Verteilungsfunktion, Erwartungswert, Varianz

5.4 Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion gibt an welche Wahrscheinlichkeit sich bis zu einem bestimmten Wert x der Zufallsvarialben X kumuliert
Die Verteilungsfunktion F(x) gibt an, wie groß die die Wahrscheinlichkeit
ist, dass die Zufallsvariable X einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich x
ist:
F(x) = P(X  x).
Bei diskreten Zufallsvariablen erhält man sie durch Aufsummieren von
Wahrscheinlichkeiten, bei stetigen Zufallsvariablen durch Integration.
Abbildung: Form der Verteilungsfunktion bei diskreten und stetigen Zufallsvariablen
Verteilungsfunktion
diskrete Zufallsvariable
stetige Zufallsvariable
"Treppenfunktion"
monoton steigende Funktion
 Diskrete Zufallsvariablen
Es sei X eine diskrete Zufallsvariable. Dann ist ihre Verteilungsfunktion F(x) durch
(5.9)
F( x )  P(X  x )   f ( x j )   p j
x j x
x j x
gegeben. Die Summation erstreckt sich über alle Ausprägungen xj, die kleiner
oder gleich x sind.
Bei einer endlichen Zufallsvariablen X mit m möglichen Realisationen x1, x2, …, xm
lässt sich die Verteilungsfunktion formal in der Form
0
p1

Fx   p1  p 2

1

darstellen.
für
für
für
x  x1
x1  x  x 2
x2  x  x3
für x  x m
Tabellarische Darstellung:
xj
F(xj)
x1
p1
x2
p1 + p2

xm

1
Grafische Darstellung: Treppenfunktion
Erläuterung
Der fette Punkt bei der Sprungstelle gibt an, dass der x-Wert
jeweils den Funktionswert (=
kumulierte Wahrscheinlichkeit)
der oberen Sprunggrenze annimmt. An jeder Sprungstelle
nimmt die Verteilungsfunktion
F(x) um die Wahrscheinlichkeit pj
zu.
Treppenfunktion
Fx 
p1  p2  p3  1
p1  p 2
p1
x1
x2
x3
x
Kumulierte Wahrscheinlichkeiten bei einer diskreten Zufallsvariablen X
Wahrscheinlichkeit für…
höchstens a
Formaler Ausdruck
PX  a   Fa 
weniger als a
PX  a   Fa   P(X  a )
mindestens a
PX  a   1  Fa   P(X  a )
mehr als a
PX  a   1  PX  a   1  Fa 
Beispiel 5.8:
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion im Beispiel des Produktionsprozesses, bei dem
zwei Teile entnommen werden, ist gegeben durch
1  p 2
2p1  p 
f x   
2
p
0
für x  0
für x  1
für x  2
sonst
Für die Verteilungsfunktion ergibt sich daraus wegen (5.9) für ausgewählte x-Werte
z.B.
F(-1)  P(X  -1)  0
F(0)  P(X  0)  P(X  0)  (1 - p) 2
F(0,2)  P(X  0,2)  P(X  0)  (1 - p) 2
F(1)  P(X  1)  P(X  0)  P(X  1)  (1 - p) 2  2p(1 - p)  1 - 2p  p 2  2p - 2p 2  1 - p 2
F(2)  P(X  2)  P(X  0)  P(X  1)  P(X  2)  (1 - p) 2  2p(1 - p)  p 2  1 - p 2  p 2  1
Die Verteilungsfunktion lässt sich damit kompakt schreiben als
0
1  p 2
Fx   PX  x   
2
1  p
1
für x  0
für 0  x  1
für 1  x  2
für x  2
Sie hat Sprungstellen in den Punkten x=0, x=1 und x=2. Die Höhe der Sprünge
addiert sich insgesamt zu 1.
♦
 Stetige Zufallsvariablen
Die Verteilungsfunktion F(x) entspricht bei einer stetigen Zufallsvariablen X
der Fläche unterhalb der Dichtefunktion f(u), die sich bis zum Wert x kumuliert
hat. Man erhält sie durch Integration:
x
(5.10)
Fx    f u  du .

