernachlässigt werden und beide o.g. Gleichungen können in eine Wärmetransportgleichung für die Temperaturverteilung in einem gesättigten inkompressiblen porösen Medium zusammengefasst werden: cp T t div ( T) Konduktion cp V T Quellterm H Advektion f Gl. 6-3 6. 6.4 • Wärmetransportportgleichungen Erdwärmesonde Im Fall einer Erdwärmesonde wird die Wärmetransportgleichung aber folgenderweise aussehen mit Indizes r (Rohr) und f (flüssige Phase): cp Tr t div( r Tr ) k A(T f Konduktion Wärmeübergang Tr ) Hs Gl. 6-4 Quellterm • In Erdwärmesonde kann der Wärmeübergangsterm nicht vernachlässigt werden, denn Annahme, dass Temperatur des Sondenfluids und der Rohre (Innenrohr und Aussenrohr) gleich sind, ist nicht mehr gültig. • Quellterm H: Wärmeproduktionsrate in den Gesteinen. – Wenn die Porenflüssigkeit keine wärmeproduzierenden Substanzen enthält, wird H durch die radiogene Wärmeproduktion der kristallinen Gesteine bestimmt. – Der Quellterm H ist für die oberflächennahe Geothermie („flache“ Erdwärmesondenanlagen) vernachlässigbar gering (H = 0). 6. 6.5 Wärmetransportportgleichungen Lösung der Wärmetransportgleichungen • Als Ergebnis aus der Wärmetransportgleichungen (Differentialgleichungen) erhält man die zeitliche Änderung der Temperaturverteilung in dem zu betrachtenden Wärmetransportsystem (z. B. Gesteinsschicht, Porenwasserleiter, Kluftsystem, Erdwärmesondensystem) • Lösung der Differentialgleichungen mit numerischen Lösungsverfahren – Finite Elemente Methoden – Finite Differenzen Methoden • Alternativ werden im Falle von Erdwärmesonden zur Berechnung der Temperaturänderungen auch einfache Berechnungsansätze herangezogen – Kelvinsche Linienquellentheorie, – Zylinderquellenverfahren mit einfachen empirischen Formeln (Guernsey) – G-Funktionen (Algorithmen auf Grundlage von Modellierungen und Parameterstudien) 6. 6.6 Wärmetransportportgleichungen Berechnung mit Kelvinschen Linienquellentheorie (Grundlagen) Kelvinsche Linienquellentheorie: • Ein Wärmeübertrager (z.B. Erdwärmesonde) wird als Linienquelle behandelt • Temperaturänderung in der Umgebung eines Wärmeübertragers in Abhängigkeit von Wärmeleitfähigkeit, Entzugs-/Einspeiseleistung und Rohrabstand • nur konduktiver Anteil Q 2 T T • Q 2 e 2 x I( x ) d Gl. 6-5 Gl. 6-6 Durch Integration erhält man: wobei: x r 2 a t Gl. 6-7 Mit ΔT: Temperaturänderung nach der Zeit t [K], Q’: spezifische Entzugsleistung der Sonde [W/m], λ: Wärmeleitfähigkeit [W/(m*K)], r: Abstand vom Sondenzentrum zum Messpunkt [m], a Temperaturleitfähigkeit [m2/s], t: Zeit [s], I (x) Werte für I(x) sind in Tabelle IV.1 [SIA, 1996] gegeben 6. 6.7 Wärmetransportportgleichungen Berechnung mit Kelvinschen Linienquellentheorie (Beispiel) • Aufgabenstellung: Temperaturabnahme im Erdreich im Abstand 1,2 m von der EWS nach 20 Jahren Betriebszeit • Annahme: Betriebsstunden 1.800 h/a , Entzugsleistung Q=67 W/m, = 2.370 kg/m³, = 2,2 W/(m K), cp= 2.222 KJ/(m³K), • Berechnung: 1. spezifische Entzugsleistung Q‘=Q x Betriebstunden / Gesamtstunden = 67 W/m x 1800*20/8760*20= 13,77 W/m 2. Temperaturleitfähigkeit a= /( cp)=2,2/(2.370x2222) m²/s=0,991x10-6 m²/s 3. 20 Jahre = 630720000 s 4. Eingangswert x = 1,2 m x (0,991x10-6 m²/s x 630720000 s)-0,5 = 0,034 5. L(x) = 3,2184 (Tabelle SIA (1996)) 6. ΔT = 13,77 / (2 x pi x 2,2) x 3,2184 K = 3,21 K • D.h. Nach 20 Jahren Betriebszeit der Erdwärmesonde bei o.g. Randbedingungen nimmt die Temperatur im Erdreich um 3,21 K ab. 6. 