Mathematik für Physiker I Version für die Vorlesung im SS 2007

Mathematik für Physiker I
Version für die Vorlesung im SS 2007
Margarita Kraus (Mathematischer Inhalt)
Manuel Müller (LATEX-Satz der Vorlesung im WS 2006/2007)
Letzte Aktualisierung: 21.10.2007
1
c
Lizenz und opyright
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behalten sich das Recht vor, dieses Dokument unter Verwendung der selben Autorennamen und des selben Dokumententitels zu veröffentlichen; dies beinhaltet
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GNU Free Document License“ enthalten.
”
Vorwort
Diese Mitschrift wurde im Rahmen der Vorlesung Mathematik für Physiker
”
I“ des Wintersemesters 2006/07 (23.10.2006-14.02.2007), welche von Margarita Kraus gehalten wurde, angefertigt. Sie wurde im SS07 neu geordnet und
überarbeitet. Die Mitschrift dient als Script, damit also als ein die Vorlesung
begleitendes Medium, sollte allerdings nicht als einzige Quelle des dargebotenen
Inhaltes angesehen werden. Hinweise auf Fehler werden jederzeit gern entgegengenommen.
2
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
1 Notation
1.1 Notationen (Grundlegende Notation) . . . . . . . . . .
1.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Notationen (zur Mengenalgebra) . . . . . . . . . . . .
1.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Definitionen und Notationen . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Definitionen (Injektivität, Surjektivität, Bijektivität) .
1.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Definition (Komposition, Inklusion, inverse Abbildung)
1.9 Notation und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.2 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Definition (der totalen Ordnung) . . . . . . . . . . . .
1.11 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Beweistechniken
2.1 Beweis durch Widerspruch . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Beweistechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Beweis durch vollständige Induktion . . . . . . . . .
2.2.1 Beweistechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Beispiel zur Anwendung dieser Beweistechnik
2.2.3 Beweis von Beispiel (2.2.2) . . . . . . . . . .
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3 Die reellen Zahlen
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3.1 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Definition (Assoziativität, neutrales und inverses Element (abelscher) Gruppen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Notation (von Verknüpfungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Bemerkung (Eindeutigkeit neutraler/inverser Elemente) . . . . . 18
3.5.1 Eindeutigkeit des neutralen Elements . . . . . . . . . . . 18
3.5.2 Rechtsinverses gleich Linksinverses . . . . . . . . . . . . . 18
3.6 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.7 Definition (des Körpers) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.9 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.10 Definition (von geordneten Körpern) . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.11 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.12 Bemerkung (zu geordneten Körpern) . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.13 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.14 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.15 Definition (von Beschränktheit, Maximum, Minimum, Supremum
und Infimum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.16 Bemerkung (Eindeutigkeit von Suprema/Infima) . . . . . . . . . 20
3.17 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.18 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.19 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3
INHALTSVERZEICHNIS
3.20
3.21
3.22
3.23
3.24
3.25
3.26
Satz (Vollständiger Körper der reellen Zahlen)
Korollar und Notation . . . . . . . . . . . . . .
Definition (der erweiterten Zahlengerade) . . .
Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konvention beim Zeichnen (von Intervallen) . .
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4 Komplexe Zahlen
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4.1 Definition und Satz (der Addition und Multiplikation) . . . . . . 23
4.2 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.5 Notation (komplex konjugierte, Betrag, Argument, Imaginär- und
Realteil) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.6 Bemerkung (Veranschaulichung der Arithmetik) . . . . . . . . . . 24
4.7 Bemerkung (Darstellung durch cosinus und sinus) . . . . . . . . . 25
4.8 Notiz (Weitere Rechenregeln) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.9 Bemerkung (Nullstellen von Polynomen) . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Normierte Vektorräume
5.1 Definition . . . . . . .
5.2 Beispiele . . . . . . . .
5.3 Notiz und Definition .
5.4 Beispiel . . . . . . . .
5.5 Definition . . . . . . .
5.6 Notiz . . . . . . . . . .
5.7 Beispiele . . . . . . . .
5.8 Definition . . . . . . .
5.9 Notation . . . . . . . .
5.10 Beispiele . . . . . . . .
5.11 Notation . . . . . . . .
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31
6 Teilmengen normierter Vektorräume
6.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Definition (von inneren, äußeren, Rand- und
6.3.1 Innere, äußere und Rand-Punkte . .
6.3.2 Häufungspunkte . . . . . . . . . . .
6.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Definition (isolierter Punkt) . . . . . . . . .
6.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Zwischenbemerkung (zu Quantoren) . . . .
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Häufungspunkten)
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7 Folgen
7.1 Definition (von Folgen und Grenzwert) .
7.2 Notation und Sprechweise . . . . . . . .
7.3 Lemma (Eindeutigkeit des Grenzwerts) .
7.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
INHALTSVERZEICHNIS
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
7.12
7.13
7.14
7.15
7.16
7.17
7.18
7.19
7.20
7.21
Definition (der Beschränktheit) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechenregeln für den Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition (Häufungspunkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notiz (Beziehung zwischen Grenzwert und Häufungspunkt(en))
Definition (der Teilfolge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lemma (Teilfolgen und Häufungspunkte) . . . . . . . . . . . .
Definition (der Monotonie und Konvergenz) . . . . . . . . . . .
Notiz (Anwendbarkeit der Limes-Rechenregeln) . . . . . . . . .
Lemma (Konvergenz und uneignetliche Konvergenz) . . . . . .
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz von Bolzano Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition (der Cauchy-Folge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz (Konvergenz der Cauchy-Folge) . . . . . . . . . . . . . . .
