Relativitätstheorie
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ip_bw3_relativitätstheorie.indd 16.06.2009 16:29:07 Seite: 345 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Relativitätstheorie Zeitreisen Reisen in die Vergangenheit oder Zukunft sind beliebte Themen für ScienceFiction-Romane. Darin lassen sich mit Hilfe von Zeitmaschinen Personen in beliebige Epochen versetzen. Man lernt z. B. die Eltern vor der eigenen Geburt kennen, oder man greift in den Ablauf der Geschichte ein und verändert ihren Weitergang. Wenn jedoch die Vergangenheit anders ist, welche Gegenwart ist dann gültig? Ist eine Änderung der zeitlichen Reihenfolge physikalisch möglich? Das Relativitätsprinzip „Schließt euch … in einen möglichst großen Raum unter dem Deck eines großen Schiffes ein … , sorgt auch für ein Gefäß mit Wasser und kleinen Fischen darin … , solange das Schiff stille steht … wird man sehen, wie die Fische ohne irgendwelchen Unterschied nach allen Richtungen schwimmen … Nun lasst das Schiff mit jeder beliebigen Geschwindigkeit sich bewegen. Ihr werdet – wenn die Bewegung gleichförmig ist, … bei allen genannten Erscheinungen nicht die ­geringste Veränderung eintreten sehen. Aus keiner derselben werdet ihr entnehmen ­können, ob das Schiff fährt oder still steht.“ (Galileo Galilei 1564 – 1642) 1905 veröffentlichte Albert Einstein in den „Annalen der Physik“ einen Artikel „Zur Elektrodynamik bewegter Körper“, in dem er revolu­ tionäre Gedanken zu Raum und Zeit darlegte. Grundlage der Überlegungen war die Erkenntnis des amerikanischen Physikers Michelson aus dem Jahre 1881, dass für die Ausbreitung des Lichtes in allen Richtungen, auch bei ­bewegter Quelle oder bewegtem Beobachter, die gleiche Geschwindigkeit gemessen wird. Um das Jahr 1600 Um das Jahr 1900 Um das Jahr 2000 Wie wird es im Jahr 2200 aussehen? Relativitätstheorie 345 ip_bw3_relativitätstheorie.indd 16.06.2009 16:29:08 Seite: 346 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Die Einstein’schen Postulate 1687 erschien Newtons Werk „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“ (Mathematische Prinzipien der Naturlehre). Seine Auffassung von absolutem Raum und absoluter Zeit bildete das Fundament der Physik, bis dieses durch die Relativitätstheorie Albert Einsteins erneuert wurde. º V 1 Ein Boot fährt flussabwärts. Für einen Beobachter am Ufer addieren sich Boots­ geschwindigkeit relativ zu Wasser und Strömungsgeschwindigkeit. Fährt das Boot Spiegel 2 Lichtbündel 2 Lichtquelle Lichtbündel 1 Auf dem Schirm zu beobachtendes ­Inter­ferenzmuster, das sich beim Drehen der Anordnung verschieben sollte. Strahlteiler Spiegel 1 Schirm B1 Welchen Einfluss hat die Erdbewegung auf die Lichtgeschwindigkeit? Spezielle Relativitätstheorie Beobachtete Geschwindigkeiten hängen im Allgemeinen davon ab, in welchem Bezugssystem sie ­gemessen werden. Ein Auto hat zum Beispiel aus der Sicht eines Fußgängers eine andere Geschwindigkeit als aus einem vorbeifahrenden Zug betrachtet. Beim Schall ist die ­Geschwindigkeit relativ zum Medium Luft fest, deshalb hängt die Übertragungsgeschwindigkeit nicht von der Bewegung der Quelle ab, wohl aber von der des Beobachters relativ zum Medium Luft. Nähert sich z. B. ein Beobachter einer Schallquelle mit der Geschwindigkeit v, so misst er als Signalgeschwindigkeit die ­Summe aus Schallgeschwindigkeit und eigener Geschwindigkeit v. Bei Lichtsignalen verhält es sich grundlegend anders. Bewegt sich etwa im Vakuum ein ­Be­obachter mit 10 % der Lichtgeschwindigkeit auf eine Lichtquelle zu, so misst er nicht etwa die Summe der Teilgeschwindigkeiten, sondern nur die einfache Lichtgeschwindigkeit c. Dieses Ergebnis ändert sich auch für beliebige Richtungen und Geschwindigkeiten bezüglich der Lichtquelle nicht. Albert Einstein im Alter von 23 Jahren 346 Relativitätstheorie Viele Jahre lang hat man Experimente, die das überprüfen sollten, wiederholt und verbessert. Doch alle bestätigten, dass die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum unabhängig vom Bewe- fluss­aufwärts, so sind die Geschwindigkeiten zu subtrahieren. Für die gleiche Strecke entlang des Ufers wird eine andere Zeitspanne benötigt. Fährt das Boot quer zur Strömungsrichtung, so ist die Zeit zum Überqueren von der Strömungsgeschwindigkeit unabhängig. º V 2 Im Michelson-Interferometer wird ein Lichtbündel durch einen