Die Größe u wird hierbei als Integrationsvariable verwendet.
Mit der Verteilungsfunktion F(x) lassen sich ebenso wie mit der Dichtefunktion
f(x) Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Bei stetigen Zufallsvariablen ist dabei unerheblich, ob die Intervallgrenze zum Intervall gezählt wird oder nicht, weil Punktwahrscheinlichkeiten gleich null sind.
Kumulierte Wahrscheinlichkeiten bei einer stetigen Zufallsvariablen X
Wahrscheinlichkeit für…
Formaler Ausdruck
höchstens a
PX  a   Fa 
weniger als a
PX  a   Fa 
mindestens a
PX  a   1  PX  a   1  Fa 
mehr als a
PX  a   1  PX  a   1  Fa 
Wahrscheinlichkeiten für geschlossene und offene Intervalle bei einer
stetigen Zufallsvariablen X
(5.11)
Pa  X  b  Pa  X  b  Pa  X  b  Pa  X  b  Fb  Fa 
Abbildung: Intervallwahrscheinlichkeiten
f x 
f x 
PX  b
x
b
f x 
F(a)
F(b)
Pa  X  b 
a
b
x
Fb 
PX  b 
 1  Fb 
x
Beispiel 5.9:
Wir betrachten die in Beispiel 5.7 verwendete Dichtefunktion
für x  0
0

f x   1 2 x für 0  x  2
0
für x  2
.
a) Welche Verteilungsfunktion hat die Zufallsvarialbe X?
1. Schritt: Bildung des Integrals im Intervall 0x2
x
x
x
1
1 2
1 2 1 2 1 2


f
u
du

u
du

u

x  0  x


2
4
4
4
4

0
0
2. Schritt: Ausweisen der Verteilungsfunkton

für x  0
0
 1 2
Fx    x für 0  x  2
4
1
für x  2

Grafische Darstelllung der Dichte- und Verteilungsfunktion:
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
f(x)
-1
F(x)
1
1
1/2
1/2
0
1
2
x
-1
0
1
2
x
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X Werte annimmt,
die kleiner oder gleich 1,6 sind?
● Berechnung mit Hilfe der Dichtefunktion f(x)
f(x)
1,6
1,6 1
PX  1,6   f x  dx  

0
2
x dx
1
1,6
1
1
1
 x 2   1,6 2   0 2
4 0
4
4
0,64
1/2
 0,64
-1
0
2
1
x
● Berechnung mit Hilfe der Verteilungsfunktion F(x)
F(x)
1
PX  1,6  F1,6   1,62
4
1
  2,56  0,64
4
1
F(1,6) =0,64
1/2
-1
0
1
2
x
Der Punkt x=1,6 heißt 0,64-Quantil der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
c) Welchen Wert nimmt die Wahrscheinlichkeit für 0,6< X<1,2 an?
● Berechnung mit Hilfe der Dichtefunktion f(x)
1,2
1,2 1
P0,6  X  1,2    f x  dx  
0,6 2
0,6
f(x)
x dx
1
1,2
1
 x2
4 0,6
1
1
  1,22   0,62
4
4
 0,270
0,27
1/2
-1
0
x
2
1
● Berechnung mit Hilfe der Verteilungsfunktion F(x)
F(x)
P0,6  X  1,2   F1,2   F0,6 
1
1
 1,22   0,62
4
4
 0,36  0,09
 0,270
1
F(1,2) =0,36
0,36-0,09=0,27
F(0,6) =0,09
-1
0
1
2
x
d) Schließlich fragen wir noch nach der Wahrscheinlichkeit, dass X größer als 1,3 ist.
● Berechnung mit Hilfe der Dichtefunktion f(x)
f(x)

