Fundamente der Mathematik, Ausgabe B - Band
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1. Reelle Zahlen und Potenzen
verbreitet werden. Die Pollen werden vom Wind und von
Insekten von Blüte zu Blüte getragen. Diese kleinen Partikel – sie
haben einen Durchmesser von 10 und 200 Mikrometer –
lösen bei vielen Menschen allergische Reaktionen aus.
8
Dein Fundament
Lösungen
b S. 196
Zahlen mit Zehnerpotenzen darstellen
1. Reelle Zahlen und Potenzen
1. Schreibe als Zehnerpotenz.
a) Eintausend
b) Hunderttausend
e) 0,01 Milliarden
f ) 10 Milliarden
c) 10 Millionen
d) 0,1 Millionen
g) 100 000 Millionen h) Zehntausend
2. Schreibe die dargestellte Zahl in Worten.
a) 2 · 103
b) 9 · 106
2
e) 0,8 · 10
f ) 0,001 · 107
c) 1,5 · 105
g) 10 · 103
d) 3,04 · 103
h) 102 · 103
3. Ordne die Zahlen der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl.
a) 3 · 104; 104; 102 · 103; 5 · 102
b) 1,2 · 107; 345 · 103; 0,078 · 108; 12,7 · 103
4. Ordne die Angaben der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Größenangabe.
a) 3 · 103 m; 5 · 105 mm; 0,5 · 102 km
b) 6,6 · 102 m2; 4 · 104 mm2; 7 · 104 dm2
5. Lies die Zahlen in der Stellenwerttafel laut vor.
Milliarden
1011
1010
1
Millionen
109
2
3
108
107
9
9
1
4
Tausend
106
105
104
103
102
101
1
2
3
4
5
6
1
3
6
7
8
5
4
3
2
5
6
7
8
0
9
0
Quadrieren und Quadratwurzelziehen
6. Berechne ohne Taschenrechner.
___
a) 82
b) √49
__
f ) √1
g)
__
9
__
16
√
c) ( – 4 )2
d) 0,22
h) 02
i)
7. Berechne mit einem Taschenrechner.
Runde
___das Ergebnis auf zwei Nachkomma
___stellen.
a) √11 +___
3,1
b) 5,7 – √30 ___
d) 3,7 · √20
e) 5,8 + 2,5 · √29
8. Für welche Werte ist der Term nicht__
definiert?
__
a) √x
_____
b) √1 – x
c)
√x3
d)
1__
__
√x
( _37 )
____
e) √0,01
_____
2
j) √3 600
___
√28
c) 9,87 +___
f ) 5,2 : √4,2
_____
e) √x + 4
___
f ) √2 x
9. Nenne eine Zahl x, bei der man beim Quadrieren (beim Quadratwurzelziehen)
eine Zahl y erhält, für die gilt:
a) y < x
b) y > x
c) y = x
Hinweis zu 10:
Die Ergebnisse sind
teilweise gerundet.
10. Die Ziffernfolge der Ergebnisse ist korrekt. Überprüfe die Ergebnisse ohne Taschenrechner
und korrigiere die Stelle des Kommas, falls erforderlich.
a) 0,1342 = 0,179 56
_____
____
b) √5,23 = 0,228 69
c) 11,972 = 143,28
d) √390,8 = 197,686 6
e) 213 = 45 369
f ) 9,9872 = 997,401 69
g) √1 067 = 32,66
h) 0,0232 = 0,005 29
i) √13 = 3,605 551 3
_____
2
___
9
Dein Fundament
Gleichungen lösen
11. Löse die Gleichung.
a) 2 x + 6 = 5 ( x – 9 )
e) x ( x – 1 ) = 0
b)
x
___
=3
1,5
c)
f ) (x – 1) (x + 1) = 0
12. Ermittle alle Lösungen der Gleichung.
__
b) √x = 4
a) x2 = 81
__
f ) x2 = – 4
e) 3 + √x = 13
3
_
– 3,5 = 8,5
x
d) 3 x + x2 = ( x + 2 )2
g) x ( x2 – 2 ) = x3 + 2 x h) x · x – x – x – x2 = 4
c) 3x = 27
d) 2 x2 = 32
g) x2 + 2 = 2 + x2
h) 2x – 4 = 0
13. Ermittle alle Lösungen der Gleichung.
__
__
=0
a) x – √4_____
f ) x = √( –3 )2
__
b) – 6 + √x = – 1 c) x2 = 144
d) 7x + 2 = 51
e) √x – 9 = 1
g) x2 + 81 = 0
i) 2x – 8 = 0
j) 2√x + 9 = ( –3 )2
__
h) √x – 4 = 0
__
14. Überprüfe die in Klammern angegebene Lösung. Ermittle die richtige Lösung,
wenn erforderlich.
_____
b) x = √( – 4 )2 ; (– 4)
a) 5x = 125; (3)
4
e) x = 16; (– 2; 2)
2
c) 3x = 81; (3)
2
d) x3 = 27; (3; – 3)
___
3
f ) x = ( – 5 ) ; (5; – 5) g) 2 x = 16; (2; – 2) h) x = √49 ; (7; – 7)
15. Gib alle ganzen Zahlen zwischen – 4 und 4 an, die Lösung der Gleichung sind.
a) 22 · 2x = 25
__
b) 34 : 3x = 3
c) √x = 2 + 6 : 2
d) x3 + 22 = – 4
c) 110 % von 400 €
d) 15 % von 120 t
Kurz und knapp
16. Berechne ohne Taschenrechner.
a) 3 % von 500 €
b) 5 % von 40 kg
17. Schreibe Produkte als Potenz und Potenzen als Produkt.
a) 5 · 5 · 5 · 5 · 5
b) x · x · x
d) a2 b3
e)
c) a5
(3)
2 3
_
f) m · n · n · n · m · m
18. Vereinfache den Term unter Nutzung einer binomischen Formel.
a)
a+b
_____
( a + b )2
b)
u+3
________
u2 + 6 u + 9
c)
( x – 3 )2
_____
x–3
d)
b2 – 2 b + 1
_________
(b – 1) (b – 1)
x2 – y2
e) _____
x–y
d)
1
___
_3 · _3
5 5
e)
19. Berechne den Termwert ohne Taschenrechner.
a)
3 _
3
_
5+4
b) 1 : _14
c)
1
_
_1
2
3 __
7
_
5 · 12
20. a) Berechne die fehlenden Ergebnisse bis zum Ziel mit der Startzahl 5.
Start
→
→
→
(1)
5
+2
+2
+2
(2)
5
·2
·2
·2
5
2
2
( )2
(3)
()
()
b) Finde jeweils eine natürliche Startzahl x, mit der man im Ziel 1000 erreicht
oder 1000 annähernd erreicht.
c) Prüfe, ob es eine Startzahl gibt, mit der man im Ziel die 1 erreicht.
Ziel
10
1. Reelle Zahlen und Potenzen
1.1 Reelle Zahlen und Intervallschachtelung
Das rote Quadrat hat einen Flächeninhalt von 16 cm2. Verbindet
man die Mittelpunkte der Seiten des roten Quadrats, entsteht wieder ein Quadrat. Begründe, warum dieses blaue Quadrat einen
Flächeninhalt von 8 cm2 hat.
Wie lang sind die Seiten des blauen Quadrats? Gib einen exakten
Wert an und einen Näherungswert, indem du die Seitenlänge
misst. ■
■
__
2 x. Ist x eine QuadratErinnere dich:
__ Die Quadratwurzel √x ist die nichtnegative Zahl b mit b =__
zahl, so ist √x eine rationale Zahl. Aber beispielsweise für x = 2 lässt sich √2 nur näherungsweise bestimmen. Ein Taschenrechner zeigt nur einen Näherungswert (z. B. 1,414 213 562).
Intervallschachtelung
Es gibt verschiedene Verfahren, um Wurzeln näherungsweise zu berechnen. Eines ist das
Verfahren der Intervallschachtelung. Dabei bestimmt man Schritt für Schritt (abgeschlossene)
Intervalle [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }, sodass
– jedes Intervall im vorhergehenden Intervall enthalten ist;
– die Intervalllängen b – a beliebig klein werden.
__
Beispiel 1: Berechne näherungsweise √2 mit einer Intervallschachtelung. Runde auf die
dritte Nachkommastelle.
0
3
1
2
1,0
2,0
1,4 1,5
1,40 1,42
1,41
1,50
1,45
1,49
Lösung:
Bestimme zwei aufeinanderfolgende
ganze
__
Zahlen, zwischen denen √2 liegt.
__
2
<2
Es ist: 1
< √__
2
Denn: 12 = 1 < √2 = 2 < 22 = 4
Bestimme zwei Zahlen zwischen 1 und 2
mit einer
__ Nachkommastelle, zwischen denen √2 liegt. Prüfe systematisch, zwischen
welchen Quadraten
1,12; 1,22; 1,32; …; 1,92
__2
der Wert √2 = 2 liegt.
1. Schritt:
Bestimme zwei Zahlen zwischen 1,4 und
1,5 mit zwei
__ Nachkommastellen, zwischen
denen √2 liegt.
2. Schritt:
x
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
x2
1,21
1,44
1,69
1,96
2,25
__
Es ist: 1,4
< √__
2
< 1,5
2
Denn: 1,42 = 1,96 < √2 = 2 < 1,52 = 2,25
x
1,41
1,42
x2
1,98881
2,0164
__
Es ist: 1,41 < √2 < 1,42
1,410
1,411
1,420
1,415
1,419
Bestimme zwei Zahlen zwischen 1,41 und
1,42 mit __drei Nachkommastellen, zwischen
denen √2 liegt.
3. Schritt:
x
…
1,413
1,414
1,415
x2
…
1,996 569
1,999 396
2,002 225
__
__
√2 liegt zwischen 1,4142 und 1,4143. Beide
Zahlen ergeben gerundet an der dritten
Nachkommastelle den Wert 1,414.
Es ist: 1,414 < √2 < 1,415
4. Schritt:
__
Es ist: 1,4142 < √2 < 1,4143
__
Gerundet ergibt sich: √2 ≈ 1,414
__
Mit jedem Schritt
der Intervallschachtelung erhält man einen besseren Näherungswert für √2 .
__
Man kann √2 damit auf beliebig viele Nachkommastellen genau bestimmen.
11
1.1 Reelle Zahlen und Intervallschachtelung
Basisaufgaben
1. Berechne
auf drei Nachkommastellen
__
__
__ genau mit einer
___ Intervallschachtelung.
____
____
a) √3
b) √5
c) √7
d) √10
e) √111
f ) √300
___
2. a) Beschreibe, wie sich √12 mit einer___
Intervallschachtelung berechnen lässt.
b) Führe das Verfahren aus und gib √12 auf drei Nachkommastellen genau an.
3. Bestimme die Wurzel mit dem Taschenrechner auf vier Nachkommastellen genau. Verwende dazu nur die Taste zum Quadrieren, aber nicht die Taste zum Wurzelziehen. Kontrolliere
anschließend
mit der
___
___Wurzel-Taste.___
____
____
___
a) √19
b) √24
c) √60
d) √999
e) √0,19
f ) √0,9
Von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen
In der Menge ℚ lassen sich Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen und Divisionen
(außer durch null) unbeschränkt ausführen. Das Ergebnis der Rechnungen ist immer wieder
eine rationale Zahl. Aber ℚ ist nicht abgeschlossen unter
__ der Bildung von Wurzeln:
Die Gleichung x2 = 2 ist in ℚ nicht lösbar. Die Lösung √2 ist eine irrationale Zahl.
Wissen: Reelle Zahlen
Die Menge der reellen Zahlen ℝ setzt sich
aus der Menge der rationalen Zahlen ℚ
und der Menge der irrationalen Zahlen
zusammen.
Irrationale Zahlen lassen sich nicht durch
einen Bruch oder durch eine abbrechende
oder periodische Dezimalzahl darstellen.
ℚ
3
_
5
ℤ
_
0,5
−3
−2,36
ℕ
2
4
π
__
__
√7
√2
0,101001000100001000001…
1,22333444455555…
__
√5
Reelle Zahlen lassen sich mithilfe von Intervallschachtelungen durch rationale Zahlen beliebig
genau annähern. Umgekehrt schließt jede Intervallschachtelung eine reelle Zahl ein.
Beispiel 2:
a) Gib die Teilmengenbeziehungen zwischen den Mengen ℕ, ℤ, ℚ, und__ℝ an.
__
__
b) Zeichne ein Mengendiagramm und trage die Zahlen 0,3; – 2; – 6,12; _23; 0,5; √3 ; 0,5424;
– 0,1234567891011… und 512 ein. Begründe deine Zuordnungen.
Lösung:
a) ℕ ⊆ ℤ, ℕ ⊆ ℚ, ℕ ⊆ ℝ, ℤ ⊆ ℚ, ℤ ⊆ ℝ,
⊆ ℝ, ℚ ⊆ ℝ
ℝ
b) 512 ist positiv und ohne Nachkommastelle,
ℚ
also eine natürliche Zahl.
0,3
– 2 ist negativ und ohne Nachkommastellen,
__
2
_
√3
ℤ
ℕ
3
also eine ganze Zahl.
_ −2
0,3 und
512 −0,1234567891011…
__ – 6,12 sind__abbrechende Dezimalzah0,5424
_
len, 0,5 und 0,5424 sind periodische Dezimal0,5
zahlen, also sind alle vier rationale Zahlen.
−6,12
2
_ ist ein Bruch, also eine rationale Zahl.
3 __
√3 lässt sich nur näherungsweise berechnen, ist also eine irrationale Zahl.
– 0,1234567891011… ist eine nicht abbrechende nicht periodische Dezimalzahl, also
irrational.
Hinweis:
Für das Rechnen mit
reellen Zahlen gelten
dieselben Regeln wie
für das Rechnen mit
rationalen Zahlen.
12
1. Reelle Zahlen und Potenzen
Basisaufgaben
4. Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze sie. Begründe deine Entscheidungen.
Zahlenbereich
0,125
Natürliche Zahlen ℕ
nein
Ganze Zahlen ℤ
nein
Rationale Zahlen ℚ
ja
Irrationale Zahlen
nein
Reelle Zahlen ℝ
ja
__
4,6
______
√16 + 9
__
√3
__
8,203
___
– √81
– 0,12112111211112…
5. Trage die folgenden Zahlen
in ein
__ Mengendiagramm
___
__ ein.
__
0,4; – 8; 5,13; – 0,4; – 0,7; _49; √7 ; – √11 ; 0,5; 0,1345
6. Setze die Wörter „nie“, „immer“ und „manchmal“ in die Lücken ein, sodass wahre Aussagen
entstehen.
a) Eine rationale Zahl ist ■ eine irrationale Zahl.
b) Eine ganze Zahl ist ■ eine natürliche Zahl.
c) Eine reelle Zahl ist ■ eine irrationale Zahl.
d) Eine irrationale Zahl ist ■ eine rationale Zahl.
e) Eine reelle Zahl ist ■ eine ganze Zahl.
f ) Eine natürlich Zahl ist ■ eine reelle Zahl.
7. a) Erkläre die Regel, nach der die Zahl 0,101001000100001… gebildet ist. Setze die
Ziffernfolge fort.
b) Begründe, dass es sich bei der Zahl in a) um eine irrationale Zahl handelt.
c) Erfinde eigene Regeln und bilde damit irrationale Zahlen.
Weiterführende Aufgaben
8. Schätze näherungsweise. Kontrolliere das Ergebnis anschließend mit dem Taschenrechner.
Runde.
__
__
____
___
___
____
____
29
1
a) √0,11
b) √40
c) √60
d) √110
e) √209
f ) __
g) __
15
51
√
√
__
Frank behauptet, dass 1,414 213 562 der genaue Wert von √2 ist, denn sein Taschenrechner
zeigt diesen Wert ja an. Nadine meint, dass das nicht stimmen kann, denn die Endziffer von
1,414 213 5622 ist 4. Wer hat recht? Begründe deine Antwort.
9. Gegeben sind die ersten beiden Intervalle einer Intervallschachtelung für die Quadratwurzel aus einer
n.
__ natürlichen Zahl n. Bestimme
__
__
__
a) 3 < √__
n <4
b) 9 < √__
n < 10
c) 6 < √__
n <7
d) 7 < √__
n <8
3,3 < √n < 3,4
9,0 < √n < 9,1
6,8 < √n < 6,9
7,6 < √n < 7,7
10. Ordne
die reellen
__ Zahlen der
__ Größe nach.
3 __
a) √8 ; _94; 1; √2 ; – 1,4; 2,2
______
b) _13; 0,333 33; 0,3; 0,333 343; √0,1024 ;
c) – 1,444;
13
__
;
9
___
__
___
__
1
_
;
__ 3
__
9
__
80
√ √
26
– __
; – √21 ; √2 ; √2,1 ; – 1,4
25
13
1.1 Reelle Zahlen und Intervallschachtelung
11. Stolperstelle: Mario begründet in seiner Hausaufgabe, dass einige Zahlen irrational sind.
Korrigiere – falls nötig – und erkläre, worin mögliche Fehler liegen.
a)
b)
c)
d)
0,32423453245
ist irrational, weil hinter dem Komma so viele Zahlen sind.
__
√9 ist irrational, weil es eine Quadratwurzel ist.
92,2134231323232… ist irrational, weil es hinter dem Komma ohne Periode immer weiter geht.
3,34 ist irrational; weil es eine nicht abbrechende Dezimalzahl ist.
12. Setze die Zahlen so zu einer nicht abbrechenden Dezimalzahl fort, dass eine rationale
(irrationale) Zahl entsteht. Erkläre, wie du vorgegangen bist.
a) 2,1717…
b) 3,494499…
c) 0,2468…
d) 0,1491625…
13. Von fünf verschiedenen reellen Zahlen a, b, c, d und e sind die ersten Ziffern gegeben:
a = 0,8152…; b = 0,815 3…; c = 0,815 212…; d = 0,815 26…; e = 0,815 27…
Lassen sich die fünf Zahlen der Größe nach ordnen? Wie viele verschiedene Anordnungen
der Zahlen a, b, c, d und e sind nach den vorliegenden Angaben möglich?