8 Reihen
8.1 Definition (der Reihe) . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Satz & Definition (der Grenzwert e) . . . . . . .
8.5 Notiz (Cauchy-Kriterium für Reihen) . . . . . . .
8.6 Definition und Korollar (Majoranten-Kriterium)
9 Stetige Abbildungen
9.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 Zwischenbemerkung zur Beweistechnik: . . . .
9.7 Lemma: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.9 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.10 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.11 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.12 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.13 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.14 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.15 Definition (rationale Funktion) . . . . . . . . .
9.16 Korollar (Stetigkeit rationaler Funktionen) . . .
9.17 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.18 Definition (von Minimum/Maximum) . . . . .
9.19 Lemma (Existenz von Minimum/Maximum auf
Intervallen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.20 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.21 Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.22 Definition (Monotonie) . . . . . . . . . . . . . .
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43
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44
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44
44
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abgeschlossenen
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47
47
47
47
47
48
48
49
49
49
50
50
51
51
52
53
53
53
53
53
53
54
54
5
INHALTSVERZEICHNIS
9.23
9.24
9.25
9.26
9.27
Satz (Umkehrsatz) . . . . . . . .
Bemerkung (über Monotonie und
Vorsicht . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel . . . . . . . . . . . . . .
Definition . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
Stetigkeit) .
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55
55
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56
56
10 Elementare Funktionen
57
10.1 Satz (über Potenzrechenregeln und Monotonie) . . . . . . . . . . 57
10.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
10.3 Satz (über Stetigkeit, Monotonie und Surjektivität der Potenzfunktion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
10.4 Definition (des Logarithmus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
10.5 Lemma (Logarithmus-Rechenregeln) . . . . . . . . . . . . . . . . 58
10.6 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
10.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
10.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
10.9 Bemerkung (Die Winkelfunktionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
10.10Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
10.11Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10.12Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10.13Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11 Die Ableitung
11.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Anschauung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Notiz (Differenzierbarkeit und Stetigkeit) . . . . . . . . . .
11.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.7 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.8 Beispiele (Lemma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.9 Korollar (Potenz-, Exponential- und Logarithmus-Funktion)
11.10Proposition (spezielle Grenzwerte) . . . . . . . . . . . . . .
11.11Korollar (Sinus und Cosinus) . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.12Korollar (Ableitungen des Tangens und Cotangens) . . . . .
11.13Korollar (Ableitungen der Arcus-Winkelfunktionen) . . . .
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12 Mittelwertsatz und Extrema
12.1 Definition (des lokalen Minimums/Maximums (Extremum))
12.2 Notiz (Extremum und Ableitung) . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Definition (des kritischen Punkts) . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5 Satz von Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Korollar (1. Mittelwertsatz der Differentiation) . . . . . . .
12.7 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8 Zweiter Mittelwertsatz der Differentiation . . . . . . . . . .
12.9 Korollar (Regel von l’ Hospital) . . . . . . . . . . . . . . . .
12.10Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.11Lemma (Monotonie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.12Korollar (konstante Funktion) . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
INHALTSVERZEICHNIS
12.13Definition (des isolierten (lokalen) Maximums/Minimums) . . . . 73
12.14Lemma (Kritischer Punkt und isoliertes lokales Maximum/Minimum) 73
12.15Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
13 Partielle Ableitung und Richtungsableitung
13.1 Definition und Notiz . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Warnendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5 Satz (Schwarzscher Satz) . . . . . . . . . . . .
13.6 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.7 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.8 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.9 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.10Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.11Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.12Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.13Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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14 Basen und Dimensionen von Vektorräumen
14.1 Definition und Notiz . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3 Definition und Notiz . . . . . . . . . . . . . .
14.4 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6 Basisergänzungssatz . . . . . . . . . . . . . .
14.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.8 Korollar und Definition . . . . . . . . . . . .
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15 Lineare Abbildungen
15.1 Definition . . . . . . . . .
15.2 Lemma . . . . . . . . . .
15.3 Beispiele . . . . . . . . . .
15.4 Erinnerung und Notation
15.5 Notiz . . . . . . . . . . . .
15.6 Bemerkung . . . . . . . .
15.7 Beispiel . . . . . . . . . .
15.8 Notiz . . . . . . . . . . . .
15.9 Lemma und Definition . .
15.10Lemma . . . . . . . . . .
15.11Lemma . . . . . . . . . .
15.12Beweis . . . . . . . . . . .
15.13Korollar . . . . . . . . . .
15.14Bemerkung . . . . . . . .
15.15Satz . . . . . . . . . . . .
15.16Definition . . . . . . . . .
15.17Korollar . . . . . . . . . .
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7
INHALTSVERZEICHNIS
16 Matrizen und lineare Gleichungssysteme
16.1 Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.6 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.7 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.10Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.11Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.12Notiz und Notation . . . . . . . . . . . . .
16.13Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.14Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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17 Multilineare Abbildungen und Determinanten
17.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3 Notiz und Notation . . . . . . . . . . . . . . . .
17.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.5 Notiz und Definition . . . . . . . . . . . . . . .
17.6 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.7 Satz und Definition . . . . . . . . . . . . . . . .
17.8 Definition und Lemma . . . . . . . . . . . . . .
17.9 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.10Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.11Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.12Notiz: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.13Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.14Leibnizformel zur Berechnung von det . . . . .
17.15Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.16Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.17Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.18Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.19Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.20Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.21Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.22Definition und Notiz . . . . . . . . . . . . . . .
17.23Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.24Satz und Definition . . . . . . . . . . . . . . . .
