Quantenmechanik

Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Quantenmechanik
Wege zur Quantenmechanik
Joachim Burgdörfer
Institut für Theoretische Physik, University of Technology Vienna,
Wiedner Hauptstraße 8-10/136, A-1040 Vienna, Austria
September 28, 2004
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Spektrale Energiedichte im Interval [ω, ω + dω]:
ε (ω) d ω
Energie
ε (ω) :
Volumen • Frequenzintervall
ε (ω) d ω
=
kB T
•
n (ω)d ω
Statistische Mechanik: Energie / harmonischer Freiheitsgrad
Zahl der Moden
n(ω) :
Volumen • Frequenzintervall
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Dichte der elektr
netischen
Moden
Frequenzintervall
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Bestimmung der Zahl der Moden
Ex (~r ) = A sin(kx x) sin(ky y ) sin(kz z)
Randbedingung:
Kantenlänge L
Ex |
= 0 Box mit
Box
0≤x ≤L
0≤y ≤L
0≤z ≤L
kx L = n x π
ky L = n y π
kz L = n z π
~k = (kx , ky , kz ) = π (nx , ny , nz )
L
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Zahl der Gitterpunkte auf dem Gitter ganzer Zahlen
in der Kugel:
N(R0 ) =
4π 3
R
3 0
R0 = (nx2 + ny2 + nz2 )1/2
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Zahl der Moden mit Frequenzen:
π
c R0
L
3
π
L
2 4π 3
N(ω0 ) =
R0 =
ω03
8
3
3 c3 π
ω ≤ ω0 = k0 c =
Faktor 2 :
Polarisationen (rechts) (links)
Faktor 8 :
23 (nur positive kx , ky , kz für stehende Wellen)
1 dN(ω)
1 π
n(ω) =
= 3 3
V dω
L c
=
3
L
ω2
π
ω2
π2 c 3
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Rayleigh Jeans-Gesetz:
kB T ω 2
ε(ω) =
π2 c 3
=⇒
“Ultraviolett”–Katastrophe
Unendliche Energiedichte
Z∞
dω ε(ω) −→ ∞
ε =
0
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Widerspruch zum Experiment (Wien’sches
Verschiebungsgesetz)
ε (ω)
−→
ω 3 e −A ω/kB T
ω→∞
ωmax
kB T
=
Joachim Burgdörfer
const
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Planck’sche Strahlungsformel (1900):
Fit formel ≡ exakte Theorie
~ω 3
1
ε(ω) =
πc 3 e ~ω/kB T − 1
=⇒
=⇒
Wien’sches Gesetz für ω → ∞
Rayleigh-Jeans für ω → 0
1
e ~ω/kB T − 1
≈
kB T
~ω
Universelle Konstante:
~ ω = hν
h
~ =
= 1.05 × 10−34 Joule × sec
2π
h = 6.62 ×10−34 Joule × sec
“Planck’sches Wirkungsquantum”
Z
[h] = [Wirkung ] =
L dt
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
“Lichtelektrischer Effekt” (Hallwachs und Hertz,
1887)
=⇒
Schwelle Funktion der Frequenz,
unabhängig von Intensität
=⇒
Energie der ausgelösten Elektronen frequenzabhängig
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Klassische elektromagnetische Theorie:
Energiefluß (Poynting Vektor)
| ~S |
=
c ~ ~
|E × H |
4π
∼
I ntensität
Einstein’s Erklärung des Photoeffekts (1905)
I
Teilchencharakter der elektromagnetischen
Strahlung:
Elementarquanten “Photonen”
E = hν = ~ω
I
Planck’sche Konstante kombiniert mit Quanten
des elektromagnetischen Feldes
“Boltzmann” Faktor in Wien’sches Gesetz:
I
I
e −~ω/kB T = e −Eph /kB T
Einfallende elektromagnetische Strahlung:
“Photonengas”
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Energieerhaltung beim Photon – Elektronstoß:
~ω
=
Ke + W
W:
Austrittsarbeit (Bindungsenergie)
des Elektrons im Festkörper
Ke :
kinetische Energie des emittierten Elektrons
Schwelle:
Maximalenergie:
>
~ω
Ke
≤
W
~ω − W
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Welle — Teilchen — Dualismus
Klassisch
Quantenmechanik
Elektromagnetische
Strahlung:
Teilchen:
“Photonen”
~ (~r , t), H(~
~ r , t)
E
⇐⇒
Eph = ~ω
Welle
pph = Eph /c = ~ k =
mechanisches Teilchen:
Materiewelle ψ(~r )
Ep = 21 mv 2
Ep = ~ω
p = mv
p=
h
λ
h
λ
= –~
Joachim Burgdörfer
λ
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Zuordnung der kinematischen Teilcheneigenschaften:
Eph
=
Energie des Photons
pph =
~ω
Kreisfrequenz der Welle
Eph
~ω
2π
h
=
= ~k = ~
=
c
c
λ
λ
Impuls des Photons
Strahlung
Wellenlänge der
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Davisson – Germer – Experiment (1927):
Überprüfung der De Broglie-Hypothese (1923)
Zuordnung von Wellencharakter zu Bewegung von
Teilchen (Elektronen)
h
~
me v = pe =
= –
λ
λ
Teilchenimpuls
Ee = 12 me v 2
Wellenlänge der Teilchenbewegung
(“Materie”-Welle)
=
~ω
kinetische Energie
Frequenz der Materiewelle
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Balmer (1885) beobachtet Regularität diskreter
Spektrallinien:
νab = R
1
1
− 2
2
na nb
R = Rydberg-Konstante
−→
Widerspruch zu mechanischen
und elektromagnetischen Modellen
der Kontinua
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Andere Effekte, die zur Formulierung der
Quantentheorie beitrugen:
–
Compton Effekt (A. Compton, 1922):
inelastische Photon - Elektron-Streuung
Stern-Gerlach Experiment (1922):
“Richtungsquantisierung”
–– Franck-Hertz Experiment (1914):
Diskrete Schwellen für Elektronenstoß-Anregung
– Rutherford-Streuung (1908):
Aufklärung der Atomstruktur
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
De Broglie-Hypothese: Materiewelle für freies
Teilchen
ψ(x, t) = A e i (kx−ωt)
Welche Differentialgleichung erfüllt die De Broglie
Hypothese?:
∂
ψ(x, t) = E ψ(x, t)
∂t
2
~2
1 ∂
~2 k 2
p2
ψ(x, t) =
ψ(x, t) =
ψ(x, t)
2m i ∂x
2m
2m
i~
E – P Relation (”Dispersionsrelation”) für freies
Teilchen:
E = H(x, p) =
=⇒
i~
p2
2m
~2 ∂ 2
∂
ψ(x, t) = −
ψ(x, t)
∂t
2m ∂ x 2
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
1. Verallgemeinerung:
E – P Relation für Teilchen
im Potential V (x)
E = H(x, p) =
=⇒
i~
∂
ψ(x, t) =
∂t
−
p2
+ V (x)
2m
~2 ∂ 2
+
V
(x)
ψ(x)
2m ∂x 2
2. Verallgemeinerung: E – P Relation in 3D
∂
i~ ψ(~r , t) =
∂t 2 2
~
∂
∂2
∂2
−
+
+
+
V
(~
r
)
ψ(~r , t)
2m ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
•
Ein–Teilchen Schrödinger-Gleichung
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Regeln zur Aufstellung der Schrödinger-Gleichung
1) Korrespondenz — Identitäten
E
←→
~p
←→
px
←→
∂
∂t
~ ~
∇
i
~ ∂
i ∂x
i~
2. Dispersionsrelation von der Hamilton’schen
Funktion
E=
b i~
∂
=
ˆ H(~r , ~p )
∂t
3. Lineare, homogene Wellengleichung für
Materiewellen
i~
∂
ψ(~r , t) = H(~r , ~p ) ψ(~r , t)
∂t
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
3. Verallgemeinerung: N–Teilchen–System
i~
∂
ψ(~r1 , . . . ~rN , t) =
∂t