14. Bestimme
ohne Taschenrechner,
welche Zahl größer ist.__
__
__
__
31
a) √2 oder 1,4142
b) √5 oder 2,230 679 91
c) √8 oder __
11
__
17
d) √2 oder __
12
15. Übertrage die Tabelle und gib an, welche Operationen in den jeweiligen Zahlenmengen
uneingeschränkt ausführbar sind und welche nicht. Gib im Fall „nein“ ein Gegenbeispiel an.
Zahlenbereich
a+b
a–b
Natürliche Zahlen ℕ
ja
nein, z. B. 3 – 5 = – 2
a·b
a
_
;
b
__
√a ; a ≥ 0
b≠0
Ganze Zahlen ℤ
Rationale Zahlen ℚ
Reelle Zahlen ℝ
16. Gib die Lösungsmenge der Gleichung jeweils für die Grundbereiche ℕ, ℤ, ℚ und ℝ an.
a) 2 x – 6 = 8
b) x + 7 = 3
c) 3 x = 4
d) 3 x + 12 = – 9
e) x2 = 81
f ) x2 = 0,09
g) x2 = 6
h) x3 = 27
17. a) Gib eine rationale Zahl an, die zwischen den irrationalen Zahlen
a = 3,525 225 222 522 22… und b = 3,525 525 552 555 5… liegt.
b) Begründe die folgende Aussage: Zu zwei verschiedenen reellen Zahlen a und b lässt
sich immer eine rationale Zahl angeben, die zwischen den beiden Zahlen a und b liegt.
Man sagt: Die rationalen Zahlen liegen dicht in den reellen Zahlen.
c) Liegen die ganzen Zahlen dicht in den reellen Zahlen? Begründe deine Antwort.
18. Ausblick: Irrationale Zahlen auf der Zahlengeraden
1
a) Beschreibe
A=1
__ anhand der Zeichnungen,
wie sich √2 auf der Zahlengeraden
1
konstruieren lässt.
__ ___
b) Konstruiere
__ auf ähnliche Weise √8 , √18
1
und 3 · √2 auf der Zahlengeraden.
1
c) Begründe, dass in einem Quadrat mit
der Seitenlänge
a
die
Diagonale
die
__
_____
0
1 √2 2
Länge √2 · a2 hat.
___
Erkläre dann, dass sich √15 nicht auf diese Weise konstruieren lässt.
A=
Hinweis:
In der Menge der natürlichen Zahlen kann
man die Addition uneingeschränkt ausführen heißt: Die Summe
zweier natürlichen
Zahlen ist immer eine
natürliche Zahl.
14
Streifzug
1. Reelle Zahlen und Potenzen
Argumentieren und Beweisen
■ Lara und Maria sollen prüfen,
ob die Summe aus zwei geraden
Zahlen immer gerade ist. Welcher
Begründung vertraust du mehr?
Argumentiere selbst: „Das Produkt
aus zwei geraden Zahlen ist immer
gerade.“ ■
Lara:
2 + 2 = 4 ist gerade
2 + 4 = 6 ist gerade
4 + 4 = 8 ist gerade
Ich finde kein Gegenbeispiel, also stimmt
die Aussage.
Maria:
a gerade, also a = 2 n
b gerade, also b = 2 m
a + b = 2n + 2m
= 2 (n + m)
2 (n + m) ist durch
2 teilbar, also gerade.
Direkte Beweise und Beweis durch Gegenbeispiel
Mathematische Aussagen beziehen sich oft auf unendlich viele Objekte, z. B. Zahlen oder geometrische Figuren.
Beispiele: • Das Produkt aus zwei ungeraden Zahlen ist immer ungerade.
• Jedes Quadrat ist ein Parallelogramm.
Um die Wahrheit einer solchen Aussage nachzuweisen, reichen Beispiele nicht aus. Es bedarf
einer mathematischen Argumentation, einem Beweis. Bei Beweisen darf man in jedem
Argumentationsschritt nur wahre Aussagen und eindeutig erklärte Begriffe benutzen.
Um eine Aussage zu widerlegen, genügt es ein Gegenbeispiel anzugeben.
Beispiel 1: Direkter Beweis
Aussage: Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist immer ungerade.
a) Überprüfe die Aussage an drei Beispielen.
b) Beweise die Aussage.
Lösung:
a) Wähle drei zufällig ausgewählte Beispiel.
b) Schreibe die Aussage in der Form
„Wenn … (Voraussetzung),
dann … (Behauptung).“
Schreibe die Voraussetzung und die
Behauptung mit Variablen auf.
32 = 9 ist ungerade
72 = 49 ist ungerade
152 = 225 ist ungerade
Wenn-dann-Form:
Wenn eine Zahl ungerade ist, dann ist auch
ihr Quadrat ungerade.
Voraussetzung:
a ungerade, also a = 2 n + 1 für ein n ∈ ℕ
Behauptung: a2 ist ungerade
Hinweis:
Ein Produkt ist durch
eine Zahl teilbar, wenn
mindestens ein Faktor
durch diese Zahl teilbar
ist.
Weise nun durch Argumentation die
Behauptung nach. Es werden Termumformungen und eine Aussage über
Teilbarkeit verwendet.
Beweis:
a2 = ( 2 n + 1 )2 = 4 n2 + 4 n + 1 = 2 ( 2 n2 + 2 n ) + 1
durch 2 teilbar
Der erste Summand ist gerade, + 1 ergibt eine ungerade Zahl. Also ist a2 ungerade. q. e. d.
Beispiel 2: Widerlegen durch Gegenbeispiel
Widerlege die folgende Aussage: Die Differenz von zwei natürlichen Zahlen ist immer positiv.
Hinweis:
Das Beweisende kennzeichnet man mit q. e. d.
(Lateinisch: „Was zu
beweisen war.“)
Lösung:
Finde durch Probieren ein Gegenbeispiel.
Die Differenz von 2 und 4:
2 – 4 = – 2 ist negativ.
Also ist die Aussage falsch.
q. e. d.
Streifzug
Wissen: Direkter Beweis und Beweis durch Gegenbeispiel
Für einen direkten Beweis einer Behauptung geht man von der Voraussetzung aus, um auf
die Behauptung zu schließen. Dabei darf man nur eindeutig geklärte Begriffe und wahre
mathematische Aussagen verwenden.
Folgende Fragen können bei einem Beweis helfen:
• Wie lautet die Wenn-dann-Form?
• Was ist die Voraussetzung?
• Was ist die Behauptung?
• Was folgt aus der Voraussetzung?
Für den Beweis dafür, dass eine Aussage falsch ist, genügt es ein Gegenbeispiel anzugeben.
Basisaufgaben
1. Formuliere die Aussagen in der Wenn-dann-Form.
a) Ein Viereck mit gleich langen gegenüberliegenden Seiten ist immer ein Parallelogramm.
b) Die Summe zweier ungerader natürlicher Zahlen ist stets gerade.
c) Ein Dreieck mit zwei gleich großen Innenwinkeln ist immer gleichschenklig.
d) Jede durch 6 teilbare natürliche Zahl ist auch durch 3 teilbar.
e) Vermindert man das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl um 1, so ist diese Differenz stets durch 4 teilbar.
2. Aussage: Das Quadrat einer geraden Zahl ist immer durch 4 teilbar.
a) Überprüfe die Aussage an drei Beispielen.
b) Beweise die Aussage.
3. Beweise die folgenden Aussagen.
a) Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist immer ungerade.
b) Die Summe zweier ungerader Zahlen ist immer gerade.
c) Die Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer durch 6 teilbar.
4. Formuliere die Voraussetzung und die Behauptung mit Variablen und beweise dann die
Aussage.
a) Jede durch 15 teilbare natürliche Zahl ist auch durch 5 teilbar.
b) Das Produkt des Vorgängers und Nachfolgers einer ganzen Zahl ist kleiner als das
Quadrat dieser Zahl.
5. Die folgenden Aussagen sind falsch. Beweise dies durch ein Gegenbeispiel.
a) Die Summe von vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist durch 4 teilbar.
b) Die Summe von sechs aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist durch 6 teilbar.
c) Wenn eine Zahl durch 3 teilbar ist, dann ist sie auch durch 6 teilbar.
d) Wenn a ein Teiler von b ist, so gilt stets a < b.
Indirekte Beweise
Neben den direkten Beweisen gibt es auch indirekte Beweise, die auch Widerspruchsbeweise
genannt werden. Bei einem indirekten Beweis nimmt man das Gegenteil von dem an, was
man beweisen möchte. Durch Argumentieren versucht man, einen Widerspruch zu bekannten
Tatsachen zu erhalten. Wird der Widerspruch erreicht, wissen wir, dass die Annahme falsch und
damit die ursprüngliche Behauptung wahr ist.
15
16
1. Reelle Zahlen und Potenzen
Beispiel 3: Beweise folgende Aussage mit einem indirekten Beweis:
Wenn das Quadrat einer natürlichen Zahl ungerade ist, dann ist auch die Zahl selbst
ungerade.
Lösung:
Beschreibe die Aussage mit Variablen.
Beweise die Aussage durch einen indirekten Beweis.
Sei a eine natürliche Zahl.
Voraussetzung: a2 ist ungerade
Behauptung: a ist ungerade
Formuliere das Gegenteil der Behauptung.
Annahme: a ist nicht ungerade.
Führe diese Annahme durch mathematische Argumentation zu einem Widerspruch.
Beweis:
Dann ist a gerade, also a = 2 n für ein n ∈ ℕ
Dann ist a2 = ( 2 n )2 = 4 n2, also durch 2 teilbar
und somit eine gerade Zahl. Ein Widerspruch!
Somit war die Annahme falsch und die Aussage ist bewiesen.
q. e. d.
Basisaufgaben
6. Beweise die folgende Aussage durch einen indirekten Beweis:
Wenn das Quadrat einer natürlichen Zahl gerade ist, dann ist die Zahl selbst auch gerade.
7. Bringe die Aussage in die Wenn-dann-Form
und formuliere das Gegenteil der Behauptung. Sind die Aussagen wahr oder falsch?
a) Das Produkt aus einer geraden und einer
ungeraden Zahl ist gerade.
b) Jede durch 4 teilbare Zahl ist gerade.
c) Kongruente Dreiecke sind ähnlich.
Wenn es regnet, dann
ist die Straße nass.
Wenn die Straße
nass ist, dann hat es
geregnet.
Oder?
Weiterführende Aufgaben
8. Beweise die folgende Aussage durch einen indirekten Beweis:
___
a+b
Für alle reellen nicht negativen Zahlen a und b gilt: ____
≥ √a b .
2
9. Ist die folgende Aussage wahr oder falsch? Beweise oder widerlege.
Es gibt drei natürliche Zahlen, deren Produkt 149 ergibt.
10. Formuliere die Aussage in der Wenn-dann-Form und beweise diese, indem du mit mehreren Variablen rechnest.
a) Die Summe zweier beliebiger gerader Zahlen ist stets wieder eine gerade Zahl.
b) Die Summe dreier beliebiger ungerader Zahlen ist stets ungerade.
c) Das Produkt zweier beliebiger ungerader Zahlen ist stets ungerade.
d) Das Produkt zweier Quadratzahlen ist stets wieder eine Quadratzahl.
11. Paula behauptet: „Wenn man eine Zahl quadriert, so entsteht nie eine kleinere Zahl:
12 = 1 22 = 4 32 = 9 10002 = 1 000 000“
Karim behauptet, dass er ein Gegenbeispiel hat.
Findest du auch eines?
17
Streifzug
12. a) Formuliere die Aussage in der Wenn-dann-Form. Beweise oder widerlege.
1 Die Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist
immer durch 3 teilbar.
2 Die Summe von fünf aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen
ist immer durch 10 teilbar.
b) Karla fertigte als Argumentation für die Richtigkeit der Aussage von 1
eine Zeichnung an. Beschreibe, wie Karla argumentiert haben könnte.
13. Wo steckt der Fehler in der folgenden mathematischen Argumentation?
x2 − x2 = x2 − x2
Die Gleichung x2 − x2 = x2 − x2 ist eine wahre Aussage.
x ( x − x ) = ( x + x ) ( x − x ) Auf der linken Seite wird x ausgeklammert, auf der rechten Seite
wird die 3. binomische Formel angewendet.
Nun wird auf beiden Seiten der Gleichung durch ( x − x ) dividiert.
x=x+x
1=1+1
Im letzten Schritt wird auf beiden Seiten der Gleichung durch x
Also ist 1 = 2.
dividiert.
14. a) Vollziehe den folgenden Beweis nach.
__
Behauptung: √2 ist eine irrationale Zahl.
__
Beweis: Angenommen, die Behauptung__ist falsch, also angenommen, √2 ist rational.
p
Dann gibt es zwei Zahlen p, q ∈ ℤ mit √2 = _q und der Bruch ist vollständig gekürzt.
Es gilt also:
( _pq )
2
p2
= __
= 2, also p2 = 2 q2
q2
2 q2 ist eine gerade Zahl, also muss auch p2 gerade sein. Dann ist auch p gerade, denn
ist eine Quadratzahl gerade, so muss die Zahl selber auch gerade sein.
Also p = 2 n für ein n ∈ ℕ.
Durch Einsetzen erhalten wir:
p2 = 2 q2
( 2 n )2 = 2 q2
4 n2 = 2 q2
|:2
2 n2 = q2
Damit ist auch q2 gerade und somit auch q. Die Zahl 2 ist Teiler von p und q. Das ist
p
jedoch ein Widerspruch zur Annahme,__dass der Bruch _q vollständig gekürzt ist.
Also ist unsere Annahme falsch, d. h. √2 ist nicht rational, also irrational.
q. e. d.
__
b) Beweise, dass √3 irrational ist.
15. Zeichnerische Begründung der Aussagen über Quadratzahlen
a) Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist immer ungerade. Marie
hat dazu eine Zeichnung angefertigt. Kannst du ihre Argumentation nachvollziehen? Gib mögliche Argumente an.
b) Fertige auch eine Zeichnung an, mit der du zeigen kannst, dass
das Quadrat einer geraden Zahl immer durch 4 teilbar ist.
16. Addiert man zu einer zweistelligen natürlichen Zahl die Differenz aus der Zehner- und
Einerstelle, so erhält man eine durch 11 teilbare Zahl. Beweise die Aussage, indem du die
zweistellige natürliche Zahl mit zwei Variablen schreibst.
17. Forschungsauftrag:
a) Beweise die folgende Aussage:
Das Produkt zweier aufeinanderfolgender Zahlen ist immer durch 2 teilbar.
Unterscheide dafür zwei Fälle:
1. Fall: Die erste Zahl ist gerade.
2. Fall: Die erste Zahl ist ungerade.
b) Suche nach weiteren Beweisen mit Fallunterscheidungen.
18
Streifzug
1. Reelle Zahlen und Potenzen
Heron-Verfahren
Herr Marx, der Mathematiklehrer der Klasse 9a hat sich
eine kleine Mathe-Olympiade ausgedacht.
Eine Disziplin ist „Quadratumkehren“.
Dabei darf die Wurzeltaste des Taschenrechners nicht
benutzt werden.
Erläutere, wie du die Gleichung x 2 = 5 lösen würdest. ■
■
Löse x2 = 5.
Quadratwurzeln lassen sich ohne Taschenrechner mit dem Intervallschachtelungsverfahren
oder mit dem Heron-Verfahren ermitteln.
Beim Heron-Verfahren wird ausgenutzt, dass die Länge der Seite a eines Quadrates gleich der
Wurzel aus dem Flächeninhalt A ist. Es wird nun versucht, aus einem Rechteck durch Veränderung der Seitenlängen ein flächengleiches Quadrat zu erzeugen.
__
So erhält man schrittweise einen immer besseren Näherungswert für √A .
__
Beispiel 1: Berechne √3 näherungsweise mit dem Heron-Verfahren.
Runde auf die dritte Stelle nach dem Komma.
Lösung:
Wähle die Seitenlängen a und b eines
Rechtecks so, dass der Flächeninhalt
die Maßzahl 3 hat.
Bilde den Mittelwert von a und b.
Der Mittelwert ist die Länge der
neuen Seite a.
Die Seite b muss so angepasst werden, dass
der Flächeninhalt dabei weiterhin den Wert
3 annimmt. Für die neuen Seitenlängen
von a und b muss also weiterhin gelten:
a · b = 3 und somit b = _3a
Wiederhole das Vorgehen mit den neuen
Seitenlängen.
Die Form des Rechtecks nähert sich immer
weiter der eines Quadrates an.
a = 3 und b = 1
A=a·b=3·1=3
A= 3
1
3
1. Veränderung
der Seitenlängen a und b:
a + b ____
____
= 3 +2 1 = _42 = 2
2
Mit der veränderten
Seitenlänge a = 2 erhält
man für die Seitenlänge b:
3 _
_
= 3 = 1,5
a 2
A= 3
1,5
2
2. Veränderung
der Seitenlängen a und b:
3,5
2 + 1,5 ___
_____
= 2 = 1,75
2
3 ___
_
= 3 ≈ 1,714
a 1,75
A= 3
1,714
1,75
Nach dem dritten Schritt sind die gerundeten Seitenlängen an der dritten
Dezimalstelle gleich.
Mit diesem
Verfahren kannst du den Wert
__
für √3 beliebig genau annähern.
3. Veränderung
der Seitenlängen a und b:
1,75 + 1,714 ____
3,464
________
= 2 = 1,732
2
3
3
_
____
a = 1,732 ≈ 1,732 101
__
A= 3
√3 ≈ 1,732
1,732
1,732
19
Streifzug
Aufgaben
1. Berechne
näherungsweise mit
__
___ dem Heron-Verfahren
___ auf die dritte Dezimalstelle.
___
a) √6
b) √12
c) √21
d) √11
__
___
___
___
2. a) Berechne √8 (√15 ; √24 ; √63 ) näherungsweise sowohl mit dem Intervallschachtelungs- als auch mit dem Heron-Verfahren. Runde auf die dritte Dezimalstelle.
b) Vergleiche beide Verfahren. Für welches Verfahren würdest du dich entscheiden,
wenn du ohne Hilfsmittel Wurzeln berechnen müsstest? Begründe deine Aussage.
TB 3. Quadratwurzeln mithilfe des Heron-Verfahrens können auch mit einer Tabellenkalkulation
ermittelt werden.
A
B
C
a) Gib an, welche Formel in welches Feld gehört.
1
Seite a
Seite b
Flächeninhalt
2
12
10
120
b) Erstelle die Tabelle mit den entsprechenden
4
11
10,90909091
Formeln in einer Tabellenkalkulation.