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95
95
96
96
96
18 Skalarprodukt
18.1 Definition . . . . . .
18.2 Notiz und Definition
18.3 Satz . . . . . . . . .
18.4 Notiz . . . . . . . . .
18.5 Definition . . . . . .
18.6 Beispiel . . . . . . .
18.7 Lemma . . . . . . .
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8
INHALTSVERZEICHNIS
18.8 Satz (Gram-Schmidt-Orthonormalisierung)
18.9 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.10Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.11Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.12Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.13Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.14Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.15Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.16Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.17Definition und Lemma . . . . . . . . . . . .
19 Eigenwerte und Eigenvektoren
19.1 Definition . . . . . . . . . . .
19.2 Beispiel . . . . . . . . . . . .
19.3 Lemma und Definition . . . .
19.4 Notiz und Definition . . . . .
19.5 Beispiele . . . . . . . . . . . .
19.5.1 einfaches Beispiel . . .
19.5.2 Beispiel . . . . . . . .
19.6 Lemma . . . . . . . . . . . .
19.7 Korollar . . . . . . . . . . . .
19.8 Lemma und Definition . . . .
19.9 Satz . . . . . . . . . . . . . .
19.10Definition . . . . . . . . . . .
19.11Notiz . . . . . . . . . . . . . .
19.12Lemma . . . . . . . . . . . .
19.13Lemma . . . . . . . . . . . .
19.14Definition . . . . . . . . . . .
19.15Notiz . . . . . . . . . . . . . .
19.16Satz . . . . . . . . . . . . . .
19.17Korollar . . . . . . . . . . . .
19.17.1 . . . . . . . . . . . .
19.17.2 . . . . . . . . . . . .
19.18Lemma: . . . . . . . . . . . .
19.19Lemma: . . . . . . . . . . . .
19.20Beispiel: . . . . . . . . . . . .
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98
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101
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103
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104
104
105
105
105
105
105
106
106
106
106
106
106
107
107
20 Totales Differential und Extrema von Funktionen in
Veränderlichen
20.1 Satz, Definition und Notation . . . . . . . . . . . . . .
20.2 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4 Beispiel (Polarkoordinaten) . . . . . . . . . . . . . . .
20.5 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.6 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.9 Satz & Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.10Warnung und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.11Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
mehreren
108
. . . . . . 108
. . . . . . 108
. . . . . . 108
. . . . . . 109
. . . . . . 109
. . . . . . 109
. . . . . . 109
. . . . . . 109
. . . . . . 110
. . . . . . 110
. . . . . . 110
9
INHALTSVERZEICHNIS
20.12Satz (Restgliedformel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
20.13Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
21 Riemann-Integral
21.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2 Lemma und Definition . . . . . . . . . . . . . . .
21.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.4 Lemma (Rechenregeln für das Integral) . . . . .
21.5 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.6 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.9 Satz (Mittelwertsatz der Integralrechnung) . . . .
21.10Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
21.11Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.12Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.13Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.14Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.15Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.16Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.17Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.18Bemerkung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.19Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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113
113
113
114
116
117
117
118
118
119
120
120
120
120
121
121
121
122
122
122
22 Finden von Stammfunktionen
22.1 Satz von der partiellen Integration . . . . . . . . . .
22.2 Satz von der Substitution . . . . . . . . . . . . . . .
22.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.4 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.6 Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.10Finden der PBZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.11Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.12Integration der Terme aus der Partialbruchzerlegung
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125
125
125
126
126
23 Taylorpolynome
23.1 Definition . . . . . . . . . . . . . .
23.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . .
23.3 Lemma . . . . . . . . . . . . . . .
23.4 Approximationslemma . . . . . . .
23.5 Proposition . . . . . . . . . . . . .
23.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . .
23.7 Proposition . . . . . . . . . . . . .
23.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . .
23.9 Satz (von Taylor) . . . . . . . . . .
23.10Bemerkung und warnendes Beispiel
23.11Notation . . . . . . . . . . . . . . .
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128
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130
131
131
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10
INHALTSVERZEICHNIS
23.12Beispiel . . . .
23.13Definition . . .
23.14Beispiele . . . .
23.15Bemerkung . .
23.16Restgliedformel
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132
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24 Mehrdimensionales Riemann-Integral
24.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . .
24.2 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.3 Definition . . . . . . . . . . . . . . . .
24.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.7 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.9 Definition . . . . . . . . . . . . . . . .
24.10Definition . . . . . . . . . . . . . . . .
24.11Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.12Satz (Fubini) . . . . . . . . . . . . . .
24.13Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.14Transformationsformel . . . . . . . . .
24.15Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . .
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134
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135
135
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136
136
136
137
137
138
138
1
NOTATION
1
Notation
1.1
Notationen (Grundlegende Notation)
=
:=
=:
a =⇒ b
a 6⇒ b
a :⇔ b
a⇔b
∧
∨
¬
<
A∪B
A∩B
P(A)
1.2
Gleichheitszeichen
linke Seite wird durch rechte Seite definiert
rechte Seite wird durch links Seite definiert
Aussage a impliziert Aussage b
Aussage a impliziert nicht Aussage b
Ausdruck a wird durch b definiert
Ausdruck a ist äquivalent zu Ausdruck b
und zugleich
oder
nicht
kleiner
Menge A vereinigt Menge B
Schnittmenge/Durchschnitt von Menge A und Menge B
Potenzmenge von Menge A - Menge aller Teilmengen von A
Beispiele
1. f (x) := x + 3
2. (a ≤ b) ⇔ (a < b) ∨ (a = b)
3. (a > b) :⇔ (b < a)
4. x · y > 0 6 =⇒ (x > 0) ∧ (y > 0)
5. x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B)
6. A = {1; 2; 3}, P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A}
1.3
Notationen (zur Mengenalgebra)
A⊆B
B⊇A
A\B
A×B
1.4
Menge A Teilmenge von Menge B; x ∈ A =⇒ x ∈ B
:⇔ A ⊆ B
Komplement von B in A; {x ∈ A|x 6∈ B} = {x ∈ A : x 6∈ B}
Kartesisches Produkt von Menge A und Menge B;
A × B := {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B}
Beispiele
1. N := {1, 2, 3, . . . }
2. N0 := {0, 1, 2, 3, . . . } = N ∪ {0}
3. Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
4. Z\N0 = {−1, −2, −3, . . . }
5. Q := { pq |p ∈ Z, q ∈ N}
6. Z × N = {(p, q)|p ∈ Z, q ∈ N}
11
1
NOTATION
12
7. A := {1, 2}∧B := {−1, 0, 1} =⇒ A×B = {(1, −1), (1, 0), (1, 1), (2, −1), (2, 0), (2, 1)}
8. C = {x ∈ R| − 1 ≤ x ≤ 1}
=⇒ A × C = {(1, x)|x ∈ [−1, 1]} ∪ {(2, x)|x ∈ [−1, 1]}
1.5
Definitionen und Notationen
• Eine Abbildung f zwischen zwei Mengen A und B ist eine Vorschrift, die
jedem Element a ∈ A genau ein Element b ∈ B zuordnet. Man schreibt
dann f : A → B, a 7→ f (a).
• A heißt Definitionsbereich; B heißt Zielmenge.
• Ist A0 ⊆ A, dann heißt f (A0 ) := {f (x)|x ∈ A0 } ⊆ B das Bild von A0
unter f .
• f (A) heißt das Bild oder der Wertebereich von f .
• Ist B0 ⊆ B, dann heißt f −1 (B0 ) = {x ∈ A|f (x) ∈ B0 } das Urbild von B0
von f . (Vorsicht: f −1 ist im Allgemeinen keine Abbildung)
• Ist x ∈ B : f −1 (x) := f −1 ({x})
• Gf = {(x, f (x))|x ∈ A} ⊆ A × B heißt der Graph von f .
1.6
Definitionen (Injektivität, Surjektivität, Bijektivität)
Eine Abbildung f : A → B heißt
1. injektiv :⇔ (f (x) = f (y) =⇒ x = y)
2. surjektiv :⇔ Für jedes y ∈ B existiert ein x ∈ A mit f (x) = y
3. bijektiv :⇔ f ist surjektiv und injektiv
A ∼
= B bedeutet: Es existiert eine Bijektion zwischen den Mengen A und B.
Eine Abbildung f : N → A heißt eine Folge in A.
Eine Menge A heißt abzählbar :⇔ A hat nur endlich viele Elemente (#A <
∞) oder es existiert eine Abzählung, d.h. eine bijektive Abbildung N → A
1.7
Beispiele
1. Ist A eine Menge, so ist die Identität: idA : A → A, a 7→ a bijektiv
2. Ist A0 ⊆ A, dann ist die Inklusion j : A0 → A, a 7→ a injektiv, aber für
A0 6= A nicht surjektiv
3. Sind A, B Mengen, so ist die Projektion p : A × B → A, (a, b) 7→ a
surjektiv, aber nur dann injektiv, falls B aus genau einem Element besteht
1
13
NOTATION
4. f : N → N, n 7→ 2n ist injektiv, aber nicht surjektiv
n
n gerade
2
5. f : N → N, f (n) =
ist surjektiv, aber nicht injektiv
n+1
n ungerade
2
n
n gerade
2
6. f : N → Z, f (n) =
ist eine Bijektion, also ist Z
− n−1
n ungerade
2
abzählbar
7. N × N ist abzählbar
f : N → N × N ist gegeben durch:
f (1)
f (2)
f (3)
f (4)
=
=
=
=
...
(1, 1)
(1, 2)
(2, 2)
(2, 1)
8. Analog ist auch Z × N abzählbar
9. Ist X eine abzählbare Menge, so ist auch jede Teilmenge von X abzählbar
10. Die Abbildung Z × N → Q, (p, q) 7→
p
q
ist surjektiv, aber nicht injektiv
11. Die Abbildung
Q → Z × N,
p
7→
q
(p, q) wobei ggT(|p|, q) = 1 und
(0, 1) für pq = 0
p
q
6= 0
ist injektiv, aber nicht surjektiv. Fasse also Q ⊂ Z × N auf. Damit ist Q
abzählbar.
1.8
Definition (Komposition, Inklusion, inverse Abbildung)
• Sind f : A → B, g : B → C Abbildungen, so bezeichnet man mit g ◦ f :
A → C, (g ◦ f )(x) := g(f (x)) die Komposition von g und f .
• Ist A0 ⊆ A, j : A0 → A die Inklusion, so schreibt man auch f |A0 statt
f ◦ j. f |A0 heißt die Einschränkung von f auf A0 .
1
NOTATION
14
• Ist f : A → B bijektiv, dann heißt die1 Abbildung g : B → A mit
g ◦ f = idA und f ◦ g = idB die inverse Abbildung zu f . Man schreibt auch
g = f −1 .
1.9
Notation und Definition
Ist Mn = {1, 2, . . . , n}, dann heißt eine Bijektion Mn → Mn eine Permutation.
Die Menge aller Permutationen von Mn bezeichnet man mit S(n) und heißt die
symmetrische Gruppe.
