(PRO-)SEMINAR ZUR ALGEBRA Einführung Kettenbrüche sind

(PRO-)SEMINAR ZUR ALGEBRA
U. GÖRTZ, C. KAPPEN, WS 2010/11
Einführung
Kettenbrüche sind Ausdrücke der Form
a0 +
1
a1 +
1
1
a2 + ...
(beziehungsweise gewisse Varianten davon). Kettenbrüche sind ein klassisches und
interessantes Thema der Zahlentheorie, das wir zunächst mit elementaren Methoden
studieren. Zum Beispiel werden wir sehen, dass sich jede reelle Zahl durch einen (im
irrationalen Fall unendlichen) Kettenbruch beschreiben lässt und dass die partiellen
Kettenbrüche gute Approximationen mit kleinen Nennern liefern. Überlegungen
über die Approximierbarkeit von reellen Zahlen erlauben es auch, relativ leicht
transzendente Zahlen anzugeben, also Zahlen, die nicht Nullstelle eines Polynoms
mit rationalen Koeffizienten sind.
Wir behandeln Anwendungen in der Phyllotaxis, der Lehre der Blattstellung von
Pflanzen. Wir untersuchen mathematische Modelle für die Stellung von Blättern
oder Samenkörnern (z.B. bei Sonnenblumen). Hier treten Kettenbruchentwicklungen in natürlicher Weise auf. Wenn das Seminar genügend Teilnehmer hat, werden
wir zum Schluss den Zusammenhand mit Ford-Kreisen, Gittern in R2 und der Modulgruppe SL2 (Z) aller (2 × 2)-Matrizen aus ganzen Zahlen mit Determinante 1
betrachten.
Zum Abschluss wenden wir unsere Erkenntnisse über die gute und schlechte Approximierbarkeit von reellen Zahlen durch rationale Zahlen auf Transzendenzfragen
an und zeigen, dass die Eulersche Zahl e und die Kreiszahl π transzendent sind.
Vorbesprechung. Mittwoch, 8. September, 14 Uhr, T03 R04 D10. Wenn Sie zu
diesem Zeitpunkt verhindert sind, melden Sie ich bitte —nach Möglichkeit vorher—
per Email bei mir.
Seminarscheine: Diese Veranstaltung ist ein kombiniertes Proseminar und Seminar. Für die Vorträge 4,5,6,7,8,9 und 11 kann ein Seminarschein vergeben werden.
Zielgruppe. Die Proseminarvorträge können von Lehramtsstudenten und Bachelorstudenten ab dem dritten Semester übernommen werden, die Seminarvorträge
von Lehramtsstudenten und Bachelorstudenten ab dem fünften Semester (oder in
Ausnahmefällen in früheren Semestern). Nach dem Seminar können Themen für
Staatsexamens- und Bachelorarbeiten vergeben werden.
Voraussetzungen. Gute Grundstudiumskenntnisse (insbesondere Lineare Algebra 1, Lineare Algebra 2, Analysis 1).
Schließlich, und am wichtigsten: die Motivation, sich ein interessantes mathematisches Thema anzueignen.
Termin. Do, 8–10.
Kontakt. Prof. Dr. Ulrich Görtz, [email protected]
1
2
U. GÖRTZ, C. KAPPEN, WS 2010/11
Programm
Natürlich dürfen Sie in Ihrem jeweiligen Vortrag die Ergebnisse der entsprechend
vorangegangenen Vorträge verwenden.
1. Die Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl. Definieren Sie den Kettenbruch, welcher einer endlichen Folge ganzer Zahlen zugeordnet ist, und definieren
Sie die (regelmäßige) Kettenbruch-Entwicklung einer rationalen Zahl. Orientieren
Sie sich hierbei an [Bu] Kap. 1, §2.10, und verwenden Sie die dort eingeführte
Schreibweise für Kettenbrüche. Begründen Sie die im ersten Paragraphen auf Seite
24 von [Bu] angegebenen Abschätzungen. Führen Sie die in der Fußnote auf Seite 186 in [Bu] angegebene Notation ein, und definieren Sie den einer irrationalen
Zahl zugeordneten unendlichen Kettenbruch ([Bu] Kap. 5, §3.1). Definieren Sie Näherungszähler und Näherungsnenner, und beweisen Sie Lemmata A und B in [Bu]
Kap. 5 §3.2. Weisen Sie darauf hin, dass Näherungszähler und -nenner nach Lemma
B (2) teilerfremd sind. Beweisen Sie anschließend den Konvergenzsatz ([Bu] Kap.
