Skript

Analysis I (2012-13)
Frank Müller
7. Februar 2013
Dieses Skript umfasst den Stoﬀ der Vorlesung Analysis I gehalten im
Wintersemester 2012/13. Die kleingedruckten Passagen enthalten zusätzliche
Informationen (den Stoﬀ der in früheren Semestern angebotenen Ergänzungen).
Die Vorlesung wird im Sommersemester 2013 fortgesetzt.
Inhaltsverzeichnis
1 Zahlen, Folgen, Reihen
1
Zahlen und Körper . . . . . . . . . . . .
2
Vollständige Induktion . . . . . . . . . .
3
Die Deﬁnition der reellen Zahlen . . . .
4
Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . .
5
Vollständigkeit reeller Zahlen . . . . . .
6
Punktmengen in R . . . . . . . . . . . .
7
Die komplexen Zahlen . . . . . . . . . .
8
Konvergenzkriterien für Reihen (in C) .
9
Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . .
10 Der d-dimensionale Raum und metrische
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Räume
2 Funktionen und Stetigkeit
1
Beispiele und Grenzwerte von Funktionen . . .
2
Der Stetigkeitsbegriﬀ . . . . . . . . . . . . . . .
3
Kompakta und gleichmäßige Stetigkeit . . . . .
4
Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz
.
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1
1
13
18
27
34
40
47
53
63
67
.
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.
.
81
81
88
92
94
3 Diﬀerential- und Integralrechnung
99
1
Diﬀerenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2
Lokale Extrema, Mittelwertsatz, Konvexität . . . . . . . . . . . . . . 106
3
Die elementaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Kapitel 1
Zahlen, Folgen, Reihen
1
Zahlen und Körper
Grundlegend für alle Mathematik sind selbstverständlich die Zahlen. Und nach dem
deutschen Mathematiker Leopold Kronecker sind die einzig göttlichen Zahlen“ die
”
natürlichen Zahlen
N := {1, 2, 3, . . .}
oder zusammen mit dem Nullelement 0:
N0 := N ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, . . .}.
Nehmen wir noch die negativen Zahlen hinzu, so erhalten wir die ganzen Zahlen:
Z := {x : x ∈ N0 oder − x ∈ N} = {0, ±1, ±2, ±3, . . .}.
(Hier sehen Sie übrigens die drei typischen Schreibweisen von Mengen: die aufzählende Schreibweise, die Deﬁnition als Vereinigung, Durchschnitt, Diﬀerenz, ... von anderen Mengen und die Deﬁnition durch Angabe der Eigenschaften ihrer Elemente.)
Je zwei Zahlen a, b ∈ Z lassen sich verknüpfen durch Addition a + b ∈ Z und
Multiplikation a · b = ab ∈ Z, wie wir sie aus der Schule kennen. Bezüglich der
Addition von ganzen Zahlen haben wir folgende Rechenregeln, die wir als gegeben
annehmen wollen:
Axiome der Addition.
(A1) Kommutativität: Für alle a, b ∈ Z gilt a + b = b + a.
(A2) Assoziativität: Für alle a, b, c ∈ Z gilt (a + b) + c = a + (b + c).
(A3) Existenz des Nullelements 0: Es existiert ein neutrales Element 0 ∈ Z, d.h. für
alle a ∈ Z gilt a + 0 = a.
(A4) Existenz des Negativen: Für alle a ∈ Z existiert ein −a ∈ Z, so dass a + (−a) =
0 richtig ist.
1
2
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Die Existenz des Negativen (A4) zeichnet die ganzen Zahlen gegenüber N0 aus.
Zusätzlich haben wir das folgende
Distributivgesetz.
(D) Für alle a, b, c ∈ Z gilt a · (b + c) = a · b + a · c.
Bemerkung: Man kann die natürlichen Zahlen mittels der Peanoschen Axiome zusammen mit der Addition und Multiplikation induktiv erklären und anschließend
durch die Lösung der Gleichungen n + x = 0 für n ∈ N formal auf die ganzen Zahlen
erweitern; siehe z.B. Rannachers Skript, Abschnitt 1.2.
Innerhalb der ganzen Zahlen können i.A. keine Gleichungen der Form
q·x=p
für gegebene p ∈ Z, q ∈ N
(1.1)
gelöst werden. Hierzu erweitern wir Z auf die Menge der rationalen Zahlen
{
}
p
Q := x = : p ∈ Z, q ∈ N ,
q
wobei x = pq für die (eindeutige) Lösung der Gleichung (1.1) steht. Wir verzichten
auf die formal exakte Deﬁnition über Äquivalenzklassen und verweisen wieder auf
Rannachers Skript, Abschnitt 1.2. (Mit x = pq löst auch ap
aq für jedes a ∈ N die Gleichung (1.1); diese ungekürzten“ Brüche müssten identiﬁziert werden.) Die Arbeit
”
mit Äquivalenzklassen werden wir später bei der Konstruktion der reellen Zahlen
üben. Man beachte noch, dass sich für q = 1 die Lösung von (1.1) zu x = p ∈ Z
ergibt, d.h. wir haben Z ⊂ Q.
Wir zeigen unten in Satz 1.1, dass in Q zusätzlich zu den Gesetzen (A1)–(A4)
und (D) (nun natürlich für a, b, c ∈ Q) auch die folgenden Regeln gelten:
Axiome der Multiplikation.
(M1) Kommutativität: Für alle a, b ∈ Q gilt a · b = b · a.
(M2) Assoziativität: Für alle a, b, c ∈ Q gilt (a · b) · c = a · (b · c).
(M3) Existenz des Einselements 1: Es existiert ein neutrales Element 1 ∈ Q \ {0},
d.h. für alle a ∈ Q gilt a · 1 = a.
(M4) Existenz der Inversen: Für alle a ∈ Q \ {0} existiert ein a−1 ∈ Q, so dass
a · a−1 = 1 richtig ist.
Natürlich gelten (M1)–(M3) schon in Z, wesentlich ist also die Existenz der
Inversen (M4). In obigen Axiomen haben wir übrigens Addition und Multiplikation
wie folgt auf Q fortgesetzt: Für x1 = pq11 , x2 = pq22 ∈ Q setzen wir
x1 + x2 :=
p 1 q2 + p 2 q1
∈ Q,
q1 q2
x1 · x2 = x1 x2 :=
p1 p2
∈ Q.
q1 q2
(1.2)
1. ZAHLEN UND KÖRPER
3
Dies scheint Ihnen natürlich aus der Schule völlig klar (Regeln der Bruchrechnung),
ergibt sich aber erst aus der Deﬁnition der rationalen Zahlen und den gewünschten
Rechenregeln als einzig sinnvolle Wahl!
Deﬁnition 1.1: Ein Tripel (K, +, ·) heißt Körper mit der nichtleeren Grundmenge
K und den Rechenoperationen +, ·, wenn mit a, b ∈ K auch a+b ∈ K und a·b ∈ K gilt
und die Körperaxiome (A1)–(A4), (M1)–(M4) und (D) für beliebige Elemente aus
K erfüllt sind. Wenn klar ist, welche Rechenoperationen benutzt werden, schreiben
wir auch einfach K für den betrachten Körper.
Bemerkung: In einem Körper können wir noch Subtraktion und Division erklären:
a − b := a + (−b) ∈ K für a, b ∈ K,
a
:= a · b−1 ∈ K für a ∈ K, b ∈ K \ {0}.
b
Wie bereits oben behauptet haben wir den:
Satz 1.1: Die Menge Q der rationalen Zahlen ist (zusammen mit + und ·) ein
Körper.
Beweis: Für den Beweis dürfen wir die Rechenregeln (A1)–(A4), (M1)–(M3) und (D) nur in Z
anwenden, wo wir diese ja als bekannt vorausgesetzt haben; wir schreiben dafür (A1)Z usw.
1. Wir beginnen mit den Axiomen der Addition: (A1) können wir direkt nachrechnen: Mit
x1 = pq11 , x2 = pq22 haben wir wegen (A1)Z , (M1)Z und der Deﬁnition (1.2):
x1 + x2 =
Ist zusätzlich x3 =
p3
,
q3
(x1 + x2 ) + x3
p1 q2 + p2 q1
q1 q2
(A1)Z ,(M 1)Z
=
p 2 q1 + p 1 q2
= x2 + x1 .
q2 q1
so ﬁnden wir weiter
=
(D)Z ,(M 1)Z
=
(A2)Z ,(M 2)Z
=
(M 1)Z ,(D)Z
=
=
(p1 q2 + p2 q1 )q3 + p3 (q1 q2 )
p1 q2 + p2 q1
p3
+
=
q1 q2
q3
(q1 q2 )q3
((p1 q2 )q3 + (q1 p2 )q3 ) + p3 (q2 q1 )
(q1 q2 )q3
p1 (q2 q3 ) + (q1 (p2 q3 ) + (p3 q2 )q1 )
q1 (q2 q3 )
p1 (q2 q3 ) + (p2 q3 + p3 q2 )q1
q1 (q2 q3 )
p1
p2 q3 + p3 q2
+
= x1 + (x2 + x3 ),
q1
q2 q3
also (A2). Zum Beweis von (A3) und (A4) sei zunächst q ∈ N beliebig. Dann gilt nach (A3)Z
und (D)Z :
q · 0 = q · (0 + 0) = q · 0 + q · 0,
also q · 0 = 0 nach Subtraktion von q · 0 auf beiden Seiten unter Beachtung von (A2)Z und
(A4)Z . Folglich löst x = 0 die Gleichung (1.1) mit p = 0, d.h. wir haben nach der Deﬁnition
der rationalen Zahlen:
0
für alle q ∈ N.
0=
q
4
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Sei nun x =
p
q
mit p ∈ Z, q ∈ N beliebig. Dann erhalten wir mit (1.2):
x+0=
p
0
p·1+q·0
+ =
q
1
q·1
(M 3)Z
=
p+0
q
also (A3). Schließlich folgern wir mit dem Negativen −x :=
x + (−x) =
−p
pq + (−p)q
p
+
=
q
q
q·q
(M 1)Z ,(D)Z
=
(A3)Z
=
−p
q
(p + (−p))q
q·q
p
= x,
q
∈ Q von x noch:
(A4)Z
=
0 q
·
q q
0
= 0,
q
(M 3)Z
=
d.h. (A4) ist erfüllt.
2. Die Axiome der Multiplikation: Die Gesetze (M1) und (M2) folgen in einfacher Weise aus der
Deﬁnition (1.2) und den entsprechenden Gesetzen in Z, ganz analog zum Beweis von (A1),
(A2) in Teil 1. Wegen 1 = 11 haben wir für x = pq :
x·1=
p
q
also (M3). Das Inverse zu x =
x−1
p·1
p 1
· =
q 1
q·1
(M 3)Z
=
p
= x,
q
̸= 0 (d.h. p ̸= 0) erklären wir zu
{ q
,
falls p ∈ N
p
:=
∈ Q.
−q
, falls − p ∈ N
−p
(M 3)
Im ersten Fall ist dann oﬀenbar x · x−1 = 1, wenn man noch pp = Z 1 für beliebige p ∈ N
beachtet. Im zweiten Fall benötigen wir noch die folgende Beobachtung: Für beliebiges p ∈ Z
gilt
p + (−1) · p
(M 3)Z ,(M 1)Z
=
(D)
p · 1 + p · (−1) = Z p · (1 + (−1)) = p · 0 = 0,
also −p = (−1)p. Damit berechnen wir
x · x−1 =
p −q
·
q −p
(M 1)Z
=
p · ((−1) · q)
(−p) · q
(M 1)Z ,(M 2)Z
=
(−p) · q
= 1,
(−p) · q
also (M4).
3. Schließlich beweisen wir das Distributivgesetz (D) in Q: Mit x1 =
berechnen wir
x1 · (x2 + x3 )
=
(M 3)
=
(D)Z ,(M 2)Z
=
(M 2)Z ,(M 1)Z
=
=
p1
,
q1
x2 =
p2
,
q2
x3 =
p3
q3
p1 p2 q3 + p3 q2 (D)Z p1 (p2 q3 ) + p1 (p3 q2 )
·
=
q1
q2 q3
q1 (q2 q3 )
(p1 (p2 q3 ) + p1 (p3 q2 ))q1
(q1 (q2 q3 ))q1
((p1 p2 )q3 )q1 + ((p1 p3 )q2 )q1
((q1 q2 )q3 )q1
(p1 p2 )(q1 q3 ) + (p1 p3 )(q1 q2 )
(q1 q2 )(q1 q3 )
p1 p2
p1 p3
+
= x1 · x2 + x1 · x3 .
q1 q2
q1 q3
Also ist Q ein Körper.
q.e.d.
Es stellt sich nun heraus, dass auch der Bereich der rationalen Zahlen i.A. nicht
ausreicht. Z.B. besitzt die einfache Gleichung
x2 = 2
(1.3)
1. ZAHLEN UND KÖRPER
5
keine Lösung in Q. Wäre nämlich x =
( pq )2
p
q
eine Lösung mit p ∈ Z, q ∈ N teilerfremd,
p2
q2
so müsste also
=
= 2 bzw. p2 = 2q 2 gelten. Damit wäre aber p2 und daher
auch p durch 2 teilbar, d.h. p = 2l mit einem l ∈ Z und folglich
q2 =
p2
= 2l2 .
2
Also wäre auch q 2 und somit q durch 2 teilbar, im Widerspruch zur Annahme, dass
p und q teilerfremd sind.
Bemerkung: Wir haben soeben ein wichtiges Beweisprinzip in der Mathematik benutzt, den indirekten Beweis oder Beweis durch Widerspruch: Um unter den Voraussetzungen (V) eine Aussage (A) zu beweisen, nimmt man an, dass (A) falsch ist und
zeigt, dass dann eine der Voraussetzungen (V) oder eine andere, bereits bewiesene
Aussage (B) nicht erfüllt sein kann. Hierbei benutzt man eine der Grundannahmen
der Mathematik: Eine Aussage (A) ist entweder wahr oder falsch.
√
Aus der Schule wissen wir, dass x =√ 2 ein guter Kandidat zur Lösung von (1.3)
ist. Nach dem eben Gesagten ist aber 2 keine rationale Zahl. Wir werden später
Q konstruktiv durch einen Abschlussprozess auf den Bereich der reellen Zahlen R
erweitern. R entspricht dann der gesamten Zahlengeraden.
Um schließlich auch Gleichungen wie
x2 + 1 = 0
lösen zu können, werden wir R zu den komplexen Zahlen C erweitern; diese kann
man sich in der Gaußschen Zahlenebene veranschaulichen. Insgesamt haben wir also
die Zahlenbereiche
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Die größten Bereiche Q, R, C haben die Eigenschaft, Körper im Sinne der Deﬁnition 1.1 zu sein; für Q haben wir dies bereits gezeigt, für R und C wird dies aus der
Konstruktion folgen. Hingegen sind N und Z keine Körper; beiden fehlt die Inverse,
d.h. (M4) ist verletzt, den natürlichen Zahlen fehlt auch das Negative und sogar das
Nullelement 0.
Ein Körper muss nach (A3) und (M3) mindestens zwei Elemente enthalten,
nämlich das Nullelement 0 und das Einselement 1. Umgekehrt kann man jede zweielementige Menge M = {x, y} durch geeignete Deﬁnition der Verknüpfungen zu
einem Körper machen:
+ x y
x x y
y y x
und
· x y
x x x
y x y
(1.4)
6
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Hierbei wird x als Nullelement und y als Einselement interpretiert.
Wir werden nun einige Folgerungen der Körperaxiome angeben, deren Aussagen
Ihnen zum Teil oﬀensichtlich erscheinen mögen. Allerdings gelten diese Rechenregeln in beliebigen Körpern, also z.B. auch für die komplexen Zahlen. Durch diese
Vorgehensweise ersparen wir uns später ermüdende Wiederholungen.
Satz 1.2: In einem Körper (K, +, ·) gelten folgende Rechenregeln:
(a) Die Gleichung a + x = b besitzt für beliebig vorgegebene a, b ∈ K genau eine
Lösung x ∈ K. Insbesondere sind das Nullelement 0 und das negative Element
eindeutig bestimmt.
(b) Die Gleichung ax = b besitzt für beliebig vorgegebene a ∈ K \ {0}, b ∈ K genau
eine Lösung x ∈ K. Insbesondere sind das Einselement 1 und das inverse
Element eindeutig bestimmt.
(c) Für alle x ∈ K gilt x · 0 = 0 und (−1) · x = −x.
(d) Für alle x ∈ K gilt −(−x) = x und falls zusätzlich x ̸= 0 auch (x−1 )−1 = x.
(e) Für alle x, y ∈ K \ {0} ist xy ̸= 0 richtig.
(f ) Für alle x, y ∈ K ist −(x + y) = −x − y richtig und falls zusätzlich x, y ̸= 0
gilt auch (xy)−1 = x−1 y −1 .
Beweis:
(a) Wir zeigen zunächst, dass x := b + (−a) = b − a die Gleichung a + x = b löst,
d.h. wir beweisen die Existenz einer Lösung:
a+x
a + (b − a)
=
(A4)
=
0+b
(A1)
=
(A1)
=
b+0
a + ((−a) + b)
(A3)
=
(A2)
=
(a + (−a)) + b
b.
Die Eindeutigkeit der Lösung ergibt sich wie folgt: Angenommen es gibt zwei
Lösungen x1 , x2 , d.h.
a + x1 = b = a + x2 .
Addieren wir von rechts auf beiden Seiten −a, so folgt
(a + x1 ) + (−a) = (a + x2 ) + (−a)
(A1),(A2)
=⇒
(A4)
=⇒
(A3)
=⇒
wie behauptet.
x1 + (a + (−a)) = x2 + (a + (−a))
x1 + 0 = x2 + 0
x1 = x2 ,
1. ZAHLEN UND KÖRPER
7
(b) Existenz: x := a−1 b ist Lösung, denn
ax = a(a−1 b)
(M 2)
=
(aa−1 )b
(M 4)
=
1·b
(M 1)
=
b·1
(M 3)
=
b.
Eindeutigkeit: Für zwei Lösungen x1 , x2 hätten wir ax1 = b = ax2 und nach Multiplikation
mit a−1 von rechts:
(ax1 )a−1 = (ax2 )a−1
(M 1),(M 2)
x1 (aa−1 ) = x2 (aa−1 )
(M 4)
x1 · 1 = x2 · 1
=⇒
=⇒
(M 3)
=⇒
x1 = x2 .
(c) x · 0 = 0: Nach (A3) gilt 0 + 0 = 0 und folglich
(D)
x · 0 + x · 0 = x · (0 + 0) = x · 0.
Addition von −(x·0) auf beiden Seiten von rechts (und Ausnutzen der Axiome
(A2), (A4) und (A3)) liefert die Behauptung.
(−1) · x = −x: Es gilt
x + (−1) · x
(M 3),(M 1)
=
(D)
x · 1 + x · (−1) = x · (1 + (−1))
(A4)
=
x · 0 = 0.
Die Eindeutigkeit des Negativen – siehe (a) – liefert die Behauptung.
(d) −(−x) = x: Per Deﬁnition ist −(−x) erklärt durch die Gleichung −x + (−(−x)) = 0. Andererseits gilt auch
−x + x
(A1)
=
x + (−x)
(A4)
=
0.
Da aber die Lösung y ∈ K der Gleichung −x + y = 0 nach (a) eindeutig ist, folgt x = −(−x).
(x−1 )−1 = x: Wegen x ̸= 0 ist auch x−1 ̸= 0; wäre nämlich x−1 = 0, so hätten wir
1 = x · x−1 = x · 0 = 0,
(c)
im Widerspruch zu (M3). Also ist (x−1 )−1 erklärt, nämlich als Lösung von x−1 (x−1 )−1 = 1.
Andererseits haben wir
(M 1)
(M 4)
x−1 x = xx−1 = 1.
Da aber die Gleichung x−1 y = 1 nach (b) eine eindeutige Lösung y ∈ K besitzt folgt x =
(x−1 )−1 .
(e) Beweis durch Widerspruch: Angenommen, es gibt x, y ∈ K \ {0} mit xy = 0.
Nach Multiplikation mit y −1 (beachte y ̸= 0) von rechts folgt
x
(M 3)
=
x·1
(M 4)
=
x(yy −1 )
(M 2)
=
(c)
(xy)y −1 = 0 · y −1 = 0,
also ein Widerspruch zur Voraussetzung x ̸= 0. Somit ist die Behauptung
richtig.
8
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
(f) −(x + y) = −x − y: Per Deﬁnition ist (x + y) + (−(x + y)) = 0 richtig. Andererseits berechnen
wir m.H. von (A1)-(A4):
(x + y) + (−x − y)
=
x + (y + (−y − x)) = x + ((y + (−y)) − x)
=
x + (0 − x) = x + ((−x) + 0) = x + (−x) = 0.
Da wieder nach (a) die Gleichung (x+y)+z = 0 eindeutig lösbar ist, folgt −(x+y) = −x−y.
(xy)−1 = x−1 y −1 : Da sowohl z = (xy)−1 als auch z = x−1 y −1 die Gleichung (xy)z = 1 lösen
– letzteres sieht man analog zur obigen Rechnung unter Benutzung von (M1)-(M4) – liefert
die Eindeutigkeitsaussage in (b) sofort (xy)−1 = x−1 y −1 .
q.e.d.
Bemerkung: In Mehrfachsummen und Mehrfachprodukten lassen wir i.F. die Klammern meist weg, also a+b+c+. . . und a·b·c·. . . für a, b, c, . . . ∈ K, denn wegen (A2)
und (M2) spielt die Reihenfolge der Summierung bzw. Multiplikation keine Rolle.
Ebenso können wir in Mehrfachsummen und Mehrfachprodukten die Reihenfolge
der Summanden bzw. Faktoren beliebig vertauschen.
Für das in der Analysis wesentliche Rechnen mit Ungleichungen benötigen wir
noch eine Anordnung“, wir müssen also entscheiden können, ob ein Element eines
”
Körpers größer“ oder kleiner“ als ein anderes Element ist. Hierzu verwenden wir
”
”
die folgende
Deﬁnition 1.2: Wir nennen einen Körper K angeordnet, wenn gewisse Elemente
x ∈ K als positiv ausgezeichnet sind (in Zeichen: x > 0), wobei folgende Regeln
erfüllt seien:
Anordnungsaxiome
(O1) Für jedes x ∈ K gilt genau eine der drei Beziehungen
x > 0,
−x > 0.
x = 0,
Die x ∈ K mit −x > 0 heißen die negativen Elemente.
(O2) Für alle x, y ∈ K mit x > 0 und y > 0 gilt
x+y >0
und
xy > 0.
Bemerkungen:
1. (O1) ist das sogenannte Trichotomiegesetz, bei (O2) spricht man von der Abgeschlossenheit von >“ bezüglich der Addition und Multiplikation.
”
2. Der Körper Q der rationalen Zahlen ist natürlich angeordnet mittels
x>0
:⇐⇒
x=
p
mit p, q ∈ N
q
1. ZAHLEN UND KÖRPER
9
Dann sind die x = pq mit −p, q ∈ N gerade die negativen Zahlen. Dies entspricht
unserer Vorstellung der Anordung von Q auf der Zahlengeraden (vgl. auch
Deﬁnition 1.3 unten).
3. Aus der Konstruktion von R wird folgen, dass auch die reellen Zahlen einen
angeordneten Körper bilden. Hingegen stellt sich C als nicht angeordneter
Körper heraus.
4. Auch der Körper ({x, y}, +, ·) mit den in (1.4) erklärten Relationen +, · kann
nicht angeordnet werden: Da x das Nullelement ist, müsste für y entweder y >
x oder −y > x gelten. Per Deﬁnition ist −y ∈ {x, y} Lösung von y + (−y) = x.
Nach (1.4) ist dann aber −y = y, Widerspruch!
Deﬁnition 1.3: (Größer- und Kleinerrelation)
In einem angeordneten Körper deﬁnieren wir:
x > y :⇐⇒ x − y > 0,
x < y :⇐⇒ y > x
⇐⇒
y − x > 0,
x ≥ y :⇐⇒ x > y oder x = y,
x ≤ y :⇐⇒ x < y oder x = y.
Satz 1.3: In einem angeordneten Körper K gelten folgende Aussagen:
(a) Für je zwei Elemente x, y ∈ K gilt genau eine der Relationen
x < y,
x = y,
x > y.
(b) Transitivität: Für alle x, y, z ∈ K gilt: x < y und y < z implizieren x < z.
(c) Translationsinvarianz: Für alle x, y, a ∈ K gilt: Aus x < y folgt x + a < y + a.
(d) Skalierungsinvarianz: Für alle x, y, a ∈ K mit x < y und a > 0 gilt xa < ya.
(e) Spiegelung: Für alle x, y ∈ K mit x < y haben wir −x > −y.
(f ) Für alle x ∈ K \ {0} ist x2 > 0 richtig; insbesondere gilt 1 > 0.
(g) Für jedes x ∈ K mit x > 0 ist x−1 > 0 erfüllt.
(h) Für alle x, y ∈ K mit 0 < x < y gilt x−1 > y −1 .
Bemerkung: Wegen Satz 1.3 (a) sind in einem angeordneten Körper für je zwei Elemente x, y ∈ K das Minimum und Maximum wohl deﬁniert:
{
{
x, falls x ≤ y
x, falls x ≥ y
min{x, y} :=
, max{x, y} :=
.
y, sonst
y, sonst
10
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Beweis von Satz 1.3: Wir werden die Körperaxiome und deren Folgerungen aus
Satz 1.2 ohne Kommentar benutzen.
(a) Wende (O1) auf x − y an und benutze Deﬁnition 1.3.
(b) Per Voraussetzung ist y − x > 0 und z − y > 0, so dass (O2) liefert
z − x = (y − x) + (z − y) > 0 bzw.
x < z.
(c) Aus der Voraussetzung y − x > 0 folgt sofort
(y + a) − (x + a) = y − x > 0 bzw.
x + a < y + a.
(d) Wegen y − x > 0 und a > 0 liefert (O2)
ya − xa = (y − x)a > 0
bzw.
xa < ya,
wie behauptet.
(e) Es gilt (−x) − (−y) = y − x > 0 nach Voraussetzung, also −x > −y.
(f) Für x > 0 folgt x2 = x · x > 0 aus (O2).
Für x < 0 multiplizieren wir diese Ungleichung mit −x > 0 durch und erhalten
aus (d): −x2 < 0 bzw. x2 = −(−x2 ) > 0 nach Deﬁnition 1.3.
Schließlich beachten wir noch 1 = 1 · 1 > 0.
(g) Es sei x > 0 und angenommen es gilt x−1 < 0, d.h. −x−1 > 0. Aus (O2) folgt dann aber
−1 = −xx−1 = x(−x−1 ) > 0
bzw.
1 < 0,
im Widerspruch zu (f).
(h) Wegen x > 0 und y > x erhalten wir aus (b) auch y > 0 und (O2) liefert xy > 0: Aus (g)
folgt also
x−1 y −1 = (xy)−1 > 0.
Wenden wir nun (d) mit a = x−1 y −1 auf die Ungleichung x < y an, so folgt
(d)
y −1 = x−1 y −1 x < x−1 y −1 y = x−1 ,
wie behauptet.
q.e.d.
Wie bereits angemerkt, gibt es Körper, die nicht angeordnet werden können,
wie etwa die komplexen Zahlen C. Manchmal kann man aber zumindest einen Ab”
standsbegriﬀ“ einführen, die Elemente also in einem gewissen Sinne bewerten“:
”
Deﬁnition 1.4: Ein Körper K heißt bewerteter Körper, wenn eine Abbildung | · | :
K → K existiert, die jedem Element x ∈ K eindeutig ein Element |x| ∈ K zuordnet
und für die folgende Regeln gelten:
1. ZAHLEN UND KÖRPER
11
(a) Positivität: Für jedes x ∈ K gilt |x| ≥ 0 und |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.
(b) Multiplikativität: Für alle x, y ∈ K gilt |x · y| = |x| · |y|.
(c) Dreiecksungleichung: Für beliebige x, y ∈ K haben wir |x + y| ≤ |x| + |y|.
Die Abbildung | · | : K → K nennt man dann auch Betragsfunktion.
Wir werden später sehen, dass C ein bewerteter Körper ist. Bevor wir Rechenregeln in bewerteten Körpern ableiten wollen, zeigen wir, dass jeder angeordnete
Körper auch bewertet ist; dies gilt also insbesondere für Q und später auch für R:
Satz 1.4: Zu einem x ∈ K aus dem angeordneten Körper K erklären wir den
(Absolut-)Betrag als
{
x,
falls x ≥ 0
|x| :=
.
(1.5)
−x, sonst
Dann ist K mit der Betragsfunktion aus (1.5) ein bewerteter Körper.
Bemerkung: Für den in (1.5) erklärten Absolutbetrag gilt
|x| = max{x, −x}
für alle x ∈ K
und folglich
−|x| ≤ x ≤ |x| für alle x ∈ K;
dies folgt sofort aus Satz 1.3 (b) und (e) .
Beweis von Satz 1.4: Wir haben die drei Eigenschaften (a)-(c) aus Deﬁnition 1.4
nachzuprüfen (die Regeln aus Satz 1.2 benutzen wir kommentarlos).
(a) Sowohl |x| ≥ 0 für alle x ∈ K als auch die Äquivalenz |x| = 0 ⇐⇒ x = 0
entnimmt man sofort der Deﬁnition des Betrages und Deﬁnition 1.3.
(b) Falls x ≥ 0, y ≥ 0, so gilt xy ≥ 0 gemäß (O2) und folglich auch
|xy| = xy = |x| |y|.
Falls x < 0, y ≥ 0, so folgt xy ≤ 0 nach Satz 1.3 (d); also ﬁnden wir
|xy| = −(xy) = (−x)y = |x| |y|.
Entsprechend lässt sich der Fall x ≥ 0, y < 0 behandeln.
Gelte schließlich x < 0, y < 0, also −x > 0, −y > 0. Dann liefert (O2):
xy = −(−x)y = (−x)(−y) > 0.
Also haben wir auch in diesem Fall
|xy| = xy = (−x)(−y) = |x| |y|.
12
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
(c) Wegen x ≤ |x|, y ≤ |y| haben wir nach Satz 1.3 (c):
x + y ≤ |x| + y ≤ |x| + |y|.
Entsprechend folgt aus −x ≤ |x|, −y ≤ |y| auch
−(x + y) = −x − y ≤ |x| + |y|.
Insgesamt ergibt sich also
|x + y| = max{x + y, −(x + y)} ≤ |x| + |y|,
wie behauptet.
q.e.d.
Satz 1.5: (Rechnen in bewerteten Körpern)
Sei K ein bewerteter Körper mit Betragsfunktion | · | : K → K.
(a) Für jedes x ∈ K ist | − x| = |x| richtig.
(b) Für jedes x ∈ K \ {0} ist |x−1 | = |x|−1 erfüllt.
(c) Für beliebige x, y ∈ K gilt |x − y| ≥ |x| − |y|.
x |x|
.
(d) Für alle x, y ∈ K mit y ̸= 0 gilt =
y
|y|
Beweis:
(a) Die Multiplikativität liefert für x = y = 1 zunächst |1| = |1 · 1| = |1| · |1|
bzw. 1 = |1|. Setzen wir x = y = −1 ein, so folgt 1 = |1| = |(−1)(−1)| = |−1|2 .
Wegen der Positivität ist | − 1| > 0 richtig. Aufgrund von
0 = | − 1|2 − 12 = (| − 1| − 1)(| − 1| + 1),
muss also | − 1| = 1 gelten. Für beliebige x ∈ K ﬁnden wir nun
| − x| = |(−1)x| = | − 1| |x| = 1 · |x| = |x|,
wie behauptet.
(b) Wegen xx−1 = 1 und |1| = 1 liefert die Multiplikativität:
|x| |x−1 | = |xx−1 | = |1| = 1.
Also ist |x−1 | das inverse Element zu |x|, d.h. |x|−1 = |x−1 |.
(c) Mit der Dreiecksungleichung berechnen wir
|x| = |(x − y) + y| ≤ |x − y| + |y|
bzw.
|x| − |y| ≤ |x − y|
und
(a)
|y| = |(y − x) + x| ≤ |x − y| + |x|
also
bzw.
− (|x| − |y|) ≤ |x − y|,
{
} |x − y| ≥ max |x| − |y|, −(|x| − |y|) = |x| − |y|.
2. VOLLSTÄNDIGE INDUKTION
13
(d) Mit der Relation (b) und der Multiplikativität berechnen wir
|x|
x
−1
−1
−1
,
= |xy | = |x| |y | = |x| |y| =
y
|y|
wie behauptet.
q.e.d.
Beispiel: Im Körper R erklärt man das arithmetische bzw. geometrische Mittel zweier Zahlen x, y ≥ 0
gemäß
√
1
mA (x, y) := (x + y), mG (x, y) := xy.
2
√
√
Für diese gilt die Ungleichung mA (x, y) ≥ mG (x, y). In der Tat haben wir für a := x und b := y:
0 ≤ (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
⇐⇒
1 2
(a + b2 ) ≥ ab,
2
also
√
1
(x + y) ≥ xy.
2
Gleichheit tritt übrigens genau dann auf, wenn x = y richtig ist. Das Rechnen in R, insbesondere
mit rationalen Potenzen, werden wir später genauer entwickeln.
Für den späteren Gebrauch bemerken wir noch, dass Q sogar ein archimedisch
angeordneter Körper ist, d.h. neben den Ordnungsaxiomen (O1) und (O2) gilt noch
Folgendes:
Archimedisches Axiom.
(O3) Zu je zwei Elementen x, y ∈ Q mit x, y > 0 existiert eine natürliche Zahl
n ∈ N, so dass gilt
nx > y.
Zum Beweis von (O3) in Q seien x = pq , y = rs mit p, q, r, s ∈ N zwei beliebig
gewählte, positive rationale Zahlen. Wählen wir dann n := rq + 1 ∈ N, so folgt
nx = (rq + 1)
p
p
r
p
= rp + = (ps) + ≥ y · 1 + x > y,
q
q
s
q
wie behauptet. Wir werden hieraus folgern, dass auch R archimedisch angeordnet
ist.
Bemerkung: Archimedes hat (O3) geometrisch formuliert: Hat man zwei Strecken
auf einer Geraden, so kann man, in dem man die kürzere hinreichend oft abträgt,
die längere übertreﬀen.
2
Vollständige Induktion
Wir lernen nun ein wichtiges Beweisprinzip kennen und anwenden, welches darauf
beruht, dass jede Zahl n ∈ N0 = N ∪ {0} einen eindeutig deﬁnierten Nachfolger,
14
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
nämlich n + 1 ∈ N, besitzt. Will man jetzt eine Aussage A(n) für alle n ≥ n0 mit
einem n0 ∈ N0 beweisen (d.h. man möchte eigentlich unendlich viele Aussagen A(n)
in Abhängigkeit von n zeigen), dann geht man wie folgt vor:
Beweisprinzip der vollständigen Induktion.
Eine Aussage A(n) gilt für alle n ∈ N0 mit n ≥ n0 ∈ N0 , falls man folgendes beweisen
kann:
(IA) Induktionsanfang: Die Aussage A(n0 ) ist richtig.
(IS) Induktionsschritt: Für alle n ≥ n0 gilt: Wenn A(n) richtig ist, so ist auch
A(n + 1) richtig.
Die Wirkungsweise ist klar: Sind (IA) und (IS) erfüllt und angenommen, es
existiert ein n > n0 , für das A(n) nicht gilt. Wegen (IS) ist dann auch A(n − 1)
falsch und dann A(n − 2), A(n − 3) usw. Nach n − n0 Schritten würde also folgen,
dass auch A(n0 ) falsch ist, im Widerspruch zu (IA).
Als erste Anwendung beweisen wir den
Satz 2.1: (Bernoullische Ungleichung)
Sei K ⊃ N ein angeordneter Körper und x ∈ K mit x ≥ −1 sei gewählt. Dann gilt
für alle n ∈ N0 die Ungleichung
(1 + x)n ≥ 1 + nx.
Bemerkung: Die n-te Potenz ist dabei für a ∈ K wie folgt induktiv erklärt:
a0 := 1,
an+1 := an · a
für n ∈ N.
Für a ̸= 0 erhalten wir dann auch negative Potenzen:
a−n := (a−1 )n
für alle n ∈ N.
Rechenregeln: Für alle a, b ∈ K \ {0} und n, m ∈ Z gilt:
(i) an am = an+m .
(ii) (an )m = anm .
(iii) an bn = (ab)n .
Beweis von Satz 2.1: mittels vollständiger Induktion.
(IA) n = 0: Wir haben zu zeigen, dass A(0) gilt, also in unserem Fall
(1 + x)0 ≥ 1 + 0 · x.
Das ist oﬀenbar richtig.
2. VOLLSTÄNDIGE INDUKTION
15
(IS) n → n + 1: Es sei A(n), also (1 + x)n ≥ 1 + nx, für ein n ∈ N0 richtig (genannt
Induktionsvoraussetzung (IV)). Zu zeigen ist A(n + 1), d.h.
(1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x.
Hierzu berechnen wir m.H. der Induktionsvoraussetzung (beachte 1 + x > 0):
(1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x)
(IV )
≥
(1 + nx)(1 + x)
= 1 + nx + x + nx2 ≥ 1 + (n + 1)x,
d.h. A(n + 1) gilt. Also ist auch der Induktionsschritt (IS) erfüllt und nach
dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt die Aussage für alle n ∈ N0 .
q.e.d.
Satz 2.2: Für jede natürliche Zahl n ∈ N gilt
1 + 2 + 3 + ... + n =
n(n + 1)
.
2
Bemerkung: Die Punkte deuten an, dass die Summation in der gleichen Weise fortgesetzt wird. Dies kann man m.H. von Summen- und Produktzeichen wie folgt kompakter schreiben:
Hat man viele, eventuell unendlich viele Variablen, so benutzt man statt a, b, c, . . .
sinnvoller die Bezeichnungen a1 , a2 , a3 , . . .. Die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, . . . heißen
hierbei Indizes und dienen der Unterscheidung der Variablen ak , k ∈ N.
Für n ∈ N Variablen a1 , a2 , . . . , an setzen wir
n
∑
k=1
n
∏
ak := a1 + a2 + . . . + an
ak := a1 · a2 · . . . · an
(Summe),
(Produkt).
k=1
Hierbei kann man die Indexmenge 1, . . . , n natürlich auch durch andere (endliche)
Teilmengen von N oder allgemeiner von Z ersetzen. Die Formel in Satz 2.2 liest sich
nun (ak := k für k = 1, . . . , n):
n
∑
k=
k=1
n(n + 1)
.
2
Beweis von Satz 2.2: mit vollständiger Induktion.
(IA) n = 1: Oﬀenbar gilt
1
∑
k=1
k = 1 und
1·(1+1)
2
= 1, d.h. A(1) ist korrekt.
