∫ ( )

5.
Anwendungen des ersten und zweiten Hauptsatzes
5.1
Volumenänderungsarbeit und Druckänderungsarbeit bei
änderungen in geschlossenen und offenen Systemen
Zustands-
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir uns mit dem Handwerkszeug zur Berechnung von thermodynamischen Prozessen in geschlossenen und offenen Systemen befasst. Insbesondere haben wir den ersten und zweiten Hauptsatz der Thermodynamik in den Schreibweisen für geschlossene Systeme und für stationäre
Fließprozesse kennen gelernt.
Mit Hilfe der Energiebilanzgleichungen des ersten Hauptsatzes lassen sich die bei
einem Prozess relevanten energetischen Größen — z. B. die zu- oder abzuführende spezifische Wärme q12, die spezifische Volumenänderungsarbeit beim geschlossenen System oder die spezifische technische Arbeit beim stationären Fließprozess
— berechnen. Dies geht jedoch nur, wenn im Falle des geschlossenen Systems die
spezifische Volumenänderungsarbeit wV12 und im Falle des stationären Fließprozesses die spezifische Druckänderungsarbeit wP12 bekannt ist. Diese Prozessgrößen
müssen zuvor durch Lösung der vom Integrationsweg abhängigen Integrale
2
w V12
= − ∫ p( v )dv
(Gl. 5.1)
1
2
w P12
=
∫ v( p )dp
(Gl. 5.2)
1
berechnet werden. Dies ist wiederum nur möglich, wenn die Funktionen p(v) bzw.
v(p) explizit angegeben werden können. Abb. 5.1 zeigt die Integrale der Gln. 5.1 a, b
im p,v-Diagramm:
Abb. 5.1:
Volumenänderungsarbeit und Druckänderungsarbeit im
p,v-Diagramm
85
An einem p,v- oder T,s-Diagramm lässt sich nicht erkennen, ob die darin dargestellte
Zustandsänderung in einem geschlossenen System oder als stationärer Fließprozess abläuft.
Da derselbe Zustandsverlauf — wie im p,v-Diagramm der Abb. 5.1 zu ersehen ist —
sowohl durch eine Funktionen p(v) als auch durch eine Funktion v(p) beschrieben
werden kann, besteht zwischen den beiden Integralen vdp und pdv der folgende Zusammenhang:
2
2
1
1
∫ v dp = − ∫ p dv + p2 v 2 − p1 v1
(Gl. 5.3)
Gl. 5.3 ist gültig für Prozesse in geschlossenen und offenen Systemen. Auf Folgendes sei in diesem Zusammenhang jedoch besonders hingewiesen:
Auch bei einem geschlossenen System kann rein formal das Integral vdp berechnet
werden. Es stellt aber nicht wie beim Fließprozess eine Druckänderungsarbeit dar.
Es ist eine reine Rechengröße (vgl. Cerbe, Hoffmann, 1994, S. 47). Dieser Sachverhalt lässt sich leicht an einem isochoren Prozess in einem geschlossenen System
klarmachen: Wenn in einem Behälter mit starren Systemgrenzen durch Wärmezufuhr der Druck steigt, wird deswegen keine Druckänderungsarbeit verrichtet. Trotzdem existiert für einen solchen Prozess das Integral vdp als Rechengröße.
Die für geschlossene Systeme besonders wichtige Volumenänderungsarbeit kommt
auch bei offenen Systemen vor. Im Falle eines Fließprozesses nimmt Gl. 5.3 die
Form von Gl. 3.50 an. Es gilt dann:
w P 12
=
w V 12
+
p2 v 2
−
p1 v1
(Gl. 3.50)
Bei Fließprozessen ist die Volumenänderungsarbeit von untergeordnetem Interesse,
weil sie lediglich ein Bestandteil der Druckänderungsarbeit ist. Die Druckänderungsarbeit stellt bei einem stationären Fließprozess die für die Energiebilanz maßgebliche
Arbeit dar. Das sieht man daran, dass bei einem Fließprozess einer inkompressiblen
Flüssigkeit bei Druckverminderung Druckänderungsarbeit abgegeben wird, jedoch
aufgrund der Inkompressibilität keine Volumenänderung und damit auch keine Volumenänderungsarbeit auftritt (vgl. Baehr, 1973, S.76).
86
5.2
Isochore Zustandsänderung
Bei einer isochoren Zustandsänderung bleibt unabhängig davon, ob der Prozess in
einem geschlossenen oder offenen System abläuft, das spezifische Volumen v und
damit die Dichte ρ des Fluids konstant.
Im p,v-Diagramm verläuft die Zustandsänderungslinie senkrecht. Den Verlauf im T,sDiagramm kann man nur dann angeben, wenn man die thermische Zustandsgleichung des Mediums kennt, das die Zustandsänderung durchmacht. Für ideale Gase
verläuft eine isochore Zustandsänderung im T,s-Diagramm als Exponentialfunktion.
Abb. 5.2:
Isochore Zustandsänderung (1) → (2) eines idealen Gases im p,vund im T,s-Diagramm (vgl. Langeheinecke et al., 1999, S.140)
Abb. 5.2 zeigt die isochore Zustandsänderung eines idealen Gases im p,v- und im
T,s-Diagramm. Im p,v-Diagramm stellt die Fläche zwischen der Isochoren und der
Ordinate das Integral vdp dar, das im Falle eines Fließprozesses mit der spezifischen Druckänderungsarbeit wP12 identisch ist. Im T,s-Diagramm ist die Fläche zwischen der Isochoren und der Abszisse die Summe aus übertragener spezifischer
Wärme und zugeführter spezifischer Dissipationsenergie, q12 + j12. Des Weiteren
stellt sie die Differenz der spezifischen inneren Energie u2 - u1 dar.
Geschlossenes System
Eine isochore Zustandsänderung in einem geschlossenen System liegt vor, wenn ein
Prozess in einem Behälter mit starren Wänden abläuft. Für das in dem Behälter eingeschlossene Medium gelten diesen Fall die folgenden Beziehungen:
Thermische Zustandsgleichung:
V = konst. bzw. v, ρ = konst.
(Gl. 5.4)
87
Spezifische Volumenänderungsarbeit:
2
w V 12 = − ∫ p dv = 0
(Gl. 5.5)
1
1. HS für geschlossene Systeme:
q12 + j12 = u2 − u1
(Gl. 5.6)
Bei einer isochoren Zustandsänderung nimmt durch Zufuhr von Wärme oder Dissipationsenergie die innere Energie, und damit die Temperatur zu.
Die Gln. 5.4 bis 5.6 sind allgemeingültig, d. h., sie sind an kein spezielles Stoffmodell
geknüpft. Möchte man jedoch die Differenz der spezifischen inneren Energie mit einer Temperaturdifferenz in Verbindung bringen, so muss das über die kalorische
Zustandsgleichung des betreffenden Mediums geschehen. Der kalorischen Zustandsgleichung liegen jedoch spezielle Stoffmodelle wie das des idealen Gases
oder der idealen Flüssigkeit zugrunde, siehe Kap. 3.4.
Stationärer Fließprozess
Bei einem stationären Fließprozess ist bei isochorer Zustandsänderung der Volumenstrom in allen Strömungsquerschnitten des Kontrollraums konstant. Dies ist bei
stationären Fließprozessen nur bei idealen Flüssigkeiten der Fall. Hierfür gelten die
folgenden Beziehungen:
Thermische Zustandsgleichung:
•
V = konst.
v, ρ = konst.
bzw.
(Gl. 5.7)
Kalorische Zustandsgleichung für ideale Flüssigkeit (Gln. 3.70, 3.71):
h2 − h1
= u2 − u1 +
u2 − u1
mit
1
ρ
⋅ ( p 2 − p1 )
= c F ⋅ (T2 − T1 )
(Gl. 5.8)
(Gl. 5.9)
Spezifische Druckänderungsarbeit:
2
w P12 =
∫ v dp
1
=
1
ρ
⋅ ( p 2 − p1 )
(Gl. 5.10)
88
1. HS für stationäre Fließprozesse:
q12 + w t 12 = h2 − h1 +
(
)
(
1
2
2
⋅ c 2 − c1 + g ⋅ z 2 − z1
2
)
(Gl. 5.11)
Spezifische technische Arbeit:
w t 12 = j12 +
1
ρ
⋅ ( p 2 − p1 ) +
(
)
(
1
2
2
⋅ c 2 − c1 + g ⋅ z 2 − z1
2
)
(Gl. 5.12)
Gl. 5.12 ist identisch mit der aus der Strömungsmechanik bekannten erweiterten
Form der Gleichung von BERNOULLI.
5.3
Isobare Zustandsänderung
Bei einer isobaren Zustandsänderung bleibt unabhängig davon, ob der Prozess in
einem geschlossenen oder offenen System stattfindet, der Druck konstant. Im p,vDiagramm verläuft die Zustandsänderungslinie waagerecht. Den Verlauf im T,sDiagramm kann man nur dann angeben, wenn man die thermische Zustandsgleichung des Mediums kennt. Für ideale Gase verläuft eine isobare Zustandsänderung
im T,s-Diagramm als Exponentialfunktion.
Abb. 5.3:
Isobare Zustandsänderung (1) → (2) eines idealen Gases im p,vund im T,s-Diagramm (vgl. Langeheinecke et al., 1999, S. 137)
Abb. 5.3 zeigt die isobare Zustandsänderung eines idealen Gases im p,v- und im
T,s-Diagramm. Im p,v-Diagramm stellt die Fläche zwischen der Isobaren und der
Abszisse die negative spezifische Volumenänderungsarbeit −wV12 dar. Im T,sDiagramm ist die Fläche zwischen der Isobaren und der Abszisse die Summe aus
übertragener spezifischer Wärme und zugeführter spezifischer Dissipationsenergie,
q12 + j12. Daneben stellt sie die Differenz der spezifischen Enthalpie h2 − h1 dar.
89
Geschlossenes System
In einem geschlossenen System kann eine isobare Zustandsänderung wie folgt verwirklicht werden, sieh Abb. 5.4: Ein Gas befindet sich in einem Zylinder und ist durch
einen frei verschiebaren Kolben von der Umgebung getrennt. Der Druck im Zylinder
steht zu jeder Zeit mit dem Umgebungsdruck im Gleichgewicht. Führt man dem Zylinder Wärme zu, so kann sich das Gas ungehindert ausdehen. Der Kolben verschiebt sich dabei so, dass der Druck im Zylinder stets mit dem Umgebungsdruck im
Gleichgewicht bleibt.
Abb. 5.4:
Isobare Zustandsänderung in einem
geschlossenen System
Für die isobare Zustandsänderung im geschlossenen System gelten die folgenden
Beziehungen:
Thermische Zustandsgleichung:
p = konst.
(Gl. 5.13)
Spezifische Volumenänderungsarbeit:
2
w V 12 = − ∫ p dv = − p ⋅ ( v 2 − v1 )
(Gl. 5.14)
1
1. HS für geschlossene Systeme:
q12 + j12 = u2 − u1 + p ⋅ ( v 2 − v1 ) = h2 − h1
(Gl. 5.15)
Durch Zufuhr von Wärme bzw. Dissipationsenergie wird die Enthalpie und damit die
Temperatur erhöht. Die Gln. 5.13 bis 5.15 sind allgemeingültig, d. h., sie sind an kein
spezielles Stoffmodell geknüpft. Möchte man allerdings die Differenz von spezifischer innerer Energie oder Enthalpie mit einer Temperaturdifferenz in Verbindung
bringen, so muss man hierfür auf die kalorische Zustandsgleichung des betreffenden
Mediums zurückgreifen, der spezielle Stoffmodelle zugrunde liegen.
90
Stationärer Fließprozess
Stationäre Fließprozesse mit isobarer Zustandsänderung kommen in der Praxis näherungsweise in Rohrleitungen und Wärmeübertragern vor. Technische Arbeit geht
dabei nicht über die Systemgrenze; es gilt wt12 = 0. Änderungen von kinetischer und
potentieller Energie sind praktisch vernachlässigbar. Unter diesen Bedingungen ist
auch die spezifische Dissipationsenergie j12 = 0, und der stationäre Fließprozess mit
isobarer Zustandsänderung ist reversibel. Es gelten dann die folgenden Beziehungen:
Thermische Zustandsgleichung:
p = konst.
(Gl. 5.16)
Spezifische Druckänderungsarbeit:
2
w P12 =
∫ v dp
= 0
(Gl. 5.17)
1
1. HS für stationäre Fließprozesse:
q12 = h2 − h1
(Gl. 5.18)
91
5.4
Isotherme Zustandsänderung
Bei einer isothermen Zustandsänderung bleibt unabhängig davon, ob der Prozess in
einem geschlossenen oder offenen System stattfindet, die Temperatur konstant. Im
T,s-Diagramm verläuft die Zustandsänderungslinie waagerecht. Den Verlauf einer
isothermen Zustandsänderung im p,v-Diagramm kann man nur dann angeben, wenn
die thermische Zustandsgleichung des Mediums bekannt ist. Für ideale Gase sind
die Isothermen im p,v-Diagramm Hyperbeln.
Abb. 5.5:
Isotherme Zustandsänderung (1) → (2) eines idealen Gases im p,vund im T,s-Diagramm (vgl. Langeheinecke et al., 1999, S. 142)
Abb. 5.5 zeigt die isotherme Zustandsänderung eines idealen Gases im p,v- und im
T,s-Diagramm. Im p,v-Diagramm stellt die Fläche zwischen der Isothermen und der
Abszisse die negative spezifische Volumenänderungsarbeit −wV12 und die Fläche
zwischen der Isothermen und der Ordinate das Integral vdp bzw. die spezifische
Druckänderungsarbeit wP12 dar. Im T,s-Diagramm ist die Fläche zwischen der Isothermen und der Abszisse die Summe aus übertragener spezifischer Wärme und
zugeführter spezifischer Dissipationsenergie, q12 + j12.
Zur Berechnung der Volumenänderungs- und der Druckänderungsarbeit benötigen
wir den Verlauf der Zustandsänderungslinie im p,v-Diagramm. Aus diesem Grund
reicht als Zustandsgleichung eine Angabe wie T = konst. nicht mehr aus. Zur Beschreibung des Verlaufs der Isothermen im p,v-Diagramm müssen wir deshalb auf
ein geeignetes Stoffmodell zurückgreifen. Wir gehen im Folgenden von der thermischen Zustandsgleichung des idealen Gases aus:
92
Thermische Zustandsgleichung
p⋅v
=
R⋅T
führt mit konstanter Temperatur T zu
p⋅ v =
p1 ⋅ v1 ,
wobei die Variablen ohne Index für jeden Zustand auf der Zustandsänderungslinie
stehen. Durch Umstellung erhält man
p1 ⋅ v1
v
p( v ) =
und
p1 ⋅ v1
p
v( p) =
(Gl. 5.19 a, b)
sowie durch Einsetzen des Endzustandes (2):
p1 ⋅ v1
=
p2 ⋅ v 2
(Gl. 5.20)
Geschlossenes System
Eine isotherme Zustandsänderung in einem geschlossenen System kann man sich
als Kompressionsprozess in einem sehr gut gekühlten Zylinder vorstellen.
Setzt man Gl. 5.19 a in das Integral für die spezifische Volumenänderungsarbeit ein,
2
w V 12 = − ∫ p dv =
1
2
−∫
1
p1 ⋅ v1
dv = − p1 ⋅ v1
v
2
∫
1
dv
,
v
(Gl. 5.21)
und löst das Integral, so erhält man mit Hilfe von Gl. 5.20 die folgenden Berechnungsgleichungen für die spezifische Volumenänderungsarbeit bei isothermer Zustandsänderung:
w V 12 = p 2 ⋅ v 2 ln
w V 12
v1
v2
v
= R ⋅ T ln 1
v2
p2
p1
w V 12
= p 2 ⋅ v 2 ln
w V 12
p
= R ⋅ T ln 2
p1
(Gln. 5.22)
Da die innere Energie des idealen Gases nur von der Temperatur abhängt, siehe
Kap. 3.4, kann sich die innere Energie bei isothermer Zustandsänderung nicht ändern.
Damit stellt sich der erste Hauptsatz für geschlossene Systeme bei isothermer Zustandsänderung wie folgt dar:
q12 + w V 12 + j12
= u2 − u1
⇒
= − q12
w V 12 + j12
= 0
(Gl. 5.23)
93
Bei einem Kompressionsprozess, der mit einem idealen Gas in einem geschlossenen System (Zylinder + Kolben) bei isothermer Zustandsänderung geführt wird,
muss die zugeführte Arbeit, bestehend aus Volumenänderungsarbeit und Dissipationsenergie, in Form von Wärme wieder abgeführt werden, um die Temperatur des
Gases konstant zu halten.
Bei einem Expansionsprozess, der mit einem idealen Gas in einem geschlossenen
System (Zylinder + Kolben) bei isothermer Zustandsänderung geführt wird, muss die
abgeführte Arbeit, bestehend aus der um die Dissipationsenergie geminderten Volumenänderungsarbeit des Systems, in Form von Wärme zugeführt werden, um die
Temperatur des Gases konstant zu halten.
Stationärer Fließprozess
Eine isotherme Zustandsänderung bei einem stationären Fließprozess kann man
sich als Kompressionsprozess in einem sehr gut gekühlten Turbokompressor vorstellen. Zur Berechnung der spezifischen Druckänderungsarbeit setzen wir Gl. 5.19 b in
das Integral vdp ein. In ähnlicher Weise wie bei der Volumenänderungsarbeit folgen
als Lösung des Integrals einige Berechnungsgleichungen für die spezifische Druckänderungsarbeit. Man erhält:
w P 12 = p 2 ⋅ v 2 ln
w P 12
v1
v2
v
= R ⋅ T ln 1
v2
p2
p1
w P 12
= p 2 ⋅ v 2 ln
w P 12
p
= R ⋅ T ln 2
p1
(Gln. 5.24)
Vergleicht man die Gln. 5.24 mit den Gln. 5.22, so stellt man fest, dass für isotherme
Zustandsänderungen wP12 = wV12 gilt.
Da die Enthalpie wie die innere Energie des idealen Gases nur von der Temperatur
abhängt, siehe Kap. 3.4, kann sich die Enthalpie bei isothermer Zustandsänderung
nicht ändern.
Damit stellt sich der erste Hauptsatz für stationäre Fließprozesse bei isothermer Zustandsänderung unter Vernachlässigung der äußeren Energien wie folgt dar:
q12 + w t 12
=
h2 − h1
= 0
⇒
w t 12
= − q12
mit
w t 12
=
w P 12 + j12
w P 12 + j12
=
− q12
(Gl.5.25)
folgt
(Gl. 5.26)
94
Damit gelten beim stationären Fließprozess ähnliche Aussagen wie beim geschlossenen System:
Bei einem Kompressionsprozess, der mit einem idealen Gas in einem offenen System (Turbokompressor) bei isothermer Zustandsänderung geführt wird, muss die
zugeführte technische Arbeit, bestehend aus Druckänderungsarbeit und Dissipationsenergie, in Form von Wärme wieder abgeführt werden, um die Temperatur des
Gases konstant zu halten.
Bei einem Expansionsprozess, der mit einem idealen Gas in einem offenen System
(Turbine) bei isothermer Zustandsänderung geführt wird, muss die abgeführte technische Arbeit, bestehend aus der um die Dissipationsenergie verminderten Druckänderungsarbeit, in Form von Wärme zugeführt werden, um die Temperatur des Gases
konstant zu halten.
Isotherme Zustandsänderungen sind in der Praxis nur schwer zu verwirklichen. Sie
bieten aber besondere Vorteile.
Beispiel (vgl. Langeheinecke et al., 1999, S. 142):
Eine Druckluftanlage soll stündlich 110 m³ Luft mit einem Absolutdruck von 16 bar
und mit Umgebungstemperatur liefern. Der Verdichter saugt die Luft mit 0,96 bar und
20 °C an. Es soll von einem dissipationsfreien Prozess ausgegangen werden. Äußere Energien sollen vernachlässigt werden. a) Welcher Volumenstrom ist anzusaugen? b) Welche Leistung muss dem Verdichter zugeführt werden? c) Wie groß ist
der zu übertragende Wärmestrom?
•
V 2 = 110 m 3 h = 0,0306 m 3 s
Daten: Druckluftstrom
Ansaugdruck
p1 = 0,96 bar = 0,96 ⋅ 10 5 J m 3
Enddruck
p 2 = 16 bar = 16 ⋅ 10 5 J m 3
Ansaugtemperatur
t1 = 20 ° C; T1 = 293 K
•
a) Ansaugvolumenstrom V 1
•
•
v2 =
v = V m
•
V1
p1 v1
p2
•
p V2
16 bar ⋅ 0,0306 m 3
m3
= 2
=
= 0,51
p1
0,96 bar
s
b) Zuzuführende Leistung P12
•
P12 = m ⋅ wP 12
mit
wP 12 = R ⋅ T ⋅ ln
p2
v
= p1 v1 ln 1
p1
v2
95
•
•
P12 = m ⋅ wP 12 = m ⋅ p1 v1 ⋅ ln
P12 = 0,96 ⋅ 10 5
•
p2
p
= p1 ⋅ V 1 ⋅ ln 2
p1
p1
16 bar
J
m3
⋅
0
,
51
⋅ ln
= 138 kW
3
s
0,96 bar
m
•
c) Übertragener Wärmestrom Q 12
•
Q 12 = − P12 = − 138
5.5
kJ
s
Isentrope Zustandsänderung
Wir verstehen unter einer isentropen Zustandsänderung eine reversible Zustandsänderung in einem adiabaten System. Unabhängig davon, ob sich der Vorgang in einem geschlossenen oder offenen System abspielt, bleibt bei einer isentropen Zustandsänderung die Entropie konstant, siehe Kap. 4.5. Im T,s-Diagramm verläuft die
Zustandsänderungslinie deshalb senkrecht. Bei einer isentropen Zustandsänderung
ändern sich Druck, Temperatur und spezifisches Volumen gleichzeitig. Unter der
Bedingung dq = 0 (adiabat) und dj = 0 (reversibel) lässt sich aus dem ersten Hauptsatz eine Differentialgleichung entwickeln, die den Verlauf der isentropen Zustandsänderung im p,v-Diagramm beschreibt:
κ
 v dp 
=
≡ −