5
10,95454545
10,92435685
c) Berechne
____ mit einer
____Tabellenkalkulation.
_____
① √120 ② √156 ③ √2048
=(A2+B2)/2
=C2/A3
d) Wie viele Schritte werden in c) jeweils benötigt,
um die Wurzeln mit einer höheren Genauigkeit
=(A3+B3)/2
=C2/A4
zu bestimmen als mit deinem Taschenrechner?
4. Um Näherungswerte für Quadratwurzeln mit dem Heron-Verfahren schnell berechnen zu
können, wird meist eine Formel verwendet, bei der man von einem vorgegebenen Näherungswert auf den nachfolgenden Näherungswert
schließen kann.
___
a) Felix benutzt das Heron-Verfahren, um √10 zu ___
berechnen.
Nach der dritten Veränderung hat er als Wert √10 ≈ 3,162 erhalten.
Mona behauptet: „Wenn du einen Näherungswert kennst, kannst du
den nächsten Näherungswert immer ganz leicht berechnen.“
Sie schreibt für den folgenden Näherungswert auf:
10
: 2 ≈ 3,1622.
( 3,162 + ____
3,162 )
Begründe, warum Mona recht hat.
__
b) Möchte man allgemein zu einer Zahl a die Quadratwurzel √a berechnen und ist ein
beliebiger Näherungswert an bekannt, so kann man den nächsten Näherungswert
stets mit der folgenden Formel berechnen:
(
)
a
an + 1 = an + __
an : 2
__
Berechne mit dieser Formel einen Näherungswert für √7 .
Starte mit a1 = 3 und berechne a2 , a3 , a4 , a5 und a6.
_____
__
__
5. Untersuche mit dem Heron-Verfahren, ob die Gleichung √a + b = √a + √b gilt.
Setze für a und b Werte ein.
a=
2 und __b = 3)
__ (Beispiel:
__
_____
Bestimme dann jeweils √2 , √3 und √2 + 3 = √5 mit dem Heron-Verfahren
und vergleiche.
6. Forschungsauftrag: Erforsche weitere Verfahren zur Bestimmung von Quadratwurzeln.
a) Recherchiere im Internet oder in der Bibliothek deiner Schule nach weiteren Verfahren
zur Bestimmung von Quadratwurzeln ohne Hilfsmittel. Hierzu gehört beispielsweise
das „schriftliche Wurzelziehen“.
b) Recherchiere auch nach Verfahren der „vedischen Mathematik“ zum Ermitteln von
Quadratwurzeln. Vedische Rechenmeister ziehen Wurzeln im Kopf. Wähle ein Verfahren
und trainiere es solange, bis du es selbst blitzschnell im Kopf ausführen kannst.
20
1. Reelle Zahlen und Potenzen
1.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
■ Betrachte die nebenstehende Aufgabenfolge.
Setze das Prinzip fort und gib die Ergebnisse der ungelösten
Aufgaben an. ■
Erinnere Dich:
1
1
= __
= 0,1
10−1 = ___
1
10
10
10−2
1
1
= ___
= ___
= 0,01
102 100
1
1
= ____
= 0,001
10−3 = ___
3
1000
10
Verkleinert man beim Potenzieren
der Basis a (a ≠ 0) den Exponenten
jeweils um 1, so wird das Ergebnis
durch a dividiert. Dieses Prinzip lässt
sich auch auf null und negative
Exponenten fortsetzen.
a3
=a·a·a
a2 = a · a
a1 = a
a0 = 1
a–1 = _1a
–1
–1
–1
–1
–1
:a
:a
:a
:a
1
1
__
a–2 = ___
a·a = 2
a
–1
1
=
a–3 = ____
a·a·a
Für a ≠ 0 und eine natürliche
Zahl n > 0 gilt:
1
1
a– n = __
= _______
an a · a · … · a
–1
–1
3 4 = 81
3 3 = 27
32 = 9
31 = ?
30 = ?
3 –1 = ?
3 –2 = ?
:a
1
__
a3
:a
n Faktoren
Erinnere dich:
Potenz Exponent
an
Wissen: Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Für alle reelle Zahlen a und natürlichen Zahlen n ≥ 1 gilt:
1
1
an = a · a · … · a
a− n = __
= _______
(mit a ≠ 0)
a·a·…·a
n
n Faktoren
a
n Faktoren
Basis
Für eine Potenz mit Exponent Null gilt a0 = 1, aber 00 ist nicht definiert.
Beispiel 1: Potenzen berechnen
a) Schreibe die Potenz 3–4 als Produkt und berechne.
b) Schreibe die Potenz ( – 4 )–3 als Produkt und berechne.
c) Gib _13 · _13 · _13 · _13 · _13 als Potenz mit negativem Exponenten an.
Lösung:
a) Schreibe die Potenz mit negativem
Exponenten als Bruch und berechne die
Potenz im Nenner.
Hinweis:
Der Wert einer Potenz
mit negativer Basis ist
positiv, wenn der
Exponent gerade ist,
und
negativ, wenn der
Exponent ungerade
ist.
1
1
1
3–4 = __
= _______
= __
4
3 · 3 · 3 · 3 81
3
b) Schreibe die Potenz mit negativem
Exponenten als Bruch.
Der Wert ist negativ, weil der Exponent
3 eine ungerade Zahl ist.
1
( – 4 )–3 = ____
3
c) Schreibe das Produkt im Nenner als
Potenz. Die Potenz kann im Zähler
stehen, wenn man den Exponenten mit
negativem Vorzeichen wählt.
1 _
1
1
_
· 1 · _1 · _1 · _1 = ________
= __
= 3– 5
3 3 3 3 3 3 · 3 · 3 · 3 · 3 35
( –4 )
1
1
1
= – _____
= – __
= __________
( –4 ) · ( –4 ) · ( –4 )
4·4·4
64
Basisaufgaben
1. Berechne. Gib das Ergebnis als natürliche Zahl oder als Bruch an.
a) 23; 22; 21; 20; 2–1; 2–2; 2–3
b) ( – 5 )3; ( – 5 )2; ( – 5 )1; ( – 5 )0; ( – 5 )–1; ( – 5 )–2; ( – 5 )–3
:3
:3
21
1.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
2. Schreibe als Potenz mit positivem Exponenten und berechne.
a) 6–3
b) 5–4
c) 2–4
e) ( –2 )–3
f ) ( – 9 )–2
g) ( –1 )–4
d) ( –3 )–4
h) ( 2 · 3 )–3
3. Schreibe als Potenz mit negativem Exponenten.
1
1
a) ___
b) ____
c)
3
5
1
_____
( – 2,5 )6
d)
1
____________
2·2·2·2·2·2·2
1
___
121
h)
1
__
16
12
e)
1
______________
( –6 ) · ( –6 ) · ( –6 ) · ( –6 )
f)
( –8 )
1 _
_
· 1 · _1 · _1
3 3 3 3
4. Berechne die Potenzen.
a) 0,5–2
b) 0,25–3
e)
()
2 2
_
3
f)
()
1 –1
_
2
g)
c) 0,75–2
g)
d) ( – 0,5 )–3
()
1 –2
_
4
h)
( _25 )0
Weiterführende Aufgaben
5. a) Berechne die Potenzen: ( – 4 )–4; – 4–4; ( – 5 )–3; – 5–3, ( – 6 )–2; – 6–2
b) Beschreibe, worin sich die Terme ( – a )−n und – a−n unterscheiden.
6. Schreibe mit positiven Exponenten.
a) y–4
b) ( 6 a )–3
e) a–2
f ) b– 3 c– 4
c) ( x + 5 )–2
g)
d) y4 y–2
a– 4
___
b– 3
h)
7. Schreibe möglichst einfach mit Potenzen mit negativen Exponenten.
5
2
a) _12
b) __
c) ___
d)
2
3
e)
1
_____
x·x·x
f)
x
1
_____
(1 – a)
g)
–a
x·y
___
u·v
h)
8. Übertrage ins Heft. Setze das richtige Zeichen < oder > ein.
a) 6–4 ■ 6–5
b) 4–4 ■ 4–5
c) ( –3 )–2 ■ ( –3 )–1
x– 2
__
y– 5
4
____
( – b )4
1
____
x2 y2
d) ( 0,25 )–3 ■ ( 0,25 )–1
9. Stolperstelle: Überprüfe die Rechnungen. Beschreibe die Fehler und korrigiere sie.
1
a) – 22 = 4
b) – (– 3)–3 = – __
c) – 3 · (– 3)4 = (– 3)4 d) (– a) · (– a)3 = – a4
27
0
0
3
3
e) 3 · (a – b) = 1
f ) (a ) = a
g) (x + y)2 = x2 + y2
h) 2 m3 · 10 dm3 = 12 dm3
10. a) Berechne die Potenzen ( – 3 )2; ( – 3 )3; ( – 3 )4; ( – 3 )5, sowie ( – 3 )–2; ( – 3 )–3; ( – 3 )–4; ( – 3 )–5.
b) Welche Werte müssen die Basen und Exponenten annehmen, damit die Ergebnisse
positiv bzw. negativ sind? Formuliere eine allgemeine Regel.
11. Die Potenz 00 hat keine eindeutige Lösung, sondern es sind zwei verschiedene Lösungen
denkbar.
a) Berechne die Potenten 04, 03, 02, 01. Gib eine mögliche Lösung für 00 an.
b) Berechne die Potenzen 40, 30, 20, 10. Gib eine mögliche Lösung für 00 an.
c) Erläutere mit eigenen Worten, warum man 00 nicht sinnvoll definieren kann.
12. Berechne, beachte dabei die Vorrangregeln.
a) 2 · 25
b) –2 · ( –2 )4
c) 5 · 52
d) 3 · 30 · 33
13. Mit welchem Exponenten muss man – 7 potenzieren, um die gegebene Zahl zu erhalten?
a) 49
b) – 343
c) – 7
d) 1
e)
1
__
–7
f)
1
__
49
Erinnere dich:
Potenzrechnung geht
vor Punkt- und Strichrechnung.
22
1. Reelle Zahlen und Potenzen
Hinweis:
Die Lösung zu Aufgabe 14 findest du hier:
4
8
1
3
−5
−1
14. Löse die Gleichungen.
a) 2,3 · 10x = 23
d)
x–2
1
= __
64
b) 3x = 81
e)
c) 1,89 · 10x = 0,000 0189
1
_
= 3x
3
f)
( _47 )
x
64
= ___
343
15. Aus einer Bakterie wird eine Bakterienkolonie gezüchtet.
Bei günstigen Lebensbedingungen, beispielsweise bei genügend
Nahrung, Feuchtigkeit und Temperaturen zwischen + 10 °C
bis + 30 °C, können sich Bakterien alle 20 min teilen. Berechne,
wie viele Bakterien die Bakterienkultur nach 8 Stunden umfasst.
16. Im Tiefkühlschrank liegt eine Packung mit 500 g Eis. Eva nascht
jeden Tag die Hälfte des vorhandenen Eises. Ermittle, nach wie
vielen Tagen noch etwa 5 g Eis übrig sind.
Hinweis:
Einheit
Ampère
Farad
Hertz
Volt
Watt
Abkürzung
A
F
Hz
V
W
Erinnere dich:
5,1 · 10–3 = 0,0051
0,000 02 = 2 · 10–5
17. Bei Einheiten von Größen werden oft Vorsilben verwendet.
Beispiel: Die Vorsilbe Mikro (µ) steht für die Zehnerpotenz
106, also 1 µg = 106 g.
Gib die Größe in der in Klammern stehenden Einheit an.
Verwende Zehnerpotenzen, wenn es sinnvoll ist.
a) 5 · 10–6 s (µs)
b) 300 nF (F)
c) 4,3 · 10–7 m (nm)
d) 2,25 l (ml)
e) 6 µm (m)
f ) 3,4 MW (W)
g) 520 nm (m)
h) 2,3 GHz (Hz) i) 8 TA (A)
18. Schreibe ohne Potenzschreibweise mithilfe einer geeigneten
Vorsilbe.
Beispiel: 10– 1 m = 1 dm
a) 103 Hz
b) 10– 2 m
c) 106 W
d) 10– 6 g
e) 10– 9 m
f ) 103 m
g) 103 g
h) 1012 m
i) 10– 3 l
Vorsilbe
Potenz
Nano n
10−9
Mikro µ
10−6
Milli m
10−3
Zenti c
10−2
Dezi d
10−1
Hekto h
102
Kilo k
103
Mega M
106
Giga G
109
Tera T
1012
19. In einem großen Bienenvolk leben im Sommer etwa 8 · 104 Bienen. 10 Bienen wiegen
1 g. Um 500 g Honig zu produzieren, müsste eine Biene 3,5-mal um die Erde fliegen
(Erdumfang 40 075 km). In ihrem Leben legt eine Biene etwa 8 · 106 m zurück.
a) Welches Gewicht in Gramm hat das Bienenvolk?
b) Wie viel km muss das Bienenvolk zurücklegen, wenn es 40 kg Honig produzieren soll?
c) Wie viel km legt das Bienenvolk in seinem Leben zurück?
20. Der jährliche Stromverbrauch eines 4-Personenhaushaltes beträgt etwa 5 · 103 kWh.
a) Wie viele 4-Personenhaushalte können mit 100 TWh (Terawattstunden) ein Jahr versorgt werden?
b) Wie viel Euro erhält ein Stromanbieter für 100 TWh, wenn er für 1 kWh 29 Cent fordert?
Hinweis:
Sind Kondensatoren
parallelgeschaltet,
addieren sich deren
Kapazitäten.
21. Ein Kondensator hat eine Kapazität von
10 pF. Wie viele Kondensatoren mit je
10 pF müssen parallelgeschaltet werden,
um 1 nF zu erhalten?
…
C1
C2
C3
Cn
…
23
1.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
22. In der Homöopathie verwendet man hohe Verdünnungen von Wirkstoffen als Arzneien.
Die Konzentration D1 bedeutet, dass in 10 Teilen der Arznei 1 Teil des Wirkstoffes enthalten
ist. D2 bedeutet, dass in 100 Teilen der Arznei 1 Teil des Wirkstoffes enthalten ist usw.
a) Wie viel Gramm Belladonna D6 lässt sich aus 1 g des Wirkstoffes der giftigen Tollkirsche
herstellen?
b) Wie viel Milliliter reines Schöllkraut sind zur Herstellung von 50 Litern der Lösung des
Schöllkrautes D4 notwendig?
23. Das von der Erde am weitesten entfernte Objekt, das man mit bloßem Auge noch sehen
kann, ist die Andromeda-Galaxie. Sie ist 2,7 · 106 Lichtjahre von der Erde entfernt.
Ihr größter Durchmesser beträgt etwa 163 000 Lichtjahre. Berechne die Entfernung und
den Durchmesser der Andromeda-Galaxie in km.
Hinweis: Die Lichtgeschwindigkeit beträgt 3 · 108 ms–1.
Hinweis:
Ein Lichtjahr ist die
Entfernung, die das
Licht in einem Jahr
zurücklegt.
24. Im Periodensystem der Elemente befindet sich zu den jeweiligen Elementen auch die
Atommasse des Elements. Da die Massen der Elemente sehr klein sind, vermeidet man,
sie in g anzugeben. Man legt fest, dass 1 u = 1,6605 · 10–24 g sind.
Kupfer hat eine Atommasse von 63,5 u.
Die Masse eines Kupferatoms ist 63,5 · 1,6605 · 10–24 g = 1,0544 · 10–22 g.
a) Gib die Masse eines Sauerstoffatoms und eines Wasserstoffatoms in Gramm an.
b) Berechne die Masse in Gramm der folgenden Moleküle: Wasser H2O, Kohlenstoffmonoxid CO, Kohlenstoffdioxid CO2.
Hinweis zu 24:
Sauerstoff O: 16 u
Wasserstoff H: 1 u
Kohlenstoff C: 12 u
25. Die Vorsilben Kilo, Mega, Giga
1 kB = 210 Byte = 1024 ≈ 103 Byte
und Tera werden auch für die
1 MB = 210 kB = 1 048 576 Byte ≈ 106 Byte
Einheit Byte für Speicherkapa1 GB = 210 MB = 1 073 741 824 Byte ≈ 109 Byte
zitäten beispielsweise von Com1 TB = 210 GB = 1 099 511 627 776 Byte ≈ 1012 Byte
putern verwendet, allerdings
etwas anders (siehe Tabelle).
Die Speicherkapazität eines Laufwerks
wird mit 20 TB angegeben.
Belegter Speicher:
13.489.632.911.360 12,2 TB
a) Überprüfe die Umrechnungen des
Freier Speicher:
8.500.599.644.160 Bytes 7,73 TB
Computers.
b) Ein Foto einer Digitalkamera hat
Speicherkapazität:
21.990.232.555.520 20,0 TB
etwa die Größe von 4 MB. Wie viele
Fotos können noch auf dem LaufLaufwerk Z:
werk gespeichert werden?
26. Für welche reellen Zahlen x gilt die Ungleichung oder Gleichung?
a) x2 > x
b) x2 < x
c) x2 = x
d) x3 > x
e) x3 < x2
27. Überprüfe und begründe, welche der Aussagen falsch ist.
Für alle reellen Zahlen x und alle natürliche Exponenten n ≥ 1 gilt:
a) Wenn x < 0, ist x2 n > 0.
b) Wenn x < 0, ist x– n >1.
b) Wenn x2 n + 1 < 0, ist x < 0.
28. Ausblick: Ersetze im Heft ■ so durch „ =“, „>“ oder „<“, dass eine wahre Aussage entsteht.
2
__
2
__
2
____
a) √4 · √9 ■ √4 · 9
d)
_____
____
__
2 2 ___
1
__
√5−2
■
16
√√
2 2
√
2
___
2
____
2
___
__
16
__
64
_____
b) √16 : √64 ■
2
√
2
e) √0,09 ■ √( −2 )2
2
____
2
_____
c) √0,01 ■ √0,022
f)
__
2 __
√9
9
_
__
■
2 __
4
√4
√
2
24
1. Reelle Zahlen und Potenzen
1.3 Potenzgesetze
■ Paul, Sarah, Carina und Tim kommen auf
das gleiche Ergebnis, obwohl sie verschiedene
Aufgaben bearbeiten.
Kannst du das erklären? ■
Wenn man beim Rechnen mit Potenzen die
Potenzen als Produkte schreibt, kann man
erkennen, welche Rechenregeln dabei gelten.
