Stochastik - Universität Koblenz · Landau

UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Dr. Dominik Faas
Stochastik
Wintersemester 2010/2011
Übungsblatt 9
Aufgabe 35
Abgabetermin: 24.01.2011
(2+(2+2+2)+(1.5+2+1.5)=13
10+3∗ Punkte)
(a) In einer Lostrommel befinden sich 2 rote, 4 blaue, 6 grüne und 8 weiße Kugeln. Bei
einem Spiel bezahlt man zunächst 50 Cent und darf dann zwei Kugeln (ohne Zurücklegen) ziehen. Sind sie gleichfarbig gewinnt man einen Preis und zwar
bei 2 weißen Kugeln
1 Euro
bei 2 grünen Kugeln
2 Euro
bei 2 blauen Kugeln
5 Euro
bei 2 roten Kugeln
26 Euro
Die ZV Z beschreibt den Gewinn bei diesem Spiel. Erstellen sie ein Stabdiagramm zu
Z und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von Z. Berechnen Sie E(Z) und V (Z).
(b) Begründen Sie in diesem Aufgabenteil Ihre Antworten mit Hilfe der Formeln aus 2.30.
• A und B spielen regelmäßig Tennis. Dabei gewinnt A einen Satz mit einer Wahrscheinlichkeit von 60%. Die ZV X beschreibt die Anzahl der von A gewonnenen
Sätze, wenn 20 Sätze gespielt wurden. Bestimmen Sie E(X) und V (X). Die ZV
Y beschreibt die Anzahl der gewonnenen Matches nach 10 gespielten Matches.
Bestimmen Sie E(Y ) und V (Y ).
Dabei besteht ein Match aus 2 Gewinnsätzen. Es gewinnt also derjenige, der zuerst 2
Sätze gewonnen hat.
• Bei einer Lotterie gibt es 1000 Lose, darunter gibt es 50 Gewinne. Jemand kauft
100 Lose. Die ZV X beschreibt die Anzahl seiner Gewinne, die ZV Y beschreibt
die Anzahl der Gewinne unter den verbliebenen Losen. Bestimmen Sie Erwartungswerte und Varianzen von X, Y und X + Y . (Achten Sie dabei darauf, wie
X und Y zusammenhängen.)
• Ein Würfel wird solange geworfen bis eine 6 fällt. Die ZV X beschreibt die Anzahl
der benötigten Würfe. Bestimmen Sie E(X) und V (X). Die ZV Y beschreibt die
Anzahl der geworfenen 1en. Bestimmen Sie E(Y ) und V (Y ).
(c) Bei diesem Aufgabenteil sollten Sie die interessierende ZV als Summe von einfachereren ZV
darstellen. Dann können Sie Erwartungswerte bzw. Varianzen dieser ZV bestimmen und dann
E(Z) bzw. V (Z) mit Hilfe der Regeln aus 2.28 berechnen. Achten Sie darauf, ob die betrachteten ZV unabhängig sind.
• Beim Lotto werden aus den Kugeln mit den Zahlen 1-49 genau 6 Kugeln (ohne
Zurücklegen) gezogen. Die ZV Z beschreibt die Summe der gezogenen Zahlen.
Bestimmen Sie E(Z).
• In einer Lostrommel befinden sich 4 schwarze, 4 weiße und 2 rote Kugeln. Man
zieht nun 5 Kugeln und erhält dann für jede gezogene schwarze Kugel 1 Euro,
für jede gezogene weiße Kugel 2 Euro und für jede gezogene rote Kugel 10 Euro.
Die ZV Z beschreibt den Gesamtgewinn. Bestimmen Sie E(Z) für die Fälle ’mit
Zurücklegen’ und ’ohne Zurücklegen’. Bestimmen Sie weiterhin V (Z) in einem
der beiden Fälle. (Achtung: Einer der beiden Fälle hat eine kurze Lösung, der
andere ist sehr aufwendig)
• Ein Würfel wird solange geworfen bis eine 6 fällt. Die ZV Z beschreibt die Zahl
der insgesamt erzielten Augensumme. Bestimmen Sie E(Z).
Aufgabe 36
(1+1.5+1.5=4 Punkte)
(a) Skizzieren Sie die Funktion
f : R → R, f (t) =



2t
3
3−t
3
, falls t ∈ [0, 1]
, falls t ∈]1, 3]
, sonst

 0
und begründen sie, dass f eine Dichtefunktion auf R ist.
(b) Wir betrachten eine ZV Z mit Dichtefunktion f .
(alternativ: wir betrachten den W-Raum (R, B(R), Pf ) und die ZV Z : R → R, Z(ω) = ω)
Bestimmen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion F von Z.
(c) Berechnen Sie:
P (Z ≥ 1) ,
P (Z > 3)
und P (2 ≤ Z ≤ 3)
Aufgabe 37∗
(1.5∗ +1.5∗ +2∗ =5∗ Punkte)
Sei (Ω, M, P ) ein beliebiger W-Raum und Z : Ω → R eine ZV. Beweisen Sie die folgenden
Regeln für die Verteilungsfunktion F = FZ : R → R von Z (siehe Seite 43 im Skript).
• Für alle y ∈ R gilt: lim F (x) = F (y)
x↓y
Hinweis: Es genügt zu zeigen, dass für jede streng monoton fallende Folge (xn )n∈N mit
lim xn = y auch lim F (xn ) = F (y) gilt. Dazu sollte man (neben der Definition der
n→∞
n→∞
Verteilungsfunktion) die Rechenregeln für W-Maße (siehe Seite 31 im Skript) beachten.
• Für alle y ∈ R gilt: lim F (x) = F (y) − P (Z = y)
x↑y
Hinweis: Es genügt zu zeigen, dass für jede streng monoton wachsende Folge (xn )n∈N mit
lim xn = y auch lim F (xn ) = F (y) − P (Z = y) gilt.
n→∞
• Es gilt:
n→∞
lim F (x) = 0 und lim F (x) = 1
x→∞
x→−∞
Hinweis: Es genügt zu zeigen, dass für jede streng monoton fallende Folge (xn )n∈N mit
lim xn = −∞ auch lim F (xn ) = 0 gilt, bzw. dass für jede streng monoton wachsende
n→∞
n→∞
Folge (xn )n∈N mit lim xn = ∞ auch lim F (xn ) = 1 gilt.
n→∞
n→∞
Diese Übungsblätter finden sie auch unter
http://www.uni-koblenz-landau.de/landau/fb7/mathematik/team/dominik-faas/material