Bewegungen – Kinematik Gleichförmige geradlinige Bewegung

Bewegungen – Kinematik
Kinematik ist die Lehre von der Bewegung von Körpern in Raum und Zeit
Ruhezustand: keine Bewegung eines Körpers in Bezug auf seine Umgebung mit der Zeit
(bzw. auf ein die Umgebung beschreibendes Koordinatensystem)
alle Bewegungen sind Relativbewegungen
Grundtypen der Bewegung
Translation
Rotation
Bewegung in eine definierte
Richtung
Bewegung um ein festes
Drehzentrum
Gleichförmige geradlinige Bewegung
bei dieser Bewegung ist die Geschwindigkeit v constant:
v = const
∆s
∆t
t1
t2
t3
t4
t5
= t3 - t2
∆s ~ ∆t
Weg-Zeit-Diagramm
2,5
v=
Weg, m
2,0
∆s
mittlere Geschwindigkeit
∆t
1,5
1,0
v=
∆s
0,5
ds
dt
Momentangeschwindigkeit
∆t
0
0
2
4
6
Zeit, s
8
10
12
[v] =
m
s
1
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
hier ist die Beschleunigung a constant: a = const
0
1
2
0 0,5
3
2
4,5
2,5
2
5
8
18
4,5
5,5
Zeit, s
Weg, cm
v, cm/s
∆v ~ ∆t
16
a=
12
∆v
∆t
mittlere
Beschleunigung
∆v
8
∆t
a=
4
0
6
12,5
3,5
20
6
Weg, cm
mittl. Geschwindigkeit, cm/s
0,5 1,5
4
4
0
0
1
2
3
4
5
6
[a] =
Zeit, s
dv
dt
Momentanwert der
Beschleunigung
m
s2
Freier Fall
frei fallende Körper werden zum Erdmittelpunkt hin beschleunigt
ein frei fallender Körper bewegt sich gleichmäßig beschleunigt
(bei Vernachlässigung von Reibungskräften und Luftwiderstand)
g = 9,81 m s-2
Fallbeschleunigung
Weg – Zeit – Gesetz
s = ½ g t2
Geschwindigkeit – Zeit – Gesetz
Berechnung der Fallzeit für einen Körper aus h = 30 m
t =
√2h/g
t = 2,47 s
Berechnung der Geschwindigkeit, mit der der Körper aus
30 m Höhe auf den Erdboden prallt
v = gt
v = 24,2 m/s
2
Diagramme und Gesetze
gleichförmig geradlinige Bewegung
gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Weg-Zeit-Diagramm
Geschw.-Zeit-Diagramm
s
t
t
t
Weg-Zeit-Gesetze
Beschl.-Zeit-Gesetze
Geschw.-Zeit-Gesetze
s = v0t
s=
Beschl.-Zeit-Diagramm
a
v
a0
t2
2
v = v0
a=0
v = a0t
a = a0
Gleichförmige Kreisbewegung
bei dieser Bewegung ist die Winkelgeschwindigkeit ω constant:
ω = const
∆t = t2 - t1
t2
∆ϕ
M
r
∆ϕ ~ ∆t
t1
ω =
∆ϕ
∆t
mittlere
Winkelgeschwindigkeit
Der Winkel wird in Bogenmaß gemessen!
Bogenmaß =
Bogenlänge b
Radius
Gradmaß
r
Bogenmaß
360º
2πr / r = 2π
180º
π
90º
π/2
ω =
dϕ
dt
Winkelgeschwindigkeit
[ ω ] = s-1 bzw. rad s-1
Radiant (rad) ist eine Zählgröße für
Winkel (Bogenmaß)
3
Gleichförmige Kreisbewegung
Bahn- und Winkelgeschwindigkeit sind einander proportional
v2
∆s
Winkelgeschwindigkeit,
Kreisfrequenz
v = ds/dt
Bahngeschwindigkeit
t2
∆ϕ
M
ω = dϕ/dt
v1
dϕ = ds/r
t1
r
v
r
ω =
Periodendauer (oder Umlaufzeit) T
v = ωr
T=2π/ω
Zeit für das Überstreichen des Winkels 2π
f=ω/2π
f=1/T
Frequenz (oder Umdrehungszahl) f
ω=2πf
Gleichförmige Kreisbewegung
jede Kreisbewegung ist eine beschleunigte Bewegung
v2
ω: Winkelgeschwindigkeit,
Kreisfrequenz
∆v
- v1
v:
Bahngeschwindigkeit
v1
∆v =
M
v2 - v1
∆v ist bei ∆t → 0 zum
Kreismittelpunkt gerichtet
ar =
dv
dt
ar = ω2 r
Radialbeschleunigung
ar =
v2
r
der Vektor der Radialbeschleunigung ist stets zum Kreismittelpunkt gerichtet
4
Ungleichförmige Kreisbewegung
bei dieser Kreisbewegung ändert sich die Winkelgeschwindigkeit
ω ≠ const
α=
ω
v
α=
∆ω
∆t
dω
Winkelbeschleunigung
dt
r
[ α ] = s-2
die Winkelgeschwindigkeit ω ist
ein axialer Vektor
zwei Einstellungen von ω parallel
zur Drehachse je nach Drehsinn
Harmonische ungedämpfte Schwingung
periodische Vergänge können auch als Schwingung beschrieben werden
Schwingungsvorgänge sind häufig in lebenden und nichtlebenden Systemen
Beispiele: zirkadiane Rhythmen, Muskelkontraktionen im Herz, Puls, Anzahl der Individuen einer
Population
Uhrpendel, Rotation der Erde um die Sonne, Bewegung eines Motorkolbens
T
x
Harmonische Schwingung
x0
Sinusfunktion
Weg-Zeit-Gesetz
x = x0 sin ωt
t
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
v = ωx0 cos ωt
v0 = ωx0
Beschleunigungs-Zeit-Gesetz
a = - ω2x0 sin ωt
a0 = ω2x0
- x0
T - Periodendauer
ω =
2π
T
ω - Kreisfrequenz
5
Kräfte - Newtonsche Axiome
sie verknüpfen die Kinematik und Dynamik eines Bewegungsvorganges
Trägheitsprinzip
Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung
solange keine Kräfte auf ihm einwirken bzw. alle wirkenden Kräfte sich gegenseitig aufheben.