6.7 • • • Wärmetransportportgleichungen Wärmeentzugsleistung Aus den numerisch bzw. analytisch ermittelten Temperaturen kann man die Entzugsleitung P einer Erdwärmesondenanlage bestimmen. P ist direkt proportional zur Temperaturdifferenz T = TA – TI des Wärmetauscherfluids am Sondeneingang und Sondenausgang. P wird berechnet aus der o.g. Temperaturdifferenz T, der Pumprate WP, der Fluiddichte und der volumenbezogenen Wärmekapazität des Kreislauffluids P • • f c f WP (TA TI ) Gl. 6-8 Für die Entzugsleistungen sind nicht nur die petrophysikalischen Eigenschaften des Untergrundes am Standort der Sonde von Bedeutung, sondern auch sondenspezifische Parameter, wie – Rohrdimensionierung, – Pumprate des Kreislauffluids. Mit Computerprogrammen, z.B. EWS und der EED (beruht auf numerisch abgeleitete g-Funktionen) kann man berechnen, ob bei einem vorgegeben P, die Temperaturänderung z.B. nach 30 Jahren noch tolerierbar sind. 7. Einflussgrößen der Wärmeleitfähigkeit von Gesteinen 7.1 Allgemeiner Überblick • Konduktion die wichtigste Art der Wärmeübertragung in der Lithosphäre. • Beschreibende Stoffgröße ist die Wärmeleitfähigkeit • Erdkruste: nur Phononen-Wärmeleitfähigkeit (Gitterschwingungen) relevant, • Starke Variation der Wärmeleitfähigkeit innerhalb eines Gesteintyps aufgrund: – Zusammensetzung und Kristallstruktur der einzelnen Mineralbestandteile, – räumliche Orientierung (Anisotropie) der Mineralbestandteile, d.h. Leitfähigkeit kann für verschiedene Ausbreitungsrichtungen stark variieren. – Dichte des Gesteins, – Porosität, – Porenraumfüllung, – Temperatur und – Druck 7. 7.2 Effektive Wärmeleitfähigkeit Mineralbestandteile • Minerale besitzen sehr unterschiedliche Wärmeleitfähigkeiten. • Im Vergleich zu Tonmineralen (2,9 W/(m K)) besitzt Quarz (7,0 W/(m K)) eine sehr hohe Leitfähigkeit • Für aus mehreren Mineralien zusammengesetzt Gesteine kann die Gesamtwärmeleitfähigkeit aus den Wärmeleitfähigkeiten der einzelnen Mineralien durch arithmetische Mittelung berechnet werden. • Je höher der Anteil eines gut leitenden Minerals in einem Gestein vorhanden ist, desto höher ist auch die Wärmeleitfähigkeit des Gesteins. 7. 7.3 Effektive Wärmeleitfähigkeit Anisotropie Gesteine bestehen aus polykristallinen Mineralaggregaten. Die Wärmeleitfähigkeiten werden durch die Leitfähigkeiten der Mineralbestandteile sowie deren räumlichen Orientierung bestimmt. Die Richtungsabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit wird auch als geothermische Anisotropie bezeichnet. • Mikroanisotropie im Kleinbereich: räumliche Anordnung der Mineralkörner • Makroanisotropie größerer Gesteinseinheiten: Schichtung, Schieferung sowie Klüftung des Gesteinskörpers • Zur Beschreibung der Wärmeleitfähigkeit eines anisotropen Minerals oder Gesteins ist i.d.R. ausreichend jeweils die Wärmeleitfähigkeit parallel und senkrecht zur optischen Achse bei Mineralen und parallel und senkrecht zur Schichtung oder Schieferung bei Gesteinen anzugeben. • Der Anisotropiefaktor K beschreibt das Verhältnis zwischen paralleler und senkrechter Wärmeleitfähigkeit (K = λII/ λt); typische Werte K: 1 - 2,5 7. 7.3.1 Effektive Wärmeleitfähigkeit Beispiele für Anisotropie • Tabelle: Wärmeleitfähigkeiten anisotroper Gesteine Gesteinstyp Dichte Wärmeleitfähigkeit [W / (m K)] Anisotropiefaktor [g/cm 3 ] Senkrecht zur Schichtung Parallel zur Schichtung T onschiefer 2,66 1,71 3,29 1,92 Gneis 2,72 2,65 3,73 1,41 Kalkstein 2,69 2,38 3,16 1,33 Quarzsandstein 2,64 4,77 4,94 1,04 Dolomit n.a. 3,91 3,98 1,02 7. 