Semiklassische Quantisierung chaotischer Systeme I

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Semiklassische Beschreibung chaotischer Systeme
Von der Pfadintegraldarstellung bis zur Greenschen Funktion
David Hartich
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10.05.2011
David Hartich (Uni Stuttgart)
Pfadintegralformalismus
10.05.2011
1 / 27
Einführung
Zustandsdichte
Zustandsdichte (Darstellung durch Deltafunktion)
g(E ) =
X
X
1
1
lim Im
π →0
E − En + ı̇
n
δ(E − En ) = −
n
mit (Eigenenergien durch Operatoren und Eigenzustände ersetzen)
X
n
X
1
1
1
n = Tr
n
=
E − En + ı̇
E − Ĥ + ı̇
E − Ĥ + ı̇
n
Ergebnis für Zustandsdichte
1
1
g(E ) = − Im Tr
π
E − Ĥ
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Pfadintegralformalismus
10.05.2011
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Einführung
Greensche Funktion
Schrödingerpropagator K (qA , qB , t):
Z
ψ(qB , t) =
dqA qB exp − ~ı̇ Ĥt qA ψ(qA , 0)
|
{z
≡K (qA ,qB ,t)
}
Greensche Funktion ( → 0)
ı̇ ∞
G(qA , qB , E ) = −
dt K (qA , qB , t) exp ~ı̇ (E + ı̇)t
~ 0
Z
ı̇ ∞ dt qB exp ~ı̇ (E − Ĥ)t − ~ t qA
=−
~ 0
1
qA
= qB E − Ĥ + ı̇
Z
Zustandsdichte aus Greenscher Funktion
Z
h
i
1
1
g(E ) = − Im
dq G(q, q, E ) = − Im Tr Ĝ
π
π
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Pfadintegralformalismus
10.05.2011
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Einführung
Greensche Funktion
Das waren nun die mehr oder weniger bekannten Darstellung aus der
Quantenmechanik.
Nun folgt eine semiklassische Darstellung des Propagators und der
Greenschen Funktion. Auf dem Weg dorhin sind einige Näherungen
hilfreich, die im folgenden dargestellt werden.
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Pfadintegralformalismus
10.05.2011
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Einführung
Greensche Funktion
Inhalt
1
Einführung
Zustandsdichte
Greensche Funktion
2
Feynmansches Pfadintegral
Schrödingerpropagator für kleine Zeiten
Propagator mit vielen Schritten
3
Semiklassische Greensche Funktion
Stationäre Phasennäherung
Resonatorexperiment
4
Zusammenfassung
David Hartich (Uni Stuttgart)
Pfadintegralformalismus
10.05.2011
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Feynmansches Pfadintegral
Inhalt
1
Einführung
Zustandsdichte
Greensche Funktion
2
Feynmansches Pfadintegral
Schrödingerpropagator für kleine Zeiten
Propagator mit vielen Schritten
3
Semiklassische Greensche Funktion
Stationäre Phasennäherung
Resonatorexperiment
4
Zusammenfassung
David Hartich (Uni Stuttgart)
Pfadintegralformalismus
10.05.2011
6 / 27
Feynmansches Pfadintegral
Schrödingerpropagator für kleine Zeiten
Zeitentwicklungsoperator für t = τ N
U(t) = U(τ N) = U(τ )N
R
Propagator ( n−1-mal Identität
Z
K (qA , qB , t) =
q1
dqi qi qi einfügen)
dq1 · · · dqN−1 qB U(τ )qN−1 · · · q1 U(τ )qA
q2
q3
q4
···
qN−1
qB
qA
0
1
2
3
4
···
N −1 N
t/τ
(Grafische Darstellung des Integrals )
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Feynmansches Pfadintegral
Schrödingerpropagator für kleine Zeiten
Zeitentwicklungsoperator (genähert für kleine Zeiten bis auf O(τ 2 ) genau)
"
ı̇τ
U(τ ) = exp −
~
p̂ 2
+ V (q̂)
2m
ı̇τ p̂ 2
≈ exp −
~ 2m
!
!#
ı̇τ
≈ 11 −
~
!
p̂ 2
+ V (q̂)
2m
ı̇τ
exp − V (q̂)
~
Propagator K (qA , qB , τ ) (d ist die Anzahl der Raumdimensionen und den
letzten Rechenschritt erhält man durch einfügen einer “Impuls”-Eins, was dann er
Auswertung eines Gauß-Integrals entspricht)
!
