Einführung in die Nanotechnologie
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Einführung in die Nanotechnologie Oliver Ambacher FG Nanotechnologie, Kirchhoffbau K3036 Gustav-Kirchhoff-Str. 1 [email protected] Wir würden uns über Verbesserungen und Bemerkungen freuen. Fehlerkorrekturen bitte senden an: [email protected] Inhaltsverzeichnis 0. Einführung in die Nanotechnologie 1. 1.1 1.2 1.2.1 1.2.2 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 1.3.8 1.3.9 Infrarot – Detektoren aus Quantentöpfen Einführung Theoretische Überlegungen Gebundene Zustände eines Quantentopfes Intersubband-Übergänge und Absorption Eigenschaften der Detektoren Quanteneffizienz der Absorption Verstärkung der Photoleitung (Gain) Spektrale Respons Dunkelstrom Rauschen (Noise) Detektivität und Noise Equivalent Power (NEP) Einfacher Bound – to – Bound QWIP (Quantum Well Infrared Photodetector) Einkoppelung des Lichts in den Infrarot-Detektor Mehrfarben – Detektoren 2. 2.1 2.2 Niedrigdimensionale Elektronensysteme Zweidimensionale Elektronensystem Transport in niedrigdimensionalen Elektronensystemen 3. Herstellung von Quantenpunkten 4. 4.1 Thermoelektrische Eigenschaften von Quantendrähten und Quantenpunkten Der Seebeckeffekt 5. Metall – Nanokluster in Glas 5.1 Nichtlineare Optik, Zweite-Ordnung Phänomene 5.1.1 Zweite- und Dritte-Ordnung nichtlineare Phänomene in Nanostrukturen 5.1.2 Nichtlineare Optik dritter Ordnung 6. Linke-Hand-Materialien 7. 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 Mikro- und Nanobereichsanalytik Allgemeines Elektronenbeschuss Rasterelektronenmikroskopie (REM) Augerelektronenspektroskopie (AES) Sekundärionen- Massenspektroskopie (SIMS) 8. 8.1 8.1.1 8..12 8.1.3 Zellen auf Halbleiterchips Halbleiterchips mit einfachem biologischen neuronalen Netz Siliziumchip Neurone der Schlammschnecke Neuron-Silizium-Kopplung Lösungen Seminar 1, Seminar 2, Seminar 3, Seminar 4, Seminar 5, Seminar 6 2 0. Einführung in die Nanotechnologie Verschiedene Verfahren zur Herstellung von Nanostrukturen 3 Strukturgröße von Speichern, optische Lithogra phie 4 10 p ra s e hi AM DR 256K 3 1M 10 Strukturgröße [nm] og ith ol ot Ph 1K 4K 8K 16K 64K 4M 16M 64M Hg g-line 436 nm i-line 365 KrF 248 ArF 193 F 157 1Gbit 2 256M 2 10 40 X-ray 13 EUV De Broglie Wellenlänge 1 Fullerene 10 Quantenregime 0 10 1965 1975 1995 1985 2005 2015 Jahr 4 Na-Atom ∝ E − Eg Quantenfilm 2d Zusta ndsdichte Energie Energie Volumen 3d Zusta ndsdichte Dimensionsa bhä ngigkeit der Zusta ndsdichte const. Quantendraht 1d Zusta ndsdichte Energie InGaAs QD ∝ 1 E − E0 Quantenpunkt 0d Zusta ndsdichte Energie ∝ δ ( E − E0 ) Energie 5 Strukturierung im nm-Bereich Extrem UV-Lithographie Quantendrähte Photolithographie ohne Ma ske Si-Drähte Mikro-Konta kstempeln SAM Selektives Wa chstum (MOCVD) Quantenpunkte Überwa chsen von Spa ltflächen (MBE) SLFET Extrem-UV-Lithographie (EUVL) Lloyd´ s Spiegel-Interferometer Probe Schirm Au-Spiegel θ1 θ 2 HV SiN Fenster UHV Blende 10 μm S Lichtquelle Periode: S´ λ = 13.4 nm λ/4 MultischichtSpiegel virtuelle Quelle λ dp = sin(θ1 ) + sin(θ2 ) d min = Anzahl: EUV aus Synchrotron m= o λ = 6.7 nm, (θ = θ = 90 ) 2 1 2 λ = 1000 Δλ EUV-Interferogra mme EUV θ2 θ1 EUV I(x,z) PMMA Si Dicke des Photola cks < 100 nm zur homogenen Beleuchtung über die Tiefe des Films. AFM dp = 38 nm 200 nm Probleme: Stra hlungsquelle kleine Flä chen geringe Amplituden H.H. Sola k et a l. APL 75 (1999) 2328. 8 Photolithogra phie ohne Ma ske Photola ck 200-500 nm (Shipley 1805) Si Stempel mit Lösungsmittel PDM S e-bea m Lithogra phie Si 150 400 Stempeln Si Ma ster Gießen des Stempels PDMS Si PDMS Abheben Si Abheben PD MS PDM S Si Entwicklung Belichtung UV-Licht 2 10 mW/cm Si PDMS: Polydimethylsiloxa n Si J.A. Rogers et al. APL 70 (1997) 2658. 9 Gestempelter Photola ck a ls optisches Element UV-Licht Licht λ = 350-440 nm 500 nm Entwickelt 500 nm RIE Rea ktives Ionenä tzen SF 6/O 2, 2 min. 100 nm breite Si-Drä hte 500 nm K.E. Paul et al. APL 73 (1998) 2893. 10 Mikro-Konta ktstempeln Benetzen ECT + Etha nol t = 10 s ECT, HS (CH )2 nCH 3 PDMS-Stempel N2 Trocknen PDMS-Stempel Stempeln PDMS-Stempel 2.5 nm SAM (ECT) t= 3s Ti Si SAM Ti Si 15 nm Au(111) Ätzen na ßchemisch CN /O2 , pH = 12, 6 min für 15 nm Si 11 Test von Stempelda uer und Konzentra tion des Thiols PDMS-Stempel 3 Struktur: 3x0.6x0.3 μm Thiol : ECT Strukturen in Au/Si: t = 3s 0.3 μm t = 60 s -5 10 mol -4 2x10 mol -3 10 mol E. Dela ma rche et a l. J. Phys. Chem. B102 (1998) 3324. 12 Mikro-Konta ktstempeln Benetzen ECT + Etha nol t = 10 s ECT, HS (CH )2 nCH 3 PDMS-Stempel N2 Trocknen PDMS-Stempel Stempeln PDMS-Stempel 2.5 nm SAM (ECT) t= 3s Ti Si SAM Ti Si 15 nm Au(111) Ätzen na ßchemisch CN /O2 , pH = 12, 6 min für 15 nm Si 13 Strukturgrößen Stempel PDMS MY = 15 MPa Au/Si CN - /O2 pH = 12 r = 0.05 nm/s Si (111) 200 nm RIE SF6 10-40 s r = 0.4 μm/min 14 Vergleich zwischen Photolithogra phie und “soft lithogra phy” Photolithographie “soft lithography” Definition des La youts: Photoma ske (strukturierter Cr-Film a uf einer Qua rtzpla tte) Kunststoffstempel (PDMS-Block mit strukturierter Oberflä che) Ma teria lien die direkt strukturiert werden können: Photola ck (Polymere mit photosensitiven Zusä tzen) Photola ck SAM´ s SAM´ s, Polymere (Epoxy, PU, PMMA, PVC), kolloida le Ma teria lien, Sol-Gel Verbindungen, orga nische und a norga nische Sa lze, biologische Ma kromoleküle Auflösung: UV, 250 nm EUV, 10 nm 30 nm Vorteile: kostengünstig, bequem, verfügba r, komplexe (dreidimensiona le) Strukturierung, kein Beugungslimit, gute Kontrolle über Oberflä chenchemie, a nwendba r a uf viele Ma teria lien, große Flä chen Na chteile: Deforma tion von Stempel oder Druckma sse, Kompa tibilitä t mit industriellen Fertigungstechniken? höhere Defektkonzentra tionen. Y. Xia , G.M. Withesides, Angew. Chem. Int. Ed. 37 (1998) 550. 15 Meta lorga nische Ga spha sen-Abscheidung (MOCVD) von Ga N Ga C H N Al 2O 3, SiC Ga N Al 2O 3, SiC 16 La tera les epita ktisches Überwa chsen, Ga N-Pyra miden Ga-Vorstufe GaDiffusion SiO2, SiN Ga N (0001) c-Al2O 3 selektives Wachstum Ga N (0001) c-Al2O 3 rC 2 μm/min (schnell) Ga N (0001) c-Al2O 3 rr 0.5 μm/min (langsam) { 1101} facet Ga N (0001) c-Al2O 3 laterales B Überwachsen A Ga N (0001) c-Al2O 3 X. Li et a l. APL 76 (2000) 3031 17 Ka ltka thodenemitter (NEA), InGa N-Qua ntenpunkte e- + - Cs SiO 2 Ga N (0001) c-Al2 O 3 PEEM B.L. Wa rd et a l. JAP 84 (2000) 5238. InGaN QD Struktur InGaN QW Morphologie Ga N (0001) c-Al2 O 3 Mikro-PL λ = 430 nm K. Tachiba na et al. APL 76 (2000) 3212. 18 Wa chsen und Spa lten im UHV MBE 100 Perioden SL GaAs/Al 0.32Ga 0.68As n+ GaAs 119 Å/31 Å SL + n GaAs GaAs CEO (110) (100) 19 Überwa chsen von Spa ltflä chen (CEO) Übergitter Feldeffekt-Tra nsistor CEO-MBE n+GaAs (100 nm) AlGaAs (100 nm) GaAs (< 20 nm) optische Lithogra phie, na ßchemisches Ätzen Gate GaAs n+ GaAs SL n+ GaAs 2DES Spa ltflä che Source Dra in (PdGeAu) 20 300 E (AlGaAs) c E = 160 V/cm 250 Δ = 43 meV Energie [meV] 3 Miniba nd 200 150 2 Minib and 100 Δ = 16 meV 50 EF 1 Minib a nd Δ = 3.8 meV Ec(Ga As) 0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 -1.0 Tiefe [nm] 0 k (π/d p ) 1.0 Übergitter Feldeffekt-Tra nsistor Negativ Differentieller Widersta nd 50 E = 160 V/cm 1 Mi nib a nd für E = 160 V/cm 15 Perioden USD L SL dp = e 24 mV 15 nm 1500 nm = 0.02 meV E Bloch = e ω = 40 GHz (-120 GHz) P = 10 μW R. Deutschmann et al. Physica E 7 (2000) 294. Scource Dra in Strom [μA] Ec 40 U g = 400 mV 375 30 350 20 325 300 10 275 250 T = 330 mK 0 0 20 40 60 80 100 Source Dra in Spannung [mV] Potentia l verschiedener Methoden zur Strukturierung 4 10 1K 4K 8K 16K 64K DRAMs Photolith. ohne Maske 256K 64M 256M 1 10 Qua ntenregime SAM EUV De Broglie Wellenlänge 1Gbit CEO (MBE) 10 4M 16M μCP Strukturgröße [nm] 2 1M selektives Wachstum (MOCVD) 3 10 0 10 1965 1975 1995 1985 Jahr 2005 2015 1. Infrarot – Detektoren aus Quantentöpfen 1.1 Einführung - Infrarot – Detektoren können klassifiziert werden als Photonendetektoren oder thermische Detektoren. In der ersten Kategorie wechselwirken Photonen direkt mit den Ladungsträgern eines Halbleiters um einen Photostrom zu erzeugen. In der zweiten Kategorie wird die Temperaturänderung verursacht durch die Infrarotstrahlung gemessen. - IR-Detektoren können als photovoltaische oder photoleitende Bauelemente konzipiert werden. Bei der photovoltaischen Detektion wird das Bauelement ohne eine äußere Spannung betrieben, während zur Messung eines Photostroms eine Spannung an das Bauelement angelegt werden muss. Die meisten Quantentopf-Infrarot-Photodetektoren (QWIPs) werden als Photoleiter betrieben. - Der Quantentopf wird durch eine dünne Schicht (kleiner als die de Broglie Wellenlänge) kleiner Bandlücke (z. B. GaAs, GaN) eingebettet zwischen zwei Schichten großer Bandlücke (z. B. AlGaAs, AlGaN) realisiert → MBE, MOCVD. Die Bewegung freier Ladungsträger senkrecht zu den Schichten wird quantisiert so, dass sich lokalisierte zweidimensionale (2D) Subbänder innerhalb des Quantentopfs ausbilden. - Der erste experimentelle Nachweis von Intersubband Absorption (elektronischer Übergang von einem quantisierten in einen anderen quantisierten Zustand eines Quantentopfs) in GaAs Quantentöpfen wurden durch West and Eglash durchgeführt (Appl. Phys. Lett. 46 (1985) 1156). Der erste QWIP konnte von Levine 1987 demonstriert werden (Appl. Phys. Lett. 50 (1987) 685). Aktuell gibt es ein großes Interesse an der Entwicklung von Vielfach-Quantentöpfen und durch äußere Spannung einstellbare Mehrfarben – QWIPs für „focal plane array“ (FPA) Bildaufnahme im mittleren und langwelligen Infrarot-Fenster der Atmosphäre. Energiebanddiagramm einer Vielfach-Quantentopfstruktur Δ Ec Leitungsbandkante Ec g L (GaAs) Δ Ev E g (AlGaAs) Ev Valenzbandkante 25 - Intersubband-Übergänge in QWIPs a) bound – to – bound state Ec PC = 0 (PC:= photocurrent) BTB N-QWIP b) bound – to – conduction band Ec PC > 0 BTC N-QWIP c) two colour QWiP E1 E2 BTC1 PC > 0 E2 > E1 (two colour) BTC 2 26 1.2 Theoretische Überlegungen - In diesem Abschnitt werden die physikalischen Grundlagen und die Eigenschaften von Quantentopf-Infrarotdetektoren erklärt: 1.2.1 Gebundene Zustände eines Quantentopfes - Die gebundenen Zustände in einem n-Typ QWIP können durch Betrachtung einer eindimensionalen Leitungsbandstruktur (Kante) erhalten werden. Durch Verwendung der effektiven Masse Approximation, können lokalisierte Zustände durch eine 1-D, zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung berechnet werden: ⎧⎪ h 2 d 2 ⎫⎪ + V ( z ) ⎨− ⎬φ n ( z ) = E nφ n ( z ) , 2 ⎪⎩ 2meff dz ⎪⎭ (1) wobei meff die effektive Masse eines Elektrons und E n die Energie seines Zustandes ist. Mit Hilfe des Kronig-Penny-Models kann die einhüllende Wellenfunktion φ n geschrieben werden als: ⎧ ⎧ ⎛ ⎧ ⎛ Lw ⎞⎫ Lw ⎞⎫ ⎪C1 cos ⎨k w ⎜ z − ⎟⎬ + C2 sin ⎨k w ⎜ z − ⎟⎬ im Quantentopf 2 ⎠⎭ 2 ⎠⎭ ⎩ ⎝ ⎩ ⎝ ⎪ φn ( z ) = ⎨ ⎪C cos ⎧k ⎛ z + Lb ⎞⎫ + C sin ⎧k ⎛ z + Lb ⎞⎫ in der Barriere, ⎟⎬ ⎟⎬ ⎨ b⎜ ⎨ b⎜ 4 ⎪ 3 2 ⎠⎭ 2 ⎠⎭ ⎩ ⎝ ⎩ ⎝ ⎩ wobei kw = kb = 1 2 meffw (E − Vw ) 2 h (Wellenzahlen, Impuls des betrachteten Elektrons) 1 2 meffb (E − Vb ) 2 h C 1 bis C4 : = Konstanten, die durch die Randbedingungen bestimmt sind Vw ,V p : = Leitungsbandminimum im Quantentopf und in der Barriere Lw , L p : = Breite des Quantentopfs und der Barriere 1.2.2 Intersubband-Übergänge und Absorption - Für Intersubband-Absorption ist die Dotierung des Quantentopfmaterials wichtig um Ladungsträger zur Besetzung des Grundzustandes zur Verfügung zu stellen. QuantumConfinement von Ladungsträgern in einem Halbleiter – Quantentopf führt zur Ausbildung quantisierter Energiezustände und einer drastischen Änderung des optischen Absorptionsspektrums. Die Bestimmung des Absorptionskoeffizienten α ( ω ) von Quantentöpfen ist besonders wichtig für das Design von QWIPs, da diese Größe in die Quanteneffizienz und die spektrale Respons des Detektors eingehen. - Die Stärke eines Intersubbandübergangs in einem n-Typ QWIP ist bedingt durch die Übergangswahrscheinlichkeit für den Übergang eines Elektrons vom Ausgangs- in den Endzustand, die durch Fermis goldene Regel berechnet werden kann. Der Absorptionskoeffizient für Übergänge aus einem Zustand n in die Zustände m ( E m > E n ) kann in guter Näherung geschrieben werden durch: ⎛ ⎛ ⎛ E − En ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ 1 + exp⎜ F ⎟⎟ h2 2 ⎛ ⎞ μ 0 ⎜ q meff kT ⎟ ⎜ 2 kT ⎝ ⎠ ⎟⋅ τ α (ω ) = ω ∑ M mn ⋅ ln⎜⎜ h2 ε ⎜⎝ Lwπh 2 ⎟⎠m > n ⎜ ⎛ EF − Em ⎞ ⎟ 2 ⎜⎜ ⎟ ⎟ (Em − En − hω ) + 2 ⎜ 1 + exp⎜ τ ⎝ kT ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟⎟ ⎠ (2) wobei: μ 0 : = Permeabilität des Vakuums, p : ε : Lw : τ : EF : = Elementarladung, = Dielektrische Konstante, = Breite des Quantentopfs, = Lebensdauer des Zustandes, = Fermi-Energie. Das Dipol-Matrixelement ist definiert als: M mn = Lw / 2 ∫ φ ⋅ (z ) z φ (z )dz . m (3) n − Lw / 2 Die integrierte Absorptionsstärke kann ausgedrückt werden durch ∞ I A = ∫ α (ω )dω (4) ο und die Dipol-Oszillatorstärke durch 4πmeff f oz = M mm hλ 2 . (5) Die von der Dotierung abhängige Lage des Ferminiveaus kann berechnet werden durch meff kT ⎧ ⎛ E − E n ⎞⎫ (6) N D = 2 ∑ l n ⎨1 + exp⎜ F ⎟⎬ , πh Lw ⎝ kT ⎠⎭ ⎩ wobei über alle Subband-Energien En unterhalb der Fermi-Energie summiert wird. Eine Folge von Gleichung (2) ist, dass die elektromagnetische Strahlung, die senkrecht zur Quantentopfschicht einfällt nicht durch Intersubbandübergänge absorbiert wird (keine Komponente des elektrischen Felds kann sich in z-Richtung ausbilden). Aus diesem Grund werden die Kanten von QWIPs oft auf 45° poliert: AlGaAs GaAs mutiple-Reflexion 28 1.3. Eigenschaften der Detektoren 1.3.1 Quanteneffizienz der Absorption - Die spektrale Respons von QWIPs hängt von der Quanteneffizienz der Absorption und der Verstärkung der Photoleitung ab (Gain). Die Quanteneffizienz der Absorption η ist definiert als: η = P(1 − R ){1 − exp(− BαLqw )} (7) wobei P : = ist eine polarisationsabhängige Konstante für p-Typ QWIPs, P = 1 (TE und TM Polarisation wird absorbiert) für n-Typ P = 0,5 α : = Absorptionskoeffizient Lqw : = Dicke aller Quantentöpfe R : = Reflexionskoeffizient B : = ist eine Konstante, die abhängig ist vom optischen Weg der elektromagnetischen Strahlung durch den QWIP - Die Quanteneffizienz der Absorption eines QWIPs kann durch eine Erhöhung der Dotierkonzentration, der Anzahl von Quantentöpfen und die Länge des optischen Wegs durch die aktive Zone optimiert werden. Wenn die Dotierkonzentration eines Quantentopfs konstant ist, ist η bestimmt durch die Oszillatorstärke und die Zustandsdichte. Die Oszillatorstärke ist maximal, wenn die Energie der eingestrahlten Photonen der Energie eines Intersubbandüberganges (Ef – Ei) entspricht. Der Wert von η kann experimentell durch Fourier-Transformierte Infrarotspektroskopie (FTIR) bestimmt werden. 1.3.2 Verstärkung der Photoleitung (Gain) - QWIPs sind Photoleiter mit Majoritätsladungsträgerleitung. Das Signal des Detektors ist nicht nur bestimmt durch die Quanteneffizienz der Absorption sondern auch die Verstärkung der Photoleitung. Die Verstärkung ist ein Maß für den Transport heißer Elektronen nach der Absorption von Photonen (BTC-Übergang erforderlich). - Die Verstärkung der Photoleitung ist definiert als das Verhältnis zwischen der Lebensdauer der Elektronen τ e und der Transitzeit (Flugzeit) τ t des Elektrons durch die aktive Zone des Detektors: g= τe τt . Im allgemeinen wird die Verstärkung mit dem von außen angelegten Feld anwachsen. Für photogenerierte Elektronen führt eine höhere Beweglichkeit zu einer höheren Verstärkung der Photoleitung. 