Oberflächenspannung I

Oberflächenspannung I
In einer Flüssigkeit wirkt auf ein Molekül von allen Seiten die
gleiche Wechselwirkungskraft mit anderen Molekülen. Diese
Symmetrie ist an der Oberfläche verletzt. Ein Molekül hat an
der Oberfläche daher eine erhöhte potentielle Energie. Man
definiert eine spezifische Oberflächenenergie oder auch
Oberflächenspannung:
Energiezunahme bei Oberflächenzunahme
σ=
neue Oberfläche
Oberflächenspannung gegen Luft bei 18° C:
Quecksilber 0,471 N/m
Wasser
0,0729 N/m
Seifenlösung 0,030 N/m
Ethylether
0,017 N/m
1
Oberflächenspannung II
Für eine Kreisfläche gilt:
∆W F ∆r
F
=
=
σ=
∆A 2π r ∆r 2π r
⇒ F = σ 2π r
Dies ist die Kraft, mit der ein Tropfen an der kreisrunden Öffnung
eine Röhrchens hängt.
Wird eine kreisrunde Schlinge aus einer Flüssigkeit gezogen,
so ergibt sich:
∆W
F ∆h
F
=
=
σ=
∆A 2π r 2∆h 4π r
⇒ F = σ 4π r
Der zusätzliche Faktor 2 ergibt sich, da der gezogene Hohlzylinder
sowohl innen wie außen eine Oberfläche hat.
2
Beispiel: Tropfen I
Tröpfchen zeigen annähernd eine Kugelgestalt.
Die (näherungsweise) Kugelform ergibt sich aus der Bedingung, dass
die potentielle Energie ein Minimum annehmen muss. Von allen
Körpern hat die Kugel das kleinste Verhältnis von Oberfläche zu
Volumen. Damit wird also die Oberflächenenergie minimiert.
Auch andere Oberflächen von Flüssigkeiten, z.B. Seifenlösung in einem Ring, nehmen sogenannte Minimalflächen an.
In grober Näherung hat auch der Tropfen am
Ende eines Röhrchens kurz vor dem Abreißen
Kugelgestalt. Dann ergibt sich eine einfache
Bedingung für das Abreißen aus dem
Gleichgewicht zwischen dem Schweredruck im
Tropfen und der Oberflächenspannung.
3
Beispiel: Tropfen II
Am Ende des Röhrchens wächst der Tropfen durch in ihn hineinlaufende Flüssigkeit, bis er unter seinem eigenen Gewicht abreißt.
Kurz vor dem Abreißen hängt er an seinem Umfang (U = 2 π r,
dabei ist r der Rohrradius) mit der Kraft FO = U σ = 2 π r σ.
Beim Abreißen des Tropfens ist dies gleich der Gewichtskraft
FG = ρ V g:
Vρ g = 2π r σ
2π σ r
⇒ V=
gρ
Für Wasser und einen Rohrradius von r = 1 mm ergibt sich:
V ≈ 4,3 mm3
Der Tropfen ist daher nur ein wenig größer als der Rohrdurchmesser.
4
Grenzflächenspannung
Bei Kontakt zweier Flüssigkeiten mit i.d.R. unterschiedlichen
Oberflächenspannungen kommt es zur sogenannten Grenzflächenspannung (z.B. Wasser-Olivenöl: σ12 = 0,010 N/m).
Beispiel:
Schwimmt ein Öltropfen auf Wasser, so hat sowohl der Tropfen wie
auch das Wasser je zwei Grenzflächen: Luft und Wasser bzw. Öl
und Luft. An jeder Grenzflächen stellt sich eine unterschiedliche
Oberflächenspannung ein. Diese können entsprechend den vorhergehenden Betrachtungen über den Krümmungsradius der Grenzflächen in Kräfte übertragen werden. Aus dem Gleichgewicht der
Kräfte ergibt sich, dass der Tropfen eine Linsengestalt annimmt,
mit unterschiedlicher Krümmung zur Luft und zum Wasser.
5
Adhäsion und Kohäsion I
Die Kraft, mit der die Flüssigkeitsmoleküle untereinander
wechselwirken, bezeichnet man als Kohäsionskraft.
Die Kraft, die zwischen einer Flüssigkeitsoberfläche und einer
Wand auftritt, bezeichnet man als Adhäsionskraft.
