ieπ+ = 1 0

BERUFSAKADEMIE
STUTTGART
University of Cooperative Education
Höhere Mathematik II
Übungen
Komplexe Zahlen
i
π
e +1 = 0
81
R. Mohr FK 2 Blatt 1 Komplexe Zahlen I WS 2004/5
Aufgabe 1: Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = −1 + j; z2 = 3 + 4j.
a) Skizzieren Sie in der Gaußschen Ebene
Im
z1 , z2 , z1∗ ; z1 + z2 , z1 − z2
z 1 + z2
z2
b) Überprüfen Sie die Ergebnisse aus a)
rechnerisch.
z1∗ = −1 − j;
z1 + z2 = 2 + 5j;
z1 − z2 = −4 − 3j;
z1
Re
c) Berechnen Sie
|z1 |, |z2 |, |z1∗ |, arg z1 , arg z2 , arg z1∗ .
√
|z1 | = √1 + 1;
|z2 | = 9 + 16
√ = 5;
|z1∗ | = |z1 | = 2
1
;
tan(arg z1 ) = −1
3π
arg z1 = 4 (135o )
z1∗
z1 − z 2
tan(arg z2 ) = 43 ;
arg z2 = 0.927...(53.13o )
arg z1∗ = − arg z1
Aufgabe 2: Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil folgender komplexer Zahlen.
Wie groß sind jeweils Betrag und Argument ?
√
−2 + 7j
49 + 4 ; tan ϕ = 2
2
7
a)
7
15
15j = 15 + 15 j; | . . . | =
(1 + j)(1 + j)
2j
1+j
= 2 = j;
b) 1 − j =
(1 − j)(1 + j)
| . . . | = 1;
;
ϕ = 0.278.. (15.94..o )
ϕ= π
2
(1 + 3j)(1 + 2j)
(1 − j)(1 − 2j)
−1 − 3j −5 + 5j
1 + 3j
1−j
−
=
−
c) 1 + 2j − 1 − 2j =
5
5
(1√+ 2j)(1 − 2j) (1 − 2j)(1 + 2j)
4 − 8j
; ϕ = −1.107.. (−63.43..o )
= 5 ; | . . . | = 165+ 64 ; tan ϕ = −8
4
√
√
√ √
√
jπ/4
2(2 − j)
2(1 + j)
4
+
1
2
2e
= 510 ;
; |...| =
=
=
d)
5
5
(1 + j)(2 + j)
(1 + j)(2 + j)
; ϕ = −0.463..(−26.56..o )
tan ϕ = −1
2
√
√
◦
e) 2ej120 = 2(cos 120o + j sin 120o ) = −1 + 3j; | . . . | = 1 + 3 = 2
(120o )
ϕ = 2π
3
√
√
3
3
5π
3+1=3
3
+
j);
|
.
.
.
|
=
(−
)
=
+
j
sin
f ) 3ej5π/6 = 3(cos 5π
2
2
6
6
tan ϕ = 5π
6
g) −5e−jπ/2 = −5(cos − π2 + j sin − π2 ) = 5j;
h) 7ejπ = −7;
| . . . | = 7;
ϕ = π (180o )
1
| . . . | = 5;
ϕ=
π
2
√
√
3 − 4 3 + (−4 − 3 3)j
2 − j −jπ/3 (2 − j)2
π
π
· (cos − 3 + j sin − 3 ) =
=
i) 2 + j · e
10
5
√
q
√
√
100 = 1
1
(3 − 4 3)2 + (−4 − 3 3)2 = 10
| . . . | = 10
√
√
√
√
3)(3
+
4
(−4
−
3
3
−4
−
3
√ 3) = 48 + 25 3
√
√ =