7.4 Effektive Wärmeleitfähigkeit Temperatur und Druck • Anstieg des Drucks und der Temperatur (ca. 0,03 K/m) in der Erdkruste mit zunehmender Tiefe. • Bei größeren Drücken i.A. eine höhere Wärmeleitfähigkeit infolge – Schließung der Poren und Mikrorisse – besseren thermischen Kontaktes zwischen den einzelnen Mineralpartikeln • Bei Zunahme der Temperatur grundsätzlich Abnahme der Wärmeleitfähigkeit ( 1/T) • Für oberflächennahe Geothermie bei Tiefen bis 100 m ist Einfluss des Druckes und Temperatur auf Wärmeleitfähigkeit aber vernachlässigbar gering. 7. Effektive Wärmeleitfähigkeit 7.5 Porosität und der Porenraumfüllung Porenvolumen und die Porenraumfüllung (Luft, Wasser, Gase, etc.) können die Wärmeleitfähigkeit von Gesteinen wesentlich beeinflussen, wobei die Bedeutung der Porenraumfüllung mit dem Porenvolumen steigt. • Mit Zunahme des Porenraums verringert sich i.d.R. die Wärmeleitfähigkeit des Gesteins, da die Porenraumfüllung (Luft, Wasser, Gase etc.) im Vergleich mit dem Gestein eine viel niedrigere Wärmeleitfähigkeit besitzt. • Luft bzw. Gase haben im Vergleich mit Wasser eine viel niedrigere Wärmeleitfähigkeit, d.h. wassergesättigte Gesteine haben i.A. eine höhere Leitfähigkeit als ungesättigte Gesteine. • Das Maximum der Kurve der Wärmeleitfähigkeit als Funktion der Sättigung tritt auf, wenn alle Körner benetzt sind, der Porenraum jedoch noch nicht völlig gesättigt ist. Dann sind die Widerstände für den Wärmeübergang minimal und Wärme kann sich gut ausbreiten. Steigt die Sättigung weiter überwiegt der Einfluss der schlecht leitenden Porenwassers. • Die Wärmeleitfähigkeitsveränderungen vergrößern sich mit steigendem Porenvolumen. 7. 7.5.1 Effektive Wärmeleitfähigkeit x Porosität und der Porenraumfüllung (Modelle WALSH & DECKER)) • WALSH & DECKER (1966) haben den minimalen und maximalen Einfluss des Porenraumes und der Porenfüllung anhand von zwei Modellen untersucht. • Modell 1 (Minimaleinfluss): Hohlräume in einer massiven Gesteinsmatrix: Der Porenraumeinfluss ist bei gleicher Porosität minimal. Wärmeleitung erfolgt über die großen Berührungsflächen der einzelnen Minerale. • Modell 2 (Maximaleinfluss): Alle Körner werden allseitig von Hohlräumen umgeben und stützen sich nur an kleinen Berührungsflächen ab: Der Porenraumeinfluss ist maximal. • Der tatsächliche Einfluss der Porenraumverteilung liegt immer zwischen beiden Modellen Abb.: BREHM & KNOBLICH stellten die Wärmeleitfähigkeit eines Sandes (6,0 W/(m K)) als Funktion der Porosität nach den Modell-Formeln von WALSH & DECKER (1966) dar 7. 7.5.2 Effektive Wärmeleitfähigkeit x Porosität und der Porenraumfüllung (Wassergehalt des Lockergesteins) Insbesondere für Lockersedimente besteht ein großer Einfluss des Wassergehaltes auf die Wärmeleitfähigkeit. Beispiel: • körniges Lockergestein mit einer Rohdichte von 1,8-1,9 g/cm³ (Sande und Kiese) • Bei Zunahme des Wassergehaltes von 0 auf 9 % steigt die Wärmeleitfähigkeit um den Faktor 5. Abb.: Abhängigkeit der Wärmeleitfähigkeiten von der Wassersättigung für Lockersedimente nach SALOMONE (1987) (Umrechnung auf SIEinheiten nach SANNER (1992)). 7. 7.5.3 Effektive Wärmeleitfähigkeit Porosität und der Porenraumfüllung (Gleichung nach KERSTEN) Empirische Zusammenhänge zwischen Wärmeleitfähigkeit, Wassergehalt sowie Trockendichte für Lockergesteine nach KERSTEN (1949): • Sand, ungefroren: = 0,1442 · (0,7 · log (w) + 0,4) · 10 (0,6243 · • Sand, gefroren: = 0,01096 · 10(0,811 · • Schluff und Ton, ungefroren: = 0,1442 · (0,9 · log (w) - 0,2) · 10 (0,6243 · • Schluff und Ton, gefroren: = 0,001442 · 10 (1,373 · • Hierbei stellt w den Wassergehalt in % dar. • Auch bei KERSTEN (1949) wird der große Einfluss des Wassergehaltes auf die Wärmeleitfähigkeit der Lockergesteine deutlich. ) ) + 0,00461 · w · 10 (0,9115 · )+ ) ) 0,01226 · w · 10 (0,4994 · ) 8. 