Dabei können zwei Fälle unterschieden werden:
a) Die Adhäsionskräfte sind größer als die Kohäsionskräfte.
Die Flüssigkeit benetzt dann die Oberfläche.
b) Die Adhäsionskräfte sind kleiner als die Kohäsionskräfte.
Es tritt eine unvollkommene oder gar keine Benetzung auf.
a)
b)
6
Adhäsion und Kohäsion II
Aus dem Kräftegleichgewicht ergibt sich der Randwinkel über
das Kapillaritätsgesetz:
σ 13 − σ 23 = σ 12 cos(φ )
Die linke Seite der Gleichung bezeichnet man auch als Haftspannung.
Ist diese größer als σ12, so ist überhaupt kein Gleichgewicht möglich
und die Flüssigkeit kriecht an der Wand hoch. Je nach Vorzeichen
ergibt sich eine konkave oder konvexe Oberfläche der Flüssigkeit
im Kontakt mit der Wand.
1
3
φ
2
7
Kapillarität I
Unter Kapillarität versteht man die Wirkung der Oberflächenspannung einer Flüssigkeit in engen Röhren (Kapillaren).
a)
b)
8
Kapillarität II
Benetzende Flüssigkeiten (z.B. Wasser) steigen in Kapillaren hoch.
Die Steighöhe h lässt sich aus dem Gleichgewicht von
Schwerkraft und Oberflächenspannung wie folgt bestimmen:
Fg = π r 2 h ρ g
Fo = 2π r σ
mit Fo = Fg
2σ
⇒ h=
ρ gr
In kleinen Kapillaren ist die Steighöhe also größer.
9
Strömende Flüssigkeiten (Gase)
Die Flüssigkeitsmenge, die pro Zeiteinheit durch eine bestimmte
Fläche tritt, bezeichnet man als Fluss Φ.
Die Menge, die pro Zeiteinheit und pro Flächeneinheit fließt,
wird als Flussdichte j bezeichnet.
r
r
j=ρ v
r r
r r
Φ = ∫ j dA = ∫ ρ v dA
Anmerkung:
Der Flächenvektor
steht immer senkrecht
auf der Oberfläche.
Dabei trägt nur die Flüssigkeit zum Fluss bei, die senkrecht zur
betrachteten Fläche fließt. Offensichtlich kann die Flüssigkeit,
die parallel zur Oberfläche fließt, nicht zum Fluss durch diese
Fläche beitragen.
In Flüssigkeiten ist ρ im wesentlichen konstant (inkompressibel),
in Gasen ist sowohl ρ wie auch die Temperatur T eine Variable.
10
Kontinuitätsgleichung
Aufgrund der Erhaltung der Zahl der Teilchen (Moleküle) muss in
einer Zeit t die gleiche Menge Flüssigkeit durch jeden beliebigen
Querschnitt fließen (Voraussetzung: keine Quellen oder Senken).
Offensichtlich verhält sich dann die Strömungsgeschwindigkeit
umgekehrt proportional zum Querschnitt:
(wenn die Dichte der
A1
v1
A 2 < A1
v > v1
2
A1 v1 = A 2 v 2
Flüssigkeit konstant
bleibt)
allgemein :
r r
∂
∂M
j
d
A
dV
=
−
=
−
ρ
∫
∂ t V∫
∂t
r
∫ dA : geschlossene Oberfläche
Der Fluss durch eine geschlossene Oberfläche ist gleich der
zeitlichen Änderung der Masse im eingeschlossenen Volumen.
Ist die Dichte konstant, so ergibt sich die oben angegebene
einfache Form der Kontinuitätsgleichung.
11
Kontinuitätsgleichung II
Die Kontinuitätsgleichung lässt sich alternativ zur integralen Form
auch in differentieller Schreibweise ausdrücken. Zunächst eine
einfache Betrachtung in einer Dimension:
j(x+ ∆ x)
j(x)
A
∆V
∆x
A
∂m
A ( j( x + ∆x ) − j( x )) = −
∂t
∂m ∂ ρ
=
∆V = ρ& A ∆x
∂t ∂t
j( x + ∆x ) − j( x ) ∂ j
=
∆x
∂x
∂j
⇒ ρ& +
=0
∂x
12
Kontinuitätsgleichung III
Betrachten wir den stationären Fall, so gilt:
∂j
= 0 ⇒ j = j0 = konst.