5 §3.2) sowie den Eindeutigkeitssatz ([Bu] Kap. 5 §3.3), welcher ein Irrationalitätskriterium beinhaltet. Für eine ergänzende Darstellung des Themas können Sie auch
[HN] 2.1 sowie [SF] I.8 konsultieren.
2. Periodische Kettenbrüche. Für diesen Vortrag können Sie [Bu] Kap.√5, §3.4
und
von 2 und
√ §3.5 zugrundelegen. Bestimmen Sie die Kettenbruchentwicklungen
√
1
1
5
+
1),
und
erläutern
Sie,
inwiefern
die
Zahl
5
+
1),
der
sogenannte
Goldene
(
(
2
2
Schnitt, hinsichtlich ihrer Kettenbruchentwicklung ausgezeichnet ist. Bestimmen
Sie, für d ∈ N, die Kettenbruchentwicklung von (1 + d2 )1/2 . Definieren Sie, wann
ein unendlicher Kettenbruch periodisch heisst, und beweisen Sie den Satz von Euler
([Bu] Kap. 5, §3.4), welcher besagt, dass ein unendlicher periodischer Kettenbruch
eine reell-quadratische irrationale Zahl definiert. Beweisen Sie anschließend den Satz
von Lagrange, welcher die Umkehrung des Eulerschen Satzes liefert, nämlich dass
die unendliche Kettenbruchentwicklung einer reell-quadratischen irrationalen Zahl
periodisch ist. Erwähnen Sie die Beschreibung des Kettenbruchs einer algebraischen
Zahl vom Grad ≥ 3 als offenes Problem. Für eine ergänzende Darstellung können
Sie auch [HN] 2.2 sowie [SF] I.9 konsultieren.
3. Annäherung reeller Zahlen durch rationale Zahlen, Teil I. Für diesen
Vortrag können Sie [Bu] Kap. 5, §3.7 und §3.8 zugrundelegen. Begründen Sie die
zu Beginn von [Bu] Kap. 5 §3.7 angegebene Abschätzung, und erläutern Sie, inwiefern sie es gestattet, reelle Zahlen durch ihre Näherungsbrüche zu approximieren.
Beweisen Sie anschließend den in [Bu] Kap. 5 §3.7 angebenen Hilfssatz – die hierfür
erforderlichen Aussagen über diophantische Gleichungen dürfen Sie ohne Beweis
verwenden. Definieren Sie den Begriff der besten Näherung einer reellen Zahl, und
zeigen Sie, dass beste Näherungen stets als Näherungsbrüche in Erscheinung treten
([Bu] Kap. 5 §3.8 Satz A). Zeigen Sie weiterhin, dass umgekehrt fast jeder Näherungsbruch eine beste Näherung darstellt ([Bu] Kap. 5 §3.8 Satz B). Gehen Sie auf
die geschichtliche Bedeutung der Kettenbruchentwicklung ein; erwähnen Sie hierbei
insbesondere die ersten Näherungsbrüche der Zahl π ([Bu] Kap. 5 §3.9). Diskutieren
Sie abschließend Anwendungen der Kettenbruch-Approximation in der Phyllotaxis:
Definieren Sie die Polarkoordinatendarstellung der ontogenetischen Spirale Pλ,c (·)
zu den Parametern λ und c gemäß [HN] §1.2 (1), S. 22, und definieren Sie den
zu λ gehörigen Parastichiewinkel αk der Ordnung k gemäß [HN] S. 26, für k ≥ 1.
Begründen Sie, warum αk ∈ [0, 2π) gilt, und begründen Sie, dass αk kleiner ist als
alle Winkel zur x-Achse, welche von Punkten Pλ,c (n) mit n ≤ qk+1 − 1 gebildet
werden, wobei die qi die Näherungsnenner von λ bezeichnen. Zeigen Sie, dass für
alle n mit nqk < qk+1 der von Pλ,c (nqk ) mit der x-Achse gebildete Winkel gleich
nαk ist, und nutzen Sie diese Tatsache, um das Auftreten von Spiralmustern in der
Menge {Pλ,c (i) | i ∈ N} zu erklären.