16
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
n
∑
(IS) n → n+ 1: Die Induktionsvorraussetzung
=
k=1
n(n+1)
2
gelte für ein n ∈ N. Für
den Beweis von (IS) berechnen wir m.H. der Induktionsvoraussetzung (IV):
n+1
∑
k =
n
∑
k=1
k + (n + 1)
(IV )
=
k=1
n(n + 1)
+ (n + 1)
2
n(n + 1) + 2(n + 1)
(n + 1)(n + 2)
=
,
2
2
d.h. es folgt A(n + 1). Somit gilt die Aussage für alle n ∈ N.
=
q.e.d.
Satz 2.3: (geometrische Reihe)
Für alle x ∈ K \ {1} im Körper K und alle n ∈ N gilt
n−1
∑
1 − xn
.
1−x
xk =
k=0
Beweis (vollständige Induktion):
∑
(IA) n = 1: Es gilt 0k=0 xk = x0 = 1 und
1−x1
1−x
= 1, also A(1).
(IS) n → n + 1: Die zu beweisende Relation gelte für festes n ∈ N (IV). Wir
berechnen dann
∑
(n+1)−1
xk =
n
∑
xk =
k=0
k=0
=
1−
xn
n−1
∑
xk + xn
(IV )
=
k=0
xn (1
1 − xn
+ xn
1−x
+
− x)
1 − xn+1
=
,
1−x
1−x
wie behauptet.
q.e.d.
Deﬁnition 2.1: Wir erklären für n, k ∈ N0 die Binomialkoeﬃzienten
( )
k
∏
n−j+1
n(n − 1) · . . . · (n − k + 1)
n
:=
=
.
k
j
1 · 2 · ... · k
j=1
Bemerkung: Oﬀenbar gilt
( ) {
n!
n
k!(n−k)! , falls k ≤ n
=
k
0,
falls k > n
mit der bekannten Fakultät:
0! := 1,
Insbesondere halten wir
(n )
0
= 1,
(n )
1
n! :=
n
∏
l.
l=1
= n und
(n )
k
=
(
n
n−k
)
für k ≤ n fest.
2. VOLLSTÄNDIGE INDUKTION
17
Hilfssatz 2.1: Für alle natürlichen Zahlen k, n ∈ N gilt die Relation
( ) (
) (
)
n
n−1
n−1
=
+
.
k
k−1
k
(Veranschaulichung: Pascalsches Dreieck).
Beweis: Für k ≥ n ist nach obiger Bemerkung nichts zu zeigen. Sei also k < n. Dann
ﬁnden wir
(
) (
)
n−1
n−1
(n − 1)!
(n − 1)!
+
=
+
k−1
k
(k − 1)!(n − k)! k!(n − k − 1)!
k(n − 1)! + (n − 1)!(n − k)
=
k!(n − k)!
( )
n!
n
=
=
,
k!(n − k)!
k
wie behauptet.
q.e.d.
Satz 2.4: (Binomischer Lehrsatz)
Sei K Körper und n ∈ N0 beliebig. Dann gilt für alle a, b ∈ K die Identität
n ( )
∑
n k n−k
a b
.
(a + b) =
k
n
(2.1)
k=0
Beweis: durch vollständige Induktion über n.
(IA) n = 0: Wegen x0 = 1 für alle x ∈ K haben wir
( )
0
∑
0 k 0−k
a b
= 1 = (a + b)0 ,
k
k=0
d.h. (IA) gilt.
(IS) n → n + 1: (2.1) gelte für festes n ∈ N0 . Wir beachten
(a + b)n+1 = (a + b)n a + (a + b)n b
und formen die Terme getrennt um. Zunächst gilt
( )
( )
n+1
n
∑
n k n−k+1 ∑ n k n−k+1
n (IV )
(a + b) b =
a b
=
a b
,
k
k
k=0
(
k=0
)
n
n+1
wobei wir noch
= 0 benutzt haben. Zur Behandlung des Terms (a + b)n a verwenden
wir noch die oﬀensichtliche Beziehung
n
∑
k=0
xk+1 =
n+1
∑
k=1
xk
(Indexverschiebung)
18
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
für beliebige Summanden x1 , x2 , . . . , xn+1 ∈ K. Wir erhalten
( )
(
)
n+1
n
∑
n k+1 n−k ∑
n
n (IV )
(a + b) a =
a
b
=
ak bn−k+1 .
k
k−1
k=0
k=1
Insgesamt ergibt sich also unter Beachtung von Hilfssatz 2.1:
(
)
( )
n+1
n+1
∑ n k n−k+1
∑
n
k n−k+1
n+1
a b
+
a b
(a + b)
=
k−1
k
k=0
k=1
(
) ( )]
( )
n+1
∑[
n
n
n 0 n+1
k n−k+1
=
+
a b
+
a b
k−1
k
0
k=1
(
)
(
)
n+1
∑ n + 1 k n+1−k
n + 1 0 n+1−0
HS 2.1
=
a b
+
a b
k
0
k=1
(
)
n+1
∑ n + 1 k n+1−k
=
a b
,
k
k=0
also Relation (2.1) für n + 1.
3
q.e.d.
Die Deﬁnition der reellen Zahlen
Wir haben die Notwendigkeit der Einführung der reellen Zahlen bereits erkannt, da
die Lösung von x2 −2 = 0 nicht rational ist, was übrigens schon in√
der Antike bekannt
war. Aus der Schule wissen wir, dass die positive Lösung x = 2 eine unendliche
Dezimalbruchdarstellung besitzt
√
2 = 1, 414213562 . . .
(bekannt sind ungefähr die ersten 5 Millionen Nachkommastellen!) Wenn wir die
Darstellung an der n-ten Nachkommastelle abbrechen, haben wir
xn :=
n
∑
ak
∈ Q für n = 1, 2, . . .
10k
(3.1)
k=0
mit Zahlen ak ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} für alle k ∈ N0 (a0 = 1, a1 = 4, a2 = 1, . . . ).
Deﬁnition 3.1: Eine Abbildung f : N → K vermöge n 7→ xn := f (n) heißt
Zahlenfolge {xn }n∈N (oder {xn }n , {xn }n=1,2,... ) im Körper K. Wir schreiben kurz
{xn }n∈N ⊂ K. Das Element xn heißt n-tes Glied der Zahlenfolge. Für K = Q sprechen wir von rationalen (Zahlen-)Folgen.
Die Idee ist nun, die rationale Zahlenfolge
{xn }n∈N mit den in (3.1) erklärten
√
Gliedern mit der irrationalen Zahl 2 zu identiﬁzieren. Dazu schätzen wir die
3. DIE DEFINITION DER REELLEN ZAHLEN
19
Streuung“ der Folge wie folgt ab: Für beliebiges N ∈ N seien m, n ≥ N und
”
o.B.d.A. n > m. Dann folgt
|xn − xm |
=
Def. 1.4 (c)
≤
l:=k−m−1
=
Satz 2.3
=
=
∑
∑
m
∑
n ak
n
ak ak −
= 10k
10k 10k k=0
n
∑
k=0
a k k ≤
10
k=m+1
n−m−1
∑ (
k=m+1
n
∑
k=m+1
10
=
10k
n
( 1 )k−1
∑
10
k=m+1
n−m−1
∑ (
( 1 )m
1 )l
1 )l+m
=
10
10
10
l=0
l=0
( 1 )m 1 − ( 1 )n−m
( 1 )m 1
10
≤
1
1
10
10
1 − 10
1 − 10
( )m
( )N
10 1
10 1
≤
.
9 10
9 10
(3.2)
Wir benötigen nun noch folgenden
Hilfssatz 3.1: Sei b ∈ Q positiv, so gilt:
(a) Ist b > 1, so existiert zu jedem K ∈ Q mit K > 0 ein n ∈ N mit der Eigenschaft
bn > K.
(b) Ist 0 < b < 1, so existiert zu jedem δ ∈ Q mit δ > 0 ein n ∈ N mit der
Eigenschaft bn < δ.
Beweis:
(a) Wegen b > 1 ist x := b − 1 > 0 richtig. Also ist die Bernoullische Ungleichung,
Satz 2.1, anwendbar: Für alle n ∈ N gilt
bn = (1 + x)n ≥ 1 + nx.
Nach dem Archimedischen Axiom (O3), welches ja in Q gilt, können wir nun
n ∈ N speziell so wählen, dass nx > K ausfällt. Dann folgt
bn ≥ 1 + nx > 1 + K > K.
(b) Wegen 0 < b < 1 ist b̂ := 1b > 1 richtig. Nach (a) existiert zu K̂ :=
mit
b̂n > K̂ ⇐⇒ bn = (b̂n )−1 < K̂ −1 = δ,
wie behauptet.
1
δ
ein n ∈ N
q.e.d.
20
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Bemerkung: Der Beweis zeigt, dass die Aussage von Hilfssatz 3.1 richtig bleibt, wenn
wir Q durch einen beliebigen, archimedisch angeordneten Körper K ⊃ N ersetzen.
1
<1
Wir wenden nun Hilfssatz 3.1 auf unsere Ungleichung (3.2) an mit b = 10
9
und δ = 10 ε > 0 für beliebig gewähltes ε ∈ Q mit ε > 0. Es existiert also ein
N = N (ε) ∈ N mit
|xn − xm | ≤
10 ( 1 )N
10
< δ = ε für alle m, n ≥ N (ε).
9 10
9
(3.3)
Das bedeutet, die Streuung“ der Folge {xn }n wird für hinreichend große Glieder
”
beliebig klein.
Die Ungleichung (3.2) und damit auch (3.3) gilt übrigens für beliebige rationale
Folgen der Form (3.1) mit ak ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}.
Deﬁnition 3.2: Eine rationale Zahlenfolge {xn }n heißt Cauchyfolge, wenn gilt: Zu
jedem ε ∈ Q mit ε > 0 existiert ein N = N (ε) ∈ N so, dass
|xn − xm | < ε
für alle m, n ≥ N (ε)
erfüllt ist.
Deﬁnition 3.3: Eine rationale Zahlenfolge {xn }n heißt Nullfolge, falls gilt: Zu jedem rationalen ε > 0 existiert ein N = N (ε) ∈ N so, dass
|xn | < ε
für alle n ≥ N (ε)
richtig ist. Man sagt auch, {xn }n konvergiert gegen 0.
Bemerkungen:
1. Jede Nullfolge ist auch Cauchyfolge: Wähle N = N (ε) ∈ N so, dass |xn | <
für alle n ≥ N (ε) gilt. Dann folgt für m, n ≥ N (ε):
|xn − xm | ≤ |xn | + |xm | <
ε
2
ε ε
+ = ε.
2 2
Die Umkehrung ist natürlich falsch, wie etwa das Beispiel {xn }n = {1 + ( 12 )n }n
zeigt.
2. Beispiel: { n1 }n ist Nullfolge. In der Tat existiert nach (O3) zu jedem rationalen
ε > 0 ein N = N (ε) ∈ N mit N ε > 1. Also folgt
1 1
1
<ε
= ≤
n
n
N
für alle n ≥ N (ε).
3. DIE DEFINITION DER REELLEN ZAHLEN
21
Wir wollen nun die reellen Zahlen durch rationale Cauchyfolgen darstellen. Da
aber einige Folgen, wie wir sehen werden, die gleiche reelle Zahl darstellen, müssen
wir diese identiﬁzieren im Sinne einer Äquivalenzrelation:
Deﬁnition 3.4: Eine Äquivalenzrelation auf einer beliebigen Menge M ist eine
Beziehung zwischen je zwei ihrer Elemente a, b ∈ M , in Zeichen a ∼ b, mit folgenden
Eigenschaften: Für jedes geordnete Paar (a, b) ∈ M × M steht fest, ob a ∼ b richtig
oder falsch ist, und es gelten:
(R) Reﬂexivität: Für alle a ∈ M gilt: a ∼ a.
(S) Symmetrie: Für alle a, b ∈ M gilt: a ∼ b =⇒ b ∼ a.
(T) Transitivität: Für alle a, b, c ∈ M gilt: a ∼ b und b ∼ c =⇒ a ∼ c.
Zwei Elemente a, b ∈ M nennen wir äquivalent, wenn a ∼ b gilt. Zu a ∈ M heißt
die Menge
{
}
[a] := x ∈ M : x ∼ a
die zugehörige Äquivalenzklasse. Ein x ∈ [a] nennen wir dann Repräsentant der
Äquivalenzklasse [a].
Bemerkung: Jedes Element a ∈ M gehört zu genau einer Äquivalenzklasse. Wir
können also M als disjunkte Vereinigung ihrer Äquivalenzklassen darstellen:
∪
M=
[a].
a∈M
Bevor wir auf der Menge aller rationalen Cauchyfolgen eine Äquivalenzrelation
erklären, geben wir noch ein paar einfache
Beispiele:
1. Die Gleichheitsrelation auf einem geordneten Körper K ist eine Äquivalenzrelation. Für je zwei Zahlen a, b ∈ K gilt nämlich entweder a = b oder a ̸= b und
oﬀenbar sind (R), (S) und (T) erfüllt.
2. Die Ungleichrelation (nicht reﬂexiv und transitiv), die Kleinerrelation (nicht reﬂexiv und
symmetrisch) und die Kleinergleichrelation (nicht symmetrisch) sind z.B. keine Äquivalenzrelationen.
3. Auf der Menge G aller Geraden in der Ebene ist durch die Relation
g1 ∼ g2
:⇐⇒
g1 ist parallel zu g2
eine Äquivalenzrelation deﬁniert. Die Äquivalenzklasse von g ∈ G sind die zu g parallelen
Geraden.
22
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
4. Für M = Z deﬁniert
a−b
∈Z
2
eine Äquivalenzrelation. Die zugehörigen Äquivalenzklassen sind die geraden und die ungea∼b
:⇐⇒
raden Zahlen.
Satz 3.1: Auf der Menge F := {{xn }n ⊂ Q : {xn }n ist Cauchyfolge} der rationalen Cauchyfolgen ist durch
{xn }n ∼ {yn }n
:⇐⇒
{xn − yn }n ist Nullfolge
eine Äquivalenzrelation deﬁniert. Zwei Folgen {xn }n , {yn }n sind also äquivalent,
wenn zu jedem rationalen ε > 0 ein N = N (ε) ∈ N existiert mit |xn − yn | < ε für
alle n ≥ N .
Beweis: Wir prüfen (R), (S) und (T) nach:
(R) Ist klar, denn {xn − xn }n = {0}n ist die konstante Nullfolge.
(S) Falls {xn }n ∼ {yn }n , dann existiert also zu jedem rationalen ε > 0 ein N (ε) ∈
N mit
|yn − xn | = |xn − yn | < ε für alle n ≥ N (ε).
Somit ist auch {yn − xn }n Nullfolge, d.h. {yn }n ∼ {xn }n .
(T) Seien {xn }n ∼ {yn }n und {yn }n ∼ {zn }n . Dann gibt es zu jedem rationalen
ε > 0 Zahlen N1 (ε), N2 (ε) ∈ N mit
ε
für alle n ≥ N1 (ε),
|xn − yn | <
2
ε
|yn − zn | <
für alle n ≥ N2 (ε).
2
{
}
Setzen wir nun N = N (ε) := max N1 (ε), N2 (ε) ∈ N, so folgt
|xn − zn | ≤ |xn − yn | + |yn − zn | <
ε ε
+ = ε für alle n ≥ N (ε),
2 2
also {xn }n ∼ {zn }n , wie behauptet.
{1 + ( 12 )n }n
und {1}n sind z.B. äquivalent. Ebenso gilt
Beispiel: Die Folgen
1 n
{( 3 ) }n , da beide und somit auch ihre Diﬀerenz Nullfolgen sind.
q.e.d.
{ n1 }n
∼
Wir kommen nun zur zentralen
Deﬁnition 3.5: (Die reellen Zahlen)
Die Menge der reellen Zahlen R erklären wir als die Menge aller Äquivalenzklassen
rationaler Cauchyfolgen im Sinne von Satz 3.1. Jede rationale Cauchyfolge {an }n
deﬁniert also genau eine reelle Zahl α ∈ R durch
α := [an ] := [{an }n ].
3. DIE DEFINITION DER REELLEN ZAHLEN
23
Bemerkung: Wir nennen α ∈ R rational, falls ein Repräsentant {an }n von α existiert
mit an = pq (mit p ∈ Z, q ∈ N) für alle n ∈ N; sonst heißt α irrational.
Die konstanten rationalen Folgen sind also Repräsentanten der rationalen reellen
Zahlen. In diesem Sinne gilt Q ⊂ R, wir schreiben kurz pq := [ pq ]. (Hier ist übrigens
auch die Äquivalenzklassenbildung enthalten, die wir bei der etwas laxen Deﬁnition
der rationalen Zahlen in § 1 unterschlagen haben: Ungekürzte“ rationale Zahlen
”
werden mit gekürzten“ identiﬁziert, denn { ap
}n mit a ∈ N und { pq }n gehören
aq
”
oﬀenbar zur gleichen Äquivalenzklasse.)
Im Folgenden zeigen wir über Deﬁnition 3.5, dass R ein archimedisch angeordneter Körper ist, wobei wir natürlich noch die Rechenoperationen und den Begriﬀ
der Positivität in R erklären müssen. Wir beginnen mit dem
Hilfssatz 3.2: Jede rationale Cauchyfolge {xn }n ist beschränkt, d.h. es existiert
ein rationales c > 0, so dass |xn | ≤ c für alle n ∈ N gilt.
Beweis: Gemäß Deﬁnition 3.2 gibt es speziell zu ε = 1 ein N ∈ N mit |xn − xm | < 1
für alle n, m ≥ N . Damit folgt insbesondere für m = N :
|xn | = |(xn − xN ) + xN | ≤ |xn − xN | + |xN | < |xN | + 1
für alle n ≥ N.
Setzen wir c := max{|x1 |, . . . , |xN −1 |, |xN | + 1}, so folgt die Behauptung.
q e.d.
Hilfssatz 3.3:
(a) Sind {an }n , {bn }n ⊂ Q Cauchyfolgen, so gilt dies auch für {an + bn }n und
{an · bn }n .
(b) Sind {xn }n , {yn }n ⊂ Q weitere Cauchyfolgen mit {an }n ∼ {xn }n und {bn }n ∼
{yn }n , dann folgt
{an + bn }n ∼ {xn + yn }n
und
{an · bn }n ∼ {xn · yn }n .
Beweis:
(a) Es existiert zu vorgegebenem δ > 0 ein N = N (δ) ∈ N, so dass
|an − am | < δ, |bn − bm | < δ
für alle m, n ≥ N (δ).
Wähle nun ε > 0 rational beliebig. Setzen wir N1 (ε) := N ( 2ε ), so folgt
|(an + bn ) − (am + bm )| ≤ |an − am | + |bn − bm | < ε
also ist {an + bn }n Cauchyfolge.
für alle m, n ≥ N1 (ε),
24
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Nach Hilfssatz 3.2 existiert ferner ein rationales c > 0 mit |an | ≤ c, |bn | ≤ c für alle n ∈ N.
ε
Setzen wir nun N2 (ε) := N ( 2c
), so folgt auch
|an bn − am bm |
=
|an (bn − bm ) + bm (an − am )|
≤
|an | |bn − bm | + |bm | |an − am |
(ε
ε)
c
+
= ε für alle m, n ≥ N2 (ε),
2c
2c
<
d.h. {an bn }n ist Cauchyfolge.
(b) Für den Beweis der ersten Aussage ist zu zeigen, dass {(an + bn ) − (xn + yn )}n
Nullfolge ist. Wegen |an − xn | < ε, |bn − yn | < ε für beliebiges ε > 0 und alle
n ≥ N (ε), erhalten wir
|(an + bn ) − (xn + yn )| ≤ |an − xn | + |bn − yn | < 2ε
für alle n ≥ N (ε).
Da ε > 0 beliebig war, folgt die Behauptung (gehe über ε → 2ε ).
Um zu zeigen, dass auch {an bn − xn yn }n Nullfolge ist, beachten wir wieder
|an |, |yn | ≤ c für alle n ∈ N und mit geeignetem c > 0 gemäß Hilfssatz 3.2. Wir
ﬁnden dann
|an bn − xn yn | = |an (bn − yn ) + yn (an − xn )|
≤ |an | |bn − yn | + |yn | |an − xn |
< 2εc
wie behauptet.
für alle n ≥ N (ε),
q.e.d.
Bemerkung: Mit Hilfssatz 3.3 können wir bereits Addition und Multiplikation sowie
das Negative in R erklären; siehe Deﬁnition 3.7 unten. Um aber auch die Existenz
der Inversen zu sichern, benötigen wir noch zwei weitere Hilfssätze, für deren Beweis
wir die folgende Deﬁnition nutzen:
Deﬁnition 3.6: Ist {xn }n ⊂ K eine Zahlenfolge und seien unendlich viele natürliche Zahlen 1 ≤ n1 < n2 < n3 < . . . gewählt (also {nk }k ⊂ N mit nk < nk+1 für alle
k ∈ N). Dann heißt
{xnk }k∈N = {xn1 , xn2 , xn3 , . . .}
Teilfolge von {xn }n .
Hilfssatz 3.4: Es sei {xn }n ⊂ Q eine Cauchyfolge. Dann tritt genau einer der
folgenden Fälle ein:
(a) {xn }n ist Nullfolge.
(b) Typ A+ : Es existiert ein rationales δ > 0 und ein N ∈ N mit xn > δ für alle
n ≥ N.
3. DIE DEFINITION DER REELLEN ZAHLEN
25
(c) Typ A− : Es existiert ein rationales δ > 0 und ein N ∈ N mit −xn > δ für alle
n ≥ N.
Beweis: Wir zeigen, dass, falls (a) nicht gilt, genau einer der Fälle (b) oder (c)
eintreten muss. Sei also {xn }n keine Nullfolge. Dann gibt es also ein rationales δ > 0
und eine Teilfolge {xnk }k mit |xnk | ≥ 2δ für alle k ∈ N. Da {xn }n Cauchyfolge ist,
existiert andererseits ein N ∈ N mit |xn − xm | < δ für alle m, n ≥ N . Wählen wir
p ∈ N so groß, dass np ≥ N ist, so folgt speziell für m = np :
|xn − xnp | < δ
für alle n ≥ N.
Wir unterscheiden nun zwei Fälle:
(i) xnp ≥ 2δ: Dann folgt
xn = xnp + (xn − xnp ) ≥ 2δ − |xn − xnp | > 2δ − δ = δ
für alle n ≥ N,
also gehört {xn }n zum Typ A+ .
(ii) xnp ≤ −2δ: Dann haben wir
−xn = −xnp − (xn − xnp ) ≥ 2δ − |xn − xnp | > δ
für alle n ≥ N,
d.h. {xn }n gehört zum Typ A− .
q.e.d.
Die Deﬁnition der Inversen ergibt sich nun aus dem folgenden
Hilfssatz 3.5: Seien die Cauchyfolgen {xn }n , {yn }n ⊂ Q zueinander äquivalent und
keine Nullfolgen. Ferner gelte xn , yn ̸= 0 für alle n ∈ N. Dann sind auch {x−1
n }n
−1
und {yn }n Cauchyfolgen, und es gilt
−1
{x−1
n }n ∼ {yn }n .
Beweis:
1. Nach Hilfssatz 3.4 existiert ein δ > 0, so dass |xn | > δ, |yn | > δ für alle n ∈ N gilt. Damit
folgt:
1 xm − xn 1
1
−
=
< 2 |xn − xm | für alle m, n ∈ N.
xn
xm
xn xm
δ
Da {xn }n Cauchyfolge ist, existiert zu beliebigem ε > 0 ein N̂ (ε) ∈ N, so dass |xn −xm | < εδ 2
−1
−1
richtig ist. Es folgt |x−1
n − xm | < ε für alle m, n ≥ N̂ (ε), d.h. {xn }n ist Cauchyfolge. Die
entsprechenden Überlegungen zeigen, dass auch {yn−1 }n Cauchyfolge ist.
2. Wegen
1 yn − xn 1
1
−
=
< 2 |xn − yn |
xn
yn
xn yn
δ
für alle n ∈ N
−1
folgt aus der Nullfolgeneigenschaft von {xn − yn }n sofort {x−1
n }n ∼ {yn }n , wie behauptet.
q.e.d.
26
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Bemerkung: Die Bedingung xn ̸= 0 für alle Glieder einer Nicht-Nullfolge {xn }n
kann immer durch Übergang zu einer äquivalenten Folge {x̂n }n mittels eventueller
Addition von n1 zum n-ten Glied erreicht werden. Alternativ kann man das durch
Wegstreichen der (gemäß Hilfssatz 3.4) endlich vielen Glieder xn = 0 erreichen, denn:
Jede Teilfolge einer Cauchyfolge ist zu ihr äquivalent.
Deﬁnition 3.7: (Rechenoperationen in R)
• Für α = [an ] ∈ R, β = [bn ] ∈ R setzen wir
α + β := [an + bn ] ∈ R
(Summe),
α · β = αβ := [an bn ] ∈ R
(Produkt).
• Die neutralen Elemente der Addition und Multiplikation sind erklärt als
0 := [0] ∈ R,
1 := [1] ∈ R.
• Das Negative und das Inverse erklären wir wie folgt:
– Zu α = [an ] setzen wir −α := [−an ] ∈ R.
– Zu α = [an ] ̸= 0 mit einem Repräsentanten {an }n , der an ̸= 0 für alle
n ∈ N erfüllt, setzen wir α−1 := [a−1
n ].
Bemerkung: Wegen der Hilfssätze 3.3 und 3.5 sind alle Größen wohl deﬁniert. Zum
Beispiel ist nach Hilfssatz 3.3 (a) mit {an }n und {bn }n auch {an bn }n eine rationale
Cauchyfolge, also [an bn ] ∈ R. Und nach Hilfssatz 3.3 (b) ist die Deﬁnition von αβ
unabhängig von der Wahl der Repräsentanten {an }n , {bn }n .
Deﬁnition 3.8: (Positivität in R)
Eine reelle Zahl α = [an ] heißt positiv, in Zeichen α > 0, falls {an }n zum Typ A+
aus Hilfssatz 3.4 gehört.
Bemerkung: Da für ein weiteres Element {bn }n der Äquivalenzklasse [an ] die Folge {an − bn }n Nullfolge ist, ist auch Deﬁnition 3.8 unabhängig von der Wahl des
Repräsentanten.
Satz 3.2: (R, +, ·) mit den in Deﬁnition 3.5, 3.7 und 3.8 erklärten reellen Zahlen,
Rechenoperationen und Positivität ist ein archimedisch angeordneter Körper.
Beweis:
1. Dass R ein Körper ist, folgt per Konstruktion aus der Tatsache, dass Q ein
Körper ist. Z.B. ist 1 = [1] in der Tat das neutrale Element der Multiplikation:
Ist nämlich α = [an ], so folgt {an · 1}n ∼ {an }n , also gilt
α · 1 = [an · 1] = [an ] = α
für alle α ∈ R.
4. FOLGEN UND REIHEN
27
2. R ist auch angeordnet, denn nach Hilfssatz 3.4 und Deﬁnitionen 3.7, 3.8 gilt
für jede reelle Zahl α genau eine der Beziehungen α > 0, α = 0 oder −α > 0,
also (O1). Und (O2) ist aus Deﬁnition 3.7 wieder oﬀensichtlich.
Die in Deﬁnition 3.8 erklärte Positivität auf R impliziert also in der Tat eine
Ordnung. Mit ihr können wir wie in den Deﬁnitionen 1.3 und 1.4 die Größerbzw. Kleinerrelationen und den Betrag erklären.
3. Schließlich ist in R auch das Archimedische Axiom (O3) erfüllt: Sind nämlich
α = [ak ] > 0, β = [bk ] > 0 gewählt, so suchen wir n ∈ N mit nα > β.
Da α > 0 gilt, ist {ak }k vom Typ A+ , siehe Hilfssatz 3.4. Also gibt es ein
rationales δ > 0 und ein N ∈ N, so dass ak > δ für alle k ≥ N richtig
ist. Andererseits ist {bk }k nach Hilfssatz 3.2 beschränkt, d.h. es existiert ein
rationales c > 0 mit 0 < bk < c für alle k ≥ N .
Wir wählen nun n ∈ N mit nδ > c (beachte: Q ist archimedisch!) und berechnen
nak > nδ = c + (nδ − c) > bk + (nδ − c) für alle k ≥ N.
Wegen nδ − c > 0 ist also die Folge {ck }k mit ck := nak − bk vom Typ A+ ,
d.h.
[n][ak ] − [bk ] = [nak − bk ] > 0
und somit ist nα − β > 0 bzw. nα > β, wie behauptet.
4
q.e.d.
Folgen und Reihen
Wir betrachten nun reelle Zahlenfolgen {xn }n ⊂ R, vgl. Deﬁnition 3.1. Analog zum
rationalen Fall erklären wir
Deﬁnition 4.1:
• Eine Folge {xn }n ⊂ R heißt Cauchyfolge, falls zu jedem (reellen) ε > 0 ein
N = N (ε) ∈ N existiert mit
|xn − xm | < ε
für alle m, n ≥ N (ε).
• Eine Folge {xn }n ⊂ R heißt Nullfolge, falls zu jedem ε > 0 ein N = N (ε) ∈ N
existiert mit
|xn | < ε für alle n ≥ N (ε).
Deﬁnition 4.2: Eine Folge {xn }n ⊂ R nennen wir konvergent gegen α ∈ R, wenn
{xn − α}n eine Nullfolge ist. Wir schreiben dann
lim xn = α
n→∞
oder
xn → α (n → ∞).
α heißt der Grenzwert der Folge {xn }n . Schließlich nennen wir eine Folge divergent,
wenn sie nicht konvergiert.
28
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Bemerkungen:
1. ∞ ist das Symbol für den unendlich fernen Punkt oder einfach Unendlich.
2. Oﬀenbar gilt xn → α (n → ∞) genau dann, wenn |xn − α| → 0 (n → ∞).
3. Geometrische Deutung: Das Intervall (α − ε, α + ε) := {x ∈ R : |x − α| < ε}
für α ∈ R und ε > 0 enthält alle reellen Zahlen, die von α einen Abstand
kleiner ε haben. Wir nennen (α − ε, α + ε) eine ε-Umgebung von α. Eine Folge
konvergiert genau dann gegen α, wenn in jeder ε-Umgebung von α fast alle
Glieder der Folge liegen. Dabei bedeutet fast alle“, alle bis auf endlich viele
”
Ausnahmen.
4. Der Grenzwert einer Folge {xn }n ⊂ R ist eindeutig bestimmt. Gäbe es nämlich
α, β ∈ R mit xn → α und xn → β für n → ∞, dann ﬁnden wir zu beliebig
vorgegebenem ε > 0 ein N = N (ε) ∈ N mit |xn − α| < 2ε und |xn − β| < 2ε für
alle n ≥ N . Daher folgt insbesondere für n = N :
|α − β| ≤ |α − xN | + |β − xN | < ε.
Also muss α = β gelten.
Aus der Konstruktion der reellen Zahlen folgt nun unmittelbar der
Hilfssatz 4.1: Ist {xn }n eine rationale Cauchyfolge und α := [xn ], so folgt xn →
α (n → ∞).
Beweis: Ist ε = [εn ] ∈ R mit ε > 0 beliebig, so haben wir zu zeigen, dass ein N (ε) > 0 existiert mit
|xk − α| < ε für alle k ≥ N (ε).
Wegen ε > 0 gibt es per Deﬁnition ein δ > 0 und ein N̂ (ε) ∈ N, so dass εn > δ für alle
n ≥ N̂ (ε) gilt. Da nun {xn }n Cauchyfolge ist, gibt es ein N (ε) ≥ N̂ (ε), so dass |xk − xn | < 2δ für
alle k, n ≥ N (ε) gilt. Also ist {εn − |xk − xn |}n vom Typ A+ für jedes feste k ≥ N (ε). Und wegen
|β| = [|yn |] für beliebiges β = [yn ] ∈ R erhalten wir
[
]
0 < εn − |xk − xn | = [εn ] − [xk − xn ] = ε − |xk − α|,
bzw. |xk − α| < ε für alle k ≥ N (ε).
q.e.d.
Wir werden übrigens in § 5 zeigen, dass auch jede reelle Cauchyfolge einen Grenzwert in R besitzt.
Beim Umgang mit Grenzwerten haben wir nun folgende Rechenregeln:
Satz 4.1: Seien {xn }n , {yn }n ⊂ R zwei Folgen mit xn → α, yn → β (n → ∞). Dann
gelten
(a) Es konvergieren auch {xn + yn }n und {xn yn }n mit
lim (xn + yn ) = α + β,
n→∞
lim (xn yn ) = αβ.
n→∞
4. FOLGEN UND REIHEN
29
(b) Falls zusätzlich β ̸= 0 und yn ̸= 0 für alle n ∈ N richtig ist, so konvergiert
auch { xynn }n mit
xn
α
lim
= .
n→∞ yn
β
(c) Gilt xn ≥ yn für alle n ≥ N mit einem N ∈ N, so ist auch α ≥ β erfüllt.
(d) Jede Teilfolge {xnk }k ⊂ {xn }n (vgl. Deﬁnition 3.6) konvergiert und es gilt
limk→∞ xnk = α.
Wir halten noch die folgende direkte Konsequenz aus Satz 4.1 (a) fest:
Folgerung 4.1: Konvergieren {xn }n , {yn }n ⊂ R und sind a, b ∈ R beliebig, so konvergiert auch {axn + byn }n mit
lim (axn + byn ) = a lim xn + b lim yn .
n→∞
n→∞
n→∞
Beweis von Satz 4.1: (a) folgt analog zu den entsprechenden Aussagen über rationale
Cauchyfolgen, Hilfssatz 3.3 (a), aus der Dreiecksungleichung und der Beschränktheit
konvergenter Folgen (siehe Satz 4.2 unten). Die Beweise von (c) und (d) sind Übungsaufgaben. Wir zeigen (b): Wegen |β| > 0 gibt es ein N ∈ N mit |yn − β| < |β|
2 für
|β|
alle n ≥ N . Wir folgern |yn | ≥ |β| − |yn − β| > 2 > 0 und somit
x
1
2
n α
− =
|βxn − αyn | ≤
|βxn − αyn | für n ≥ N.
yn
β
|yn | |β|
|β|2
Nach (a) bzw. Folgerung 4.1 konvergiert βxn − αyn → βα − αβ = 0 (n → ∞), also
ist { xynn − αβ }n Nullfolge, wie behauptet.
q.e.d.
Beispiele:
1. Die konstante Folge {a}n = {a, a, a, . . .} für ein a ∈ R konvergiert trivialerweise
gegen a.
2. limn→∞
3n
n+1
= 3. Denn es gilt für beliebiges ε > 0:
3
3n
3n − 3(n + 1) − 3 = < ε,
=
n+1
n+1
n+1
falls n ≥ N (ε) mit N (ε) ≥ 3ε .
3. limn→∞ 2nn = 0. Mit vollständiger Induktion zeigt man nämlich 2n ≥ n2 für alle n ≥ 4
(Übungsaufgabe). Es folgt 21n ≤ n12 bzw. 2nn ≤ n1 und somit
n
1
n
n − 0 = n ≤ < ε
2
2
n
{ 1}
für n ≥ N > max 3,
.
ε
30
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
4. Die Folge {xn }n = {(−1)n }n konvergiert nicht. Sonst müsste z.B. für ε = 1 ein
N ∈ N existieren mit |xn − α| < 1 für alle n ≥ N , wobei α ∈ R der Grenzwert
der Folge sei. Insbesondere für xn und xn+1 mit n ≥ N hätten wir dann den
Widerspruch
2 = |xn − xn+1 | ≤ |xn − α| + |xn+1 − α| < 2.
Also ist {(−1)n }n divergent.
5. limn→∞
5n3 +8n2
n3 −4
= 5. Wir kürzen
5 + 8 n1
5n3 + 8n2
=
.
n3 − 4
1 − n43
Da { n1 }n Nullfolge ist, konvergieren nach Satz 4.1 (a) und Folgerung 4.1 auch
{5 + 8 n1 }n und {1 − 4 n13 }n , nämlich gegen 5 bzw. 1. Satz 4.1 (b) liefert dann
lim (5 + 8 n1 )
5
5n3 + 8n2
n→∞
=
= = 5.
lim
4
n→∞ n3 − 4
1
lim (1 − n3 )
n→∞
Bevor wir weitere Beispiele untersuchen, benötigen wir noch die folgende
Deﬁnition 4.3: Eine Folge {xn }n ⊂ R heißt nach oben (bzw. unten) beschränkt,
falls ein c ∈ R existiert mit
xn ≤ c
(bzw. xn ≥ c)
für alle n ∈ N.
Falls sogar |xn | ≤ c für alle n ∈ N gilt, heißt die Folge beschränkt.
Bemerkung: Eine Folge ist genau dann beschränkt, wenn sie nach oben und unten
beschränkt ist.
Satz 4.2: Jede konvergente Folge {xn }n ⊂ R ist beschränkt.
Beweis: Zu ε = 1 existiert ein N ∈ N mit |xn − α| < 1 für alle n ≥ N , wobei
α = limn→∞ xn sei. Wir haben also
|xn | ≤ |xn − α| + |α| < 1 + |α|
für alle n ≥ N.
Also ist {xn }n beschränkt mit c := max{1 + |α|, |x1 |, . . . , |xN −1 |}.
q.e.d.
Bemerkung: Die Umkehrung des Satzes gilt natürlich nicht; z.B. ist {(−1)n }n oﬀenbar beschränkt aber nach obigem Beispiel 4 nicht konvergent.
4. FOLGEN UND REIHEN
31
Beispiele:
1. Fibonacci-Zahlen: f1 := 0, f2 := 1 und rekursiv fn := fn−1 + fn−2 . Das gibt {fn }n =
{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .}.
Die Folge {fn }n ist unbeschränkt: Durch vollständige Induktion zeigt man nämlich fn ≥ n−2
für alle n ∈ N, und {n − 2}n ist oﬀensichtlich nicht nach oben beschränkt. Nach Satz 4.2 ist
die Folge der Fibonacci-Zahlen also divergent.
2. Die Folge {xn }n für ein x ∈ R. Das Konvergenzverhalten hängt von x ab, wir
unterscheiden vier Fälle.
(i) Für |x| < 1 gilt limn→∞ xn = 0, da nach Hilfssatz 3.1 (b) – der nun
natürlich auch in R gilt – zu jedem ε > 0 ein N = N (ε) ∈ N existiert mit
|x|N < ε und folglich
|xn − 0| = |x|n ≤ |x|N < ε
für alle n ≥ N (ε).
(ii) Für x = 1 haben wir die konstante Folge {1n }n = {1}n mit limn→∞ 1n =
1.
(iii) Für x = −1 haben wir die divergente Folge {(−1)n }n .
(iv) Für |x| > 1 ist {xn }n unbeschränkt nach Hilfssatz 3.1 (a), also divergent
gemäß Satz 4.2.