8.1. Ermittlung der Leitfähigkeit Literaturdaten / Algrorithmen / Messmethoden • Rückgriff auf umfangreiche Literaturdatenbanken – Messdaten für viele Gesteinsarten und Minerale. – Problem: Aufgrund wechselnder Mineralienzusammensetzungen können Leitfähigkeiten innerhalb einer Gesteinsart stark variieren, d.h. die tatsächliche Leitfähigkeit eines lokal angetroffenen Gesteins kann deutlich vom Literatur-Mittelwert der Gesteinsart abweichen. – Berechnung der Leitfähigkeit eines Gesteines über arithmetische anteilige Mittelung der Leitfähigkeiten der Minerale • empirische ermittelte Algorithmen für bestimmte Materialien (z.B. bei Lockergesteinen (siehe Kap. 7) Diagramm von SALOMONE (1987) und Formeln von KERSTEN (1949); Voraussetzung ist Bestimmung der Dichte, Wassergehalt, Kornmaterial (Korngröße) und Korndichte nach einheitlichen Verfahren. Genauigkeit mit ± 25 % sehr gering) Messmethoden – Direktmessung im Bohrloch (z.B. Thermal Response Test), – Labormessungen (siehe Kap. 9). • 8. 8.2. Ermittlung der Leitfähigkeit Literaturstudien Mate rial Lite raturque lle Dichte [kg/m3] Wärme kapa-z Wärme le itfäh ität [MJ/(m³ ig-ke it [W/(m K)] K)] VDI, 2000 2,6-3,2 2,3-2,6 1,3-2,3 (1,7) Basalt SANNER, 1992 2,86 2,52 1,7 Diorit VDI, 2000 2,9-3,0 2,9 2,0-2,9 (2,6) VDI, 2000 2,8-3,1 2,6 1,7-2,5 (1,9) VDI, 2000 2,4-3,0 2,1-3,0 2,1-4,1 (3,4) Granit SANNER, 1992 2,59 2,12 3 Granit, trocke n SIA, 1996 2,6 2,3-2,5 2,6-3,8 Granit, wasse rge sättigt SIA, 1996 2,6 2,3-2,5 2,7-3,8 Pe ridotit VDI, 2000 3 2,7 3,8-5,3 (4,0) Rhyolit VDI, 2000 ca. 2,6 2,1 3,1-3,4 (3,3) Me tamorphe Ge ste ine : Dichte [kg/m3] Wärme kapa-z Wärme le itfäh ität [MJ/(m³ ig-ke it [W/(m K)] K)] 2,7-2,8 1,4-1,6 0,4-0,5 (0,4) 1,2-1,6 0,3-0,4 ca. 2,4 ca. 1,8 2,2-2,4 2,5-3,3 ca. 2,7 Kie sättigt Kie s, s, wasse sandigrge (15 % Wasse rge halt) SIA, 1996 SUNDBERG, 1979 2,07 2,55 1,6 Moräne VDI, 2000 n.a. 1,5-2,5 1,0-2,5 (2,0) VDI, 2000 2,6-2,7 1,3-1,6 0,3-0,8 (0,4) SIA, 1996 1,8 1,0-1,3 0,3-0,4 VDI, 2000 2,6-2,7 2,2-2,9 1,7-5,0 (2,4) 2,2-2,4 2,0-3,2 Sand, trocke n Sand, rge sättigt Dichtewasse r Mitte lsand (5 % Wasse halt) Dichte rge r Mitte lsand (22 % SIA, 1996 SUNDBERG, 1979 1,8 1,72 1,3 Wasse rge halt) SUNDBERG, 1979 1,93 2,68 1,6 1,0-2,3 SUNDBERG, 1979 SIA, 1996 2,3-2,5 2,4-3,3 Gne is, wasse rge sättigt SIA, 1996 2,3-2,5 2,5-3,5 Marmor VDI, 2000 2,5-2,8 2 1,3-3,1 (2,1) Me taquarz it VDI, 2000 ca. 2,7 2,1 ca. 5,8 VDI, 2000 ca. 2,6 2,2 1,5-3,1 (2,0) NEISS, 1982 2,85 2,26 0,5 VDI, 2000 2,7 2,2-2,5 1,5-2,6 Kohle Ge schie be le hm (2 % Wasse rge halt) Tonschie fe r SANNER, 1992 2,68 2,3 2,1 (2,1) Silt, trocke n Tonschie fe r, trocke n SIA, 1996 2,3-2,5 1,4-2,5 Tonschie fe r, wasse rge sättigt SIA, 1996 2,3-2,5 1,4-2,6 Gne is, trocke n SIA, 1996 VDI, 2000 1,9-4,0 (2,9) VDI, 2000 2,4-2,7 VDI, 2000 Kie s, trocke n 1,8-2,4 Gne is Glimme rschie fe r Lite raturque lle Locke rge ste ine : Magmatische Ge ste ine : Gabbro Mate rial Schluff Ton/Schluff, trocke n 0,38 Farouki, 1986 VDI, 2000 n.a. 1,5-1,6 0,4-1,0 (0,5) SIA, 1996 1,2 0,3-0,6 0,2-0,3 VDI, 2000 n.a. 1,6-3,4 0,9-2,3 (1,7) 0,6-1,0 1,2-1,6 0,2-0,7 (0,4) Ton/Schluff, wasse rge sättigt SIA, 1996 Torf VDI, 2000 KAPPELMEYER&HÄNEL, 