∂x
Die technische Realisierung eines eindimensionalen Falles wäre
ein Rohr konstanten Querschnitts (ohne Beachtung der Verteilung
über den Querschnitt). Damit ist anschaulich sofort klar, dass es
in einer Dimension keine Möglichkeit gibt, die Flussdichte räumlich
zu variieren, ohne die Dichte der Flüssigkeit zeitlich zu verändern.
In drei Dimensionen kann sich der Fluss natürlich zwischen
den einzelnen Richtungen in unterschiedliche Anteile der
Flussdichte aufteilen.
13
Kontinuitätsgleichung IV
In drei Raumdimensionen ist die Kontinuitätsgleichung eine einfache
Verallgemeinerung des eindimensionalen Falls. In kartesischen
Koordinaten ergibt sich:
ρ& +
r
∂ jx ∂ j y ∂ jz
&
+
+
= ρ +∇⋅ j =0
∂x ∂y ∂z
mit
r
r
j =ρu
Alle Flussänderungen tragen gemeinsam und gleichberechtigt zur
zeitlichen Änderung der Dichte bei. Diese Formulierung gilt an
jedem Punkt der Flüssigkeit, während die integrale Form nur globale
Aussagen (Mittelwerte über das Volumen bzw. die Oberfläche)
r
r
erlaubt:
j dA = − ρ& dV
∫
∫
Im stationären Fall ist natürlich die zeitliche Ableitung der Dichte
Null und die Gleichung wird besonders einfach. Dann gilt
vereinfacht ausgedrückt: Was hineinläuft, muss auch wieder
hinauslaufen.
14
Anwendung
Sind die äußeren Parameter vorgegeben, so existieren zwei
unbekannte Größen: Druck und Geschwindigkeit
Durch die Kontinuitätsgleichung und die Bernoullische Gleichung
sind diese Größen dann eindeutig festgelegt.
Mittels dieser Gleichungen lassen sich viele hydrodynamische
Phänomenen erklären.
Beispiele:
Zerstäuber, Wasserstrahlpumpe, Auftrieb an Tragflächen,
hydrodynamisches Paradoxon
15
Bernoullische Gleichung I
Der aus der Mechanik bekannte Satz der Energieerhaltung kann auch
auf Flüssigkeiten angewandt werden. Dabei gibt es in Flüssigkeiten
drei Beiträge zur Energie: potentielle Energie (im Gravitationsfeld),
kinetische Energie und zusätzlich noch der statische Druck
(innere Energie).
1
p + ρ v 2 + ρ g h = konstant
2
Dabei bezeichnet p den statischen Druck (Stempeldruck),
(½ ρ v2) den Staudruck und (ρ g h) den Schweredruck.
An jedem Ort ist die Summe dieser drei Drücke konstant.
Dies gilt exakt aber nur für ideale, d.h. reibungsfreie, Flüssigkeiten.
Daniel Bernoulli (1700-1782), schweizerischer Naturwissenschaftler
und Mathematiker
16
Kräfte auf ein Flüssigkeitselement
Betrachtet sei zunächst ein eindimensionales Flüssigkeitselement.
Liegt nun eine räumlich inhomogene Druckverteilung vor, so
wirken auf die beiden Seiten des (infinitesimal kleinen) Elementes
leicht unterschiedliche Kräfte, die sich nicht kompensieren sondern
eine resultierende Gesamtkraft ergeben:
F1 = p( x ) A und F2 = p( x + ∆x ) A
p(x+∆ x)
p(x)
F1
A
∆V
A
Fx = − (F2 − F1 ) = [p( x + ∆x ) − p( x )]A
F 2 mit ∆V = A ∆x und f = Fx
x
∆V
∂p
⇒ fx = −
(entsprechend für y und z)
∂x
Die Kraftdichte ist also gleich der negativen räumlichen
Änderung des Druckes oder anders ausgedrückt: Druckgefälle
und Kraft sind direkt miteinander gekoppelt.