2
ı̇τ
p̂
ı̇τ
qB U(τ ) qA = qB exp −
qA exp − V (qA )
~ 2m
=
m
2πı̇~τ
(
d/2
exp
~
ı̇
m qA − qB
τ
~
2
τ
|
2
)
− V (qA )
{z R
τ
=R(qA ,qB ,τ )=
0
dτ 0 L
}
←→ Verbindung zur Klassischen Physik
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Feynmansches Pfadintegral
Schrödingerpropagator für kleine Zeiten
Aus der Wirkung für kleine Zeiten τ
2
m
qA − qB + τ V q2A + q2B
2τ
d
∂ 2 R (τ ) ∂ 2 RAB (τ )
m
m
AB
≈ − δij bzw.
= DAB =
−
∂qA i ∂qB j
τ
∂qA i ∂qB j
τ
RAB (τ ) = R(qA , qB , τ ) =
⇒
Propagator für kleine Zeiten
qB U(τ )qA =
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1
2πı̇~
d/2
DAB 1/2 exp ı̇ RAB
Pfadintegralformalismus
~
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Feynmansches Pfadintegral
Propagator mit vielen Schritten
Mit τ = t/N und q0 = qA , qN = qB
K (qA , qB , t) =
lim
N→∞
1
2πı̇~
Nd Z
2


N−1
1/2
N−1
Y
X
ı̇
dq1 · · · dqN−1 Di,i+1 Rj,j+1 
exp 
~
i=1
j=0
Symbolische Schreibweise
Z
K (qA , qB , t) =
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q(0)=qA
q(t)=qB
d q(t) exp
ı̇
~
Pfadintegralformalismus
Z t
dt L q(t), q̇(t)
0
10.05.2011
10 / 27
Feynmansches Pfadintegral
Propagator mit vielen Schritten
Einschub: Klassische Mechanik
Legendretransformation der Wirkung
Z qB
S(qA , qB , E ) =
qA
p dq = R(qA , qB , t) − Et
Für klassische Bahnen
∂R
= pB ,
∂qB
∂S
= pB ,
∂qB
∂R
= −pA ,
∂qA
∂R
= −pA ,
∂qA
∂R
= −E ,
∂t
∂S
=t
∂E
(Bekannte Gleichungen aus der Klassischen Mechanik)
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Pfadintegralformalismus
10.05.2011
11 / 27
Feynmansches Pfadintegral
Propagator mit vielen Schritten
Zwei Schritte und stationäre Phasenbedingung
K (qA , qB , 2τ ) =
1
2πı̇~
d Z
1/2
dqC DAC DCB exp
n ı̇
~
o
RAC (τ ) + RCB (τ )
Phase
φ = RAC (τ ) + RCB (τ )
∂φ
∂RAC ∂RCB !
=
+
=0
∂qC
∂qC
∂qC
∂2φ
∂ 2 RAC ∂ 2 RCB
=
+
∂qc2
∂qC2
∂qC2
David Hartich (Uni Stuttgart)
⇒
(AC)
pC
(CB)
− pC
= 0
(Die Bahnen A → C → B
bei denen p stetig ist überleben/oszillieren sich nicht weg ⇒
klass. Bahn.)
Pfadintegralformalismus
10.05.2011
12 / 27
Feynmansches Pfadintegral
Propagator mit vielen Schritten
Zwei Schritte und stationäre Phasenbedingung
=φ
1
2πı̇~
d Z
}|
{ o
n z
1/2
dqC DAC DCB exp ~ı̇ RAC (τ ) + RCB (τ )
K (qA , qB , 2τ ) =
(
,
d/2 Z
2R
2R
∂
1
∂
AC
CB
−
dqC −
=
2πı̇~
∂q ∂q
∂q ∂q A
C
C
A
2
)1/2
2R
h
i
∂ RAC
∂
CB
exp ~ı̇ RAB (2τ )
∂q 2 + ∂q 2 C
| C {z
}
2φ
∂q 2
C
=∂
David Hartich (Uni Stuttgart)
Pfadintegralformalismus
10.05.2011
13 / 27
Feynmansches Pfadintegral
Propagator mit vielen Schritten
Zwei Schritte und stationäre Phasenbedingung
=φ
1
2πı̇~
d Z
}|
{ o
n z
1/2
dqC DAC DCB exp ~ı̇ RAC (τ ) + RCB (τ )
K (qA , qB , 2τ ) =
(
,
d/2 Z
2R
2R
∂
1
∂
AC
CB
−
dqC −
=
2πı̇~
∂q ∂q
∂q ∂q A
C
C
A
2
)1/2
2R
h
i
∂ RAC
∂
CB
exp ~ı̇ RAB (2τ )
∂q 2 + ∂q 2 C
| C {z
}
2φ
∂q 2
C
=∂
∗
=
1
2πı̇~
1/2
h
i
DAB 1/2 exp ı̇ RAB (2τ )
~
∗ Folgt aus etwas längerer Rechnung (siehe auch im Buch H.-J. Stöckmann)
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Pfadintegralformalismus
10.05.2011
13 / 27
Feynmansches Pfadintegral
Propagator mit vielen Schritten
Rechnung funktioniert nicht wenn z.B. DAC =
∂qC
∂pA
∂pA
∂qC
singulär ist bzw.