tan ϕ =
39
(3 − 4 3)(3 + 4 3)
3−4 3
;
ϕ = 4.308.. (246.86..o )
Aufgabe 3: Wie heissen die folgenden komplexen Zahlen in Exponentialform
√ 5π
a) −1 − j = 2ej 4
√ 3π
b) −1 + j = 2ej 4
√
c) 3 + 4j = 25ejϕ tan ϕ = 34 ; ϕ = 0.927.. (53.13..o )
d) −3 − 4j =
√
25ejϕ
π
tan ϕ = −4
−3
ϕ = 4.068.. (233.13..o )
;
e) 2j = 2ej 2
f ) −2 = 2ejπ
√
g) 1 − 2j = 5ejϕ
tan ϕ = −2
1
;
ϕ = −1.107... (−63.43..0 )
Aufgabe 4: Es sei z = x + jy und z ∗ die zu z konjugiert komplexe Zahl. Bestimmen Sie
¯ ¯
¯ ¯
a) a = ¯ z∗ ¯ = 1
z
b) b = Re (z −2 )
x2 − y 2 − 2xyj
1
1
=
2
2 = 2
(x2 − y 2 )2 + 4x2 y 2
x − y + 2xyj
(x + jy)
x2 − y 2 − 2xyj
x2 − y 2 + 2xyj
=
= 4
(x2 + y 2 )2
x + 2x2 y 2 + y 4
z −2 =
x2 − y 2
(x2 + y 2 )2
z −2 = r−2 ej(−2ϕ) = 12 [cos(−2ϕ) + j sin(−2ϕ)] = 12 [cos(2ϕ) − j sin(2ϕ)]
r
r
1
; Re{...} = 2 · cos(2ϕ)
r
;
Re{...} =
3
c) c = Im (z ∗ )
(z ∗ )3 = (x − jy)3 = x3 − 3x2 yj − 3xy 2 + y 3 j
;
Re{...} = y 3 − 3x2 y
d) d = Im[(z 3 )∗ ]
(z 3 )∗ = [(x + jy)3 ] = [x3 + 3x2 yj − 3xy 2 − y 3 j] = x3 − 3x2 yj − 3xy 2 + y 3 j
; Re{...} = y 3 − 3x2 y
∗
∗
Punktrechnung und Übergang zur konjugiert komplexen Zahl ist in der Reihenfolge
vertauschbar!
2
Aufgabe 5: Berechnen Sie
i
h
3 + 4j 10
a)
5
√
3 + 4j
1
9 + 16ejϕ tan ϕ = 43 ; ϕ = 0.927...
=
5
5
i
h
3 + 4j 10
= 110 ej10ϕ = cos(10ϕ) + sin(10ϕ) = 0.988.. + 0.151.. j
5
1 )6
b) (j + 1 +
j
√ jπ
j(1 − j)
1+j
1
1 = j(1 + j) + 1 = j =
2e 4
=
=
j+ 1+
2
2
1+j
1+j
j
(1 + j)(1 − j)
¸6
·√
3π
−j
2
1
j π4
6
= 18 ej 2 = 8
(j + 1 + j ) = 2 e
c)
£
π ¤9
(1 + j) · e−j 6
√ π
√ π
π
π
(1 + j) · e−j 6 = 2ej 4 · e−j 6 = 2ej 12
√
£√ ¤9 j 3π
£
π ¤9
)] = 16(−1 + j)
) + sin( 3π
2 e 4 = 16 2[cos( 3π
(1 + j) · e−j 6 =
4
4
Aufgabe 6: Bestimmen Sie die reellen Werte A und ϕ aus der Gleichung
i
h
1 + 3j 2
4ejϕ = A 1 − 2j
Übergang¯ zu Beträgen:
i2 ¯¯
h
¯
1
+
3j
|4ejϕ | = ¯¯A 1 − 2j ¯¯
·
¸2
|1 + 3j|
|1 − 2j|
¸2
·√
1
+
9
4 = A √
1+4
4 = A
Bestimmung des Winkels:
ejϕ = 12 · [...]2
[...]