 p dv  s = konst .
dh
du
(Gl. 5.27)
Die durch Gl. 5.27 definierte Größe κ wird als Isentropenexponent bezeichnet.
Isentropengleichungen für ideale Gase
Die Integration der Differentialgleichung 5.27 führt auf die folgenden Beziehungen
zwischen dem Druck p und dem spezifischen Volumen v bei einer isentropen Zustandsänderung:
1
κ
 p κ
v1
=  2
v2
 p1 
v 
p2
=  1 ;
p1
 v2 
(Gl. 5.28 a, b)
bzw.
κ
p1 ⋅ v1
=
p ⋅ vκ
=
p2 ⋅ v 2
κ
(Gl.5.29)
In Gl. 5.29 stehen die Variablen ohne Index für alle Zustände auf der Zustandsänderungslinie.
96
Ein Zusammenhang mit der Temperatur kann hergestellt werden, wenn der Verlauf
der Isothermen im p,v-Diagramm bekannt ist, d. h. ein Stoffmodell zugrunde liegt.
Wir verwenden die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases und formulieren sie für den Anfangs- und den Endzustand:
p1 ⋅ v1
= R
T1
und
p2 ⋅ v 2
= R
T2
(Gl. 5.30 a, b)
Wir verknüpfen beide Gleichungen über die Gaskonstante und erhalten:
p2
T v
= 2⋅ 1
p1
T1 v 2
bzw.
v1
T p
= 1⋅ 2
v2
T2 p1
(Gl. 5.31 a, b)
Setzt man nun zunächst Gl. 5.31 a und dann Gl. 5.31 b in Gl. 5.28 ein, so erhält man
Beziehungen zwischen der Temperatur T und dem Druck p sowie zwischen der
Temperatur T und dem spezifischen Volumen v bei einer isentropen Zustandsänderung:
v 
T2
=  1
T1
 v2 
1
κ −1
p 
T2
=  2
T1
 p1 
;
κ −1
κ
 T  κ −1
v1
=  2
v2
 T1 
(Gl. 5.32 a, b)
κ
;
 T  κ −1
p2
=  2
p1
 T1 
(Gl. 5.33 a, b)
Die Gln. 5.28, 5.32 und 5.33 werden als Isentropengleichungen bezeichnet.
Abb. 5.6:
Isentrope Zustandsänderung (1) → (2) eines idealen Gases im p,vund im T,s-Diagramm (vgl. Langeheinecke et al., 1999, S. 146)
Abb. 5.6 zeigt die isentrope Zustandsänderung eines idealen Gases im p,v- und im
T,s-Diagramm. Im p,v-Diagramm ist die Isentrope eine Parabel. Für einen gegebenen Zustandspunkt, z. B. Punkt (1) im p,v-Diagramm der Abb. 5.6, verläuft sie steiler
als die entsprechende Isotherme. Die Fläche zwischen der Isentropen und der
97
v-Achse stellt die negative spezifische Volumenänderungsarbeit −wV12 und die Fläche zwischen der Isentropen und der p-Achse das Integral vdp bzw. die spezifische
Druckänderungsarbeit wP12 dar. Im T,s-Diagramm existiert wegen q12 + j12 = 0 keine
Fläche zwischen der Zustandsänderungslinie und der Abszisse.
Für ideale Gase ist laut Gl. 3.54 und 3.55 du = cV⋅dT
und
dh = cP⋅dT. Setzt
man dies in Gl. 5.27 ein, so folgt daraus der Isentropenexponent für ideale Gase:
κ
dh
du
=
=
cP
cV
(Gl.5.34)
Er ist identisch mit dem Verhältnis von isobarer und isochorer Wärmekapazität und
damit eine Stoffgröße. Da stets cP > cV gilt, ist κ > 1.
Geschlossenes System
Eine isentrope Zustandsänderung in einem geschlossenen System kann man sich
als verlustfreien Kompressionsprozess in einem sehr gut isolierten, d. h. adiabaten
Zylinder vorstellen.
Zur Berechnung der Volumenänderungsarbeit geht man ähnlich vor, wie bei der isothermen Zustandsänderung: Gl. 5.29 wird nach p(v) umgestellt und in das Integral
der spezifischen Volumenänderungsarbeit eingesetzt. Schließlich erhält man, auch
unter Zuhilfenahme der thermischen Zustandsgleichung des idealen Gases und der
Isentropengleichungen 5.28, 5.32 und 5.33 diverse Berechnungsgleichungen für die
spezifische Volumenänderungsarbeit bei isentroper Zustandsänderung eines idealen
Gases mit konstanter spezifischer Wärmekapazität:
wV 12
κ −1