Potenzen mit gleicher Basis
Um Potenzen mit gleicher Basis zu multiplizieren, kann man die Potenzen als Produkt schreiben. Im folgenden Beispiel tritt die Basis 2 insgesamt 4 + 3 = 7-mal als Faktor auf. Das Produkt
kann mit dem Exponenten 7 geschrieben werden.
Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis lassen sich Faktoren kürzen. Im Beispiel lassen
sich drei 3en kürzen.
3·3·3·3·3
35 : 33 = ________
= 3 · 3 = 32 = 35 – 3
3·3·3
24 · 23 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 44 + 3 = 27
4 + 3 = 7 Faktoren
Wissen: Potenzgesetze bei gleicher Basis
Für alle reellen Zahlen a ≠ 0 und alle ganzzahligen Exponenten m und n gilt:
am · an = am + n
Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis wird die Basis
beibehalten und die Exponenten werden addiert.
am
m–n
am : an = __
=
a
Beim
Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis wird die
an
Basis beibehalten und die Exponenten werden subtrahiert.
Beispiel 1: Fasse zu einer Potenz zusammen.
a) 84 · 8–6
b) y–2 : y5
Lösung:
a) Behalte die Basis 8 bei und addiere die
Exponenten 4 + ( – 6 ) = –2.
84 · 8–6 = 84 + (–6) = 8–2
y–2 : y5 = y–2 – 5 = y–7
b) Behalte die Basis y bei und subtrahiere
die Exponenten –2 – 5 = –7.
Basisaufgaben
1. Fasse zu einer Potenz zusammen.
a) 25 · 24
b) 25 · 2–4
f)
x5
·
x5
g)
a5
:
a3
c) 65 : 63
h)
x3
·
x–3
d) 104 · 10–4
i)
x4
:
(2 y–2)
e) ( –24 ) · ( –2 )3
j)
x4 · x3
____
x2
2. Schreibe die Potenzen als Faktoren und zeige, dass die Gleichung stimmt.
a) 34 · 35 = 39
b) a–5 · a–2 = a–7
c) 52 : 55 = 5−3
d) x–1 : x3 = x–4
3. Fasse zu einer Potenz zusammen.
a) b3 · b5· b
b)
a7
____
a3 · a2
c) a2 · b · a3 · b
d)
x2 · y3
____
xy
e)
( 3 a )–2 ( 3 a )4
________
3a
25
1.3 Potenzgesetze
4. Fasse zu einer Potenz zusammen. Vereinfache, falls möglich.
an
a
a) 3s – 2 · 3
b) 2k + 1 · 2k – 1
c) __
d) __
a
an
f ) q · qn – 1
g)
( –2 a x )5
______
8 a x6
e)
h) ( –2 x )2 · ( –2 x )3 i) –3 c · 4 c3
an + 1
___
an – 1
j) –3 a2 · 4 a–1
Potenzen potenzieren
Wird eine Potenz potenziert, kann man zuerst die äußere Potenz als Produkt schreiben.
Anschließend kann man die innere Potenz als Produkt schreiben. Im folgenden Beispiel tritt
die Basis 4 insgesamt 3 · 2 = 6-mal als Faktor auf. Das Produkt kann mit dem Exponenten 6
geschrieben werden.
( 43 )2 = 43 · 43 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 43 · 2 = 46
3 · 2 = 6 Faktoren
Wissen: Potenzgesetz beim Potenzieren von Potenzen
Für alle reellen Zahlen a ≠ 0 und alle ganzzahligen Exponenten m und n gilt:
n
( am ) = am · n
Beim Potenzieren von Potenzen wird die Basis beibehalten und die
Exponenten werden multipliziert.
Beispiel 2: Fasse zu einer Potenz zusammen.
a) ( 52 )–4
b) ( x–1 )–2
Lösung:
a) Behalte die Basis 5 bei und multipliziere
die Exponenten 2 · – 4 = – 8.
b) Behalte die Basis x bei und multipliziere
die Exponenten –1 · – 2 = 2.
( 52 )–4 = 52 · ( – 4 ) = 5–8
( x–1 )–2 = x–1 · ( – 2 ) = x2
Basisaufgaben
5. Fasse zu einer Potenz zusammen.
a) ( 102 )5
b) ( 53 )−2
c) ( a2 )6
d) ( b−s )3
e) ( ( 0,75b )3 )−2
6. Schreibe die Potenzen als Faktoren und zeige, dass die Gleichung stimmt.
a) ( 64 )2 = 68
b) ( a–3 )2 = a–6
c) ( a–2 )–3 = a6
7. Fasse zu einer Potenz zusammen. Schreibe ohne Klammern.
a) ( − 32 )3
b) ( ( − 2 )4 )3
c) ( –x3 )–1
d) ( –z3 )4
f ) ( xn + 1 )2
g) ( a3 )n – 1
8. Berechne und vergleiche.
2
a) ( 22 )2 und 2( 2 )
h) ( 3 x y2 )4
b) ( 25 )3 und 2( 5
3)
i)
( a3
b4 )3
·
______
( a2 · b3 )2
e) [ − ( − 2−2 ) ]3
j)
( ( –3 )3 ) 2
2
c) ( 4–3 )2 und 4( ( –3 ) )
9. Schreibe als eine Potenz mit möglichst kleiner natürlicher Basis.
Beispiel: 82 = ( 23 )2 = 26
a) 92
b) 253
c) 43 · 24
d) 163
10. Berechne die Terme ( a3 )2; ( – a3 )2 und ( – a2 )3 und vergleiche.
Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede.
e) 812
26
1. Reelle Zahlen und Potenzen
Potenzen mit gleichem Exponenten
Um Potenzen mit gleichem Exponenten zu multiplizieren, kann man die Potenzen als Produkt
schreiben und nach dem Kommutativgesetz umsortieren. Im folgenden Beispiel treten die
Basis 2 und die Basis 5 jeweils 3-mal auf. Der neue Faktor 2 · 5 tritt 3-mal auf.
Beim Dividieren von Potenzen mit gleichem Exponenten kann man genauso vorgehen.
Im Beispiel treten Zähler und Nenner jeweils 2-mal auf, also tritt der einzelne Bruch _43 ebenfalls
2-mal auf.
2 Faktoren
4·4 _
42 : 32 = ___
= 4 · _4 =
3·3 3 3
23 · 53 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 = ( 2 · 5 ) · ( 2 · 5 ) · ( 2 · 5 ) = ( 2 · 5 )3 = 103
3 Faktoren 3 Faktoren
3 Faktoren
( _43 )
2
2 Faktoren 2 Faktoren
Wissen: Potenzgesetze bei gleichem Exponenten
Für alle reellen Zahlen a ≠ 0 und b ≠ 0 und alle ganzzahligen Exponenten n gilt:
an · bn = ( a · b )n
Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleichem Exponenten wird
der Exponent beibehalten und die Basen werden multipliziert.
n
an
an : bn = __
= ( _ba )
Beim Dividieren von Potenzen mit gleichem Exponenten wird der
bn
Exponent beibehalten und die Basen werden dividiert.
Beispiel 3: Fasse zu einer Potenz zusammen.
a) 5–4 · 2–4
b) 143 : 73
c)
Lösung:
a) Behalte den Exponenten – 4 bei und
multipliziere die Basen 5 · 2 = 10.
( a b )2
____
a2
5–4 · 2–4 = ( 5 · 2 )–4 = 10–4
143 : 73 =
b) Behalte den Exponenten 3 und dividiere
die Basen 14 : 7 = 2.
( __147 )
3
= 23
( )
( a b )2
ab 2
____
= __
= b2
a
a2
c) Behalte den Exponenten 2 und dividiere
die Basen ab : a und kürze.
Basisaufgaben
11. Fasse zu einer Potenz zusammen.
a) 25 · 35
b) 2−4 · 9−4
f ) a4 : b4
g) x 3 · y3
c) 23 : 83
d) 54 : 24
e) 324 : 164
h) u– 2 · v– 2
i) 3–3 · ( 2 x )–3
b
j) a5 · __
5
5
a
12. Schreibe die Potenzen als Faktoren und zeige, dass die Gleichung stimmt.
3
b) a–2 · b–2 = ( a b )–2
c) x3 · x3 = x6
d) x3 : y3 = ( _yx )
a) 3–3 · 2–3 = 6–3
13. Berechne den Termwert.
a) 34 : 64
b) 22 · 32
f ) 0,62 : 22
g) ( – 4 )4 ·
( _14 )4
c) 52 · 122
d) 6– 4 : 2– 4
h) 43 : 63
i)
e) 2,5– 2 · 2– 2
( _23 )– 2 · 12– 2
j) ( – 2 )4 · 54
14. Vereinfache den Term.
a) ( p + q )2 ( p – q )2
b) ( x – 1 )–2 · ( x – 1 )–2
e) ( x2 – y2 ) : (x + y)3
f ) ( a + b )4 : ( a2 – b2 )
3
4
c)
1
: _1
( __
2u) (2)
3
3
g) ( ab )– 2 : ( ac )– 2
d)
1
( __
ab)
–2
· a– 2
h) ( xy )3 : y3
27
1.3 Potenzgesetze
Weiterführende Aufgaben
15. Vereinfache. Gib an, welches Potenzgesetz du verwendest.
5 · 63
a) 65 · 36
b) 163 : 22
c) ( 5−4 )−1
d) ____
303
e) 718 : 719
16. Auf welchen Kärtchen stehen äquivalente Terme?
1
5
10−1 · 10
3
5 3 · (___
2 2 ) ___
· 5 −1
___
43 · 52
2
6
a2 · b2 · ( a · b )−2
b−2 _
2 · ___
___
−1
( 0,5 a b )
3
3
__2___
−1
16 · 2
4
7
2
3
( a 2__
) ·__
( b 2__
__
) ·__
b −_1
a3 · b6
8
( _12 )−2 · _14
−2
3
4
( 2 3 ) ___
· b −___
· 2___
___
· a3
a2 · ( 2 b )−2
17. Schreibe als eine Potenz und berechne die Aufgaben. Begründe, warum ein Taschenrechner nicht nötig ist.
3
2
2
a) ( − 2 )3 · ( − 2 )5
b) ( _34 ) : ( _34 )
c) ( 0,25 )8 · ( _14 )
d) 0,53 : 0,5−2
e) ( − z )−7 · ( − z )−2
i)
( _13 ) · ( _29 )
5
5
f ) ( 9 a )3 : ( 9 a )− 8
g) ( − 10 )2 · 82
j) ( 100 a b )2 : ( 4 a )2
k)
h) 4−3 : 0,25−3
( _12 a x2 )6 : ( 4 b x )6
l) ( − 3 x y )−5 · ( _6y )
−5
18. Stolperstelle: Erkläre die Fehler, die gemacht wurden, und korrigiere sie.
a) 53 + 43 = ( 5 + 4 )3 = 93 b) 24 · 35 = ( 2 · 3 )4 + 5 = 69
c) 42 – ( – 4 )3 = 41
4
3
3
3
6
6
12
d) ( a + 2 ) = a + 2
e) 2 + 2 = 2
f ) ( 32 )4 = 3( 2 ) = 316
19. a) Berechne und vergleiche: 23 + 22 und 25 und 3–3 + 3–2 und 3–5.
b) Erkläre, warum man Potenzen mit gleicher Basis nicht addieren oder subtrahieren darf,
indem man die Exponenten addiert bzw. subtrahiert.
20. Fasse zusammen.
Beispiel: 7 · 23 – 4 · 23 = 3 · 23
a) 3 · 42 + 5 · 42
b) 2 · 64 – 3 · 64
3
3
3
d) 3 a + 4 a – 2 a
e) 4 x–1 – 12 x–1 + y–1
g) _41 a3 + _25 a3
c) –3–3 – 3 · 3–3
f ) 0,25 a4 – 0,75 a4 + 4 a4
h) an – ( an – ( an + an ) )
i)
x4 + 4 x3 + 4 x2 + x
____________
x5 + 4 x4 + 4 x3 + x2
21. Berechne. Entscheide und begründe, ob ein Taschenrechner-Einsatz sinnvoll ist. Runde,
falls erforderlich, auf zwei Nachkommastellen.
a) 24 · 54
b) 2,5–2 · 2–2
c) 44 · 4−8
d) 3,52 : 22
e) ( – 4 )6 · 256
f)
( __101 )–3 · 5,1–3
g) 215 · 0,515
h)
( _32 )2 · 1,5–2
i)
( _25 )4
22. Schreibe die Basis (bzw. die Basen) als Potenz und überprüfe.
Beispiel: 165 > 219?Schreibe 165 = ( 24 )5 = 220 > 219 ✓
1 −3
a) 1005 < 1110
b) 82 > 43
c) 94 > 48
d) ( __
= 93 · 26
36 )
23. Schreibe als eine Potenz.
a) 43 s 53 s
b) x2 t y2 t
f ) zn + 1 · zn
g) bx · bx – 1
c) ( a + b )x ( a – b )x
h) ( x4 )k
d) z4 t u4 t
i) ( ak )k + 1
j) 46 : 4–4
e) 1443 < 34 ·
( _12 )−12
e) x3 · xb
j) ( bs )s
24. Finde die größte Zahl aus drei Dreien. Erlaubt sind zusätzlich Klammern und Rechenzeichen. Vergleiche dein Ergebnis mit deinem Nachbarn.
25. Untersuche, ob zwei Potenzen gleich sein können, wenn die beiden Basen übereinstimmen, die zwei Exponenten aber verschieden sind.
28
1. Reelle Zahlen und Potenzen
26. a) Zeige, dass ( _ba ) = ( _ba ) und a–n = ( _1a ) gilt.
–n
n
n
b) Schreibe mithilfe der Gleichungen aus a) ohne negative Exponenten.
1)
( _yx )
–3
6) b–3
CAS
2)
( _ba )
–4
3)
7) ( a + b )–2
8)
1
( ____
a + b)
( _5x )
–1
–3
4)
9)
a+b
( ____
a–b)
( __π1 )
–2
–2
5)
10)
u+v+w
( ______
u–v–w)
–3
( )
s2 –1
____
kg · m
27. a) Beschreibe, wie das CAS die eingegebenen Terme umgeformt hat.
Überprüfe anhand selbstgewählter
Beispiele, wie ein CAS Terme mit Potenzen umformt. Beschreibe deine Beobachtungen.
b) Forme den Term mit einem CAS um.
1
1) ( a–3 – 1 ) ( a–3 + 1 ) – __
5
a
2) a4 · a–3 + ( 2 a–2 + a3 ) · a2
3) 3 an ( 2 – an – 2 ) + 0,5 a–2 ( a2n – 4 an + 2 )
28. Löse die Klammern auf.
a) ( a3 + a4 ) · a5
d) 4 ab – 3 ( a6 – a2 )
b) ( x4 – x3 + x2 ) · x3
e) ( a–3 + a–2 ) a4
29. Klammere die höchsten Potenzen aus.
a) q6 + q4 + q3
b) 5 x4 + 25 x8
2
3
2
3
d) x y + x y – x y
e) r–5 s–3 + r–2 s
c) ( 2 t4 + 3 t5 – t ) · t2
f ) 7 x y z ( x2 y3 – x y2 z )
c) x3 – x2 + x
h) – x3 z2 – x z2 – 3 x z–2
30. Vereinfache mithilfe der Potenzgesetze so weit wie möglich. Notiere zuerst, welche
Bedingungen die Variablen erfüllen müssen.
a) ( a · b )–6
b) ( − a )4 · ( − a )4
c) ( − a )4 · ( − a )−4
d) a−2 n : ( a2 )n
g)
2
a4 __
__
·b
a6 b3
e)
( 10 a b y )4
( 6 a b x )3 _______
2
______
· ( − 3 a x )3 · ______
( 4 a b )4
( 25 b y )2
f ) ( 3 x− 3 − x− 5 ) : x− 6
h)
–10
r r3 ___
__
· ss6
r
i)
( a + b )2 ______
( a – b )–5
_____
·
3
( a + b ) ( a – b )– 4
31. Überprüfe die Ergebnisse.
a)
x2 – y2 ( x + y )2 · ( x – y )2
( x + y )2 _____
_____
· x + y = ___________
=x+y
2
(x – y)
( x – y )2 · ( x + y )
b)
2
x3 __
x3 + x2
__
+ x = _____
=1
x2 x3
x2 + x3
c) x7 · x3 – x21 = 0
32. Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Begründe deine Antwort.
a) Für alle geraden natürlichen Zahlen p gilt: Wenn a ≠ 0, dann gilt ap > 0.
b) Für alle geraden natürlichen Zahlen p gilt: Wenn a ≠ 0, dann gilt a–p < 0.
c) Formuliere Aussagen wie in a) für alle ungeraden natürlichen Zahlen.
33. Bringe die Brüche auf einen Nenner und vereinfache.
a)
d)
1 ____
__
– x x–41
x3
2n
n
+ ____
n + ____
n2 – 1 n + 1
b)
1 + x2 __
____
– x12
x5
c)
3
n –n
e) n2 + n + ____
n2 + 1
f)
1 + x ____
1
____
– 1xn–– x1 – ___
xn
xn – 2
3
1 – 2 x2 _____
_____
– 3xxn –– 22 + ___
x2
xn – 4
34. a) Begründe folgende Aussage: Das Produkt zweier Quadratzahlen ist wieder eine
Quadratzahl.
b) Ist die folgende Aussage wahr? Das Produkt von Kubikzahlen ist wieder eine Kubikzahl.
Begründe deine Antwort.
29
1.3 Potenzgesetze
35. Stelle zu den Würfelfiguren Terme für
den Oberflächeninhalt und das Volumen auf. Finde zu diesen Termen
möglichst viele äquivalente Terme.
Begründe, welche Terme äquivalent
sind.
a
a
36. Schreibpapier hat eine Dicke von etwa
0,1 mm. Wie oft müsste man ein Blatt
Papier falten, um einen Stapel herzustellen, der bis zum Mond reicht?
Hinweis: Die mittlere Entfernung
zwischen Erde und Mond beträgt
3,8 · 108 m.
a
37. Unsere Erde umkreist die Sonne mit einer Umlaufgeschwindigkeit von etwa 29 km s–1.
Berechne, welche Strecke die Erde täglich bzw. jährlich zurücklegt. Hinweis: s = v · t,
arbeite mit Zehnerpotenzen, wandele km s–1 in m s–1 um und gib die Zeit in Sekunden an.