Aktionsprinzip
Ein frei beweglicher Körper mit der Masse m erfährt durch eine Kraft F eine Beschleunigung a,
die der wirkenden Kraft proportional ist.
F=ma
Reaktionsprinzip
Wirken zwei Körper a und b aufeinander ein und übt a auf b die Kraft Fab aus, so wirkt b auf a,
so wirkt b auf a mit der entgegengesetzt gleichgroßen Kraft Fba = - Fab zurück.
actio = reactio
Schwerkraft
sie wirkt auf jeden Körper auf der Erdoberfläche und ist zum Mittelpunkt der Erde gerichtet
mk
Fs = mk g
Schwerkraft
mk – Masse des Körpers
Fs
g – Fallbeschleunigung
[F] = kg m s-2
g = 9,81 m s-2
Isaac Newton
(1643 – 1727)
1 kg m s-2 = 1 N
mk = ρk V
ρk – Dichte des Körpers
V – Volumen
Fs = ρ k V g
6
Auftrieb
der Auftrieb wirkt der Schwerkraft entgegen und hängt von der Masse des vom Körper
verdrängten Mediums ab
Prinzip von Archimedes
Ein in eine Flüssigkeit eingetauchter Körper erfährt einen
scheinbaren Gewichtsverlust, der gleich dem Gewicht der
von Körper verdrängten Flüssigkeitsmenge ist.
Ein Körper verdrängt eine bestimmte Menge an
Medium (Luft, Wasser usw.) der Masse mm
Auftrieb
FA = mm g
FA
mk, V
F A = ρm V g
ρm – Dichte des Mediums
Fs
Auftrieb
die Dichten von Körper und Medium bestimmen das (Bewegungs)verhalten des Körpers
Werte für die Dichte:
FA = ρm V g
Luft
1,027 kg m-3
Wasser
1000 kg m-3
Eis
Holz
Fs = ρk V g
917 kg m-3
400-800 kg m-3
Eisen
7000 kg m-3
Kupfer
8933 kg m-3
Fallbetrachtung:
1) ρk > ρm → Fs > FA
Körper sinkt
Der Auftrieb im Medium Luft
kann in der Regel vernachlässigt werden.
2) ρk = ρm → Fs = FA
Körper schwebt
3) ρk < ρm → Fs < FA
Körper steigt auf
7
Reibung zwischen Festkörpern
Haft-, Gleit- oder Rollreibung müssen überwunden werden, damit sich der Körper bewegt
bzw. seine Bewegungszustand aufrecht erhalten wird
zwischen nicht bewegten Körpern
Haftreibung
FR,H = µH N
Haftreibung
FR,H
F
µH – Haftreibungskoeffizient
hängt ab von Material und Oberflächenbeschaffenheit von Körper und Unterlage
F
N
Fs
Fs
N – senkrecht auf die Unterlage wirkende Komponente
der Schwerkraft
F < FR,H
Körper haftet
F = FR,H
Körper beginnt zu gleiten
Gleitreibung, Rollreibung
zur Aufrechterhaltung des
Gleitens bzw. Rollens muss
auch eine Reibung
überwunden werden
FR,G = µG N
Gleitreibung
FR,R = µR N
Rollreibung
µH > µG >> µR
µG, µR – Gleit- bzw. Rollreibungskoeffizient
Reibung in Flüssigkeiten
in Flüssigkeiten hemmt die Reibung zwischen Flüssigkeitsschichten die Bewegung eines
Körpers
Körper bewegt sich relativ zum Medium das Medium hemmt die Bewegung
FR
FA
→ Reibungskraft FR
Die Reibungskraft ist immer der Bewegung
entgegen gerichtet!