N
X

i=1

N
~2
1 X
2
∇ + V1 (~ri ) +
V2 (~ri − ~rj ) ψ(~
r1 . . . r~N , t)
−
2mi i
2
i6=j
–
lineare, homogene partielle Differentialgleichung
–
parabolische Differentialgleichung
–
Superpositionsprinzip: Falls ψ1 , ψ2 Lösung
dann ist ψ 0 = a ψ1 + b ψ2 auch Lösung
(−→
“Paradoxien”)
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Born’sche statistische Wahrscheinlichkeitsinterpretation von ψ:
p(x, t) dx = |ψ(x, t)|2 dx
Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Intervall
[x, x + dx] zu finden
ψ: “Zustandsfunktion”, “Wellenfunktion”
Verallgemeinerung zu 3D:
p (~r , t) d 3 r = |ψ(~r , t)|2 d 3 r
Wahrscheinlichkeit des Teilchens im Volumen
(x, x + dx)
(y , y + dy )
(z, z + dz)
zu finden:
|ψ (x, t)|2 : Wahrscheinlichkeitsdichte
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Bestimmung der Konstanten aus der
Normierungsbedingung für Wahrscheinlichkeiten:
Z
Z
d 3 r p (~r ) =
d 3 r |ψ(~r )|2
1=
Normierung: nicht-lineare Operation
Zeitabhängige und zeitunabhängige SG:
Allgemeiner Fall: Hamiltonfunktion ist zeitabhängig:
H (~r , ~p , t)
=⇒
Zeitabhängige SG
i~
∂
ψ(~r , t) = H(~r , t) ψ(~r , t)
∂t
Spezialfall: Hamiltonfunktion ist zeitunabhängig:
H (~r , ~p )
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
=⇒
Transformation auf zeitunabhängige
Schrödinger-Gleichung möglich:
e r ) e −iωt
ψ(~r , t) = ψ(~
(“stationärer Zustand”)
e r ) = H(~r ) ψ(~
er)
E ψ(~
2
e r ) = E ψ(~
er)
− 2~m ∇2 + V (~r ) ψ(~
Elliptische partielle Differentialgleichung
=⇒
Analogie zur skalaren Helmholtzgleichung
der Elektrodynamik
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Zur Erinnerung (analytische Mechanik):
Hamilton-Jacobi-Gleichung für Wirkung S(~r , t)
(Prinzipalfunktion):
∂S
H q1 . . . qN ,
···
∂q1
∂S
∂qN
+
∂S
=0
∂t
De Broglie-Welle:
~
ψ(~r , t) = A e i(k ~r −ω t)
= A e i S(~r ,t)/~
S(~r , t) = ~p ~r − E t
Wirkung eines freien klassischen Teilchens
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Verallgemeinerung auf Teilchen im Potential V (~r ):
ψ(~r , t) = A e i S(~r , t)/~
Einsetzen in Schrödinger-Gleichung:
~ S(~r , t))2
(∇
∂S (~r , t)
+ V (~r ) +
=
2m
∂t }
|
{z
Hamilton-Jacobi
i~ 2
∇ S(~r , t)
|2m {z
}
Quantenkorrektur
=⇒
Quantenmechanische Verallgemeinerung
der Hamilton-Jacobi Gleichung
= Schrödinger-Gleichung
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Ebene Welle: ψ(x, t) = A e i(kx−ωt)
•
vollständig delokalisiertes Teilchen
|ψ(x, t)|2 = |A|2
•
unabhängig von x
nicht-normierbar
R∞
dx|ψ|2 −→ ∞
−∞
Bildung von Wellenpaket:
Z∞
ψ(x, t) =
~ k2
dk
2 2
e i(kx− 2m t) A e −(k−k0 ) d
(2π)1/2
−∞
•
•
•
Superposition von ebenen Wellen
mit verschiedenem k mit Gewicht
2 2
e −(k−k0 ) d
Fouriertransformation von
2 2
G (k) = A e −(k−k0 ) d
Faltungsintegral einer ebenen Welle
mit lokalisierten Funktionen im “k-Raum”:
φ=ψ ? G
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Berechnung des Integrals durch quadratische
Ergänzung:
2
~
−k 2 i
t + d 2 +k ix + 2k0 d 2 −k02 d 2
|
{z
}
2m
|
{z
}
2b
a
2
2
= - a k − ba + ba − c
" 2
Z∞
2 #
A
b
b
φ(x, t) = √
exp
−c
dk exp −a k −
a
a
2π
−∞
Gauss-Integral:
Z∞
dx e −x
2
α
r
=
π
α
−∞
=⇒
A
φ(x, t) = q
2
i ~m
t + 2d 2
"
exp −k02 d 2 +
(i x2 + k0 d 2 )2
#
2
~
i 2m
t + d2
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Wahrscheinlichkeitsdichte:
|φ(x, t)|2 =
2d 2
A2 ~
(x − v0 t)2
p
exp − 2
2
2
2
d
(1
+
∆(t))
1 + ∆(t)
v0 = ~ k0 /m
∆ (t) =
~2 t
2m d 2
Konsequenzen:
a)
Peak der Gauss-Verteilung im Ortsraum
folgt der klassischen Bewegungsgleichung
x = v0 t
b)
Gauss-Verteilung im Impulsraum (Wellenzahlraum)
impliziert Gaussverteilung im Ortsraum
(Fourier-Reziprozität)
c)
Wellenpaket ist normierbar
R∞
dx |φ(x, t) |2 = 1
−∞
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Allgemeine Form der normierten Gaussverteilung:
(x−x̄)2
=⇒
|φ(x, t)|2 = √2π1 σ2 e − 2 σ2
p
σ(t) = d 1 + ∆ (t)2
=⇒
|φ(x, t)|2 = √
=⇒
Lokalisierung im Ortsraum
d)
Breite ist zeitabhängig:
1
2πd 2 (1+∆(t))2
h
i
2
0 t)
exp − 2d(x−v
2 (1+∆(t))2
das Wellenpaket “zerläuft”
Zum Vergleich: Für elektromagnetische Wellen im
Vakuum:
ω=ck
vg =
∂ω
∂k
=c
vφ = ω/k = c
unabhängig von k



Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
ω=
~k 2
2m
~k
= v /2
2m
~k
vg =
=v
m
vφ =
=⇒
e)




abhängig von k



Materiewellen sind “dispersiv”
Beispiel für Heisenberg’sche Unschärferelation:
Lokalisierung des Wellenpakets im Impulsraum
σ (t = 0) = d
σk =
σk • σ ≥
1
1
= (σ(t = 0))−1
2d
2
1
2
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Bildung von Mittelwerten (= Erwartungswerten)
h x it =
R∞
dx x p(x) =
−∞
R∞
dx x | φ(x, t) |2
−∞
Formale Umschreibung:
R∞
=
dx φ∗ (x, t) x φ(x, t)
−∞
= hφ | x | φi
Dirac’sche “bracket” Notation:
h φ|x |φ i:
|φ
|x|
φ∗ |
Integration,
Erwartungswert-Bildung
Matrixelementbildung
: “ket”, Wellenfunktion
: Observable, Operator
: Komplex-konjugierte Wellenfunktion
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Anmerkung:
Die Ähnlichkeit zur Notation in der
Hilbertraum-Theorie (siehe “Höhere Analysis”) ist
kein Zufall!
Z∞
hxit = v0 t
dx |φ(x, t)|2
−∞
Z∞
+
dx (x − v0 t)|φ(x, t)|2
−∞
= v0 t
Beispiel für das Ehrenfest-Theorem:
“Erwartungswerte quantenmechanischer Observablen
folgen den klassischen Bewegungsgleichungen für
Potential deren Polynomgrad ≤ 2 ist”
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Erwartungswert für Impuls:
m
d
hxit = mv0
dt
Z∞
dx φ∗ (x, t) p φ(x, t)
hpit =
−∞
= hφ|p|φi
Z∞
dx φ∗ (x, t)
=
~ d
φ(x, t)
i dx
−∞
Trick: Fourierintegral
Z∞
dx φ∗ (x, t)
~ d
i dx
−∞
Z∞
−∞
=
|A|2
2π
Z∞
dk
√ e i(kx−ωt) A exp (−(k − k0 )2 d 2 )
2π
Z∞
dk
dk 0 ×
−∞
−∞
× exp −(k − k0 )2 d 2 − (k 0 − k0 )2 d 2 ×
× exp (−i(ω − ω 0 ) t) ~k
Z∞
0
dx e ix(k−k )
−∞
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Identität für δ Distribution
( = δ-“Funktion”)
2π δ(k − k 0 ) =
Z∞
0
dx e ix(k−k )
−∞
Z∞
h p it = | A |
dk (~ k) exp (−2d 2 (k − k0 )2 )
−∞
= ~ k0 = p0 = mv0
=⇒
m
d
hxit = ~ k0 = h p it
dt
(Ehrenfest)
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Z
d 3 r ψ ∗ (~r , t) ψ(~r , t)
N =1 =
0 =
dN
=
dt
Z
d 3r
∂ ∗
ψ (~r , t) ψ(~r , t) +
∂t
+ ψ ∗ (~r , t)
=
Z
1
i~
∂
ψ(~r , t))
∂t
d 3 r [ψ ∗ (~r , t) H ψ(~r , t) −
−(H ψ ∗ (~r , t)) ψ (~r , t)]
=
1
i~
Z
d 3r
− ψ ∗ (~r , t)
Z
= −
~2 ∇ 2 ∗
ψ (~r , t) ψ(~r , t) −
2m
~2 ∇2
ψ (~r , t)
2m
~ ψ ∗ ~ ∇ψ
~ −ψ ~ ∇
~ ψ∗
d 3~r ∇
2m
2m
{z
}
|
~j (~r , t)
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Wahrscheinlichkeitsstromdichte
~J(~r , t) = Re ψ ∗ ~ ∇
~ ψ
mi
dN
=0
dt
Kontinuitätsgleichung:
∂ρ
~ ~J(~r , t) = 0
(~r , t) + ∇
∂t
mit
⇐⇒
ρ (~r , t) = | ψ(~r , t) |2
Klavierstimmer-Technik: Test auf Schwebung
Messdauer für Schwebung: ∆T
∆T
∆ν :
−→
&
1
∆ν
Frequenzverstimmung
∆T ∆ν
&
1
∆T ∆ω
&
1
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Für Materiewellen:
∆T ∆E
&
~
Für alle komplementären Variablen:
∆px ∆x
∆py ∆y
&
&
~
~
Für das Wellenpaket:
∆px ∆x = ~ σk • σ =
~
~p
1 + ∆(t)2 &
2
2
Zerfließendes Wellenpaket breiter als von minimaler
Unschärfe gefordert.
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
H(x, p) =
p2
~2 d 2
+ V (x) = −
+ V (x)
2m
2m dx 2