Eine Permutation, die alle bis auf 2 Elemente festlässt und diese vertauscht,
heißt Transposition. Die Transposition, die i und i + 1 vertauscht, bezeichnet
man mit τi .
1.9.1
Beispiel:
τ2 ∈ S(5)
1.9.2
Notiz
Für jede Transposition τ gilt: τ ◦ τ =: τ 2 = id, also τ −1 = τ .
1.10
Definition (der totalen Ordnung)
Sei X eine Menge. Dann heißt eine Teilmenge R ⊆ (X × X) eine totale Ordnung
auf X, falls gilt:
1. R ist transitiv, d.h. ist (x, y) ∈ R und (y, z) ∈ R, so ist (x, z) ∈ R
2. Für a, b ∈ X mit a 6= b, gilt stets genau eine der beiden Möglichkeiten
(a, b) ∈ R oder (b, a) ∈ R
3. (a, a) 6∈ R für alle a ∈ X
Schreibt man a < b ⇔ (a, b) ∈ R, dann spricht man auch von der Ordnung <.
1.11
Beispiel
Q ist durch < total geordnet: R = {(x, y) ∈ Q × Q|x < y}
1 eindeutig
bestimmte
2
BEWEISTECHNIKEN
2
15
Beweistechniken
2.1
2.1.1
Beweis durch Widerspruch
Beweistechnik
Nutze folgende Tatsache aus:
(A =⇒ B) ⇔ (¬B =⇒ ¬A)
Form des Beweises: Es gelte A
Angenommen ¬B. . . =⇒ ¬A. : Widerspruch. Q.e.d.
2.1.2
Beispiel
Behauptung: Es gibt kein a ∈ Q mit a2 = 2 (a2 = 2 =⇒ a 6∈ Q)
Beweis:
Sei a2 = 2.
Angenommen a ∈ Q.
Dann existieren (p, q) ∈ Z × N, p 6= 0 mit a = pq .
Folglich existieren r, s ∈ N0 mit p = 2r p′ , q = 2s q, p′ , q ′ ungerade, p′ , q ′ 6= 0.
′2
Also folgt aus 2 = 22(r−s) pq′2 ⇔ q ′2 = 22(r−s)−1 p′2 dass 2(r − s) − 1 = 0.
Widerspruch. Q.e.d.
2.2
2.2.1
Beweis durch vollständige Induktion
Beweistechnik
Sei n0 ∈ Z und für jedes n ≥ n0 , n ∈ Z0 eine Aussage A(n) gegeben. Zeige A(n)
ist richtig für alle n ≥ n0 .
2.2.2
Beispiel zur Anwendung dieser Beweistechnik
1. Zeige für alle n ∈ N : 1 + 2 + · · · + n = 12 n(n + 1).
2. Zwischen 2 Mengen mit n Elementen gibt es genau n! Bijektionen.
3. Für h ≥ −1 und n ∈ N0 gilt die Bernoullische Ungleichung: (1 + h)n ≥
1 + hn.
Pn
4. Für a, b ∈ R und n ∈ N0 gilt die binomische Formel: (a+b)n = k=0 nk ak bn−k .
Die Beweismethode beruht auf folgender Tatsache:
Sei W ⊆ N0 eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, mit folgenden Eigenschaften:
1. n0 ∈ W für ein n0 ∈ N0
2. n ∈ W =⇒ (n + 1) ∈ W
Dann gilt W ⊇ {n0 , n0 + 1, n0 + 2, . . . } = N0 \{0, 1, . . . , n0 − 1} = {n ∈
N|n ≥ n0 }.
2
16
BEWEISTECHNIKEN
Daraus erhält man mit W = {n ∈ N|A(n) ist richtig} folgendes Beweisschema:
1. IB (Induktionsbeginn) oder IA (Induktionsanfang): Die Behauptung
ist richtig für n = n0 , denn. . .
2. IA (Induktionsannahme): Sei n ≥ n0 und A(n) wahr
3. IS (Induktionsschritt): A(n) wahr =⇒ A(n + 1) wahr
2.2.3
Beweis von Beispiel (2.2.2)
1. Beweis:
IB: Behauptung ist offensichtlich wahr für n = 1
IA: Sei A(n) wahr für ein n ≥ n0
IS: Dann gilt:
1 + · · · + n + (n + 1) =
=
=
1
2 n(n
+ 1) + (n + 1)
(n + 1)( 12 n + 1)
1
2 (n + 1)(n + 2)
Q.e.d.
2. Beweis:
IB: Die Behauptung ist offensichtlich richtig für n = 1
IA: Die Behauptung sei richtig für ein n ∈ N
IS: Seien X, Y 2 Mengen mit n+1 Elementen. Sei x0 ∈ X. Dann gibt
es nach IB für jedes y0 ∈ Y genau n! Bijektionen zwischen X\{x0 }
und Y \{y0 }. Also gibt es für jedes y0 ∈ Y n! Bijektionen zwischen X
und Y mit f (x0 ) = y0 , also gibt es (n + 1) · n! = (n + 1)! Bijektionen
zwischen X und Y . Q.e.d.
3
17
DIE REELLEN ZAHLEN
3
Die reellen Zahlen
3.1
Bemerkung
Für alle a, b, c ∈ Q gilt:
(a + b) + c
a+b
0+b
= a + (b + c)
= b+a
= b
Für alle a ∈ Q existiert ein b ∈ Q mit a + b = 0 (nämlich b = −a).
