Semiklassische Beschreibung chaotischer Systeme Von der Pfadintegraldarstellung bis zur Greenschen Funktion David Hartich Kommentierte Version: Kommentare sind kursiv und grau dargestellt 10.05.2011 David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 1 / 27 Einführung Zustandsdichte Zustandsdichte (Darstellung durch Deltafunktion) g(E ) = X X 1 1 lim Im π →0 E − En + ı̇ n δ(E − En ) = − n mit (Eigenenergien durch Operatoren und Eigenzustände ersetzen) X n X 1 1 1 n = Tr n = E − En + ı̇ E − Ĥ + ı̇ E − Ĥ + ı̇ n Ergebnis für Zustandsdichte 1 1 g(E ) = − Im Tr π E − Ĥ David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 2 / 27 Einführung Greensche Funktion Schrödingerpropagator K (qA , qB , t): Z ψ(qB , t) = dqA qB exp − ~ı̇ Ĥt qA ψ(qA , 0) | {z ≡K (qA ,qB ,t) } Greensche Funktion ( → 0) ı̇ ∞ G(qA , qB , E ) = − dt K (qA , qB , t) exp ~ı̇ (E + ı̇)t ~ 0 Z ı̇ ∞ dt qB exp ~ı̇ (E − Ĥ)t − ~ t qA =− ~ 0 1 qA = qB E − Ĥ + ı̇ Z Zustandsdichte aus Greenscher Funktion Z h i 1 1 g(E ) = − Im dq G(q, q, E ) = − Im Tr Ĝ π π David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 3 / 27 Einführung Greensche Funktion Das waren nun die mehr oder weniger bekannten Darstellung aus der Quantenmechanik. Nun folgt eine semiklassische Darstellung des Propagators und der Greenschen Funktion. Auf dem Weg dorhin sind einige Näherungen hilfreich, die im folgenden dargestellt werden. David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 4 / 27 Einführung Greensche Funktion Inhalt 1 Einführung Zustandsdichte Greensche Funktion 2 Feynmansches Pfadintegral Schrödingerpropagator für kleine Zeiten Propagator mit vielen Schritten 3 Semiklassische Greensche Funktion Stationäre Phasennäherung Resonatorexperiment 4 Zusammenfassung David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 5 / 27 Feynmansches Pfadintegral Inhalt 1 Einführung Zustandsdichte Greensche Funktion 2 Feynmansches Pfadintegral Schrödingerpropagator für kleine Zeiten Propagator mit vielen Schritten 3 Semiklassische Greensche Funktion Stationäre Phasennäherung Resonatorexperiment 4 Zusammenfassung David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 6 / 27 Feynmansches Pfadintegral Schrödingerpropagator für kleine Zeiten Zeitentwicklungsoperator für t = τ N U(t) = U(τ N) = U(τ )N R Propagator ( n−1-mal Identität Z K (qA , qB , t) = q1 dqi qi qi einfügen) dq1 · · · dqN−1 qB U(τ )qN−1 · · · q1 U(τ )qA q2 q3 q4 ··· qN−1 qB qA 0 1 2 3 4 ··· N −1 N t/τ (Grafische Darstellung des Integrals ) David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 7 / 27 Feynmansches Pfadintegral Schrödingerpropagator für kleine Zeiten Zeitentwicklungsoperator (genähert für kleine Zeiten bis auf O(τ 2 ) genau) " ı̇τ U(τ ) = exp − ~ p̂ 2 + V (q̂) 2m ı̇τ p̂ 2 ≈ exp − ~ 2m ! !