Vorkurs Teil II

Vorkurs Teil II - Analysis
Vorlesungsnotizen
O. Wittich
2017
20. September 2017
2
1. Konvergenz – Der propädeutische Grenzwertbegriff
Aus der Schule kennen Sie Funktionsgraphen und Ausdrücke wie unten unter
(1). Der Ausdruck limn→∞ 3x+1
x−5 = 3 wird dabei interpretiert als: Der Funktionsgraph und die waagrechte Gerade y = 3 kommen sich immer näher, wenn x
immer größer wird. In Fall (2) kann man das auch noch sagen, aber der scheinbar
entsprechende mathematische Ausdruck (rot durchgestrichen) für diese Tatsache ist falsch. Man muss das in der Form ausdrücken, die darunter steht. Um
das zu verstehen, benötigen wir eine exakte Definition des Grenzwertbegriffes.
3
2. Konvergenz – Grenzwerte und Häufungspunkte
Folgendes Bild verdeutlicht die Abgrenzung zwischen den Begriffen Häufungspunkt
und Grenzwert. Das letzte Bild soll veranschaulichen, warum eine Folge mit zwei
verschiedenen Häufungspunkten niemals einen Grenzwert besitzen kann (d.h.
nicht konvergiert).
4
2. Konvergenz – Beispiel 2
Die ersten Beweise zu Beispiel 2. Die konstante Folge und die Folge 1/n konvergieren, währen die (−1)n zwei Häufungspunkte besitzt und somit nicht konvergiert.
5
2. Konvergenz – Bestimmte Divergenz
(1) ist ein Beispiel, wie man eine Folge mit drei Häufungspunkten konstruiert. (2) ist ein Beispiel einer Folge mit einem eizigen Häufungspunkt, die aber
trotzdem divergiert. Darunter steht die Veranschaulichung des Begriffes der bestimmten Divergenz.
6
2. Konvergenz – Nochmal Beispiel 2
Der Beweis der bestimmten Divergenz der Folge (5) aus Beispiel 2:
7
1. Konvergenz – Grenzwertsätze
Die Bestimmung des Grenzwertes der Folge (3) aus Beispiel 2 mit Hilfe der
Grenzwertsätze:
8
1. Konvergenz – Grenzwertsätze
Hier sehen Sie den Beweis, dass wenn die Folge, die durch die Rekursionsfor√
mel des Heronverfahrens gegeben ist, konvergiert, dann kann sie nur gegen 2
konvergieren. Den Beweis der Konvergenz haben wir weggelassen. Dass ein solcher Beweis immer nötig ist, damit wir durch unsere Rechnung ein sinnvolles
Ergebnis erhalten, sehen wir an dem Beispiel einer anderen rekursiv definierten
Folge darunter.
9
2. Stetigkeit, Ableitung, Integral – Monotonie
Beweis der Monotonie der Quadratfunktion mit Definitionsbereich in den nichtnegativen Zahlen mit Hilfe des binomischen Satzes:
10
2. Stetigkeit, Ableitung, Integral – Stetigkeit
Beweis der Aussagen aus Beispiel 7:
11
2. Stetigkeit, Ableitung, Integral – Integrale
(0) Integrale sind Flächeninhalte mit Vorzeichen. (1) Integrale vertauschen mit
der Bildung von Linearkombinationen von Funktionen. (2) Zerlegt man ein Intervall in zwei Teilintervalle, so ist das Integral über das Intervall die Summe
der Integrale über die Teilintervalle.
12
2. Stetigkeit, Ableitung, Integral – Extremwerte
Zur Erläuterung der Begriffe lokal/global und Maximum/Minimum:
13
2. Stetigkeit, Ableitung, Integral – Kurvendiskussion
Eine kurze Kurvendiskussion, Teil I:
14
2. Stetigkeit, Ableitung, Integral – Kurvendiskussion
Eine kurze Kurvendiskussion, Teil II:
15
3. Der Hauptsatz – Produktregel/part. Integration
Beweis der Produktregel und (unten) der Tatsache, dass differenzierbare Funktionen stetig sind:
16
3. Der Hauptsatz – Produktregel/part. Integration
Durch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gehen Produktregel und die Regel der partiellen Integration ineinander über.
17
3. Der Hauptsatz – Produktregel/part. Integration
Ein Beispiel zur partiellen Integration:
18
3. Der Hauptsatz – Substitution
Zwei Beispiele zur Integration durch Substitution. Im ersten Beispiel wird die
Formel von links nach rechts, im zweiten Beispiel von rechts nach links verwendet.