2
1
x dx
1,3 2
PX  1,3   f x  dx  
1,3
1
0,577
2
1
1
1
 x 2   2 2   1,32
4 1,3 4
4
1/2
 0,577
-1
0
1
x
2
● Berechnung mit Hilfe der Verteilungsfunktion F(x)
F(x)
PX  1,3  1  F1,3
1
 1  1,32  1  0,423
4
 0,577
1
1-0,423
=0,577
F(1,3) =0,423
-1
0
1
2
x
♦
5.5 Erwartungswert und Varianz
Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen sind Maßzahlen (Kenngrößen), mit denen die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen genauer
beschrieben werden kann.
Übersicht: Wichtige Maßzahlen einer Zufallsvariablen
Maßzahlen einer Zufallsvariablen
Erwartungswert
Durchschnittswert aus einer Vielzahl von Zufallsexperimenten
Varianz
Durchschnittliche quadratische
Abweichung vom Erwartungswert
● Erwartungswert einer Zufallsvariablen
Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X gibt an, welchen Wert sie
bei einer unbegrenzten Wiederholung im Durchschnitt annehmen wird.
Praktisch lässt er sich als Durchschnittswert bei einer großen Anzahl von
Wiederholungen des Zufallsvorgangs interpretieren.
Der Erwartungswert von X, E(X), wird auch als arithmetisches Mittel der
Grundgesamtheit, , bezeichnet.
Erwartungswert bei diskreten Zufallsvariablen:
(5.12)
m
m
j1
j1
 
  EX    x j  p j   x j  f x j
(bei m möglichen Realisationen)
Erwartungswert bei stetigen Zufallsvariablen:

(5.13)
  EX    x  f x   dx

Beispiel 5.10:
Bei einem Würfelwurf gewinnt man das Fünffache der gewürfelten ungeraden Augenzahl und verliert das Vierfache der geraden Augenzahl. Die Gewinn- und Verlustbeträge werden in Euro gemessen.
Von welchem Erwartungswert des Gewinns können Sie ausgehen, wenn Sie an
diesem Glücksspiel teilnehmen?
Mit Hilfe der Angaben in der Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsvariable X
1
6
1

6
1
6
1
f x   
6
1
6
1
6

0

für x  24
für x  16
für x  8
für x  5
für x  15
für x  25
sonst
lässt sich der Erwartungswert unter Verwendung von (5.12) bestimmen:
6
  EX    x j  p j
j1
1
1
1
1
1
1
  24     16     8   5   15   25 
6
6
6
6
6
6
3
1
  .
6
2
Sie müssen also im Schnitt mit einem Verlust pro Spiel von ½ Euro rechnen. 
Beispiel 5.11:
Wir betrachten die bereits bekannte Dichtefunktion
für x  0
0

f x   1 2 x für 0  x  2
0
für x  2
Wie groß ist sein Erwartungswert der Zufallsvariablen X?
Da die Zufallsvariable X stetig ist, ziehen wir zur Berechnung des Erwartungswerts die Formel (5.13) heran. Wir integrieren hier über das Intervall zwischen 0
und 2, da die Dichte nur in diesem Bereich ungleich 0 ist:

2
2

0
0
  EX    x  f x   dx   x  1 x  dx   1  x 2  dx
2
2
1 32 8
4
 x  0  .
6
3
0 6
♦
● Varianz und Standardabweichung einer Zufallsvariablen
Varianz und Standardabweichung einer Zufallsvariablen X sind Streuungsmaße, die angeben, wie stark ihre Realisationen um den Erwartungswert
streuen.
Die Varianz V(X) gibt die durchschnittliche quadrierte Abweichung wieder.
Sie wird auch durch das Symbol ² gekennzeichnet.
Varianz bei diskreten Zufallsvariablen (bei m möglichen Realisationen):
(5.14)
  V(X)  EX  
2
2
m

  xj 
j1

2
m

  
 pj   xj   2 f xj
j1
Varianz bei stetigen Zufallsvariablen:
(5.15)
  V(X)  EX  
2
2