Flüssigkeit
Fs
Fs > FA
Körper sinkt
Reibung erfolgt zwischen den einzelnen
Flüssigkeitsschichten
Innere Reibung
v
Eine dünne Flüssigkeitsschicht haftet am Körper
und bewegt sich wie der
Körper.
analoge Aussagen gelten für die Reibung in Gasen
8
Reibung in Flüssigkeiten
die Viskosität von Flüssigkeiten beeinflusst das Reibungsverhalten
Fs = ρk V g
FR
F A = ρm V g
FA
Reibungskoeffizient
nach Stokes
für kugelförmige
Körper mit dem Radius rk
FR ~ v
FR = 6 π η rk v
Flüssigkeit
Reibungskraft
η - Viskosität
(Zähigkeit, innere Reibung)
Fs
[η] =
Ns
m2
= Pa s
Werte für die Viskosität:
Fs > FA
Körper sinkt
Wasser, 0ºC:
Wasser, 20ºC:
Wasser, 80ºC:
Blut:
Blutplasma
Rizinusöl, 20ºC:
1,792x10-3 Pas
1,002x10-3 Pas
0,355x10-3 Pas
3-4x10-3 Pas
1,6-2,2x10-3 Pas
990x10-3 Pas
Sedimentation
hier stellt sich nach einer kurzen Anfangsphase ein Kräftegleichgewicht ein
Fs = ρk V g
FR
F A = ρm V g
FA
V =
4 πr 3
k
3
FR = 6 π η rk v
Fs - FA - FR = 0
Flüssigkeit
Bestimmung der Viskosität von Flüssigkeiten
Fs
η=
2 rk2
9v
(ρk - ρm) g
Weitere Anwendungen
Fs > FA
Körper sinkt
Blutsenkung (Zellaggregate sedimentieren
schneller als Einzelzellen)
Trennung unterschiedlich großer Partikel
Bestimmung von v
aber auch Flotation (wenn ρk < ρm)
9
Kräfte bei Kreisbewegungen
die über die Radialbeschleunigung verknüpfte Zentripetalkraft zwingt den Körper auf eine
Kreisbahn
ar = ω2r
v
FP = m ω2r
ar
M
Zentripetalkraft
m
FP
Die Zentripetalkraft zwingt
den Körper auf eine Kreisbahn.
Beispiele:
Gravitation (Bewegung von Himmelskörpern)
Gravitationskraft
Elektrostatische Anziehung (Bohr‘sche Atommodell)
Coulombsche Kraft (anziehend)
Elastische Kräfte (Körper an einem Seil)
Elastische Kraft
Kräfte bei Kreisbewegungen
die Zentrifugalkraft ist der Zentripetalkraft entgegen gerichtet
FP = m ω2r
v
ar
M
FP
m
FZ
FZ = - FP
Zentrifugalkraft
Fliehkraft
Die Zentrifugalkraft ist eine Trägheitskraft.
Am Körper der Masse m greift
eine Kraft FZ an, die sich der
aufgezwungenen Kreisbewegung
widersetzt.
10
Zentrifugation
mittels Zentrifugation werden zelluläre und subzelluläre Proben getrennt
Winkelbecherrotoren
M
r
Schwenkbecherrotoren
FZ = mk ω2r
FR
FA = mM ω2r
FR = 6 π η rk v
FZ
r
FA
FZ = F A + FR
(für ρk > ρM)
v = const
Zentrifugation
die Sedimentationskonstante charakterisiert Makromolekülen bei Sedimentation
(für ρk > ρM)
v
Beispiele
Insulin
r
Berechnung von v
FA = mM ω2r
FZ = FA + FR
v =
S
S=
2 rk2
9η
FZ = mk ω2r
FR = 6 π η rk v
m=ρV
4
V =
π r k3
3
( ρk - ρM) ω2r
Svedberg
Sedimentationskonstante
v
ω2r
[S] = s
Sk in S
Mol.-gew. in Da
1,2
6 300
Myoglobin
2,0
16 900
Hämoglobin
4,5
63 000
Fibrinogen
7,6
340 000
Ribosom
70
1 000 000
Tabakmosaikvirus 174
(Protein)
59 000 000
die Sedimentationskonstante hängt nur von
Eigenschaften des Teilchens und Mediums ab
sie widerspiegelt die Größe eines
Biomoleküls
1 S = 10-13 s
11
Kräftegleichgewichte
Schweben bzw. Schwimmen
Sedimentation
FA
FA
Fs
Fs
FR
FA
Fs
Fs = F A
Zentrifugation
Bewegungen auf einer Kreisbahn
FR
FP = FZ
FP
FS = F A + FR
FZ
FZ
FA
FZ = FA + FR
Arbeit
bei Kraftwirkung wird an einem Körper Arbeit verrichtet
F
α
Spezielle Formen der Arbeit
s
Hubarbeit
h
W = mgh
W = F s cosα
[ W ] = Nm
Arbeit
Joule
1 Nm = 1 J
m
Beschleunigungsarbeit
m
allgemeiner
W=
1
2
mv2
v=0
v
W = ∫ Fds
Arbeit ist eine skalare Größe
12
Energie und Leistung
Energie und Leistung sind skalare Größen
Energie - Fähigkeit eines Körpers Arbeit zu verrichten
Potenzielle Energie
Energie der „Lage“ in zeitlich konstanten Kraftfeldern
Beispiel: angehobener Körper
Kinetische Energie
Energie der Bewegung
Leistung
verrichtete Arbeit
P =
W
t
Watt
[P]=W
1 W = 1 J s-1 = 1 Nms-1
Energieerhaltungssatz der Mechanik
das ist ein Sonderfall des allgemeinen Energieerhaltungssatzes
In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie, das heißt die
Summe aus potenzieller und kinetischer Energie, konstant.