# ı̇τ ≈ 11 − ~ ! p̂ 2 + V (q̂) 2m ı̇τ exp − V (q̂) ~ Propagator K (qA , qB , τ ) (d ist die Anzahl der Raumdimensionen und den letzten Rechenschritt erhält man durch einfügen einer “Impuls”-Eins, was dann er Auswertung eines Gauß-Integrals entspricht) ! 2 ı̇τ p̂ ı̇τ qB U(τ ) qA = qB exp − qA exp − V (qA ) ~ 2m = m 2πı̇~τ ( d/2 exp ~ ı̇ m qA − qB τ ~ 2 τ | 2 ) − V (qA ) {z R τ =R(qA ,qB ,τ )= 0 dτ 0 L } ←→ Verbindung zur Klassischen Physik David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 8 / 27 Feynmansches Pfadintegral Schrödingerpropagator für kleine Zeiten Aus der Wirkung für kleine Zeiten τ 2 m qA − qB + τ V q2A + q2B 2τ d ∂ 2 R (τ ) ∂ 2 RAB (τ ) m m AB ≈ − δij bzw. = DAB = − ∂qA i ∂qB j τ ∂qA i ∂qB j τ RAB (τ ) = R(qA , qB , τ ) = ⇒ Propagator für kleine Zeiten qB U(τ )qA = David Hartich (Uni Stuttgart) 1 2πı̇~ d/2 DAB 1/2 exp ı̇ RAB Pfadintegralformalismus ~ 10.05.2011 9 / 27 Feynmansches Pfadintegral Propagator mit vielen Schritten Mit τ = t/N und q0 = qA , qN = qB K (qA , qB , t) = lim N→∞ 1 2πı̇~ Nd Z 2 N−1 1/2 N−1 Y X ı̇ dq1 · · · dqN−1 Di,i+1 Rj,j+1 exp ~ i=1 j=0 Symbolische Schreibweise Z K (qA , qB , t) = David Hartich (Uni Stuttgart) q(0)=qA q(t)=qB d q(t) exp ı̇ ~ Pfadintegralformalismus Z t dt L q(t), q̇(t) 0 10.05.2011 10 / 27 Feynmansches Pfadintegral Propagator mit vielen Schritten Einschub: Klassische Mechanik Legendretransformation der Wirkung Z qB S(qA , qB , E ) = qA p dq = R(qA , qB , t) − Et Für klassische Bahnen ∂R = pB , ∂qB ∂S = pB , ∂qB ∂R = −pA , ∂qA ∂R = −pA , ∂qA ∂R = −E , ∂t ∂S =t ∂E (Bekannte Gleichungen aus der Klassischen Mechanik) David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 11 / 27 Feynmansches Pfadintegral Propagator mit vielen Schritten Zwei Schritte und stationäre Phasenbedingung K (qA , qB , 2τ ) = 1 2πı̇~ d Z 1/2 dqC DAC DCB exp n ı̇ ~ o RAC (τ ) + RCB (τ ) Phase φ = RAC (τ ) + RCB (τ ) ∂φ ∂RAC ∂RCB ! = + =0 ∂qC ∂qC ∂qC ∂2φ ∂ 2 RAC ∂ 2 RCB = + ∂qc2 ∂qC2 ∂qC2 David Hartich (Uni Stuttgart) ⇒ (AC) pC (CB) − pC = 0 (Die Bahnen A → C → B bei denen p stetig ist überleben/oszillieren sich nicht weg ⇒ klass. Bahn.) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 12 / 27 Feynmansches Pfadintegral Propagator mit vielen Schritten Zwei Schritte und stationäre Phasenbedingung =φ 1 2πı̇~ d Z }| { o n z 1/2 dqC DAC DCB exp ~ı̇ RAC (τ ) + RCB (τ ) K (qA , qB , 2τ ) = ( , d/2 Z 2R 2R ∂ 1 ∂ AC CB − dqC − = 2πı̇~ ∂q ∂q ∂q ∂q A C C A 2 )1/2 2R h i ∂ RAC ∂ CB exp ~ı̇ RAB (2τ ) ∂q 2 + ∂q 2 C | C {z } 2φ ∂q 2 C =∂ David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 13 / 27 Feynmansches Pfadintegral Propagator mit vielen Schritten Zwei Schritte und stationäre Phasenbedingung =φ 1 2πı̇~ d Z }| { o n z 1/2 dqC DAC DCB exp ~ı̇ RAC (τ ) + RCB (τ ) K (qA , qB , 2τ ) = ( , d/2 Z 2R 2R ∂ 1 ∂ AC CB − dqC − = 2πı̇~ ∂q ∂q ∂q ∂q A C C A 2 )1/2 2R h i ∂ RAC ∂ CB exp ~ı̇ RAB (2τ ) ∂q 2 + ∂q 2 C | C {z } 2φ ∂q 2 C =∂ ∗ = 1 2πı̇~ 1/2 h i DAB 1/2 exp ı̇ RAB (2τ ) ~ ∗ Folgt aus etwas längerer Rechnung (siehe auch im Buch H.