  x   2  f x   dx

Die Standardabweichung  gibt als Wurzel aus der Varianz an, wie stark die
Werte der Zufallsvariablen X durchschnittlich von ihrem Erwartungswert E(X)
abweichen.
Standardabweichung:
(5.16)
  V( X)  2
Beispiel 5.12:
Wie groß sind Varianz und Standardabweichung beim einmaligen Werfen mit
einem fairen Würfel? Mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
1 / 6 für x  1,2,...,6
f ( x )  
0 sonst

ergibt sich der Erwartungswert
6
1
1
1
1
1
1
  EX    x j  p j  1   2   3   4   5   6 
6
6
6
6
6
6
j1
1
1
  1  2  3  4  5  6   21  3,5 .
6
6
Für die Varianz erhält man mit (5.14)
2
6


   xj  2 pj
j1
1
1
1
1
 1  3,52   2  3,52   3  3,52   4  3,52 
6
6
6
6
1
1
 5  3,52   6  3,52 
6
6
1
1
  6,25  2,25  0,25  0,25  2,25  6,25  17,5  2,917.
6
6
Die Würfelwürfe weichen damit durchschnittlich um
  2 
17,5
 1,708
6
vom arithmetischen Mittel von 3,5 ab.

Beispiel 5.13:
Für die Dichtefunktion,
für x  0
0

f x   1 2 x für 0  x  2
0
für x  2
hatten wir bereits den Erwartungswert von 4/3 in Beispiel 5.11 bestimmt. Damit
lassen sich Varianz

2
4 2 1

2
2
   x     f x   dx    x     x  dx
3 2

0
2 x 3 4
16  1
 2 8
2 8 

   x   x     x  dx  
  x   x  dx

3
9 2
9 
0
0 2 3
2
2
x4 4 3 4 2
32 16 2

 x  x
 2     0,222
8 9
9
9 9 9
0
und Standardabweichung

2
 0,471
9
berechnen. Die Werte, die die Zufallsvariable X annehmen kann, weichen also im
Mittel um 0,471 vom Erwartungswert ab.

● Eigenschaften von Erwartungswert und Varianz
Es werden nun die allgemeinen Eigenschaften von Erwartungswert und
Varianz einer Zufallsvariablen diskutiert.
Übersicht: Diskutierte Eigenschaften
Diskutierte Eigenschaften
Varianzverschiebungssatz
Lineartransformation
Standardisierung
●
Varianzverschiebungssatz
Zur Varianzermittlung gibt es eine vereinfachte Berechnungsformel, den Varianzverschiebungssatz. Hier werden nur der Erwartungswert von der quadrierten Zufallsvariablen sowie der einfache Erwartungswert benötigt:
(5.17)
 
2  E X 2  EX  2
diskreter Fall
 
(5.18) E X
2
m
stetiger Fall
 
m 2
2
  xj pj   xj f xj
j1
j1
 

(5.19) E X   x 2  f x   dx
2

Beweis von (5.17):
Nach (5.14) und (5.15) ist die Varianz von X durch
2 = E{[X – E(X)]2}
gegeben. Die Formel lässt sich durch einfache algebraische Umformung zeigen:


 EX 2  2  X  EX   EX  2 
2  E X  EX 2  EX  EX   X  EX 
 E(X 2 )  2  EX   EX   EX  2
 E(X 2 )  2  EX  2  EX  2  E(X 2 )  EX  2 .
⃞
Beispiel 5.14:
Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion beim einmaligen Würfelwurf ermitteln wir zunächst den Erwartungswert von X2:
   x 2j  p j
EX
2
6
j1
1
1
1
1
1
1
 12   22   32   42   52   62 
6
6
6
6
6
6
1
91
  1  4  9  16  25  36    15,167 .
6
6
Mit dem Varianzverschiebungssatz (5.17) erhält man das mit der originären Varianzformel (5.14) berechnete Ergebnis:
 
2  E X2  EX  2  15,167  3,52  15,167  12,25  2,917.
♦
Beispiel 5.15:
Bei der Dichtefunktion
für x  0
0

f x   1 2 x für 0  x  2
0
für x  2
nimmt der Erwartungswert von X2 den Wert
 
EX
2
2
2
1 4
2
3
1
1
  x  f x   dx   x  x  dx    x  dx   x
2
2
8
0
0
0
0
2

2
2
16
0 2
8
an. Unter Verwendung des bereits ermittelten Erwartungswerts von X, 4/3, erhält
man denselben Wert für die Varianz der Zufallsvariablen X:
 