29 1.3.3 Spektrale Respons Die maximale Respons eines QWIPs ist definiert als - Rp = wobei: - e ηgpe hν (8) hν : = Photonenenergie η : = Quanteneffizienz der Absorption p e : = Wahrscheinlichkeit für ein heißes Elektron nach Absorption eines Photons den Quantentopf zu verlassen. ( pe ∝ Vext ) Zusammenhänge: Rp ∝ g∝ 1 n n: = Anzahl der Quantentöpfe 1 n η∝n Die spektralen Respons eines QWIPs kann durch Messung des Dunkel- und Photostroms mit Hilfe eines Monochromators und eines Schwarzkörperstrahlers gemessen werden. - 1.3.4 Dunkelstrom Der Dunkelstrom eines QWIPs ist in Abhängigkeit von der Temperatur bestimmt durch drei Leitungsmechanismen: - TE (thermische Emission) TAT (thermisch unterstütztes Tunneln) Ef DT (direktes Tunneln) E0 U F F Potential durch äußeres Feld F 30 - Bei geringen elektrischen Feldern und hoher Temperatur ist der Dunkelstrom bestimmt durch die thermische Emission (9) I th = eAd v d nt wobei: nt : = Dichte der Elektronen im Quantentopf v d : = Driftgeschwindigkeit Ad : = aktive Fläche des Detektors μF vd = ⎛ μF ⎞ ⎟⎟ 1 + ⎜⎜ ⎝ vs ⎠ (10) 2 μ : = Elektronen Mobilität F : = elektrisches Feld v s : = Sättigungsgeschwindigkeit ⎧ E cf − E F ⎫ exp ⎬ ⎨− kT ⎭ πh 2 L ⎩ meff kT nt = E cf : = Photonenenergie zur cut off Wellenlänge λc des Detektors meff πh 2 : = zweidimensionale Zustandsdichte im Quantentopf Die Fermi-Energie kann wieder über die Dotierkonzentration bestimmt werden ND = ≈ meff kT πh L meff kT πh 2 L 2 ⎧ ⎛ E F − E n ⎞⎫ ⎟⎬, kT ⎠⎭ ∑ ⎨1 + exp⎜⎝ ⎩ n ∑ (E F − E n ) . (nur gültig für tiefe Temperaturen) n Für den durch thermische Emission verursachten Dunkelstrom folgt: ⎛E ⎞ ⎛N ⎞ I th ∝ exp⎜ F ⎟ ∝ exp⎜ D ⎟ ⎝ kT ⎠ ⎝ kT ⎠ → → der Dunkelstrom steigt mit der Dotierkonzentration! Intersubbandabsorption steigt mit Dotierkonzentration! Optimum für Dotierung des Quantentopfs muss experimentell ermittelt werden. 31 1.3.5 Rauschen (Noise) - Strahlungsrauschen enthält Rauschen welches durch Fluktuationen im Photonenfluss des zu detektierenden Lichts und durch die Hintergrundstrahlung verursacht wird. - Intrinsisches Rauschen kann viele Ursachen haben: - Schrot Rauschen, statische Variation in Strömen der Ladungsträger in Halbleitern, - Johnson-Rauschen, thermisches Rauschen, thermische Bewegung von Elektronen und Atomen führen zu Spannungsschwankungen, - g-r (generation-recombination) Rauschen, - 1/f-Rauschen, statische Schwankung der Zahl der Störstellen, - pattern noise. Pattern noise resultiert aus lokalen Variationen des Dunkelstroms, der Photoresponse und der cut off Wellenlänge. - In QWIPs ist der Dunkelstrom (bei höheren Temperaturen) die Hauptursache für Rauschen. Das durch Dunkelstrom verursachte Schrotrauschen kann beschrieben werden durch in = 4egI d g d Δf (12) wobei I d : = Dunkelstrom g d : = Dunkelstrom Rauschverstärkung Δf : = Bandbreite des Rauschens Rauschen durch Hintergrundstrahlung kann analog geschrieben werden durch in = 4cgI b g p Δf wobei: I d : = Photostrom durch Hintergrundstrahlung, g p : = Verstärkung des Photostroms. 1.3.6 Detektivität und Noise Equivalent Power (NEP) - Die Detektivität kann aus Messungen der Response und des Rauschens eines Detektors bestimmt werden. Im Allgemeinen hängt sie ab von: - Temperatur, - äußerer Spannung und - cut off Wellenlänge. Die maximale Detektivität eines QWIPs kann bestimmt werden durch Dp ∗ = 1 R p Ad Δf in (13) 32 wobei: R p : = maximale Respons in : = root-mean-square des Stromrauschens - Ist die Leistung der Hintergrundstrahlung Pb bekannt lässt sich ein Zusammenhang zwischen Detektivität und der Noise Equivalent Power (NEP) finden: D∗ = 1 Ad Δf NEP Die NEP eines QWIPs soll für Anwendungen möglichst klein sein. NEP, pattern noise, readout noise zusammen mit D* sind typische Kenngrößen für die Ermittlung der Verwendung eines Detektors. 1.3.7 Einfacher Bound - to- Bound QWIP (Quantum Well Infrared Photodetector) - Erster B-B QWIP, Al 0,25 Ga 0,75As/GaAs gewachsen mit MBE 50 Perioden AlGaAs x = 0,25 9,5 nm n + - GaAs E2 hω E1 GaAs 6,5 nm Dotierung [Si ] = 1,4 ⋅ 1018 cm −3 λ p = 10 μm α = 600 cm −1 - ( niedrig ) Doppel-Barrieren QWiP InGaAs/AlAs/In 0,52Al 0,48As E2 EF E1 Ec (E1 − E2 ) = 365meV 33 λ p = 3,4 μm 1.3.8 Einkoppelung des Lichts in den Infrarot-Detektor - Nur elektromagnetische Strahlung mit einem elektrischen Feldvektor E⊥ senkrecht zum Quantentopf können zu Intersubband-Übergängen innerhalb des Quantentopfs führen. Keine Absorption erfolgt für Strahlung, die senkrecht auf den QWIP-Detektor fällt (nTyp Detektor mit direkter Bandlücke). Et En Quantentopf k k B B maximale Absorption keine Absorption E Et En k teilweise Absorption - Auswege: Oberflächenstrukturierung, Zweidimensionale Beugungsgitter k k k 34 1.3.9 Mehrfarben - Detektoren - Mit Hilfe der Variation von Quantentopfbreiten können Detektoren hergestellt werden die in mehr als einem Spektralbereich sensitiv sind. E2 E hω Ec GaAs - AlGaAs Transmissionskoeffizient eines Mehrfarben QWIPs T E1 E2 hω Zusätzliche Information in: „Responsivity of quantum well infrared photodetectors at terahertz detection wave lengths”, M. A. Gadic et al., J. Appl. Phys. 91 (2002) 5820. 35 2. Niedrigdimensionale Elektronensysteme Elektronensysteme werden als niedrigdimensional bezeichnet, wenn die freie Bewegung der Elektronen auf weniger als drei Raumdimensionen eingeschränkt ist. Dies geschieht indem ein Einschlusspotential (Confinement) gebildet wird, das die Elektronen an einer freien Bewegung hindert. Die quantenmechanischen Zustände müssen in ihrer Energie so weit voneinander getrennt sein, dass nur wenige unterhalb der Fermi-Energie des Elektronensystems liegen. Sind dagegen sehr viele dieser Eigenzustände des Confinementpotentials besetzt, so kann durch kohärente Superposition wieder ein Wellenpaket gebildet werden, das eine wohldefinierte Geschwindigkeit in der Confinementrichtung besitzt. 2.1 Zweidimensionales Elektronensystem Am Beispiel einer GaAs/AlxGa1-xAs Einfach-Heterostruktur soll die Realisierung eines zweidimensionalen Elektronengases vorgestellt werden. Das durch den Materialwechsel und unterschiedlichen Dotierung modulierte Potential bildet einen Potentialtopf oder Kanal aus, der die Bewegung der Ladungsträger in Wachstumsrichtung (z-Richtung) eingeschränkt. Die einschließenden Potentiale sind größer als die Fermi-Energie und die räumliche Dimension in Wachstumsrichtung ist der Fermi-Wellenlänge der Ladungsträger vergleichbar. Die Bewegung in z-Richtung ist quantisiert. AlGaAs z AlGaAs GaAs EC EC z GaAs EV EV Abb.: Undotierte GaAs/AlGaAs-Heterostruktur mit Banddiskontinuität vom Typ I. thermische Aktivierung der Si-Donatoren Si: AlGaAs Spacer AlGaAs Barriere Si - - + + EC GaAs EV Abb.: GaAs/AlGaAs-Heterostruktur mit Modulationsdotierung der Barriere durch Silizium. 36 Elektronentransfer von der dotierten Barriere in das undotierte GaAs + + - EC GaAs EV U=E d d: mittlere Diffusionslänge E Abb.: Aufbau eines gegen die Elektronendiffusion gerichteten Potentials (Diffusionsspannung). + EC - GaAs AlGaAs EV Durch Dotierung lässt sich das chemische Potential (die Fermi-Energie) so legen, dass der Kanal mit Ladungsträgern befüllt wird. AlGaAs GaAs Energie [eV] 0,3 Spacer 0,1 2DEG n s = 5 1011 cm -2 Do na to r-L ev el 0,2 EF E0 -20 -10 0 10 20 30 Z [nm] Abb.: Leitungsbandkante einer modulationsdotierten GaAs/AlxGa1-xAs-Heterostruktur in der Nähe der Grenzfläche Durch die Si-Dotierung der AlGaAs-Barriere wird die Fermi-Energie nahe an die Leitungsbandunterkante gerückt. Die durch die Dotierschicht freigesetzten Elektronen befüllen den Kanal (2DEG) im GaAs. Die positive Ladung der ionisierten Donatoren bewirkt 37 eine positive Potentialkrümmung in Wachstumsrichtung, die negative Ladung des Elektronenkanals eine negative. Die Leitungsbanddiskontinuität zwischen AlGaAs und GaAs zusammen mit dem durch die Elektrondiffusion erzeugten Potentialgefälle über die Grenzfläche bildet einen Dreieckstopf im GaAs. Es bilden sich quantisierte Zustände für die Bewegung in Wachstumsrichtung, die sogenannten elektrischen Subbänder aus, lediglich die Bewegung in der Ebene ist noch frei. Bei Besetzung des untersten Subbands spricht man von einem zweidimensionalen Elektronengas (2DEG), sind auch höhere Subbänder besetzt von einem quasizweidimensionalen Elektronengas. Schrödinger Gleichung Zur Berechnung der Subband-Energie wird die Schrödinger-Gleichung eines Ladungsträgers der effektiven Masse m* mit der Wellenfunktion Ψ im äußeren Potential V(z) aufgestellt: ⎞ ⎛ h2 d 2 ⎜⎜ − + V ( z )⎟⎟Ψ (r ) = EΨ (r ) . 2 ⎠ ⎝ 2m * d r Der Separationsansatz: Ψ (r ) = ξ (z )e ( i kx x+k y y ) liefert die Energieeigenwerte: Ei (k x , k y ) = Ei + Ei (k x , k y ) . 14243 ⊥ II ( h2 kx2 +k y 2 2 mII ) Hierbei wurde die Bewegung in z-Richtung von der freien Bewegung in der x-y-Ebene separiert, die eine parabolische Dispersion EII aufweist. Die Subbandenergien Ei⊥ ergeben sich als Eigenwerte der Schrödinger Gleichung für ξ (z) ⎛ h2 ⎜⎜ − ⎝ 2 m⊥ ⎞ d2 ⊥ + V ( z )⎟⎟ξ ( z ) = Ei ξ ( z ) . 2 dz ⎠ Bis hierhin wurden die Einteilchenzustände im äußeren Potential berechnet, man erhält die Lösung des Subbandproblems für unbefüllte Kanäle. Im Falle dotierter Strukturen ergibt sich eine Rückwirkung des elektrostatischen Potentials der Ladungsträgerdichte im Kanal auf das Einschlusspotential (selbstkonsistente Lösung der Poison- und Schrödinger-Gleichung). Abschätzungen: Für die Subband-Energien des unendlich hohen Rechtecktopfes ergibt sich 38 E1 h 2π 2 2 n 2 m⋅ d 2 En −1 = E0 d = 10 nm Beispiel: d = 10-8 m h = 1,054 ⋅ 10-34 Js π =3,14 m* = 0,067 ⋅ me me =9,1 ⋅ 10-31 kg (1,054 ⋅10 ) ⋅ 3,14 = 2 ⋅ 0,067 ⋅ 9,1⋅10 ⋅ (10 ) −34 2 E0 2 −8 2 −31 ⋅ 6,242 ⋅1018 eV h = 1,054 ⋅ 10-34 Js = 1,054 ⋅ 10-34 ⋅ 6,242 ⋅ 1018 eVs = 6,579 ⋅ 10-16 eVs J 2s 2 N 2m2 s 2 = kg m kg m kg 2 m 2 s 2 s 2 kg = Nm = J = 0,056 eV = 56 meV = E1 = 4 E0 = 224 meV E 2 = 9 E0 = 504 meV Im Falle einer Einfach-Heterostruktur kann der Potentialtopf durch eine unendlich hohe Barriere und ein konstantes elektrisches Feld E im Bereich der Grenzfläche genähert werden. Es ergeben sich die Subband-Energien des so definierten Dreiecktopfes zu (F. Stern, Phys. Rev. B 5 (1972) 4891) ⎛ h2 ⎞ ⎟⎟ Ei = ⎜⎜ ⎝ 2m * ⎠ 1 3 2 ⎛3 ⎛ 3 ⎞⎞ 3 ⎜⎜ π e E ⋅ ⎜ i + ⎟ ⎟⎟ , i = 0, 1, 2, ... ⎝ 4 ⎠⎠ ⎝2 E = 10 5 V / cm = 10 7 V / m e = 1,602 ⋅10 −19 C Beispiel: ( ) ⎛ 1,054 ⋅10 −34 2 ⎞ ⎟ E0 = ⎜ ⎜ 2 ⋅ 0,067 ⋅ 9,1 ⋅10 −31 ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 3 ⎛ J 2 s 2 ⎞ 3 ⎛ m / As ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ kg ⎠ ⎝ V ⎠ 2 3 2 ⎛3 3 ⎞⎞ 3 ⎛ ⋅ ⎜⎜ 3,14 ⋅1,602 ⋅10 −19 ⋅10 7 ⎜ 0 + ⎟ ⎟⎟ ⋅ 6,242 ⋅1018 eV 4 ⎠⎠ ⎝ ⎝2 39 = (4,5 ⋅10 −13 )(3,23 ⋅10 −8 )⋅ 6,242 ⋅1018 eV = 0,091eV = 91meV ⎛ ⎛ 3 ⎞⎞ E1 = (4,5 ⋅10 −13 )⋅ 6,242 ⋅1018 eV ⋅ ⎜⎜ 4,30 ⋅10 −8 ⎜ i + ⎟ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠⎠ ⎝ E1 = 0,221eV = 211meV [meV] E 211 91 0 Selbstkonsistente Subbandrechnungen Zur Berechnung der Subband Energien wird die Schrödinger-Gleichung eines Ladungsträgers mit der effektiven Masse m* (Effektiv-Massen-Näherung) mit der Wellenfunktion ψ im äußeren Potential in z-Richtung V(z) aufgestellt (streng genommen ist V die potentielle Energie, die sich aus dem elektrostatischen Potenzial φ nach V = eφ berechnet): ⎛ h2 d 2 ⎞ ⎜⎜ − + V ( z )⎟⎟ψ (r ) = Eψ (r ) 2 ⎝ 2m * d r ⎠ ψ (r ) = ζ ( z ) e Seperationsansatz: liefert die Energieeigenwerte: mit ( i kx x+k y y ) Ei (k x , k y ) = Ei + E II (k x , k y ) ⊥ ( h2 2 E (k x , k y ) = k 2x + ky 2mII II ) Im allgemeinen ist die effektive Masse in einem Halbleiter nicht isotrop. Es muss zwischen mII für die Bewegung in der Ebene des 2DEG und m⊥ für die Bewegung in Wachstumsrichtung unterschieden werden. Die Subbandenergien Ei⊥ ergeben sich als Eigenwerte der Schrödingergleichung für ζ (z): 40 ⎛ h2 d 2 ⎞ ⊥ ⎜⎜ − + V ( z )⎟⎟ζ ( z ) = Ei ζ ( z ) . 2 ⎝ 2m⊥ dz ⎠ Bis hierhin wurden die Einteilchenzustände im äußeren Potenzial berechnet, man erhält die Lösung des Subbandproblems für unbefüllte Kanäle. Im Falle dotierter Strukturen ergibt sich eine Rückwirkung des elektrostatischen Potenzials der Ladungsträgerdichte im Kanal auf das Einschlusspotenzials V(z). Das Subbandproblem kann dann nur noch selbstkonsistent gelöst werden. Für befüllte Kanäle muss neben der Schrödinger- auch die Poisson-Gleichung erfüllt werden: d d dz ε 0ε r (z ) dz φ ( z ) = ρ ( z ) = ensζ * ( z ) − ζ (z ) − ρ ion (z ) . Sie beschreibt die Krümmung des elektrostatischen Potenzials φ(z) aufgrund der Ladungsträgerverteilung ρ(z). In befüllten Kanälen ist die Ladungsträgerdichte im Kanal durch die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ζ * ( z )ζ (z ) gegeben. Die Lösung der Schrödingergleichung im externen Potenzial V(z) beeinflusst demnach das einschließende Potenzial selbst. Das Problem ist nur noch selbstkonsistent zu lösen. ρion (z) beschreibt die Ladungsträgerdichte der ionisierten Störstellen, wie sie in der Dotierschicht, an der Oberfläche und in Form der ionisierten Hintergrunddotierung vorliegen. Ihre z-Position ist ortsfest, ihre Ionisierung hängt aber von ihrer Bindungsenergie und der Lage der Fermi-Energie relativ zur Leitungsbandkante ab. Die Beiträge zum einschließenden Potenzial V(z) werden wie folgt zusammengefasst: V ( z ) = Vcb (z ) + VH ( z ) + Vxc ( z ) , Vcb : = Potentialstufe der Leitungsbandkante an der Halbleitergrenzfläche. VH(z) ist das Hartree-Potenzial, d. h. die Potenzialverformung durch das Ladungsträgersystem selbst und durch andere Ladungen gemäß der Poisson-Gleichung VH ( z ) = eφ ( z ) = 4πe 2 ε z z´ −∞ −∞ ns ∫ dz´ ∫ dz´´ζ * ( z´´)ζ (z´´) . Vxc gibt die Stärke der Austausch-Korrelations-Wechselwirkung an. Die verminderte Korrelationsenergie von Elektronen des gleichen Quantenzustands (hier desselben Subbands) ergibt sich innerhalb der local density approximation (LDA) als Korrektur zum äußeren Potenzial 1 ⎛ 21 ⎞⎫ 2 *⎛ 9 ⎞ 3 ⎧ Vxc = − R y ⎜ 2 ⎟ ⎨1 + 0,0368 rs ln⎜⎜1 + ⎟⎟⎬ . rs rs ⎠⎭ ⎝ 4π ⎠ ⎩ ⎝ mit aB = h 2ε 0 ε * − 0,529 Å , a B = r* a B 2 e πm0 m 41 Ry = e2 8πε 0ε r a B = 13,2 eV , ⎫ ⎧π 3 rs = ⎨ a * B n3 D ( z )⎬ ⎭ ⎩3 −1 * Ry = m* εr2 Ry 3 wobei die Rydberg-Energie Ry aus dem Bohr-Radius aB berechnet wurde. Im Medium gelten die effektiven Werte aB*, Ry*. Der mittlere Abstand rs der Elektronen wurde in Einheiten des effektiven Bohr-Radius berechnet. n3D ist die lokale Volumen-Ladungsträgerdichte, die sich für ein Ladungsträgersystem mit der Wellenfunktion ζ(z) zu n3 D = ensζ * ( z )ζ ( z ) berechnet. Die Austausch-Korrelations-Wechselwirkung senkt Quantenzustände (hier Subbänder) entsprechend der Ladungsträgerdichte ab, mit der sie besetzt sind. Beispiel: 2DEG an einer Grenzfläche aus kubischem AlN/GaN m* (GaN) = 0,22 m0 εr (GaN) = 9,5 n3D (GaN) (z) = 1018 cm-3 * aB = εr aB m* 9,5 = ⋅ 0,529 Å = 114 Å 0,22 Ry = = m* εr2 Ry 0,22 ⋅13,2 eV = 0,032 eV 9,5 2 ⎫ ⎧ 4π * 3 rs = ⎨ a B n3 D ⎬ ⎭ ⎩ 3 −1 3 3 ⎫ ⎧ 