Strahlteiler aufgeteilt und nach Durchlaufen verschiedener Wege wieder auf einem Schirm vereinigt (O B1 ). Die Überlagerung erzeugt ein Interferenzmuster. Der Lichtweg zum Spiegel 1 soll parallel, der zum Spiegel 2 senkrecht zur Erdbahn gerichtet sein. Wird die Anordnung um 90° gedreht, so müsste ein Einfluss der Erdgeschwindigkeit auf die Geschwindigkeit der Lichtbündel im Interferenzmuster zu beobachten sein. Dies ist jedoch nicht der Fall. gungszustand von Quelle und Beobachter ist. Albert Einstein (1879 – 1955) soll sich bereits als Schüler überlegt haben: „Wenn ich einem Lichtstrahl mit der Licht­ geschwindigkeit c nacheile, so sollte ich einen solchen Lichtstrahl als ruhendes, räumlich oszillatorisches elektromagnetisches Feld wahrnehmen. So etwas scheint es aber nicht zu geben.“ » Die Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum hat für jeden Beobachter, unabhängig von seiner eigenen Geschwindigkeit und der Geschwindig­ keit der Lichtquelle, den gleichen Wert. Es ist c = 299 792 458 m/s ; dieser Wert dient als Grundlage unserer Längenmessung. º A1 Informieren Sie sich über die Fest­ legung der Längeneinheit „Meter“. º A2 Ein Boot überquert einen Fluss: a) Es steuert senkrecht zur Strömung und wird um einen Winkel a abgetrieben. b) Es kommt genau gegenüber dem Startpunkt an und steuert deswegen um einen Winkel b gegen die Strömung. Vergleichen Sie beide Winkel. Ø_140 ip_bw3_relativitätstheorie.indd 16.06.2009 16:29:09 Seite: 347 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Besonderheit von Lichtsignalen Die Physiker A. A. Michelson und E. W. Morley untersuchten von 1881 an, ob die Bahngeschwindigkeit der Erde bei ihrer Bewegung um die ­Sonne einen Einfluss auf die Ausbreitung von Licht hat. Sie beträgt v = 30 km/s = 3 · 10 4 m/s , also 0,1 ‰ der Lichtgeschwindigkeit c. Sie konstruierten einen Interferenzversuch, in dem Licht, das zwei senkrecht zueinander stehende Wege durchlaufen hat, überlagert wird (O B1 ). Wird die Anordnung so aufgestellt, dass die Lichtwege parallel bzw. senkrecht zur Erdbahn verlaufen, so sollte sich die Erdbewegung auf beide Lichtwege unterschiedlich auswirken. Bei Drehung der Anordnung um 90° müsste sich die Interferenzerscheinung verändern. Ein Beobachter außerhalb der Erde berechnet für Weg 1 die Laufzeit t, aus den Geschwindigkeiten c + v für den Hinweg und c – v für den Rückweg: l l 2 l · c c – v 1 1 1 _ _ t1 = _ c + v + c – v = 2 2 Beim Weg 2 ermittelt er zweimal dieselbe ______ Geschwindigkeit √c 2 – v 2 , also ist: l l 2 l 2 2 2 ______ ______ ______ t2 = __ + __ = __ √c 2 – v 2 √c 2 – v 2 √c 2 – v 2 Wegen l1 l2 sind stets Interferenzen zu be­obachten. Die Zeitdifferenz t1 – t2 führt zu einem zusätzlichen Laufzeitunterschied, der die Interferenz, hat man die Anordnung um 90° gedreht, in entgegengesetzter Weise beeinflussen sollte. Das Interferenzmuster ­müsste sich verschieben (O B2 ). Dies wurde nie beobachtet. Damals wurde zunächst daraus geschlossen, dass sich der Äther als gedachtes Trägermedium des Lichtes mit der Erde mit­ bewegen müsse. Heute wissen wir: » Auch in unterschiedlich bewegten Systemen wird immer der gleiche Wert für die Licht­ geschwindigkeit gemessen. Postulate für Inertialsysteme In einem mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig fahrenden Zug spielen zwei Kinder mit einem Ball. Zwei Beobachter, beispielsweise einer im Zug und ein anderer draußen auf der Wiese, be­ obachten zwar unterschiedliche Geschwindigkeiten und Bahnkurven des Balls, führen die Ballbewegung aber auf dieselben Wurfgesetze zurück. Physikalisch gesehen liegen hier zwei Bezugs­ systeme vor, die mit konstanter Geschwindigkeit gegeneinander bewegt werden. Sie unterscheiden sich bei der gesetzmäßigen Beschrei- Spiegel 2 Spiegel 1 Weg 1 v v c c vhin = c + v vzurück = c – v l2 Weg 2 vhin = l1 Strahlteiler c2 – v2 v v c v c vzurück = c2 – v2 B1 Vergleich der Laufzeiten auf verschiedenen Lichtwegen bung von Bewegungsabläufen nicht, auch wenn sich die gemessenen Werte einiger Größen unterscheiden. Solche Bezugssysteme heißen Inertialsysteme, wenn sich Körper, auf die keine Kräfte wirken, in ihnen infolge ihrer Trägheit (lat. inertia) mit konstanter ­Geschwindigkeit geradlinig weiter bewegen. Erst wenn der Zug beschleunigt, unterscheiden sich die Gesetzmäßigkeiten zum Ballspiel für die ­beiden Beobachter. Ein beschleunigtes