  E X  EX
2
2
 2
2
 4  18 16 2
 2        0,222.
9 9 9
3
♦
●
Lineartransformation
In verschiedenen Anwendungen wird von einer Lineartransformation Gebrauch
gemacht, indem X um einen konstanten Betrag a und einen multiplikativen Faktor
b verändert wird::
(5.20)
Y  a  bX
Man erhält den neuen Erwartungswert E(Y), indem man die Lineartransformation
(5.20) in gleicher Form auf den ursprünglichen Erwartungswert E(X) anwendet:
(5.21)
EY   Ea  b  X   a  b  EX 
Beweis von (5.21):
Wir beschränken uns hier darauf, (5.21) für den Fall einer stetigen Zufallsvariablen
zu beweisen. Es gilt






E(Y)   a  b  x   f x  dx   a  f x  dx   b  x  f x  dx




 a   f x  dx  b   x  f x  dx.
Wegen




 f x  dx  1 und  x  f x  dx  EX 
folgt
EY   a  b  EX .
⃞
Wie sich gezeigt hat, lässt sich der neue Erwartungswert durch eine lineare
Transformation,
E(Y) = E(a+b·X) = a + b·E(X),
aus dem ursprünglichen Erwartungswert E(X) erhalten. Aufgrund der in dieser
Gleichung wiedergegebenen Transformationseigenschaften bezeichnet man
den Erwartungswert auch als linearen Operator.
Folgerung:
Speziell folgt aus (5.21), dass der Erwartungswert einer Konstanten gleich der
Konstanten ist:
(5.22)
E(a) = a
Beispiel 5.16:
In Bespiel 5.10 hatten wir die Zufallsvariable Gewinn (in €) bei einem Würfelwurf betrachtet. Der Spieler gewinnt man das Fünffache der gewürfelten ungeraden Augenzahl und verliert das Vierfache der geraden Augenzahl. Die Gewinn- und Verlustbeträge werden in Euro gemessen.
Angenommen, der Glücksspieler möchte seinen Gewinn, der in Euro ausgezahlt
wird, in Dollar [$] umtauschen. Für einen Euro erhält er 1,30 Dollar. Zusätzlich fallen
Umtauschgebühren unabhängig von der Höhe des Gewinns von 2 Dollar an. Alle
Gewinne werden also um 2 Dollar vermindert. Wie hoch ist der erwartete Gewinn in
Dollar?
Die Formel für die Lineartransformation lautet:
$
Yin $  2 $  1,30  Xin € .
€
Wir berechnen den erwarteten Dollar-Gewinn durch
a) Anwendung der Lineartransformation (5.20) auf die in Euro ausgezahlten Einzelgewinne,
b) Anwendung der Lineartransformation (5.21) auf den Erwartungswert des Gewinns in Euro.
Ad a) Berechnung des Erwartungswerts (in $) aus den Einzelgewinnen
Gewinne in Dollar:
y1 = -2 + 1,30·(-x1=24) = -33,20;
y3 = -2 + 1,30·(x3=-8) = -12,40;
y5 = -2 + 1,30·(x5=15) = 17,50;
y2 = -2 + 1,30·(x2=-16) = -22,80;
y4 = -2 + 1,30·(x4=5) = 4,50;
y6 = -2 + 1,30·(x6=25) = 30,5;
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Gewinne (in $):
1
6
1