4π = ⎨ (114 ⋅10 −8 cm ) ⋅1018 cm −3 ⎬ ⎭ ⎩ 3 = 0,544 2 *⎛ 9 ⎞ V xc = − Ry ⎜ 2 ⎟ Vs ⎝ 4π ⎠ 1 3 −1 3 ⎧ ⎛ 21 ⎞⎫ ⎨1 + 0,0368 Vs ln⎜⎜1 + ⎟⎟⎬ rs ⎠⎭ ⎝ ⎩ 1 2 21 ⎞⎫ ⎛ ⎛ 9 ⎞ 3⎧ =− ⋅ 0,032 eV ⎜ 2 ⎟ ⎨1 + 0,0368 ⋅ 0,544 ln⎜1 + ⎟⎬ 0,544 ⎝ 4π ⎠ ⎩ ⎝ 0,544 ⎠⎭ = −0,072 eV ⋅ 1,074 = −0,077 eV = 77 meV ~ 3kT (bei Raumtemperatur) 42 Vcb an AlN/GaN-Grenzfläche: Vcb ( z = 0 ) ≈ 1,7 eV VH an AlN/GaN-Grenzfläche: VH ( z = 0 ) ≈ 0,3 eV Effektive Masse In den bisherigen Berechnungen wurde der Verlauf des Leitungsbandminimums als parabolisch und damit die effektive Masse als konstant angenommen. Im allgemeinen ist die Krümmung der Dispersion der Bandstruktur und damit die effektive Masse aber eine Funktion der Energie. Effektive Masse: m * (E F , ns ) = π h 2 dns dE F Die energieabhängige Masse ergibt sich aus der Krümmung der Dispersion E(k) bei der Fermi-Energie EF: ⎞ 1 1 ⎛ 2K 2 ( = * ⎜1 + E F + E⊥ )⎟ ⎟ m(E ) m ⎜⎝ Eg ⎠ Für GaAs gilt: Kopplungsfaktor K2 = -1,4 Bandlücke Eg = 1,52 eV effektive Masse m* = 0,067 E⊥1 = 50 meV EF = 75 meV Beispiel: ⎞ 1 1 ⎛ 2(− 1,4 ) ⎜⎜1 + (50 + 75)10 −3 eV ⎟⎟ = m(E ⊥1 ) 0,0067 ⎝ 1,52 eV ⎠ 1 ⋅ (+ 0,769) 0,067 m(E⊥1 ) = 0,087 = Zweidimensionale Ladungsträgersysteme im Magnetfeld Für den Fall eines in z-Richtung orientierten Magnetfeldes führt die Landau Eichung A = (− Bz y,0,0 ) B = ∇x A auf den Separationsansatz 43 ψ (x, y, z ) = ζ (z )e ik x ϕ ( y )χ ( y ) . x Schrödingergleichung für ϕ(y) lautet: ⎧ h2 d 2 1 * 2 2⎫ + m ω c ( y − y0 ) ⎬ϕ ( y ) = E II ϕ ( y ) . ⎨− * 2 2 ⎩ 2m dy ⎭ Hierbei wurde die Zykltronfrequenz ω c = eB m* eingeführt. Die magnetische Länge lc = h eB legt den Ursprung y0 =lc2 kx des harmonischen Oszillatorpotentials fest, welches durch das Magnetfeld hinzugekommen ist. Die Gesamtenergie der Elektronen setzt sich dann zusammen aus Landau-Niveau, Subbandenergie und Spinaufspaltung. ⊕⊕ Ec ΔU E Ionisation durch thermisch induziertes Tunneln Ev 2 DEG ⊕⊕ Ec Ausbildung eines 2 DEGs Ev 44 - Erzeugung eines 2 DEGs durch piezo- und pyroelekrische- Effekte AlGaN GaN PSP (AlGaN) PSP ⊕ ⊕ - σ1 +σ3 +σ2 (GaN) mit Ev σ1 = σ2 + σ3 σ2 > σ3 E2 E1 AlGaN Ec GaN Ec polarisationsinduzierter “Quantentopf” Ev Einbringen von Elektronen durch einen Oberflächendonator (+ Hintergrunddotierung im GaN) 45 ⊕ - 2 DEG ⊕ Dreieckiger Quantentopf: Ec 3 Δ Ec 2 F 1 E - In einem Confinementpotential bildet sich ein quantisierter Zustand (Subband) senkrecht zur Grenzfläche aus. In den unbeschränkten Raumrichtungen ist weiterhin eine freie Bewegung der Elektronen möglich. Unter Vernachlässigung von Vielteilchen- und Spineffekten erhält man im Rahmen der Effektivmasse-Nährung eine parabolische Dispersionsbeziehung E (k) für ein Elektron: h2 2 Ε(k ) = Ε i + k , i = 1,2,3 , ... 2m * k: = Wellenvektor für freie Bewegungsrichtungen, m*: = effektive Masse. Im Fall einer Einfach-Heterostruktur kann der Potentialtopf der hier behandelten 2 DEGs durch eine unendlich hohe Barriere und eines konstanten elektrischen Feldes E (im Bereich der Raumladungsschicht) genähert werden. Es ergeben sich dann die SubbandEnergien des so definierten Dreiecktopfes 1 2 ⎛ h 2 ⎞ 3 ⎛ 3π ⎛ 3 ⎞ ⎞ 3 ⎟⎟ ⎜⎜ eE ⎜ i + ⎟ ⎟⎟ , Ε i = ⎜⎜ ⎝ 4 ⎠⎠ ⎝ 2m * ⎠ ⎝ 2 i = 1,2, ... 46 - Die Energie ε i ist auf den energetisch tiefsten Zustand des Subbandes bezogen. Die Zustandsdichte innerhalb eines Subbandes ist konstant und unabhängig von der Energie Ε : D(Ε ) = m* πh 2 (k) 2 1 ky D kx - Ergänzung: Die eindimensionale Zustandsdichte D (Ε ) (z. B. von Subbändern in einem Quantenpunkt) hängt ab von der Energie D(Ε ) = 1 πh m* 2ε 47 (k) k - D (E) Für die folgende Diskussion wird angenommen, dass sich die Fermienergie EF innerhalb des energetisch tiefsten Subbandes befindet und keine Zustände höherer Subbänder besetzt sind. Den Elektronen dieses Subbandes kann dann eine Fermigeschwindigkeit υF = hk F m* zugeordnet werden, die dann über υF = in zwei und υF = h 2πn2 D m* πh m* n1D in einer Dimension mit der zweidimensionalen Flächendichte n2D bzw. der eindimensionale Liniendichte n1D der Elektronen verknüpft ist. Durch Einführung einer Transportstreuzeit τ , die über m*μ e die Beweglichkeit der Elektronen definiert, kann dann die mittlere freie Weglänge L0 dargestellt werden. τ= L0 = υ F T = Beispiel: hk F μ e polarisationsinduziertes 2DEG in einer Al0,3 Ga 0,7 N / GaN − Heterostruktur μ = 2000 cm 2 Vs m* = 0,228me me = 9,1 ⋅ 10 −31 hg n2 D = 1013 cm −2 48 Streuzeit: τ= m * μ 0,228 ⋅ 10 −31 hg ⋅ 2000cm 2 / Vs = e 1,602 ⋅ 10 −19 As kgcm 2 2 VAs { = 2,59 ⋅ 10 −9 10 − 4 s = 2,59 ⋅ 10 −13 s Fermigeschwindigkeit: υF = = 1 h (2πn2 D ) 2 m* 1 1,05 ⋅ 10 −34 Js −2 2 13 ( 2 π ⋅ 10 cm ) 0,228 ⋅ 9,1 ⋅ 10 −31 hg = 4010 Js kgcm 123 10 2 m s = 4,01 ⋅ 10 5 m s mittlere freie Weglängen: L0 = υ F ⋅ τ m ⋅ 2,59 ⋅ 10 −13 s s −7 = 1,04 ⋅ 10 m = 0,1μm = 104nm = 4,01 ⋅ 10 5 Impuls, Wellenzahl: p = m * υ F = hh F = 0,228 ⋅ 9,1 ⋅ 10 −31 hg ⋅ 4,01 ⋅ 10 5 m = 8,3 ⋅ 10 − 26 kgm s s 49 p h 8,3 ⋅ 10 −26 kgm = 1,05 ⋅ 10 −34 sJs { hF = 10 2 cm −1 −1 −6 hF = 7,9 ⋅ 10 cm Energie des ersten Subbands für E = 500 kV/cm ⎛ h ⎞ ⎟⎟ Ε1 = ⎜⎜ 2 * m ⎝ ⎠ 2 1 3 2 ⎛ 3π ⎛ 3 ⎞ ⎞ 3 ⎜⎜ eE ⎜1 + ⎟ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠⎠ ⎝ 2 ⎛ ⎞ 2 ⎜ ⎟ −34 ⋅ 1 , 05 10 Js ⎟ =⎜ ⎜ 2 ⋅ 0,228 ⋅ 9,1 ⋅ 10 −31 hg ⎟ 43 ⎟ ⎜ 14424 2 , 98⋅10 −13 ⎝ ⎠ ( ) 1 3 2 ⎛ ⎞3 ⎜ ⎟ ⎜ 3π ⎟ kV 7 ⋅ 1,602 ⋅ 10 −19 As ⋅ 500 ⋅ ⎟ ⎜ 2 4442444 3 12cm 3 4⎟ ⎜1 1, 63⋅10 − 7 7V ⎜ ⎟ 5⋅10 m ⎝ ⎠ = 4,87 ⋅ 10 −20 1eV = 1,602 ⋅ 10 −19 J = 0,303eV = 303meV 2D-Zustandsdichte D (Ε ) = D = m * 0,228 ⋅ 9,1 ⋅ 10 −31 kg = πh 2 π ⋅ 1,05 ⋅ 10 −34 Js 2 = 6 ⋅ 10 36 3. ( 1 Jm 2 ) 1J = 6,24 ⋅ 1018 eV Herstellung von Quantenpunkten 50 Verkoppelung von Quantenpunkten 51 Reguläres Gitter von Quantenpunkten auf GaAs(311)B induziert durch SiN Spannungskonzentratoren 52 Zusammenhang zwischen Form und elektronischen Eigenschaften Technologische Prinzipien der Nanostrukturierung Schematische Darstellung der unterschiedlichen Ansätze der Nanostrukturierung: (a) Nanokristalle in eine Matrix, (b) erzwungene Strukturierung, (c) Selbstformierung (Selbstorganisation). 54 Lithografische Verfahren zur Erzeugung von freistehenden Quantenpunkten Prozeßsequenz für die Herstellung von freistehenden Quantenpunkten durch Verwendung von lithografischen Techniken und (a) Positiv- und (b) Negativfotolacken 55 Freistehende Quantenpunkte (a) Querschnitts- und (b) aufsichtsrastermikroskopische Aufnahme von freistehenden AlGaAs/GaAs Quantenpunkten hergestellt durch Verwendung von Elektronenstrahllithografie und Trockenätzen 57 Klassen von spontan geordneten Strukturen Klassen von spontan geordneten Nanostrukturen: (a) periodisch facettierte Oberflächen, (b) planare Oberflächendomänen, (c) geordnetes 2D-Gitter von kohärent verspannten Keimen, (d) dreidimensionale periodische Anordnung von kohärenten 2D-Keimen, (e) dreidimensional periodische Anordnung von kohärenten 3Dkeimen 58 Periodische Facettierung Kräfte entlang eines sägezahnartigen Oberflächenprofils F = Fsurf + Eedges + )E elastic γ (ϕ ) η(ϕ ) C(ϕ ) τ 2 ⎛ D ⎞ ln⎜ ⎟ F= + − ⎝ a⎠ cos ϕ D YD ⎛ η(ϕ )Y ⎞ D opt = a exp⎜ + 1 ⎟ ⎝ C(ϕ ) τ 2 ⎠ 59 Periodische Makrostufen und planare Oberflächendomänen Kräfte entlang eines gestuften Oberflächenprofils F = γ0 + γ1 h C1 C 2 ⎛ h ⎞ + − ln⎜ ⎟ D D D ⎝ a⎠ Kräfteschema in einem System planarer Oberflächendomänen E = Esurf + Eboundaries + )Eelastic 60 Heteroepitaxie auf facettierten Oberflächen und Stufen Morphologien von Heterosystemen: (a) homogene Bedeckung, (b) einzelner großer Cluster, (c) periodische Cluster, (d) Clustersystem nach großer Bedeckung E = Esurf + Einterface + Eedges + .Eelastic 61 Keimbildung und Relaxation Schematische Darstellung der Wachstumsmodi in der Heteroepitaxie: (a) Frank - van der Merwe (FvdM), (b) Volmer-Weber (VW), (c) Stranski-Krastanow (SK). Die Benetzungsbedingung der Substratoberfläche ist gegeben durch γ surf 2 + γ interface + Eelastic < γ surf 1 62 Keimbildung und Relaxation Relaxation in Keimen als Funktion des Aspektverhältnisses Phasendiagramm der Keimmorphologie als Funktion der abgeschiedenen Materialmenge Q und des Verhältnisses der Energie einer Grenzfläche mit Versetzungen zum Oberflächenenergiegewinn durch die Keimbildung. UF - vollständige Bedeckung, CI kohärente Keime, DI - Keime mit Versetzungen 63 Keimbildung und Relaxation Relaxation als Funktion der Keimform Relaxation als Funktion der Keimanordnung 64 Kinetik der Relaxation Schematische Darstellung des Energiegewinns beim 2D-3D Übergangs. tcd und tcw sind die kritische Schichtdicken der Versetzungs- und Inselbildung. Zeitabhängigkeit des 2D-3D Überganges. EA ist die Aktivierungsenergie des Überganges. X ist der Punkt, an dem ein reiner spannungsinduzierter Übergang möglich wird, d.h. ohne thermische Aktivierung. 65 Kinetik der Relaxation Evolution der Clustermorphologie als Funktion der Bedeckung bei einer InAs Abscheidung auf GaAs(100) bei 500°C. 66 Hierarchie des Ordungsprozesses 67 Asaro-Tiller-Grinfeld-Instabilität Varianten der Spannungsrelaxation: (a) Generation von Versetzungsnetzwerken, (b) Modulation der Oberflächenmorphologie 68 Vertikal verkoppelte Quantenpunkte 69 Verkoppelung von Quantenpunkten Verkoppelungswahrscheinlichkeit der Quantenpunkte als Funktion der Zwischenschichtdicke. 70 Vertikal verkoppelte Quantenpunkte Vertikal verkoppelte InGaAs/GaAs Quantenpunkte: (a) 25 fach, (b) 20 fach 71 Verkoppelung von Quantenpunkten Ordnung von Quantenpunkten durch Verkoppelung mit Versetzungsnetzwerken (Ge auf Si). Ordnung von Quantenpunkten durch Verkoppelung mit Stufen (Ge auf Si). 72 Verkoppelung von Quantenpunkten Reguläres Gitter von Quantenpunkten auf GaAs(311)B induziert durch SiN Spannungskonzentratoren 73 Verkoppelung von Quantenpunkten Regelmäßige quadratische und hexagonale Quantenpunktanordnung auf GaAs (311)B Substraten Verlust der Verkoppelung durch Über- oder Unterschreitung von kritischen Abstandsgrößen: (a) 400 nm, (b) 280 nm, (c) 225 nm Verlust der Verkoppelung durch Über- oder Unterschreitung von kritischen Abstandsgrößen: (a) 400 nm, (b) 280 nm, (c) 225 nm Selbstorganisierende Quantenpunkte 75 Quantendrähte Organisierte Quantenpunkte 4. Thermoelektrische Eigenschaften von Quantendrähten und Quantenpunkten 4.1 Der Seebeck-Effekt Wenn zwei verschiedene Metalle einander berühren, gehen einige Elektronen vom einen (2) zum anderen (1) über. Grund: die Elektronenzustände sind bis zu einem gewissen Niveau (Oberfläche des Fermi-Gas, Fermi-Grenze, elektrochemisches Potential) aufgefüllt, das für verschiedene Stoffe verschieden hoch liegt. Bei Berührung erfolgt Ausgleich der elektrochemischen Potentiale durch Diffusion. (1) (2) Leitungsband O Valenzband Diffusion Kontaktspannung Das Metall mit der geringen Austrittsarbeit gibt Elektronen ab und wird positiv. Der Übertritt hört erst auf, wenn sich eine Kontaktspannung eingestellt hat, die entgegengesetzt gleich der Differenz der Fermi-Niveaus ist. n1 = e −eΔU / kT n2 Kontaktspannung: ΔU = Kontaktspannung zwischen zwei sich berührenden Metallen. -- 1 kT ⎛ n2 ⎞ ln⎜ ⎟ e ⎜⎝ n1 ⎟⎠ Uth ++ Temperaturmess ung mittels Thermoelement. 2 T To Die Änderung der Thermospannung mit der Temperatur bestimmt die Empfindlichkeit des Thermoelements oder die Thermokraft. dU th = a + 2b ΔT dT ~ einige µV/K (→ direkte Umwandlung von thermischer in elektrische Energie!) 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 5. Metall – Nanokluster in Glas Kompositmaterialien aus Klustern von Übergangsmetallen eingebettet in Glas (dielektrische Matrix) besitzen unerwartete optische Eigenschaften. Die ersten Gläser mit Metallklustern wurden von römischen Glasbläsern im 4. Jahrhundert nach Christi verwendet. Diesen Gläsern wurden Gold oder Silberkluster mit einer Volumenkonzentration von 3 ⋅ 10 −4 bis 4 ⋅ 10 −5 % zugesetzt. Sie besitzen leuchtend grüne oder rote Farben. → Kirchenfenster in europäischen Kathedralen → Partikel (Zn Su) in Lösung Michael Faraday: erster Versuch die Ursache der Färbung durch Metallpartikel zu verstehen, Philos. Trans. R. Soc. 147, 145 (1857). Maxwell – Garnett : optische Eigenschaften eines Materials bestehend aus kleinen Metallkugeln in einer Matrix, Philos. Trans. R. Soc. A 203, 385 (1904). Lorenz : Nicht homogene optische Systeme, Ann. Phys. 11, 70 (1880). 92 ⇒ (1) There are particles, presumably of gold, visible in all specimens of gold ruby glass in which the colour has been developed. (2) Whenever these particles are of diameter less than 10-5 cm, they are spherical in shape. (3) We have just seen that this ruby colour is that which would be produced by small spheres (but not by molecules) of gold, many to a wave length, embedded in the glass. Au [cm -1 ] 10 4 Cu Ag 300 400 600 500 [nm] 120 nm 80 60 d Au = 20 nm 400 500 600 700 λ [nm] Optisches Absorptionsspektrum von Goldpartikeln in Glas für verschiedene Durchmesser der Kluster. G. Mie, Ann. Phys. 25, 377 (1908). 93 - Kollektive Plasmon – Oszillationen mit verschiedenen Dipolmomenten, mit dem Ziel die Mie-Experimente zu erklären, wurden 1970 von Kreibig eingeführt. Z. Phys. 231, 128 (1970). (kollektive Anregung → Plasmon-Polaritonen) Kittel: - Eine Plasmaschwingung in einem Metall ist eine kollektive longitudinale Anregung des Leitungselektronengases. Von der Physik her ist die Plasmaschwingung in einem Dielektrikum das Gleiche wie in einem Metall: der gesamte See der Valenzelektronen oszilliert gegenüber den Ionen. - Plasmon: Ein Plasmon ist das Quant der Plasmaschwingung. Man kann ein Plasmon anregen, wenn man ein Elektron durch einen dünnen Metallfilm schickt, oder wenn man ein Elektron oder ein Photon an einem Film reflektiert. Die Ladung des Elektrons koppelt an die Fluktuationen des elektrostatischen Feldes der Plasmaschwingung an. Das reflektierte oder transmittierte Elektron erfährt einen Energieverlust, welcher ein ganzzahliges Vielfaches der Plasmonenenergie ist. Energien von Volumenplasmonen: Metalle hω p [eV ] Li Na K Mg Al 7,12 5,71 3,72 10,6 15,3 Dielektrika Si Ge InSb - 16,4 16,0 12,0 Experimente, die einen Übergang von atomarer über molekularer zur VolumenPlasmonenabsorption zeigen wurden von Fröhlich und Kreibig an Ag-Klustern in photosensitiven Gläsern durchgeführt. Für Kluster mit einer Anzahl von N ≤ 30 bis zu N ≤ 400 verschwindet die „molekulare“ Absorption zugunsten eines Plasmon Peaks der großen Kluster. 