-J. Stöckmann) David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 13 / 27 Feynmansches Pfadintegral Propagator mit vielen Schritten Rechnung funktioniert nicht wenn z.B. DAC = ∂qC ∂pA ∂pA ∂qC singulär ist bzw. EW Null hat → FT Ortsraum Impulsraum ⇒ Phase −νπ/2 (Maslov-Index ν) David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 14 / 27 Feynmansches Pfadintegral Propagator mit vielen Schritten Rechnung funktioniert nicht wenn z.B. DAC = ∂qC ∂pA ∂pA ∂qC singulär ist bzw. EW Null hat → FT Ortsraum Impulsraum ⇒ Phase −νπ/2 (Maslov-Index ν) Es kann mehrere klassische Pfade zu einem qA , qB , t -Tupel geben qA David Hartich (Uni Stuttgart) × qB Pfadintegralformalismus 10.05.2011 14 / 27 Feynmansches Pfadintegral Propagator mit vielen Schritten Rechnung funktioniert nicht wenn z.B. DAC = ∂qC ∂pA ∂pA ∂qC singulär ist bzw. EW Null hat → FT Ortsraum Impulsraum ⇒ Phase −νπ/2 (Maslov-Index ν) Es kann mehrere klassische Pfade zu einem qA , qB , t -Tupel geben × qA qB Modifiziertes Endergebnis des Propagators K (qA , qB , t) = David Hartich (Uni Stuttgart) 1 2πı̇~ d/2 X h i DAB,r 1/2 exp ı̇ RAB,r (t) − ı̇ νr π r Pfadintegralformalismus ~ 2 10.05.2011 14 / 27 Feynmansches Pfadintegral Propagator mit vielen Schritten (a) Realteil eines nach rechts propagierenden gaus- (b) Autokorrelationsfunktion C (t) = schen Wellenpakets nach den Zeiten t/T = ψ(0)ψ(t) quantenmechanisch 0, 0.5, 1, 2, 6. (durchgezogene Linie) und semiklassisch (gestrichelte Linie) David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 15 / 27 Feynmansches Pfadintegral Propagator mit vielen Schritten (a) Realteil eines nach rechts propagierenden gaus- (b) Autokorrelationsfunktion C (t) = schen Wellenpakets nach den Zeiten t/T = ψ(0)ψ(t) quantenmechanisch 0, 0.5, 1, 2, 6. (durchgezogene Linie) und semiklassisch (gestrichelte Linie) Abbildung: Bei der semiklassischen Näherung wurden für t/T = 6 30000 Trajektorien verwendet und für t/T = 8 bräuchte man 106 Trajektorien. Ergebnisse aus Phys. Rev. E 47, 282 (1993). David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 15 / 27 Semiklassische Greensche Funktion Inhalt 1 Einführung Zustandsdichte Greensche Funktion 2 Feynmansches Pfadintegral Schrödingerpropagator für kleine Zeiten Propagator mit vielen Schritten 3 Semiklassische Greensche Funktion Stationäre Phasennäherung Resonatorexperiment 4 Zusammenfassung David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 16 / 27 Semiklassische Greensche Funktion ı̇ G(qA , qB , E ) = − ~ David Hartich (Uni Stuttgart) Stationäre Phasennäherung Z ∞ dt exp 0 ı̇ ~ Et Pfadintegralformalismus K (qA , qB , t) 10.05.2011 17 / 27 Semiklassische Greensche Funktion ı̇ G(qA , qB , E ) = − ~ ı̇ =− ~ ı̇ ~ Z ∞ dt exp 0 h | David Hartich (Uni Stuttgart) Stationäre Phasennäherung 1 2πı̇~ ı̇ ~ Et d X Z ∞ 2 0 r RAB,r (t) + Et i {z } =φ Pfadintegralformalismus K (qA , qB , t) 1 dt DAB,r 2 exp −ı̇ νr2π 10.05.2011 17 / 27 Semiklassische Greensche Funktion ı̇ G(qA , qB , E ) = − ~ ı̇ =− ~ ı̇ ~ Stationäre Phasennäherung Z ∞ dt exp 0 h | 1 2πı̇~ ı̇ ~ Et d X Z ∞ 2 0 r RAB,r (t) + Et i {z } =φ K (qA , qB , t) 1 dt DAB,r 2 exp −ı̇ νr2π Phase φ(t) = RAB,r (t) + Et φ̇(t) = φ̈(t) = ∂ ∂t RAB,r (t) + ∂2 R (t) ∂t 2 AB,r David Hartich (Uni Stuttgart) E Pfadintegralformalismus 10.05.2011 17 / 27 Semiklassische Greensche Funktion ı̇ G(qA , qB , E ) = − ~ ı̇ =− ~ ı̇ ~ Z ∞ dt exp h φ̈(t) = 1 2πı̇~ ı̇ ~ Et d X Z ∞ 2 0 r RAB,r (t) + Et i {z } =φ K (qA , qB , t) 1 dt DAB,r 2 exp −ı̇ νr2π Stationäre Phase φ(t) = RAB,r (t) + Et φ̇(t) = 0 | Phase Stationäre Phasennäherung ∂ ∂t RAB,r (t) + ∂2 R (t) ∂t 2 AB,r David Hartich (Uni Stuttgart) E ∂RAB,r = −E ∂t t=t0 φ(t0 ) = Rr (qA , qB , t0 ) + Et0 = Sr (qA , qB , E ) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 17 / 27 Semiklassische Greensche Funktion Stationäre Phasennäherung Bei dem Propagator ergab die Stationäre Phasennäherung, dass nur die klassischen Bahnen einen wesentlichen Beitrag liefern. Bei der Greenschen Funktion G(qA , qB , E ) tagen nun nur die klassischen Pfade bei, die genau auf der Energieschale E liegen. David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 18 / 27 Semiklassische Greensche Funktion Stationäre Phasennäherung Fast gleiches Vorgehen wie beim Propagator nützlich: A B C D ! ⇒ David Hartich (Uni Stuttgart) ! 11 −D −1 C A C 0 11 = A − BD −1 C 0 B D ! B = A − BD −1 C D D Pfadintegralformalismus 10.05.2011 19 / 27 Semiklassische Greensche Funktion Stationäre Phasennäherung Greensche Funktion ı̇ G(qA , qB , E ) = − ~ mit 1 2π~ d−1 X 1 2 ∆AB,r 2 exp ı̇ Sr (qA , qB , E )−ı̇ νr π ~ 2 r 2 − ∂ S ∂qA ∂qB ∆AB,r = 2 − ∂ S ∂q E B David Hartich (Uni Stuttgart) ∂ 2 S − 2 ∂ qA ∂E Pfadintegralformalismus − ∂2S ∂E 2 10.05.2011 20 / 27 Semiklassische Greensche Funktion Resonatorexperiment Resonatorexperiment Mit S = ~kl G(qA , qB , k) ∝ h i X 1 ∆AB,r 2 exp ı̇klr − ı̇ νπ 2 r Fouriertransformierte Z e G(q A , qB , x ) = David Hartich (Uni Stuttgart) G(qA , qB , k)e −ikx dk Pfadintegralformalismus ⇒ x ≈ lr 10.05.2011 21 / 27 Semiklassische Greensche Funktion Resonatorexperiment Resonatorexperiment Mit S = ~kl G(qA , qB , k) ∝ h i X 1 ∆AB,r 2 exp ı̇klr − ı̇ νπ 2 r Fouriertransformierte Z e G(q A , qB , x ) = G(qA , qB , k)e −ikx dk ⇒ x ≈ lr Definition der Greenschen Funktion G(qA , qB , E ) = qB 1 X qB n nqA qA = E − En E − Ĥ n P (q)|2 Es kann nun G(q, q, E ) = n |φEn−E bestimmt werden indem man die n Resonanzen En bstimmt und jeweils mit einer Sonde |φn (q)|2 abtastet. Bestimmt e A , qB , x ) so erhält man die gleich