(PRO-)SEMINAR ZUR ALGEBRA
3
4. Farey-Folgen. Diesem Vortrag können Sie [SF] I.10 sowie [HN] 2.3 zugrundelegen. Definieren Sie Farey-Folgen, und definieren Sie die Mediante zweier rationaler
Zahlen. Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass die Mediantenbildung nicht assoziativ ist. Beweisen Sie [SF] Satz 26, und folgern Sie, dass ein Element der Farey-Folge
der Ordnung n + 1, welches nicht schon in der Farey-Folge der Ordnung n liegt,
via Mediantenbildung aus zwei aufeinanderfolgenden Elementen der Farey-Folge
der Ordnung n hervorgeht. (Vorsicht: Die Aussage von [HN] Satz 4 (i) ist nicht
korrekt. Formulieren Sie stattdessen eine entsprechende richtige Aussage.) Zeigen
Sie auf direkte Art, dass zwei gekürzte Brüche a/c < b/d mit ad − bc = ±1 in der
Farey-Folge Fn benachbart sind, mit n = max{b, d}. Beweisen Sie die Approximationssätze von Dirichlet, Hurwitz und Kronecker ([SF] Sätze 27, 28,√29). Zeigen Sie
unter Verwendung des Goldenen Schnitts, dass sich die Konstante 5 im Satz von
Hurwitz nicht verbessern lässt; vgl. auch [HW] XI.8-9. Folgern Sie aus dem Satz
von Kronecker, dass für jede irrationale Zahl x die Menge {kx − [kx] ; k ∈ N} im
Intervall (0, 1) dicht liegt.
Zeigen Sie, dass die Modulgruppe SL2 (Z) von den Elementen
1 1
0 −1
τ1 =
und τ2 =
0 1
1 0
erzeugt wird ([DS] Exercise 1.1.1).
5. Ford-Kreise. Definieren Sie die Menge der Ford-Kreise, einschließlich des uneigentlichen Ford-Kreises ([HN] 2.3/3). Definieren Sie wie in [HN] 2.3/5 die kanonische
Aktion von SL2 (Z) auf der oberen Halbebene H = {z ∈ C | im(z) > 0} sowie auf
H̄ := H ∪ Q ∪ {∞}. Beweisen Sie, dass für einen Ford-Kreis C ⊆ H̄ und ein Element
τ ∈ SL2 (Z) das Bild τ (C) wieder ein Ford-Kreis ist. (Hinweis: Ist C ein Kreis in C
mit Mittelpunkt z0 und Radius r > 0, r 6= |z0 |, so ist
z z̄ − z z̄0 − z̄z0 + z0 z¯0 = r2
eine Gleichung, welche C definiert; finden Sie die analoge Kreisgleichung für das Bild
von C under τ2 : z 7→ −z −1 , um zu sehen, dass τ2 einen eigentlichen Ford-Kreis
C(a/c) mit a 6= 0 auf C(−c/a) abbildet.) Beweisen Sie nun, dass SL2 (Z) transitiv
auf der Menge der Ford-Kreise operiert; zeigen Sie hierfür, dass eine Matrix
a b
∈ SL2 (Z)
c d
den uneigentlichen Ford-Kreis C(1/0) auf C(a/c) abbildet. Bestimmen Sie die Standgruppe von C(1/0), d.h. die Menge aller τ ∈ SL2 (Z) mit der Eigenschaft, dass
τ (C(1/0)) = C(1/0) gilt. Zeigen Sie, dass zwei Ford-Kreise C(a/c) und C(b/d) mit
a/c 6= b/d nicht ineinander enthalten sind und dass sie entweder disjunkt sind oder
sich tangential berühren, wobei letzteres genau der Fall ist, wenn |ad − bc| = 1 gilt
([HN] 2.3/5 (ii)). Verwenden Sie hierfür die Operation der Modulgruppe SL2 (Z).
(Für teilerfremde ganze Zahlen a und c lässt sich die Menge der Lösungen (b, d) der
diophantischen Gleichung ad − bc = ±1 also bis auf ein gemeinsames Vorzeichen
mit der Menge der C(a/c) tangierenden Ford-Kreise identifizieren.)
Definieren Sie die Haupt- und Zwischenkonvergenten einer reellen Zahl ([HN] S.