R ⋅ T1  p 2  κ
− 1
=
⋅  


κ − 1  p1 


(Gl. 5.35)
wV 12
κ −1

R ⋅ T1  v1 
− 1
=
⋅  
κ − 1  v 2 


(Gl. 5.36)
wV 12 =
R
⋅ (T − T1 ) = c V ⋅ (T2 − T1 )
κ −1 2
(Gl. 5.37)
Welche dieser Gleichungen zur Berechnung herangezogen wird, hängt davon ab,
welche Größen in der Aufgabenstellung gegeben sind.
Der erste Hauptsatz für geschlossene Systeme reduziert sich wegen q12 = 0 und
j12 = 0 für die isentrope Zustandsänderung auf die Beziehung:
wV 12
=
u2 − u1
(Gl. 5.38)
98
Stationärer Fließprozess
Ein Beispiel für eine isentrope Zustandsänderung bei einem stationären Fließprozess ist ein verlustfreier Kompressionsprozess, der in einem sehr gut isolierten, d. h.
adiabaten Turbokompressor stattfindet.
Für die spezifische Druckänderungsarbeit bei einer isentropen Zustandsänderung
eines idealen Gases mit konstanter spezifischer Wärmekapazität lassen sich die folgenden Berechnungsgleichungen finden:
wP 12
κ −1


κ


p
κ
2

− 1
=
⋅ R ⋅ T1 ⋅  


κ −1
p 
 1

(Gl. 5.39)
w P 12
 v  κ − 1

− 1
=
⋅ R ⋅ T1 ⋅  1 
κ −1
 v 2 

(Gl. 5.40)
wP 12 =
κ
κ
⋅ R ⋅ (T2 − T1 ) = cP ⋅(T2 − T1 )
κ −1
(Gl. 5.41)
Vergleicht man die Gln. 5.39 bis 5.41 mit den Gln. 5.35 bis 5.37, so stellt man fest,
dass für isentrope Zustandsänderungen wP12 = κ ⋅ wV12 gilt.
Der erste Hauptsatz für stationäre Fließprozesse und die Gleichung für die spezifische technische Arbeit reduzieren sich und unter Vernachlässigung von äußeren
Energien bei isentroper Zustandsänderung auf:
wt 12 = h2 − h1
(Gl. 5.42)
und
wt 12 = wP 12
(Gl. 5.43)
99
5.6
Polytrope Zustandsänderung
Wenn man die bisher behandelten speziellen Zustandsänderungen des idealen Gases zusammen in ein p,v-Diagramm und ein T,s-Diagramm einträgt, siehe Abb. 5.7,
so zeigt sich, dass sich diese Zustandsänderungslinien als zu einem Kurvenbüschel
gehörend ansehen lassen.
Abb. 5.7:
Spezielle Zustandsänderungen idealer Gase im p,v- und im T,sDiagramm (Langeheinecke et al., 1999, S. 148)
Die speziellen Zustandsänderungen können als Spezialfälle eines allgemeinen Gesetzes aufgefasst werden:
p ⋅ vn
=
konst .
mit
−∞ ≤ n ≤ +∞
(Gl. 5.44)
Gl. 5.44 wird als Polytropengleichung und die durch sie beschriebenen Kurven als
Polytropen bezeichnet. Der in Gl. 5.44 enthaltene Exponent n heißt Polytropenexponent. Es bedeuten:
n
n
n
n
=
=
=
=
0
1
κ
∞
p
T
s
v
=
=
=
=
konst.
konst.
konst.
konst.
isobare Zustandsänderung
isotherme Zustandsänderung
isentrope Zustandsänderung
isochore Zustandsänderung
Eine polytrope Zustandsänderung mit beliebigem Polytropenexponenten n kann
praktisch zu jedem denkbaren Ort, d. h. Zustand im p,v-Diagramm und im T,sDiagramm führen. Der technisch wichtige Bereich polytroper Zustandsänderungen
liegt jedoch zwischen 1 ≤ n ≤ κ, d. h. zwischen der isothermen und der isentropen
Zustandsänderung. Es bedeutet n = 1 eine ideal gute Wärmeübertragung und n = κ
eine ideal gute Isolierung. Beides ist in technischen Anlagen nur näherungsweise zu
verwirklichen, weil weder eine exakte Temperaturkonstanz noch eine völlige Wärmeisolierung möglich sind.
100
Formal ist die Polytropengleichung, Gl. 5.44 — wenn man n mit κ identifiziert —
wie die Isentropengleichung, Gl. 5.29, aufgebaut. Die Bedeutung der beiden Exponenten ist dabei aber völlig verschieden:
Die Größe κ ist durch die thermodynamischen Eigenschaften des Fluids, beim idealen Gas durch die Wärmekapazitäten cP und cV, als Zahlenwert festgelegt.
Durch den Polytropenexponenten n versucht man eine aufgrund eines technischen
Prozesses vorliegende Zustandsänderung auf einfache Weise mathematisch zu
approximieren und damit berechenbar zu machen.
Polytrope Zustandsänderungen unterliegen zunächst keinen Beschränkungen. Für
sie gilt im Allgemeinen, dass q12 und j12 nicht null sind. Im Speziellen können Zustandsänderungen jedoch auch durch adiabate Polytropen oder dissipationsfreie
Polytropen beschrieben werden.
Polytropengleichungen für ideale Gase
Analog zu den Gleichungen der isentropen Zustandsänderung lassen sich mit Hilfe
der thermischen Zustandsgleichung des idealen Gases verschiedene Darstellungen
der Polytropengleichung angeben:
n
p 
v1
=  2
v2
 p1 
v 
p2
=  1 ;
p1
 v2 
v 
T2
=  1
T1
 v2 
p 
T2
=  2
T1
 p1 
1
n
(Gl. 5.45 a, b)
1
n −1
;
n −1
n
 T  n −1
v1
=  2
v2
 T1 
(Gl. 5.46 a, b)
n
;
 T  n −1
p2
=  2
p1
 T1 
(Gl. 5.47 a, b)
Manchmal muss der Polytropenexponent aus gegebenen Zustandsgrößen bestimmt
werden. Das ist z. B. der Fall, wenn ein neuer Verdichter entwickelt und gebaut wurde. Für diese Maschine kennt der Hersteller den Polytropenexponenten zunächst
nicht. Auf dem Prüfstand werden deshalb z. B. Eintrittsdruck und -temperatur sowie
Austrittsdruck und -temperatur gemessen. Aufgrund dieser Daten lässt sich der Polytropenexponent mit Hilfe von Gl. 5.47 berechnen. Stellt man diese Gleichung nach
n um, so folgt:
ln
n =
p1
p2
p
T
ln 1 − ln 1
p2
T2
(Gl. 5.48)
101
Geschlossene Systeme
Für die bei Prozessen in geschlossenen Systemen wichtige spezifische Volumenänderungsarbeit erhält man bei polytroper Zustandsänderung idealer Gase:
wV 12
n −1


R ⋅ T1  p 2  n
− 1
=
⋅  

n − 1  p1 


(Gl. 5.49)
wV 12
n −1

R ⋅ T1  v1 
− 1
=
⋅  
n − 1  v 2 


(Gl. 5.50)
wV 12 =
R
⋅ (T2 − T1 )
n −1
(Gl. 5.51)
Für die polytrope Zustandsänderung gilt der erste Hauptsatz für geschlossene Systeme in seiner allgemeinen Form:
q12 + w12
=
u2 − u1
mit
=
wV 12 + j12
w12
(Gl. 5.52)
Stationäre Fließprozesse
Für die bei stationären Fließprozessen wichtige spezifische Druckänderungsarbeit
erhält man bei polytroper Zustandsänderung idealer Gase::
w P 12
n −1


