2 Mengenlehre

2 Mengenlehre
2.1 Grundlagen
Einer der wichtigsten Grundbegriffe in der Mathematik ist der Mengenbegriff.
Die zugehörige Theorie - die Mengenlehre - bildet die Grundlage für die gesamte
Mathematik. Nur mit Hilfe der Mengenlehre kann man Begriffe wie „Funktion“
und „Relation“ exakt definieren. Das Konzept der Funktion ist vielen aus den
Naturwissenschaften bekannt, das Konzept der Relation ist in vielen weiteren
Wissenschaften, sogar in Geisteswissenschaften, von Bedeutung. In der Informatik
ist ein grundlegendes Verständnis der Mengenlehre wichtig, um mit Datentypen
richtig umgehen zu können.
2.1.1 Definition
Als Begründer der Mengenlehre gilt Georg Cantor (1845 - 1918). Er gab 1895
die folgende Definition des Mengenbegriffs (1) :
Mengendefinition nach Cantor:
Definition 2.1 Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.
Von jedem dieser Objekte muss eindeutig feststehen, ob es zur Menge gehört oder
nicht. Die zur Menge gehörenden Objekte nennt man die Elemente der Menge.
Diese Definition ist mathematisch noch nicht exakt, da sie die Begriffe Zusammenfassung und Unterschiedlichkeit von Objekten nicht genau festlegt. Wir werden
dennoch mit dieser Definition als Grundlage weiterarbeiten, da die nicht festgelegten Begriffe intuitiv klar sind und die Genauigkeit dieser Definition für das
Verständnis dieses Kapitels vollkommen ausreicht.
Mengen beschreibt man üblicherweise mit großen Buchstaben, die Elemente einer
Menge mit kleinen Buchstaben. Dafür, dass ein Element a zur Menge M gehört,
schreibt man „a ∈ M “. Wenn ein Objekt b nicht zur Menge M gehört, schreibt
man „b ∈
/ M “.
(1)
Georg Cantor, „Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre“, Halle, 1895
S. Iwanowski, R. Lang, Diskrete Mathematik mit Grundlagen,
DOI 10.1007/978-3-658-07131-8_2, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014
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2.1.2 Elementare Eigenschaften von Mengen
Für die folgenden Anschauungsbeispiele greifen wir auf eine Darstellungsweise für
endliche Mengen vor: Wenn eine Menge M aus den Elementen x, y, z besteht, dann
schreiben wir M = {x, y, z}. Analog verfahren wir bei einer anderen endlichen
Anzahl von Objekten.
Demnach ist die Menge {} die Menge, die überhaupt kein Element enthält. Diese
Menge wird auch leere Menge genannt und durch das Symbol ∅ bezeichnet.
1. Die Elemente einer Menge sind beliebige Objekte: Sie dürfen selbst auch Mengen sein.
Beispiel 2.1
M = {1, {1}, {1, 2}} besteht aus 3 Elementen, der natürlichen Zahl 1
und den beiden Mengen {1} und {1, 2}.
2. Eine Menge, die ein Element enthält, ist grundsätzlich verschieden von diesem
Element selbst.
Beispiel 2.2
Die Elemente 1 und {1} sind verschieden, ebenso die Elemente x und
{x}, unabhängig davon, was x ist. Insbesondere ist die leere Menge {}
verschieden von der Menge {{}}, die eben nicht leer ist, sondern die
leere Menge als Element enthält. Dieser Sachverhalt ist unabhängig von
der Darstellungsweise: Wenn man die leere Menge mit dem Symbol ∅
bezeichnet, dann ist sie immer noch verschieden von der Menge {∅}.
Merke: ∅ = {}, aber ∅ = {∅}
3. Die Zusammenfassung der Elemente ist grundsätzlich nicht mit einer Reihenfolge versehen, unabhängig davon, wie die Menge dargestellt ist.
Beispiel 2.3
Die Menge {1, 2, 3} ist identisch mit der Menge {2, 3, 1}.
4. Jedes Element einer Menge ist nur einmal in der Menge enthalten, unabhängig
von der Mengendarstellung.
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Beispiel 2.4
Die Menge {2, 1, 2, 1, 1} ist identisch mit der Menge {1, 2} und enthält
genau zwei Elemente, nämlich die beiden natürlichen Zahlen 1 und 2.
Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten
Es gibt eine elementare Methode nachzuprüfen, ob zwei Mengen A und B gleich
sind: Jedes Element von A muss auch in B enthalten sein, und jedes Element von
B muss auch in A enthalten sein.
2.1.3 Darstellung von Mengen
Im Folgenden charakterisieren wir genauer die Darstellungsweise der Elementauflistung, welche im vorherigen Abschnitt bereits verwendet wurde. Diese ist nur
für endliche Mengen anwendbar, also Mengen, die endlich viele Elemente haben.
Die alternativen Darstellungen durch vordefinierte Mengen oder über Prädikate
sind dagegen sowohl für endliche als auch für unendliche Mengen anwendbar.
Elementauflistung: Eine Menge M kann man angeben, indem man ihre Elemente
einzeln auflistet. Zum Beispiel bilden die natürlichen Zahlen von 0 bis 9 die Menge M = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Das sind die Ziffern unseres Dezimalsystems.
Während die Mengenbegrenzungszeichen zwingend die Symbole “{“ und “}“ sind
und nicht etwa “(“ oder “)“, ist es nicht unbedingt vorgeschrieben, ein Komma
“,“ als Trennzeichen zwischen den Elementen zu benutzen. Vielmehr ist es aus
Übersichtsgründen manchmal durchaus nützlich, stattdessen ein Semikolon “;“ zu
verwenden, z.B. wenn die Elemente Dezimalzahlen sind oder wenn es sich um ineinander geschachtelte Mengen handelt:
M1 = {1, 23; 2, 43; 0, 05} enthält drei gebrochen rationale Zahlen.
M2 = { {1, 2} ; {2, 3} } enthält 2 Mengen.
Vordefinierte Mengen: Einige Mengen sind bereits durch andere Charakterisierungen bekannt und werden mit eigenen Symbolen bezeichnet. Eine wichtige Rolle
spielen die aus der Schule bekannten Zahlenmengen, die grundsätzlich mit einem
doppelten Strich bezeichnet werden, um sie von beliebigen anderen Mengen, die
denselben Buchstaben nur als Platzhaltervariable benutzen, zu unterscheiden:
• N beschreibt die Menge der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, ...
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• Z beschreibt die Menge der ganzen Zahlen, die zusätzlich zu den natürlichen
Zahlen auch noch die natürlichen Zahlen mit negativem Vorzeichen enthält.
• Q beschreibt die Menge der rationalen Zahlen, die aus allen (echten oder
unechten) Brüchen besteht.
• R beschreibt die Menge der reellen Zahlen, die aus allen Zahlen des Zahlenstrahls besteht: Jede dieser Zahlen kann durch eine Dezimalzahl beschrieben
werden (unter Umständen aber nur durch eine unendliche nichtperiodische
Folge von Ziffern nach dem Komma).
• C beschreibt die Menge der komplexen Zahlen der Gaußchen Zahlenebene:
Jede dieser Zahlen kann durch den Ausdruck a + iḃ beschrieben werden,
wobei a, b ∈ R und i2 = −1.
Offensichtlich handelt es sich bei diesen Zahlenmengen um unendliche Mengen.
Prädikat für die Charakterisierung der Elemente: Eine Menge kann man angeben mittels eines Prädikates A(x): M ist die Menge aller Elemente x aus dem
Definitionsbereich für x, für die das Prädikat A(x) wahr ist, in Zeichen:
M := { x ∈ D | A(x) }.
Hierbei ist der Definitionsbereich D offenbar selbst eine Menge, die durch eine der
hier aufgeführten Möglichkeiten beschrieben werden kann. Es handelt sich bei der
Menge M also um eine Einschränkung des Definitionsbereichs D.
Zur Schreibweise: Es ist auch gebräuchlich, den Definitionsbereich vom Prädikat
durch das Zeichen „:“ anstelle von „|“ abzutrennen.
Beispiel 2.5
G := {. . . , −4, −2, 0, 2, 4, . . .} beschreibt die Menge der geraden Zahlen.