[...]2
;
(1 + 3j)(1 + 2j)
−5 + 5j
1 + 3j
=
= 1 − 2j =
5
(1 − 2j)(1 + 2j)
= −2j
ϕ = 3π
2
4 = A·2
;
A=2
Aufgabe 7: Berechnen Sie alle (reellen und komplexen) Lösungen der Gleichungen
a) z 3 = j
√
2π
π
π
3
z = 1ej 2 = 1ej( 6 +k· 3 ) ; k = 0, 1, 2
Im
z2
√
z1
1
(
2
3 + j)
√
z2 = 12 (− 3 + j)
z1 =
Re
z3 = −j
z3
3
√
b) z 2 = −1 + j · 3
p
√ π
2
2π
z = 2ej 3 = 2ej 3 +kπ ; k = 0, 1
√
2[cos( π3 ) + j sin( π3 )]
z0 =
√
√
1
2 · ( 2 + 23 )
=
Im
z1
Re
z1 = −z0
z2
c) 32z 5 − 243 = 0
z =
=
=
q
5
q
5
Im
z1
243 ej0
32
z2
243 ej 2kπ
5
32
3 j 2kπ
e 5 ;
2
z0
Re
k = 0, 1, 2, 3, 4
z3
z4
4 =0
d) z 3 + 1 +
j
Im
z0
4
−1 +
j
p
√
3π
3
2 2ej 4
=
√ j( π + 2π )
2e 4 3 ; k = 0, 1, 2
=
z =
q
3
z1
Re
z2
π
j
2
1
+
2e
e) z −
π =0
−j
2+e 2
v
u
π
j
u
4 1 + 2e 2
t
z =
π
−j
2+e 2
r
√
1 + 2j
= 4 2−j = 4j
4
=
√
4
1e
= 1e
z1 Im
z0
Re
z2
z3
j π2
j( π8 +
k · π)
2 ; k = 0, 1, 2, 3
f ) z 2 − 2jz + 3 = 0
z1,2 =
2j ±
p
√
(−2j)2 − 12
= j ± −4 = j ± 2j
2
4
Aufgabe 8: In welchen Quadranten der
komplexen Ebene besitzt die Gleichung
z 3 + 1 − j = 0 keine Lösung ?
Im
z0
√
3
z1
−1 + j
p
√ j 3π
3
2e 4
=
√
2kπ
π
= 6 2ej( 4 + 3 ) ; k = 0, 1, 2
z =
Re
z2
Aufgabe 9: Zeigen Sie, daß z1 = 1 + j eine Lösung der Gleichung z 4 − 3z 3 + 2z 2 + 2z − 4 = 0
ist und geben Sie die restlichen Nullstellen an.
(1 + j)4 − 3(1 + j)3 + 2(1 + j)2 + 2(1 + j) − 4 = −4 − 3 · (−2 + 2j) + 2 · (2j) + 2(1 + j) − 4 = 0
Mit z1 = 1 + j ist auch z2 = z1∗ = 1 − j Nullstelle und damit
[z − (1 + j)] · [z − (1 − j)] = z 2 − 2z + 2 als Faktor enthalten:
4
3
2
2
2
(z − 3z + 2z + 2z − 4) : (z − 2z + 2) = z − z − 2
z3 = −1; z4 = 2
5
;
z3,4
√
1+8
1
±
=
2
R. Mohr FK 2 Blatt 2 Komplexe Zahlen II WS 2004/5
Aufgabe 1: Von einem Polynom 5.Grades mit reellen Koeffizienten
p5 (z) = 2z 5 + a4 z 4 + a3 z 3 + a2 z 2 + a1 z + a0
sind folgende Nullstellen bekannt:
z1 = 1 ,
z2 = 1 +
√
3j ,
z3 = j
Bestimmen Sie die restlichen Nullstellen sowie die Koeffizienten ak des Polynoms.
√
√
Mit z2 = 1 + 3j und z3 = j sind auch z4 = z2∗ = 1 − 3j sowie z5 = z3∗ = −j Nullstellen
des Polynoms.
p5 (z) = 2 · (z − 1) · [(z − 1 −
√
3j)(z − 1 +
√
3j)] · [(z − j)(z + j)]
= (z − 1) · [z 2 − 2z + 4] · [z 2 + 1]
= 2 · (z 5 − 3z 4 + 7z 3 − 7z 2 + 6z − 4)
= 2z 5 − 6z 4 + 14z 3 − 14z 2 + 12z − 8
Aufgabe 2: Welche Punkte der komplexen Zahlenebene erfüllen folgende Bedingungen.