94 Theoretischer Hintergrund - Wir betrachten Nanokluster aus Übergangsmetallen eingebettet in eine SiO2 –Matrix (Silikatglas). Die Klusterkonzentration ist unter dem Perkolationslimit. Der Klusterduchmesser ist deutlich kleiner als die Wellenlänge des eingestrahlten Lichts. - Dieses Kapitel wird sich auf einige optische Eigenschaften von Metall-NanoklusterKomposit-Gläser (MNKG) konzentrieren. Hauptsächlich wird die Dritte-Ordnung der nichtlinearen optischen Suszeptibilität diskutiert, die mit der Intensitätsabhängigkeit des Brechungsindex verknüpft ist. - Das Interesse an nichtlinearen optischen Eigenschaften hat in den letzten Jahren stark zugenommen. → optische Bauelement, integrierte Optik Dielektrische Suszeptibilität (Dielektrikum) + _ + _ _ + + + _ _ E0 _ + E0 E1 + E _ P _ + + + - + _ +− +− _ + _ _ Depolarisationsfeld Proben mit der Form eines Ellipsoids, wozu als Grenzfälle Kugeln, Zylinder und Scheiben gehören, haben eine vorteilhafte Eigenschaft: eine gleichförmige Polarisation bewirkt ein gleichförmiges (homogenes) Depolarisationsfeld. Makroskopisches Feld im Material E = E 0 + E1 . (5.1) Sind Px, Py, Pz die Komponenten der Polarisation P bezüglich der Hauptachsen eines Ellipsoids, so kann man für die Komponenten des Depolarisationsfeldes schreiben: E1x = − N x Px ε0 , E1 y = − N y Py ε0 , E1z = − N z Pz ε0 , (5.2) wobei Nx, Ny, Nz die Depolarisationsfaktoren sind, für die gilt: N x + N y + N z = 1. (5.3) 95 - Suszeptibilität Ein von außen angelegtes homogenes Feld E0 erzeugt in einem Ellipsoid eine homogene Polarisation P = ε0χ E , (5.4) wobei χ die Suszeptibilität des Materials ist aus dem der Ellipsoid besteht E = E 0 + E1 = E 0 − ⎯(⎯ ⎯→ 5 .4 ) NP ε0 (5.5) ⎛ NP ⎞ ⎟ P = ε 0 χ ⎜⎜ E0 − ε 0 ⎟⎠ ⎝ P + χNP = ε 0 χE 0 P(1 + χN ) = ε 0 χE 0 P= χε 0 E0 1 + Nχ (5.6) Der Wert der Polarisation hängt vom Depolarisationsfaktor ab, Ergänzung III a: - Dielektrizität (und Polarisierbarkeit) Die Dielektrizitätskonstante ε eines isotropon oder kubischen Mediums relativ zum Vakuum ist definiert als ε= ε0E + P = 1+ χ ε0E χ= P = ε −1 ; ε0E P = ε 0 χE (5.7) In einem nichtkubischen Kristall wird das dielektrische Verhalten durch die Komponenten des Tenors der Suszeptibilität oder der Dielelektrizitätskonstanten beschrieben Pμ = χ μv ε 0 E v , Ergänzung III b: ε μv = 1 + χ μv Metallkügelchen im elektrischen Feld 96 e h - h E=0 ⇒ (i) E0 e E=0 h + e E 0 + E1 = 0 E0 = − E1 P = ε0χ E = 0 (ii) E=0 ⊕ Ec - Betrachten wir ein Komposit aus kleinen Metallpartikeln mit einem Volumenanteil p<<1 in einem Dielektrikum. Die komplexe dielektrische Konstante der Metallkluster wird beschrieben durch ε m (ω ) = ε 1 (ω ) + iε 1 (ω ) (5.8) wobei ⎛ α 2c 2 ⎞ ⎟ Re(ε m (ω )) = n ⎜⎜1 − 4ω 2 ⎟⎠ ⎝ 2 Im(ε m (ω )) = − mit n:= c:= α:= ω:= nα c ω Brechungsindex (real) Lichtgeschwindigkeit Absorptionskoeffizient Kreisfrequenz des eingestrahlten Lichts 97 - Ab welcher Größe können sich die Partikel überhaupt als Metallkluster verhalten? (elektronisches Verhalten wie das des entsprechenden Volumenkristalls) In Alkalimetallen findet der Übergang vom kovalenten zum metallischen Verhalten bei der Bindung weniger Atome statt. Der Nichtmetall-Metall-Übergang findet bei einer kritischen Klustergröße statt dessen Atomanzahl wie folgt beschrieben werden kann: N c ≈ 12 f c + 171 − 6 wobei f c (T ) = (5.9) Wb2 1000k B2 Z b (5.10) Wb: = Breite des „Leitungsbands“ Zb : = effektive Koordinationszahl Material Fe Co Ni - Nc 50 39 34 Klusterradius ~ 0,5 nm Maxwell-Garnett nahmen in ihrer Theorie an, dass sich Metallkluster in einem Medium mit der dielektrischen Konstanten ε h befinden, die durch eine elektromagnetische Welle polarisiert werden. Die effektive dielektrische Konstante ε des Komposits kann aus den Konstanten der Metallkluster ε m und der dielektrischen Matrix ε h wie folgt bestimmt werden: ε − εh ε − εh =p m ε + 2ε h ε m + 2ε h (5.11) Aus dem imaginär Teil von ε kann der Absorptionskoeffizient des Komposits bestimmt werden (p<<1); ε = ε 1 + iε 2 α = 9p ωε h c 1 2 ε2 (ε 1 + 2ε h )2 + ε 22 (5.12) Dieser Ausdruck besitzt ein Maximum bei einer gegebenen Kreisfrequenz wenn ε 1 + 2ε h = 0 98 ⇒ α max = 9 p ω c ε h ε 22 ≈ 10 −4 cm −1 Dies ist eine Resonanz in der Absorption die als Oberflächen-Plasmonen-Resonanz (SPR) bezeichnet wird. + + + + Licht h ω + - - t=0 - - - - - - - + + + + + t= T 2 T: Periode der Schwingung Oberflächen-Plasmonenresonanz bei Einstrahlung von Licht mit einer Frequenz 1/ T = f . Die energetische Position, Breite und Form der SPR wird bestimmt durch die dielektrische Funktion des Metalls, die Größe und Form der Metallpartikel, ihrer Konzentration und durch die Wahl des Dielektrikums. Der resonante Beitrag der Metallkluster zur Absorption verschwindet wenn ihr Radius unter 1 nm sinkt. Auch werden quantenmechanische Bertachtungen notwendig, wenn der Radius so klein wird. Warum Metallkluster? Die Plasmonrespons in einem Halbleiter - oder Dielektrikum – Nanokluster ist weniger ausgeprägt als in Metallen. Der Realteil der dielektrischen Funktion von Halbleitern variiert im allgemeinen Fall zu wenig, damit es zu ε 1 = −2ε h kommen kann. 5.1 Zweite- und Dritte-Ordnung nichtlineare Phänomene in Nanostrukturen Nichtlineare optische Effekte resultieren aus Änderungen eines Materials durch die eingestrahlte Lichtwelle (Photonen). Für kleine Intensitäten ist die Betrachtung der linearen Antwort des Materials auf das eingestrahlte Licht ausreichend P = χE , nicht aber für die Behandlung von Wellenleitern, oder gepulsten Lasern. 99 Polarisation in Abhängigkeit von der Stärke des elektrischen Felds: P nicht lineares Regime (hohe Intensität) E lineares Regime const Die Polarisation P, die durch das elektrische Feld einer Lichtwelle erzeugt wird kann durch eine Entwicklung nach dem elektrischen Feld E = E 0 exp(iωt ) werden (1) (2 ) (3 ) Pi = ∑ χ ij E j + ∑ χ ijk E j Ek + ∑ χ ijke E j Ek Ee + ..., j j .k j , k ,l 1424 3 14 4244 3 144244 3 (1 ) (2 ) (3 ) P P P = + + + (5.13) wobei die Summation die kartesischen Koordinaten des Metalls und der Polarisationsrichtung der Lichtwelle berücksichtigen soll. 5.1.1 Nichtlineare Optik, Zweite-Ordnung Phänomene Der zweite Term in Gleichung 5.13 kann in einen zeitabhängigen und zeitunabhängigen Anteil zerlegt werden: ( P (2 ) = 2 χ (2 )E0 E0* + χ (2 ) E0 2 e −2iωt + E0 *2 e 2iωt ) . (5.14) Der erste Term repräsentiert die zweite Ordnung der Polarisation bei verschwindender Kreisfrequenz (DC-Term). Der zweite Term beschreibt den frequenzabhängigen Teil der Polarisation, der mit einer Frequenz von 2ω oszilliert. 100 Der erste Term produziert keine elektromagnetische Strahlung und ist in der Zeit konstant. Der zweiter Term ist eine Summe der Produkte Ez Ey, Ez Ex und Ex Ey und ihrer komplex konjugierten. Dies beinhaltet, dass die nichtlineare Suszeptibilität vom Ort und Richtung abhängen kann. Werden zwei statt einer elektromagnetischen Welle in ein nichtlineares Medium (Nanostruktur, Nanokomposite) eingestrahlt: E (r , t ) = E1 (r )e − iω1t + E 2 (r )e − iω 2t + E (r )e * 1 iω1t + E (r )e * 2 (5.15) iω 2 t folgt für die zweite Ordnung der Polarisation: ( SHG P (2 ) = χ ( 2 ) E12 e −2 iω1t + E 22 e −2 iω 2t SFG, DFG + 2 E1 E 2 e −i (ω1 +ω 2 )t + 2 E1 E 2 e −i (ω1 −ω 2 )t + c.c OR + χ (2 ) (E1 E1 * + E 2 E 2 *) SHG: = SFG: = DFG: = OR : = second harmonic generation sum frequency generation difference frequency generation optical rectification (generation of a static electric field within the medium) * SHG ) (5.16) SFG OPO DFG 2 2 1 2 2 p= (Signal) = s 1 3 3 3 (idler) = i 1 Energieerhaltung = 1 = 2 3= 1 + 2 3 = 1 - 2 1= 2 + 3 Optisch-parametrische Oszillatoren (OPO) 101 OPO´s basieren auf Kristallen oder Nanostrukturen mit nichtlinearen optischen Eigenschaften. In einem OPO wird eine sogenannte Pumpwelle der Frequenz ω p durch optisch nichtlineare Koppelung im Kristall in zwei Wellen niedriger Frequenzen ω s und ω i umgewandelt (Signal- und Idler-Wellen). s1 nichtlineares Medium s2 s Laser p i Resonater- p= s+ i Durch die optische Rückkopplung der Signalwellen zwischen zwei Spiegeln lässt sich die gewünschte Frequenz verstärken und regeln. Die Wellenlängen des ermittieren Lichts sind durch Variation eines Parameters (Pumpintensität, Temperatur des nichtlinearen Mediums) über mehrere hundert Nanometer abstimmbar. Im klassischen Bild führt die nichtlineare Kopplung zur Modulation eines Parameters des Mediums, nämlich der elektrischen Polarisation – daher die Bezeichnung „parametrisch“. Im quantenmechanischen Bild beschreibt man diese Kopplung als Spaltung eines Pump-Photons in jeweils zwei Photonen (Signal- und Idler-Photon). Bei diesem Prozess verbleibt keine Energie im Medium. i Ο p Ο s ks ki Δk kp Die Oszillation, welche durch parametrische Fluoreszenz ausgelöst wird, kann als Photonenspaltung veranschaulicht werden. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Prozess 102 liegt bei ca. 10 –10 pro Pumpphoton. Es werden hauptsächlich Photonenpaare erzeugt, deren Wellenvektoren (Impuls) näherungsweise die Impulserhaltung erfüllen: Δk = k p = k s = k i = 0 Unterschied zwischen Laser und OPO: Ein nichtlineares Medium ist im Gegensatz zu einem Lasermedium nicht der Lage Energie zu speichern. Dem Verstärkungsprozess liegt ein instantaner Transfer von Energie zwischen den drei beteiligten Wellen mit dem nichtlinearen Medium als Mittler zugrunde. Der Verstärkungskoeffizient ist proportional zum Quadrat der Suszeptibilität zweiter Ordnung ( ) G ∝ χ (2 ) 2 Der Verstärkungsprozess ist kokärent, d. h. Richtung und Stärke des Transfers hängen von den Phasen der drei beteiligten Wellen ab. Die Phasen werden durch n(ω ) bestimmt. OPO´s → vollständige Abdeckung des Spektrums 550 nm – 2800 nm → Ausgangsleistung > 100 mW, Effizienz > 30 % → kontinuierliche Frequenzabstimmung > 10 GHz → Linienbreiten < 100 kHz 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 5.1.2 Nichtlineare Optik dritter Ordnung Für Materialien ohne eine Symmetrieachse, wie z. B. sphärische Quantendots in einer amorphen Matrix, ist die 3-Ordnung nichtlineare Suszeptibilität verknüpft mit dem nichtlinearen Brechungsindex n2, und dem nichtlinearen Absorptionskoeffizienten β: n2 = 12π Re χ (3) , n0 [ ] 96π 2ϖ β = 2 2 Im χ (3 ) . n0 c [ ] n0 ist der „lineare“ Brechungsindex. n2 beschreibt die Abhängigkeit des Brechungsindex von der Intensität des eingestrahlten Lichts → optischer Kerr-Effekt Ergänzung: Kerr-Effekt: Einige Materialen werden doppelbrechend, wenn man senkrecht zur Richtung des Lichtstrahls ein elektrisches Feld angelegt. Im äußeren elektrischen Feld werden die Moleküle orientiert (LCD-Display). Die zur Dispersion führende Wechselwirkung der einfallenden Lichtwelle mit den Molekülen ist dann verschieden, je nachdem, ob ihr elektrischer Vektor parallel oder senkrecht zur Orientierungsrichtung liegt. Feld der elektromagnetischen Welle E h 0 m E E = E0 p 3ε 2 ε 1 + 2ε 2 qd a Effektive 3. Ordnung nichtlineare optische Suszeptibilität: (3 ) χ eff 3ε 2 ⎞ ⎟⎟ = p ⋅ χ qd ⎜⎜ ε 2 ε + 1 2 ⎠ ⎝14 243 (3 ) ⎛ 4 local field enhancement of the polarisation 120 χ (1) : = χ (2 ) : = χ (3 ) : = Suszeptibilität, lineare Resons second harmonic generation ⇒ Frequenzverdoppler Summen- oder Differenz-Wellenmischung (nur in Kristallen ohne Inversionssymmetrie) nichtlinearer Brechungsindex und Absorptionskoeffient Der lineare Brechungsindex n2 und Absorptionskoeffizient α sind verknüpft mit dem Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion und damit auch der Suszeptibilität χ (1) . Analog ist χ (3) verknüpft mit dem nichtlinearen Brechungsindex und Absorptionskoeffizienten. Ergänzung: Absorption von Licht durch sphärische Quantendots mit unterschiedlichen Durchmessern. Annahme: Es werden durch die Absorption von 20 Photonen 20 Elekronen-LochPaare in einem QD erzeugt. Wie hängt die Ladungsträgerdichte vom Radius des QD´s ab? 20 Elektron-Loch-Paare in einem QD mit Radius a. 21 10 19 10 ne [cm-3 ] 17 10 15 10 1013 100 300 500 700 900 a [nm] 121 6. Linke-Hand-Materialien (Vorlesung mit Folien, ppt-file vorhanden) 122 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Left-Handed (Meta-)Materials: Composite Medium with Reversed Electromagnetic Properties Oliver Ambacher Center of Micro- and Nanotechnologies, Technical University Ilmenau Gustav-Kirchhoff-Str.1, D-98693 Ilmenau [email protected] A review of: materials with negative effective permittivity materials with negative effective permeability left-handed (meta-)materials for microwaves reversed electromagnetic-wave propagation phenomena left-handed materials for infrared and visible light ? Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies First publication related to LHM Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Motivation ε Electromagnetic waves will only propagate in a medium that has a real index of refraction: damping μ <0 neff (ω) = εeff (ω) μ eff (ω) propagation RHM −μ μ Can we create a material with simultaneous negative effective permittivity εeff(ω) and negative effective permeability μ eff(ω) for microwave frequencies? reversed propagation LHM damping ε<0 −ε 125 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Material with ε eff (ω) < 0 ε Electron gas within a crystal: ε(ω) = 1 - ω2 p e2 1 Ne = 1- 2 ε o me ω2 ω ε <0 N e2 ωp2 = ε e m o e Example: ωp ω Copper 22 -3 Ne = 8.5 10 cm 16 -1 ω p = 1.6 10 s Ep = 10.8 eV λ p = 115 nm How can ω p be reduced to MW´s? reduction of Ne increase of me T 1 R ε <0 ωp ω 126 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Material with ε eff (ω) < 0 for microwave frequencies In order to shift the plasma frequency into the microwave region we have to reduce Ne by 14 orders of magnitude! a2 Cu π rR2 Cu N eff = N e Cu effective electron density: 2rR Cu controlled doping of semiconductors periodic configuration of metal wires Ez 2 F = π rR effective medium for microwaves: λ MW = 10 cm > a = 1 cm for ωp = 30 GHz 2 rR = ωp2 Fp = a2 a a ε o me = 10 nm Ne π e2 2 J.B. Pendry, J. Phys. Condens. Matter 10 (1998) 4785. 127 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Increase of “effective mass” Microwave induced current and magnetic field: I π r 2 Ne e v = 2π R 2πR H(R) = μ1 o A(R) = x A(r) μ o π r 2 Ne e v a ln( ) R 2π Cu H(R) = H Impuls of an electron inside the wire: Ez e i ωt μ o π r2 Ne e2 v a e A(r) = ln( ) = meff v r 2π j meff = 1 μ o r 2 Ne e2 ln( a ) 2 r N e2 1 2π ωp2 = ε eff = ε μ a m o 2 o eff o a ln( ) r Effective “electron mass” and plasma frequency can be controlled by the radius and period of the wires ! Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Plasma frequency of metal wires RF r = 0.1 mm 100 0 2x10 effective medium λ>a MW r = 1 μm -2 Ez 10 2 2r 2x10 IR r = 100 nm 4 -4 2x10 10 -6 bulk plasmon UV 10 Cu wavelength λ p [cm] 2x10-2 ε<0 10 2x10 a -8 10 6 plasma frequency ω p [GHz] 2 8 2x10 -7 10 -6 10 -5 10 -4 10 -2 10-3 10 period a [m] -1 10 0 10 1 10 129 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Material with μ eff(ω) < 0 for microwave frequencies Periodic configuration of metal cylinders inside an oscillating magnetic field: Cu iωt e induction current -Ho j = 2 πr σ 1- z + i 2 μ o ω rz a2 2rz Cu j Cu π rz2 Bz = -2 π rz σ j ; Cu π r2 Bz = μ o Ho + j - 2z j a Ho a magnetic field outside the cylinders Beff = μ o Ho = μ o μ eff Heff H π rz2 Heff = Ho - 2 j a π rz2 a2 μ eff = 1 - σ 1+ i 2 μ o ω rz for copper σ = 0: 2 μ eff = 1 - π rz ; 2 a 0 < μ eff < 1 j a to get a resonance a capacity is missing! 130 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Split-ring resonator (SRR) inside an oscillating magnetic field d μ c eff = 1 - 1+ 1- eff 1 ωo ω mp -1 1 -3 ωmp = Ho +++ --- π rZ2 a2 3 π 2 μo C rZ3 -5 30 3 π 2 μo C rZ3 34 1- 38 π rZ2 a2 ω μ <0 εo d μ C j i 2σ 3 ω rZ μ o π 2 μo ω2 C r 3 Z ωo = 3 +++ --- π rZ2 a2 13 1- 2 π μo ω2 C rZ3 0 5 rZ j σ π rZ2 a2 42 [GHz] 46 50 J.B. Pendry et al. IEEE Trans. Mircro. Theory 47 (1999) 2075. 131 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Magnetic resonance of a single split-ring resonator -1 10 transmission [%] exp.: ω mp = 30.5 GHz E H k -2 d c = 0.8 mm d = 0.2 mm rR = 1.5 mm 10 c rz theory: ωmp = 42 GHz -3 10 29 30 31 32 33 frequency ω [GHz] 34 35 D.R. Smith et al. PRL 84 (2000) 4184. 