38. Der bedeutende Physiker Isaac Newton (1643–1727) hat beschrieben, dass die Anziehung
zwischen zwei Körpern nur von ihren Massen und ihrem Abstand abhängt. Er entwickelte
das Gravitationsgesetz:
m ·m
1
2
F = G · _____
. Dabei ist G die Gravitationskonstante, m1, m2 sind die Massen in kg und r ist
2
r
der Abstand der beiden Massen von ihren Mittelpunkten.
Die Schwerpunkte (≈ Mittelpunkte) von Mond und Erde haben im Durchschnitt die Entfernung von 384 · 106 m. Mit welcher Kraft ziehen sich Mond und Erde gegenseitig an?
m3
, s steht für Sekunden.
Hinweis: Die Gravitationskonstante ist G = 6,67 · 10–11 · ____
2
kg · s
39. Kondensatoren dienen als Speicher
für Ladung und Energie. Die Kapazität
eines Plattenkondensators berechnet
sich nach der Formel: C = ε0 · εr · __Ad .
Dabei ist A die Plattenoberfläche,
d der Plattenabstand,
As
ε0 = 8,85 · 10–12 __
(elektrische FeldVm
Kondensatorenplatten
Anschlüsse
Dielektrikum
konstante) und εr die Dielektrizitätszahl. Berechne die Kapazität, wenn die Plattenfläche
A = 4 cm2, der Abstand zwischen den Platten d = 1 cm und εr = 100 betragen. Arbeite geschickt mit Zehnerpotenzen.
40. Ausblick: Ein Zufallsexperiment besteht aus sechs Ziehungen. In jeder Ziehung wird
gleichzeitig aus drei Gefäßen jeweils eine Kugel gezogen und wieder zurückgelegt.
Berechne die Anzahl der möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments.
30
1. Reelle Zahlen und Potenzen
2
1.4 n-te Wurzeln und Potenzen
mit rationalen Exponenten
Erinnere dich:
Beim Quadratwurzelziehen aus einer nichtnegativen Zahl a muss
eine nichtnegative Zahl
b gefunden werden, für
die gilt: b2 = a
Erinnere
dich:
2 __
Statt √a schreibt
man
__
meistens √a .
2-te Wurzeln nennt
man Quadratwurzeln,
3-te Wurzeln nennt
man Kubikwurzeln.
Hinweis:
Das Radizieren ist eine
Umkehroperation des
Potenzierens.
n-te Wurzel ziehen
_
√a
n
a
hoch n
hoch n
an
a
n-te Wurzel ziehen
Hinweis:
Auf einigen Taschenrechnern ist die Taste
die Zweitbelegung der Potenztaste.
Auf anderen benötigt
man die Taste
.
__
2
___
2
√4 = ___√2 = 2
3
3
√8 = __√23 = 2,
___ also ist
4
4
√16 = √24 = 2
__
■ ___
Setze____
Leons Überlegungen
fort und berechne
5
5
6 ___
√32 , √243 und √64 . ■
n-te Wurzel
Neben 2-ten und 3-ten Wurzeln gibt es auch 4-te Wurzeln,
5-te Wurzeln, …
Wissen: n-te Wurzel
Die n-te Wurzel aus einer nichtnegativen Zahl a ist diejenige nichtnegative Zahl b, für die
gilt: bn = a (n ∈ℕ, n __
≥ 2).
n
Schreibweise: b = √a (a heißt Radikand, n heißt Wurzelexponent)
Das Ermitteln der n-ten Wurzel aus einer Zahl nennt man Radizieren oder Wurzelziehen.
Die n-te Wurzel aus negativen Zahlen ist nicht definiert.
Beispiel 1:
4 ___
3 ____
a) Berechne √___
125 ohne Taschenrechner.
b) Berechne √16 ohne Taschenrechner.
5
c) Berechne √10 mit einem Taschenrechner. Runde das Ergebnis auf Tausendstel.
Lösung:
a) Suche diejenige nichtnegative Zahl,
für die b3 = 125 ist.
3
____
4
___
5
___
√125 = 5, denn 53 = 125
√16 = 2, denn 24 = 16
b) Suche diejenige nichtnegative Zahl,
für die b4 =16 ist.
√10 ≈ 1,585
Mögliche Tastenfolge:
oder
c) Wähle eine geeignete Tastenfolge.
Runde das Ergebnis auf drei Stellen
nach dem Komma.
Basisaufgaben
1. Berechne
____ ohne Taschenrechner.
___
a) √121
b) √49
5
___
f ) √32
7
__
g) √1
___
c)
4
h) √625
2. Berechne
ohne Taschenrechner.
__
__
a)
√_18
3
b)
√__161
4
1
__
√____
81
c)
___
4
______
i) √0,0001
__
√_49
2
3
d) √64
d)
___
3
_____
j) √0,027
___
216
√___
64
3
4
e) √81
e)
___
343
√___
8
3
3. Zwischen
welchen beiden
natürlichen Zahlen
liegt der Wert____
der Wurzel?
3 ___
3 ____
3
3 _____
4 ____
b) √100
c) √100
d) √250
e) √1000
a) √20
4. Berechne
die Wurzel ohne
Taschenrechner
auf eine Stelle nach
dem Komma genau.
3 __
3 ___
5 ___
4 __
4 ___
a) √9
b) √25
c) √8
d) √15
e) √33
5. Berechne mit einem Taschenrechner. Runde auf Tausendstel. Prüfe durch Potenzieren.
3
___
a) √10
4
____
b) √100
c)
1
__
4 __
√5
5
____
d) √100
1__
e) − ___
√8
31
1.4 n-te Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten
Potenzen mit rationalen Exponenten
Mithilfe der n-ten Wurzeln kann man Potenzen auch für rationale Exponenten definieren und
zwar so, dass die Potenzgesetze weiterhin gültig sind.
Damit das Potenzgesetz für das Potenzieren von Potenzen
auch für Potenzen mit rationalen
___
3
__
Exponenten gilt, muss gelten: 4 2 = 4
m
__
1
__
n
___
1
3 · __
2
1
__
( )
1 m
__
m
__
2
= ( 43 ) 2 = √43
Allgemein: a n = ( am ) n = √am und a n = a n
__ m
= ( √a )
n
(für a > 0; n, m ∈ ℤ, n ≥ 2)
m
__
Deshalb legt man für positive Basen a fest, dass a n die n-te-Wurzel aus am ist.
Wissen: Potenzen mit rationalen Exponenten
Für positive reelle Zahlen a und ganze___
Zahlen m und n mit n ≥ 2 wird festgelegt:
m
__
a n ist die n-te Wurzel aus am.
m
__
n
a n = √am
Der Nenner des Bruchs ergibt den Wurzelexponenten, der Zähler den Exponenten des
Radikanden.
1
__
n __
n
√a = a
Als Spezialfall ergibt sich: ___
__
___
1
__
2
__
2
__
3
– __
3
4
Beispiele: 2 2 = √2 ; 4 3 = √42 ; 3 4 = √3–3 =
√__31 ;
4
3
10
__
1
___
√2 = 2 10
Beispiel 2: Umwandeln von Wurzeln in Potenzen und von Potenzen in Wurzeln
a) Schreibe die Wurzel als Potenz.
___
____
__
(1) √3
(2)
4
√2–3
(3)
4
√122
b) Schreibe die Potenz mit Wurzelzeichen und berechne im Kopf.
1
__
(1) 16 4
3
__
(2) 9 2
Lösung:
a) (1) Ergänze 2 auf der Wurzel und schreibe die 2 als Nenner des Bruchs im
Exponenten.
(2) Der Wurzelexponent 4 ist der Nenner, der Exponent –3 der Zähler des
Bruchs des Exponenten.
(3) Gehe wie bei (2) vor. Der Bruch im
Exponenten lässt sich kürzen.
b) (1) Schreibe die Zahl im Nenner des
Bruchs im Exponenten als Wurzelexponenten und die Zahl im Zähler
als Potenz unter der Wurzel. Berechne anschließend.
(2) Gehe wie bei (1) vor. Durch das Vertauschen von Wurzelziehen und
Potenzieren wird das Rechnen einfacher.
(3) Ziehe das Minuszeichen in den
Zähler und gehe vor wie bei (1).
Schreibe den negativen Exponenten als Bruch.
Man kann auch den rationalen
negativen Exponenten gleich als
Bruch schreiben.
(3) 16
1
– __
2
__
__
2
1
__
√3 = √3 = 3
4
___
4
____
√2–3 = 2
3
– __
4
1
__
__
√122 = 12 4 = 12 2
1
__
4
____
16 4 = √161 = 2
3
__
2
___
2
__
9 2 = √93 = ( √9 )3 = 33 = 9
1
– __
–1
___
____
___
1
1
_
16 2 = 16 2 = √16–1 = ( √16 ) = ___
2 ___ = 4
2
Oder kürzer: 16
1
– __
2
2
–1
√16
1
1
1
___
_
= ___
1 = 2 ___ = 4
__
16 2 √16
Hinweis:
a
m
– __
n
1
= __
m
n
a
__
32
1. Reelle Zahlen und Potenzen
Basisaufgaben
7. Schreibe
die Wurzel als__Potenz.
__
3
a) √2
b) √6
4
___
c) √23
8. Schreibe
die Wurzel als__
Potenz (a, b, v > 0).
3 __
6
4 ___
a) √a
b) √a3
c) √b–3
Hinweis:
Steht eine Dezimalzahl im Exponenten,
so wandle sie in einen
Bruch um.
1
___
10 __
Beispiel: 30,1 = 3 10 = √3
3
___
7
___
4
d) √5–2
__
e) ( √2 )3
d) √4 v
e)
1
___
4 __
√a3
9. Schreibe mit Wurzelzeichen und berechne ohne Taschenrechner.
1
__
1
__
a) 9 2
1
__
f ) 0,0016 4
1
__
1
__
b) 32 5
g) 2 : 8
c) 1 7
1
__
3
h) 81
i)
1
__
1
__
4
__
j)
1
__
4
1
− __
5
a) z 2
b) k 3
c) u 9
d) j
f) d
g) g0,5
h) n−0,2
i) ( a b ) 3
6
− __
5
e) 625 4
1
___
16
10. Schreibe als Wurzel.
1
__
d) 144 2
1
__
2
e) v
1
__
j)
11. Schreibe die Wurzeln als Potenz und vereinfache, falls möglich.
__
a)
2
______
√( m a )4
___
f ) √xn
b)
g)
9
_______
3
___
√( 4 k l )− 3
c) √a−3
1__
__
√b
h)
i)
1
__
2
1
− __
2
( _ba )
3
3
d) i) √_1e
1
___
3 ___
√34
( _49 )
2
− __
3
____
e) √a b2
1__
___
3 √3
j)
__
1
_
x
(√ )
4
–3
Weiterführende Aufgaben
12. Vereinfache ohne zu rechnen. Stelle eine ____
allgemeine Regel auf.
___ 4
a) ( √16 )
4
___ 9
b) ( √25 )
9
2
b) 16___
c) ( 94 ) 8
0,25
d) ( 162 )
e)
f)
g)
3
√73
h) 8
1___
i) ___
4
i) 625
8
√177
1
__
3
_
2
_
3
√56
_____
e)
7
13. Berechne ohne Taschenrechner.
5
a) 32___
___ – 8
d) ( √10 )
c)
2
− __
6
√42
11
√11–11
4
____
√252
3
− ___
12
14. Berechne die Wurzeln und Potenzen. Achte auf das Minuszeichen.
Ordne die Lösungen so, dass du mit der kleinsten beginnst und jeweils die folgende größer
ist. Dadurch erhältst du ein Lösungswort. Vier Aufgaben sind nicht lösbar, diese bilden den
zweiten Teil des Lösungswortes.
6− 2
N
2
___
M − √34
5
__
42
N
T
K
E
5− 2
2
B
____
√− 16
1
__
( − 25 ) 5
3
_____
√− 125
I
1
__
I
( − 100 ) 2
O
−8 3
U
2
__
A
4
___
√34
3
__
− √8
3
__
√8
15. Berechne die Wurzeln durch Überschlag und gib anschließend einen gerundeten Taschenrechnerwert an.
_____
____
a) √1648
3
_____
3
e) √77,23
b) 2
1
– __
2
( _12 )
1
– __
2
_________
c) √14 728,2
_____
3
f ) √0,028
16. Welche Terme sind zu
a) 0,5–0,5
________
b) √0,54
d) √0,000 946
______
3
g) √71 348
________
h) √0,031 28
äquivalent? Begründe deine Antwort.
c)
1__
__
√2
__
d) √2
1
__
e) 2 2
f)
____
1 –1
_
2
√( )
33
1.4 n-te Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten
17. Stolperstelle:
Überprüfe
die folgenden Rechnungen.
Beschreibe______
und korrigiere
die Fehler.
______
__
___
_____
a)
2
__
2
_
3
__
5
√a 3 = a 3 b) √( –1 ) 3 = –1 c) √4 · x 3 = ( 4 x ) 2 d) √a 2 – 1 = √a2 – √1 = a – 1
18. Berechne den Termwert mit einem Taschenrechner auf Hundertstel genau.
Kontrolliere durch einen anderen Rechenweg oder eine andere Tastenfolge.
2
__
a) 4 3
e)
____
6
√103
3
__
b) 9 4
3
√5
__
23
j)
d)
3
__
__
3
√2− 4
3
___
√62
(
h) 2,5 − _14
g) √2 + √3
____
5
3
− __
5
__
__
f ) 0,5 · √7
__
i)
c) 5
__
k) √2 + √3
l)
3
__
)− 0,5
√__
2
__
√3
19. Berechne im Kopf die Basis. Kontrolliere dein Ergebnis mit dem Taschenrechner.
3
__
a) x 2 = 3
5
__
b) x 3 = 32
2
__
e)
3
√( a + b )2
b)
–3
_____
n _____
√a – b
f)
e) x 3 = 625
d) x 4 = 8
20. Schreibe
ohne Wurzelzeichen.
_______
_______
a)
2
__
3
__
c) x 3 = 9
______
3
x3 + y3
√____________
√( x – 1 )2
c)
1
___
12 __
√8
g) √( a – b ) ( a + b )
d)
5
_______
( a · b )3
√_____
h) √1 – x2
21. Definitionsbereich von Wurzeltermen: Bei Wurzeltermen mit Variablen bezeichnet
man die Menge aller Zahlen, für die der Radikand nicht negativ ist, als Definitionsbereich.
Bei Brüchen als Radikand muss man darauf achten, dass der Nenner nicht null wird.
Bestimme den Definitionsbereich der Wurzelterme.
_____
_____
a) √3 – x
e)
_____
3b – 2
_____
1 + b2
√
_______
f)
__________
3
b) √9 x + 14
c) √–5 ( 2 x + 3 )
_____
a
_____
16 – a2
√
g)
n
________
7
_______
x2 + 8 x + 6
√
d)
h)
1
_____
√_________
4a – 1
3
√3 a2 – 15 a
__
22. Luca behauptet an ist stets größer als a und √a ist immer kleiner als a. Hat Luca recht?
23. Herr Mustermann beteiligt sich an einem Glücksspiel und erhält zu Beginn 15 Punkte.
Er setzt diese 15 Punkte und gewinnt. Er erhält das x-Fache seines Einsatzes. Er setzt wieder
alles, gewinnt wieder und besitzt nun das x-Fache des zweiten Einsatzes usw. Auf diese
Weise hat er nach 7 Spielen 245 760 Punkte erreicht. Wie groß ist der Wert von x?
24. Bestimme jeweils die Kantenlänge a des Würfels.
a) Die Oberfläche ist O = 864 cm2.
b) Das Volumen ist V = 3375 dm3.
c) Ein großer Würfel mit einem Volumen von 2916 cm3 setzt sich aus acht gleich großen,
kleinen Würfeln mit der Kantenlänge a zusammen.
d) Der Würfel hat das gleiche Volumen wie ein Quader (8 cm lang, 4 cm breit, 2 cm hoch).
25. Ausblick: Ein Klavier hat
88 Tasten. Der tiefste Ton
hat eine Frequenz von
27,5 Hz. Die Frequenz
A'' H'' C'
D' E' F'
G' A' H'
C D E
F G A
der Töne zweier aufH c d
e f g
a h c'
d' e' f'
einanderfolgender Tasten
wächst
g' a' h'
c'' d'' e''
__
12
f'' g'' a''
h'' c''' d'''
e''' f''' g'''
jeweils um den Faktor √2 .
a''' h''' c'''
' d'''' e'''' f'''
' g'''' a'''' h''
'' c'''''
a) Berechne die Frequenzen der zweiten, dritten und vierten Taste.
b) Gib eine Formel zur Berechnung der Frequenz der n-ten Taste an.
c) Überprüfe die Aussage: Die Oktave eines Tons ist der Ton mit der doppelten Frequenz.
d) Der Kammerton ist der Ton mit der Frequenz 440 Hz. Welcher Ton ist der Kammerton?
34
1. Reelle Zahlen und Potenzen
1.5 Rechnen mit Potenzen und Wurzeln
■ Jonas behauptet: „Ich kann beweisen, dass 2 = 4 gilt!“
Finde den Fehler in Jonas’ Argumentation. ■
4=1+1+
1+1
A__
lso gilt
________
__
√4 = √1 +
_ 1 _+ 1 + 1
_
_
= √1 + √1
+ √1 + √1
=__1 + 1 + 1
+1=4
Da √4 = 2
, gilt also 2
= 4.
Potenzgesetze für Potenzen mit rationalen Exponenten
Man kann zeigen, dass die Potenzgesetze für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten auch für
Potenzen mit rationalen Exponenten gelten.
Wissen: Potenzgesetze bei rationalen Exponenten
Für alle positiven Zahlen a und b und alle rationalen Zahlen r und s gilt:
Potenzen mit gleichen Basen
Potenzen mit gleichen Exponenten
Multiplizieren
r
s
r+s
a ·a =a
as · bs = ( a · b )s
Dividieren
ar
__
= ar – s
as
r
ar
__
= _ba
br
( )
r s
s r
(a ) = a = (a )
Potenzieren
r·s
Beispiel 1: Fasse zu einer Potenz zusammen. Schreibe das Ergebnis ohne Brüche im
Exponenten.