Bezugssystem ist kein Inertialsystem. Wird der Ball im Zug in Fahrtrichtung geworfen, so erhöht sich die Geschwindigkeit des Balles für einen Beobachter auf der Wiese um die Geschwindigkeit des Zuges. Wird im fahrenden Zug ein Lichtblitz erzeugt, so ist die Geschwindigkeit des Lichtes in beiden Bezugssystemen gleich groß (O B3 ). Durch Messung der Licht­ geschwindigkeit lässt sich also nicht feststellen, mit welcher Geschwindigkeit sich die Bezugssysteme gegeneinander bewegen. Albert Einstein hat diese beiden Beobachtungen in seiner Speziellen Relativitätstheorie von 1905 als Postulate festgelegt: » 1. Relativitätsprinzip: Alle Inertialsysteme sind bezüglich physikalischer Gesetze gleich­ berechtigt. » 2. Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist unab­ hängig von der Bewegung der Quelle und vom Inertialsystem, in dem sie gemessen wird. º A1 Begründen Sie, warum eine Stewardess in einem ruhig fliegenden Flugzeug problemlos Kaffee einschenken kann, nicht jedoch während der Start- oder Landephase des Flugzeugs. B2 Erwartete, aber nicht beobachtete Verschiebung A B A B B3 Ball und Licht aus unterschiedlicher Sicht Relativitätstheorie 347 ip_bw3_relativitätstheorie.indd 16.06.2009 16:29:09 Seite: 348 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Ort, Zeit, Ereignis Newton schrieb 1687: „Die absolute, wahre und mathematische Zeit verfließt an sich und vermöge ihrer Natur gleichförmig und ohne Beziehung auf irgend einen äußeren Gegenstand … Die relative, scheinbare und gewöhnliche Zeit ist fühlbares … Maß der Dauer … Der absolute Raum bleibt vermöge seiner Natur … stets gleich und unbeweglich. Der relative Raum ist … ein beweglicher Teil des ersteren.“ º V 1 Ein Beobachter am Bahndamm sieht, dass sich ein Reisender in einem mit kon­stan­ ter Geschwindigkeit vorbeifahrenden Zug nach vorne bewegt. Beide geben verschiedene Werte für die beobachteten Geschwindig­ keiten an. v ¯ ¯¯ nach 1 s: ¯ 1,5 · 108 m ¯¯ v ? 3 · 108 m B1 Gedankenversuch: Gleiche Strecken mit verschiedenen Längen Bewegte Uhren Im Oktober 1971 startete ein Flugzeug zu einem Flug um die Erde. An Bord befand sich eine Caesium-Atomuhr, die beim Start exakt die gleiche Zeit wie eine zweite gleichartige Caesium-Atomuhr anzeigte, die am Startort zurückblieb. Bei der Ankunft nach der Erdumrundung und einer Flugzeit von 41,2 Stunden zeigte die bewegte Uhr 59 ns we­niger als die am Startort befindliche an. ­Dieser Unterschied stellt unsere Vorstellungen in Frage. Zeit läuft nicht in allen Systemen gleich absolut ab, wie Newton es sich vorstellte. » Gegeneinander bewegte Uhren zeigen verschieden lange Zeitspannen an. B2 Die Synchronisation von Uhren 348 Relativitätstheorie Der Zeitvergleich geschah bei diesem Experiment mit Uhren, die sich beide zu Beginn und am Ende des Fluges am gleichen Ort befanden. Zeitangaben für Ereignisse an verschiedenen Orten eines Systems sind nur sinnvoll, wenn sie von gleich laufenden, das heißt ­syn­chronisierten Uhren stammen. Wenn man zunächst zwei baugleiche Uhren am gleichen Ort synchronisiert und dann eine davon an einen anderen Ort bringt, so kann man nicht º V 2 Ein Gedankenversuch (O B1 ): Raumschiff ¯ fliegt mit v = 0,5 · c an einem anderen Raumschiff ¯¯ vorbei und sendet in diesem ­Moment ein Lichtsignal in Flugrichtung aus. Nach 1 s befindet sich Raumschiff ¯ 1,5 · 10 8 m entfernt, das Signal 3 · 10 8 m . In Raumschiff ¯ beobachtet man aber, dass sich das Signal mit Lichtgeschwindigkeit von ihm entfernt hat und deshalb nach 1 s den Abstand 3 · 10 8 m hat. Zeit- und Längen­mess­ungen liefern daher verschiedene Werte. º V 3 Werden Atome von schnellen Protonen getroffen, so können Myonen entstehen. Diese zerfallen mit der Halbwertszeit 2,2 · 10 –6 s . Im europäischen Kernforschungszentrum (Cern) in Genf wurden Myonen auf 99,94 % der Lichtgeschwindigkeit gebracht. Ihre Halbwertszeit betrug nun 44 · 10 –6 s . Sie lebten also 20-mal länger als ruhende Myonen. wissen, ob sich ihre Anzeige gegenüber der anderen verändert. Die Synchronisation von Uhren, die sich voneinander entfernt in einem gemeinsamen Inertialsystem befinden, kann aber auf folgende Weise geschehen (O B2 ): Genau in der Mitte zwischen baugleichen Uhren wird ein Blitzlicht gezündet. Da sich das Licht in alle Richtungen mit gleicher Geschwindigkeit ausbreitet, gelangt es gleichzeitig an alle Uhren auf einem