Deﬁnition 4.4: (Bestimmte Divergenz)
Eine Folge {xn }n ⊂ R heißt bestimmt divergent gegen +∞ (bzw. gegen −∞), wenn
zu jedem c ∈ R ein N ∈ N existiert, so dass
xn > c
(bzw. xn < c)
für alle n ≥ N
richtig ist. Wir schreiben dann
lim xn = +∞
n→∞
(bzw. lim xn = −∞).
n→∞
Bemerkung: Oﬀensichtlich divergiert {xn }n genau dann bestimmt gegen +∞, wenn
{−xn }n bestimmt gegen −∞ divergiert.
Beispiele:
1. Die Folge {n}n divergiert bestimmt gegen +∞. Das erklärt auch die Schreibweise limn→∞ , die nun eigentlich genauer limn→+∞ lauten müsste.
2. Nach obigem Beispiel divergiert die Folge der Fibonacci-Zahlen bestimmt gegen +∞.
3. Für b > 1 divergiert {bn }n bestimmt gegen +∞, vgl. Hilfssatz 3.1 (a).
32
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
4. Die Folge {(−1)n n}n ist divergent, aber nicht bestimmt divergent. Ist nämlich (−1)n n > c
für ein n ∈ N und ein c ≥ 21 , so folgt für das (n + 1)-te Glied der Folge:
(−1)n+1 (n + 1) = −(−1)n n − (−1)n < −c + 1 ≤ c.
Satz 4.3:
(a) Es sei {xn }n ⊂ R bestimmt divergent gegen +∞ oder −∞. Dann gilt xn ̸= 0
für alle n ≥ n0 mit einem n0 ∈ N, und {xn−1 }n≥n0 ist eine Nullfolge.
(b) Es sei {xn }n Nullfolge mit xn > 0 (bzw. xn < 0) für alle n ≥ N . Dann ist
{x−1
n }n≥N bestimmt divergent gegen +∞ (bzw. gegen −∞).
Beweis: Wir zeigen nur (a) und überlassen (b) zur Übung.
Sei {xn }n bestimmt divergent gegen +∞. Dann existiert zu beliebigem ε > 0 ein
N (ε) ∈ N mit xn > 1ε für alle n ≥ N (ε). Insbesondere folgt xn > 0 für n ≥ n0 :=
N (1). Weiter ﬁnden wir
0 < x−1
n <ε
bzw.
|x−1
n |<ε
für alle n ≥ N (ε),
d.h. {x−1
n }n≥n0 ist Nullfolge. Gilt schließlich limn→∞ xn = −∞, so gehen wir zur
negativen Folge {−xn }n über.
q.e.d.
Bemerkung: Mit den Symbolen +∞, −∞ wird R zu der erweiterten Zahlengeraden
R := {−∞} ∪ R ∪ {+∞}, die wir gemäß −∞ < x < +∞ für alle x ∈ R anordnen
können. Allerdings ist R kein Körper, wie auch immer Addition und Multiplikation
in R erklärt werden.
Deﬁnition 4.5: (Unendliche Reihen)
Sei {xk }k ⊂ R eine Folge, so erklären wir die zugehörigen Partialsummen
sn :=
n
∑
xk = x1 + x2 + . . . + xn .
k=1
Die Folge {sn }n ⊂ R der Partialsummen heißt dann (unendliche) Reihe. Konvergiert
{sn }n , so sagen wir, dass die zugehörige Reihe konvergiert und schreiben für den
Grenzwert
(∑
)
∞
n
∑
xk := lim sn = lim
xk .
k=1
n→∞
n→∞
k=1
4. FOLGEN UND REIHEN
33
Bemerkungen:
∑
1. Etwas lax schreiben wir meist auch ∞
k=1 xk für die Folge der Partialsummen,
also als Symbol für die Reihe selbst (unabhängig von deren Konvergenz).
2. Eine Reihe ist also eine spezielle Folge, nämlich die von Partialsummen. Umgekehrt kann man jede Folge {yn }n auch durch eine Reihe darstellen, denn es
gilt
n
∑
yn = y1 +
(yk − yk−1 )
(Teleskopsumme).
k=2
auf ∑
die Folge der Partialsummen ergibt sich
3. Aus Folgerung 4.1 angewendet
∑∞
sofort:∑Konvergieren k=1 xk und ∞
k=1 yk und sind a, b ∈ R, so konvergiert
auch ∞
(ax
+
by
),
und
es
gilt
k
k
k=1
∞
∑
(axk + byk ) = a
∞
∑
xk + b
yk .
k=1
k=1
k=1
∞
∑
Beispiele:
1. Es gilt limn→∞
n
n+1
= limn→∞
yk − yk−1 =
1
1
1+ n
= 1. Setzen wir yn =
n
,
n+1
so folgt andererseits
k 2 − (k2 − 1)
k
k−1
1
−
=
=
k+1
k
k(k + 1)
k(k + 1)
für k ≥ 2
und somit
∑
∑
n
1 ∑
1
1
= yn = y1 +
(yk − yk−1 ) = +
=
.
n+1
2
k(k + 1)
k(k + 1)
n
n
n
k=2
k=2
k=1
Wir erhalten also
∞
∑
k=1
∑
1
1
n
= lim
= lim
= 1.
n→∞
n→∞ n + 1
k(k + 1)
k(k + 1)
n
k=1
2. Unendliche geometrische Reihe:
∞
∑
xk . Für |x| < 1 gilt nach Satz 2.3 und
k=0
einem der obigen Beispiele:
∞
∑
k=0
k
x = lim
n→∞
n
∑
k=0
)
1 − xn+1
1 (
1
=
1 − x lim xn =
. (4.1)
n→∞ 1 − x
n→∞
1−x
1−x
xk = lim
34
5
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Vollständigkeit reeller Zahlen
Wir widmen uns nun wieder dem Studium der reellen Zahlen. Insbesondere werden
wir die sogenannte Vollständigkeit“ von R beweisen, die der eigentliche Grund für
”
die Konstruktion von R war und die reellen Zahlen gegenüber den rationalen Zahlen
auszeichnet. Aus der Vollständigkeit folgt auch die Lösbarkeit der Gleichung xs = c
in R, wobei s ∈ N beliebig und c ∈ R positiv ist. Wir beginnen mit der
Deﬁnition 5.1: Eine Menge M ⊂ R heißt dicht in R, falls es zu jedem x ∈ R eine
Folge {xn }n ⊂ M so gibt, dass lim xn = x gilt.
n→∞
Bemerkung: Ist M ⊂ R dicht in R, so lässt sich jede reelle Zahl also beliebig gut
durch Elemente aus M approximieren. Natürlich liegt R selbst dicht in R. Erstes
Hauptziel des Paragraphen ist der folgende
Satz 5.1: Q liegt dicht in R.
Für den Beweis benötigen wir noch die anschließende einfache Folgerung des
Archimedischen Axioms:
Hilfssatz 5.1: Zu jeder Zahl x ∈ R existiert genau ein ν ∈ Z, so dass ν ≤ x < ν + 1
richtig ist.
Beweis: Übungsaufgabe!
Beweis von Satz 5.1: Zu gegebenem x ∈ R konstruieren wir mittels vollständiger
Induktion eine Folge {xn }n ⊂ Q von Dezimalbrüchen
xn =
n
∑
ak · 10−k ∈ Q mit a0 ∈ Z,
ak ∈ {0, 1, . . . , 9}
für k ∈ N,
k=0
so dass xn → x (n → ∞) erfüllt ist.
1. Sei zunächst 0 ≤ x < 1 richtig. Wir behaupten, dass dann eine Folge {ak }k ⊂
{0, 1, . . . , 9} und eine Nullfolge {ξn }n ⊂ R so existieren, dass für alle n ∈ N
gilt
n
∑
x=
ak · 10−k + ξn und 0 ≤ ξn < 10−n .
(5.1)
k=1
Oﬀenbar folgt daraus die Behauptung mit a0 = 0.
(IA) n = 1. Wegen 0 ≤ x · 10 < 10 und Hilfssatz 5.1 existiert ein a1 ∈
{0, 1, 2, . . . , 9}, so dass a1 ≤ x·10 < a1 +1 richtig ist. Mit ξ1 := x−a1 ·10−1
haben wir dann
x = a1 · 10−1 + ξ1
und 0 ≤ ξ1 < 10−1 .
5. VOLLSTÄNDIGKEIT REELLER ZAHLEN
35
(IS) n → n + 1: Angenommen wir haben die Darstellung (5.1) für ein n ∈ N.
Dann ist 0 ≤ ξn ·10n+1 < 10 richtig und wieder nach Hilfssatz 5.1 existiert
ein an+1 ∈ {0, 1, . . . , 9} mit an+1 ≤ ξn · 10n+1 < an+1 + 1. Setzen wir noch
ξn+1 := ξn − an+1 · 10−(n+1) , so ﬁnden wir
(IV )
x =
n
∑
ak 10−k + ξn =
k=1
n+1
∑
ak · 10−k + ξn+1
k=1
und 0 ≤ ξn+1 < 10−(n+1) , wie behauptet.
2. Sei nun x ∈ R beliebig. Nach Hilfssatz 5.1 existiert ein ν ∈ Z mit ν ≤ x < ν +1.
Dann gilt für y :=
∑x − ν natürlich 0 ≤ y < 1 und nach 1) existiert eine Folge
{yn }n mit yn = nk=1 ak · 10−k , ak ∈ {0, 1, . . . , 9}, so dass yn → y (n → ∞)
richtig ist. Also hat xn := ν + yn die gesuchte Form mit a0 := ν ∈ Z, und es
gilt xn → x (n → ∞), wie behauptet.
q.e.d.
Bemerkung: Der Beweis von Satz 5.1 bestätigt übrigens unsere Vorstellung, dass
sich jede reelle Zahl als (unendlicher) Dezimalbruch darstellen lässt. Wir haben hier
nämlich
∞
∑
ak · 10−k = a0 , a1 a2 a3 . . .
x = lim
n→∞
k=0
gezeigt. Allerdings ist diese Darstellung nicht eindeutig, denn z.B. lässt sich die Zahl
1 sowohl als 1, 00000 . . . schreiben, als auch als
0, 999999 . . . =
∞
∑
n=1
9 · 10−n = 9 ·
∞ (
∑
1 )n
9
(4.1)
−9 =
1 − 9 = 1.
10
1
−
10
n=0
Das zentrale Ergebnis dieses Paragraphen (und eigentlich des gesamten Kapitels)
ist nun der folgende
Satz 5.2: (Cauchysches Konvergenzkriterium)
Eine Folge {xn }n ⊂ R ist genau dann konvergent, wenn {xn }n eine Cauchyfolge ist.
Deﬁnition 5.2: Ein bewerteter Körper K heißt vollständig, wenn jede Cauchyfolge
{xn }n ⊂ K einen Grenzwert x ∈ K besitzt.
Bemerkungen:
1. Obiger Satz enthält also die Aussage, dass R vollständig ist; genau das ist die
zusätzliche Eigenschaft von R gegenüber Q.
36
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
2. Wir haben Cauchyfolgen und Konvergenz bisher nur in R erklärt. Hierzu
benötigt man aber nur einen Abstandsbegriﬀ“, der in bewerteten Körpern
”
erklärt ist; vgl. Satz 1.4 und die anschließende Bemerkung. Insbesondere ist
Deﬁnition 5.2 in C sinnvoll, vgl. § 7.
Beweis von Satz 5.2:
• ⇒“: Sei {xn }n konvergent mit Grenzwert x ∈ R. Dann existiert zu jedem
”
ε > 0 ein N = N (ε) ∈ N mit |xn − x| < 2ε für alle n ≥ N . Folglich haben wir
|xn − xm | ≤ |xn − x| + |xm − x| < ε
für alle m, n ≥ N (ε),
d.h. {xn }n ist Cauchyfolge.
• ⇐“: Sei nun {xn }n Cauchyfolge. Dann existiert zu beliebigem ε > 0 ein
”
N = N (ε) ∈ N, so dass |xn − xm | < 2ε für alle m, n ≥ N (ε). Zu jedem xn ,
n ∈ N, existiert nach Satz 5.1 ein an ∈ Q mit |xn − an | < 4ε . Somit folgt
|an − am | ≤ |an − xn | + |xn − xm | + |xm − am | < ε
für alle m, n ≥ N (ε).
Also ist {an }n eine rationale Cauchyfolge und nach Hilfssatz 4.1 gilt an →
x (n → ∞) mit der reellen Zahl x := [an ]. Wählen wir noch N̂ (ε) ∈ N so groß,
dass |x − an | < 3ε
4 für alle n ≥ N̂ (ε), so erhalten wir schließlich
|x − xn | ≤ |x − an | + |an − xn | <
3ε ε
+ =ε
4
4
für alle n ≥ N̂ (ε),
d.h. die Folge {xn }n konvergiert gegen x.
q.e.d.
So kompakt sich das Cauchysche Konvergenzkriterium auch formulieren lässt, so
ist es doch etwas unanschaulich. Genau umgekehrt verhält es sich mit dem folgenden,
praktischen Intervallschachtelungs-Prinzip: Zunächst benötigen wir aber noch die
Deﬁnition 5.3: (Intervalle reeller Zahlen)
Zu a, b ∈ R erklären wir:
• oﬀenes Intervall:
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
• abgeschlossenes Intervall:
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.
• halboﬀene Intervalle:
(a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b},
[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b}.
Die Punkte a und b heißen Endpunkte des Intervalls.
5. VOLLSTÄNDIGKEIT REELLER ZAHLEN
37
Bemerkungen:
1. Für a > b sind alle angegebenen Intervalle leer. Für a = b sind oﬀene und
halboﬀene Intervalle leer, während das abgeschlossene Intervall [a, a] nur den
Punkt a enthält.
2. Es kann auch a = −∞ und b = +∞ gewählt werden, wenn der jeweilige
Endpunkt nicht zum Intervall gehört.
3. Mit |I| = diam(I) := b − a ≥ 0 bezeichnen wie den Durchmesser oder Länge
eines nichtleeren Intervalls I mit den Endpunkten a ≤ b. Oﬀensichtlich gilt für
beliebige x, x′ ∈ I dann |x − x′ | ≤ |I|.
Satz 5.3: (Intervallschachtelungsprinzip)
Es sei I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ In ⊃ In+1 ⊃ . . . eine absteigende Folge von nichtleeren
abgeschlossenen Intervallen in R mit der Eigenschaft
lim |In | = 0.
(5.2)
∩
Dann gibt es genau eine reelle Zahl x mit x ∈ In für alle n ∈ N, d.h. {x} =
In .
n→∞
n∈N
Bemerkung: Die Aussage scheint oﬀensichtlich: Eine Folge von ineinander liegenden
Intervallen, deren Durchmesser gegen 0 geht, zieht sich auf einen Punkt zusammen.
Jedoch wird die Aussage in Q falsch, da der gemeinsame Punkt dann keine rationale
Zahl sein muss.
Beweis von Satz 5.3: Schreiben wir In = [an , bn ], so besagt Formel (5.2), dass zu
jedem ε > 0 ein N = N (ε) ∈ N existiert mit 0 ≤ bn − an < ε für alle n ≥ N (ε). Sind
nun m, n ≥ N , so folgt am , an ∈ IN und somit
|an − am | ≤ |IN | = bN − aN < ε
für alle m, n ≥ N (ε),
d.h. {an }n ist eine Cauchyfolge. Nach Satz 5.2 existiert daher ein Punkt x ∈ R mit
limn→∞ an = x.
Nun gilt am ≤ an ≤ bm für beliebiges m ∈ N und alle n ≥ m. Gemäß Satz 4.1 (c)
liefert der Grenzübergang n → ∞ nun am ≤ x ≤∩bm bzw. x ∈ Im für alle m ∈ N.
Gäbe es schließlich ein weiteres Element x′ ∈ n∈N In , so hätten wir für beliebiges
ε > 0:
|x − x′ | ≤ bN − aN < ε
mit dem oben bestimmten N = N (ε). Also folgt x = x′ .
q.e.d.
Bemerkung: Die Konstruktion
zeigt, dass für eine Intervallschachtelung mit In =
∩
[an , bn ] und {x} =
In gilt
n∈N
lim an = x = lim bn .
n→∞
n→∞
38
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Satz 5.4: Sei c > 0 eine beliebige reelle Zahl. Dann besitzt die Gleichung xs = c für
jedes s ∈ N genau eine positive Lösung x ∈ R.
Beweis:
• Eindeutigkeit: Sind x1 , x2 ∈ R zwei positive Lösungen von xs1 = xs2 = c, so folgt aus der
Summenformel der geometrischen Reihe:
0 = xs1 − xs2 = (x1 − x2 )
s−1
∑
xj1 x2s−j−1 ,
j=0
also x1 = x2 .
• Existenz:
(i) Sei zunächst c ∈ (0, 1). Wir konstruieren induktiv eine Intervallschachtelung I1 ⊃ I2 ⊃
. . ., für die gilt:
( 1 )n−1
In := [an , bn ], |In | =
, asn ≤ c ≤ bsn für alle n ∈ N.
(5.3)
2
Setzen wir I1 = [a1 , b1 ] := [0, 1], so gilt (5.3) oﬀenbar für n = 1. Haben wir die gesuchte
Schachtelung bis zu einem n ∈ N konstruiert, so setzen wir xn := 21 (an + bn ) ∈ In und
erklären
{
[an , xn ], falls xsn ≥ c
In+1 = [an+1 , bn+1 ] :=
.
[xn , bn ], falls xsn < c
Dann ist oﬀenbar In+1 ⊂ In richtig, und wir haben |In+1 | = 21 ( 12 )n−1 = ( 21 )n sowie
asn+1 ≤ c ≤ bsn+1 , also (5.3) für n + 1.
∩
Nach Satz 5.3 existiert nun genau ein x ∈ n∈N In , d.h. an ≤ x ≤ bn und somit
s
s
s
an ≤ x ≤ bn für alle n ∈ N. Nun liefert auch Jn := [asn , bsn ] eine Intervallschachtelung,
denn oﬀenbar gilt Jn+1 ⊂ Jn für alle n ∈ N und wir berechnen
|Jn | = bsn − asn = (bn − an )
Da aber nun c, xs ∈
∩
n∈N
( 1 )n−1
→ 0 (n → ∞).
ajn bs−j−1
≤s
n
2
j=0
s−1
∑
Jn richtig ist, liefert Satz 5.3: xs = c.
(ii) Für c = 1 löst oﬀenbar x = 1 die Gleichung xs = c. Für c > 1 ist c̃ := c−1 ∈ (0, 1)
erfüllt. Mit der in (i) konstruierten positiven Lösung x̃ der Gleichung x̃s = c̃ löst dann
x := x̃−1 > 0 die Gleichung xs = c.
q.e.d.
Deﬁnition 5.4: Die in Satz 5.4 konstruierte eindeutige Lösung x > 0 von xs = c
√
heißt s-te Wurzel von c > 0, und wir schreiben s c. Ist q = rs ∈ Q (r ∈ Z, s ∈ N)
beliebig, so setzen wir für die q-te Potenz von c > 0:
√
r
cq = c s := ( s c)r .
Bemerkung: Für alle x, y > 0 und p, q ∈ Q gelten die Rechenregeln
xp y p = (xy)p ,
xp xq = xp+q ,
(xp )q = xpq .
Ebenfalls mittels Intervallschachtelung beweisen wir den fundamentalen
5. VOLLSTÄNDIGKEIT REELLER ZAHLEN
39
Satz 5.5: (Bolzano–Weierstraß)
Jede beschränkte Folge {xn }n ⊂ R besitzt eine konvergente Teilfolge.
Beweis: Da {xn }n beschränkt ist, existiert ein c > 0 mit −c ≤ xn ≤ c für alle n ∈ N.
Wir konstruieren nun eine Intervallschachtelung I1 ⊃ I2 ⊃ . . . mit den Eigenschaften
• Ik enthält unendlich viele Glieder der Folge {xn }n ,
• |Ik | = 2c · ( 12 )k−1 für alle k ∈ N.
Wir starten dazu mit I1 := [−c, c] und deﬁnieren im k-ten Schritt Ik+1 wie folgt: Ist
Ik = [ak , bk ], so setzen wir yk := 12 (ak + bk ) und erklären


 [ak , yk ], falls [ak , yk ] unendlich viele Glieder
von {xn }n enthält
Ik+1 = [ak+1 , bk+1 ] :=
.


[yk , bk ], sonst
Wir konstruieren nun eine Teilfolge {xnk }k mit xnk ∈ Ik für alle k ∈ N induktiv wie
folgt:
• Für k = 1 setzen wir n1 = 1, also xn1 = x1 ∈ I1 .
• Ist xnk ∈ Ik für ein k ∈ N, so existiert per Konstruktion ein nk+1 > nk mit
xnk+1 ∈ Ik+1 (da in Ik+1 wieder unendlich viele Glieder von {xn }n liegen).
Wir haben also ak ≤ xnk ≤ bk für alle k ∈ N. Nach Satz 5.3 und der anschließenden
Bemerkung liefert der Grenzübergang k → ∞:
x = lim ak ≤ lim xnk ≤ lim bk = x
k→∞
k→∞
k→∞
mit einem x ∈ R. Also konvergiert {xnk }k gegen x, wie behauptet.
q.e.d.
Deﬁnition 5.5: x ∈ R heißt Häufungswert einer Folge {xn }n , wenn es eine Teilfolge {xnk }k gibt mit lim xnk = x.
k→∞
Satz 5.5 besagt also: Jede beschränkte Folge hat einen Häufungswert.
Beispiele:
1. {(−1)n }n besitzt die Häufungswerte −1 und +1.
2. {n}n besitzt keine Häufungswerte, da jede Teilfolge unbeschränkt und damit
nach Satz 4.2 divergent ist.
3. Es gibt aber auch unbeschränkte Folgen mit Häufungswerten, z.B. hat {[1 +
(−1)n ]n}n den Häufungswert 0, da gilt x2k−1 = 0 für alle k ∈ N.
40
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Deﬁnition 5.6: Eine Folge {xn }n ⊂ R heißt
(i) monoton wachsend (bzw. fallend), falls xn ≤ xn+1 (bzw. xn ≥ xn+1 ) für alle
n ∈ N gilt.
(ii) streng monoton wachsend (bzw. fallend), falls xn < xn+1 (bzw. xn > xn+1 )
für alle n ∈ N richtig ist.
Bemerkung: Die Sprechweise ist leider nicht eindeutig. In der Literatur wird häuﬁg
z.B. für monoton wachsende Folge auch schwach monoton wachsende“ oder mo”
”
noton nicht fallende“ Folge geschrieben.
Satz 5.6: (Monotone Konvergenz)
Jede beschränkte monotone Folge {xn }n ⊂ R ist konvergent.
Beweis: Sei {xn }n monoton fallend. Da {xn }n beschränkt ist, existiert nach dem Satz von BolzanoWeierstraß eine konvergente Teilfolge {xnk }k . Aus der Relation xnk ≥ xnl für alle k ≤ l erhalten
wir nach Grenzübergang l → ∞ die Ungleichung
xnk ≥ x := lim xnl
l→∞
für alle k ∈ N.
Zu beliebigem ε > 0 gibt es nun ein k0 = k0 (ε) ∈ N mit |xnk − x| < ε für alle k ≥ k0 (ε). Wir setzen
N = N (ε) := nk0 (ε). Für jedes n ≥ N existiert dann ein k ≥ k0 mit nk ≤ n < nk+1 . Die Monotonie
liefert nun
xnk ≥ xn ≥ xnk+1 ≥ x,
bzw. xnk − x ≥ xn − x ≥ 0. Zusammen mit der Konvergenz der Teilfolge {xnk }k folgt
|xn − x| ≤ |xnk − x| < ε
für alle n ≥ N (ε),
wie behauptet. Der Fall einer monoton wachsenden Folge {xn }n ergibt sich nun durch Übergang
zur monoton fallenden Folge {−xn }n .
q.e.d.
Bemerkung: Satz 5.6 liefert ein handliches Konvergenzkriterium. Z.B. ist jeder Dezimalbruch monoton wachsend.; vgl. Satz 5.1. Übrigens ist jede monoton wachsende
Folge nach unten beschränkt, nämlich durch x1 . Entsprechend ist jede monoton
fallende Folge nach oben durch x1 beschränkt.
6
Punktmengen in R
Ist M eine Menge mit endlich vielen Elementen, so kann man diese mittels 1, 2, . . . , n
durchnummerieren: M = {a1 , a2 , . . . , an } mit n = Anzahl der Elemente. Wir sagen,
M ist abzählbar. Um die Situation für unendliche Mengen zu untersuchen, erinnern
wir zunächst an den Begriﬀ einer Bijektion oder bijektiven Abbildung f : M → N
zwischen zwei Mengen M, N :
• f ist surjektiv, falls zu jedem y ∈ N ein x ∈ M mit f (x) = y existiert,
d.h. f (M ) = N .
6. PUNKTMENGEN IN R
41
• f ist injektiv, falls für x1 , x2 ∈ M mit x1 ̸= x2 gilt f (x1 ) ̸= f (x2 ).
• f ist bijektiv, wenn f surjektiv und injektiv ist.
Deﬁnition 6.1: Eine unendliche Menge M heißt (unendlich) abzählbar, wenn eine
Bijektion f : N → M existiert. Anderenfalls heißt M überabzählbar.
Bemerkungen:
1. Ist M unendlich abzählbar, so gibt es also eine Folge {xn }n , so dass M = {xn :
n ∈ N}. Wir schreiben auch kurz (und etwas unexakt) M = {xn }n .
2. Zwei Mengen M, N , für die eine Bijektion f : M → N existiert, heißen
gleichmächtig. Eine unendlich abzählbare Menge ist also gleichmächtig zu den
natürlichen Zahlen.
Beispiele:
1. Die Menge N der natürlichen Zahlen ist abzählbar mit der identischen Abbildung f : N → N, n 7→ n.
2. Die ganzen Zahlen Z sind abzählbar mit der Bijektion
{ 1
falls n gerade ist
2 n,
,
f (n) :=
1
(1
−
n),
falls
n
ungerade
ist
2
n ∈ N.
3. Sind M und N abzählbar, so ist auch M ∪ N abzählbar. Deutlich allgemeiner
gilt der folgende
Satz 6.1: Die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen Mn , n ∈ N, ist
abzählbar.
Beweis: Wir schreiben Mn = {xnm : m ∈ N} für n ∈ N. Die Elemente der Vereinigungsmenge
∪
Mn = {xnm : m, n ∈ N}
n∈N
können wir wie folgt abzählen:
M1 :
M2 :
M3 :
M4 :
..
.
x11 →
↙
x21
↓ ↗
x31
↙
x41
↓
x12
x22
x32
x42
.
↗ ..
x13 → x14
↗
↙
x23
x24
↙
↗
x33
x34
↗
x43
x44
..
..
.
.
...
↗
...
... ,
...
42
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
also mit der Abzählung y1 := x11 , y2 := x12 , y3 := x21 , y4 := x31 , . . . Eventuell
doppelt auftretende Elemente werden bei der Abzählung einfach übergangen.
q.e.d.
Folgerung 6.1: Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar.
Beweis: Wir setzen Mn := { m
n : m ∈ Z} für n ∈ N. Da Z abzählbar ist, ist auch
Mn abzählbar für jedes n ∈ N. Und nach Satz 6.1 gilt dies auch für die Vereinigung
{m
}
∪
Mn =
: m ∈ Z, n ∈ N = Q,
n
n∈N
wie behauptet.
q.e.d.
Folgerung 6.1 besagt, dass die rationalen Zahlen gleichmächtig zu den natürlichen Zahlen sind. Diese Aussage wird für die reellen Zahlen falsch:
Satz 6.2: Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar.
Beweis (Cantorsches Diagonalverfahren): Wir zeigen, dass bereits die Menge (0, 1) = {x ∈ R : 0 <
x < 1} überabzählbar ist. Wäre nämlich (0, 1) abzählbar, so gäbe es eine Folge {xn }n mit (0, 1) =
∞
∑
{xn : n ∈ N}. Nach Satz 5.1 können wir jedes xn als Dezimalbruch darstellen: xn =
anm · 10−m
m=1
mit anm ∈ {0, 1, . . . , 9} für alle n, m ∈ N, also
x1 = 0, a11 a12 a13 a14 . . . ,
x2 = 0, a21 a22 a23 a24 . . . ,
x3 = 0, a31 a32 a33 a34 . . . ,
x4 = 0, a41 a42 a43 a44 . . .
Wir betrachten nun y =
∞
∑
cm · 10−m ∈ (0, 1) mit
m=1
{
cm :=
amm + 2,
falls amm ≤ 4,
amm − 2,
falls amm > 4
.
Dann gilt also |cm − amm | = 2 für alle m ∈ N. Also unterscheidet sich y von xm an der m-ten
Nachkommastelle mindestens um 2, so dass folgt
|y − xm | ≥ 10−m
für alle m ∈ N
und insbesondere y ̸∈ {xn : n ∈ N}. Also war die Annahme falsch, d.h. (0, 1) und damit auch R
sind überabzählbar.
q.e.d.
Folgerung 6.2: Die Menge der irrationalen Zahlen R \ Q ist überabzählbar.
Beweis: Anderenfalls wäre nach Folgerung 6.1 auch (R \ Q) ∪ Q = R abzählbar, im
Widerspruch zu Satz 6.2.
q.e.d.
Wir untersuchen nun Teilmengen von R genauer und beginnen mit der
6. PUNKTMENGEN IN R
43
Deﬁnition 6.2: Eine Menge M ⊂ R heißt nach oben (bzw. unten) beschränkt,
wenn ein c ∈ R existiert mit
x≤c
(bzw. x ≥ c)
für alle x ∈ M.
Man nennt dann c obere (bzw. untere) Schranke von M . Schließlich heißt die Menge
M beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
Bemerkungen:
1. M ist genau dann beschränkt, wenn ein c > 0 existiert mit |x| ≤ c für alle
x ∈ M.
2. Die zu einer beschränkten Folge {xn }n ⊂ R gehörige Menge {xn : n ∈ N} ist
oﬀenbar beschränkt.
Deﬁnition 6.3:
(a) Ist M ⊂ R nach oben beschränkt, so heißt σ ∈ R kleinste obere Schranke oder
Supremum von M , i.Z. σ = sup M , falls folgendes gilt:
(i) σ ist obere Schranke von M , d.h. x ≤ σ für alle x ∈ M .
(ii) Für jede weitere obere Schranke σ̂ von M gilt σ ≤ σ̂.
(b) Entsprechend heißt τ ∈ R größte untere Schranke oder Inﬁmum, i.Z. τ =
inf M , zu einer nach unten beschränkten Menge M ⊂ R, wenn gilt
(i) τ ist untere Schranke von M .
(ii) Für jede weitere untere Schranke τ̂ von M gilt τ ≥ τ̂ .
Aus der Deﬁnition ist sofort klar, dass Inﬁmum und Supremum, wenn sie existieren, eindeutig bestimmt sind. Außerdem haben wir die folgende Charakterisierung
von Inﬁmum und Supremum:
Hilfssatz 6.1: Sei M ⊂ R nach oben beschränkt. Dann gilt σ = sup M genau dann,
wenn σ obere Schranke ist und zu jedem ε > 0 ein x ∈ M existiert mit x ≥ σ − ε.
Entsprechend ist τ = inf M für eine nach unten beschränkte Menge M ⊂ R genau
dann richtig, wenn τ untere Schranke ist und zu jedem ε > 0 ein x ∈ M existiert
mit x ≤ τ + ε.
Beweis: Übungsaufgabe!
Satz 6.3: Jede nichtleere, nach oben (bzw. unten) beschränkte Menge M ⊂ R besitzt
ein Supremum (bzw. Inﬁmum).
44
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Beweis: Wir zeigen nur die Existenz des Supremums. Die des Inﬁmums folgt dann
durch Übergang zur Menge −M := {x ∈ R : −x ∈ M }.
Zum Beweis betrachten wir wieder eine Intervallschachtelung: Wir konstruieren
Intervalle In = [xn , cn ] mit In+1 ⊂ In für alle n ∈ N, so dass gilt:
|In | ≤
( 1 )n−1
2
(c1 − x1 ),
xn ∈ M,
cn ist obere Schranke an M.
(6.1)
• n = 1: Da M nichtleer und nach oben beschränkt ist, existiert ein x1 ∈ M und
ein c1 mit x ≤ c1 für alle x ∈ M .
• n → n + 1: Sei In = [xn , cn ] konstruiert mit den Eigenschaften (6.1). Dann
setzen wir yn := 12 (xn + cn ) und erklären In+1 wie folgt:
(i) Falls M ∩ [yn , cn ] = ∅, dann ist yn obere Schranke an M und wir setzen
xn+1 := xn ∈ M , cn+1 := yn .
(ii) Falls M ∩ [yn , cn ] ̸= ∅, so existiert ein xn+1 ≥ yn mit xn+1 ∈ M . Dann
setzen wir cn+1 := cn .
Oﬀenbar ist dann (6.1) erfüllt für In+1 und wir haben In+1 ⊂ In .
Nach Satz 5.3 und der
∩ anschließenden Bemerkung konvergieren die Folgen {xn }n
und {cn }n gegen σ ∈ n∈N In . Wir zeigen noch σ = sup M :
Wegen x ≤ cn für alle x ∈ M und n ∈ N liefert Grenzübergang x ≤ σ für alle
x ∈ M , d.h. σ ist obere Schranke. Gäbe es eine obere Schranke σ̂ < σ, so wäre
σ − σ̂ > 0. Wegen limn→∞ xn = σ existierte dann ein N ∈ N mit |xN − σ| < σ − σ̂
und folglich
xN ≥ σ − |xN − σ| > σ − (σ − σ̂) = σ̂,
im Widerspruch zu xN ∈ M .
q.e.d.
Beispiele:
1. Sei [a, b) ein halboﬀenes Intervall mit a < b. Dann gilt
inf[a, b) = a,
sup[a, b) = b.
In der Tat ist a oﬀenbar untere Schranke von [a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b}. Und jede weitere
untere Schranke a′ muss a′ ≤ a erfüllen, d.h. a = inf[a, b).
Andererseits ist oﬀenbar b obere Schranke für [a, b). Und ist ε > 0 beliebig gewählt, so setzen
wir x := max{a, b − ε}. Dann ist x ∈ [a, b) und x ≥ b − ε richtig, und nach Hilfssatz 6.1 gilt
b = sup[a, b).
: n ∈ N} ist inf A = 1 erfüllt, denn es gelten n+1
> 1 für alle n ∈ N und
2. Für A := { n+1
n
n
n+1
≤
1
+
ε
für
beliebiges
ε
>
0
und
hinreichend
großes n ∈ N.
lim n = 1, also auch n+1
n
n→∞
6. PUNKTMENGEN IN R
45
Bemerkungen:
1. Obige Beispiele zeigen, dass inf M zur Menge M dazu gehören kann oder nicht.
Wenn inf M ∈ M gilt, so schreiben wir auch min M := inf M für das Minimum
von M . Ebenso sprechen wir vom Maximum von M , falls sup M ∈ M gilt und
schreiben dann max M := sup M . Man beachte, dass für Mengen mit endlich
vielen Elementen immer min M = inf M und max M = sup M erfüllt sind.
2. Für nach oben bzw. nach unten unbeschränkte Mengen M ⊂ R schreiben wir
auch
sup M = +∞ bzw. inf M = −∞.
Wir wenden uns nun wieder reellen Folgen zu. In Deﬁnition 5.5 haben wir den
Begriﬀ des Häufungswertes einer Folge {xn }n als Grenzwert einer Teilfolge {xnk }k
erklärt. Betrachtet man alle Häufungswerte einer Folge, wird man auf die folgenden
Begriﬀe geführt:
Deﬁnition 6.4: Sei {xn }n ⊂ R eine beschränkte Folge und bezeichne H die Menge
ihrer Häufungswerte. Wir setzen dann
lim inf xn := inf H
(Limes inferior),
n→∞
lim sup xn := sup H
(Limes superior).
n→∞
Bemerkung: Oﬀenbar ist H beschränkt, wenn {xn }n beschränkt ist. Man beachte
noch
lim inf (−xn ) = − lim sup xn , lim sup(−xn ) = − lim inf xn .
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Beispiel: Die Folge {xn }n = {(−1)n + n1 }n ist oﬀenbar beschränkt und wir haben
die konvergenten Teilfolgen
x2k = 1 +
1
→ 1 (k → ∞),
2k
x2k−1 = −1 +
1
→ −1 (k → ∞).
2k − 1
Also gilt H = {−1, 1} und lim inf n→∞ xn = −1, lim supn→∞ xn = 1. Man beachte,
dass lim inf n→∞ xn und lim supn→∞ xn zu H gehören. Dies ist immer so:
Satz 6.4: lim inf n→∞ xn ist der kleinste, lim supn→∞ xn der größte Häufungswert
einer beschränkten Folge {xn }n ⊂ R, d.h.
lim inf xn = min H,
n→∞
lim sup xn = max H.
n→∞
46
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Beweis: Wir haben zu zeigen, dass ξ := lim inf n→∞ xn = inf H ∈ H richtig ist, also eine Teilfolge
{xnk }k mit limk→∞ xnk = ξ existiert. Angenommen es gäbe keine solche Teilfolge. Dann existiert
also ein ε > 0 und ein N ∈ N, so dass
|ξ − xn | ≥ ε
für alle n ≥ N
erfüllt ist. Andererseits ist ξ = inf H, nach Hilfssatz 6.1 gibt es also ein y ∈ H mit
ε
ξ≤y≤ξ+ .
2
(6.2)
(6.3)
Zum Häufungswert y ∈ H existiert eine Teilfolge {xnk }k von {xn }n mit xnk → y (k → ∞).
Wir wählen nun k̂ so groß, dass nk̂ ≥ N und |xnk̂ − y| < 2ε gilt. Wegen ξ ≤ y haben wir dann
ξ − xnk̂ ≤ y − xnk̂ < 2ε und folglich liefert (6.2) sogar ξ ≤ xnk̂ − ε. Aus (6.3) folgt schließlich
xnk̂ <
(6.3)
ε
+ y ≤ ξ + ε ≤ xnk̂ − ε + ε = xnk̂ ,
2
also der Widerspruch xnk̂ < xnk̂ . Somit muss doch lim inf n→∞ xn ∈ H gelten. Durch Übergang zur
Folge {−xn }n folgt schließlich noch lim supn→∞ xn ∈ H.
q.e.d.
Satz 6.5: (Charakterisierung von lim sup)
Sei {xn }n ⊂ R eine beschränkte Folge und η ∈ R. Dann ist η = lim supn→∞ xn
genau dann erfüllt, wenn gilt:
(i) η ist Häufungswert von {xn }n .
(ii) Für alle ε > 0 existiert ein N = N (ε) ∈ N, so dass gilt
xn < η + ε
für alle n ≥ N (ε).