Epot + Ekin = const
Spezialfall des allgemeinen Energieerhaltungssatz
In jedem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie konstant.
Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden; sie kann nur von
einer Form in eine andere umgewandelt werden.
Andere Energieformen:
Wärmeenergie, elektrische Energie, chemische Energieformen, Bindungsenergie,
Strahlungsenergie usw.
13
Impuls
auch der Impuls ist eine Erhaltungsgröße
Impulserhaltungssatz
p=mv
In einem abgeschlossenen System (es wirken keine
äußeren Kräfte) bleibt der Impuls erhalten.
Impuls
Beispiel 1: Rückstoß
[ p ] = kg m s-1
F=
a=
mR
v=0
∆v
∆t
vG
∆t
∆p
mG
p=0
p=0
∆(m v)
F=
unmittelbar
nach dem Start
m
Aktionsprinzip
F=ma
vR
vor dem Start
p = mRvR + mGvG
Beispiel 2: Entarretierung einer Feder
∆t
danach
zuvor
v1
F ∆t - Kraftstoß
m1
v1 = 0
m2
v2 = 0
v2
m1
p=0
m2
p=0
p = m1v1 + m2v2
Elastischer und inelastischer Stoß
in beiden Fällen gelten Impuls- und Energieerhaltungssatz gleichzeitig
Inelastischer Stoß
Elastischer Stoß
Teilchen werden nicht bleibend
verformt
Plastische Verformungen an den
stoßenden Körpern
Energieerhaltungssatz der Mechanik
gilt
Es gilt der allgemeine Energieerhaltungssatz, aber nicht der Energiesatz der Mechanik
Beispiel: Frontalzusammenstoß zweier
Kraftfahrzeuge
Beispiel: Zentraler Stoß zweier
Billardkugeln
zuvor
danach (´)
v1
m1
2
v1
v2
m1
m2
m2
m1v1 = m1v1´ + m2v2´
1
zuvor
m1v12 =
1
2
m1v1´2 +
1
2
m1
danach
v2
v´
m2
m1 + m2
m1v1 – m2v2 = (m1 + m2)v´
m2v2´2
v1´ = 0 v2´ = v1 (m1 = m2)
14
Drehmoment
ist eine der Kraft analoge Größe bei Rotationsbewegungen
Drehachse
(senkrecht zur Tafelebene)
α‘
F⊥
F
α
r
M = F r sinα
[ M ] = Nm
mit F⊥ = F sinα‘
M = F⊥ r
α‘
r⊥
Drehmoment
und sinα‘ = sinα
mit r⊥ = r sinα‘
M = F r⊥
und sinα‘ = sinα
Gleichgewicht
Σ Fi = 0
M = rxF
i
das Drehmoment ist ein axialer Vektor
durch ein Drehmoment ändert der Körper
seine Winkelgeschwindigkeit ω, er erfährt
somit eine Winkelbeschleunigung α
und
Σ Mi = 0
i
d. h. es tritt keine Translations- und
Rotationsbeschleunigung auf
Kräftegleichgewichte
Drehmomentengleichgewichte
Trägheitsmoment, Rotationsbewegungen
durch ein Drehmoment wird die Winkelgeschwindigkeit eines Körpers geändert
Drehachse
(senkrecht zur Tafelebene)
F
r
M = Fr
m
v=ωr
F=ma
F=m
∆v
∆t
F=mr
Aktionsprinzip für
Rotationsbewegungen
M=θα
Kinetische Energie für
Rotationsbewegungen
∆ω
∆t
Ekin =
1
2
θω2
M = m r2 α
θ = m r2
Trägheitsmoment
[ θ ] = kg m2
15
Drehimpuls
für den Drehimpuls gilt ebenfalls ein Erhaltungssatz
Drehimpulserhaltungssatz
L = θω
Drehimpuls
Wirken auf ein System keine äußeren Drehmomente, so bleibt der Gesamtdrehimpuls des
Systems konstant
[ L ] = kg m2 s-1
Beispiel: Pirouette
L
ω
v
r
Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit
sind axiale Vektoren
θ1 ω1
=
θ1 > θ2
θ2 ω2
ω1 < ω2
Zusammenfassung
Translation
Rotation
Weg
s
Winkel
ϕ
Geschwindigkeit
v
Winkelgeschwindigkeit
ω
Beschleunigung
a
Winkelbeschleunigung
α
Radialbeschleunigung
ar
Masse
m
Trägheitsmoment
θ
Kraft
F
Drehmoment
M
M=θα
F=ma
Kin. Energie
Impuls
1
mv2
2
p
Kin. Energie
Drehimpuls
1
θ ω2
2
L
16
Elastische Eigenschaften, Deformation fester Körper
Körper können unter Kraftwirkung auch deformiert werden
Wirkungen von Kräften
Beschleunigung von Körpern, Ortsveränderung
Veränderung der Körperform, Deformation
Elastische Deformation
Plastische Deformation
Der Körper nimmt nach Wegfall