n


p
n
2

− 1
=
⋅ R ⋅ T1 ⋅  
 p1 

n −1


(Gl. 5.53)
w P 12
 v  n − 1

n
− 1
=
⋅ R ⋅ T1 ⋅  1 
n −1
 v 2 

(Gl. 5.54)
wP 12 =
n
⋅ R ⋅ (T2 − T1 )
n −1
(Gl. 5.55)
Vergleicht man die Gln. 5.53 bis 5.55 mit den Gln. 5.49 bis 5.51, so stellt man fest,
dass für polytrope Zustandsänderungen wP12 = n ⋅ wV12 gilt.
Für die polytrope Zustandsänderung gilt der erste Hauptsatz für stationäre Fließprozesse in seiner allgemeinen Form:
102
(
)
(
)
1
2
2
⋅ c 2 − c1 + g ⋅ z 2 − z1
2
1
2
2
= j12 + w P 12 + ⋅ c 2 − c1 + g ⋅ z 2 − z1
2
q12 + w t 12 = h2 − h1 +
(
mit
w t 12
5.7
Kreisprozesse
)
(
)
(Gl. 5.56)
Die bisher behandelten Zustandsänderungen wurden mit dem Fluid jeweils einmal
durchgeführt, wobei sich sein Zustand von (1) nach (2) änderte. Aus einer bestimmten Arbeitsmittelmenge kann dabei nur einmalig ein gewisser Betrag an Arbeit gewonnen werden. Das gilt sowohl für offene, als auch für geschlossene Systeme.
Viele Maschinen arbeiten periodisch, d. h. ein bestimmter Prozess wird immer wieder
durchlaufen, wobei z. B. laufend Arbeit abgegeben werden kann. Um eine derartige
Wiederholung zu erreichen, ist es erforderlich, den Ausgangszustand des Arbeitsmediums wiederherzustellen, d. h. den Anfangsdruck, die Anfangstemperatur usw..
Eine solche Folge von Prozessen, durch die schließlich der Anfangszustand wieder
erreicht wird, nennt man Kreisprozess. Im p,v-Diagramm und im T,s-Diagramm ist er
durch einen geschlossenen Linienzug darstellbar, Abb. 5.8.
Abb. 5.8:
Kreisprozess im p,v-Diagramm und im T,s-Diagramm
Wir definieren: Ein Kreisprozess ist eine Folge von Zustandsänderungen, durch die
der Ausgangszustand wieder hergestellt wird.
Ein Prozess, der eine von (1) nach (2) abgelaufene Zustandsänderung auf demselben Weg von (2) nach (1) wieder rückgängig macht, wird dabei mindestens dieselbe
Arbeit zugeführt werden müssen, wie zuvor auf dem Weg von (1) nach (2) abgeführt wurde.
Bei der technischen Realisierung eines Kreisprozesses läuft häufig ein Arbeitsmittel
als stationär strömendes Fluid um. Ein Beispiel dafür ist die in Abb. 5.9 skizzierte
Dampfkraftanlage, bei der Wasserdampf als Arbeitsmittel im Dampferzeuger konti103
nuierlich Wärme aufnimmt und in der Turbine bei starker Enthalpieabnahme mechanische Arbeit abgibt. Im Kondensator wird dem Fluid Wärme entzogen, und die
Speisepumpe pumpt das Kondensat wieder in den Dampferzeuger.
Abb. 5.9:
Dampfkraftanlage als Beispiel eines Kreisprozesses
Bei diesem Prozess durchströmt das stationär umlaufende Fluid die hintereinander
geschalteten offenen Systeme Dampferzeuger, Turbine, Kondensator und Speisepumpe.
Wir betrachten einen Teilprozess des gesamten Kreisprozesses, z. B. die Turbine
aus Abb. 5.9. Die Zustände am Ein- und Austritt sollen durch die Indizes i und i + 1
gekennzeichnet sein. Für das stationär umlaufende Fluid lässt sich für diesen Teilbereich der erste Hauptsatz in gewohnter Weise, z. B. in spezifischen Größen angeben:
q i , i +1 + w t i , i +1 = h i + 1 − h i +
(
)
(
1
2
2
⋅ c i +1 − c i + g ⋅ z i +1 − z i
2
)
(Gl. 5.57)
Die Endgrößen des einen Teilprozesses sind die Anfangsgrößen des nächsten Teilprozesses. Summiert man über alle Teilprozesse und beachtet, dass der Endzustand des Fluids nach dem Durchlauf mit dem Ausgangszustand übereinstimmen
muss, so verschwindet die rechte Seite von Gl. 5.57 und wir erhalten:
∑q
i , i +1
+
∑w
t i , i +1
= 0
(Gl. 5.58)
Handelt es sich um differentiell kleine Zustandsänderungen, aus denen der Gesamtprozess zusammengesetzt ist, so tritt an die Stelle der Summation eine Integration
(Kreisintegral)
104
∫ dq
+
∫ dw
t
= 0
(Gl. 5.59)
Definition der spezifischen Kreisprozessarbeit:
Als spezifische Kreisprozessarbeit wKP wollen wir die Summe der technischen Arbeiten der Teilprozesse bzw. das Kreisintegral über dwt definieren:
w KP ≡
∑w
t i , i +1
=
∫ dw
t
(Gl. 5.60)
Erster Hauptsatz für Kreisprozesse:
Den ersten Hauptsatz für Kreisprozesse erhalten wir dann in der Schreibweise
− w KP =
∑q
i , i +1
=
∫ dq
(Gl. 5.61)
Die negative Kreisprozessarbeit ist gleich der algebraischen Summe aller vom Arbeitsfluid aufgenommenen und abgegebenen spezifischen Wärmen.
Die gesamte bei einem Kreisprozess ausgetauschte spezifische Wärme lässt sich in
einen Anteil qzu, der alle zugeführten Teilwärmen enthält, und einen Anteil qab, der
alle vom Fluid abgegebenen Teilwärmen enthält, aufspalten:
∑q
i , i +1
= q zu + q ab
(Gl. 5.62)
Die Energiebilanz für den Kreisprozess nimmt dann die Form an:
− w KP = q zu + q ab
1. HS für Kreisprozesse
(Gl. 5.63)
Die spezifische Kreisprozessarbeit −wKP ist gleich der Summe aus der dem Arbeitsmittel zugeführten und der von ihm abgegebenen spezifischen Wärmen.
Es ist zu beachten, dass sich hinter den abgegebenen spezifischen Wärmen negative Zahlenwerte verbergen.
Wenn die Summe aus zu- und abgeführter Wärme qzu + qab > 0 ist, dann gibt der
Kreisprozess Arbeit ab. Dies ist in Wärmekraftanlagen der Fall, wo kontinuierlich
Wärme in Arbeit umgewandelt wird. Abb. 5.9 zeigt solch eine Anlage. Die Energieumwandlung in einer Wärmekraftanlage lässt sich in einem Energieflussdiagramm — einem sog. SANKEY-Diagramm — veranschaulichen, siehe Abb. 5.10.
105
Abb. 5.10:
SANKEY-Diagramm des Kreisprozesses einer Wärmekraftanlage
Die Güte der Energieumwandlung wird durch den thermischen Wirkungsgrad angeben.
η th =
abgeführte Kreisprozessarbeit
energetischer Nutzen
=
zugeführte Wä rme
energetischem Aufwand
η th =
w KP
q zu
=
q zu − q ab
q zu
= 1 −
q ab
q zu
(Gl. 5.64)
Die Größe ηth ist ein Umwandlungsfaktor für Wärme in Arbeit. Er ist immer wesentlich kleiner als eins.
Wenn die Summe aus zu- und abgeführter Wärme qzu + qab < 0 ist, dann nimmt
der Kreisprozess Arbeit auf. Derartige Verhältnisse liegen in Kälteanlagen und Wärmepumpen vor. Aus Abb. 5.11 ist der prinzipiell ähnliche Aufbau wie bei einer
Dampfkraftanlage erkennbar.
106
Abb. 5.11:
Kälteanlage / Wärmepumpe als Beispiel eines Kreisprozesses
Hier muss insgesamt Arbeit aufgewendet werden, um Wärme entgegen dem natürlichen Temperaturgefälle auf ein höheres Temperaturniveau zu transportieren. Die
Güte des Transportes wird durch die Leistungsziffer ε angegeben. Obwohl Kälteanlagen und Wärmepumpen technisch identisch sind, ist die Leistungsziffer bei Kälteanlagen etwas anders definiert als bei Wärmepumpen:
εK =
q zu
q zu
=
> 0
w KP
q ab − q zu
εW =
q ab
w KP
=
q ab
q ab − q zu
> 1
(Gl. 5.65)
(Gl. 5.66)
Der Unterschied der Leistungsziffern von Kälteanlage und Wärmepumpe ist in dem
unterschiedlichen energetischen Nutzen begründet:
Bei einer Kälteanlage arbeitet der Kreisprozess zwischen dem zu kühlenden Raum
und der Umgebung, Abb. 5.12 a. Aus dem zu kühlenden Raum wird Wärme auf das
Temperaturniveau der Umgebung gefördert. Der energetische Nutzen ist hierbei die
Wärme, die dem Kreisprozess aus dem zu kühlenden Raum zugeführt wird.
Bei einer Wärmepumpe arbeitet der Kreisprozess zwischen der Umgebung und einem zu beheizenden Raum, Abb. 5.12 b. Aus der Umgebung wird Wärme auf das
höhere Temperaturniveau des zu beheizenden Raumes gefördert. Der energetische
Nutzen ist in diesem Fall die vom Kreisprozess an den Raum abgegebene Wärme.
107
Abb. 5.12:
SANKEY-Diagramme der Kreisprozesse einer Kälteanlage
und einer Wärmepumpe
Bei der bisherigen Behandlung wurde der Kreisprozess als aus einer Folge von stationären Fließprozessen bestehend angenommen. Man kann sich leicht vorstellen,
dass die gleichen Überlegungen auch für ein geschlossenes System gelten, über
dessen Grenzen in einem Zyklus nacheinander Energie in Form von Wärme und
Arbeit wechseln, so wie es beispielsweise bei Kolbenmotoren der Fall ist.
Rechtsläufige und linksläufige Kreisprozesse:
Hinsichtlich des Umlaufsinns im p,v- und T,s-Diagramm unterscheidet man zwischen
rechtsläufigen und linksläufigen Kreisprozessen. Bei einem rechtsläufigen
Kreisprozess ist die spezifische Kreisprozessarbeit wKP < 0, d. h. das System gibt
Arbeit ab. Bei einem linksläufigen Kreisprozess ist wKP > 0, d. h. das System nimmt
Arbeit auf. In Wärmekraftanlagen laufen Rechtsprozesse ab. In Kälteanlagen und
Wärmepumpen durchläuft das Arbeitsmedium einen Linksprozess.
Dissipationsfreier Kreisprozess:
Bei verlustfreien Kreisprozessen lässt sich die technische Arbeit jedes differentiellen
Teilschritts unter Vernachlässigung äußerer Energien als
108
dw t = dw P = v ⋅ dp
(Gl. 5.67)
darstellen. Für die Kreisprozessarbeit folgt damit nach der Definition von Gl. 5.60:
w KP =
∫ dw
t
=
∫ v dp
(Gl. 5.67)
Das bedeutet: Bei einem verlustfreien Kreisprozess eines stationär umlaufenden
Fluids ist im p,v-Diagramm die von der Zustandsänderungslinie eingeschlossene
Fläche mit dem Betrag der spezifischen Kreisprozessarbeit identisch.
In ähnlicher Weise lässt sich mit Hilfe der Beziehungen des zweiten Hauptsatzes
zeigen: Bei einem verlustfreien Kreisprozess ist im T,s-Diagramm die von der Zustandsänderungslinie eingeschlossene Fläche mit dem Betrag der spezifischen
Kreisprozessarbeit identisch.
Abb. 5.13:
Darstellung der spezifischen Kreisprozessarbeit
im p,v- und T,s-Diagramm
Die bislang getroffenen Aussagen gelten für alle Kreisprozesse gleichermaßen.
Möchte man nun z. B. wissen, wie groß der thermische Wirkungsgrad eines
rechtsdrehenden Kreisprozesses ist, so hängt die Beantwortung dieser Frage von
der konkreten Realisierung des Kreisprozesses ab. Es gibt einige technische Lösungen für Rechtsprozesse, die alle dasselbe Ziel haben, Wärme in Arbeit umzuwandeln, dies aber mit unterschiedlicher Effizienz tun. So ist bei gleicher abgeführter
Kreisprozessarbeit der thermische Wirkungsgrad eines Dieselprozesses höher als
109
der eines Ottoprozesses, was sich beim Dieselmotor durch einen niedrigeren Treibstoffverbrauch bemerkbar macht.
Im Folgenden sei der CARNOT-Prozess als Beispiel für einen rechtslaufenden
Kreisprozess vorgestellt. Dieser historisch älteste Kreisprozess wurde 1824 von dem
Franzosen CARNOT vorgeschlagen. Als Rechtsprozess ist er ein Arbeitsprozess für
Wärmekraftanlagen, der aus den folgenden dissipationsfreien Teilprozessen besteht:
Abb. 5.14:
(1)
(2)
(3)
(4)
→
→
→
→
(2)
(3)
(4)
(1)
Darstellung des CARNOT-Prozesses im p,v- und T,sDiagramm sowie Verfahrensschema zu seiner Durchführung
isentrope Kompression
isotherme Expansion mit Wärmezufuhr
isentrope Expansion
isotherme Kompression mit Wärmeabfuhr
Abb. 5.14 zeigt die Darstellung des Prozesses im p,v- und im T,s-Diagramm und das
Schaltschema der Wärmekraftanlage. Bei der Expansion in der Turbine wird dem
System Wärme bei konstanter Temperatur zugeführt. Bei der isothermen Kompression im Verdichter wird Wärme bei konstanter Temperatur abgeführt. Für die einzel110
nen Teilprozesse des stationär und verlustfrei umlaufenden Fluids können unter der
Voraussetzung eines idealen Gases mit konstanter spezifischer Wärmekapazität
(z. B. Helium) die spezifische technische Arbeit und die übertragene spezifische
Wärme angegeben werden (äußere Energien sind vernachlässigt):
(1) → (2): isentrope Kompression
w t 12 =
κ
κ −1
q12 = 0
R (T2 − T1 )
(2) → (3): isotherme Expansion T2 = T3
w t 23 = − q 23 = R ⋅ T2 ⋅ ln
(3) → (4): isentrope Expansion
w t 34 =
κ
κ −1
q34 = 0
R (T4 − T3 ) =
(4) → (1): isotherme Kompression
w t 41 = − q 41 = R ⋅ T4 ⋅ ln
Es gilt
p3
p2
κ
κ −1
R (T1 − T2 ) = − w t 12
T4 = T1
p1
p
= R ⋅ T4 ⋅ ln 2
p4
p3
p1
p
= 2 , weil für ideale Gase die Isobaren im
p4
p3
T,s-Diagramm horizontal parallel verlaufen.
Die spezifische Kreisprozessarbeit des CARNOT-Prozesses lässt sich sowohl aus