∞
V (x) =
0

∞
Joachim Burgdörfer
x ≤0
0<x <L
x ≥L
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Schrödinger-Gleichung für stationäre Zustände
~2 d 2
−
+ V (x) ψ(x) = E ψ(x)
2m dx 2
Randbedingungen
ψ(x = 0) = ψ(x = L) = 0
Allgemeine Lösung:
ψ(x) = A sin kx + B cos kx
=⇒
B =0
=⇒
kL = nπ
=⇒
kn = n
π L
Normierung:
1 = A2
ZL
0
dx sin2 kn x = A2
L
2
2
h sin kn x i = 1/2
r
2
A =
L
da
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Beispiel eines Sturm-Liouville Eigenwertproblems:
2
d
+ W (x) ψ(x) = λ ψ(x)
d x2
|
{z
}
D (x)
mit Dirichlet-Randbedingungen ψ(x1 ) = ψ(x2 ) = 0
λn
ψn (x)
:
:
Eigenwert
Eigenfunktion
Analogie zum algebraischen Eigenwertproblem:
Av = λv
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Normierte Eigenfunktionen
r
2
ψn (x) =
sin(kn x)
L
kn =
nπ
L
Matrix
←→
Differentialoperatoren D (x)
Eigenvektoren
←→
Eigenfunktionen
Eigenwert
←→
Eigenwert
Eigenschaften des Sturm-Liouville Eigenwertproblems:
1)
Eigenwerte sind nach Knotenzahl geordnet
~2 π 2 2
E : E0 , E1 E2 , . . .
En = 2m
n
L
k : 0, 1, 2, . . .
n−1
2)
Eigenfunktionen zu verschiedenen Eigenwerten
sind “orthogonal”
Z
dx ψn∗ (x) ψm (x) = δm,n = h ψn | ψm i
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Beweis:
2
L
ZL
dx sin(kn x) sin(km x)
0
=
1
L
ZL
dx [cos(kn − km )x − cos(kn + km )x]
0
=
=
1
L

0








1
sin(kn − km )L sin(kn + km )L
−
kn − km
kn + km
kn 6= km
kn = km
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
3)
Charakteristischer Verlauf der Wellenfunktion
2m
d2
+ 2 E − V (x)
dx 2
~
ψ(x) = 0
d2
∼ kinetische Energie: Krümmung der Wellenfunktion
dx 2
(E − V (x)) > 0 klassisch erlaubtes Gebiet
=⇒
Krümmung negativ, zur Achse hin
(E − V (x)) < 0 klassisch verbotenes Gebiet
=⇒
Krümmung positiv, von Achse weg
(E − V (x)) = 0 klassischer Umkehrpunkt
=⇒
Wendepunkt der Wellenfunktion
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Rechteckige Barriere:
V (x) =























0
x ≤0
V0
0<x <L
0
x ≥L
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Schrödinger-Gleichung für 3 Bereiche:
I:
−
~2 d 2
ψ(x) = E ψ(x)
2m dx 2
II:
−
~2 d 2
ψ(x) = (E − V0 ) ψ(x)
2m dx 2
III:
−
~2 d 2
ψ(x) = E ψ(x)
2m dx 2
Streuproblem: Freies (nicht-gebundenes) Teilchen
mit Energie E läuft ein
Klassisch
a)
Subbarrieren-Streuung:
E < V0
Rcl = 1
Tcl = 0
b)
Superbarrieren-Streuung:
E > V0
Rcl = 0
Tcl = 1
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Quantentheorie:
Subbarrierenstreuung
~2
(E − V0 ) = −κ2 < 0
2m
κ2
reell
Lösungsansatz
I:
ψ(x) = A e ikx + B e −ikx
II:
ψ(x) = C e −κx + D e κx
III:
ψ(x) = F e ikx + G e −ikx
ψ(x) ist C 1 Funktion:
=⇒ 4 Bedingungen (“matching”)
ψ I (0) = ψ II (0)
d I
d II
ψ (0) =
ψ (0)
dx
dx
ψ II (L) = ψ III (L)
d III
d II
ψ (L) =
ψ (L)
dx
dx
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Zusätzlich: Normierungsbedingung
“Streu-Randbedingung”
auslaufende (einlaufende) Welle
Matrixformulierung der matching-Bedingungen:
A+B = C +D
ik(A − B) = κ (D − C )
A
B
=
P
1
2




 
κ κ  C 
1+

ik
ik  






κ κ  
 
1−
1+
D
ik
ik

=
C
D
1−
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls



  C 


 1−





 = 1 




2  






1+
D
|
A
B
ik
ik


F 
eκL−ikL  













ik
ik



eκL−ikL
1−
e−κL−ikL
G
κ
κ
{z
}
Q
κ
eκL+ikL
= P
•
Q
F
G
1+
κ
= M
F
G
M:
Transfermatrix (rechts −→ links
M−1
Inverse Transfermatrix (links −→ rechts )
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
 