Kreis. Diese werden dadurch synchron gestartet. Die Uhren zeigen anschließend auch gleiche Zeitspannen für dieselben Vorgänge an. » Uhren eines Inertialsystems lassen sich wegen der konstanten Lichtgeschwindigkeit mit Lichtsignalen synchronisieren. Auf diese Weise ist ein Gerüst von synchro­ nisierten Uhren im Raum vorstellbar. º A1 Beobachten Sie eine Bahnhofsuhr mit Sekundenzeiger. Informieren Sie sich über die Synchronisa­tion von Bahnhofsuhren. Ø_141 ip_bw3_relativitätstheorie.indd 16.06.2009 16:29:09 Seite: 349 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Minkowski-Diagramme Bewegungen lassen sich durch t-s-Diagramme beschreiben. Gleichförmige Bewegungen führen dabei auf Geraden (O B1a). Der Punkt P (5 | 3) in diesem Koordinatensystem eines Beobachters A wird Ereignis genannt, das zum Zeitpunkt t = 5 am Ort x = 3 stattfindet. Die Gerade durch den Ursprung und P kennzeichnet die gleichförmige Bewegung eines Objektes B. Sie wird Weltlinie genannt. A würde sagen: B bewegt sich in positiver x-Richtung mit der Geschwindigkeit vBA = 3/5 = 0,6 . B könnte ein entsprechendes Koordinatensystem zeichnen (O B1b) in diesem das Ereignis Q (5 | –3) beobachten und käme zu der Aussage: A bewegt sich mit vAB = 0,6 in negativer x-Richtung. Zu den gleichen Aus­ sagen gelangt B, wenn er seine Weltlinie als tB -Zeitachse verwendet und als „Ableselinie“ für Ortskoordinaten eine Parallele zur Zeitachse verwendet (O B2 ). Es entsteht ein schiefwinkliges Parallelkoordinatensystem. Das rechtwinklige cartesische ist ein Spezialfall solcher Parallelkoordinatensysteme. Es gilt: » In Parallelkoordinatensystemen verlaufen die „Ableselinien“ parallel zu den Koordinaten­ achsen. Das Ereignis R findet für A und B gleichzeitig mit P und Q statt, denn alle drei Ereignisse liegen auf einer Parallelen zur gemeinsamen Ortsachse. Dies ist Ausdruck der Newton’schen Auffassung einer unabhängig von allem ab­ laufenden Zeit. In der Ortsangabe für R unterscheiden sich aber A und B; und die Geschwindigkeit eines Objektes C, dessen Weltlinie durch den Ursprung und R läuft, gibt A mit vCA = 0,8, B aber mit vCB = 0,2 an. Dies entspricht der Aussage von Galilei, dass die Geschwindigkeit vom Bezugssystem abhängt. Wenn es sich beim Objekt C um ein Lichtsignal handelt, müssen A und B aber zu gleichen Aussagen über seine Geschwindigkeit kommen. xA R 0 P 2 1 –1 1 0 b) 1 R 3 0 1 2 3 4 5 6 3 5P 4 tB 6 7 –2 tA Q 2 Q –3 7 B1 Weltsicht von A (a); Weltsicht von B (b) xA xB 4 R 3 tB –1 xB in Ls 5 P Licht tB in s 4 1 0 xA in Ls 6 2 tA Q 1 2 3 4 5 6 3 P 2 1 –2 0 –3 B2 Parallelkoordinaten tA in s Q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 B3 Minkowski-Diagramm Dies lässt sich nur erreichen, indem die gemeinsame Ortsachse der Koordinatensysteme aufgegeben wird (O B3 ). Zu den Ereignissen P und Q stellt A fest: P und Q sind gleichzeitig; B jedoch sagt: P fand vor Q statt, da er die Zeit auf einer Parallele zu seiner Ortsachse durch Q abliest. Also gilt: » Über die zeitliche Abfolge von Ereignissen kommen gegeneinander bewegte Beobachter zu unterschiedlichen Aussagen. º A1 In der Mitte eines fahrenden Waggons wird ein Lichtblitz gezündet (O B4a). Das ­Diagramm B4b beschreibt diese Situation. Ergänzen Sie die Weltlinien der an den ­Waggonenden reflektierten Lichtsignale und beurteilen Sie ihr Zusammentreffen aus der Sicht beider Beobachter. Minkowski wandelte die geometrische Darstellung ab, um die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit zu berücksichtigen. Für das System von A wählte er als Zeiteinheit die Sekunde und als Ortseinheit die Lichtsekunde. Die Weltlinie eines Lichtsignals ist dann die Winkelhalbierende der Koordinatenachsen. Bei entsprechen­ der Wahl der Einheiten muss das für jedes Koordinatensystem gelten. Das Postulat von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit lautet: » Die Weltlinie eines Lichtsignals ist die Win­ kelhalbierende zwischen Orts- und Zeitachse. xB a) 4 B A v xB in Ls xA in Ls vorderes Waggonende tB in s 5 c 4 v 3 2 c v 0 a) c hinteres Waggonende tA in s 1 v –1 1 2 3 4 5 6 7 8 b) B4 Lichtblitz im Zug (a); Darstellung im Minkowski-Diagramm (b) Relativitätstheorie 349 ip_bw3_relativitätstheorie.indd 16.06.2009 16:29:11 Seite: 350 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Messen und Wahrnehmen „Es könnte scheinen, dass alle die Definition der Zeit betreffenden Schwierigkeiten dadurch überwunden werden könnten, dass ich an Stelle der ,Zeit‘ die ,Stellung des kleinen Zeigers meiner Uhr‘ setze. Diese Definition … genügt aber nicht mehr, sobald es sich darum handelt, … Ereignisse zeitlich zu werten, welche an von der Uhr entfernten Orten stattfinden.