3.2
Definition (Assoziativität, neutrales und inverses Element (abelscher) Gruppen)
Unter einer Gruppe (G, ∗) versteht man eine Menge G zusammen mit einer
Abbildung: G × G → G, (a, b) 7→ a ∗ b mit folgenden Eigenschaften:
1. (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) für alle a, b, c ∈ G (Assoziativität)
2. Es existiert ein neutrales Element n ∈ G, d.h. es existiert ein n ∈ G, so
dass für alle a ∈ G gilt: n ∗ a = a
3. Existenz des Inversen: Zu jedem a ∈ G existiert ein Element a∗ ∈ G mit
a∗ ∗ a = n
Eine Gruppe heißt abelsch, wenn für alle a ∈ G gilt: a ∗ b = b ∗ a.
3.3
Beispiele
1. (N, +) und (N0 , +) bilden keine Gruppen, da (3.2.3) nicht erfüllt ist.
2. (Z, +) und (Q, +) bilden Gruppen, welche auch abelsch sind: Das neutrale
Element n ist 0 und das Inverse zu a ist a∗ = −a.
3. (Z, ·) ist keine Gruppe, weil 3.2.3 nicht erfüllt ist.
4. Die symmetrische Gruppe (S(n), ◦) mit der Komposition als Verknüpfung
ist eine nicht abelsche Gruppe.
5. Die Menge der invertierbaren n × n-Matrizen mit der Matrizenmultiplikation bildet eine nichtabelsche Gruppe GL(n, R).
3.4
Notation (von Verknüpfungen)
• Ist klar, welche Verknüpfung ∗ gemeint ist, spricht man auch von der
Gruppe G statt von (G, ∗).
• Ist G abelsch, so schreibt man statt ∗ oft + statt n 0 und statt a∗ −a.
• Schreibt man statt ∗ ·, so schreibt man (meist) statt n 1 und statt a∗ a−1
oder a1 .
3
18
DIE REELLEN ZAHLEN
3.5
3.5.1
Bemerkung (Eindeutigkeit neutraler/inverser Elemente)
Eindeutigkeit des neutralen Elements
Ist (G, ∗) eine Gruppe, so ist das neutrale Element n eindeutig bestimmt: Ist
m ein weiteres Element m ∈ G, mit m ∗ a = a für alle a ∈ G, so existiert nach
(3.2.3) ein m∗ ∈ G mit m∗ ∗ m = n, also
m = m∗ ∗
3.5.2
m
∗ n}
| {z
=n(da m neutral ist)
∗m = m∗ ∗ n ∗ m
=
|{z}
da n neutral
m∗ ∗ m = n
Rechtsinverses gleich Linksinverses
Ist a∗ das inverse Element von a, so folgt stets: a ∗ a∗ = n, denn ist a∗∗ das
Inverse Element zu a∗ , so gilt:
a ∗ a∗ = (a∗∗ ∗ a∗ ) ∗ a ∗ a∗ = a∗∗ ∗ (a∗ ∗ a) ∗ a∗ = a∗∗ ∗ a∗ = n
Analog folgt: Inverse Elemente sind eindeutig bestimmt, für das neutrale Element gilt stets a ∗ n = a, und a∗∗ = a.
3.6
Bemerkung
1. (Q, +) bildet eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0.
2. (Q, ·) ist keine Gruppe, aber (Q\0, ·) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1.
3. Für a, b, c ∈ Q gilt: a · (b + c) = a · b + a · c.
3.7
Definition (des Körpers)
Unter einem Körper versteht man ein Tripel (K, +, ·) bestehend aus
1. (K, +) einer abelschen Gruppe mit neutralem Element 0
2. (K\0, ·) einer abelschen Gruppe, mit neutralem Element 1,
sodass für alle a, b, c ∈ K das Distributivgesetz gilt:
a · (b + c) = ab + ac
3.8
Beispiel
1. (Q, +, ·) ist ein Körper.
2. weitere Beispiele in den Übungen.
3.9
Bemerkung
In einem Körper gilt stets: 0 · x = 0 und (−1) · x = −x für alle x ∈ K.
3
DIE REELLEN ZAHLEN
3.10
19
Definition (von geordneten Körpern)
Ein Körper (K, +, ·) mit einer totalen Ordnung R auf K und < definiert durch
a < b ⇔ (a, b) ∈ R, heißt geordnet, falls gilt:
1. a + x < a + y falls x < y, für alle a ∈ K
2. Ist x < y und a > 0, so gilt: ax < ay
3.11
Beispiel
(Q, +, ·) mit der Ordnung < ist ein geordneter Körper.
3.12
Bemerkung (zu geordneten Körpern)
1. In einem geordnetem Körper gilt stets:
x > 0 ⇔ −x < 0, denn aus x > 0 folgt x + (−x) > −x ⇔ 0 > −x
2. x2 > 0 falls x 6= 0, denn entweder
• x > 0, dann folgt aus (3.11.2) x2 > 0, oder
• x < 0, dann ist x2 = (−x) · (−x) > 0
3.13
Definition
Ist (K, +, ·) ein geordneter Körper, dann schreibt man

 x x>0
0 x=0
|x| :=

−x x < 0
3.14
Bemerkung
Es gilt:
1. |x| ≥ 0 und |x| = 0 ⇔ x = 0.
2. |x · y| = |x| · |y|.
3. |x + y| ≤ |x| + |y|
für alle x, y ∈ K.
3.15
Definition (von Beschränktheit, Maximum, Minimum,
Supremum und Infimum)
1. Sei M eine durch < totalgeordnete Menge, B ⊆ M , dann heißt B nach
oben (bzw. nach unten) beschränkt, falls es ein c ∈ M , mit b ≤ c (bzw.
b ≥ c) für alle b ∈ B gibt. c heißt dann obere (bzw. untere) Schranke von
M . B heißt beschränkt, wenn es eine obere und untere Schranke von B
gibt. (Dabei heißt a ≤ c, dass b < c ∨ b = c gilt).