M = 





η=
S:
κ
k
+
cosh Lκ +
−
k
κ
iη
2
ε=
iε
2
sinh κL eikL
k
−
2
cosh κL −
k
κ
S-Matrix (Streumatrix)
(einlaufend −→ auslaufend)
Joachim Burgdörfer
sinh κL e−ikL
sinh κ L eikL
κ
iη
Quantenmechanik
iε
2
sinh κL e−ikL
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
B
F
=
S
A
G
Streu- Randbedingungen:
A=1
(beliebig)
G =0
S11 =
M21
M11
S12 = M22 −
S21 =
1
M11
S22 = −
M12 M21
M11
M12
M11
Transmissionskoeffizient:
2
F 1
T = = | S21 |2 =
A
|M11 |2
=
1
2
cosh2 κL + ε4 sinh κL
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
KL 1
Grenzfall
T
'
e
−2κL
4
1+ε2 /4
Tunnel-Effekt
Barrieren-Durchdringungsfaktor
T 6= 0
“Tunneleffekt”
Eigenschaften der Streumatrix:
Erhaltung der Stromdichte
j (x) =
~
2mi
j=
~k
m
ψ ∗ (x)
d
d ∗
ψ(x) −
ψ (x) ψ(x)
dx
dx
links:
1 − |S11 |2
rechts:
j=
~k
|S21 |2
m
=⇒ 1 = |S11 |2 + |S21 |2
= R
+
T
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Flußerhaltung für beliebige Streu- Randbedingungen
| A |2 − | B |2
=
| F |2 − | G |2
| A |2 + | G |2
=
| B |2 + | F |2
(B ∗ F ∗ )
B
F
= (A∗ G ∗ )(S T )∗ S
= (A∗ G ∗ ) S + S
=⇒
A
G
A
G
S + S = 1I
Unitarität der S-Matrix
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Physikalischer Zustand des Systems
⇐⇒ “Zustandsvektor”, “ket”| ψ i
| ψ i Element des Hilbertraums H
Eigenschaften von H:
a)
isomorph
C∞
b)
Skalarprodukt
h ψ1 | ψ2 i :
- Bilinearform
h ψ1 | α ψ2 + β ψ3 i = αh ψ1 | ψ2 i + β h ψ1 |ψ3 i
h α ψ2 + β ψ3 | ψ1 i = α∗ h ψ2 | ψ1 i + β ∗ h ψ3 | ψi
h ψ1 | ψ2 i = h ψ2 | ψ1 i∗
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
- Schwarz’sche Ungleichung:
| h ψ1 | ψ2 i|2 ≤ h ψ1 | ψ1 i h ψ2 | ψ2 i
c)
Norm via Skalarprodukt
k ψ k2 = h ψ | ψ i
d)
Existenz eines vollständigen Basissystems
{φn } {n = 1, . . . ∞} mit abzählbar vielen Elementen
|ψi =
∞
P
ai | φ̂i i
i=1
“Typischer Fall”:
2
H =
b L
Z
hψ1 |ψ2 i =
b
d 3 r ψ1∗ (~r ) ψ2 (~r )
Physikalische Observablen A
Operatoren Â
⇐⇒
lineare
Â(α|ψ1 i + β|ψ2 i) = αÂ|ψ1 i + β Â|ψ2 i
~ d
Beispiel
p ←→
i dx
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Physikalische Meßwerte ⇐⇒
Eigenwerte (Erwartungswerte)
von Â
 | ψ i = a|ψi
hψ|Â|ψi = ahψ|ψi
hψ|Â|ψi
a =
hψ|ψi
(Annahme: hψ|ψi = 1 )
a reell ⇐⇒ Â hermitesch ∗
Für Matrizen:
A† = AT = A
Matrixelemente:
A∗ij = Aji
Dirac Notation:
h i | A | j i∗ = h j | A | i i
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Bemerkung:
Für Dirac brackets: hψ1 |(A|ψ2 i) = hψ1 |A† |ψ2 i = (hψ1 |A) |ψ2 i
Klammer für hermitesche Operatoren unnötig
=⇒
symmetrische Dirac-Bracket-Notation
hψ1 | A | ψ2 i
Beispiel:
Linearimpuls für box-Eigenfunktion
ZL
hψn |(p̂|ψm i) =
dx ψn∗ (x)
~ d
ψm (x)
i dx
0
partielle Integration
ZL
=
−
dx
~ d ∗
ψn (x) ψm (x)
i dx
0
ZL
=
dx
∗
~ d
ψn (x) ψm (x)
i dx
0
= (hψn | p̂ ) | ψm i
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Wichtige Eigenschaften hermitescher Operatoren:
a)
Eigenwerte sind reell:
A|ψi = a|ψi
b)
a ∈ IR
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten
sind orthogonal
A | ψ1 i = a1 | ψ1 i
A | ψ2 i = a2 | ψ2 i
Falls a1 6= a2
=⇒ hψ1 |ψ2 i = 0
Falls entartet:
h ψ1 | ψ2 i =
6 0
Schmidt-Gram Orthogonalisierung:
=⇒ h ψ̃1 |ψ̃2 i = 0
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
“Vollständiges orthonormales System” (VONS)
{| φn i }n=1 ...∞
mit
Basis in H
h φn | φm i = δnm
X
|ψi =
an | φn i
n
mit
an = h φn | ψ i
Beispiel: Box-Eigenfunktionen
r
2
φn (x) =
sin (kn x)
L
Basiseigenschaft:
N
X
an | φn i |ψi −
n=1
hψ|ψi =
=
∞
X
n=1
∞
X
−→
0
N→∞
|an |2
|h φn | ψ i |2
n=1
(Parseval’sche Gleichung)
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Konstruktion des Einheitsoperators (“vollständige 1”)
mit VONS:
X
1I =
|φn ih φn |
n
Beweis:
!
1I | ψ i = | ψ i
=
X
| φn i h φn | ψi
n
=
X
| φn i an
n
= |ψi
Spektraldarstellung des hermiteschen Operators:
X
b=
A
| φn i λn h φn |
n
mit
λn : Eigenwert
| φn i : Eigenvektor
Annahme: {| φn i} bilden VONS des Hilbert (Unter)
Raumes
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
e ikx
e ikx
= ~k √
p̂ √
2π
2π
=⇒
Eigenwertgleichung für kontinuierlichen Eigenwert ~ k
=⇒
p̂ | ψk i = ~k| ψk i
| ψk i nicht ∈ H
Anstelle Quadratintegrabilität
Z
h ψk | ψk 0 i =
dx ψk∗ (x) ψk 0 (x)
Z
dx ix (k 0 −k)
=
e
2π
0
= δ (k − k)
Generalisierte Orthonormalitätsrelation
δn, m
−→
δ(k 0 − k)
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Eigenvektoren des kontinuierlichen Spektrums:
=⇒
Raum der Distributionen
Dualraum der linearen Funktionale
für lokalisierte Funktionen
Beispiel:
Z
dk
2 2
√ e ikx e −(k−k0 ) d
hψk | G i =
2π
( −→ “Wellenpaket”)
Vollständigkeitsrelation:
(Trick: Symmetrie k ←→ x in ebener Welle)
Z
dk ik(x−x 0 )
δ(x − x 0 ) =
e
Z 2π
=
dk ψk (x) ψk∗ (x 0 )
Z
=
dk hx | ψk i hx 0 | ψk i∗
Z
=
dk hx | ψk i hψk | x 0 i
Z
= hx |
dk |ψk ihψk | | x 0 i
|
{z
}
1I
δ(x − x 0 ) = hx | x 0 i
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Fourierrelationen:
δ(k)
←→
e ikx
δ(x)
←→
e −ikx
Beispiel:
Fouriertransformation von δ(k − k0 )
Z
dk ikx
1
√
e δ(k − k0 ) = √
e ik0 x
2π
2π
Allgemeine Spektraldarstellung: Diskretes und
kontinuierliches Spektrum:
b
A
=
X
|n
Z
| ψn i λn h ψn | +
{z
}
|
dλ | ψλ i λ h ψλ |
{z
}
direkte Summe von Unterräumen
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Beispiel:
H
Hamiltonoperator für ein gebundenes System
mit endlichem Potential
=
X
| ψn i En h ψn |
|n
{z
}
gebundene Zustände
Z
dE | ψE i E h ψE |
+
|
{z
}
Streuzustände
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Verknüpfung von Operatoren:
A ◦ B |ψ i = A (B | ψi )
Nicht kommutativ:
A ◦ B 6= B ◦ A
Beispiel:
x ◦ Px | ψi = x (Px | ψi)
Px ◦ x | ψi = Px (x | ψi)
Klassisch:
x Px − Px x = 0
QT:
x ◦ Px − Px ◦ x =
6 0
~ d
~ d
x
−
x ψ(x) =
i dx
i dx
~ d
~
~ d
x
− −x
ψ(x) = i ~ ψ(x)
i dx
i
i dx
=⇒
x Px − Px x = i~
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Kommutatoralgebra:
A◦B
−→
[A, B] = AB − BA
[x, px ] = i~
Eigenschaften der Kommutatoralgebra:
[A, B] = −[B, A]
[A, A] = 0
[A, β B + γ C ] = β [A, B] + γ[A, C ]
[A, [B, C ]] + [B, [C , A]] + [C , [A, B]] = 0
(Jacobi-Identität)
Für Kommutatoren mit Strukturkonstante i ~:
A, B sind komplementäre Variable
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Bemerkung:
Die Kommutator-Algebra komplementärer Variabler
korrespondiert zu Poisson-Klammer für kanonisch
konjugierte Variable
[x, px ]
=
i~
[qi , pj ]
=
δij
Kanonisch konjugierte Variable sind (i.a.)
komplementär
Unschärfeprinzip für komplementäre Variable
Fluktuationsoperator
∆ A = A − hAi
∆ B = B − hBi
Streuung:
h ( ∆ A )2 i
Standardabweichung:
σA =
Vereinfachung:
hAi = hBi = 0
1/2
h (∆ A)2 i
(shift)
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Für beliebiges | ψ i :