der Summe der spezifischen technischen Arbeiten als auch aus der negativen
Summe der spezifischen Teilwärmen q berechnen:
wKP = w t 12 + w t 23 + w t 34 + w t 41 = R ⋅ (T2 − T4 ) ln
p3
p2
= R ⋅ (T2 − T4 ) ln
p3
p2
wKP = − q 23 − q 41
Der thermische Wirkungsgrad des rechtslaufenden CARNOT-Prozesses lautet damit:
η th,C =
wKP
q zu
η th,C = 1 −
=
T4
T2
− R (T2 − T4 ) ln p3 p 2
− R T2 ln p3 p 2
bzw.
(Gl. 5.68)
Der thermische Wirkungsgrad des CARNOT-Prozesses ist unabhängig von den Eigenschaften des Arbeitsmittels. Er hängt nur von den Temperaturen T2 (Temperatur
111
der Wärmezufuhr) und T4 (Temperatur der Wärmeabfuhr) ab, zwischen denen er
verläuft. Für eine Temperatur der Wärmeabfuhr von T4 = 0 K wird er gleich eins, d. h.
die gesamte zugeführte Wärme würde in Arbeit verwandelt werden. Im Allgemeinen
ist die Temperatur T4 jedoch mit der Umgebungstemperatur identisch, so dass schon
deswegen der thermische Wirkungsgrad deutlich kleiner als eins wird. Um einen guten Wirkungsgrad zu erzielen, muss die Wärme dem Prozess bei möglichst hoher
Temperatur T2 zugeführt werden.
Der CARNOT-Prozess ist der Kreisprozess, der den höchstmöglichen thermischen
Wirkungsgrad liefert. Seiner technischen Realisierung stehen allerdings verschiedene verfahrenstechnische Hindernisse im Wege. Er hat damit lediglich akademischen
Wert. Der auch als CARNOT-Faktor bezeichnete thermische Wirkungsgrad des
CARNOT-Prozesses wird als Maßstab für die Wirkungsgrade von technisch realisierbaren Kreisprozessen verwendet. Er stellt die Wirkungsgradgrenze dar, die von
einem wirklichen Prozess aufgrund der Beschränkungen, die durch den zweiten
Hauptsatz der Thermodynamik vorgegeben sind, bestenfalls erreicht werden kann.
Geht man z. B. von der höchsten und niedrigsten Temperatur im Kreisprozess eines
Dampfkraftwerkes aus, tmax = 600 °C (873 K) und tmin = 30 °C (303 K), so hätte ein
zwischen diesen Temperaturen geführter CARNOT-Prozess einen thermischen Wirkungsgrad von
η th, C = 1 −
303 K
= 0, 653 ,
873 K
d. h., maximal 65,3 % der zugeführten Brennstoffenergie, die in der Feuerung eines
realen Kraftwerkes freigesetzt und an den Wasser-/Dampf-Kreisprozess übertragen
wird, kann in Kreisprozessarbeit und damit in elektrischen Strom umgewandelt werden. Der tatsächliche thermische Wirkungsgrad eines Dampfkraftwerkes, das zwischen den angegeben Grenztemperaturen arbeitet, liegt mit etwa 48 % deutlich
niedriger.
Es ist für rechtsläufige Kreisprozesse charakteristisch, dass für ihre Durchführung
nicht nur eine Wärmequelle mit möglichst hohem Temperaturniveau vorhanden sein
muss, sondern ebenso eine Wärmesenke mit möglichst niedriger Temperatur, um
Kreisprozessarbeit zu gewinnen. Die Wärmesenke, d. h. die Wärmeabfuhr an die
Umgebung (Abwärme), ist für den Prozess zwingend erforderlich, da das Kreisprozessfluid ohne sie seinen Ausgangszustand nicht wieder erreichen kann. Es kann
somit nicht gelingen die einem Kreisprozess zugeführte Wärme vollständig in Kreisprozessarbeit umzuwandeln. Im Gegensatz dazu ist es durchaus möglich, mechanische Energie über einen Reibungsvorgang vollständig in Wärme umzuwandeln.
Es scheint offenbar ein grundsätzlicher Unterschied zwischen der Wandlung von
Arbeit in Wärme und deren Umkehrung, der Wandlung von Wärme in Arbeit, zu bestehen.
Kontrollfragen
112
5.1
Eine Gasflasche mit offenem Ventil erwärmt sich in der Sonne. Welche Systemeigenschaft und welche Zustandsänderung ist für dieses System zutreffend?
5.2
Bei welcher reversiblen Zustandsänderung ist die spezifische technische Arbeit gleich der spezifischen Volumenänderungsarbeit?
5.3
Ein ideales Gas soll in einem stationären Fließprozess verlustfrei verdichtet
werden. Ist es hinsichtlich der aufzuwendenden technischen Arbeit günstiger,
den Verdichtungsprozess isotherm oder isentrop zu führen? Benutzen Sie für
Ihre Überlegungen ein p,v-Diagramm.
5.4
Eine Turbine gibt über ihre Welle technische Arbeit und über ihr Gehäuse
Wärme ab. Bei der Expansion des Arbeitsmittels sinken Druck und Temperatur. Durch welche Zustandsänderung kann dieser Prozess beschrieben werden? Wie heißt die maßgebliche Größe?
5.5
Was versteht man unter einem Kreisprozess? Welche grundlegenden thermodynamischen Aufgaben können mit Hilfe von Kreisprozessen bewältigt
werden?
5.6
Welchen Stellenwert hat der CARNOT-Prozess als Wärmekraftprozess für die
Praxis und für die vergleichende Betrachtung?
113
Übungsaufgaben
5.1
In einem geschlossenen System sollen m = 5 kg Luft ausgehend von
t1 = 20 °C, p1 = 1 bar auf p2 = 6 bar verdichtet werden, und zwar:
a) isotherm
b) isentrop
c) polytrop mit n = 1,2
In allen Fällen soll die Zustandsänderung dissipationsfrei erfolgen. Die Luft
soll sich wie ein ideales Gas mit R = 287 J/(kg K) und cP = 1006 J/(kg K) verhalten.
Gesucht sind: wV12, T2, q12.
5.2
Ein Turboverdichter verdichtet Luft [ideales Gas, R = 287 J/(kg K), cP = 1004
J/(kg K) = konst.] von einem Zustand p1 = 2 bar, T1 = 293 K auf einen Druck
von p2 = 5 bar. Die Zustandsänderung sei polytrop, der Polytropenexponent ist
n = 1,2. Der Massenstrom der Luft beträgt 0,1 kg/s, die Durchmesser von Ansaugleitung und Druckleitung sind d1 = 100 mm bzw. d2 = 70 mm. Ein- und
Austrittsstutzen befinden sich auf gleicher Höhe.
a) Es sind die thermischen Zustandsgrößen sowie die Ein- und Austrittsgeschwindigkeiten zu berechnen.
b) Wie groß ist die zuzuführende spezifische technische Arbeit wt12, wenn
5 % davon dissipiert werden?
c) Wie groß ist die ausgetauschte spezifische Wärme q12?
114
•
5.3
Ein Luftstrom von V 1 = 10 m³/h wird von einer Kaltluftanlage zur Raumkühlung aus einem zu kühlenden Raum angesaugt. Der Zustand der Luft in dem
Raum ist p1 = 1 bar, T1 = 278 K. Die Luft wird in aufeinander folgenden stationären Fließprozessen den nachstehenden Zustandsänderungen unterworfen
(linkslaufender JOULEProzess):
(1)
(2)
(3)
(4)
Isentrope Verdichtung im Turbokompressor auf p2 = 2 bar.
Isobare Abkühlung in einem Wärmeübertrager auf T3 = 310 K.
Isentrope Expansion in einer Turbine auf p4 = 1 bar.
Isobare Wärmezufuhr im zu kühlenden Raum auf T1 = 278 K.
Die Luft kann in dem betrachteten Zustandsbereich als ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten behandelt werden.
R = 287 J / (kg K)
cP = 1004 J / (kg K)
κ = 1,4
Luftfeuchtigkeit, Dissipation und äußere Energien sind in allen Teilprozessen
zu vernachlässigen.
a) Zeichnen Sie das Verfahrensschema der Kaltluftanlage
b) Stellen Sie den Kreisprozess im p,v- und im T,s-Diagramm dar.
c) Wie groß ist die höchste und niedrigste Temperatur?
d) Wie groß sind die zu- und abgeführten Wärmeströme?
e) Welche Leistung benötigt der Verdichter?
f)
Welche Leistung gibt die Turbine ab?
g) Berechnen Sie die Kreisprozessleistung PKP.
h) Welche Leistungsziffer εK hat die Kälteanlage?
115
6.
Thermische und kalorische Stoffeigenschaften realer Stoffe
Die allgemeinen Beziehungen der Thermodynamik wie der erste und der zweite
Hauptsatz können in der Praxis nur angewandt werden, wenn die physikalischen
Eigenschaften der Stoffe, die in die Rechnungen eingehen, bekannt sind. Diese Eigenschaften der Stoffe sind in der thermischen und kalorischen Zustandsgleichung
zusammengefasst. Während die thermische Zustandgleichung eines Stoffes durch
Messung der Zustandsgrößen p, T und v bestimmt werden müssen, können die kalorischen Zustandgrößen auf der Basis der Beziehungen des 2. Hauptsatzes aus einer
bekannten thermischen Zustandsgleichung berechnet werden (vgl. Baehr, 1973,
S.157).
6.1
Das p,v,T-Diagramm für reine reale Stoffe
Wie wir bereits in Abschn. 2.3 gesehen haben, gibt es für die Gleichgewichtszustände eines jeden Stoffes eine thermische Zustandsgleichung der Form
F(p,v,T) = 0. Sie lässt sich geometrisch als Fläche im dreidimensionalen
p,v,T-Raum darstellen, indem man über der v,T-Ebene den Druck p = p(v,T) als
Ordinate aufträgt. Für den einfachen Modellfall des idealen Gases führt dies zu einer
einfachen Zustandsfläche mit hyperbolischer Gestalt, siehe Abb. 2.9.
Da im Gegensatz zum idealen Gas alle realen Stoffe in den Aggregatzuständen oder
Phasen fest, flüssig und gasförmig vorkommen, nimmt die Zustandsfläche für diese
Stoffe eine weitaus komplexere Gestalt an. Wie in Abb. 6.1 zu erkennen ist, lassen
sich verschiedene, durch Knicke in der p,v,T-Fläche abgegrenzte Bereiche unterscheiden. Neben den Einphasengebieten – das sind die Flächen, auf denen der
Stoff gasförmig, flüssig oder fest vorliegt – gibt es Gebiete, in denen zwei Phasen
gleichzeitig vorhanden sind. Bei diesen so genannten Zweiphasengebieten handelt
es sich um das Nassdampfgebiet (hier sind Gas und Flüssigkeit im Gleichgewicht),
das Schmelzgebiet (Gleichgewicht zwischen Festkörper und Flüssigkeit) und das
Sublimationsgebiet (Gleichgewicht zwischen Festkörper und Gas). Die Grenzlinien
zwischen den einzelnen Gebieten tragen unterschiedliche Bezeichnungen. So heißt
z. B. die Linie zwischen dem Gebiet des Festkörpers und dem Schmelzgebiet
Schmelzlinie und diejenige zwischen dem Schmelzgebiet und dem Gebiet der Flüssigkeit Erstarrungslinie. Das Gebiet der Flüssigkeit ist vom Nassdampfgebiet durch
die Siedelinie und das Nassdampfgebiet vom Gebiet der Gasphase durch die Kondensationslinie (Taulinie) getrennt. Die Siedelinie und die Kondensationslinie laufen
mit steigenden Drücken und Temperaturen aufeinander zu und treffen sich im so
genannten kritischen Punkt K. Die Isotherme und die Isobare, die durch diesen
Punkt laufen, werden als kritische Isotherme T = Tk und als kritische Isobare p = pk
bezeichnet. Die kritische Temperatur Tk, der kritische Druck pk und das kritische
spezifische Volumen vk sind für jeden realen Stoff charakteristische Größen.
116
5
2
3
4
1
Abb. 6.1:
p,v,T-Fläche eines reinen realen Stoffes (vgl. Baehr, 1973, S. 158)
Die in Abb. 6.1 eingezeichnete Zustandsänderung führt auf einer Linie p = konst.
vom Gebiet der Flüssigkeit (1) durch das Nassdampfgebiet bis ins Gebiet der Gasphase (5). Sie wird durch Zufuhr von Wärme verursacht und läuft folgendermaßen
ab:
(1) → (2): Erwärmung der Flüssigkeit bei konstantem Druck: Die Temperatur steigt
an, das spezifische Volumen nimmt leicht zu. Im Zustandspunkt (2) wird
die Siedelinie erreicht.
(2) → (4): Weitere Wärmezufuhr, dabei Durchquerung des Nassdampfgebietes: Die
Flüssigkeit siedet, und es bildet sich Dampf. Im Zustandspunkt (3) ist etwa
die Hälfte der Flüssigkeit verdampft. Bei konstantem Druck bleibt während
des Verdampfungsvorgangs auch die Temperatur konstant (Siedetemperatur). Das spezifische Volumen nimmt stark zu. Im Zustandspunkt (4)
wird die Kondensationslinie erreicht. Der Stoff besteht nun vollständig aus
Dampf (Gas).
117
(4) → (5): Weitere Wärmezufuhr bei konstantem Druck: Die Temperatur steigt nun
wieder an, das spezifische Volumen nimmt weiter zu, allerdings nicht
mehr so stark wie im Nassdampfgebiet.
Abb. 6.2:
p,v-Diagramm eines realen Stoffes mit den Grenzkurven der Zweiphasengebiete und den Isothermen T = konst. (Baehr, 1973,
S.160)
Eine ebene Darstellung der p,v,T-Fläche aus Abb. 6.1 erhält man im p,v-Diagramm,
Abb. 6.2. Es entsteht durch Projektion der p,v,T-Fläche auf die p,v-Ebene und
enthält neben den Grenzkurven der Zustandsgebiete die Isothermen T = konst. als
Parameterlinien. Die Isothermen fallen im Nassdampfgebiet, im Schmelzgebiet und
im Sublimationsgebiet mit den Isobaren zusammen, laufen dort somit horizontal.