EW Null hat
→ FT Ortsraum Impulsraum ⇒ Phase −νπ/2 (Maslov-Index ν)
David Hartich (Uni Stuttgart)
Pfadintegralformalismus
10.05.2011
14 / 27
Feynmansches Pfadintegral
Propagator mit vielen Schritten
Rechnung funktioniert nicht wenn z.B. DAC =
∂qC
∂pA
∂pA
∂qC
singulär ist bzw.
EW Null hat
→ FT Ortsraum Impulsraum ⇒ Phase −νπ/2 (Maslov-Index ν)
Es kann mehrere klassische Pfade zu einem qA , qB , t -Tupel geben
qA
David Hartich (Uni Stuttgart)
×
qB
Pfadintegralformalismus
10.05.2011
14 / 27
Feynmansches Pfadintegral
Propagator mit vielen Schritten
Rechnung funktioniert nicht wenn z.B. DAC =
∂qC
∂pA
∂pA
∂qC
singulär ist bzw.
EW Null hat
→ FT Ortsraum Impulsraum ⇒ Phase −νπ/2 (Maslov-Index ν)
Es kann mehrere klassische Pfade zu einem qA , qB , t -Tupel geben
×
qA
qB
Modifiziertes Endergebnis des Propagators
K (qA , qB , t) =
David Hartich (Uni Stuttgart)
1
2πı̇~
d/2 X
h
i
DAB,r 1/2 exp ı̇ RAB,r (t) − ı̇ νr π
r
Pfadintegralformalismus
~
2
10.05.2011
14 / 27
Feynmansches Pfadintegral
Propagator mit vielen Schritten
(a) Realteil eines nach rechts propagierenden gaus- (b) Autokorrelationsfunktion
C (t) =
schen Wellenpakets nach den Zeiten t/T =
ψ(0)ψ(t)
quantenmechanisch
0, 0.5, 1, 2, 6.
(durchgezogene Linie) und semiklassisch (gestrichelte Linie)
David Hartich (Uni Stuttgart)
Pfadintegralformalismus
10.05.2011
15 / 27
Feynmansches Pfadintegral
Propagator mit vielen Schritten
(a) Realteil eines nach rechts propagierenden gaus- (b) Autokorrelationsfunktion
C (t) =
schen Wellenpakets nach den Zeiten t/T =
ψ(0)ψ(t)
quantenmechanisch
0, 0.5, 1, 2, 6.
(durchgezogene Linie) und semiklassisch (gestrichelte Linie)
Abbildung: Bei der semiklassischen Näherung wurden für t/T = 6 30000 Trajektorien
verwendet und für t/T = 8 bräuchte man 106 Trajektorien. Ergebnisse aus Phys. Rev. E
47, 282 (1993).