∆x
17
Euler-Gleichung
Ähnlich wie in der Mechanik eines Massenpunktes lässt sich auch
für eine Flüssigkeit eine Bewegungsgleichung aufstellen, wenn
man die Masse durch die Massendichte ersetzt:
d ux
∂p
ρ
=−
−ρg
dt
∂x
(Schwerkraft in -x-Richtung)
Entsprechendes gilt für die anderen Raumkomponenten.
Diese Gleichung wurde bereits von Leonhard Euler (1707-1783)
aufgestellt. Sie wird auch mitunter als Impulserhaltungsgleichung
bezeichnet. Ohne Strömung (u = 0) erhält man damit als Lösung:
p = p0 − ρ g x
Der Druck nimmt also linear mit der Tiefe x zu, wie man es auch
aus der Bernouli-Gleichung erwarten würde. Die Bernouli-Gleichung
ist aber skalar, während die Euler-Gleichung vektoriell ist (drei
Gleichungen) und auch im Fall kompressibler Flüssigkeiten zutrifft.
18
Geschwindigkeitsänderungen I
In einer strömenden Flüssigkeit hängt die Geschwindigkeit
sowohl von der Zeit wie auch vom Ort ab. Nun kann man zwei
Grenzfälle unterscheiden. Zum einen kann sich die Geschwindigkeit
an einem festen Ort mit der Zeit ändern. Dies beobachtet ein
ruhender Beobachter:
Rohr
∂ ux
≠0
∂t
Pumpe
∂p ∂p
=   cos(ω t )
∂ x  ∂ x 0
Beispiel:
Pumpe mit periodischen
∂u
∂p
=
−
ρ
und j = ρ u
Druckschwankungen, die
∂t
∂x
an ein homogenes Rohr
∂p
  sin(ω t ) + j0
⇒
=
−
j
angeschlossen ist.
∂x

0
19
Geschwindigkeitsänderungen II
Zum anderen kann sich aber auch unter stationären Bedingungen
die Geschwindigkeit mit dem Ort ändern. Die zeitliche Änderung,
die ein mitbewegter Beobachter (z.B. in einem Boot) sieht ist:
∂u dx
∂u
= ux
≠0
∂x dt
∂x
Im stationären Fall und für ρ = konst. kann dann die Euler-Gleichung
leicht (in einer Dimension) nach dem Ort integriert werden:
∂u
∂p
1 ∂ u2
=−
ρu =ρ
−ρg
∂x
∂x
2 ∂x
1
⇒ ρ u 2 + p + ρ g x = konst.
2
Man erhält damit die Bernoulli-Gleichung als Spezialfall.
20
Viskosität
Eine bewegliche Platte der Fläche A werde gegenüber einer festen
Wand im Abstand z verschoben. Zwischen Platte und Wand befinde
sich ein dünner Flüssigkeitsfilm. Aufgrund der Reibung bedarf es
einer Kraft, die Platte mit konstanter Geschwindigkeit zu bewegen:
v
F =η A
z
v
Dabei bezeichnet η die Viskosität.
(Wasser bei 20°C: η = 0.0010 Nsm-2 ).
Allgemein hängt die Viskosität in Flüssigkeiten
stark von der Temperatur der Flüssigkeit ab.
In Gasen hingegen nimmt die (sehr viel kleinere
Viskosität) mit der Temperatur zu.
21
Innere Reibung in Flüssigkeiten I
Betrachten wir zwei Flüssigkeitsfilme die mit (leicht) unterschiedLicher Geschwindigkeit strömen. Die thermische Bewegung der
Teilchen in den Filmen sei viel größer als die Strömungsgeschwindigkeit. Damit kommt es zu einem häufigen Austausch von Teilchen
Zwischen den beiden Filmen. Die schnelleren Teilchen, die in die
Langsamere Schicht eindringen, werden durch Stöße mit den dort
Vorhandenen Teilchen abgebremst und ihre gerichtete Energie (ihr
Impuls) teilweise in ungeordnete thermische Energie umgewandelt.
z
x
Eine solche Dissipation von Energie bezeichnet man als Reibung.
22
Innere Reibung in Flüssigkeiten II
Die damit verbundene Reibungskraft FR muss dann proportional zur
räumlichen Änderung der Geschwindigkeit senkrecht zur Flussrichtung (z.B. x) sein und in negative z-Richtung zeigen.
Die Proportionalitätskonstante η bezeichnet man als Viskosität:
∂u
(FR )z = − η A
∂x
Dabei bezeichnet A die Grenzfläche zwischen den Schichten.