6
1
6
1
f y   
6
1
6
1
6

0

für y  33,20
für y  22,80
für y  12,40
für y  4,50
für y  17,50
für y  30,50
sonst
Erwarteter Dollar-Gewinn:
6
EY    y j  p j
j1
1
1
  33,20     22,80  
6
6
1
1
  12,40    4,50 
6
6
1
1
 17,50   30,50 
6
6
 2,65 $ .
Ad b) Berechnung des Erwartungswerts (in $) aus dem erwartetem Euro-Gewinn
Erwartungswert in Euro (aus Beispiel 5.10):
1
EX    € 
2
Erwartungswert in Dollar (mit Lineartransformation 5.21):
EY   a  b  EX 
 2  1,30   0,5
 2,65 $
♦
Im Falle einer linearen Transformation der Zufallsvariablen X werden bei der
Varianzbildung multiplikative Konstanten quadriert. Die Varianz ändert sich dagegen
nicht, wenn zu der Zufallsvariablen eine Konstante addiert wird. Daraus folgt, dass
die Varianz einer Konstanten stets gleich 0 ist.
Man erhält damit die neue Varianz V(Y) aus der ursprünglichen Varianz V(X) aus
(5.23)
V(Y)  V a  bX   b2  V(X).
Beweis von (5.23):
Die Varianz ist definiert als quadrierte Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem
Erwartungswert:
V(Y)  EY  EY  2  Ea  b  X   Ea  b  X  2
 Ea  b  X  Ea  b  X  2 .
Mit (5.21),
EY   E(a  b  X)  a  b  EX ,
erhält man
V(Y)  Ea  b  X  a  b  EX  2  Eb  X  b  EX  2
und daraus schließlich
V(Y)  Eb  X  EX  2  b2  EX  EX  2  b2  V(X).
♦
Beispiel 5.17:
Wie hoch ist die Varianz des Spielergewinns in Dollar? Wir berechnen die Lösung
wiederum auf zwei Wegen: Durch
a) Anwendung der Lineartransformation (5.20) auf die in Euro ausgezahlten Einzelgewinne,
b) Anwendung der Transformation (5.23) auf die Varianz des Gewinns in Euro.
Ad a) Berechnung der Varianz (in $) aus den Einzelgewinnen
Unter Verwendung der in Beispiel 5.16 ermittelten Wahrscheinlichkeitsfunktion f(y)
der Gewinne in Dollar,
1
 6 für y  33,20
1
 für y  22,80
6
 1 für y  12,40
6
1
f  y    für y  4,50 ,
6
 1 für y  17,50
6
1
 6 für y  30,50

0 sonst

und dem dort berechneten Erwartungswert der Gewinne in Dollar,
EY   2,65 $ ,
erhält man die Varianz der Gewinne in Dollar
6

V(Y)   y j  E(Y)
j1

2
6


 p j   y j  (2,65) 2  p j
j1
  33,2   2,65 2 1 6   22,8   2,65 2 1 6
  12,4   2,65 2 1 6  4,5   2,65 2 1 6
 17,5   2,65 2 1 6  30,5   2,65 2 1 6
 155,550  67,670  15,844  8,520  67,670  183,154
 
 498,408 $2 .
Ad b) Berechnung der Varianz in Dollar aus der Varianz in Euro
In Anwendungen ist die alte Varianz in der Regel bekannt. In unserem Fall ist sie
unter Verwendung der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) der Gewinne in Euro,
1
 6 für x  24
1
 für x  16
6
 1 für x  8
6
1
f x    für x  5
,
6

 1 für x  15
6
1
 6 für x  25

0 sonst

und dem Erwartungswert der Gewinne in Euro,
EX   0,5 € ,
zu erst noch berechnen:




6
6
V(X)   x j  E(X) 2  p j   x j  (0,5) 2  p j
j1
j1
  24   0,5 2 1 6   16   0,5 2 1 6
  8   0,5 2 1 6  5   0,5 2 1 6
 15   0,5 2 1 6  25   0,5 2 1 6
 92,042  40,042  9,375  5,042  40,042  108,375
 294,917.
Mit Hilfe der Transformationsformel (5.23) erhalten wir für die Varianz der Gewinne
in dollar den Wert
VY   b 2  VX 
 1,32  294,917
 
 498,410 $2 ,
der bis auf eine Rundungsungenauigkeit mit dem in Teil a) errechneten Wert übereinstimmt.
♦