Beweis:
• ⇒“: Sei also η = lim supn→∞ xn . Nach Satz 6.4 ist dann η ∈ H, also (i) erfüllt.
”
Wäre (ii) falsch, so gäbe es ein ε > 0 und eine Teilfolge {x′k }k = {xnk }k mit
x′k ≥ η + ε für alle k ∈ N.
(6.4)
Da {x′k }k beschränkt ist, existiert nach dem Satz von Bolzano–Weierstraß eine
weitere Teilfolge {x′kl }l ⊂ {x′k }k ⊂ {xn }n und ein ζ ∈ R mit x′kl → ζ (l → ∞).
Also ist ζ ∈ H und somit ζ ≤ η. Andererseits liefert aber (6.4) angewendet auf
{x′kl }l nach Grenzübergang l → ∞: ζ ≥ η + ε, Widerspruch!
• ⇒“: Seien nun (i) und (ii) erfüllt. Wäre η ̸= lim supn→∞ xn = max H, so gäbe
”
es ein ζ ∈ H mit ζ > η. Wir setzen ε := ζ−η
2 . Für die Teilfolge {xnk }k mit
limk→∞ xnk = ζ existiert dann ein k̂ ∈ N, so dass nk̂ ≥ N (ε) und |xnk̂ − ζ| < ε
richtig ist. Aus (ii) für n = nk̂ erhalten wir dann
xnk̂ < η + ε = η +
ζ −η
ζ −η
=ζ−
= ζ − ε < xnk̂ ,
2
2
Widerspruch! Also ist η = max H, wie behauptet.
q.e.d.
7. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN
47
Wir halten noch die entsprechende Aussage für den Limes inferior fest:
Satz 6.6: (Charakterisierung von lim inf)
Sei {xn }n eine beschränkte Folge und ξ ∈ R. Dann ist ξ = lim inf n→∞ xn genau
dann erfüllt, wenn gilt:
(i) ξ ist Häufungswert von {xn }n .
(ii) Für alle ε > 0 existiert ein N = N (ε) ∈ N, so dass gilt
xn > ξ − ε
für alle n ≥ N (ε).
Bemerkungen:
1. Ohne Beweis notieren wir die Identitäten
(
)
lim sup xn = lim sup{xk : k ≥ n} ,
n→∞
n→∞
)
(
lim inf xn = lim inf{xk : k ≥ n} .
n→∞
n→∞
Diese Darstellungen werden häuﬁg auch als Deﬁnition von lim sup und lim inf
verwendet. Sie sind zwar etwas unanschaulich, haben aber den Vorteil, dass
sie auch für unbeschränkte Folgen Sinn machen: Ist {xn }n etwa nach oben
unbeschränkt, so ist sup{xk : k ≥ n} = +∞ für alle n ∈ N. Dann setzen wir
lim sup xn = +∞.
n→∞
Entsprechend ist für eine nach unten unbeschränkte Folge
lim inf xn = −∞.
n→∞
2. Als Übungsaufgabe zeige man: Eine Folge {xn }n ⊂ R ist genau dann konvergent gegen α ∈ R, wenn sie beschränkt ist und wenn gilt
lim inf xn = α = lim sup xn .
n→∞
7
n→∞
Die komplexen Zahlen
Ausgehend von der reellen Ebene R2 = R × R der geordneten Paare z = (x, y) ∈ R2 ,
wollen wir nun den Körper der komplexen Zahlen C deﬁnieren. Hierzu erklären wir
Addition und Multiplikation wie folgt: Für z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ) setzen wir
z1 + z2 := (x1 + x2 , y1 + y2 )
(komplexe Addition),
z1 · z2 = z1 z2 := (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 )
(komplexe Multiplikation).
(7.1)
Geometrisch entspricht die Addition in C der Vektoraddition in R2 . Eine geometrische Deutung der komplexen Multiplikation folgt erst im 3. Kapitel.
48
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Satz 7.1: (R2 , +, ·) ist ein Körper mit
Nullelement:
0 := (0, 0),
Einselement:
1 := (1, 0),
negativem Element: zu z = (x, y) setzen wir −z := (−x, −y),
( x
−y )
inversem Element:
zu z = (x, y) ̸= 0 setzen wir z −1 := x2 +y
2 , x2 +y 2 .
Wir schreiben (C, +, ·) oder einfach C für den Körper der komplexen Zahlen.
Beweis:
1. Die Axiome (A1) und (A2) sind oﬀensichtlich, indem man die entsprechenden Gesetze für
R komponentenweise benutzt. Ebenso folgt auch (A3) mit dem oben erklärten Nullelement.
Schließlich haben wir für z = (x, y):
(7.1)
z + (−z) =
(
)
x + (−x), y + (−y) = (0, 0) = 0,
also (A4).
2. (M1) ist wieder klar, da die komplexe Multiplikation symmetrisch bezüglich der Vertauschungen x1 ↔ x2 und y1 ↔ y2 ist. Zum Beweis von (M2) betrachten wir z1 = (x1 , y1 ),
z2 = (x2 , y2 ), z3 = (x3 , y3 ) und berechnen
(z1 z2 )z3 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) · (x3 , y3 )
(
)
= (x1 x2 − y1 y2 )x3 − (x1 y2 + x2 y1 )y3 , (x1 x2 − y1 y2 )y3 + (x1 y2 + x2 y1 )x3
und
z1 (z2 z3 ) = (x1 , y1 ) · (x2 x3 − y2 y3 , x2 y3 + x3 y2 )
(
)
= x1 (x2 x3 − y2 y3 ) − y1 (x2 y3 + x3 y2 ), x1 (x2 y3 + x3 y2 ) + y1 (x2 x3 − y2 y3 ) .
Ein Vergleich der rechten Seiten zeigt (M2). Mit dem oben erklärten Einselement (1, 0) haben
wir für beliebiges z = (x, y) ∈ C:
z · 1 = (x, y) · (1, 0) = (x · 1 − y · 0, x · 0 + y · 1) = (x, y) = z,
also (M3). Schließlich gilt auch (M4), denn wir berechnen mit der Inversen zu z = (x, y) ̸= 0:
( x
−y )
zz −1 = (x, y) ·
,
x2 + y 2 x2 + y 2
(
x
−y
−y
x )
=
x 2
−y 2
,x 2
+y 2
2
2
2
x +y
x +y
x +y
x + y2
= (1, 0) = 1.
3. Das Distributivgesetz lässt sich leicht als Übungsaufgabe nachrechnen.
Bemerkungen:
1. Wir können wieder Subtraktion und Division erklären:
z1 − z2 := z1 + (−z2 ),
z1
:= z1 · z2−1 ,
z2
falls z2 ̸= 0.
q.e.d.
7. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN
49
2. Es gelten alle für beliebige Körper abgeleiteten Rechenregeln. Insbesondere
sind Null- und Einselement sowie negatives und inverses Element eindeutig
bestimmt.
Wir wollen nun den Körper R als Unterkörper von C identiﬁzieren: Hierzu betrachten wir die Teilmenge
{
}
CR := z = (x, y) ∈ C : y = 0 .
Für beliebige z1 = (x1 , 0), z2 = (x2 , 0) ∈ CR erhalten wir dann aus (7.1):
(x1 , 0) + (x2 , 0) = (x1 + x2 , 0),
(x1 , 0) · (x2 , 0) = (x1 · x2 , 0).
Also sind mit z1 , z2 ∈ CR auch z1 + z2 , z1 · z2 ∈ CR . Ferner gilt 0, 1 ∈ CR . Und mit
z ∈ CR ist oﬀenbar auch −z ∈ CR und für z ̸= 0 auch z −1 ∈ CR richtig. Also ist CR
ein Unterkörper von C, d.h. eine Teilmenge von C, die bez. der Rechenoperationen
in C einen Körper bildet.
Da außerdem die komplexe Addition und Multiplikation von Elementen aus CR
in der ersten Komponente den reellen Operationen entsprechen, können wir CR mit
R identiﬁzieren durch den Körperisomorphismus:
i : R → CR ,
x 7→ (x, 0).
In diesem Sinne gilt also
R ⊂ C.
Geometrisch: In der komplexen Ebene C werden die Zahlen auf der x-Achse als
reelle Zahlen aufgefasst; man spricht daher von der reellen Achse. Die y-Achse heißt
imaginäre Achse.
Die wichigste komplexe Zahl ist die imaginäre Einheit
i := (0, 1).
Sie hat die Eigenschaft
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1,
d.h. z = i ist Lösung der Gleichung
z 2 + 1 = 0.
Mit i berechnen wir für beliebige z = (x, y) ∈ C:
x + iy = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = (x, y) = z.
(7.2)
50
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Die linke Seite dieser Gleichung werden wir i.F. als Schreibweise für die komplexe
Zahl z verwenden, also
z = x + iy, x, y ∈ R.
Dabei heißt x Realteil und y Imaginärteil von z, und wir schreiben
x = Re z,
y = Im z.
Zwei Zahlen z1 , z2 ∈ C stimmen genau dann überein, wenn sowohl ihr Real- als auch
ihr Imaginärteil übereinstimmen.
Wir bemerken, dass man mit komplexen Zahlen wie mit reellen rechnen kann,
wenn man (7.2) beachtet. Z.B. ist
z 2 = (x + iy)2 = x2 + 2ixy + (iy)2
(7.2)
= x2 + 2ixy + i2 y 2 = x2 + 2ixy − y 2
richtig, also
Re(z 2 ) = x2 − y 2 ,
Im(z 2 ) = 2xy.
Schließlich sei angemerkt, dass C nicht angeordnet werden kann: Gäbe es nämlich
den Begriﬀ der Positivität, so dass (O1) und (O2) aus Deﬁnition 1.2 erfüllt sind, so
folgte daraus z.B. für i ̸= 0 nach Satz 1.3 (f): i2 > 0. Wegen Formel (7.2) ist aber
i2 = −1 < 0, denn es gilt 1 = 12 > 0, Widerspruch! Wir werden aber gleich sehen,
dass wir C bewerten können.
Deﬁnition 7.1: Sei z = x + iy ∈ C, so heißt
z := x − iy
die konjugiert komplexe Zahl zu z; Sprechweisen: z konjugiert“ oder z quer“. Mit
”
”
√
|z| := x2 + y 2
bezeichnen wir den Betrag von z.
Bemerkungen:
1. Die Konjugation z 7→ z entspricht geometrisch einer Spiegelung an der reellen
Achse. Es gelten die Rechenregeln
1
Re z = (z + z),
2
Im z =
1
(z − z)
2i
(7.3)
sowie
z = z,
z1 + z2 = z1 + z2 ,
z1 · z2 = z1 · z2 .
(7.4)
7. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN
51
2. Der Betrag |z| von z ∈ C entspricht geometrisch dem Abstand zum Nullpunkt
(gemessen in der euklidischen Metrik). Es gilt
|z|2 = z · z,
|z| = |z|.
(7.5)
Satz 7.2: Der Betrag in C hat folgende Eigenschaften:
(a) Es gilt |z| ≥ 0 für alle z ∈ C und |z| = 0 ⇔ z = 0.
(b) Für alle z1 , z2 ∈ C ist |z1 z2 | = |z1 | |z2 | erfüllt.
(c) Für alle z1 , z2 ∈ C ist |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | richtig.
Also ist C ein bewerteter Körper im Sinne von § 1.
Bemerkung: Die geometrische Deutung der komplexen Addition als Vektoraddition
im R2 erklärt nun auch den Begriﬀ Dreiecksungleichung für die Relation (c).
Beweis von Satz 7.2:
(a) |z|
√ ≥ 0 für alle z ∈ C ist per Deﬁnition klar. Und wir bemerken |z| =
x2 + y 2 = 0 gdw. x2 + y 2 = 0 gdw. x = y = 0 gdw. z = 0.
(b) Für z1 , z2 ∈ C berechnen wir
√
(7.4) √
(z1 z2 )(z1 z2 ) =
(z1 z2 )(z1 z2 )
√
(7.5) √
(z1 z1 )(z2 z2 ) =
|z1 |2 |z2 |2 = |z1 | |z2 |,
=
|z1 z2 | =
|z1 z2 |2
(7.5)
=
√
wie behauptet.
(c) Wir beachten |z| ≥ |Re z| für beliebige z ∈ C. Damit erhalten wir
|z1 + z2 |2
(7.5)
=
(7.4),(7.5)
=
(7.3)
=
(b),(7.5)
≤
(z1 + z2 )(z1 + z2 )
(7.4)
=
z1 z1 + (z1 z2 + z2 z1 ) + z2 z2
|z1 |2 + (z1 z2 + z1 z2 ) + |z2 |2
|z1 |2 + 2Re(z1 z2 ) + |z2 |2
|z1 |2 + 2|z1 | |z2 | + |z2 |2 = (|z1 | + |z2 |)2 ,
und die Behauptung folgt.
q.e.d.
Wir wollen nun Punktfolgen {zn }n im Körper C betrachten und erklären in
Analogie zu den Deﬁnitionen 4.1-4.3:
52
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Deﬁnition 7.2: Eine Folge {zn }n ⊂ C heißt
• beschränkt, falls ein c > 0 existiert mit |zn | ≤ c für alle n ∈ N.
• Cauchyfolge, falls für alle ε > 0 ein N (ε) ∈ N existiert mit
|zn − zm | < ε
für alle m, n ≥ N (ε).
• konvergent gegen z ∈ C, falls für alle ε > 0 ein N (ε) ∈ N existiert mit
|zn − z| < ε
für alle n ≥ N (ε).
Wir schreiben lim zn = z oder zn → z (n → ∞).
n→∞
• Nullfolge, falls {zn }n gegen 0 konvergiert.
Bemerkung: Nennen wir {ζ ∈ C : |z −ζ| < ε} wieder eine ε-Umgebung von z ∈ C, so
konvergiert {zn }n genau dann gegen z, wenn in jeder (noch so kleinen) ε-Umgebung
von z fast alle Glieder der Folge liegen. In C ist eine ε-Umgebung von z, geometrisch
gesehen, eine (oﬀene) Kreisscheibe um z vom Radius ε > 0; wir schreiben daher
auch
{
}
Kε (z) := ζ ∈ C : |z − ζ| < ε .
Wir wollen nun zeigen, dass C auch vollständig ist. Zur Vorbereitung notieren
wir den folgenden
Hilfssatz 7.1: Eine Folge {zn }n ⊂ C ist genau dann konvergent (bzw. Cauchyfolge,
Nullfolge, beschränkt), wenn die reellen Folgen {Re(zn )}n und {Im(zn )}n konvergent
(bzw. Cauchyfolgen, Nullfolgen, beschränkt) sind. Für konvergente Folgen {zn }n gilt
lim zn = lim Re(zn ) + i lim Im(zn ).
n→∞
n→∞
n→∞
Beweis: Die Aussagen ergeben sich sofort aus den Relationen
|Re z| ≤ |z|,
|Im z| ≤ |z|,
die man leicht als Übungsaufgabe bestätigt.
|z| ≤ |Re z| + |Im z|,
q.e.d.
Satz 7.3: (Cauchysches Konvergenzkriterium in C)
Eine Folge {zn }n ⊂ C ist genau dann konvergent, wenn sie Cauchyfolge ist. Insbesondere ist C ein vollständiger (bewerteter) Körper.
8. KONVERGENZKRITERIEN FÜR REIHEN (IN C)
53
Beweis: Aus Hilfssatz 7.1 und dem Cauchyschen Konvergenzkriterium in R folgern
wir:
{zn }n ist konvergent
HS 7.1
⇐⇒
{Re(zn )}n , {Im(zn )}n ⊂ R sind konvergent
Satz 5.2
⇐⇒
{Re(zn )}n , {Im(zn )}n ⊂ R sind Cauchyfolgen
HS 7.1
⇐⇒
{zn }n ist Cauchyfolge,
wie behauptet.
q.e.d.
Als Übung beweist man noch den folgenden
Satz 7.4: (Rechenregeln für komplexe Grenzwerte)
• Ist {zn }n ⊂ C eine konvergente Folge, so konvergiert auch {zn }n und es gilt
lim zn = lim zn .
n→∞
n→∞
• Ist {ζn }n ⊂ C eine weitere konvergente Folge, so konvergieren auch {zn + ζn }n
und {zn · ζn }n mit
lim (zn + ζn ) = lim zn + lim ζn ,
n→∞
n→∞
)
) (
(
lim (zn · ζn ) = lim zn · lim ζn .
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
• Gilt schließlich noch ζn ̸= 0 für alle n ∈ N und limn→∞ ζn ̸= 0, so konvergiert
auch { zζnn }n mit
(z )
lim zn
n
lim
= n→∞ .
n→∞ ζn
lim ζn
n→∞
8
Konvergenzkriterien für Reihen (in C)
In § 4 haben wir Reihen in R deﬁniert und den Begriﬀ der Konvergenz einer Reihe
eingeführt. Mit dem in § 7 gegebenen Konvergenzbegriﬀ ∑
für Folgen in C sagen wir
nun entsprechend: Ist {zk }k∈N ⊂ C, so heißt die∑Reihe ∞
k=1 zk konvergent, wenn
n
die Folge der Partialsummen
{s
}
mit
s
:=
z
,
n
∈ N, konvergiert. Wir
n
n
n
k
k=1
∑∞
schreiben wieder
z
sowohl
für
die
Reihe
als
auch,
wenn
existent, für den
k=1 k
Grenzwert
(∑
)
n
∞
∑
lim sn = lim
zk =:
zk ,
n→∞
n→∞
k=1
k=1
54
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
also den Wert oder die Summe der Reihe. Wenden wir Hilfssatz
7.1 auf die Folge
∑∞
{sn }n der Partialsummen
an, so folgt ∑
noch: Die komplexe Reihe k=1 zk konvergiert
∑
∞
genau dann, wenn ∞
Re(z
)
und
k
k=1
k=1 Im(zk ) konvergieren, und es gilt
∞
∑
zk =
k=1
∞
∑
Re(zk ) + i
k=1
∞
∑
Im(zk ).
k=1
∑
Wenn die Reihe ∞
k=1 zk nicht konvergent ist, heißt sie divergent. Wenn zk =
xk ∈ R für alle k ∈ N und
lim sn = ±∞
n→∞
gilt, so heißt die Reihe bestimmt divergent (gegen ±∞).
∑
Es sei schließlich angemerkt, dass wir natürlich auch Reihen der Form ∞
k=k0 zk
mit einem k0 ∈ N0 (oder sogar k0 ∈ Z) betrachten können (und
∑ werden). Falls
klar ist, über welche k summiert wird, schreiben wir auch kurz k zk für die Reihe
bzw. ihren Wert.
Im vorliegenden Paragraphen werden wir eine Anzahl wichtiger Konvergenzkriterien für Reihen kennenlernen, die wir (soweit sinnvoll) in C formulieren und die
als Spezialfall natürlich auch für reelle Reihen gelten. Wir beginnen mit dem
Konvergenzkriterium für Reihen)
Satz 8.1: (Cauchysches
∑∞
Eine Reihe
z
in
C
konvergiert genau dann, wenn für beliebige ε > 0 ein
k=1 k
N = N (ε) ∈ N existiert, so dass gilt
∑
n
zk < ε
für alle n > m ≥ N (ε).
(8.1)
k=m+1
Beweis: Wir bemerken
∑
∑
m
∑
n
n
|sn − sm | = zk −
zk = zk für alle n > m.
k=1
k=1
k=m+1
Also ist (8.1) äquivalent dazu, dass {sn }n eine Cauchyfolge bildet und somit
∑ nach
Satz 7.3 auch äquivalent zur Konvergenz der Folge {sn }n bzw. der Reihe k zk .
q.e.d.
∑
Bemerkung: Satz 8.1 zeigt übrigens auch: Die Reihe ∞
konvergiert (bzw. dik=1 zk ∑
∞
vergiert) genau dann, wenn für beliebige k0 ∈ N die Reihe
k=k0 zk konvergiert
(bzw. divergiert). Die ersten endlich vielen Glieder beeinﬂussen das Konvergenzverhalten der Reihe also nicht (aber natürlich ihren Wert).
Das folgende Kriterium eignet sich eher zum Ausschluss der Konvergenz:
8. KONVERGENZKRITERIEN FÜR REIHEN (IN C)
Satz 8.2: Wenn
∑∞
k=1 zk
55
(zk ∈ C für alle k ∈ N) konvergiert, so muss gelten
lim zk = 0.
k→∞
∑
Beweis: Sei k zk konvergent und ε > 0 beliebig gewählt. Nach Satz 8.1 existiert
dann ein N (ε) ∈ N mit |zn | < ε für alle n > N (ε) (wende (8.1) mit m = n − 1 an).
Also ist {zn }n Nullfolge.
q.e.d.
∑
k
k
Zum Beispiel divergiert also die Reihe ∞
k=1 (−1) , da {(−1) }k keine Nullfolge ist. Wie wir am Beispiel der harmonischen Reihe jetzt sehen werden, ist das
Kriterium aus Satz 8.2 nicht hinreichend:
Beispiel: Harmonische Reihe
∞
∑
k=1
1
k.
Zwar bildet { k1 }k eine Nullfolge, aber die Reihe ist nicht konvergent. In der Tat gilt
für beliebiges m ∈ N:
∑
2m
∑
2m 1 1
m
1
≥
=
= .
k
2m
2m
2
k=m+1
k=m+1
Also ist das Cauchysche Konvergenzkriterium (8.1) für ε <
1
2
nicht erfüllbar.
Für reelle Reihen mit nichtnegativen Einträgen gilt der folgende
∑
Satz 8.3: Die Reihe ∞
k=1 xk mit xk ∈ R und xk ≥ 0 für alle k ∈ N konvergiert
genau dann, wenn die zugehörige Folge der Partialsummen beschränkt ist.
Bemerkung: Falls die Folge der Partialsummen einer (komplexen) Reihe
beschränkt ist, sagen wir die Reihe ist beschränkt und schreiben
∑∞
k=1 zk
∞ ∑ zk < +∞.
k=1
Die Folge
Reihe.
∑∞
k=1 (−1)
k
ist ein Beispiel einer beschränkten, aber nicht konvergenten
∑
Beweis von Satz 8.3: Wegen xk ≥ 0 ist die Folge der Partialsummen sn = nk=1 xk
monoton wachsend. Satz 5.6 über die monotone Konvergenz liefert also die Konvergenz der Reihe, wenn wir ihre Beschränktheit voraussetzen. Umgekehrt ist natürlich
jede konvergente Reihe auch beschränkt.
q.e.d.
56
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Im Falle sogenannter alternierender Reihen haben wir die folgende Aussage:
Satz 8.4: (Konvergenzkriterium von Leibniz)
Ist {xk }k ⊂ R eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die Reihe
∞
∑
(−1)k xk .
k=1
Wir verzichten an dieser Stelle auf einen Beweis, da sich Satz 8.4 als Spezialfall
von Satz 9.3 ergeben wird.
Beispiel: Die Reihen
∞
∑
(−1)k
k=1
∞
∑
k=0
( alternierende harmonische Reihe),
k
(−1)k
2k + 1
( Leibnizreihe)
konvergieren oﬀenbar nach Satz 8.4. Wir werden später berechnen
∞
∑
(−1)k
k=1
k
= − log 2,
∞
∑
(−1)k
π
= .
2k + 1
4
k=0
Deﬁnition
8.1: Eine komplexe Reihe
∑
Reihe ∞
k=1 |zk | konvergiert.
∑∞
k=1 zk
heißt absolut konvergent, wenn die
Bemerkungen:
1. Jede absolut konvergente Reihe konvergiert auch im gewöhnlichen Sinn: Denn
nach der Dreiecksungleichung in C gilt
n
n
∑
∑
|zk |
z
≤
k
k=m+1
für alle n > m,
k=m+1
und Satz 8.1 liefert die Behauptung.
2. Es gibt Reihen, die zwar im gewöhnlichen Sinn aber nicht absolut konvergieren,
z.B. die alternierende harmonische Reihe.
∑
∑∞
3. Sind ∞
absolut konvergente Reihen, so ist auch jede
k=1 zk und
k=1 ζk zwei∑
(komplexe) Linearkombination ∞
k=1 (αzk + βζk ) mit α, β ∈ C absolut konvergent; dies folgt aus Satz 7.4 angewendet auf die Folge der Partialsummen.
Entsprechendes gilt natürlich auch für Linearkombinationen konvergenter Reihen.
8. KONVERGENZKRITERIEN FÜR REIHEN (IN C)
57
Eines der wichtigsten Konvergenzkriterien enthält nun der folgende
Satz 8.5: (Majorantenkriterium)
Zwei Folgen {zk }k ⊂ C und {µk }k ⊂ R mit
|zk | ≤ µk
für alle k ∈ N
∑∞
∑∞
seien gegeben. Dann
gilt:
Konvergiert
die
Reihe
µ
,
so
konvergiert
k
k=1
k=1 zk
∑
∑
absolut. Die Reihe k µk heißt Majorante von k zk .
Beweis: Zu beliebigem ε > 0 existiert nach Satz 8.1 ein N (ε) ∈ N mit
n
∑
n
∑
|zk | ≤
k=m+1
für alle n > m ≥ N (ε).
µk < ε
k=m+1
Wiederum nach Satz 8.1 konvergiert also auch
lut.
∑
k
|zk |, d.h.
∑
k zk
konvergiert absoq.e.d.
Folgerung 8.1: (Minorantenkriterium)
Sind {xk }k , {µk }k ⊂ R gegeben mit
xk ≥ µk ≥ 0
für alle k ∈ N
∑∞
∑
und divergiert
k=1 µk , so divergiert auch
k=1 xk . Die Reihe
k µk heißt Mino∑
rante von k xk .
∑
∑
Beweis: Wäre nämlich
k xk konvergent, so wäre
k µk nach Satz 8.5 ebenfalls
konvergent, Widerspruch!
q.e.d.
∑∞
Beispiele:
∑
k
1. Die Reihe ∞
k=0 z konvergiert absolut für |z| < 1 und divergiert für |z| > 1.
Ersteres folgt aus Satz 8.5, da
∞
∑
(4.1)
|z|k =
k=0
1
1 − |z|
eine konvergente Majorante ist. Und letzteres aus Satz 8.2, da {z k }k keine
Nullfolge ist für |z| > 1.
2. Die Reihe
∑∞
1
k=1 kα
konvergiert (absolut) für rationales α ≥ 2. Wir haben nämlich
0<
also ist
mit
∑∞
2
k=1 k(k+1)
1
1
2
≤ 2 ≤
kα
k
k(k + 1)
für alle k ∈ N,
eine Majorante, die gemäß des vorletzten Beispiels in § 4 konvergiert
∞
∑
k=1
∑
2
1
=2
= 2.
k(k + 1)
k(k + 1)
∞
k=1
58
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Sehr nützlich ist auch der folgende
Satz 8.6:
∑∞(Quotientenkriterium)
Es sei k=1 zk eine komplexe Reihe mit zk ̸= 0 für alle k ∈ N. Dann gilt:
(a) Existiert ein q ∈ (0, 1) und ein k0 ∈ N mit
z
k+1 ≤ q < 1 für alle k ≥ k0 ,
zk
∑
so konvergiert die Reihe ∞
k=1 zk absolut.
(b) Existiert ein k0 ∈ N, so dass gilt
z
k+1 ≥1
zk
für alle k ≥ k0 ,
dann divergiert die Reihe.
Beweis:
(a) Es gilt
(
)
|zk | ≤ |zk0 |q −k0 q k
für alle k ≥ k0 ,
wie man leicht ∑
mit vollständiger Induktion zeigt. Nach Satz 8.5 konvergiert
also die Reihe k zk absolut, da sie (ab dem k0 -ten Glied) die konvergente
Majorante
∞
∞
∑
(
)
(
)∑
|zk0 |q −k0 q k = |zk0 |q −k0
qk
k=k0
k=k0
besitzt.
(b) Oﬀensichtlich gilt |zk | ≥ |zk0 | > ∑
0 für alle k ≥ k0 . Also bildet {zk }k keine
Nullfolge, nach Satz 8.2 ist somit k zk divergent.
q.e.d.
Bemerkung: Wir können in Satz 8.6 (a) die Voraussetzung nicht durch die schwächere
Bedingung
z
k+1 < 1 für alle k ≥ k0
zk
∑
1
ersetzen, wie das Beispiel der divergenten harmonischen Reihe ∞
k=1 k zeigt.
Umgekehrt ist die
∑ dort1angegebene Bedingung aber auch keine notwendige Bedingung, denn z.B. ∞
k=1 k2 konvergiert wie oben gesehen, aber es gilt
z
k2
k+1 → 1 (k → ∞).
=
zk
(k + 1)2
8. KONVERGENZKRITERIEN FÜR REIHEN (IN C)
59
Beispiele:
1. Die Reihe
∑∞
k2
k=1 2k
konvergiert, denn mit xk :=
k2
2k
haben wir
x
(k + 1)2
1(
1 )2 8
k+1 (k + 1)2 2k
=
=
1
+
≤ <1
=
xk
2k+1 k 2
2k 2
2
k
9
Satz 8.6 (a) liefert die Behauptung.
∑
kk
2. Die Reihe ∞
k=1 k! divergiert, denn mit xk =
kk
k!
für alle k ≥ 3.
gilt
x
( k + 1 )k
k+1 (k + 1)k+1 k!
=
≥ 1 für alle k ∈ N,
=
xk
(k + 1)! k k
k
wir können also Satz 8.6 (b) anwenden.
∑
zk
3. Die komplexe Exponentialreihe ∞
k=0 k! konvergiert absolut für beliebiges z ∈
k
C. Mit zk := zk! gilt nämlich
z
|z|k+1 k!
1
|z|
k+1 ≤
=
=
k
zk
(k + 1)! |z|
k+1
2
für alle k ≥ 2|z| − 1.
Als Übungsaufgabe beweise man noch den folgenden
Satz 8.7:
∑∞(Wurzelkriterium)
Es sei k=1 zk eine komplexe Reihe. Dann gilt:
(a) Existiert ein q ∈ (0, 1) und ein k0 ∈ N mit
√
k
|zk | ≤ q < 1 für alle k ≥ k0 ,
∑
so konvergiert ∞
k=1 zk absolut.
(b) Gilt
lim sup
√
k
|zk | > 1,
k→∞
so divergiert die Reihe.
Wir wenden uns nun dem Produkt von absolut konvergenten Reihen zu:
Satz 8.8:∑(Cauchyscher
Produktsatz)
∑∞
Es seien ∞
z
,
ζ
komplexe,
absolut konvergente Reihen. Setzen wir
k=1 k
l=1 l
cj :=
j
∑
k=1
zk ζj−k+1
für j ∈ N,
60
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
∑
so konvergiert auch die Reihe ∞
j=1 cj absolut, und es gilt die Cauchysche Produktformel
(∑
)( ∑
) ∑
∞
∞
∞
zk
ζl =
cj .
k=1
j=1
l=1
Beweis:
1. Wir erklären die Partialsummen
n
∑
zk ,
rn :=
sn :=
rn sn =
(∑
n
zk
ζl ,
tn :=
n
∑
cj .
j=1
l=1
k=1
Dann gilt
n
∑
) ∑
)
)( ∑
n
n (∑
n
n
∑
ζl =
zk ζl =:
zk ζl .
k=1
l=1
k=1
k,l=1
l=1
Diese Schreibweise für eine (endliche)Doppelsumme ist oﬀenbar sinnvoll, da die Reihenfolge
der Summation irrelevant ist. Setzen wir
{
}
Qn := (k, l) ∈ N × N : 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ l ≤ n ,
so haben wir
∑
rn sn =
zk ζl .
(8.2)
(k,l)∈Qn
Die Deﬁnition der cj lässt sich auch schreiben als
∑
cj =
zk ζl ,
k+l=j+1
k,l∈N
so dass sich für die n-te Partialsumme der cj ergibt
∑
tn =
zk ζl ;
(8.3)
(k,l)∈Dn
hierbei haben wir noch
{
}
Dn := (k, l) ∈ N × N : k + l ≤ n + 1
gesetzt. Da nun Dn ⊂ Qn für jedes n ∈ N richtig ist, haben wir insgesamt
∑
rn sn − tn =
zk ζl für alle n ∈ N.
(8.4)
(k,l)∈Qn \Dn
2. Setzen wir noch
rn∗ :=
n
∑
|zk |,
s∗n :=
k=1
so ﬁnden wir wie in (8.2):
rn∗ s∗n =
n
∑
|ζl |,
l=1
∑
|zk | |ζl |,
n ∈ N.
(8.5)
(k,l)∈Qn
Nun beachten wir Q2n \ D2n ⊂ Q2n \ Qn , da Qn ⊂ D2n für alle n ∈ N richtig ist. Damit
können wir abschätzen
∑
∑
(8.4)
≤
|r2n s2n − t2n |
=
z
ζ
|zk | |ζl |
k
l
(k,l)∈Q2n \D2n
≤
∑
(k,l)∈Q2n \Qn
|zk | |ζl |
(k,l)∈Q2n \D2n
∗
= |r2n
s∗2n − rn∗ s∗n | → 0 (n → ∞),
(8.5)
8. KONVERGENZKRITERIEN FÜR REIHEN (IN C)
61
∑
∑
da k |zk | und k |ζk | konvergieren, also auch das Produkt ihrer Partialsummen {rn∗ s∗n }n
eine Cauchyfolge bildet. Ganz entsprechend folgt aus Q2n−1 \ D2n−1 ⊂ Q2n−1 \ Qn auch
∗
|r2n−1 s2n−1 − t2n−1 | ≤ |r2n−1
s∗2n−1 − rn∗ s∗n | → 0 (n → ∞).
Da schließlich |r2n s2n − r2n−1 s2n−1 | → 0 (n → ∞) gilt (denn {rn sn }n konvergiert), haben
{t2n }n und {t2n−1 }n den gleichen Grenzwert, nämlich
lim tn = lim (rn sn ) = ( lim rn )( lim sn ),
n→∞
n→∞
n→∞
wie behauptet.
3. Zum Beweis der absoluten Konvergenz von
t∗n :=
∑
n
∑
j
n→∞
cj betrachten wir noch
|cj |,
n ∈ N.
j=1
Wie in (8.3) erhalten wir dann
0 ≤ t∗n ≤
∑
(k,l)∈Dn
|zk | |ζl | ≤
∑
|zk | |ζl | = rn∗ s∗n ≤ K
(8.5)
für alle n ∈ N
(k,l)∈Qn
∑
∑
mit K := ( k |zk |)( l |ζl |) < +∞. Also ist {t∗n }n beschränkt, monoton wachsend und nach
Satz 5.6 somit auch konvergent.
q.e.d.
Schließlich untersuchen wir das Verhalten von Reihen unter Umordnungen.
∑∞
∑∞
Deﬁnition 8.2:
∑∞Sei k=1 zk eine komplexe Reihe. Dann heißt k=1 ζk eine Umordnung von
k=1 zk , wenn es eine bijektive Abbildung σ : N → N gibt, so dass
gilt
ζn = zσ(n) für alle n ∈ N.
σ heißt unendliche Permutation der Reihenglieder.
Für endliche Summen ist die Reihenfolge der Summation bekanntlich irrelevant
für das Ergebnis; jede Umordnung einer endlichen Summe liefert also den gleichen
Wert. Bei unendlichen Reihen muss das nicht gelten:
∑
Deﬁnition 8.3: Wir nennen eine komplexe konvergente Reihe ∞
k=1 zk unbedingt
konvergent, wenn jede ihrer Umordnungen ebenfalls konvergiert
und
den gleichen
∑∞
Wert wie die ursprüngliche Reihe besitzt. Anderenfalls heißt k=1 zk bedingt konvergent.
Satz 8.9: (Dirichletscher Umordnungssatz)
Eine komplexe konvergente Reihe ist genau dann unbedingt konvergent, wenn sie
absolut konvergent ist.
62
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Beweis: Wir zeigen nur, dass jede absolut konvergente Reihe auch unbedingt konvergent ist. Die
umgekehrte Aussage
folgt aus dem anschließenden
∑∞
∑∞Satz 8.10.
Sei also
k=1 zk absolut konvergent, d.h.
k=1 |zk | < +∞. Dann existiert nach Satz 8.1 zu
jedem ε > 0 ein N = N (ε) ∈ N , so dass
∑
N +p
|zk | <
k=N +1
richtig ist. Ist nun
so dass gilt
∑∞
k=1
ε
2
für alle p ∈ N
ζk eine beliebige Umordnung von
∑
k
(8.6)
zk , so existiert ein K ∈ N mit K ≥ N ,
{z1 , . . . , zN } ⊂ {ζ1 , . . . , ζK }.
(8.7)
∑n
Es bezeichne sn := k=1 zk bzw. tn := k=1 ζk die n-ten Partialsummen der beiden Reihen. Aus
(8.6) und (8.7) folgt dann
∑n
|sn − tn | <
ε
ε
+ =ε
2
2
für alle n > K ≥ N,
da sich die Terme z1 , . . . , zN aufheben und die übrigen Terme in den Summen sn bzw. tn jeweils
durch (8.6)
∑abgeschätzt werden können. Es folgt also limn→∞ |sn − tn | = 0. Bezeichnet nun s den
Wert von k zk , so folgt
|tn − s| ≤ |tn − sn | + |sn − s| → 0 (n → ∞),
d.h. auch
∑
k
ζk konvergiert gegen s, wie behauptet.
q.e.d.
Satz 8.10: (Riemannscher
Umordnungssatz)
∑
x
konvergent,
aber nicht absolut konvergent,
so gibt es zu
Ist die reelle Reihe ∞
k=1 k ∑
∑∞
∞
jedem t ∈ R eine Umordnung k=1 ξk der Reihe, so dass t = k=1 ξk gilt.
Bemerkungen:
∑
∑
1. Ist ∑
k Re(zk )
k zk eine komplexe, unbedingt konvergente Reihe, so sind auch
Satz
8.10
müssen
die
reellen
Reiund k Im(zk ) unbedingt konvergent. Nach
∑
hen absolut konvergent sein, also ist auch k zk absolut konvergent. Das vervollständigt den Beweis von Satz 8.9.
∑
2. Man kann sogar Umordnungen k ξk einer beliebigen reellen
∑ konvergenten,
aber nicht absolut konvergenten Reihe konstruieren, so dass k ξk = ±∞ gilt
(Übungsaufgabe).
Beweis von Satz 8.10:
1. Zu {xk }k setzen wir
pk := max{0, xk },
qk := − min{0, xk },
k ∈ N.
Dann gilt
Da
pk , qk ≥ 0,
∑
k
xk = pk − qk ,
|xk | = pk + qk
für alle k ∈ N.
xk konvergiert, muss |xk | → 0 (k → ∞) gelten und folglich auch
lim pk = lim qk = 0.
k→∞
k→∞
(8.8)
9. POTENZREIHEN
63
Außerdem haben wir
Wäre nämlich z.B.
∑
pk =
∑
k
∑
k
qk = +∞.