24). Zeigen Sie, dass zwei Hauptkonvergenten pk /qk und pk+1 /qk+1 einer reellen
Zahl in den Farey-Folgen Fqk+1 , . . . , Fqk +qk+1 −1 benachbart liegen. Definieren Sie
die regelmäßige Kettenkurve einer reellen Zahl und bringen Sie sie mit der Kettenbruchentwicklung dieser Zahl in Verbindung.
6. Zylindergitter, Parastichiebasen. Diesem Vortrag können Sie [HN] 3.1 zugrundelegen. Ein Gitter in C ist eine additive Untergruppe, welche durch zwei über
R linear unabhängige Elemente erzeugt wird. Definieren Sie Zylindergitter wie in
[HN] Definition 4. Wann stimmen zwei Zylindergitter Λ(z, 1) und Λ(z̃, 1) überein?
Definieren Sie, wann zwei Gitter äquivalent heissen, und zeigen Sie, dass jedes Gitter
4
U. GÖRTZ, C. KAPPEN, WS 2010/11
zu einem Zylindergitter äquivalent ist. Beweisen Sie ferner, dass Gitter in C diskret liegen. Erinnern Sie an das Kreuzprodukt zweier Vektoren in der euklidischen
Ebene, und beweisen Sie [HN] Lemma 1 sowie Lemma 3. Definieren Sie Parastichiebasen eines Gitters (kanonische Basen in der Terminologie von [AGH]) und zeigen
Sie, dass Parastichiebasen ihre Gitter erzeugen ([HN] 3.1/2), so wie es die Terminologie suggeriert. Erklären Sie, warum jedes Gitter Λ eine Parastichiebasis besitzt.
Für welche Elemente z der oberen Halbebene ist (z, 1) eine Parastichiebasis des
Zylindergitters Λ(z, 1)? Beweisen Sie hierzu [AGH] Proposition 4.1 (i); vgl. auch
[HN] Satz 3.1/6 (i). Definieren Sie nun die Menge der Parastichiepaare (m, n) eines
Zylindergitters ebenso wie die einer Basis (z, 1) und einem Parastichiepaar (m, n)
zugeordnete Parastichiebasis (zm , zn ) sowie die zugehörigen Parastichien k + zn Z,
0 ≤ k ≤ n−1, vgl. [HN] Satz 3.1/6 (ii), Bemerkung 3.1/2 und Seite 34. Veranschaulichen Sie, dass Parastichien in einem aufgerollten Zylindergitter als Spiralmustern
in Erscheinung treten.
7. Parastichiezahlen und Ford-Kreise. Diesem Vortrag können Sie [HN] 3.2.2
zugrundelegen. Beschreiben Sie das fundamentale Viereck Q sowie seine Translate
unter der Modulgruppe unter Verwendung von Ford-Kreisen und hyperbolischen
Geodäten ([HN] S. 40, Abbildungen 14 und 15). Bestimmen Sie die möglichen Parastichiezahlen der Zylindergitter eines Ford-Kreises C(a/c) ([HN] Satz 3.2/9; Vorsicht: nicht alle Gitter mit den hier angegebenen Parastichiezahlen liegen in C(a/c)).
Bestimmen Sie die Parastichiepaare, welche dem Schnittpunkt zweier benachbarter
Ford-Kreise C(a/c) und C(b/d) zugeordnet sind ([HN] Folgerung 3.2/2). Beweisen
Sie die in [HN] auf Seite 41 angegebenen Abschätzungen für den Divergenzwinkel
und den Zuwachs.
8. Annäherung reeller Zahlen durch rationale, II. Diesem Vortrag können
Sie [HW] XI.1 – XI.4 zugrundelegen. Sei x eine reelle Zahl; wir suchen teilerfremde
ganze Zahlen p, q mit q ≥ 0, welche der Ungleichung |p/q − x| < 1/q 2 genügen.
Zeigen Sie, dass dieses Problem genau dann endlich viele Lösungen besitzt, wenn
x rational ist; verwenden Sie hierzu den Konvergenzsatz der regelmäßigen Kettenbruchentwicklung sowie Lemma B (3) aus [Bu] Kapitel 5 §3.2; vgl. auch Vortrag 1.