der wirkenden Kraft seine
ursprüngliche Form wieder an
in der Regel bei „kleinen“ Kräften
Formveränderung bleibt dauerhaft
bestehen
Kräfte überschreiten bestimmte
Schwellenwerte
Materialbruch bei stärkeren
Belastungen
Feder als elastisches Element
mit einer elastischen Feder können Kräfte gemessen werden
Elastische Kraft
auch Federkraft genannt
Rückstellkraft einer Feder bei Dehnung (actio = reactio)
Fel = D s
gilt für kleine Kräfte
Fel – elastische Kraft, Federkraft
D - Federkonstante
s
[D]=N/m
Beispiele: Federwaage, Gummiseil
Fel
m
Fs
Spannarbeit
W=
1
2
Fel
Ds2
s
17
Dehnung
Körper werden durch Zugkräfte gedehnt
A
F
l
Kraft greift senkrecht an der
Stirnfläche des Stabes an
→ Zugkraft
l
ε =
∆l
σ =
l
ε - Dehnung
Der Stab wird durch die Kraft F
um die Strecke ∆l gedehnt
F
∆l
F
σ ∼ ε
A
σ - Zugspannung
Hookesches Gesetz
Hookesches Gesetz
es gilt nur bei Proportionalität von Zugspannung und Dehnung
Spannungs-Dehnungs-Diagramm
σ = Eε
σ
E - Elastizitätsmodul
Pascal
[ E ] = N / m2 = Pa
der Elastizitätsmodul ist eine
materialspezifische Größe und beschreibt
eine elastische Eigenschaft von Materialien
Beispiele für E
ε
Kupfer
1,2 ∗ 1011 Pa
Knochen
1010 Pa
Kautschuk
106 Pa
18
Querkontraktion
Zugkräfte verändern auch die Querabmessung von Körpern
l
F
∆l
∆a/2
l
εQ =
F
∆l
∆a
Verringerung der Querabmessung (Durchmesser,
Kantenlänge)
εQ = - µ ε
a
µ: 0 ... 0,5
Knochen:
Kupfer:
Kautschuk:
µ - Poissonsche
Zahl
εQ - Querkontraktion
0
0,35
0,5
materialspezifische Größe
Dehnung und Stauchung
Stauchung ist das Gegenstück zur Dehnung
Dehnung
∆a/2
l
∆l
F
Verlängerung
Querkontraktion
Volumenzunahme
Stauchung
∆a/2
F
l
Verkürzung
Querdilatation
Volumenabnahme
∆l
19
Allseitige Kompression
hier wird der Körper allseitig gleichmäßig belastet
F
σ =
F
F
F
Druckspannung
A
Volumenverminderung eines Körpers bei erhöhtem Druck
Form bleibt dabei erhalten
F
σ = K
F
∆V
∆V
V
V
K - Kompressionsmodul
= 3 (1 - 2 µ) ε
K=
E
3(1 - 2µ)
relative Volumenänderung entspricht Stauchung in allen
drei Raumrichtungen
[ K ] = Pa
materialspezifische Größe
Scherung
bei dieser elastischen Verformung wird der Körper seitlich versetzt
A
Kraft greift tangential zur
Auflagefläche an
→ Schubkraft
F
Scherwinkel
β
τ =
F
Schubspannung
A
F
G – Schermodul
τ = Gβ
[ G ] = Pa
materialspezifische Größe
Scherung und Dehnung treten meist gleichzeitig auf
G =
E
2(1 + µ)
20
Arten der elastischen Verformung
Dehnung
Verdrillung (Torsion)
Biegung
F
F
F
F
Stauchung
Scherung
F
Allseitige Kompression
F
F
Materialspezifische Größen
F
F
F
F
Elastizitätsmodul
E
Poissonsche Zahl
µ
Kompressionsmodul
K
Schermodul
G
Plastisches Verhalten
hier wird der Körper irreversibel deformiert
Spannungs-Dehnungs-Diagramm
σ
Elastizitätsgrenze
bei Überschreiten der Elastizitätsgrenze
wird der Körper irreversibel deformiert
→ plastische Deformation
Fließgrenze
Bruchgrenze
Proportionalitätsgrenze
Kurvenverlauf nach
Überdehnung
ε
εpl
bei vollständiger Entlastung
bleibt dauernde Dehnung zurück
bei erneuter Belastung σ(ε) auf
der gestrichelten Kurve
bei Überschreiten der Fließgrenze
beginnt das Material bei starker
Verkleinerung des Querschnitts zu
fließen
→ Materialbruch an der Bruchgrenze
plastische Materialien weisen einen
breiten Bereich der plastischen Deformation auf (sie sind verformbar,
z. B. Metalle)
spröde Materialien haben einen sehr engen
Bereich der plastischen Deformation (z. B.