1974 n.a. 0,5-3,8 SUNDBERG, 1979 1,96 1,76 0,9 SIA, 1996 0,6-1,0 0,2-0,3 Silt, wasse rge sättigt SIA, 1996 2,1-2,4 1,4-2,5 Mutte rbode n (Erde ) KRIST , 1985 0,34-0,36 Q uartz Pyrith LANDOLT &BÖRNST EIN, 1982 7,69 Alkalife ldspat LANDOLT &BÖRNST EIN, 1982 2,59 2,67 NEISS, 1982 1,84 2,3 1,96 2 2,12 3,6 Tonmine rale LANDOLT &BÖRNST EIN, 1982 2,71 2,65 NEISS, 1982 2 1,8 k.A. n.a. 3,4 0,26 Mine ralie n Se dime ntge ste ine : VDI, 2000 2,6-2,7 2,1-2,4 2,5-4,0 (2,8) Kalkste in SANNER, 1992 2,55 2,17 2,2 Kalkste in, trocke n SIA, 1996 2,5 2,2-2,4 2,8-3,3 Kalkste in, wasse rge sättigt SIA, 1996 2,5 2,2-2,4 2,8-3,3 Me rge l VDI, 2000 2,5-2,6 2,2-2,3 1,5-3,5 (2,1) Me rge l, trocke n SIA, 1996 1,0-1,5 1,5-1,8 Grauwacke SANNER, 1992 Me rge l, wasse rge sättigt SIA, 1996 2,0-2,5 2,3-2,9 Dolomit, trocke n SIA, 1996 2,6-2,8 2,8-3,8 2,7-3,0 3,5-4,5 Plagioklas C alcit 19,2 LANDOLT &BÖRNST EIN, 1982 VDI, 2000 ca. 2,7 2,1-2,2 3,6-6,6 (6,0) Q uarz it HORAI, BALDRIDGE 1972 2,65 1,88 7,6 Dolomit, wasse rge sättigt SIA, 1996 Salz VDI, 2000 KAPPELMEYER&HÄNEL, 1974 2,1-2,2 1,2 5,3-6,4 (5,4) Ande re Mate rialie n Be ntonit VDI, 2000 n.a. ca. 3,9 0,5-0,8 (0,6) 4,77-4,94 Be ton VDI, 2000 ca. 2,0 ca. 1,8 0,9-2,0 (1,6) Eis be i – 10 C VDI, 2000 0,919 1,87 2,32 Kunststoff, PE VDI, 2000 n.a. n.a. 0,39 Luft trocke n VDI, 2000 0,0012 0,0012 0,02 Stahl VDI, 2000 7,8 3,12 60 Q uarz sandste in Sandste in Sandste in LANDOLT &BÖRNST EIN, 1982 2,3 2,3 SIA, 1996 1,8-2,4 0,9-6,5 (2,47) 1,8-2,4 1,8-3,5 VDI, 2000 2,2-2,7 1,6-2,8 1,3-5,1 (2,3) Sandste in SANNER, 1992 2,65 2,17 3,2 Wasse r, 10 °C VDI, 2000 0,999 4,15 0,59 Sandste in, trocke n SIA, 1996 2,3 1,8-2,4 1,8-3,5 Wasse r, 40 °C VDI, 1977 0,996 4,16 0,632 Sandste in, wasse rge sättigt SIA, 1996 2,3 2,3-2,6 2,3-4,0 Mine ralwolle SIA, 1996 0,03-0,15 0,1 0,04 Ste inkohle VDI, 2000 n.a. 1,3-1,8 0,3-0,6 (0,3) Silbe r SIA, 1996 10,5 2,41 418 Ton-/Schluffste in VDI, 2000 2,5-2,6 2,1-2,4 1,1-3,5 (2,2) Kupfe r SIA, 1996 8,94 3,42 319 8. 8.3 Ermittlung der Leitfähigkeit Thermal Response Test Thermal Response Test • In-Situ-Verfahren zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit am Standort der Sonde. • Ziel des Test: Optimierung der Auslegung einer Erdwärmesondenanlage und Überprüfung der Entzugsleistungen bei bestehenden Anlagen. • Entwicklung des Tests geht auf die theoretischen Grundlagen von mehreren Jahrzehnten zurück (u.a. CHOUDARY, 1976; MOGENSEN, 1983; CLAESSON, 1985). Die praktische Umsetzung erfolgte Mitte der 90-iger Jahre, z.B. Untersuchung eines Erdwärmesonden- Wärmespeichers in Linköping / S (HELLSTRÖM, 1997). • In Deutschland seit Ende der 90er Jahre u.a.durch SANNER eingeführt. 8. 8.3.1 Ermittlung der Leitfähigkeit Thermal Response Test (Ausführung) Durchführung der Messung in Probebohrung / bestehender Bohrung: • Einbau einer Wärmetauschersonde • An die Sonde wird eine definierte, meist konstante Heizleistung angelegt. • Messung der Ein- und Austrittstemperaturen des Wärmeträgerfluids (Wasser) mit kontinuierlicher Messdatenaufzeichnung. • Ausreichende Versuchslaufzeit (48-72h) zur Vermeidung von Messfehler aufgrund – Schwankungen von Einspeiseleistung, – Temperaturschwankungen im Tagesverlauf, – Störungen durch Wärmeentwicklung beim Abbinden des Verfüllmaterials, – Konvektionströme die Daten verfälschen. Auswertung des Thermal Response Test • basieren auf der KELVIN schen Linienquellentheorie, • Die Sonde wird wie eine Linienquelle behandelt. • Aus dem zeitlichen Verlauf der Temperatur (Steigung) am Sondenausgang kann die Wärmeleitfähigkeit λ des Untergrundes als auch der thermische Widerstand zwischen Fluid und Bohrlochwand (Übergangswiderstand) ermittelt werden. 