(8.9)
k
pk < +∞, so konvergiert auch
∑
∑
∑
∑
qk =
(pk − xk ) =
pk −
xk .
k
k
k
k
∑
∑
Dann wäre aber auch ∑
im Widerspruch zur nicht absoluten
k |xk | =
k (pk +qk ) konvergent,∑
Konvergenz der Reihe k xk . Entsprechend zeigt man k qk = +∞.
2. Wir zerlegen nun die Folge {xk }k in die Teilfolgen der positiven Glieder {ak }k und nichtpositiven Glieder {bk }k . Nach (8.8) und (8.9) bilden beide Nullfolgen und es gilt
∑
∑
ak = +∞,
bk = −∞.
k
k
Nun wählen wir n1 als kleinste natürliche Zahl, so dass zu unserem vorgegebenen t ∈ R gilt
n1
∑
ak > t.
k=1
Dann wählen wir n2 als kleinste natürliche Zahl, so dass
n1
∑
ak +
n2
∑
bk < t
k=1
k=1
richtig ist. Danach bestimmen wir ein kleinstes n3 > n1 wiederum so, dass gilt
n1
∑
ak +
k=1
n2
∑
bk +
n3
∑
ak > t.
k=n1 +1
k=1
Es ist klar, wie dieses Verfahren fortgesetzt und welche Umordnung der ursprünglichen Reihe
dabei erstellt wird. Da n1 , n2 , n3 , . . . jeweils minimal gewählt waren, muss gelten
n1 −1
∑
k=1
ak ≤ t,
n1
∑
n2 −1
ak +
k=1
∑
bk ≥ t, . . .
k=1
(ersteres nur, falls t ≥ 0 ist). Somit haben die zugehörigen Teilsummen höchstens einen
Abstand von an1 , bn2 , an3 , bn4 , . . . zu t. Da aber sowohl {ak }k als auch {bk }k Nullfolgen sind,
konvergieren die Partialsummen der umgeordneten Reihe gegen t, wie behauptet.
q.e.d.
9
Potenzreihen
Wir wollen nun noch spezielle komplexe Reihen betrachten, nämlich Reihen der
Form
∞
∑
P(z) =
ak z k
k=0
mit den Koeﬃzienten
ak ∈ C (k ∈ N0 ) und der Variablen z ∈ C. Die Partialsummen
∑
Pn (z) := nk=0 ak z k einer Potenzreihe sind für alle n ∈ N komplexe Polynome.
Wir kennen bereits zwei Beispiele von Potenzreihen, welche wohl auch die beiden
wichtigsten sind:
64
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
∞
∑
• Geometrische Reihe:
z k , d.h. ak = 1 für alle k ∈ N0 .
k=0
∞
∑
• Exponentialreihe:
k=0
zk
k! ,
d.h. ak =
1
k!
für alle k ∈ N0 .
Während letztere für alle z ∈ C absolut konvergiert, konvergiert die geometrische
Reihe absolut für |z| < 1 und divergiert für |z| > 1. I.A. hängt also das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe von der Wahl der Variablen z ab. Genauer haben wir
den folgenden
Satz 9.1: (Cauchy-Hadamard)
√
∑∞
k
k
|ak | ∈
Für eine Potenzreihe P(z) =
k=0 ak z setzen wir α := lim supk→∞
[0, +∞) ∪ {+∞}. Erklären wir dann

+∞, falls α = 0


α−1 , falls α ∈ (0, +∞) ,
R :=


0,
falls α = +∞
(9.1)
so konvergiert P(z) für |z| < R absolut und divergiert für |z| > R.
Bemerkungen:
1. Die in (9.1) erklärte Größe R ∈ [0, +∞) ∪ {+∞} heißt Konvergenzradius der
Reihe P(z). Die Kreisscheibe KR := {z ∈ C : |z| < R} nennen wir das
Konvergenzgebiet.
2. Wir setzen folgende Regeln für das Rechnen mit +∞ fest:
1
= +∞,
0
1
,
+∞
(+∞) · x = +∞
für x ∈ R mit x > 0.
Dann liest sich (9.1) also R = α1 .
Beweis von Satz 9.1: Oﬀenbar gilt |z| < R (bzw. |z| > R) genau dann, wenn |z|α < 1
(bzw. |z|α > 1) also
√
lim sup
k
|ak z k | < 1
k→∞
(bzw. > 1)
√
richtig ist. Wegen
Satz 6.5 ist für lim supk→∞ k |ak z k | < 1 der
Fall (a) aus Satz 8.7
√
∑
k
k konvergiert absolut. Im Fall lim sup
k
gültig, d.h.
a
z
|a
k z | > 1 divergiert
k→∞
k k
∑
k
P(z) = k ak z nach Satz 8.7 (b).
q.e.d.
Als sehr praktisch erweist sich der folgende
9. POTENZREIHEN
65
∑
k
Satz 9.2: Ist P(z) = ∞
k=0 ak z im Punkt z0 ∈ C \ {0} konvergent, so konvergiert
P(z) absolut für alle z ∈ C mit |z| < |z0 |.
∑
Beweis: Da k ak z0k konvergiert, gilt limk→∞ |ak z0k | = 0. Insbesondere ist {|ak z0k |}k
beschränkt, es gibt also ein c > 0 mit |ak z0k | ≤ c für alle k ∈ N0 . Sei nun z ∈ C mit
|z| < |z0 | bzw. q := | zz0 | ∈ [0, 1) beliebig gewählt. Dann folgt
z k
|ak z | =
≤ cq k für alle k ∈ N0 .
z0
∑
∑ k
c
k
Wegen q ∈ [0, 1) konvergiert die Reihe
k cq = c
k q = 1−q und nach dem
Majorantenkriterium, Satz 8.5, konvergiert auch P(z) absolut für |z| < |z0 |, wie
behauptet.
q.e.d.
|ak z0k | k
Wir wollen nun einen Satz beweisen, der u.a. Aussagen über das Konvergenzverhalten auf dem Rand des Konvergenzgebietes macht und außerdem das Konvergenzkriterium von Leibniz als Spezialfall enthält. Wir beginnen mit dem
∑
ist, und sei
Hilfssatz 9.1: Sei {zk }k∈N0 ⊂ C eine Folge, so dass ∞
k=0 zk beschränkt ∑
{ak }k ⊂ R eine monoton fallende Nullfolge. Dann konvergiert die Reihe ∞
k=0 ak zk .
∑
Beweis: Wir wollen Satz 8.1 anwenden, also den Ausdruck | n
große
k=m+1 ak zk | für hinreichend
∑
m, n ∈ N0 mit n > m klein bekommen. Dazu setzen wir für festes m ∈ N0 : sn := n
z
k=m+1 k für
n > m. Mit vollständiger Induktion zeigt man dann leicht die Relation
n
∑
ak zk = sn an +
k=m+1
n−1
∑
sk (ak − ak+1 )
für alle n > m.
k=m+1
Da {ak }k eine monoton fallende Nullfolge ist, gilt ak ≥ ak+1 ≥ 0 für alle k ∈ N0 . Daher können wir
abschätzen
n
n−1
∑
∑
≤ |sn |an +
a
z
|sk |(ak − ak+1 )
k k
k=m+1
k=m+1
≤
[
]
n−1
∑
{
}
max |sm+1 |, . . . , |sn | an +
(ak − ak+1 )
=
{
}
am+1 · max |sm+1 |, . . . , |sn |
k=m+1
für n > m.
Da nun {ak }k Nullfolge ist, existiert zu jedem ε > 0 ein N (ε) ∈ N, so dass 0 ≤ ak < ε für alle
k ≥ N (ε) richtig ist. Ferner gibt es ein c > 0 mit |sn | ≤ c für alle n ∈ N, denn {sn }n ist beschränkt
nach Voraussetzung. Insgesamt folgt
∑
n
a
z
für alle n > m ≥ N (ε),
k k < cε
k=m+1
also nach Satz 8.1 die Konvergenz der Reihe.
q.e.d.
Satz 9.3: Ist∑
{ak }k∈N0 eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die Potenzk
reihe P(z) = ∞
k=0 ak z für alle z ∈ C \ {1} mit |z| ≤ 1.
66
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Beweis: Aus der Summenformel der geometrischen Reihe, Satz 2.3, erhalten wir für
beliebige z ∈ C \ {1} mit |z| ≤ 1:
∑
n k 1 − z n+1 1 + |z|n+1
2
z = ≤
≤
1−z
|1 − z|
|1 − z|
für alle n ∈ N.
k=0
Somit ist
P(z).
∑
k
z k für solche z beschränkt, Hilfssatz 9.1 liefert also die Konvergenz von
q.e.d.
Bemerkung:
Setzen wir in Satz 9.3 speziell z = −1 ein, so folgt die Konvergenz der
∑
k
Reihe ∞
a
k=0 k (−1) . Dies ist gerade die Aussage des Leibnizschen Konvergenzkriteriums, Satz 8.4.
Satz 9.4: (Cauchyscher
∑∞ Produktsatz
∑∞für Potenzreihen)
k
Sind die Potenzreihen k=0 ak z ∑
und k=0 bk z k für |z| < R absolut konvergent, so
k
gilt dies auch für die Potenzreihe ∞
k=0 ck z mit den Koeﬃzienten
ck :=
k
∑
al bk−l ,
k ∈ N0 ,
l=0
und wir haben die Identität
(∑
∞
k=0
ak z k
)( ∑
∞
)
bk z k
=
(∑
∞
)
ck z k .
k=0
k=0
Beweis: Dies ergibt sich nach einer Indexverschiebung k → k + 1 aus Satz 8.8, wenn
man noch
)
(∑
k
k
∑
l
k−l
(al z )(bk−l z ) =
al bk−l z k = ck z k
l=0
l=0
beachtet.
q.e.d.
Bemerkung: Alle Resultate lassen sich direkt auf komplexe Potenzreihen der Form
Pz0 (z) :=
∞
∑
ak (z − z0 )k
k=0
übertragen. Das Konvergenzgebiet von Pz0 (z) ist dann eine Kreisscheibe KR (z0 ) =
{z ∈ C : |z − z0 | < R} vom Radius R ∈ [0, +∞) ∪ {+∞} um den Entwicklungspunkt
z0 ∈ C. Die bisher betrachteten Potenzreihen P(z) sind also Spezialfälle von Pz0 (z)
mit z0 = 0.
10. DER D-DIMENSIONALE RAUM UND METRISCHE RÄUME
10
67
Der d-dimensionale reelle Raum Rd und metrische
Räume
Für den Umgang mit Funktionen in den folgenden Kapiteln benötigen wir noch
einige topologische Begriﬀe. Da wir Funktionen sowohl in R als auch C (also für
Punkte aus R2 ) betrachten wollen, führen wir an dieser Stelle allgemeiner den ddimensionalen (reellen) Raum Rd mit d ∈ N ein:
(i) Wir betrachten die Menge aller d-Tupel x = (x1 , . . . , xd ) ∈ Rd := R × . . . × R,
wobei zwei Punkte x = (x1 , . . . , xd ), y = (y1 , . . . , yd ) ∈ Rd gleich heißen, wenn
ihre Koordinaten übereinstimmen, d.h. xk = yk für alle k = 1, . . . , d. Das
Element 0 = (0, . . . , 0) ∈ Rd heißt Nullpunkt oder Ursprung des Rd .
(ii) Sind x, y ∈ Rd beliebig, so erklären wir die Addition auf Rd gemäß
x + y := (x1 + y1 , . . . , xd + yd ) ∈ Rd .
Ist ferner λ ∈ R gewählt, so deﬁnieren wir die skalare Multiplikation durch
λx := (λx1 , . . . , λxd ) ∈ Rd .
Bemerkungen:
1. Den R2 veranschaulichen wir uns wie üblich in der Ebene, den Punkten x =
(x1 , x2 ) ∈ R2 entsprechen die Vektoren ⃗x = (x1 , x2 ). Dann entspricht die Addition in R2 der Vektoraddition und die skalare Multiplikation der Skalierung
eines Vektors.
2. Die Addition in Rd , d ∈ N, genügt den Axiomen (A1)-(A4) aus § 1 mit dem
neutralen Element 0 = (0, . . . , 0) ∈ Rd und dem negativen Element −x :=
(−x1 , . . . , −xd ) ∈ Rd . Zusammen mit der skalaren Multiplikation spricht man
dann von einer Vektorraumstruktur, d.h. Rd ist ein (reeller) Vektorraum. Hierzu
müssen – was bei uns oﬀenbar der Fall ist – zusätzlich folgende Axiome erfüllt
sein:
(S1) λ(µx) = (λµ)x für alle λ, µ ∈ R, x ∈ Rd ,
(S2) λ(x + y) = λx + λy, (λ + µ)x = λx + µx für alle λ, µ ∈ R, x, y ∈ Rd ,
(S3) 1 · x = x für alle x ∈ Rd .
3. Während man R1 und R2 mit einer Körperstruktur ausstatten kann, nämlich
mit der von R bzw. C, ist das für d ≥ 3 nicht mehr möglich. Trotzdem können
wir (wie in R und C) einen Abstandsbegriﬀ erklären m.H. der folgenden
68
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Deﬁnition 10.1: Seien x, y ∈ Rd , so erklären wir deren (euklidisches) Skalarprodukt oder auch inneres Produkt als
⟨x, y⟩ = x · y :=
d
∑
x j yj .
(10.1)
j=1
Die (euklidische) Länge oder den Betrag von x ∈ Rd deﬁnieren wir als
|x| :=
√
⟨x, x⟩ =
(∑
d
)1
2
x2j
.
j=1
Schließlich heißt
|x − y| =
(∑
d
)1
(xj − yj )
2
2
j=1
der (euklidische) Abstand zweier Punkte x, y ∈ Rd .
Bemerkungen:
1. (Rd , ⟨·, ·⟩) heißt euklidischer Vektorraum; wir schreiben kurz Rd und stellen
uns diesen mit dem euklidischen Abstandsbegrif ausgestattet vor. Es sei aber
angemerkt, dass es viele weitere Abstandsbegriﬀe im Rd gibt.
2. Das in (10.1) erklärte Skalarprodukt hat die Eigenschaften
⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩
(Symmetrie)
⟨λx + µy, z⟩ = λ⟨x, z⟩ + µ⟨y, z⟩
⟨x, x⟩ ≥ 0,
⟨x, x⟩ = 0 ⇔ x = 0
(10.2)
(Bilinearität)
(Positivität)
(10.3)
(10.4)
für beliebige x, y, z ∈ Rd und λ, µ ∈ R (Übungsaufgabe).
3. Im R2 entspricht der Betrag gerade dem in C erklärten Betrag, in R1 dem in
R erklärten Absolutbetrag.
Der Abstand | · | hat sehr ähnliche Eigenschaften wie der Betrag in R oder C
(das erklärt auch das verwendete Symbol):
Satz 10.1: Für alle x, y ∈ Rd und λ ∈ R gilt
(i) |x| ≥ 0 und |x| = 0 ⇔ x = 0.
(ii) |λx| = |λ| |x|.
(iii) |x + y| ≤ |x| + |y| ( Dreiecksungleichung).
10. DER D-DIMENSIONALE RAUM UND METRISCHE RÄUME
69
Bemerkung: Also unterscheidet sich nur (ii) von der entsprechenden Eigenschaft
|xy| = |x| |y| des Betrages in R bzw. C. Dies ist im Rd i.A. falsch, es gilt aber der
berühmte
Satz 10.2: (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung)
Sind x, y ∈ Rd beliebig, so gilt
|⟨x, y⟩| ≤ |x| |y|.
(10.5)
Gleichheit tritt genau dann ein, wenn x = ty oder y = tx mit einem t ∈ R gilt,
d.h. wenn x, y linear abhängig sind.
Beweis: Falls y = 0 gilt, ist nichts zu zeigen. Sei also y ̸= 0. Dann folgt
(10.4)
0 ≤ |x + ty|2
(10.2),(10.3)
=
|x|2 + 2t⟨x, y⟩ + t2 |y|2
für alle t ∈ R.
Das ist bekanntlich genau dann der Fall, wenn ⟨x, y⟩2 ≤ |x|2 |y|2 gilt, und nach
Wurzelziehen erhalten wir (10.5). Andererseits hat die Gleichung
0 = |x + ty|2 = |x|2 + 2t⟨x, y⟩ + t2 |y|2
bekanntlich genau dann eine Lösung t ∈ R, wenn ⟨x, y⟩2 ≥ |x|2 |y|2 gilt. Wegen (10.5)
ist also |x + ty| = 0 für ein t ∈ R genau dann erfüllt, wenn ⟨x, y⟩2 = |x|2 |y|2 richtig
ist, wie behauptet.
q.e.d.
Beweis von Satz 10.1: (i) entspricht (10.4), und (ii) folgt unmittelbar aus (10.2),
(10.3). Zum Beweis von (iii) berechnen wir
(10.5)
|x + y|2 = |x|2 + 2⟨x, y⟩ + |y|2 ≤ |x|2 + 2|x| |y| + |y|2
= (|x| + |y|)2 ,
also nach Wurzelziehen die behauptete Dreiecksungleichung.
q.e.d.
Bemerkung: Aus der Dreiecksungleichung folgt wie in Satz 1.5 (c) noch die umgekehrte Dreiecksungleichung
|x − y| ≥ |x| − |y| für alle x, y ∈ Rd .
Mit Hilfe des Betrages im Rd können wir nun auch die Begriﬀe für Folgen in R
bzw. C auf den Rd übertragen:
Deﬁnition 10.2: Eine Folge {xn }n∈N ⊂ Rd mit den Gliedern xn = (xn1 , . . . , xnd ) ∈
Rd für n ∈ N heißt
70
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
• beschränkt, falls ein c > 0 existiert mit |xn | ≤ c für alle n ∈ N,
• Cauchyfolge, wenn für alle ε > 0 ein N (ε) ∈ N existiert mit |xn − xm | < ε für
alle m, n ≥ N (ε),
• konvergent gegen den Grenzwert x ∈ Rd , wenn es für alle ε > 0 ein N (ε) ∈ N
gibt mit |xn − x| < ε für alle n ≥ N (ε); Schreibweise limn→∞ xn = x oder
xn → x (n → ∞),
• Nullfolge, wenn {xn }n gegen 0 ∈ Rd konvergiert.
Ferner heißt y ∈ Rd Häufungswert von {xn }n , wenn eine Teilfolge {xnk }k ⊂ {xn }n
existiert mit limk→∞ xnk = y.
Z.B. ist also {xn }n ⊂ Rd gegen x ∈ Rd konvergent, wenn in jeder ε-Umgebung
Bε (x) := {y ∈ Rd : |y − x| < ε} fast alle Glieder der Folge liegen. Man beachte,
dass Bε (x) in R = R1 ein oﬀenes Intervall, in R2 eine Kreisscheibe um x vom Radius
ε > 0 und in Rd für d ≥ 3 eine Kugel um x vom Radius ε > 0 ist.
Bemerkung: Zur Übung beweise man folgende Rechenregeln für Grenzwerte im Rd :
Sind {xn }n , {yn }n ⊂ Rd konvergente Folgen mit limn→∞ xn = x und limn→∞ yn = y,
so folgt
• Sind α, β ∈ R beliebig, so konvergiert auch {αxn + βyn }n mit αxn + βyn →
αx + βy (n → ∞).
• Es gilt ⟨xn , yn ⟩ → ⟨x, y⟩ und |xn | → |x| für n → ∞.
• Ist {αn }n ⊂ R eine Folge mit αn → α (n → ∞), so gilt αn xn → αx (n → ∞).
Satz 10.3: (Cauchysches Konvergenzkriterium in Rd )
Eine Folge {xn }n ⊂ Rd ist genau dann konvergent, wenn {xn }n Cauchyfolge ist.
Der Beweis erfolgt genau wie der des Cauchyschen Konvergenzkriteriums in C,
Satz 7.3, in dem man die Aussage auf die Komponentenfolgen {xnj }n , j = 1, . . . , d,
zurückführt mittels des folgenden
Hilfssatz 10.1: Eine Folge {xn }n ⊂ Rd ist genau dann beschränkt (bzw. konvergent, Cauchyfolge, Nullfolge), wenn alle Komponentenfolgen {xnj }n ⊂ R, j =
1, . . . , d, beschränkt (bzw. konvergent, Cauchyfolgen, Nullfolgen) sind. Für konvergente Folgen {xn }n gilt
lim xn =
n→∞
(
)
lim xn1 , . . . , lim xnd .
n→∞
n→∞
10. DER D-DIMENSIONALE RAUM UND METRISCHE RÄUME
71
Beweis: Als Übungsaufgabe zeigt man: Ist y = (y1 , . . . , yd ) ∈ Rd beliebig, so gelten
die Ungleichungen
|yj | ≤ |y|
für j = 1, . . . , d,
|y| ≤
d
∑
|yk |.
k=1
Hieraus ergeben sich sofort die Behauptungen.
q.e.d.
Satz 10.4: (Bolzano-Weierstraß in Rd )
Jede beschränkte Folge {xn }n ⊂ Rd besitzt eine konvergente Teilfolge.
Beweis: Vollständige Induktion über die Raumdimension d ∈ N.
• d = 1: Das ist die Aussage von Satz 5.5.
• d → d + 1: Die Aussage sei für beschränkte Folgen {xn }n ⊂ Rd mit einem
d ∈ N erfüllt.
Sei nun {x̃n }n ⊂ Rd+1 beschränkt mit den Folgengliedern
x̃n = (x̃n1 , . . . x̃nd , x̃n,d+1 ) = (xn , ξn ) mit xn := (x̃n1 , . . . , x̃nd ), ξn := x̃n,d+1 .
Damit sind auch {xn }n ⊂ Rd und {ξn }n ⊂ R beschränkt. Nach Induktionsvoraussetzung existiert also eine konvergente Teilfolge {x′k }k = {xnk }k von {xn }n
mit limk→∞ x′k = x ∈ Rd . Die entsprechende Teilfolge {ξk′ }k = {ξnk }k ⊂ R
von {ξn }n muss zwar nicht konvergieren, ist aber sicher beschränkt. Also gibt
es nach Satz 5.5 eine weitere Teilfolge {ξk′ l }l ⊂ {ξk′ }k mit liml→∞ ξk′ l = ξ ∈ R.
Die entsprechende Teilfolge {x′kl }l ⊂ {x′k }k konvergiert auch gegen x, so dass
schließlich für {x̃′kl }l gilt
lim x̃′kl = lim (x′kl , ξk′ l )
l→∞
l→∞
HS 10.1
=
(x, ξ),
wie behauptet.
q.e.d.
Bemerkung: Satz 10.4 für d = 2 liefert auch: Jede beschränkte Folge {xn }n ⊂ C
besitzt eine konvergente Teilfolge. Denn die Beträge in R2 und C stimmen überein.
Wir wollen nun Teilmengen M ⊂ Rd betrachten und beginnen mit der
Deﬁnition 10.3: Eine Teilmenge M ⊂ Rd nennen wir
• oﬀen, wenn zu jedem x0 ∈ M ein r > 0 existiert, so dass gilt
Br (x0 ) = {x ∈ Rd : |x − x0 | < r} ⊂ M.
72
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
• abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge {xn }n ⊂ M gilt
x0 := lim xn ∈ M.
n→∞
Beispiele:
1. Intervalle in R:
• Das oﬀene Intervall (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} ist im Sinne von Deﬁnition 10.3
oﬀen.
Ist nämlich x0 ∈ (a, b) gewählt, so setzen wir r := min{x0 − a, b − x0 } > 0. Für
x ∈ Br (x0 ) folgt dann
x = x0 + (x − x0 ) ≥ x0 − |x − x0 | > x0 − r ≥ x0 − (x0 − a) = a,
also x > a und entsprechend x < b, also x ∈ (a, b) und somit Br (x0 ) ⊂ (a, b).
• Das abgeschlossene Intervall [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} ist abgeschlossen im Sinne
von Deﬁnition 10.3.
Ist nämlich {xn }n ⊂ [a, b] konvergent mit xn → x0 (n → ∞), so folgt a ≤ xn ≤ b und
nach Grenzübergang n → ∞ auch a ≤ x0 ≤ b, also x0 ∈ [a, b].
• Das halboﬀene Intervall [a, b) ist weder oﬀen noch abgeschlossen.
Denn die konvergente Folge {b − n1 }n≥N ⊂ [a, b) mit hinreichend großem
N ∈ N hat den Grenzwert limn→∞ (b − n1 ) = b ̸∈ [a, b). Und für a ∈ [a, b)
gilt oﬀenbar Br (a) ̸⊂ [a, b) für alle r > 0.
2. Kugeln in Rd :
• BR (ξ) ⊂ Rd ist oﬀen für beliebige R > 0, ξ ∈ Rd .
Ist nämlich x0 ∈ BR (ξ) beliebig, so ist r := R − |x0 − ξ| > 0. Für
x ∈ Br (x0 ) haben wir dann die Abschätzung
|x − ξ| ≤ |x − x0 | + |x0 − ξ| < r + |x0 − ξ| = R,
also x ∈ BR (ξ) und somit Br (x0 ) ⊂ BR (ξ).
Man bezeichnet daher BR (ξ) auch als oﬀene Kugel im Rd .
• Im Gegensatz dazu ist B̂R (ξ) := {x ∈ Rd : |x − ξ| ≤ R} abgeschlossen
und heißt abgeschlossene Kugel im Rd .
Ist nämlich {xn }n ⊂ B̂R (ξ) mit xn → x0 (n → ∞) beliebig, so liefert
Grenzübergang n → ∞ in der Ungleichung |xn − ξ| ≤ R für alle n ∈ N:
R ≥ lim |xn − ξ| = lim (xn − ξ) = |x0 − ξ|,
n→∞
also x0 ∈ B̂R (ξ).
n→∞
10. DER D-DIMENSIONALE RAUM UND METRISCHE RÄUME
73
• Die Kugelschale Sϱ,R (ξ) := BR (ξ) \ Bϱ (ξ) = {x ∈ Rd : ϱ ≤ |x − ξ| < R} mit 0 < ϱ < R
ist weder oﬀen noch abgeschlossen.
Für x0 ∈ Sϱ,R (ξ) mit |x0 − ξ| = ϱ gilt nämlich Br (x0 ) ̸⊂ Sϱ,R (ξ) für alle r > 0, da
ξ−x0
z.B. y := x0 + ε |ξ−x
für hinreichend kleines ε ∈ (0, r) zwar in Br (x0 ) aber nicht in
0|
Sϱ,R (ξ) liegt, d.h. Sϱ,R (ξ) ist nicht oﬀen. Und andererseits ﬁnden wir für konvergentes
{xn }n ⊂ Sϱ,R (ξ) mit |xn −ξ| = R− n1 , n ≥ N , die Relation limn→∞ xn =: x0 ̸∈ Sϱ,R (ξ),
d.h. Sϱ,R (ξ) ist auch nicht abgeschlossen.
3. Q ist weder oﬀen noch abgeschlossen.
4. Rd und ∅ sind die einzigen Teilmengen von Rd , die sowohl oﬀen als auch abgeschlossen sind.
Wir erinnern an den Begriﬀ der Komplementärmenge oder des Komplements
einer Menge M ⊂ Rd , nämlich
M c := Rd \ M = {x ∈ Rd : x ̸∈ M }.
Satz 10.5: Eine Menge M ⊂ Rd ist genau dann oﬀen, wenn ihr Komplement M c
abgeschlossen ist. Weiter ist M genau dann abgeschlossen, wenn M c oﬀen ist.
Beweis: Es genügt, die erste Aussage zu beweisen. Die zweite folgt dann unmittelbar
aus der Relation (M c )c = M .
• ⇒“: Sei M ⊂ Rd oﬀen. Wäre dann M c nicht abgeschlossen, so gäbe es eine
”
konvergente Folge {xn }n ⊂ M c mit xn → x0 ̸∈ M c (n → ∞). Das heißt aber
x0 ∈ M , und da M oﬀen ist, gäbe es eine Kugel Br (x0 ) ⊂ M mit geeignetem
Radius r > 0. Da andererseits |xn − x0 | → 0 (n → ∞) gilt, müsste aber
xn ∈ Br (x0 ) ⊂ M für hinreichend großes n ∈ N erfüllt sein, im Widerspruch
zu {xn }n ⊂ M c . Also ist M c abgeschlossen.
• ⇐“: Sei nun M c abgeschlossen. Wäre M nicht oﬀen, so gäbe es ein x0 ∈ M
”
mit Br (x0 ) ̸⊂ M für alle r > 0. Wählen wir insbesondere r = n1 , so gäbe es
also xn ∈ B 1 (x0 ) mit xn ∈ M c für alle n ∈ N. Für die so gewählte Folge
n
{xn }n ⊂ M c gölte dann aber |xn − x0 | < n1 → 0 (n → ∞). Und da M c
abgeschlossen ist, müsste x0 ∈ M c folgen, Widerspruch! Also ist M oﬀen.
q.e.d.
Notation: Meist werden wir oﬀene Mengen mit dem (ggf. indizierten) Symbol Ω ⊂
Rd und abgeschlossene Mengen mit A ⊂ Rd bezeichnen.
Satz 10.6:
(a) Sind Ω1 , . . . , Ωn ⊂ Rd oﬀen, so gilt dies auch für
n
∩
j=1
Ωj .
74
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
(b) Sind A1 , . . . , An ⊂ Rd abgeschlossen, so ist auch
n
∪
Aj abgeschlossen.
j=1
(c) Sei J eine beliebige Indexmenge∪und {Ωj }j∈J eine Familie oﬀener Mengen.
Dann ist auch die Vereinigung
Ωj := {x ∈ Rd : x ∈ Ωj für ein j ∈ J}
j∈J
oﬀen.
(d) Ist {Aj }j∈J eine Familie abgeschlossener
Mengen mit beliebiger Indexmenge
∩
J, so ist auch der Durchschnitt
Aj := {x ∈ Rd : x ∈ Aj für alle j ∈ J}
j∈J
abgeschlossen.
Beweis: Wegen Satz 10.5 und der allgemeinen Relationen
(∪
j∈J
)c
Mj
=
∩
j∈J
Mjc ,
(∩
j∈J
)c
Mj
=
∪
Mjc
j∈J
genügt es die (nahezu trivialen) Aussagen (a) und (c) zu beweisen (Übungsaufgabe).
q.e.d.
Deﬁnition 10.4: Sei M ⊂ Rd eine beliebige Menge. Dann heißt ein Punkt x0 ∈ Rd :
• innerer Punkt von M , wenn ein r > 0 mit Br (x0 ) ⊂ M existiert.
• Randpunkt von M , wenn zu jedem r > 0 Punkte y ∈ M und z ∈ M c mit
y, z ∈ Br (x0 ) existieren.
• Häufungspunkt von M , wenn zu jedem r > 0 ein x ∈ M \ {x0 } existiert mit
x ∈ Br (x0 ).
• isolierter Punkt von M , wenn x0 ∈ M gilt und x0 kein Häufungspunkt von M
ist.
Die Menge der inneren Punkte von M ⊂ Rd heißt das Innere von M ; wir schreiben
int M oder M̊ . Die Menge der Randpunkte heißt Rand von M und wird mit ∂M
bezeichnet. Schließlich heißt M := M ∪ ∂M der Abschluss von M .
Bemerkungen: Ein Punkt x0 ∈ Rd ist oﬀenbar genau dann Häufungspunkt von
M ⊂ Rd , wenn eine Folge {xn }n ⊂ M \ {x0 } existiert mit xn → x0 (n → ∞).
Ferner ist x0 genau dann Randpunkt von M , wenn zwei Folgen {yn }n ⊂ M und
{zn }n ⊂ M c existieren mit yn → x0 , zn → x0 (n → ∞).
10. DER D-DIMENSIONALE RAUM UND METRISCHE RÄUME
75
Satz 10.7: Für eine beliebige Menge M ⊂ Rd gelten die folgenden Aussagen:
(i) ∂M = ∂(M c ).
(ii) M ist genau dann oﬀen, wenn M = int M gilt.
(iii) M = int M ∪ ∂M , ∂M = M \ int M .
(iv) Ist {xn }n ⊂ M konvergent, so gilt limn→∞ xn =: x0 ∈ M .
(v) M ist abgeschlossen ⇔ ∂M ⊂ M ⇔ M = M .
Beweis: (i) und (ii) sind aus den Deﬁnitionen sofort klar. Wir beweisen (iii)-(v):
(iii) Wir zeigen M \ int M ⊂ ∂M . In der Tat: Ist x0 ∈ M \ int M , so gilt Br (x0 ) ̸⊂ M für alle
r > 0. D.h. für jedes r > 0 existieren y := x0 ∈ M , z ∈ M c mit y, z ∈ Br (x0 ), also folgt
x0 ∈ ∂M . Aus der Deﬁnition von M folgt nun
M = M ∪ ∂M = (M \ int M ) ∪ int M ∪ ∂M = int M ∪ ∂M
und damit auch ∂M = M \ int M , wie behauptet.
(iv) Sei {xn }n ⊂ M konvergent und x0 = limn→∞ xn . Falls x0 ∈ int M gilt, ist nichts zu zeigen
wegen int M ⊂ M ⊂ M . Sei also x0 ̸∈ int M , d.h. es gilt Br (x0 ) ̸⊂ M für alle r > 0. Also
existiert zu jedem n ∈ N ein zn ∈ M c mit |zn − x0 | < n1 , d.h. zn → x0 (n → ∞). Nach obiger
Bemerkung folgt x0 ∈ ∂M ⊂ M , also die Behauptung.
(v) Zunächst ist ∂M ⊂ M ⇔ M = M wieder per Deﬁnition klar. Wir beweisen die erste
Äquivalenz:
⇒“: Sei M abgeschlossen und x0 ∈ ∂M gewählt. Dann existiert eine Folge {xn }n ⊂ M mit
”
xn → x0 (n → ∞). Und es folgt x0 ∈ M wegen der Abgeschlossenheit von M , also
∂M ⊂ M .
⇐“: Sei umgekehrt ∂M ⊂ M . Und sei eine konvergente Folge {xn }n ⊂ M gewählt. Nach
”
(iv) gilt dann x0 := limn→∞ xn ∈ M = M ∪ ∂M = M , also ist M abgeschlossen.
q.e.d.
Beispiel: Für die oﬀene Kugel BR (ξ) im Rd gilt:
int BR (ξ) = BR (ξ),
BR (ξ) = {x ∈ Rd : |x − ξ| ≤ R} = B̂R (ξ),
∂BR (ξ) = {x ∈ Rd : |x − ξ| = R} =: SR (ξ).
Mit S d−1 := {x ∈ Rd : |x| = 1} = S1 (0) bezeichnen wir die Einheitssphäre im Rd .
Deﬁnition 10.5: Eine Teilmenge M ⊂ Rd heißt
• beschränkt, falls ein R > 0 existiert mit M ⊂ BR (0); anderenfalls nennen wir
M unbeschränkt.
• kompakt, falls M beschränkt und abgeschlossen ist.
76
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Bemerkung: Ist M nichtleer und beschränkt, so ist der Durchmesser
diam M := sup{|x − y| : x, y ∈ M }
wohl deﬁniert, d.h. diam M ist endlich und eindeutig bestimmt.
Satz 10.8: Eine Teilmenge K ⊂ Rd ist genau dann kompakt, wenn jede Folge
{xn }n ⊂ K eine konvergente Teilfolge {xnl }l enthält mit lim xnl =: x0 ∈ K.
l→∞
Bemerkung: Eine Menge K nennt man folgenkompakt, wenn jede Folge {xn }n ⊂ K
eine Teilfolge {xnl }l enthält mit xnl → x0 ∈ K (l → ∞). Satz 10.8 besagt also, dass
für Teilmengen des Rd Kompaktheit und Folgenkompaktheit äquivalent sind. Für
Teilmengen aus unendlich dimensionalen“ (metrischen) Räumen gilt dies i.A. nicht
”
mehr, siehe aber Satz 10.10 unten. In solchen Räumen wird der Begriﬀ der Kompaktheit abweichend von Deﬁnition 10.5, nämlich durch die Heine-Borel-Eigenschaft“,
”
erklärt. Im Rd ist auch diese Eigenschaft äquivalent zu unserer Deﬁnition; vgl. Analysis 2.
Beweis von Satz 10.8:
⇒“: Sei K beschränkt und abgeschlossen. Eine beliebige Folge {xn }n ⊂ K ist dann
”
beschränkt und nach Satz 10.4 existiert eine konvergente Teilfolge {xnl }l ⊂ K.
Da nun K abgeschlossen ist, gilt liml→∞ xnl =: x0 ∈ K.
⇐“: Nun sei K folgenkompakt. Dann ist K oﬀenbar abgeschlossen. Wäre K nicht
”
beschränkt, so gäbe es zu jedem n ∈ N ein xn ∈ M mit xn ̸∈ Bn (0). Somit gilt
|xn | > n für alle n ∈ N, d.h. aus {xn }n können wir keine konvergente Teilfolge
auswählen, Widerspruch! Also ist K kompakt.
q.e.d.
Deﬁnition 10.6: Eine Teilmenge S ⊂ M heißt dicht in M ⊂ Rd , wenn zu jedem
x0 ∈ M eine Folge {xn }n ⊂ S existiert mit xn → x0 (n → ∞).
Zum Beispiel liegt Qd dicht in Rd , denn zu beliebigem x0 = (x01 , . . . , x0d ) ∈ Rd
können wir nach Satz 5.1 Folgen {xnj }n ⊂ Q, j = 1, . . . , d, ﬁnden mit xnj → x0j (n →
∞) und folglich
Qd ∋ xn := (xn1 , . . . , xnd ) → (x01 , . . . , x0d ) = x0
für n → ∞.
Abschließend wollen wir den Begriﬀ des metrischen Raumes angeben und kurz
diskutieren:
Deﬁnition 10.7: Sei X eine beliebige Menge und zu je zwei Punkten x, y ∈ X
existiere eine reelle Zahl d(x, y) mit den folgenden Eigenschaften:
10. DER D-DIMENSIONALE RAUM UND METRISCHE RÄUME
77
(a) d(x, y) > 0 für alle x, y ∈ X mit x ̸= y; d(x, x) = 0 für alle x ∈ X.
(b) d(x, y) = d(y, x) für alle x, y ∈ X.
(c) Dreiecksungleichung: d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) für alle x, y, z ∈ X.
Dann nennen wir (X, d) einen metrischen Raum und die Abbildung d = d(x, y) :
X × X → R die Metrik oder den Abstand auf X.
Beispiele:
1. Jede Teilmenge X ⊂ Rd ist ein metrischer Raum mit der Metrik
d(x, y) := |x − y|,
x, y ∈ X,
wie sofort aus Satz 10.1 folgt.
2. Sei X ein beliebiger linearer Vektorraum über R und es existiere eine Abbildung ∥ · ∥ : X → R, genannt Norm auf X, mit folgenden Eigenschaften:
(a) ∥x∥ ≥ 0 für alle x ∈ X; ∥x∥ = 0 ⇔ x = 0.