132 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Resonance of a periodic configuration of SRRs 0 10 transmission [%] E -1 10 a = 8 mm c = 0.8 mm d = 0.2 mm rR = 1.5 mm -2 10 H k d c rR theory: ωmp = 42 GHz ωo = 40 GHz -3 10 25 27 29 31 39 33 35 37 frequency ω [GHz] 41 43 45 D.R. Smith et al. PRL 84 (2000) 4184. 133 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies RF wavelength λ mp [cm] 102 2x10-2 effective medium λ>a 0 10 MW 2x100 d = 100 μm -2 10 d = 10 μm IR 2x10 c d = 1 μm -4 2 d 4 2x10 10 -6 10 rZ rZ = 0.1875 a UV 2x10 8 -8 10 6 mag. plasma frequency ω mp [GHz] Magnetic plasma frequency of double wall metal cylinders 2x10 -7 10 -6 10 -5 10 -4 10 -2 10-3 10 period a [m] -1 10 0 10 1 10 134 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Left-handed (meta-)material for microwaves ωo = 29 GHz transmission [%] -1 10 -2 10 ωmp = 32 GHz 0 10 E H m 8m k plane microwave ωp = 60 GHz -3 10 23 25 27 29 33 35 37 31 frequency ω [GHz] 39 41 43 45 a = 8 mm, c = 0.8 mm, d = 0.2 mm, rz = 1.5 mm 135 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Current dustribution on the SRR at resonance split ring resonator split ring resonator + wire T. Weiland et al., JAP 90 (2001) 5419. 136 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Left-handed (meta-)materials for microwaves 6 5 ωo ωp 3 1 ε eff -1 ε eff < 0 -3 -5 ωp 2 0 -2 n eff -4 -6 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 0 80 ωo 3 transmission -1 μ eff < 0 0 10 20 20 50 40 30 frequency ω [GHz] 30 40 50 60 70 80 RHM LHM 0.8 1 -3 10 1.0 ω mp μ eff -5 ω mp -8 5 effective permeability refractive index effective permittivity 4 0.6 0.4 0.2 60 70 80 0 0 10 20 50 40 30 frequency ω [GHz] 60 70 80 137 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Reversed electromagnetic wave propagation phenomena Maxwell equations x E = - 1 B ; B= μH; j = 0 c x H = 1 D ; D= ε E c plane waves i(kr - ωt) e E, D, H, B vp = 1 k εμ RHM LHM radiation pressure RHM for ε > 0, μ > 0: k xE = ω c μ H ω k x H =- c ε E for ε < 0, μ < 0: -k x E = ω c μ H - k x H =-ω c ε E phase velocity RHM E H P = Nhk LHM k Poynting vector LHM k H S = c ( E x H) 4π RHM LHM E 138 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Reversed propagation of a wave package Right-handed material Left-handed material 139 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Doppler effect in RH- and LH-materials RHM Doppler effect ω = ωo vs 1- c n vs 1- c n vs 2 k Dispersion ε μ ωo = c k n ωo = c k n = cωk o ω = ωo vs 1- ω k o vs 2 1 - ωo k ω = ωo LHM vs 1+ ω k o vs 1 - ωo k 2 vs k 140 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Reversal of Cerenkov radiation k α RHM S RHM sin(α) = v t P vs vp vs = LHM -vp sin(α´) = vs = - 1 k εμ 1 εμ k sin(α´) = -sin(α) , α´= α - π vs t LHM S k v t P α α` −π vs V.G. Veselago, Sov. Phys. USPEKI 10 (1968) 509. 141 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Reversal of Snell´s law vacuum ε2 = 2 E1 vacuum ε 2 = -2 μ2 = 2 E n1 = 2 E n2 En1 E1 E n1 = -2 En2 En1 Et1 Et1 k k α medium 1 μ 2 = -2 E2 Et2 RHM β α Et2 E n2 E n2 LHM −β E2 medium 2 V.G. Veselago, Sov. Phys. USPEKI 10 (1968) 509. 142 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Lenses made from RH- and LH-materials RHM LHM f f 143 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Strained solid multilayer films rolled up into nanotubes material 1 material 2 lattice constants: a2 > a1 multi-wall InGaAs nanotube on GaAs etchant sensitive material substrate selective wet etchant sensitive material chemical etching substrate nanotube substrate O.G. Schmidt, K. Eberl, Nature 410 (2001) 168. 144 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Formation of free standing ring-like structures O.G. Schmidt, K. Eberl, Nature 410 (2001) 168. 145 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Summary material with negative effective permittivity: periodic configuration of copper wires, low Ne , high “meff”. materials with negative effective permeability: metal based split-ring resonators, effective medium with magnetic properties based on non-magnetic materials left-handed (meta-)materials for microwaves: combination of periodic structures of wires and split-ring resonators reversed electromagnetic-wave propagation phenomena: in right and left-handed materials: wave vector and phase velocity are pointing in opposite directions left-handed materials for infrared and visible light? down scaling of wire and split-ring configuration? increase of ε eff and μ eff by periodic ferromagnetic structures embeded in a dielectric matrix? 146 7. Mikro- und Nanobereichsanalytik 7.1 Allgemeines 1. Mikro- und Nanobereichsanalytik : Oberflächenanalytik - Was heißt Oberfläche? 2. Was kann analysiert werden ? 3. Anregung und Nachweis - Benninghoven-Matrix 4. Analysevolumen Laterale Auflösung - Tiefenauflösung Lateralauflösung: Wechselwirkungsvorgänge bei der Anregung mit Elektronenstrahlen Sondendurchmesser > 5nm (Feldemissionskathode) REM, AES, EPMA, ELS, STEM ... Anregung mit Ionenstrahlen Sondendurchmesser > 20nm (Ga-Quelle) SIMS, ISS, (SNMS) ... Analyse durch mechanisches Abtasten im besten Falle atomare Auflösung ! AFM, (Spielarten LFM, EFM, SNOM ...), STM ... Laterale Auflösung durch abbildende Verfahren Selektive Optiken für ‚Bilder’, Sonde ohne Ortsauflösung im besten Falle atomare Auflösung ! Elektronen-Bilder: ESCA, PEEM, TEM Ionenbilder: SIMS ______________________________Röntgenstrahlen: Synchrotron____ Tiefenauflösung: Frage: aus welcher Probentiefe bringen die ‚Teilchen’ ihre Information mit ? Elektronen Æ abhängig von der Energie (möglichst klein) Æ eine bis wenige Atomlagen (bei niederenergetischen Ionen) Ionen Æ schlecht ! Röntgenquanten kommen aus großen Tiefen. Röntgen Tiefenauflösung beim Ionenstrahlsputtern Beispiele: REM, AES, SIMS, (TEM, ESMA) 148 Analytik auf den folgenden Gebieten: Atomar-chemische Analytik (woraus besteht die Schicht, Welche Elemente, Welche Verunreinigungen, wie sind Grenzflächen, Welche Atome an der Oberfläche) AES, SIMS, XPS, SNMS, EPMA u.a. 2 sample 03/37, UVSENS-structure, 037_UVSENS#AES AlGaN/AlN/AlGaN/AlN/Al2O3, 1st measurement AlN pph AlGaN AlGaN AlN Al2O3 Ga1070 N386 Al1396 AlGa59 O512 1 0 0 100 200 300 400 500 Sputterzeit Strukturelle Analytik (Welche kristalline Perfektion der Schichten, Welche Kornstruktur, Welche Spannungen in den Schichten, Welcher Gittertyp) Röntgenbeugung, LEED, RHEED, u.a. 149 Elektrische und optische Analytik (Schichtwiederstände, Ladungsträgerkonzentrationen, Leitfähigkeiten, Kontaktwiderstände, Elektronenbeweglichkeiten, Absorptionskante, Dielektrizitätskonstanten, Brechnungsindex ...) CV-Messung, Hall-Messung, Widerstandsmessung, PDS, Ellipsometrie u.a. Morphologische Analytik (Oberflächenbeschaffenheit, Kanten- und Stufenbedeckungen, Kontaktfenster, Terassenbildung ) Lichtmikroskopie, RM, TEM, Kraftmikroskopie (AFM), STM 150 151 152 153 7.2 Elektronenbeschuss 154 Eindringtiefe 155 156 7.3 Rasterelektronenmikroskopie (REM) 157 158 7.4 Augerelektronenspektroskopie (AES) 159 160 161 162 163 164 Elementverteilung an einem im Vakuum gespaltenen YBCO-Kristall 165 166 167 7.5 Sekundaäionen- Massenspektroskopie (SIMS) 168 169 170 171 172 8. Zellen auf Halbleiterchips 8.1 Halbleiterchip mit einfachem biologischen neuronalen Netz - Referenz: - In diesem Kapitel wird die künstliche Verbindung zwischen lebenden Zellen und Neuronen mit Halbleiterbauelementen diskutiert. Wir betrachten die nichtinvasive Kopplung von synaptisch verbundenen Neuronen mit einem Halbleiterchip. - Dazu werden Neuronen der Schnecke Lymnea stagnalis in Polymerkäfigen auf der Chipoberfläche immobilisiert. Unter Kulturbedingungen vernetzen die Neuronen über elektrische Synapsen. Mit einem kapazitiven Stimulator konnte in einer adhärierten Zelle neuronale Aktivität, Aktionspotenziale, ausgelöst wird. Die Aktionspotenziale depolarisieren über die Synapse ein zweites Neuron, dessen Aktivität im darunter liegenden Transistor detektiert wurden. Der vollständige Signalweg von Halbleiter über ein minimales neuronales Netzwerk zurück zum Halbleiter stellt die Grundlage neuroelektronischer Systeme dar. - Hintergrund: Die Frage, ob Computerleistungen mit kleinen Netzwerken von Neuronen erzielt werden können ist aktuell. Von J. Hopfield (1982) wurde ein Netzwerk aus theoretischen Modellneuronen vorgeschlagen, welches Gedächtnisleistungen hervorbringen kann. Die theoretischen Vorhersagen konnten bisher experimentell nicht bestätigt werden. - Experimenteller Ansatz: Neuronzellen werden auf mikroelektronischem Substrat kultiviert und auf nanoskopischer Skala mit diesem verbunden. Als Substrat können verwendet werden: Metallelektroden 1977 Groß Feldeffekttransistoren 1991 Fromherz kapazitive Stimulatoren 1995 Fromherz → Bild 1: Schema eines biologischen Hopfieldnetzes Dissertation von Günther Zeck (2002) Max-Planck-Institut für Biochemie Membran- und Neurophysik Technische Universität München 173 Technische Universität Ilmenau Zentrum für Mikro- und Nanotechnologien Hopfieldnetz - Gedächtnisleistung: Neurone müssen untereinander verbunden sein, Neurone müssen vom Chip stimuliert, sowie ihre Aktivität detektiert werden können. Die Position der synaptischen Verbindungen muss bekannt sein und deren Stärke kontrolliert werden können. 8.1.1 Siliziumchip → Bild 2: Aufgaben von kapazitiven Stimulatoren und Transistoren für 2 Neuronen - Stimulation der Neuronen Zur Stimulation der Neuronen werden p-dotierte Siliziumbahnen verwendet, die gegen das Zellmedium durch eine Oxidschicht isoliert sind und somit als kapazitive Stimulatoren dienen. Eine an den Stimulator angelegte Spannungstransiente koppelt kapazitiv in die darüber liegende Zelle und löst ein Aktionspotential aus. Ein auf der nicht metallisierten Gateregion adhäriertes Neuron ändert während eines Aktionspotential, das Oberflächenpotenzial des Gateoxids gegenüber dem geerdeten Badelektrolyt und damit den Source-Drain-Strom. → Bild 3: Chipdesign Da Schneckenneurone einen Durchmesser von 40-120 µm haben, sollten die Ausdehnung von Stimulator und Transistor daran angepasst sein. (Viren statt Schneckenneurone → Übergang von Mikro- zu Nanotechnologie) Technische Universität Ilmenau Zentrum für Mikro- und Nanotechnologien Neuronale Verbindung auf Siliziumchip Technische Universität Ilmenau Zentrum für Mikro- und Nanotechnologien Cipdesign für einfaches neuronales Netz 8.1.2 Neurone der Schlammschnecken - Schon kleine neuronale Netze aus Invertebratenzellen der Schnecke haben eine biologische Funktion (3 Neuronen sind z. B. für die Atmungzuständig) - Die Zellen lassen sich einzeln paräparieren. Sie koppeln gut zu Siliziumchips. Die Zellen aus dem A-Cluster der Pedalganglien bilden starke Synapsen. Der Signalweg: Silizium → Neuron → Neuron → Silizium ist möglich → Bild 4: Das Hirn der Schlammschnecke - Nach Entnahme der Neuronen aus dem Schneckenhirn werden die Zellen auf dem Transistor manuell mit einer Glaspipette positioniert. → Bild 5: Neuronenwachstum - Während des Zellwachstums werden die Zellsomata häufig von den auswachsenden Neuriten weg von ihrer ursprünglichen Position gezogen. Solche Neuronen können mit Hilfe des Silizium-Chips nicht mehr gemessen werden. → Bild 6: Neuron im Polyimidkäfig → Bild 7: Chip mit Neuronalennetz in Polymerkäfigen Technische Universität Ilmenau Zentrum für Mikro- und Nanotechnologien Technische Universität Ilmenau Zentrum für Mikro- und Nanotechnologien Neuronenwachstum auf einem Siliziumchip Technische Universität Ilmenau Zentrum für Mikro- und Nanotechnologien Neuron in Polymerkäfig Technische Universität Ilmenau Zentrum für Mikro- und Nanotechnologien Neuronales Netz immobilisierter Zellen 184 8.1.3 Neuron-Silizium-Kopplung - Die Erregung eines Neurons (ein Aktionspotenzial) beginnt mit dem schnellen Öffnen von Ionenkanälen, die für Natrium- und Calciumionen durchlässig sind. Das Öffnen der Kanäle wird durch die Depolarisation der Zellmembran über einen Schwellwert hervorgerufen. Da die Natrium- und Calciumkonzentration im Äußeren der Zelle größer ist als im Zellinneren, strömen die Ionen in die Zelle und depolarisieren das Zellinnere. Verzögert zu den Natrium- und Calciumkanälen öffnen Ionenkanäle, die für Kaliumionen durchlässig sind. Kaliumionen, deren Konzentration im Zellinneren höher ist, strömen aus der Zelle und depolarisieren die Membran. → Bild 8: Zeitlicher Verlauf eines Aktionspotentials - Anstiegszeit des Zellmembran-Potentials: 10-20 msec. Repolarisierung: ~ 70 nsec. - Neurone der Schnecke haben einen Durchmesser von etwa 40-120 µm, während ihre äußere Membran eine Dichte von nur 4 nm besitzt. Das elektrisch leitende Zellinnere wird durch die Zellmembran von dem leitenden Zellmedium elektrisch getrennt. Die leitenden Siliziumbestandteile (Stimulator, Transistorzuleitungen) werden durch eine dünne Oxidschicht von dem leitenden Zelläußeren getrennt. Zwischen Zelle und Silizium bleibt ein leitender Spalt, d. h. der Zell-Halbleiterkontakt stellt einen Kern-Mantel-Leiter dar. - Während eines Aktionspotenzials fließen Ionen durch die Adhäsionsmembran und die freie Zellmembran. Ist der Strom durch diese beiden Kompartimente verschieden, bleibt ein Nettostrom im Adhäsionsspalt übrig. Dieser erzeugt über die Spaltleitfähigkeit eine Spannungsänderung über die Gatefläche des Transistors. Der Transistor wird im Triodenbereich betrieben, so dass die verursachte Spannungsänderung im Spalte den Strom zwischen Source und Drain moduliert. - Adhäsionsabstand (Abstand der Zellmembran von der Silizium- oder Kontaktoberfläche ~ 50 nm) Zellen besitzen an der Außenseite der Zellenmembran Proteine und Polysaccharide, die in dem Außenraum ein 5-50 nm dickes Polymerkissen bilden, die sogenannte Glykokalix. Die Glykokalix verhindert, dass die Zellen untereinander über van der Waals – Wechselwirkung „Zusammen klumpen“ Technische Universität Ilmenau Zentrum für Mikro- und Nanotechnologien Aktionspotential eines Neuron → Bild 9: Synaptisch verbundenes Neuronenpaar → Bild 10: Messung der Silizium-Neuron-Neuron-Silizium-Schleife - An Stimulator 1 wird eine Folge von Rechteckpulsen angelegt, die zu einer Depolarisation von Neuron 1 führt. Die Depolarisation reicht aus, um ein Aktionspotential (AP) auszulösen, welches mit der Mikroelektrode und Transistor 1 nachgewiesen wird. In Neuron 2 führt dieses Aktionspotenzial zu einer postsynaptischen Depolarsaion, ohne ein AP auszulösen. Der zweite Stimulationburst an Neuron 1 führt zu einem weiteren AP und einer weitern Depolarisation von Neruon 2. Ein dritter Stimulationburst löst kein AP aus, darin die Refraktärphase des neuronalen Membranpotenzials fällt. Ein vierter Burst löst schließlich ein drittes AP in Neuron 1 aus, welches nun auch Neuron 2 soweit depolarisiert, dass auch hier ein AP ausgelöst wird. Auch dieses AP wird im zugehörigen Transistor nachgewiesen, womit die Signalschleife Silizium-Neuron-Neuron-Silizium geschlossen ist. Technische Universität Ilmenau Zentrum für Mikro- und Nanotechnologien Synaptisch verbundenes Neuronenpaar Technische Universität Ilmenau Zentrum für Mikro- und Nanotechnologien Silizium-Neuron-Neuron-Silizium