h(∆A)2 i = hψ| A2 | ψi
h(∆B)2 i = hψ| B 2 | ψi
=
=
hA ψ | A ψi
hB ψ | B ψi
Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung:
hA ψ |A ψihBψ | Bψi ≥ | h A ψ | B ψi |2
= | h ψ | A B | ψi |2
Operatoridentität:
AB
=
1
1
[A, B] + {A, B}
2
2
[A, B]
=
Kommutator
{A, B}
=
Antikommutator
=
AB + B A
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Falls A, B hermitesch
=⇒
[A, B]
anti-hermitesch
(Erwartungswert imaginär)
+
[A, B] = − [A, B]
{A, B}
=⇒
hermitesch
(Erwartungswert reell)
2
|hψ|AB|ψi|
1
=
|hψ|[A, B] + {A, B} |ψi|2
4
1 =
|hψ|[A, B]|ψi|2 + |hψ| { A, B } |ψi|2
4
=⇒
1
| hψ|[A, B]|ψ i|2
4
~2
(komplementär)
=
4
h(∆ A)2 ih(∆ B)2 i ≥
=⇒
σA σB ≥
~
2
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Menge kompatibler Observablen:
{A1 , . . .
AN }
falls [Ai , Aj ] = 0 für alle i, j
A und B sind kompatibel wenn sie ein gemeinsames
VONS
besitzen.
A | φai , bj i = ai | φai , bj i
B | φai , bj i = bj | φai , bj i
Spektraldarstellung
=⇒
A
=
X
=
X
=
X
|φai , bj i ai hφai , bj |
i,j
B
|φai , bj i bj hφai , bj |
i,j
AB
|φai , bj i ai bj hφai , bj |
i,j
=
BA
=
ai | φai , bj i
⇐=
A | φai , bj i
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Entwicklung nach Eigenzuständen von B
| φai i
=
X
βj | φ bj i
j
(A − ai )| φai i = 0
B(A − ai ) | φai i = 0
= (A − ai ) B | φai i
= (A − ai )
X
βj bj | φbj i = 0
j
=
X
βj bj (A − ai ) | φj i = 0
j
Lineare Unabhängigkeit:
(A − ai ) | φbj i = 0
=⇒
| φ bj i
ist Eigenvektor von A
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Lösung der Schrödingergleichung:
Bestimmung eines (des) VONS für den maximalen
Satz kompatibler Observablen einschließlich H:
[ H, Ai ] i=1, ...N
mit
[ H, Ai ] = 0
[ Ai , Aj ] = 0
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Hamiltonfunktion:
H=
p2
1
+ m ω2 x 2
2m 2
Lösungen:
x(t) = A sin ω t + B cos ω t
v (t) = ẋ(t) = A ω cos ω t − B ω sin ω t
Betrachte spezielle Schwingung:
bei t = 0 soll Teilchen an einem Umkehrpunkt sein
x(0) = xU
und v (0) = 0
x(t) = xU cos ω t
q
v (t) = −ω xU sin ω t = ± ω xU2 − x(t)2
Klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit:
P∝
1
1
∝p 2
v
xU − x 2
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Potential:
V (x) =
1
m ω2 x 2
2
Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung:
~2 d 2
1
2 2
−
+
m
ω
x
ψ(x) = E ψ(x)
2 m dx 2 2
Energieeinheit:
~ω
Oszillatorlänge:
r
~
x0 =
mω
→
→
E = ~ω
x = y x0
y=
x
x0
ψ(x) = ψ̄(y )
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung nach
Transformation:
d2
2
− 2 + y − 2 ψ̄(y ) = 0
dy
Grundzustand:
I Keine Knoten (= Nullstellen der Wellenfunktion)
I Energie E > 0
I symmetrisch bezüglich x = 0
Hier kommt Abb. 3.18 aus Schwabl, S.71 hin
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
−
d2
ψ̄(y ) + y 2 ψ̄(y ) − 2 ψ̄(y ) = 0
dy 2
Ansatz:
ψ̄(y ) ∝ exp[−
⇒
y2
]
2
y2
y2
d2
ψ̄(y ) ∝ − exp[− ] + y 2 exp[− ]
dy 2
2
2
= −ψ̄(y ) + y 2 ψ̄(y )
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Ansatz:
ψ̄(y ) = exp[−
⇒
⇒
y2
] h(y )
2
d
y2
ψ̄(y ) = −y exp[− ] h(y )
dy
2
y2
+ exp[− ] h0 (y )
2
d2
y2
y2
ψ̄(y ) = − exp[− ] h(y ) + y 2 exp[− ] h(y )
dy 2
2
2
y2
y2
−y exp[− ] h0 (y ) − y exp[− ] h0 (y ) +
2
2
y2
+ exp[− ] h00 (y )
2
Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung
y2
y2
] h(y ) − y 2 exp[− ] h(y )
2
2
y2
y2
+2 y exp[− ] h0 (y ) − exp[− ] h00 (y )
2
2
y2
y2
+ y 2 exp[− ] h(y ) − 2 exp[− ] h(y ) = 0
2
2
⇒
exp[−
Differentialgleichung für h(y ):
−h00 (y ) + 2 y h0 (y ) + (1 − 2 ) h(y ) = 0
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Potenzreihenansatz für h(y ):
h(y ) =
∞
X
an y n
n=0
∞
X
h0 (y ) =
an n y n−1
n=1
h00 (y ) =
∞
X
an n (n − 1) y n−2
n=2
Summationsindex n → n + 2
⇒ h00 (y ) =
∞
X
an+2 (n + 2) (n + 1) y n
n=0
−
∞
X
an+2 (n + 2) (n + 1) y n +
n=0
+2
∞
X
n=1
an n y n + (1 − 2 )
∞
X
an y n = 0
n=0
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Koeffizientenvergleich:
y0 :
−2 a2 + (1 − 2 ) a0 = 0
1
a2 = ( − ) a0
2
yn :
−an+2 (n + 2) (n + 1) + 2 n an + (1 − 2 ) an = 0
an+2 =
2n + 1 − 2
an
(n + 2) (n + 1)
I
wenn an = 0 ⇒ an+2 = 0
I
wenn a0 = 0 ⇒ an = 0 für alle geraden n
I
wenn a1 = 0 ⇒ an = 0 für alle ungeraden n
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
an+2
2 n + 1 − 2 n→∞ 2
=
∼
an
(n + 2) (n + 1)
n
Zwischenbetrachtung
2
ey =
∞
X
(y 2 )l
l=0
l!
=
∞
X
y2l
l=0
l!
∞
X
yn
n
n=0
n gerade
2
=
!
Koeffizient von y n+2 dividiert durch Koeffizient von
yn
n
n
!
1 n→∞ 2
2 !
= n 2 n = n
∼
n
n
2 +1
2 +1 !
2 +1
2 !
⇒ Damit ψ̄(y ) normierbar bleibt, muss die Reihe
abbrechen.
entweder a0 = 0
oder
a1 = 0
und
⇒ an+2 = 0
⇒ 2n + 1 − 2 = 0
Energieeigenwerte:
=n+
1
2
⇒
1
En = ~ω (n + )
2
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Energieeigenwerte in Dgl. für h(y ) eingesetzt
h00 (y ) − 2 y h0 (y ) + 2 n h(y ) = 0
Lösungen:
h(y ) = Hn (y )
Hermite-Polynome
H0 (y ) = 1
H1 (y ) = 2 y
H2 (y ) = 4 y 2 − 2
H3 (y ) = 8 y 3 − 12 y
H4 (y ) = 16 y 4 − 48 y 2 + 12
H5 (y ) = 32 y 5 − 160 y 3 + 120 y
Eigenschaften:
I
I
I
I
Hn (y ) ist Polynom n-ten Grades
Hn (−y ) = Hn (y ) für n gerade: ”‘gerade Parität”’
Hn (−y ) = −Hn (y ) für n ungerade: ”‘ungerade
Parität”’
Orthogonalität:
Z∞
2
e −y Hn (y ) Hm (y ) dy =
√
π 2n n! δnm
−∞
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Normierung:
2
y
ψ¯n (y ) ∝ exp[− ] Hn (y )
2
ψn (x) = N exp[−
Z∞
ψn2 (x)
x2
x
] Hn ( )
x0
2 x02
Z∞
dx =
−∞
r
x0 =
N 2 exp[−
−∞
Z∞
= N 2 x0
mω
~
x2
x
] H 2 ( ) dx
2 x02 n x0
exp[−y 2 ] Hn2 (y ) dy
−∞
2
= N x0
⇒
√
N=p
!
π 2n n! = 1
1
√ n
x0 π 2 n!
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Wellenfunktionen des eindimensionalen harmonischen
Oszillators:
ψn (x) = p
1
x2
x
exp[− 2 ] Hn ( )
√ n
x0
2
x0
x0 π 2 n!
Dabei:
r
x0 =
~
mω
Energieeigenwerte:
En = ~ ω
n+
1
2
Vollständigkeit:
∞
X
ψn (x) ψn (x 0 ) = δ(x − x 0 )
n=0
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Zur Erinnerung:
Darstellung einer Funktion f (x) durch eine Reihe in
ψn (x)
Z+∞
f (x) =
f (x 0 ) δ(x − x 0 ) dx 0
−∞
Z+∞
=
f (x 0 )
∞
X
−∞
=
∞
X
Z+∞
ψn (x)
n=0
=
ψn (x) ψn (x 0 ) dx 0
n=0
∞
X
f (x 0 ) ψn (x 0 ) dx 0
−∞
ψn (x) an
n=0
wobei
Z+∞
an =
f (x 0 ) ψn (x 0 ) dx 0
−∞
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Die Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators
Hier kommt Abb. 3.2, Schwabl, Seite 45 hin
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Vergleich der Wellenfunktion mit der klassischen
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
Hier kommt Abb. 3.3, Schwabl, Seite 49 hin
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung:
1
~2 d 2
+ m ω 2 x 2 ψ(x) = E ψ(x)
−
2 m dx 2 2
Energieeinheit:
→
~ω
Oszillatorlänge:
r