Motivieren Sie die Suche nach ’interessanten’ Mengen M reeller Zahlen und Funktionen φM : M × N → R mit der Eigenschaft, dass für jedes x ∈ M unendlich
viele q ∈ N existieren mit der Eigenschaft, dass ein p ∈ Z existiert, so dass die
Ungleichung |p/q − x| < 1/φM (x, q) erfüllt ist. Wie wir gesehen haben, ist erhalten
wir solch ein Paar (M, φM ), wenn wir M gleich der Menge der irrationalen Zahlen
und φ(x, q) = q 2 setzen. Geben Sie einen alternativen Beweis dieser Aussage unter
Verwendung der ’Methode von Dirichlet’, vgl. [HW] XI.3. Definieren Sie, wann eine
reelle Zahl bis zur n-ten Ordnung durch rationale Zahlen approximierbar heisst.
Zeigen Sie, dass rationale Zahlen bis zur Ordnung 1 approximierbar sind und bis
zu keiner höheren Ordnung. Zeigen Sie, dass irrationale Zahlen bis zur Ordnung 2
approximierbar sind und dass Zahlen, welche einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten genügen, zu keiner Ordnung > 2 approximierbar sind ([HW]
XI.4). Verwenden Sie hierbei die in den ersten drei Vorträgen gewonnenen Resultate
hinsichtlich der Kettenbruchentwicklung.
9. Annäherung reeller Zahlen durch rationale, III. Diesem Vortrag können
Sie [HW] XI.5 – XI.11 zugrundelegen. Erinnern Sie an die Definition algebraischer
und transzendenter reeller Zahlen. Definieren Sie den Rang einer algebraischen Gleichung und zeigen Sie, dass die Menge der algebraischen reellen Zahlen abzählbar ist.
Folgern Sie, dass bezüglich des Lebesgue-Maßes fast alle reellen Zahlen transzendent sind. Geben Sie einen alternativen Beweis der Existenz überabzählbar vieler
transzendenter Zahlen mit Hilfe des Cantorschen Diagonalverfahrens. Zeigen Sie
nun den Liouvilleschen Satz, welcher besagt, dass eine algebraische Zahl vom Grad
n zu keiner Ordnung > n durch rationale Zahlen approximierbar ist. Folgern Sie die
(PRO-)SEMINAR ZUR ALGEBRA
5
Transzendenz einer jeden beliebig gut approximierbaren reellen Zahl. Diskutieren
Sie die in [HW] XI.7 angegebenen Beispiele transzendenter Zahlen, welche durch
ihre Dezimalbruchentwicklung beziehungsweise durch ihre Kettenbruchentwicklung
gegeben sind. Nennen Sie einige kanonische reelle Zahlen, für welche die Frage nach
Transzendenz und sogar nach Rationalität noch ungeklärt ist. Erinnern Sie an die
Aussage des Satzes von Hurwitz (Vortrag 4). Zeigen Sie, dass die Menge reeller
Zahlen mit beschränkter Kettenbruchentwicklung Lebesgue-Maß Null besitzt. Erklären Sie kurz, und ohne Beweis, die Aussage von Theorem 198 aus [HW] XI.11,
welches besagt, dass fast alle reellen Zahlen nicht durch rationale Zahlen p/q mit
einem Fehler der Ordnung O(1/(q 2 (log q)2 )) approximierbar sind.
10. Die Transzendenz von e. Erläutern Sie, wie sich die in Vortrag 8 vorgestellte
Dirichletsche Methode auf den mehrdimensionalen Fall verallgemeinert, d.h. wie sie
sich auf das Problem der simultanen Approximation endlich vieler reeller Zahlen
anwenden lässt; vgl. [HW] XI.12. Beweisen Sie anschließend die Transzendenz der
Eulerschen Zahl e, ([HW] XI.13).
11. Die Transzendenz von π. Beweisen Sie die Transzendenz der Kreiszehl π
([HW] XI.14). Folgern Sie, dass die Quadratur des Kreises mit Hilfe von Zirkel und
Lineal nicht möglich ist.
Literatur
[AGH] P. Atela, C. Golé, S. Hotton, A dynamical system for plant pattern formation, J. Nonlinear
Sci. Volume 12 (2002), 641–676
[Bu] P. Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie, Springer.
[DS] F. Diamond, J. Shurman, A first course in modular forms
[HW] G. Hardy, E. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford Mathematics.
[HN] H. Hellwig, T. Neukirchner, Phyllotaxis. Die mathematische Beschreibung und Modellierung von Blattstellungsmustern, Math. Semesterberichte 57 (2010), 17–56.
[SF]
H. Scheid, A. Frommer, Zahlentheorie, Spektrum Akademie-Verlag.