Das sind die Zahlen, die man durch 2 teilen kann oder, besser durch ein
Prädikat beschreibbar, die als Produkt von 2 mit einer anderen ganzen Zahl
darstellbar sind:
G := {n ∈ Z | (∃k ∈ Z : n = 2 · k)}
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Beispiel 2.6
P := {2, 3, 5, 7, 11, . . .} beschreibt die Menge der Primzahlen. Das sind die
natürlichen Zahlen größer als 1, die man nur durch 1 oder durch sich selbst
teilen kann. Eine mögliche exakte Schreibweise mit Hilfe eines Prädikats
sieht folgendermaßen aus:
P := {n ∈ N | n = 1∧
((∃k ∈ N ∃l ∈ N : n = k · l) → (((k = 1) ∧ (l = n)) ∨ ((k = n) ∧ (l = 1))))}.
Informell: Aus der Tatsache, dass n als Produkt zweier natürlicher Zahlen
dargestellt werden kann, muss folgen, dass die beiden Faktoren nur die 1
oder n selbst sind.
Es gibt noch andere Möglichkeiten, die Menge P der Primzahlen durch ein
Prädikat zu beschreiben. Man beachte, dass 1 explizit von den Primzahlen
ausgeschlossen wurde, obwohl n = 1 auch den Implikationsteil des Prädikats
erfüllen würde. Eine Motivation dafür wird in Kapitel 4 gegeben.
Beispiel 2.7
M := {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3} beschreibt das reelle Zahlenintervall [1, 3], die
Menge aller reellen Zahlen, die zwischen 1 und 3 liegen (beide Grenzen
eingeschlossen).
Beispiel 2.8
L := {x ∈ R | x2 + 1 = 0} = ∅. Da es keine reelle Zahl x mit x2 + 1 = 0 gibt,
enthält diese Menge kein Element, ist also identisch mit der leeren Menge.
An diesen Beispielen kann man sehen, dass es möglich ist, über das einschränkende
Prädikat aus einer unendlichen Menge eine weitere unendliche Menge zu bilden
(Beispiele 2.5 - 2.7), oder auch eine endliche Menge zu erhalten (Beispiel 2.8).
Eine weitere Darstellungsweise ist die bildliche Darstellung von Mengen mit Hilfe
von Venn-Diagrammen(2) :
Ein Venn-Diagramm stellt die Menge in einer Ebene mit einer runden, meistens
kreisförmigen Begrenzung dar. Bei einer endlichen Menge können die Elemente innerhalb der Begrenzungslinie eingetragen werden. Mit der abstrakten Darstellung,
einer leeren begrenzten Fläche, können beliebige, also auch unendlich Mengen dargestellt werden.
(2)
John Venn (1884 - 1923), englischer Mathematiker
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Venn-Diagramme sind sehr nützlich, um Verknüpfungen von Mengen bildlich darzustellen, wie wir im folgenden Abschnitt sehen werden.
2.1.4 Verknüpfungen von Mengen
Wie in der Aussagenlogik gibt es auch zwischen Mengen Operatoren, die aus bereits bekannten Mengen neue Mengen machen. Wir unterscheiden wieder zwischen
einstelligen und zweistelligen Operatoren. Außerdem sollte noch beachtet werden,
von welchem Typ das Ergebnis der Verknüpfung ist.
Zweistellige Mengenverknüpfungen mit Ergebnistyp Menge
Wir definieren zunächst Operationen, die aus zwei beliebigen Mengen M und N
eine neue Menge als Ergebnis erzeugen.
Schnittmenge: Unter der Schnittmenge der beiden Mengen M und N verstehen
wir die Menge
M ∩ N := {x | (x ∈ M ) ∧ (x ∈ N )}.
Die Menge M ∩ N besteht also aus den Elementen, die sowohl in M als auch in
N liegen. Abbildung 2.1 zeigt das zugehörige Venn-Diagramm.
Vereinigungsmenge: Unter der Vereinigungsmenge der beiden Mengen M und
N verstehen wir die Menge
M ∪ N := {x | (x ∈ M ) ∨ (x ∈ N )}.
Die Menge M ∪ N besteht also aus den Elementen, die wenigstens in einer der
beiden Mengen M oder N liegen. Abbildung 2.2 zeigt das zugehörige VennDiagramm.