Glas, Porzellan)
21
Zeitverhalten bei Deformationen
Materialien zeigen bei Belastung ein unterschiedliches Zeitverhalten
Elastisches Verhalten
F
Visköses Verhalten
F
Viskoelastisches Verhalten
F
t
t
∆l
∆l
t
∆l
t
t
Formänderung folgt
unmittelbar der
Kraftänderung
allmähliche Formänderung
veränderte Form
bleibt erhalten
Beispiel:
Schraubenfeder
Kolben in zäher
Flüssigkeit
t
zeitverzögerte Antwort
auf Kraftwirkung
Parallelität von Feder
und Kolben
Bedeutung des viskoelastischen Verhaltens
wichtige Elemente des Bewegungsapparates reagieren zeitverzögert
∆l
F
zeitverzögerte Einstellung neuer Zustände
Kraftstoß
Relaxationserscheinungen
Abpufferung von Kraftstößen bei heftigen Bewegungen
(Sprünge, Würfe u.a.)
t
Umorientierung und Ausrichtung polymerer Makromoleküle
Wassereinlagerung
Viskoelastische Elemente
Gelenkknorpel
Sehnen
Bänder
22
Druck
der Druck ist eine wichtige Eigenschaft in Flüssigkeiten und Gasen
In Gasen und Flüssigkeiten sind die einzelnen Teilchen in ständiger
Bewegung
Druck offenbart sich an Gefäßwänden oder Hindernissen
v⊥
→ „Trommelfeuer“
F = m
m, v
v=
F
dv
dt
v⊥
-
v⊥
v= bleibt
F
p =
A
p - Druck
A - Querschnittsfläche
[ p ] = N / m2 = Pa (Pascal)
Luftdruck
die umgebende Luft übt einen definierten Druck aus
p0 = 101,3 kPa
=
=
=
=
1 atm
1,013 bar
760 Torr
760 mmHg
p = p0 e
der Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe ab
p
p0
- (ρ0 / p0) gh
p0/2
Barometrische Höhenformel
p0 ρ0 g e -
Druck bei h = 0
Dichte bei h = 0
9,81 m / s2
2,718
0 h1/2
Meeresspiegel
h
~ 5500 m
23
Schweredruck
er tritt in Flüssigkeiten auf und hängt von der Höhe der Flüssigkeitssäule ab
Druck in Flüssigkeit
hängt von Höhe der
darüber liegenden
Flüssigkeitssäule ab
h
p = ρgh
Der Schweredruck hängt
nicht von der Gefäßform ab
Schweredruck
ρ - Dichte
g - Fallbeschleunigung
h - Höhe der Flüssigkeitssäule
Der Schweredruck ist eine Druckkomponente, die zusätzlich zum äußeren
Druck wirkt
Stempeldruck
er tritt in Flüssigkeiten und Gasen auf, die sich in einem geschlossenen Gefäß befinden
A
p =
F
F
A
Stempeldruck
Flüssigkeit strömt aus
Druckkomponente, die zusätzlich zum äußeren Druck wirkt (analog Schweredruck)
Schweredruck und Stempeldruck können gleichzeitig auftreten
Beispiele:
Kolben, Spritzen, Pumpen, Herz
24
Blutkreislauf
das Herz erzeugt einen Stempeldruck und pumpt Blut in den Körper- und Lungenkreislauf
Herzminutenvolumen
4 – 5 l/min
Volumen an Blut pro
Herzschlag
rund 70 ml
Anzahl der Herzschläge
pro Zeit
60 – 70 min-1
linke Herzkammer
Systole
120 mmHg (16 kPa)
Diastole
~ 0 mmHg
Oberarm
120 mmHg (16 kPa)
80 mmHg (10.7 kPa)
Strömende Flüssigkeiten, Grundbegriffe
Druckdifferenz und Stromstärke sind wichtige Kenngrößen in der Hämodynamik
l
Ursache für eine Strömung:
Druckdifferenz längst einer Strecke
∆p = p1 - p2
p1 > p2
∆V
p1
p2
∆p
Druckgradient
l
I =
∆V
hydrodynamische
Stromstärke
∆t
I ~ ∆p
I =
[I] =
m3
s
Maß für die Menge, die strömt
1
RH
∆p
RH - Strömungswiderstand
Grundgesetz der Hämodynamik
(in Analogie zum Ohmschen Gesetz
in der Elektrik)
25
Kontinuitätsgleichung
diese Gleichung resultiert aus der Inkompressibilität von Flüssigkeiten
v1
l
A
∆x
p1
∆V
I = ∆t
v2
∆V
p2
I = A
A2
A1
Flüssigkeiten sind inkompressibel
∆x
∆t
I1 = I2
v
I = Av
A1 v1 = A2 v2
Kontinuitätgleichung
v - mittlere
Strömungsgeschwindigkeit
Strömungsarten
eine laminare Strömung ist energetisch günstiger
Strömung in Schichten
Stromlinien verlaufen parallel, sie überschneiden
sich nicht
v=0
am Rand
vmax
in der Mitte
parabolische Verteilung der Geschwindigkeit
infolge der inneren Reibung
laminare Strömung
Bildung von Wirbeln
Stromlinien nicht parallel, sie überschneiden sich
Bei Zunahme der Strömungsgeschwindigkeit schlägt ein
laminarer Fluss in eine
turbulente Strömung um.