2. Sei B 6= ∅, B nach oben beschränkt, dann heißt s ∈ M Supremum von B,
wenn gilt:
3
DIE REELLEN ZAHLEN
20
(a) s ist obere Schranke von B
(b) Ist s′ < s, dann existiert ein b ∈ B mit b > s′
Ist das Supremum s ∈ B, dann heißt s ein Maximum von B.
3. Sei B 6= ∅, B nach unten beschränkt, dann heißt j ∈ M ein Infimum von
B, wenn gilt:
(a) j ist untere Schranke von B
(b) Ist j ′ > j, dann existiert ein b ∈ B mit b < j ′
Ist das Infimum j ∈ B, dann heißt j ein Minimum von B.
3.16
Bemerkung (Eindeutigkeit von Suprema/Infima)
Sei M totalgeordnet. B ⊂ M nach oben bzw. unten beschränkt, B 6= ∅. Dann
ist das Supremum, bzw. das Infimum von B, eindeutig bestimmt und wird mit
sup B bzw. inf B bezeichnet.
3.17
Beispiele
1. B = {x ∈ Q|x ≤ 2} ⊂ Q ist nach oben beschränkt und das Maximum von
B ist 2.
2. B = {x ∈ Q|x < 2} ⊂ Q ist nach oben beschränkt und das Supremum
von B ist 2 (z.B. 20 ist obere Schranke von B).
3. B = {x ∈ Z|x < 2} ⊂ Z ist nach oben beschränkt. 1 ist Maximum von B.
3.18
Beispiel
B = {q ∈ Q|q 2 < 2} ⊂ Q ist beschränkt und besitzt kein Supremum.
Beweis:
Wir werden zeigen: Wäre s ein Supremum von B, so wäre s2 = 2.
Angenommen s2 6= 2:
Fall a.) s2 > 2. Dann gilt für s̃ = s − n1 für n > s22s
−2
1. s̃ < s
2. s̃2 = (s − n1 )2 > s2 − 2s
n > 2
Also wäre s̃ eine obere Schranke von B mit s̃ < s, im Widerspruch
dazu, dass s Supremum ist.
4s
1
Fall b.) s2 < 2, dann gilt für b := s + n1 mit n > max( 2−s
2 , 2s )
1. b > s
2. b2 < 2, also b ∈ B, denn
1 2
2x
1
4s
) = s2 +
+ 2 < s2 +
< 2.
n
n
n
n
Also wäre s keine obere Schranke für B, also kein Supremum.
Widerspruch =⇒ s2 = 2
(s +
3
21
DIE REELLEN ZAHLEN
3.19
Definition
Ein geordneter Körper heißt vollständig ⇐⇒ jede nach oben beschränkte Teilmenge besitzt ein Supremum.
3.20
Satz (Vollständiger Körper der reellen Zahlen)
Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen vollständigen, geordneten Körper R,
den wir als Körper der reellen Zahlen bezeichnen.
3.21
Korollar und Notation
Sei x > 0 und n ∈ N, dann existiert ein eindeutig bestimmtes y > 0, y ∈ R mit
y n = x, nämlich
y = sup{y ′ ∈ R|y ′ > 0, y ′n < x}.
1
q
1
Man schreibt y = x n . Weiter schreibt man a p := (ap ) q und a−r =
3.22
1
ar
für r ∈ Q.
Definition (der erweiterten Zahlengerade)
R̄ = R ∪ {−∞, ∞} heißt erweiterte Zahlengerade. Wir definieren:
−∞ < a für alle a ∈ R ∪ {∞}
a < ∞ für alle a ∈ R ∪ {−∞}
∞ + ∞ = ∞, −∞ − ∞ = −∞
a ± ∞ = ±∞ für a ∈ R
(±∞) · a = ±∞ für a > 0, a ∈ R
(±∞) · a = ∓∞ für a < 0, a ∈ R
a
a
∞ = −∞ = 0 für a ∈ R.
a
a
0 = ∞ für a > 0, 0 = −∞ für a < 0, a ∈ R.
3.23
∞
∞
Bemerkung
oder 0 · ∞ ist nicht definiert.
3.24
Notation
B ⊂ R nicht nach oben (bzw. unten) beschränkt, B 6= ∅, so schreibt man
sup B = ∞, (bzw. inf B = −∞).
3.25
Notation
Für a, b ∈ R̄, a < b schreibt man
1. (a, b) = {x ∈ R|a < x < b}
2. [a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}, a 6= −∞, b 6= ∞
3. analog [a, b), (a, b]
Für a, b 6= ±∞ heißt
• (a, b) offenes,
• [a, b] abgeschlossenes,
3
DIE REELLEN ZAHLEN
22
• [a, b), (a, b] halboffenes
Interval. Ist entweder a = −∞ oder b = ∞ (nicht (−∞, ∞)), so spricht man
von ∞-Intervall oder Halbstrahlen. Halbstrahlen, Intervalle und Punkte und ∅
heißen die zusammenhängenden Teilmengen von R.
3.26
Konvention beim Zeichnen (von Intervallen)
• [a, b)
• (a, ∞)
• [0, 1]\{ 21 }
4
23
KOMPLEXE ZAHLEN
4
Komplexe Zahlen
4.1
Definition und Satz (der Addition und Multiplikation)
Die Menge R × R zusammen mit Addition +:
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
und der Multiplikation ·:
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 · x2 − y1 · y2 , x1 · y2 + x2 · y1 )
bildet einen Körper, den Körper der komplexen Zahlen. Das neutrale Element
der Addition ist durch (0, 0) gegeben, das neutrale Element der Multiplikation
ist durch (1, 0) gegeben. Wir bezeichnen diesen Körper mit C und fassen R ⊂ C
mittels j : R → C, x 7→ (x, 0) auf.