Differenzmenge:
Die Differenzmenge M \ N ist die Menge
M \ N := {x | (x ∈ M ) ∧ (x ∈
/ N )}.
Die Menge M \ N besteht also aus den Elementen, die in M , aber nicht in N
liegen. Abbildung 2.3 zeigt das zugehörige Venn-Diagramm.
Man beachte, dass es für diese Definition nicht erforderlich ist, dass jedes Element
aus N auch in M liegt: Es wird nicht verlangt, dass man jedes Element von N
2.1 Grundlagen
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Abbildung 2.1: Schnitt von M und N
Abbildung 2.2: Vereinigung von M und N
aus M „herausnehmen“ kann, sondern es wird lediglich verlangt, dass sich kein
Element aus M \ N in N befindet.
Beispiel 2.9
{1, 2, 3, 4, 5} \ {3, 4, 5, 6, 7} = {1, 2}
Offensichtlich ist diese Definition nicht symmetrisch, denn wenn man die Operation nach Vertauschung der Mengen anwendet, ergibt sich:
{3, 4, 5, 6, 7} \ {1, 2, 3, 4, 5} = {6, 7}.
Die Menge der Elemente, die in genau einer der beiden Ausgangsmengen liegen,
wird durch folgende Operation beschrieben:
Symmetrische Differenzmenge:
die Menge
Die symmetrische Differenzmenge M N ist
M N := {x | ((x ∈ M ) ∧ (x ∈
/ N )) ∨ ((x ∈
/ M ) ∧ (x ∈ N ))}.
Abbildung 2.4 zeigt das zugehörige Venn-Diagramm.
Beispiel 2.10
{1, 2, 3, 4, 5} {3, 4, 5, 6, 7} = {1, 2, 6, 7}
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Abbildung 2.3: Differenzmenge M \ N
Abbildung 2.4:
symmetrische Differenzmenge M N
Zweistellige Mengenverknüpfung mit Ergebnistyp Wahrheitswert
Die folgende Verknüpfung unterscheidet sich von den vorangegangenen darin, dass
das Verknüpfungsergebnis keine Menge, sondern ein Wahrheitswert ist.
Gegeben seien zwei Mengen M und N . Dann definiert M ⊆ N einen Wahrheitswert, der folgenden Wert annimmt:
M ⊆ N ⇐⇒ ∀x : x ∈ M ⇒ x ∈ N
M ⊆ N ist also wahr genau dann, wenn jedes Element x ∈ M auch Element von
N ist. Falls das erfüllt ist, dann heißt M Teilmenge von N und die Menge N
Obermenge von M . Wenn M ⊆ N und M = N , dann sagen wir: M ist eine
echte Teilmenge von N und schreiben: M ⊂ N .
Zur Schreibweise: Häufig wird für die Teilmengenbeziehung das Symbol M ⊂ N
auch dann verwendet, wenn die Gleichheit von M und N eingeschlossen sein darf.
Um eine echte Teilmengenbeziehung davon abzugrenzen, wird dann die Schreibweise M N verwendet. Wir werden in künftigen Beispielen, in denen das eine
Rolle spielt, zur besseren Klarheit immer mit den Symbolen ⊆ und arbeiten.
Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge M . Denn es gilt
∀x : (x ∈ ∅ ⇒ x ∈ M ).
Da die Prämisse für kein x erfüllt werden kann, ist die Implikation immer wahr.
Die Gleichheit von zwei Mengen M und N kann nun durch eine Teilmengenbeziehung beschrieben werden:
M = N ⇔ M ⊆ N ∧ N ⊆ M.
2.1 Grundlagen
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Abbildung 2.5: M ist Teilmenge von N
Die Teilmengenbeziehung darf nicht mit der Elementbeziehung verwechselt
werden:
In der Beziehung M ⊆ N muss M eine Menge sein, d.h. die Aussage 1 ⊆ {1, 2} ist
unzulässig. „Unzulässig“ bedeutet hier nicht, dass die Aussage falsch ist, sondern
dass ihr Wahrheitswert überhaupt nicht bestimmbar ist, weil der Operator ⊆ auf
der linken Seite einen unzulässigen Operanden hat.