Projiziert man die p,v,T-Fläche auf die p,T-Ebene, so erhält man das p,T-Diagramm,
Abb. 6.3. Hierin lassen sich wieder die Gebiete des Festkörpers, der Flüssigkeit und
der Gasphase unterscheiden. Sie sind in diesem Diagramm durch die Schmelzdruckkurve, die Dampfdruckkurve und die Sublimationsdruckkurve voneinander getrennt. Die Schmelzdruckkurve entsteht aus der Schmelzlinie und der Erstarrungslinie des p,v,T-Diagramms. Durch die Projektion fallen die beiden Linien im p,TDiagramm zusammen. Ebenso vereinen sich im p,T-Diagramm die Siedelinie und
die Kondensationslinie zur Dampfdruckkurve sowie die Sublimations- und Desublimationslinie zur Sublimationsdruckkurve.
118
Abb. 6.3:
p,T-Diagramm eines realen Stoffes mit den Grenzkurven der drei
Phasen und den Isochoren v = konst. (Baehr, 1973, S. 161)
Im p,T-Diagramm treffen sich die Dampfdruckkurve, die Schmelzdruckkurve und die
Sublimationsdruckkurve in einem Punkt, der als Tripelpunkt bezeichnet wird. Er ist
die Projektion der Tripellinie aus dem p,v,T-Diagramm und entspricht jenem einzigen
Zustand, in dem alle drei Phasen eines realen Stoffes — Gasphase, Flüssigkeit und
Festkörper — miteinander im thermodynamischen Gleichgewicht stehen. Für Wasser liegt dieser Zustand bei Ttr = 273,16 K und ptr = 6,11⋅10-3 bar. Die Dampfdruckkurve endet im kritischen Punkt K, weil sich hier die Siede- und die Kondensationslinie treffen. Bei höheren Drücken als dem kritischen Druck wird das Gebiet der Flüssigkeit von dem der Gasphase formal durch die kritische Isotherme getrennt. Eine
scharf definierte Grenze existiert allerdings nicht. Die Flüssigkeit geht dort praktisch
unmerklich in die Gasphase über; man spricht von Phasenkontinuität.
6.2
Thermische Zustandsgleichungen für Feststoffe und Flüssigkeiten
Die Zustandsfläche eines realen Stoffes lässt sich aufgrund ihrer Komplexität nicht
mehr mit einer einzigen thermischen Zustandsgleichung beschreiben. Deshalb müssen für jedes der Zustandsgebiete auf der p,v,T-Fläche eigene Gleichungen formuliert werden. Alle diese Gleichungen sind recht kompliziert und nur mit Computerprogrammen handhabbar. Mit ihrer Hilfe hat man die Zustandsgrößen für technisch
wichtige Stoffe in weiten Temperatur- und Druckbereichen berechnet und in Tafeln
zusammengestellt. Lediglich für den Bereich der Feststoffe und näherungsweise für
Flüssigkeiten lassen sich praktikable thermische Zustandsgleichungen formulieren.
119
Feststoffe — Das Zustandsgebiet des Festkörpers liegt auf der Zustandsfläche des
p,v,T-Diagramms bei kleinen spezifischen Volumina, Abb. 6.1. In diesem Bereich
ändert sich das spezifische Volumen selbst bei großen Druckänderungen kaum. Lediglich bei Zunahme der Temperatur ist erfahrungsgemäß eine Ausdehnung des
Festkörpers, d. h. ein Anstieg seines Volumens und damit auch seines spezifischen
Volumens zu verzeichnen. Geht man von einem Bezugsvolumen V0 bei der Temperatur t0 aus, so lässt sich die Abhängigkeit des Volumens V von der Temperatur t
näherungsweise durch folgende lineare Beziehung beschreiben:
V
[
= V ( t ) = V0 1 +
β 0 ⋅ ( t − t 0 )]
(Gl. 6.1)
In dieser Gleichung ist der Proportionalitätsfaktor β0 der thermische Volumenausdehnungskoeffizient des betreffenden Stoffes. Er muss experimentell bestimmt werden und ist abhängig von der jeweiligen Bezugstemperatur t0. In vielen technischen
Fällen ist nur die Dehnung in einer Koordinatenrichtung von Interesse. Zu diesen
Zweck kann Gl. 6.1 eindimensional geschrieben werden:
L =
[
]
L0 1 + α 0 ⋅ ( t − t 0 )
(Gl. 6.2)
Hierin ist L0 die Bauteillänge bei der Bezugstemperatur t0 und L die Länge des Bauteils bei der Temperatur t. Der Proportionalitätsfaktor α0 ist der von der Bezugstemperatur t0 abhängige lineare Ausdehnungskoeffizient. Für einen isotropen Festkörper
gilt der Zusammenhang α0 = 1/3 β0.
Flüssigkeiten — Für reale Flüssigkeiten ändert sich das Volumen nicht nur bei einer Zu- oder Abnahme der Temperatur. Auch bei einer Zu- oder Abnahme des Druckes ist eine geringfügige Veränderung des Volumens zu verzeichnen. Da die Zustandsfläche des Flüssigkeitsgebietes für Drücke p < pk und Temperaturen T < Tk in
weiten Bereichen nur schwach gekrümmt ist, siehe Abb. 6.1, kann das Zustandsverhalten der Flüssigkeit in diesem Bereich durch einen linearen Ansatz beschrieben
werden. Zu diesem Zweck wird die für den Festkörper gültige Gl. 6.1 um einen Ausdruck erweitert, der die Abhängigkeit des Volumens vom Druck berücksichtigt:
V
[
= V ( t , p ) = V0 1 +
β 0 ⋅ (t − t 0 ) − k 0 ⋅ ( p − p 0 )]
(Gl. 6.3)
In Gl. 6.3 ist k0 der für den Referenzpunkt geltende isotherme Kompressibilitätskoeffizient. Er muss für jede Flüssigkeit experimentell bestimmt werden, hängt aber vom
Druck praktisch nicht und im Gegensatz zum thermischen Volumenausdehnungskoeffizienten β0 von der Temperatur nur geringfügig ab (vgl. Baehr, 1973, S.194).
120
6.3
Der isobare Verdampfungsvorgang
Der Phasenübergang Flüssigkeit — Dampf und das zweiphasige Nassdampfgebiet
haben große technische Bedeutung. Deshalb wird zur Verdeutlichung der in Abschn.
6.2 kurz angesprochene Phasenübergang bei konstantem Druck am Beispiel von 1
kg Wasser näher betrachtet. Das Wasser befindet sich zu diesem Zweck in einem
beheizbaren Zylinder, der durch einen frei verschiebbaren Kolben verschlossen ist,
Abb. 6.4. Der Kolben dichtet das System zur Umgebung hin ab und verhindert die
Vermischung von Wasserdampf und Umgebungsluft.
Abb. 6.4:
Verdampfung bei konstantem Druck
Im Ausgangszustand (1) liegt das Wasser in der flüssigen Phase vor. Bei Erwärmung steigt die Temperatur bei lediglich geringer Volumenausdehnung. Ab einer
bestimmten Temperatur, die bei einem Druck von p = 1,0 bar bei ts = 99,63 °C liegt,
bilden sich die ersten Dampfblasen, und das Wasser beginnt zu sieden, Zustandspunkt (2). Das spezifische Volumen der flüssigen Phase bei Siedebeginn wird mit v’
bezeichnet.
Bei weiterer Wärmezufuhr bilden sich immer mehr Dampfblasen am beheizten Zylinderboden. Sie steigen in der siedenden Flüssigkeit auf und führen zu einem wachsenden Dampfvolumen unter dem Kolben, Zustand (3). Der während des Verdampfungsvorgangs im Phasengleichgewicht mit der siedenden Flüssigkeit stehende
Dampf wird als gesättigter Dampf oder als Sattdampf und das heterogene Gemisch
aus siedender Flüssigkeit und gesättigtem Dampf als Nassdampf bezeichnet. Die
Temperatur liegt während des Phasenübergangs konstant bei ts = 99,63 °C. Das
spezifische Volumen vx des Nassdampfes nimmt jedoch erheblich zu.
121
Im Zustandspunkt (4) ist der Verdampfungsvorgang gerade abgeschlossen und der
letzte Flüssigkeitstropfen verschwunden. Das System besteht nun vollständig aus
gesättigtem Dampf. Sein spezifisches Volumen wird mit v’’ bezeichnet.
Wird der Sattdampf vom Zustandspunkt (4) aus weiter erwärmt, so steigt seine
Temperatur bei gleichzeitiger Volumenzunahme weiter an. Man spricht nun von
überhitztem Dampf oder von Heißdampf, was lediglich eine andere Bezeichnung für
die Gasphase ist.
Der beschriebene Prozess kann auch in umgekehrter Richtung ablaufen, wenn man
dem Dampf ausgehend vom Zustand (5) Wärme entzieht. Im Zustandspunkt (4) wird
dann der erste Flüssigkeitstropfen auftreten und im Zustand (2) die letzte Dampfblase kondensieren. Sowohl der Verdampfungsprozess als auch der Kondensationsprozess durchlaufen die gleichen Werte der thermischen Zustandsgrößen. Auch die
Beträge der beim Verdampfungsprozess zu- bzw. beim Kondensationsprozess abzuführenden Wärmen sind gleich.
122
6.4
Die Zustandsgrößen im Nassdampfgebiet
Bei der Verdampfung einer Flüssigkeit unter konstantem Druck bleibt, wie wir wissen, die Siedetemperatur der Flüssigkeit konstant. Die Höhe dieser Temperatur
hängt von dem Druck ab, bei dem das Sieden bzw. die Verdampfung stattfindet. Zu
jeder Siedetemperatur gehört ein ganz bestimmter Siededruck, tS = tS(pS), bzw.
umgekehrt. Ebenso ist das spezifische Volumen der siedenden Flüssigkeit und das
des Sattdampfes von diesem Druck abhängig, v’ = v’(pS) bzw. v’’ = v’’(pS). Für
Wasser findet man diese Größen in den so genannten Dampftafeln tabelliert, siehe
Abschn. 6.5.
Abb. 6.5:
Isobarer Verdampfungsprozess im p,v-Diagramm
Da im Nassdampfgebiet die siedende Flüssigkeit und der Sattdampf im Gleichgewicht nebeneinander auftreten, benötigt man zur Beschreibung der Systemzusammensetzung eine geeignete zusätzliche Größe. Hierzu wird der relative Massenanteil
des während des Verdampfungsprozesses aktuell vorhandenen Sattdampfes herangezogen. Er wird als Dampfgehalt x bezeichnet und ist nur im Nassdampfgebiet definiert:
x =
m ''
m ' + m ''
(G. 6.4)
Entsprechend lässt sich der als Flüssigkeitsgehalt bezeichnete relative Massenanteil
der aktuell vorhandenen siedenden Flüssigkeit berechnen:
y = 1− x =
m'
m ' + m ''
(Gl. 6.5)
123
Auf der Siedelinie gilt x = 0 wegen m’’ = 0, und auf der Kondensationslinie ist x = 1
wegen m’ = 0. Aufgrund dieses Zusammenhangs ist im p,v-Diagramm der Abb. 6.5
die Siedelinie mit x = 0 und die Kondensationslinie mit x = 1 bezeichnet. Neben diesen beiden Grenzlinien sind dort weitere Linien konstanten Dampfgehaltes x = konst.
mit 0 < x < 1 eingetragen. Den Dampfgehalt x findet man auch unter den Darstellungen der Abb. 6.4 angegeben.
Mithilfe des Dampfgehaltes x kann nun das spezifische Volumen des Nassdampfes
berechnet werden. Für das extensive Volumen gilt:
Vx
= V ' + V '' = m '⋅ v ' + m ''⋅ v ''
und für das spezifische Volumen:
vx
=
Vx
mx
=
m '⋅ v ' + m ''⋅ v ''
m ' + m ''
=
m'
m ''
⋅ v' +
⋅ v ''
m ' + m ''
m ' + m ''
Somit folgt für das spezifische Volumen
vx
=
(1 − x) ⋅ v '
+ x ⋅ v ''
(Gl. 6.6)
bzw. nach kurzer Umformung
vx
= v ' + x ⋅ ( v '' − v ')
(Gl. 6.7)
Ebenso wie das spezifische Volumen des Nassdampfes lassen sich die spezifische
Enthalpie und die spezifische Entropie von Nassdampf berechnen. Allerdings müssen hierzu die Werte der spezifischen Enthalpie und der spezifischen Entropie auf
der Siedelinie, h’ und s’, bzw. auf der Kondensationslinie, h’’ und s’’, bekannt sein.
Für die siedende Flüssigkeit werden diese Werte wieder mit einem Strich und für den
gesättigten Dampf gleicher Temperatur und gleichen Drucks mit zwei Strichen gekennzeichnet. Für Wasser findet man diese Größen wieder als Funktion des Siededrucks, z. B. h’ = h’(ts), in den Dampftafeln tabelliert, siehe Abschn. 6.5. Dann gilt
hx
=
(1 − x ) ⋅ h '
+
=
(1 − x) ⋅ s '
+ x ⋅ s '' = s ' + x ⋅ ( s '' − s ')
x ⋅ h '' = h ' +
x ⋅ ( h '' − h ')
(Gl. 6.8)
und
sx
(Gl. 6.9)
Die Differenz der spezifischen Enthalpien von gesättigtem Dampf und siedender
Flüssigkeit bei gleichem Druck und gleicher Temperatur nennt man die spezifische
Verdampfungsenthalpie ∆hV. Beim Wasser wird die spezifische Verdampfungsenthalpie aus historischen Gründen mit r bezeichnet. Somit ist
∆hV
( bzw. r)
= h '' − h '
(Gl. 6.10)
124
Die spezifische Verdampfungsenthalpie ist identisch mit der spezifischen Wärme q,
die erforderlich ist, um 1 kg einer Flüssigkeit bei konstantem Druck vom Zustand
x = 0 bis zum Zustand x = 1 zu verdampfen.
Die spezifische Verdampfungsenthalpie hängt in einfacher Weise mit der spezifischen Verdampfungsentropie zusammen. Aufgrund der bei konstantem Druck ebenfalls konstanten Temperatur im Nassdampfgebiet gilt
∆hV
( bzw. r)
= h '' − h ' = TS ⋅ ( s '' − s ')
(Gl. 6.11)
Man beachte, dass es sich in Gl. 6.11 bei Ts um die Thermodynamische Temperatur
und nicht um die CELSIUS-Temperatur handelt.
Für die Berechnung von Verdampfungsprozessen in geschlossenen Systemen wird