Schleife 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 Seminar 1 Einführung in die Nanotechnologie Prof. O. Ambacher, TU Ilmenau, Institut für Festkörperelektronik, Fachgebiet Nanotechnologie 1. Zustandsdichte von niedrig dimensionalen Halbleitern a) b) c) Zeichen Sie die Zustandsdichte eines Halbleiters in Abhängigkeit von der Energie D(E), für einen Volumenhalbleiter (3d), Quantenfilm (2d), Quantendraht (1d) und Quantenpunkt (0d). (2P.) Begründen Sie kurz warum man einen Quantenpunkt als ein künstliches Atom bezeichnen kann. (2P.) Machen Sie einen Vorschlag zur Realisierung eines künstlichen Moleküls. (3P.) 2. de Broglie Wellenlänge Wenn die (thermische) Bewegung von Ladungsträgern durch die Abmessungen eines Festkörpers limitiert ist, die im Bereich der de Broglie Wellenlänge liegt, können Quantisierungseffekte dominant werden. Die de Broglie Wellenlänge hängt von der effektiven Masse meff der Ladungsträger und von der Temperatur T des Festkörpers ab: h h 1.22nm , λ= = = p 3meff kT E kin wobei: mit und a) b) h = 4.1357 10-15 eVs (Planksches Wirkungsquantum), k = 0.8616 10-4 eV/K (Boltzmannsche Konstante), 1 J = 6.242 1018 eV, p := Impuls des Ladungsträgers, Ekin := kinetische Energie, meff:= seine effektive Masse. Berechnen Sie die de Broglie Wellenlänge für Elektronen in GaAs und GaN (meff(GaAs) = 0.067 me, meff(GaN) = 0.223 me, me = 9.1096 10-31 kg) im Temperaturintervall zwischen T = 5 und 500 K. (4P. ) Vergleichen Sie die de Broglie Wellenlänge mit typischen Abmessungen von Molekülen, Fullerenen und der neusten Generation von Transistoren oder DRAMs. (2P.) 3. Quantenpunkte Damit ein Elektron oder Loch in einem Quantenpunkt lokalisiert werden kann muss sich mindestens ein Energieniveau darin befinden. Dies bedingt, dass von einem (als sphärisch angenommenen) Quantenpunkt ein minimaler Durchmesser Dmin nicht unterschritten werden darf. Für Elektronen hängt dieser Durchmesser stark von der Banddiskontinuität EC des Leitungsbands zwischen dem Material aus dem die Quantenpunkte bestehen und der Matrix in der sie eingebettet sind ab: h Dmin = 8meff ΔE c a) Berechnen Sie den minimalen Durchmesser von GaAs (oder GaN) Quantenpunkten, die in einer Al0.4Ga0.6As- oder (AlN-) Matrix eingebettet sind ( EC (Al0.4Ga0.6As/GaAs) = 0.3 eV, EC(AlN/GaN) = 1.8 eV). (3P.) Seminar 1: Lösungen: 1. Zustandsdichte von niedrig dimensionalen Halbleitern a) Folie aus Vorlesung b) Ein Quantenpunkt besitzt Energieniveaus in denen Elektronen lokalisiert werden können. Diese Situation ist analog zu den Valenzelektronen eines Atoms. Aus diesem Grund gibt es Gemeinsamkeiten zwischen Atomen und Quantenpunkten in der Absorption elektromagnetischer Wellen mit einer diskreten Energie. c) Künstliches Molekül H- -H H H antibindender Zustand Leitungszustand H bindender Zustand Valenzband H Aufspaltung resultiert aus der Überlappung der Elektronen-Wellenfunktion Ec Ec E1 E0 gekoppelte Quantenpunkte (qubits) analog zu Molekül Quantenpunkte 2. de Broglie Wellenlänge a) Berechnung der de Broglie Wellenlänge in Abhängigkeit von der Temperatur 2= h 3meff kT = 4,1357 ⋅ 10 −15 eVs ⎛ ⎞ −31 −5 eV ⋅T ⎟ ⎜ 3 ⋅ 0,067 ⋅ 9,1096 ⋅ 10 kg ⋅ 8,616 ⋅ 10 k ⎝ ⎠ Betrachtung der Einheiten: 1eV = 1,602 ⋅ 10 −19 J ; 1 2 1 (eV ) 2 s = 1 (kgeV / K ⋅ K ) 2 (hg ) 12 eVs 1J = Nm = hgm 2 s2 209 ⇒ (eV ) 2 1 ⎛ kgm 2 ⎞ = ⎜⎜1,602 ⋅ 10 −19 2 ⎟⎟ s ⎠ ⎝ 1 2 = 4,0025 ⋅ 10 −10 hg cm s = 4,0025 ⋅ 10 −8 ⇒ (eV ) 12 s = 4,0025 ⋅ 10 −8 cm = 0,40024nm (kg ) 12 ⇒ λ= 4,1357 ⋅ 10 −15 (3 ⋅ 0,067 ⋅ 9,1096 ⋅ 10 = 416,75nm ⋅ −31 ) −5 ⋅ 8,616 ⋅ 10 ⋅ T [k ] 1 hg m s 1 ⋅ 0,40024nm 2 (für GaAs, sonst meff ändern) T für Raumtemperatur T = 300K ⇒ λ B =22 nm b) Vergleich der de Broglie Wellenlänge mit Bauelementen und Molekühlen → Folie 3. Quantenpunkt Ec Dmin = = Dmin h 8meff ΔEC 4,1357 ⋅ 10 −15 eVs (8 ⋅ 0,067 ⋅ 9,1096 ⋅ 10 Einheiten : −31 kg ⋅ 0,3eV ) 1 für GaAs 2 (eV ) 2 s = 0,40025nm = 1 ⎛⎜ kgeV 12 ⎞⎟ (kg ) 2 1 eVs ⎝ = ⎠ 4,1357 ⋅ 10 −15 (8 ⋅ 0,067 ⋅ 9,1069 ⋅10 − 31 ⋅ 0,3 ) 1 = 0,40025nm 2 Dmin (GaAs ) = 4,3nm Dmin (GaN ) = 1nm 210 Seminar 2 Einführung in die Nanotechnologie Prof. O. Ambacher, TU Ilmenau, Institut für Festkörperelektronik, Fachgebiet Nanotechnologie Die nächste Vorlesung findet am Dienstag den 30.04.02 im Faraday-Gebäude als PhysikKolloquium in Raum HS401statt!!!! 1. UV-Detektoren aus AlN/GaN Quantentöpfen a) Berechnen und zeichnen Sie den Brechungsindex von GaN (Eg(x=0) = 3.42 eV) und AlN (Eg(x =1) = 6.13 eV) unterhalb der optischen Bandlücken in Abhängigkeit von der Wellenlänge bzw. der Photonenenergie E = h . Im allgemeinen kann der Brechungsindex n von hexagonalen AlxGa1-xN-Schichten wie folgt berechnet werden: n 2 (hν ) = C ( x ) + A( x )( y ) −2 (2 − (1 + y ) 0.5 − (1 − y ) 0.5 ) , hν y= , wobei Eg . x 0.5 + 9.98 A( x ) = 317 . C ( x ) = −2.2 x + 2.66 b) Bestimmen Sie den Reflexionskoeffizienten R einer AlN/GaN-Grenzfläche im Energieintervall zwischen h = 3.4 und h = 2.4 eV: R (GaN / AlN ) = R (hν ) = c) (n(GaN ) − n( AlN )) 2 (n(GaN ) + n( AlN )) 2 Berechnen und zeichen Sie den Absorptionskoeffizienten unterhalb der Bandkante (3.42 eV > h > 2.4 eV): α (hν ) = α 0 exp( wobei: d) (3P.) = 105 cm-1, Eurb = 60 meV. hν − E g ( x = 0) E urb . (2P.) (h ) einer GaN-Schicht (2P.) ), 0 Die spektrale Empfindlichkeit eines Detektors hängt stark von der Quanteneffizienz der Absorption ab, die wie folgt definiert ist: (3P.) η(hν ) = P(1 − R(hν )){1 − exp( − Bα (hν ) D)} , wobei P ein polarisationsabhängiger Wert ist, der für n-typ Quantentöpfe 0.5 beträgt. B ist die Anzahl der Durchläufe die das einfallende Licht im Quantentopf zurücklegt und D die Dicke des Topfs. Berechnen und zeichnen Sie die Quanteneffizienz eines n-typ GaN-Quantentopfs 211 eingebettet zwischen AlN-Barrieren für Photonenenergien zwischen 3.42 und 2.4 eV unter den folgenden Annahmen: B = 1, D = 10 nm und R(h ) = R(GaN/AlN). 2. Seminar 1. UV-Detektoren aus AlN/GaN-Quantentöpfen a) Brechungsindex von GaN: A (0) = 9,98, x = 0 C (0) = 2,66 ⇒ n 2 (hυ ) = 2,66 + 9,98 wobei: y = ⇒ n 2 1 y2 1 1 ⎞ ⎛ ⎜ 2 − (1 + y ) 2 − (1 − y ) 2 ⎟, ⎠ ⎝ hυ 3,42eV 2 ( 3,42eV ) ⎛⎜ hυ ⎞ ⎛ (hυ ) = 2,66 + 9,98 2 − ⎜1 + ⎟ 2 (hυ ) ⎜⎝ ⎝ 3,42eV ⎠ Brechungsindex von AlN: 1 2 hυ ⎞ ⎛ − ⎜1 − ⎟ ⎝ 3,42eV ⎠ 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ A (1) = 3,17 + 9,98 = 13,15 C (1) = -2,2 + 2,66 = 0,46 ⇒ n 2 (hυ ) = 0,46 + 13,15 y= wobei : b) hυ 6,13eV 2 ( 6,13eV ) ⎛⎜ hυ ⎞ ⎛ (hυ ) = 0,46 + 13,15 2 − ⎜1 + ⎟ 2 (hυ ) ⎜⎝ ⎝ 6,13eV ⎠ ⇒ n → Bild Folie 2 1 1 1 ⎛ ⎞ 2 − (1 − y ) 2 ⎟ ( ) 2 1 y − + ⎜ y2 ⎝ ⎠ Reflexionskoeffizient R einer AlN/GaN-Grenzfläche → 1 2 hυ ⎞ ⎛ − ⎜1 − ⎟ ⎝ 6,13eV ⎠ 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (3,4 eV > hυ > 2,4 eV) Bild Folie 212 213 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Brechungsindex von Ga N und AlN 3.0 3.0 2.5 2.5 2.0 2.0 Reflexion [%] Brechungsindex GaN AlN 1.5 1.0 AlN/GaN 1.5 1.0 Vakuum 0.5 0.5 0 1 3 5 2 4 6 Photonenenergie [eV] 7 0 1 3 5 2 4 6 Photonenenergie [eV] 7 Absorptionskoeffizient α (hυ) einer GaN-Schicht unterhalb der optischen Bandlücke c) ⎛ hυ − E g (0) ⎞ ⎟⎟ E urb ⎝ ⎠ α (hυ ) = α 0 exp⎜⎜ α0 = 105 cm-1 wobei Eurb = 60 meV (kT = 25 meV) ⎛ hυ − 3,42eV ⎞ ⎟ −3 ⎝ 60 ⋅ 10 eV ⎠ α (hυ ) = 10 5 cm −1 exp⎜ ⇒ = 10 5 cm −1 exp(16,67 ⋅ (hυ − 3,42)) ⇒ Bild auf Folie ⇒ Absorptionskoeffizient eines Halbleiters zeichnen freie Ladungsträger Phononen Defekte Band zu Band D-A h DOS VB LB E d) Quanteneffizienz: η (hυ ) = P(1 − R(hυ )){1 − exp(− Bα (hυ )D )} P = 0,5 für n-Typ Quantentöpfe P=1 Quantentopf wird nur einmal durchlaufen. (keine Absorption für senkrechte Einstrahlung) D = 10 nm R (h υ ) = R (GaN/AlN) ⇒ η (hυ ) = 0,5(1 − R ){1 − exp(α (hυ ) ⋅ 10 −6 cm )} ↑ ↑ Aufgabe: 1b 1c ⇒ Bild auf Folie 217 Seminar 3 Einführung in die Nanotechnologie Prof. O. Ambacher, TU Ilmenau, Institut für Festkörperelektronik, Fachgebiet Nanotechnologie 1. Lichtbrechung an der Grenzfläche zwischen Vakuum und einem Linke-Hand-Material Brechungsgesetz: Das Verhältnis der Sinus von Einfallswinkel und Brechungswinkel ist konstant und gleich dem Verhältnis der Ausbreitungsgeschwindigkeiten c1 = c0/n1 und c2 = c0/n2 in den beiden angrenzenden Stoffen mit den Brechungsindices n1 und n2. (Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum: c0 = 3x108 m/s): sin(α ) c1 n 2 . = = sin( β ) c 2 n1 Betrachten wir eine ebene elektromagnetische Welle, die aus dem Vakuum (c1 = vp1 = c0) auf ein Linke-Hand-Material trifft, so dreht sich die Phasengeschwindigkeit vp und der Wellenvektor k an der Grenzfläche um. a) Berechnen Sie den Brechungsindex des Linke-Hand Materials, wenn sich der Betrag der Phasengeschwindigkeit an der Grenzfläche halbiert (c2 = -1/2 vp1). (1 P.) b) Bestimmen Sie den Brechungswinkel für einen Einfallswinkel = 45o. (1 P.) c) Zeichen Sie den Strahlengang ausgehend von einer punktförmigen Lichtquelle im Vakuum durch die Platte eines Linke-Hand Materials wie in a) bis zum Fokus hinter der Platte, mit den folgenden geometrischen Vorgaben: (3 P.) Vakuum n1 = 1 LHM n 2 = -2 45o F LQ 2 cm d) 6 cm ? Wie weit liegt der Fokus hinter der Platte? (2 P.) 2. Plasmafrequenz von metallischen Drähten und Nanodrähten Die Plasmafrequenz p und die zugehörige Wellenlänge p einer Anordnung von metallischen Drähten hängt im wesentlichen von dem Radius der Drähte r und ihrer Periode a ab. 218 2π 1 , ε 0 μ0 2 ⎛ a ⎞ a ln⎜ ⎟ ⎝r⎠ 2πcc0 λp = , ωp = ωp wobei 0 -12 = 8.85x10 As/Vm, 0 = 1.256x10-6 Vs/Am und c0 = 3x108 m/s. a) Berechnen Sie die Plasmafrequenz p und die zugehörige Wellenlänge p zweier periodischer Anordnungen von Kupferdrähten, die parallel zum elektrischen Feld der eingestrahlten elektromagnetischen Welle orientiert sind. Die Periode a der Drähte soll 1 cm oder 1 m betragen. Der Radius r der Drähte soll um einen Faktor 10 kleiner sein als die Periode. (3 P.) b) Prüfen Sie ob die Anordnung wie ein effektives Medium für die eingestrahlten Wellen wirken kann, d.h. > a > r, wenn die Frequenz der Welle nahe der Plasmafrequenz liegt. (1 P.) 3. Permeabilität einer periodischen Anordnung von Split-Ring-Resonatoren (SRR) Mit Hilfe von Split-Ring-Resonatoren lassen sich aus diamagnetischen Materialien (z.B. Kupfer) effektive Medien konstruieren, die eine magnetische Resonanz und eine magnetische Plasmafrequenz mp zeigen: ω0 = 3 , π μ0 CrZ3 1 1− wobei C ≈ ε0 πrZ2 c rZ 2 ω mp = ω 0 d , a2 die Kapazität pro Flächeneinheit eines SRRs in guter Näherung beschreibt. d a) Berechnen Sie die magnetische Resonanz- und Plasmafrequenz einer periodischen Anordnung von SRRs mit den folgenden geometrischen Abmessungen: a = 5x10-3 m, rZ (3 P.) = 2x10-3 m und d = 10-4 m. b) Kann diese Anordnung zusammen mit den Kupferdrähten aus Aufgabe 2 erfolgreich zu einem Linke-Hand-Material mit einer Bandbreite von mehr als 1 GHz kombiniert werden? (3 P.) 219 Einführung in die Nanotechnologie 3. Seminar 1. Lichtbrechung an der Grenzfläche zwischen Vakuum und einem Linke-Hand-Material a) Berechnen Sie den Brechungsindex des Linke-Hand-Materials, wenn sich der Betrag der Phasengeschwindigkeit an der Grenzfläche halbiert. c1 = v p1 = c0 c 2 = v p 2 = − 1 v p1 = − 1 c 0 2 2 Brechungsgesetz: sin α c1 n 2 = = sin β c 2 n1 ⎯⎯→ (1) (1) c0 n = 2 → −2 = n2 = n LHM − 1 c0 n1 2 Durch die Umkehr der Phasengeschwindigkeit wird der Brechungsindex negativ. b) Bestimmen Sie den Brechungswinkel β für einen Einfallswinkel α = 45°. ⎯⎯→ (1) sin α − 2 = sin β 1 sin α = -2 sin β α = -2 β Vakuum n2 = 1 β LHM n 2 = -2 c) Zeichnen Sie den Strahlengang ausgehend von einer punktförmigen Lichtquelle im Vakuum durch die Platte eines LHM wie in a) bis zum Fokus hinter der Platte, mit den folgenden geometrischen Vorgaben: 220 Seminar 3 Aufgabe 1 c) LHM n = -2 n=1 n=1 β 22,5° 45° 11,25° 2 cm LQ 0,295 cm d1 = 2 cm d2 = 6 cm d3 = 1,484 cm 221 3. Seminar 2. Aufgabe: Einführung in die Nanotechnologie Berechnung des Radius r einer periodischen Anordnung von Kupferdrähten mit einer Periode a = 100 µm mit einer Plasmafrequenz im grünen Spektralbereich ( λ p = 530 nm) ω p = 2πf p = 2π c0 λ c0 = 3 ⋅ 10 8 p m s m s = 3,55 ⋅ 1015 s −1 ω p = 2π −9 530 ⋅ 10 m 3 ⋅ 10 8 = 3,55 ⋅ 10 3 GHz Plasmafrequenz (das elektrische Feld der elektromagnetischen Welle ist in Richtung der Drähte orientiert) ε 0 = 8,85 ⋅ 10 −12 As , Vm μ 0 = 1,256 ⋅ 10 −6 ω p2 = Vs Am 2π 2π 1 1 ⎛a⎞ = 2 2 → ln⎜ ⎟ = ε 0μ0 2 ⎛ a ⎞ ⎝ r ⎠ ε0μ0 a ω p a ln⎜ ⎟ ⎝r⎠ ⎛ 2π 1 a = exp⎜ 2 2 ⎜ r ⎝ ε 0μ0 a ω p ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ 2π 1 ⋅ r = a exp⎜ − ⎜ ε 0 μ0 a 2 w2 p ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ 2πVmAm ⋅ r = 10 −4 m exp⎜ − ⎜ 8,85 ⋅ 10 −12 As ⋅ 1,256 ⋅ 10 −6 Vs 10 −4 m ⎝ ( ( m exp (− 4,483 ⋅10 ) = 10 −4 m exp − 5,6497 ⋅1017 ⋅ 7,935 ⋅10 −24 = 10 −4 ω p2 = 2π 1 ε0μ0 2 ⎛ a ⎞ a ln ⎜ ⎟ ⎝r⎠ 1 ) (3,55 ⋅ 10 2 15 s −1 ⎞ ⎟ 2 ⎟ ⎠ ) ) −6 a = 1 cm = 10-2 m r = 1 mm = 10-3 m 222 ω 2p = 2πVmAm ⋅ 8,85 ⋅ 10 As ⋅ 1,256 ⋅ 10 − 6 Vs −12 1 (10 m ) 2 2 ⎛ 10 − 2 ln ⎜ −3 ⎜ 10 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = 5,65 ⋅ 1017 s −2 ⋅ 4343 = 2,454 ⋅ 10 21 s −2 ⇒ ω p = 4,95 ⋅ 1010 s −1 = 49,5 GHz λp = 2πc 0 wp a = 1μm r = 100 nm m s = 3,8 ⋅ 10 − 2 m = 10 −1 4,95 ⋅ 10 s 2π ⋅ 3 ⋅ 10 8 = 3,8 cm -6 (Mikrowelle) = 10 m = 10-7 m ω p2 = 2π ε 0μ0 ⋅ 1 ⎛a⎞ a 2 ln⎜ ⎟ ⎝r⎠ = 2,45 ⋅ 10 29 s −2 = 5,65 ⋅1017 s −1 ⋅ 4,343 ⋅1011 ω p = 4,96 ⋅ 1014 s −1 = 4,95 · 105 GHz λp = 2πc 0 ωp m s = 3,8 ⋅10 − 6 m = 14 −1 4,95 ⋅10 s 2π ⋅ 3 ⋅108 = 3,8 µm 223 3. Aufgabe: a = 5 · 10-3 m rz = 2 · 10-3 m d = 10-4 m, c = 10-3 m C= Kapazität: ε 0 ⎛ 2c ⎞ ln⎜ ⎟ π ⎝d ⎠ 8,85 ⋅ 10 −12 As ⎛ 2 ⋅ 10 −3 m ⎞ ⎟ ln⎜ = π Vm ⎜⎝ 10 − 4 m ⎟⎠ = 8,44 ⋅ 10 −12 As Vm ⎞ ⎛ 3 ⎟ ω 0 = ⎜⎜ 2 3 ⎟ ⎝ π μ 0 Crz ⎠ 1 2 ⎛ ⎜ 3 =⎜ ⎜ 2 −6 −12 As 2 ⋅ 10 −3 m ⎜ π 1,256 ⋅ 10 Vs Am 8,44 ⋅ 10 Vm ⎝ ( Kapazität pro Flächeneinheit C= ε0 = 8,85 ⋅ 10 8 d ⎞ ⎛ 3 ⎟ ω 0 = ⎜⎜ 2 3 ⎟ π μ Cr ⋅ 0 z ⎠ ⎝ Resonanzfrequenz: ( = 3,42 ⋅ 10 20 ) 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ 3 ⎟ ⎟ ⎠ 1 2 ) As Vm 2 1 2 = 18,5 ⋅ 10 9 s −1 = 18,5 GHz magnetische Plasmafrequenz: 224 ω mp ⎛ πr 2 ⎞ = ω 0 ⎜⎜1 − 2z ⎟⎟ a ⎠ ⎝ − 1 2 2 ⎛ ⎛ 2 ⋅ 10 −3 ⎞ ⎞⎟ 10 −1 ⎜ ⎟ = 1,85 ⋅ 10 s 1 − π ⎜⎜ ⎜ 5 ⋅ 10 −3 ⎟⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ −1 2 = 1,85 · 1010 s-1 · 1,09 = 22,0 GHz 3 2 1 eff 0 -1 -2 μ e ff < 0 0 -3 15 16 17 18 19 20 21 22 [GHZ] Es gilt ε eff < 0 für ω < ω p = 49,5 GHz µeff < 0 für ω 0 < ω < ω mp ; 18,5 GHz < ω < 22 GHz d. h. durch Kombination der Kupferdrähte und Splitring-Resonatoren (SRR´s) wie berechnet kann eine Linke-Hand-Material im Frequenzintervall von etwa 18,5 GHz bis 22 GHz geschaffen werden. - siehe pdf-file 225 Einführung in die Nanotechnologie Prof. O. Amba cher TU Ilmena u, Institut für Festkörperelektronik, Fachgebiet Na notechnologie 200 180 kommerzielle Bauelemente de Broglie Wellenlänge [nm] 160 140 120 100 80 Nano-Welt 60 40 20 Moleküle, Fullerene 0 0 100 300 200 400 Temperatur [K] 500 226 Seminar 4 Einführung in die Nanotechnologie Prof. O. Ambacher, TU Ilmenau, Institut für Festkörperelektronik, Fachgebiet Nanotechnologie 2. Einführung in die Elastizität und Härte von Nanoschichten und Quantenpunkten Durch das Hook´sche Gesetz kann die Deformation eines Kristals εkl aufgrund eines Stresses verursacht durch interne und externe Kräfte beschrieben werden durch: σ ij = C ijkl ε kl , (1) ∑ k ,l wobei Cijkl Komponenten des elastischen Tensors sind. Aufgrund der Symmetrie der Kristalle kann dieser 4-dimensionale Tensor auf eine 6x6 Matrix unter Verwendung der Voigt-Notation: xx→1, yy→2, zz→3, yz, zy→4, zx, xz→5, xy, yx→6, vereinfacht werden. Die Elemente des Tensor können wie folgt umgeschrieben werden Cijkl = Cmn, wobei i, j, k, l = x, y, z and m, n = 1,…, 6. Mit Hilfe dieser Schreibweise kann das Hook´sche Gesetz vereinfacht werden: σ i = Cij ε j . (2) ∑ j Die 6x6 Matrix der elastischen Konstanten Cij, (siehe Tabelle 1) ist für Kristalle mit einer Wurtzitstruktur geben durch: ⎛ C11 ⎜ ⎜ C12 ⎜ C13 Cij = ⎜⎜ 0 ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎝ C12 C11 C13 C13 C13 C33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 C44 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . ⎟ ⎟ ⎟ 1 (C − C12 )⎟⎠ 2 11 0 0 0 0 0 (3) Eine andere sinnvolle Beschreibung der elastischen Eigenschaften eines Kristalls in Abhängigkeit von seiner Orientierung kann über den "Steifheitstensor" mit den Komponenten Sij erfolgen. Diese Komponenten lassen sich aus den elastischen Konstanten wie folgt berechnen: S11 = C11C33 − C132 [ (C11 − C12 ) C33 (C11 + C12 ) − 2C132 S12 = − ] , C12 C33 − C132 [ (C11 − C12 ) C33 (C11 + C12 ) − 2C132 C13 S13 = − , C33 (C11 + C12 ) − 2C132 C11 + C12 S 33 = und C33 (C11 + C12 ) − 2C132 1 S 44 = . C44 (4) ] , (5) (6 (7) (8) 227 Mit Hilfe der Komponenten Sij können wichtige Informationen über die richtungsabhängige Härte und das Young´sche Modul des Kristalls erhalten werden. Für hexagonale Materialien kann der Kehrwert des * wie folgt bestimmt werden: Young´schen Moduls S11 S11* = S11 sin 4 (θ ) + S 33 cos 4 (θ ) + ( S 44 + 2 S13 ) sin 2 (θ ) cos 2 (θ ) . (9) Hierbei beschreibt θ den Winkel zwischen der Wachstumsrichtung (z-Achse) des Kristalls und der Achse, in deren Richtung die Härte des Kristalls berechnet werden soll. z y x θ c o a o Fig.1: Wurtzitstruktur hexagonaler GaN-, InN-, oder AlN-Kristalle. hexagonaler Kristal Eigenschaft InN GaN AlN C 11 [GPa] 223 367 396 C 12 [GPa] 115 135 137 C13 [GPa] 92 103 108 C 33 [GPa] 224 405 373 C44 [GPa] 48 95 116 ν(0001) 0.82 0.52 0.58 e 31 [C/m 2] -0.41 -0.34 -0.53 e 33 [C/m 2] 0.81 0.67 1.50 e 15 [C/m 2] -0.22 -0.30 Tab.1: Elastische und piezoelektrische Koeffizienten von InN, GaN und AlN. a) Berechnen Sie mit Hilfe der Gleichungen 4-8 die Komponenten des Tensors Sij für hexagonale InN, GaN und AlN-Kristalle. Verwenden Sie die elastischen Koeffizienten aus Tab.1. (2 P.) b) Bestimmen und zeichnen Sie das reziproke Young´sche Modul Sij* in Abhängigkeit vom Winkel θ für InN, GaN und AlN. (3 P.) c) Welches der Materialien besitzt die größte Härte und die geringste Elastizität? (1 P.) d) Ist die Härte von hexagonalen InN-, GaN- und AlN- Kristallen eine isotrope Eigenschaft? (1 P.) e) InN besitzt eine wesentlich größere Gitterkonstante a0 als AlN (a0(InN) = 3.585 Å, a0(AlN) = 3.110 Å). Werden InN-Quantenpunkte in eine AlN-Matrix eingebettet erzeugen Sie in der Basalebene (x-y) von AlN eine tensile Verspannung (Zugspannung). In welchen Richtungen relativ zur z-Achse werden sich die InN-Quantenpunkte bevorzugt bilden? (3 P.) f) Können sich Quantenpunkte, die in Richtung der z-Achse gestapelt werden, selbstorganisiert ordnen? (2 P.) 2. Piezoelektrische Hetero- und Nanostrukturen Gruppe-III-Nitride sind piezoelektrische Kristalle, d.h. durch Druck kann in GaN-, AlN- oder InN-Schichten eine piezoelektrische Polarisation und ein elektrisches Feld erzeugt werden. Wir betrachten für diese Aufgabe eine AlN-Nanoschicht, die pseudomorph (d.h. gitterangepast: a(AlN) = a0(GaN) = 3.189 Å) auf eine dicke, relaxierte GaN-Schicht gewachsen wurde. In der Wachstumsrichtung wird auf den AlN-Kristall keine Kraft ausgeübt und er kann sich in dieser Richtung frei bewegen. Senkrecht zur Wachstumsrichtung wird der AlN-Kristall gezwungen die Gitterkonstante a0 von GaN anzunehmen. Die resultierende biaxiale, tensile Verspannung (εx = εy) verursacht einen Stress σx = σy, in der Basalebene des Kristalls, wobei σz = 0. Das Verhältnis der Verspannungen in der Basalebene und entlang der Wachstumsrichtung wird durch die elastischen Eigenschaften des Kristalls bestimmt: 228 C13 ε , C33 x C ν (0001) = 2 13 C33 ε z = −2 wobei (10) (11) die Poissonzahl ist (Verhältnis von Längenkontraktion zur Dillatation der Breite des Kristalls). εx = a − a0 c − c0 , εz = a0 c0 (12) sind die Verspannungen, die durch die relativen Änderungen der Gitterkonstanten a und c von AlN relativ zu den Konstanten des relaxierten Kristalls a0 und c0 hervorgerufen werden. Der durch die Gitterfehlanpassung verursachte Stress der AlN-Nanoschicht kann wie folgt berechnet werden: σ x = ε x (C11 + C12 − 2 C132 ). C33 (13) Die durch den Stress verursachte piezoelektrische Polarisation wird beschrieben durch: Pz pz = ε x e31 + ε y e32 + ε z e33 , wobei e31 = e32, = 2ε x e31 + ε z e33 , wobei ε z = −2 C13 ε , C33 x (14) (15) ⎛ a − a0 C13 ⎞ ⎟. = 2ε x ⎜ e31 − e33 wobei ε x = . (16) a0 C33 ⎠ ⎝ a) Berechnen Sie die Poissonzahl (ν), die Verspannungen (εx, εy) und den Stress (σx) der auf relaxiertem GaN, pseudomorph gewachsenen AlN-Nanoschicht. (3 P.) b) Bestimmen Sie mit Hilfe von Gleichung (16) die piezoelektrische Polarisation und die daraus resultierende elektrische Feldstärke in der AlN-Schicht (Tip: ε(AlN) = 10)) (2 P.) Falls Sie Zeit haben können Sie die beiliegende Publikation von B. Jogai lesen, um die Relevanz des hier geübten für die Herstellung von Quantenpunkt-Strukturen tiefer zu verstehen. 229 Seminar 4 Aufgabe 1: Einführung in die Elastizität und Härte von Nanoschichten und Quantenpunkten a) Berechnung des „Steifheitstenors“ Sij für hexagonale InN, GaN und AlN-Kristalle. (i) InN S11 = C11C 33 − C13 2 (C11 − C12 ){C33 (C11 + C12 ) − 2C13 2 } = 223 ⋅ 224 − 92 2 (223 − 115){224(223 + 115) − 2 ⋅ 92 2 } = 41488 m2 10 −9 108{75712 − 16928} N = 6,53 ⋅ 10 −3 ⋅ 10 −9 S12 = − (GPa )2 (GPa )3 = 1 GPa m2 m2 = 6,53 ⋅ 10 −12 N N C12 C 33 − C13 2 (C11 − C12 ){C33 (C11 + C12 ) − 2C13 2 } =− 2 115 ⋅ 224 − 92 2 −9 m 10 N (223 − 115){224(223 + 115) − 2 ⋅ 92 2 } =− 17296 m2 ⋅ 10 −9 108{75712 − 16928} N = −2,72 ⋅ 10 −12 m2 N 230 0 0 0 ⎞ ⎛ 6,53 − 2,72 − 1,56 ⎜ ⎟ 0 0 0 ⎟ ⎜ − 2,72 6,53 − 1,56 ⎜ − 1,56 − 1,56 5,75 0 0 0 ⎟ −12 m 2 ⎟10 S ij ( InN ) = ⎜ 0 0 20,83 0 0 ⎟ N ⎜ 0 ⎜ 0 ⎟ 0 0 0 20,83 0 ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 4,63 ⎟⎠ ⎝ 0 0 0 ⎞ ⎛ 3,27 − 1,04 − 0,57 ⎜ ⎟ 0 0 0 ⎟ ⎜ − 1,04 3,27 − 0,57 ⎜ − 0,57 − 0,57 2,76 0 0 0 ⎟ −12 m 2 ⎜ ⎟10 ( ) S ij GaN = 0 0 10,53 0 0 ⎟ N ⎜ 0 ⎜ 0 ⎟ 0 0 0 10,53 0 ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 2,16 ⎟⎠ ⎝ 0 0 0 ⎞ ⎛ 2,99 − 0,87 − 0,62 ⎜ ⎟ 0 0 0 ⎟ ⎜ − 0,87 2,99 − 0,62 ⎜ − 0,62 − 0,62 3,04 0 0 0 ⎟ −12 m 2 ⎟10 S ij ( AlN ) = ⎜ 0 0 8,62 0 0 ⎟ N ⎜ 0 ⎜ 0 ⎟ 0 0 0 8,62 0 ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 1,93 ⎟⎠ ⎝ b) Bestimmen und zeichnen Sie das reziproke Youngsche Modul Sij* in Abhängigkeit vom Winkel für InN, GaN und AlN. S *11 (Θ ) = S11 sin 4 (Θ ) + S 33 cos 4 (Θ ) + (S 44 + 2S13 )sin 2 (Θ ) cos 2 (Θ ) ⎯Θ⎯ ⎯ → s *11 (ϕ ) = S 33 =0 (i) InN S *11 (Θ )InN (ii) = {6,53 sin 4 (Θ) + 5,75 cos 4 (Θ) + 17,71sin 2 (Θ) cos 2 (Θ)}10 −12 m N GaN S *11 (Θ )GaN = {3,27 sin (Θ ) + 2,76 cos (Θ ) + 9,39 sin (Θ ) cos (Θ )}10 4 (iii) 2 4 2 2 −12 m2 N AlN S *11 (Θ ) AlN = {2,99 sin 4 (Θ ) + 3,04 cos 4 (Θ ) + 7,39 sin 2 (Θ ) cos 2 (Θ )}10 −12 m2 N Reziprokes Youngsches Modul in Abhängigkeit vom Polarwinkel Θ und ϕ ist auf der beiliegen Folie zeigt. (i) InN 231 S *11 (Θ = 0) = s33 = 5,75 ⋅ 10 −12 (ii) GaN S *11 (Θ = 0) = s33 = 2,76 ⋅ 10 −12 (iii) m2 N m2 N AlN m2 N Welches Material besitzt die größte Härte und die geringste Elastizität? S *11 (Θ = 0 )s33 = 3,04 ⋅ 10 −12 c) AlN → GaN → InN d) Ist die Härte von hexagonalen InN-, GaN- und AlN-Kristallen eine isotrope Eigenschaft? In der Basalebene (senkrecht zur Wachstumsrichtung) ist das reziproke Youngsche Modul nicht von der Richtung abhängig. (erstaunlich für einen hexagonalen Kristalle) Senkrecht zur Basalebene ist das reziproke Youngsche Modul vom Winkel abhängig und daher anisotrop. Die Anisotropie von GaN ist so deutlich ausgeprägt, das es bei Druck entlang der c-Achse sogar ein kleineres reziprokes Modul besitzt (größeres Youngsches Modul) als AlN. e) InN-Quantenpunkte in einer AlN-Matrix. In welchen Richtungen relativ zur z-Achse werden sich die InN Quantenpunkte bevorzugt bilden? Hexagonale Nitride sind isotrop in der Basalebene, d. h. es findet keine Selbstorganisation von Quantenpunkten durch Verspannung statt. f) AlN besitzt eine Anisotropie. Genau zwischen der [0001]- und [2110]-Richtung (Θ = 45°) besitzt AlN die größte Elastizität. Hier wird sich In bevorzugt einlagern um Quantenpunkte zu bilden. 232 c Quantenpunkte [2110] [0001] Aufgabe 2: a) Piezoelektrische Hetero- und Nanostrukturen Berechnen Sie die Poissonzahl υ , die Verspannungen ε x , ε y und den Stress σx , der auf relaxiertem GaN, pseudomorph gewachsenen AlN-Nanoschicht. (i) υ AlN = 2 (ii) εx = C13 ( AlN ) 108 =2 = 0,579 C 33 ( AlN ) 373 a(GaN ) − a( AlN ) (3,189 − 3,110 )A = = 2,54 ⋅ 10 − 2 a( AlN ) 3,110 A ε z = −2 C13 ε x = −υε x C 33 = −0,579 ⋅ 2,54 ⋅ 10 −2 = −1,47 ⋅ 10 −2 (iii) ⎛ σ x = ε x ⎜⎜ C11 + C12 − 2 ⎝ 2 C13 C 33 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ 108 2 ⎞ ⎜ ⎟⎟GPa = 2,54 ⋅ 10 ⎜ 396 + 137 − 373 ⎝ ⎠ =12,74 GPa (enorm hoher Druck für eine epitaktische Schicht) −2 233 b) Piezoelektrische Polarisation und elektrische Feldstärke in der AlN-Schicht. Pz pz ⎛ C ⎞ = 2ε x ⎜⎜ e31 − e33 13 ⎟⎟ C 33 ⎠ ⎝ ⎛ 108 ⎞ ⎞ C ⎛ = 2 ⋅ 2,54 ⋅ 10 − 2 ⎜⎜ − 0,53⎜ − 1,5 ⋅ ⎟⎟ 373 ⎠ ⎟⎠ m 2 ⎝ ⎝ = −0,049 C Ez = − Pz m2 Pz εε 0 =− = +5,53 ⋅ 10 8 = 5,53 MV − 0,049 C m2 10 ⋅ 8,854 ⋅ 10 −12 C Vm V m cm 234 Technical University Ilmenau Center for Micro- and Nanotechnologies Da sreziproke Young´ sche Modul [0001] S´11 -12 2 [10 S´11 -12 2 6 m /N] [1010] [10 6 m /N] InN InN 4 4 2 2 Ga N AlN Θ -6 -4 2 -2 ϕ [2110] 4 6 -6 -4 Ga N AlN 2 -2 -2 -2 -4 -4 -6 -6 [1210] 4 6 Seminar 5 Einführung in die Nanotechnologie Prof. O. Ambacher, TU Ilmenau, Institut für Festkörperelektronik, Fachgebiet Nanotechnologie Nützliche Grundlagen aus der Elektrostatik: Die Polarisation P: Der Vektor der Polarisation P(x) beschreibt die Verschiebung von Ladungen in einem Isolator (Dielektrikum) bei Anlegen eines (äußeren) Feldes (positive Ladungen in Richtung des Feldes, negative entgegengesetzt). Jedes Atom oder Molekül wird zu einem elektrischen Dipol. Die Polarisation erscheint somit als das elektrische Dipolmoment pro Volumeneinheit, d.h. als Dipoldichte. -σ Eo - Q +σ = F - + - + + P + + - + - + + - + E + - + - + + - + Dielektrikum l Abb. 1: Polarisation, elektrisches Feld und Oberflächenladungen eines Dielektrikums, welches einem äußeren elektrischen Feld ausgesetzt ist. Als Beispiel betrachten wir jetzt ein quaderförmiges Stück eines Dielektrikums. Durch ein angelegtes elektrisches Feld werden auf der Stirnfläche die Ladungen ±Q induziert. Ist V das Volumen und l die Kantenlänge, so können wir das gesamte Dipolmoment ausdrücken durch P V = Ql = σFl = σV , (1) mit Q als Ladung auf der Fläche F des polarisierten Dielektrikums und σ als Flächenladungsdichte σ = Q/F. Daraus folgt: P =σ . (2) Die Quellen der Polarisation sind die induzierten Raumladungsdichten. Die Polarisation ist im allgemeinen die Reaktion des Systems auf das von außen vorgegebene Feld Eo. Für manche Stoffe gibt es natürliche (inhärente), ausgerichtete Dipolmomente (spontane Polarisation in pyro- und ferroelektrischen Materialien). In den meisten Fällen (Dielektrika) werden die Dipolmomente jedoch induziert und die Polarisation verschwindet wenn das äußere elektrische Feld abgeschaltet wird. Wir nehmen zunächst an, dass der Zusammenhang zwischen P und E linear ist: P = ε 0 χ E , wobei ε 0 = 8.854 *10 −12 C . Vm (3) Die Proportionalitätskonstante χ ist die elektrische Suszeptibilität (lat. suscipere = empfangen). Die lineare Beziehung (3) gilt nur für nicht zu starke elektrische Felder! Die dielektrische Verschiebung D beschreibt die Schwächung des elektrischen Feldes E durch die Polarisierbarkeit P des betrachteten Materials: D=E+ 1 ε0 P, (4) (3) ⇒ = E + χ E = E (1 + χ ) . (5) Ein weiterer Zusammenhang zwischen Suszeptibilität und Dielektrizität ergibt sich aus: D =εE (6) (5, 6) ⇒ ε = 1+ χ . (7) Wichtig ist noch zu wissen, das die Maxwell´schen Gleichungen aussagen, dass eine räumliche Änderung (Gradient) in der dielektrischen Verschiebung durch Ladungen mit einer Dichte d 1 ρ. D ≡ div D = ε0 dr ρ verursacht werden: (8) Beispiel: Mit einem Dielektrikum gefüllter Plattenkondensator im Vakuum Wir berechnen die Kapazität eines Plattenkondensators, der mit einem Dielektrikum gefüllt ist. D2n +σ D1n E U d ε F -σ Abb. 2: Elektrisches Feld und dielektrische Verschiebung eines Plattenkondensators mit Dielektrikum. Die Änderung in der dielektrischen Verschiebung (in Richtung der Oberflächennormalen auf die Kondensatorplatten) wird durch die Ladungsträgerdichte auf den Platten σ verursacht. (8) ⇒ D1n − D2 n = 1 ε0 σ. (9) Wenn wir das elektrische Feld außerhalb des Kondensators vernachlässigen (D2n= 0) erhalten wir: D = D1n = folgt für das elektrische Feld: E= 1 ε0 σ , und mit D = εE , σ . ε 0ε (10) (11) Für die Kapazität C des Kondensators ergibt sich: C= Q σF σF 1 = = = ε 0 εF , U U dE d (12) d.h die Ladung eines Kondensators skaliert mit der Dielektrizitätskonstanten des Materials, das zwischen seine Platten eingebracht wurde. 