19
4. Elementare Funktionen – Die Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion wird als die einzige stetige reelle Funktion definiert,
die auf den rationalen Zahlen mit der in den Grundlagen definierten Funktion übereinstimmt. Das bedeutet, dass man für reelles x den Funktionswert ex
berechnen kann, indem man x als Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen
qn darstellt und ex als Grenzwert der Folge (eqn )n≥1 definiert. Aufgrund der
Stetigkeit ist diese Definition unabhängig von der Wahl der speziellen Folge rationaler Zahlen. Was hierbei unter den Tisch fällt, ist der Beweis, dass die Folgen
(eqn )n≥1 tatsächlich konvergieren, und zwar alle mit demselben Grenzwert. Das
müssen wir an dieser Stelle einfach so glauben.
20
4. Elementare Funktionen – Der Logarithmus
Exponentialfunktionen zu allgemeiner Basis a > 0 und wie man sie ineinander
umrechnet:
21
4. Elementare Funktionen – Der Logarithmus
Die Ableitung des Logarithmus als Umkehrfunktion von exp mit Hilfe der Kettenregel (und dem vorausgesetzten Wissen, dass (ex )0 = ex ):
22
4. Elementare Funktionen – Der Logarithmus
Die Ableitung des Logarithmus als Umkehrfunktion von exp mit Hilfe der Definition der Ableitung als Grenzwert der Differenzenquotienten (und dem Wissen,
dass (ex )0 = ex ist):
23
4. Elementare Funktionen – Der Logarithmus
Die Stammfunktion des Logarithmus mit Einschieben einer Eins und partieller
Integration:
24
4. Elementare Funktionen – Potenzfunktionen
Ein Beispiel, wie man eines der Potenzgesetze auf reelle Exponenten mit Hilfe
der Stetigkeit der Exponentialfunktion erweitert:
25
4. Elementare Funktionen – Potenzfunktionen
Die allgemeine Ableitungsformel für die Potenzfunktionen erhalten wir, indem
wir die Potenzfunktionen mit Hilfe der Exponentialfunktion darstellen und die
Kettenregel benutzen:
26
4. Elementare Funktionen – Sinus, Cosinus, Tangens
Sinus und Cosinus am Einheitskreis und das Bild zum Beweis, dass die Cosinusfunktion die um π/2 phasenverschobene Sinusfunktion ist.
27
4. Elementare Funktionen – Sinus, Cosinus, Tangens
Die Ableitung des Cosinus wird aus der Tatsache, dass (sin(x))0 = cos(x) ist und
der Gleichung der Phasenverschiebung hergeleitet. Daraus ergeben sich auch die
wechselseitigen Stammfunktionen von Sinus und Cosinus.
28
4. Elementare Funktionen – Beispiel zur partiellen Integration
Da wir jetzt die Ableitungen von Sinus, Cosinus und Exponentialfunktion kennen, betrachten wir das folgende Beispiel zur partiellen Integration. Die Besonderheit ist, dass zweimalige partielle Integration eine Gleichung für das ursprüngliche Integral liefert, die wir lösen können.
29
4. Elementare Funktionen – Sinus, Cosinus, Tangens
Periodizität und Symmetrie des Tangens werden aus den entsprechenden Eigenschaften der Sinus und Cosinusfunktion hergeleitet. Dann wird die Lösbarkeit
der Gleichung tan(x) = y diskutiert.
30
4. Elementare Funktionen – Sinus, Cosinus, Tangens
Wir bestimmen die Ableitung des Tangens mit Hilfe der Quotientenregel und
die Stammfunktion mit einer Kombination aus partieller Integration und Substitution.
31
4. Elementare Funktionen – Additionstheoreme
Die Additionstheorem für Sinus und Cosinus werden mit Hilfe der Eulerschen
Formel und der Funktionalgleichung für die (komplexe) Exponentialfunktion
hergeleitet. Dies ist ein konzeptionell schwieriger Zugang, aber – wenn Sie sich
mal dran gewöhnt haben – rechnerisch einer der einfachsten.
32
4. Elementare Funktionen – Additionstheoreme
Die Herleitung des Additionstheorems für den Tangens aus den Additionstheoremen für Sinus und Cosinus – oder – Bruchrechnen kann hilfreich sein:
33
4. Elementare Funktionen – Inverse Winkelfunktionen
Graph der Sinusfunktion und Auswahl desjenigen Definitionsbereichs, auf den
man sie einschränken muss, um als Inverse die Arcussinusfunktion zu erhalten,
die Sie auf dem Taschenrechner haben. Unten steht auch noch die Herleitung
der Ableitung der Umkehrfunktion.
34
4. Elementare Funktionen – Inverse Winkelfunktionen
Die Stammfunktion des Arcussinus durch Kombination von partieller Integration und Substitution:
35
4. Elementare Funktionen – Inverse Winkelfunktionen
Wir bestimmen Ableitung und Stammfunktion des Arcustangens mit Hilfe der
Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion bzw. mit einer Kombination aus
partieller Integration und Integration durch Substitution.