gezeigten Schaubilder. man daraus G(q David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 21 / 27 Semiklassische Greensche Funktion Resonatorexperiment Resonatorexperiment Abbildung: Resonator mit Breite 31.5cm und Höhe 13.5cm. Für (a) x=2.4cm (b) 19.5cm (c) 27.4cm (d) 84.1cm Experimentell bestimmt. PRL 68 2867 (1992) Auf der linken Seite wurde e q, x )| aus der Messung be|G(q, stimmt. Auf der rechten Seite sind die Punkte markiert, an welchen der Start- und Endpunkt auf der selben Stelle liegen und zu einer klassischen Bahn der (dem) jeweiligen Energie (Impulsbetrag) gehören. David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 22 / 27 Zusammenfassung Inhalt 1 Einführung Zustandsdichte Greensche Funktion 2 Feynmansches Pfadintegral Schrödingerpropagator für kleine Zeiten Propagator mit vielen Schritten 3 Semiklassische Greensche Funktion Stationäre Phasennäherung Resonatorexperiment 4 Zusammenfassung David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 23 / 27 Zusammenfassung Zusammenfassung Semiklassischer Propagator K (qA , qB , t) = David Hartich (Uni Stuttgart) 1 2πı̇~ d/2 X h i DAB,r 1/2 exp ı̇ RAB,r (t) − ı̇ νr π r Pfadintegralformalismus ~ 2 10.05.2011 24 / 27 Zusammenfassung Zusammenfassung Semiklassischer Propagator K (qA , qB , t) = 1 2πı̇~ d/2 X h i DAB,r 1/2 exp ı̇ RAB,r (t) − ı̇ νr π r ~ 2 Theorem von Morse: νr ist die Anzahl negativer Eigenwerte von DAB,r Chaotische Systeme haben isolierte klassische Bahnen gleicher (qA , qB , t)-Tupel. David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 24 / 27 Zusammenfassung Zusammenfassung Semiklassische Greensche Funktion ı̇ G(qA , qB , E ) = − ~ 1 2π~ d−1 X 1 2 ∆AB,r 2 exp ı̇ Sr (qA , qB , E ) − ı̇ νr π ~ 2 r FT: K (qA , qB , t) ↔ G(qA , qB , E ) sowie Rr (qA , qB , t) ↔ Sr (qA , qB , E ). David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 25 / 27 Zusammenfassung Zusammenfassung Semiklassische Greensche Funktion ı̇ G(qA , qB , E ) = − ~ 1 2π~ d−1 X 1 2 ∆AB,r 2 exp ı̇ Sr (qA , qB , E ) − ı̇ νr π ~ 2 r FT: K (qA , qB , t) ↔ G(qA , qB , E ) sowie Rr (qA , qB , t) ↔ Sr (qA , qB , E ). Ausblick David Hartich (Uni Stuttgart) 1 g(E ) = − Im π Z dq G(q, q, E ) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 25 / 27 Zusammenfassung Literatur H.-J. Stöckmann, Quantum Chaos - an Introduction, Cambridge University Press 1999. M. Brack & R. K. Bhaduri, Semiclassical Physics - Frontiers in Physics, Adison-Wesley Publishing Company 1997. S. Tomsovic & E. J. Heller, Long-time semiclassical dynamics of chaos: The stadium billiard, Phys. Rev. E 47 282 (1993). J. Stein & H.-J. Stöckmann, Experimental Determination of Billiard Wave Functions, Phys. Rev. Lett.68 2867 (1992). David Hartich (Uni Stuttgart) Pfadintegralformalismus 10.05.2011 26 / 27 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!