(b) ∥λx∥ = |λ| ∥x∥ für alle x ∈ X, λ ∈ R.
(c) Dreiecksungleichung: ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ für alle x, y ∈ X.
Dann nennt man X, oder genauer (X, ∥ · ∥), einen normierten Vektorraum;
z.B. ist also der euklidische Raum Rd mit der euklidischen Länge ∥ · ∥ := | · |
ein normierter Vektorraum. Aus (a)-(c) folgt wie in Beispiel 1 wieder, dass jede
Teilmenge Y ⊂ X eines normierten Vektorraumes auch metrischer Raum ist
mit der Metrik
d(x, y) := ∥x − y∥, x, y ∈ Y.
Wir werden später Funktionenräume“ als Beispiele normierter Vektorräume
”
kennenlernen. Diese sind, anders als der Rd , i.A. unendlich dimensional.
3. Wir können jede beliebige Menge X zu einem metrischen Raum machen mit
der diskreten Metrik
{
1, falls x ̸= y
d(x, y) :=
, x, y ∈ X.
0, falls x = y
Die Beispiele 1 und 2 zeigen also, dass man Mengen mit verschiedenen Metriken ausstatten kann; die folgenden topologischen Begriﬀe hängen dann ganz
wesentlich von der gewählten Metrik ab.
78
KAPITEL 1. ZAHLEN, FOLGEN, REIHEN
Die Begriﬀe Konvergenz und Cauchyfolge für Folgen {xn }n ⊂ Rd aus Deﬁnition 10.2 lassen sich nun sofort auf Folgen {xn }n ⊂ X aus einem metrischen
Raum (X, d) übertragen, indem man den Abstand |x − y| durch d(x, y) ersetzt;
z.B. heißt {xn }n ⊂ X konvergent (bzgl. d) gegen x ∈ X, wenn zu jedem ε > 0 ein
N = N (ε) ∈ N existiert mit
d(xn , x) < ε für alle n ≥ N.
x heißt dann wieder Grenzwert oder Limes der Folge und wir schreiben xn → x (n →
∞) oder x = limn→∞ xn . Man rechnet leicht nach, dass wieder jede konvergente Folge
in (X, d) auch Cauchyfolge ist. Die Umkehrung gilt jedoch i.A. nicht, sondern nur
in vollständigen metrischen Räumen, vgl. Deﬁnition 5.2.
Die topologischen Begriﬀe Oﬀenheit und Abgeschlossenheit, innerer Punkt, Randpunkt, Häufungspunkt und isolierter Punkt sowie Inneres, Rand und Abschluss aus
den Deﬁnitionen 10.3, 10.4 übertragen sich nun wörtlich auf Teilmengen metrischer
Räume, wenn wir noch die r-Umgebung oder r-Kugel um x0 ∈ X gemäß
Br (x0 ) := {x ∈ X : d(x, x0 ) < r}
erklären. Bezeichnet M c := X \ M das Komplement einer Teilmenge M ⊂ X, so
haben wir
Satz 10.9: Mit den oben erklärten Begriﬀen bleiben die Aussagen der Sätze 10.510.7 in jedem metrischen Raum (X, d) richtig.
Beweis: Durch wörtliches Übertragen der Beweise.
q.e.d.
Der Begriﬀ der Beschränktheit einer Menge aus Deﬁnition 10.5 macht in einem
metrischen Raum (X, d) wenig Sinn, da X kein ausgezeichnetes Element 0 enthalten muss. Wir nutzen daher den Begriﬀ des Durchmessers, vgl. die Bemerkung im
Anschluss an Deﬁnition 10.5:
Deﬁnition 10.8: Ist (X, d) metrischer Raum, so erklären wir den Durchmesser von
M ⊂ X gemäß
diam M := sup{d(x, y) : x, y ∈ M },
diam ∅ := 0.
Gilt diam M < +∞, so heißt M beschränkt, sonst unbeschränkt.
Wie bereits im Anschluss an Satz 10.8 bemerkt, gilt dieser in metrischen Räumen
i.A. nicht mehr. Erklären wir den Begriﬀ Folgenkompaktheit wieder analog zum Rd ,
so haben wir jedoch den
Satz 10.10: Jede folgenkompakte Teilmenge M eines metrischen Raumes (X, d) ist
abgeschlossen und beschränkt.
10. DER D-DIMENSIONALE RAUM UND METRISCHE RÄUME
79
Beweis:
• Abgeschlossenheit: Ist {xn }n ⊂ M konvergent gegen x0 ∈ X, so konvergiert auch jede Teilfolge {xnk }k ⊂ {xn }n gegen x0 . Die Folgenkompaktheit liefert also x0 ∈ M .
• Beschränktheit: Wäre M unbeschränkt, also sup{d(x, y) : x, y ∈ M } = +∞ erfüllt, so gäbe
es Punkte xn , yn ∈ M mit d(xn , yn ) ≥ n für alle n ∈ N. Zu beliebigem x0 ∈ M können wir
dann zu einer Teilfolge {zk′ }k ⊂ M von {xn }n oder {yn }n übergehen mit d(zk′ , x0 ) ≥ k für alle
k ∈ N. Dann enthält aber {zk′ }k oﬀenbar keine in M konvergente Teilfolge, im Widerspruch
zur Folgenkompaktheit.
q.e.d.
Kapitel 2
Funktionen und Stetigkeit
1
Beispiele und Grenzwerte von Funktionen
Deﬁnition 1.1:
• Es sei D ⊂ Rn (n ∈ N) eine beliebige, nichtleere Menge. Jedem Punkt x ∈ D
werde vermöge der Funktion f : D → Rd (d ∈ N) genau ein Wert y = f (x) ∈
Rd zugeordnet. Man schreibt auch x 7→ f (x) oder f = f (x) oder y = f (x)
für die Funktion. In Koordinaten haben wir d Funktionen f1 (x1 , . . . , xn ), . . . ,
fd (x1 , . . . , xn ), x = (x1 , . . . , xn ) ∈ D, mit
(
)
(y1 , . . . , yd ) = y = f (x) = f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fd (x1 , . . . , xn ) .
• Die Menge D ⊂ Rn heißt Deﬁnitionsbereich der Funktion f : D → Rd , die
Menge
W := {f (x) : x ∈ D} =: f (D)
ist der Wertebereich von f . Schließlich ist der Graph von f erklärt als
{
}
graph f := (x, f (x)) : x ∈ D ⊂ Rn × Rd = Rn+d .
Bemerkungen:
1. Eine Funktion ist also eine Abbildung zwischen Teilmengen n- bzw. d-dimensionaler reeller Räume, nämlich f : D → W , D ⊂ Rn , W ⊂ Rd . Daher sprechen
wir gleichwertig von Funktionen und Abbildungen.
2. Gilt speziell n = 2 oder/und d = 2, so können wir D bzw. W mit einer
komplexen Struktur ausstatten, d.h. D ⊂ C bzw. W ⊂ C auﬀassen. So kann
z.B. jede Funktion f : D → R2 als Funktion f : D → C interpretiert werden.
In diesem Sinne sind Funktionen f : D → R also Spezialfälle von Funktionen
f : D → C.
81
82
KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT
3. Analog können wir natürlich Funktionen zwischen metrischen Räumen erklären: Seien (X, d), (Y, δ) zwei metrische Räume und D ⊂ X eine nichtleere Teilmenge. Dann ordnet f : D → Y jedem x ∈ D einen eindeutigen Wert y = f (x) ∈ Y zu. Die Begriﬀe Deﬁnitionsbereich, Wertebereich
und Graph übertragen sich wörtlich; eine komponentenweise Darstellung ist
natürlich i.A. nicht möglich.
Deﬁnition 1.2: Eine Funktion f : D → Rd heißt beschränkt, wenn ein c ∈ R so
existiert, dass gilt
|f (x)| ≤ c für alle x ∈ D.
Anderenfalls heißt die Funktion unbeschränkt.
Bemerkung: Eine Funktion f : D → Rd ist also genau dann beschränkt, wenn ihr
Wertebereich W = f (D) ⊂ Rd beschränkt ist. Letztere Eigenschaft deﬁniert auch
beschränkte Funktionen zwischen metrischen Räumen.
Beispiele:
1. Für den Fall d = 1 lässt sich der Graph von f : D → R, also die Punkte
(x, f (x)) ∈ Rn+1 , x ∈ D, als Höhenfunktion über D ⊂ Rn veranschaulichen
(→ Berglandschaft). Alternativ (für n ≥ 2) kann man sich die Funktion durch
Niveaumengen veranschaulichen. Hierzu skizziert man
Γf (c) := {x ∈ D : f (x) = c},
die Niveaumenge zum Niveau c ∈ R.
Zum Beispiel skizziere man die Niveaumengen (hier Niveaulinien) für f =
(x1 , x2 ) := x21 − x22 , x = (x1 , x2 ) ∈ R2 . Man beachte, dass f unbeschränkt ist,
da Γ(c) ̸= ∅ für alle c ∈ R gilt.
Konvention: Für n = 2, d = 1 schreibt man häuﬁg x1 =: x, x2 =: y und
y =: z, also z = f (x, y).
2. Eine Funktion f : D → Rd , d ≥ 2, kann man als Vektorfeld interpretieren,
indem man an jeden Punkt x ∈ D ⊂ Rn den Vektor f (x) ∈ Rd anheftet“.
”
Diese Interpretation spielt vor allem in der Physik eine Rolle, etwa bei der
Beschreibung von Kraftfeldern.
3. Weiter lässt sich f : D → Rd , d ≥ 2, für D ⊂ Rn mit n = 1 als Kurve und für
n = 2 als Fläche im Rd interpretieren. Ist allgemeiner 2 ≤ n < d, so spricht
man von einer n-dimensionalen Fläche im Rd . Dabei heißt m := d − n ∈ N die
Codimension der Fläche.
1. BEISPIELE UND GRENZWERTE VON FUNKTIONEN
83
Speziell lässt sich für g : D → R mit D ⊂ Rn , n ≥ 2, der Graph von g als
n-dimensionale Fläche im Rn+1 interpretieren:
f (x) := (x, g(x)) : D → Rn+1 .
In diesem Fall ist also die Codimension m = (n + 1) − n = 1; man spricht dann
von einer Hyperﬂäche.
4. Jedes komplexe Polynom
f (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0
(a0 , . . . , an ∈ C)
ist eine Funktion f : C → C. Auch Potenzreihen
P(z) =
∞
∑
ak z k
(al ∈ C für alle l ∈ N0 )
k=0
sind komplexe Funktionen P : KR (0) → C, wobei R ∈ [0, +∞) ∪ {+∞} den
Konvergenzradius der Reihe bezeichne. Alle nichtkonstanten Polynome sind
unbeschränkt!
5. Funktionen müssen keine geschlossene Darstellung besitzen. Beispiele sind die
Signumfunktion


 −1, x < 0
0,
x=0 : R→R
sgn(x) :=


+1, x > 0
oder die Dirichletsche Sprungfunktion
{
1, x ∈ Q
: R → R.
f (x) :=
0, x ∈ R \ Q
Beide Funktionen sind beschränkt.
6. Die wohl wichtigsten Beispiele von Funktionen auf metrischen Räumen sind
durch Integrale gegeben. Z.B. werden wir insbesondere für stetige Funktionen
f : [a, b] → R, −∞ < a < b < +∞, das Riemann-Integral erklären:
∫b
I(f ) :=
f (x) dx.
a
Es wird sich zeigen, dass der Raum C 0 ([a, b]) der auf [a, b] stetigen, reellwertigen Funktionen ein normierter und damit ein metrischer Raum ist. Also stellt
I : C 0 ([a, b]) → R eine Funktion auf C 0 ([a, b]) dar. Reellwertige Funktionen
auf metrischen Räumen nennt man Funktionale.
84
KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT
Deﬁnition 1.3: Sei D ⊂ Rn und x0 ein Häufungspunkt von D. Zu der Funktion
f : D → Rd gäbe es ein a ∈ Rd , so dass für alle ε > 0 ein δ = δ(ε) > 0 existiere mit
der Eigenschaft
|f (x) − a| < ε
für alle x ∈ D mit 0 < |x − x0 | < δ.
(1.1)
Dann heißt a der Grenzwert oder Limes der Funktion f = f (x) im Punkt x0 und
wir schreiben
lim f (x) = a oder f (x) → a (x → x0 ).
x→x0
Man sagt auch: f (x) konvergiert gegen a, wenn x gegen x0 strebt.
Geometrisch: Es gilt limx→x0 f (x) = a genau dann, wenn für alle ε > 0 ein δ =
δ(ε) > 0 existiert, so dass f (x) ∈ Bε (a) für alle x ∈ Bδ′ (x0 ) ∩ D richtig ist. Hier
bezeichnet
Bδ′ (x0 ) := Bδ (x0 ) \ {x0 }
die punktierte Kugel.
Satz 1.1: Für f : D → Rd , x0 Häufungspunkt von D ⊂ Rn , gilt f (x) → a (x → x0 )
genau dann, wenn für jede Folge {xp }p ⊂ D \ {x0 } mit xp → x0 (p → ∞) die
Beziehung limp→∞ f (xp ) = a gilt.
Beweis:
• ⇒“: Sei also limx→x0 f (x) = a erfüllt und {xp }p ⊂ D \ {x0 } eine Folge mit
”
xp → x0 (p → ∞). Zu beliebig vorgegebenem ε > 0 wählen wir δ = δ(ε) > 0
wie in Deﬁnition 1.3 und N = N (ε) ∈ N so, dass gilt
0 < |xp − x0 | < δ(ε)
für alle p ≥ N (ε).
Dann folgt aus Formel 1.1
|f (xp ) − a| < ε
für alle p ≥ N (ε),
also limp→∞ f (xp ) = a.
• ⇐“: Sei nun limp→∞ f (xp ) = a richtig für jede Folge {xp }p ⊂ D \ {x0 }
”
mit limp→∞ xp = x0 . Angenommen es gilt nicht limx→x0 f (x) = a, d.h.: Es
gibt ein ε > 0, so dass für alle δ > 0 ein x ∈ D existiert mit 0 < |x −
x0 | < δ und |f (x) − a| ≥ ε. Wählen wir speziell δ = p1 , so ﬁnden wir also
xp ∈ D mit 0 < |xp − x0 | < p1 und |f (xp ) − a| ≥ ε > 0 für alle p ∈ N. Da
dann aber für die Folge {xp }p ⊂ D \ {x0 } gilt limp→∞ xp = x0 , müsste nach
Voraussetzung |f (xp ) − a| → 0 (p → ∞) erfüllt sein, Widerspruch! Also gilt
doch limx→x0 f (x) = a.
q.e.d.
1. BEISPIELE UND GRENZWERTE VON FUNKTIONEN
85
Satz 1.2: (Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte)
Seien Funktionen f, g : D → Rd erklärt mit limx→x0 f (x) = a, limx→x0 g(x) = b,
wobei x0 Häufungspunkt von D ⊂ Rn sei. Dann gelten die Rechenregeln:
lim [λf (x) + µg(x)] = λa + µb
x→x0
für alle λ, µ ∈ R,
lim ⟨f (x), g(x)⟩ = ⟨a, b⟩
x→x0
und für d = 2, also f, g : D → C, auch
lim [λf (x) + µg(x)] = λa + µb
x→x0
für alle λ, µ ∈ C,
lim f (x)g(x) = ab,
x→x0
lim
x→x0
f (x)
a
= ,
g(x)
b
falls g ̸= 0 in D und b ̸= 0 ist.
Beweis: Mit Satz 1.1 ergeben sich die Aussagen sofort aus den entsprechenden Rechenregeln für Folgengrenzwerte. Zur Übung kann man die Aussagen auch direkt
über die ε-δ-Deﬁnition“ 1.1 beweisen.
”
q.e.d.
Bemerkung: Die Deﬁnition und Schreibweise von Grenzwerten aus Deﬁnition 1.3
überträgt sich wieder auf Funktionen f : D → Y , D ⊂ X, zwischen metrischen
Räumen (X, d), (Y, δ), indem man |x − x0 | durch d(x, x0 ) und |f (x) − a| durch
δ(f (x), a) ersetzt. Die geometrische Deutung bleibt also wörtlich erhalten. Auch
Satz 1.1 bleibt natürlich richtig. Hingegen machen die Rechenregeln aus Satz 1.2 nur
für Y = Rd bzw. Y = C Sinn, die Linearität auch in normierten Räumen Y .
Wir betrachten noch einige spezielle Grenzprozesse für Funktionen einer reellen
Veränderlichen:
Deﬁnition 1.4: Es seien D ⊂ R und f : D → Rd gegeben.
(i) Gilt (x0 , x0 + α) ⊂ D und gibt es ein a ∈ Rd , so dass für alle ε > 0 ein
δ = δ(ε) ∈ (0, α) existiert mit
|f (x) − a| < ε
für alle x0 < x < x0 + δ,
so heißt a der rechtsseitige Limes von f an der Stelle x0 ; wir schreiben dann
f (x0 +) := lim f (x) = a
x→x0 +
oder
f (x) → a (x → x0 +).
(ii) Gilt (x0 − α, x0 ) ⊂ D und gibt es ein a ∈ Rd , so dass für alle ε > 0 ein
δ = δ(ε) ∈ (0, α) existiert mit
|f (x) − a| < ε
für alle x0 − δ < x < x0 ,
86
KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT
so heißt a der linksseitige Limes von f an der Stelle x0 ; wir schreiben dann
f (x0 −) := lim f (x) = a
oder
x→x0 −
f (x) → a (x → x0 −).
(iii) Gilt (β, +∞) ⊂ D, so sagen wir, f (x) konvergiert gegen b ∈ Rd für x → +∞,
wenn f ( 1t ) → b (t → 0+) gilt; wir schreiben dann
lim f (x) = b
x→+∞
oder
f (x) → b (x → +∞).
(iv) Ist schließlich (−∞, β) ⊂ D, so sagen wir, f (x) konvergiert gegen b ∈ Rd für
x → −∞, wenn f ( 1t ) → b (t → 0−) richtig ist; wir schreiben dann
lim f (x) = b
x→−∞
oder
f (x) → b (x → −∞).
Bemerkung: Ist f : D → Rd , D ⊂ R und (x0 − α, x0 + α) \ {x0 } ⊂ D, so besitzt f
in x0 genau dann den Grenzwert limx→x0 f (x) =: a, wenn gilt
lim f (x) = a = lim f (x).
x→x0 −
x→x0 +
Beispiele:
1. Für die Signumfunktion sgn(x) : R → R gilt in x0 = 0:
lim sgn(x) = −1,
x→0−
lim sgn(x) = +1.
x→0+
Also besitzt sgn(x) in x0 = 0 keinen Grenzwert.
2. Für die Funktion f (x) := x1 : (0, +∞) → R gilt limx→+∞ f (x) = 0, denn wir
haben f ( 1t ) = t → 0 (t → 0+).
Deﬁnition 1.5: Sei D ⊂ Rn und x0 ∈ D Häufungspunkt. Wir sagen, eine Funktion
f : D → R konvergiert gegen +∞ (bzw. −∞) für x → x0 , wenn zu jedem c > 0 ein
δ > 0 existiert mit
f (x) > c
(bzw. f (x) < −c)
für alle x ∈ Bδ′ (x0 ) ∩ D.
Wir schreiben
lim f (x) = ±∞
x→x0
oder
f (x) → ±∞ (x → x0 ).
1. BEISPIELE UND GRENZWERTE VON FUNKTIONEN
87
Bemerkungen:
1. Man erweitert entsprechend für Funktionen f : D → R, D ⊂ R, die einseitigen
Grenzwerte aus Deﬁnition 1.4 auf Werte ±∞. Auch die Verallgemeinerung der
Deﬁnitionen 1.4 bzw. 1.5 auf metrische Räume im Bild- bzw. Urbildbereich ist
oﬀensichtlich.
2. Wie in Satz 4.3 aus Kap. 1 sieht man leicht: Sei f : D → R, D ⊂ Rn , x0
Häufungspunkt von D, mit f (x) > 0 nahe“ x0 . Dann gilt
”
⇔
lim f (x) = +∞
x→x0
lim
x→x0
1
= 0.
f (x)
Entsprechendes gilt im Falle n = 1 für die einseitigen Grenzwerte.
Beispiele:
√
1. limx→0+ x = 0. Ist nämlich ε > 0 beliebig, so wählen wir δ = δ(ε) := ε2 > 0
√
und erhalten 0 < x < ε für 0 < x < δ(ε). Nach der letzten Bemerkung folgt
√
noch limx→+∞ x = +∞, denn
1
lim √
x→+∞
x
2. Wir wissen bereits
Satz 1.2:
Def. 1.4 (iii)
=
lim
t→0+
√
t = 0.
→ 0 (x → +∞). Somit liefern die Rechenregeln aus
1
x
7−
7x − 2
= lim
x→+∞ 3x + 1
x→+∞ 3 +
lim
2
x
1
x
7
= .
3
√
√
3. Für beliebiges a ∈ R gilt limx→+∞ ( x + a − x) = 0, denn für positives x > −a folgt aus
Beispiel 1
√
√ √
√
√
√
|( x + a − x)( x + a + x)|
√
0 ≤ | x + a − x| =
√
x+a+ x
|a|
|a|
= √
√ < √ → 0 (x → +∞).
x
x+a+ x
4. limx→+∞
x3 +1
x2 +1
= +∞. Denn wir haben
lim
x→+∞
1+
1
x2 + 1
= lim
· lim
x→+∞ x x→+∞ 1 +
x3 + 1
also die Behauptung aus obiger Bemerkung.
1
x2
1
x3
= 0 · 1 = 0,
88
2
KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT
Der Stetigkeitsbegriﬀ
Deﬁnition 2.1: Seien D ⊂ Rn , x0 ∈ D und eine Funktion f : D → Rd gegeben.
Dann heißt f in x0 stetig, wenn zu jedem ε > 0 ein δ = δ(ε) > 0 existiert, so dass
gilt
|f (x) − f (x0 )| < ε für alle x ∈ D mit |x − x0 | < δ.
Anderenfalls heißt f in x0 unstetig.
Bemerkungen:
1. Ist x0 ∈ D isolierter Punkt von D, so ist oﬀenbar jede Funktion f : D → Rd
in x0 stetig.
2. Die Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft“, d.h.: Ist f in x0 stetig (bzw. un”
stetig) und ändern wir f in D \ Br (x0 ) für ein r > 0 beliebig ab, so bleibt die
resultierende Funktion in x0 stetig (bzw. unstetig).
3. Deﬁnition 2.1 überträgt sich wörtlich auf Funktionen f : D → Y , D ⊂ X,
zwischen metrischen Räumen (X, d), (Y, δ), wenn man |f (x) − f (x0 )| durch
δ(f (x), f (x0 )) und |x − x0 | durch d(x, x0 ) ersetzt. Auch der folgende Satz
bleibt richtig:
Satz 2.1: (Charakterisierung der Stetigkeit)
Sei f : D → Rd auf D ⊂ Rn erklärt und sei x0 ∈ D Häufungspunkt. Dann sind
folgende Aussagen äquivalent:
(i) f ist stetig in x0 .
(ii) Es gilt lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
(iii) Für jede Folge {xp }p ⊂ D mit xp → x0 (p → ∞) gilt lim f (xp ) = f (x0 ).
p→∞
Beweis: Sofort aus den Deﬁnitionen 1.3 und 2.1 sowie Satz 1.1. In (iii) kann die
Forderung xp ̸= x0 aus Satz 1.1 oﬀenbar fallen gelassen werden.
q.e.d.
Satz 2.2: (Rechenregeln)
(a) Sind f, g : D → Rd stetig in x0 ∈ D, so gilt dies auch für das Skalarprodukt
⟨f, g⟩ und jede Linearkombination λf + µg mit λ, µ ∈ R.
(b) Sind f, g : D → C stetig in x0 ∈ D, so gilt dies auch für jede Linearkombination λf + µg mit λ, µ ∈ C, das Produkt f g und, falls g ̸= 0 in D, auch für den
Quotienten fg .
Beweis: Sofort aus Satz 1.2 und Satz 2.1.
q.e.d.
2. DER STETIGKEITSBEGRIFF
89
Beispiele:
∑
1. Polynomfunktionen p(z) = nk=0 ak z k mit Koeﬃzienten a0 , . . . , an ∈ C sind
in jedem Punkt z0 ∈ C stetig nach Satz 2.2, da dies für die konstante f1 (z) :=
c ∈ C und die lineare Funktion f2 (z) := z erfüllt ist.
2. Die Dirichletsche Sprungfunktion
f (x) :=
{
1, x ∈ Q
0, x ∈ R \ Q
ist in keinem Punkt aus R stetig. Die Funktion
{
x, x ∈ Q
f (x) :=
0, x ∈ R \ Q
ist in x = 0 und nur dort stetig (→ Übungsaufgaben).
3. Die Signumfunktion


 −1, x < 0
0,
x=0
sgn(x) :=


1,
x>0
ist für alle x ∈ R \ {0} stetig und in x = 0 unstetig.
Satz 2.3: (Komposition stetiger Funktionen)
Seien Funktionen f : D → Rd und g : E → Rm gegeben mit D ⊂ Rn , E ⊂ Rd und
f (D) ⊂ E. Weiter seien f in x0 ∈ D und g in y0 = f (x0 ) ∈ E stetig. Dann ist auch
die Komposition h := g ◦ f : D → Rm in x0 stetig.
Beweis: Da für isolierte Punkte x0 ∈ D nichts zu zeigen ist, können wir annehmen,
dass x0 Häufungspunkt von D ist. Sei nun {xp }p ⊂ D \ {x0 } mit xp → x0 (p → ∞)
eine beliebige Folge. Nach Satz 2.1 gilt dann
lim f (xp ) = f (x0 ) = y0 .
p→∞
Somit folgt wiederum nach Satz 2.1
lim h(xp ) = lim g(f (xp )) = g(y0 ) = h(x0 ),
p→∞
p→∞
also die behauptete Stetigkeit von h = g ◦ f .
q.e.d.
Deﬁnition 2.2: Eine Funktion f : D → Rd , D ⊂ Rn , nennen wir stetig (auf D),
wenn f in allen Punkten x ∈ D stetig ist. Mit C 0 (D, Rd ) bezeichnen wir die Klasse
aller auf D stetigen Funktionen. Für d = 1 schreiben wir auch kurz C 0 (D) :=
C 0 (D, R) und für d = 2 auch C 0 (D, C) := C 0 (D, R2 ).
90
KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT
Bemerkung: Gemäß Satz 2.2 wird C 0 (D, Rd ) durch die Verknüpfungen
(f + g)(x) := f (x) + g(x),
(λf )(x) := λf (x)
für x ∈ D
zu einem (unendlich dimensionalen) Vektorraum.
Wir wollen nun die Umkehrfunktion zu einer injektiven Funktion f : D → Rd
mit D ⊂ Rn betrachten, d.h. die Funktion f −1 : W → Rn mit W := f (D), die durch
die Forderung
f (x) = y
⇔
f −1 (y) = x für x ∈ D, y ∈ W
eindeutig bestimmt ist.
Satz 2.4: (Stetigkeit der Umkehrfunktion)
Sei K ⊂ Rn kompakt und f : K → Rd sei stetig und injektiv mit Wertebereich
W := f (K). Dann ist auch die Umkehrfunktion f −1 : W → Rn von f stetig auf W .
Beweis: Sei y0 ∈ W beliebig gewählt und sei {yp }p ⊂ W mit yp → y0 (p → ∞). Zu
zeigen ist dann
xp := f −1 (yp ) → f −1 (y0 ) =: x0 (p → ∞).
Die Folge {xp }p ⊂ K ist beschränkt, da K beschränkt ist. Sei nun ξ ∈ Rn ein
beliebiger Häufungspunkt von {xp }p und {xpk }k eine Teilfolge mit xpk → ξ (k → ∞).
Da K abgeschlossen ist, gilt ξ ∈ K. Die Stetigkeit von f liefert also f (xpk ) →
f (ξ) (k → ∞). Andererseits wissen wir
f (xpk ) = f (f −1 (ypk )) = ypk → y0 (k → ∞),
also f (ξ) = y0 = f (x0 ), so dass die Injektivität von f liefert ξ = x0 für alle Häufungspunkte von {xp }p . Das bedeutet lim xp = x0 , wie behauptet.
p→∞
q.e.d.
Bemerkung: Auch die Sätze 2.3 und 2.4 bleiben für Funktionen zwischen metrischen
Räumen richtig, wenn man in Satz 2.4 noch kompakt“ durch folgenkompakt“ er”
”
setzt; vgl. Kap. 1, § 10.
Wir wollen uns nun der Frage nach der Existenz einer stetigen Umkehrfunktion
für reellwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen widmen. Wir beginnen mit
einem Satz, der von unabhängigem Interesse ist:
Satz 2.5: (Zwischenwertsatz von Bolzano-Weierstraß)
Sei f : [a, b] → R stetig mit f (a) ̸= f (b). Dann existiert zu jedem Wert c zwischen
f (a) und f (b) mindestens ein ξ ∈ (a, b) mit f (ξ) = c.
2. DER STETIGKEITSBEGRIFF
91
Beweis: Wir können f (a) < c < f (b) annehmen; anderenfalls gehen wir zu −f und
−c über. Wir betrachten nun die Menge
M := {x ∈ [a, b] : f (x) < c},
die oﬀenbar nichtleer und beschränkt ist. Setzen wir ξ := sup M , so gibt es eine
Folge {xp }p ⊂ M mit xp → ξ (p → ∞); vgl. Hilfssatz 6.1 aus Kap. 1. Die Stetigkeit
von f liefert also f (ξ) = limp→∞ f (xp ) ≤ c, und nach Voraussetzung folgt ξ < b.
Wäre nun f (ξ) < c, so gäbe es wegen der Stetigkeit von f ein δ ∈ (0, b − ξ), so
dass gilt
f (x) < c für alle x ∈ [ξ, ξ + δ),
im Widerspruch zur Wahl von ξ = sup M . Also folgt f (ξ) = c.
q.e.d.
Folgerung 2.1: Sei I ⊂ R ein beliebiges, nicht notwendig beschränktes Intervall
und f : I → R eine stetige Funktion. Dann ist auch f (I) ⊂ R ein Intervall.
Beweis: Wir setzen I ∗ = f (I) und
ξ := inf I ∗ ∈ R ∪ {−∞},
η := sup I ∗ ∈ R ∪ {+∞}.
Wir zeigen nun (ξ, η) ⊂ I ∗ : Ist nämlich y ∈ (ξ, η) beliebig, so gibt es gemäß Hilfssatz 6.1 aus Kap. 1
Zahlen a, b ∈ I mit
ξ ≤ f (a) < y < f (b) ≤ η.
Nach dem Zwischenwertsatz existiert nun ein x ∈ (a, b) ⊂ I mit f (x) = y, d.h. y ∈ I ∗ .
Wir erhalten, dass I ∗ eines der folgenden Intervalle sein muss:
(ξ, η),
[ξ, η),
(ξ, η]
oder
[ξ, η].
∗
Sonst gäbe es nämlich ein z ∈ I mit z < ξ oder z > η, im Widerspruch zur Deﬁnition von ξ und η.
q.e.d.
Deﬁnition 2.3: Eine Funktion f : D → R, D ⊂ R, heißt monoton wachsend
(bzw. fallend), wenn
f (x) ≤ f (y)
(bzw. f (x) ≥ f (y))
für alle x, y ∈ D mit x < y
erfüllt ist. f heißt streng monoton wachsend (bzw. fallend), wenn gilt
f (x) < f (y)
(bzw. f (x) > f (y))
für alle x, y ∈ D mit x < y.
Satz 2.6: Sei I ⊂ R ein nichtleeres Intervall. Dann besitzt jede stetige, streng monotone Funktion f : I → R eine stetige, streng monotone Umkehrfunktion f −1 :
I ∗ → R mit dem Intervall I ∗ := f (I).
Beweis: Zunächst ist eine streng monotone Funktion oﬀensichtlich injektiv. Also existiert die Umkehrfunktion f −1 : I ∗ → R, und nach Folgerung 2.1 ist I ∗ ein Intervall. O.B.d.A. sei nun f streng
monoton wachsend, sonst gehen wir zu −f über. Dann ist auch f −1 streng monoton wachsend. Zu
zeigen bleibt also die Stetigkeit von f −1 :
92
KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT
• Sei dazu zunächst y0 ∈ int I ∗ . Dann ist auch x0 := f −1 (y0 ) ∈ int I aufgrund der Monotonie.
Also existiert ein ε > 0 mit [x0 − ε, x0 + ε] ⊂ I, und nach Satz 2.4 ist f −1 stetig auf
f ([x0 − ε, x0 + ε]), also insbesondere in f (x0 ) = y0 .
• Sei nun y0 ̸∈ int I ∗ . Dann ist y0 ein Endpunkt von I ∗ , sagen wir der linke Endpunkt. Somit
muss, wieder wegen der Monotonie, auch x0 := f −1 (y0 ) linker Endpunkt von I sein. Es gibt
dann ein ε > 0, so dass gilt [x0 , x0 + ε] ⊂ I und nach Satz 2.4 ist f −1 stetig auf f ([x0 , x0 + ε])
und insbesondere in f (x0 ) = y0 .
q.e.d.
3
Stetige Funktionen auf Kompakta, gleichmäßige Stetigkeit
Wir haben in Paragraph 2 gesehen, dass stetige, injektive Funktionen auf kompakten
Teilmengen des Rn eine stetige Umkehrfunktion besitzen. In diesem Paragraphen
wollen wir weitere Eigenschaften kennenlernen, die Kompakta als Deﬁnitionsgebiete
auszeichnen. Wir beginnen mit dem
Satz 3.1: Ist K ⊂ Rn kompakt und f ∈ C 0 (K, Rd ), dann ist auch f (K) ⊂ Rd
kompakt.
Beweis: Sei {yp }p ⊂ f (K) eine beliebige Folge. Zu jedem yp gibt es (mindestens) ein
xp ∈ K mit f (xp ) = yp . Da K kompakt ist, können wir nach Kap. 1, Satz 10.8 aus
{xp }p ⊂ K eine konvergente Teilfolge {xpl }l auswählen mit liml→∞ xpl =: x0 ∈ K.
Die Stetigkeit von f ergibt nun
ypl = f (xpl ) → f (x0 ) =: y0 ∈ f (K)
für l → ∞.
Wiederum Satz 10.8 aus Kap. 1 liefert die behauptete Kompaktheit von f (K).
q.e.d.
Eines der wichtigsten Hilfsmittel der Analysis enthält der folgende
Satz 3.2: (Weierstraßscher Hauptlehrsatz)
Sei K ⊂ Rn kompakt und nichtleer und sei f ∈ C 0 (K, R). Dann gibt es Punkte
x, x ∈ K, so dass gilt
f (x) ≤ f (x) ≤ f (x)
für alle x ∈ K.
Bemerkung: Relation (3.1) können wir auch schreiben als
f (x) = inf f (K) =: inf f (x) = inf f,
x∈K
K
f (x) = sup f (K) =: sup f (x) = sup f.
x∈K
K
(3.1)
3. KOMPAKTA UND GLEICHMÄSSIGE STETIGKEIT
93
Das heißt: Eine stetige, auf einem Kompaktum erklärte Funktion nimmt dort ihr
Inﬁmum (=Minimum) bzw. Supremum (=Maximum) an. Die Aussage wird oﬀenbar
falsch, wenn man eine der Voraussetzungen fallen lässt.
Beweis von Satz 3.2: Nach Satz 3.1 ist f (K) ⊂ R beschränkt und abgeschlossen.
Inbesondere existieren also
m := inf f ∈ R,
K
m := sup f ∈ R.
K
Nach Hilfssatz 6.1 aus Kap. 1 gibt es nun zwei Folgen {xp }p , {xp }p ⊂ K mit
f (xp ) → m, f (xp ) → m (p → ∞).
(3.2)
Da K kompakt ist, können wir andererseits konvergente Teilfolgen {xpl }l , {xpl }l
auswählen mit x := liml→∞ xpl ∈ K und x := liml→∞ xpl ∈ K. Die Stetigkeit von f
liefert dann
(3.3)
f (xpl ) → f (x), f (xpl ) → f (x) (l → ∞).
Ein Vergleich von (3.2) und (3.3) ergibt also
f (x) = m ≤ f (x) ≤ m = f (x) für alle x ∈ K,
wie behauptet.
q.e.d.
Für die Formulierung des dritten grundlegenden Resultats benötigen wir noch
die folgende Verschärfung des Stetigkeitsbegriﬀs:
Deﬁnition 3.1: Sei D ⊂ Rn und f : D → Rd gegeben. Dann heißt f gleichmäßig
stetig auf D, wenn zu jedem ε > 0 ein δ = δ(ε) > 0 existiert, so dass gilt
|f (x) − f (x′ )| < ε
für alle x, x′ ∈ D mit |x − x′ | < δ.
(3.4)
Bemerkung: Für eine stetige Funktion f ∈ C 0 (D, Rd ) gilt (3.4) ebenfalls, jedoch
mit einem i.A. von x, x′ ∈ D abhängigen δ = δ(ε, x, x′ ). Jede gleichmäßig stetige
Funktion ist also stetig. Die Umkehrung gilt jedoch nicht, wie etwa das Beispiel
f (x) := x1 , x ∈ (0, 1], zeigt: Angenommen es gäbe z.B. für ε = 1 ein δ > 0, so
dass |f (x) − f (x′ )| < 1 für alle x, x′ ∈ (0, 1] mit |x − x′ | < δ richtig ist. Speziell für
0 < x < min{δ, 12 } und x′ = 2x folgte dann aber |x−x′ | = x < δ und |f (x)−f (x′ )| =
1
1
| x1 − 2x
| = 2x
> 1, Widerspruch!
Satz 3.3: (Heine)
Ist K ⊂ Rn kompakt und f ∈ C 0 (K, Rd ), so ist f gleichmäßig stetig.
94
KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT
Beweis: Angenommen, f ist nicht gleichmäßig stetig. Dann gibt es also ein ε > 0,
so dass für alle δ > 0 Punkte x, x′ ∈ K mit |x − x′ | < δ existieren, für die gilt
|f (x) − f (x′ )| ≥ ε. Wählen wir insbesondere δ = p1 , p ∈ N, so ﬁnden wir also Folgen
{xp }p , {x′p }p ⊂ K mit
1
für alle p ∈ N
(3.5)
|xp − x′p | <
p
und
|f (xp ) − f (x′p )| ≥ ε
für alle p ∈ N.
(3.6)
Da nun K kompakt ist, existiert nach Satz 10.8 aus Kap. 1 eine konvergente Teilfolge
{xpl }l ⊂ {xp }p mit liml→∞ xpl = x0 ∈ K. Für die entsprechende Teilfolge {x′pl }l ⊂
{x′p }p liefert (3.5) ebenfalls liml→∞ x′pl = x0 . Und aus der Stetigkeit von f und (3.6)
folgern wir
0 = |f (x0 ) − f (x0 )| = lim f (xpl ) − lim f (x′pl ) = lim |f (xpl ) − f (x′pl )| ≥ ε > 0,
l→∞
l→∞
l→∞
also einen Widerspruch!
q.e.d.