~
x0 =
mω
E = ~ω
→
x = y x0
y=
x
x0
Energie-Eigenfunktionen des eindimensionalen
harmonischen
Oszillators:
1
x2
x
exp[− 2 ] Hn ( )
√ n
x0
2
x0
x0 π 2 n!
ψn (x) = p
Energieeigenwerte:
En = ~ ω
n+
1
2
Hn : Hermite-Polynome
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Eigenfunktionen der zeitabhängigen
Schrödinger-Gleichung:
1
Ψn (x, t) = ψn (x) exp[−i En t/~] = ψn (x) exp −i (n + ) ω t
2
Eigenschaften der Wellenfunktionen und Eigenwerte:
I
I
Man erhält bestimmte Energiewerte,
für die die Wellenfunktion normierbar ist.
Das sind die Energieeigenwerte.
2
Der Grundzustand ist proportional zu exp[− 2xx 2 ]
0
I
I
I
I
I
Der Energieeigenwert des Grundzustandes ist
Die Energieeigenwerte sind äquidistant mit
Abstand ~ω
Gerades n ⇒ gerade Wellenfunktion
Ungerades n ⇒ ungerade Wellenfunktion
n ist die Anzahl der Nullstellen (Knoten) der
Wellenfunktion
Die Wellenfunktionen bilden ein
orthonormiertes, vollständiges System
Joachim Burgdörfer
~ω
2
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
”‘Absteiger”’:
ω m x + i p̂
a= √
2ωm~
”‘Aufsteiger”’:
ω m x − i p̂
a† = √
2ωm~
⇒
⇒
d
p̂ = −i ~
dx
1
x
d
a=√
+ x0
x
dx
2
0
1
x
d
†
a =√
− x0
dx
2 x0
x0
x = √ (a + a† ) =
2
r
~
(a + a† )
2ωm
r
~ωm
~
d
p̂ = −i ~
= −i √
(a−a† ) = −i
(a−a† )
dx
2
2 x0
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Vertauschungsrelationen:
[a, a† ]
†
†
= a a† − a† a
† †
† †
[a , a ] = a a − a a
[a, a]
H = −
= aa −aa
=1
=0
=0
~2 d 2
1
+ m ω2 x 2
2 m dx 2 2
=
1
~ ω (a a† + a† a)
2
=
1
~ ω (a† a + [a, a† ] + a† a)
2
1
= ~ ω (a† a + )
2
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Der Besetzungszahloperator:
n̂ = a† a
1
⇒ H = ~ ω(n̂ + )
2
Sei |ψν i ein Zustand, so dass
n̂ |ψν i = ν |ψν i
|ψν i ist also Eigenzustand zum Operator n̂ mit
Eigenwert ν.
⇒ ν hψν |ψν i = hψν |n̂|ψν i = hψν |a† a|ψν i = hψν |a ψν i ≥ 0
| {z }
>0
ν=0 ?
Wegen
hψ0 |ψ0 i > 0
geht das nur, wenn
a ψ0 = 0
⇒
x0
d
x
+
dx x0
ψ0 (x) = 0
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
d
x
+
dx x0
Normierte Lösung:
x0
ψ0 (x) = 0
√
x2
ψ0 (x) = ( π x0 )−1/2 exp[− 2 ]
2 x0
1
1
H ψ0 (x) = ~ ω (n̂ + ) ψ0 (x) = ~ ω ψ0 (x)
2
2
Kommutator Gymnastik:
[n̂, a† ] = [a† a, a† ]
= a† a a† − a† a† a
= a† (a a† − a† a)
= a† [a, a† ]
= a†
[n̂, a] = −a
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Warum heißt a† ”‘Aufsteiger”’ ?
1. a† ψν ist Eigenfunktion von n̂ zum Eigenwert ν + 1.
Beweis:
n̂ a† ψν = (a† n̂+[n̂, a† ]) ψν = (a† n̂+a† ) ψν = (ν+1) a† ψν
2. Norm
ha† ψν |a† ψν i = hψν |a a† |ψν i =
hψν |(a† a + 1)|ψν i = (ν + 1) hψν |ψν i > 0
⇒ a† ψν =
√
ν + 1 ψν+1
1
1
⇒ ψn = √ a† ψn−1 = √ (a† )n ψ0
n
n!
⇒
ψn (x) = (n!
√
n
π x0 )−1/2 a† exp[−
x2
]
2 x02
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Warum heißt a ”‘Absteiger”’ ?
1. a ψν ist Eigenfunktion von n̂ zum Eigenwert ν − 1.
Beweis:
n̂ a ψν = (a n̂ + [n̂, a]) ψν = (a n̂ − a) ψν = (ν − 1) a ψν
2. Norm
ha ψν |a ψν i = hψν |a† a ψν i = ν hψν |ψν i = ν ≥ 0
⇒ a ψν =
√
ν ψν−1
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Mittelwert von x:
x = hψn |x|ψn i ∝ hψn |(a + a† )|ψn i = hψn |a|ψn i + hψn |a† |ψn i
=
√
√
ν hψn |ψn−1 i ν + 1 hψn |ψn+1 i = 0
| {z }
| {z }
=0
=0
Mittelwert von (∆x)2 :
(∆x)2 = x 2
~2
2
hψn |a2 + a a† + a† a + a† |ψn i
2ωm
1
= x02 (n + )
2
=
Mittelwerte von p und (∆p)2 :
p=0
(∆p)2 = p 2 =
⇒
~2
1
(n + )
x0
2
1
∆x ∆p = (n + ) ~
2
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Speziell für n = 0:
⇒
∆x ∆p =
~
2
Erinnerung an letzte Woche: Die Unschärferelation
ist mit dem Gleichheitszeichen erfüllt, wenn
hψ0 |{x, p̂}|ψ0 i = hψ0 |x p̂ + p̂ x|ψ0 i =
= −i
~
hψ0 |(a − a† )(a + a† ) + (a + a† )(a − a† )|ψ0 i = 0
2
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Ziel:
Überlagerung von Eigenfunktionen des harmonischen
Oszillators,
derart, dass sich die klassische Oszillationsbewegung
im Ortsraum
in der Wellenfunktion widerspiegelt.
Nennen wir diese Überlagerung φα (t, x).
x0
hφα | x |φα i = √ hφα | a + a† |φα i
2
x0
= √ [ hφα | a φα i + ha φα | φα i ]
2
x0
= √ [ hφα | a | φα i + hφα | a | φα i∗ ]
2
⇒ finde einen Zustand, so dass
a | φα i = α | φα i
α im allgemeinen komplex.
Dann ist nämlich:
x0
hφα | x |φα i = √ (α + α∗ ) 6= 0
2
möglich
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Gesucht: Eigenfunktion des Absteigeoperators a mit Eigenwert α.
Zunächst: t = 0
Entwickle φα (t = 0, x) in Energieeigenfunktionen:
φα (t = 0, x) = C
∞
X
an ψn (x)
n=0
1
n
an = hψn | φα i = √ ha† ψ0 | φα i =
n!
1
αn
√ hψ0 | an φα i = √ hψ0 | φα i
n!
n!
|φα (t = 0, x)i = C̃
∞
∞
X
X
αn
(α a† )n
√ |ψn (x)i = C̃
|ψ0 (x)i
n!
n!
n=0
n=0
Normierung:
1 = hφα |φα i = C̃ 2
∞
X
|α|2 n
n=0
n!
e = e −|α|
⇒C
= C̃ 2 e |α|
2
2 /2
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
2
|φα (t = 0, x)i = e −|α| /2
∞
X
αn
√ |ψn (x)i
n!
n=0
Zeitentwicklung der Energieeigenfunktionen:
1
exp −i (n + ) ω t |ψn (x)i
2
2
|φα (t, x)i = e −|α| /2 e −i ω t/2
⇒
⇒
∞
X
1
√ (α e −i ω t )n |ψn (x)i
n!
n=0
|φα (t, x)i = e −i ω t/2 |φα(t) (t = 0, x)i
dabei
α(t) = α e −i ω t = |α| e iδ e −i ω t
⇒
⇒
aus ,
x0
hφα (t, x) | x | φα (t, x)i = √ [α(t) + α(t)∗ ]
2
√
=
2 x0 |α| cos(ω t − δ)
Der Erwartungswert von x führt Oszillationen
genau wie die Koordinate des
klassischen harmonischen Oszillators.
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
2
|φα (t, x)i = e −|α| /2 e −i ω t/2
2
= e −|α| /2 e −i ω t/2
∞
X
1
√ α(t)n |ψn (x)i
n!
n=0
∞
X
1
n
α(t)n a† |ψ0 (x)i
n!
n=0
2
= e −|α| /2 e −i ω t/2 exp α(t) a† |ψ0 (x)i
Es gilt:
α(t) (m ω x − i p̂)
√
exp α(t) a† = exp
2m~ω
= exp
α(t)2
4
−i α(t) p̂
α(t) x
exp √
exp √
2 x0
2m~ω
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Spezialfall der sog.
Baker-Campbell-Hausdorff-Formel:
Es gilt:
exp(Â + B̂) = exp(Â) exp(B̂) exp(−[Â, B̂]/2))
falls
[Â, [Â, B̂]] = 0 = [B̂, [Â, B̂]]
Wir benötigen außerdem:
exp[b p̂] ψ(x) = exp[−i b ~
=
d
] ψ(x)
dx
∞
X
1
dn
(−i b ~)n
ψ(x)
n!
dx n
n=0
= ψ(x − i b ~)
2
|φα (t, x)i = e −|α| /2 e −i ω t/2 exp α(t) a† |ψ0 (x)i
=
1
2
2
e −i ω t/2 e (−|α| +α(t) )/2
π 1/4 x0
"
#
√
(x − 2 α(t) x0 )2
× exp −
2
2 x0
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
|φα (t, x)i =
2
e −|α| /2 e −i ω t/2 exp α(t) a† |ψ0 (x)i
1
=
π 1/4 x0
2
2
e −i ω t/2 e (−|α| +α(t) )/2
"
× exp −
(x −
√
2 α(t) x0 )2
2 x02
#
"
√
2 #
x − x0 2 |α| cos(ω t − δ)
1
|φα (t, x)| = √
exp −
x02
π x0
2
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
~Lcl = (~r × ~p )cl
QM:
~ ~
~r × ∇
i
∂
~
∂
y
−z
=
i
∂z
∂y
~
∂
∂
=
z
−x
i
∂x
∂z
∂
∂
~
=
x
−y
i
∂y
∂x
~L =
Lx
Ly
Lz
[Lx , x] = 0
[Lx , y ] = i~z
[Lx , z] = −i~y
[Li , rj ] = i~rk εijk
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Levi-Civita Tensor:

1




εijk =
−1




0
gerade Permutation
ungerade Permutation
sonst
Analog:
[Lx , Px ] = 0
[Lx , Py ] = i~Pz
[Lx , Pz ] = −i~Py
~
Für Vektoroperator A:
[Li , Aj ] = i~εijk Ak
Quadratische Formen: [Lx , x 2 ] = 0
[Lx , y 2 ] = 2i~yz
[Lx , z 2 ] = −2i~yz
=⇒
[~L, r 2 ] = 0
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Analog:
[~L, P 2 ] = 0
Allgemein: Skalarer Operator S:
[~L, S] = 0
Kommutatoren für die Komponenten
(“Lie-Algebra” für Drehungen):
[Lx , Ly ] = i~Lz
allgemein:
[Li , Lj ]
=
Vektoroperator
[L2 , Li ]
=
Skalaroperator
i~εijk Lk
0
Satz kompatibler Operatoren:
[L2 , Lz ]
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
L2 |a, bi
Lz |a, bi
0 ≤
=
=
|b|2
a |a, bi
b |a, bi
≤ a
Einführung der “Leiteroperatoren”:
L+ = Lx + iLy
L− = Lx − iLy
mit
[ L2 , L± ] = 0
[ Lz , L± ] = ± ~ L±
Lz (L± |a, bi ) = (b ± ~) L± |a, bi
L2 (L± |a, bi ) = a L± |a, bi
L2 =
1
(L+ L− + L− L+ ) + L2z
2
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
1. Bedingung:
(b + n ~)2
2
bmax
=
2
bmin
=
=⇒
≤a
..
.
(b + nmax ~)2
2
(b − nmin ~)
L+ |a, bmax i
=0
L− | a, bmin i
=0
≤a
≤a
bmax − bmin = n ~
2. Bedingung:
L− L+ | a, bmax i = 0
L+ L− | a, bmin i = 0
L− L+ = L2 − L2z − ~ Lz
L+ L− = L2 − L2z + ~ Lz
=⇒ a = bmax 2 + ~ bmax
= bmin 2 − ~ bmin
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Lösung des Gleichungssystems:
n
bmin = − ~ = −j ~
2
n
j
=
=
=
a =
=
j =
m =
Falls j ganz:
natürliche Zahl
natürliche Zahl, falls n gerade
halbzahlig, falls n ungerade
bmax (bmax + ~)
j(j + 1) ~2
0, 1/2, 1, 3/2, . . . . . .
−j, −j + 1, . . . j
l ≡ j
L2 |l, m i = l(l + 1) ~2 |l, m i
Lz |l, m i = m ~ |l, m i
|m| ≤ l
<
p
l(l + 1)
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Interpretation durch “Vektormodell”
Unschärfe in Lx , Ly :
hl, m | Lx | l, m i = 0
hl, m | Ly | l, m i = 0
hl, m | L2x | l, m i =
≥
1
h l, m | L2 − L2z | l, m i
2
1 2
1
l ~ ≥ ~2
2
4
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Ortsdarstellung:
ψlm (~r ) ≡ h~r | l, m i
~
∂
∂
x
ψl,m (~r )
Lz ψlm (~r ) =
−y
i
∂y
∂x
Transformation zu sphärischen Koordinaten:
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ
dx = sin θ cos φ dr + r cos θ cos φ dθ − r sin θ sin φ dφ
dy = sin θ sin φ dr + r cos θ sin φ dθ + r sin θ cos φ dφ
dz = cos θ dr − r sin θ dθ
dr = sin θ cos φ dx + sin θ sin φ dy + cos θ dz
1
dθ =
[cos θ cos φ dx + cos θ sin φ dy − sin θ dz]
r
1
dφ =
[− sin φ dx + cos φ dy ]
r sin θ
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
∂
∂
cos θ cos φ ∂
sin φ ∂
= sin θ cos φ
+
−
∂x
∂r
r
∂ θ r sin θ ∂ φ
∂
∂
cos θ sin φ ∂
cos φ ∂
= sin θ sin φ
+
+
∂y
∂r
r
∂ θ r sin θ ∂ φ
∂
∂
sin θ ∂
= cos θ
−
.
∂z
∂r
r ∂θ
~ ∂
i ∂φ
Kanonisch
konjugierte Variable:
~ ∂
φ,
=i~
i ∂φ
ψlm (~r ) = F (θ) e imφ
Lz e imφ = ~ m e imφ
φ −→ φ + 2 π
Invarianz
=⇒ m ganze Zahl
“Bahn-Drehimpuls”
=⇒
Lz =
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
L2 ψlm (~r ) =
−~2
= −~2
1 ∂
∂
1
∂2
sin θ
+ 2
sin θ ∂ θ
∂ θ sin θ ∂ φ2
1 ∂
∂
m2
sin θ
− 2
sin θ ∂ θ
∂ θ sin θ
ψlm (~r )
Flm (θ) e imφ
Explizite Lösung:
ψlm (θ, φ) = N Plm (θ) e imφ
= Ylm (θ, φ)
“Kugelflächenfunktionen”
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Ylm (θ, φ) =
(−1)(m+|m|)/2
(2l + 1) (l − |m|) !
4 π (l + |m|) !
1/2
Plm (cos θ) e imφ
l
l
1
d
cos2 θ − 1
2l l ! d cos θ
Legendre-Polynome
| m |
d
Plm (cos θ) = sin| m | (θ)
Pl (cos θ)
d cos θ
Assoziierte Legendre-Polynome
Normierung:
Zπ
Z2π
0
sin θ d θ
d φ Ylm (θ, φ) Ylm0 (θ, φ)∗ = δll 0 δmm0
Pl (cos θ) =
0
0
Parität:
=⇒
~r → −~r :
r →
r
θ → π−θ
φ → φ+π
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
~2 2
∇ + V (~r ) ψ(~r ) = E ψ(~r )
−
2m
Zentralpotential:
V (~rp
) −→ V (r )
V ( x 2 + y 2 + z 2 ) nicht separabel in kart. Koordinaten
Aber: V (r ) separabel in sphärischen Koordinaten
Laplace-Operator in sphärischen Koordinaten
(vgl. Math. Methoden)
∇2 =
∂2
2 ∂
1
∂
∂
1
∂
+
+
sin θ
+
∂ r 2 r ∂ r r 2 sin θ ∂ θ
∂ θ r 2 sin2 θ ∂ φ2
=⇒ Schrödinger-Gleichung:
(
"
~2 ∂ 2
2 ∂
1
−
+
+
2m ∂ r 2 r ∂ r r 2
+
1 ∂2
sin2 θ ∂φ2
!#
1 ∂
∂
sin θ
sin θ ∂ θ
∂θ
)
+ V (r )
ψ(r , θ, φ) = E ψ(r , θ, φ)
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
"
2 ∂
−~2
∂2
+
2 m ∂ r2 r ∂ r
#
V (r )
!
+
L2 (θ, φ)
+
2mr 2
ψ(r , θ, φ) =
= E ψ (r , θ, φ)
~L = ~r × ~p
L2 = (~r × ~p )2 = r 2 p 2 − (~r ~p )2
L2 (~r ~p )2
L2
+ 2 = 2 + pr2
r2
r
r
+ V (r ) ψ(r , θ, φ) = E ψ(r , θ, φ)
p2 =
pr2
L2
+
2m 2mr 2
2
∂
2 ∂
Pr2 = −~2
+
2
∂r
r ∂r
~ ∂
1
+
Pr =
i ∂r
r
~ 1 ∂
=
r
i r ∂r
folgt aus Hermitezität
=⇒
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Symmetrisierung für hermitesche Operatoren
1 1
Pr =
(~r ~p ) + (~p ~r )/r
2 r
Analog für
1 ∂2
Pr2 = −~2
r
2
r ∂r
Lösung für zentralsymmetrische Potentiale:
Separation der Variablen = Produktansatz für
Wellenfunktion
m
ψ(r
" , θ, φ) = R(r ) • Y!l (θ, φ)
#
2 ∂
−~2
∂2
~2 l(l + 1)
+
+
+ V (r ) R(r ) =
2 m ∂ r2 r ∂ r
2mr 2
ER(r )
~2 l (l + 1)
Veff (r ) = V (r ) +
2mr 2
↑
“Zentrifugalpotential”
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Exkurs: Separation der Variablen in klassischer
Mechanik und Quantentheorie
Analytische Mechanik:
Separation der Variablen = Summe der Wirkungen
S(q1 , . . . ..qN ) =
N
X
Si (qi )
i=1
Zqi
Si (qi ) =
pi d q 0 i
q0i
Quantentheorie:
"
ψ(q1 , . . . ...qN ) = exp
N
i X
Si (qi )
~
#
i=1
Beipiel: ebene Welle
N
Y
i
=
exp
Si (qi )
~
i=1
=⇒ Separationsansatz = Produkt von
Wellenfunktionen
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
pe2
P2
Z e2
+ N −
ψ(~re ,~rN ) = E ψ(~re ,~rN )
2m 2M |~re − ~rN |
Z : charge of nucleus
MN : mass of nucleus
Transformation to the equivalent one-body problem:
~r = ~re − ~rN
~p =
M
m
~pe −
~pN
m+M
m+M
~ = m~re + M ~rN
R
m+M
~ = ~pe + P
~N
P
=⇒
h
p2
2µ
−
µ=
Z e2
r
+
P2
2MT
i
~ = E ψ (~r , R)
~
ψ(~r , R)
mM
m+M
MT = m + M
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
e2 Z
p2
−
2µ
r
E−
Φ(~r ) =
|
~2 KT2
Φ (~r )
2M
{z T }
ε
Spectrum:
ε < 0 =⇒
bounded motion
Eigenvalue problem ( εi , φi (~r ))
> 0 =⇒
unbounded motion
scattering problem (S matrix)
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Non-uniquness of separation of variables:
(r , θ, φ) ←→ (ζ, η, φ)
Spherical coordinates:
Φnr lm (~r ) = Rnr ,l (r )Ylm (θ, φ)
h
2
− 2~µ
∂2
∂ r2
+
2 ∂
r ∂r
+
L2
2 µ r2
−
Z e2
r
i
+ |ε| ×
× Rnr l (r )Ylm (θ, φ) = 0
Transformation to standard Sturm-Liouville
eigenvalue problem in (0, ∞):
~2 d 2
~2 l(l + 1) Z e 2
−
+
−
+ |ε| u(r ) = 0
2
2
2 µ dr
2µr
r
Dirichlet boundary conditions:
u(r ) −→ 0
r →0
u(r)
=
r →∞
0
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
l(l + 1)
1
k2
1 d2
+
−
+
−
u(r ) = 0
2 d r2
2 r2
ar
2
k2 = 2 µ | ε | / ~ 2
a = a0 /Z
a0 = ~2 /µ e 2
Bohr radius
Solution by Frobenius method:
∞
X
u(r ) = e −kr r α+1
ai r i
i=0
α : characteristic exponent
Recursion
relation for ai :
∞ X
(α + i + 1)(α + i) l(l + 1) k(α + i + 1)
−
+
+
−
2r 2
2r 2
r
i=0
-1 a r ai r α+i+1 =0
l(l + 1) = α(α + 1)
(
l
α =
−l − 1
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
∞
X
i=0
l(l + 1) (l + i + 2)(l + i + 1)
−
r i+l ai+1
2
2
+ ai (k(l + i + 1) − 1a ) = 0
=⇒
two-term recursion relation for Laguerre polynomials
(functions)
Asymptotic behaviour:
ai+1
2k
−→
ai
i
termination condition for i = nr
k(nr + l + 1) =
1
a
nr = radial quantum number
n = nr + l + 1 principal quantum number
k = 1/(n a)
2
2
εn = − ~2 µk = − 12
~2
µ n 2 a2
2
4
= − µ2 Z~2 ne2
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
normalized eigenfunctions:
Φnlm (~r ) =
2
n2
(n − l − 1) !
(n + l) ! a3
1/2 2r
an
l
L2l+1
n−l−1
2r
an
× e −r /na Ylm (θ, φ)
Density at the origin:
2l+1
Ln−l−1
(r = 0) = δl,0 L1n−1 (0) =
n!
=n
(n − 1)!
1
n
2
1
= √
× 2 × √
= √
n
4π
n a3
π n 3 a3
|Φn00 (0)|2
=
1
π n 3 a3
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Aktive Rotation:
Drehung des physikalischen Objektes
bei festgehaltenem Koordinatensystem
passive Rotation: Drehung des Koordinatensystems
bei festgehaltenem Objekt
Äquivalenz von aktiver und passiver Rotation
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Drehung der Wellenfunktion
R ψ (~r ) = ψ (R −1 ~r )
Drehoperator
Drehmatrix für Koordinaten
Spezialfall: Drehung um z-Achse mit Winkel φ
 0