bei der Anwendung des ersten Hauptsatzes die Änderung der spezifischen inneren
Energie bei der Verdampfung benötigt. Sie lässt sich mithilfe der bekannten Definitionsgleichung der spezifischen Enthalpie, h = u + p⋅v, wie folgt ermitteln:
u '' − u ' = h '' − h ' − p ⋅ ( v '' − v ')
6.5
(Gl. 6.12)
Die Zustandstafeln für Wasser
Wie bereits in Abschn. 6.3 erwähnt, lässt sich das Zustandsverhalten der realen
Stoffe für die einzelnen Phasengebiete nicht in einfacher Weise durch leicht handhabbare Gleichungen beschreiben. Aus diesem Grund werden dem Anwender die
Zustandsgrößen der realen Stoffe in Form von Tabellen zur Verfügung gestellt. Derartige Zustandtafeln gibt es für technisch wichtige Stoffe, so auch für Wasser. Die
Zustandstafeln für Wasser werden aus historischen Gründen auch als Wasserdampftafeln oder einfach als Dampftafeln bezeichnet. Diese Tafeln enthalten zwei
Gruppen von Tabellen, die Tafeln für das Nassdampfgebiet und die Tafeln für die
homogenen Gebiete Flüssigkeit und Dampf.
Tafeln für das Nassdampfgebiet (Nassdampftafeln) mit dem Druck oder der Temperatur als der einzigen unabhängigen Zustandsgröße:
a) Nassdampf-Drucktafel: Sie enthält in Abhängigkeit vom Druck Werte der Siedebzw. Sättigungstemperatur ts(p) sowie Werte des spezifischen Volumens, der spezifischen Enthalpie und der spezifischen Entropie auf der Siedelinie und der Kondensationslinie, also die Funktionen v’(p), v’’(p), h’(p), h’’(p), s’(p) und s’’(p). Zusätzlich
findet man Werte der spezifischen Verdampfungsenthalpie r(p). Ein Auszug aus der
Nassdampf-Drucktafel für Wasser ist in Tab. 6.1 zu sehen.
125
p
ts
v’
v’’
h’
h’’
r
s’
s’’
bar
°C
m³/kg
m³/kg
kJ/kg
kJ/kg
kJ/kg
kJ/(kg K)
kJ/(kg K)
0,01
6,98 0,00100 129,209
29,3 2514,4 2485,0
0,1060
8,9767
0,10
45,83 0,00101 14,6746
191,8 2584,8 2392,9
0,6493
8,1511
1,00
99,63 0,00104 1,69373
417,5 2675,4 2257,9
1,3027
7,3598
5,00 151,84 0,00109 0,37468
640,1 2747,5 2107,4
1,8604
6.8192
10,00 179,88 0,00113 0,19429
762,6 2776,2 2013,6
2,1382
6,5828
20,00 212,37 0,00118 0,09954
908,6 2797,2 1888,6
2,4469
6,3367
50,00 263,91 0,00129 0,39429 1154,5 2794,2 1639,7
2,9206
5,9735
100,00 310,96 0,00145 0,01804 1408,0 2727,7 1319,7
3,3605
5,6198
150.00 342,13 0,00166 0,10340 1611,0 2615,0 1004,0
3,6859
5,3178
200.00 365,70 0,00204 0,00588 1826,5 2418,4
591,9
4,0149
4,9412
221,20 374,15 0,00317 0,00317 2107,4 2107,4
0,0
4,4429
4,4429
Tab. 6.1:
Grober Auszug aus der Nassdampf-Drucktafel
b) Nassdampf-Temperaturtafel: Sie enthält in Abhängigkeit von der Temperatur
Werte des Dampf- bzw. Sättigungsdrucks ps(t) und die Funktionen v’(t), v’’(t), h’(t),
h’’(t), s’(t), s’’(t) und r(t). Ein Auszug aus dieser Tafel ist in Tab. 6.2 dargestellt. Sowohl die Nassdampf-Temperaturtafel als auch die Nassdampf-Drucktafel enthalten
dieselben Informationen, da sie dasselbe Zustandsgebiet beschreiben.
t
ps
v’
v’’
h’
h’’
r
s’
s’’
°C
bar
m³/kg
m³/kg
kJ/kg
kJ/kg
kJ/kg
kJ/(kg K)
kJ/(kg K)
0,01 0,0061 0,00100 206,162
0,0 2501,6 2501,6
0,0000
9,1575
50,00 0,1234 0,00101 12,0457
209,3 2592,2 2382,9
0,7035
8,0776
100,00
1,013 0,00104 1,67299
419,1 2676,0 2256,9
1,3069
7,3554
150,00
4,75 0,00109 0,39245
632,1 2745,4 2113,2
1,8416
6,8358
200,00
15,55 0,00116 0,12716
852,4 2790,9 1938,6
2,3307
6,4278
250,00
39,78 0,00125 0,05004 1085,8 2800,4 1714,7
2,7935
6,0708
300,00
85,93 0,00140 0,02165 1345,1 2751,0 1406,0
3,2552
5,7081
330,00 128,63 0,00156 0,01299 1526,5 2670,2 1143,6
3,5528
5,4490
350,00 165,35 0,00174 0,00880 1671,9 2567,7
895,7
3,7800
5,2177
370,00 210,54 0,00221 0,00497 1890,2 2342,8
452,6
4,1108
4,8144
374,15 221,20 0,00317 0,00317 2107,4 2107,4
0,0
4,4429
4,4429
Tab. 6.2:
Grober Auszug aus der Nassdampf-Temperaturtafel
126
Nullpunktvereinbarung — Für die spezifische Enthalpie und die spezifische Entropie lassen sich keine Absolutwerte sondern lediglich Differenzen angeben. Zur tabellarischen Darstellung dieser Zustandgrößen in Abhängigkeit von der Temperatur
und vom Druck muss deshalb ein Nullpunkt festgelegt werden. Für die Wasserdampftafeln hat man als Nullpunkt den Tripelpunkt des Wassers vereinbart. Für
t = ttr = 0,01 °C und für p = ptr = 6,11 ⋅ 10-3 bar gilt damit h(t,p) = 0 und
s(t,p) = 0.
Tafeln für die homogenen Zustandsgebiete (Gas und Flüssigkeit) mit dem Druck
und der Temperatur als den unabhängigen Zustandsgrößen:
In diesen Tafeln sind die Angaben nach Isobaren p = konst. über einen weiten
Druckbereich geordnet. Für jede tabellierte Isobare findet man in Abhängigkeit von
diskreten Werten der Temperatur Werte von v, h und s. Tab. 6.3 zeigt ein Beispiel
für die Isobaren p = 7,5 bar und p = 10,0 bar.
t
p =
7,5 bar
p =
ts= 167,76 °C
°C
10,0 bar
ts = 179,88 °C
v
h
s
v
h
s
m³/kg
kJ/kg
kJ/(kg K)
m³/kg
kJ/kg
kJ/(kg K)
v’ =
h’ =
0,001112
v’’ =
s’ =
709,3
h’’ =
v’ =
2,020
h’ =
0,001127
v’’ =
s’’ =
s’ =
762,6
h’’ =
2,138
s’’ =
0,255427
2764,8
6,682
0,194293
2776,2
6,583
0
0,001000
0,8
0.000
0,001000
1,0
0.000
5
0,001000
21,8
0.076
0,001000
22,0
0,076
10
0,001000
42,7
0.151
0,001000
43,0
0.151
15
0,001000
63,7
0.224
0,001000
63,9
0.224
20
0,001001
84,6
0,296
0,001001
84,8
0,296
:
:
100
:
0,001043
:
419,6
1,306
0,001043
419,7
1,306
125
0,001065
525,3
1,581
0,001065
525,5
1,581
150
0,001091
632,3
1,841
0,001090
632,5
1,841
175
0,260884
2782,5
6,721
0,001121
741,1
2,091
200
0,279055
2841,4
6,849
0,205918
2826,1
6,692
225
0,296462
2897,7
6,965
0,219617
2886,2
6,815
250
0,313355
2952,2
7,072
0,232748
2943,0
6,926
:
:
:
:
800
0,659385
8,633
0,494296
Tab. 6.3:
:
:
4155,2
:
:
4154,1
:
:
8,500
Auszug aus den Wasserdampftafeln für die homogenen
Gebiete Flüssigkeit und überhitzter Dampf
127
In den Tafeln ist das Gebiet der Flüssigkeit von dem des überhitzten Dampfes (Gasphase) durch waagerecht durch das Zahlenfeld verlaufende Linien getrennt. Beispielsweise liegt für p = 7,5 bar diese Linie zwischen den Temperaturen 150 und 175
°C, siehe Tab. 6.3. Hinter diesen Linie verbirgt sich das gesamte Nassdampfgebiet.
Somit liegt die Trennlinie für p = 7,5 bar exakt bei der Siedetemperatur
ts(7,5 bar) = 167,76 °C. Nähert man sich der Trennlinie von der Flüssigkeitsseite,
d. h. von den niedrigeren Temperaturen her, dann erreicht man die Siedelinie mit
den Werten v’, h’ und s’. Nähert man sich der Tennlinie dagegen von der Heißdampfseite, d. h. von den höheren Temperaturen her, dann erreicht man die Kondensationslinie mit den Werten v’’, h’’ und s’’. Es ist nicht nötig, die Werte für ts, v’,
v’’, h’, h’’, s’ und s’’ in den Nassdampftafeln nachzuschlagen; man findet sie für jede
Isobare im Kopf der Tabellen für die homogenen Zustandsgebiete.
Gegebenenfalls muss man beim Gebrauch der Tafeln für die homogene Zustandsgebiete zweifach, d. h. in Richtung p und in Richtung t interpolieren, um die Werte für
v(p,t), h(p,t) und s(t,p) zu erhalten. Bei Interpolationen für
p = konst. in t-Richtung ist darauf zu achten, dass in der Tabelle die Trennlinie zwischen dem Flüssigkeitsbereich- und dem Bereich des überhitzten Dampfes nicht
überschritten wird. Es darf immer nur bis an die Trennlinie, d. h. bis an die Siedelinie
bzw. die Kondensationslinie, heran interpoliert werden.
Beispiel 6.1: Ein ölgefeuerter Flammrohr-Rauchrohr-Kessel zur Versorgung eines
Krankenhauses mit Sattdampf wird zum Anfahren vorbereitet.
Der Kessel hat einen Wasserraum-Inhalt
von 12 m³, der im Zustand (1) zu 75 % mit
siedendem Wasser und zu 25 % mit Sattdampf gefüllt ist. Der Druck beträgt p1 = 2
bar. Eine Zufuhr von Speisewasser und
eine Entnahme von Sattdampf findet nicht
statt.
Durch Inbetriebnahme des Brenners wird
dem Kessel Wärme zugeführt. Das Kesselwasser wird aufgeheizt, und der Druck steigt an. Nach Erreichen von p2 = 16 bar
wird der Brenner wieder abgeschaltet.
Für Berechnungen steht mit Tab. 6.4 ein Auszug aus den Wasserdampf-Tafeln zur
Verfügung.
128
p
ts
vI
v II
hI
h II
bar
°C
m³/kg
m³/kg
kJ/kg
kJ/kg
2,0
120,230
0,0010608
0,885441
504,7
2706,3
4,0
143,623
0,0010839
0,462224
604,7
2737,6
6,0
158,837
0,0011009
0,315473
670,4
2755,5
8,0
170,414
0,0011150
0,240257
720,9
2767,5
10,0
179,884
0,0011274
0,194292
762,6
2776,2
12,0
187,961
0,0011386
0,163200
798,4
2782,7
14,0
195,042
0,0011489
0,140721
830,1
2787,8
16,0
201,371
0,0011586
0,123686
858,6
2791,7
18,0
207,111
0,0011678
0,110317
884,6
2794,8
20,0
212,374
0,0011766
0,099536
908,6
2797,2
Tab. 6.4:
Wasserdampf-Tafel für das Nassdampfgebiet (Auszug)
Zu berechnen ist:
a) für den Zustand (1) der Dampfgehalt x1, das spezifische Volumen v1 und die
spezifische Enthalpie h1,
b) für den Zustand (2) der Dampfgehalt x2, das spezifische Volumen v2 und die
spezifische Enthalpie h2,
c) die Wärme Q12, die dem Kessel während der Aufheizphase zugeführt wird,
d) die erforderliche Brennstoffmasse mB, wenn Heizöl mit einem spezifischen Heizwert von Hu = 42 MJ/kg zum Einsatz kommt und der Kesselwirkungsgrad ηK =
0,9 beträgt.
Zu a):
Im Zustand (1) ist das siedende Kesselwasser mit dem Sattdampf im thermodynamischen Gleichgewicht. Es liegt Nassdampf vor. In der Nassdampf-Drucktafel findet
man für p1 = 2 bar:
ts,1 = ts(2 bar) = 120,23 °C
vI1 = vI(2 bar) = 0,0010608 m³/kg
hI1 = hI(2 bar) = 504,7 kJ/kg
vII1 = vII (2 bar) = 0,885441 m³/kg
hII1 = hII (2 bar) = 2706,3 kJ/kg
129
Nun gilt:
VI 1 =
VII1 =
0,75 ⋅ V =
0,25 ⋅ V =
0,75 ⋅ 12 m³ =
0,25 ⋅ 12 m³ =
9 m³
3 m³
und
v '1
v ''1
=
V '1
m '1
=
V ''1
m ''1
m '1
V '1
=
v '1
→ m ''1
V ''1
=
v ''1
→
=
9 m3
0,0010608 m 3 / kg
=
3 m3
0,885441 m 3 / kg
= 8484,16 kg
= 3,39 kg
Die Gesamtwassermasse im Kessel ist somit:
m = m '1
+ m ''1
= 8484,16 kg + 3,39 kg = 8487,55 kg
Damit berechnet sich der Dampfgehalt im Zustand (1) zu
x1
=
m ''1
m
=
3,39 kg
8487,55 kg
= 0,0004
kg Sattdampf
kg Wasser
Für das spezifische Volumen im Zustand (1) gilt.
12 m 3
8487,55 kg
V
=
m
v1
=
v1
= v '1
+
v1 = 0,0010608
=
m3
0,001414
kg
oder auch
x1 ⋅ ( v ''1 − v '1 )
m3
m3
+ 0,0004 ⋅ ( 0,885441 − 0,0010608)
kg
kg
= 0,001414
m3
kg
Analog ergibt sich die spezifische Enthalpie im Zustand (1):
h1
= h '1
+
h1
= 504,7
kJ
kg
x1 ⋅ ( h ''1 − h '1 )
+
0,0004 ⋅ ( 2706,3 − 504,7)
kJ
kg
= 505,6
kJ
kg
Zu b):
Auch im Zustand (2) ist das siedende Kesselwasser mit dem Sattdampf im thermodynamischen Gleichgewicht. Jedoch befindet sich das System nun auf einem höheren Druckniveau, wodurch sich sämtliche Werte vI, vII sowie hI und hII verändert haben. In der Nassdampf-Drucktafel findet man für p2 = 16 bar:
ts,2 = ts(16 bar) = 201,37 °C
vI2 = vI(16 bar) = 0,0011586 m³/kg vII2 = vII (16 bar) = 0,123686 m³/kg
hI2 = hI(16 bar) = 858,6 kJ/kg
hII2 = hII (16 bar) = 2791,7 kJ/kg
130
Während der Zustandsänderung (1) > (2) wird kein Speisewasser zugeführt und
kein Sattdampf entnommen. Das Volumen des Wasserdampfsystems im Kessel
bleibt konstant, die Zustandsänderung ist isochor.
Es gilt somit v2 = v1 = v = 0,001414 m³/kg.
Da der Zustandspunkt (2) im Nassdampfgebiet liegt, gilt analog zum Zustandspunkt
(1):
v2
= v '2
+
x 2 ⋅ ( v '' 2 − v ' 2 ) ,
woraus sich der Dampfgehalt im Zustand (2) berechnen lässt:
x2
=
v2 − v '2
v '' 2 − v ' 2
x2
=
( 0,001414 − 0,0011586) m 3 kg
( 0,123586 − 0,0011586) m 3 kg
=
0,0021
kg Sattdampf
kg Wasser
Mit dem Dampfgehalt x2 folgt für die spezifische Enthalpie im Zustand (2):
h2
= h '2
+
h2
= 858,6
kJ
kg
x 2 ⋅ ( h '' 2 − h ' 2 )
+
0,0021 ⋅ ( 2791,7 − 858, 6)
kJ
kg
= 862,7
kJ
kg
Zu c):
Die während der isochoren Zustandsänderung (1) > (2) zugeführte Wärme ergibt
sich aus dem 1. Hauptsatz für geschlossene Systeme:
Q12
= m ⋅ ( u2 − u1 )
Q12
=
Q12