“ Albert Einstein, 1905 Spiegel Lichtsignal d Spiegel B1 Exkurs B3 „Fahrt durch Tübingen mit 95 % Lichtgeschwindigkeit“ 350 Relativitätstheorie º V 1 Eine Lichtuhr wie in der Grafik B1 ist ein Gedankenexperiment Einsteins. Ein Lichtsignal wird zwischen zwei Spiegeln hin- und her­­ reflektiert. Für d = 3 m hat sie eine Taktzeit von T = 10 ns . Für zwei Ereignisse am Ort der Uhr wird die Zeit gemessen, indem die Anzahl der Refle­ xionen gezählt wird. º V 2 Die Zeit zwischen zwei Ereignissen an verschiedenen Orten kann mit zwei synchro­ nisierten, am jeweiligen Ort ruhenden Uhren gemessen werden. Dass die Lichtgeschwindigkeit unabhängig von der Bewegung des Systems, in dem sie gemessen wird, immer gleich ist, bedingt, dass sich Zeit und Länge, mit denen die ­Geschwindigkeit bestimmt wird, mit der ­Be­wegung des Systems ändern müssen. Zeit ist im Gegensatz zu Newtons Vorstellungen systemab­hängig! Zeitdilatation und Längenkontraktion ­ Newton ging davon aus, dass die Zeit unbeeinflussbar und gleichförmig fließt und ebenso der Raum absolut und unveränderbar ist. 1971 startete ein Flugzeug zu einem Flug um die Erde. An Bord befand sich eine hochgenaue sogenannte „Caesium-Atomuhr“, die beim Start exakt die gleiche Zeit wie eine zweite CaesiumAtomuhr anzeigte, die am Startort zurückblieb. Bei der Ankunft nach der Erdumrundung und einer Flugzeit von 41,2 Stunden zeigte die bewegte Uhr 59 ns weniger als die am Startort befindliche an. Man spricht von einer Zeit­ dehnung, der Zeitdilatation. Die geringen Gangunterschiede von ­bewegten Uhren sind auch im Alltag bedeutsam, z. B. bei der Satelliten­navigation („GPS“). º V 3 Zur Längenmessung verwendete Maßstäbe müssen identisch sein, sich am Ort der Messung befinden und in Ruhe sein. » Gegeneinander bewegte Uhren zeigen ver­ schieden lange Zeitspannen an. Eine bewegte Uhr geht gegenüber ruhenden Uhren nach. Neben der Zeit gehört die Länge zu den wichtigsten fundamentalen Größen, die in der Physik gemessen werden. Unter der Ruhelänge eines Stabes versteht man die Länge, die ein relativ zum Stab ruhender Beobachter feststellt. Bewegt sich nun der Stab, so ergeben jetzt für den Beobachter die gleichzeitig ermittelten Ortskoordinaten eine kleinere Differenz als vorher. Dieser Effekt heißt Längen­ kontraktion. Bilder bewegter Körper Das Bild, das z. B. eine Kamera von einem bewegten Stab registriert, ergibt sich aus den Lichtsignalen, die gleich­zeitig in der Kamera eintreffen, etwa die Signale vom linken Stab­ ende in der Position a) und die vom rechten in der Position b) (O B2 ). Diese beiden Positionen begrenzen das gesamte Bild des Stabes. Er wird also in Bewegungsrichtung gedehnt gegenüber dem gemäß Längenkontraktion erwarteten Wert wahrgenommen. Dieser ­Effekt beruht also nicht auf der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, sondern ist eine Folge der Lichtlaufzeit aufgrund ihres endlichen Wertes. Er spielt im Alltag keine Rolle. v Kamera a) v Kamera b) v c) Kamera B2 Signale erzeugen Bilder. Ø_142, Ø_143 ip_bw3_relativitätstheorie.indd 16.06.2009 16:29:11 Seite: 351 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Zeitdilatation und Längenkontraktion ermitteln Zeitdilatation Eine Lichtuhr ruht im Inertialsystem S’. Sie bewegt sich mit der Geschwindigkeit v gegenüber einem Inertialsystem S an Uhren vorbei, die in S ruhen und synchronisiert sind. Wenn die Uhr den Ort x = 0 passiert, soll in beiden Uhren das Lichtsignal am unteren Spiegel starten (O B1 ). Ein zum System S’ gehörender Beobachter wird feststellen, dass das Licht nach jeweils ð t’ reflektiert wird, denn es gilt: Methoden S S' y y' S' y' Eine mit S' bewegte Lichtuhr S' y' c · ðt d' = c · ðt' d' = d x = v · ðt v t' = 0 t' = 30 ns t' < 30 ns t=0 t = 30 ns x' x t > 30 ns d c · ð t’ = d’ = d ⇔ ð t’ = _c da die Längen senkrecht zur Bewegungsrichtung als gleich gemessen werden. Der gleiche Vorgang wird von einem Beobachter aus dem System S anders beurteilt. Für ihn hat sich die Lichtuhr um die Strecke v · ð t nach rechts bewegt und das Lichtsignal hat die Strecke c · ð t