 
x
cos φ sin φ 0
x
 y 0  =  − sin φ cos φ 0   y 
z0
0
0 1
z
ψ(R −1 ~r ) = ψ(x cos φ + y sin φ, −x sin φ + y cos φ, z)
|
{z
} |
{z
}
x0
y0
Infinitesimale Rotation φ −→ ε 1
' ψ(x + εy , −εx + y , z)
'
∂
∂
ψ(x, y , z) + εy
ψ(x, y , z) − εx ψ(x, y , z) + . . . ...
∂x
∂y
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
ε~
∂
∂
= 1−i
−y
x
ψ(x, y , z)
~ i
∂y
∂x
h
ε i
= 1 − i Lz ψ(x, y , z)
~ ε
b
Rz (ε) = 1 − i Lz
~
b
Allgemein: Drehung um die U-Achse:
ε
b
~
RU (ε) = 1 − i (Û L)
~
“Infinitesimaler Rotationsoperator”
Erweiterung auf
endlicheRotationen:
bU (φ) = exp − iφ U
b ~L
R
~
Exponentialfunktionen von Operatoren sind durch
Potenzreihenentwicklung definiert
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Direkter Zugang :
Zerlegung der endlichen Rotation in Sequenzen
infinitesimaler Rotationen:
N Y
ε b ~
bU (φ) =
R
1−i U
L
~
i=1
mit Nε
φ
=
N→∞
ε→0
Dies ist die Produktdarstellung der
Exponentialfunktion
=⇒
Drehimpuls is Generator der Transformation
Allgemeine Form:
U
=
exp [ −i
Transformationsoperator
α A]
kontinuierlicher
Transformationsparameter
hermitescher
Operator
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Darstellung in der Eigenbasis des hermiteschen
Operators
Lz ψlm
N
(Lz ) ψlm
e −iφ/~ Lz ψlm
b
R
= (~ m)N ψlm
= e −iφ m ψlm
ist unitär:
= ~ m ψlm
~
e −i φ/~ Û L
~
e −i φ/~ Û L
†
†
~†
~
= e i φ/~ Û(L ) = e iφ/~ Û L
i
φ
~
e −i φ/~ Û L = exp −i Û ~L + φÛ ~L = 1I
~
~
Erhaltung der Norm:
b ψ|R
bψi
h ψ0 | ψ0 i = h R
b†b
= hψ| R
| {zR} ψ i = hψ|ψi
1
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Zusätzliche innere Freiheitsgrade in der
Quantentheorie:
=⇒
“Spin”
=⇒
verhält sich wie ein Drehimpuls, jedoch
ohne klassisches Analogon
=⇒
keine Korrespondenz-Identität
Stern-Gerlach-Experiment (1922)
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
~
Energie des magnetischen Dipols im Magnetfeld B
~ = − q ~L B
~
Eµ = ~µ B
2mc
~µ
F
~ Eµ =
= −∇
q ~ ~ ~
∇ (L • B)
2mc
Inhomogenität in z-Richtung:
Fz,µ =
q
∂ Bz
Lz
2mc
∂z
“Richtungsquantisierung”:
Fz,µ
=
q~
∂ Bz
m
2mc
∂z
m = −1, 0, 1
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Beobachtung von Stern und Gerlach:
Gerade Zahl (2) von Komponenten: 2j + 1
=⇒
=⇒
j = 1/2 (halbzahlige Drehimpulse)
Invarianz unter φ → φ + 2π
verletzt
=⇒
innerer Freiheitsgrad (“Eigendrehimpuls”)
Elektronenspin ~S mit s = 1/2
Exkurs:
Problem der klassischen Interpretation des
Eigendrehimpulses:
e2
r0 =
m c2
(klassischer Elektronenradius)
~
s ~ = α m v r0 =
2
(α : O(1))
c
~c
137
v= 2
=
c c !
α
e2
2α
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Magnetisches Moment des Elektrons
|e | ~
e
gs ~S =
gs S
~µS = −
2mc
2mc
gs : gyromagnetischer Faktor
= 2.0
(Dirac-Theorie)
= 2.0023
(QED)
Indentifikation als Drehimpuls:
[Si , Sj ] = i εijk ~ Sk
Representation durch Pauli-Spinmatrizen:
~
2
Sz =
~
2
Sx =
~
2
Sy =
1 0
0 −1
0 1
1 0
=
0 −i
i 0
=
~
σz
2
~
σx
2
=
~
σy
2
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Antikommutator:
σi σj + σj σi = 2 δij
Weitere Eigenschaften:
σi2 = 1
Tr σi = 0
~
~
• B+i
( )( ) =
~
σ • (~
A×B)
Tensorprodukt von Hilberträumen
H
=
H1
⊗
H2
Bahndrehimpuls
|lm, sms i
=
Spin
|lmi ⊗ |sms i
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Skalarprodukt:
hl m, s ms | l 0 m0 , s 0 ms 0 i = δll 0 δmm0 δss 0 δms ms 0
dim H = dim H1 • dim H2
dim U = dim Hl • dim Hs = (2l + 1)(2s + 1)
Vollständiger Satz kompatibler Variablen:
[Li , Sj ] = 0
[ri , Sj ] = 0
[Pi , Sj ] = 0
=⇒
L2 , Lz , S 2 , Sz
l m s ms
Addition:
~J
= ~L + ~S
(allgemein: = ~j1 + ~j2 )
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
[Ji , Jj ] = i εijk ~ Jk
Jz = Lz + Sz
J 2 = L2 + S 2 + 2 ~S •~L
~S ~L = Sx Lx + Sy Ly +Sz Lz
|
{z
}
nicht-diagonal in Produktbasis
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Alternativer Satz kompatibler Observabler
=⇒
L2 , S 2 , J 2 , Jz
l s j mj
gesucht:
unitäre Transformation zwischen
der Produktbasis und der gekoppelten Basis,
die den alternativen Satz diagonalisiert.
Additionstheorem:
jmax
X
(2l + 1) (2s + 1) =
(2j + 1)
jmin
Bestimmung von jmax , jmin :
Jz = Lz + mz
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
−(l + s) ≤ mj ≤
Multiplizität von mj :
N( | mj | ) =
(l + s)
X
j (j≥|mj |)

0




=
l + s + 1 − |mj |




(2s + 1)
mj > l + s
l + s ≥ |mj | ≥ |l − s|
(o.B.d.A. l > s)
=⇒ | l − s | = jmin ≤ j ≤ l + s = jmax
Transformationsmatrix:
X
| ls, j mj i =
hlm, s ms | l s, j mj i |lm, s ms i
m,ms
reell:
hl m, s ms | l s, j mj i = h l s, j mj | l m, s ms i
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik
Versagen der klassischen Physik
Schrödinger-Gleichung – elementare Eigenschaften
Formale Struktur der Quantentheorie
Harmonischer Oszillator
Drehimpuls
Orthogonalität
(Unitarität)
X
h ls, jmj | lm, sms i hls, j 0 mj 0 | l m, s ms i
ms , m
= δjj 0 δmj mj 0
P
h l s, j mj | lm, s ms i hl s j mj | l m0 , s ms 0 i
j, mj
= δm m0 δms 0 ms
Explizite Konstruktion:
Beispiel: s1 = 1/2, s2 = 1/2
Produktraum: | ms(1) , ms(2) i :
| 1/2, 1/2 i, | 1/2, −1/2 i, | − 1/2, 1/2 i, | −
1/2, −1/2 i
dim U = (2s1 + 1)(2s2 + 1) = 4
~S = ~S1 + ~S2
Gekoppelte Basis:
S = s1 − s2 = 0
S = s1 + s2 = 1
Ms = 0
Ms = −1, 0, 1
Joachim Burgdörfer
Quantenmechanik