Die Reibungskraftdichte fR ergibt sich dann über die Differenz
der Kräfte, die eine dünne Flüssigkeitsschicht mit ihren beiden
Nachbarschichten erfährt. Analog zur Herleitung der Druckkraft
führt dies zur Ableitung des Ausdrucks auf der rechten Seite,
d.h. zum negativen der zweiten Ableitung der Geschwindigkeit:
∂ 2 uz
( f R )z =η 2
∂x
23
Innere Reibung in Flüssigkeiten III
Dies lässt sich nun unter Berücksichtigung aller Raumdimensionen
verallgemeinern:
 ∂ 2 uz ∂ 2 uz ∂ 2 uz
( f R )z =η  2 + 2 + 2
∂z
∂y
 ∂x



Für die Reibungskraftdichten in x- und y-Richtung gilt eine analoge
Beziehung.
Typische Viskositäten η sind (mN m-2):
Wasser 1,002 , Benzol 0,65, Quecksilber 1,55 , Glyzerin 1480,0
Diese Reibungskraft muss nun noch der Bewegungsgleichung,
d.h. der Euler-Gleichung, hinzugefügt werden.
24
Navier-Stokes-Gleichung
Erweitert man die Euler-Gleichung um den Reibungsterm, so nennt
man die dann entstehende Gleichung die Navier-Stokes-Gleichung
∂2 u x ∂2 u x ∂2 u x 
∂p
d ux
=−
+ ρ g +η 
+
+
ρ
2
2
2 
∂x
∂
dt
∂
x
y
∂
z


Claude Louis Marie Henri Navier (1785 – 1836) und
Georg Gabriel Stokes (1819 – 1903).
Sie ist allgemeiner als die Euler-Gleichung und beschreibt auch
nicht-ideale Flüssigkeiten. Sie ist in der Regel sehr viel schwieriger
zu lösen als die Euler-Gleichung und erfordert in den meisten
Fällen eine numerische Behandlung.
Der Reibungsterm ist aber sehr wichtig, da er z.B. für
Geschwindigkeitsprofile oder auch Wirbelbildung verantwortlich ist.
25
Laminare Strömung zwischen zwei Wänden
Bei einer stationären horizontalen Strömung in z-Richtung zwischen
zwei Platten im Abstand d sei der Druck über den Querschnitt überall
konstant. Dann reduziert sich die Navier-Stokes-Gleichung allein auf
den Reibungsterm und den Druckgradienten in Ausbreitungsrichtung:



1 ∂p 2 2
(
⇒ uz =
d − x ) + u0
2η ∂ z
u
∂ p  ∂2 uz
=η 
2
x
∂z
∂

u0
-1
x/d
1
Dabei ist u0 die Geschwindigkeit an der Wand.
Es ergibt sich also ein parabelförmiges Geschwindigkeitsprofil mit
der maximalen Geschwindigkeit in der Mitte. Ein ähnliches Ergebnis
erhält man auch für ein Rohr.
26
Gesetz von Hagen-Poiseuille
Das Geschwindigkeitsprofil einer laminaren Strömung in einem
Rohr mit Radius R ist gegeben durch:
∆p R 2 − r 2
v( r ) =
Parabelprofil
∆z 4η
Den Fluss erhält man durch Integration über den Querschnitt:
Φ = ∫ j dA = ρ ∫ v dA
= 2π ρ ∫ v(r ) r dr
π ∆p 4
⇒ Φ=
R
8η ∆z
Der Fluss ist also extrem empfindlich vom Radius abhängig (R4)
(z.B. Arterienverkalkung).
Das Gesetz wurde von dem deutschen Ingenieur Hagen 1839 und
unabhängig vom französischen Arzt Poiseuille 1840 gefunden.
27
Bilanz der Variablen und Gleichungen
Sind die äußeren Parameter vorgegeben, so existieren als
unbekannte Größen: Dichte, statischer Druck und Geschwindigkeit.
Dabei besitzt die Geschwindigkeit aber drei unabhängige Raumkomponenten. Es gibt also fünf zu bestimmende Größen.
