6 Komplexe Zahlen

6
Komplexe Zahlen
Natürliche Zahlen
N = {0,1,2,...}
Ganze Zahlen
G = {...,-2,-1,0,1,2,...}
Reelle Zahlen
R = (-∞,+∞)
Komplexe Zahlen
C
N⊂G⊂R⊂C
6.1 Definition und Darstellungsformen der komplexen Zahlen
Def.: Die formale Summe aus einer reellen Zahl a und einer
imaginären Zahl bj heißt
komplexe Zahl
z = a + bj
a - Realteil
b - Imaginärteil
mit a,b ∈ R
a = Re (z)
b = Im (z)
Unter der imaginären Einheit j versteht man diejenige Zahl, deren
Quadrat den Wert -1 besitzt
j 2 = −1
Die zu
z = a + bj
konjugiert komplexe Zahl ist
z = a − bj
Damit ist ersichtlich, daß jede komplexe Zahl z durch ein reelles
Zahlenpaar (a,b) festgelegt wird.
Zur geometrischen Interpretation der komplexen Zahlen benötigt man
eine sogenannte komplexe Zahlenebene (GAUSSsche Zahlenebene).
1. Methode
2. Methode
6.2 Darstellungsformen einer komplexen Zahl
6.2.1 Arithmetische Form
z = a + bj
6.2.2 Goniometrische Form
z = r( cos ϕ + j sin ϕ )
z = r cos ϕ + j ⋅ r sin ϕ
r = a 2 + b2
tanϕ =
b
a
r≥0
Betrag der komplexen Zahlen
ϕ
Phasenwinkel
0 ≤ ϕ < 2π ; 0° ≤ ϕ < 360°
a = r cosϕ ; b = r sinϕ
6.2.3 Exponentialform
z = r ⋅ e jϕ
dabei ist:
e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ
e jϕ = e j (ϕ +2 kπ )
EULERsche Gleichung
6.3 Rechenregeln der komplexen Zahlen
6.3.1 Die vier Grundrechenarten mit komplexen Zahlen
A
Arithmetische Form
Für komplexe Zahlen in arithmetischer Form gelten die selben
Rechenregeln wie für reelle Binome, wobei nur die Beziehung
j2 = -1 zu beachten ist.
Beispiel:
z1 = 2 − 5 j ,
z2 = 4 + 3 j
Addition:
z1 + z2 = 2 − 5 j + 4 + 3 j = 6 − 2 j
Subtraktion:
z1 − z2 = 2 − 5 j − 4 − 3 j = −2 − 8 j
Multiplikation:
z1 ⋅ z2 = (2 − 5 j) ⋅ (4 + 3 j) = 8 + 6 j − 20 j − 15 j 2
z1 ⋅ z2 = 8 + 15 − 14 j = 23 − 14 j
Division:
Zuerst:
Erweitern des Bruches mit der konjugiert
komplexen Zahl des Nenners
(a + bj) ⋅ (a − bj) = a 2 − j 2b 2 = a 2 − (−1) ⋅ b 2 = a 2 + b 2
(a + bj) ⋅ (a − bj) = a 2 + b 2
Beispiel:
z1 2 − 5 j (2 − 5 j) ⋅ (4 − 3 j) 8 − 26 j − 15 −7 − 26 j
=
=
=
=
z2 4 + 3 j (4 + 3 j) ⋅ (4 − 3 j)
16 + 9
25
z1
= −0,28 − 1,04 j
z2
B.
Exponentialform
Addition und Subtraktion sind nicht ausführbar:
d.h. zuerst in die arithmetische Form überführen
Multiplikation:
z1 = r1 ⋅ e jϕ1
z2 = r2 ⋅ e jϕ2
z1 ⋅ z2 = r1 ⋅ e jϕ1 ⋅ r2 ⋅ e jϕ2 = r1 ⋅ r2 ⋅ e j(ϕ1 + ϕ2 )
Division:
z1 r1 ⋅ e jϕ1 r1 j(ϕ1 − ϕ2 )
=
= ⋅e
z2 r2 ⋅ e jϕ2 r2
C.
Goniometrische Form
Auch hier sind Addition und Subtraktion nicht ausführbar
z1 = r1 ⋅ (cosϕ1 + j sin ϕ1 )
z2 = r2 ⋅ (cosϕ 2 + j sin ϕ 2 )
Multiplikation:
z1 ⋅ z2 = r1 ⋅ (cosϕ1 + j sin ϕ1) ⋅ r2 ⋅ (cosϕ 2 + j sin ϕ 2 ) =
= r1 ⋅ r2 ⋅ (cosϕ1 ⋅ cosϕ 2 + j cosϕ1 ⋅ sin ϕ 2 +
+ j sin ϕ1 ⋅ cosϕ 2 + j 2 sin ϕ1 ⋅ sin ϕ 2 )
= r1 ⋅ r2 ⋅ (cosϕ1 ⋅ cosϕ 2 − sin ϕ1 ⋅ sin ϕ 2 +
+ j(sin ϕ1 ⋅ cosϕ2 + cosϕ1 ⋅ sin ϕ 2 ))
z1 ⋅ z2 = r1 ⋅ r2 ⋅ ( cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + j( sin( ϕ1 + ϕ 2 ) ) )
Division:
z1 r1 ⋅ (cosϕ1 + j sin ϕ1)
=
=
z2 r2 ⋅ (cosϕ 2 + j sin ϕ 2 )
=
r1 ⋅ (cosϕ1 + j sin ϕ1) ⋅ (cosϕ2 − j sin ϕ 2 )
=
r2 ⋅ (cosϕ 2 + j sin ϕ 2 ) ⋅ (cosϕ 2 − j sin ϕ2 )
=
r1 ⋅ (cosϕ1 ⋅ cos ϕ 2 − j cos ϕ1 ⋅ sin ϕ 2 +
r2 ⋅ (cos2 ϕ 2 + sin2 ϕ 2 )
+ j sin ϕ1 ⋅ cosϕ 2 − j 2 sin ϕ1 sin ϕ 2 )
=
1
=
r1
⋅ (cosϕ1 ⋅ cos ϕ 2 + sin ϕ1 ⋅ sin ϕ 2 +
r2
+ j(sin ϕ1 ⋅ cosϕ 2 − cosϕ1 ⋅ sin ϕ 2 ))
z1 r1
= ⋅ ( cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + j sin(ϕ1 − ϕ 2 ))
z2 r2
Beispiel:
z1 = 4 ⋅ e
j
5⋅π
3
z2 = 2 ⋅ e
j
π
6
z1 + z2 = 2 + 3 + j(1 − 2 3)
z1 − z2 = 2 − 3 − j(1 + 2 3)
11
z1 ⋅ z2 = 8 ⋅ e j ⋅ 6 π
3
z1
= 2 ⋅ e j⋅2 π
z2
Beispiel:
z1 = 1 + 3 j
7
z2 = 3 ⋅ e j 6 π
3
 3  
z1 + z2 = 1 −
3 +  3 −  j
2
2
3
 3  
z1 − z2 = 1 +
3 +  3 +  j
2
2
3
z1 ⋅ z2 = 6e j 2 π
z1 2 j 76 π
= e
z2 3
Beispiel:
Konjugiert komplexe Zahlen
z = a + bj
z + z = 2a
z − z = 2bj
z ⋅ z = a 2 + b2
z a 2 − b2
2ab
= 2
j
+
a 2 + b2
z a + b2
z a 2 − b2
2ab
= 2
−
j
z a + b2
a 2 + b2
6.4 Potenzieren
Einführung:
Berechnet man die ersten Potenzen von j
j 2 = −1 Def.
j1 =
j2 =
j3 =
j4 =
j5 =
j6 =
j7 =
j8 =
j9 =
Binomische Formel für ( a + b) n
 n  n− k k
(a + b) = ∑ a ⋅ b
k =0  k 
n
n
A.
Arithmetische Form
Binomische Formel für komplexe Zahlen
n
(a + bj ) = ∑ a n− k ⋅ b k ⋅ j k
k =0  k 
n
n
wobei die Potenzen von j durch die entsprechenden Werte
j , -1 , -j , +1
zu ersetzen sind.
Beispiel:
a)
(2 + 3 j) 4 = −119 − 120 j
b)
(1 − 3 j)5 = 16 + 16 3 j
B.
Goniometrische und Exponentialform
z n = ( r ⋅ e jϕ ) = r n ⋅ e jnϕ
n
z n = [r ⋅ (cos ϕ + j sin ϕ )]n
z n = r n ⋅ ( cos(nϕ ) + j sin(nϕ ))
Lehrsatz von
MOIVRE
Er gilt für beliebige reelle Exponenten.
Beispiel:
[ 3(cos 20°+ j sin 20° )] 4
= 34 (cos(4 ⋅ 20° ) + j sin(4 ⋅ 20° )
= 81 ⋅ (cos80°+ j sin 80° )
Beispiel:
 2 j 54 π 
3 e 
3
8 j ⋅154π − 4π 
 2   j 54 π ⋅ 3 8 j 154π
=  ⋅e
= e
= e
3
27
27
3
8 − j π4
= e
27
Beispiel:
(1 −
3 j) ist mit Hilfe des MOIVREschen Lehrsatzes zu berechnen
(1 −
3 j)
5
5
muß zuerst in goniometrische oder Exponentialform
umgewandelt werden
6.5 Radizieren von komplexen Zahlen
Wurzelziehen
Das Radizieren von komplexen Zahlen ist nur möglich, wenn diese in
goniometrischer bzw. Exponentialform gegeben sind. Es wird der
Lehrsatz von MOIVRE angewendet.
z n = r ⋅ e jϕ
z = [r ⋅ e
1
n
z = r ⋅e
1
jϕ n
]
 ϕ 2 kπ 