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Pfadintegralformalismus
10.05.2011
15 / 27
Semiklassische Greensche Funktion
Inhalt
1
Einführung
Zustandsdichte
Greensche Funktion
2
Feynmansches Pfadintegral
Schrödingerpropagator für kleine Zeiten
Propagator mit vielen Schritten
3
Semiklassische Greensche Funktion
Stationäre Phasennäherung
Resonatorexperiment
4
Zusammenfassung
David Hartich (Uni Stuttgart)
Pfadintegralformalismus
10.05.2011
16 / 27
Semiklassische Greensche Funktion
ı̇
G(qA , qB , E ) = −
~
David Hartich (Uni Stuttgart)
Stationäre Phasennäherung
Z ∞
dt exp
0
ı̇
~ Et
Pfadintegralformalismus
K (qA , qB , t)
10.05.2011
17 / 27
Semiklassische Greensche Funktion
ı̇
G(qA , qB , E ) = −
~
ı̇
=−
~
ı̇
~
Z ∞
dt exp
0
h
|
David Hartich (Uni Stuttgart)
Stationäre Phasennäherung
1
2πı̇~
ı̇
~ Et
d X Z ∞
2
0
r
RAB,r (t) + Et
i
{z
}
=φ
Pfadintegralformalismus
K (qA , qB , t)
1
dt DAB,r 2 exp
−ı̇ νr2π
10.05.2011
17 / 27
Semiklassische Greensche Funktion
ı̇
G(qA , qB , E ) = −
~
ı̇
=−
~
ı̇
~
Stationäre Phasennäherung
Z ∞
dt exp
0
h
|
1
2πı̇~
ı̇
~ Et
d X Z ∞
2
0
r
RAB,r (t) + Et
i
{z
}
=φ
K (qA , qB , t)
1
dt DAB,r 2 exp
−ı̇ νr2π
Phase
φ(t) = RAB,r (t) + Et
φ̇(t) =
φ̈(t) =
∂
∂t RAB,r (t) +
∂2
R
(t)
∂t 2 AB,r
David Hartich (Uni Stuttgart)
E
Pfadintegralformalismus
10.05.2011
17 / 27
Semiklassische Greensche Funktion
ı̇
G(qA , qB , E ) = −
~
ı̇
=−
~
ı̇
~
Z ∞
dt exp
h
φ̈(t) =
1
2πı̇~
ı̇
~ Et
d X Z ∞
2
0
r
RAB,r (t) + Et
i
{z
}
=φ
K (qA , qB , t)
1
dt DAB,r 2 exp
−ı̇ νr2π
Stationäre Phase
φ(t) = RAB,r (t) + Et
φ̇(t) =
0
|
Phase
Stationäre Phasennäherung
∂
∂t RAB,r (t) +
∂2
R
(t)
∂t 2 AB,r
David Hartich (Uni Stuttgart)
E
∂RAB,r = −E
∂t t=t0
φ(t0 ) = Rr (qA , qB , t0 ) + Et0
= Sr (qA , qB , E )
Pfadintegralformalismus
10.05.2011
17 / 27
Semiklassische Greensche Funktion
Stationäre Phasennäherung
Bei dem Propagator ergab die Stationäre Phasennäherung, dass nur die
klassischen Bahnen einen wesentlichen Beitrag liefern.
Bei der Greenschen Funktion G(qA , qB , E ) tagen nun nur die klassischen
Pfade bei, die genau auf der Energieschale E liegen.
David Hartich (Uni Stuttgart)
Pfadintegralformalismus
10.05.2011
18 / 27
Semiklassische Greensche Funktion
Stationäre Phasennäherung
Fast gleiches Vorgehen wie beim Propagator
nützlich:
A B
C D
!
⇒
David Hartich (Uni Stuttgart)
!
11
−D −1 C
A
C
0
11
=
A − BD −1 C
0
B
D
!
B = A − BD −1 C D D
Pfadintegralformalismus
10.05.2011
19 / 27
Semiklassische Greensche Funktion
Stationäre Phasennäherung
Greensche Funktion
ı̇
G(qA , qB , E ) = −
~
mit
1
2π~
d−1 X
1
2
∆AB,r 2 exp ı̇ Sr (qA , qB , E )−ı̇ νr π
~
2
r
2
− ∂ S
∂qA ∂qB
∆AB,r = 2
− ∂ S
∂q E
B
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∂ 2 S − 2
∂ qA ∂E Pfadintegralformalismus
−
∂2S
∂E 2
10.05.2011
20 / 27
Semiklassische Greensche Funktion
Resonatorexperiment
Resonatorexperiment
Mit S = ~kl
G(qA , qB , k) ∝
h
i
X
1
∆AB,r 2 exp ı̇klr − ı̇ νπ
2
r
Fouriertransformierte
Z
e
G(q
A , qB , x ) =
David Hartich (Uni Stuttgart)
G(qA , qB , k)e −ikx dk
Pfadintegralformalismus
⇒
x ≈ lr
10.05.2011
21 / 27
Semiklassische Greensche Funktion
Resonatorexperiment
Resonatorexperiment
Mit S = ~kl
G(qA , qB , k) ∝
h
i
X
1
∆AB,r 2 exp ı̇klr − ı̇ νπ
2
r
Fouriertransformierte
Z
e
G(q
A , qB , x ) =
G(qA , qB , k)e −ikx dk
⇒
x ≈ lr
Definition der Greenschen Funktion
G(qA , qB , E ) = qB 1 X qB n nqA
qA =
E − En
E − Ĥ
n
P
(q)|2
Es kann nun G(q, q, E ) = n |φEn−E
bestimmt werden indem man die
n
Resonanzen En bstimmt und jeweils mit einer Sonde |φn (q)|2 abtastet. Bestimmt
e A , qB , x ) so erhält man die gleich gezeigten Schaubilder.