Beweis durch Nachrechnen der Axiome:
• Das Inverse der Addition zu (x, y) ist durch (−x, −y) gegeben,
−y
x
• das Inverse der Multiplikation zu (x, y) ist durch ( x2 +y
2 , x2 +y 2 ) gegeben.
4.2
Notiz
Ist j : R → C die kanonische Inklusion, so
j(x + y) = j(x) + j(y)
und
j(x · y) = j(x) · j(y)
Für (0, 1) ∈ C gilt
4.3
(0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = j(−1)
Notation
Wir schreiben i = (0, 1) und (a, b) =: a + bi, also
i2 = −1 = −1 + 0i
und
(a1 + ib1 )(a2 + ib2 )
= a1 a2 + i2 b1 b2 + i(b1 a2 + a1 b2 )
= a1 a2 − b1 b2 + i(b1 a2 + a1 b2 )
4.4
Bemerkung
Es gibt keine Ordnungsrelation auf C, so dass C ein geordneter Körper wird,
denn i2 = −1 < 0 und in einem geordnetem Körper gilt stets x2 > 0 für alle
x ∈ K. Schreiben wir a < b, dann ist a, b ∈ R gemeint.
4
KOMPLEXE ZAHLEN
4.5
24
Notation (komplex konjugierte, Betrag, Argument, Imaginär- und Realteil)
Für z = a + ib ∈ C sei
1. z̄ = a − ib das komplex konjugierte
√
2. |z| := a2 + b2 der Betrag von z
3. ℜ(z) := a (= Re(z)) der Realteil von z
4. ℑ(z) := b (= Im(z)) der Imaginärteil von z
5. Für z 6= (0, 0) sei arg(z) = arctan( ab ) ∈ [0, 2π) für a 6= 0 und arg(z) =
arccot( ab ) ∈ [0, 2π) für b 6= 0 das Argument von z
Konjugation:
Addition:
4.6
Bemerkung (Veranschaulichung der Arithmetik)
• Die Multiplikation mit i entspricht einer Drehung um 90◦ (i(a + ib) =
−b + ia).
4
25
KOMPLEXE ZAHLEN
• Die Multiplikation mit r > 0 entspricht für r > 1 einer Streckung (bzw.
Stauchung für r < 1).
r · (a + ib) = (r, 0) · (a, b) = (ra, rb) = ra + irb
• Die komplexe Konjugation entspricht einer Spiegelung an der reellen Achse
({z ∈ C|ℑ(z) = 0}).
4.7
Bemerkung (Darstellung durch cosinus und sinus)
Ist φ = arg(z), r = |z|, so ist offenbar
z = r(cos(φ) + i sin(φ)) =: reiφ .
Die Multiplikation mit z ist eine Drehstreckung mit dem Streckfaktor r und um
den Winkel φ, wie man leicht nachrechnet, wenn man die Additionstheoreme
benutzt (Beweis später).
z1 · z2
=
=
r1 (cos(φ1 ) + i sin(φ1 )) · r2 (cos(φ2 ) + i sin(φ2 ))
r1 r2 (cos(φ1 ) cos(φ2 ) − sin(φ1 ) sin(φ2 )
+i(cos(φ1 ) sin(φ2 ) + cos(φ2 ) sin(φ1 )))
=
=
r1 eiϕ1 · r2 eiϕ2
4.8
r1 r2 (cos(φ1 + φ2 ) + i sin(φ1 + φ2 )), also
r1 r2 ei(ϕ1 +ϕ2 ) .
Notiz (Weitere Rechenregeln)
Für z ∈ C, zi ∈ C gilt:
1. z · z̄ = |z|2
2.
1
z
:= z −1 =
z̄
|z|2
für z 6= 0
3. ℜ(z) = 12 (z + z̄); ℑ(z) = 12 i(z − z̄)
4. |z| ≥ 0 und (|z| = 0 ⇐⇒ z = 0)
5. |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
6. |z| ≤ |ℜ(z)| + |ℑ(z)|
7. |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | (Dreiecksungleichung)
4
KOMPLEXE ZAHLEN
4.9
26
Bemerkung (Nullstellen von Polynomen)
Die Gleichung z 2 = r hatpfür jedes r ∈ R, r 6= 0 in C genau
p 2 Lösungen, λ1 und
−λ1 . Für r > 0 ist λ1 = |r| ∈ R, für r < 0 ist λ1 = i |r|.
Es ist dann (z 2 − r) = (z − λ1 )(z + λ1 ). Bsp.: x2 + 1 = (x − i)(x + i).
Es gilt sogar: In C hat jedes Polynom
p(z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a0 , aj ∈ C
eine Zerlegung in Linearfaktoren
p(z) = (z − λ1 )n1 · · · · · (z − λj )nj , n1 + · · · + nj = n
Die λi ∈ C sind die Nullstellen des Polynoms p der Vielfachheit ni . Insbesondere
hat z n − reiϕ die Nullstellen
√
n
rei(ϕ+2πk)/n , k = 0, . . . , n − 1.
Sind die Koeffizienten ai alle reell, ai ∈ R, und λi eine Nullstelle von p der
Vielfachheit ni , so ist auch λ̄i eine Nullstelle von p der selben Vielfachheit.