2
2
1
5
__
1
__
1
__
a) a 4 · a 4
( )
3
__
1
__
__
c) a 8
b) a 2 · b 2
__
a3
__
d)
e)
4
__
a3
a3
__
1
__
b3
Lösung:
Untersuche die Struktur des Terms und wende das entsprechende Potenzgesetz an.
1
__
5
__
1
__
1
__
a) a 4 · a 4 ist ein Produkt aus zwei Potenzen
mit gleicher Basis.
3
__
2
1
__
3
__
8
2
__
5
1 + __
__
2
__
2
=a
2
__
4
__
a
a
gleicher Basis.
3
2
3
__
2
__
___
4
__
3
1
__
3
__
4
__
= a 4 = √a3
=a
2
− __
3
1
1__
___
= __
2 = 3
__
a3
√a2
__
a3
a __13 3 _
__
_
= ba
1 =
__
b
3
b
a3
__
ist ein Quotient aus Potenzen mit
1
__
b3
6
__
= a 4 = a 2 = √a3
3 · 21
____
84
−
a3
__
= a3 3
4
__
3
4
1
__
a3
__
ist ein Quotient aus Potenzen mit
1
__
e)
1
__
(a )
c) a 8 ist eine Potenz einer Potenz.
d)
5
__
a 2 · b 2 = ( a · b ) 2 = √a b
b) a 2 · b 2 ist ein Produkt aus zwei Potenzen
mit gleichen Exponenten.
( )
1
__
a4 · a4 = a4
gleichen Exponenten.
( ) √
Basisaufgaben
1. Fasse zu einer Potenz zusammen. Schreibe das Ergebnis ohne Brüche im Exponenten.
1
__
2
__
a) 10 5 · 10 5
3
__
3
__
f ) 25 : 35
1
__
2
__
b) 3 3 · 3 3
( )
1
__
g) 4 2
4
4
__
2
__
1
__
1
__
1
__
1
__
c) 10 5 : 10 5
d) 4 3 · 3 3
h) 8 3
i) 2 3 · 2 2
3
2 __
__
4
( )
2
__
2
__
2
__
1
__
e) 5 7 · 3 7
j) 7 7 · 3 7
35
1.5 Rechnen mit Potenzen und Wurzeln
2. Vereinfache den Term.
2
__
3
a) a · a
2
5
__
b) x
3
__
2
__
e) a : a 4
z0,5
___
z0,25
i)
( )
2
__
3
3
2
·x
2
__
1
__
3
4
c) y : y
2
__
(
2
1
__
x y2 4
)
f ) a3 · b3
g)
0,75
j) ( a0,25 )
k) x : y
_2
7
( ) : (a )
1
__
d) a
2
__
3
__
1
__
2
__
1
− __
6
e) 49 3 · 49
4
__
_2
l)
7
(x )
_2
3
( )
1
__
i) 160,5 : 160,75
2
2
__
d) 4
g) 8 3 : 27 3
j) 16– 0,5 : 4– 0,5
k) 256 2 : 256 2
1
__
(
1
__
)
4. Berechne mit einem Taschenrechner. Runde auf Tausendstel.
(
1
__
a) 73 : 70,5
b) 5 4 · 70,25
1
__
3
_6
5
·y
6
_4
5
3
__
3
__
· 44 · 44
1
__
1
__
1
– __
1
– __
3
h) 27 3 : 27 3
0,5
l) 25 3 · 5
)
1 2
___
c) 1210,2 : 11 10
1
− __
2
(
1
__
f ) 7 4 · 70,5
2
1
__
c) 30,5 · 480,5
b) 5 3 · 5 3
2
0,5
h) ( x2 – 4 ) : ( x – 2 ) 2
: ( xy )0,25
3. Berechne den Termwert ohne Taschenrechner.
a) 10 4 · 10 4
3
__
d) 132 · 13
)
2
3
– __
4
Wurzelgesetze
Als Spezialfall aus den Potenzgesetzen für Potenzen mit rationalen Zahlen erhält man die
Wurzelgesetze.
3
__
3
___
1
__
1
__
1
__
3
_____
Beispiele: √8 · √27 = 8 3 · 27 3 = (8 · 27) 3 = √8 · 27
___
__
1
__
√ √8 = ( 8 3 ) 4 = 8 3 · 4 = 8 12 = 12√8
4 3
1
__
1 __
1
__
__
1
___
Wissen: Wurzelgesetze
Für alle positiven reellen Zahlen a und b und alle natürlichen Zahlen n und m (n, m = 0) gilt:
n
__
n
__
n
____
n
__
n
__
___
__
__
m n
√a : √b = √_ba
√a · √b = √a · b
n
Beispiel 2: Vereinfache den Term mithilfe der Wurzelgesetze.
__
___
a) √3 · √12
_____
b) √25 · 9
3
___
3
___
c) √x y · √2 y
Lösung:
a) Bei einem Produkt von Wurzeln kann
man die Zahlen unter den Wurzeln miteinander multiplizieren und dann die
Wurzel ziehen.
b) Bei der Wurzel aus einem Produkt kann
man die Wurzeln aus den Faktoren einzeln ziehen und dann multiplizieren.
c) Bei einem Quotienten von Wurzeln kann
man die Zahlen unter den Wurzeln als
Bruch schreiben, kürzen und dann die
Wurzel ziehen.
d) Die Wurzel aus einer Wurzel lässt sich als
eine Wurzel schreiben, in dem man die
Wurzelexponenten multipliziert.
m·n
__
√ √a = √a
__
___
__
3 2
√ √c
d)
___
_____
___
√3 · √12 = √3 · 12 = √36 = 6
_____
___
__
√25 · 9 = √25 · √9 = 5 · 3 = 15
3
___
3
___
√x y : √2 y =
___
__
3 2
__
___
__
xy 3 _
__
= 2x
2y
√
3
√
__
√ √c = 3 · 2√c = 6√c
Hinweis:
Wandle Dezimalzahlen
in Brüche um.
36
1. Reelle Zahlen und Potenzen
Basisaufgaben
5. Vereinfache mithilfe der Wurzelgesetze und berechne.
_____
__ ___
3 __ 3 ____
3 ______
b) √2 · √108
c) √16 · 9
d) √125 · 8
a) √2 · √32
4
____
4
__
f ) √486 : √6
___
g)
4
√___
121
h)
__
4
√__2764
3
____
√√256
b)
2 3
____
√ √729
c)
3 2
___
√ √64
d)
4
__
4
__
3
___
3
___
f ) √9 x : √3 x2
b)
g)
___
√a b3 : √a b
______
x2 + 6
_____
3 x − 12
√
3
___
__
__
_____
__
b > √_____
a + b
√a + √__
__
√
b
= a + b
√a + √__
_____
__
√a + √b < √a + b
?
?
?
b)
3 4
__
√ √x
5
_______
_____
√ √6 561
__
e)
d) √st · √(st)3
h)
√
i)
c)
√√(a b)4
√____
x9
a4b4
____
(a b)2
4
_______
e)
d)
√ √65 536
_____
4
___
√50 x___
· √9 x3
________
√2 x6
5
√(x + y)2 : √x + y
____
__
______
_____
________
______
4 2
____
____
√__
x6
___
3
√___
2
___
√50
________
j) √528 · 243
c)
8. Vereinfache den Term. ___
a) √√a
___
2 3
7. Vereinfache den Term mithilfe
der Wurzelgesetze.
__
____
3
a) √a · √b
4
i) √20 · √50
6. Schreibe
mit einer Wurzel
und berechne. ____
_____
_____
a)
___
__
e)
j)
_______
√(u v w)10
_______
5 _____
√(u v)5
__
2 3
√ √a2
0,5
e) ( √z )
9. Berechne und vergleiche. Fasse deine Beobachtung in einem Satz zusammen.
_______
___
___
________
√64 + __
√36
a) √______
64 + 36 und ___
c) √25 − 9 und √25 − √9
____
___
b) √________
144 + 81 und √144
____+ √81
___
d) √169 − 25 und √169 − √25
Beispiel
____ 3: Ziehe die Wurzel so weit wie möglich.
___
a) √324
b) √45
Hinweis:
Den „Malpunkt“
zwischen Zahl und
Wurzel kann man
weglassen.
__
__
6 · √7 = 6 √7
Lösung:
a) Prüfe, ob die Zahl unter der Wurzel
durch Quadratzahlen wie 4; 9; 16; 25
usw. teilbar ist und schreibe sie als
Produkt.
Aus den Quadratzahlen kannst du dann
einzeln die Wurzel ziehen.
b) Ziehe nur aus den Quadratzahlen die
Wurzel. Der Rest bleibt als Wurzel
stehen.
324 ist durch 4 teilbar.
324 = 4 · 81
____
_____
__
___
√324 = √4 · 81 = √4 · √81 = 2 · 9 = 18
___
____
__
__
__
√45 = √9 · 5 = √9 · √5 = 3 · √5
Basisaufgaben
10. Zerlege die Zahl unter der Wurzel in ein Produkt aus Quadratzahlen. Wende Wurzelgesetze
an und
berechne.
____
_____
____
______
_____
a) √400
b) √3 600
c) √144
d) √16 900
e) √2 025
11. Ziehe___die Wurzel so weit
___wie möglich.
___
a) √___
12
b) √____
18
c) √____
27
f ) √63
g) √112
h) √147
___
d) √____
44
i) √432
___
e) √______
48
j) √30 000
12. Ziehe die Wurzel ohne Taschenrechner so weit wie möglich. Suche im Zähler und Nenner
nach__
Zahlen oder Faktoren,
die Quadratzahlen
sind.
_____
____
____
____
a)
f)
81
__
√__
4
3
__
√49
1
____
√___
4900
144
g) √___
20
b)
10 000
_____
√__
144
25
__
h) √ 45
c)
d)
i)
324
____
√___
2500
128
√___
64
e)
j)
1225
____
√___
576
100
___
√288
37
1.5 Rechnen mit Potenzen und Wurzeln
Weiterführende Aufgaben
13. Berechne
Kopf und erkläre deine
_____ geschickt im____
____ Vorgehensweise.
______
a) √1600
b) √2,25
c) √729
d) √0,0025
__________
___
f ) √( − 36 ) · ( − 9 )
___
k)
___
____
g) √64 · √49
____
800
√___
18
l)
__
___
h) √242 : √2
___
________
i) √75 · √12
_____
__
√0,008
√0,002
32
√____
5 000
________
e) √0,000 001
_____
m) _____
j) √0,49 · 81
___
__
√7 ·___
√28
______
√49
n)
√3
4 ___
___
√75
o)
__
14. Untersuche, welche Wurzeln ganzzahlige Vielfache von √3 sind und welche Wurzeln nicht.
__
___
___
___
___
√9
√75
√33
√27
____
___
15. Fasse zusammen,
indem du
ausklammerst.
__
__
__ die Wurzel
__
__
__
a) 4 √2 + 7 √2
b) 19 √5 − 2 √5 c) 0,25 √6 + √6 d)
__
___
__
13
_
√3
3
__
__
___
3
____
b) 8 √10
__
__
4
g) 2 √3
5
h) 0,2 √2
d) 10 √3,3
__
3
i) 2 √2
__
3
5
__
5
__
e) 1 _15 √7 − _45 √7
___
___
c) 0,1 √700
√45
+ _32 √3
16. Ziehe den Faktor in die Wurzel. Beispiel: 5 √2 = √25 · √2 = √50
a) 2 √3
___
√300
√48
√12
__
__
j) a √a
√ __
3
1 _
_
3 4
e)
k) x
f ) 3,5
10
4
√x2
__
2
_
7
___
√
l) y √y−2
17. Ermittle,
welche Zahlen eingesetzt
damit die Gleichung stimmt.
_______
___ werden
____ können,
______
__ __
( − 3 ) __
√15 = √
√
a) √__
·■ =3
b) ■ ·__
240
c)
16
d) √5 __· √■ __
= − 5 __
__
___ · ■ = 32
e) √■ : √7 = 5
f ) 3 √■ = 6√3
g) √■2 = 231
h) 2 √5 + √■ = 5 √5
18. Ziehe die Wurzel so weit wie möglich und fasse dann zusammen.
__
___
__
___
__
___
___
__
a) √5 + √20
b) 4 √2 + √32
c) 7 √3 + 2 √27 d) √50 − √2
__
3
___
4
____
f ) √8 + √16
___
3
g) √180 + √20
___
____
4
____
h) √27 + √252
__
___
e) 8 √7 + √28
__
3
i) √200 − √2
__
5
__
j) √a6 − √a5
19. Stolperstelle: Überprüfe die Rechnungen. Beschreibe und korrigiere die Fehler.
2
__
a) a 3 : a3 = a2
(x )
3
__
5
b)
3
__
d) a 4 · a4 = a3
2
9
__
= x5
c)
e)
i)
_____
___
f)
__
1 –3
_
x
j)
(√ )
4
_____
___
___
3 4
√ √b40 : 12√b16
5
√1,6 x
__
· √10
___
4 __
_____________
3
______
3
___
__
__
4
4
__
3
_
= – 3 · ( – 27 ) = 81
6
3
g)
c)
___
_____
6
24
3
l)
√
d)
___
__
23. Begründe, dass die Wurzelgesetze Spezialfälle der Potenzgesetze sind.
m
__
n
__
a) √a · √a =
m·n
_____
√am + n
m
__
n
__
b) √a : √a =
_______
h) √a2 + 2 a b + b2 · √(a + b)2
__________
_____
√25 x2 ____
_____
· 1__3
x
5 √x
24. Beweise die Wurzelgesetze für gleiche Basen.
__
____________
√1 – x2
__________
5 ___________
√(1 + x) (1 – x)
__
1__
√c : __
√c
n
_____
m·n
_____
√am − n
n
__
√an – 1 · √a
_________
_____
3 __
√x · √x · √3
22. Vergleiche die Terme: √√x , √x , √ √x , √x3 und √√x (x > 0).
Welcher Term wird für x = 256 (x = 0,5; x = 1) am größten bzw. am kleinsten?
4
6
d) √s22 : √s4
c) √x7 : √x3
k)
21. Vereinfache mithilfe der Potenzgesetze.
__ _____
__
__
__
3
√a2 · √32__a3
3 √x_____
+ 6 √x − 5 √x
________
a) ___ 3
b) ____________
___
3
___
__
___
_____
√(a b)6
_____
5 ___
√a b
√2a · √a8
3
f) √28 = √27 + 1 = √27 + √1 = 3 + 1 = 4
20. Schreibe
als Potenzen und vereinfache.
__ __
3 ___ 3 ___
a) √x4 · √x6
b) √b10 · √b5
√ √a18
______
√( – 27 )4 = √( – 27 ) · ( – 27 )3
3
e) b0,3 + b0,7 = b
2 3
3
38
Hinweis:
3
___
1. Reelle Zahlen und Potenzen
n
1
__
__ n
25. Für eine positive reelle Zahl a und eine ungerade natürliche Zahl n gilt ( − √a ) = − a.
Trotzdem
ist es nicht sinnvoll, Wurzeln aus negativen Zahlen zu definieren. Nimm an, dass
3 ___
√− 8 als − 2 definiert wird. Finde einen Widerspruch zu einem der Potenzgesetze.
2
__
√− 8 = (− 8) 3 = (− 8) 6
26. Den Nenner rational machen: Forme durch Erweitern so um, dass im Nenner keine
Wurzel mehr vorkommt.
__
__
__
__
√
__
√
· √a
a · √a
a__ _____
__
____
__ =
= a_____
= √a
a
√a √a · √a
· 5
2· 5
2__ _____
____
__ =
Beispiele: __
= 2_____
5
√5 √5 · √5
a)
f)
1__
__
√2
a __
_____
b + √c
b)
g)
5__
__
√6 __
2 √__3
____
√5
21
__
__
√7
a_____
−b
_____
√a − b
c)
h)
d)
i)
1 __
____
2 · √2
a __
_____
a − √3
e)
j)
a
__
4 __
√a __
3 + 2√__
x
_____
5 + 3√x
27. Prüfe, welche Brüche den gleichen Wert haben. Sortiere der Größe nach.
1__
__
√7
2 √__
45
__
____
351
__
CAS
7
√9
____
6
__
____
_
√252
√___
80_
__
√36
_2
3
√20
__
___
√81
___
__
_1 √
3 5
3
___
√45_
__
___
√7
__
√324
_2 √5
___
__
___
234
___
√___
256
__
__
√576
__
5_
_____
10 __
√7
__
___
14 √25
√45
28. a) Erläutere, wie das CAS im Bild rechts zu
den Ergebnissen gekommen ist.
b) Vereinfache
die Terme handschriftlich.
____
___
___
___
√64
① √__
② 4 √48 + 5 √48
③
√__812
④
2__ __
__
– 1__
√7 √7
c) Vereinfache die Terme aus b) mit einem
CAS. Vergleiche mit deinen Ergebnissen.
d) Formuliere Regeln, nach denen ein CAS Ergebnisse mit Wurzeln darstellt.
29. Löse die Gleichungen.
__
3
a) √x = 4
__
b) √x = 3
1
__
2
__
f ) x3 = 4
g) x 3 = 9
4
__
6
__
TErde = 365,26 Tage
TVenus = 224,7 Tage
aErde = 148 · 106 km
aMars = 225 · 106 km
aJupiter = 769,6 · 106 km
3
___
i) √4 x = 6
1
__
e) x 2 = 6
j)
(x )
1 3
__
4
Umlaufzeit T1
Planet 2
a1
Sonne
T1
a1
= ___
Also Formel: ___
T22 a23
a2
a) Berechne die Umlaufzeiten von
Mars und Jupiter.
b) Bestimme die große Halbachse
der Venus.
f ) 1y – 1 = 0
1
b) 5y = __
25
g) 2n + 3 = 0
Umlaufzeit T2
Planet 1
__
__
____
b) x √y + y √x · √x · y
32. Ausblick: Löse die Gleichung.
a) 2x = 64
=8
3
31. Vereinfache den Wurzelterm.
3 ___
3 __
3 __
3 __
a) ( √25 − √4 ) · ( √5 + √4 )
Hinweis zu 32:
Solche Gleichungen
nennt man Exponentialgleichungen.
d) √4 x = 8
h) √x2 = 5
30. Das dritte Keplersche Gesetz lautet:
„Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier
Planeten verhalten sich wie die dritte
Potenz der großen Bahnhalbachsen.“
2
___
c) √x = 7
c)
( _41 )
x
= 16
d) 125z = 5
h) 1000y = 0,001 i) 10x = 0,01
3
c)
________
3 __
a √b + b √a
________
3 ___
√ab
e) 6m + 1 = 37
j) 3y – 1 = 2y + 1
Streifzug
Streifzug
Wurzelgleichungen
■
Löse das Zahlenrätsel.