man daraus G(q
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Pfadintegralformalismus
10.05.2011
21 / 27
Semiklassische Greensche Funktion
Resonatorexperiment
Resonatorexperiment
Abbildung: Resonator mit Breite
31.5cm und Höhe 13.5cm. Für (a)
x=2.4cm (b) 19.5cm (c) 27.4cm
(d) 84.1cm Experimentell
bestimmt. PRL 68 2867 (1992)
Auf der linken Seite wurde
e q, x )| aus der Messung be|G(q,
stimmt. Auf der rechten Seite
sind die Punkte markiert, an welchen der Start- und Endpunkt
auf der selben Stelle liegen und
zu einer klassischen Bahn der
(dem) jeweiligen Energie (Impulsbetrag) gehören.
David Hartich (Uni Stuttgart)
Pfadintegralformalismus
10.05.2011
22 / 27
Zusammenfassung
Inhalt
1
Einführung
Zustandsdichte
Greensche Funktion
2
Feynmansches Pfadintegral
Schrödingerpropagator für kleine Zeiten
Propagator mit vielen Schritten
3
Semiklassische Greensche Funktion
Stationäre Phasennäherung
Resonatorexperiment
4
Zusammenfassung
David Hartich (Uni Stuttgart)
Pfadintegralformalismus
10.05.2011
23 / 27
Zusammenfassung
Zusammenfassung
Semiklassischer Propagator
K (qA , qB , t) =
David Hartich (Uni Stuttgart)
1
2πı̇~
d/2 X
h
i
DAB,r 1/2 exp ı̇ RAB,r (t) − ı̇ νr π
r
Pfadintegralformalismus
~
2
10.05.2011
24 / 27
Zusammenfassung
Zusammenfassung
Semiklassischer Propagator
K (qA , qB , t) =
1
2πı̇~
d/2 X
h
i
DAB,r 1/2 exp ı̇ RAB,r (t) − ı̇ νr π
r
~
2
Theorem von Morse: νr ist die Anzahl negativer Eigenwerte von
DAB,r
Chaotische Systeme haben isolierte klassische Bahnen gleicher
(qA , qB , t)-Tupel.
David Hartich (Uni Stuttgart)
Pfadintegralformalismus
10.05.2011
24 / 27
Zusammenfassung
Zusammenfassung
Semiklassische Greensche Funktion
ı̇
G(qA , qB , E ) = −
~
1
2π~
d−1 X
1
2
∆AB,r 2 exp ı̇ Sr (qA , qB , E ) − ı̇ νr π
~
2
r
FT: K (qA , qB , t) ↔ G(qA , qB , E ) sowie Rr (qA , qB , t) ↔ Sr (qA , qB , E ).
David Hartich (Uni Stuttgart)
Pfadintegralformalismus
10.05.2011
25 / 27
Zusammenfassung
Zusammenfassung
Semiklassische Greensche Funktion
ı̇
G(qA , qB , E ) = −
~
1
2π~
d−1 X
1
2
∆AB,r 2 exp ı̇ Sr (qA , qB , E ) − ı̇ νr π
~
2
r
FT: K (qA , qB , t) ↔ G(qA , qB , E ) sowie Rr (qA , qB , t) ↔ Sr (qA , qB , E ).
Ausblick
David Hartich (Uni Stuttgart)
1
g(E ) = − Im
π
Z
dq G(q, q, E )
Pfadintegralformalismus
10.05.2011
25 / 27
Zusammenfassung
Literatur
H.-J. Stöckmann, Quantum Chaos - an Introduction, Cambridge
University Press 1999.
M. Brack & R. K. Bhaduri, Semiclassical Physics - Frontiers in
Physics, Adison-Wesley Publishing Company 1997.
S. Tomsovic & E. J. Heller, Long-time semiclassical dynamics of
chaos: The stadium billiard, Phys. Rev. E 47 282 (1993).
J. Stein & H.-J. Stöckmann, Experimental Determination of Billiard
Wave Functions, Phys. Rev. Lett.68 2867 (1992).
David Hartich (Uni Stuttgart)
Pfadintegralformalismus
10.05.2011
26 / 27
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
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