In der Beziehung M ∈ N darf M auch eine Menge sein, d.h. die Aussage {1} ∈
{1, 2} ist genauso zulässig wie die Aussage 1 ∈ {1, 2}. Jedoch bedeuten beide
Aussagen nicht dasselbe. In diesem Fall ist der Wahrheitswert unterschiedlich:
Die Menge {1, 2} enthält das Element 1, aber nicht die Menge {1} als Element.
Die Aussage 1 ∈ {1, 2} ist also wahr, während die Aussage {1} ∈ {1, 2} falsch ist.
Die Aussage {1} ∈ {{1}} ist dagegen wahr, denn jetzt ist {1} ein Element der
Menge {{1}}. Hier ist aber die Aussage {1} ⊆ {{1}} falsch, denn dafür müssten
alle Elemente von {1} in {{1}} enthalten sein: Das Element 1 der Menge {1}
ist aber nicht in {{1}} enthalten, denn {{1}} enthält außer der Menge {1} kein
weiteres Element, also auch nicht das Element 1.
Es ist aber in Spezialfällen möglich, dass eine Menge in einer anderen als Element
und Teilmenge enthalten ist:
{1} ∈ {{1}, 1} ∧ {1} ⊆ {{1}, 1}
Einstellige Mengenverknüpfungen mit Ergebnistyp Menge
Potenzmenge: Die Potenzmenge P(M ) einer Menge M ist die Menge, die alle
Teilmengen von M als Elemente enthält:
P(M ) := {X | X ⊆ M }.
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2 Mengenlehre
Beispiel 2.11
Sei M = {1, 2, 3}. Dann ist P(M ) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3},
{1, 2, 3}}.
Die bereits oben erwähnte Menge {∅} ist die Potenzmenge der leeren Menge.
{{1}} ist dagegen keine Potenzmenge, denn sie könnte nur die Potenzmenge von
{1} sein, aber dann müsste sie auch noch die leere Menge enthalten.
Während man von jeder Menge die Potenzmenge bilden kann, ist nicht jede Menge
die Potenzmenge einer anderen Menge. Es gibt nämlich notwendige Eigenschaften,
die für alle Potenzmengen gelten müssen:
1. Jedes Element einer Potenzmenge ist selbst eine Menge.
2. Jede Potenzmenge muss die leere Menge enthalten, weil die leere Menge
Teilmenge jeder Menge ist.
3. Eine Potenzmenge enthält immer 2n Elemente für ein beliebiges n: Dann ist
sie nämlich die Potenzmenge einer n-elementigen Menge. Eine Potenzmenge
mit einer anderen Anzahl als 2n Elemente ist nicht möglich.
Komplementärmenge: Die Komplementärmenge M einer Menge M besteht
aus genau den Elementen, die nicht Elemente von M sind.
Hier gibt es ein Problem bei der Definition: Da potentiell alles Element einer
Menge sein darf, liegen also alle Objekte außer den Elementen von M in M . Das
sind beliebig, insbesondere unendlich viele. Daher ist es für die Definition der
Komplementärmenge praktikabler, von vornherein nur bestimmte Elemente bei
der Mengenbildung zuzulassen. Der Definitionsbereich für diese Elemente wird in
der Mengenlehre üblicherweise als das zulässige Universum bezeichnet und mit
dem Buchstaben Ω abgekürzt.
In Venn-Diagrammen wird das alle Mengen umschließende Universum als Rechteck dargestellt und so von den anderen Mengen (denn auch das Universum ist eine
Menge), die mit runden Begrenzungslinien dargestellt werden, optisch abgegrenzt
(siehe Abbildung 2.6).
Wir haben bei der Darstellungsweise von Mengen auch die Variante, eine Menge
mit Hilfe eines Prädikats zu beschreiben, angegeben. Dieses Prädikat sei mit P (x)
benannt. Bei der Beschreibung eines solchen Prädikats P (x) haben wir vorausgesetzt, dass die Variable x Werte aus einem Definitionsbereich D annehmen kann.
Dieser Definitionsbereich entspricht jetzt dem Mengenuniversum Ω. Ausführlicher
kann man die Menge M also beschreiben als:
M := { x | (x ∈ Ω) ∧ (P (x) ist wahr)}.
http://www.springer.com/978-3-658-07130-1