a) |z − z0 | < 1 ; z0 = −2 + 3j
b) 2 ≤ |z − 1 − j| < 3
Im
Im
3
1
–1
Re
–2
Inneres des Kreises um (−2|3) mit Radius 3
¯ ¯
¯ ¯
=1
c) ¯ z−j
z+j ¯
;
Re
|z − j| = |z + j|
x2 + (y − 1)2 = x2 + (y + 1)2
;
Kreisring um (1|1) mit Innenradius 2
und Außenradius 3 (Der innere Kreis
gehört zum Gebiet, der Äußere nicht)
|z − j|2 = |z + j|2
;
y = 0 reelle Achse
1
;
d) |z|2 = 1 − Im(z)
2
= 1−y
1
4
= 1 + 14 ;
µ √ ¶2
5
=
2
x +y
x2 + y 2 + y +
2
x + (y +
1 2
)
2
Kreis um (0| −
Im
2
1
)
2
;
Re
−0.5
√
und Radius 25
e) |z|2 · Re(z) = 1
2
2
Im
(x + y ) · x = 1
;
1 − x2 ;
y2 = x
q
1 − x2
y = ± x
f ) z ∗ = z + 6j
;
1
x − yj = x + yj + 6j
;
Re
y = −3 .... Parallele zur reellen Achse
Aufgabe 3: Bestimmen Sie durch komplexe Zeigeraddition folgende harmonische Schwingungen mit cos als Grundfunktion.
Wie lauten die entsprechenden Darstellungen mit Sinus als Grundfunktion ? Skizzieren Sie
die Schwingungen; wo liegen Nullstellen, Extrema und Wendepunkte ?
a)
2 cos
¡x
2
−
π
4
¢
− cos x2 = 2 cos
¡x
2
−
π
4
¢
+ cos
¢
¡
x
π
x
π
x
2ej ( 2 − 4 ) + ej ( 2 +π) = ej 2 · 2e−j 4 + ejπ
j x2
= e
·
¡√
2−
√
¡x
2
+π
¢
2j − 1 =
¢
q
√
x
5 − 2 2 ejϕ · ej 2
| {z }
1.4736..
√
−
; ϕ = −1.2858..
mit tan ϕ = √ 2
2−1
p
√
√
¢ p
¡
¢
¡
2 cos x2 − π4 − cos x2 = 5 − 2 2 cos x2 + ϕ = 5 − 2 2 sin( x2 + ϕ + π2 )
| {z }
0.2849..
b) 3 cos x + 4 sin x = cos x + 4 cos(x − π2 )
2
¡
π¢
π
3ejx + 4ej(x− 2 ) = ejx · 3ej0 + 4e−j 2
= ejx · (3 − 4j)
√
= ejx · 9 + 16ejϕ
mit tan ϕ = −4
3
ϕ = −0.9272..
;
)
3 cos x + 4 sin x = 5 cos(x + ϕ) = 5 sin(x + ϕ + π
| {z 2}
0.6435..
¢
¢
¡
¢
¡
¢
¡
¡π
= cos π2 x + π4 + 2 cos π2 x − π3
c) cos 2 x + π4 − 2 sin π2 x − 5π
6
¡ π
π¢
π
π
π
π
π
ej( 2 x+ 4 ) + 2ej( 2 x− 3 ) = ej 2 x · ej 4 + 2ej− 3
√
√
π
2
x
= e 2 · ( 2 + 22 j + 1 − 3j)
p
√
√
π
5 + 2 − 6ejϕ · ej 2 x
=
mit tan ϕ =
p
cos
¡π
5+
√
Skizzen
√
2 −√
2 3
2+ 2
√
x+
2
2−
π
4
√
¢
− 2 sin
ϕ = −0.5407..
;
¡π
x−
2
5π
6
¢
π
6 sin( π2 x + ϕ + )
| {z 2}
1.0300..
p
=
5+
√
2−
√
6 cos
=
¡π
x+ϕ
2
¢
b)
c)
–8
–6
–4
4
3
2
1
–2
2
4
6
8
a)
Aufgabe 4: Gegeben sind die beiden harmonischen Schwingungen
¢
¡
¢
¡
f1 (t) = cos ωt + π4 ; f2 (t) = a sin ωt + π6
Wie muß die Amplitude a der Schwingung f2 gewählt werden, damit sich bei der Überlagerung f (t) = f1 (t) + f2 (t) eine reine Cosinus-Schwingung ergibt (Phasenwinkel 0) ? Welche
Amplitude hat dann f (t) ?