j +
n n 
oder
z n = r (cos ϕ + j sin ϕ )
z = [ r (cos ϕ + j sin ϕ )]
1
n
  ϕ 2 kπ 
 ϕ 2 kπ
 + j sin +
z = r  cos +
n
 n
n 
n
1
n



Beispiel:
z 3 = −2 + 2 j
Berechne z
z = 3 −2 + 2 j
Zuerst muß -2 + 2j in goniometrische Form umgewandelt werden.
Beispiel:
Wie lauten die Lösungen der Gleichung
z 6 + 64 = 0
z = 6 −64
Man kann den MOIVREschen Lehrsatz anwenden. Dafür wird die
rechte Seite der Gleichung in die Exponentialform umgewandelt.
6.6 Logarithmieren von komplexen Zahlen
Beim Logarithmieren von komplexen Zahlen geht man von der
Exponentialform
z = r ⋅ e jϕ
aus.
ln z = ln( r ⋅ e jϕ )
ln z = ln r + ln e jϕ
ln z = ln r + jϕ
Hauptwert von ln z
Da ϕ periodisch mit der Periode 2π ist,
e jϕ = e j (ϕ +2π )
ist der Logarithmus einer komplexen Zahl nicht eindeutig bestimmt.
Er besitzt unendlich viele Werte.
ln z = ln r + j (ϕ + 2 kπ ) k = ± 0,1,2,...
Es reicht in der Regel der Hauptwert.
Beispiel:
z = 4(cos 30°+ j sin 30° )
z = 2 − 3j
Bilde den Logarithmus der komplexen Zahl z.
ln z = 128247
,
+ 5,30039 j