Bemerkungen:
1. Im obigen Beispiel f (x) =
kompakt.
1
x,
x ∈ (0, 1], ist zwar f stetig aber (0, 1] nicht
2. Die drei Sätze dieses Paragraphen bleiben für Funktionen auf kompakten Teilmengen metrischer Räume richtig, wenn man den Kompaktheitsbegriﬀ nach
Heine-Borel benutzt. Für den Beweis verwendet man, dass dieser in metrischen
Räumen äquivalent zur Folgenkompaktheit ist.
4
Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz
Wir betrachten nun Folgen {fn }n von Funktionen fn : D → Rd , die alle auf ein und
derselben nichtleeren Menge D ⊂ Rm erklärt seien.
Deﬁnition 4.1: Eine Funktionenfolge {fn }n mit fn : D → Rd , n ∈ N, heißt punktweise konvergent auf D ⊂ Rm , wenn die Punktfolge {fn (x)}n ⊂ Rd für jedes x ∈ D
konvergent ist. Die Grenzwerte
f (x) := lim fn (x),
n→∞
x ∈ D,
deﬁnieren dann eine Funktion f : D → Rd , den sogenannten punktweisen Limes der
Funktionenfolge {fn }n . Schreibweise: fn → f (n → ∞) auf D.
4. FUNKTIONENFOLGEN UND GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ
95
Beispiele:
1. D = [0, 1] ⊂ R, fn (x) := xn . {fn }n konvergiert bekanntlich punktweise gegen
die Funktion
{
0, x ∈ [0, 1)
.
f (x) :=
1, x = 1
1
2. D = [0, +∞), gn (x) := x n . Dann konvergiert {gn }n punktweise gegen
{
1, x ∈ (0, +∞)
g(x) :=
.
0, x = 0
Die Beispiele zeigen, dass der punktweise Limes einer Folge stetiger Funktionen
nicht wieder stetig sein muss. Um beim Grenzübergang in der Klasse der stetigen
Funktionen zu bleiben, benötigen wir einen stärkeren Konvergenzbegriﬀ, der auf
Weierstraß zurückgeht:
Deﬁnition 4.2: Eine Folge {fn }n von Funktionen fn : D → Rd mit D ⊂ Rm heißt
gleichmäßig konvergent gegen f : D → Rd , in Zeichen fn →
→ f (n → ∞) auf D,
wenn zu jedem ε > 0 ein N = N (ε) ∈ N existiert mit
|fn (x) − f (x)| < ε
für alle x ∈ D und n ≥ N (ε).
(4.1)
Bemerkung: Formel (4.1) gilt natürlich auch für den punktweisen Limes einer Funktionenfolge, allerdings mit einem i.A. von x ∈ D abhängigen N = N (ε, x) ∈ N.
Satz 4.1: (Weierstraßscher Konvergenzsatz)
Die Folge {fn }n stetiger Funktionen fn : D → Rd konvergiere auf D ⊂ Rm gleichmäßig gegen f : D → Rd . Dann ist f stetig auf D.
Beweis: Nach Deﬁnition 4.2 gibt es zu beliebig gewähltem ε > 0 ein N = N (ε) ∈ N
mit
ε
für alle x ∈ D.
(4.2)
|fN (x) − f (x)| <
3
Sei nun x0 ∈ D gewählt. Da fN stetig ist, ﬁnden wir ein δ = δ(ε) > 0, so dass gilt
|fN (x) − fN (x0 )| <
ε
3
für alle x ∈ D mit |x − x0 | < δ.
Mit der Dreiecksungleichung erhalten wir nun aus (4.2) und (4.3)
|f (x) − f (x0 )| ≤ |f (x) − fN (x)| + |fN (x) − fN (x0 )| + |fN (x0 ) − f (x0 )|
ε ε ε
<
+ + = ε für alle x ∈ D mit |x − x0 | < δ,
3 3 3
(4.3)
96
KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT
wie behauptet.
q.e.d.
Der nächste Satz besagt insbesondere, dass der Raum der stetigen Funktionen“
”
im unten zu präzisierenden Sinne vollständig ist:
Satz 4.2: (Cauchys Konvergenzkriterium bei gleichmäßiger Konvergenz)
Sei {fn }n eine Folge von Funktionen fn : D → Rd , D ⊂ Rm . Dann konvergiert
{fn }n genau dann gleichmäßig (gegen ein f : D → Rd ), wenn zu jedem ε > 0 ein
N = N (ε) ∈ N existiert mit
|fn (x) − fk (x)| < ε
für alle x ∈ D und n, k ≥ N (ε).
(4.4)
Beweis:
• ⇒“: Sei fn →
→ f (n → ∞) auf D erfüllt. Dann existiert zu beliebigem ε > 0
”
ein N (ε) ∈ N mit |fn (x) − f (x)| < 2ε für alle x ∈ D und n ≥ N (ε). Mit der
Dreiecksungleichung folgt dann (4.4).
• ⇐“: Sei umgekehrt (4.4) erfüllt. Wegen der Vollständigkeit des Rd existiert
”
dann der punktweise Limes f (x) = limk→∞ fk (x), x ∈ D. Wenden wir (4.4)
auf 2ε statt ε an und gehen zur Grenze k → ∞ über, so folgt
|fn (x) − f (x)| = lim |fn (x) − fk (x)| ≤
k→∞
ε
< ε für alle x ∈ D, n ≥ N (ε),
2
also fn →
→ f (n → ∞) auf D.
Q.e.d.
Deﬁnition 4.3: Auf dem (Vektor)-Raum der stetigen, beschränkten Funktionen
Cb0 (D, Rd ) := {f ∈ C 0 (D, Rd ) : f ist beschränkt}
für nichtleeres D ⊂ Rm erklären wir die Supremumsnorm
∥f ∥D := sup |f (x)| < +∞.
x∈D
Bemerkungen:
1. Falls D = K ⊂ Rm kompakt ist, ist nach Satz 3.2 jede Funktion f ∈ C 0 (K, Rd )
beschränkt.
2. Als Übungsaufgabe prüft man nach, dass die Supremumsnorm tatsächlich eine
Norm mit den Eigenschaften (a)-(c) auf V = Cb0 (D, Rd ) ist; vgl. Kap. 1, § 10.
Also ist (V, ∥ · ∥D ) ein normierter und damit auch ein metrischer Raum.
3. Für Funktionenfolgen {fn }n ⊂ V = Cb0 (D, Rd ) gilt:
4. FUNKTIONENFOLGEN UND GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ
• fn →
→ f ∈ V (n → ∞) auf D
⇔
97
∥fn − f ∥D → 0 (n → ∞).
• Eigenschaft (4.4) ist äquivalent zu ∥fn − fk ∥D < ε für alle n, k ≥ N (ε).
Wir erhalten die
Folgerung 4.1: Der Vektorraum V = Cb0 (D, Rd ) der stetigen, beschränkten Funktionen auf D ⊂ Rm ist vollständig bez. der Supremumsnorm, d.h. (V, ∥ · ∥D ) ist ein
vollständiger normierter Raum oder Banachraum.
Beweis: Sofort aus den Sätzen 4.1 und 4.2.
q.e.d.
Wir wollen nun, analog zu komplexen Reihen, Funktionenreihen untersuchen:
Deﬁnition 4.4: Ist {fk }k eine Folge
fk : D → C, D ⊂ Rm , so heißt
∑
∑∞ von Funktionen
die zugehörige Funktionenreihe k=1 fk = k fk gleichmäßig konvergent, wenn die
Folge der Partialsummen
sn (x) :=
n
∑
fk (x),
x ∈ D,
k=1
gleichmäßig konvergiert.
Bemerkungen:
Gilt {fk }k ⊂ C 0 (D, C), so ist auch {sn }n ⊂ C 0 (D, C). Konvergiert also
1. ∑
∞
k=1 fk gleichmäßig, so ist die Grenzfunktion (=Wert der Funktionenreihe)
eine stetige Funktion nach Satz 4.1.
2. Wir beschränken uns hier auf komplexwertige Funktionenreihen, da wir bisher nur komplexe Reihen betrachtet haben. Man kann die Aussagen leicht
auf Rd -wertige Funktionenreihen übertragen, indem man die entsprechenden
Ergebnisse aus Kap. 1, § 8 auf Reihen in Rd erweitert.
Satz 4.3: (Majorantenkriterium für Funktionenreihen)
Sei D ⊂ Rm und {fk }k eine Folge von Funktionen fk : D → C. Ferner sei {ck }k ⊂ R
eine Punktfolge mit der Eigenschaft
|fk (x)| ≤ ck
für alle x ∈ D.
(4.5)
∑∞
∑∞
Falls dann
k=1 ck konvergiert, so
k=1 fk gleichmäßig auf D. Die
∑
∑ konvergiert
Reihe k ck heißt Majorante von k fk .
98
KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT
Beweis: Sei ε > 0 gewählt. Satz 8.1 aus Kap. 1 und (4.5) liefern zunächst
n
∑
|fk (x)| ≤
k=m+1
n
∑
ck < ε
für alle x ∈ D und n > m ≥ N (ε)
k=m+1
mit geeignetem N (ε) ∈ N. Aus der Dreiecksungleichung folgt dann
∑
n
∑
n
|fk (x)| < ε
fk (x) ≤
|sn (x) − sm (x)| = k=m+1
k=m+1
für alle x ∈ D und n > m ≥ N (ε). Satz 4.2 liefert also die Behauptung.
q.e.d.
Als Folgerung halten wir das folgende wichtige Resultat fest:
∑
k
Satz 4.4: Es seien {ak }k ⊂ C, R ∈ (0, +∞) ∪ {+∞} und P(z) := ∞
k=0 ak z eine
in KR (0) = {z ∈ C : |z| < R} konvergente Potenzreihe. Dann ist P : KR (0) → C
stetig.
Beweis: Sei z0 ∈ KR (0) beliebig, so folgt z0 ∈ KR0 (0) mit R0 := 12 (|z0 | + R) < R.
k
Nun ist für D := KR0 (0) die Folge {ak z k }k ⊂ C 0 (D, C) durch {|ak |R
∑0 }k ⊂ kR
majorisiert im Sinne von (4.5), und nach Satz 9.2 aus Kap. 1 konvergiert k |ak |R0 .
Satz 4.3 liefert also die gleichmäßige Konvergenz der Potenzreihe P auf D. Und nach
Satz 4.1 ist P stetig auf D, also insbesondere auch im Punkt z0 ∈ D. Da z0 ∈ KR (0)
beliebig war, folgt P ∈ C 0 (KR (0), C), wie behauptet.
q.e.d.
Folgerung 4.2: Die komplexe Exponentialfunktion
exp z = ez :=
∞
∑
zk
k=0
k!
ist auf ganz C stetig.
Wir werden exp z genauer im nächsten Kapitel untersuchen und hieraus auch
die weiteren elementaren Funktionen wie Sinus, Cosinus, Hyperbelfunktionen, Logarithmus und allgemeine Potenz ableiten.
Kapitel 3
Diﬀerential- und
Integralrechnung in einer reellen
Veränderlichen
1
Diﬀerenzierbarkeit
Wir untersuchen Funktionen einer reellen Veränderlichen f : I → Rd für d ∈ N.
Hier und im Folgenden sei I ⊂ R ein (nicht notwendig beschränktes) Intervall. Wir
beginnen mit einem der wichtigsten Begriﬀe der Analysis überhaupt:
Deﬁnition 1.1: Eine Funktion f : I → Rd heißt diﬀerenzierbar an der Stelle t0 ∈ I,
falls der Grenzwert
f (t0 + h) − f (t0 )
f (t) − f (t0 )
= lim
t→t
h→0
h
t − t0
0
f ′ (t0 ) := lim
(1.1)
existiert. f ′ (t0 ) heißt (erste) Ableitung oder Diﬀerentialquotient von f an der Stelle
t0 . Alternativ schreiben wir auch
df
(t0 ),
dt
Df (t0 )
oder
f˙(t0 )
für die Ableitung. Falls t0 ein Randpunkt von I ist, so ist der Grenzwert h → 0 in
(1.1) als einseitiger Grenzwert h → 0+ bzw. h → 0− aufzufassen.
Die Funktion f : I → Rd heißt diﬀerenzierbar (auf I), wenn f in jedem Punkt
t0 ∈ I diﬀerenzierbar ist.
99
100
KAPITEL 3. DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
Bemerkungen:
1. Geometrische Interpretationen:
(a) Der Diﬀerenzenquotient
∆h f (t0 ) :=
f (t0 + h) − f (t0 )
h
einer Funktionf : I → R ist die Steigung der Sekante an graph f durch
(t0 , f (t0 )) und (t0 + h, f (t0 + h)). Bei Grenzübergang h → 0 geht die
Sekante in die Tangente
{
}
T := (t, y) ∈ R2 : y = f ′ (t0 )(t − t0 ) + f (t0 )
an graph f im Punkt (t0 , f (t0 )) über; f ′ (t0 ) ist die Steigung der Tangente.
(b) Für eine Kurve f : I → Rd im Rd sind ∆h f (t0 ) Sekantenvektoren in
Rd und f ′ (t0 ) wird als Tangentenvektor an die Kurve im Punkt f (t0 )
interpretiert (und abgetragen).
2. Zum Beispiel sind die Funktionen f (t) := t, g(t) := c mit einer Konstanten
c ∈ R für alle t ∈ R diﬀerenzierbar und es gilt
f ′ (t) = 1,
g ′ (t) = 0
für alle t ∈ R.
3. Falls f : I → Rd diﬀerenzierbar ist, so kann man die Zuordnung t 7→ f ′ (t)
wieder als Funktion f ′ : I → Rd interpretieren. Ist f ′ diﬀerenzierbar in t0 ∈ I,
so können wir f ′′ (t0 ) := (f ′ )′ (t0 ) bilden, die zweite Ableitung von f an der
Stelle t0 , mit den alternativen Schreibweisen
f ′′ (t0 ) =
d2 f
(t0 ) = D2 f (t0 ) = f¨(t0 ).
dt2
Ist f ′ auf ganz I diﬀerenzierbar, so fassen wir f ′′ : I → Rd wiederum als
Funktion auf.
Falls allgemein die (n − 1)-te Ableitung f (n−1) : I → Rd für ein n ∈ N deﬁniert
und in t0 ∈ I diﬀerenzierbar ist, wobei f (0) := f gesetzt wird, so erklären wir
die n-te Ableitung von f in t0 als f (n) (t0 ) := (f (n−1) )′ (t0 ). Wir schreiben dann
auch
dn f
f (n) (t0 ) = n (t0 ) = Dn f (t0 ).
dt
Wenn die n-te Ableitung f (n) auf ganz I existiert, so heißt f n-mal diﬀerenzierbar.
1. DIFFERENZIERBARKEIT
101
Satz 1.1: Ist f : I → Rd gegeben, so sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(i) f ist in t0 ∈ I diﬀerenzierbar.
(ii) Es existiert ein a ∈ Rd und eine in t0 stetige Funktion φ : I → Rd mit
φ(t0 ) = 0, so dass gilt
f (t) = f (t0 ) + (t − t0 )a + (t − t0 )φ(t)
für alle t ∈ I.
(1.2)
Beweis:
• ⇒“: Sei f in t0 diﬀerenzierbar. Wir setzen dann a := f ′ (t0 ) und
”

 f (t) − f (t0 ) − a, falls t ∈ I \ {t }
0
t − t0
φ(t) :=
.

0,
für t = t0
Oﬀenbar ist dann φ in t0 stetig mit φ(t0 ) = 0, und Umstellen liefert die
gesuchte Darstellung (1.2).
• ⇐“: Haben wir umgekehrt (1.2), so liefert Umstellen für t ̸= t0 :
”
f (t) − f (t0 )
= a + φ(t) → a (t → t0 ),
t − t0
also die Diﬀerenzierbarkeit von f in t0 .
q.e.d.
Bemerkung: Der Beweis zeigt, dass a eindeutig bestimmt ist und dass gilt a = f ′ (t0 ).
Die Darstellung (1.2) liefert also eine lineare Approximation von f durch
L(t) := f (t0 ) + (t − t0 )f ′ (t0 ),
t ∈ R.
Setzen wir noch ψ(t) := a + φ(t) für t ∈ I, so haben wir die zu (1.2) äquivalente
Darstellung
f (t) = f (t0 ) + (t − t0 )ψ(t), t ∈ I,
(1.3)
wobei nun ψ : I → Rd in t0 stetig ist und ψ(t0 ) = f ′ (t0 ) erfüllt.
Folgerung 1.1: Eine in t0 ∈ I diﬀerenzierbare Funktion f : I → Rd ist in t0 stetig.
Beweis: Sofort aus Darstellung (1.2) oder (1.3).
q.e.d.
Bemerkungen:
1. Die Umkehrung von Folgerung 1.1 gilt nicht, wie etwa das Beispiel f (t) := |t| im
Punkt t0 = 0 zeigt. Es gibt sogar stetige, nirgends diﬀerenzierbare Funktionen;
siehe S. Hildebrandt: Analysis 1 (Springer-Verlag), S. 192.
102
KAPITEL 3. DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
2. Eine Funktion f = (f1 , . . . , fd ) : I → Rd ist genau dann in t0 ∈ I diﬀerenzierbar, wenn alle Komponentenfunktionen f1 , . . . , fd in t0 diﬀerenzierbar sind;
dann gilt
(
)
f ′ (t0 ) = f1′ (t0 ), . . . , fd′ (t0 ) .
3. Wie die Stetigkeit ist auch die Diﬀerenzierbarkeit (in einem Punkt) eine lokale
Eigenschaft.
Für komplexwertige Funktionen gelten folgende Rechenregeln:
Satz 1.2: Sind f, g : I → C in t0 ∈ I diﬀerenzierbar, so gilt dies auch für λf + µg
mit beliebigen λ, µ ∈ C, f · g und, falls g ̸= 0 auf I, auch für fg , und wir haben:
(λf + µg)′ (t0 ) = λf ′ (t0 ) + µg ′ (t0 )
für λ, µ ∈ C,
(f g)′ (t0 ) = f ′ (t0 )g(t0 ) + f (t0 )g ′ (t0 ) (Produktregel),
( f )′
f ′ (t0 )g(t0 ) − f (t0 )g ′ (t0 )
(t0 ) =
(Quotientenregel).
g
g(t0 )2
(1.4)
(1.5)
(1.6)
Beweis: Nach Satz 1.1 und der anschließenden Bemerkung haben wir die Darstellungen
f (t) = f (t0 ) + (t − t0 )ψ(t),
g(t) = g(t0 ) + (t − t0 )χ(t),
mit in t0 stetigen Funktionen ψ, χ : I → C, die ψ(t0 ) = f ′ (t0 ), χ(t0 ) = g ′ (t0 ) erfüllen.
Damit folgen
λf (t) + µg(t) = [λf (t0 ) + µg(t0 )] + (t − t0 )[λψ(t) + µχ(t)],
[
]
f (t) · g(t) = [f (t0 )g(t0 )] + (t − t0 ) ψ(t)g(t0 ) + f (t0 )χ(t) + (t − t0 )ψ(t)χ(t) ,
f (t)
g(t)
=
f (t0 )
ψ(t)g(t0 ) − f (t0 )χ(t)
+ (t − t0 )
.
g(t0 )
g(t)g(t0 )
Wiederum Satz 1.1 liefert die Behauptung.
q.e.d.
Bemerkung: Eine (1.4) entsprechende Regel gilt natürlich auch für Funktionen f, g :
I → Rd , dann mit λ, µ ∈ R. Formel (1.5) ist für solche Funktionen durch die Relation
⟨f, g⟩′ (t0 ) = ⟨f ′ (t0 ), g(t0 )⟩ + ⟨f (t0 ), g ′ (t0 )⟩
zu ersetzen (Übungsaufgabe).
(1.7)
1. DIFFERENZIERBARKEIT
103
Beispiele:
1.
= nxn−1 für n ∈ N0 und beliebiges x ∈ R.
Denn für n = 0, 1 ist die Aussage klar und durch Induktionsschluss n → n + 1 haben wir:
Mit xn ist nach Satz 1.2 auch xn+1 = xn · x diﬀerenzierbar und es gilt
d
(xn )
dx
d n+1
(x
)
dx
=
(IV )
=
2.
d n
(x · x)
dx
(1.5)
=
(xn )′ x + xn x′
nxn−1 x + xn · 1 = (n + 1)xn .
d
(x−n )
dx
= −nx−n−1 für n ∈ N und x ∈ R \ {0}.
Denn nach Beispiel 1 und Satz 1.2 ist x−n = x1n in R \ {0} diﬀerenzierbar, und es gilt
d −n (1.6) (1)′ · xn − 1 · (xn )′
(x ) =
= −nx−n−1 .
dx
x2n
Insgesamt haben wir also
d ν
(x ) = νxν−1
dx
für alle ν ∈ Z
und x ∈ R \ {0}.
Deﬁnition 1.2: Für beliebige k ∈ N0 erklären wir den Vektorraum C k (I, Rd ) aller
k-mal stetig diﬀerenzierbaren Funktionen f : I → Rd , die auf I Ableitungen bis zur
k-ten Ordnung besitzen und für die f (k) : I → Rd stetig ist. Weiter erklären wir
C ∞ (I, Rd ) :=
∩
C k (I, Rd ),
k∈N0
den Vektorraum der unendlich oft stetig diﬀerenzierbaren Funktionen.
Schließlich schreiben wir auch C k (I) bzw. C k (I, C) für die reell- bzw. komplexwertigen k-mal stetig diﬀerenzierbaren Funktionen (k ∈ N0 ∪ {∞}) auf I.
Bemerkung: Dass C k (I, Rd ) ein Vektorraum ist für alle k ∈ N0 ∪ {∞}, folgt aus
Satz 1.2. Nach Folgerung 1.1 sind alle Ableitungen f (= f (0) ), f ′ (= f (1) ), . . . , f (k)
einer Funktion f ∈ C k (I, Rd ) stetig auf I. Insbesondere folgt
C k (I, Rd ) ⊂ C l (I, Rd ) für l ≤ k.
Wir untersuchen nun die Komposition zweier diﬀerenzierbarer Funktionen:
Satz 1.3: (Kettenregel)
Seien I, J ⊂ R Intervalle und f : I → R, g : J → Rd zwei Funktionen mit f (I) ⊂ J.
Falls f in x0 ∈ I und g in y0 := f (x0 ) ∈ J diﬀerenzierbar sind, so ist auch die
Komposition h := g ◦ f : I → Rd in x0 diﬀerenzierbar, und es gilt
h′ (x0 ) = g ′ (f (x0 ))f ′ (x0 ).
(1.8)
104
KAPITEL 3. DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
Beweis: Aus Satz 1.1 und der anschließenden Bemerkung entnehmen wir
f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )ψ(x),
g(y) = g(y0 ) + (y − y0 )χ(y)
mit in x0 bzw. y0 = f (x0 ) stetigen Funktionen ψ : I → R, χ : J → Rd , für die ψ(x0 ) = f ′ (x0 )
bzw. χ(y0 ) = g ′ (y0 ) gilt. Es folgt also
(
)
g(f (x)) = g(f (x0 )) + f (x) − f (x0 ) χ(f (x))
[
]
= g(f (x0 )) + (x − x0 )) χ(f (x))ψ(x) .
Und da die Funktion χ(f (x))ψ(x) nach Satz 2.3 aus Kap. 2 wieder stetig ist in x0 , ist h = g ◦ f nach
Satz 1.1 diﬀerenzierbar und es gilt
h′ (x0 ) = χ(f (x))ψ(x)x=x = g ′ (f (x0 ))f ′ (x0 ),
0
wie behauptet.
q.e.d.
Wir wenden uns nun wieder der Untersuchung der Umkehrfunktion einer injektiven Funktion f : I → R zu:
Satz 1.4: (Ableitung der Umkehrfunktion)
Sei f : I → R eine stetige Funktion, die das Intervall I ⊂ R bijektiv auf I ∗ := f (I)
abbilde. Ist dann f in x0 ∈ I diﬀerenzierbar und gilt f ′ (x0 ) ̸= 0, so ist auch die
Umkehrfunktion g := f −1 : I ∗ → R in y0 := f (x0 ) diﬀerenzierbar und es gilt
g ′ (y0 ) =
1
f ′ (x0 )
.
(1.9)
Beweis: Da f streng monoton ist, ist I ∗ nach Satz 2.6 aus Kap. 2 wieder ein Intervall
und g = f −1 stetig auf I ∗ . Ist also {yn }n ⊂ I ∗ \{y0 } eine beliebige (nun existierende)
Folge mit limn→∞ yn = y0 , so gilt
lim g(yn ) = g(y0 ) = x0 .
n→∞
Setzen wir noch xn := g(yn ) ∈ I \ {x0 } für n ∈ N, so haben wir
[ f (x ) − f (x ) ]−1
g(yn ) − g(y0 )
xn − x0
n
0
=
=
,
yn − y0
f (xn ) − f (x0 )
xn − x0
n ∈ N.
(1.10)
Da f in x0 diﬀerenzierbar ist mit f ′ (x0 ) ̸= 0, können wir in (1.10) zur Grenze n → ∞
übergehen und erhalten
lim
n→∞
g(yn ) − g(y0 )
1
= ′
.
yn − y0
f (x0 )
Nach Satz 1.1 aus Kap. 2 existiert also der Grenzwert limy→y0
es gilt (1.9).
g(y)−g(y0 )
y−y0
= g ′ (y0 ) und
q.e.d.
1. DIFFERENZIERBARKEIT
105
Beispiel: Die Funktion f (x) := xn , n ∈ N, bildet [0, +∞) bijektiv auf [0, +∞) ab
√
mit der Umkehrfunktion g(y) = f −1 (y) = n y. Für x > 0 gilt f ′ (x) = nxn−1 > 0, so
dass Satz 1.4 liefert
( √ )′
1
1 1
n
y =
= y n −1 .
√
n−1
n
n( y)
n
Für die Potenzfunktion f (x) := xq , x > 0, mit einem q = rs ∈ Q (r ∈ Z, s ∈ N) folgt
somit nach der Kettenregel:
[ √
][ 1 1 −1 ]
d √
f ′ (x) =
( s x)r = r( s x)r−1
xs
= qxq−1 .
dx
s
Wir beschließen den Paragraphen mit der Untersuchung einer Funktionenfolge
fn : I → Rd , n ∈ N. In § 5 (dort noch einmal als Satz 5.7 angegeben) werden wir
folgende Aussage beweisen:
Satz 1.5: Sei I = [a, b] und {fn }n eine Folge von Funktionen fn ∈ C 1 (I, Rd ) für
alle n ∈ N. Falls dann gilt
fn → f (n → ∞),
fn′ →
→ g (n → ∞)
auf I,
so folgt für den punktweisen Limes f ∈ C 1 (I, Rd ), und es gilt f ′ = g auf I.
Falls also {fn }n punktweise und die Ableitungen {fn′ }n gleichmäßig konvergieren
(auf einem kompakten Intervall), dann können wir Limesbildung und Diﬀerentiation
vertauschen (Vertauschung zweier Grenzprozesse! ):
)
)
(d
d(
fn (x) =
lim
lim fn (x)
auf I.
n→∞ dx
dx n→∞
Wir wenden Satz 1.5 nun auf Potenzreihen an:
∑
k
Satz 1.6: Es sei f (x) := ∞
k=0 ak x , ak ∈ C, eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R ∈ (0, +∞) ∪ {+∞}. Dann gehört f : (−R, R) → C zur Klasse C 1 ((−R, R), C)
und es gilt
∞
∑
kak xk−1 , x ∈ (−R, R).
f ′ (x) =
k=1
Bemerkung: Die formal durch gliedweises Diﬀerenzieren der Reihe erhaltene Potenzreihe hat also den gleichen Konvergenzradius und stimmt mit der tatsächlichen
Ableitung der Reihe überein.
∑∞
k−1
Beweis von Satz 1.6: Wir zeigen, dass die formal diﬀerenzierte Reihe, also g(x) := ∑
, für
k=1 kak x
∞
jedes R0 ∈ (0, R) gleichmäßig auf [−R0 , R0 ] konvergiert: In der Tat majorisiert ja k=1 k|ak |R0k−1
die Reihe g(x) in [−R0 , R0 ] und nach dem Wurzelkriterium konvergiert letztere:
√
k
)
( √
k √
R0
k
k
|ak | =
< 1.
lim sup k|ak |R0k−1 = R0 · lim sup √
k
R
R0
k→∞
k→∞
106
KAPITEL 3. DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
→ g (n → ∞) auf [−R0 , R0 ], wobei
Satz 4.3 aus Kap. 2 liefert
gleichmäßige Konvergenz gn →
∑n also die
k−1
wir noch gn (x) :=
ka
x
für
die
n-te
Partialsumme
gesetzt
haben. Da natürlich fn →
k
k=1
f (n → ∞) auf [−R0 , R0 ] richtig ist (sogar gleichmäßig nach Satz 4.3 aus Kap. 2) und da fn′ = gn
für alle n ∈ N gilt, liefert Satz 1.5 nun f ∈ C 1 ([−R0 , R0 ], C) sowie
f ′ (x) = g(x) =
∞
∑
kak xk−1
auf [−R0 , R0 ].
k=1
Da schließlich R0 ∈ (0, R) beliebig war, folgt die Behauptung.
q.e.d.
∑
k
Folgerung 1.2: Die Reihe f (x) = ∞
k=0 ak x (ak ∈ C für k ∈ N0 ) konvergiere auf
(−R, R) für ein R ∈ (0, +∞) ∪ {+∞}. Dann folgt f ∈ C ∞ ((−R, R), C) und für die
n-te Ableitung gilt
f (n) (x) =
∞
∑
k(k − 1)(k − 2) . . . (k − n + 1)ak xk−n
auf (−R, R).
(1.11)
k=n
Beweis: Nach Satz 1.6 ist f ∈ C 1 ((−R, R), C) und f ′ ist wieder eine (auf R eingeschränkte) Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0. Wenden wir Satz 1.6 sukzessive auf f ′ , f ′′ , f ′′′ , . . . an, so folgt f ∈ C ∞ ((−R, R), C). Formel (1.11) beweist man
schließlich mit vollständiger Induktion.
q.e.d.
2
Lokale Extrema, Mittelwertsatz, Konvexität
Ein wichtiges Teilgebiet der Analysis ist die Behandlung von Extremwertaufgaben.
Hierfür grundlegend ist die
Deﬁnition 2.1: Es sei f : I → R auf dem Intervall I ⊂ R erklärt. Wir sagen, f
hat in x0 ∈ I ein lokales Minimum (bzw. lokales Maximum), wenn ein r > 0 so
existiert, dass gilt
f (x) ≥ f (x0 )
(bzw. f (x) ≤ f (x0 ))
für alle x ∈ I ∩ (x0 − r, x0 + r).
(2.1)
Gilt in (2.1) die strikte Ungleichung für x ̸= x0 , so hat f in x0 ein striktes lokales
Minimum (bzw. Maximum). Falls schließlich (2.1) für alle x ∈ I gilt, sprechen wir
von einem globalen Minimum (bzw. globalen Maximum).
Bemerkung: Zusammenfassend heißen lokale Minima und Maxima auch lokale Extrema und x0 wird lokale Minimal-, Maximal- oder Extremalstelle genannt (entsprechend im globalen Fall). Als Synonym für lokal“ wird auch relativ verwendet, statt
”
global“ sagen wir auch absolut.
”
Satz 2.1: (Fermat; notwendige Extremalbedingung 1. Ordnung)
Besitzt f : I → R in einem inneren Punkt x0 ∈ int I des Intervalls I ⊂ R ein lokales
Extremum und ist f in x0 diﬀerenzierbar, so folgt f ′ (x0 ) = 0.
2. LOKALE EXTREMA, MITTELWERTSATZ, KONVEXITÄT
107
Beweis: O.B.d.A. sei f in x0 minimal (sonst gehen wir zu −f über). Da x0 innerer
Punkt ist, gibt es ein ε > 0, so dass (x0 − ε, x0 + ε) ⊂ I gilt. Somit folgt
f (x) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
= f ′ (x0 ) = lim
≥ 0,
x→x0 −
x→x0 +
x − x0
x − x0
0 ≥ lim
also f ′ (x0 ) = 0.
q.e.d.
Bemerkungen:
1. Betrachte f (x) := x, I = [0, 1]. Dann ist x0 = 0 (sogar globales) Minimum,
aber es gilt f ′ (0) = 1. Also darf x0 in Satz 2.1 kein Randpunkt sein.
2. Die Bedingung f ′ (x0 ) = 0 ist nicht hinreichend für ein Extremum, wie etwa
das Beispiel f (x) := x3 , x ∈ (−1, 1), mit f ′ (0) = 0 zeigt.
Deﬁnition 2.2: Ist f : I → R im inneren Punkt x0 ∈ int I diﬀerenzierbar und gilt
f ′ (x0 ) = 0, so heißt x0 stationärer oder kritischer Punkt von f .
Bemerkung: Satz 2.1 besagt also: Jede innere lokale Extremalstelle von f ist stationär. Geometrisch bedeutet dies, dass die Tangente T = {(x, y) : y = f (x0 ) +
f ′ (x0 )(x − x0 )} an graph f im Punkt (x0 , f (x0 )) parallel zur x-Achse verläuft.
Satz 2.2: (Satz von Rolle)
Sei f : [a, b] → R stetig in [a, b] und diﬀerenzierbar in (a, b). Gilt zusätzlich f (a) =
f (b), so existiert ein ξ ∈ (a, b) mit der Eigenschaft f ′ (ξ) = 0.
Beweis: Falls f ≡ const gilt, folgt f ′ ≡ 0 auf [a, b]. Sei also f ̸≡ const auf [a, b].
Dann existiert ein x0 ∈ (a, b) mit f (x0 ) ̸= f (a), also o.B.d.A. f (x0 ) > f (a). Damit
folgt sup[a,b] f > f (a) = f (b). Nach dem Weierstraßschen Hauptlehrsatz, Satz 3.2
aus Kap. 2, nimmt also f ihr (globales) Maximum in einem inneren Punkt ξ ∈ (a, b)
an und nach Satz 2.1 gilt f ′ (ξ) = 0.
q.e.d.
Wir können nun den Satz von Rolle zum Beweis eines der meistgebrauchten
Sätze der Diﬀerential- und Intergalrechnung nutzen, nämlich von
Satz 2.3: (Mittelwertsatz)
Es sei f : [a, b] → R stetig in [a, b] und diﬀerenzierbar in (a, b). Dann gibt es ein
ξ ∈ (a, b), so dass gilt
f (b) − f (a) = f ′ (ξ)(b − a).
(2.2)
Bemerkung: Geometrisch heißt das, dass ein ξ ∈ (a, b) so existiert, dass die Tangente
an (ξ, f (ξ)) parallel zur Sekante durch (a, f (a)) und (b, f (b)) verläuft.
Satz 2.3 ergibt sich sofort als Spezialfall aus dem folgenden
108
KAPITEL 3. DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
Satz 2.4: (Allgemeiner Mittelwertsatz)
Gegeben seien zwei stetige Funktionen f, g : [a, b] → R, die diﬀerenzierbar auf (a, b)
seien. Weiter gelte g ′ ̸= 0 auf (a, b). Dann existiert ein ξ ∈ (a, b), so dass gilt
f (b) − f (a)
f ′ (ξ)
= ′ .
g(b) − g(a)
g (ξ)
Beweis: Nach dem Rolleschen Satz gilt g(a) ̸= g(b). Wir betrachten die Hilfsfunktion
φ(x) := f (x) −
f (b) − f (a)
[g(x) − g(a)],
g(b) − g(a)
x ∈ [a, b].
Oﬀenbar ist φ stetig in [a, b], diﬀerenzierbar in (a, b) und es gilt φ(a) = φ(b) = f (a).
Wieder nach dem Rolleschen Satz existiert somit ein ξ ∈ (a, b) mit
0 = φ′ (ξ) = f ′ (ξ) −
f (b) − f (a) ′
g (ξ),
g(b) − g(a)
also nach Umstellen die Behauptung.
q.e.d.
Folgerung 2.1: (Monotonieverhalten)
Ist f ∈ C 0 ([a, b]) diﬀerenzierbar in (a, b), so haben wir:
(i) Gilt f ′ (x) > 0 (bzw. f ′ (x) ≥ 0, f ′ (x) < 0, f ′ (x) ≤ 0) auf (a, b), so ist f
streng monoton wachsend (bzw. monoton wachsend, streng monoton fallend,
monoton fallend) auf [a, b].
(ii) Ist umgekehrt f monoton wachsend (bzw. monoton fallend) auf [a, b], so gilt
f ′ (x) ≥ 0 (bzw. f ′ (x) ≤ 0) auf (a, b).
(iii) Es gilt f ′ (x) ≡ 0 in (a, b) genau dann, wenn f (x) ≡ const auf [a, b] richtig ist.
Bemerkung: Strenge Monotonie impliziert nicht f ′ (x) > 0 bzw. f ′ (x) < 0 auf (a, b).
Beispiel: f (x) = x3 , x ∈ (−1, 1).
Beweis von Folgerung 2.1:
(i) Wir betrachten nur den Fall f ′ (x) > 0 auf (a, b); die anderen Aussagen folgen
analog. Seien x1 , x2 ∈ [a, b] mit x1 < x2 gewählt. Nach Satz 2.3 existiert dann
ein ξ ∈ (x1 , x2 ) mit
f (x2 ) − f (x1 ) = f ′ (ξ)(x2 − x1 ) > 0,
also f (x1 ) < f (x2 ), wie behauptet.
2. LOKALE EXTREMA, MITTELWERTSATZ, KONVEXITÄT
109
(ii) Sei f monoton wachsend (bzw. fallend). Dann gilt für beliebiges x0 ∈ (a, b)
und hinreichend kleines h ̸= 0:
f (x0 + h) − f (x0 )
≥0
h
(bzw. ≤ 0).
Grenzübergang h → 0 liefert die Behauptung.
(iii) Ist f konstant, so verschwindet die Ableitung bekanntlich identisch. Ist umgekehrt f ′ (x) ≡ 0 auf (a, b), so ist f nach (i) sowohl monoton wachsend als auch
fallend auf [a, b] und somit konstant.
q.e.d.
Folgerung 2.2: Sei f ∈ C 0 ([a, b]) in (a, b) diﬀerenzierbar und x0 ∈ (a, b) sei kritischer Punkt von f . Dann gelten:
(i) Falls f ′ (x) < 0 (bzw. f ′ (x) > 0) in (a, x0 ) und f ′ (x) > 0 (bzw. f ′ (x) < 0) in
(x0 , b) richtig ist, so hat f in x0 ein striktes globales Minimum (bzw. Maximum).