3
¢
¡
f2 (t) = a cos ωt − π3
Komplexe Erweiterung:
π
π
π
π
f1 (t) + f2 (t) = ej(ωt+ 4 ) + aej(ωt− 3 ) = ej(ωt · (ej 4 + ae−j 3 ) =
√
√
√
a
2
2
jωt
e · ( 2 + 2 j + 2 − a 23 j)
√
√
√
3
2
√2
Phasenwinkel 0 ;
2 −a 2 =0 ; a= 3
µ√
√ ¶
1
2
jωt
√2
f (t) =
2 + 2 · 3 ·e
}
{z
|
1.115..
Aufgabe 5: Diskutieren Sie die Ortskurven
a) z(t) = t + j(tµ− 3)¶
b) z(t) = −2 + j + 3 cos t + 3j sin t
¶
µ
t
x
z(t) = −2 + j + 3 · ejt
=
Gerade ~x =
t−3
y
Kreis um z0 = −2 + j mit Radius r = 3
j+2
c) z(t) = 2−jt
j+2
w = 2 − jt
j+2
interpretierbar als: w = f (z) = 2 − z mit z = jt (imaginäre Achse)
wegen kreisverwandtschaft geht Gerade in Kreis über;
wir bestimmen 3 Punkte:
0
t ∞ −1
w 0 1 1+
j
1
+4
2
1 2
) + (v
2
dies ist Kreis um Mittelpunkt w0 =
j
2
√
und Radius r = 45
5
− 14 )2 = 16
Kreisgleichung(w = u + jv): (u −
direkte Parameterdarstellung:
4 − t + (2 + 2t)j
(j + 2) · (2 + jt)
j+2
=
w = u + jv = 2 − jt =
2
4 + t2
4+t
u = 4 − t2 ;
4+t
d) z(t) =
v = 2 + 2t2
4+t
;
erfüllt Kreisgleichung!!
jt
2−jt
jt
jt
w = 2 − jt interpretierbar als: w = f (z) = 2 − z mit z = jt (imaginäre Achse)
wegen Kreisverwandtschaft geht Gerade in Kreis über;
wir bestimmen 3 Punkte:
0
2
t ∞
w −1 − 12 + 12 j 0
dies ist Kreis um Mittelpunkt w0 = − 12 und Radius r = 21
Kreisgleichung(w = u + jv): (u + 12 )2 + v 2 = 14
direkte Parameterdarstellung:
(jt) · (2 + jt)
−t2 + +2tj
jt
;
=
w = u + jv = 2 − jt =
4 + t2
4 + t2
2
u = −t 2 ;
4+t
v=
2t
4 + t2
erfüllt Kreisgleichung!!
4
Skizzen
− 12 + 12 j
Im
Im
1 + 12 j
Re
−1
1
Re
Aufgabe 6: Gegeben ist die Abbildung w =
1
z−1
a) Bestimmen Sie die Bilder folgender Kurven bzw. Gebiete
wegen Kreisverwandtschaft geht Gerade in Kreis über; wir bestimmen 3 Punkte:
a1 ) Einheitskreis
j
z 1 −1
w ∞ − 12 − 12 − 12 j
Parallele zur imaginären Achse durch w = − 21
a2 ) reelle Achse
z 1 −1 0
w ∞ − 12 −1
reelle Achse
− 12 + 12 j
Im
a3 ) imaginäre Achse
−1
0 ∞
−j
j
z
1
1
1
1
w − 2 − 2 j − 2 + 2 j −1 0
Kreis um w = − 12 mit Radius 21
− 12 − 12 j
a4 ) Halbebene Re (z) < 0
Grenze geht in den oben bestimmten Kreis über!
z = −2 geht in den Punkt w = − 12 über.