Durch die Kontinuitätsgleichung und die Euler-Gleichung (drei
Gleichungen) liegen also vier Gleichungen vor. Als fünfte Gleichung
dient die Zustandsgleichung (z.B. ideales Gasgesetz), welche dann
den Zusammenhang zwischen Dichte und Druck (bei gegebener
Temperatur) angibt. Dann sind all Größen eindeutig festgelegt.
Mittels dieser Gleichungen lassen sich viele hydrodynamische
Phänomenen erklären.
Beispiele: Zerstäuber, Wasserstrahlpumpe, Auftrieb an Tragflächen,
hydrodynamisches Paradoxon
28
Stokes-Gesetz
Welche Kraft ist erforderlich, um eine Kugel (Radius R) mit
konstanter Geschwindigkeit v durch eine viskose Flüssigkeit
zu ziehen?
Man findet für die Reibungskraft das Gesetz von Stokes:
Fr = − 6π η v r
Fällt die Kugel im Schwerefeld der Erde, so ergibt sich die konstante
Geschwindigkeit durch das Gleichgewicht zwischen Schwerkraft,
Auftrieb und Reibungskraft.
Damit erhält man für die Fallgeschwindigkeit:
v=
2 (ρ Körper − ρ Kugel ) g r 2
9η
29
Reynolds-Zahl I
Strömungen, deren Verhalten durch die innere Reibung bestimmt
ist, werden als laminar bezeichnet. In diesen Strömungen gleiten
dünne Flüssigkeitsfilme glatt übereinander. Dies gilt z.B. in der
Regel für die Blutzirkulation. Oftmals ist allerdings die Strömung
in Flüssen oder Wasserleitungen turbulent.
Der Übergang wird durch die Reynolds-Zahl bestimmt.
Die Definition dieser Zahl ergibt sich unmittelbar aus der NavierStokes-Gleichung, wenn diese auf dimensionslose Gössen
umgeschrieben wird.
r
r rr
t r u
p
ξ = ,τ = , w= , q=
Dabei sei L eine charakteristische
L
T
u0
p0
Länge (z.B. Rohrdurchmesser)
L
und T eine charakteristische Zeit.
mit u 0 = , p 0 = ρ u 02
T
30
Reynolds-Zahl II
Damit erhält man für die x-Komponente der Geschwindigkeit:
d wx
1 ∂2 w x ∂2 w x ∂2 w x 
∂q
+
+
=−
+ 
2 
2
2
dτ
∂ ξ x Re  ∂ ξ x
∂ ξ z 
∂ξy
Offensichtlich hängt diese Gleichung nur von einem einzigen
Parameter ab (und natürlich von den Randbedingungen). Dieser
Parameter ist die Reynolds-Zahl:
Re =
ρ u0 L
η
ρ L3 u 02
2 E kin
=
=
2
η L u 0 WRe ibung
Diese ist das Verhältnis von
kinetischer Energie zur
Reibungsenergie.
31
Reynolds-Zahl III
Für eine unendlich große Reynolds-Zahl geht die Navier-StokesGleichung offensichtlich in die Euler Gleichung für eine ideale
Flüssigkeit ohne innere Reibung über. Für kleine ReynoldsZahlen ist der Reibungsterm sehr groß und das Medium ist eher
zähflüssig. Dann ist die kinetische Energie kleiner oder von der
gleichen Größenordnung wie die Reibungsverluste und es ergibt
sich eine laminare Strömung. Mit zunehmender Reynods-Zahl überwiegt dann der Anteil der kinetischen Energie und ab Werten in
der Größenordnung von 103 (abhängig von den Randbedingungen)
tritt Turbulenz ein.
Für Wasser in einem Rohr (L = R) liegt die kritische Reynolds-Zahl
bei Rec = 1200. In dünneren Rohren tritt Turbulenz daher erst bei
größeren Geschwindigkeiten auf.
32
Reynolds-Zahl IV
Ein wichtiger Aspekt der hier vorgenommenen Skalierung ist,
dass sich damit sofort Aussagen über geometrisch ähnliche
Gefäße (Randbedingungen) machen lassen. Durch Einsetzen
der entsprechenden Skalen, lassen sich die Lösungen sofort
übertragen.
33
Turbulenz
Wann ist ein Fluss turbulent, d.h. wann liegen Wirbel vor?