Blutgefäße:
in der Regel laminare Strömung
energetisch ungünstiger
turbulente Strömung
bei Turbulenzen: hohe v an Gefäßwänden
→ Gefahr einer Endothelschädigung
26
Strömungswiderstand bei laminarem Fluss
der Gefäßradius bestimmt wesentlich die Stromstärke
l
Regulation der Durchblutung
I ~ r4
p1
I ~
p2
∆
p
I =
π r4
I =
∆
8ηl
p
∆
kleine Änderungen des Gefäßtonus
führen zu großen Änderungen der
Stromstärke
p
RH
Hagen-Poiseuillesches
Gesetz
Newton‘sche Flüssigkeit
I
η = const
RH =
8ηl
Strömungswiderstand
π r4
∆p
Parallel- und Reihenschaltung von Gefäßen
analoge Betrachtungen gelten für elektrische Ströme
Verzweigung von Gefäßen
I1
I
I2
l
∆p1
RH1
∆p2
RH2
I = I1 + I2
in jedem Verzweigungspunkt ist die Summe der
einlaufenden Ströme gleich der Summe der
abfließenden Ströme
∆p1 = ∆p2
in parallelen Strömungszweigen herrscht
dasselbe Druckgefälle
1
RH, ges
=
1
RH1
+
1
RH2
Hintereinanderschalten von Gefäßen
I1
RH1
∆p1
I2
RH2
∆p2
I = I1 = I2
RH, ges = RH1 + RH2
∆p1 = I RH1
∆p2 = I RH2
27
Statischer Druck
der statische Druck vermindert sich in bewegten Medien
Druck als Trommelfeuer
Ruhendes Medium
Komponentenzerlegung des Geschwindigkeit v
p=F/A
Der senkrecht auf eine Fläche wirkende Druck
heißt statischer Druck
F
Bewegtes Medium
flacherer Aufprall der Teilchen auf Wand
in bewegten Medien
v
die wirkende Kraft F und somit der
statische Druck p werden kleiner
je größer v, desto kleiner p
F
Gleichung von Bernoulli
diese Gleichung folgt aus dem Energieerhaltungssatz
v1
V
v1 < v2
Annahmen:
v2
kein Druckabfall zwischen 1 und 2
V
reibungsfreie Strömung (µ = 0)
starres Gefäß
A2
„ideale Flüssigkeit“
„ideale Strömung“
A1
v1 < v2
Wpot + Wkin
m
p1 V +
v2
2 1
p1 +
ρ
2
p+
=
m
p2 V +
v2
2 2
v12 = p2 +
ρ
2
ρ
2
v2 = const
/ :V
v22
ρ
2
p1 > p2
an der engeren Stelle wird der
kleinere Druck gemessen
p - hydrostatische Druck
(wirkt senkrecht auf die Gefäßwand)
v2 - Staudruck, dynamische Druck
28
Phänomene an Mediengrenzen
zahlreiche Interaktionen zwischen Molekülen finden in biologischen Systemen an
Mediengrenzen statt
Mediengrenzen:
fest / fest
fest / flüssig
fest / gasförmig
flüssig / gasförmig
flüssig / flüssig (nicht mischbare Flüssigkeiten)
Festkörper:
definiertes Volumen, definierte Form
Flüssigkeit:
definiertes Volumen, Form passt sich an
Gas:
füllt einen zur Verfügung stehenden Raum aus
Mediengrenzen sind gleichzeitig Kontaktflächen
Form von Mediengrenzen (und damit die Ausbildung von Strukturen)
wird durch Wechselwirkungen der beteiligten Moleküle bestimmt
→ Energieminimum
Wechselwirkungskräfte
benachbarte Moleküle interagieren miteinander
Medium 1
Kohäsionskräfte
Kräfte zwischen Molekülen
eines Mediums
Medium 2
Adhäsionskräfte
Kräfte zwischen Molekülen
unterschiedlicher Medien
Fallbetrachtung
Fkoh > Fadh
kleine Kontaktfläche,
Tropfenbildung
nicht benetzende Flüssigkeiten
Fkoh < Fadh
große Kontaktfläche,
benetzende Flüssigkeiten
29
Oberflächenspannung
diese Größe verknüpft Änderungen der Energie und Oberfläche miteinander
σ ist eine spezifische Größe
Beispiele:
Oberfläche A nimmt ab bei gleichbleibendem Volumen
Energie wird frei
∆W
= σ ∆A
72,9 • 10-3 N/m
50 • 10-3 N/m
Quecksilber
478 • 10-3 N/m
32 • 10-3 N/m
Oberflächenspannung
eines der Medien ist Luft
∆A - Änderung der
Oberfläche
σ
Wasser
Blutplasma
Olivenöl
∆W - freigesetzte bzw.