Damit geht Re(z) < 0 ins Innere des Kreises über.
b) Bestimmen Sie die Urbilder folgender Kurven
1
w= z−
1
;
Re
+1
z = ww
5
b2 ) |w | = 2
b1 ) Im (w ) = 1
j
w
z 1−j
−2j
2j
w 2 −2
z 32 12 1 − 12 j 1 + 12 j
1 + j −1 + j ∞
− 12 j 12 − 12 j 1
3
2
Kreis um z = 1 mit Radius 21
Kreis um z = 1 − 21 j mit Radius 12
Im
Im
1 + 12 j
1
1
2
Re
1
2
− 12 j
3
2
Re
3
2
−
1
2j
1 − 21 j
1−j
Aufgabe 7: Für welche komplexe Zahlen z gilt:
4−j
2+j
1+j
2z
a) 1 − j · z + 2 +
2j = 1 b) 2 − 2j · z + 1 + 2j = 1 − j
(1 + j)2
1−j
·z+ 2 ·z = 1
2
j·z+
;
(4 − j)(1 − 2j)
(2 + j)(2 + 2j)
·z = 1−j−
5
8
1−j
2 ·z = 1
2 − 9j
2 + 6j
8 ·z = 1−j− 5
1+j
2 ·z = 1
5 − 5j + 9j − 2
1 + 3j
5
4 ·z =
z =1−j
z = 6
4(3 + 4j)
5(1 + 3j)
(3 + 4j)(1 − 3j)
z = 45 ·
10
15 − 5j
z = 45 · 10
;
n o
c) Im z1 = 12
z = 25 · (3 − j)
Im
x − jy
1
x + jy = x2 + y 2
−y
= 12
Im{ z1 } = 2
x + y2
1
z =
Re
−1
−2y = x2 + y 2 ; x2 + y 2 + 2y + 1 = 1
; x2 + (y + 1)2 = 1
Kreis um (0| − 1) mit Radius 1 ohne Nullpunkt
6
Aufgabe 8: Zerlege in Linearfaktoren
a) P3 (z) = z 3 + 3z 2 + z
2
√
√
9
−
4
−3
±
3
= − 2 ± 25
=
2
P5 (z) = z · (z + 3z + 1) z2,3
}
{z
|
=0 √
√
3
5
3
P5 (z) = z · (z + 2 + 2 ) · (z + 2 − 25 )
b) P5 (z) = z 5 − 2z 4 + z − 2
√
√
kπ
π
4
z1 = 2 ; z 5 − 2z 4 + z − 2 : (z − 2) = z 4 + 1 z2,3,4,5 = 4 −1 = 1ejπ = 1 · ej( 4 + 2 )
√
√
2
z2,3,4,5 = ± 2 ± 22 j
√
√
√
√
√
√
√
√
2
2
2
2
2
2
2
P5 (z) = (z − 2) · (z − 2 − 2 j) · (z − 2 + 2 j) · (z + 2 − 2 j) · (z + 2 + 22 j)
}
{z
} |
{z
|
√
√
2
2
z + 2z + 1
z − 2z + 1
Aufgabe 9: Beschreiben Sie die Lage der Punkte z, für die gilt:
a) Re{z} ≥ 12
z = x + jy ; Re{z} = x ≥ 12
Im
1
Halbebene ”rechts” der Geraden x = 2
Re
b) 0 ≤ Re{j · z} ≤ 2π
z = x + jy ; j · z = −y + jx ;
Re{j · z} = −y
0 ≤ −y ≤ 2π ; −2π ≤ y ≤ 0
Streifen zwischen der Geraden y = −2π
und der reellen Achse
c) Re{z 2 } = 1
z = x+jy ; z 2 = x2 −y 2 +2xyj ;
Re{z 2 } = x2 − y 2
x2 − y 2 = 1 ... Hyperbel um Ursprung mit
Halbachsen a = b = 1
Im
Re
Im
Re
7
R. Mohr FK 2 Blatt 3 Komplexe Zahlen III WS 2004/5
Aufgabe 1: Gegeben ist der komplexe Widerstand
1
3
; Z2 = jωL
mit Z1 = R ; Z2 = jωC
Z(ω) = Z1 + ZZ2+ZZ
2
3
a) Berechnen Sie Realteil, Imaginärteil und Betrag von Z(ω)
1
jωL
jωC · jωL
L
=R+
=R+
Z(ω) = R +
1
1
1
−
ω 2 CL
jωCL + jωC
jωL + jωC
ωL
Re{Z(ω)} = R; Im{Z(ω)} =
1
−
ω 2 CL
r
ω 2 L2
|Z(ω)| = R2 +
(1 − ω 2 CL)2
b) Wo liegen alle Z(ω) in der komplexen Zahlenebene ?
jωL
ωL
;
; u = R; v =
w = u + vj = R +
1 − ω 2 CL
1 − ω 2 CL
Alle Z(ω) liegen auf der Parallelen zur imaginären Achse durch R; Dabei werden alle
Punkte durchlaufen:
ωL
; v − ω 2 CLv = ωL
v=
1 − ω 2 CL
√
L2 + 4v 2 CL besitzt für alle v Lösungen!