Summiert man den Fluss entlang eines geschlossenen Weges auf,
so ist das Ergebnis für eine laminare Strömung Null und für
eine turbulente Strömung weicht es zunehmend von Null ab.
laminar
Wirbel
34
Rotation I
Wenden wir die gleiche Betrachtung auf infinitesimal kleiner
Skala an, so ergibt sich:
ux(y+dy)
uy
u
dA =
uy(x)
uy(x+dx)
dx dy
ux
ux(y)
u x ( y) dx − u x ( y + dy) dx
+ u y ( x + dx ) dy − u y ( x ) dy Da die Fläche nun wiederum ein Vektor ist,
stellt auch das Ergebnis einen Vektor dar,
d uy
d ux
=−
dy dx +
dy dx der in z-Richtung zeigt, d.h. senkrecht
dy
dx
auf der entsprechenden Ebene steht.
In analoger Weise lässt sich die Rotation
 d uy d ux 
= 
−
 dA
für die beiden anderen Ebenen im Raum
 dx dy 
behandeln.
35
Rotation II
Eine besondere Eigenschaft der Rotation ist, dass die Summe
vieler kleiner Rotationen in einer Ebene gleich dem
makroskopischen Integral über dem Rand entspricht.
Alle Anteile innerhalb der Fläche heben sich gegenseitig auf.
36
Wirbelvektor
Man definiert nun als Maß für einen Wirbel über die vorgestellte
Rotation den sogenannten Wirbelvektor. Hier die z-Komponente
des Vektors:
1  d uy d ux 
Ω z = 
−

2 dx d y 
Es lässt sich nun zeigen, dass in einer idealen (reibungsfreien)
Flüssigkeit die Größe Z = 2 Ω A zeitlich konstant ist. Damit kann
in einer solchen Flüssigkeit ein Wirbel weder vergehen noch
entstehen (Helmholtzer Wirbelsatz).
Wirbel bewegen sich dann wie ein deformierbarer Festkörper
mit der Flüssigkeit mit. Sowohl ihre Masse wie auch ihr Drehimpuls
bleiben dabei erhalten.
Entstehen können Wirbel erst durch Reibung, die zu Instabilitäten
zwischen Flüssigkeitsschichten mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten führt.
37
Magnus Effekt
Rotiert ein Zylinder, so nimmt er an seiner Oberfläche aufgrund
der Reibung die Flüssigkeitsströmung mit. Es gibt also eine
rotierende Schicht um den Zylinder. Existiert nun darüber hinaus
eine laminare Strömung, so addieren sich die Geschwindigkeiten
auf der einen Seite und subtrahieren sich auf der anderen Seite.
Damit ergibt sich entsprechend der Bernoulli-Gleichung ein
Druckunterschied zwischen den beiden Seiten des Zylinders
und der Körper driftet senkrecht zur Flussrichtung der
Strömung.
Anwendung:
z.B. angeschnittene Fußbälle,
Schiffe (historisch)
+
=
38
Auftrieb an Tragflächen I
Aufgrund der Form der Tragfläche legt eine Flüssigkeitsschicht
an der Oberseite einen längeren Weg zurück als an der Unterseite.
Damit wird die oben entlangströmende Flüssigkeit aufgrund der
Reibung mit der Flügeloberfläche stärker abgebremst und ihre
Geschwindigkeit am Ende des Flügels ist kleiner als die der
unteren Luftschicht. Dies führt am Flügelende zu einem starken
Gradienten der Geschwindigkeit senkrecht zur Flugrichtung.
Übersteigt dieser Gradient eine gewisse Grenze (die wiederum
von u, η und der Geometrie des Flügels abhängt) so kommt es dort
zu Wirbelbildung.
Nun bleibt aber der Drehimpuls der bewegten Luftmassen erhalten,
so dass es einen zweiten, gegenläufigen Wirbel geben muss, der dies
kompensiert. Dieser Wirbel bildet sich um den Flügel und verstärkt
wie beim Magnus Effekt den Unterschied in den Strömungsgeschwindigkeiten zwischen oberer und unterer Flügelseite.
39
Auftrieb an Tragflächen II
Die so hinter den Tragflächen entstehenden Wirbel können für dicht
nachfolgende Flugzeuge sehr gefährlich sein. Dies gilt insbesondere,
wenn das erste Flugzeug groß und das zweite Flugzeug klein ist.
40