zurückgelegt. Im System S besteht der Zusammenhang: (c · ð t) 2 = d 2 + (v · ð t) 2 Mit d = c · ð t’ wird daraus: (c · ð t) 2 = (c · ð t’ ) 2 + (v · ð t) 2 ; es folgt: ð t’ _____ ð t = ____ = ð t’ · c wobei 2 √ v 1 – _ 2 c 1 _____ 2 > 1 gilt. c = ____ √ v 1 – _ 2 c Die synchronisierten Uhren in S zeigen für die Zeitspanne zwischen zwei Reflexionen des Lichtsignals in der Uhr von S’ eine größere Zeitspanne an. Die bewegte Uhr wird demnach als langsamer gehend beobachtet. Dieser Effekt der Zeitdilatation ist symmetrisch. Der Beobachter in S’ würde seinerseits eine Uhr in S als lang­samer laufend beobachten. A liest, wenn seine Uhr 1 s anzeigt, auf der vorbeikommenden Uhr von B eine kürzere Zeit ab, der Wert ist gemäß Zeitdilatation 1/c (O B2). ­Multiplikation mit c , d. h. Strecken von OP mit dem Faktor c , liefert die 1 auf der t-Achse von B. In Einheiten von A ist also d 3 ruhende Lichtuhren in S B1 Zum Zeittakt einer bewegten Lichtuhr Längenkontraktion Grafik B3 zeigt die Weltlinien zweier Enden eines Stabes. Die Länge 2 Ls ergibt sich als Differenz der Ortskoordinaten. Es spielt keine Rolle, wann diese ermittelt werden, sie ändern sich mit der Zeit nicht. Man vereinbart: Die Länge eines bewegten Stabes ist die Differenz der Ortskoordinaten der Stab­ enden zum gleichen Zeitpunkt. Für den Beobachter B bewegt sich der Stab. Jetzt ergeben die gleichzeitig ermittelten Ortskoordinaten eine kleinere Differenz als 2 . Zum gleichen Ergebnis führt die Betrachtung eines Stabes, der bezüglich B ruht. √ 1 √ 1 P tA in s O OP · c 1 B2 Zeitdilatation im ­Minkowski-Diagramm 2 c Dieser Effekt ist die Längenkontraktion. xA in Ls xB in Ls 4 3 tB in s 3 Q Q' 2 3 1 1 0 System A: P und Q sind gleichzeitig, die Stablänge ist 2. 2 P 1 tA in s 0 1 2 3 Grün: Weltlinien des im System A ruhenden Stabes. P, Q und Q’ sind Ereignisse, die die Stabenden betreffen. 4 2 v c – _2 Die Lichtsekunde auf der Ortsachse hat die gleiche Länge, weil die Weltlinie von Licht­ signalen die Winkelhalbierende ist. tB in s 1 v l = l0 · 1 – _ 2 2 v 1 + _ __ c 2 _ c · OP = 2 xB in Ls 1 Ein Körper mit der Ruhelänge l0 hat in einem System, in dem er sich mit der Geschwindigkeit v parallel zu seiner Ausdehnung bewegt, die verkürzte _____Länge _____ __ 1B = O xA in Ls 4 System B: P und Q’ sind gleichzeitig, die Stablänge ist kleiner als 2. 5 B3 Längenkontraktion im Minkowski-Diagramm Relativitätstheorie 351 ip_bw3_relativitätstheorie.indd 16.06.2009 16:29:11 Seite: 352 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Relativistische Masse, Energie und Impuls Wird ein Körper aus einer Ruhelage mit konstanter Kraft F beschleunigt, dann nehmen seine Geschwindigkeit v und sein Impuls p ständig zu. In der Newton’schen Mechanik kann ein Körper auf diese Weise beliebig schnell werden, in der Speziellen Relativitätstheorie kann aber kein ­Körper die Lichtgeschwindigkeit überschreiten. º V 1 Beim Comptoneffekt stoßen Photonen auf ruhende Elektronen. Die Elektronen werden fast auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt, der Impulserhaltungssatz gilt (O B1 ). º V 2 Messungen in Beschleunigern zeigen, dass die Beschleunigung von Elektronen bei hohen Spannungen nicht mehr der klassischen Formel F = e · E = me · a folgt. Danach müssten Elektronen durch eine Spannung von 256 kV p2 Elektron p1 Photon p1 Photon p1 Elektron = O p2 Photon m · v r = ___ erwarten lässt (vgl. S. 43 ). e · B v in 108 m/s 7 6 5 4 3 2 1 0 0,2 0,4 0,0 klassisch relativistisch U in 106 V 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 B2 Beschleunigung von Elektronen „Tempolimit“ Lichtgeschwindigkeit Wird ein Körper aus seiner Ruhelage durch dauernde Vergrößerung seiner kinetischen Energie beschleunigt, dann nehmen seine Geschwindigkeit und sein Impuls ständig zu. In der klas­ sischen Mechanik kann ein Körper auf diese Weise beliebig schnell werden, der Geschwindigkeit ist keine Grenze gesetzt. Beschleunigt man jedoch Elektronen in einem starken elektrischen Feld, so kann sie auch eine noch so hohe Beschleunigungsspannung nicht auf Geschwindigkeiten jenseits der Lichtgeschwindigkeit bringen. Es ist auch nicht möglich, „körperlose“ Informationen mit höhe­ ren Geschwindigkeiten zu übertragen. In der Speziellen Relativitätstheorie ist die höchstmögliche Geschwindigkeit eines Körpers oder Signals die Licht­geschwindigkeit! ­ ewegungen. Wie können trotz