1. Aufgabe: Nano-Plattenkondensator Ein Nano-Plattenkondensator mit den Abmessungen F = 20 nm x 20 nm, d = 10 nm und einer Ladungsträgerflächendichte auf seinen Platten von σ = e * 1013 cm-2 (e = 1.602*10-19 C) ist mit einem Dielektrikum (kubisches GaN ohne spontane Polarisation, ε = 8.85) gefüllt. a) Berechnen Sie das elektrische Feld, die dielektrische Verschiebung und die Polarisation des Kondensators. Das elektrische Feld außerhalb des Kondensators soll vernachlässigbar sein. (2 P.) b) Wie groß ist die Kapazität C und die Ladung Q auf den Kondensatorplatten? (2 P.) c) Wie viele Elektronen befinden sich auf einer Platte und welche Spannung U wird durch Sie im GaN verursacht? (2 P.) 237 2. Aufgabe: Quantenpunkt mit kubischer Geometrie aus pyroelektrischen (hexagonalen) GaN-Kristallen Hexagonales GaN besitzt auch ohne ein äußeres elektrisches Feld eine „spontane“ Polarisation Psp = -0.034 C/m2, die senkrecht zu zwei Oberflächen eines Quantenpunkts mir kubischer Geometrie orientiert ist. a) Berechnen Sie das elektrische Feld, die dielektrische Verschiebung und die Oberflächenladung des Quantenpunkts. (2 P.) b) Wenn der Quantenpunkt Abmessungen besitzt wie der Nano-Kondensator aus Aufgabe 1, wie groß ist die Ladung Q an seinen beiden Oberflächen und welche Potenzialdifferenz U weisen diese Flächen auf? (2 P.) c) Wir strahlen einen absorbierenden Lichtpuls in den Quantenpunkt ein (Photonen) und erzeugen 50 Elektronen-Loch-Paare in seinem Inneren. Welche mittlere Elektronen- und Löcherkonzentration stellt sich unmittelbar nach dem Lichtpuls ein? (3 P.) d) Die Elektronen-Loch-Paare werden durch die starke spontane Polarisation separiert und kompensieren die Oberflächenladung teilweise. Wie groß ist das elektrische Feld im Quantenpunkt nach dem Lichtpuls? (3 P.) Polarisation einer Kugel im homogenen elektrischen Feld Wir betrachten die Polarisation einer elektrisch neutralen Kugel mit Radius a, die aus dielektrischem Material besteht und in einem homogenen elektrischen Feld eingebettet ist. Außerhalb der Kugel sei ε = 1, d.h. die Kugel befindet sich im Vakuum. Inneres elektrisches Feld (geschwächt gegenüber Eo ) - Eo - E Polarisationsladungen + + - + - E1 z + Gegenfeld der Polarisationsladungen Abb. 3: Eine dielektrische Kugel im homogenen elektrischen Feld. Auch das gegenüber dem äußeren Feld geschwächte innere Feld E ist homogen. Auf der Kugeloberfläche bilden sich Polarisationsladungen. Dagegen bleiben der Innen- und Außenraum der Kugel ladungsfrei. Nach außen wirkt die Kugel wie ein elektrischer Dipol mit einem Dipolmoment p in z-Richtung: p= ε −1 E0 a 3 . ε +2 (13) Die Polarisation und das elektrische Feld in der Kugel werden beschrieben durch: ε − 1 ⎞ E0 ⎛ , E = ⎜1 + 2 ⎟ ε + 2⎠ ε ⎝ ε −1 P= 3ε 0 E 0 . ε +2 (14) (15) Aufgabe 3: GaN-Nanokugel a) Berechnen Sie das Dipolmoment p einer Kugel aus kubischem GaN mit Radien von a = 1 , 10 und 100 nm in einem äußeren Feld von E0 = 500 kV/cm? (2 P.) b) Wie groß ist die Polarisation und das elektrische Feld in einer GaN-Nanokugel bei einem äußeren Feld von E0 = 500 kV/cm? (2 P.) 238 Seminar 5 1. Aufgabe: Mit einem Dielektrikum gefüllter Nano-Plattenkondensator Ein Nano-Plattenkondensator F = 20x20 nm2, d = 10 nm mit einer Ladungsträgerflächendichte σ = e ⋅ 1013 cm −2 ist mit einem Dielektrikum (kubisches GaN ohne spontane Polarisation (ε = 8,85) )gefüllt. a) Berechnen Sie das elektrische Feld, die dielektrische Verschiebung und die Polarisation des Kondensators. Das elektrische Feld außerhalb des NanoKondensators soll vernachlässigbar sein. b) 1 (i) D = D1n = σ ε0 = 1 C 8,854 ⋅ 1012 Vm e ⋅ 1013 cm − 2 mit e = 1,602 ⋅ 10 −19 C 1,602 ⋅ 10 −19 ⋅ 1013 ⋅ 10 4 VmC = 8,854 ⋅ 1012 Cm 2 V V MCV = 1,81 ⋅ 10 9 = 1,81 = 18,1 m nm cm (ii) D = εE E= oder E= σ D = ε 0ε ε V V 1,81 ⋅ 10 9 V = 2,04 ⋅ 10 8 = 0,204 8,85m m nm = 2,04 MV (iii) cm P = σ = e ⋅ 1013 cm −2 = 1,602 ⋅ 10 −19 C ⋅ 101310 4 m −2 c = 0,01602 2 m 239 b) Wie groß ist die Kapazität C und die Ladung Q auf den Kondensatorplatten? Wie viele Elektronen befinden sich auf einer Kondensatorplatte und wie groß ist die Spannung U? (i) C= = 1 ε 0 εF d 1 C ⋅ 8,854 ⋅ 10 −12 ⋅ 8,85 ⋅ 20nm ⋅ 20nm ⋅ 20nm10 −9 10nm Vm = 8,854 ⋅ 10 −13 ⋅ 8,85 ⋅ 400 = 3,13 ⋅ 10 −17 (ii) C V Q =σ ⋅F = 1,602 ⋅ 10 −19 C ⋅ 1013 ⋅ 10 4 m −2 ⋅ 20 ⋅ 20(10 −9 m ) = 1,602 ⋅ 10 −19 C ⋅ 4000 = 6,41 ⋅ 10 −16 C 2 (iii) ne = Q = 4000 e (iv) U= Q 6,41 ⋅ 10 −16 C = = 20,5V C 3,13 ⋅ 10 −17 C 240 2. Aufgabe: Quantenpunkt mit kubischer Geometrie aus pyroelektrischem (hexagonalen) GaN Hexagonales GaN besitzt auch ohne ein äußeres elektrisches Feld eine „spontane Polarisation“ PSP = −0,034 C m 2 , die senkrecht zu zwei Oberflächen eines kubischen Quantenpunkts orientiert sein soll. a) (i) (ii) Berechnen Sie das elektrische Feld, die dielektrische Verschiebung und die Oberflächenladung des Quantenpunkts. P = σ ⇒ σ = 0,034 C m 2 E= = σ ε 0ε 0,034CVm 8,854 ⋅ 10 −12 C ⋅ 8,85m 2 = 4,34 ⋅ 10 8 (iii) V V V MV = 0,43 = 0,43 = 4,34 m mn nm cm D = εE = 8,85 ⋅ 4,34 ⋅ 10 8 = 3,84 V V = 3,84 ⋅ 10 9 m m V nm b) Wenn der Quantenpunkt eine Geometrie wie der Plattenkondensator aus Aufgabe 1 besitzt, wie groß ist die Ladung Q an seiner Oberfläche und welche Potentialdifferenz U weisen die gegenüberliegenden Flächen auf. (i) Q =σ ⋅F = P ⋅F = 0,034 = 0,034 ( C ⋅ 20 ⋅ 20 10 −9 m 2 m ) 2 = 03,4 ⋅ 10 −2 ⋅ 4 ⋅ 10 2 ⋅ 10 −18 C = 1,36 ⋅ 10 −17 C entspricht. 241 ne = (ii) 1,36 ⋅ 10 −17 C = 849 1,602 ⋅ 10 −19 C Elektronen U = d ⋅E = 10nm ⋅ 0,43 V = 4,3V nm c) Wir strahlen einen absorbierenden Lichtpuls in den Quantenpunkt ein und erzeugen 50 Elektronen-Loch-Paare. Diese werden durch das starke elektrische Feld getrennt und kompensieren die Oberflächenladung. Welche mittlere Elektronen-Lochpaar-Konzentration wird im Quantenpunkt erzeugt? Wie groß ist das elektrische Feld, die dielektrische Verschiebung und die Spannung nach dem Lichtpuls? (i) neh = = 50 50 50 = = V F ⋅ d 10 ⋅ 20 ⋅ 20nm 3 3 50 nm −3 = 0,0125nm −3 = 0,0125(10 −7 cm ) 4000 = 1,25 ⋅ 1019 cm −3 Die Flächenladungsdichte wird teilweise durch die freien Ladungsträger kompensiert. (ii) σ nachPuls = σ − neh ⋅ d ⋅ e = P − neh ⋅ d ⋅ e C − (1,25 ⋅ 1019 cm −3 ⋅ 10nm ⋅ 1,602 ⋅ 10 −19 C ) m2 C = 0,034 2 − (1,25 ⋅ 1019 ⋅ 10 6 m −3 ⋅ 10 −8 m ⋅ 10 −19 C ) m C C = 0,034 2 − (1,25 ⋅ 0,01602) 2 m m C C C = 0,034 2 − 0,02 2 = 0,014 2 m m m = 0,034 (iii) E nachPuls = σ εε 0 C m2 = 8,85 ⋅ 8,854 ⋅ 10 −12 C 0,014 Vm V m 242 = 1,79 ⋅ 10 8 (iv) Aufgabe 3: V V V = 0,18 = 1,8 m nm m DnachPuls = εE nachPuls = 1,59 ⋅ 10 9 V V = 1,6 m nm GaN-Nanokugel a) Berechnen Sie das Dipolmoment p einer Kugel aus kubischem GaN mit den Radien a = 1, 10 und 100 nm in einem äußeren Feld vom E 0 = 500 kV cm (ε = 8,85) . (i) (a = 1nm ) p= ε −1 E0 a 3 ε +2 = 8,85 − 1 V 500 ⋅ 10 3 ⋅ a3 8,85 + 2 cm = 7,85 V 5 ⋅ 10 7 ⋅ a 3 10,85 m = 3,62 ⋅ 10 7 V 3 ⋅a m = 3,62 ⋅ 10 7 V 10 −9 m 3 m ( ) 3 = 3,62 ⋅ 10 −20 Vm 2 (a = 10nm ) = 3,62 ⋅ 10 7 3 V ( 10 −8 m 3 ) m = 362 ⋅ 10 −17 Vm 2 (a = 100nm ) b) = 3,62 ⋅ 10 −14 Vm 2 Elektrisches Feld in der GaN-Nanokugel (i) ε − 1 ⎞ E0 ⎛ E = ⎜1 + 2 ⎟ ε + 2⎠ ε ⎝ 8,85 − 1 ⎞ 500 kV cm ⎛ = ⎜1 + 2 ⎟ 8,85 + 2 ⎠ 8,85 ⎝ 7,85 ⎞ ⎛ = ⎜1 + 2 ⎟56,5 kV cm 10,85 ⎠ ⎝ = 138 kV cm (ii) Polarisation der Kugel 243 P= ε −1 3ε 0 E 0 ε +2 8,85 − 1 C V 3 ⋅ 8,854 ⋅ 10 −12 ⋅ 500 ⋅ 10 3 ⋅ 10 2 8,85 + 2 Vm m 7,85 C = ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 8,854 ⋅ 10 −5 2 10,85 m −4 C (~ 3% von PSP (GaN)) = 9,61 ⋅ 10 m2 = Seminar 6 Einführung in die Nanotechnologie Prof. O. Ambacher, TU Ilmenau, Institut für Festkörperelektronik, Fachgebiet Nanotechnologie Nichtlineare Optik: Frequenzvervielfachung und Frequenzmischung Frequenzvervielfachung: Bei Auftreffen einer intensiven Lichtwelle der Frequenz ω auf ein nichtlineares Medium können aus diesem Material Oberwellen austreten, also Wellen der Frequenz 2ω oder allgemein nω. Diese Erscheinung wird genutzt zur Erzeugung von kohärentem Licht im ultravioletten Spektralbereich. Zum Verständnis der Erscheinung betrachten wir den Vorgang der Lichtausbreitung in Materie etwas genauer. Das elektrische Feld E der Lichtwelle mit einer Frequenz ω verschiebt die Elektronen in der Materie gegenüber den positiven Ionenrümpfen. Ein Maß für die Größe dieser Verschiebung ist die Polarisation P. Die lineare Beziehung zwischen P und E : D = ε 0 E + P , mit P = ε 0 χ E , (1) besagt, dass die Verschiebung der Elektronen proportional zur anregenden Welle E ist (lineare Optik). Mit der E-Welle läuft also eine P-Welle gleicher Frequenz durch das Medium. Die auf der Frequenz ω zur Schwingung angeregten Elektronen strahlen ihrerseits wieder eine elektromagnetische Welle der Frequenz ω aus. Die Gesamtamplitude der Lichtwelle ergibt sich aus der Summe der Amplituden dieser Sekundärwellen und derjenigen der Primärwelle. Da alle beteiligten Wellen die gleiche Frequenz haben, hat auch die resultierende Welle im Medium diese Frequenz. Anders verhält es sich, wenn der Zusammenhang zwischen P und E nicht linear ist. Zur Veranschaulichung betrachten wir statt (1) den Zusammenhang: P = ε 0 χ1 E + χ 2 E 2 . (2) Trifft eine Welle der Kreisfrequenz ω auf das Medium auf: E ( x, t ) = E 0 sin( kx − ωt ) (3) so wird 1 P = P 1 + P 2 = ε 0 χ 1 E 0 sin( kx − ωt ) + ε 0 χ 2 E 02 [1 − cos(2kx − 2ωt )] . (4) 2 Die Polarisation P und damit die Verschiebung der Elektronen als Funktion der Zeit enthält somit eine Frequenzkomponente 2ω. Das gleiche gilt dann für die von den schwingenden Elektronen emittierten Lichtwellen. Diese enthalten ebenfalls Wellen der Kreisfrequenz 2ω, ( ) 244 die sich in Richtung des einfallenden Strahls, zu einem Lichtstrahl mit dieser (verdoppelten) Frequenz überlagern. Aufgabe 1 (Frequenzvervielfachung): a) Leiten Sie die den Ausdruck (4) für die nichtlineare Polarisation aus den Gleichungen (2) und (3) her. (3 P.) b) Berechnen und zeichnen Sie die Polarisationen P, P1 und P2 zum Zeitpunkt t = 0 und t = T/2 = π/ω in Abhängigkeit von der Ausbreitungsrichtung x mit den folgenden Daten: (4 P.) χ1 = 1 χ 2 = (0,0,10 −10 )cm / V E 0 = (0,0,10 6 )V / cm k = (1.14 * 10 9 ,0,0)cm −1 ω = 3.4 *1017 s −1 ε 0 = 8.85 *10 −14 As / Vcm c) Zeichnen Sie die den Betrag der Polarisation P zum Zeitpunkt t = T/4 und am Ort x = 0 in Abhängigkeit von der Amplitude des elektrischen Feldes E0z. (3 P.) Als weiteren nichtlinearen Effekt betrachten wir die Frequenzmischung. Werden in einen nichtlinearen Kristall zwei elektromagnetische Wellen mit den Frequenzen ωS und ωP eingestrahlt, so können am Ausgang Mischfrequenzen erscheinen, nämlich 2ωS, 2ωP, ωP + ωS und ωP - ωS. Dies kommt folgendermaßen zustande: Setzt man in die Gleichung (4) für die nichtlineare Polarisation die Überlagerung E = E S sin (ω S t ) + E P sin (ω P t ) (5) ein, so erhält bei Mitnahme des quadratischen Gliedes der von E erzeugten Polarisationswelle P Anteile mit den genannten Mischfrequenzen. Diese Polarisationswelle erzeugt dann die Lichtwelle mit den entsprechenden Frequenzen. Welche der Mischfrequenzen als Lichtstrahl austritt, hängt von der Anpassung der frequenzabhängigen Brechungsindizes ab. Soll beispielsweise die Differenzfrequenz ωh= ωP - ωS gebildet werden, so muss gelten n P2 ω P = n S2ω S + nh2ω h . (6) Die Bedingung für die Anpassung der Brechungsindizes bei nichtlinearen Prozessen ist Ausdruck des Impulserhaltungssatzes angewandt auf die Umwandlung von Photonen ineinander. Durch Mischung von Licht der Wellenlänge λ = 514.5 nm eines Ar+-Lasers mit demjenigen eines im Wellenlängenbereich 600 bis 700 nm abstimmbaren Farbstofflasers in einem Lithiumniobatkristall entsteht eine abstimmbare Lichtquelle: Aufgabe 2 (Frequenzmischung): a) Berechnen Sie die möglichen Summen- und Differenzfrequenzen, die der nichtlineare Kristall emittieren kann wenn er von den oben erwähnten Lasern gepumpt wird. (3 P.) b) Zeichnen Sie die Abhängigkeit nh(ωh) für den Fall der höchsten Differenzfrequenz unter der Annahme: nP = nS = 1.8 . (3 P.) 245 Seminar 6 Aufgabe 1 a) Leiten Sie den Ausdruck (4) für die nichtlineare Polarisation aus den Gleichungen (2) und (3) her. ( P = ε 0 χ1 E + χ 2 E 2 E = E 0 sin (kx − ωt ) ) P = ε 0 χ 1 E 0 sin (kx − ωt ) + ε 0 χ 2 (E 0 sin (kx − ωt )) 2 = ε 0 χ 1 E 0 sin (kx − ωt ) + ε 0 χ 2 E 02 sin 2 (kx − ωt ) mit 1 = sin 2 (α ) + cos 2 (α ) sin 2 (α ) = 1 − cos 2 (α ) ⇒ 1 (1 + cos(2α )) 2 1 sin 2 (α ) = 1 − (1 + cos(2α )) 2 und cos 2 (α ) = ⇒ = 1− 1 1 − cos(2α ) 2 2 = 1 1 − cos(2α ) 2 2 = 1 (1 − cos(2α )) 2 ⇒ P = ε 0 χ 1 E 0 sin (kx − 2ωt ) 1 + ε 0 χ 2 E 02 (1 − cos(2kx − 2ωt )) 2 246 b) Berechnen und zeichnen Sie die Polarisation zum Zeitpunkt t = 0 und t = T 2 in Abhängigkeit von der Ausbreitungsrichtung x mit den folgenden Daten χ1 = 1 χ 2 = (0,0,10 −10 cm V ) ( ) E 0 = 0,0,10 6 V cm ε 0 = 8,85 ⋅ 10 −12 As Vm grünes Licht im Vakuum k = 1,142 ⋅ 10 9 cm −1 ω = 3,4 ⋅ 1017 s −1 T = 2π ω = 1,84 ⋅ 10 −17 s c = 2,998 ⋅ 10 8 m s c = fλ = ω λ = 2π k k grünes Licht λ = 550nm k = 2π = 2π λ 550 ⋅ 10 −9 m = 1,142 ⋅ 10 7 m −1 = 1,142 ⋅ 10 9 cm −1 ω = k ⋅c = 1,142 ⋅ 10 9 cm −1 ⋅ 2,998 ⋅ 1010 cm s = 3,4 ⋅ 1017 s −1 (i) t=0 P 1 = (0,0, Pz ) Pz = ε 0 χ 1 sin (kx ) ( = 8,85 ⋅ 1012 ⋅ 1 ⋅ 10 6 sin 1,142 ⋅ 10 9 cm −1 x As V ⋅ Vm cm ) 247 = 8,85 ⋅ 10 −6 ⋅ 10 − 2 ( ) ( ) C sin 1,142 ⋅ 10 9 x 2 m ↑ in cm C ⎛ ⎞ P 1 = ⎜ 0,0,8,85 ⋅ 10 8 sin 1,142 ⋅ 10 9 x ⎟ 2 cm ⎝ ⎠ (ii) t =T 2 = 9,2 ⋅ 10 −18 s ( Pz = ε 0 χ 1 E 0 z sin kx − ω T = 8,85 ⋅ 10 −8 = 8,85 ⋅ 10 −8 (iii) ( 2 ) C sin 1,142 ⋅ 10 9 x − 3,4 ⋅ 1017 ⋅ 9,2 ⋅ 10 −18 2 cm C sin 1,142 ⋅ 10 9 x − 3,128 m2 ( ) ) t=0 P 2 = (0,0 P2 z ) 1 P2 z = ε 0 χ 2 z E oz2 (1 − cos(2hx − 2ωt )) 2 2 ( ( 1 As cm ⎛ −6 V ⎞ 9 −1 = 8,85 ⋅ 10 −14 ⋅ 10 −10 ⋅ ⎜10 ⎟ 1 − cos 2 ⋅ 1,14 ⋅ 10 cm x 2 Vcm V ⎝ cm ⎠ ( ( = 4,425 ⋅ 10 −12 1 − cos 2,28 ⋅ 10 9 cm −1 x (iv) t =T )) )) C cm 2 2 ( ( )) 1 ε 0 χ 2 z E oz2 1 − cos 2kx − 2ω T 2 2 = 4,425 ⋅ 10 −12 1 − cos 2,28 ⋅ 10 9 cm −1 x − 6,8 ⋅ 1017 ⋅ 9,2 ⋅ 10 −18 C = 4,425 ⋅ 10 −12 1 − cos 2,28 ⋅ 10 9 cm −1 x − 6,256 2 cm P2 z = ( ( ( ( )) )) ⇒ Folie 248 c) Zeichnen Sie den Betrag der Polarisation P zum Zeitpunkt t = T 4 und am Ort x = 0 in Abhängigkeit von der Amplitude des elektrischen Feldes E 0 x . P = ε 0 χ 1 E 0 sin (kx − ωt ) + ε 0 χ 2 E 02 sin 2 (kx − ωt ) ( P 0, T 2 ) = ε E sin (ω T 4 ){χ 0 0 1 ( + χ 2 E 0 sin ω T 4 ⎛ π ⎞⎧ ⎛ π ⎞⎫ = ε 0 E0 sin ⎜ ⎟ ⎨ χ 1 + χ 2 E0 sin ⎜ ⎟ ⎬ ⎝ 2 ⎠⎩ ⎝ 2 ⎠⎭ )}, T π = 2 ω π T = 4 2ω = ε 0 E 0 {χ 1 + χ 2 E 0 } = 8,85 ⋅ 10 −14 As ⎧ ⎫ −10 cm E0 ⎬E0 ⎨1 + 10 Vcm ⎩ V ⎭ ⎛ As V ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ Vcm cm ⎠ ⇒ Folie 249 Aufgabe 2 a) Berechnen Sie die möglichen Summen- und Differenzfrequenzen, die der nichtlineare Kristall ermittieren kann wenn er von den oben genannten Lasern gepumpt wird. λ p = 514,5nm λ s = 600nm λ s = 700nm min max Kreisfrequenzen: λ = 2π k ; ⇒ λ= ⇒ ω= 2πc min ωs max ω k ⇒k= ω c c = 2,998 ⋅ 10 8 m ω s 2πc ωp = ωs c= λ 2πc λp = 2π ⋅ 2,998 ⋅ 10 8 514,5 ⋅ 10 −9 m m s = 3,66 ⋅ 1015 s −1 = 3,14 ⋅ 1015 s −1 = 2,69 ⋅ 1015 s −1 Differenzfrequenzen: ωh = ω p − ωs ωh min ωh max = ω p − ω smin = (3,66 − 3,14 ) ⋅ 1015 s −1 = 5,2 ⋅ 1014 s −1 = ω p − ω smax = (3,66 − 2,69 ) ⋅ 1015 s −1 = 9,7 ⋅ 1014 s −1 250 Intervall der Differenzfrequenzen: ω k = [5,2;9,7] ⋅ 1014 s −1 mit der höchsten Differenzfrequenz von 9,7 ⋅ 1014 s −1 . Summenfrequenzen: ωh = ω p + ωs ωh min ωh max = (3,66 + 3,14 ) ⋅ 1015 s −1 = 6,80 ⋅ 1015 s −1 = (3,66 + 2,69 ) ⋅ 1015 s −1 = 6,35 ⋅ 1015 s −1 Intervall der Summenfrequenzen: ω h = [6,35;6,80] ⋅ 1015 s −1 b) Zeichnen Sie die Abhängigkeit nh (ω ) für den Fall der höchsten Differenzfrequenz unter der Annahme n p = n s = 1,8. Aus der Impulserhaltung der „gespaltenen“ Photonen folgt: n 2 pω p = n s ω s + nh ω h 2 2 ⇒ n h2ω h = n pω p − n h2ω s ⇒ ⎛ 1 2 2 n h = ⎜⎜ n pω p − n s ω s ⎝ ωh ⇒ ⎛ 1 nh = ⎜⎜ 1,8 2 ⋅ 3,66 ⋅ 1015 s −1 − 1,8 2 ⋅ 9,7 ⋅ 1014 s −1 ⎝ ωh { } 1 ⎞2 ⎟⎟ ⎠ { = 1 ωh ( ⋅ 1,8 3,66 ⋅ 10 − 9,7 ⋅ 10 15 ) 1 14 2 s − 1 ⎞2 ⎟⎟ ⎠ } 1 2 251 n h = 9,34 ⋅ 10 s 7 − 1 2 1 ω h ⇒ Folie (Bild) 252 Technische Universität Ilmenau Zentrum für Mikro- und Nanotechnologien Polarisation durch eine elektromagnetische Welle Aufgabe 1b) -7 Polarisation P1z [10 C/cm2 ] 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 t=0 t = T/2 Weg x [μm] 1.0 Technische Universität Ilmenau Zentrum für Mikro- und Nanotechnologien Nichtlineare Polarisation (mit doppelter Schwingungsfrequenz) Aufgabe 1b) t=0 t = T/2 2 C/cm ] 1.0 Polarisation P2z [10 -11 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 Weg x [μm] 0.8 1.0 Technische Universität Ilmenau Zentrum für Mikro- und Nanotechnologien (Nichtlineare) Polarisation in Abhängigkeit vom elektrischen Feld der eingestrahlten elektomagnetischen Welle Polarisation Pz [C/cm2] Aufgabe 1c) -2 10 -5 10 -8 10 -11 10 -14 10 0 10 102 4 10 106 10 8 1010 elektrisches Feld Eoz [V/cm] 1012 Technische Universität Ilmenau Zentrum für Mikro- und Nanotechnologien Brechungsindex in Abhängigkeit von der Frequenz der eingestrahlten elektromagnetischen Welle 10 Brechungsindex nh Aufgabe 2b) 8 6 4 2 0 0 2 4 6 Kreisfrequenz ω h [1015 s-1 ] 8 10
