Grundlagen der Theoretischen Informatik, WS10/11

Fachbereich 6 Mathematik
Lehrstuhl für Mathematische Logik und
Theoretische Informatik
Prof. Dr. Dieter Spreen
Dr. Hannes Diener
Grundlagen der Theoretischen Informatik, WS10/11
Lösungen Übungsblatt 3
Aufgabe 1. Betrachten Sie den ε-NDEA A pΣ, Q, q1 , tqf u, ∆q, wobei Σ t0, 1u, Q tq0 , q1 , qf u und
∆ durch folgendes Diagram gegeben ist:
1
start
/ @ABC
GFED
q1
ε
0
@ABC
q2
3 GFED
&
1
/ GFED
@ABC
89:;
?>=<
qf
l
<
ε
0
(a) Ändern Sie den Automaten in einen NDEA ab, der die gleiche Sprache akzeptiert.
(b) Konstruieren Sie den Potenzautomaten des NDEA aus (a).
HINWEIS: Bitte Geben Sie die Zustandsmengen, die Startzustände und die Mengen der Endzustände
explizit an. Die Übergangsrelation kann in graphischer Darstellung angegeben werden. Die Übergangsfunktion kann in tabellarischer Form angegeben werden und kann nur die erreichbaren Zustände
berücksichtigen.
Lösung:
(a) Der Automat A1
pΣ, Q, q1, tqf u, ∆1q wobei ∆1 graphisch gegeben ist durch,
1
1
start
/ @ABC
GFED
q1
0
/ GFED
@ABC
q2
1
"
/ GFED
@ABC
89:;
?>=<
qf
<
0
1
ist ein NDEA , der die gleiche Sprache wie A akzeptiert.
(b) Der Potenzautomat zu A1 ist PpA1 q pΣ, P pQq, tq1 u, ttqf u, tq1 , qf u, tq2 , qf uu , δ q wobei δ gegeben
ist durch
δ
0
1
tq1u
tq2, qf u tqf u
tq2, qf u tu tq1, qf u
tqf u
tu
t q1 u
tq1, qf u tq2, qf u tq1, qf u
tu
tu
tu
Die nicht-erreichbaren Zustände sind hierbei nicht beachtet.
Aufgabe 2. (Siehe auch Aufgabe 4, Übungsblatt 1). Sei Σ ta, b, cu und L die Sprache
tw P Σ | es gibt ein Symbol in Σ, das nicht in w enthalten istu.
(a) Geben Sie einen DEA an, der L akzeptiert. (Entweder direkt oder über die Konstruktion des
Potenzautomatens).
(b) Geben Sie einen regulären Ausdruck an, der L erzeugt.
Lösung:
(a) L wird akzeptiert von folgendem graphisch gegebenen DEA . (Die Idee hier ist, daß der Automat
sich merkt“ welche Buchstaben schon mindestens einmal gelesen wurden).
”
start
a
a,b
c
b,c
b
ONML
HIJK
@ABC
GFED
/ WVUT
PQRS
ONML
HIJK
qa,b
qa
BB c
?
CC
>

|
B

CC
BB |||
a 
CCc
BB a,c
a ||
b
CC

B
|

B
|
CC

B
||
!

b
b
/ @ABC
GFED
?>=<
89:;
/ ONML
HIJK
GFED
@ABC
/ ONML
HIJK
WVUT
PQRS
ONML
HIJK
qa,b,c  a,b,c
qa,c
qb
s
??
BB c
>
{=
??
BB |||
{{
??c
B|B|
a {{
B
{
??
a ||| BB
{{
??
B
{{
||
b / WVUT
ONML
HIJK
@ABC
GFED
PQRS
ONML
HIJK
qb,c
qc
P
N
(b) Der folgende reguläre Ausdruck erzeugt L:
pa|bq | pa|cq | pb|cq
2
Aufgabe 3. Wenn A pΣ, Q, s, F, δ q ein DEA ist der eine Sprache L akzeptiert, dann akzeptiert der
Automat pΣ, Q, s, QzF, δ q das Komplement von L; also Σ zL.
Zeigen Sie mit einem Beispiel, daß dies bei einem NDEA nicht funktioniert; d.h. geben Sie einen
NDEA A an, so daß die von A pΣ, Q, s, F, ∆q akzeptierte Sprache nicht das Komplement der von
pΣ, Q, s, QzF, ∆q erkannten Sprache ist.
Lösung:
start
Sei Σ tau ein Alphabet. Sowohl
a / @ABC
GFED
s
a
a G@ABC
89:;
FED
/ ?>=<
f
als auch
start
a / @ABC
GFED
?>=<
89:;
s
a
a G@ABC
/ FED
f
akzeptieren beide das Wort a.
Aufgabe 4. Beweisen oder widerlegen Sie jeweils die folgenden Aussagen. Sie können annehmen,
daß die Sprache tan bn | n P Nu über dem Alphabet ta, bu nicht-regulär ist.
(a) Seien L1 und L2 reguläre Sprachen. Jede Sprache L, die so beschaffen ist, dass L1
ist auch regulär.
„ L „ L2
(b) Der Durchschnitt einer nichtregulären Sprache mit einer regulären Sprache ist immer regulär.
(c) Der Durchschnitt zweier nichtregulärer Sprachen ist immer nichtregulär.
(d) Wenn L nichtregulär ist, so ist auch L.
Lösung:
(a) Falsch. Sei z.B. L „ ta, bu eine nichtreguläre Sprache. Dann ist L ein Gegenbeispiel, da
L „ ta, bu und sowohl H als auch ta, bu reguläre Sprachen sind.
(b) Falsch. Sei z.B. L
ta, bu L.
H„
„ ta, bu eine nichtreguläre Sprache. Zwar ist ta, bu regulär aber nicht L X
(c) Falsch. Sei z.B. L1 tan bn |n P Nu und L2 tbn an |n P Nu Sprachen über ta, bu. Aus der
Vorlesung wissen wir, dass L1 und L2 nichtregulär sind. Allerdings ist L1 X L2 tεu regulär.
(d) Richtig. Wäre L regulär, dann wäre ja auch L regulär, was es nicht ist.
3
Zusatzaufgabe 5. 1 (Natürlich findet alles über einem fest gewählten Alphabet Σ statt). Zeigen Sie,
dass LDEA unter Durchschnitt abgeschlossen ist. D.h. zeigen Sie, dass, wenn L1 , L2 P LDEA , auch
L1 X L2 P LDEA .
Lösung: Nur die Konstruktion ohne Beweis:
Sei Ai tΣ, Qi , si , Fi , δi u für i 1, 2 ein DEA , der Li akzeptiert. Der Automat
A tΣ, Q1 Q2 , ps1 , s2 q, F, ∆u,
wobei
F
und
tpq1, q2q | q1 P F1 ^ q2 P F2u,
δ pa, pq1 , q2 qq pδ1 pa, q1 q, δ2 pa, q2 qq
akzeptiert L1 X L2 . Die Idee ist, zu simulieren, daß wir die zwei Automaten gleichzeitig starten und arbeiten lassen. Ein Wort wird akzeptiert, wenn sich beide Automaten gleichzeitig in einem Endzustand
befinden.
ENDE
1
Zusatzaufgaben sind besonders schwer aber dafür optional. Es können keine zusätzlichen Punkte erreicht werden.
4