der GeschwinB digkeitsgrenze von 299 792 km/s diese Erhaltungssätze ihre Gültigkeit behalten? Einstein ging davon aus, dass ein Unterschied zwischen Ruhemasse m0und bewegter (träger) Masse m eines Objektes besteht und sich bei Bewegung auch die Masse ändert. Hierzu hinterfragte er die Natur der Eigenschaft „Masse“ an sich. Die Erhaltung von Impuls und Energie ermög­ licht in der Mechanik die Vorhersage von Relativitätstheorie Die Messungen zeigen, dass diese bei keiner noch so hohen Spannung erreicht wird. Schnelle Elektronen der b-Strahlung beschreiben im Magnetfeld Kreisbahnen, deren Radius größer ist als es die klassische Formel B1 Impulserhaltung beim Comptoneffekt » Kein Körper und kein Signal kann die Licht­ geschwindigkeit überschreiten. 352 so stark beschleunigt werden, dass sie die Lichtgeschwindigkeit erreichen (O B2 ). » Die träge Masse eines Körpers, der sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, ist größer als die Ruhemasse des Körpers. Die berühmte Gleichung E = m · c 2 wurde von ihm 1905 in seiner Arbeit „Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?“ hergeleitet. Einstein nahm hierbei nämlich weiter an, dass „Energie“ und „Masse“ zwei Erscheinungsformen derselben Eigenschaft sind, die über obige Gleichung miteinander verknüpft sind. » Energie und Masse eines Körpers sind äquivalent: E = m · c 2 ip_bw3_relativitätstheorie.indd 16.06.2009 16:29:12 Seite: 353 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow „Masse besitzen“ bedeutet also gleichzeitig „Energie besitzen“ und umgekehrt. Vereinfacht kann man sagen, dass „Energie und Masse ineinander umwandelbar“ sind. Wird der Energiegehalt eines Körpers beim Beschleunigen also durch Energiezufuhr erhöht, vergrößert sich dadurch auch seine Masse. Je näher der Körper der Lichtgeschwindigkeit kommt, umso mehr steigt seine Masse (O B1). Um ihn auf Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen, wäre rechnerisch eine unendlich große Energiezufuhr vonnöten, die Lichtgeschwindigkeit stellt also einen unerreichbaren Grenzwert dar. m/m0 = c 9 7 5 3 1 v in 108 m/s 0,0 1,0 0,5 1,5 2,0 2,5 3,0 B1 Verhältnis von träger Masse zur Ruhemasse Relativistische Erhaltungsgrößen Sollen die Erhaltungssätze der Mechanik zu Impuls und Energie auch bei hohen Geschwindigkeiten gelten, dann müssen die Vorstellungen über Masse und Energie entsprechend der Einstein’schen Theorie geändert werden. Die Gleichung E = m · c 2 kann am Beispiel der Paarvernichtung eines Elektrons und eines Positrons (O B2) nachvollzogen werden. Dabei werden zwei Pho­tonen frei, die für einen Beobachter im Ruhesystem S der Teilchen aufgrund der Impulserhaltung gleich große, aber entgegengerichtete Impulse haben und daher gleiche Energiemengen E = h · f = | p | · c Der Beobachter im System S’, das sich mit der Geschwindigkeit v gegen S bewegt, nimmt aufgrund des Dopplereffekts (O S.87 ) dagegen die beiden Photonen mit den unterschiedlichen Frequenzen 1 + _vc 1 – _vc _____ _____ f+ = ____ und f– = ____ 2 2 √ √ v 1 – _ 2 c 2 h · f E _____ _____ E’ = h · (f+ + f– ) = ____ = ____ 2 2 √ v v _ 1 – _ 2 1 – 2 c c Nun besteht aber für den Beobachter in S’ vor der Vernichtung der Unterschied zum System S alleine darin, dass sich beide Teilchen zusätzlich mit der Geschwindigkeit v bewegen. Daher führt er den Unterschied zwischen E und E’ ausschließlich auf kinetische Energie zurück: E’ – E = E’kin und berechnet für sich ( √ ) 1 ______ E’kin= E · ____ 2 – 1 v 1 – __ 2 c ( 4 3 ) v _ _ v ≈ E · _21 · _ 2 + 4 · 4 + … c c Für kleine Geschwindigkeiten sind alle weite­ ren Terme gegenüber dem ersten vernach­ lässigbar; es ergibt sich dann die kinetische Energie der Newton’schen Mechanik, nämlich E’kin = _21 m’ · v 2 . Daher schließt Einstein, dass die träge Masse im System S’ durch m’ = E/c 2 bestimmt wird. Die Form der Energie ist dabei gleichgültig. Insbesondere muss jedes Teilchen in Ruhe, dem man ansonsten keine Energie zuschreiben würde, eine Energie E = m0 · c 2 besitzen. Für Teilchen mit der Geschwindigkeit v folgt dann als Energie einschließlich der kinetischen Energie: S' S (E, –p) (E, p) v B2 Paarvernichtung. Das System S’ bewegt sich mit Geschwindigkeit v parallel zu den Geschwindigkeiten der erzeugten Photonen. m · c 2 0 _____ E’ = __ = m0 · c · c 2 2 √ v 1 – _ 2 c Daher ist nicht nur die Energie im System S’ um den Faktor c größer, sondern