benötigte Energie
Luft / Medium
Grenzflächenspannung
zwei beliebige Medien
- Oberflächenspannung
[ σ ] = J / m2 = N / m
Abreißen einer Flüssigkeitslamelle, Drahtbügel
l
l
x
x
∆x
F
∆W =
F ∆x
∆W =
σ 2 l ∆x
F
F
F
F = 2σl
Mit der Drahtbügelmethode kann die Oberflächenspannung von
Flüssigkeiten bestimmt werden
30
Abreißen einer Flüssigkeitslamelle, Metallring
∆W
σ =
F
∆A
Metallring
Fmax h
∆W =
Kraft im Moment
des Abreißens
Flüssigkeitsfilm
d
h
∆A = 2 π d h
σ =
Fmax
2πd
Auch mit einem Metallring kann die Oberflächenspannung von
Flüssigkeiten bestimmt werden
Druck an gekrümmten Oberflächen
im Inneren von Tropfen und Vesikeln herrscht ein höherer Druck als in der Umgebung
Beispiel:
p0
r
p0 + ∆ p
Wassertropfen oder
Luftblase in Wasser
ra
ri
∆p
=
2σ
r
σ = 72 • 10-3 N/m
r = 10-3 m
∆p = 144 Pa
r = 10-6 m
∆p = 144 kPa
∆p - Kohäsionsdruck
ri ~ ra
r
∆p
=
4σ
r
Lamelle,
Seifenblase
Membranvesikel
31
Oberflächenspannung und Tropfengröße
auch die Größe von Tropfen hängt von der Oberflächenspannung ab
Bestimmung von σ über die Tropfengröße
Tropfenzähler
ra
∆A = 2π ra ∆x
∆W = Fs ∆x
ri
∆W = σ ∆A
Fs = 2π ra σ
Fs ∼ σ
Tropfengewicht und Oberflächenspannung sind proportional
∆x
Vergleich mit Eichflüssigkeit (Wasser)
σ1 = σ0
ρ1 · n0
ρ0 · n1
ρ - Dichten
n - Tropfenzahl für
ein gegebenes V
Stalagmometer
Fs
Normaltropfenzähler
Fs
Effekte an Kapillaren
Flüssigkeiten in enge Kapillaren zeigen ausgeprägte Oberflächeneffekte
Benetzende Flüssigkeit
Aszension
möglichst große gemeinsame
Oberfläche zwischen Flüssigkeit
und Kapillare
je enger die Kapillare, desto
ausgeprägter der Effekt
Beispiele
feuchtes Mauerwerk
schlechte Isolation
Aufstieg von Wasser in Pflanzen
Depression
Nichtbenetzende Flüssigkeit
möglichst kleine gemeinsame Oberfläche
zwischen Flüssigkeit und Kapillare
32
Effekte an Kapillaren
die kapillare Steighöhe ist eine Funktion der Oberflächenspannung
Fσ
2r
rk
Aszension
Fs
h
ϕ
Randwinkel
kapillare Steighöhe
Fs = ρFl πr2h g
ps = ρFl h g
p=
ps = pσ
2σ
rk
h=
2σ
r
=
cos ϕ
bei vollständig benetzender
Flüssigkeit (cos ϕ = 1)
h=
2σ cos ϕ
r ρFl g
2σ
r ρFl g
Oberflächenaktive Stoffe
solche Stoffe akkumulieren an der Grenzfläche Wasser/Luft
Luft
vermindern z.T. drastisch σ (Wasser/Luft)
lagern sich bevorzugt an der Grenzfläche an
Wasser
amphiphile Moleküle
hydrophil
Fettsäuren
Seifen
Tenside
Phospholipide
Cholesterol
-O
O
hydrophob
Beispiel: Palmitinsäure
C
die Strukturbildung in biologischen Systemen wird durch amphiphile Stoffe
gewährleistet
33
Ausgewählte Wirkungen oberflächenaktiver Stoffe
Verminderung der Oberflächenspannung in den Lungenalveolen durch Surfaktantien
Bronchiole
Luft
Alveole
Gewebe (Wasser)
Grenzfläche Wasser / Luft
σ = 72,9 x 10-3 N/m
Surfaktantien (spezielle Phospholipide)
bedecken die Innenseite der Alveolen
σ etwa 1/10 von σWasser
beim Atmen ändert sich die Oberfläche der Alveolen ständig
elastische Verformung des Lungengewebe
Wechselspiel zwischen Oberflächenenergie und elastischer Energie
Surfaktantien minimieren den Energieaufwand bei der Atmung
34