■
Wenn man
zu einer Zahl 1 addiert und
dann die dritte Wurzel zieht,
erhält man 4.
Gleichungen, in denen Variablen unter dem Wurzelzeichen
vorkommen, nennt man Wurzelgleichungen.
Zum Lösen von Wurzelgleichungen, versucht man die Wurzel
zu entfernen. Dafür kann man die Wurzel auf einer Seite isolieren und dann die beiden Seiten der Gleichung quadrieren.
Aber Achtung: Das Potenzieren von beiden Seiten einer Gleichung ist keine Äquivalenzumformung. Denn das Potenzieren beseitigt beispielsweise Vorzeichenunterschiede zwischen
den beiden Seiten der Gleichung. Deshalb muss man durch eine Probe überprüfen, ob die
gefundenen Lösungen auch Lösungen der Ausgangsgleichung sind.
Wissen: Lösen von Wurzelgleichungen
Beim Lösen von Wurzelgleichung kann man wie folgt vorgehen:
1. Forme die Gleichung so um, dass der Wurzelterm alleine auf einer Seite steht.
2. Potenziere die beiden Seiten der Gleichung.
3. Da das Potenzieren von beiden Seiten einer Gleichung keine Äquivalenzumformung ist,
können Lösungen dazukommen. Führe eine Probe durch. Gib die Lösungsmenge an.
Beispiel
1: Löse die Wurzelgleichung. Gib auch den Definitionsbereich
der Gleichung an.
______
______
a) √4 x − 8 = 8
b) √x2 − 9 + x = 1
Lösung:
a) Bestimme den Definitionsbereich: Der
Radikand muss größer oder gleich
0 sein. Definitionsbereich: D = {x | x ≥ 2}
4x − 8 ≥ 0
4x ≥ 8
x≥2
|+8
|:4
______
Quadriere beide Seiten der Gleichung,
um das Wurzelzeichen zu entfernen.
Löse die Gleichung nach x auf.
√4x − 8 = 8 | beide Seiten quadrieren
4 x = 72 | + 8; : 4
x = 18
Führe eine Probe durch: Setze x = 18 in
die Ausgangsgleichung ein. Prüfe ob 18
aus dem Definitionsbereich ist.
Gib die Lösungsmenge an.
Probe: √4 · 18 − 8 = √72 − 8 = √64 = 8 ✓
18 ≥ 2, also ist 18 aus dem Definitionsbereich.
b) Bestimme den Definitionsbereich. Der
Radikand muss größer oder gleich 0
sein. Definitionsbereich: D = {x | | x | ≥ 3}
x2 − 9 ≥ 0
| +_9
x2 ≥ 9__
|√
| x | ≥ √9 = 3 Da das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist, darf x auch negativ sein.
________
______
___
Lösungsmenge: L = {18}
______
Isoliere den Wurzelterm und
quadriere dann beide Seiten.
Löse die Gleichung nach x auf.
√x2 −______
9 +x=1
|+x
√x2 − 9 = 1 − x
| ( )2
x2 − 9 = (1 − x)2
(binomische Formel)
x2 − 9 = 1 − 2 x + x2 | − x2; + 9; + 2 x
2 x = 10
|:2
x=5
Führe eine Probe durch. Setze x = 5 in
die Ausgangsgleichung ein.
Probe: √52 − 9 = √25 − 9 = √16 = 4 ≠ 1 − 5
= −4
5 ist keine Lösung der Ausgangsgleichung.
Lösungsmenge: L = { }
Gib die Lösungsmenge an.
39
______
______
___
Hinweis:
Beim Quadrieren
beider Gleichungsseiten können zusätzliche Lösungen entstehen, aber keine
verschwinden.
40
1. Reelle Zahlen und Potenzen
Aufgaben
1. Löse die Gleichungen im Kopf.
__
3 __
b) √a = 8
a) √x = 16
__
4 ___
f ) √2 x = 1
e) √a + 6 = 6
3
__
__
c) √x = 0,5
3 _____
g) √x − 1 = 4
d) √x − 1 = 5
_____
h) √x + 3 = 3
2. Löse die Gleichungen. Bestimme den Definitionsbereich und führe eine Probe durch.
_____
_____
_____
______
__
b) 3 · √x + 1 = √x − 7
c) √5 x − 4 = 2 · √x
a) √x − 3 = 2
______
_____
______
_______
e) 3 · √x − 1 = 2√2 x − 1
f ) √4 x2 − 5 = 2 · x − 1
d) √5 x + 5 = 5
3. Überprüfe die Lösungen. Berichtige sie und beschreibe die Fehler.
____
______
_____
___
a) √x + 1 + 2 = 4
x + 1 + 4 = 16
x = 11
L = {11}
c) √______
3x − 2 + 4 = 3
√3 x − 2 = −1
3x − 2 = 1
3x = 3
x=1
b) √2 x + √x − 1 = 3
2x + x − 1 = 9
3 x = 10
19
x = __
3
{ }
19
L = __
3
4. Löse die Gleichungen.
3 ______
a) √4 x − 8 = 32
L = {1}
_______
3
______
3
b) √x2 + 20 = x + 10
3
______
c) √x2 + 2 = √x2 + 1
_____
5. Begründe ohne Rechnung, dass die Gleichung √x − 4 + 2 = 1 keine Lösung hat.
6. Löse die Zahlenrätsel.
a) Wenn man vom Vierfachen der Zahl 8 subtrahiert und anschließend die Wurzel zieht,
erhält man 32.
b) Wenn man zum Quadrat der Zahl 60 addiert und anschließend die Wurzel zieht, erhält
man dasselbe, als wenn man zur Zahl 4 addiert.
c) Wenn man zum Quadrat der Zahl 2 addiert und anschließend die Wurzel zieht, erhält
man dasselbe, als wenn man zum Quadrat der Zahl 1 addiert und dann die Wurzel zieht.
d) Addiert man zur Wurzel einer Zahl die Wurzel der um 7 verminderten Zahl, so erhält
man 7.
_____
7. Formuliere ein Zahlenrätsel, das auf die Gleichung √x − 4 = 6 führt.
8. Löse______
die Gleichungen.
a)
d)
_1 x − 8 + 8 = 9
√_____
2
_____
√
2x + 2
_____
2x − 1
=
√
____
b)
3x + 1
_____
3x + 3
e)
x−5
____
= 12
√_______
x+7
√
2 x2
c)
_______
+6 −√
4 x2
+2 =0
10. Forschungsauftrag: Löse die Wurzelgleichungen.
a)
_____
3
_____
_____
− √x − 4
√x − 1
_____
= √x − 1
_____
_____
√
f ) −14 = 6 − 4 √100 x + 5
Län
ge
l
9. Die Zeit T (in Sekunden), in der ein Pendel einmal
hin und her schwingt, hängt von der Länge
l
_
(in Meter) des Pendels ab. Es gilt: T = 2 √l
Ein Pendel schwingt 30-mal in einer Minute hin
und her. Berechne die Länge des Pendels.
_____
x2 − _2x = − x − _12
________
______
b) √x − 3 + √x + 2 = √4 x − 3
_____
_____
c) √x − 9 ± √x − 4 = −1
41
1.6 Näherungswerte
1.6 Näherungswerte
■ Christin möchte eine Wand in ihrem Zimmer
neu gestalten. Sie misst die Länge der rechteckigen
Wandfläche mit 5,79 m und die Höhe mit 2,48 m.
Dann rechnet sie: A = 5,79 m · 2,48 m = 14,3592 m2
Ihr Bruder Michael zweifelt am Ergebnis:
„Das wären ja 143 592 cm2, so genau hast du
gar nicht gemessen, dass du den Flächeninhalt
auf Quadratzentimeter genau angeben kannst.“
Was meinst du dazu?
■
Genaue Werte und Näherungswerte unterscheiden
Beim Rechnen müssen genaue Werte von Näherungswerten unterschieden werden.
Näherungswerte entstehen u. a. beim Messen, Runden, Schätzen und Überschlagen.
Wird ein Messwert mit 16 cm (auf Zentimeter genau) angegeben, heißt das:
Der genaue Wert liegt im Intervall von 15,5 cm bis 16,5 cm (kurz: 16 cm ± 0,5 cm).
Wird ein Messwert mit 16,3 cm (auf zehntel Zentimeter genau) angegeben, heißt das:
Der genaue Wert liegt im Intervall von 16,25 cm und 16,35 cm (kurz: 16,3 cm ± 0,05 cm).
Die größte Abweichung ergibt sich aus der Hälfte des Stellenwertes der letzten Ziffer.
Wissen: Genaue Werte und Näherungswerte
Beim Darstellen eines genauen Wertes auf einer Zahlengeraden wird ein Punkt markiert.
Beim Darstellen eines Näherungswertes auf einer Zahlengeraden wird eine Strecke
(Intervall) markiert. Je kürzer eine solche Strecke ist, desto genauer ist der Näherungswert.
Die Genauigkeit eines Näherungswertes wird bestimmt durch den Stellenwert der letzten
angegebenen Ziffer, beispielsweise:
Der Näherungswert beträgt:
m = 12,356 kg
Es gilt:
(12,356 kg ± 0,0005 kg)
Der genaue Wert liegt im Intervall: 12,3555 kg ≤ m ≤ 12,3565 kg
15
16
17
15,5 cm 16 cm 16,5 cm
16
17
16,3 cm
16,2 16,3 16,4
16,25 cm 16,3 cm 16,35 cm
Hinweis:
Sind Näherungswerte
natürliche Zahlen,
dann werden Nullen
am Ende der Zahl
nicht berücksichtigt.
Beispiel 1:
a) Entscheide, ob die Angabe ein Näherungswert oder ein genauer Wert ist.
b) Gib für die Näherungswerte das Intervall an, in dem der genaue Wert liegt.
(1) Die Folie ist 0,14 mm dick.
(2) Meine Tante hat drei Kinder.
(3) Es sind etwa 5600 Zuschauer.
Lösung:
a) Prüfe, ob der Wert durch
Messen, Runden, Schätzen oder
Überschlagen entstanden ist.
b) Ermittle die Hälfte vom Stellenwert der letzten angegebenen
Ziffer. Schreibe das zugehörige
Intervall auf.
(1) 0,14 mm (Messwert)
⇒ Näherungswert
(2) Anzahl (Abzählen)
⇒ genauer Wert
(3) „etwa“ kennzeichnet einen Näherungswert.
(1) d = 0,14 mm (letzte Ziffer/Hundertstel)
1
_
· 0,01 = 0,005 ⇒ 0,14 mm ± 0,005 mm
2
0,135 mm ≤ d ≤ 0,145 mm
(3) 5600 Zuschauer ⇒ Näherungswert
5600 (erste Ziffer, ungleich Null, Hunderter)
1
_
·100 = 50
⇒ 5600 ± 50
2
5550 ≤ n ≤ 5650
Hinweis:
Ist der Näherungswert
eine natürliche Zahl,
wird die erste von Null
verschiedene Ziffer
von rechts blickend
genutzt.
42
1. Reelle Zahlen und Potenzen
Basisaufgaben
1. Entscheide, ob die Angabe ein Näherungswert oder ein genauer Wert ist.
a) Eine 1 m lange Leiste wird in drei Teile gesägt, jedes Teil ist 33 cm lang.
b) Simons Taschenrechner zeigt als Ergebnis der Rechnung 7 : 3 = 2,33.
9
c) Als Ergebnis für − _13 · 7 · − __
hat Mia im Kopf _32 berechnet, Günter mit einem Taschen14
rechner 1,48.
( )
( )
2. Gib für den Messwert das Intervall an, in dem der genaue Wert liegt.
a) t = 14,5 s
b) h = 32 m
c) a = 4,5 cm
d) m = 27 t
e) A = 12,0 m2
Genauigkeit beim Rechnen mit Näherungswerten beachten
Beim Rechnen mit Näherungswerten erhält man als Ergebnisse wieder Näherungswerte.
Beachte, dass die Genauigkeit des Ergebnisses nicht größer sein kann als der ungenaueste
gegebene Näherungswert. Darum sind Ergebnisse solcher Rechnungen auf eine sinnvolle
Genauigkeit zu runden.
Wissen: Rechnen mit Näherungswerten
Addieren/
Subtrahieren
Runde das Ergebnis auf den Stellenwert des Summanden (Minuenden,
Subtrahenden), bei dem die letzte Ziffer am weitesten links steht.
Multiplizieren/
Dividieren
Runde das Ergebnis auf die Anzahl von Ziffern, die der Faktor (Dividend, Divisor)
mit der geringsten Anzahl von Ziffern hat. Bei Dezimalzahlen werden Nullen
links von der ersten von null verschiedenen Ziffer nicht mitgezählt.
Beispiel 2:
a) Die Schultasche von David wiegt 4,8 kg. Berechne, wie schwer die Schultasche ist,
wenn er noch sein Mathematikbuch, das 620 g wiegt, hinein packt.
b) Berechne das Volumen einer quaderförmigen Stahlplatte mit folgenden Abmessungen:
a = 28,7 dm; b = 17,6 dm ; c = 12 mm
Lösung:
a) Prüfe, ob Näherungswerte vorliegen.
Achte auf die gleiche Einheit.
Addiere beide Größen.
Wende die Regel für das Addieren von
Näherungswerten an.
Gib das gerundete Ergebnis an.
b) Prüfe, ob Näherungswerte vorliegen.
Wende die Formel zur Berechnung des
Volumens eines Quaders an. Achte auf
die gleiche Einheit.
Wende die Regel für das Multiplizieren
von Näherungswerten an.
Gib das gerundete Ergebnis an.
Messwerte: 4,8 kg; 620 g (Näherungswerte)
620 g = 0,620 kg
4,8 kg + 0,620 kg = 5,420 kg
Die letzte Ziffer (8) steht bei 4,8 am weitesten
links (beim Stellenwert „Zehntel“).
Das Ergebnis ist auf Zehntel zu runden.
Die Schultasche ist 5,4 kg schwer
Kantenlängen: 28,7 dm; 17,6 dm; 12 mm
sind Messwerte, also Näherungswerte
12 mm = 0,12 dm
V = a · b · c = 28,7 dm · 17,6 dm · 0,12 dm
V = 60,6144 dm3
Der Faktor 0,12 dm hat die geringste Anzahl
von Ziffern (zwei Ziffern).
Das Ergebnis muss auf zwei Ziffern gerundet
werden. V = 61 dm3
43
1.6 Näherungswerte
Basisaufgaben
3. Berechne die Summe bzw. die Differenz der Näherungswerte.
a) 124,5 m + 65,89 m
b) 48,6 cm2 − 11,32 cm2
c) 45,85 t + 8,567 t
d) 3,8 cm + 9 mm
e) 32,7 kg – 3,56 kg − 5 kg
f ) 2,53 m3 + 1,5 m3 + 39 dm3
4. Berechne das Produkt bzw. den Quotienten folgender Näherungswerte.
a) 2,35 m · 3,1 m
b) 4,2 cm · 10,6 cm · 9,8 cm c) 4,3 cm · 181 mm
d) 12,45 cm2 : 3,4 cm
e) 37,5 m : 2,3 s
f ) 6 m2 : 0,85 m
__
11
1
5. Gegeben sind folgende Näherungswerte: x = __
≈ 3,7; y = 4 __
≈ 4 und z = √2 ≈ 1,41
3
90
Berechne den Term mit den gerundeten Werten. Vergleiche dann.
a) x + y – z
b) 3 · x + z
c) y · z + x
d) x · z – y
Weiterführende Aufgaben
6. Erkläre dein Vorgehen. Gib Ergebnisse gegebenenfalls mit sinnvoller Genauigkeit an.
a) Julian sucht einen Teppich für sein neues Zimmer. Im Plan (Maßstab 1 : 20) misst er
14,5 cm mal 18,7 cm. Welche Maße sollte er im Teppichgeschäft angeben?
g
b) Unsere Luft hat eine Dichte ϱ = 0,00129 ___3. Wie schwer sind 2,5 Liter Luft?
cm
c) Mira verwendet für einen Kuchenteig 500 g Mehl, 175 g Zucker, 1 mg Salz, 150 g Milch,
0,5 g Vanillezucker, 4 Eier mit 55 g, 57 g, 61 g, 62 g, 250 g Butter und 17 g Backpulver.
Welche Anzeige erwartest du auf der Küchenwaage?
7. a) Zeichne eine Strecke und miss deren Länge. Wähle zum Messwert ein sinnvolles
Intervall, in dem der genaue Wert liegt. Begründe deine Wahl.
b) Zeichne einen stumpfen Winkel und miss seine Größe. Wähle zum Messwert ein sinnvolles Intervall, in dem der genaue Wert liegt. Begründe deine Wahl.
8. Miss Länge, Breite und Höhe einer Streichholzschachtel und berechne das Volumen und
den Oberflächeninhalt der Schachtel. Achte dabei auf sinnvolle Genauigkeit.
9. Nenne Beispiele für Näherungswerte bzw. genaue Werte aus dem täglichen Leben.
10. Stolperstelle: Maja zeigt Kevin stolz die Ergebnisse ihrer Aufgaben.
Kevin meint, dass diese Ergebnisse aber noch gerundet werden müssen.
Maja erwidert, dass dies nicht nötig sei, denn es kommen ja doch nur
genaue Werte vor. Was meinst du?
a) Die Jahreszinsen für ein Guthaben von 3865 € bei einem
Zinssatz von 2,15 % betragen 83,0975 €.
b) Um 12 Tonnen Sand mit einem Lkw zu transportieren,
dessen Nutzlast 2,5 Tonnen beträgt, muss er 4,8-mal
fahren.
c) Am 18. Spieltag der Bundesliga waren bei den
9 Spielen insgesamt 275 000 Zuschauer in den
Stadien.
__
Das sind 30 555,5 Zuschauer pro Spiel.
11. Ausblick: Erstelle eine Plakat mit Tipps zum Umgang mit Näherungswerten.
Hinweis zu 5:
In b) ist der Faktor 3
eine genaue Zahl.