auch die träge Masse ist von v abhängig: c wahr. Daher haben beide Photonen in S’ die Gesamtenergie √ Methoden 2 E’ m (v) = _ · c 2 = m0 v 1 – _ 2 c Experimente mit ­Beschleunigern für Elementarteilchen bestätigen die Zunahme der Trägheit: Die Erhöhung der ­Geschwindigkeit von 0,5 c auf 0,8 c erfordert dieselbe Energie wie die Erhöhung von 0,91 c auf 0,94 c. Die träge Masse eines Körpers mit der Geschwindigkeit v ist um den Faktor c größer als die Ruhemasse des Körpers. Für die Größen Energie und Impuls liefert die Theorie die Gleichung: (E ) 2 – ( p · c ) 2 = ( m0 · c 2 ) 2 Sie wird als Energie-Impuls-Beziehung bezeichnet und verallgemeinert die Beziehung E = p · c für Photonen auf Teilchen mit Ruhemasse. So folgt für den relativistischen Impuls m_____ 0 · v p = __ = m (v) · v v 2 1 – _ 2 √ c d. h., es gilt die Beziehung p = m · v , wobei jetzt m geschwindigkeits­abhängig ist. getroffenes Elektron 0 –1 e Photon 0 +1 e B3 Umgekehrter Vorgang der Paarvernichtung: Erzeugung eines 0 Elektrons und –1 e 0 eines Positrons durch +1 e ein Photon, das auf ein Elektron getroffen ist. Bemerkung: Photonen haben keine Ruhemasse und bewegen sich daher mit Licht­ geschwindigkeit. Ihre Energie hängt von der Frequenz ab. Relativitätstheorie 353 ip_bw3_relativitätstheorie.indd 16.06.2009 16:29:15 Seite: 354 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Exkurs Transformationen Ein Auto, das mit u = 100 km/h einen mit v = 80 km/h fahren­den Bus überholt, entfernt sich relativ zum Bus mit der Differenz von 20 km/h. Fahren sie sich entgegen, so geschieht dies mit der Summe, also mit 180 km/h. Diesen Werten für die Geschwindigkeit liegt die ­Galilei-Transformation zu Grunde. Die Trans­ formation besteht aus Gleichungen, die die Ortskoordinaten und Zeitpunkte zwischen gegenseitig bewegten Bezugssystemen S und S’ umzurechnen ge­statten (O B1 ): t>0 v·t k · x’ = x – v · t bzw. k · x = x’ + v · t’ Wird zur Zeit t = t’ = 0 ein Lichtsignal bei x = x’ = 0 in x-Richtung abgesandt, so hat es im System S den Weg x = c · t, im System S’ den Weg x’ = c · t’ zurückzulegen (O B2 ). Setzt man diese Beziehungen in die vorherigen Gleichungen ein, so erhält man: k · c · t’ = c · t – v · t k · c · t’ = t · (c – v) y y' Unterschiede in der Transformation zwischen den Systemen ausgleicht, so lauten die Gleichungen für die x-Koordinaten: Werden die gleichen Seiten miteinander ­mul­tipliziert, so ergibt sich: P (x, y, z) P' (x', y', z') k 2 · c 2 · t · t’ = t · t’ · (c 2 – v 2 ) _______ 0 k = √1 – (v/c) 2 = 1/c x 0 x' z z' Vom System S in S’ x’ = x – v · t y’ = y t’ = t Damit gilt für Transformationen, die das Rela­ tivitätsprinzip berücksichtigen: x’ = c · (x – v · t) bzw. x = c · (x’ + v · t’ ) B1 Zur Galilei-Transformation: t = t’ = 0 sei x = x’ = 0 vom System S’ in S x = x’ + v · t’ y = y’ t = t’ Wird die zweite Beziehung nach t’ aufgelöst und x’ durch die erste Beziehung ersetzt, so führt dies zu: x t’ = _1v · ( _ c – c · ( x – v · t)) _______ Diese Gleichungen berücksichtigen Zeitdila­ tation und Längenkontraktion nicht. Bei größeren Geschwindigkeiten v weicht aber _______ merklich von 1 ab, so dass die √1 – (v/c) 2 Transformationsgleichung für die x-Koordinate, in der v vorkommt, geändert werden muss. Nach dem Relativitätsprinzip müssen die Bewegungsgleichungen in allen Inertialsystemen physikalisch gleich lauten. Nimmt man an, dass es einen Korrekturfaktor k gibt, der die Hendrik Antoon Lorentz (1853 – 1928) Er hatte bereits vor der Veröffentlichung von Einsteins Spezieller Relativitätstheorie die Formeln zur Transfor­ mation bei elektromagnetischen Vorgängen entwickelt. x _ · (1 – (v/c) 2) – _x + t v v _______ t’ = ___ √1 – (v/c) 2 t – v · x/c 2 _______ t’ = __ √1 – (v/c) 2 Die Beziehungen x – v · t t – v · x/c 2 _______ _______ x’ = __ sowie t’ = __ √1 – (v/c) 2 √1 – (v/c) 2 S' v·t Ereignisse, die in einem System zur gleichen Zeit, aber an verschiedenen Orten stattfinden, finden in einem anderen Inertialsystem nicht gleichzeitig statt. c c x' x = c·t B2 Zur Lorentz-Transformation Relativitätstheorie x – v · t 1 2 _______ t’ = _ ( x · √ 1 – (v/c) – __ ) v · √1 – (v/c) 2 heißen Lorentz-Transformationen. S x' = c · t' 354 k · c · t = c · t’ + v · t’ k · c · t = t’ · (c – v) x » Die Zeit hängt nicht nur von der Geschwin­ digkeit des Systems, sondern auch vom Ort des Ereignisses ab, für die sie bestimmt wird.