−L
±
2
vCLω + Lω − v = 0 ; ω1,2 =
2vCL
c) Für welches ω wächst |Z(ω)| über alle Grenzen ?
jωL
zu Null wird!
Wenn Nenner in Z(ω) = R +
1 − ω 2 CL
1 − ω 2 CL = 0 ; ω = √ 1
CL
Aufgabe 2: Gegeben ist die folgende Schaltung
i1
R1
C
i2
iG
mit den Konstanten
und der Spannung
R2
L
U (t)
L
C
R2
R1
50 Ω 20 Ω 200 µF 200mH
´
³
U (t) = 200 cos 100s · t V .
Ermitteln Sie die Ströme i1 , i2 durch die beiden Zweige sowie den Gesamtstrom iG .
V
1
Ri1 = 50 [ V
A ] + j100 [s−1 ] 200 · 10−6 [AsV −1 ] = 50 − 50j [ A ]
V
−1
−3
−1
Ri2 = 20 [ V
A ] + j100 [s ] 200 · 10 [V sA ] = 20 + 20j [ A ]
1
7 − 3j
1+j 1−j
1
1
1
1
1
RG = Ri1 + Ri2 = 50 − 50j + 20 + 20j = 100 + 40 = 200
200(7 + 3j)
RG = 7 200
58
− 3j =
;
R = Ui
ejωt
;
1. Zweig: 50 − 50j = U0j(ωt−α
1)
i1,0 e
√
200
; α1 = − π
tan α1 = −1
= 2 2;
i1,0 =
1
4
|50 − 50j|
2. Zweig:
i2,0 =
20 + 20j =
U0 ejωt
i2,0 ej(ωt−α2 )
√
200
= 5 2;
|20 + 20j|
Gesamtstrom:
;
;
tan α2 =
1
1
;
U0 ejωt
200 (7 + 3j) =
58
iG,0 ej(ωt−αG )
√
tan αG = 73 ;
= 58;
α2 = π
4
;
58
αG = 0.4048...
|7 + 3j|
Gesamtstrom über Addition der Teilströme:
√ π
√
π
iG = i1 + i2 = 2 2e−j 4 + 5 2ej 4
√
√
√ √2
√ √2
2
= 2 2( 2 − j 2 ) + 5 2( 2 + j 22 ) = 7 + 3j
√ jα
58e g
=
ig,0 =
;
iG,0 =
√
58
tan αG =
3
7
αG = 0.4048...
;
Aufgabe 3: Gegeben ist die folgende Schaltung
R
U (t)
L
C
mit den Konstanten
und der Spannung
ω
L
C
R
50 Ω 400 µF 500 mH 50 s−1
U (t) = 200 cos(ωt) V .
a) Berechnen Sie den Gesamtstrom i.
1
1
1
1
R = RΩ + RC + RI =
1
1
+ jω [s−1 ] 400 · 10−6 [AsV −1 ]
+
50 [V A−1 ] jω [s−1 ] 500 · 10−3 [V sA−1 ]
2
=
1
50
R=
2 + j · 4ω =
+ jω
104
1
50
+j
n
4ω − 2
104 ω
o
o
n1
1 + j 4ω − 2
50
104 ω
ω = 50 R = 1 1 1 = 25(1 + j)
50 − j 50
U0 ejωt
;
Gesamtstrom: 25(1 + j) =
iG,0 ej(ωt−αG )
√
tan αG = 11 ; αG = π
iG,0 = 200 = 4 2;
4
25|1 + j|
b) Für welche Frequenz ω wird die Stromstärke minimal ?
iG,0 wird minimal, wenn |R| maximal wird. Dies wird der Fall sein, wenn der von ω
abhängige Imaginärteil des Nenners zu Null wird.
R=
n
o
n1
1 + j 4ω − 2
50
104 ω
4ω − 2
104 ω
o
=0
;
√
ω = 50 2
3