Rechne in c) und d)
„in einem Zug“ und
runde erst dann.
44
1. Reelle Zahlen und Potenzen
1.7 Vermischte Aufgaben
__
1. Wenn man mit einem Taschenrechner √2 ermittelt, so erhält man je nach Modell eine
bestimmte Dezimalzahl, beispielsweise 1,414 2136. Drückt man unmittelbar danach die
Quadrat-Taste, so erhält man in der Anzeige 2.
a) Begründe, dass 1,414 2136 nicht der genaue Wert für die Quadratwurzel aus 2 sein
kann.
__
b) Ist die Zahl 1,414 2136 größer oder kleiner als √2 ? Begründe deine Aussage.
2. Ein 10-€-Schein hat eine Dicke von etwa
9 · 10−5 m und wiegt etwa 72 · 10−5 kg.
a) Wie hoch und wie schwer ist ein
Stapel 10-€-Scheine im Wert von
2 Mio. €?
b) Wie viel Geld liegt auf einem Stapel
10-€-Scheinen, wenn dieser 40,50 Meter hoch ist?
3. Ein Foto von einer Digitalkamera benötigt etwa 5 MB Speicherplatz.
Wie viele derartige Fotos passen auf einen 32-GB-Speicherstick?
A: 12 800
B: 6400
C: 3200
D: 1600
4. Gib die Einheit als Vielfaches der Grundeinheit an. Verwende Zehnerpotenzen.
a) Hektoliter
b) Megatonne c) Mikrometer d) Gigawatt
e) Milliampere
5. Die Masse der Erde beträgt rund 6,0 · 1024 kg und die Masse der Sonne etwa 2,0 · 1030 kg.
a) Berechne, welchen Anteil an Masse die Erde im Vergleich zur Sonne besitzt.
b) Berechne, welchen Anteil an Masse der Mond (7,4 · 1022 kg) im Vergleich zur Erde besitzt.
6. Um das Produkt 9 · 27 zu ermitteln, kann man in der Tabelle die Zahlen addieren, die über
den Zahlen 9 und 27 stehen, also 2 und 3. Das Ergebnis des Produkts steht dann unter der
Summe aus 2 und 3, also unter der Zahl 5. Es ist die Zahl 243.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
3
9
27
81
243
729
2187
6561
19 683
59 049
3
a) Gib drei weitere Multiplikationsaufgaben an, die du mit dieser Tabelle lösen kannst.
b) Erläutere und begründe am Beispiel 6561 : 27, wie man mithilfe der Tabelle Divisionsaufgaben lösen kann.
( n · ( − 2 n )4 + 4 · ( − n )5 ) · n− 2
7. Gegeben ist der Term _12 · __________________
.
( 2 n )3
a) Setze für n zuerst 5 und dann − 3 ein und berechne den Wert des Terms.
b) Begründe, dass das Ergebnis immer dasselbe bleibt – egal, welchen Wert man für n
einsetzt. Prüfe, ob der Term für alle Zahlen ein Ergebnis liefert.
8. Argumentiere.
2 3 4 5
4 3 2 1
a) Sind die Ausdrücke ( ( ( ( ( 21 ) ) ) ) ) und ( ( ( ( ( 25 ) ) ) ) ) gleichwertig? Begründe.
b) Berechne die Brüche und erkläre, wie die Zahlenfolge ( _52 ) ; ( _52 ) ; ( _52 ) ; … sinnvoll fortgesetzt werden kann.
c) Ordne die__Zahlen der Größe nach.___Erläutere deine Strategie.
3
(− 4)2;
√_14 ;
4−2;
__
2−4; √4 ;
−1
−1
; ( _18 ) ; ( __
√__
8
8 )
3
_1
3
3
2
1
1.7 Vermischte Aufgaben
9. Das „Schneeballprinzip“ ist eine beliebte Art, Gäste zum Tanzen
aufzufordern. Ein Paar beginnt und sucht sich nach einer gewissen
Zeit neue Tanzpartner. Auch die so entstandenen Partner suchen
sich dann wieder neue Tanzpartner usw.
Zum Semperopernball 2016 in Dresden waren in der
Semperoper 2500 Gäste und auf dem Platz vor der
Semperoper 15 000 Gäste.
a) Berechne, wie oft die Tanzpartner nach dem Schneeballprinzip gewechselt werden müssten, damit etwa
250 Paare in der Semperoper auf der Tanzfläche sind.
b) Berechne, wie oft die Tanzpartner im Saal gewechselt
werden müssten, damit alle 2500 Gäste auf der Tanzfläche wären.
c) Nach wie vielen Minuten wären auf dem Vorplatz der Oper 4096 Tanzpaare, wenn jedes
Tanzpaar nur 1,5 Minuten (einschließlich Wechsel) zusammen tanzen und nach dem
Schneeballprinzip ein Partnerwechsel erfolgen würde?
d) Reflektiere die Ergebnisse mit Blick auf die Realität.
10. Das Volumen des ersten Würfels ist dreimal so groß wie das eines zweiten Würfels.
a) Angenommen, der erste Würfel habe ein Volumen von 24 cm3. Wie groß ist dann das
Volumen des zweiten Würfels?
Vergleiche auch die Kantenlängen der beiden Würfel miteinander.
b) Verallgemeinere dein Ergebnis aus a) und vergleiche die Kantenlängen zweier Würfel,
wenn lediglich bekannt ist, dass das Volumen des einen Würfels dreimal so groß ist wie
das eines zweiten Würfels.
11. Warum ist beim Potenzgesetz am · an = am + n (mit m, n ∈ ℚ) die Einschränkung a > 0
erforderlich?
12. China ist weltweit der führende Produzent von Hühnereiern.
In den letzen Jahren produzierte das Land jährlich etwa
4,97 · 1011 Eier (Tendenz steigend).
Wie hoch wäre ein solcher Eierstapel, wenn sie in den
üblichen 10er- oder 6er-Packungen (Höhe jeweils 6 cm)
abgepackt und aufeinander geschichtet würden?
Gib die Höhe in Kilometer an.
Ein Ei wiegt durchschnittlich 55 g. Gebt das Gewicht der Gesamtproduktion in Gramm,
in Kilogramm und in Tonnen an. Vergleiche das Gewicht der Eier mit dem Gewicht eines
ausgewachsenen Elefanten (etwa 5 t).
Deutschland produzierte in einem Jahr etwa 12 430 000 000 Hühnereier.
Formuliere eine geeignete Aufgabenstellung.
Ein Huhn legt im Jahr etwa 300 Eier. Gib an, wie viele Hühner zur Jahresproduktion
an Eiern in China (Deutschland) etwa benötigt werden.
13. Potenzfunktionen
a) Zeichne die Graphen der Funktionen f und g mit g ( x ) = x und f ( x ) = x2 in ein Koordinatensystem.
b) Zeichne dazu die Graphen der Funktionen h und i mit h ( x ) = x3 und i ( x ) = x4 – erstelle
dafür Wertetabellen oder verwende einen Funktionenplotter.
c) Betrachte allgemein Potenzfunktionen: Sie haben die Funktionsgleichung p ( x ) = xn für
eine natürliche Zahl n > 0. Gibt es Gemeinsamkeiten? Welchen Einfluss hat der Parameter n auf Eigenschaften wie die Symmetrie?
45
46
Prüfe dein neues Fundament
Lösungen
b S. 196
1. Berechne
mit einer Intervallschachtelung
genau. ____
__
___
___ auf drei Nachkommastellen
___
a) √6
b) √21
c) √33
d) √55
e) √600
1. Reelle Zahlen und Potenzen
2. Wahr oder falsch? Begründe deine Antwort.
a) Jede natürliche Zahl ist eine reelle Zahl.
b) Jede reelle Zahl ist eine irrationale Zahl.
c) Aus jeder rationalen Zahl kann die Wurzel gezogen werden.
d) Die Wurzel aus einer nicht natürlichen Zahl ist immer irrational.
e) Es gibt eine rationale Zahl, die irrational ist.
3. Schreibe Produkte als Potenzen und Potenzen als Produkte. Berechne ohne Taschenrechner.
a) 2 · 2 · 2 · 2 · 2
b) _13 · _13 · _13
c) 4–3
d) ( – 3 )–3
( )3
e) – _13
f ) 3– 3
g) – 0,3 · ( – 0,3 ) · ( – 0,3 )
4. Berechne. Schreibe zunächst die Potenzen als Produkte.
a) 47 · 4−5
b) 4−3 · 5−3
c) 5−4 · 5−3
d) (73)−2
g)
( _15 )2 · ( _15 )3
h) (0,1−3)
3
( _12 )3 · ( _13 )3
i)
j) 20 · 2−5
( _15 )4 · 52
h)
20− 5
_____
5 − 3 · 44
i) 19−3 : 19−45 j)
6. Berechne
ohne Taschenrechner.
__
a)
9
__
√________
25
3
____
2
b) √125
f ) 0,24 · 0,14
k) 21−3 : 7−3
l)
5
h) √1
g) √0,000 01
99
__
x3 · x6
____
x9
c) √32
5
___
4
____
d) √−125
j) √1962
i) √256
4
_____
4
_____
–4
e) 152 : 32
5. Vereinfache. Gib an, welches Potenzgesetz du verwendest.
2 · 34
a) 35 · 9
b) 121 · 22
c) (5−4)3
d) 273 : 32
e) ___
63
g)
( – _23 )
h)
(2 a)− 5 · (2 a)7
_________
4 a2
k)
((− ) )
−2
2
_
3
f ) (0,3−5)
____
5
_____________
−7
(5 a)3 · (2 b)3 · 33
___________
30 a3 b3 · (a b−1)
l)
4
−1
e) √812
45
3
k) √10 000 000 000
____
√6445
f)
_____
l) √0,125
7. Berechne mit einem Taschenrechner. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
4
___
5
________
a) √10
3
____
3
________
b) √343
4
_____
4
_________
c) √2401
3
_____
7
__________
d) √1331
3
_____
5
________
6
e) √4913
g) √7,5937 5 h) √8120,601 i) √96 059 601 j) √0,000 218 7 k) √3 200 000 l)
8. Löse die Gleichungen.
a) x2 = 9
b) x3 = 27
7
f ) x = −128
g) x5 = 1024
c) x3 − 125 = 0 d) x4 = 16
h) 2 x2 = 20 000 i) x−2 = _19
3
__
2
___
b) √n2
c)
10. Berechne ohne Taschenrechner.
a) 75: 73
b) 0,12 · 0,1– 5
f ) 0,01– 3 :
k)
54
____
52 · 53
( __101 )– 3
g) 20 : 21
l)
______
√(x y)−2
c) 20,5 : 80,5
f)
x · x– 2 · y3
______
x3 · y
g) a0,25 · a
√
5
1210
____
4−10
1
__
e)
1
__
4
______
√(u2 v)8
1
__
d) 9 3 · 3 3
1
__
e) 8 4 · 2 4
i)
( 0,12 )– 1
j) 163 : 83
m) 169 2 : 132
n)
2 · 33
____
o)
d)
√30 : y
3 2
1
__
11. Vereinfache mithilfe von Potenzgesetzen.
a) b– 3 · b5
b) x7 : x3
c) a3 b a– 1 b– 2
3
__
4
d)
( ( _12 ) )
h)
202
___
· 5– 4
5– 3
4
____
128
____
2187
√
7
e) x3 = − 8
j) x10 = −1000
9. Schreibe die Wurzel als Potenz und vereinfache, falls möglich.
____
a) √a2
_________
f ) √0,015 625
h) ( a1 )
–2
1
__
27 3
___
0,52
___
20
e) ( b– 2 )
2
__
i) ( u– 3 · v6 ) 3
–1
j) 2 · ( y0 )
3
47
Prüfe dein neues Fundament
12. Berechne
ohne Taschenrechner.
__
a)
f)
√__259______
10
√75 · 75
__
___
k) √2 · √32
3
____
5
________
3
___
b) √125
5
______
g) √0,000 01
3
h)
9
___
__
3
__________
________
d) √−625
√70
m) √√1 000 000
l) √54 : √2
_____
4
c) √2 · 16
e)
_____
4
√___1962
i)
√___
77
___
3
√74
13. Berechne – falls möglich. Verwende keinen Taschenrechner.
__
__
a) √2 · √8
____
f)
√300
____
__
√3
____
___
b) √200 · √0,5
______
g)
√ −____
100
______
√−4
____
___
c) √800 · √50
___
h)
14. Ziehe___die Wurzel so weit
___wie möglich.
a) √52
b) √96
c)
_______
d) √100 · 49
i)
__
27
__
36
d)
√
5
___
______
e) √36 · 64
___
–63
___
–28
___
121
___
169
j)
___
8
___
256
e)
√
√____
12
____
√147
____
√812
√_____
7– 5
____
3
o) √ √272
j)
3
n)
4
√
√
___
160
___
147
√
15. Suche aus dem Text alle genauen Werte
(alle Näherungswerte) heraus. Begründe jeweils.
Kai wurde am 17.05.2005 geboren. Bei seiner
Geburt wog er 3567 g und war 52 cm groß.
Seine Eltern wohnen in der Händelgasse 2.
Von dieser benötigt man zu Fuß 5 Minuten
bis zu einer Straßenbahnhaltestelle der Linie 4.
16. Gib für folgende Näherungswerte das Intervall an, in dem der genaue Wert liegt.
a) V = 15,3 dm3
b) m = 11,25 mg
c) x = 127 mm
d) AO = 550 m2
Wiederholungsaufgaben
1. Entscheide, ob eine proportionale Zuordnung, eine antiproportionale Zuordnung oder
keine von beiden vorliegt.
a) Anzahl der Lkw → Anzahl der Fahrten pro Lkw (Abtransport einer großen Schutthalde)
b) Gewicht eines Briefes → Porto für einen Brief
c) Dauer einer Fernsehsendung → Anzahl der eingeschlafenen Zuschauer
d) Geldbetrag → Anzahl der dafür mindestens benötigten Münzen
2. Im nebenstehenden Kreisdiagramm sind die Anteile
der Lackierungsfarben von 1200 neu zugelassenen
Fahrzeugen dargestellt.
Gib an, wie viele Fahrzeuge weiß und wie viele
Fahrzeuge grau lackiert wurden.
rot
grau
schwarz
weiß
grün
3. Konstruiere ein Dreieck ABC mit b = 4 cm,
c = 5 cm und α = 38°.
F
C
8
A
I
D
5
5
4. Entscheide, ob die
Dreiecke rechtwinklig sind.
Begründe deine
Aussage.
13
E
10
B
G
12
H
48
Reelle Zahlen
Potenzen mit
ganzzahligen
Exponenten
Zusammenfassung
1. Reelle Zahlen und Potenzen
Die Menge der reellen Zahlen ℝ setzt sich
aus der Menge der rationalen Zahlen ℚ
und der Menge der irrationalen Zahlen
zusammen.
Irrationale Zahlen lassen sich nicht durch
einen Bruch oder eine abbrechende oder
periodische Dezimalzahl darstellen.
ℚ
3
_
5
ℤ
_
0,5
ℕ
2
−3
1,22333444455555…
__
a · a · a · … · a = an
(für n >1)
3 · 3 · 3 · 3 = 34;
mit a ≠ 0
1
1
1
___
_
3– 2 = __
2 = 3 · 3 = 9;
0
00 ist nicht definiert
= 1;
( – 0,5 )1 = – 0,5;
a · a · a = a3
1
1
= __
= _________
an a · a · a · … · a
1
= _32
( _23 )– 1 = ___
()
3
_2
3
n Faktoren
Wurzeln und
Potenzen mit
rationalen
Exponenten
__
3
___
(a ∈ ℝ, a ≥ 0; n ∈ ℕ; n ≥ 2)
3
___
√am = ( am ) n = a n (a ∈ ℝ, a > 0; n, m ∈ ℤ; n ≥ 2)
3
___
n
√a ist diejenige nichtnegative Zahl b,
für die bn = a ist.
(a ≥ 0; n ∈ ℕ; n ≥ 2)
√_____
27 = 3, denn
33 = 27.
__
2
√( – 2 ) = √4 = 2, denn 22 = 4
a heißt Radikand; n heißt Wurzelexponent
Es__wird1festgelegt:
__
n
√a = a n
n
Potenzgesetze
01 = 0
Basis
n Faktoren
a
0,101001000100001000001…
4
√5
71 = 7;
( – _73 )
50 = 1;
___
1
__
m
__
Für a, b ∈ ℝ (a, b > 0) und r, s ∈ ℚ gilt:
Potenzen multiplizieren:
ar · as = ar + s
(gleiche Basen)
ar · br = ( a · b )r
(gleiche Exponenten)
Potenzen dividieren:
ar : as = ar – s
(gleiche Basen)
ar : br = ( a : b )r
(gleiche Exponenten)
s
Potenzen potenzieren: ( ar ) = ar · s = ( as )
r
__
1
__
1
__
√27 = 27 3; √5 = 5 2
5
__
√25 = 2 3
32 · 33 = 32 + 3 = 35 = 243
22 · 1,52 = ( 2 · 1,5 )2 = 32 = 9
54 : 53 = 54 – 3 = 51 = 5
0,43 : 0,23 = ( 0,4 : 0,2 )3 = 23 = 8
(4 )
1 6
__
3
1·6
__
= 4 3 = 42 = 16
Gilt r, s ∈ ℤ, so reicht es a ≠ 0 und b ≠ 0 zu
fordern.
Wurzelgesetze
__
√7
√2
−2,36
Für a ∈ ℝ und n ∈ ℕ gilt:
a0 = 1 (a ≠ 0); a1 = a
Exponent
–n
π
__
Als Spezialfall erhält man für
a, b ∈ ℝ (a, b > 0); m, n ∈ ℕ (m, n ≥ 2):
m
__
m
__
m
____
m
__
m
__
m
____
Wurzeln multiplizieren: √a · √b = √a · b
Wurzeln dividieren:
Wurzeln radizieren:
√a : √b = √a : b
___
__
m n
__
√ √a = m · n√a ;
(n ≥ 2)
4
__
4
___
4
_____
4
___
√3 · √27 = √3 · 27 = √81 = 3
___
__
_____
___
√72 : √2 = √72 : 2 = √36 = 6
3
____
___
√√64 =
3·2
___
6
___
√64 = √64 = 2
1