kJ
m3
kJ 
= 8487,55 kg ⋅ (862,7 − 505,6)
− 0,001414
⋅ (16 − 2) ⋅ 10 2 3 
kg
kg
m 

Q12
= 8487,55 kg ⋅ (357,1 − 1,98)
[
]
m ⋅ h2 − h1 − v ⋅ ( p 2 − p1 )
kJ
kg
= 3014099 kJ
= 3014,1 MJ
Zu d):
Der Kesselwirkungsgrad ist ein energetischer Wirkungsgrad. Definiert ist er als Verhältnis von energetischem Nutzen zu energetischem Aufwand. Für ihn gilt stets
0 ≤ ηK ≤ 1.
Beim Kessel ist der energetische Nutzen die an das Wasserdampfsystem übergebene Wärme. Der energetische Aufwand ist die in Form von Brennstoff zugeführte
Energie. Die Differenz zwischen den beiden Werten ist der energetische Verlust. Das
131
ist die Energie, die vom Kessel in Form von heißem Abgas an die Umgebung abgegeben und deshalb auch als Abgasverlust bezeichnet wird.
Es gilt:
ηK
=
Q12
EB
mB
=
Q12
ηK ⋅ Hu
6.6
=
Q12
mB ⋅ H u
=
und somit
3014,1 MJ
0,9 ⋅ 42 MJ kg
= 79,74 kg
Die kalorischen Zustandsdiagramme
T,s-Diagramm — Das T,s-Diagramm eines realen Stoffes zeigt Abb. 6.7. Siedelinie
(x = 0) und Kondensationslinie (x = 1) streben zu höheren Temperaturen hin aufeinander zu und bilden im kritischen Punkt ein Maximum. Unterhalb der beiden Grenzkurven liegt das Nassdampfgebiet. Dort gilt auf einer Linie T = konst. auch
p = konst..
Abb. 6.7:
T,s-Diagramm realer Stoffe (Hahne, 1993, S. 243)
Im Nassdampfgebiet verlaufen die Isobaren gemeinsam mit den Isothermen horizontal. Im Flüssigkeitsgebiet, das zwischen der Ordinate T und dem Nassdampfgebiet
liegt, steigen die Isobaren mit wachsender spezifischer Entropie s an. Sie liegen dort
sehr eng beieinander und schmiegen sich an die Siedelinie an. Im Gasgebiet sind
die Isobaren mit wachsendem s progressiv steigende Kurven.
132
Die Isochoren sind im Nassdampfgebiet degressiv steigend, die Linien konstanter
spezifischen Enthalpie – die Isenthalpen – degressiv fallend. Im Gasgebiet verlaufen
die Isochoren ähnlich wie die Isobaren, sie sind jedoch steiler als diese.
Im T,s-Diagramm erscheint die bei einem isobaren Verdampfungsprozess erforderliche spezifische Wärme als Rechteckfläche unter der Zustandsänderungslinie. Da
die Zustandsänderungslinie eine Isobare ist, stellt diese Fläche gleichzeitig die spezifische Verdampfungsenthalpie dar. Es gilt:
q12
= qV
= ∆hV
= TS ⋅ ( s '' − s ')
(Gl. 6.13)
Die spezifische Verdampfungsenthalpie wird deshalb auch als spezifische Verdampfungswärme bezeichnet. Anhand von Abb. 6.7 lässt sich nachvollziehen, dass die
Rechteckfläche mit zunehmender Temperatur bzw. zunehmendem Druck immer höher, aber auch immer schmaler wird. Je näher man dem kritischen Punkt K kommt,
desto kleiner wird die Fläche. Im kritischen Punkt verschwindet sie schließlich. Dort
gilt sI = sII und damit ∆hV = 0.
h,s-Diagramm — Das h,s-Diagramm wurde 1904 von R. MOLLIER eingeführt.
Durch die Wahl seiner Koordinaten verknüpft es die Aussagen des ersten und zweiten Hauptsatzes. Dabei stellen sich die spezifischen Größen des ersten Hauptsatzes
als senkrechte Strecken dar. So lässt sich mithilfe eines Diagramms für Wasserdampf z. B. die technische Arbeit von Dampfturbinen auf einfache Weise bestimmen.
K
Abb. 6.8:
h,s-Diagramm für einen realen Stoff (Hahne, 1993, S. 243)
Auch im h,s-Diagramm trennen die Siedelinie und die Kondensationslinie die Zustandsgebiete von Flüssigkeit und Gas vom Nassdampfgebiet. Der kritische Punkt
stellt sich allerdings nicht mehr als Maximum der beiden Grenzkurven dar. Er liegt
133
auf dem mit wachsender spezifischer Entropie ansteigenden Ast der Grenzkurven
und fällt dort mit deren Wendepunkt zusammen, siehe Abb. 6.8.
Die Isobaren schmiegen sich im Flüssigkeitsgebiet sehr nah an die Grenzkurven. Im
Heißdampfgebiet sind sie progressiv ansteigende Kurven, die umso steiler verlaufen,
je höher der Druck ist. Im Nassdampfgebiet sind die Isobaren ansteigende Geraden.
Je höher die Siedetemperatur und damit der zugehörige Dampfdruck ist, desto steiler steigen sie an. Die Isothermen fallen im Nassdampfgebiet mit den Isobaren zusammen. An der Kondensationslinie knicken sie ab und verlaufen im Heißdampfgebiet mit wachsender spezifischer Entropie immer flacher, bis sie in einiger Entfernung von der Kondensationslinie schließlich in die Horizontale übergehen.
Für ideale Gase unterscheidet sich das h,s-Diagramm vom T,s-Diagramm nur durch
den Ordinatenmaßstab. Da die spezifische Enthalpie idealer Gase nur von der Temperatur und nicht vom Druck abhängt, gilt für T = konst. bei idealen Gasen somit
auch h = konst..
log–p,h-Diagramm — Im log–p,h-Diagramm lassen sich isobare Zustandsänderungen besonders einfach darstellen, da die Isobaren horizontale Linien sind. Der Druck
ist logarithmisch aufgetragen, um einen größeren Druckbereich zu
Abb. 6.9:
log–p,h-Diagramm eines realen Stoffes (Baehr, 1973, S. 190)
erfassen. Abb. 6.9 zeigt den typischen Aufbau eines log–p,h-Diagramms mit den
Zustandsgebieten der reinen Phasen und dem Nassdampfgebiet. Neben den Isothermen enthält es noch die Isentropen als Parameterlinien, womit es dem h,sDiagramm praktisch gleichwertig ist.
134
Das Diagramm ist für Prozesse der Kältetechnik von besonderem Interesse. Sowohl
die Verdampfung eines Kältemittels, z. B. im Kühlaggregat eines Kühlschranks, als
auch seine Rückkühlung und Kondensation, z. B. im Wärmeübertrager auf der
Rückseite eines Kühlschranks, verlaufen nahezu isobar. Die dabei umgesetzten
Wärmen lassen sich in dem Diagramm als waagerechte Strecken ablesen.
Kontrollfragen
6.1 Warum kann ein realer Stoff nicht mit der thermischen Zustandsgleichung des
idealen Gases beschrieben werden?
6.2 In welchem Aggregatzustand liegt ein reiner Stoff im Tripelpunkt vor?
6.3 Wodurch unterscheidet sich Sattdampf von Nassdampf?
6.4 Wie groß ist der Dampfgehalt für Sattdampf?
6.5 Was stellt die spezifische Verdampfungsenthalpie eines Stoffes anschaulich
dar?
6.6 Wie groß ist die Verdampfungsenthalpie im kritischen Punkt?
135
Übungsaufgaben
6.1
Für eine Wärmebehandlung wird ein erhitzter Stahl in ein offenes Ölbad von
VÖl,1 = 0,2 m³ getaucht, dessen Druck überall mit dem Umgebungsdruck von
pamb = 1 bar identisch ist. Das Ölbad dehnt sich dabei bis auf VÖl,2 aus, und
seine Temperatur steigt von tÖl,1 = 20°C bis auf tÖl,2 = 70°C an. Der thermische
Volumenausdehnungkoeffizient des Öls beträgt βÖl = 850 · 10-6 m³/(m³ K).
Welches Volumen VÖl,2 in m³ nimmt das Ölbad nach der Erwärmung durch
den Stahl ein?
6.2
Die Beheizung der Montagehalle eines Industriebetriebes erfolgt mit einem
dampfbetriebenen Lufterhitzer:
•
Dem Apparat werden hierzu V 1 = 150000 m³/h Luft aus der Umgebung zugeführt. Er erwärmt sie bei konstantem Druck von p = 1 bar von t1 = 20 °C auf
t2 = 60 °C:
Der Heizdampf steht vor dem Regelventil mit p3 = 3 bar und t3 = 150 °C zur
Verfügung. Er wird im Lufterhitzer bei p = 2 bar kondensiert. Das Kondensat
verlässt den Apparat um 20 K unterkühlt (d. h., seine Temperatur liegt 20 K
unter der Siedetemperatur).
Alle Anlagenteile seien nach außen adiabat, äußere Energien sind zu vernachlässigen!
a) Geben Sie die Temperatur t4 des abströmenden Kondensates in °C und
seine spezifische Enthalpie h4 an.
•
b) Berechnen Sie den Luftmassenstrom m L .
•
c) Welchen Wärmestrom Q 12 nimmt die Luft auf?
•
d) Wie groß ist der erforderliche Massenstrom m D des Heizdampfes?
136