(ii) Falls f ′ (x) < 0 oder f ′ (x) > 0 für alle x ∈ (a, b) \ {x0 } gilt, so ist x0 weder
Minimum noch Maximum von f .
Beweis: Folgerung 2.1 (i) entnehmen wir
<
f ′ (x) <
> 0 für a < x < x0 ⇒ f (x0 ) > f (x) für a ≤ x < x0 ,
>
f ′ (x) <
> 0 für x0 < x < b ⇒ f (x0 ) < f (x) für x0 < x ≤ b.
Das liefert unmittelbar die Behauptungen.
q.e.d.
Beispiel: Unter allen Rechtecken gegebenem Umfangs hat das Quadrat den größten Flächeninhalt.
Denn: Es ist F = ab der Flächeninhalt des Rechtecks mit Seitenlängen a, b > 0. Und U = 2(a + b)
ist der ﬁxierte Umfang. Setzen wir b = U2 − a in F ein, so erhalten wir
(U
)
F = F (a) = a
−a ,
2
Wegen F ′ (a) =
′
− 4a) ist a0 =
1
(U
2
in (0, a0 ) und F (a) < 0 in
Maximum über [0,
U
2
(a0 , U2
U
4
[ U]
a ∈ 0,
.
2
einziger kritischer Punkt für F . Außerdem gilt F ′ (a) > 0
). Also hat F nach Folgerung 2.2 in a0 =
]. Schließlich beachten wir noch b0 :=
mit Seitenlänge a0 =
U
4
U
2
U
4
ihr striktes globales
−a0 = a0 , d.h. F wird für das Quadrat
maximal.
Satz 2.5: (Hinreichende Extremalbedingung)
Es sei f ∈ C 1 (I, R) (I ⊂ R Intervall) und in x0 ∈ int I sei f zweimal diﬀerenzierbar
mit
f ′ (x0 ) = 0 und f ′′ (x0 ) > 0 (bzw. f ′′ (x0 ) < 0).
Dann besitzt f in x0 ein striktes relatives Minimum (bzw. Maximum).
110
KAPITEL 3. DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
Bemerkung: Die oben angegebene Bedingung ist nicht notwendig, wie das Beispiel
f (x) = x4 , x ∈ R, mit dem strikten Minimum x0 = 0 zeigt.
′
′
(x0 )
Beweis von Satz 2.5: Es gelte f ′′ (x0 ) = limx→x0 f (x)−f
> 0 (der Fall f ′′ (x0 ) < 0
x−x0
ergibt sich nach Übergang zu −f ). Dann existiert ein ε > 0, so dass [x0 −ε, x0 +ε] ⊂ I
und
f ′ (x) − f ′ (x0 )
> 0 für alle x ∈ (x0 − ε, x0 + ε) \ {x0 }
x − x0
erfüllt ist. Wegen f ′ (x0 ) = 0 bedeutet dies
f ′ (x) < 0 für alle x ∈ (x0 − ε, x0 ),
f ′ (x) > 0 für alle x ∈ (x0 , x0 + ε).
Nach Folgerung 2.2 hat f in x0 ein striktes Minimum auf [x0 − ε, x0 + ε], also ein
striktes lokales Minimum.
q.e.d.
Folgerung 2.3: (Notwendige Extremalbedingung 2. Ordnung)
Sei f ∈ C 1 (I, R) auf dem Intervall I ⊂ R gegeben und sei x0 ∈ Int I eine relative
Minimalstelle (bzw. Maximalstelle) von f . Dann gilt f ′′ (x0 ) ≥ 0 (bzw. f ′′ (x0 ) ≤ 0).
Beweis: Ist x0 relative Minimalstelle und gölte f ′′ (x0 ) < 0, so wäre x0 nach Satz 2.5
auch strikte relative Maximalstelle, Widerspruch! Also muss doch f ′′ (x0 ) ≥ 0 gelten.
Entsprechend folgt die Aussage für Maximalstellen.
q.e.d.
Wir wollen noch eine Folgerung des allgemeinen Mittelwertsatzes angeben, die
sehr hilfreich bei der Berechnung von Grenzwerten ist:
Satz 2.6: (L’Hospitalsche Regel)
Es seien f, g : I → R zwei diﬀerenzierbare Funktionen auf dem Intervall I = (a, b).
Es gelte g ′ ̸= 0 auf I, und es existiere der Limes
f ′ (x)
=: c ∈ R.
x→a+ g ′ (x)
lim
Dann folgt:
(i) Falls limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0 gilt, so ist g ̸= 0 auf I richtig und es
gilt
f (x)
lim
= c.
x→a+ g(x)
(ii) Falls limx→a+ f (x) = ±∞, limx→a+ g(x) = ±∞ gilt, so existiert ein x0 ∈ (a, b)
mit g ̸= 0 für x ∈ (a, x0 ] und es gilt
lim
x→a+
f (x)
= c.
g(x)
2. LOKALE EXTREMA, MITTELWERTSATZ, KONVEXITÄT
111
Analoge Aussagen haben wir für den Grenzwert x → b−.
Beweis:
(i) Zunächst können wir f und g stetig (zu 0) in den Punkt x = a fortsetzen. Der Satz von Rolle
liefert dann g ̸= 0 auf (a, b), und nach dem allgemeinen Mittelwertsatz gibt es zu jedem
hinreichend kleinen h > 0 ein ϑ = ϑ(h) ∈ (0, 1) mit der Eigenschaft
f (a + h) − f (a)
f ′ (a + ϑh)
f (a + h)
=
= ′
.
g(a + h)
g(a + h) − g(a)
g (a + ϑh)
Für h → 0+ (und somit a+ϑh → a+) erhalten wir die Existenz des Grenzwertes limx→a+
und die Relation
f (a + h)
f ′ (a + ϑh)
f (x)
lim
= lim
= lim ′
= c,
x→a+ g(x)
h→0+ g(a + h)
h→0+ g (a + ϑh)
f (x)
g(x)
wie behauptet.
(ii) Wir ﬁxieren zunächst x1 ∈ (a, x0 ] beliebig. Zu beliebigem x ∈ (a, x1 ) existiert dann nach
dem allgemeinen Mittelwertsatz ein ξ ∈ (x, x1 ) mit
f ′ (ξ)
f (x) − f (x1 )
f (x)
=
=
m(x),
g ′ (ξ)
g(x) − g(x1 )
g(x)
wobei wir
m(x) :=
1−
1−
f (x1 )
f (x)
g(x1 )
g(x)
,
(2.3)
x ∈ (a, x1 ),
gesetzt haben. Für festgehaltenes x1 sehen wir m(x) → 1 und damit auch
x → a+.
Wir wählen nun zu vorgegebenem ε > 0 zunächst x1 so nahe an a, dass gilt
′
f (t)
− c < ε für alle t ∈ (a, x1 ),
′
g (t)
1
m(x)
→ 1 für
(2.4)
also insbesondere für t = ξ ∈ (x, x1 ). Dann wählen wir δ > 0 so klein, dass gilt a + δ ≤ x1
und
1
− 1 < ε für alle x ∈ (a, a + δ).
(2.5)
m(x)
Damit erhalten wir
′
(2.3)
1 f ′ (ξ)
f (x)
1 f (ξ)
1
− c
=
−
c
≤
−
c
+
−
1
|c|
g(x)
m(x) g ′ (ξ)
m(x) g ′ (ξ)
m(x)
(2.4),(2.5)
<
also
(x)
limx→a+ fg(x)
ε(1 + ε + |c|)
für alle x ∈ (a, a + δ),
= c, wie behauptet.
q.e.d.
Bemerkung: Satz 2.6 lässt sich noch erweitern: Einerseits gilt die entsprechende Aussage auch für c = ±∞, andererseits auch für a = −∞ bzw. b = +∞ (Übungsaufgabe).
Deﬁnition 2.3: Eine Funktion f : I → R, I ⊂ R Intervall, heißt konvex, wenn für
alle x1 , x2 ∈ I und alle λ ∈ (0, 1) gilt
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ).
(2.6)
Die Funktion f heißt konkav, wenn −f konvex ist. Gilt schließlich in (2.6) die strikte
Ungleichung für x1 ̸= x2 , so heißt f streng konvex; gilt dies für −f , so nennen wir
f streng konkav.
112
KAPITEL 3. DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
Satz 2.7: Sei I ⊂ R ein Intervall und f : I → R ∈ C 2 (I). Dann ist f genau dann
konvex, wenn f ′′ (x) ≥ 0 für alle x ∈ I gilt.
Bemerkung: Es folgt sofort: f ∈ C 2 (I) ist genau dann konkav, wenn f ′′ (x) ≤ 0 auf
I gilt. Eine Verschärfung f ∈ C 2 (I) streng konvex ⇔ f ′′ > 0“ von Satz 2.7 gilt
”
übrigens nicht, wie das Beispiel f (x) = x4 , x ∈ R, zeigt; siehe aber Folgerung 2.4
unten.
Beweis von Satz 2.7:
•
⇐“: Sei zunächst f ′′ (x) ≥ 0 in I erfüllt. Nach Folgerung 2.1 ist dann f ′ : I → R monoton
”
wachsend. Seien x1 , x2 ∈ I und λ ∈ (0, 1) gewählt, so können wir o.B.d.A. x1 < x2 annehmen
und setzen x := λx1 + (1 − λ)x2 ∈ (x1 , x2 ). Nach dem Mittelwertsatz ﬁnden wir ξ1 ∈ (x1 , x)
und ξ2 ∈ (x, x2 ) mit
f (x2 ) − f (x)
f (x) − f (x1 )
= f ′ (ξ1 ) ≤ f ′ (ξ2 ) =
.
x − x1
x2 − x
Beachten wir noch x − x1 = (1 − λ)(x2 − x1 ) und x2 − x = λ(x2 − x1 ), so folgt
f (x) − f (x1 )
f (x2 ) − f (x)
≤
1−λ
λ
und nach Umstellen schließlich (2.6), d.h. f ist konvex.
•
⇒“: Sei nun f : I → R konvex und wir nehmen an, dass nicht f ′′ (x) ≥ 0 auf I gilt. Dann
”
existiert ein x0 ∈ int I mit f ′′ (x0 ) < 0. Wir erklären nun die Hilfsfunktion
φ(x) := f (x) − f ′ (x0 )(x − x0 ),
x ∈ I.
Oﬀenbar gilt φ ∈ C 2 (I) und φ′ (x0 ) = 0, φ′′ (x0 ) = f ′′ (x0 ) < 0. Nach Satz 2.5 besitzt
also φ in x0 ein striktes lokales Maximum, und insbesondere ﬁnden wir ein h > 0, so dass
[x0 − h, x0 + h] ⊂ I sowie
φ(x0 − h) < φ(x0 ),
φ(x0 + h) < φ(x0 )
erfüllt sind. Hieraus erhalten wir
f (x0 ) = φ(x0 ) >
)
)
1(
1(
φ(x0 − h) + φ(x0 + h) =
f (x0 − h) + f (x0 + h) .
2
2
(2.7)
Setzen wir schließlich x1 := x0 −h, x2 := x0 +h und λ = 12 , so haben wir x0 = λx1 +(1−λ)x2
und (2.7) besagt
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) > λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ),
was ein Widerspruch zur vorausgesetzten Konvexität von f ist. Also gilt doch f ′′ (x) ≥ 0 auf
I.
q.e.d.
Der Beweis der Richtung ⇐“ in Satz 2.7 lässt sich oﬀenbar so modiﬁzieren, dass
”
man das nachstehende Ergebnis erhält:
Folgerung 2.4: Gilt f ∈ C 2 (I, R) und f ′′ (x) > 0 (bzw. < 0) auf dem Intervall
I ⊂ R, so ist f streng konvex (bzw. streng konkav) auf I.
3. DIE ELEMENTAREN FUNKTIONEN
3
113
Die elementaren Funktionen
In Kap. 2, Folgerung 4.2 haben wir die komplexe Exponentialfunktion oder kurz eFunktion
∞
∑
zk
ez = exp z :=
, z ∈ C,
k!
k=0
erklärt und als stetig auf ganz C erkannt. In diesem Paragraphen werden wir Eigenschaften von ez untersuchen und weitere sogenannte elementare Funktionen“ aus
”
ihr erklären.
Satz 3.1: (Funktionalgleichung der e-Funktion)
Für beliebige z1 , z2 ∈ C gilt die Identität
exp(z1 + z2 ) = exp z1 · exp z2 .
Beweis: Da die Exponentialreihe für beliebige z ∈ C absolut konvergiert, liefern die
Cauchysche Produktformel und der Binomische Satz:
exp z1 · exp z2
)( ∑
)
)
∞
∞ (∑
k
∑
z1k
z2k
z1l z2k−l
=
=
k!
k!
l! (k − l)!
k=0
k=0
k=0
l=0
)
( k ( )
∞
∞
∑
∑
1 ∑ k l k−l
(z1 + z2 )k
z1 z2
=
=
= exp(z1 + z2 ),
l
k!
k!
(∑
∞
k=0
l=0
k=0
wie behauptet.
q.e.d.
Deﬁnition 3.1: Die Zahl
e := exp 1 =
∞
∑
1
∈R
k!
k=0
wird Eulersche Zahl genannt.
Bemerkung: Mit der Funktionalgleichung zeigt man leicht
(p)
p
e q = exp
für alle p ∈ Z, q ∈ N.
q
(3.1)
Dies erklärt auch die Schreibweise der Exponentialfunktion als Potenz.
Wir konzentrieren uns nun auf die Einschränkungen von exp z auf die reelle
bzw. imaginäre Achse:
114
KAPITEL 3. DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
Satz 3.2: Die reelle Exponentialfunktion ex = exp x :=
zur Klasse C ∞ (R) und es gilt
exp′ x =
d
exp x = exp x,
dx
∑∞
xk
k=0 k! ,
x ∈ R, gehört
x ∈ R.
(3.2)
Beweis: Gemäß Kap. 1, § 8 ist die Exponentialreihe für alle x ∈ R konvergent. Nach
Folgerung 1.2 gilt also exp ∈ C ∞ (R) und wir haben
(1.6)
exp′ x =
∞
∞
∞
∑
∑
∑
1
1
xl
k xk−1 =
xk−1 =
= exp x,
k!
(k − 1)!
l!
k=1
k=1
l=0
wie behauptet.
q.e.d.
Satz 3.3: Die reelle Exponentialfunktion ex = exp x, x ∈ R, bildet R auf (0, +∞)
ab, ist streng monoton wachsend, streng konvex und erfüllt
lim exp x = 0,
x→−∞
exp 0 = 1,
lim exp x = +∞.
x→+∞
(3.3)
Beweis: Oﬀensichtlich ist f (x) := ex , x ∈ R, reellwertig, da die deﬁnierende Reihe nur reelle Koefﬁzienten besitzt. Insbesondere gilt e0 = 1. Ferner haben wir
exp x = 1 +
∞
∑
xk
>0
k!
für alle x ∈ [0, +∞)
k=1
und nach Satz 3.1 auch
exp x =
1
>0
exp(−x)
für alle x ∈ (−∞, 0),
also insgesamt f (R) ⊂ (0, +∞). Zum Beweis von (3.3) beachten wir
lim exp x ≥ lim (1 + x) = +∞
x→+∞
und
lim exp x = lim
x→−∞
x→−∞
x→+∞
1
exp(−x)
ξ:=−x
=
lim
ξ→+∞
1
= 0.
exp ξ
Ist nun y ∈ (0, +∞) beliebig, so existieren also x1 < 0, x2 > 0 mit ex1 < y < ex2 . Nach dem
Zwischenwertsatz, Satz 2.7 aus Kap. 2, existiert ein x ∈ (x1 , x2 ) mit f (x) = y, d.h. y ∈ f (R) und
insgesamt f (R) = (0, +∞).
Schließlich gilt nach Satz 3.2: exp′ x = exp x > 0 für alle x ∈ R, also ist exp x nach Folgerung 2.1
streng monoton wachsend. Und wiederum Satz 3.2 in Verbindung mit Folgerung 2.4 liefert die strenge
Konvexität wegen exp′′ x = exp′ x = exp x > 0.
q.e.d.
Deﬁnition 3.2: Die Umkehrfunktion von exp : R → R nennen wir (natürliche)
Logarithmusfunktion log : (0, +∞) → R. Für x > 0 heißt y = log x Logarithmus
von x.
3. DIE ELEMENTAREN FUNKTIONEN
115
Satz 3.4: Die Funktion log : (0, +∞) → R ist streng monoton, streng konkav,
beliebig oft diﬀerenzierbar und wir haben
log′ x =
d
1
log x =
dx
x
für alle x > 0.
(3.4)
Ferner gelten die Funktionalgleichung
log(x1 x2 ) = log x1 + log x2
für alle x1 , x2 > 0
(3.5)
sowie
lim log x = −∞,
x→0+
log 1 = 0,
log e = 1,
lim log x = +∞.
x→+∞
(3.6)
Beweis: Zunächst gehört log x nach Satz 1.4 als Umkehrfunktion von x = exp y zur
Klasse C 1 ((0, +∞), R) und es gilt
log′ x =
1
1
1
=
=
exp′ (log x)
exp(log x)
x
für x > 0.
Wegen x1 ∈ C ∞ ((0, +∞), R) ist nun auch log x ∈ C ∞ ((0, +∞), R) richtig. Außerdem
ist log x oﬀenbar streng monoton wachsend, und (3.4) liefert log′′ x = − x12 < 0 für
alle x ∈ (0, +∞), d.h. nach Folgerung 2.4 ist log x streng konkav.
Zum Beweis von (3.5) seien x1 , x2 > 0 beliebig gewählt. Wir erhalten dann aus
Satz 3.1
exp(log x1 + log x2 ) = exp(log x1 ) · exp(log x2 ) = x1 x2 .
Nehmen wir auf beiden Seiten den Logarithmus, so folgt die Behauptung (3.5).
Schließlich ist natürlich log 1 = log(e0 ) = 0 und log e = log(e1 ) = 1 richtig. Und
die Grenzwerte in (3.6) ergeben sich direkt aus der Monotonie und der Relation
log((0, +∞)) = R. Damit ist alles gezeigt.
q.e.d.
Deﬁnition 3.3: Für beliebiges α ∈ R erklären wir die (allgemeine) Potenzfunktion
x 7→ xα , x ∈ (0, +∞), durch die Formel
xα := eα log x = exp(α log x).
Satz 3.5: Die allgemeine Potenzfunktion f (x) := xα erfüllt f ∈ C ∞ ((0, +∞), R)
und es gelten die Relationen
xα y α = (xy)α ,
xα xβ = xα+β ,
α
log(x ) = α log x,
d α
(x ) = αxα−1
dx
für alle x, y > 0 und beliebige α, β ∈ R.
(xα )β = xαβ ,
(3.7)
(3.8)
(3.9)
116
KAPITEL 3. DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
Beweis: Nach Ketten- und Produktregel ist f ∈ C ∞ ((0, +∞), R) als Komposition zweier C ∞ Funktionen. Die Relationen (3.7) ergeben sich leicht unter Benutzung der Funktionalgleichungen
für Exponential- und Logarithmusfunktion; z.B. berechnen wir
xα y α = eα log x eα log y = eα(log x+log y) = eα log(xy) = (xy)α .
Formel (3.8) folgt sofort aus der Deﬁnition der Potenzfunktion durch Logarithmieren. Schließlich
entnehmen wir der Kettenregel
d α
d α log x
d
1 (3.7)
(x ) =
(e
) = eα log x ·
(α log x) = xα α
= αxα−1 ,
dx
dx
dx
x
wie behauptet.
q.e.d.
Bemerkung: Wir können auch die allgemeine Exponentialfunktion x 7→ cx = ex log c
für festes c > 0 betrachten. Es gilt f (x) := cx ∈ C ∞ (R, R) und
f ′ (x) = cx · log c,
x ∈ R.
Für c > 1 ist also f ′ > 0 und f : R → (0, +∞) bijektiv. Die zugehörige Umkehrfunktion heißt Logarithmus zur Basis c > 1 und wird mit logc : (0, +∞) → R bezeichnet.
Der Logarithmus zur Basis e > 1 ist der natürliche Logarithmus (→ Übungen).
Deﬁnition 3.4: Wir erklären die Cosinusfunktion cos : R → R und die Sinusfunktion sin : R → R gemäß
1
cos x := (eix + e−ix ) = Re (eix ),
2
1
sin x := (eix − e−ix ) = Im (eix ),
2i
x ∈ R.
Satz 3.6: Die Funktionen cos und sin gehören zur Klasse C ∞ (R, R) mit den Ableitungen
d
cos′ x =
cos x = − sin x,
dx
(3.10)
d
′
sin x =
sin x = cos x, x ∈ R.
dx
Es gilt die Eulersche Formel
eix = cos x + i sin x,
x ∈ R,
(3.11)
und die Additionstheoreme
cos(x1 + x2 ) = cos x1 cos x2 − sin x1 sin x2 ,
sin(x1 + x2 ) = cos x1 sin x2 + sin x1 cos x2 ,
x1 , x2 ∈ R.
(3.12)
Die Cosinusfunktion ist gerade, die Sinusfunktion ist ungerade, d.h.
cos(−x) = cos x,
sin(−x) = − sin x,
x ∈ R.
(3.13)
3. DIE ELEMENTAREN FUNKTIONEN
117
Schließlich haben wir die Potenzreihendarstellungen
cos x =
∞
∑
(−1)l
l=0
(2l)!
x2l ,
sin x =
∞
∑
(−1)l
x2l+1 ,
(2l + 1)!
x ∈ R,
(3.14)
l=0
wobei beide Reihen absolut konvergieren.
Beweis: cos, sin ∈ C ∞ (R, R) ist per Deﬁnition klar, da exp(±ix) ∈ C ∞ (R, C) gilt
d
gemäß Satz 1.6. Mit dx
(e±ix ) = ±ie±ix berechnen wir
1
1
cos′ x = (ieix − ie−ix ) = − (eix − e−ix ) = − sin x,
2
2i
1 ix
1 ix
′
ix
sin x = (ie + ie ) = (e + e−ix ) = cos x,
2i
2
also (3.10).
Die Eulersche Formel (3.11) ist direkte Konsequenz der Deﬁnition von cos und sin. Und die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion liefert in Verbindung mit der Eulerschen Formel:
cos(x1 + x2 ) + i sin(x1 + x2 ) = ei(x1 +x2 ) = eix1 eix2
= (cos x1 + i sin x1 )(cos x2 + i sin x2 )
= (cos x1 cos x2 − sin x1 sin x2 ) + i(cos x1 sin x2 + sin x1 cos x2 ).
Real- und Imaginärteil dieser Gleichung entsprechen gerade den Formeln (3.12). Formel (3.13)
entnimmt man wieder direkt der Deﬁnition von cos und sin. Zum Beweis von (3.14) berechnen wir
schließlich
cos x + i sin x
=
eix =
∞
∑
1 k k
i x =
k!
k=0
=
∞
∑
l=0
=
1 2l 2l
i x +
(2l)!
∑
k
∞
∑
l=0
gerade
∑
1 k k
i x +
k!
k
ungerade
1 k k
i x
k!
1
i2l+1 x2l+1
(2l + 1)!
∞
∞
∑
∑
(−1)l 2l
(−1)l
x +i
x2l+1 .
(2l)!
(2l + 1)!
l=0
l=0
Vergleich von Real-und Imaginärteil dieser Identität liefert (3.14). Damit ist alles gezeigt.
q.e.d.
Bemerkung: Wegen eix = e−ix gilt |eix |2 = eix e−ix = 1 für alle x ∈ R. Der Eulerschen
Formel entnehmen wir daher die berühmte Relation
1 = cos2 x + sin2 x
für alle x ∈ R.
Geometrisch stellt f (x) := eix , x ∈ R, eine gleichförmige Bewegung mit Geschwindigkeit 1 auf der Einheitskreislinie dar, denn es gilt
|f (x)| ≡ 1,
|f ′ (x)| = |ieix | ≡ 1.
118
KAPITEL 3. DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
Cosinus- und Sinusfunktion sind nach Deﬁnition die Projektionen dieser Kreisbewegung auf die reelle bzw. imaginäre Achse, weshalb man sie auch als Kreisfunktionen
bezeichnet.
Wir wollen nun die Nullstellen der Kreisfunktionen untersuchen und beginnen
mit dem
Satz 3.7: Die Gleichung cos x = 0 besitzt im Intervall [0, 2] genau eine Lösung.
Diese kleinste positive Nullstelle von cos bezeichnen wir mit π2 . Es gilt dann
cos x > 0
[ π)
für alle x ∈ 0,
,
2
cos
π
= 0.
2
Beweis: Zunächst gilt per Deﬁnition cos 0 = Re (e0 ) = 1. Und aus der Reihendarstellung von cos
ermitteln wir
cos x
=
=
x2
x4
x6
x8
x10
x12
+
−
+
−
+
− +...
2!
4!
6!
8!
10!
12!
)
(
)
(
x4
x6
x2
x10 (
x2 )
x2
+
−
1−
−
1−
− ...
1−
2!
4!
6!
7·8
10!
11 · 12
1−
Für x = 2 erhalten wir also
cos 2 = −
1
26 (
4 ) 210 (
4 )
1
−
1−
−
1−
− ... < − .
3
6!
7·8
10!
11 · 12
3
Nach dem Zwischenwertsatz, Satz 2.5 aus Kap. 2, existiert also ein ξ ∈ (0, 2) mit cos ξ = 0. Weiter
entnehmen wir der Reihendarstellung von sin:
cos′ x
=
=
x3
x5
x7
x9
x11
−
+
−
+
− +...
3!
5!
7!
9!
11!
(
2 )
5(
2 )
9(
x
x
x
x
x2 )
−x 1 −
−
1−
−
1−
− ... < 0
2·3
5!
6·7
9!
10 · 11
− sin x = −x +
für x ∈ (0, 2). Nach Folgerung 2.1 ist also cos in [0, 2] streng monoton fallend und somit injektiv.
Insbesondere ist die Nullstelle ξ =: π2 eindeutig bestimmt und der Satz damit bewiesen.
q.e.d.
Folgerung 3.1: Die Sinusfunktion ist im Intervall [− π2 , π2 ] streng monoton wachsend und es gilt
( π)
π
sin −
= −1, sin 0 = 0, sin = 1.
2
2
Die Cosinusfunktion ist im Intervall [0, π] streng monoton fallend und es gilt
cos 0 = 1,
cos
π
= 0,
2
cos π = −1.
Beweis: Da cos gerade ist, gilt nach Satz 3.7: sin′ x = cos x > 0 in (− π2 , π2 ), d.h. sin ist in [− π2 , π2 ]
streng monoton wachsend nach Folgerung 2.1. Ferner gilt sin 0 = Im (e0 ) = 0 und
( π)
( π)
( π)
+ sin2 ±
= sin2 ±
,
1 = cos2 ±
2
2
2
3. DIE ELEMENTAREN FUNKTIONEN
119
also wegen der Monotonie sin(− π2 ) = −1, sin π2 = 1. Schließlich erhalten wir die Aussagen über den
Cosinus aus den Regeln der Phasenverschiebung
(π
)
(π
)
cos
− x = sin x, sin
− x = cos x, x ∈ R,
(3.15)
2
2
die man nun sofort aus den Additionstheoremen gewinnt.
q.e.d.
Satz 3.8: Die Funktionen cos und sin sind 2π-periodisch, d.h. es gilt
cos(x + 2π) = cos x,
für alle x ∈ R.
sin(x + 2π) = sin x
(3.16)
Ferner haben wir
cos(x + π) = − cos x,
sin(x + π) = − sin x
für alle x ∈ R.
Schließlich gilt für die Nullstellenmengen der Funktionen
}
{π
+ kπ : k ∈ Z ,
{x ∈ R : cos x = 0} =
2
{x ∈ R : sin x = 0} = {kπ : k ∈ Z}.
π
Beweis: Wir bemerken zunächst ei 2 = cos
iπ
2
eiπ = (e
π
2
+ i sin
)2 = i2 = −1,
π
2
(3.17)
(3.18)
= i nach Folgerung 3.1. Damit folgt
e2iπ = (eiπ )2 = (−1)2 = 1,
also
cos π = −1,
sin π = 0;
cos(2π) = 1,
sin(2π) = 0.
Die Aussagen (3.16) und (3.17) folgen nun wieder unmittelbar aus den Additionstheoremen (3.12).
Ferner wissen wir bereits cos x > 0 für alle x ∈ (− π2 , π2 ) und cos π2 = 0. Also folgt die Aussage
(3.18) für den Cosinus aus Formel (3.17). Die Nullstellenmenge des Sinus lässt sich daraus m.H. der
Phasenverschiebung (3.15) ablesen.
q.e.d.
Folgerung 3.2: Alle Lösungen der Gleichung eix = 1 haben die Form x = 2kπ mit
einem k ∈ Z.
Beweis: Wir beachten
x)
x
1 ( ix
e−i 2 ix
sin =
e 2 − e−i 2 =
(e − 1).
2
2i
2i
x
Also gilt eix = 1 ⇔ sin x2 = 0. Die Behauptung ergibt sich nun aus (3.18).
q.e.d.
Satz 3.9: (Polarkoordinaten)
Jede komplexe Zahl z ∈ C besitzt eine Darstellung
z = reiφ = r(cos φ + i sin φ)
(3.19)
mit einem φ ∈ R und r = |z|. Für z ̸= 0 ist die Darstellung (3.19) eindeutig, wenn
wir φ ∈ [0, 2π) fordern.
120
KAPITEL 3. DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
Beweis:
1. Für z = 0 ist r = |z| = 0 und (3.19) gilt mit beliebigem φ ∈ R. Sei also
z = x + iy ̸= 0. Dann folgt r := |z| > 0 und ξ := xr , η := yr sind wohldeﬁniert.
Es gilt dann
z = r(ξ + iη), ξ 2 + η 2 = 1.
(3.20)
Insbesondere ist ξ ∈ [−1, 1] = [cos π, cos 0] erfüllt. Nach dem Zwischenwertsatz
existiert also ein α ∈ [0, π] mit cos α = ξ. Hieraus folgt noch
√
√
η = ± 1 − ξ 2 = ± 1 − cos2 α = ± sin α.
Man beachte sin α ≥ 0 wegen (3.18) und sin π2 = 1.
• 1. Fall: Für y ≥ 0 ist η ≥ 0, also η = sin α. Dann wählen wir φ :=
α ∈ [0, π] und erhalten ξ = cos φ, η = sin φ, also aus (3.20) die gesuchte
Darstellung (3.19).
• 2. Fall: Für y < 0 folgt α ∈ (0, π) und η = − sin α. Mit φ := 2π − α ∈
(π, 2π) erhalten wir dann aus den Symmetrieeigenschaften (3.13) und der
Periodizität (3.16):
ξ = cos α = cos(2π − φ) = cos φ,
η = − sin α = − sin(2π − φ) = sin φ,
also wieder (3.19).
2. Man beachte, dass der in Teil 1 des Beweises erklärte Winkel φ in [0, 2π) liegt.
Gäbe es ein weiteres ψ ∈ [0, 2π) mit z = reiψ , so folgte eiφ = eiψ bzw. ei(φ−ψ) =
1. Folgerung 3.2 liefert also φ − ψ = 2kπ. Aus |φ − ψ| < 2π folgt nun k = 0
bzw. φ = ψ, wie behauptet.
q.e.d.
Bemerkungen:
1. φ ∈ [0, 2π) misst den Winkel zwischen der positiven reellen Achse und dem
Vektor z = (x, y), gemessen in mathematisch positivem Sinn. Er wird Argument von z genannt und mit φ = arg z bezeichnet. Seine Berechnung gelingt
mit Hilfe der Arcus-Funktionen; siehe Bemerkung 1 im Anschluss an Satz 3.11
unten.
2. Auch mit der Forderung φ ∈ [φ0 , φ0 + 2π) für beliebiges φ0 ∈ R ist φ eindeutig
festgelegt; vergleiche Teil 2 des obigen Beweises. Aufgrund der Periodizität von
cos und sin folgt dann φ = arg z + 2kπ mit einem (eindeutigen) k ∈ Z. φ misst
also wieder den Winkel zur positiven x-Achse, wobei nun zusätzlich k-mal um
den Ursprung gelaufen wird. Analog führt auch die Forderung φ ∈ (φ0 , φ0 +2π]
zu einer eindeutigen Festlegung von φ.
3. DIE ELEMENTAREN FUNKTIONEN
121
3. Die Polarkoordinatendarstellung erlaubt uns eine einfache Interpretation der
komplexen Multiplikation: Sind nämlich z1 = |z1 |eiφ1 und z2 = |z2 |eiφ2 mit
φ1 , φ2 ∈ [0, 2π) gegeben, so folgt aus der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion:
z1 · z2 = |z1 | |z2 | ei(φ1 +φ2 ) .
Bei der Multiplikation werden also die Beträge multipliziert und die Argumente
(= Winkel) addiert.
Deﬁnition 3.5: Wir erklären die Funktionen
sin x
,
cos x
cos x
cot x :=
,
sin x
tan x :=
x ̸=
π
+ kπ, k ∈ Z
2
x ̸= kπ, k ∈ Z
( Tangens),
( Cotangens).
Satz 3.10: Tangens und Cotangens sind in ihren Deﬁnitionsgebieten beliebig oft
diﬀerenzierbar und es gelten
d
1
π
tan x = 1 + tan2 x =
, x ̸= + kπ, k ∈ Z,
dx
cos2 x
2
d
1
cot′ x =
cot x = −(1 + cot2 x) = − 2 , x ̸= kπ, k ∈ Z.
dx
sin x
tan′ x =
(3.21)
Ferner haben wir
tan(x + π) = tan x,
und
tan
(π
)
− x = cot x,
2
sowie die Additionstheoreme
cot(x + π) = cot x
cot
tan(x1 + x2 ) =
tan x1 + tan x2
,
1 − tan x1 tan x2
cot(x1 + x2 ) =
−1 + cot x1 cot x2
,
cot x1 + cot x2
(π
2
)
− x = tan x
x1 , x2 , x1 + x2 ̸=
π
+ kπ, k ∈ Z,
2
x1 , x2 , x1 + x2 ̸= kπ, k ∈ Z.
Schließlich ist tan in (− π2 , π2 ) streng monoton wachsend mit
lim
x→− π2 +
tan x = −∞,
tan 0 = 0,
Und cot ist in (0, π) streng monoton fallend mit
(π )
lim cot x = +∞, cot
= 0,
x→0+
2
lim tan x = +∞.
x→ π2 −
lim cot x = −∞.
x→π−
122
KAPITEL 3. DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
Beweis: Direkt aus den Aussagen über die Cosinus-und Sinusfunktion.
q.e.d.
Aufgrund des Monotonieverhaltens von sin, cos, tan und cot können wir nun
auch die entsprechenden Umkehrfunktionen erklären, wenn wir uns auf geeignete
Monotonieintervalle beschränken: Wir wählen die Bereiche
π
π
y = sin x, − ≤ x ≤
⇒ −1 ≤ y ≤ 1,
2
2
y = cos x,
0 ≤ x ≤ π ⇒ −1 ≤ y ≤ 1,
y = tan x, −
y = cot x,
π
π
<x<
⇒ −∞ < y < +∞,
2
2
0 < x < π ⇒ −∞ < y < +∞.
Die zugehörigen Umkehrfunktionen heißen Arcus Sinus, Arcus Cosinus, Arcus Tangens bzw. Arcus Cotangens und werden mit
arcsin := sin−1 : [−1, 1] → R,
arccos := cos−1 : [−1, 1] → R,
arctan := tan−1 : R → R,
arccot := cot−1 : R → R
bezeichnet.
Satz 3.11: Es gelten arcsin, arccos ∈ C ∞ ((−1, 1)) und arctan, arccot ∈ C ∞ (R) und
wir haben
arcsin′ y = √
1
1−
1
′
arctan y =
,
1 + y2
y2
, arccos′ y = − √
1
, y ∈ (−1, 1),
1 − y2
1
arccot′ y = −
, y ∈ R.
1 + y2
(3.22)
Ferner gelten die Relationen
π
2
π
arctan y + arccoty =
2
arcsin y + arccos y =
für alle y ∈ [−1, 1],
für alle y ∈ R.
(3.23)
Beweis: Da die ersten Ableitungen von sin, tan auf (− π2 , π2 ) und von cos, cot auf (0, π) nicht verschwinden, sind die Umkehrfunktionen in den angegebenen Bereichen einmal diﬀerenzierbar nach
Satz 1.4 und es gelten
1
1
1
= √
= √
, |y| < 1,
sin′ (arcsin y)
1 − y2
1 − sin2 (arcsin y)
1
1
1
arctan′ y =
=
=
, y ∈ R.
tan′ (arctan y)
1 + tan2 (arctan y)
1 + y2
arcsin′ y =
Entsprechend erhalten wir die ersten Ableitungen für arccos und arccot. Da die Funktionen √
1
1−y 2
,
y ∈ (−1, 1), und
y ∈ R, beliebig oft diﬀerenzierbar sind, folgen die behaupteten Regularitätseigenschaften der Arcusfunktionen.
1
,
1+y 2
3. DIE ELEMENTAREN FUNKTIONEN
123
Zum Beweis der ersten Relation in (3.23) wenden wir arccos auf die Relation y = sin x =
cos( π2 − x), x ∈ [− π2 , π2 ], an:
arccos y =
π
π
− x = − arcsin y,
2
2
y ∈ [−1, 1].
Entsprechend wenden wir arccot auf y = tan x = cot( π2 − x), x ∈ R, an und erhalten die zweite
Relation in (3.23).
q.e.d.
Bemerkungen:
1. Die Konstruktion im Beweis von Satz 3.9 und die
zeigen, dass sich das Argument arg z einer Zahl
bestimmen lässt:
(x)


,
falls y
 arccos
|z|
(x)
arg z =

 2π − arccos
, falls y
|z|
obige Deﬁnition von arccos
z = x + iy ̸= 0 wie folgt
≥0
∈ [0, 2π).
<0
2. Ausgehend von der komplexen Exponentialfunktion können wir auch die komplexe Cosinus- bzw. Sinusfunktion erklären:
1
cos z := (eiz + e−iz ),
2
sin z :=
1 iz
(e − e−iz ),
2i
z ∈ C.
Für z = x ∈ R erhalten wir dann die reellen Kreisfunktionen. Für z = −ix,
x ∈ R, erhalten wir die (reellen) Hyperbelfunktionen
1
cosh x := cos(−ix) = (ex + e−x )
2
1 x
sinh x := sin(−ix) = (e − e−x )
2
(Cosinus hyperbolicus),
(Sinus hyperbolicus).
Während (cos x, sin x) eine Parametrisierung der Einheitskreislinie liefert, ergibt (cosh x, sinh x) eine Parametrisierung des rechten Astes der Hyperbel
{(x, y) ∈ R2 : x2 − y 2 = 1}. Wir verzichten hier auf eine Diskussion der
Hyperbelfunktionen und verweisen auf die Literatur und die Übungen.