8. 8.3.2 Ermittlung der Leitfähigkeit Thermal Response Test (Auswertung) 8. 8.3.3 • Ermittlung der Leitfähigkeit Thermal Response Test (Beispiel) Beispiel eines Thermal Response Test südlich Frankfurt/Main nach REUß und SANNER (1999) Abb. 8-2 Regressionsgerade der Fluid-Mitteltemperatur (nach REUß und SANNER (1999) ) Q 4 H Steigung 4 4900W 99 m 1,411K W 2,79 mK 8. 8.3.4 Ermittlung der Leitfähigkeit Thermal Response Test (Vor- und Nachteile) Vorteile des Thermal Response Tests • Messung über die gesamte Bohrlochlänge, • Einbeziehung der Bohrlochverfüllung, der der ungestörten Untergrundverhältnisse einschließlich des eventuell vorhandenen Grundwasserflusses. • Betrachtung der Wechselwirkung zwischen mehreren Sonden möglich. Nachteile des Thermal Response Tests • • • Kosten von ca. 4000 € für oberflächenahe Erdwärmesonden Kelvin`sche Linienquellentheorie geht geht von einem konduktiven r Wärmetransport und einer kontinuierlichen Linienquelle aus. Der im Untergrund x evt. vorhandene konvektive Anteil und veränderliche Wärmequellen werden 2 a t nicht berücksichtigt. Keine Bestimmung der vertikalen Variation der Wärmeleitfähigkeit (für die einzelnen Schichtglieder im Untergrund). Die Wärmeleitfähigkeit wird immer nur für die Gesamtsonde bestimmt. 9. 9.1 • Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter Überblick über die thermophysikalischen Kennwerte Wesentliche Voraussetzung für die numerische Lösung der Wärmetransportgleichungen zur Berechnung von Wärmeausbreitungsmodellen ist die möglichst genaue Kenntnis der thermophysikalischen Kennwerte – Wärmeleitfähigkeit , – der Dichte – der spezifischen Wärmekapazität c, – der Porosität φ und – die aus dem Verhältnis / (c * ) berechnete Temperaturleitfähigkeit . • Die besten Ergebnisse liefern hier Labormessungen zur Bestimmung der o.g. Kennwerte an Bohrkernen aus dem engeren Untersuchungsgebiet. • Nachfolgend werden die wichtigsten Labormessmethoden vorgestellt. 9. 9.2 Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter Wärmeleitfähigkeit (Messmethoden im Labor) Bestimmung der Wärmeleitfähigkeiten der Gesteine durch Laborversuche an Bohrkernen mittels verschiedener Messmethoden: • Einsatz von punktförmigen oder flächenförmige Wärmequellen, • Kontaktmessungen: Wärmequellen werden direkt an die Probenoberfläche angelegt. • Kontaktlose Messungen: Der Abstand der Quelle zu der Probe ist in die Berechnung einzubeziehen. • stationäre Messungen: konstante Wärmequellen. • Instationäre Messungen: zeitliche Änderung der Wärmezufuhr. • Bei eindimensionaler Zuführung der Wärme sind Messungen in verschiedenen Richtungen nötig, um die Anisotropie der Wärmeausbreitung festzustellen. 9. 9.2.1 Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter Thermal Conductivity Scanner Thermal Conductivity Scanner beruht auf Prinzip nach Popov • Messprinzip: „Scannen“ einer Probenoberfläche mit einer fokussierten konstanten Wärmequelle und der Temperaturmessung mittels InfrarotThermosensoren. Als Referenz werden zwei Standards mit bekannter Wärmeleitfähigkeit benutzt. Q Abb. 9-1 Vorbereitete Probenkörper (schwarzer Lack zur besseren Absorption der Wärme) Abb.9-2 Thermal Conductivity Scanner (Hersteller Fa. Lippmann and Rauen GbR) (Institut für Angewandte Geophysik der RWTH Aachen) 9. Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter 9.2.1.1 Thermal Conductivity Scanner (Messablauf) Messablauf (Institut für Angewandte Geophysik der RWTH Aachen) 1. Vorbereitete Probe (max. ca. 0,5 m lang) wird zwischen zwei Standards mit bekannter Wärmeleitfähigkeit auf Aluminiumträger gelegt. 2. Bewegliche Wärmequelle wird mit konstanter Strahlungsleistung und Geschwindigkeit unterhalb der Probe durchgefahren. 3. Durch die abgegebene Licht- und Wärmestrahlung wird die Probe erwärmt. 4. Vor und hinter der Quelle befindet sich in definiertem Abstand InfrarotTemperatur-Sensoren (Wellenlänge 780 nm - 1mm), die die Temperaturen vor und nach Erhitzung messen. 5. Der Temperaturverlauf entlang der Messstrecke (Probe + zwei Standards) wird kontinuierlich aufgezeichnet. 6. Durch Auflegen der Proben in zwei verschiedenen Richtungen (horizontal und vertikal) lässt sich der Anisotropiefaktor ableiten. 9. Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter 9.2.1.2 Thermal Conductivity Scanner (Auswertung) Auswertung 1. Aus der Differenz der vor und nach der Wärmequelle gemessenen Temperatur wird die Wärmeleitfähigkeit bestimmt. 2. Der maximale Anstieg der Temperatur definiert (Popov et al. 1999) wird durch folgende Gleichung Q = Wärmeenergie der Wärmequelle Q 2 x Gl. 9-1 x = Abstand Sonde Probe 3. Das Verhältnis der gesuchten Wärmeleitfähigkeiten der Probe p und der bekannten Wärmeleitfähigkeiten der Standards s ist gleich dem Verhältnis der gemessene Temperaturanstiege der Probe p und Standards s. Damit kann p folgerndermaßen ermittelt werden. s p s p Gl. 9-2 9. Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter 9.2.1.3 Thermal Conductivity Scanner (Beispiel) Beispiel: Messung von Buntsandsteinproben aus Südwestdeutschland Parameter Wärmeleitfähigkeit [W/(m K)] Wassersättigung Richtung Mittlerer Buntsandstein Trocken Horizontal 4,335 Vertikal 3,971 Horizontal 5,284 Vertikal 4,965 Gesättigt • Literatur-Werte für Wärmeleitfähigkeit von Sandstein nach LANDOLT-BÖRNSTEIN (1982): Mittel: 2,47 W/(m K) bei einer gesamten Bandbreite von 0,9 - 6,5 W/(m K)). • VDI-Richtlinie 4640 empfiehlt für Sandsteine einen Wert von 2,3 W / (mK) • Messwerte sind vergleichsweise hoch bedingt durch hohen Quarz-Anteil ( = 7 W/(m K). • Deutliche Differenz zwischen horizontalen und vertikalen Messungen, d.h. vergleichsweise hoher Anisotropiekoeffizient für Sandstein von K 1,1. Ursache: Horizontal gelagerter Schichtaufbau des Buntsandsteines. Parallel zum Schichtaufbau bessere Wärmeleitung, während senkrecht dazu die makroskopisch kaum erkennbaren Schichtgrenzen für die Wärmeleitung ein Hindernis darstellen. Der Buntsandstein besitzt eine Porosität von ca. 10%, d.h. die Werte des saturierten Zustandes erheblich höher, als die des trockenen Zustandes ( wasser > Luft) • • 9. 9.3 Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter Messung der spezifischen Wärmekapazität mit Kalorimeter Die Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität erfolgt mittels Kalorimeter. Einsatz in der Geothermie: dynamisches Wärmestrom-Differenz-Kalorimeter • Z.B. Typ C 80 der Fa. Setaram mit Zylindermesssystem nach Tian & Calvet Ofen Thermosäule Probengefäß Referenzgefäß Abb. 9-3 Kalorimeter mit Controller, Leistungsteil, Rechner (Institut für Angewandte Geophysik, RWTH Aachen) 9. 9.3.1 Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter Messung der spezifischen Wärmekapazität mit Kalorimeter (Messablauf) Messablauf (Institut für Angewandte Geophysik der RWTH Aachen) 1. Vor Beginn der Messung erfolgt eine Referenzmessung mit leeren Probenbehältern zur Bestimmung der Grundlinie des Wärmestroms 0 (T). Die Messung erfolgt unter den gleichen Randbedingungen (Anfangs- und Endtemperatur, Heizrate) wie die spätere Messung der Proben. 2. Die Probe und eine Referenzprobe werden je in einem zylindrischen Probenbehälter er untergebracht und in einen Ofen gestellt. 3. Je eine Thermosäule zwischen Probe, Referenzprobe und Ofen bedeckt die Zylinderoberflächen der Probengefäße vollständig. 4. Der Ofen wird mit einer konstanten Heizrate aufgewärmt. 5. Es fließen Wärmeströme zwischen Ofen und Probe bzw. Referenzprobe, die kontinuierlich aufgezeichnet werden. 6. Der Messung beginnt bei Raumtemperatur 30° C und endet nach Bedarf bei bis zu 300°C. Ofen Thermosäule Probengefäß Referenzgefäß 9. 9.3.2 Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter Messung der spezifischen Wärmekapazität mit Kalorimeter (Auswertung) Auswertung 1. Die Differenz der aufgezeichneten Wärmeströme der Probe p und der Referenzprobe r ist proportional zur spezifischen Wärmekapazität cp. 2. Unter Kenntnis des temperaturabhängigen Kalibrierfaktors des Kalorimeters K 0 (T) aus der Referenzmessung, der Heizrate des Ofens und der Masse des Probenmaterials mp ergibt sich für die spezifische Wärmekapazität cp der Probe: c p (T ) K o (T )( p r ) Gl. 9-3 mp 3. Man erhält eine cp(T) - Kurve für den gemessenen Temperaturbereich. 4. Sind im Anwendungsfall Temperaturen < 30° C (z.B. oberflächennahe Geothermie) relevant, muss cp(T) - Kurve zu tieferen Temperaturen extrapoliert werden. 9. 9.3.3 Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter Messung der spezifischen Wärmekapazität mit Kalorimeter (Beispiel) Beispiel (spez. Wärmekapazität von Sandstein in 300 m Tiefe) • • Annahme: Temperatur in 300 m Tiefe bei 10 - 17° C Da systembedingte Anfangstemperatur bei 30° C ist eine Extrapolation der gemessenen cp(T)-Kurve auf 0° C erforderlich. Spezifische Wärmekapazität des Sandsteins 1200 Spezifische Wärmekapazität in J/(kgK) 1000 y = 1.7901x + 719.56 2 R = 0.9348 800 600 2 y = -0.01x + 3.6539x + 643.37 2 R = 0.9593 400 200 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 Temperatur in °C Gemessene Werte Linear Polynom 2. Grades Abb. 9-4 spez. Wärmekapazität eines Sandsteins (Institut für Angewandte Geophysik der RWTH Aachen) 9. 9.4 Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter Dichtemessung • Zur Ermittlung der Dichte eines Gesteines sein Volumen V [m³]m Labor bestimmt. • Die Masse m wird durch Wiegen der Proben im trockenen und wassergesättigten Zustand bestimmt. • Das Volumen wird nach Prinzip von Archimedes durch Eintauchen der gesättigten Probe in Wasser (24° C) und Wiegen des verdrängten Wassers bestimmt. • Die Kalibrierung dieses Verfahrens erfolgte mit einem Probenkörper mit bekannter Dichte. wird seine Masse m [kg] und 9. 9.4.1 • Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter Dichtemessung (Pyknometer) Alternativ werden als Direktmessmethoden Gaspyknometer zur Reindichteund Feststoffpyknometer zur Rohdichtemessung eingesetzt Abb. 9-5 Gas-Pyknometer Abb. 9-6 Feststoff-Pyknometer 9. 9.5 • Labormethoden zur Bestimmung der Gesteinsparameter Porosität Die Porositäten φ einer Proben wird aus der Differenz des Gewichtes zwischen dem trockenen mtr und wassergesättigten Zustand msat der Proben und der Volumen der Probe VProbe errechnet: Gl. 9-4 • w(T) : Dichte des Wassers in Abhängigkeit der Temperatur T.
